Issuu

Í2*È-A-MAM-SG01?Î

WISKUNDE HANDLEIDING Graad 10

Graad 10

Handleiding

Wiskunde

Aangepas vir KABV

Í2*È-A-MAM-SG01?Î 1810-A-MAM-SG01

Eenheid 1 Eenheid 2 Eenheid 3 Eenheid 4 Eenheid 5.1 Eenheid 5.2 Eenheid 6 Eenheid 7 Eenheid 8 Eenheid 9 Eenheid 10 Eenheid 11 Eenheid 12 Eenheid 13

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Getallestelsels Eksponente Algebra Getalpatrone en verwantskappe Meetkunde: meting, ruimte en vorm Meetkunde: Euklidiese meetkunde Transformasie-meetkunde Verhouding en koers Finansies Statistieke Waarskynlikheid Funksies Trigonometrie Analitiese meetkunde

1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2

Eksamenvraestel

INHOUDSOPGAWE

2 16 32 54 63 82 111 139 144 178 220 258 297 342

Bladsy

1 2 3 4 5 6 7 8

Oefening

Eenheid 1: Getallestelsels

INHOUDSOPGAWE

Verskillende soorte getallestelsels Skryfwyses Terme, faktore en veelvoude Deelbaarheidsreëls Soorte breuke Benadering van desimale deur af te rond Wortels, kwadrate en irrasionale getalle Gemengde oefeninge Bibliografie

Handleiding G10 ~ Wiskunde 1

4 6 7 9 10 11 11 15 15

Bladsy

Eenheid

Herkenning van verskillende tipes getallestelsels en getalle. Meeste van hierdie getallestelsels is reeds in graad 8 en 9 behandel. Verskillende notasies soos keurdernotasie, intervalnotasie, tabellering en grafieke. Die verskil tussen veelvoude, faktore en terme. Deelbaarheidsreëls. Dit is noodsaaklik om vrae te beantwoord waar sakrekenaars verbied word. Verskillende tipe breuke – desimale en gewone breuke, asook die omskakeling van een tipe na ’n ander. Die hantering van die optel, aftrek, vermenigvuldiging en deling van breuke. Benadering van desimale deur af te rond. Aan die einde van hierdie eenheid moet jy in staat wees om enige desimale getal (breukdeel) af te rond tot soveel nommers gevra. Wortels, vierkante en irrasionale getalle. In vorige grade is hierdie vrae nooit volledig bespreek nie. Jy moet in staat wees om hierdie vrae met gemak te kan beantwoord. Die twee vrae hier is altyd: 1. Vereenvoudig 2. Los x op (vergelykings)

Die doel van hierdie eenheid is:

Handleiding G10 ~ Wiskunde Eenheid

} geskryf kan word nie.

} geskryf kan word.

Breuke

Onthou: 0 0 x x is ongedefinieerd 0

Telgetalle

Irrasionale getalle

Negatiewe heelgetalle Nul Positiewe heelgetalle (natuurlike getalle )

Heelgetalle

Rasionale getalle

Reële getalle

Opsomming van die reële getallestelsel:

= Irrasionale getalle (nie-eindigende, nie-repeterende desimale getalle.) R = Reële getalle = {rasionale en irrasionale getalle.} R’ = Nie-reële getalle = {getalle wat nie bestaan nie.}

Q’ = {getalle wat nie as

= Rasionale getalle

Q = {getalle wat as

N = {1; 2; 3; 4; 5 ...} = Natuurlike getalle N0 = {0; 1; 2; 3; 4 ...} = Telgetalle Z = {... -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} = Heelgetalle

Oefening 1: Verskillende soorte getallestelsels

Hierdie eenheid is ’n opsomming van die werk wat in graad 8 en 9 behandel is. Die idee is om jou met voorbeelde te ondersteun, eerder as oefening wat gedoen moet word. Indien jy sukkel om hierdie afdeling te voltooi, moet jy teruggaan na die werk wat in graad 8 en 9 behandel is. Gebruik die voorsiende skakels.

LU1

Eenheid 1: Getallestelsels

Handleiding G10 ~ Wiskunde

lndien a en b positiewe heelgetalle is, met a < b, dan is Q/a <%.

'n Binomiaal is 'n wiskunde uitdrukking met twee terme. Die produk van twee identiese binomiale staan as die vierkanVkwadraat van die binomiaal bekend.

het geen antwoord nie en is dus 'n nie-reele getal.

getal.

-../2. bestaan wel, maar is 'n irrasionele getal. -V- 64 = + 4 is ook 'n heelgetal, 'n rasionale getal en 'n reele

©Optimi

1.5*

Watter soort getal is H?

