Senior Fase Graad 8 • Fasiliteerdersgids 1/2
Wiskunde KABV
Fasiliteerdersgids 1/2
2608-A-MAM-FG01
EK
SE
M
PL
AA
R
Wiskunde
om voorafkennis te toets. • Hersieningsoefeninge verduidelikings van begrippe en tegnieke. • Deeglike voorbeelde help leerders om nuwe begrippe beter • Uitgewerkte te verstaan. oefeninge om teorie vas te lê en wiskundige • Gemengde vaardighede te oefen. Oefenvraestelle en memorandums vir eksamenvoorbereiding. • Formuleblaaie en aanvaarde meetkundige redes vir • vinnige verwysing. van wiskundige terme. • Indeks fasiliteerdersgids bevat stap-vir-stap-bewerkings • Die en antwoorde. • Gebruik in die klaskamer of tuis.
8 2608-A-MAM-FG01_Cover.indd 1
25/9/2025 11:58:16
R AA
PL
Besit en gepubliseer deur Optimi, deel van Optimi Central Services (Edms) Bpk. Impalalaan 7, Doringkloof, Centurion, 0157 info@optimi.co.za www.optimi.co.za
M
© Optimi
SE
Afgesien van enige billike gebruik vir die doel van navorsing, kritiek of resensie soos toegelaat onder die Wet op Outeursreg, mag geen gedeelte van hierdie boek in enige vorm of op enige manier elektronies of meganies, insluitend fotokopiëring, bandopname, of enige inligtingstoring-en-herwinningstelsel, gereproduseer of versend word sonder die uitgewer se skriftelike toestemming nie.
EK
Die uitgewer dra geen verantwoordelikheid vir die voortbestaan of akkuraatheid van URL’e van eksterne webwerwe of webwerwe van derde partye waarna daar in hierdie publikasie verwys word nie, en waarborg nie dat enige inhoud op sulke webwerwe akkuraat of toepaslik is, of sal bly nie. Daar is gevalle waar ons nie die kopiereghouer kon kontak of opspoor nie. Die uitgewer is bereid om enige foute of weglatings so gou as moontlik reg te stel indien die saak onder ons aandag gebring word.
Reg. No.: 2006/002404/07 ISBN: 9781779841728
2608-A-MAM-FG01_Cover.indd 2
25/9/2025 11:58:16
4.5
INHOUDSOPGAWE
Kleinste gemene veelvoud............................................................................13 Oefening 3: Priemgetalle, veelvoude en faktore...........................................14 Probleemoplossing met koers ...................................................................15
R
5.
Oefening 4: Probleemoplossing met koers ..................................................17
VOORWOORD...............................................................................................ix
6.
Probleemoplossing met verhouding..........................................................18
6.1
Verhouding...................................................................................................18
6.2
Skryf verhoudings in hulle eenvoudigste vorm............................................18
6.3
Bepaal ’n onbekende hoeveelheid in ’n verhouding.....................................19
1.
Eienskappe van telgetalle.............................................................................2
1.1
Die kommutatiewe eienskap ..........................................................................2
AA
TEMA 1: TELGETALLE....................................................................................... 1
1.2
Die assosiatiewe eienskap ..............................................................................3
6.4
Verdeel ’n hoeveelheid in ’n gegewe verhouding.........................................20
1.3
Die distributiewe eienskap van vermenigvuldiging ......................................... oor optelling en aftrekking.............................................................................3
6.5
Bepaal die volledige hoeveelheid wanneer ’n deel .......................................... van ’n verhouding gegee word......................................................................21
2.
Identiteite en inverses...................................................................................4
6.6
Vermeerder of verminder ’n getal in ’n gegewe verhouding........................21
2.1
Identiteite........................................................................................................4
2.2
Deling deur nul...............................................................................................4
2.3
Inverses...........................................................................................................5
Leervereistes volgens die KABV............................................................................1 Inleiding...................................................................................................................2
M PL
Oefening 5: Verhouding................................................................................19
Oefening 6: Probleemoplossing met verhouding..........................................23
SE
Oefening 1: Eienskappe van telgetalle, identiteite en inverses ......................5 3.
Berekeningstegnieke.....................................................................................6
3.1
BODMAS-reël................................................................................................7
3.2
Afronding........................................................................................................8
EK
Priemgetalle, veelvoude en faktore ..........................................................10
4.1
Veelvoude en faktore....................................................................................10
4.2
Deelbaarheidsreëls........................................................................................10
4.3
Priemfaktorisering........................................................................................11
4.4
Grootste gemene deler..................................................................................12
©Optimi
finansies: wins, verlies, afslag en BTW.....................................................24
7.1
Wins en verlies ............................................................................................24
7.2
Afslag ...........................................................................................................25
7.3
BTW.............................................................................................................25 Oefening 7: Wins, verlies, afslag en BTW...................................................26
Oefening 2: Berekeningstegnieke...................................................................9 4.
7.
8.
finansies: wisselkoers, rente en huurkoop................................................27
8.1
Wisselkoers...................................................................................................27
8.2
Rente.............................................................................................................28
8.3
Huurkoop......................................................................................................29 Oefening 8: Wisselkoers, rente en huurkoop................................................29
Selfevaluering........................................................................................................30 Opsomming van tema...........................................................................................31 Oefening om die tema af te sluit..........................................................................33 iii
G08– Wiskunde
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2 TEMA 3: EKSPONENTE..................................................................................59
Leervereistes volgens die KABV..........................................................................37
Leervereistes volgens die KABV..........................................................................59
Inleiding.................................................................................................................37
Inleiding.................................................................................................................60
1.
Heelgetalle...................................................................................................38
1.
Hoofrekene..................................................................................................60
1.1
Tel, orden en vergelyk heelgetalle................................................................38
1.1
Kwadrate en vierkantswortels.......................................................................60
1.2
Tel heelgetalle op..........................................................................................39
1.3
Trek heelgetalle af........................................................................................40
Oefening 16: Bepaal kwadrate en vierkantswortels......................................61
AA
Oefening 9: Tel, orden en vergelyk heelgetalle............................................39
R
TEMA 2: HEELGETALLE..................................................................................37
1.2
Derdemagte en derdemagswortels................................................................63 Oefening 17: Derdemagte en derdemagswortels..........................................64
2.
Oefening 10: Tel heelgetalle op en trek hulle af...........................................41
Eksponensiële vorm....................................................................................65
2.
Vermenigvuldiging en deling van heelgetalle...........................................42
2.1
Vermenigvuldig ’n positiewe heelgetal met ’n negatiewe heelgetal.............42
2.2
Vermenigvuldig ’n negatiewe heelgetal met ’n negatiewe heelgetal............43
2.3
Deel heelgetalle............................................................................................43
Oefening 19: Skryf getalle in eksponensiële en uitgebreide vorm...............69
Oefening 11: Vermenigvuldig en deel heelgetalle........................................44
Oefening 20: Pas die derde en vierde eksponentwet toe..............................71
3.
Eksponentwette...........................................................................................67
3.1
Toepassing van eksponentwette....................................................................67
M PL
4.
Eienskappe van heelgetalle .......................................................................45
3.2
Oefening 21: Berekeninge deur eksponentwette te gebruik.........................73
Oefening 13: Eienskappe van heelgetalle.....................................................47
Oefening 22: Pas die eksponentwette toe.....................................................76
Berekeninge met al vier bewerkings .........................................................47
4.
Oefening 14: Berekeninge met al vier bewerkings.......................................50 5.
Berekeninge deur eksponentwette te gebruik...............................................72
Oefening 12: Eienskappe van heelgetalle.....................................................46
SE
3.
Oefening 18: Skryf getalle in eksponensiële en uitgebreide vorm...............66
Berekeninge met vierkantswortels en derdemagswortels van heelgetalle.............................................................................................79 Oefening 23: Vierkantswortels en derdemagswortels van heelgetalle met al vier bewerkings.........................................................80
Probleemoplossing met heelgetalle............................................................51 Oefening 15: Probleme met heelgetalle........................................................52
5.
