Issuu

Í2,È-A-MAL-FG01yÎ

M -

WISKUNDE FASILITEERDERSGIDS

Graad 12

A member of the FUTURELEARN group

Wiskunde Fasiliteerdersgids

1812-A-MAM-FG01

Í2,È-A-MAM-FG01ÆÎ

Graad 12

Aangepas vir KABV

DM Oost

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

Inhoudsopgawe Kwartaal 1.

Onderwerp

Bladsy

Studiebrief

bl. 2 – bl. 10

Gereedheidseksamen vraestel 1 van 2 plus memo

bl. 11 – bl. 32

Gereedheidseksamen vraestel 2 van 2 plus memo

bl. 33 – bl. 54

Memorandum van handleiding

bl. 1 – bl. 756

Neem kennis dat die memorandum weer op bladsy een begin en aan die voorkant ook ’n inhoudsopgawe het wat die verskillende eenhede se memorandum aandui.

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

Inhoudsopgawe Bladsy 1.

Algemeen

bl. 2

Handleiding

bl. 3

Jaarpuntopdragte (SGA – take)

bl. 4

4.1

Leeruitkomstes

bl. 4

4.2

Moeilikheidsvlakke

bl. 4

Jaarplan

bl. 5

Hersiening

bl. 7

Eksamenriglyne

bl. 7

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

Algemeen

1.1

Maak seker dat die volgende stukke in jou besit is: • ŉ Handleiding met die betrokke jaar se studiemateriaal. • ŉ Fasiliteerdersgids wat die volgende bevat:  Hierdie inligtingsbrief.  ŉ Gereedheidseksamenvraestel om die kandidaat se agtergrondkennis te toets.  Die jaarbeplanner vir graad 12.  Die memorandum van die handleiding waarin al die antwoorde uiteengesit is. • ŉ Portefeuljeboek wat die volgende bevat:  Algemene inligtingsbrief met belangrike inligting rakende die take.  Die sperdatums waarop take aan Impaq gestuur moet word.  Alle toetse en take met ander woorde die jaarpuntopdragte (SGA-take) vir hierdie jaar.  Die eksamenvraestelle wat later aan jou gestuur sal word. • ŉ DVD.

1.2

Hierdie brief dien as riglyn aan fasiliteerders oor die volgende: • Gereedheidseksamenvraestelle • Watter werk gedoen moet word. • Jaarplan • Die vyf moeilikheidsvlakke en wat elkeen beteken. • Hoe die handleiding gebruik kan word.

1.3

Gereedheidseksamens Ingesluit by hierdie fasiliteerdergids is twee toelatingseksamens wat deur elke kandidaat wat nie die vorige jaar graad 11 by Impaq afgelê het nie, geskryf moet word. Indien die kandidaat dus vir die eerste keer in graad 12 deur Impaq onderrig word, moet hy/sy hierdie twee toelatingseksamens aflê. Jy moet self die vraestelle nasien en enige agterstande wat die kandidaat mag ervaar so gou as moontlik laat inhaal. Sukses in graad 12 is slegs moontlik indien jou kind die graad 11-werk bemeester het en die werk met gemak kan hanteer. Elke handleiding van Wiskunde by Impaq maak staat op kandidate se agtergrondkennis, begrip en vermoë om werk te identifiseer en akkuraat te kan doen. ŉ Agterstand in Wiskunde word net groter soos die tyd verloop en is later feitlik onmoontlik om uit te wis indien daar nie vinnig werk van gemaak word nie. Die gereedheidseksamen moet nie aan Impaq gestuur word nie. Die doel daarvan is slegs om te verseker dat kandidate graad 11-werk verstaan voordat graad 12 aangepak word. Indien daar ŉ groot agterstand by kandidate is, beveel ons aan dat die graad 11-Wiskundemateriaal vanaf Impaq aangekoop word en

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

eers deurgewerk word. Dit sal ook handig wees om te hê wanneer daar terugverwys word na graad 11-inhoud.

Handleiding Die handleiding bevat verwysings en oefeninge om konsepte, begrippe, vaardighede en kennis van Wiskunde te ontwikkel. Om die DVD te gebruik moet dit op ŉ rekenaar gebruik word en nie op ŉ DVDspeler nie. Aanbevole sakrekenaar is die CASIO fx-82ES (Plus) Die gebruik van die handleiding: • Bestudeer die teorie en voorbeelde met al die geskrewe verduidelikings. • Doen ŉ paar somme en merk dan die somme deur na die antwoorde in die memorandum te kyk. • Daar is videomateriaal by elke oefening wat gebruik kan word indien sekere somme nie verstaan word nie. Hierdie videomateriaal is op die DVD beskikbaar. Enige ander bron kan met sukses vir hersiening en hulp aangewend word.

