Gr 12-Wiskunde-Fasiliteerdersgids

Í5,È-A-MAM-FG01ÉÎ Í4+È-A-MAM-FG01ÆÎ

2

1 1 2 0 1

-

A

-

M

A

M

-

F

G

0

1

WISKUNDE FASILITEERDERSGIDS

12 Graad 11

Wiskunde

2 11 2 - A - M A M - F G 0 1

Fasiliteerdersgids Graad 12

Aangepas vir KABV

DM Oost

Í5,È-A-MAM-FG01ÉÎ

INHOUDSOPGAWE Bladsy 1

Studiebrief

2

2

Gereedheidseksamen Vraestel 1 van 2 plus memo

8

3

Gereedheidseksamen Vraestel 2 van 2 plus memo

22

4

Memorandum van Handleiding

37

©Optimi

1

G12 – Wiskunde

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids INHOUDSOPGAWE

1.2 Hierdie brief dien as riglyn aan fasiliteerders oor die volgende: y Gereedheidseksamenvraestelle y Watter werk gedoen moet word. y Jaarplan y Die vyf moeilikheidsvlakke en wat elkeen beteken. y Hoe die handleiding gebruik kan word.

Riglyne vir fasiliteerders

1.

1

Algemeen

2

2

Handleiding

3

3

Jaarpuntopdragte (SGA – take)

3

4

Moeilikheidsvlakke

3

5

Jaarplan

5

6

Hersiening

5

7

Eksamenriglyne

5

1.3 Gereedheidseksamens Ingesluit by hierdie fasiliteerdergids is twee toelatingseksamens wat deur elke kandidaat wat nie die vorige jaar graad 11 by Impaq afgelê het nie, geskryf moet word. Indien die kandidaat dus vir die eerste keer in graad 12 deur Impaq onderrig word, moet hy/sy hierdie twee ϐ ²Ǥ

Algemeen 1.1 Maak heel eerste seker dat die volgende stukke in jou besit is: y Õ Handleiding met die betrokke jaar se leermateriaal. y Õ Fasiliteerdersgids wat die volgende bevat: ȇ hierdie inligtingsbrief, ȇ gereedheidseksamenvraestelle om die leerder se agtergrondkennis te toets, ȇ die jaarprogram vir graad 12 ȇ die memorandum van die handleiding waarin al die antwoorde uiteengesit is. y Õ ǣ ȇ Algemene inligtingsbrief met belangrike inligting rakende die take. ȇ Die sperdatums waarop take aan Impaq gestuur moet word. ȇ Alle toetse en take met ander woorde die jaarpuntopdragte ȇ (SGA-take) vir hierdie jaar. ȇ Die eksamenvraestelle wat later aan jou gestuur sal word. y Õ DVD met al die video’s waarna in die handleiding verwys word.

Let wel: Dit speel slegs op ’n rekenaar, nie deur ’n DVD-speler nie.

Jy moet self die vraestelle nasien en enige agterstande wat die kandidaat mag ervaar so gou as moontlik laat inhaal. Sukses in graad 12 is slegs moontlik indien jou kind die graad 11-werk bemeester het en die werk met gemak kan hanteer. Elke handleiding van Wiskunde

by Impaq maak staat op kandidate se agtergrondkennis, begrip en ´ ϐ Ǥ Õ en is later feitlik onmoontlik om uit te wis indien daar nie vinnig werk van gemaak word nie. Die gereedheidseksamen moet nie aan Impaq gestuur word nie. Die doel daarvan is slegs om te verseker dat kandidate graad 11-werk verstaan voordat graad 12 aangepak word.

Õ ǡ graad 11-Wiskundemateriaal vanaf Impaq aangekoop word en eers deurgewerk word. Dit sal ook handig wees om te hê wanneer daar terugverwys word na graad 11-inhoud.

2

2.

Handleiding

4.

Die handleiding bevat verwysings en oefeninge om konsepte, begrippe, vaardighede en kennis van Wiskunde te ontwikkel. Õ Õ DVD-speler nie.

Moeilikheidsvlakke Hierdie uiteensetting word gehandhaaf in alle toetse en eksamens. Die aantal asteriske wat langs elke som in die handleiding verskyn, dui op die moeilikheidsgraad.

Assesseringsematiek *

Basiese teorie en begrippe is nodig voordat bewerkings gedoen kan word. Hierdie deel behoort 20% van jou punt te tel. Dit kan verwerf word deur net te leer.

**

Eenvoudige bewerkings wat as maklik beskou word en ingeoefen kan word. Vrae word direk gevra. Hierdie gedeelte tel 35%.

***

Komplekse bewerkings wat kombinasies van die vorige werk behels. Vrae word indirek gevra en begrip word hier getoets. Hierdie somme word nie dadelik herken nie en kandidate moet dus eers bewerkings oorweeg voordat dit bekend sal raak. Hierdie gedeelte tel 30%.

****

Die moeilike gedeelte van elke vraestel. Hier moet kandidate hul vermoë om te redeneer bewys en ook hul kennis kan toepas. Dit is die deel van wiskunde wat nie in die werkboeke en handleidings geplaas is nie. Dit vorm 15% van elke vraestel en kan nooit te moeilik wees nie.

Moeilikheidsvlak 1

Moeilikheidsvlak 2

Aanbevole sakrekenaar is die CASIO f𝑥-82ES (Plus) Die gebruik van die handleiding: ȇ Bestudeer die teorie en voorbeelde met al die geskrewe verduidelikings. ȇ Õ in die memorandum te kyk. ȇ Daar is videomateriaal by elke oefening wat gebruik kan word indien sekere somme nie verstaan word nie. Hierdie videomateriaal is op die DVD beskikbaar.

Enige ander bron kan met sukses vir hersiening en hulp aangewend word..

3.

Moeilikheidsvlak 3

Jaarpuntopdragte (SGA-take)

Moeilikheidsvlak 4

Toetse en take word in die portefeuljeboek uiteengesit. Die volgende is ook in die portefeuljeboek: ȇ Sperdatums vir inhandiging van take. ȇ Metodes vir inhandiging. ȇ Puntestaat om verwerking van punte te verduidelik. ȇ Wie die take assesseer. ȇ Berekening van jaarpunte. ©Optimi

Moeilikheidsvlak 5

3

***** Gevorderd

G12 – Wiskunde

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 5. Jaarplan:

Onthou dat vraestel 1 in ‘n eksamen hoofsaaklik leeruitkomste 1 en 2 bevat en vraestel 2 dan leeruitkomste 3 en 4. Dit is egter nie so dat hierdie werk nie gemeng kan word nie. Wees altyd bewus daarvan dat basiese tegnieke in alle vraestelle gevra kan word. ’n Paar hiervan is: ȇ Oplos van vergelykings ȇ Faktorisering ȇ Vereenvoudiging en vervanging ȇ Optel, aftrek, vermenigvuldiging en deling ȇ

ϐ

(Gebruik die handleiding hiervoor.)

Kwartaal 1 Eenheid Januarie tot Maart

Kwartaal 2 April tot Junie

Onderwerp

Lesse

*

1

Getallestelsels

2

*

3

Algebra

5

*

2

Logaritmes (eksponente)

6

14 (oefening 1 – 4)

Differensiale calculus

5

11

Funksies

12

12

Trigonometrie

5.2 Eenheid

Eenheid

Onderwerp

Lesse

11

8

Finansies

10

Euklidiese meetkunde

9

10

Waarskynlikheid

5

Onderwerp

Lesse

5.1

Ruimte en vorm

3

*

6

Transformasie

1

*

7

Verhouding en koers

1

*

14 (oefening 5 – 8)

Differensiale calculus

13

Analitiese meetkunde

6

4

Getalpatrone(Rye en Reekse)

10

9

Statistiek

5

Kwartaal 3 Julie tot Augustus

*

5

*

Hersiening Die goue reëls vir toetse en eksamens is: ȇ Ken al die formules uit jou kop. ȇ Rasionaliseer alle noemers. ȇ Maak alle eksponente positief. ȇ Benader alle antwoorde net een keer in die antwoord en nie op verskeie plekke in die som nie.

*

4

6.

͹Ǥʹ Õ ǣ ȇ Õ rooi, groen en swart gebruik. ȇ ϐ word nie. Sketse mag in potlood gedoen word. ȇ ϐ Ȃ ǡ byvoorbeeld by lineêre programmering. ȇ Ǧ ‫ݔ‬Ǥ ǡ dood en skryf die regte antwoord. Probeer om netjies te werk en maak seker dat daar geen verwarring is oor wat gemerk moet word nie. ȇ Nommer die vrae korrek soos dit in die vraestel is. ȇ Õ Õ Ǥ ȇ Õ Õ Ǥ ȇ Skryf jou naam, graad en studentenommer op elke bladsy wat jy moet inhandig. Dit word waardeer as die bladsye genommer is in die volgorde wat dit gemerk moet word. ȇ Õ en dat dit nie iewers anders verder gaan nie. ȇ ² Õ voorblad vas sodat geen bladsye wegraak nie. ȇ Maak seker dat jou sakrekenaar in die regte mode, naamlik DEG, is ȋ ȌǤ Õ ͵Ͳι Õ eksamen op jou sakrekenaar te druk. As die antwoord 0,5 is, weet jy jou sakrekenaar is reg. ȇ Onthou slegs die eerste poging word nagesien tensy dit doodgetrek Ǥ Õ ǡ Õ Ǥ poging word gemerk al is die tweede poging die regte antwoord. ȇ Õ Ǧ ǡ Ǧ ϐ sakrekenaar by jou voor jy begin skryf. Weet hoe om die mode te verander. Onthou om jou sakrekenaar nie te gebruik nie indien dit by die vraag staan.

Hersiening Dit is baie belangrik dat kandidate so gou as moontlik vraestelle doen om hulle sodoende voor te berei vir die eksterne eksamen. Die eksamenhulpboek is ideaal vir hierdie doel. Dit bevat vorige Senior ϐ Ǧ Ǥ Õ doen en dit self nasien. Dit kan as deel van die informele assessering Ǥ Õ deurgewerk het, sal hy/sy gereed wees vir die NSS-eksamen. Verkry hierdie boek by Eksamenhulp: 012 365 1824.

7.

Eksamenriglyne 7.1 Moets en moenies vir die eksamen: ȇ Õ ǡ ϐ ǡ Õ belangrike eksamen is wat sy/haar toekoms bepaal. Dit is belangrik dat die kandidaat gesond eet, baie water drink en so min as moontlik aan stres blootgestel word. ȇ

Ǥ Õ ´ gerus het, maak nalatige foute. ȇ Wiskunde word stelselmatig geleer deur getrou Wiskunde-oefeninge te doen en lank voor die tyd voor te berei. Daar moet deur soveel as moontlik vorige eksamenvraestelle gewerk word. ȇ Deur vrae te herhaal en die antwoord uit geheue te skryf, beteken nie dat jy die vraag in die eksamen sal kan beantwoord nie. Verskillende vrae moet egter vergelyk word en die verskille tussen dit moet gesien word en hoe die antwoorde ook verskil. Kyk na verskillende Õ Ǥ sukkel en vra vir hulp as dit nodig is. Moenie hierdie stappe waarmee jy sukkel bloot oorslaan nie omdat dit help om die som te verstaan.