EK
Selfevaluering........................................................................................................55 Opsomming van tema...........................................................................................55
Kwadrate, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels van rasionale getalle...........................................................................................82 Oefening 24: Kwadrate, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels van gewone breuke en desimale breuke..........................83
Oefening om die tema af te sluit..........................................................................56 6.
Probleemoplossing met getalle in eksponensiële vorm............................85 Oefening 25: Los probleme met getalle in eksponensiële vorm op..............86
iv
Wetenskaplike notasie................................................................................88
TEMA 6: ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS.................................................... 126
Oefening 26: Skryf getalle in wetenskaplike notasie en omgekeerd............89
Leervereistes volgens die KABV........................................................................126
Selfevaluering........................................................................................................91
Inleiding...............................................................................................................126
Opsomming van tema...........................................................................................91
1.
Oefening om die tema af te sluit..........................................................................92
Oefening 32: Algebraïese uitdrukkings......................................................129
Inleiding.................................................................................................................98 Ondersoek en BREI getalpatrone UIT.....................................................98
Ekwivalente algebraïese uitdrukkings....................................................131
4.
Vereenvoudig algebraïese uitdrukkings..................................................133
M PL
Selfevaluering......................................................................................................136
Ondersoek en BREI meetkundige patrone UIT....................................101
Opsomming van tema.........................................................................................137
Oefening 28: Ondersoek en brei meetkundige patrone uit.........................102
Oefening om die tema af te sluit........................................................................137
Bepaal die reël wat die waarde van ’n term met die posisie daarvan in die getalpatroon in verband bring...........................................................104
TEMA 7: ALGEBRAÏESE VERGELYKINGS.................................................... 139
Oefening 29: Bepaal die reël wat die waarde van ’n term met die posisie daarvan in die getalpatroon in verband bring.................................108
Leervereistes volgens die KABV........................................................................139 Inleiding...............................................................................................................139
SE
Selfevaluering......................................................................................................113 Opsomming van tema.........................................................................................113 Oefening om die tema af te sluit........................................................................113
1.
Wat is ’n vergelyking?..............................................................................139
2.
Los vergelykings deur middel van inspeksie op...............................................................................................140 Oefening 34: Los vergelykings deur middel van inspeksie op...................142
TEMA 5: FUNKSIES EN VERWANTSKAPPE..................................................118
3.
EK
Leervereistes volgens die KABV........................................................................118
Druk ’n situasie in wiskundige taal uit...................................................146 Oefening 35: Druk ’n situasie in wiskundige taal uit.................................146
Inleiding...............................................................................................................118 1.
3.
Oefening 33: Vereenvoudig algebraïese uitdrukkings................................135
Oefening 27: Ondersoek en brei getalpatrone uit.......................................100
3.
Algebraïese taal.........................................................................................128
AA
2.
Leervereistes volgens die KABV..........................................................................98
2.
Algebraïese taal.........................................................................................127 Oefening 31: Algebraïese taal....................................................................127
TEMA 4: NUMERIESE EN MEETKUNDIGE PATRONE................................... 98
1.
R
7.
Selfevaluering......................................................................................................147
Inset- en uitsetwaardes.............................................................................118
Opsomming van tema.........................................................................................148
Oefening 30: Inset- en uitsetwaardes..........................................................121
Oefening om die tema af te sluit........................................................................148
Selfevaluering......................................................................................................124 Opsomming van tema.........................................................................................124 Oefening om die tema af te sluit........................................................................124 ©Optimi
v
G08– Wiskunde
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2 10.2 Vierkantswortels en derdemagswortels......................................................177
Leervereistes volgens die KABV........................................................................152
Oefening 46: Vierkantswortels en derdemagswortels................................178
Inleiding...............................................................................................................153
Selfevaluering......................................................................................................180
1.
Algebraïese taal.........................................................................................153
Opsomming van tema.........................................................................................181
Oefening 36: Algebraïese taal....................................................................154
Oefening om die tema af te sluit........................................................................181
Vereenvoudig algebraïese uitdrukkings deur gelyksoortige terme op te tel en af te trek.....................................................................154
TEMA 9: ALGEBRAÏESE VERGELYKINGS 2.................................................184
AA
2.
R
TEMA 8: ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS 2................................................. 152
Leervereistes volgens die KABV........................................................................184
Oefening 37: Tel gelyksoortige terme op en trek hulle af..........................155 3.
Inleiding...............................................................................................................184
Tel algebraïese uitdrukkings op en trek hulle af....................................156
1.
Oefening 38: Tel algebraïese uitdrukkings op en trek hulle af...................157
Oefening 47: Los vergelykings deur middel van inspeksie op...................185
Eksponentwette.........................................................................................160
2.
Oefening 39: Eksponentwette.....................................................................163 5.
Vermenigvuldig algebraïese terme..........................................................163
Oefening 48: Los vergelykings met behulp van optellings- en vermenigvuldigingsinverses op..................................................................189
Oefening 40: Vermenigvuldig algebraïese terme.......................................164 6.
Vermenigvuldig algebraïese uitdrukkings..............................................164
3.
Oefening 41: Vermenigvuldig algebraïese uitdrukkings............................165 7.
4.
SE
Selfevaluering......................................................................................................203 Opsomming van tema.........................................................................................203
Vereenvoudig algebraïese uitdrukkings deur middel van veelvuldige bewerkings.............................................................................172
EK
Oefening om die tema af te sluit........................................................................203 TEMA 10: KONSTRUKSIES.......................................................................... 208
Oefening 44: Vereenvoudig algebraïese uitdrukkings deur middel van veelvuldige bewerkings............................................................172 10.
Gebruik vergelykings om probleme op te los.........................................197 Oefening 50: Gebruik vergelykings om probleme op te los.......................199
Deel algebraïese uitdrukkings.................................................................168 Oefening 43: Deel algebraïese uitdrukkings...............................................170
9.
Los vergelykings met behulp van eksponentwette op............................194 Oefening 49: Los vergelykings met behulp van eksponentwette op...........195
Deel algebraïese terme..............................................................................167 Oefening 42: Deel algebraïese terme..........................................................168
8.
Los vergelykings met behulp van optellings- en vermenigvuldigingsinverses op................................................................186
M PL
4.
Los vergelykings deur middel van inspeksie op.....................................184
Leervereistes volgens die KABV........................................................................208
Kwadrate, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels..........176
Inleiding...............................................................................................................209
10.1 Kwadrate en derdemagte............................................................................176
1.
Oefening 45: Kwadrate en derdemagte......................................................176
Hersiening van graad 7-meetkunde........................................................209 Oefening 51: Meet, konstrueer en klassifiseer hoeke.................................211
vi
Konstruksie van loodregte lyne...............................................................212
3.
Vierhoeke...................................................................................................263
3.
Konstruksie van hoeke sonder om ’n gradeboog te gebruik................215
3.1
Definisies van vierhoeke.............................................................................263
Oefening 52: Konstruksie van loodregte lyne en hoeke sonder om ’n gradeboog te gebruik............................................................218
3.2
Los probleme op deur die eienskappe van vierhoeke te gebruik................264
Driehoeke ..................................................................................................222
4.1
Konstruksie van driehoeke ......................................................................222
4.2
Eienskappe van driehoeke wat uit die konstruksie van driehoeke afgelei is..............................................................................226
Oefening 58: Los probleme op deur die eienskappe van verskeie vierhoeke te gebruik.....................................................................266 3.3
Oefening 59: Gebruik die eienskappe van driehoeke en vierhoeke om onbekende waardes te bepaal...............................................................269
Oefening 53: Konstrueer driehoeke en lei hul eienskappe af.....................226
4.
Konstruksie van vierhoeke en die AFLEIDING VAN SEKERE eienskappe van vierhoeke.........................................................................230
Kongruensie..............................................................................................273 Oefening 60: Kongruensie..........................................................................276
M PL
5.
Los probleme op deur die eienskappe van vierhoeke en driehoeke te gebruik...................................................................................268
AA
4.
R
2.
5.
