Senior Fase Graad 8 • Fasiliteerdersgids 2/2
Wiskunde KABV
Fasiliteerdersgids 2/2
2608-A-MAM-FG02
EK
SE
M
PL
AA
R
Wiskunde
om voorafkennis te toets. • Hersieningsoefeninge verduidelikings van begrippe en tegnieke. • Deeglike voorbeelde help leerders om nuwe begrippe beter • Uitgewerkte te verstaan. oefeninge om teorie vas te lê en wiskundige • Gemengde vaardighede te oefen. en memorandums vir eksamenvoorbereiding. • Oefenvraestelle en aanvaarde meetkundige redes vir • Formuleblaaie vinnige verwysing. van wiskundige terme. • Indeks Die fasiliteerdersgids bevat stap-vir-stap-bewerkings • en antwoorde. • Gebruik in die klaskamer of tuis.
8 2608-A-MAM-FG02_Cover.indd 3
25/9/2025 11:59:25
R AA
PL
Besit en gepubliseer deur Optimi, deel van Optimi Central Services (Edms) Bpk. Impalalaan 7, Doringkloof, Centurion, 0157 info@optimi.co.za www.optimi.co.za
M
© Optimi
SE
Afgesien van enige billike gebruik vir die doel van navorsing, kritiek of resensie soos toegelaat onder die Wet op Outeursreg, mag geen gedeelte van hierdie boek in enige vorm of op enige manier elektronies of meganies, insluitend fotokopiëring, bandopname, of enige inligtingstoring-en-herwinningstelsel, gereproduseer of versend word sonder die uitgewer se skriftelike toestemming nie.
EK
Die uitgewer dra geen verantwoordelikheid vir die voortbestaan of akkuraatheid van URL’e van eksterne webwerwe of webwerwe van derde partye waarna daar in hierdie publikasie verwys word nie, en waarborg nie dat enige inhoud op sulke webwerwe akkuraat of toepaslik is, of sal bly nie. Daar is gevalle waar ons nie die kopiereghouer kon kontak of opspoor nie. Die uitgewer is bereid om enige foute of weglatings so gou as moontlik reg te stel indien die saak onder ons aandag gebring word.
Reg. No.: 2006/002404/07 ISBN: 9781779841735
2608-A-MAM-FG02_Cover.indd 4
25/9/2025 11:59:25
EK
SE
M PL
Fasiliteerdersgids 2/2 − Graad 8
AA
R
Wiskunde
2608-A-MAM-FG02
Aangepas vir KABV
Prof. C Vermeulen, hoofouteur H Otto M Sherman
2.4
INHOUDSOPGAWE Leervereistes volgens die KABV............................................................................1 Berekeninge met gewone breuke ................................................................2
1.1
Tel gewone breuke en gemengde getalle op en trek hulle af .........................2
1.3
Vermenigvuldig gewone breuke en gemengde getalle met mekaar ...............9
3.3
Oefening 80: Bereken hoeveelhede indien die persentasie-toename of -afname gegee word.................................................................................37
Deel telgetalle deur breuke en breuke deur breuke ......................................13 Kwadrate, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels van gewone breuke ........................................................19
SE
2.
Probleemoplossing met breuke .................................................................26
2.1
Probleme met breuke van verskeie voorwerpe of breuke van ’n hele .........26
3.4
Bereken hoeveelhede indien die persentasie-toename of -afname gegee word ................................................................................36
3.5
Los probleme met persentasies op................................................................37 Oefening 81: Probleemoplossing wat persentasies behels...........................38
Oefening 72: Vierkantswortels en derdemagswortels van gewone breuke...24
4.
Ekwivalensie ...............................................................................................40
4.1
Ekwivalente vorms van gewone breuke .......................................................40 Oefening 82: Ekwivalente vorms van gewone breuke..................................40
4.2
Ekwivalente vorms van gewone breuke en desimale breuke .......................41 Oefening 83: Ekwivalente vorms van gewone breuke en desimale breuke.......................................................................................42
EK
Oefening 73: Bepaal ’n breuk van ’n getal ..................................................27 Probleme wat verdeling van voorwerpe in ’n sekere verhouding behels.....28
4.3
Oefening 74: Verdeel ’n aantal voorwerpe in ’n sekere verhouding............28 2.3
Persentasie-toename of -afname ..................................................................35 Oefening 79: Persentasie-toename en -afname ............................................35
Oefening 71: Kwadrate en derdemagte van gewone breuke.........................19
2.2
Gedeelte van ’n hele as ’n persentasie van die hele .....................................33 Oefening 78: Gedeelte van ’n hele as ’n persentasie van die hele ...............34
Oefening 70: Deel telgetalle deur breuke, en breuke deur breuke ...............14 1.5
Persentasies van telgetalle ...........................................................................32
3.2
Oefening 69: Vermenigvuldig telgetalle met breuke en breuke met breuke ...................................................................................10 1.4
3.1
M PL
Bepaal breuke van telgetalle ..........................................................................8
Persentasies ................................................................................................32 Oefening 77: Persentasies van telgetalle .....................................................33
Oefening 68: Tel gewone breuke en gemengde getalle op en trek hulle af ...4 1.2
3.
AA
Inleiding...................................................................................................................1
R
Oefening 76: Los probleme op wat vermenigvuldiging of deling van breuke behels..........................................................................31
TEMA 13: GEWONE BREUKE........................................................................... 1
1.
Los probleme op wat vermenigvuldiging of deling ......................................... van breuke behels.........................................................................................31
Ekwivalente vorms van gewone breuke, desimale Oefening 84: Ekwivalente vorms van gewone breuke, desimale breuke en persentasies .................................................................................43
Probleme wat optelling en aftrekking van breuke behels.............................29
Selfevaluering........................................................................................................45
Oefening 75: Los probleme op wat optelling en aftrekking van breuke behels ........................................................................................30
Opsomming van tema...........................................................................................46 Oefening om die tema af te sluit..........................................................................47
©Optimi
iii
G08– Wiskunde
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 TEMA 14: DESIMALE BREUKE........................................................................ 51
Selfevaluering........................................................................................................73
Leervereistes volgens die KABV..........................................................................51
Opsomming van tema...........................................................................................74
Inleiding.................................................................................................................51
Oefening om die tema af te sluit..........................................................................75
1.1
Plekwaardes..................................................................................................52
1.2
Vergelyk en rangskik desimale getalle.........................................................52
1.3
Rond desimale breuke tot ten minste twee plekke af....................................53
TEMA 15: PYTHAGORAS SE STELLING........................................................ 80
R
Hersiening....................................................................................................52
Leervereistes volgens die KABV..........................................................................80 Inleiding.................................................................................................................80
AA
1.