Sekere stappe tel ook punte.

©Optimi

5

G12 – Wiskunde

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids ͹Ǥ͵ Õ ǣ ȇ Lees altyd eers deur die instruksies van die vraestel. Maak seker dat jy die instruksies deeglik volg, bv. die afronding. ȇ Ǥ Õ Ǥ waar jy moet wees na helfte van die tyd verby is. Geen som is meer as Ǥ Õ Ǥ ȇ Probeer om eerste die makliker vrae en die waarmee jy goed is eerste te doen. Doen egter een vraag en sy subvrae klaar voor jy aangaan. Õ Ǥ Die moeilikste vrae word nie laaste in die vraestel gevra nie. Lees eers deur die hele vraestel en besluit waar om te begin. ȇ Õ Ǥ ȇ Ǥ Õ Õ Õ Ǥ ȇ Onthou dat slegs wat jy skryf gemerk kan word en nie dit wat jy bedoel

y

y

y y

y

nie. Byvoorbeeld: (2)3𝑥 + 1 beteken 6𝑥 + 1; nie vraag 2 met die som

y

3𝑥 + 1 langs dit nie. ȇ ȇ ȇ

ȇ

Õ ǣ ʹ𝑥 + 1 (𝑥 – 1) beteken nie (2𝑥+1)(𝑥 – 1) nie en 2,3 is nie 2.3 nie. DzαdzǦ Õ Ǥ By vrae soos analitiese meetkunde is dit sinvol om die sketse min of meer op skaal te teken sodat antwoorde geëvalueer kan word ten opsigte van kwadrant en dus die teken.

Dikwels kan antwoorde uit simmetrie bepaal word, veral by analitiese en transformasiemeetkunde. Ook in hierdie geval is ’n skets wat min of meer op skaal is baie nuttig.

ȇ

͹ǤͶ ȇ Vraestel 1 y

Los op vir 𝑥 Õ Ǥ Õ goeie punt vir die vraag kry. Maak veral seker dat jy nie tekenfoute 6

maak nie.

Indien verkeerde formules by rye en reekse gebruik word, is daar geen opvolgpunte nie. Doen dus moeite om die ry/reeks eers te toets vir rekenkundig [T2 – T1 = T3 – T2] of meetkundig [T2 ÷ T1 = T3 ÷ T2].

ϐ Ȃ daaraan. Maak seker dat jy die transformasiereëls ken en reg op funksies kan toepas (op/af skuif en links/regs skuif).

Maak ook seker dat jy die regte formule by Finansiële Wiskunde beet het – verkeerde formule beteken geen punte nie.

Differensiasie se notasie moet korrek wees. Kyk mooi wanneer moet “lim” weggelaat word en let op die verskillende skryfwyses van afgeleides.

Liniêre programmering tel baie punte. Al kan jy nie die regte Õ gebied en lees jou antwoorde daarvandaan af, m.a.w. veg vir opvolgpunte.

Onthou om die asse, lyne en gangbare gebied te benoem. Skryf die doelfunksie neer en bereken die maksimum/minimum waarde volgens jou koördinate.

Vraestel 2 y Hierdie vraestel bestaan uit analitiese meetkunde, transformasiemeetkunde, Euklidiese meetkunde, statistiek, vormleer en trigonometrie. Begin by die afdeling wat vir jou die maklikste is en los die afdeling wat vir jou die moeilikste is vir laaste. y Vormleer word nie altyd gevra nie. y Trigonometrie kan verdeel word in herleidingformules en standaardhoeke, Pythagoras, oplos van trigonometriese vergelykings oplos van driehoeke (sin-, cos- en oppervlakte reël) Ǧ ϐ Ǥ y Indien trigonometrie nie jou sterkpunt is nie, maak seker dat jy

y

y y y

©Optimi

minstens twee of drie van hierdie afdelings wel bemeester het.

Trigonometrie tel baie punte.

Statistiek in graad 12 is dieselfde as graad 11 met fokus op berekeninge met die sakrekenaar. Dit is die bepaling van standaardafwyking, gemiddeld en mediaan van data. Teken van die vyfpunt-stingel-en-blaardiagram en interpretasie van die ogief is belangrik en word oor die algemeen gevra.

In analitiese meetkunde word die sirkel ingesluit asook die Õ Ǥ Ǥ Maak seker jy ken en verstaan die basiese reëls en formules vir die uitwerk van volume, oppervlakte en afstande.

ϐ Ǧ Ǧ deur jou gemiddeld van elke vraag te bereken. Elke vraag wat onder jou eie gemiddeld is dan jou swakpunte. Fokus dan op daardie afdelings.

7

G12 – Wiskunde

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids WISKUNDE VRAESTEL 1 VAN 2 GRAAD 12 GEREEDHEIDSEKSAMEN EKSAMINATOR: D. Oost MODERATOR: S. Naudé

TOTAAL: 150 TYD: 3 ure

(4)

2.4

𝑥 3 6 ᩿ ᩿ ᩿Ȃ ᩿ _ ᩿ ᩿ ᩿α ᩿ __ ᩿ ᩿ ᩿ ᩿ _ 𝑥 – 1 𝑥 + 1 𝑥᩿ 2᩿ Ȃ᩿ͳ

(6)

2.5

Los 𝑥 en 𝑦 gelyktydig op

(7) [25]

Vraag 3

Eksponente

3.1

Vereenvoudig:

3.2

‫ݕ‬ǣ ͵Ǥͻ‫ = ݕ‬ξ᩿͵᩿ ᩿

3.3

Los op vir 𝑥: 21 + 𝑥 + 2𝑥 – 1 = 320

__ 5

√

1 _

243 125 3 _ – _ 1024 ( 64 ) _

(6) (5) (6) (17)

Vraag 1

Getalbegrip

1.1

𝑥 + 2𝑥 – 3 _______ Vereenvoudig: __ έ ᩿ (4𝑥᩿Ȃ᩿ͺ)᩿​᩿ ᩿ 16 – 8𝑥 𝑥+3

(5)

Ȃ ‫ݔ‬ ᩿ 2 Ϊ ͸‫ ݔ‬ȂͳͲ ( ‫ݔ‬᩿Ȃ᩿ )᩿ 2 + q deur middel van vierkantsvoltooiing.

(4)

2

Vraag 4

4.1

Õ Ǥ

(2)

4.2

Skryf die volgende drie getalle in die patroon neer.

(3)

4.3 4.3.1

Bereken vervolgens: Die nde term van die getalpatroon.

4.3.2

Bereken die 100 getal in die getalpatroon

Algebraïese Vergelykings Los op vir 𝑥:

2.1

3𝑥 2 + 2𝑥 – 6 = 0

(5)

2.2

(𝑥 – 3)(𝑥 – 4) = 2

(3)

Getalpatrone Bestudeer die volgende getalpatroon 5; 10; 17; 26; ------

(9) Vraag 2

(𝑥 – 2)2 ≤ –9𝑥

𝑥 – 3 = 2𝑦 en (2𝑥 – 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = 0

Instruksies: y Beantwoord al die vrae. y Õ Ǥ y Toon alle stappe. y Sakrekenaars mag gebruik word tensy anders vermeld. y Benader waar nodig korrek tot twee desimale syfers. y Geen formuleblad word voorsien nie

1.2

2.3

ste

(6) (2) (13)

8

Vraag 5

Finansies

5.1

Meneer Jones het aandele teen R30,50 per aandeel Õ ϐ ´ Ǥ verkoop Meneer Jones die aandele teen R24,60.

Bereken die waardeverminderingskoers per jaar indien die rente jaarliks saamgestel word.

5.2

5.3

5.4

Bereken die effektiewe koers indien die nominale koers 15% per jaar is en maandeliks saamgestel word.

6.1.2

Bereken die 𝑥- en 𝑦-afsnitte van h.

(4)

6.1.3

ϐ Ǥ ǡ ǡ draaipunte asook minstens een verwysingspunt op die kurwe aan.

(5)

6.1.4

Bepaal die vergelyking van die simmetriese as van h.

(4)

6.2

ϐ ǣ

(5)

(6)

Õ Õ Ǥ Õ aangegroei tot R14 000 gegroei. Rente gedurende die eerste vier jaar is 9% per jaar, jaarliks saamgestel en vir die oorblywende drie jaar is rente teen 13% per jaar, maandeliks saamgestel. Wat was die bedrag wat Anton gedeponeer het?

(6)

² ʹ͸ ͲͲͲ Õ Ǥ Ͷͷ jaar wil sy graag R1 000 000 ontvang.

Bereken die rentekoers benodig per jaar indien die rente enkelvoudige saamgestel word (reglynig bereken word).

(5)

f(𝑥) = –𝑥² +2𝑥 +3 en g(𝑥) = 𝑥 + 2 y-as C g B

A

D

F 0

E

x-as

G

(22) Vraag 6

ϐ

6.1

2 Gegee: h(𝑥) α ᩿ _ ᩿ ᩿ ᩿Ϊ ͳ 𝑥–3

6.1.1

Bereken die vergelyking van die asimptote van h.

©Optimi

(2)

9

6.2.1

Bereken die lengte van AE

(4)

6.2.2

Bereken die koördinate van C (die draaipunt) met behulp van vierkantsvoltooiing.

(4)

G12 – Wiskunde

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 6.2.3

Bereken die lengte van CG.

7.4

(1)

Bereken die waardeversameling van f.

(3)

6.2.4

Bereken die lengte van BF.

(2)

6.2.5

Bereken die koördinate van D.

(5)

6.2.6

´ ϐ (3)

(10)

f tussen 𝑥 = 1 en 𝑥 = 2.

Waarskynlikheid

8.1***

Gee twee beweringe wat waar is indien gebeurtenis A en B onderling uitsluitend is.

8.2**

[34] Vraag 7

Vraag 8

Gee die stelling vir die vereniging van twee nieuitsluitende gebeurtenisse.

(2)

Ǧ ϐ ȋ ʹȌ Õ ϐ ǣ ȋ𝑥) = sin b𝑥 en g(𝑥) = sin (𝑥 Ϊ ȽȌ 𝑥 ɂ ȏȂ͵͸Ͳι Ǣ ͵͸ͲιȐǤ y-as g

(2)

8.3**

Wanneer is gebeurtenisse uitputtend ?

8.4**

ϐ ǫ

(2)

(2)

f

(10) Vraag 9

x-as –360°

–180°

0°

180°

360°

Õ ͷʹ deelversamelings het: S = {52 kaarte} R = {Rooi kaarte} P = {Prente}

A

7.1

Bereken die waarde van b

7.2

Bereken α as 𝑥 A α ʹʹͷι

7.3

Bereken 𝑥 as g(𝑥Ȍ ζ Ͳ 𝑥 ɂ ȋȂ͵͸ͲιǢ ͲιȌ

9.1**

Õ Ǧ Ǥ

(2)

9.2*

Watter kaarte is nie in R of P nie?