Oefening 54: Konstrueer vierhoeke en lei hul eienskappe af.....................234
Gelykvormigheid.......................................................................................279
Selfevaluering......................................................................................................241
Oefening 61: Gelykvormigheid in veelhoeke.............................................281
Opsomming van tema.........................................................................................242
Selfevaluering......................................................................................................287
Oefening om die tema af te sluit........................................................................243
Opsomming van tema.........................................................................................288 Oefening om die tema af te sluit........................................................................288 TEMA 12: MEETKUNDE VAN REGUITLYNE..................................................296
Inleiding...............................................................................................................251
Leervereistes volgens die KABV........................................................................296
1.
Driehoeke ..................................................................................................251
Inleiding...............................................................................................................296
1.1.
Klassifikasie van driehoeke op grond van hulle sye...................................251
1.
Hoeke rondom ’n punt ............................................................................297
1.2
Klassifikasie van driehoeke op grond van hulle hoeke..............................252
2.
Basiese hoekverwantskappe.....................................................................298
2.1
Komplementêre en supplementêre hoeke...................................................298
SE
Leervereistes volgens die KABV........................................................................250
EK
TEMA 11: MEETKUNDE VAN 2D VORMS.................................................... 250
Oefening 55: Klassifiseer driehoeke op grond van hulle sye en hoeke......252 2.
Eienskappe van driehoeke.......................................................................253
Oefening 62: Komplementêre en supplementêre hoeke.............................299
Oefening 56: Gebruik die eienskappe van die buite- en binnehoeke van ’n driehoek.........................................................254
2.2
Oefening 57: Bepaal onbekende hoeke deur die eienskappe van driehoeke te gebruik.............................................................................258
2.3
©Optimi
Hoeke rondom ’n punt en op reguitlyne.....................................................300 Oefening 63: Hoeke rondom ’n punt en hoeke op ’n reguitlyn..................302
vii
Loodregte lyne............................................................................................306
G08– Wiskunde
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2 2.4
Regoorstaande hoeke..................................................................................306
3.
Ewewydige lyne.........................................................................................311
3.1
Ooreenkomstige hoeke...............................................................................312
R
Oefening 64: Loodregte lyne, regoorstaande hoeke en aangrensende hoeke op ’n reguitlyn...........................................................307
Oefening 65: Ooreenkomstige hoeke..........................................................314 Verwisselende hoeke..................................................................................317
AA
3.2
Oefening 66: Verwisselende hoeke............................................................319 3.3
Ko-binnehoeke............................................................................................323 Oefening 67: Ko-binnehoeke......................................................................325
M PL
Oefening 68: Gemengde oefening..............................................................330 Selfevaluering......................................................................................................334 Opsomming van tema.........................................................................................335 Oefening om die tema af te sluit........................................................................336
JUNIE: VRAESTEL EN MEMORANDUM 1 (A).............................................. 342 JUNIE: VRAESTEL EN MEMORANDUM 1 (B).............................................. 345
SE
JUNIE: VRAESTEL EN MEMORANDUM 2 (A)............................................. 348 JUNIE: VRAESTEL EN MEMORANDUM 2 (B)............................................. 354 FORMULES.................................................................................................. 360 EUKLIDIESE MEETKUNDE: AANVAARDE REDES........................................362
EK
INDEKS........................................................................................................ 364
viii
Graad 8 is die tweede jaar van die Algemene Onderwys en Opleiding (AOO)fase, waarin Wiskunde steeds ’n verpligte vak is. Dit is egter die eerste jaar van hoërskool, en baie leerders vind die oorgang van laerskool na hoërskool uitdagend. Dit is belangrik om te onthou dat graad 8-werk voortbou op graad 7 (en vroeër grade) se werk, eerder as dat dit beskou moet word as heeltemal nuwe werk omdat dit nou hoërskool is. Verder moet in gedagte gehou word dat leerders vanaf graad 10 ’n keuse moet uitoefen tussen Wiskunde en Wiskundige Geletterdheid. Leerders kies soms Wiskundige Geletterdheid om die verkeerde redes. Dit sluit in dat hulle Wiskunde tot graad 9 moeilik vind, en dat Wiskundige Geletterdheid minder uitdagend as Wiskunde in graad 10 tot 12 is. Voordat leerders egter hierdie keuse aan die einde van graad 9 maak, moet hulle mooi besin oor hul toekomsplanne, veral diegene wat naskoolse kwalifikasies (universiteit of kollege) wil behaal. Vir baie naskoolse kursusse is Wiskunde (en nie Wiskundige Geletterdheid nie) op graad 12-vlak ’n toelatingsvereiste. Dit is daarom belangrik dat leerders in graad 8 hard werk in Wiskunde om ’n goeie grondslag vir graad 9 te lê, sodat hulle suksesvol kan voortgaan met Wiskunde in graad 10 tot 12 om latere opsies oop te hou.
Aantal ure
Aantal weke
6
1,5
Telgetalle
9
2
Heelgetalle
9
2
Eksponente
1
Numeriese en meetkundige patrone
3
0,5
Funksies en verwantskappe
4,5
1
Algebraïese uitdrukkings
3
0,5
Algebraïese vergelykings
9
2
Algebraïese uitdrukkings
3
0,5
Algebraïese vergelykings
8
2
Konstruksies
8
2
Meetkunde van 2D vorms
9
2
Meetkunde van 2D vorms
7
1,5
Gewone breuke
6
1,5
Desimale breuke
5
1
Stelling van Pythagoras
5
1
Omtrek en oppervlakte
5
1
Buiteoppervlakte en volume
10,5
2,5
Datahantering
AA
Kwartaal
R
inhoudelik en tydsgewys ooreen met die KABV-riglyne en verteenwoordig die jaarplan. Handleiding 1/2 en fasiliteerdergids 1/2 dek tema 1 tot 12 (kwartaal 1 en 2) en handleiding 2/2 en fasiliteerdergids 2/2 dek tema 13 tot 24 (kwartaal 3 en 4).
VOORWOORD
4,5
M PL
1
2
SE
Hierdie produk bestaan uit twee handleidings en twee fasiliteerdersgidse wat op die konsepte van Optimi se GuidED Learning™-leermodel gebaseer is om leerders en fasiliteerders te help om suksesvol te wees in hulle studie van Wiskunde. Dit dek al die werk vir graad 8-wiskunde en is in ooreenstemming met die vereistes van die KABV-riglyne soos opgestel deur die Departement van Basiese Onderwys.
EK
Die handleidings word aanlyn deur aanvullende lesstrukture op die Optimi Learning Platform (OLP) ondersteun. Dit bied deurlopende begeleiding om die leerders se leerproses te ondersteun en te verryk. Hierdie begeleiding is gebaseer op die jongste insigte in opvoedkunde, kognitiewe sielkunde en neurowetenskap. Let daarop dat die handleidings wel onafhanklik van die OLP gebruik kan word.
3
Hier onder verduidelik ons hoe die handleiding en fasiliteerdersgids saamgestel is en hoe leerders en fasiliteerders dit kan gebruik om sukses in wiskunde te behaal. Die handleidings en fasiliteerdersgidse is in 24 temas verdeel. Die temas stem ©Optimi
ix
Tema
Assessering
Toets Werkopdrag
Algebraïese uitdrukkings
Toets Werkopdrag Projek
G08– Wiskunde
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2 Aantal ure
Aantal weke
6
1,5
Funksies en verwantskappe
3
0,5
Algebraïese vergelykings
9
2
Grafieke
6
1,5
Transformasiemeetkunde
7
1,5
Meetkunde van 3D voorwerpe
4,5
1
Waarskynlikheid
Wenk: Sien toe dat leerders soveel moontlik van die oefeninge doen. Volg op en bied ondersteuning wanneer leerders sukkel.
Assessering
Struktuur van temas
R
4
Tema
Leer is ’n ingewikkelde proses. Miljoene breinselle en senuweebane in ons brein werk saam om nuwe inligting in die langtermyngeheue te stoor sodat ons dit later kan herroep. Langtermyngeheue is nie ons enigste soort geheue nie en wanneer ons leer, is ons werkgeheue net so belangrik. Werkgeheue is anders as langtermyngeheue en het ’n beperkte kapasiteit. Dit beteken dat ’n mens se werkgeheue net ’n klein bietjie nuwe inligting op ’n slag kan hanteer.