Jaarpuntopdragte (SGA-take)

Toetse en take word in die portefeuljeboek uiteengesit. Die volgende is ook in die portefeuljeboek: • Sperdatums vir inhandiging van take. • Metodes vir inhandiging. • Puntestaat om verwerking van punte te verduidelik. • Wie die take assesseer. • Berekening van jaarpunte.

Leeruitkomste en moeilikheidsvlakke

4.1

Leeruitkomstes

Hier is die uiteensetting van die leeruitkomste soos in graad 12 verwag word. Leeruitkomste 1 LU1 Leeruitkomste 2 LU2 Leeruitkomste 3 LU3 Leeruitkomste 4 LU4

Getalle, bewerkings en verwantskappe Patrone, funksies en algebra Meting in ŉ verskeidenheid kontekste Meetkunde en driehoeksmeting Datahantering

25% 25% 25% 25%

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

4.2

Moeilikheidsvlakke

Hierdie uiteensetting word gehandhaaf in alle toetse en eksamens. Die aantal asteriske wat langs elke som in die handleiding verskyn, dui op die moeilikheidsgraad.

Moeilikheidsvlak 1

Moeilikheidsvlak 2

Moeilikheidsvlak 3

Moeilikheidsvlak 4

Moeilikheidsvlak 5

ÂŠ Impaq

Assesseringsematiek * Basiese teorie en begrippe is nodig voordat bewerkings gedoen kan word. Hierdie deel behoort 20% van jou punt te tel. Dit kan verwerf word deur net te leer. ** Eenvoudige bewerkings wat as maklik beskou word en ingeoefen kan word. Vrae word direk gevra. Hierdie gedeelte tel 35%. *** Komplekse bewerkings wat kombinasies van die vorige werk behels. Vrae word indirek gevra en begrip word hier getoets. Hierdie somme word nie dadelik herken nie en kandidate moet dus eers bewerkings oorweeg voordat dit bekend sal raak. Hierdie gedeelte tel 30%. **** Die moeilike gedeelte van elke vraestel. Hier moet kandidate hul vermoĂŤ om te redeneer bewys en ook hul kennis kan toepas. Dit is die deel van wiskunde wat nie in die werkboeke en handleidings geplaas is nie. Dit vorm 15% van elke vraestel en kan nooit te moeilik wees nie. ***** Gevorderd

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

Jaarplan (Gebruik die handleiding hiervoor.)

Kwartaal 1 Januarie tot Maart

Eenheid 1 3 2 14

Onderwerp

Lesse

Getallestelsels Algebra Logaritmes (eksponente) Differensiale calculus

2 5 6 5

* *

1 2 2 2

Funksies Trigonometrie Euklidiese meetkunde

12 11 9

(oefening 1 – 4)

11 12 5.2 Kwartaal 2 April tot Junie

Eenheid 14

Onderwerp

2 3 3

Lesse

Differensiale calculus

Analitiese meetkunde Getalpatrone (Rye en Reekse) Statistiek

6 10

3 1

(oefening 5 – 8)

13 4 9

Onthou dat vraestel 1 in ‘n eksamen hoofsaaklik leeruitkomste 1 en 2 bevat en vraestel 2 dan leeruitkomste 3 en 4. Dit is egter nie so dat hierdie werk nie gemeng kan word nie. Wees altyd bewus daarvan dat basiese tegnieke in alle vraestelle gevra kan word. ’n Paar hiervan is: • Oplos van vergelykings • Faktorisering • Vereenvoudiging en vervanging • Optel, aftrek, vermenigvuldiging en deling • Grafieke en hul toepassings Kwartaal 3 Julie tot Augustus

Eenheid

Onderwerp

8 10 5.1 6 7

Finansies Waarskynlikheid Ruimte en vorm Transformasie Verhouding en koers Hersiening Die goue reëls vir toetse en eksamens is: • Ken al die formules uit jou kop. • Rasionaliseer alle noemers.

Lesse 10 5 3 1 1

* * *

1 4 3 3 1

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

• •

Maak alle eksponente positief. Benader alle antwoorde net een keer in die antwoord en nie op verskeie plekke in die som nie.

