Gr 12-Wiskunde-Handleiding

Í2,È-A-MAM-SG01CÎ

1

8

1

2

-

A

-

M

A

M

-

S

G

0

1

WISKUNDE HANDLEIDING Graad 12

A member of the FUTURELEARN group

Wiskunde Handleiding

1812-A-MAM-SG01

Í2,È-A-MAM-SG01CÎ

Graad 12

Aangepas vir KABV

DM Oost

Handleiding G12 ~ Wiskunde

INHOUDSOPGAWE Onderwerp

Eksamenvraestel

Bladsy

Tema 1

Getallestelsels

1

bl. 1

Tema 2

Logaritmes

1

bl. 12

Tema 3

Algebra

1

bl. 29

Tema 4

Getalpatrone en rye en reekse

1

bl. 49

Tema 5.1

Meetkunde: Ruimte en vorm

2

bl. 67

Tema 5.2

Euklidiese meetkunde

2

bl.91

Tema 6

Transformasie-meetkunde

2

bl.136

Tema 7

Verhouding en koers

1

bl. 148

Tema 8

Finansies

1

bl. 155

Tema 9

Statistiek

2

bl. 182

Tema 10

Waarskynlikheid

1

bl. 229

Tema 11

Funksies

1

bl. 251

Tema 12

Trigonometrie

2

bl. 288

Tema 13

Analitiese meetkunde

2

bl. 325

Tema 14

Differensiaalrekening

1

bl. 343

Š Impaq

Handleiding G12 ~ Wiskunde

Tema

INHOUDSOPGAWE Oefening

Tema 1: Getallestelsels

Bladsy

1

Teorie wat jy moet ken

bl. 6

2

Verskillende skryfwyses van getalle

bl. 7

3

Snyding en vereniging

bl. 8

4

Reëls wat altyd geld

bl. 10

5

Gemengde oefeninge

bl. 11

Bibliografie

© Impaq

1

1

Handleiding G12 ~ Wiskunde

Leeruitkomste 1 Leeruitkomste 2 Leeruitkomste 3 Leeruitkomste 4

Tema

LU 1 LU 2 LU 3 LU 4

Moeilikheidsvlak 1

*

Moeilikheidsvlak 2

**

Moeilikheidsvlak 3

***

Moeilikheidsvlak 4

****

Rangkode 7 6 5 4 3 2 1

© Impaq

25% 25% 25% 25% Assesseringtaksonomie Basiese teorie en begrippe is nodig voordat bewerkings gedoen kan word. Hierdie deel behoort die eerste 25% van ’n vraestel te beslaan. Dit kan werklik verkry word deur net te leer.

Eenvoudige bewerkings wat as maklik beskou word en waarvan baie voorbeelde geoefen kan word.

Vrae word direk gevra. Hierdie gedeelte vorm 30% van ’n vraestel.

Ingewikkelde bewerkings wat kombinasies van vorige werk behels. Vrae word indirek gevra en begrip word hier getoets. Hierdie gedeelte vorm 30% van ’n vraestel.

Die moeilike gedeelte van elke vraestel. Hier moet kandidate werklik hul vermoë om kennis toe te pas, toon. Dit vorm die laaste 15% van ’n vraestel.

Prestasie Uitnemend Verdienstelik Beduidend Gemiddeld Voldoende Basies Nie bereik nie

2

Punte % 80 – 100 70 – 79 60 – 69 50 – 59 40 – 49 30 – 39 0 – 29

1

Handleiding G12 ~ Wiskunde

Tema

1

Die doelstelling van hierdie eenheid is om kennis wat in vorige grade opgedoen is te hersien en op praktiese en gevorderde werk toe te pas.

Elke aspek van die eenheid bestaan uit oefeninge wat so saamgestel is, dat dit kandidate sal lei om nuwe begrippe te ontdek, beter te verstaan en kennis toe te pas.

Al die antwoorde is volledig met verduidelikings in die fasiliteerdersgids weergegee.