1.
Oefening 85: Waardes van syfers in desimale breuke, rangskikking van desimale breuke en afronding van desimale breuke..............................53 1.4
Oefening 94: Identifiseer die dele van ’n reghoekige driehoek ...................81
2.
Tel desimale breuke op en trek hulle af........................................................55
Oefening 96: Berekeninge met Pythagoras se stelling.................................85
4.
Deel desimale breuke deur telgetalle............................................................59
2.
Brei vermenigvuldiging en deling uit........................................................62
2.1
Vermenigvuldig desimale breuke met desimale breuke...............................62
Los meetkundeprobleme met behulp van pythagoras op.......................87 Oefening 97: Los meetkundeprobleme met behulp van Pythagoras op.......89
Oefening 88: Deel desimale breuke deur telgetalle......................................61
Oefening 98: Identifiseer reghoekige driehoeke...........................................91
5.
Los probleme in konteks met behulp van pythagoras op........................92 Oefening 99: Los probleme in konteks met behulp van Pythagoras op.......93
SE
Oefening 89: Vermenigvuldig desimale breuke met desimale breuke.........63 2.2
Berekeninge met pythagoras se stelling....................................................83
M PL
3.
Vermenigvuldig desimale breuke met telgetalle...........................................57 Oefening 87: Vermenigvuldig desimale breuke met telgetalle.....................58
1.6
Ondersoek na die sye van ‘n reghoekige driehoek...................................82 Oefening 95: Ondersoek na die sye van reghoekige driehoeke....................82
Oefening 86: Tel desimale breuke op en trek hulle af..................................56 1.5
Identifiseer die dele van ‘n reghoekige driehoek.....................................80
Selfevaluering........................................................................................................95
Deel desimale breuke deur desimale breuke................................................64
Opsomming van tema...........................................................................................96
Oefening 90: Deel desimale breuke deur desimale breuke...........................65 Kwadrate, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels............67
Oefening om die tema af te sluit..........................................................................96
3.1
Kwadrate en derdemagte..............................................................................67
TEMA 16: OMTREK EN OPPERVLAKTE.......................................................100
EK
3.
Oefening 91: Kwadrate en derdemagte........................................................68
Leervereistes volgens die KABV........................................................................100
Oefening 92: Vierkantswortels en derdemagswortels..................................70 4.
Inleiding...............................................................................................................100
Probleemoplossing met desimale breuke..................................................71
1.
Oefening 93: Probleemoplossing met desimale breuke................................72
Omtrek van veelhoeke..............................................................................101 Oefening 100: Omtrek van eenvoudige vorms...........................................102
iv
3.
Omtrek van komplekse vorms.................................................................103
Selfevaluering......................................................................................................142
Oefening 101: Omtrek van komplekse vorms............................................104
Opsomming van tema.........................................................................................142
Omtrek van ’n sirkel.................................................................................106
Oefening om die tema af te sluit........................................................................143
R
2.
Oefening 102: Omtrek van ’n sirkel ..........................................................107 4.
TEMA 18: DATAHANTERING........................................................................ 148
Los probleme met omtrek op...................................................................108
Leervereistes volgens die KABV........................................................................148
5.
AA
Oefening 103: Los probleme met omtrek op .............................................109
Inleiding...............................................................................................................149
Oppervlakte en eenhede...........................................................................112
1.
Oefening 104: Oppervlakte van eenvoudige vorms....................................113 6.
Oefening 111: Samel data in.......................................................................150
Oppervlakte van ‘n sirkel.........................................................................114
2.
Oefening 105: Oppervlakte van ’n sirkel....................................................115
Oefening 112: Organiseer data...................................................................153
Ontbind vorms om oppervlakte te bepaal..............................................116
3.
Oefening 106: Oppervlaktes van komplekse vorms...................................118
4.
Opsomming van tema.........................................................................................120
5.
Interpreteer data.......................................................................................162 Oefening 115: Interpreteer data wat in grafieke voorgestel is....................167
TEMA 17: BUITEOPPERVLAKTE EN VOLUME.............................................. 126 Leervereistes volgens die KABV........................................................................126
SE
6.
Inleiding...............................................................................................................126
Analiseer en doen verslag oor data.........................................................169 Oefening 116: Analiseer en doen verslag oor data.....................................171
Selfevaluering......................................................................................................172
Oefening 107: Volume en kapasiteit van ’n reghoekige prisma ................129
Opsomming van tema.........................................................................................173
Volume van driehoekige prismas............................................................131
Oefening om die tema af te sluit........................................................................174
EK
Volume en kapasiteit................................................................................126
Oefening 108: Volume van ’n driehoekige prisma.....................................133 3.
Stel data voor ............................................................................................155 Oefening 114: Stel data voor......................................................................160
Oefening om die tema af te sluit........................................................................121
2.
Som data op ..............................................................................................154 Oefening 113: Som data op........................................................................155
Selfevaluering......................................................................................................119
1.
Organiseer en som data op......................................................................151
M PL
7.
Samel data in.............................................................................................149
TEMA 19: FUNKSIES EN VERWANTSKAPPE ..............................................180
Buiteoppervlakte van prismas.................................................................134
Leervereistes volgens die KABV........................................................................180
Oefening 109: Buiteoppervlaktes van prismas...........................................137
Inleiding...............................................................................................................180
Oefening 110: Probleme wat volume en buiteoppervlakte behels..............140
1.
Inset- en uitsetwaardes.............................................................................180 Oefening 117: Inset- en uitsetwaardes........................................................183
©Optimi
v
G08– Wiskunde
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 2.
Inset- en uitsetwaardes met behulp van formules..................................189
2.
Oefening 118: Inset- en uitsetwaardes met behulp van formules...............190
Teken grafieke uit inligting......................................................................221 Oefening 123: Teken grafieke uit inligting.................................................223
3.