Werkopdrag Ondersoek Jaareind-eksamen
AA
Kwartaal
Wanneer ’n mens wiskunde leer, is daar baie nuwe inligting wat jou brein moet verwerk en daarom kan dit maklik jou werkgeheue uitput. Dit hou verband met die teorie van kognitiewe lading. Hierdie handleidings is só geskryf en saamgestel dat dit nie die werkgeheue ooreis nie en dus die leer van wiskunde vergemaklik. Leerders se kognitiewe kapasiteit word te alle tye in ag geneem.
M PL
* Jy sal die nuutste en volledigste inligting oor assessering in die portefeuljeboek en assesseringsplan vind. Wenk: Die tabel dui die jaarplan aan. Gebruik dit vir die beplanning van onderrig en assessering.
Tydsindeling
Dit beteken dat verskeie strategieë gebruik word om seker te maak dat leerders die beste moontlike kans het om elke deel van die werk te bemeester. Uiteindelik kan ’n mens sê dat leer plaasgevind het wanneer leerders nuwe inligting in hulle langtermyngeheue gestoor het en die vermoë het om dit te herroep en te gebruik. Die handleidings se struktuur ondersteun dié proses en help leerders om wiskunde te bemeester.
SE
Volgens die KABV-voorskrifte behoort daar minstens 4,5 uur per week aan wiskunde-onderrig bestee te word. Daar sal byvoorbeeld 6 uur (ongeveer 1,5 weke × 4,5 uur per week) aan die onderrig van Tema 1 (Telgetalle) bestee word. Temas word nie onderverdeel in lesse nie; dit staan elke leerder en fasiliteerder vry om soveel inhoud per sessie en per week af te handel as wat leerders se vordering toelaat. As leerders stadiger werk, moet die nodige aanpassings gedoen word sodat hulle nog steeds al die werk betyds kan bemeester.
Wenk: Elke tema het dieselfde struktuur om dit vir leerders makliker te maak om daardeur te werk. Elke tema het die volgende struktuur:
EK
Wenk: Gebruik die voorgestelde tydsindeling saam met jou leerders se vordering om jou lesse te beplan.
Inleiding
Let daarop dat die onderrigtyd waarna ons hier bo verwys, die tyd insluit waartydens leerders die kennis en begrippe wat hulle geleer het, moet toepas en inoefen. Vir hierdie doel is daar verskeie oefeninge deur elke tema versprei. Hierdie oefeninge behels verskillende maniere om nuwe kennis toe te pas en in te oefen, en dek verskillende moeilikheidsgrade. Leerders moet probeer om al hierdie oefeninge te doen. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgids gegee.
Dit sê kortliks vir leerders waaroor die tema gaan sonder om detail te gee of “moeilike” of onbekende begrippe te gebruik. ’n Volledige lys van die leeruitkomste wat leerders in ’n bepaalde tema moet bemeester, word as opsomming aan die einde van die tema gegee. x
Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy is met elke onderwerp in die tabel wat volg:
SUBTEMAS
1. Alarm! Ek is glad nie gemaklik met die onderwerp nie, ek het hulp nodig. 2. Help! Ek is nie gemaklik nie, maar ek het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan. 3. OK! Ek is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas. 4. Sharp! Ek is gemaklik met die onderwerp. 5. Whoohoo, dis partytjietyd! Ek is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs meer ingewikkelde vrae hieroor beantwoord.
R
Nuwe begrippe en prosedures word verduidelik. Relevante voorafkennis en hersiening word ook hier behandel soos nodig.
AA
Uitgewerkte voorbeelde Uitgewerkte voorbeelde wys leerders hoe die nuwe begrippe en prosedures toegepas word en help hulle om die begrippe en prosedures wat behandel is, beter te verstaan en toe te pas.
Voltooi nou die volgende tabel:
M PL
Onderwerp
Oefeninge
Die oefeninge gee leerders die geleentheid om die begrippe en prosedures wat behandel is, in te oefen. Dit is belangrik dat hulle al die oefeninge probeer voltooi. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse verskaf.
SE
Gemengde oefeninge kan ook voorkom, waar leerders die geleentheid kry om verskillende begrippe en prosedures in te oefen en met vorige temas te integreer.
3
4
5
EK
Dit is belangrik om nie na ’n volgende tema of subtema aan te beweeg voordat die betrokke onderwerp volledig behandel en bemeester is nie, selfs al beteken dit dat meer tyd aan ’n sekere tema bestee word as wat die KABV aanbeveel. Pas die tydsindeling voortdurend aan volgens die leerders se behoeftes.
In elke tema is daar ’n aktiwiteit waar leerders krities moet nadink oor die mate waarin hulle sekere begrippe en prosedures bemeester het. Hierdie aktiwiteit verskyn in die volgende formaat:
©Optimi
2
Fasiliteerders moet hierdie evaluering gebruik om te bepaal of leerders nog hulp met die betrokke tema of subtema nodig het. Indien wel, word aanbeveel dat hersiening of nog oefeninge dadelik gedoen word om seker te maak dat leerders die noodsaaklike begrippe en prosedures bemeester. Die selfevaluering kan ook gebruik word om vir verryking te beplan. As leerders die werk in die tema of subtema onder die knie het, kan verrykingsoefeninge gedoen word.
Vrae vorder gewoonlik van maklik (om basiese begrippe en prosedures te bemeester en in te oefen) na moeilik (ingewikkelder bewerkings).
Selfevaluering
1
Dit is wel belangrik om die betrokke temas af te handel voordat ’n toets of eksamen afgelê word. Wenk: Gebruik leerders se selfevaluering om te besluit of hulle hulp nodig het met die betrokke afdeling, wat die aard van die hulp moet wees en of daar na die volgende afdeling aanbeweeg kan word. xi
G08– Wiskunde
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2
Assesseringsvereistes
Opsomming van tema
Besoek Impaq se aanlyn platform vir die assesseringsplan en volledige inligting oor die samestelling en puntetelling van toetse, take en eksamens. Die hoeveelheid take, puntetelling en relatiewe gewig is onderhewig aan verandering.
R
Hier sien leerders ’n opsomming van wat hulle in die tema moes bemeester het. Dit word in meer formele wiskundige taal uitgedruk om by die KABV (die kurrikulumverklaring) aan te sluit.
Wenk: Wees bewus van die KABV-voorskrifte en beplan die jaar se assessering daarvolgens.
SE
SBA
Toets
1
1
Werkopdrag
Kwartaal 4
1
Eksamen 1
1 1
1
Projek
1
3
1
2
1 2
Jaareindeksamen
3
Aantal take per Gewig jaar
3
1
Ondersoek Totaal
Wanneer leerders dieselfde soort probleem oor en oor oefen, raak hulle dikwels lui en dink hulle nie meer na oor die oefening nie. Hulle is daarvan oortuig dat hulle presies weet watter soort probleem hulle moet oplos. Maar in ’n toets of eksamen is al hierdie probleme deurmekaar, en dan is dit soms moeilik om te weet wat om te doen. Wanneer gemengde oefeninge deel vorm van leerders se leerproses, leer hulle om ’n probleem reg te identifiseer én reg te voltooi. Dit beteken dat hulle werklik voorbereid is vir toetse of eksamens, want hulle kan die werk herroep en nie net herken nie.
Kwartaal 3
Gemengde oefeninge soos dié in hierdie handleiding is ’n baie belangrike komponent daarvan om wiskunde te bemeester. Daar is ’n groot verskil tussen die vermoë om jou werk te herken en om dit te herroep. Wanneer leerders hulle werk kan herken, sê hulle dikwels “O, ja!” maar hulle sukkel om dit te onthou wanneer hulle eksamen skryf. Wanneer hulle hulle werk kan herroep, beteken dit dat hulle daardie kennis in hulle langtermyngeheue vasgelê het en dit kan onthou en gebruik. Gemengde oefeninge stel leerders in staat om nie net die werk te herken nie, maar om dit ook uit hulle langtermyngeheue te herroep.