Probeer om die memorandum te gebruik om elke stap wat jy uitgewerk het te kontroleer. Moenie die antwoord net van die memorandum afgeskryf nie. Luister ook na die video’s sodat jy elke stap wat nodig is, kan begryp. Moet nie die memorandum wegbêre en aan die einde van die eenheid net die antwoorde merk nie. Leer om die memorandum korrek te gebruik en te leer uit die stappe wat gebruik is. Die memorandums is dus ook voorbeelde.

Aan die einde van hierdie eenheid moet jy in staat wees om: 1.

2.

3.

4.

© Impaq

Die teorie oor getallestelsels vanaf graad 8 tot 12 te bespreek en toe te pas.

Tussen verskillende notasies en getallestelsel te onderskei.

Snyding en vereniging te evalueer en toe te pas.

Ken en verstaan dat sekere reëls altyd van toepassing is.

3

Handleiding G12 ~ Wiskunde

Teorie wat jy moet ken LU 1 en LU 2 1.

1

Tema

Video Teorie Crl + kliek

Getallestelsels

Natuurlike getalle: N = {1; 2; 3; ...} Telgetalle: N0 = {0; 1; 2; 3; ...} Heelgetalle: Z = {… –2; –1; 0; 1; 2; 3; …} } Rasionale getalle: Ra of Q = Eindige of repeterende breuke bv. {1⅓ ; 2,7 3 Irrasionale getalle: Q’ = Nie-eindige of nie-repeterende breuke bv. { π ; 5 }

−3

Nie-reële getalle: R’ (imaginêre- /denkbeeldige getalle) bv.

Komplekse getalle: ʼn deel is imaginêr en ʼn deel is reëel bv. 2 + − 4 Reële getalle: R = { Q ∪ Q’ } Nie-reële getalle: R’, bv.

2.

−3

Verskillende skryfwyses van getalle

Gewone/algeme ne notasie x < 4 of x > 9

Intervalnotasie

Keurdernotasie

Grafiese notasie

(Slegs vir reële getalle)

x ε (– ∞ ; 4) ∪ (9 ; ∞ )

4

9

-4

7

{x/ x < 4 of x > 9 }

Vereniging Ingesluit –4

≤ x <7

Dieselfde as x ≥ –4 en x < 7

Uitgesluit

x ε [–4 ; 7) Dieselfde as x ε [–4 ; ∞ ) ∩ (– ∞ ; 7)

{x/ -4 ≤ x < 7}

Snyding x > 3 3.

x ε (3 ; ∞ )

Snyding en vereniging Die gebruik van die “en” & “of” asook die “vereniging”  en " snyding"  Voorbeeld: {x/ –3 < x ≤ 4 of -1 < x ≤ 5 }

-3

-1

Antwoord: –3 < x ≤ 5 Sien skets hierbo.

Antwoord: –1 < x ≤ 4

{x/ –3 < x ≤ 4 en -1 < x ≤ 5 }

© Impaq

3

{x/ x > 3}

4

4

5

Handleiding G12 ~ Wiskunde

4.

Tema

1

Reëls wat altyd geld • Geen noemer mag irrasionaal gelaat word nie.

Voorbeeld: 1 Noemer is irrasionaal 2 =

1 2

.

2 2

Noemer is rasionaal 2 2 • Geen negatiewe eksponent mag in antwoorde wees nie.

Voorbeelde: Eksponent is negatief m −3 =

=

1 m3

LW:

Eksponent is positief 2x

As x > 0

5.

6.

© Impaq

As x < 0 1 = = 2x 2− x Benader altyd korrek soos gevra word. Lees die vraag asook die instruksies wat aan die begin van elke vraestel gegee word.

Onthou vir n ∈ N: (Seeliger, 2007) 2 • 1; 4; 9; 16; ... is vierkantsgetalle met Tn = n • 1; 8; 27; 64; ... is kubieke (kubiese) getalle met Tn = n3 • 2; 6; 12; ... = 1 x 2; 2 x 3; 3 x 4; ... is reghoekgetalle met Tn = n(n+1) • 1; 3; 6; ... n(n + 1) 1x 2 2 x 3 3 x 4 = ; ; ; ...... is driehoekge talle met Tn = 2 2 2 2 Interessante soorte getalle • ’n Priemgetal is ’n getal wat twee faktore het, naamlik die getal self en 1.