Hersiening

Dit is baie belangrik dat kandidate so gou as moontlik vraestelle doen om hulle sodoende voor te berei vir die eksterne eksamen. Die eksamenhulpboek is ideaal vir hierdie doel. Dit bevat vorige Senior Sertifikaat-vraestelle. Kandidate moet vanaf Maart elke week ŉ vraestel doen en dit self nasien. Dit kan as deel van die informele assessering gereken word. Indien ŉ kandidaat die hele boek asook die handleiding deurgewerk het, sal hy/sy gereed wees vir die NSS-eksamen. Verkry hierdie boek by Eksamenhulp: 012 365 1824.

Eksamenriglyne

7.1

Moets en moenies vir die eksamen: • Dit is belangrik dat die kandidaat in ŉ baie goeie toestand, fisies en emosioneel, is wanneer die eksamen geskryf word aangesien dit ŉ belangrike eksamen is wat sy/haar toekoms bepaal. Dit is belangrik dat die kandidaat gesond eet, baie water drink en so min as moontlik aan stres blootgestel word. • Genoeg slaap en rus is ook baie belangrik. ŉ Moeë brein wat te min gerus het, maak nalatige foute. • Wiskunde word stelselmatig geleer deur getrou Wiskunde-oefeninge te doen en lank voor die tyd voor te berei. Daar moet deur soveel as moontlik vorige eksamenvraestelle gewerk word. • Deur vrae te herhaal en die antwoord uit geheue te skryf, beteken nie dat jy die vraag in die eksamen sal kan beantwoord nie. Verskillende vrae moet egter vergelyk word en die verskille tussen dit moet gesien word en hoe die antwoorde ook verskil. Kyk na verskillende memorandums en al die stappe in ŉ som. Merk die plekke waar jy sukkel en vra vir hulp as dit nodig is. Moenie hierdie stappe waarmee jy sukkel bloot oorslaan nie omdat dit help om die som te verstaan. Sekere stappe tel ook punte.

7.2

ŉ Paar praktiese wenke: • Skryf altyd met ŉ blou pen aangesien die nasieners en moderators rooi, groen en swart gebruik. • Moenie finale antwoorde in potlood los nie omdat dit nie gemerk sal word nie. Sketse mag in potlood gedoen word. • Skaf vir jou filtpenne aan – dit is soms nodig om lyne helder te trek, byvoorbeeld by lineêre programmering.

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

•

7.3

Vermy Tipp-ex. Indien iets in jou antwoord verkeerd is, trek dit netjies dood en skryf die regte antwoord. Probeer om netjies te werk en maak seker dat daar geen verwarring is oor wat gemerk moet word nie. • Nommer die vrae korrek soos dit in die vraestel is. • Trek ŉ lyn na elke vraag sodat die merker weet dat die antwoord nie op ŉ ander plek aangaan nie. • Hou ŉ passer byderhand vir ingeval jy ŉ sirkel moet teken. • Skryf jou naam, graad en studentenommer op elke bladsy wat jy moet inhandig. Dit word waardeer as die bladsye genommer is in die volgorde wat dit gemerk moet word. • Trek ŉ lyn na elke vraag sodat die merker weet die antwoord is klaar en dat dit nie iewers anders verder gaan nie. • Belê in ŉ klein krambinder en kram al jou diagramvelle agter die voorblad vas sodat geen bladsye wegraak nie. • Maak seker dat jou sakrekenaar in die regte mode, naamlik DEG, is (veral by trigonometrie). Maak ŉ gewoonte om altyd sin 30° voor ŉ eksamen op jou sakrekenaar te druk. As die antwoord 0,5 is, weet jy jou sakrekenaar is reg. • Onthou slegs die eerste poging word nagesien tensy dit doodgetrek is. As jy ŉ vraag oordoen, trek ŉ lyn deur die eerste poging. Die eerste poging word gemerk al is die tweede poging die regte antwoord. • Maak seker jy het ŉ nie-programmeerbare, nie-grafiese wetenskaplike sakrekenaar by jou voor jy begin skryf. Weet hoe om die mode te verander. Onthou om jou sakrekenaar nie te gebruik nie indien dit by die vraag staan. Hoe om ŉ vraestel aan te pak: • Lees altyd eers deur die instruksies van die vraestel. Maak seker dat jy die instruksies deeglik volg, bv. die afronding. • Beplan jou tyd. Ongeveer ŉ punt per minuut is voldoende. Bepaal waar jy moet wees na helfte van die tyd verby is. Geen som is meer as sy punte in tyd werd nie. Kom eerder later terug na ŉ probleemsom. • Probeer om eerste die makliker vrae en die waarmee jy goed is eerste te doen. Doen egter een vraag en sy subvrae klaar voor jy aangaan. Los ŉ paar lyntjies oop indien jy nie die vraag kan beantwoord nie. Die moeilikste vrae word nie laaste in die vraestel gevra nie. Lees eers deur die hele vraestel en besluit waar om te begin. • Begin elke vraag op ŉ nuwe bladsy. • Veral kort antwoorde kan in die nasienproses misgekyk word. Laat ŉ lyn of twee oop sodat so ŉ kortvraag duidelik uitstaan en nie verdwyn tussen ŉ klomp syfers nie. • Onthou dat slegs wat jy skryf gemerk kan word en nie dit wat jy bedoel nie. Byvoorbeeld: (2)3x + 1 beteken 6x + 1; nie vraag 2 met die som 3x + 1 langs dit nie. Nog ŉ voorbeeld: 2x + 1 (x – 1) beteken nie (2x+1)(x – 1) nie en 2,3 is nie 2.3 nie.