Vorm van Assessering
Kwartaal 2
M PL
Dit is ’n gemengde oefening oor alle begrippe en prosedures wat in die tema behandel word, waar hierdie werk ook met vorige werk geïntegreer kan word. Die moeilikheidsgraad van hierdie oefening wissel. Dit is belangrik dat leerders probeer om al die oefeninge te voltooi. Volledige oplossings verskyn in die fasiliteerdersgidse.
Minimum vereistes per kwartaal Kwartaal 1
AA
Leerders voltooi tien formele assesseringstake vir skoolgebaseerde assessering:
Oefening om die tema af te sluit
3
40%
1 2
10* 1
60%
EK
*Moet voltooi wees voor die jaareindeksamen
Die twee vraestelle in die middel en aan die einde van die jaar word soos volg saamgestel (volgens KABV):
xii
Half jaareksamen: Punte
Begrippe
% punt
Telgetalle
Eienskappe Berekeninge Veelvoude van telgetalle met telgetalle en faktore
Heelgetalle
Tel, orden en vergelyk heelgetalle
Eksponente
Vergelyk en Berekeninge stel getalle in met getalle in Probleemoplossing eksponensiële eksponensiële vorm voor vorm
11±2
Ondersoek en brei patrone uit
5±2
11±2
4±2
8±2
Brei uit en vereenvoudig Algebraïese 16±2 uitdrukkings
Algebraïese uitdrukkings
Algebraïese taal
Algebraïese vergelykings
Los vergelykings op
23±2
©Optimi
Verwantskappe van hoeke
Meetkunde van 2D vorms
Klassifiseer 2D vorms
Probleemoplossing
Gelykvormige en kongruente 2D vorms
Probleemoplossing
Totaal
Punte
% punt
32±2
53± 2
28±2
47±2
60
100
Jaareindeksamen:
23±2
Onderwerpe
Vraestel 1 Begrippe
Punte
% punt
Telgetalle en heelgetalle
Eienskappe Berekeninge Veelvoude van telgetalle met telgetalle en faktore
Probleemoplossing
7±2
11± 2
Heelgetalle
Berekeninge met heelgetalle
Eienskappe van heelgetalle
Probleemoplossing
4±2
7±2
12±2
Gewone breuke
Berekeninge met breuke
Persentasies
Ekwivalente 5± 2 vorms
9±2
7±2
8±2
4±2
7±2
100
Berekeninge Probleemmet desimale oplossing breuke
Ekwivalente vorms
60
Desimale breuke
Eksponente
Vergelyk en Berekeninge stel getalle in met getalle in Probleemoplossing eksponensiële eksponensiële vorm voor vorm
7±2
11±2
Numeriese en meetkundige patrone
Ondersoek en brei patrone uit
3±2
6±2
EK
Totaal
Eienskappe Probleemvan 10±2 oplossing heelgetalle
Meetkunde van reguitlyne
M PL
Funksies en Invoer- en uitvoerwaardes verwantskappe
15± 2
SE
Numeriese en meetkundige patrone
Berekeninge met heelgetalle
Probleem7±2 oplossing
Begrippe
R
Onderwerpe
AA
Vraestel 1
Vraestel 2
Onderwerpe
xiii
Probleemoplossing
G08– Wiskunde
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2
% punt
Funksies en Invoer- en uitvoerwaardes verwantskappe
Ekwivalente vorms
6±2
11±2
Algebraïese uitdrukkings
Algebraïese taal
Brei uit en vereenvoudig Algebraïese uitdrukkings
10±2
16±2
Algebraïese vergelykings
Los vergelykings op
7±2
11±2
Grafieke
Interpreteer grafieke
7±2
11±2
60
100
Teken grafieke
Vraestel 2
Onderwerpe
Begrippe
Datahantering Waarskynlikheid
Begrippe Organiseer Stel en som data data op voor
Interpreteer data
Analiseer Rapporteer data data
Waarskynlikheid
Totaal
Punte
% punt
10±2
18±2
5±2
8±2
60
100
Wenk: Wees bewus van watter temas in watter vraestel gedek moet word, sowel as die relatiewe gewig van elk. Maak seker dat vraestelle aan hierdie verspreiding voldoen.
Punte
% punt
Let op: Die samestelling van die eksamens is onderhewig aan verandering. Verwys altyd na die portefeuljeboek en assessseringsplan vir die nuutste inligting oor die samestelling van die eksamens.
8±2
13± 2
Aanvullende boeke
M PL
Totaal
Vraestel 2
Onderwerpe
R
Begrippe
Punte
AA
Vraestel 1
Onderwerpe
Klassifiseer 2D Gelykvormige en vorms kongruente vorms
Probleemoplossing
Meetkunde van reguitlyne
Verwantskappe van hoeke
Probleemoplossing
9±2
15±2
Enige ander boeke kan aanvullend tot hierdie handleidings gebruik word vir bykomende oefeninge en verduidelikings, insluitend:
Transformasiemeetkunde
Transformasies
Vergrotings en verkleinings
6± 2
10±2
Meetkunde van 3D voorwerpe
Klassifiseer 3D voorwerpe
7±2
12±2
• Maths 4 Africa, beskikbaar by www.maths4africa.co.za • die Siyavula-handboek, gratis aanlyn beskikbaar by www.siyavula.com • Pythagoras, beskikbaar by www.fisichem.co.za.
Stelling van Pythagoras
Gebruik die stelling van Pythagoras
5±2
8±2
Oppervlakte en omtrek
Oppervlakte en omtrek van reëlmatige en onreëlmatige veelhoeke
5±2
8±2
EK
SE
Meetkunde van 2D vorms
Berekeninge en probleemoplossing
Buiteoppervlakte Berekeninge en en volume van 3D Buiteoppervlakte en volume probleemoplossing voorwerpe
Wenk: Help leerders om aanvullende bronne te bekom en dit doeltreffend te gebruik.
Sakrekenaar Die CASIO fx-82ES (Plus) of CASIO fx-82ZA word aanbeveel. Enige wetenskaplike, nieprogrammeerbare en niegrafiese sakrekenaar is egter geskik. Wenk: Maak seker dat elke leerder ’n geskikte sakrekenaar het.
5±2
8±2
xiv
Berekeningstegnieke
Getalle, bewerkings en verhoudings (1)
•
R
TEMA 1
AA
TELGETALLE Leervereistes volgens die KABV
Veelvoude en faktore
Hoofrekene
•
Hersien vermenigvuldiging van telgetalle tot ten minste 12 × 12.
Ordening en vergelyking van telgetalle •
Hersien priemgetalle tot ten minste 100.
Eienskappe van telgetalle
Probleemoplossing
Hersien: ◦ die kommutatiewe, assosiatiewe en distributiewe eienskap van telgetalle ◦ 0 in terme van die optellingseienskap daarvan (identiteitselement vir optelling) ◦ 1 in terme van die vermenigvuldigingseienskap daarvan (identiteitselement vir vermenigvuldiging).
•
Herken die delingseienskap van 0, waarvolgens enige getal gedeel deur 0 ongedefinieerd is.
•
EK
SE
•
Berekeninge met telgetalle
Hersien berekeninge wat al vier bewerkings met telgetalle gebruik, deur skatting en, waar toepaslik, ’n sakrekenaar te gebruik.
©Optimi
Hersien: ◦ priemfaktore van getalle tot ten minste driesyfertelgetalle ◦ die KGV en GGD van getalle tot ten minste driesyfertelgetalle deur inspeksie of faktorisering.
M PL
•
Gebruik ’n verskeidenheid strategieë om skriftelike berekeninge en hoofrekene met telgetalle uit te voer en te kontroleer, insluitend: ◦ langdeling ◦ optel, aftrek en vermenigvuldiging in kolomme ◦ skatting ◦ afronding en kompensering ◦ die gebruik van ’n sakrekenaar.