• Pare priemgetalle wat met 2 verskil word priemtweelinggetalle genoem.

Voorbeelde is 3 en 5; 5 en 7; 11 en 13; 17 en 19.

• ’n Natuurlike getal word ’n perfekte getal genoem as dit gelyk is aan die som van al sy faktore (uitsluitend die getal self).

Die eerste natuurlike getal wat hieraan voldoen is 6 = 1+2+3 Die tweede perfekte getal is 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 Die derde een is 496.

• Enige drie natuurlike getalle a, b, c sodanig dat a2= b2 + c2 word Pythagoriese drietalle genoem. Voorbeelde: (5; 3; 4), (10; 8; 6), (13; 12; 5), (17; 15; 8)

5

Handleiding G12 ~ Wiskunde

1

Tema

Oefening 1: Getallestelsels 1.1*

Voltooi die volgende tabel vir elke soort getal. Maak ’n kruisie in die korrekte blokkie(s).

N

N0

Z

Q

Q’

R

R’

1 4 –32 4 (–1)2 −8 3−8

Video oefening 1.1 en 1.2 Crl + kliek

(– 3 )2

∞ π 1 0 0 1 10 00 −7 −7 0,3 (–1)111 1 2 3

Log 20 Log(–15) Bestudeer die memorandum van hierdie tabel en maak seker dat jy die verskil in getallestelsels verstaan.

1.2*

Dit is bekend dat die wortel van ’n priemgetal altyd irrasionaal is.

Gebruik nou hierdie feit en bewys dat 704 ’n irrasionale getal is.

Geen sakrekenaar mag gebruik word nie.

1.3**

Bepaal sonder ʼn sakrekenaar of is.

1.4**

Plaas twee irrasionale getalle tussen sakrekenaar te gebruik.

1.5**

Plaas twee rasionale getalle tussen sakrekenaar te gebruik.

© Impaq

6

784 ’n rasionale of irrasionale getal 3 en 3 en

11 sonder om ʼn 11 sonder om ʼn

Handleiding G12 ~ Wiskunde

1.6

Tema

1

1.6.1**

Bepaal of die antwoord van die volgende uitdrukkings irrasionaal of rasionaal is: Onthou die middelterm.

(3 − 64 )3 + 3 3 3 − 27

1.6.2**

(2 3 −

2) ( 2 3 +

2 )

1.6.3***

(2 3 −

2) ( 2 3 −

2 )

1.6.4***

18 − 98 – 8

2

1 9 + 2 16

1.6.5**

108 −

+

432

625

Enige vierkantswortel booor ʼn priemgetal is irrasionaal.

Onthou dat die antwoord evalueer moet word.

Video oefening 1.4 tot 1.6.1 Crl + kliek

Oefening 2: Skryfwyses Voorbeelde  {x/–1 ≤ x < 3, x ∈ R } is keurdernotasie  –1 3 Die grafiek van –1 ≤ x < 3  Intervalnotasie word slegs vir reële getalle gebruik. x ∈ [ −1 ; 3) Die vierkantige hakie beteken die getal is ingesluit terwyl die ronde hakie beteken die getal is nie ingesluit nie, dus word die –1 ingesluit en die 3 is uitgesluit.  Gewone notasie word in meeste gevalle gebruik: –1 ≤ x < 3 beteken dat die waarde van x tussen –1 en 3 is, met –1 ingesluit en 3 nie ingesluit nie.  Wanneer die vereniging gevra word, moet albei antwoorde saam gegee word. Die woord “of” word gebruik.  Wanneer die snyding gevra word, is die antwoord altyd net die waardes wat in albei stelle of deelversamelings voorkom. Die woord “en” word gebruik.

2.1* As {x/–3 ≤ x < 5 , x ∈ R}, skets die Video oefening 2.1 tot 2.3 gebied en gee die antwoord in Crl + kliek intervalnotasie.