Punte op die cartesiese vlak.....................................................................225
Opsomming van tema.........................................................................................193
3.1
Geordende getallepare................................................................................225
Oefening om die tema af te sluit........................................................................193
3.2
Geordende getallepare en grafieke.............................................................225 Oefening 124: Punte op die Cartesiese vlak...............................................228
AA
TEMA 20: ALGEBRAЇESE VERGELYKINGS ................................................. 196
4.
Leervereistes volgens die KABV........................................................................196
Selfevaluering......................................................................................................234
Los vergelykings op..................................................................................196
Opsomming van tema.........................................................................................235
Oefening 119: Los vergelykings op deur optellings- en vermenigvuldigingsinverses en eksponentwette te gebruik........................199
Oefening om die tema af te sluit........................................................................236
M PL
2.
Gebruik vergelykings om probleme op te los.........................................201
TEMA 22: TRANSFORMASIEMEETKUNDE................................................. 240
Oefening 120: Gebruik vergelykings om probleme op te los.....................203 3.
Stip punte uit tabelle.................................................................................229 Oefening 125: Stip punte uit tabelle...........................................................231
Inleiding...............................................................................................................196 1.
R
Selfevaluering......................................................................................................192
Leervereistes volgens die KABV........................................................................240
Gebruik vergelykings om tabelle te voltooi en bepaal geordende getallepare...............................................................................205
Inleiding...............................................................................................................240
Oefening 121: Voltooi ’n tabel en bepaal geordende getallepare...............207 Selfevaluering......................................................................................................208
SE
Opsomming van tema.........................................................................................209 Oefening om die tema af te sluit........................................................................209
1.
Translasie van ’n punt..............................................................................241
1.1
Translasie van ’n punt binne ’n kwadrant...................................................241
1.2
Translasie van ’n punt oor kwadrante heen................................................243
1.3
Kombineer translasies van ’n punt.............................................................244
Oefening 126: Translasie van ’n punt...................................................................246 2.
TEMA 21: GRAFIEKE.................................................................................... 213 Leervereistes volgens die KABV........................................................................213
Translasie van ’n driehoek ......................................................................248 Oefening 127: Translasie van driehoeke.....................................................250
Inleiding...............................................................................................................213
EK
3.
Refleksie van ’n punt in ’n as..................................................................251
1.
Analiseer en interpreteer grafieke..........................................................214
Oefening 128: Refleksie van ’n punt in die y-as (Ondersoek 1).................252
1.1
Lineêre grafieke..........................................................................................214
Oefening 129: Refleksie van ’n punt in enige as........................................253
1.2
Nielineêre grafieke.....................................................................................216
4.
Oefening 122: Analiseer en interpreteer grafieke.......................................217
Refleksie van ’n driehoek in ’n as...........................................................254 Oefening 130: Refleksie van ’n driehoek in ’n as......................................255
vi
7.
Oefening 142: Bou ’n model van ’n driehoekige prisma ..........................292
Oefening 131: Rotasie van ’n driehoek......................................................260
Oefening 143: Verwantskap tussen hoekpunte, rande en vlakke................293
Vergrotings................................................................................................261
Selfevaluering......................................................................................................294
Oefening 132: Vergrotings .........................................................................265
Opsomming van tema.........................................................................................294
Verkleinings...............................................................................................267
Oefening om die tema af te sluit........................................................................295
Oefening 133: Verkleinings........................................................................268
R
6.
Rotasie van ’n driehoek............................................................................257
AA
5.
TEMA 24: WAARSKYNLIKHEID................................................................... 301
Selfevaluering......................................................................................................270
Leervereistes volgens die KABV........................................................................301
Opsomming van tema.........................................................................................271
Inleiding...............................................................................................................301
Oefening om die tema af te sluit........................................................................271
1.
Moontlike uitkomste.................................................................................301 Oefening 144: Lys die moontlike uitkomste...............................................302
M PL
TEMA 23: MEETKUNDE VAN 3D VOORWERPE..........................................279 Leervereistes volgens die KABV........................................................................279
2.
Waarskynlikheid van enkelgebeurtenisse...............................................303
Inleiding...............................................................................................................280
2.1
Wat is waarskynlikheid?.............................................................................304
1.
Platoniese ruimteliggame.........................................................................280
2.2
Bepaal waarskynlikheid..............................................................................304
1.1
2D vorms en 3D voorwerpe........................................................................280
Oefening 145: Bepaal waarskynlikheid......................................................305
3.
Oefening 134: Woordvasvra ......................................................................280
Relatiewe frekwensie.................................................................................310 Oefening 146: Relatiewe frekwensie..........................................................312
Oefening 136: Vergelyk Platoniese ruimteliggame....................................283
Selfevaluering......................................................................................................315
2.
Prismas en piramides...............................................................................283
Opsomming van tema.........................................................................................315
2.1
Prismas.......................................................................................................283
Oefening om die tema af te sluit........................................................................315
2.2
Piramides....................................................................................................284
NOVEMBER: VRAESTEL EN MEMORANDUM 1(A)...................................... 318
SE
Oefening 135: Platoniese ruimteliggame....................................................282
3.
EK
Oefening 137: Ondersoek hoekpunte en rande van ’n piramide................285
NOVEMBER: VRAESTEL EN MEMORANDUM 1 (B)......................................323
Werk met nette..........................................................................................285 Oefening 138: Verstaan nette......................................................................287
NOVEMBER: VRAESTEL EN MEMORANDUM 2 (A)..................................... 327
Oefening 139: Skets ’n net..........................................................................289
NOVEMBER: VRAESTEL EN MEMORANDUM 2 (B).....................................333
Oefening 140: Maak ’n net en bou ’n model..............................................290
INDEKS.........................................................................................................339
Oefening 141: Maak ’n net en bou ’n model .............................................291
©Optimi
vii
G08– Wiskunde
Kwartaal Duur
TEMA 13
Ongeveer een en ’n halwe week (7 uur)
Vraestel Gewig
GEWONE BREUKE
3 1
R
Getalle, bewerkings en verhoudings (1)
November-eksamen: 5 ± 2 punte uit 60
AA
Fasiliteerderswenke
Wanneer leerders berekeninge doen wat gewone breuke behels, laat hulle die lyn wat die teller en die noemer skei op die lyn van hulle oefeningboek skryf. Dit help hulle om die verskil tussen die teller en noemer te ken en verhoed dat hulle te klein skryf en foute maak.