1
•
Los probleme met telgetalle op, insluitend probleme met betrekking tot: ◦ die vergelyking van twee of meer hoeveelhede van dieselfde soort (verhouding) ◦ die vergelyking van twee hoeveelhede van verskillende soorte (koers) ◦ verdeling in ’n gegewe verhouding waar die geheel gegee is ◦ vermeerdering of vermindering van ’n getal in ’n gegewe verhouding.
•
Los probleme op met telgetalle, persentasies en desimale breuke in finansiële kontekste soos: ◦ wins, verlies, afslag en BTW ◦ begrotings ◦ rekeninge ◦ lenings ◦ enkelvoudige rente ◦ huurkoop ◦ wisselkoerse.
G08 – Wiskunde
Tema 1: Telgetalle
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2
Vraestel Gewig
die kleinste gemene veelvoud (KGV) te bepaal die grootste gemene deler (GGD) te bepaal
Een en ’n halwe week (6 uur) Heelgetalle: een week (4,5 uur) 1
•
Junie-eksamen: 7 ± 2 punte uit 60 November-eksamen: 7 ± 2 punte uit 60
probleemoplossing met: ◦ verhouding ◦ koers
•
probleemoplossing met geld.
R
Duur
◦ ◦
1
AA
Kwartaal
Fasiliteerderswenke
1.
Hierdie tema handel hoofsaaklik oor inhoud wat in graad 7 gedek is. Progressie behoort in terme van moeilikheidsgraad en konteks te wees. Vlotheid en doeltreffendheid in berekeninge met telgetalle bied ’n grondslag vir bewerkings en ander getallestelsels. Dit is belangrik om in gedagte te hou dat leerders se konseptuele ontwikkeling in hierdie tema vorder van werk met telgetalle tot ’n begrip van eienskappe van getalle, waar die bewerkings wat met getalle gebruik word, veralgemeen word. Dit bied ’n kritieke grondslag vir werk wat in algebra gedoen word.
EIENSKAPPE VAN TELGETALLE
M PL
In hierdie subtema hersien ons kortliks die eienskappe van telgetalle met betrekking tot optelling en vermenigvuldiging.
ONTHOU
Die versameling telgetalle ={0; 1; 2; …}
Die inleiding tot rentekoerse bied ook agtergrond uit die regte lewe. Oefening 8 dek byvoorbeeld geldskieters wat buitensporige rentekoerse hef. Hier kan leerders daarteen gewaarsku word om met ongeregistreerde geldskieters sake te doen en herinner word dat dit beter is om lenings van enige aard te vermy.
Om te kommuteer beteken dat die getalle verwissel kan word.
•
Die kommutatiewe eienskap vir optelling Indien ons twee telgetalle bymekaartel, kan ons die volgorde van die getalle verander. Voorbeelde: 7 + 3 = 10en 3 + 7 = 10
•
Die kommutatiewe eienskap vir vermenigvuldiging Indien ons twee telgetalle vermenigvuldig, kan ons die volgorde van die getalle verander. Voorbeelde: 4 × 3 = 12en 3 × 4 = 12
•
Die kommutatiewe eienskap werk nie vir aftrekking of deling nie.
EK
In hierdie tema hersien en brei ons uit op werk wat in graad 7 gedek is met betrekking tot: •
eienskappe van telgetalle: ◦ kommutatiewe, assosiatiewe en distributiewe eienskap ◦ die getalle 0 en 1 as identiteite
• • •
berekeninge met telgetalle met al vier bewerkings verskillende berekeningstegnieke en -strategieë die gebruik van priemfaktorisering van getalle om:
Die kommutatiewe eienskap
ONTHOU
SE
Inleiding
1.1
2
1.3
Voorbeelde: 0 − 3 = 7, maar 3 − 10 =’n negatiewe getal. Die antwoorde is nie dieselfde 1 nie.
R
ONTHOU
24 ÷ 4 = 6, maar 4 ÷ 24 =’n breuk. Die antwoorde is nie dieselfde nie.
Om te distribueer beteken om uit te deel. Die getal vooraan word na elke getal in die hakies gedistribueer.
Die assosiatiewe eienskap
AA
1.2
•
ONTHOU Om met iemand te assosieer beteken om saam of byeen te kom. Die hakies hou die getalle saam.
•
Die distributiewe wet werk ook van agter die hakies af. Voorbeeld:
Die assosiatiewe eienskap vir vermenigvuldiging Indien ons drie telgetalle vermenigvuldig, kan ons die getalle verskillend groepeer en steeds dieselfde antwoord kry.
(4 + 6) × 2 = 4 × 2 + 6 × 2 = 8 + 12 = 20 Waarom is dit die geval? Dit is as gevolg van die kommutatiewe eienskap, wat maak dat ons die 2 en die hakies kan omruil.
Voorbeeld: ( 5 × 2)× 3 = 10 × 3 = 30en 5 × ( 2 × 3) = 5 × 6 = 30 •
Die assosiatiewe eienskap werk nie vir aftrekking of deling nie. Voorbeelde:
Indien ons die verskil van twee getalle met ’n ander getal vermenigvuldig, werk die distributiewe eienskap ook. Voorbeeld: 3 × ( 7 − 5) = 3 × 7 − 3 × 5
EK
( 10 − 3) − 2 = 7 − 2 = 5, maar 1 0 − ( 3 − 2) = 10 − 1 = 9. Die antwoorde is nie dieselfde nie.
LET WEL
( 24 ÷ 4) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3, maar 24 ÷ ( 4 ÷ 2) = 24 ÷ 2 = 12. Die antwoorde is nie dieselfde nie.
©Optimi
Of ons kan elke getal in die hakies met die ander getal vermeningvuldig deur die distributiewe eienskap te gebruik. Voorbeeld: 2 × ( 4 + 6) = 2 × 4 + 2 × 6 = 8 + 12 = 20
SE
•
2 × ( 4 + 6) = 2 × 10 = 20
Die assosiatiewe eienskap vir optelling Indien ons drie telgetalle bymekaartel, kan ons die getalle verskillend groepeer en steeds dieselfde antwoord kry. Voorbeeld: ( 5 + 2)+ 3 = 7 + 3 = 10en 5 + ( 2 + 3) = 5 + 5 = 10
Indien ons die som van twee getalle met ’n ander getal vermenigvuldig; kan ons eers die twee getalle optel en dan die antwoord met die ander getal vermenigvuldig. Voorbeeld:
M PL
•
Die distributiewe eienskap van vermenigvuldiging oor optelling en aftrekking
Ons kan hierdie eienskappe gebruik om berekeninge eenvoudiger te maak, veral wanneer ons algebra doen. Die kommutatiewe en assosiatiewe eienskap werk vir optelling en vermenigvuldiging, maar nie vir aftrekking of deling nie. Die distributiewe eienskap werk vir vermenigvuldiging oor optelling of aftrekking.
3
G08 – Wiskunde
Tema 1: Telgetalle
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2
Uitgewerkte voorbeeld 1: Eienskappe van telgetalle
2.
IDENTITEITE EN INVERSES
In hierdie subtema werk ons met identiteite en inverses. Ons stel ook ’n nuwe konsep bekend: deling deur nul.
a)
173 + 14 = 14 + ___
b)
(3 × 6) × ___ = 3 × (6 × 11)
2.1 Identiteite
c)
17 × (32 + 8) = 17 × 32 + ___
d)
86 × 12 = ___ × 86
e)
17 + (6 + 12) = (17 + ___) + 12
f)
(7 − 3) × 8 = 7 × 8 − ___
AA
R
Voltooi die stellings en dui aan watter eienskap jy gebruik het.
•
Optelling Indien ons 0 by enige getal bytel, bly die getal dieselfde. Voorbeeld: 7 + 0 = 7
M PL
Oplossings
Indien ons ’n bewerking met ’n getal uitvoer en dit dieselfde (identies) bly, het ons ’n identiteit gebruik.