I Skakel: Ctrl + kliek • Video oefening1.1 tot 1.5

Watter soort getal is W?

1.4*

Watter soort getal is

Is die getal nul 'n positiewe of 'n negatiewe getal? Watter soort getal is ,./a?

1.1* 1.2*

Probeer om altyd eers die getal te vereenvoudig. lndien daar 'n antwoord is, is die getal reel, maar indien daar nie 'n antwoord is nie, is die getal nie-reel.

1.3*

'n Rasionale getal is enige getal wat as � geskryf kan word, waar a en b b heelgetalle is. Die volgende is rasionale getalle: ► Breukdele waarvan beide die teller en die noemer heeltallig is. ► Heelgetalle. ► Desimale getalle wat eindig. ► Desimale getalle wat repeteer. lrrasionale getalle is nie rasionale getalle nie. Hulle kan nie met 'n heeltallige teller en noemer geskryf word nie. lndien die nd • magswortel van 'n getal nie as 'n rasionale getal geskryf word nie, word hierdie nd • nommer 'n wortelgetal genoem.

&a�•

Voorbeelde: ✓ = 2 Hierdie is 'n heelgetal, 'n rasionele getal en 'n reele getal.

• •

•

Opsomming:

Handleiding G10 ~ Wiskunde

'" " " I

@Optimi

2.2** 2.3 •••

lndien x □ [-1; 1O]. is 10 ingesluit of uitgesluit? Teken die grafiek van 30 < x s 33 as x LJ R. Kan jy sien dat 30 uitgesluit, en 33 ingesluit is?

•

Video oefening2.1

Gebruik die voorbeelde hierbo en beantwoord die volaende vrae. 2.1** Gee vyf verskillende skryfwyses vir die volgende getalle: "Reele getalle tussen -3 en 6, met -3 ingesluit, en 6 uitgesluit."

Onthou: Heelgetalle word met kolletjies aangedui. J

Afrikaans: Alie heelgetalle groter en gelyk aan -4 en kleiner as 2. Gewone notasie -4 s x < 2 Tabelnotasie = {-4; -3; -2; -1; O; 1} Keurdernotasie = {x / -4 s x < 2, x □ Z} lntervalnotasie = x □ [-4; 2] NB: 'n ")" hakie beteken NB: hierdie notasie word net vir x ER gebruik. [ uitgesluit en 'n "]" hakie Grafies (getallelyn) beteken ingesluit. -4 � � � 0 1 2

i. !I .I .i .i .i I + ·---,--·- ·•·-·-• ·-•·-·•·-·-• ·-·- .L ·-·-·-► [

1. 2. 3. 4. 5.

Voorbeeld:

Nie alle getallestelsels kan voorgestel word soos in die voorbeeld hieronder nie. • Rasionale en reele getalle nie getabelleer word nie. lrrasionale getalle kan nie met een van die skryfwyses weergegee word nie. Ons is dus beperk met die voorstelling van 'n groep irrasionale getalle. • In die onderstaande voorbeelde word heelgetalle gebruik:

Oefening 2: Skrlfwvses

Handleiding G10 ~ Wiskunde

&a�•

-2

-1

I I I

-1

•

I I

f.')

Bestudeer die onderstaande skets en gee die antwoord in intervalnotasie

©Optimi

Video oefening2.2 tot 2.5

Terme word met 'n"+"of" "-simbool geskei. Terme 7n [ Voorbeeld: 2m+ 4 + y bestaan uit vier terme. 8 Faktore (of delers) word deur 'n" x" -simbool geskei. Faktore Voorbeeld: 2 x 23 x 3 bestaan uit drie faktore. � lndien 12 = 2.2.3, is 12 gefaktoriseer in sy drie priemfaktore. lndien 12 = 22 .3, is 12 gefaktoriseer in sy priemfaktore en in eksponentformaat geskryf. Veelvoude van enige getal is wanneer daardie getal met 2, dan met 3, dan met 4, ens. vermenigvuldig word. Veelvou � Voorbeeld: Veelvoude van 12 = {12; 24; 36; 48; ...} Veelvoude van 100 = {100; 200; 300; 400; ...} Nog voorbeelde: 2(x + 3) het slegs een term as dit nie vereenvoudig moet word nie, maar twee terme as dit vereenvoudig word. = 2x+ 6 Die vraag moet spesifiseer of jy moet vereenvoudig of nie. xy = !:f_ is een term met vier faktore. 4 2.2

LU1 en LU2

• I

Bestudeer die onderstaande skets en gee die antwoord in keurdernotasie.