2.2** As {h/ − 1 < h en h ≤ 7 }, skets die gebied en gee die antwoord in gewone notasie.

2.3** As {m/ 1 > h of h ≤ 3 }, skets die gebied en gee die antwoord in intervalnotasie. f = {x/ − 1 ≤ x < 4 , x ∈ R } g = {x/ 0 < x ≤ 5, x ∈ R }

2.4**

Indien

2.4.1**

Skets albei intervalle en bepaal dan f  g grafies. Gee die antwoord in intervalnotasie.

© Impaq

7

en

Handleiding G12 ~ Wiskunde

Tema

1

2.4.2**

Skets albei intervalle en bepaal dan f  g grafies. Gee die antwoord in intervalnotasie.

2.5***

Gebruik grafieke om die volgende se antwoord te bepaal. Gee die antwoord in keurdernotasie. [ − 3 ; 0)  [1 ; 4)

2.6**

Skryf slegs die antwoorde van die volgende neer. (Indien dit moeilik is, kan grafieke soos hierbo gebruik word.) Skryf al die antwoorde in intervalnotasie. Aanvaar dat x ∈ R .

2.6.1**

− 4 < x ≤ 5 of − 2 ≤ x ≤ 7

2.6.2**

x ≥ − 10 en − 3 < x < 3

2.6.3**

Bepaal {–2 < x < 8} of {–3 ≤ x < 6}

2.6.4**

Bepaal {–2 < x < 8} en {–3 ≤ x < 6}

Oefening 3: Snyding en vereniging LU 1 Ons het reeds in oefening 2 van hierdie “en”- en “of”-somme gedoen. Hierdie begrippe is altyd belangrik in wiskunde dit kom dikwels in somme en probleme voor.

In hierdie oefening gaan slegs enkele gevalle waar hierdie begrippe voorkom, bespreek word.

Video oefening 3 tot 3.2 Crl + kliek Onthou:  Snyding  beteken “en”.  Vereniging  beteken “of”.  Indien daar ʼn komma tussen bewerings geplaas word, is die bedoeling dat dit ʼn “en” is.  Indien daar niks tussen twee waardes geplaas word nie, beteken dit ook dat dit ʼn “en” is.

Oppas dus vir die “of”.

3.1*

As ʼn antwoord van ʼn som p = ± 5 is, watter een van die volgende is korrek indien dit gelees word?

A: p is plus en minus 5.

B: p is plus of minus 5.

3.2*

© Impaq

As x2 = 9, watter een van die volgende is waar?

A: x = 3 B: x = –3

8

Handleiding G12 ~ Wiskunde

Tema

1

C: x = +3 en x = –3 D: x = +3 of x = –3 3.3** 3.4**

Wat is die gesamentlike antwoord van x = 3 en x = –3?

Watter een van die volgende bewerings is korrek en verteenwoordig –4 < x < 5?

Video oefening 3.4 tot A: x is groter as –4 en kleiner as 5.

3.7 B: x is groter as –4 of kleiner as 5.

Crl + kliek C: x is kleiner as 5 en kleiner as –4.

D: x is groter as –4 of groter as 5.

3.5**

Bepaal die antwoord van –4 > x < 6.

3.6**

Bepaal die antwoord van –4 < x > 5.

3.7** 3.8****

Bepaal die antwoord van –4 > x > 5.

Bestudeer die volgende uitdrukking.

1 2 + ( x − 1)( x + 2) ( x − 3)( x + 4) Hierdie uitdrukking is ongeldig of ongedefinieerd indien die noemers gelyk is aan nul. Watter een van die volgende is die finale antwoord waarvoor die bogenoemde uitdrukking ongeldig sal wees?

A: x = 1 of x = –2, x = 3 of x = –4 B: x = 1 en x = –2 en x = 3 en x = –4 C: x = 1 of x = –2 of x = 3 of x = –4 D: x = 1, x = –2, x = 3, x = –4 Bestudeer weer die uitdrukking soos in 3.8 gegee.