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

• •

•

7.4

Skryf al die “=”-tekens van ŉ som ondermekaar. By vrae soos analitiese meetkunde is dit sinvol om die sketse min of meer op skaal te teken sodat antwoorde geëvalueer kan word ten opsigte van kwadrant en dus die teken. Dikwels kan antwoorde uit simmetrie bepaal word, veral by analitiese en transformasiemeetkunde. Ook in hierdie geval is ’n skets wat min of meer op skaal is baie nuttig.

Probleemareas

Vraestel 1 • Los op vir x is ŉ maklike afdeling. Maak dus seker dat jy ŉ baie goeie punt vir die vraag kry. Maak veral seker dat jy nie tekenfoute maak nie. • Indien verkeerde formules by rye en reekse gebruik word, is daar geen opvolgpunte nie. Doen dus moeite om die ry/reeks eers te toets vir rekenkundig [T2 – T1 = T3 – T2] of meetkundig [T2 ÷ T1 = T3 ÷ T2]. • Grafieke word baie gevra en tel baie punte – gee baie aandag daaraan. Maak seker dat jy die transformasiereëls ken en reg op funksies kan toepas (op/af skuif en links/regs skuif). • Maak ook seker dat jy die regte formule by Finansiële Wiskunde beet het – verkeerde formule beteken geen punte nie. • Differensiasie se notasie moet korrek wees. Kyk mooi wanneer moet “lim” weggelaat word en let op die verskillende skryfwyses van afgeleides. • Liniêre programmering tel baie punte. Al kan jy nie die regte vergelykings kry nie gebruik die wat jy het en teken ŉ gangbare gebied en lees jou antwoorde daarvandaan af, m.a.w. veg vir opvolgpunte. • Onthou om die asse, lyne en gangbare gebied te benoem. Skryf die doelfunksie neer en bereken die maksimum/minimum waarde volgens jou koördinate. Vraestel 2 • Hierdie vraestel bestaan uit analitiese meetkunde, transformasiemeetkunde, Euklidiese meetkunde, statistiek, vormleer en trigonometrie. Begin by die afdeling wat vir jou die maklikste is en los die afdeling wat vir jou die moeilikste is vir laaste. • Vormleer word nie altyd gevra nie. • Trigonometrie kan verdeel word in herleidingformules en standaardhoeke, Pythagoras, oplos van trigonometriese vergelykings oplos van driehoeke (sin-, cos- en oppervlakte reël) en trig-grafieke. • Indien trigonometrie nie jou sterkpunt is nie, maak seker dat jy minstens twee of drie van hierdie afdelings wel bemeester het. Trigonometrie tel baie punte. • Statistiek in graad 12 is dieselfde as graad 11 met fokus op berekeninge met die sakrekenaar. Dit is die bepaling van standaardafwyking, gemiddeld en mediaan van data. Teken van die vyfpunt-stingel-en-blaardiagram en interpretasie van die ogief is belangrik en word oor die algemeen gevra.