Leervereistes volgens die KABV Berekeninge met breuke Hersien: ◦ optelling en aftrekking van gewone breuke, insluitend gemengde getalle ◦ hoe om breuke van telgetalle te bepaal ◦ vermenigvuldiging van gewone breuke, insluitend gemengde getalle.
• •
Deel telgetalle en gewone breuke deur gewone breuke. Bereken die kwadrate, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels van gewone breuke.
• •
Herlei gemengde getalle tot gewone breuke voor berekeninge gedoen word. Gebruik kennis van veelvoude en faktore om breuke in die eenvoudigste vorm te skryf voor of ná berekeninge. Gebruik kennis van ekwivalente breuke om gewone breuke op te tel en af te trek. Gebruik kennis van inverse verhoudings om gewone breuke te deel.
Probleemoplossing •
Inleiding In hierdie tema gaan jy: •
EK
• •
Wanneer leerders probleme oplos, moet hulle wat hulle bereken, uitskryf (in woorde verduidelik). Hulle moenie slegs die bewerkings neerskryf nie. Die rede hiervoor is dat hulle geneig is om in die proses so verward te raak dat hulle uiteindelik nie weet wat hulle besig is om te bereken nie.
SE
Berekeningstegnieke
Moenie die term “kanselleer” gebruik indien hulle gewone breuke in hulle eenvoudigste vorm skryf nie. Gebruik eerder die term “deel” of “deel deur gemene faktore”. Die term “kanselleer” kan tot ’n aantal wanbegrippe lei.
M PL
•
Los probleme op in kontekste wat gewone breuke en gemengde getalle behels, insluitend groepering, onderverdeling en die bepaling van breuke van telgetalle.
©Optimi
1
die volgende bewerkings met gewone breuke en gemengde getalle dek: ◦ optelling en aftrekking ◦ die bepaling van breuke van telgetalle ◦ vermenigvuldiging ◦ die deling van telgetalle deur breuke ◦ die deling van ’n breuk deur ’n breuk ◦ die bepaling van kwadrate en derdemagte ◦ die bepaling van vierkantswortels en derdemagswortels G08 – Wiskunde
Tema 13: Gewone breuke
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 probleme oplos waar jy: ◦ ’n breuk van ’n aantal mense of voorwerpe moet bepaal ◦ ’n aantal voorwerpe tussen mense moet verdeel volgens hulle bydraes ◦ breuke moet optel of aftrek ◦ met breuke moet vermenigvuldig of deur hulle moet deel
•
met persentasies werk, naamlik: ◦ persentasies van telgetalle ◦ ’n deel van ’n hele as ’n persentasie van die hele ◦ ’n persentasiestyging of -daling ◦ die berekening van hoeveelhede indien die persentasiestyging of-daling gegee word ◦ probleemoplossing met persentasies.
Indien ons breuke wil optel, moet hulle van dieselfde soort wees. Dit beteken dat hulle noemers gelyk moet wees.
Uitgewerkte voorbeeld 1: Tel breuke met dieselfde noemers op en trek hulle af
ekwivalente vorms van gewone breuke, desimale breuke en persentasies bepaal en daarmee werk.
1.
Bereken die volgende: a)
BEREKENINGE MET GEWONE BREUKE
b)
’n Gewone breuk is ’n deel van ’n hele en bestaan uit ’n teller en ’n noemer.
•
__ 35 + __15 __78 − __58
Oplossings
Teller – dit sê vir ons hoeveel van die gelyke dele waarin die geheel verdeel is, geneem word.
Indien die teller kleiner as die noemer is, word die breuk ’n egte breuk genoem. Indien die teller groter as die noemer is, word die breuk ’n onegte breuk genoem.
EK
•
3 8
SE
Noemer – die aantal gelyke dele waarin die geheel verdeel is.
Tel gewone breuke en gemengde getalle op en trek hulle af
M PL
•
1.1
’n Gemengde getal, m.a.w. ’n getal wat uit ’n telgetal en ’n breuk bestaan, kan as ’n onegte breuk geskryf word. Byvoorbeeld 1 __14 kan as __54 geskryf word. Onegte breuke vereenvoudig berekeninge met breuke.
AA
•
In die skets is die sirkel in agt gelyke dele verdeel, waarvan drie geskakeer is. Dus word die breuk deur die geskakeerde deel voorgestel .
R
•
2
a)
__ 35 + __ 15 1 = ____ 3 + 5 = __ 45
b)
__ 78 − __58 5 = ____ 7 − 8 = __ 28 = __ 14
Deel sowel die teller as die noemer deur 2
c)
Uitgewerkte voorbeeld 2: Tel breuke wat nie dieselfde noemers het nie op en trek hulle af
__ 56 − __14 2 ____ = ____ 56 × − 1 × 3 ×2 4×3 = __ 10 − __ 3 12 12 7 = __ 12
b)
AA = __ 13 + __ 17 4 8
× 2 __ = _____ 13 + 17 4×2 8
LET WEL
= __ 40 + __ 38 8
Indien jy bo die lyn en onder die lyn met dieselfde getal vermenigvuldig, vermenigvuldig jy eintlik met 1. Vermenigvuldiging met 1 verander nie ’n getal nie.
