Issuu

Í4+È-A-MAM-SG01CÎ Í5,È-A-MAM-SG01FÎ

0 1 2 1 1

WISKUNDE HANDLEIDING Graad 12 11

Wiskunde

2 11 2 - A - M A M - S G 0 1

Handleiding Graad 12

Aangepas vir KABV

DM Oost

Í5,È-A-MAM-SG01FÎ

INHOUDSOPGAWE Onderwerp

Bladsy

Tema 1

Getallestelsels

Tema 2

Logaritmes en eksponente

Tema 3

Algebra

Tema 4

Getalpatrone, rye en reekse

Tema 5

Meetkunde

Tema 5.1 Meting, ruite en vorm

Tema 5.2 Euklidiese meetkunde

Tema 6

Transformasiemeetkunde

Tema 7

Verhouding en koers

106

Tema 8

Finansies

110

Tema 9

Statistiek

132

Tema 10

Waarskynlikheid

166

Tema 11

Funksies

184

Tema 12

Trigonometrie

210

Tema 13

Analitiese meetkunde

234

Tema 14

Differensiasie

246

©Optimi

G12 – Wiskunde

Tema 1: Getallestelsels

G12 – Wiskunde – Handleiding Assesseringtaksonomie

Tema 1: Getallestelsels

INHOUDSOPGAWE Oefening Tema 1: Getallestelsels

Bladsy

Teorie wat jy moet ken

Getallestelsels

Verskillende skryfwyses van getalle

Snyding en vereniging

Reëls wat altyd geld

Gemengde oefeninge

Moeilikheidsvlak * 1

Basiese teorie en begrippe is nodig voordat bewerkings gedoen kan word. Hierdie deel behoort die eerste 25% van ’n vraestel te beslaan. Dit kan werklik verkry word deur net te leer.

Moeilikheidsvlak ** 2

Eenvoudige bewerkings wat as maklik beskou word en waarvan baie voorbeelde geoefen kan word. Vrae word direk gevra. Hierdie gedeelte vorm 30% van ’n vraestel.

Moeilikheidsvlak *** 3

Ingewikkelde bewerkings wat kombinasies van vorige werk behels. Vrae word indirek gevra en begrip word hier getoets. Hierdie gedeelte vorm 30% van ’n vraestel.

Moeilikheidsvlak **** 4

Die moeilike gedeelte van elke vraestel. Hier moet kandidate werklik hul vermoë om kennis toe te pas, toon. Dit vorm die laaste 15% van ’n vraestel.

Die doelstelling van hierdie eenheid is om kennis wat in vorige grade opgedoen is te hersien en op praktiese en gevorderde werk toe te pas. Elke aspek van die eenheid bestaan uit oefeninge wat so saamgestel is, dat dit kandidate sal lei om nuwe begrippe te ontdek, beter te verstaan en kennis toe te pas.

Teorie wat jy moet ken

Video Teorie

1. Getallestelsels

Natuurlike getalle: N = {1; 2; 3; ...} Telgetalle: N0 = {0; 1; 2; 3; ...} Heelgetalle: Z = {… –2; –1; 0; 1; 2; 3; …} Rasionale getalle: Ra of Q = Eindige of repeterende breuke 1 Ǥ ȓͳ ᩿_ ᩿ Ǣ ʹǡ͹ ͵᩿̇Ȕ 3 Irrasionale _ getalle: Q’ = Nie-eindige of nie-repeterende breuke bv. {π ; ξ᩿ͷ᩿Ȕ ᩿ _ Nie-reële getalle: R’ (imaginêre- /denkbeeldige getalle) bv. ξ᩿Ȃ͵᩿᩿ _ ǣ Õ ² Õ ´ Ǥ ʹ Ϊ ξ ᩿ȂͶ᩿᩿

Al die antwoorde is volledig met verduidelikings in die fasiliteerdersgids weergegee. Probeer om die memorandum te gebruik om elke stap wat jy uitgewerk het te kontroleer. Moenie die antwoord net van die memorandum afgeskryf nie. Luister ook na die video’s sodat jy elke stap wat nodig is, kan begryp. Moet nie die memorandum wegbêre en aan die einde van die eenheid net die antwoorde merk nie. Leer om die memorandum korrek te gebruik en te leer uit die stappe wat gebruik is. Die memorandums is dus ook voorbeelde.