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

• • •

In analitiese meetkunde word die sirkel ingesluit asook die raaklyn van ŉ sirkel. Hersien hierdie afdelings deeglik. Maak seker jy ken en verstaan die basiese reëls en formules vir die uitwerk van volume, oppervlakte en afstande. Identifiseer jou probleem-areas na die Junie- en Rekordeksamen deur jou gemiddeld van elke vraag te bereken. Elke vraag wat onder jou eie gemiddeld is dan jou swakpunte. Fokus dan op daardie afdelings.

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

WISKUNDE VRAESTEL 1/2 GRAAD 12 GEREEDHEIDSEKSAMEN EKSAMINATOR: D. Oost MODERATOR: S. Naudé

TOTAAL: 150 TYD: 3 ure

INSTRUKSIES: • • • • • •

Beantwoord al die vrae. Trek ŉ lyn na elke vraag. Toon alle stappe. Sakrekenaars mag gebruik word tensy anders vermeld. Benader waar nodig korrek tot twee desimale syfers. Geen formuleblad word voorsien nie.

VRAAG 1: GETALBEGRIP 1.1 1.2

x 2 + 2x - 3 4 x - 8 × Vereenvoudig: 16 - 8x x +3 2 Skryf –x + 6x – 10 in die vorm a(x – p)2 + q deur middel van vierkantsvoltooiing.

(5) (4) [9]

VRAAG 2: ALGEBRAÏESE VERGELYKINGS Los op vir x: 2.1 3x2 + 2x – 6 = 0 2.2 (x – 3)(x – 4) = 2 2.3 (x – 2)2 ≤ –9x 2.4 3 6 x = 2 x-1 x +1 x - 1 2.5 Los x en y gelyktydig op x – 3 = 2y en (2x – y)(x + y) = 0

(5) (3) (4) (6) (7) [25]

VRAAG 3: EKSPONENTE 3.1 Vereenvoudig: 3.2

243 1024

Los op vir y: 3. 9 y =

(125 ) 64

1 3

(6) (5)

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

3.3

Los op vir x: 21 + x + 2x – 1 = 320

(6) [17]

VRAAG 4: GETALPATRONE 4.1 4.2 4.3

Bestudeer die volgende getalpatroon 5 ; 10; 17 ; 26 ; -----Bewys dat dit ŉ kwadratiese getalpatroon is. Skryf die volgende drie getalle in die patroon neer. Bereken vervolgens: 4.3.1 die nde term van die getalpatroon 4.3.2 die 100ste getal in die getalpatroon

(2) (3) (6) (2) [13]

VRAAG 5: FINANSIES 5.1

5.2 5.3

5.4

Meneer Jones het aandele teen R30,50 per aandeel by ŉ finansiële instansie gekoop. Vyf jaar later verkoop hy die aandele teen R24,60. Bereken die waardeverminderingskoers per jaar indien die rente jaarliks saamgestel word. Bereken die effektiewe koers indien die nominale koers 15% per jaar is en maandeliks saamgestel word. Anton deponeer ŉ sekere bedrag in ŉ spaarrekening. Na ŉ tydperk van sewe jaar het dit aangegroei tot R14 000 gegroei. Rente gedurende die eerste vier jaar is 9% per jaar, jaarliks saamgestel en vir die oorblywende drie jaar is rente teen 13% per jaar, maandeliks saamgestel. Wat was die bedrag wat Anton gedeponeer het? Madelein belê R26 000 in ŉ vaste deposito. Na 45 jaar wil sy graag R1 000 000 ontvang. Bereken die rentekoers benodig per jaar indien die rente enkelvoudige saamgestel word (reglynig bereken word).

(5)

(6) (6)

(5) [22]

VRAAG 6: GRAFIEKE 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4

2 +1 x- 3 Bereken die vergelyking van die asimptote van h. Bereken die x- en y-afsnitte van h. Skets die grafiek van h. Dui alle afsnitte, asimptote, draaipunte asook minstens een verwysingspunt op die kurwe aan. Bepaal die vergelyking van die simmetriese as van h.

Gegee: h(x) =

(2) (4) (5) (4)

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

6.2

Bestudeer die skets van die volgende twee grafieke: f(x) = –x2 + 2x +3 en g(x) = x + 2 Y-as C

X-as

E 0

6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.2.6

Bereken: die lengte van AE die koördinate van C (die draaipunt) met behulp van vierkantsvoltooiing vervolgens, bepaal die lengte CG die lengte van BF die koördinate van D die gemiddelde gradiënt van die grafiek van f tussen x = 1 en x = 2.