= 5 __38
b)
b)
Skryf gemengde getalle as onegte breuke
= __ 13 − __ 41 10 5
Die KGV van 6 en 4 is 12
×2 = _____ 13 − __ 41 10 5×2
Die KGV van 5 en 10 is 10
= __ 26 − __ 41 10 10 − 41 = ______ 26 10 15 = − __ 10
10 __ 5 = ___ −10 + 10 5 = − 1 __ 10
1 2 __35 − 4 __ 10
©Optimi
1 2 __35 − 4 __ 10
= (____ 2 ×5 5 + __ 53 ) − (__ 40 + __ 1 10 10 )
Bereken die volgende en laat jou antwoord in die eenvoudigste breukvorm: 3 __14 + 2 __18
Die KGV van 4 en 8 is 8
= __ 43 8
Uitgewerkte voorbeeld 3: Tel gemengde getalle op en trek hulle af a)
Elke hele het vier kwarte en elke hele het agt agtstes
= __ 26 + __ 17 8 8
Die KGV van 4 en 3 is 12
M PL
a)
__ 34 + __ 23 3 ____ = ____ 34 × + 2 × 4 ×3 3×4 9 8 = __ 12 + __ 12 17 = __ 12 = __ 12 + __ 5 12 12 5 = 1 __ 12
3 __14 + 2 __18
= (____ 3 ×4 4 + __ 41 ) + (____ 2 ×8 8 + __ 18 )
SE
Oplossings
KGV (kleinste gemene veelvoud) is die kleinste getal wat nie nul is nie waarin verskillende telgetalle kan deel sonder om ʼn res te laat.
EK
b)
__ 34 + __ 23 __ 56 − __ 14
a)
R
Oplossings
Bereken die volgende: a)
4 − (1 __13 + 1 __83 )
= − 1 __21 3
5 gaan een keer in 5 en twee keer in 10 in
G08 – Wiskunde
Tema 13: Gewone breuke
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 4 − (1 __13 + 1 __38 )
= 4 − (__ 34 + __ 11 8)
Oefening 68: Tel gewone breuke en gemengde getalle op en trek hulle af
Skryf gemengde getalle as onegte breuke
1.
Skryf gemengde getalle as onegte breuke
8 _____ ×3 = 4 − (____ 43 × + 11 ×8 8×3) = 4 − (__ 32 + __ 33 24 24 ) = 4 − __ 65 24 4 × 24 __ = _____ − 65 1 × 24 24 96 __ = __ 24 − 65 24 31 = __ 24 7 24 + __ = __ 24 24 7 = 1 __ 24
1.1 __25 + __ 35
Die KGV van 3 en 8 is 24
= __ 55 = 1
1.2 1 __25 + 2 __35
Skryf die telgetal as ’n onegte breuk
= __ 75 + __ 13 5
M PL
= __ 20 5 = 4
9 1.3 __ − __ 7 20 20 2 = __ 20
1 = __ 10
LET WEL
SE
Vermenigvuldig die telgetal met die noemer.
•
Tel dan die teller van die breuk by jou antwoord.
•
Skryf die antwoord bo die lyn.
•
Skryf die noemer onder die lyn.
= __ 16 − __ 14 5 5 = __ 25
1 − __ 1.5 __ 3 20 20
EK
•
2 is ’n gemene faktor; dit deel een keer in 2 in tien keer in 20 in
1.4 3 __15 − 2 __45
’n Kort metode om ’n gemengde getal as ’n onegte breuk te skryf, is:
Voorbeeld:
Bereken die volgende en laat die antwoorde in hulle eenvoudigste vorm:
R
4 − [ (____ = 1 ×3 3 + __ 13 ) + ( ____ 1 ×8 8 + __ 38 )]
AA
c)
2 = − __ 20
3 _34 = _ 3 × 44 + 3 = _ 12 4+ 3 = _ 15 4
1 = − __ 10
4
2 is ’n gemene faktor; dit deel een keer in 2 in en tien keer in 20 in
2.2 __38 − __ 56
7 41 + 4 ___ 1.6 3 ___ 100 100
3 ____ = ____ 38 × − 5 × 4 ×3 6×4
9 20 = __ 24 − __ 24
= ___ 748 100
= ___ 700 + ___ 48 100 100
AA
= 7 + __ 12 25
11 = − __ 24
2.3 __35 − __ 18
4 is ’n gemene faktor; dit deel twaalf keer in 48 en vyf-en-twintig keer in 100 in
8 ____ = ____ 35 × − 1 × 5 ×8 8×5
12 = 7 __ 25
= __ 43 − __ 38 = − __43
= − 1 __13
7 2.4 __ − __ 7 15 30
7×2 = _____ 15 − __ 7 × 2 30
2 is ’n gemene faktor; dit deel drie-en-dertig keer in 66
7 = __ 30
7 2.5 __ − __ 23 12 24
7×2 = _____ 12 − __ 23 × 2 24
3 ____ = ____ 34 × + 5 × 2 ×3 6×2 9 = __ 12 + __ 10 12
= __ 19 12
Die KGV van 12 en 24 is 24
= __ 14 − __ 23 24 24
Bereken die volgende en laat die antwoorde in hulle eenvoudigste vorm:
2.1 __34 + __ 56
Die KGV van 15 en 30 is 30
= __ 14 − __ 7 30 30
en vyftig keer in 100 in
EK
2.
= __ 19 40
M PL
1.8 1 __13 − 2 __23
Die KGV van 5 en 8 is 40
= __ 24 − __ 5 40 40
SE
7 41 − 4 ___ 1.7 3 ___ 100 100 = ___ 341 − ___ 407 100 100 66 = − ___ 100 = − __ 33 50
Die KGV van 8 en 6 is 24
R
= ___ 341 + ___ 407 100 100
9 = − __ 24
= − __38
Die KGV van 4 en 6 is 12
Deel sowel die teller as die noemer deur hulle gemene faktor 3
7 = 1 __ 12 ©Optimi
5
G08 – Wiskunde
Tema 13: Gewone breuke
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 8 2.6 __76 + __ 21 − __ 11 42
3.