Reële getalle: R = { Q∪Q’ }

Aan die einde van hierdie eenheid moet jy in staat wees om: 1. Die teorie oor getallestelsels vanaf graad 8 tot 12 te bespreek en toe te pas. 2. Tussen verskillende notasies en getallestelsel te onderskei. 3. Snyding en vereniging te evalueer en toe te pas. 4. Ken en verstaan dat sekere reëls altyd van toepassing is.

2. Verskillende skryfwyses van getalle Gewone/ algemene notasie

𝑥 < 4 of 𝑥 > 9

Intervalnotasie (Slegs vir reële getalle)

Keurdernotasie ϐ

𝑥∊(–∞ ; 4)∪

{𝑥/ 𝑥 < 4 of

(9 ; ∞)

𝑥 > 9}

Vereniging Ingesluit 𝑥∊[–4 ; 7) Ingesluit –4 ζ 𝑥 < 7 Dieselfde as Dieselfde as {𝑥/ –4 ζ 𝑥 < 7} 𝑥 η –4 en 𝑥 < 7 𝑥∊[–4 ; ∞)∩

–4

(–∞ ; 7)

Snyding

𝑥>3

©Optimi

𝑥∊(3 ; ∞)

{𝑥/ 𝑥 > 3}

G12 – Wiskunde

Tema 1: Getallestelsels

G12 – Wiskunde – Handleiding

5. Onthou vir n N:

3. Snyding en vereniging Die gebruik van die “en” en “of” asook die “vereniging” ∪ en "snyding" ∩ Voorbeeld: –3 –1 4

ȇ ȇ ȇ

{𝑥/ –3 < 𝑥 ζ 4 of –1 < 𝑥 ζ 5 }

n( ᩿Ϊ᩿ͳ)

6. Interessante soorte getalle

{𝑥Ȁ Ȃ͵ δ ‫ ݔ‬ζ 4 en –1 < 𝑥 ζ 5 }

Antwoord: –1 < 𝑥 ζ 4

4. Reëls wat altyd geld ȇ

ξ᩿ʹ᩿᩿

Geen noemer mag irrasionaal gelaat word nie. Voorbeeld: 1_ ᩿ ᩿᩿ ᩿____ Noemer is irrasionaal _

ʹ᩿᩿ 1_ ____ ᩿ ᩿ ᩿Ǥ ᩿ ξ᩿_ ᩿᩿ α ᩿ ____

ʹ᩿᩿ ξ᩿ʹ᩿᩿ ξ᩿_ ξ᩿ʹ᩿᩿ ____ α ᩿ 2᩿ ᩿

Noemer is rasionaal

Geen negatiewe eksponent mag in antwoorde wees nie. Voorbeelde: Eksponent is negatief ᩿ –3 1 ᩿ ᩿᩿ α ᩿__ ᩿ 3 Eksponent is positief LW: As 𝑥 > 0

1; 4; 9; 16; ... is vierkantsgetalle met Tn = n2 1; 8; 27; 64; ... is kubieke (kubiese) getalle met Tn = n3 2; 6; 12; ... = 1 × 2; 2 × 3; 3 × 4; ... is reghoekgetalle met Tn α ȋ ΪͳȌ ʹ᩿έ᩿͵ _ ͳ Ǣ ͵Ǣ ͸Ǣ ǤǤǤ α _ ᩿ ͳ᩿έ᩿ʹ ᩿ ᩿ ᩿Ǣ ᩿ _ ᩿ ᩿ ᩿Ǣ ᩿ ͵᩿έ᩿Ͷ ᩿ ᩿ ᩿ 2 2 2 met Tn α ᩿____ ᩿ ᩿ ᩿ 2

Antwoord: –3 < 𝑥 ζ 5

Sien skets hierbo.