(1)

9.3*

Ǧ ϐ Ǥ

(3)

(2)

(2) (3)

10

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids WISKUNDE VRAESTEL 1 VAN 2 GRAAD 12 GEREEDHEIDSEKSAMEN MEMORANDUM

Vraag 2

Los op vir 𝑥: 2.1

Getalbegrip

1.1

𝑥 + 2𝑥 – 3 _______ Vereenvoudig: __ έ ᩿ (4𝑥᩿Ȃ᩿ͺ)᩿​᩿ ᩿ 16 – 8𝑥 𝑥+3

_________

𝑥 2+ 2𝑥 – 3 _______ __ έ ᩿ (4𝑥᩿Ȃ᩿ͺ)᩿​᩿ ᩿ 16 – 8𝑥 𝑥+3 (_____________ 𝑥 + 3)(𝑥 1) _________ 4(𝑥 – 2) α ᩿ 8(ʹ᩿Ȃ᩿𝑥)᩿ ᩿ ᩿ έ ᩿ ( ᩿ ᩿ 999 𝑥 + 3) –(𝑥 – 1) ____

᩿ ᩿ 9

–𝑥 + 1 =_ 9 2

1.2

≈ 1,12 9 3 vir faktore 2 vir antwoorde

(5)

2.2

Ȃ ‫ݔ‬ ᩿ 2 Ϊ ͸‫ ݔ‬ȂͳͲ ( ‫ݔ‬᩿Ȃ᩿ )᩿ 2 + q deur middel van vierkantsvoltooiing.

–𝑥 + 6𝑥 –10 = – (𝑥 2 – 6𝑥) – 10 9 = – (𝑥 2 – 6𝑥 + 9 – 9) – 10 = – (𝑥 – 3) 2+ 9 – 10 9 99

99

–1,79 9

of

(5)

(𝑥 – 3)(𝑥 – 4) = 2 1 vir gelyk aan nul 1 vir faktore 1 vir 2 antwoorde

(𝑥 – 3)(𝑥 – 4) = 2 ∴ 𝑥 2 – 7𝑥 + 12 – 2 = 0 ∴ 𝑥 2 – 7𝑥 + 10 = 0

2

= – (𝑥 – 3) 2 – 1

2 vir vervanging 1 vir vereenvoudiging 2 vir antwoorde

–2 ± √ 4 – 4(3)(–6) 𝑥 = ______________ 2(3) _ √ –2 ± 4 + 72 = _______ 6_ –2 ± √ 76 _______ = 9 6

2

᩿ 2

3𝑥 2 + 2𝑥 – 6 = 0 3𝑥 2 + 2𝑥 – 6 = 0

Vraag 1

α ᩿

Algebraïese Vergelykings

9

∴ (𝑥 – 5)(𝑥 – 2) = 0 9 ∴ 𝑥 = 5 of 𝑥 = 2 9 1 vir bytel van 9 1 vir faktore 2 vir antwoord

2.3

(3)

y-as

(𝑥 – 2)2 ≤ –9𝑥

(4)

(𝑥 – 2)2 ≤ –9𝑥 ∴ 𝑥 2 – 4𝑥 + 4 ≤ –9𝑥 –4 ∴ 𝑥 2 + 5𝑥 + 4 ≤ 0 9 ∴ (𝑥 + 4)(𝑥 + 1) ≤ 0 9

(9)

–1

–4 ≤ 𝑥 ≤ –1 99 12

x-as (4)

2.4

𝑥 3 6 ᩿ ᩿ ᩿Ȃ ᩿ _ ᩿ ᩿ ᩿α ᩿ __ ᩿ ᩿ ᩿ ᩿ _ 𝑥 – 1 𝑥 + 1 𝑥᩿ 2᩿ Ȃ᩿ͳ 𝑥 3 6 ᩿ ᩿ ᩿Ȃ ᩿ _ ᩿ ᩿ ᩿α ᩿ __ ᩿ ᩿ ᩿ ᩿ _ 𝑥 – 1 𝑥 + 1 𝑥᩿ 2᩿ Ȃ᩿ͳ

∴ kgv = (𝑥 – 1)(𝑥 + 1) ∴ 𝑥(𝑥 + 1) – 3(𝑥 – 1) = 6 9 ∴ 𝑥 2 + 𝑥 – 3𝑥 + 3 – 6 = 0 ∴ 𝑥 2 – 2𝑥 – 3 = 0 9 ∴ (𝑥 – 3)(𝑥 + 1) = 0 9 ∴ 𝑥 – 3 = 0 of 𝑥 + 1 = 0 ∴𝑥=3

𝑥 – 3 = 2(–2) ∴𝑥=–4+3 ∴ 𝑥 = –1 Oplossing:

𝑥 = –1 9 Noemers = 0 (𝑥 + 1)(𝑥 – 1) = 0 𝑥 = –1 of 𝑥 = 1 9

Los 𝑥 en 𝑦 gelyktydig op

𝑥 – 3 = 2𝑦 en (2𝑥 – 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = 0 𝑥 – 3 = 2𝑦 ...........................1 (2𝑥 – 𝑦)(𝑥 +𝑦) = 0.................2

9

of 𝑥 – 3 = 2(–1) ∴ 𝑥 = –2 + 3 𝑥=1 9 9

(–1 ; –2), (1 ; –1)

[25]

Ongeldig vir:

Oplossing = {3} 9 2.5

Vervang terug in 1

1 vir term met KGV 1 vir vereenvoudiging en = 0 1 vir faktore 1 vir die twee antwoorde 1 vir die beperking 1 vir die oplossing Vraag 3

Eksponente

3.1

Vereenvoudig:

__

__ 5

√

ξ

5

___ 5

= _34 – _54

1 _

3

᩿_ 13᩿

9 9

9 9

͵᩿Ȃ᩿ͷ α ᩿ _ ᩿ ᩿ ᩿ 9 4

1 vir vervanging van die een in die ander 1 vir vereenvoudiging = 0 2 vir antwoorde 2 vir terugvervanging 1 vir antwoord

√

1 _

243 125 3 _ _ – ( 1024 64 )

243 125 3 _ – _ 1024 ( 64 )

= ᩿ ᩿___ ͵Ͷ ᩿​᩿ 5᩿ ᩿Ȃ (᩿___ ͷͶ ᩿​᩿ 3᩿) ᩿

(6)

5

–2 –1 α ᩿ _ ᩿ ᩿ α ᩿_ ᩿ ᩿ 9 4 2

2 vir priemfaktore 2 vir elke term se vereenvoudiging 1 vir gesamentlike antwoord 1 vir vereenvoudigde antwoord (6)

Uit 1:

𝑥 = 2𝑦 + 3 vervang in 2 ∴ {2(2𝑦 + 3) –𝑦}{2𝑦 + 3 + 𝑦} = 0 9 ∴{4𝑦 + 6 –𝑦}{3𝑦 + 3} = 0 9 ∴{3𝑦 + 6}{3𝑦 + 3} = 0 ∴ 3𝑦 + 6 = 0 of 3𝑦 + 3 = 0 ∴ 3𝑦 = –3 9 ∴ 3𝑦 = –6 9 ∴ 𝑦 = –2

©Optimi

∴ 𝑦 = –1

(7) 13

G12 – Wiskunde

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 3.2

_

‫ݕ‬ǣ ͵Ǥͻ‫ = ݕ‬ξ᩿͵᩿ ᩿

3.9𝑦 =

1 _

9 9 9 9

∴ 4𝑦 = – 1 –1 ∴ 𝑦=_ 4

9

1 vir priemfaktore 1 vir eksponentwet wat eksponente bymekaar tel 1 vir die gelykstel van eksponente 1 vir vereenvoudiging 1 vir antwoord

4.1

21 + 𝑥 + 2𝑥 – 1 = 320

∴ 2 12 𝑥 +2 𝑥2 –1 = 320 ∴ 2 𝑥 (2 + 2 –1) = 320 99 ∴ 2 (_52 ) = 320 9 ∴ 2 𝑥 = 320._25 𝑥

∴ 2 𝑥 = 128 9

Õ Ǥ 5 Eerste verskille Tweede verskille

(5)

10 5

17 7

2

26 9

2

Dit is ’n kwadratiese patroon want die tweede verskille is konstant

21 + 𝑥 + 2𝑥 – 1 = 320

∴ 2𝑥 = 27 9 ∴𝑥=7 9

Getalpatrone Bestudeer die volgende getalpatroon 5; 10; 17; 26; ------

_ √3

∴ 3.3 2𝑦 = 3 2 1 _ ∴ 3 1 + 2𝑦 = 3 2 ∴ 1 + 2𝑦 = _12 ∴ 2 + 4𝑦 = 1

3.3

Vraag 4

4.2

2 vir faktorisering 1 vir eenvoudiging 1 vir die RK se vereenvoudigde antwoord 1 vir priemfaktore 1 vir die antwoord

(2)

Skryf die volgende drie getalle in die patroon neer.

5;10;17;26; 37; 50; 65........ 999 (3)

4.3 4.3.1

Bereken vervolgens: Die nde term van die getalpatroon.

Gebruik die volgende teorie Algemene term Tn = an2 + bn +c

(6)

Eerste verskille

(17)

Tweede verskille

T1= a + b + c 3a +b T2= 4a + 2b + c

2a 5a + b

T3= 9a +3b + c

14

(6)

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids WISKUNDE VRAESTEL 2 VAN 2 GRAAD 12 GEREEDHEIDSEKSAMEN EKSAMINATOR: D. Oost MODERATOR: S. Naudé

TOTAAL: 150 TYD: 3 ure

Instruksies: y Beantwoord al die vrae. y Õ Ǥ y Toon alle stappe. y Sakrekenaars mag gebruik word tensy anders vermeld. y Benader waar nodig korrek tot twee desimale syfers. y Geen formuleblad word voorsien nie Vraag 1

1.1

Skryf die lengte van BC neer.

(2)

1.2

Bepaal die middelpunt van AB.

(2)

1.3

Bepaal die gradiënt van AC.

(2)

1.4

As AC // EB en EB die 𝑥-as by D sny, bepaal:

1.4.1

Die vergelyking van die reguitlyn EB.

(4)

1.4.2

Die koördinate van D.

(2)

Bepaal die koördinate van E as D die middelpunt van EB is.

(4)

1.5

(16)

Analitiese meetkunde

Vraag 2

Analitiese meetkunde

2.1

Die reguitlyn met vergelyking 3𝑦 Ϊ ʹ‫ ݔ‬Ȃ ͳ α Ͳ deur die punt (k – 2; –1). Bereken die waarde van k.

Twee reguitlyne hΛ en hΜ se vergelykings is as volg:

2.2

In die skets, is die koördinate van die hoekpunte van ȟ ȋȂͳ Ǣ ͶȌǡ ȋ͵ Ǣ ͳȌ ȋ͵ Ǣ ͸ȌǤ

h1ǣ ‫ ݕ‬α ‫ ݔ‬Ϊ ͵ Μǣ ‫ ݕ‬α ‫ ݔ‬Ȃ _ ᩿13᩿ 𝑥 – 1 Bereken die waarde van p in elk van die volgende gevalle:

y-as C(3 ; 6)

A(–1 ; 4)

B(3 ; 1) x-as O

(3)

D

E

22

2.2.1

hΛ // hΜ

(2)

2.2.2

hΛ ⊥ hΜ

(2)

2.3

3.2

ϐ Λ en tΜ wat mekaar Ⱦ P gevorm word. Die vergelykings van tΛ en tΜ is as volg: tΛǣ ‫ ݕ‬Ȃ ͵‫ ݔ‬α ͸ Μǣ ‫ ݕ‬Ȃ Ͷ‫ ݔ‬Ϊ ͳʹ α Ͳ y-as

Bewys die stelling dat die middelpunt van ’n sirkel gelyk is aan twee keer die omtrekshoek solank as wat dit in die teenoorgestelde deel van die hoek in die middelpunt is.