2 1 + ( x − 3)( x + 4) ( x − 1)( x + 2) Hierdie uitdrukking is geldig (gedefinieerd) indien die noemers nie gelyk is aan nul nie. Watter een van die volgende is die finale antwoord waarvoor die bogenoemde uitdrukking geldig sal wees?

A: x ≠ 1 of x ≠ –2, x ≠ 3 of x ≠ –4 Onthou x ≠ –4 is B: x ≠ 1 en x ≠ –2 en x ≠ 3 en x ≠ –4 baie waardes. Dus, C: x ≠ 1 of x ≠ –2 of x ≠ 3 of x ≠ –4 almal behalwe –4.

D: x ≠ 1, x ≠ –2 of x ≠ 3, x ≠ -4

3.9***

Die maklikste om te onderskei tussen wanneer ʼn “of” en wanneer ʼn “en” gebruik moet word, is om die volgende te onthou: Vir ongeldig is dit “of” en gaan saam met die “=”-teken.

Vir geldig is dit “en” en gaan saam met die “ ≠ ”-teken.

© Impaq

9

Handleiding G12 ~ Wiskunde

Tema

3.10

Plaas ʼn “en” of “of” in die plek van die vraagtekens.

3.10.1*

{1; 2; 3; 4}

?

{1 ; 2} = {1 ; 2}

3.10.2* 3.10.3** 3.10.4** 3.10.5**

{1; 2; 3; 4} {1; 2; 3; 4} {1; 2; 3; 4} {1; 2; 3; 4}

? ? ? ?

{1 ; 2} {1 ; 2} {1 ; 2} {1 ; 2}

3.11

Plaas ʼn  of  in die plek van die vraagtekens.

3.11.1**

(–2 ; 6] ? (–3 ; 5) = (–3 ; 6]

3.11.2**

(–2 ; 6] ? (–3 ; 5) = (–2 ; 5)

3.11.3***

[–2 ; 6] ? R = [–2 ; 6]

3.12***

Watter een van die volgende is die antwoord van (x – 2)(x + 3) > 0?

A: x < 2 en x > –3 B: x < 2 of x > –3 Video oefening 3.12 C: x > 2 of x < –3 Crl + kliek D: x > 2 en x < –3 E: x < 2, x > –3

= {1; 2; 3; 4} ? {5} = {1; 2; 5} ? {5} = {1; 2; 3; 4; 5} ? {5} = { }

Oefening 4: Reëls wat altyd geld LU 1 Let wel:  Negatiewe eksponente (in antwoorde) moet altyd positief wees.

1 1 Voorbeeld: 2-3 = 3 = 8 2  Irrasionale noemers moet gerasionaliseer word.

1 1 2 2 Voorbeeld: = = 2 2 2 2 4.1* 4.2**

Vereenvoudig:

© Impaq

2

+

Video oefening 4.1 tot 4.3 Crl + kliek

3 2

Vereenvoudig: 2 −4

4.3**

1

x

2 −3

Vereenvoudig die volgende en benader die antwoord korrek tot drie desimale syfers.

2,6 x 6,3

10

1

Handleiding G12 ~ Wiskunde

4.4**

4.5***

1

Tema

Vereenvoudig die volgende met ʼn sakrekenaar en benader die antwoord korrek tot twee desimale syfers.

1 20 + 3 Bestudeer die volgende breuk met ʼn irrasionale noemer en teller.

5+ 3

4.5.1***

4.5.2****

5− 3 (i) Rasionaliseer die noemer van die bogenoemde breuk. Geen sakrekenaar mag gebruik word nie. (ii) Rasionaliseer die teller van die bogenoemde breuk.

Bewys vervolgens of andersins dat: 14 + 5 3 11

=

Video oefening 4.5.1 Crl + kliek

11 14 − 5 3

Oefening 5: Gemengde oefeninge 5.1***

Vereenvoudig sonder die gebruik van ʼn sakrekenaar.

72 +

Punte: 22 (6)

50

24 5.2*** Vereenvoudig: 5.3*** 5.4**

5.5**

2 − x 4 −2 x

(4) vir x > 0

8− x Los op vir x as (x + 2)(4 – x) < 0 en x ≤ 0.