3.1 4 __12 + 2 __23
Die KGV van 7, 21 en 42 is 42
= __ 92 + __ 83
= __ 36 + __ 16 − __ 11 42 42 42
R
6 _____ = ____ 67 × + 8 × 2 − __ 11 × 6 21 × 2 42
Bereken die volgende en laat die antwoorde in hulle eenvoudigste vorm:
3 ____ = ____ 92 × + 8 × 2 ×3 3×2
= __ 52 − __ 11 42 42
= __ 27 + __ 16 6 6
AA
= __ 41 52
Die KGV van 2 en 3 is 6
= __ 43 6
9 2.7 __45 − __ 34 − __ 10
4 ____ = ____ 45 × − 3 × 5 − _____ 9 × 2 × 4 4 × 5 10 × 2
= __ 16 − __ 15 − __ 18 20 20 20
= __ 42 + __ 61 6
Die KGV van 5, 4 en 10 is 20
= 7 __16
M PL
3.2 3 __34 − 2 __13
1 − __ = __ 20 18 20
= __ 15 − __ 37 4
× 3 ____ ×4 = _____ 15 − 37 × 4×3 4
= __ 45 − __ 28 12 12
Die KGV van 5, 35 en 7 is 35
= __ 17 12
= __ 12 + __ 5 12 12 5 = 1 __ 12
EK
8 2.8 __35 + __ 35 − __ 67 7 __ 6 × 5 = ____ 35 × + 8 − ____ × 7 35 7 × 5 = __ 21 + __ 8 − __ 30 35 35 35 = __ 29 − __ 30 35 35 1 = − __ 35
SE
17 = − __ 20
6
Die KGV van 4 en 3 is 12
3.6 3 __14 − ( __ 23 + __ 34 )
3.3 − 1 __25 + 4 __23
2 × 4 ____ = __ 13 −( ____ + 3 × 3 4 3 × 4 4 × 3)
= − __75 + __ 14 3
9 8 = __ 13 − (__ 12 + __ 12 ) 4
Die KGV van 5 en 3 is 15
×3 = _____ 13 −( __ 17 4×3 12 )
21 + __ = − __ 70 15 15
= __ 39 − __ 17 12 12
AA
= __ 49 15
= __ 45 + __ 4 15 15
= __ 22 12
4 = 3 __ 15
= __ 11 6
×2 = __ 33 − _____ 23 10 5×2
= __ 33 − __ 46 10 10
24 ___ = _____ 61 × − 131 × 24 24
= ___ 144 − ___ 131 24 24 = __ 13 24
Die KGV van 8, 3 en 12 is 24
EK
× 3 ____ 8 _____ = _____ 29 + 43 × − 29 × 2 8×3 × 8 12 × 2
= __ 48 + __ 13 24 24
× 8 _____ ×3 = 6 − ( _____ 10 + 17 3×8 8×3)
SE
5 3.5 3 __58 + 1 __13 − 2 __ 12
= __ 61 24
= 6 − (__ 10 + __ 17 3 8)
Die KGV van 10 en 5 is 10
= 6 − (__ 80 + __ 51 24 24 )
13 3 = − __ = − 1 __ 10 10
= ___ 119 − __ 58 24 24
M PL
3.7 6 − ( 3 __13 + 2 __81 )
= __ 33 − __ 23 10 5
= __ 87 + __ 32 − __ 58 24 24 24
Deel 22 en 12 deur hulle gemene faktor 2
= 1 __56
3 3.4 3 __ − 4 __35 10
= __ 29 + __ 34 − __ 29 8 12
R
7 × 3 _____ ×5 = − ____ + 14 5×3 3×5
Die KGV van 3 en 4 is 12
13 = 2 __ 24
©Optimi
7
G08 – Wiskunde
Tema 13: Gewone breuke
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 3.8 7 − ( 1 __56 − 2 __23 )
3.10 2 __18 − ( 7 __12 − 2 __13 ) = __ 17 −( __ 15 − __ 37 ) 8 2
= 7 − ( __ 11 − __ 83 ) 6
= __ 17 − (__ 45 − __ 14 8 6 6)
= 7 − ( __ 11 − __ 16 6 6) = 7 − (− __56 )
AA
= __ 17 − __ 31 8 6
= 7 + __ 65
× 3 _____ ×4 = _____ 17 − 31 8×3 6×4
7 __56 =
M PL
= __ 86 − __ 15 24 24 = __ 71 24 = __ 48 + __ 23 24 24 23 = 2 __ 24
72 __ = − ( __ + 1 24 24 ) 1 = − 3 __ 24
1.2
Bepaal breuke van telgetalle
Ons sê gewoonlik “ ’n breuk van ’n telgetal”. Indien ons so ’n berekening doen, beteken “van” dat ons die breuk met die telgetal vermenigvuldig.
SE
× 2 ____ = _____ 43 − 5 × 3 12 × 2 8 × 3
73 = − __ 24
Uitgewerkte voorbeeld 4: Bepaal ’n breuk van ’n telgetal Bereken die volgende sonder om ’n sakrekenaar te gebruik. Laat jou antwoorde in hulle eenvoudigste vorm.
EK
= __ 43 + − __5 12 ( 8 )
Die KGV van 8 en 6 is 24
= __ 51 − ___ 124 24 24
7 3.9 3 __ + 1 __3 − 2) 12 ( 8
= __ 43 + __ 11 − __ 16 12 ( 8 8)
R
× 3 ____ 2 = __ 17 − (_____ 15 − 73 × 8 2×3 × 2)
2 = 7 − ( __ 11 − ____ 83 × × 2) 6
a) b)
8
__ 34 van 20 5 __ 12 van 20
Oplossings
1.3
a)
b)
a)
4 deel drie keer in 12 in en vyf keer in 20 in
b)
3 deel een keer in 3 in en 2 deel twee keer in 4 in
9 5 __ − × __ × __7 12 14 9
9 deel een keer in 9 in en 7 deel twee keer in 14 in
5 = − __ 24
Vermenigvuldig gewone breuke en gemengde getalle met mekaar
Uitgewerkte voorbeeld 6: Vermenigvuldig gewone breuke en gemengde getalle met mekaar Bereken die volgende sonder om ’n sakrekenaar te gebruik. Laat die antwoorde in hulle eenvoudigste vorm.
Verander die gemengde getalle in onegte breuke. Skryf hierdie breuke in hulle eenvoudigste vorm deur die tellers en noemers deur die faktore wat hulle in gemeen het, te deel. Vermenigvuldig die tellers met mekaar en die noemers met mekaar.
©Optimi
__23 × __ 34 1 = ____ 11 × ×2 = __ 12
5×1×1 = − _______ 12 × 2 × 1
EK
•
__ 23 × __34 9 5 − __ × __ × __7 12 14 9
Oplossings
Skryf die telgetal as ’n breuk oor 1
Wanneer ons gewone breuke en gemengde getalle met mekaar vermenigvuldig, doen ons die volgende: • •
R
4 deel vyf keer in 20 in en een keer in 4 in
AA
5 __ 12 van 20 5 = __ 12 × __ 20 1 5 5 = __ 12 × __ 20 1 3 5×5 ____ = 3 × 1 = __ 25 3 = __ 24 + __ 13 3 = 8 __13
Bereken die volgende sonder om ’n sakrekenaar te gebruik. Laat die antwoorde in hulle eenvoudigste vorm.