Oefening 3: Terme1 faktore en veelvoude

2.5**

2.4**

Handleiding G10 ~ Wiskunde

@Optimi

3.4**

3.3*

3.2**

3.1**

Die normale bewerkingsorde is: 1. Mag 2. Hakies 3. Vermenigvuldig en deel 4. Optel en aftrek

I Video 3.2

A -

Video 3.3 en 3.4

Onthou jy nog hoe lyk 'n Venn-diagram? Die doel is om die gemeenskaplike faktore te vind wat dan in die snyding in die volgende twee sirkels geplaas moet word.

Neem die getalle 24 en 36 en: 3.4.1 teken 'n Venn-diagram om die faklore van hierdie twee gelalle te illustreer. 3.4.2 Gee uil die Venn-diagram die gemeenskaplike faktore van 24 en 36. 3.4.3 Gee uit hierdie gemeenskaplike faktore die grootste een. Met ander woorde, die GGF (grootste gemene faktor) of GGD (grootste gemene deler) LW: 'n deler en 'n faktor is dieselfde konsep.

Ken jy die definisie van 'n priemgetal? Voorbeeld: 5 is 'n priemgetal want dit is slegs deelbaar deur 1 en 5 sonder 'n res. Die gelal 1 is nie 'n priemgetal nie.

Hoeveel terme het (x - 1)(4x) 3.2.1 voordat dit vereenvoudig is? 3.2.2 nadat dit vereenvoudig is? Skryf die eerste 1 O priemgetalle neer.

Voorbeeld: 2+ 3 x 4 = 2+ 12 = 14 en nie 5 x 4 = 20 nie.

'" " " I

Vereenvoudig die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar en lewer bewys dat jy die bewerkingsvolgorde ken deur net een bewerking per slap le doen. Video 3 1 4 -3x6+9 + 2 4 -(10-8 x 3)--van 12 3

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Video oefening 4.2 tot 4.5

Is 51249 deelbaar deur 11?

Is 1926 deelbaar deur 9?

Is 4208 deelbaar deur 8?

Is 708 deelbaar deur 6?

4.2**

4.3**

4.4**

4.5**

Bereken die volgende sonder die gebruik van ’n sakrekenaar. 4.1** Is 72645 deelbaar deur 11?

Alle getalle wat eindig op 2; 4; 6; 8; of 0. D.w.s., ’n ewe getal. As al die individuele getalle opgetel word en die totaal is ’n veelvoud van 3. Indien die laaste twee getalle ’n veelvoud van 4 is. Alle getalle wat eindig op 5 of 0. Indien die getal deur 2 en 3 deelbaar is. Neem die laaste syfer, vermenigvuldig dit met 2, en trek dit dan van die res van die getal af. Indien die antwoord ’n veelvoud van 7 is, is die getal ’n veelvoud. Herhaal tot jy die hele getal geëvalueer het. bv. 1792 is deelbaar deur 7, want 179 – (2 x 2) = 175 en 175 is 17 – (5 x 2) = 7, wat deelbaar deur 7 is. Indien die laaste drie getalle ’n veelvoud van 8 is. Indien die som van al die getalle ’n veelvoud van 9 is. Indien die getal op ’n 0 eindig. Tel al die alternatiewe syfers bymekaar en trek dit van die som van die ander syfers af. Indien die verskil 0 of 11 is, is die getal deelbaar deur 11.

Video oefening 4 en 4.1

Deelbaar deur 8 Deelbaar deur 9 Deelbaar deur 10 Deelbaar deur 11

Deelbaar deur 4 Deelbaar deur 5 Deelbaar deur 6 Deelbaar deur 7

Deelbaar deur 3

Deelbaar deur 2

LU1

Eenheid

Neem die getalle 12 en 8 en: 3.5.1 teken ’n Venn-diagram om die eerste 10 veelvoude van hierdie twee getalle te illustreer. 3.5.2 gee uit jou Venn-diagram die gemeenskaplike veelvoude van 12 en 8. 3.5.3 gee nou uit hierdie gemeenskaplike veelvoude die kleinste een. Met ander woorde, die Video 3.5 KGV (kleinste gemene veelvoud)

Oefening 4: Deelbaarheidsreëls

3.5***

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Daar is ’n eindige aantal syfers na die desimale teken.

2,3456784356178903 het 16 syfers na die desimale teken.

Voorbeelde

Eenheid

Verander

Verander 5.5***

na ’n gewone breuk.

na ’n desimale getal.