Die optellingsidentiteit is 0.
a)
173 + 14 = 14 + 173
b)
(3 × 6) × 11 = 3 × (6 × 11)
Gebruik die assosiatiewe eienskap vir vermenigvuldiging
c)
17 × (32 + 8) = 17 × 32 + 17 × 8
Gebruik die distributiewe eienskap
d)
86 × 12 = 12 × 86
e)
17 + (6 + 12) = (17 + 6) + 12
f)
( 7 − 3) × 8 = 7 × 8 − 3 × 8
Ons kan hierdie identiteit ook in omgekeerde volgorde toepas deur af te trek: 7 − 0 = 7.
Gebruik die kommutatiewe eienskap vir optelling
•
Gebruik die kommutatiewe eienskap vir vermenigvuldiging
Vermenigvuldiging Indien ons enige getal wat nie nul is nie met 1 vermenigvuldig, bly die getal dieselfde.
SE
Voorbeeld: 7 × 1 = 7
Die vermenigvuldigingsidentiteit is 1.
Gebruik die assosiatiewe eienskap vir optelling
Ons kan hierdie identiteit ook in omgekeerde volgorde toepas deur te deel: 7 ÷ 1 = 7.
Gebruik die distributiewe eienskap
EK
2.2 Deling deur nul Deling deur nul is ongedefinieerd. Probeer die volgende op jou sakrekenaar: 4 ÷ 0. Het jy ’n boodskap soos “cannot be done” of “Math error” gekry?
4
Kyk na die patroon hier onder. Ons gaan 120 deur al kleiner en kleiner getalle deel en sien wat gebeur met die antwoorde. 120 ÷ 120 = 1; 120 ÷ 60 = 2; 120 ÷ 10 = 12; 120 ÷ 6 = 20; Die getalle in blou (delers) verminder, terwyl die getalle in rooi (antwoorde) vermeerder. Indien die getal waardeur jy deel baie klein raak, raak die antwoord baie groot. Ons kan nooit ’n getal bereik wat groot genoeg is om ’n antwoord op 120 ÷ 0te bied nie.
•
c)
1 × 439 = 439
d)
1 × 0 = 1
e)
346 + 119 − 119 = 346
f)
952 × 621 ÷ 621 = 952
g)
679 − 125 = 554, dus is 554 − 679 = 125
h)
328 × 2 = 656, dus is 656 ÷ 328 = 2
Oplossings a)
Vals
Die vermenigvuldigingsidentiteit is 1, nie 0nie (578 × 0 = 0)
b)
Vals
Deling deur 0 is ongedefinieerd
c)
Waar
1 is die vermenigvuldigingsidentiteit
d)
Vals
1 is die vermenigvuldigingsidentiteit slegs van getalle wat nie nul is nie
e)
Waar
Aftrekking is die inverse van optelling
f)
Waar
Deling is die inverse van vermenigvuldiging
g)
Vals
Aftrekking is die inverse van optelling, dus is 679 − 554 = 125
h)
Waar
M PL
2.3 Inverses •
731 ÷ 0 = 0
AA
120 ÷ 4 = 30; 120 ÷ 2 = 60; 120 ÷ 1 = 120
b)
Optelling en aftrekking is die inverses van mekaar. Indien jy 3 bytel en dan 3 aftrek, is jy terug waar jy begin het. Voorbeeld: □ + 3 − 3 = □ + 0 = □ Vermenigvuldiging en deling is die inverses van mekaar. Indien jy vermenigvuldig met 3 en dan deel deur 3, is jy terug waar jy begin het. Voorbeeld: □ × 3 ÷ 3 = □ × 1 = □
Voorbeeld: 130 − 80 = 50
SE
Ons kan inverse bewerkings gebruik om berekeninge te kontroleer. Optelling is die inverse bewerking van aftrekking:
Kontroleer: 30 × 8 = 240
EK
Voorbeeld: 240 ÷ 8 = 30
Alle vrae moet beantwoord word sonder om ’n sakrekenaar te gebruik. 1.
Uitgewerkte voorbeeld 2: Identiteite en inverses
Lys alle telgetalle in die gegewe versameling. {350; 2 __12 ; –7; 50; 0,75; 291} Antwoord: {350; 50; 291}
Dui aan of elke stelling waar of vals is. Verduidelik jou antwoord en gee die korrekte antwoord indien ’n stelling vals is.
2.
578 × 0 = 578
©Optimi
Deling is die inverse van vermenigvuldiging
Oefening 1: Eienskappe van telgetalle, identiteite en inverses
Kontroleer: 50 + 80 = 130
Vermenigvuldiging is die inverse bewerking van deling.
a)
R
Waarom kan ons nie deur 0 deel nie?
5
Hoofrekenespoedtoets. Verbind die berekening met die letter van die antwoord in die tabel so vinnig as wat jy kan. G08 – Wiskunde
Tema 1: Telgetalle
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2 2.1 8 × 7
I
2.2 72 ÷ 9
B
2.3 9 × 6
H
2.4 144 ÷ 12
D
2.5 280 ÷ 40
A
2.6 320 ÷ 8
G
2.7 3 × 12
F
2.8 360 ÷ 6
J
2.9 360 ÷ 12
E
2.10 12 × 7
K
2.11 63 ÷ 7
C
2.12 60 × 4
L
4.1
173 × 1 = 173
R
4.3 329 ÷ 0is ongedefinieerd
AA
4.4 1 × 720 = 720 4.5 0 + 1 = 1 4.6 0 × 1 = 0
B
C
D
E
F
G
H
I
7
8
9
12
30
36
40
54
56
M PL
4.7 528 + 0 = 528
A
J
K
L
60
84
240
3.1 79 + 21 = 21 + ___
3.5 20 + ( 3 + 13) = ( ___ + 3) + 13 3.6 (9 − 4) × 6 = 9 × 6 − ___
3.
BEREKENINGSTEGNIEKE
BODMAS-reël vir die volgorde van bewerkings
79; kommutatiewe eienskap vir optelling
7; assosiatiewe eienskap vir vermenigvuldiging
3.3 11 × ( 12 + 9) = 11 × 12 + ___
528 + 1 = 529
ONTHOU
EK
3.2 (5 × 2) × ___ = 5 × (2 × 7)
4.8
In hierdie subtema hersien ons die volgorde van bewerkings en berekeningstegnieke.
Voltooi die stellings. Dui aan watter eienskap jy in elke geval gebruik het.
3.4 31 × 15 = ___ × 31
Kontroleer jou begrip van identiteite. Skryf die antwoorde op die volgende neer:
4.2 468 × 0 = 0
SE
3.
4.
11 ×9; distributiewe eienskap
15; kommutatiewe eienskap vir vermenigvuldiging 20; assosiatiewe eienskap vir optelling 4 ×6; distributiewe eienskap
6
B
(Brackets) Hakies
O
(Other/of) Ander bewerkings soos kwadrate, vierkantswortels, derdemagte
D en M
(Division and multiplication) Deling en vermenigvuldiging van links na regs
A en S
(Addition and subtraction) Optelling en aftrekking van links na regs
3.1
BODMAS-reël
b)
48 ÷ (4 + 2) − 2 × 2 + 7 = 48 ÷ 6 − 2 × 2 + 7
”Jy onthou waarskynlik die BODMAS-reël wat vir ons die korrekte volgorde van bewerkings gee.
R
= 8 − 2 × 2 + 7
Werk die hakies uit Deel en vermenigvuldig van links na regs
= 8 − 4 + 7
Hier verwys die woord “bewerking” na aksies met getalle, soos optel, aftrek, vermenigvuldiging, kwadrering.
Tel op en trek af van links na regs
AA
= 4 + 7 = 11
ONTHOU
“Vermeerder met”, “die som van” en “meer as” beteken alles optelling.
M PL
“Vermeerder met”, “die verskil tussen” en “minder as” beteken alles aftrekking. “Die produk van” beteken vermenigvuldiging.
Uitgewerkte voorbeeld 4: Toepassing van die BODMAS-reël op woorde
Uitgewerkte voorbeeld 3: Toepassing van die BODMAS-reël
Herskryf elke stelling met behulp van wiskundige bewerkings. Bereken dan die waarde van die uitdrukking.
a)
2 + 3 × 10 − 6 + 5(3 − 2)
b)
48 ÷ (4 + 2) − 2 × 2 + 7
Oplossings 2 + 3 × 10 − 6 + 5(3 − 2)
EK
a)
SE
Vereenvoudig die uitdrukkings deur slegs een berekening per stap te doen.