Skryf die telgetal as ’n breuk oor 1
M PL
b)
Uitgewerkte voorbeeld 5: Vermenigvuldig gewone breuke met mekaar
SE
a)
__ 34 van 20 = __ 34 × __ 20 1 5 = __ 34 × __ 20 1 1 3×5 ____ = 1 × 1 = 15
a) b)
9
1 __37 × 5 __35
__ 34 × 1 __59 × 2 __58
G08 – Wiskunde
Tema 13: Gewone breuke
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 5 1.2 − __ van 2 8 12
Oplossings 1 __37 × 5 __35
= − __53 × __ 71
= __ 10 × __ 28 7 5
4 = ____ 21 × ×1
35 = − __ 3
= − 11 __32
7 deel vier keer in 28 in en 5 deel twee keer in 10 in
= 8 __ 34 × 1 __59 × 2 __58 1
7
2
3 1
AA
b)
1.3 __45 van 30 = __ 41 × __ 61
7
= __ 34 × __ 14 × __ 21 9 8 = __ 49 16
= __ 48 + __ 1 16 16 1 = 3 __ 16
= 24
1.4 __56 van 27
M PL
7×7 = _______ 12 × ×1×8
= __ 52 × __ 91 = __ 45 2
= 22 __12
1.5 __35 van 100
Oefening 69: Vermenigvuldig telgetalle met breuke en breuke met breuke
SE
= __ 31 × __ 20 1
Jy mag nie ’n sakrekenaar in hierdie oefening gebruik nie. Laat jou antwoorde in hulle eenvoudigste vorm. Bereken:
1.1 __83 van 24
= __ 38 × __ 24 1 = __ 13 × __ 31 = 9
= 60 7 1.6 __ van 30 12
= __ 72 × __ 51
EK
1.
R
a)
= __ 35 2
= 17 __12
10
8 2.2 __34 × __ 15
1.7 1 __12 van 12 = __ 32 × __ 12 1
= __ 25
= 3 × __ 61
= 18
AA
9 2.3 − __59 × __ 20
4 1.8 __37 van 3 __ 15
= − __11 × __ 14
= __ 37 × __ 49 15
= − __41
= __ 11 × __ 75
= __ 15 × __ 32 8 9 = __ 15 × __ 43 = __ 20 3
6 __32 = 2.
Bereken:
2.1 __12 × __ 21 1 = ____ 12 × ×2 = __ 41
M PL
15 32 = − __ × (− __ 8 9)
= __ 11 × __ 15 = __ 15
2.5 − __14 × __ 14 × ___ −14
= − __41 × __ 14 × ___ −14
1 = __ 64
2.6 (− __14 ) × (− __31 ) × (− __52 )
SE
1.9 − 1 __87 van (− 3 __59 )
8 2.4 __38 × __ 15
− 1 × (− 1)× (−2)
____________ = 4×3×5
= ___ −602 = ___ −301
EK
= 1__25
R
= __ 11 × __ 25
2.7 __23 × (___ −43 ) × (− __67 ) 2 × (− 3)× (−6)
___________ = 3×4×7
= __ 36 84
= __ 37 ©Optimi
11
Deel deur die gemene faktor van 36 en 84, wat 12 is G08 – Wiskunde
Tema 13: Gewone breuke
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 − __25 × (− 4 __16 ) × (− 5 __17 ) 3.4
Jy kan ook die onderskeie tellers en noemers deur hulle gemene faktore deel. Die antwoord sal dan outomaties in die eenvoudigste vorm wees:
25 36 = (− __52 ) × (− __ × − __ 6) ( 7)
__ 32 × (___ −43 ) × (− __67 )
= __ 11 × (___ −21 ) × (− __76 )
= − __15 × __ 12 7
= 1 × ( ___ −11 ) × (− __37 )
AA
60 = − __ 7
= __ 37
= − (__ 56 + __ 74 ) 7
= − 8 __74
7 2.8 __ × __ 45 × __ 7 15 49 18
1 = __ 11 × __ 31 × __ 18
3.1 − 1 __45 × 1 __19
= − __95 × __ 10 9 = − 2
3.2 1 __13 × 1 __12 = __ 43 × __ 32
= 2 3.3 1 __17 × 6 __18
= __ 87 × __ 49 8 = __ 11 × __ 71 = 7
M PL
Bereken:
= __ 16 × __ 34 × __ 42 7 9 17
= __ 16 × __ 21 × __ 61 9 = __ 16 × __ 21 × __ 21 3 ×2×2 = _______ 16 3×1×1
= __ 64 3
= __ 63 + __ 31 3
SE
3.
8 3.5 1 __79 × 4 __67 × 2 __ 17
= 21 __13
EK
= __ 16
R
= − __11 × __ 53 × __ 36 7
12
5 3.6 5 __12 × 2 __ × 1 __37 22
1 . Die omgekeerde van byvoorbeeld telgetal Die omgekeerde van ’n telgetal is bloot ______
3 is __ 13 , want 3 × __ 31 = 1.
= __ 11 × __ 49 × __ 10 7 2 22 = __ 12 × __ 72 × __ 10 1
• • •
= __ 12 × __ 71 × __ 51 = __ 35 2
Uitgewerkte voorbeeld 7: Deel telgetalle deur breuke en breuke deur telgetalle
= 17 __12
Bereken die volgende sonder ’n sakrekenaar en laat jou antwoorde, indien nodig, in hulle eenvoudigste vorm:
Deel telgetalle deur breuke en breuke deur breuke
M PL
1.4
Wanneer ons ’n telgetal deur ’n breuk deel, vermenigvuldig ons die getal met die omgekeerde van die breuk (die vermenigvuldigingsinverse). Die omgekeerde van
a)
b)
byvoorbeeld __32 is __32 , want __23 × __ 32 = 1. Dus is die breuk vermenigvuldig met die omgekeerde daarvan altyd gelyk aan 1.
a)
SE
Gestel Mary het tien pizzas en sy wil weet hoeveel van haar maats kan __ 23 van ’n
©Optimi
3 ÷ __ 34
= 3 × __ 43
3
Vermenigvuldig 3 met die omgekeerde van __ 4
= 4
Sy gaan eers 10 met 3 vermenigvuldig om te bepaal hoeveel derdes daar in tien is. Die antwoord is 10 × 3 = 30. Volgende gaan sy 30 deur 2 deel om te bepaal hoeveel groepe van 2 daar in die 30 derdes is. Die antwoord is 15. Dus kan 15 van haar maats elkeen twee derdes van ’n pizza kry. Sy sal dieselfde antwoord kry indien sy die volgende in een stap doen: 10 × __32 = 15
b)
EK
• •
__ 13 ÷ 4
= ____ 3 ×3 4
pizza kry. (Sy weet nie dat sy met die omgekeerde van __ 32 kan vermenigvuldig nie.)