Verander 0,246 na ’n gewone breuk. Verander 5.4***

5.2* 5.3*

Repeterende breuke

Video oefening 6

Video oef 5.5

Daar is ’n oneindige aantal 45,123123123123 ... syfers na die desimaal maar = dit vorm ’n patroon. Nie-repeterende, Daar is ’n oneindige aantal nie-eindigende syfers na die desimaal maar 2,3456784356178903 ... breuke dit vorm nie ’n patroon nie. Bereken die volgende sonder die gebruik van ’n sakrekenaar. Bewys dat jy nie ’n sakrekenaar gebruik het nie deur al die stappe te toon. 5.1* Video oef 5.1 tot 5.4 Verander na ’n desimale getal.

Eindigende breuke

Ekwivalente breuk

’n Kombinasie van ’n telgetal en ’n egte breuk. Breuke wat dieselfde waardes verteenwoordig, maar verskillende tellers en noemers het.

Teller > noemer

Onegte breuk Gemengde getal

Teller < noemer

Egte breuk

Noemer

Teller

’n Rasionale getal bestaan uit ’n teller en ’n noemer wat heelgetalle is, waarvan die noemer nie aan 0 gelyk is nie.

LU1

Oefening 5: Soorte breuke

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Gewone breuke Desimale breuke

Beduidende syfers

Tot desimale plekke

Tot die naaste tienvoudige getal

Die omgekeerde geld ook: =� :. ✓4 = & Voorbeelde: 1. = ,./6

2.Ja +3 ✓32 - ✓200

7.9***

©Optimi

7.11****

1.1 o···

7.8***

✓

- 121

2-./3

-fi ft

=-if2

= ../4.-./3

✓

.J16+9 =-125 = 5 Moenie die volgende foul maak nie: 16+9 =✓16 +../9 ... (dit is nie waar nie)

✓b = b

[ Meer voorbeelde:

✓2k4 -v'108a - -v'121a . ..f3

✓18k

✓75 m (../19) ✓ -✓50 ( .Ja )

-✓9m ✓48m

7.7***

✓27 + --/36.3. 16

3✓18 + 4✓ + ✓

7.6**

✓'147-✓'12

7.5**

7.4**

4✓k4 ✓k2 ../9 ✓4050

7.3**

7.2*

7.1*

✓X✓Y -./3

I Video 7.14

I Video 7.13

I Video 7.12 I

Video 7.10 en 7.11

Video 7.8 en 7.9

Video 7.7

Video 7.6

Video 7.4 en 7.5

Video oef 7

Video 7.3

&a�•

Vereenvoudig die volgende sonder om 'n sakrekenaar te gebruik. Gee die antwoorde in die eenvoudigste wortelvorm. 2 4.Ja + ✓ Video 7.1 en 7.2

= 2-./3 Kies vierkantsgetalle soda! die vierkantswortel sonder 'n sakrekenaar bepaal kan word.

✓4-./3 :. ✓12.= '

.jx.y ✓X✓Y

Voorbeeld: Onthou die volgende: =

Hoe word die wortels van saamgestelde getalle bepaal?

Handleiding G10 ~ Wiskunde

[rl = g2

* (.,/25 - ✓16

✓

✓441

)✓4../9

Bewys dat 3 100 -64 +--/144 + 25 = ✓100 +

Bewys dat --/25 -16 ✓4../9

Bewys dat g2

'Doen die linkerkant en regterkant apart.

<1 �12345679

[ Gebruik vierkantsgetalle.7

Onthou: wanneer daar met 'n - vermenigvuldig word, word die tekens omruil.

@Optimi

7.19**

7.18***

7.17**

7.16**

7.15*

✓10000

rn -rn

...,

----

Ferdemagsgetal�

Video oefening 7.21

Video oefening 7.20

Video oefening 7.19

:. 1 < lfi < 2 Tussen watter twee heelgetalle le die volgende getalle? Gebruik die voorbeelde op die vorige bladsy. ✓10 Video oefening 7.15 en 7.16 -../19 Video oefening 7.17 en 7.18

Antwoord: 1 < 7 < 8 ---� <lfi <W°

.. - 3<-✓ <-2 3. Vraag: Tussen watter twee heelgetalle le V7? 7

-✓4> -✓ > -../9 :. -2>-✓>- 3

Antwoord: 4 < 7 < 9 7 .. ✓4<✓ <../9

2. Vraag: Tussen watter twee heelgetalle le ---.ff?

:. 2 < ✓ < 3

Antwoord: 4 < 7 < 9 7 :. ✓4<✓ < .jg

..f3<✓4 of 1 �12345678

Voorbeelde: 1. Vraag: Tussen watter twee heelgetalle le -J7?