Skryf die antwoord in keurdernotasie.

Bepaal of die volgende uitdrukking positief of negatief vir enige waarde van x ∈ Z is.

3x2 + 24x + 48 Bepaal of die volgende uitdrukking ʼn ewe of onewe getal vir enige heelgetal waarde van x is: (2x – 1)3 + (1 – 2x)2

(5) (3)

(4)

Bibliografie Laridon. Wiskunde vir die klaskamer standerd 9.

Seeliger, M. (2007). Prac Wiskunde Studiegids Graad 12. Pretoria: JNB Publishers.

© Impaq

11

Handleiding G12 ~ Wiskunde

Tema

Inhoudsopgawe Tema 2: Logaritmes

Oefening

Bladsy

Van eksponente na logaritmes

bl. 14

1

Definisie

bl. 17

2

Logaritmewette

bl. 18

3

Vereenvoudiging van uitdrukkings

bl. 20

4

Vergelykings met logaritmeterme

bl. 23

5

Vergelykings sonder logaritmeterme

bl. 24

6

Logaritmegrafieke en eksponensiĂŤle grafieke

bl. 26

7

Gemengde oefeninge

bl. 27

Bibliografie

Š Impaq

12

2

Handleiding G12 ~ Wiskunde

Tema

Aan die einde van hierdie eenheid moet jy in staat wees om die volgende te doen: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

© Impaq

Weet hoekom eksponente logaritmes word.

Definieer logaritmes.

Lei die wette van logaritmes af.

Vereenvoudig uitdrukkings wat logaritmes bevat.

Los berekeninge met logaritmeterme op.

Evalueer logaritmes met of sonder ʼn sakrekenaar.

Los eksponensiële vergelykings op deur ʼn sakrekenaar te gebruik.

Los groei- en vervalprobleme in die alledaagse lewe op.

Berekeninge van die logaritme-grafieke, die inverse van eksponensiële grafieke en refleks beelde.

13

2

Handleiding G12 ~ Wiskunde

Tema

Van eksponente tot logaritmes LU1 en LU2 1.

2.

Definisie am = a.a.a.a... m faktore a ε R, m ε N0 Wette Wet (1) am x an = am + n

34 x 32 = 36

(2) am ÷ an = am - n

26 ÷ 22 = 24

m n

(3) (a ) (4) 3.

Voorbeeld

n

mxn

3 2

=a

Eksponente word hier slegs as inleidend tot logaritmes bespreek.

Dit word in eenheid 3 herhaal.

6

(2 ) = 2

am = am ÷ n

3

212 = 24

Reëls (1) Eindig altyd met positiewe eksponente.

Voorbeeld 1: 3-2 = 1 = 1 9 32 Voorbeeld 2:

2. 5-1 = 2 = 2 1 5

5

(2) Enige iets tot die mag 0 is 1, behalwe 00.

Voorbeeld 1:

a0 = 0, a ≠ 0

Voorbeeld 2:

40 = 1

(3) Wet 3 herhaaldelik toegepas.

Voorbeeld: (3 a2 b3)2 = 9a4b6

(4) Geen wette vir + en – nie.

Werk elke getal afsonderlik uit.

Voorbeeld: 32 + 33 = 9 + 27 = 36

© Impaq

14

Ctr + kliek Video Teorie

2

Handleiding G12 ~ Wiskunde

4.

Tema

Eksponensiële uitdrukkings −2

1

(1) (16) 4 x (8) 3 1 4 4 (2 )

= x 1 -2 = 2 x2 = 2-1 = 1 2

−2 3 3 (2 )

3n +1 9n +1 (2) ÷ (3n )n −1 (3n −1 )n +1 =

=

3

3n

2

n2 − n

3n 3n

2

÷

−n

3n +1 3

=

n +1

2

x

•

Slegs x en ÷ (faktore).

•

Maak grondtalle priem.

•

Pas wette toe.

•

Slegs x en ÷ (faktore).