(4) (4) (1) (2) (5) (3) [34]

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

VRAAG 7: TRIG-GRAFIEKE (OOK IN VRAESTEL 2) Die volgende is ŉ grafiek van: f(x) = sin bx en g(x) = sin (x + α) vir x ε [–360°; 360°] (2) y g

-360°

-180°

0°

360°

180°

7.1 7.2 7.3 7.4

Bereken Die waarde van b. α as xA = 225° x as g(x) ≤ 0 en x ε (-360°; 0°) Die waardeversameling van f.

(2) (2) (3) (3) [10]

VRAAG 8: WAARSKYNLIKHEID 8.1*** 8.2** 8.3** 8.4**

Gee twee beweringe wat waar is indien gebeurtenis A en B onderling uitsluitend is. Gee die stelling vir die vereniging van twee nie-uitsluitende gebeurtenisse. Wanneer is gebeurtenisse uitputtend? Wanneer is gebeurtenisse onafhanklik?

(2) (2) (2) [10]

VRAAG 9

9.1** 9.2*

Indien ŉ pak met 52 kaarte die volgende deelversamelings het: S = {52 kaarte} R = {Rooi kaarte} P = {Prente} Skets ŉ Venn-diagram van die gegewens. Watter kaarte is nie in R of P nie?

(2) (1)

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

9.3** 9.4***

Bepaal of rooi en prent-kaarte onafhanklik is. Toon jou berekeninge.. Herhaal die som vir die deelversamelings: R = {Rooi kaarte} H = {Harte} Teken Ĺ‰ Venn-diagram en bepaal of die versamelings onafhanklik is.

(3) (4)

[10]

TOTAAL: 150

ÂŠ Impaq

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

WISKUNDE VRAESTEL 1/2 GRAAD 12 GEREEDHEIDSEKSAMEN MEMORANDUM VRAAG 1 1.1

x 2 + 2x - 3 4 x - 8 × Vereenvoudig: 16 - 8x x +3 Antwoord: ( x + 3)( x 1) 4( x - 2) = × 8(2 - x) (x + 3) =

1.2

− ( x − 1) 2 − x +1 = 2

(5)

 3 vir faktore 2 vir antwoorde

 

Skryf –x2 + 6x – 10 in die vorm a(x – p)2 + q deur middel van vierkantsvoltooiing. Antwoord: –x2 + 6x – 10 1 vir bytel van 9  2 = − ( x − 6 x ) − 10 1 vir faktore 2 vir antwoord

= − ( x 2 − 6 x + 9 − 9) − 10 = − ( x − 3 ) 2 + 9 − 10 = − (x − 3 )2 − 1

(4)



 [9]

VRAAG 2 Los op vir x: 2.1 3x2 + 2x – 6 = 0 Antwoord: 3x2 +2x – 6 = 0

(5)

2 vir vervanging 1 vir vereenvoudiging 2 vir antwoorde

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

x = =

− 2 ± 4 − 4(3)( −6) 2(3) − 2 ± 4 + 72 6



− 2 ± 76 6 ≈ 1 , 12  (x – 3)(x – 4) = 2 Antwoord: (x – 3)(x – 4) = 2 =

2.2





− 1,79

(3) 1 vir gelyk aan nul 1 vir faktore 1 vir die 2 antwoorde

∴ x 2 − 7 x + 12 − 2 = 0 ∴ x 2 − 7 x + 10 = 0  ∴ (x − 5 ) ( x − 2 ) = 0  ∴ x = 5 of x = 2  2.3

(x – 2)2 ≤ –9x Antwoord: (x – 2)2 ≤ -9x

Y-as

(4)

∴ x 2 − 4x + 4 ≤ − 9x ∴ x 2 + 5x + 4 ≤ 0  ∴ ( x + 4 ) ( x + 1) ≤ 0  2.4

-4

(6)

3 x = −x +1 x2 - 1 x-1 Antwoord: x 3 6 −= x-1 x +1 x2 - 1 ∴ kgv = ( x − 1)( x + 1)

∴x 2 + x



1 vir term met KGV 1 vir vereenvoudiging en = 0 1 vir faktore 1 vir die twee antwoorde 1 vir die beperking 1 vir die oplossing

− 3x + 3 − 6 = 0

 ∴ x 2 − 2x − 3 = 0  ∴ ( x − 3 ) ( x + 1) = 0 ∴ x − 3 = 0 of x + 1 = 0 x = −1  ∴ x = 3