Gegee: M is die middelpunt van die sirkel A, B en C is op die omtrek A Gevra: ᩿̂ ᩿ 4 = 2( ᩿̂ 5᩿ Ϊ᩿ ᩿̂ 6)

᩿̂ 3᩿ Ϊ

P t1

5 6

Ⱦ

M

t2 x-as A

2

1

C

3

4

(5) 3.3 2.3.1 2.3.2

Bereken die grootte van die skerphoek wat tΛ met ‫ݔ‬Ǧ Ǥ

(3)

Ⱦǡ desimale syfers.

(5)

Gegee: ABC ’n raaklyn aan sirkel met middelpunt O. FOD is die middellyn E

2 F

(15) Vraag 3

Meetkunde

3.1

Wanneer is ’n vierhoek ’n koordevierhoek? Gee die ϐ ǯ om ’n koordevierhoek te bewys.

2 1

1

O 3 1 2

(3)

1 2 A

©Optimi

23

1 B 3

D 1

C

G12 – Wiskunde

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 3.3.1

Bewys FB//ED.

3.3.2

᩿̂ 1.

᩿̂ 1 α ͳͷͼ

3.4

Vraag 4

(4)

Driehoeksmeting Vereenvoudig sonder die gebruik van ’n sakrekenaar:

(3)

Gegee: In die diagram is BME die middellyn van die sirkel met middelpunt M en FE is ’n raaklyn aan die sirkel. AD word verleng na F sodat DE = DF

ǡ ᩿̂α 𝑥

4.1

____________________________ ᩿ ᩿ ᩿ ᩿ Ϊ ᩿ 2(ͳ͹Ͳι) Ϊ ᩿ 2 ͹Ͳ ι᩿ ᩿ ᩿ͳͷͲι᩿​᩿ ᩿ʹʹͷι᩿​᩿ ᩿ͳ͸Ͳι᩿ Sin(Ȃ͸Ͳι᩿)᩿ ᩿ͶͺͲι᩿ ᩿ͳͳͲι᩿

4.2

1

᩿ 2θ (᩿_ 1᩿ ᩿​᩿ Ϊ ᩿_ ᩿ ᩿​᩿

Sinθ᩿Ȃ᩿ͳ Sinθ᩿Ϊ᩿ͳ )

(12)

[17]

A

Vraag 5

1

B

3

C

Driehoeksmeting Los die volgende vergelykings op vir die gegewe intervalle.

5.1

2 1

2 1

(4)

Indien θ ∊ ȏͲι Ǣ ͵͸Ͳ ιȐ θ indien 7Tan θ = –7

G

(5)

(5)

M 2

1

3

5.2

E 2

Cos 10θ = 0,5

1

H 3

Indien θ∊ [0ι᩿ Ǣ ͻͲ ι᩿ ] bepaal die waarde van θ indien

2 1

5.3

Gee die algemene oplossing van die volgende vergelyking: Cos2θ Sinθ – Cos2θ Cosθ = 0 (10)

D

3.4.1

ˆ᩿

᩿̂ 2 = 2 1

3.4.2

Bewys dat GMHC ’n koordevierhoek is

x F

(19) (7) (4) (26) 24

WISKUNDE VRAESTEL 2 VAN 2 GRAAD 12 GEREEDHEIDSEKSAMEN MEMORANDUM Vraag 1

1.2

Bepaal die middelpunt van AB. 4+1 Ȃͳ᩿Ϊ᩿͵ ᩿ ᩿ ᩿ ᩿Ǣ᩿ ᩿_ ᩿ ᩿ 9

᩿ AB = (᩿_ 2 2 )

1 vir vervanging 1 vir antwoord

= (1 ; 2,5᩿) 9

Analitiese meetkunde

1.3

In die skets, is die koördinate van die hoekpunte van ȟ ȋȂͳ Ǣ ͶȌǡ ȋ͵ Ǣ ͳȌ ȋ͵ Ǣ ͸ȌǤ

Bepaal die gradiënt van AC. ͸᩿Ȃ᩿Ͷ _ 1

᩿ AC α ᩿ _ ᩿​᩿ α ᩿ 2᩿ α ᩿ _ ᩿ 99 ͵᩿Ȃ᩿ͳ 4 2

y-as C(3 ; 6)

(2)

1 vir vervanging 1 vir antwoord (2)

1.4

As AC // EB en EB die 𝑥-as by D sny, bepaal:

1.4.1

Die vergelyking van die reguitlyn EB. Vergelyking EB: 1 ∴ ᩿ AC α ᩿ EB α ᩿ _ ᩿ (ͳ᩿Ǣ᩿ͳ) 2

AC//EB

A(–1 ; 4)

𝑦 –𝑦᩿ 1 = m(𝑥 – 𝑥 1) ∴ 𝑦 Ȃ ͳ α ᩿ _12᩿ ȋ𝑥 – 3)99

B(3 ; 1)

∴ 𝑦 = _12 𝑥 Ȃ ᩿ _32᩿ Ϊ ͳ 9

x-as O

2 vir vervanging in korrekte formule 1 vir verwydering van hakie 1 vir antwoord

𝑦 = _12 𝑥 – _12 9

D

(4)

E

1.1

Skryf die lengte van BC neer.

1.4.2

_______________

BC = ξ_ ᩿(͵᩿Ȃ᩿͵ ᩿ ᩿ Ϊ᩿ ᩿ (͸᩿Ȃ᩿ͳ ᩿ ᩿ ᩿9 = ξ᩿ʹͷ᩿ ᩿ =5 eenhede 9 )2

)2

1 vir vervanging 1 vir antwoord

Die koördinate van D. ‫ݔ‬Ǧ Ǥ y = 0 1 0= _ 𝑥 – _1 9

(2)

2

2

∴ 0=𝑥–1 D(ͳ᩿Ǣ᩿Ͳ) 9

©Optimi

27

1 vir gelyk aan 0 1 vir D (2)

G12 – Wiskunde

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1.5

2.2.2

Bepaal die koördinate van E as D die middelpunt van EB is.

mh1 . mh2 = – 1 ǤǤǤǤǤǤǤǤ Λ ⊥ Μ 9

Stel E (a ; b) ᩿Ϊ᩿ͳ D(1 ; 0) = (᩿_ ᩿Ϊ᩿͵ ᩿ ᩿​᩿ Ǣ᩿ ᩿_ ᩿ ᩿ ᩿ 99 2 2 )

–1 _ (p)(᩿ 3᩿ ᩿) = –1

2 vir vervanging 2 vir E

᩿Ϊ᩿͵ ᩿Ϊ᩿ͳ ∴ ͳ α ᩿ _ ᩿ ᩿ ᩿ Ͳ α ᩿ _ ᩿ ᩿ ᩿ 2 2 ∴ a+3=2 ∴ 0=b+1 ∴ a = –1 ∴ b = –1

2.3 (4) (16)

Vraag 2

Analitiese meetkunde

2.1

Die reguitlyn met vergelyking 3𝑦 Ϊ ʹ‫ ݔ‬Ȃ ͳ α Ͳ deur die punt (k – 2 ; –1). Bereken die waarde van k.

∴ 3(–1) + 2(k–2) –1 = 0 9 ∴ –3 + 2k – 4 – 1 = 0 9 ∴ 2k –8 = 0

t1

x-as A

C

(3) (2)

Bereken die waarde van p in elk van die volgende gevalle: hΛ // hΜ mh1 = mh2 ǤǤǤǤǤǤǤǤ Λ ȀȀ Μ 9

Ⱦ t2

Twee reguitlyne hΛ en hΜ se vergelykings is as volg:

–1 ∴ p = ᩿ _ ᩿ ᩿ 9 3

ϐ Λ en tΜ wat mekaar Ⱦ P gevorm word. Die vergelykings van tΛ en tΜ is as volg: tΛǣ ‫ ݕ‬Ȃ ͵‫ ݔ‬α ͸ Μǣ ‫ ݕ‬Ȃ Ͷ‫ ݔ‬Ϊ ͳʹ α Ͳ y-as

1 vir vervanging 1 vir vereenvoudiging 1 vir antwoord

h1ǣ ‫ ݕ‬α ‫ ݔ‬Ϊ ͵ Μǣ ‫ ݕ‬α Ȃ _ ᩿ 13᩿ 𝑥 – 1

2.2.1

(2)

P

∴ k=49 2.2

1 vir lyne loodreg 1 vir antwoord

∴p+39

E(᩿Ȃͳ᩿Ǣ᩿Ȃͳ) 99

Vervang (𝑥 Ǣ ‫ݕ‬Ȍ α ȋ Ȃ ʹ Ǣ ȂͳȌ

hΛ ⊥ hΜ

1 vir lyne // 1 vir antwoord

(2) 28

2.3.1

Bereken die grootte van die skerphoek wat tΛ met ‫ݔ‬Ǧ Ǥ 1 vir verkryging van m 1 vir tangens vergelyking t1: 𝑦 – 3𝑥 = 6 1 vir antwoord tot 2 syfers ∴ t1: 𝑦 = 3𝑥 + 6 9 benader (dit is deel van die Stel die skerphoek is α instruksies in die begin).

t 2: 𝑦 – 4𝑥 +12 = 0 ∴ 𝑦 = 4𝑥 – 12 9 Gestel skerphoek is θ

∴ Tan θ = 4 9 θ ≈ 75,96° 9 θ=α+β ∴ ͹ͷǡͻͷΨ α͹ͳǡͷͻι Ϊ β

Dan is Tan α =3 9

α ≈ ͹ͳǡͷ͹ι 9 2.3.2

(3)

sien skets 9

∴ β ≈ Ͷǡ͵ͻι 9

(5) (15)

Ⱦǡ desimale syfers.

y-as

P t1

͹ͳǡͷ͹ι

Meetkunde

3.1

Wanneer is ’n vierhoek ’n koordevierhoek? Gee die ϐ ǯ om ’n koordevierhoek te bewys.

2.

3.

t2 A

Vraag 3

1.