•

Maak grondtalle priem.

•

Pas wette toe.

•

Terme (+ en/of -).

•

Faktoriseer.

•

Kanselleer.

•

Vereenvoudig.

2 n +1

(3 ) 3n 3n

2

2

−1

−1

3 2n + 2

+n

+n+2

= 3-2 = 1 9 x+2 x (3) 3. 2 − 4. 2 2x − 2x + 1 x x 2 = 3. 2 − 4. 2 . 2 2 x − 2 x . 21 x 2 = 2 ( 3 − 4. 2 ) 2 x (1− 21 )

= 3 − 4. 2 1− 21 3 − 16 = 1− 2

2

− 13 −1 = 13 =

© Impaq

15

2

Handleiding G12 ~ Wiskunde

5.

Tema

2

Eksponensiële vergelykings (1) 3x+ 1 = 9x – 4 3x+ 1 = (32) x – 4 3x+ 1 = 32x – 8 x + 1 = 2x – 8 -x = -9 x=9 (2)

(3)

• • • • •

Maak grondtalle priem.

Weerskante dieselfde grondtal.

Pas wet 3 toe.

Bring magte grond toe.

Vereenvoudig.

5x + 1 = 1 5x + 1 = 50 x+1=0 x = –1 2 3 3x 2 3 x

Daar mag slegs een getal aan elke kant van die = wees.

•

Deel die 3 weg.

•

Verhef weerskante tot mag 3 .

2 3 ± want is ʼn ewemagswortel.

2

= 48 = 16 3

x = ± (2 4 ) 2 = ± 26 (4) 32x + 1 = -9 + 28.3x 3. 32x – 28.3x + 9 = 0 (3. 3x – 1)(3x – 9) = 0 3. 3x – 1= 0 of 3x – 9=0 3x = 1 of 3x = 9

• • • • • •

Identifiseer as drieterm.

Kry in standaardvorm.

Faktoriseer.

Skei.

Volg metode soos hierbo beskryf.

3 x

3 = 3-1 x = -1

6.

3x = 32 x=2

Aansluiting by logaritmes Die volgende eksponentsom kan nie met gewone eksponente opgelos word nie.

3x = 5 [5 kan nie as 3iets geskryf word nie] Om hierdie probleem op te los, word logaritmes gebruik.

Met behulp van logaritmes kan enige getal as 10iets geskryf word.

3x = 5 Gebruik jou sakrekenaar om die (10Log3)x = (10Log5) basisgetalle elk 10 te maak. Die x log 3 = log 5 standaardwette is geldig vir die res van die som. x = log 5 log 3 = 1,465

© Impaq

16

Handleiding G12 ~ Wiskunde

Tema

2

Logaritmes Oefening 1: Definisie LU 1

As x = a y dan is y = Loga x Beperkings : x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 Onthou ook dat as daar nie ʼn grondtal geskryf is nie dit altyd ʼn 10 is.

Bv. Log a = Log10 a Skryf die volgende in logaritmevorm deur die definisie te gebruik.

1.1*

23 = 8

1.2*

25 2 = 5

1.3*

52 = 25

1.4**

2 −3 =

1.5**

31 = 3

1.6***

3 Log2 3 = k

1.7****

ax = b

1.8***

20 = 1

Ctr + kliek Video Oefening 1.1 tot 1.3

1

Skryf in Log-vorm

1 8

Voorbeeld: 102 = 100 beteken 2 = Log10100

Doen nou die omgekeerde en skryf die volgende logaritme vergelykings in eksponensiële formaat. Moenie vereenvoudig of oplos nie. Leer net eers die gebruik van die definisie.

1.9*

m = Log3 2

1.10*

k = log100

1.11**

1 = Log a b 2

1.12***

Log3 = 0,3m

1.13***

1 Log3( ) = y 9

1.14**

Log10 = p

1.15**

© Impaq

Log32x =

−3 5

Ctr + kliek Video Oefening 1.9 tot 1.12

Skryf in eksponentvorm 4 = log x beteken 104 = x (kyk weer na die definisie)

17