Ongeldig vir: Noemers = 0 (x +1) (x – 1) = 0 x = –1 of x = 1

Oplossing = {3} 

X-as

− 4 ≤ x ≤ −1 

Antwoord: 6

∴ x( x + 1) − 3 ( x − 1) = 6

-1



Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

2.5

Los x en y gelyktydig op (7) x – 3 = 2y en (2x – y)(x + y) = 0 Antwoord: 1 vir vervanging van die x – 3 = 2y ...........................1 een in die ander (2x – y)(x + y) = 0.................2 1 vir vereenvoudiging = 0 Uit 1 : x = 2y + 3 vervang in 2 2 vir antwoorde ∴ {2(2y + 3) –y}{2y + 3 + y}=0  2 vir terugvervanging ∴ {4y + 6 –y}{3y+3} = 0  1 vir antwoord ∴ {3y + 6}{3y + 3} = 0 of 3y + 3 = 0 ∴ 3y + 6 = 0  ∴ 3y = -6  ∴ 3y = -3 ∴ y = –2 ∴ y = –1 Vervang terug in 1 x- 3 = 2(–2) of x – 3 = 2(–1) ∴ x=-4 + 3 ∴ x = –2 + 3   x =1 ∴ x = –1 Oplossing:



(–1; –2), (1; –1)

[25]

VRAAG 3 3.1 Vereenvoudig:

243 1024

(125 ) 64

1 3

(6)

Antwoord: 5

243 1024

= = =

3.2

35 45 3 4 3-5 4 -2 = 4

) (125 64

1 3

5 3 31 - ( 3)  4



2 vir priemfaktore 2 vir elke term se vereenvoudiging 1 vir gesamentlike antwoord 1 vir vereenvoudigde antwoord

 

5 4

 -1 2



Los op vir y: 3.9y = Antwoord: 3.9y =

(5)

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

∴ 3. 3 ∴3

1+ 2 y

= =

1 2 3 1 2 3

 

1  2 ∴ 2 + 4y = 1  ∴ 4y = − 1 −1  ∴ y = 4 1+x x–1 2 +2 = 320 Antwoord: 21 + x + 2x – 1 = 320 ∴ 1 + 2y =

3.3

1 vir priemfaktore 1 vir eksponentwet wat eksponente bymekaar tel 1 vir die gelykstel van eksponente 1 vir vereenvoudiging 1 vir antwoord

(6)

∴ 212 x + 2 x 2 −1 = 320 ∴ 2 x ( 2 + 2 −1 ) = 320 5 ∴ 2 x ( ) = 320 2

  

∴ 2 x = 320 .

2 5

∴ 2 x = 128

 

∴ 2 =2 ∴ x=7 x

2 vir faktorisering 1 vir eenvoudiging 1 vir die RK se vereenvoudigde antwoord 1 vir priemfaktore 1 vir die antwoord

 [17]

VRAAG 4

4.1

4.2

4.3

Bestudeer die volgende getalpatroon 5; 10; 17; 26; -----Bewys dat dit ŉ kwadratiese getalpatroon is. Antwoord 5 10 17 26 Eerste  verskille 5 7 9 Tweede  verskille 2 2 Dit is ’n kwadratiese patroon want die tweede verskille is konstant. Skryf die volgende drie getalle in die patroon neer. Antwoord:    5;10;17;26; 37; 50; 65........ Bereken vervolgens 4.3.1 die nde term van die getalpatroon.

(2)

(3)

(6)

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

Antwoord: Gebruik die volgende teorie Algemene term Tn = an2 + bn +c Eerste verskille T1= a + b + c 3a+b T2= 4a + 2b + c 5a+b T3 = 9a + 3b + c

Tweede verskille

Volgens die teorie is die tweede verskille: 2a = 2 ∴a = 1   Volgens die teorie is die eerste verskil 3a + b = 5 ∴ 3(1) + b = 5 b = 2   ∴ Volgens die teorie is die eerste term a + b + c = 5 ∴(1)+(2)+c=5 c=2  ∴ 2  ∴ Tn= n + 2n+2 4.3.2 die 100ste getal in die getalpatroon Antwoord: T100= (100)2+2(100)+2  = 10202 

(2)

[13]

VRAAG 5 5.1

Meneer Jones het aandele teen R30,50 per aandeel by ŉ finansiële instansie gekoop. Vyf jaar later verkoop Meneer Jones die aandele teen R24,60. Bereken die waardeverminderingskoers per jaar indien die rente jaarliks saamgestel word. Antwoord: E = 2460 sente B = 3050 sente n = 5 jaar r=?