Ⱦ

x-as

©Optimi

Buitehoek van ∆ACP

C

29

ϐ ǣ vierhoek op die omtrek van ’n sirkel lê 9 Bewys die oorstaande hoeke supplementêr 9 Bewys ’n buitehoek gelyk aan die teenoorgestelde binnehoek 9 1 vir elke antwoord

(3)

G12 – Wiskunde

Vraag 9

INHOUDSOPGAWE

Statistiek Plaas die volgende uitkomste in ’n frekwensietabel en bereken die standaardafwyking. Gee al die kolomme wat nodig is om die antwoord te bereken 5

6

3

6

3

3

6

5

4

6

Uitkoms 𝑥 Frekwensie 𝑦 3 3 4 1 5 2 6 4 Σ = 10

Onderwerp

(6)

Getallestelsels

38

Tema 2

Logaritmes en eksponente

50

Tema 3

Algebra

72

Tema 4

Getalpatrone, rye en reekse

102

Tema 5

𝑦(𝑥 – 𝑥̄)2 9

Meetkunde

140

𝑦(𝑥 – 𝑥̄)

Tema 5.1 Meting, ruite en vorm

140

9 4 10 24 47

(3 – 4,7)= –1,7 (4 – 4,7)= –0,7 (5 – 4,7)= 0,3 (6 – 4,7)= 1.3

3(3 – 4,7)2= 8,67 1(4 – 4,7)2= 0,49 2(5 – 4,7)2= 0,18 4(6 – 4,7)2= 6,67 16,1 99

Tema 5.2 Euklidiese meetkunde

168

____________ n

᩿ Σ᩿ ᩿ 𝑦(𝑥 i – 𝑥̄) s.d = ᩿____________ i=1 n᩿ ᩿​᩿ ᩿

2

__

16,1 = ᩿_ 10᩿ ᩿​᩿ ᩿

ξ

Tema 1

Totaal 𝑥𝑦

α _ ᩿ 47 ᩿ α Ͷǡ͹ 99 10

ξ

Bladsy

≈ 1,27 9

Tema 6

Transformasiemeetkunde

224

Tema 7

Verhouding en koers

238

Tema 8

Finansies

246

Tema 9

Statistiek

292

Tema 10

Waarskynlikheid

342

Tema 11

Funksies

370

Tema 12

Trigonometrie

426

Tema 13

Analitiese meetkunde

478

Tema 14

Differensiasie

504

(6) TOTAAL: 150

©Optimi

37

G12 – Wiskunde

Tema 1: Getallestelsels

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids

Teorie wat jy moet ken 1. Getallestelsels

Tema 1: Getallestelsels

Natuurlike getalle: N = {1; 2; 3; ...} Telgetalle: N0 = {0; 1; 2; 3; ...} Heelgetalle: Z = {… –2; –1; 0; 1; 2; 3; …} Rasionale getalle: Ra of Q = Eindige of repeterende breuke 1 ᩿ Ǣ ʹǡ͹ ͵᩿̇Ȕ Ǥ ȓͳ ᩿_ 3 Irrasionale _ getalle: Q’ = Nie-eindige of nie-repeterende breuke bv. {π ; ξ᩿ͷ᩿Ȕ ᩿ _ Nie-reël getalle: R’ (imaginêre- /denkbeeldige getalle) bv. ξ᩿Ȃ͵᩿​᩿ _ ǣ Õ ² Õ ´ Ǥ ʹ Ϊ ξ᩿ȂͶ᩿​᩿

INHOUDSOPGAWE Oefening Tema 1: Getallestelsels

Bladsy

Teorie wat jy moet ken

38

1

Getallestelsels

40

2

Verskillende skryfwyses van getalle

42

3

Snyding en vereniging

43

4

Reëls wat altyd geld

46

5

Gemengde oefeninge

48

ϐ

49

Reële getalle: R = { Q∪Q’ } 2. Verskillende skryfwyses van getalle Gewone/ algemene notasie

Intervalnotasie (Slegs vir reële getalle)

Keurdernotasie

𝑥 < 4 of 𝑥 > 9

𝑥∊(–∞ ; 4)∪ (9 ; ∞)

{𝑥/ 𝑥 < 4 of

ϐ

4

9

–4

7

𝑥 > 9}

Vereniging Ingesluit 𝑥∊[–4 ; 7) Ingesluit –4 ζ 𝑥 < 7 Dieselfde as Dieselfde as {𝑥/ –4 ζ 𝑥 < 7} 𝑥 η–4 en 𝑥 < 7 𝑥∊[–4 ; ∞)∩ (–∞ ; 7) Snyding

𝑥>3

38

𝑥∊(3 ; ∞)

3

{𝑥/ 𝑥 > 3}

5. Onthou vir n ∊ N:

3. Snyding en vereniging Die gebruik van die “en” en “of” asook die “vereniging” ∪ en "snyding" ∩ Voorbeeld: –3 –1 4

ȇ ȇ ȇ

5

{𝑥/ –3 < 𝑥 ζ 4 of –1 < 𝑥 ζ 5 }

ȇ

n( ᩿Ϊ᩿ͳ)

6. Interessante soorte getalle

{𝑥Ȁ Ȃ͵ δ ‫ ݔ‬Ͷ Ȃͳ δ 𝑥 5 }

ȇ

Antwoord: –1 < 𝑥 ζ 4

Sien skets hierbo.

ȇ

4. Reëls wat altyd geld

Geen noemer mag irrasionaal gelaat word nie.

Voorbeeld: 1_ ᩿____ ᩿ ᩿ ᩿ Noemer is irrasionaal ξ᩿ʹ᩿​᩿

ȇ

_

ʹ᩿​᩿ 1_ ____ ᩿ ᩿ ᩿Ǥ ᩿ ξ᩿_ ᩿​᩿ α ᩿ ____

ȇ

ʹ᩿​᩿ ξ᩿ʹ᩿​᩿ ξ᩿_ ξ᩿ʹ᩿​᩿ ____ α ᩿ 2᩿ ᩿

Noemer is rasionaal

ȇ

Geen negatiewe eksponent mag in antwoorde wees nie.

Voorbeelde: Eksponent is negatief ᩿ –3 1 α ᩿__ ᩿ ᩿ ᩿

᩿ 3 Eksponent is positief LW: As 𝑥 > 0

1; 4; 9; 16; ... is vierkantsgetalle met Tn = n2 1; 8; 27; 64; ... is kubieke (kubiese) getalle met Tn = n3 2; 6; 12; ... = 1 × 2; 2 × 3; 3 × 4; ... is reghoekgetalle met Tn = n(n+1) ʹ᩿έ᩿͵ _ ͳ Ǣ ͵Ǣ ͸Ǣ ǤǤǤ α _ ᩿ ͳ᩿έ᩿ʹ ᩿ ᩿ ᩿Ǣ ᩿ _ ᩿ ᩿ ᩿Ǣ ᩿ ͵᩿έ᩿Ͷ ᩿ ᩿ ᩿ 2 2 2 met Tn α ᩿____ ᩿ ᩿ ᩿ 2

Antwoord: –3 < 𝑥 ζ 5

ȇ

(Seeliger, 2007)

’n Priemgetal is ’n getal wat twee faktore het, naamlik die getal self en 1.

Pare priemgetalle wat met 2 verskil word priemtweelinggetalle genoem. Voorbeelde is 3 en 5; 5 en 7; 11 en 13; 17 en 19. ’n Natuurlike getal word ’n perfekte getal genoem as dit gelyk is aan die som van al sy faktore (uitsluitend die getal self).

Die eerste natuurlike getal wat hieraan voldoen is 6 = 1+2+3 Die tweede perfekte getal is 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 Die derde een is 496.

Enige drie natuurlike getalle a, b, c sodanig dat a2= b2 + c2 word Pythagoriese drietalle genoem. Voorbeelde: (5; 3; 4), (10; 8; 6), (13; 12; 5), (17; 15; 8)

2𝑥 As 𝑥 < 0

1 = 2 α ᩿ __ ᩿ ᩿ ᩿ ʹ ᩿ –𝑥 Benader altyd korrek soos gevra word. Lees die vraag asook die instruksies wat aan die begin van elke vraestel gegee word. 𝑥

ȇ

©Optimi

39

G12 – Wiskunde

Tema 1: Getallestelsels

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids

Oefening 1: Getallestelsels 1.1*

1.2*

Voltooi die volgende tabel vir elke soort getal. Maak ’n kruisie in die korrekte blokkie(s) N N0 Z Q Q’ R R’ __ 1 ᩿ _ ᩿ ᩿ 4

ξ

9

Ȃ ͵ ᩿ 2 4

9

(–1)᩿ 2 _

9

9 9

9

9

9

9

9

9

9

ξ᩿ ᩿Ȃͺ᩿​᩿

(_√ 3 ) 2

9

9

9

9

9

9

9

9 9

π

= ξ᩿ʹ ᩿ ᩿ ᩿ ξ᩿ͳͳ᩿ ᩿

2

176

α ʹ ᩿ . ξ᩿ͳͳ᩿ ᩿

2

88

= 8ξ᩿ͳͳ᩿ ᩿

2

44

2

22

11

11

_

3

_

1 Die getal is irrasionaal.

1.3*

9 9

9

9 9

9 9

_

ξ᩿͹ͺͶ᩿​᩿

9 9

9

9

9

9

9

᩿_ 12᩿

͵ ᩿

9 9

704

᩿ ͹ ᩿ ᩿ ᩿ = ξ᩿ʹ

2

392

α ʹ ᩿ 7

2

196

= 28

2

98

7

49

7

7

4

᩿ ᩿Ȃ͹᩿​᩿ ξ᩿Ȃ͹᩿ ξ

_ _

2

____

9

Ͳǡ ͵᩿̇

_

Õ ξ᩿͹ͺͶ᩿ ᩿ǯ irrasionale getal is.

9

Ͳι

Log(–15)

352

_

6

9

0 ᩿ _ ᩿ 1

Log 20

2

__

9

1 ᩿ _ ᩿ 0

(–1)᩿ 111

᩿ ͳ ͳ᩿ ᩿ = ξ᩿ʹ

9

∞

ͳι

704

6

9

_

_

2

__

9

ξ᩿Ȃͺ᩿​᩿ 3

_

ξ᩿͹ͲͶ᩿​᩿

9

9

Dit is bekend dat die wortel van ’n priemgetal altyd irrasionaal is. _ Gebruik nou hierdie feit en bewys dat ξ᩿͹ͲͶ᩿ ᩿ ǯ is. Geen sakrekenaar mag gebruik word nie.

2

2

1 Die getal is rationaal.

9 9 9

40

1.4*

_

_

1.6.4***

Plaas twee irrasionale getalle tussen ξ᩿͵᩿ ᩿ ξ᩿ͳͳ᩿ ᩿ Õ sakrekenaar te gebruik. _

_

_

_

_

_

2ξ᩿ʹ᩿​᩿

1.6.1**

_

3

_

_

_

( ξ᩿ ᩿Ȃ͸Ͷ᩿)᩿ ᩿ + ξ᩿͵᩿ ᩿ ξ᩿͵᩿ ᩿ ξ᩿͵᩿​᩿ Ȃ ξ᩿ʹ͹᩿ ᩿ _ _ _ _ ( ξ᩿ ᩿Ȃ͸Ͷ᩿)᩿ ᩿ + ξ ᩿ ξ᩿͵᩿​᩿ Ȃ ξ᩿ʹ͹᩿ ᩿ _᩿͵᩿ ᩿ ξ᩿͵᩿ _ ͵᩿​᩿ Ȃ ξ᩿ͻǤ͵᩿ = – 64 + 3ξ᩿_ _ ᩿ 3

_

_

3

_

_

_

_

(𝑥ξ᩿ ᩿𝑦᩿ )᩿ 𝑥 = 𝑦

1.6.5**

_

(𝑥ξ᩿ ᩿𝑦᩿ )᩿ 𝑥 = 𝑦

1.6.3***

_

_

(2ξ᩿͵᩿​᩿ Ȃ᩿ ξ᩿ʹ᩿)᩿ (2ξ᩿͵᩿​᩿ Ȃ᩿ ξ᩿ʹ᩿)᩿ _ (2ξ᩿͵᩿​᩿ Ȃ᩿ ξ᩿ʹ᩿_)᩿ 2 _ ᩿͵᩿ ξ ᩿_ ᩿ʹ᩿ ᩿Ϊ ʹ = 4.3 – 4ξ_

᩿ ᩿ʹ᩿ ᩿ = 14 – 4ξ᩿͵᩿ ξ Die antwoord is irrasionaal.