(Seeliger, 2007)

2𝑥 As 𝑥 < 0

1 = 2 α ᩿ __ ᩿ ᩿ ᩿ ʹ ᩿ –𝑥 Benader altyd korrek soos gevra word. Lees die vraag asook die instruksies wat aan die begin van elke vraestel gegee word. 𝑥

’n Priemgetal is ’n getal wat twee faktore het, naamlik die getal self en 1. Pare priemgetalle wat met 2 verskil word priemtweelinggetalle genoem. Voorbeelde is 3 en 5; 5 en 7; 11 en 13; 17 en 19. ’n Natuurlike getal word ’n perfekte getal genoem as dit gelyk is aan die som van al sy faktore (uitsluitend die getal self). ͸ α ͳΪʹΪ͵ ʹͺ α ͳ Ϊ ʹ Ϊ Ͷ Ϊ ͹ Ϊ ͳͶ Die derde een is 496. Enige drie natuurlike getalle a, b, c sodanig dat a2= b2 Ϊ 2 word Pythagoriese drietalle genoem. Voorbeelde: (5; 3; 4), (10; 8; 6), (13; 12; 5), (17; 15; 8)

Oefening 1: Getallestelsels 1.1*

Bestudeer die memorandum van hierdie tabel en maak seker dat jy die verskil in getallestelsels verstaan.

Video 1.1 en 1.2

Voltooi die volgende tabel vir elke soort getal. Maak ’n kruisie in die korrekte blokkie(s) N N0 Z Q Q’ R R’ __

1.2*

Dit is bekend dat die wortel van ’n priemgetal altyd irrasionaal is. _ Gebruik nou hierdie feit en bewys dat ξ᩿͹ͲͶ᩿ ᩿ ǯ is. Geen sakrekenaar mag gebruik word nie.

1.3*

Õ ξ᩿͹ͺͶ᩿ ᩿ǯ irrasionale getal is.

1.4*

Plaas twee irrasionale getalle tussen ξ᩿͵᩿ ᩿ ξ᩿ͳͳ᩿ ᩿ Õ sakrekenaar te gebruik.

1.5*

Plaas twee rasionale getalle tussen ξ᩿͵᩿ ᩿ ξ᩿ͳͳ᩿ ᩿ Õ sakrekenaar te gebruik.

1.6*

Bepaal of die antwoord van die volgende uitdrukking irrasionaal of rasionaal is

1.6.1**

( ξ᩿ ᩿Ȃ͸Ͷ᩿ )᩿ ᩿ Ϊ ξ᩿͵᩿ ᩿ ξ᩿͵᩿ ᩿ ξ᩿͵᩿᩿ Ǧ ξ᩿ʹ͹᩿ ᩿

ξ᩿ _14᩿ ᩿

Ȃ ͵ ᩿ 2 4

(–1)᩿ 2 _

ξ᩿Ȃͺ᩿᩿ 3

ξ᩿ ᩿Ȃͺ᩿᩿

(_√ 3 ) 2 ∞ π

1 ᩿ _ ᩿ 0

0 ᩿ _ ᩿ 1

1° 0°

_ _

᩿ ᩿Ȃ͹᩿᩿ ξ᩿Ȃ͹᩿ ξ

1.6.2**

Ͳǡ ͵᩿̇ (–1)᩿ 111

Log(–15)

(2ξ᩿͵᩿᩿ Ȃ᩿ ξ᩿ʹ᩿)᩿ (2ξ᩿͵᩿᩿ Ϊ᩿ ξ᩿ʹ᩿)᩿ (2ξ᩿͵᩿᩿ Ȃ᩿ ξ᩿ʹ᩿)᩿ (2ξ᩿͵᩿᩿ Ȃ᩿ ξ᩿ʹ᩿)᩿

1.6.4***

ξ᩿ͳͺ᩿᩿ Ȃ _ξ᩿ͻͺ᩿ ᩿ 9 ᩿ _________ ᩿ ᩿ ᩿Ȃ ᩿ʹ _ ᩿12᩿ Ϊ᩿ ᩿_ ᩿ ᩿ ᩿ 16 ᩿ ξ᩿ͺ᩿᩿

1.6.5**

ξ᩿ͳͲͺ᩿᩿ Ȃ ξ᩿͸ʹͷ᩿ ᩿Ϊ ξ᩿Ͷ͵ʹ᩿᩿

Log 20

1.6.3***

1 _

͵ ᩿ ᩿ 2᩿

©Optimi

Onthou die middelterm. Ǧ Õ priemgetal is irrasionaal.