(5)

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

E = B( 1 −

r n ) 100

r )5  100 r 5 ∴ 0,806557...... = ( 1 − ) 100 r  ∴ 0,957915......... = 1 − 100 ∴ 95, 791517...... = 100 − r  ∴ −4,208482....... = − r ∴ r = 4, 2084...... ∴ r ≈ 4,21% per jaar  ∴ 2460 = 3050 ( 1 −



2 vir vervanging 2 vir vereenvoudiging 1 vir antwoord

Onthou dat aan die begin van die vraestel tot twee syfers gevra is. 5.2

Bereken die effektiewe koers indien die nominale koers 15% per jaar is en maandeliks saamgestel word. Antwoord: r LW i= inom m  100 ) i e f + 1 = (1 + m  ∴ inom = 0,15 0,15 12  ) ∴ i ef + 1 = (1 + 12  ∴ i ef + 1 = 1,16075..... 1 vir korrekte formule = 0 ,16075...... ∴ i ef 2 vir vervanging 2 vir vereenvoudiging r maar i = 1 vir korekte benadering 100 ∴ r ≈ 16 , 08% 

(6)

5.3

Anton deponeer ŉ sekere bedrag in ŉ spaarrekening. Na ŉ tydperk van sewe jaar het dit aangegroei tot R14 000 gegroei. Rente gedurende die eerste vier jaar is 9% per jaar, jaarliks saamgestel en vir die oorblywende drie jaar is rente teen 13% per jaar, maandeliks saamgestel. Wat was die bedrag wat Anton gedeponeer het?

(6)

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

Antwoord: Eerste tydperk

Tweede tydperk

? 0 jr

R14000 1jr

r = 9% per jaar

2jr i =

3jr

4jr

9 = 0,09 100

n = 4 jaar E = R9 498,70 B= ? r n E = B(1 + ) 100 9 4 ) 100  9 498,70 = B(1,09)4 9 498,70 = B(1,41158161) 9498,70 B = 1,41158161.... ≈ R 6729,13

9 498,70 = B(1 +

 5.4



5jr

6jr

7jr

13 % per maand 12 n = 3 jaar = 36 maande i E = R14000 1,08333 B= ? = 100 r n E = B( 1 + ) 100 = 0,01083  13 14000 = B(1 + 12 )36 100 14000 = B(1,01083333....)36 14000 = B(1,473886.....) B = R9498,70

r = 13%per jaar =



Die beginwaarde was R 6 729,13.

Madelein belê R26 000 in ŉ vaste deposito. Na 45 jaar wil sy graag R1 000 000 ontvang. Bereken die rentekoers benodig per jaar indien die rente enkelvoudige saamgestel word (reglynig bereken word). Antwoord: E = R1 000 000 B = R26 000 n =45 r=? rn  E = B (1 + ) 100 45r 1 000 000 = 26 000 (1 + )  100  45r 38,461538..... = 1 + 100  3846,1538.... = 100 + 45r 3746, 1538 = 45r r =83,24786..  ≈ 83, 25% per jaar

(5)

[22]

Fasiliteerdersgids G12 ~ Wiskunde

VRAAG 6 6.1

Gegee: h(x) =

2 +1 x- 3

6.1.1 Bereken die vergelyking van die asimptote van h. Antwoord: Asimptote: x = 3 en y = 1  

(2)

6.1.2 Bereken die x- en y-afsnitte van h. Antwoord: x-afsnitte stel y = 0 y-afsnit stel x = 0 2 2 ∴0 = +1 ∴y = +1 x −3 0−3 2 2  ∴ −1 = ∴y = +1  x −3 −3 ∴ −x + 3 = 2 −2+3 ∴ y = 3 ∴x = 1  1 (1; 0) = 3  1 ∴(0 ; ) 3

(4)

6.1.3

(5)

Skets die grafiek van h. Dui alle afsnitte, asimptote, draaipunte asook minstens een verwysingspunt op die kurwe aan. Antwoord: Verwysingspunt Y-as (4 ; 3) 

 Draaipunt ( 2 + 3 ; 2 + 1)

3 h y=1

1 3

 1

Draaipunt ( − 2 + 3 ; − 2 + 1)

3 4 x=3

X-as 