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

᩿͵͸᩿έ᩿͵᩿ ᩿α ξ᩿͵͸᩿ ᩿Ǥ ξ᩿͵᩿ ᩿α ͸ ξ᩿͵᩿ ᩿ ξ᩿ͳͲͺ᩿​᩿ α ξ

= 6ξ᩿͵᩿ ᩿Ȃ ʹͷ Ϊ ͳʹ ξ᩿͵᩿ ᩿ _ = 18ξ᩿͵᩿ ᩿Ȃ ʹͷ Die antwoord is irrasionaal.

_

_

_

α ξ᩿ͳͶͶ᩿ ᩿Ǥ ξ᩿͵᩿ ᩿α ͳʹ ξ᩿͵᩿ ᩿ ξ᩿Ͷ͵ʹ᩿​᩿ α ξ᩿ͳͶͶ᩿έ᩿͵᩿​᩿ Verskil van vierkante.

Onthou dat die antwoord beoordeel moet word.

_

_

©Optimi

a ᩿ _ ᩿ ǡ ≠ 0. b ’n Irrasionale getal kan nie so geskryf word nie.

ξ᩿ͳͲͺ᩿​᩿ Ȃ ξ᩿͸ʹͷ᩿ ᩿Ϊ ξ᩿Ͷ͵ʹ᩿​᩿ _

= 4.3 – 2 = 10 Die antwoord is rasionaal. _

ξ

ξ

__

ξ᩿ͳͲͺ᩿​᩿ Ȃ ξ᩿͸ʹͷ᩿ ᩿Ϊ ξ᩿Ͷ͵ʹ᩿​᩿

_

(2ξ᩿͵᩿​᩿ Ȃ᩿ ξ᩿ʹ᩿)᩿ (2ξ᩿͵᩿​᩿ Ϊ᩿ ξ᩿ʹ᩿)᩿

_

’n Rasionale getal kan geskryf word in die vorm

_____

α ᩿_ –15 ᩿ ᩿ Ǥ 4

_

(2ξ᩿͵᩿​᩿ Ȃ᩿ ξ᩿ʹ᩿)᩿ (2ξ᩿͵᩿​᩿ Ϊ᩿ ξ᩿ʹ᩿)᩿ _

ξ

α ᩿_ Ȃͺ᩿Ȃ᩿͹ ᩿ ᩿ ᩿ 4

= – 64 + 3ξ᩿͵᩿ ᩿Ȃ ͵ ξ᩿͵᩿ ᩿ = –64 Antwoord is rasionaal.

1.6.2**

_

7 α Ȃʹ Ȃ ᩿ _ ᩿ 4

Bepaal of die antwoord van die volgende uitdrukking irrasionaal of rasionaal is _

_______

+ 9᩿ α ᩿______ –4ξ_᩿ʹ᩿​᩿ ᩿​᩿ Ȃ ᩿_ 4016 ᩿ ᩿ ᩿​᩿ ᩿

᩿ͳͳ᩿ ᩿ = ξ᩿͵᩿ ᩿Ǣ ʹ Ǣ ͵ Ǣ ξ

3

ξ

2ξ᩿ʹ᩿​᩿

_ Ǣ ξ᩿Ͷ᩿ ᩿Ǣ ξ᩿ͻ᩿ ᩿Ǣ _ ξ᩿ͳͳ᩿ ᩿ ξ᩿͵᩿ ᩿_

1.6*

_

_______

9 _ξ α ᩿___________ 3ξ᩿ʹ᩿​᩿ Ȃ͹ ᩿ ᩿ʹ᩿​᩿​᩿ ᩿Ȃ ᩿_ 52᩿ Ϊ ᩿_ ᩿ ᩿ ᩿ 16

_

_

_

_

_

Plaas twee rasionale getalle tussen ξ᩿͵᩿ ᩿ ξ᩿ͳͳ᩿ ᩿ Õ sakrekenaar te gebruik. _

_

ξ᩿ͳͺ᩿​᩿ Ȃ _ξ᩿ͻͺ᩿​᩿ 9 ᩿ ᩿ ᩿Ȃ ᩿ʹ _ ᩿12᩿ Ϊ᩿ ᩿_ ᩿ ᩿ ᩿ ᩿ _________ 16 ᩿ ξ᩿ͺ᩿​᩿

ξ᩿͵᩿ ᩿Ǣ ξ᩿ͷ᩿ ᩿Ǣ ξ᩿͹᩿ ᩿Ǣ ξ᩿ͳͳ᩿ ᩿

1.5*

_

ξ᩿ͳͺ᩿​᩿ Ȃ _ξ᩿ͻͺ᩿​᩿ 9 ᩿ _________ ᩿ ᩿ ᩿Ȃ ᩿ʹ _ ᩿12᩿ Ϊ᩿ ᩿_ ᩿ ᩿ ᩿ 16 ᩿ ξ᩿ͺ᩿​᩿

Onthou die middelterm. _

Indien dit vir jou moeilik is om te kry, gebruik die leertjie-metode van graad 8. ___________ ___________ Bv. ξ᩿Ͷ͵ʹ᩿α᩿ ᩿ _ ᩿ ᩿ ᩿ ξ᩿ʹǤʹǤʹǤʹǤ͵Ǥ͵Ǥ͵᩿ ___________ ᩿

᩿ ͵᩿

᩿ = ξ᩿ʹǤʹǤʹǤʹǤ͵Ǥ͵᩿ ξ _ _ ᩿͵᩿ ᩿ = 2.2.3ξ᩿͵᩿ ᩿α ͳʹ ξ

_

ʹǤ͵᩿​᩿ _ ξ᩿͸᩿ ᩿α ξ᩿_ = ξ᩿ʹ᩿ ᩿ ξ᩿͵᩿ ᩿ 41

G12 – Wiskunde

Tema 1: Getallestelsels

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids

Oefening 2: Skryfwyses 2.1*

2.4.1**

As{𝑥/–3 ζ 𝑥 < 5 , 𝑥∊R}, skets die gebied en gee die antwoord in intervalnotasie.

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

Skets albei intervalle en bepaal dan f ∪ ϐ Ǥ

antwoord in intervalnotasie.

–3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

R

–2 ζ 𝑥 < 4 0<𝑥ζ5

𝑥∊ (–1 ; 5) 2.4.2**

As {h/ –1 < h en h ζ 7}, skets die gebied en gee die antwoord in gewone notasie.

–2

–1

6

𝑥∊ [ –3 ; 5) 2.2**

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

Skets albei intervalle en bepaal dan f ∩ ϐ Ǥ

antwoord in intervalnotasie.

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8 R

8

–1 ζ 𝑥 < 4 0<𝑥ζ5

–1 < h ζ 7 2.3**

𝑥∊ (0 ; 4)

As {m/1 > h of h ζ 3}, skets die gebied en gee die antwoord in intervalnotasie.

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

2.5***

8

ϐ Ǥ

die antwoord in keurdernotasie. (Ȃ͵᩿Ǣ᩿Ͳ᩿) ∪ (ʹ᩿Ǣ᩿Ͷ) –5

–4

–3

–2

–1

0

1

Indien

3

4

5

6 R

𝑥 ∊ [–3 ; 0) 𝑥∊ [1 ; 4)

𝑥∊ (–∞᩿Ǣ᩿͵) 2.4**

2

f = {𝑥/–1 ζ 𝑥 < 4 , 𝑥∊R} en {𝑥 / –3 ζ 𝑥 < 0 of 1 ζ 𝑥 < 4 , 𝑥∊R}

g = {𝑥/ 0 < 𝑥 ζ 5 , 𝑥∊R}

42

2.6**

2.6.1**

Oefening 3: Snyding en vereniging

Skryf slegs die antwoorde van die volgende neer. (Indien dit ǡ ϐ ǤȌ antwoorde in intervalnotasie. Aanvaar dat 𝑥∊R.

Ons het reeds in oefening 2 van hierdie “en”- en “of”-somme gedoen.

Hierdie begrippe is altyd belangrik in wiskunde dit kom dikwels in somme en probleme voor.

–4 < 𝑥 ζ 5 of –2 ζ 𝑥 ζ 7 –4 < 𝑥 ζ 5 of –2 ζ 𝑥 ζ 7

In hierdie oefening gaan slegs enkele gevalle waar hierdie begrippe voorkom, bespreek word

= –4 < 𝑥 ζ 7 ∴ 𝑥∊ (ȂͶ᩿Ǣ᩿͹) 2.6.2**

Onthou: ȇ ȇ ȇ

𝑥 η –10 en –3 < 𝑥 < 3 𝑥 η –10 en –3 < 𝑥 < 3 = –3 < 𝑥 < 3 ∴ 𝑥∊ (–3 ; 3)

2.6.3**

ȇ

Bepaal {–2 < 𝑥 < 8} of {–3 ζ 𝑥 < 6} 3.1*

{–2 < 𝑥 < 8} of {–3 ζ 𝑥 < 6} = –3 ζ 𝑥 < 8

∴ 𝑥∊ (Ȃ͵᩿Ǣ᩿ͺ) 2.6.4**

Snyding ∩ beteken “en”.

Vereniging ∪ beteken “of”.

Õ ǡ Õ Dz dz Ǥ Indien daar niks tussen twee waardes geplaas word nie, beteken Õ Dz dz Ǥ Oppas dus vir die “of”.

Õ Õ α ±5 is, watter een van die volgende word bedoel?

A: p is plus en minus 5.

B: p is plus of minus 5.

Die antwoord is B aangesien die twee antwoorde wat gegee word nie gelyktydig (snyding) tussen die twee kan wees nie.

Daar is werklik twee antwoorde en om hulle dus te verenig en twee antwoorde te behou, sê ons “of”.

Bepaal {–2 < 𝑥 < 8} en {–3 ζ 𝑥 < 6} {–2 < 𝑥 < 6} en {–3 ζ 𝑥 < 8} = –2 < 𝑥 < 6

∴ 𝑥∊ (Ȃʹ᩿Ǣ᩿͸)

©Optimi

43

G12 – Wiskunde

Tema 1: Getallestelsels

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 3.2*

3.5**

As 𝑥2 = 9, watter een van die volgende is waar?