_______

Onthou dat die antwoord evalueer moet word.

G12 – Wiskunde

Tema 1: Getallestelsels

G12 – Wiskunde – Handleiding

Oefening 2: Skryfwyses

2.4**

ȓ‫ݔ‬ȀȂͳ ζ ‫ ݔ‬δ ͵ǡ ‫ ∊ ݔ‬R } is keurdernotasie

–1

´ Ǥ ‫–[ ∊ ݔ‬1 : 3) Die vierkantige hakie beteken die getal is ingesluit terwyl die ronde hakie beteken die getal is nie ingesluit nie, dus word die –1 ingesluit en die 3 is uitgesluit. Gewone notasie word in meeste gevalle gebruik:

y y

2.1*

f = {𝑥/–1 ζ 𝑥 < 4 , 𝑥∊ R} en g = {𝑥/ 0 < 𝑥 ζ 5 , 𝑥∊R}

Voorbeelde

Indien

2.4.1**

Skets albei intervalle en bepaal dan f ∪ ϐ Ǥ antwoord in intervalnotasie.

2.4.2**

Skets albei intervalle en bepaal dan f ∩ ϐ Ǥ antwoord in intervalnotasie.

2.5***

ϐ Ǥ

ϐ Ȃͳ ζ ‫ ݔ‬δ ͵

die antwoord in keurdernotasie. (Ȃ͵᩿Ǣ᩿Ͳ᩿) ∪ (ʹ᩿Ǣ᩿Ͷ)

–1 ζ ‫ ݔ‬δ ͵ ‫ ݔ‬Ȃͳ ͵ ǡ Ȃͳ ingesluit en 3 nie ingesluit nie. Wanneer die vereniging gevra word, moet albei antwoorde saam gegee word. Die woord “of” word gebruik. Wanneer die snyding gevra word, is die antwoord altyd net die waardes wat in albei stelle of deelversamelings voorkom. Die woord “en” word gebruik. As{𝑥/–3 ζ 𝑥 < 5 , 𝑥∊R}, skets die gebied en gee die antwoord in intervalnotasie. Video 2.1 en 2.3

2.2**

As {h/ –1 < h en h ζ 7}, skets die gebied en gee die antwoord in gewone notasie.

2.3**

As {m/1 > h of h ζ 3}, skets die gebied en gee die antwoord in intervalnotasie.

2.6**

Skryf slegs die antwoorde van die volgende neer. (Indien dit ǡ ϐ ǤȌ antwoorde in intervalnotasie. Aanvaar dat 𝑥∊R.

2.6.1**

–4 < 𝑥 ζ 5 of –2 ζ 𝑥 ζ 7

2.6.2**

𝑥 η –10 en_3 < 𝑥 < 3

2.6.3**

Bepaal {–2 < 𝑥 < 8} of {–3 ζ 𝑥 < 6}

2.6.4**

{–2 < 𝑥 < 8} en {–3 ζ 𝑥 < 6}

Oefening 3: Snyding en vereniging Ons het reeds in oefening 2 van hierdie “en”- en “of”-somme gedoen. Hierdie begrippe is altyd belangrik in wiskunde dit kom dikwels in somme en probleme voor.

3.3**

Wat is die gesamentlike antwoord van 𝑥 = 3 en 𝑥 = –3?

3.4**

Watter een van die volgende bewerings is korrek en verteenwoordig –4 < 𝑥 < 5? Video 3.4 – 3.7 A: 𝑥 is groter as –4 en kleiner as 5. 𝑥 is groter as –4 of kleiner as 5. B: 𝑥 is kleiner as 5 en kleiner as –4. C: 𝑥 is groter as –4 of groter as 5. D:

3.5**

Bepaal die antwoord van –4 > 𝑥 < 6.

3.6**

Bepaal die antwoord van –4 < 𝑥 > 5.

3.7**

Bepaal die antwoord van –4 > 𝑥 > 5.

3.8****

Bestudeer die volgende uitdrukking.