•
3 ÷ __34
Oplossings
Die rede waarom ons met die omgekeerde van ’n breuk vermenigvuldig indien ons deur ’n breuk deel, kan soos volg verduidelik word:
•
Verander die gemengde getal in ’n onegte breuk. Verander die onegte breuk in die omgekeerde daarvan. Vermenigvuldig die getal wat jy wil deel met hierdie omgekeerde.
AA
7×5 = _______ 12 × ×1×1
R
Indien ons deur gemengde getalle deel, doen ons die volgende:
13
__ 13 ÷ 4 = __ 13 × __ 14 1 = ____ 13 × ×4 1 = __ 12
1
Vermenigvuldig __ 3 met die omgekeerde van 4
G08 – Wiskunde
Tema 13: Gewone breuke
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 c)
Uitgewerkte voorbeeld 8: Deel breuke deur breuke
= __ 72 ÷ __ 57
c)
5 = ____ 12 × ×1
6 __ 35 ÷ __ 35 7 1 __ 25 ÷ 2 __ 10 3 __12 ÷ 1 __25
= __ 52
= 2 __12
Oplossings
M PL
7 1 __ 25 ÷ 2 __ 10 7 = __ 25 ÷ __ 21 10 7 = __ 25 × __ 10 21 = __ 51 × __ 23 2 = ____ 15 × ×3 2 = __ 15
Skryf die antwoord in die eenvoudigste vorm
Jy mag nie ’n sakrekenaar in hierdie oefening gebruik nie. Laat jou antwoorde in hulle eenvoudigste vorm.
Vermenigvuldig met die omgekeerde van die breuk
3 deel een keer in 3 en twee keer in 6 in; 5 deel sewe keer in 35 in
1.
Bereken:
1.1 3 ÷ __ 14
= __ 31 × __ 14 = 12
1.2 9 ÷ __ 34
SE
b)
7 deel een keer in 7 in
Oefening 70: Deel telgetalle deur breuke, en breuke deur breuke
Herlei die gemengde getal tot ’n onegte breuk
= __ 91 × __ 34
Vermenigvuldig met die omgekeerde van die breuk
= __ 31 × __ 14
7 deel drie keer in 21 in; 5 deel vyf keer in 25 twee keer in 10 in
= 12
EK
a)
6 __ 35 ÷ __ 35 = __ 35 × __ 35 6 = __ 11 × __ 72 = __72 = 3 __12
Vermenigvuldig met die omgekeerde van die tweede breuk
AA
b)
Herlei die gemengde getalle tot onegte breuke
R
= __ 72 × __ 57
Bereken die volgende sonder ’n sakrekenaar en laat, indien nodig, jou antwoorde in hulle eenvoudigste vorm: a)
3 __12 ÷ 1 __25
1.3 8 ÷ 2 __23
= 8 ÷ __ 83
= 8 × __ 38 = 3 14
1.4 18 ÷ 1 __35
1.7
9__38 ÷ 25
= __ 18 ÷ __ 85 1
= __ 75 ÷ __ 25 8 1
= __ 91 × __ 54
= __ 38 × __ 11
1 = __ 75 × __ 25 8
AA
5 = ____ 91 × ×4
= __ 38
= __ 45 4
1.8
11 __14 =
= __ 21 × __ 14 = 8
1.6 4 __25 ÷ 11
= __ 22 ÷ __ 11 1 5
1 = __ 22 × __ 11 5
= __ 25 × __ 11 = __ 25
©Optimi
M PL
= __ 10 × __ 54 1
1 = __ 45 × __ 35 8
= __ 98 × __ 17 1 = ____ 98 × ×7 9 = __ 56
1.9
12__14 ÷ 49
= __ 49 ÷ __ 49 4 1
SE
= 10 ÷ __ 54
5__58 ÷ 35
= __ 45 ÷ __ 35 8 1
1 = __ 49 × __ 49 4
= __ 14 × __ 11 = __ 14
EK
1.5 10 ÷ 1 __41
R
= __ 18 × __ 58 1
15
G08 – Wiskunde
Tema 13: Gewone breuke
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 1.10 27 ÷ 1 __45
7 2.4 __49 ÷ __ 18
= __ 27 × __ 59 1
= __ 41 × __ 27
= __ 27 ÷ __ 95 1
2 = ____ 41 × ×7
= __ 31 × __ 51
= __ 87
2.
AA
= 15
= 1 __17
Bereken:
7 2.1 __52 ÷ __ 10
= __ 11 × __ 21 = 2 9 2.3 __35 ÷ __ 10
= __ 35 × __ 10 9 = __ 11 × __ 23 = __ 32
M PL
= __ 58 × __ 16 5
= __ 23 × __ 94 × __ 85 = __ 21 × __ 31 × __ 25 3×2 = _______ 21 × ×1×5
= __ 12 5
= 2 __25
7 2.6 __ × __ 8 ÷ __ 14 16 9 27
SE
5 2.2 __85 ÷ __ 16
2.5 __23 ÷ __ 49 ÷ __ 58
7 = __ 16 × __ 89 × __ 27 14
= __ 12 × __ 11 × __ 32 1×3 = _______ 12 × ×1×2
= __ 34
EK
= __ 25 × __ 10 7 = __ 12 × __ 27 2 = ____ 21 × ×7 = __ 47
R
= __ 49 × __ 18 7
16