A: B: C: D:

𝑥=3 𝑥 = –3

Indien daar vanaf die 𝑥 gelees word staan daar: 𝑥 is kleiner as 6 en terselfdertyd is 𝑥 kleiner as –4. Die antwoord hiervan sal dan 𝑥 < –4 wees.

𝑥 = +3 en 𝑥 = –3 𝑥 = +3 of 𝑥 = –3 3.6**

Die antwoord is D. Daar is beslis twee antwoorde en om altwee te behou moet ons die “of” gebruik.

3.3**

Bepaal die antwoord van –4 < 𝑥 > 5.

Daar staan 𝑥 is groter as 5 en terselfdertyd groter as – 4.

Dit is slegs moontlik vir 𝑥 > 5.

Wat is die gesamentlike antwoord van 𝑥 = 3 en 𝑥 = –3?

3.7**

Geen 𝑥 nie. Ook geskryf: Oplossing = { .... } Daar is nie ’n som wat gelyktydig (snyding) +3 en –3 kan wees nie.

3.4**

Bepaal die antwoord van –4 > 𝑥 < 6.

Daar staan 𝑥 is kleiner as –4 en terselfdertyd groter as 5.

Hierdie bewering is onmoontlik en gevolglik is daar geen antwoord nie.

Watter een van die volgende bewerings is korrek en verteenwoordig –4 < 𝑥 < 5?

A: B: C: D:

Bepaal die antwoord van –4 > 𝑥 > 5.

ϐ Ǧ ´

𝑥 is groter as –4 en kleiner as 5. 𝑥 is groter as –4 of kleiner as 5. 𝑥 is kleiner as 5 en kleiner as –4. 𝑥 is groter as –4 of groter as 5.

Die antwoord wanneer met nul gedeel word is oneindig. Ons weet nie wat ǡ ² ϐ Ǥ Ǧ ´ ² ǡ bedoel jy dat die antwoord nie bestaan nie.

Hoekom is dit oneindig as ek met nul deel?

Die antwoord is A. Die 𝑥 is tussen die –4 en die 5.

Die korrekte manier om dit te lees is: 𝑥 is kleiner as 5 en terselftertyd groter as –4.

Ons lees altyd vanaf die 𝑥. y Dus 𝑥 < 5 beteken 𝑥 kleiner as 5. y –4 < 𝑥 word gelees as 𝑥 groter as –4.

Hierdie is die manier om die “en” te skryf.

Neem die voorbeeld: ... ౵_ 10 ౵ ౵ = 2 5 10 ... ౵ _ ౵౵ ౵= 20 ᩿Ͳǡͷ

1 ...౵ _ ౵ ౵ ౵= 20 000 0,0005

44

Hoe kleiner die waarde is waarmee jy deel, hoe groter word die antwoord. Sou jy dan met nul deel, word die antwoord baie, baie groot.

3.8****

Bestudeer die volgende uitdrukking.

3.10

Õ ∪“en” of ∩ “of” in die plek van die vraagtekens.

1 2 ᩿ __________ ᩿ ᩿ ᩿ Ϊ ᩿ _________ ᩿ ᩿ ᩿ (𝑥 – 1)(𝑥᩿Ϊ᩿ʹ) (𝑥 –3)(𝑥 + 4)

3.10.1*

{1; 2; 3; 4} ? {1; 2; 3; 4} en

ϐ die noemers gelyk is aan nul. Watter een van die volgende is ϐ ongeldig sal wees?

A: 𝑥 = 1 of 𝑥 = –2, 𝑥 = 3 of 𝑥 = –4 𝑥 = 1 en 𝑥 = –2 en 𝑥 = 3 en 𝑥 = –4 B: 𝑥 = 1 of 𝑥 = –2 of 𝑥 = 3 of 𝑥 = –4 C: 𝑥 = 1, 𝑥 = –2, 𝑥 = 3, 𝑥 = –4 D:

3.10.2*

{1; 2; 3; 4} of 3.10.3**

3.10.4**

3.10.5**

1 2 ᩿ __________ ᩿ )᩿ ᩿ Ϊ ᩿ _________ ᩿ )᩿ ᩿ ( )( ( )(

𝑥 –3 𝑥 + 4

{1; 2; 3; 4} ?

{1 ; 2} = {1 ; 2} {1 ; 2} = {1; 2; 3; 4} {1 ; 2} = {1; 2; 3; 4} {1 ; 2} ? {5} = {1; 2; 5} {1 ; 2} ? {5} = {1; 2; 5} {1 ; 2} ? {5} = {1; 2; 3; 4; 5} {1 ; 2} ? {5} = {1; 2; 3; 4; 5} {1 ; 2} ? {5} = {

{1; 2; 3; 4} en {1 ; 2} of {5} = { {1; 2; 3; 4} of {1 ; 2} en {5} = {

ȋ ϐ Ȍ Ǥ ϐ antwoord waarvoor die bogenoemde uitdrukking geldig sal wees?

Onthou A: 𝑥 ≠ 1 of 𝑥 ≠ –2, 𝑥 ≠ 3 of 𝑥 ≠ –4 𝑥 ≠ 1 en 𝑥 ≠ –2 en 𝑥 ≠ 3 en 𝑥 ≠ –4 𝑥 ≠ –4 is baie B: 𝑥 ≠ 1 of 𝑥 ≠ –2 of 𝑥 ≠ 3 of 𝑥 ≠ –4 waardes. Dus, C: 𝑥 ≠ 1, 𝑥 ≠ –2 of 𝑥 ≠ 3, 𝑥 ≠ –4 D: almal behalwe –4.

Die antwoord is B. Daar is vier waardes wat gelyktydig nie mag voorkom nie. Die “en” is dus belangrik tussen elke ongelykheid.

©Optimi

{1; 2; 3; 4} ? {1; 2; 3; 4} of

Bestudeer weer die uitdrukking soos in 3.8 gegee. 𝑥 – 1 𝑥᩿Ϊ᩿ʹ

{1; 2; 3; 4} ? {1; 2; 3; 4} en

Die keuse moet C wees. Daar is vier waardes waarvoor die uitdrukking ’n nul in die noemer kan kry. Om al vier hierdie waardes te kan behou, moet hulle verenig word. Die antwoorde moet dan ’n “of” tussen hulle hê.

3.9***

{1; 2; 3; 4} ?

{1 ; 2} = {1 ; 2}

} } OF }

3.11

Õ ∩ of ∪ in die plek van die vraagtekens.

3.11.1**

(–2 ; 6] ? (–3 ; 5) = (–3 ; 6] (–2 ; 6] ∪ (–3 ; 5) = (–3 ; 6]

3.11.2**

(–2 ; 6] ? (–3 ; 5) = (–2 ; 5) (–2 ; 6] ∩ (–3 ; 5) = (–2 ; 5)

45

G12 – Wiskunde

Tema 1: Getallestelsels

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 3.11.3***

Oefening 4: Reëls wat altyd geld

[–2 ; 6] ? R = [–2 ; 6]

Let wel: y Negatiewe eksponente (in antwoorde) moet altyd positief wees.

1 _ ᩿​᩿ α ᩿ 1᩿ Voorbeeld: 2–3 α ᩿__ ʹ ᩿ 3 8 y Irrasionale noemers moet gerasionaliseer word. _ _

[–2 ; 6] ∩ R = [–2 ; 6] 3.12***

Watter een van die volgende is die antwoord van (𝑥 – 2)(𝑥 + 3) > 0?

A: 𝑥 < 2 en 𝑥 > –3 B: 𝑥 < 2 of 𝑥 > –3 C: 𝑥 > 2 of 𝑥 < –3 D: 𝑥 > 2 en 𝑥 < –3 E: 𝑥 < 2, 𝑥 > –3

1

1

ʹ᩿​᩿ ____ ξ᩿_ ᩿ _᩿ ᩿ ᩿ ᩿ ____ ᩿​᩿ α ᩿ ξ2᩿ʹ᩿​᩿ ᩿​᩿ Voorbeeld: ____ ᩿ _᩿ ᩿ ᩿α ____ ξ᩿ʹ᩿ ᩿

4.1*

ξ᩿ʹ᩿ ᩿ ξ᩿ʹ᩿​᩿

3_ ǣ ____ ᩿ 1_᩿ ᩿ ᩿Ϊ ᩿ ____ ᩿ ᩿ ᩿ ξ᩿ʹ᩿​᩿

y-as 1_ ____ ᩿ ____ ᩿ ᩿ ᩿Ϊ ᩿ 3_᩿ ᩿ ᩿ ξ᩿ʹ᩿​᩿

y = (x – 2)(x + 3)

ξ᩿ʹ᩿​᩿ _

ʹ᩿​᩿ ξ᩿_ ͳ᩿Ϊ᩿͵ _᩿ ᩿ α ᩿ _____ έ ᩿ ____ ᩿​᩿ iseer die noemer

᩿ξ᩿ʹ᩿ ξ᩿ʹ᩿​᩿ _᩿ 4ξ᩿ʹ᩿​᩿ ____ α ᩿ 2᩿ ᩿ ᩿

x-as –3

ξ᩿ʹ᩿​᩿

2

_

= 2ξ᩿ʹ᩿ ᩿ As jy dit nie gedoen het nie:

x < –3

of

1_ ____ ᩿ ᩿ ᩿Ϊ ᩿ 3_᩿ ᩿ ᩿ ᩿ ____

x>2

ξ᩿ʹ᩿​᩿

ξ᩿ʹ᩿​᩿

ͳ᩿Ϊ᩿͵ _᩿ ᩿ α ᩿ _____

ξ᩿ʹ᩿​᩿ 4_ α ᩿ ____ ᩿ ᩿ ᩿ ξ᩿ʹ᩿​᩿

Die antwoord is C.

4.2**

Vereenvoudig: ᩿ –3 ʹ ᩿ –4 έ ʹ ʹ ᩿ –4 έ ʹ ᩿ –3 α ʹ ᩿ –7 1 ᩿​᩿ α ᩿ __ ʹ ᩿ 7

46

Hierdie antwoord is nie so eenvoudig soos die boonste een nie.

Onthou dat die vraag was om te vereenvoudig.

Antwoorde moet altyd met positiewe eksponente eindig.

4.3**

(i) Rasionaliseer die noemer _

Vereenvoudig die volgende en benader die antwoord korrek tot drie desimale syfers.

2,6 × 6,3 Tot 3 syfers is gevra, nie tot 2 syfers nie.

2,6 × 6,3 = 16,3800000.....