In hierdie oefening gaan slegs enkele gevalle waar hierdie begrippe voorkom, bespreek word Onthou: ȇ ȇ ȇ ȇ

Snyding ∩ beteken “en”. Vereniging ∪ beteken “of”.

Õ ǡ Õ ǲ ǳ Ǥ Indien daar niks tussen twee waardes geplaas word nie, beteken Õ ǲ ǳ Ǥ Oppas dus vir die “of”.

1 2 ᩿ __________ ᩿ )᩿ ᩿ Ϊ ᩿ _________ ᩿ )᩿ ᩿ ( )( ( )(

𝑥 – 1 𝑥᩿Ϊ᩿ʹ

3.1*

Õ Õ α ±5 is, watter een van die volgende word bedoel? Video 3.1 – 3.2 A: p is plus en minus 5. B: p is plus of minus 5.

3.2*

As 𝑥2 = 9, watter een van die volgende is waar?

𝑥=3 𝑥 = –3 𝑥 α Ϊ͵ 𝑥 = –3

𝑥 α Ϊ͵ 𝑥 = –3

A: B:

©Optimi

𝑥 –3 𝑥 + 4

ϐ die noemers gelyk is aan nul. Watter een van die volgende is ϐ ongeldig sal wees? 𝑥 = 1 of 𝑥 = –2, 𝑥 = 3 of 𝑥 = –4 A: 𝑥 = 1 en 𝑥 = –2 en 𝑥 = 3 en 𝑥 = –4 B: 𝑥 = 1 of 𝑥 = –2 of 𝑥 = 3 of 𝑥 = –4 C: 𝑥 = 1, 𝑥 = –2, 𝑥 = 3, 𝑥 = –4 D:

G12 – Wiskunde

Tema 1: Getallestelsels

G12 – Wiskunde – Handleiding 3.9***

Bestudeer weer die uitdrukking soos in 3.8 gegee.

3.10

1 2 ᩿ __________ ᩿ ᩿ ᩿ Ϊ ᩿ _________ ᩿ ᩿᩿ (𝑥 – 1)(𝑥᩿Ϊ᩿ʹ) (𝑥 –3)(𝑥 + 4)

Õ ∪“ en” of ∩ “of” in die plek van die vraagtekens.

3.10.1*

{1; 2; 3; 4} ?

{1 ; 2} = {1 ; 2}

ȋ ϐ Ȍ Ǥ ϐ antwoord waarvoor die bogenoemde uitdrukking geldig sal wees? Onthou A: 𝑥 ≠ 1 of 𝑥 ≠ –2, 𝑥 ≠ 3 of 𝑥 ≠ –4 𝑥 ≠ 1 en 𝑥 ≠ –2 en 𝑥 ≠ 3 en 𝑥 ≠ –4 𝑥 ≠ –4 is baie B: 𝑥 ≠ 1 of 𝑥 ≠ –2 of 𝑥 ≠ 3 of 𝑥 ≠ –4 waardes. Dus, C: 𝑥 ≠ 1, 𝑥 ≠ –2 of 𝑥 ≠ 3, 𝑥 ≠ –4 D: almal behalwe –4.

3.10.2*

{1; 2; 3; 4} ?

{1 ; 2} = {1; 2; 3; 4}

3.10.3**

{1; 2; 3; 4} ?

{1 ; 2} ? {5} = {1; 2; 5}

3.10.4**

{1; 2; 3; 4} ?

{1 ; 2} ? {5} = {1; 2; 3; 4; 5}

3.10.5**

{1; 2; 3; 4} ?

{1 ; 2} ? {5} = {

3.11

Õ ∩ of ∪ in die plek van die vraagtekens.

3.11.1**

(–2 ; 6] ? (–3 ; 5) = (–3 ; 6]

3.11.2**

(–2 ; 6] ? (–3 ; 5) = (–2 ; 5)

3.11.3***

[–2 ; 6] ? R = [–2 ; 6]

3.12***

Watter een van die volgende is die antwoord van (𝑥 – 2)(𝑥 Ϊ ͵Ȍ ε Ͳǫ A: 𝑥 < 2 en 𝑥 > –3 Video 3.12 B: 𝑥 < 2 of 𝑥 > –3 C: 𝑥 > 2 of 𝑥 < –3 D: 𝑥 > 2 en 𝑥 < –3 E: 𝑥 < 2, 𝑥 > –3

Õ ǲ ǳ Õ ǲ ǳ gebruik moet word, is om die volgende te onthou: Vir ongeldig is dit “of” en gaan saam met die “=”-teken. Vir geldig is dit “en” en gaan saam met die “ ≠”-teken.