= 2 + 3 × 10 − 6 + 5(1)
= 32 − 6 + 5
Vermeerder die produk van 13 en 10 met 15.
b)
70 minder as die produk van 12 en 6.
Oplossings a)
Werk die hakies uit
Die produk van 13 en 10 = 13 × 10 “Vermeerder met 15” beteken + 15
= 2 + 3 × 10 − 6 + 5
= 2 + 30 − 6 + 5
a)
Voeg die dele bymekaar: 1 3 × 10 + 15
Vermenigvuldig
= 130 + 15 = 145
Tel op en trek af van links na regs
Vermenigvuldig eers; tel dan op
= 26 + 5 = 31 ©Optimi
7
G08 – Wiskunde
Tema 1: Telgetalle
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2 Die produk van 12 en 6 = 12 × 6
Uitgewerkte voorbeeld 6: Afronding en kompensasie met vermenigvuldiging
“70 minder as” beteken −70 Voeg die dele bymekaar: 12 × 6 − 70
Vermenigvuldig eers; trek dan af
Beskou die volgende: 48 × 19
= 72 − 70 = 2
Afronding
Bereken die antwoord met behulp van die kolommetode.
b)
Kontroleer jou antwoord met behulp van skatting.
c)
Kontroleer jou antwoord met behulp van afronding en kompensasie.
d)
Watter antwoord is die minste akkuraat?
AA
3.2
ONTHOU Indien die getal ná die sleutelsyfer 4 of minder is, rond ons ondertoe af. Dit beteken die sleutelsyfer bly dieselfde.
Oplossings
Indien die getal ná die sleutelsyfer meer as 4 is, rond ons boontoe af. Dit beteken die sleutelsyfer vermeerder met 1.
M PL
a)
6 275 tot die naaste tien
b)
7 249 tot die naaste honderd
Oplossings
b)
8
1
9
4
3
2
4
8
0
9
1
2
Rond af: 50 × 20 = 1 000
Die antwoord (912) is taamlik naby aan 1 000, dus kan ons hieride skatting aanvaar. c)
6 275: Die sleutelsyfer is die tienesyfer, wat 7 is. Die syfer ná 7 is 5, dus rond ons boontoe af. Die antwoord is 6 280.
48 × 19 = 48 × (20 − 1) = 48 × 20 − 48 × 1
EK
a)
b)
SE
a)
47
×
Uitgewerkte voorbeeld 5: Afronding Rond die volgende getalle af:
Om te kompenseer beteken om vir ’n verandering op te maak.
a)
R
b)
7 249: Die sleutelsyfer is die honderdesyfer, wat 2 is. Die syfer ná 2 is 4, dus rond ons ondertoe af. Die antwoord is 7 200.
Rond 19 af en kompenseer dan deur 1 af te trek Gebruik die distributiewe eienskap
= 960 − 48 = 912 d)
8
Die antwoord op b) is die minste akkuraat. Afronding bied ons slegs ’n ruwe kontrole.
1.2
Uitgewerkte voorbeeld 7: Afronding en kompensasie met optelling en aftrekking
= 680 × ( 70 + 2)
7 930 − 5 675
a)
1.3
380 + 513 = ( 380 + 20)+ ( 513 − 13)− 7 = 400 + 500 − 7
= 886
1.4
3 857 − 2 190 = 3 867 − 2 200
7 930 − 5 675
= 1 667
Tel 25 by die tweede getal by en kompenseer deur 25 ook by die eerste getal by te tel. Ons kies 25 om die berekening makliker te maak: 75 + 25 = 100
2.
Bereken die volgende met behulp van die kolommetode. Kontroleer jou antwoorde met behulp van ’n sakrekenaar.
2.1 74 + 103 + 96 + 250
SE
= (7 930 + 25) − (5 675 + 25) = 2 255
= 270 + 616
= 3 857 + 10 − 2 190 − 10
= 893
= 7 955 − 5 700
272 + 614
= 272 − 2 + 614 + 2
Rond af deur 20 by die eerste getal by te tel en 13 van die tweede getal af te trek. Dit is dieselfde as om 7 by te tel. Kompenseer dus deur 7 af te trek.
= 900 − 7 b)
= 47 600 + 1 360 = 48 960
Oplossings
EK
= 74 × (60 − 1) = 74 × 60 − 74 × 1
4
0
3
9
6
2
5
0
5
2
3
1 +
Gebruik afronding en kompensasie om die volgende berekeninge te doen:
1.1 74 × 59
71
2
Oefening 2: Berekeningstegnieke 1.
Distributiewe eienskap
AA
b)
Rond 72 af en kompenseer dan deur 2 by te tel
M PL
380 + 513
R
= 680 × 70 + 680 × 2
Gebruik afronding en kompensasie om die volgende te bereken: a)
680 × 72
Rond 19 af en kompenseer dan deur 1 af te trek Distributiewe eienskap
= 4 440 − 74 = 4 366 ©Optimi
9
G08 – Wiskunde
Tema 1: Telgetalle
G08 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2 2.2 47 × 56
Al die faktore van 12 is {1; 2; 3; 4; 6; 12}. 5
6
2
8
2
2
1
3
5
0
2
6
3
2
×
3.
Herskryf elke stelling met behulp van wiskundige bewerkings. Bereken dan die waarde van die uitdrukking.
3.1
Bepaal die som van 15 vermeerder met 200 en die produk van 12 en 70. ( 15 + 200) + ( 12 × 70)
Verdubbel die verskil tussen 30 en 77. = 2(77 − 30)
“Verdubbel” beteken × 2en “verskil” beteken −
= 2 × 47 = 94
PRIEMGETALLE, VEELVOUDE EN FAKTORE
SE
4.
Getalle met meer as twee faktore, byvoorbeeld 18, word saamgestelde getalle genoem.
Deelbaar deur 2
Indien die laaste syfer ’n ewe getal is
Deelbaar deur 3
Indien die som van die individuele syfers ’n veelvoud van 3 is
Deelbaar deur 4
Indien die laaste twee syfers ’n veelvoud van 4 vorm
Deelbaar deur 5
Indien die laaste syfer 0 of 5 is
Deelbaar deur 6
Indien die getal deur 2 en 3 deelbaar is
Deelbaar deur 8
Indien die laaste drie syfers ’n veelvoud van 8 vorm
Deelbaar deur 9
Indien die som van die individuele syfers ’n veelvoud van 9 is
Deelbaar deur 10
Indien die laaste syfer 0 is
Uitgewerkte voorbeeld 8: Deelbaarheid
In hierdie subtema hersien ons priemgetalle, skryf ons ’n getal as ’n produk van priemfaktore en leer ons om die GGD en KGV van verskeie getalle te bepaal.
EK
4.1 Veelvoude en faktore
•
M PL
3.2
Indien ’n getal slegs twee faktore het (die getal self en 1), word dit ’n priemgetal genoem. Let wel: 1 is nie ’n priemgetal nie. Voorbeelde van priemgetalle: {2; 3; 19; 53}
4.2 Deelbaarheidsreëls
“Som” en “vermeerder met” beteken +en “produk” beteken ×
= 215 + 840 = 1 055
•
R
7
AA
4
Dui aan of elk van die volgende getalle in 4 164 kan indeel. Bied redes vir jou antwoorde.
’n Getal het min faktore maar baie veelvoude.
•
’n Veelvoud van ’n getal is ’n getal wat in die gegewe getal kan indeel sonder om ’n res te laat. Veelvoude van 6 is {6; 12; 18; 24; 30; ...}.
•
’n Faktor van ’n getal is ’n getal wat in daardie getal kan indeel sonder om ’n res te laat. Ons kan ook sê dat faktore getalle is wat met mekaar vermenigvuldig word om ’n produk te lewer: 3 × 4 = 12 10
a)
3
b)
4
c)
8
d)
9