ͷ᩿Ϊ᩿ ᩿͵᩿​᩿ ͷ᩿Ȃ᩿ ξ᩿͵᩿​᩿

ξ_ ᩿​᩿

᩿ _______ _

≈ 16,380 4.4**

Õ antwoord korrek tot twee desimale syfers. _ 1 ᩿

ξ᩿ʹͲ᩿ ᩿Ϊ ᩿ _ 3 _

≈ 4,81

_

ͷ᩿Ϊ᩿ ᩿͵᩿​᩿ ͷ᩿Ȃ᩿ ξ᩿͵᩿ _᩿ _ ͷ᩿Ϊ᩿ ξ᩿_ ͵᩿​᩿ _______ ͷ᩿Ȃ᩿ ᩿͵᩿​᩿ _______ α ᩿ ᩿​᩿ Ǥ ᩿ ξ _᩿​᩿

ͷ᩿Ȃ᩿ ξ᩿͵᩿​᩿ ͷ᩿Ȃ᩿ ξ᩿͵᩿​᩿ ʹͷ᩿Ȃ᩿͵_ α ᩿ __________ ᩿ ᩿ ᩿ ʹͷ᩿Ȃ᩿ͳͲ ξ᩿͵᩿​᩿ Ϊ᩿͵ 22 _ α ᩿ __________ ᩿ ᩿ ᩿ ʹͺ᩿ȂͳͲ ξ᩿͵᩿​᩿ _ ᩿ ᩿ α ᩿____________ 11 × 2᩿​᩿ 2(ͳͶ᩿Ȃ᩿ͷ ξ᩿͵᩿)᩿ 11 _ α ᩿ ________ ᩿ ᩿ ᩿ ͳͶ᩿Ȃͷ ξ᩿͵᩿​᩿ ξ_ ᩿​᩿

᩿ _______

1

᩿ ≈ 4,47 + 0,33 ξ᩿ʹͲ᩿ ᩿Ϊ ᩿ _ 3

≈ 4,80

Benader net een keer en dit is aan die einde van die som. Moenie in die som ook benader nie.

4.5**

_

ͷ᩿Ϊ᩿ ᩿͵᩿​᩿ ͷ᩿Ȃ᩿ ξ᩿͵᩿​᩿

ξ_ ȋ Ȍ ᩿_______ ᩿​᩿

_

1

᩿ ǣ ξ᩿ʹͲ᩿ ᩿Ϊ ᩿ _ 3 = 4,8054692.....

_

ͷ᩿Ϊ᩿ ᩿͵᩿​᩿ ͷ᩿Ϊ᩿ ᩿͵᩿​᩿ ͷ᩿Ȃ᩿ ξ᩿͵᩿ _᩿ ͷ᩿Ϊ᩿ ξ᩿͵᩿​᩿ (ͷ᩿Ϊ᩿ ξ᩿͵᩿)᩿ ᩿ 2 _________ α ᩿ ʹͷ᩿Ȃ᩿͵᩿ ᩿ ᩿ _ ʹͷ᩿Ϊ᩿ͳͲ ξ᩿͵᩿​᩿ Ϊ͵ α ᩿ __________ ᩿ ᩿ ᩿ 22 _ ʹͺ᩿Ϊ᩿ͳͲ ξ᩿͵᩿​᩿ α ᩿ __________ ᩿ ᩿ ᩿ 22 _ ( 2 ͳͶ᩿Ϊ᩿ͷ ξ᩿͵᩿)᩿ α ᩿____________ ʹ᩿έ᩿ͳͳ᩿ ᩿ ᩿ _ ͳͶ᩿Ϊͷ ᩿͵᩿​᩿ α ᩿_________ 11ξ ᩿ ᩿ ᩿

ξ _ _______ α ᩿ _______ ᩿​᩿ Ǥ ᩿ ξ _᩿​᩿ t ’n 1

Õ teller._ ͷ᩿Ϊ᩿ ᩿͵᩿​᩿ ͷ᩿Ȃ᩿ ξ᩿͵᩿​᩿

ξ_ ᩿​᩿

᩿ _______

4.5.1***

©Optimi

(i) Rasionaliseer die noemer van die bogenoemde breuk. Geen sakrekenaar mag gebruik word nie. (ii) Rasionaliseer die teller van die bogenoemde breuk.

47

G12 – Wiskunde

Tema 1: Getallestelsels

G12 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 4.5.2****

Oefening 5: Gemengde oefeninge

Bewys vervolgens of andersins dat:

ʹʹ

_

ͳͶ᩿Ϊ᩿ͷ ξ᩿͵᩿​᩿ 11 _ ᩿ ᩿ ᩿ α ᩿________ ᩿ ᩿ ᩿ ᩿ _________ 11 ͳͶȂ᩿ͷ ξ᩿͵᩿​᩿

5.1***

Õ Ǥ _

_

ξ᩿͹ʹ᩿​᩿ Ϊ᩿ ξ᩿ͷͲ᩿ ᩿ _ ᩿ ____________ ᩿ ᩿ ᩿ ξ᩿ʹͶ᩿ ᩿

Indien die begrip “vervolgens” toegepas word:

_

_

Uit 4.5.1 is: _

᩿͹ʹ᩿​᩿ Ϊ᩿ ᩿ͷͲ᩿ ᩿ ᩿ʹͶ᩿ ᩿ ξ _ _ ᩿ ͵͸Ǥʹ᩿ ᩿​᩿ _ Ϊ᩿ ξ᩿ʹͷǤʹ᩿​᩿ ξ ᩿ ᩿ ᩿ 9 α ᩿ ________________ ᩿ ξ᩿ͶǤ͸᩿_ _ 6ξ᩿ʹ᩿​᩿ Ϊ᩿ͷ

_ξ᩿ ᩿ʹ᩿​᩿​᩿ α ᩿ ____________ ᩿ 99 2ξ_ ᩿ʹǤ͵᩿​᩿ 11_ξ᩿ʹ᩿_᩿ α ᩿ _______ ᩿​᩿ ᩿ 9 2ξ᩿ʹ᩿ ξ ᩿ ᩿͵᩿​᩿ _ ᩿͵᩿​᩿ 11_ ____ α ᩿ ____ ᩿​᩿ ᩿Ǥ ᩿ ξ _᩿​᩿ ǤǤǤǤ 9 2ξ᩿͵᩿_ ᩿ ξ᩿͵᩿​᩿ 11ξ᩿͵᩿​᩿ α ᩿ ______ ᩿ ᩿ ᩿ 9 6

ξ ξ _ ᩿ ____________ ᩿ ᩿ ᩿

_

ͷ᩿Ϊ᩿ ξ᩿_ ͵᩿​᩿ ͳͶ᩿Ϊͷ ξ᩿͵᩿​᩿ ᩿ _______ ᩿​᩿ α ᩿_________ ᩿ ᩿ ᩿ 11 ͷ᩿Ȃ᩿ ξ᩿͵᩿​᩿

Uit 4.5.2 is: _

ͷ᩿Ϊ᩿ ᩿͵᩿​᩿ ͷ᩿Ȃ᩿ ξ᩿͵᩿​᩿ _ ͳͶ᩿Ȃͷ ξ᩿͵᩿​᩿ ͳͶ᩿Ϊ᩿ͷ ξ᩿͵᩿​᩿ 11 _ ∴ ᩿ _________ ᩿ ᩿ ᩿ α ᩿________ ᩿ ᩿ ᩿ 11 ͳͶȂ᩿ͷ ξ᩿͵᩿​᩿

ξ_ 11 _ ᩿ _______ ᩿​᩿ α ᩿ ________ ᩿ ᩿ ᩿

Indien die begrip “andersins” gebruik word: _

ͳͶ᩿Ϊ᩿ͷ ξ᩿͵᩿​᩿ ᩿ ᩿ ᩿ LK = ᩿ _________ 11 _

5.2***

(6)

᩿ 𝑥 >0 ǣ ________ ᩿ ʹ ᩿ ͺ ᩿ ᩿ Ͷ –𝑥᩿ ᩿ ᩿ –𝑥

–2𝑥

_

ͳͶ᩿Ϊ᩿ͷ ξ᩿͵᩿​᩿ _________ ͳͶ᩿Ȃͷ ξ᩿_ ͵᩿​᩿ = ᩿ _________ ᩿ ᩿ ᩿ Ǥ ᩿ ᩿​᩿ ȋ ͳȌ 11

ʹ ᩿ ᩿ Ͷ ᩿ ᩿ ________ ᩿ ᩿ ᩿ 𝑥 >0 ͺ ᩿ –𝑥 –𝑥

ͳͶ᩿Ȃͷ ξ᩿͵᩿​᩿ ͳͻ͸᩿Ȃ᩿͹ͷ_ _____________ α ᩿ ᩿​᩿ ᩿ 11(ͳͶ᩿Ȃ᩿ͷ ξ᩿͵᩿)᩿ 121 _ α ᩿ _____________ ᩿ ᩿ ᩿ 11(ͳͶ᩿Ȃͷ ξ᩿͵᩿)᩿ 11 _ α ᩿ _________ ᩿ ᩿ ᩿ Indien die wortels by die ͳͶ᩿Ȃ᩿ͷ ξ᩿͵᩿​᩿

= RK

Bestudeer die puntetoekenning om te weet hoeveel tyd jy aan die som kan spandeer en ook om te weet watter stappe jy nie kan uitlaat nie. Stappe wat nie punte dra nie, kan uitgelaat word.

–2𝑥

_________ ᩿ 9 α ᩿ 2ʹ ᩿ –3᩿ ʹ𝑥᩿ ᩿ ᩿ ᩿ –𝑥

–4𝑥 ᩿

α ʹ ᩿ –𝑥–4𝑥Ȃ᩿Ȃ͵𝑥 9 α ʹ ᩿ –2𝑥 9 Maar 𝑥 > 0

noemers weggeneem moet word, vermenigvuldig sodanig dat die noemers die verskil van vierkante is.

Indien die tellers gerasionaliseer moet word, vermenigvuldig sodanig dat die tellers verskil van vierkante is.

∴ is die eksponent –2𝑥 < 0 1 ᩿ ᩿ ᩿9 ǣ ᩿__ ʹ ᩿ 2𝑥

48

Onthou om altyd alle eksponente in positiewe vorm te skryf.

(4)

5.3***

Los op vir 𝑥 as (𝑥 + 2)(4 – 𝑥) < 0 en 𝑥 ζ 0.

Skryf die antwoord in keurdernotasie.

5.5**

(2𝑥 – 1)3 + (1 – 2𝑥)2

en 𝑥 ζ 0

(𝑥 + 2)(4 – 𝑥) < 0

Õ ‫ ݔ‬ǣ

y-as

(2𝑥 – 1)3 + (1 – 2𝑥)2 = (2𝑥 – 1)3 + (2𝑥 – 1)2 9

x-as –2

4

= 2𝑥(2𝑥 – 1)² Die uitdrukking is ewe omdat 2 ’n faktor van die uitdrukking is. 9

Finale antwoord:

x < –2

of

x>4

{ 𝑥 / 𝑥 < –2 }

9 9 9 99 5.4**

Faktoriseer

= (2𝑥 – 1)2(2𝑥 – 1 + 1) 99

(4)

ϐ Laridon. Wiskunde vir die klaskamer standerd 9.

(5)

Seeliger, M. (2007). Prac Wiskunde Studiegids Graad 12. Pretoria: JNB Publishers.

Bepaal of die volgende uitdrukking positief of negatief vir enige waarde van 𝑥 ∊ Z is.

3𝑥2 + 24𝑥 + 48 Z is die versameling heelgetalle.

2 3𝑥 + 24𝑥 + 48 = 3 (𝑥2 + 8𝑥 +16) 99 Voltooi die vierkant = 3(𝑥 + 4)2 Die antwoord is ’n volkome vierkant wat altyd positief is al word dit met 3 vermenigvuldig. Die minimum waarde is 0. 9 (3)

©Optimi

49

G12 – Wiskunde