}

Oefening 4: Reëls wat altyd geld

Oefening 5: Gemengde oefeninge 22 Punte 5.1***

Let wel: y Negatiewe eksponente (in antwoorde) moet altyd positief wees. 1 _ Voorbeeld: 2–3 α ᩿__ ᩿᩿ α ᩿ 1᩿ ʹ ᩿ 3 8 y Irrasionale noemers moet gerasionaliseer word. _ _ 1 ξ᩿ʹ᩿ ᩿

1 ξ᩿ʹ᩿ ᩿ ξ᩿ʹ᩿᩿

4.1* 4.2**

Vereenvoudig: ʹ ᩿ –4 έ ʹ ᩿ –3

4.4**

Õ antwoord korrek tot twee desimale syfers. _ 1 ᩿ ξ᩿ʹͲ᩿ ᩿Ϊ ᩿ _ 3

4.5**

(6)

᩿ 𝑥 >0 ǣ ________ ᩿ ʹ ᩿ ͺ ᩿ ᩿ Ͷ –𝑥᩿ ᩿ ᩿

(4)

5.3***

Los op vir 𝑥 as (𝑥 Ϊ ʹȌȋͶ Ȃ 𝑥) < 0 en 𝑥 ζ 0. Skryf die antwoord in keurdernotasie.

(5)

Bepaal of die volgende uitdrukking positief of negatief vir enige waarde van 𝑥 ∊ Z is. 3𝑥2 Ϊ ʹͶ𝑥 Ϊ Ͷͺ

(3)

5.4**

Vereenvoudig die volgende en benader die antwoord korrek tot drie desimale syfers: 2,6 × 6,3

5.2***

Video 4.1 – 4.3

4.3**

᩿͹ʹ᩿᩿ Ϊ᩿ ᩿ͷͲ᩿ ᩿ ξ᩿ʹͶ᩿᩿

ξ ξ _ ᩿ ____________ ᩿ ᩿ ᩿

ʹ᩿᩿ ____ ξ᩿_ ᩿ _᩿ ᩿ ᩿ ᩿ ____ ᩿᩿ α ᩿ ξ2᩿ʹ᩿᩿ ᩿᩿ Voorbeeld: ____ ᩿ _᩿ ᩿ ᩿α ____ 3_ ǣ ____ ᩿ 1_᩿ ᩿ ᩿Ϊ ᩿ ____ ᩿ ᩿᩿ ξ᩿ʹ᩿᩿ ξ᩿ʹ᩿᩿

Õ Ǥ

5.5**

–𝑥

–2𝑥

Õ ‫ ݔ‬ǣ (2𝑥 – 1)3 Ϊ ȋͳ Ȃ ʹ𝑥)2

(4)

ϐ Laridon. Wiskunde vir die klaskamer standerd 9. Seeliger, M. (2007). Prac Wiskunde Studiegids Graad 12. Pretoria: JNB Publishers.

Õ teller._ ͷ᩿Ϊ᩿ ᩿͵᩿᩿ ͷ᩿Ȃ᩿ ξ᩿͵᩿᩿

ξ_ ᩿ _______ ᩿᩿

4.5.1***

(i) Rasionaliseer die noemer van die bogenoemde breuk. Geen sakrekenaar mag gebruik word nie. (ii) Rasionaliseer die teller van die bogenoemde breuk.

4.5.2****

Bewys _vervolgens of andersins dat:

Video 4.5.1

ͳͶ᩿Ϊ᩿ͷ ᩿͵᩿᩿

11 _ ᩿ _________ ᩿ξ ᩿ ᩿ α ᩿________ ᩿ ᩿ ᩿ 11 ͳͶȂ᩿ͷ ξ᩿͵᩿᩿

©Optimi

G12 – Wiskunde