Byvoorbeeld:

Ons gebruik hier die volgende beginsel: lndien a < b met a en b > 0, dan is '-$i. < o/1)

Bepaal tussen watter twee heelgetalle elk van die volgende irrasionale getalle (wortelgetalle) le. Video Voorbeelde

7.14***

7.13***

7.12**

'" " " I .,J

Toon al die stappe en gebruik die korrekte metode sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Gee ’n voorbeeld van ’n irrasionale en ’n nie-reële getal.

Benader die volgende getal tot vier beduidende syfers. 5,0076 Gebruik ’n sakrekenaar en bepaal die volgende tot twee desimale plekke.

8.7*

(3)

(2)

(3)

(4)

(2)

(2) (2)

Totaal 20

Eenheid

Laridon. (1994). Wiskunde vir die Klaskamer st 8. Phillips, M. Mathematics 10 Textbook & Workbook. Seeliger gr 10. (n.d.). PracMaths graad 10. Johan, P. (2006). Wiskunde Plus Leerderbroek. Oxford University Press. Laridon. (1994). Wiskunde vir die Klaskamer st 8. Laridon, e. (1996). Classroom Mathematics std 10/ grade 12. Heinemann. Phillips, M. (n.d.). Mathematics 10 Textbook & Workbook. Seeliger. (n.d.). Prac-Maths graad 10. Siyavula. (2011). Graad 10 Wiskunde. Creative Commons. Tapson, F. (2006). Oxford Mathematics Study Dictionary. Oxford University Press. Van der Lith, D. (n.d.). Study& Master Mathematics Learner's Book grade 11. Cambridge University Press.

Bibliografie

8.8**

Vereenvoudig die volgende sonder die gebruik van ’n sakrekenaar.

’n rasionale getal? Hoekom is Skryf die volgende in intervalnotasie. {x / 0 < x 3, x Skryf die volgende in keurdernotasie. - ; 67] x Verander na ’n algemene breuk.

8.6**

8.5**

8.4**

8.3**

8.1* 8.2*

LU1

Oefening 8: Gemengde oefeninge

7.21****

7.20****

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Eenheid 2: Eksponente

INHOUDSOPGAWE

25% 25% 25%

Patrone en funksies Meting in verskeie kontekste Datahantering

25%

27 28 30 31

18 22 25

Bladsy

Eenheid

Nommers, vergelykings en verhoudings

Basiese reëls en definisies Saamgestelde grondtalle Eksponentvergelykings sonder die gebruik van ’n sakrekenaar Eksponentvergelykings met die gebruik van ’n sakrekenaar Woordprobleme en eksponente Grafieke van eksponensiële funksies Gemengde oefeninge Bibliografie

Leeruitkomste 1 LU 1 Leeruitkomste 2 LU 2 Leeruitkomste 3 LU 3 Leeruitkomste 4 LU 4

5 6 7

1 2 3

Oefening

Handleiding G10 ~ Wiskunde

&a�•

en:aar

�1...1111,,11�1 .. I -i::IGM"@ken.aar

©Optimi

Verstaan die basiese wette en definisies van eksponente. Pas die wette toe wanneer gekombineerde en saamgestelde grondtalle gegee is. Los vergelykings sonder die gebruik van 'n sakrekenaar op. Los vergelykings met die gebruik van 'n sakrekenaar op. Verstaan en pas hierdie kennis op woordprobleme toe. Teken eksponensiele grafieke.

Nadal jy hierdie eenheid bestudeer het, behoort jy die volgende doelwitte bereik het:

QJ1l!Re l

.,....�a-• ,�,.;p

, pri:emgetalle is ' Vereenvoudigii'IQ waar groodtall1e1 saarngesteld is le l grondla • Vr;,reenvoudrging waar

------

Die doel van hierdie eenheid is om met saamgestelde basisse te werk wanneer eksponensiele uitdrukkings vereenvoudig of opgelos moet word. Die basiese kennis van eksponente is hersiening van graad 8 en 9 werk.

In graad 10 gaan die studie van eksponente uit die volgende bestaan:

Handleiding G10 ~ Wiskunde

'-----> eksoonent

...ii

I Video oefening

'" " " I

- 4 .3 . 3 . 3

@Optimi

= 2'

t+ 3 + 4 -1

= 3s

6 +2 + 1

= 3-4

Antwoord: 3-4 _36.32 .3

Antwoord: 3 4 1 2.2 .2 _2-

Voorbeelde 1 _ 3 _ 4 _r 1

2 2

Voorbeeld: .3 kan nie verander word nie, aangesien die grondtalle nie dieselfde is nie. Onthou dat . nie gelyk is aan 42 nie, maar •2_

Dit is belangrik om te besef dat die eksponentwette slegs toegepas kan word as die grondtalle gelyk is.

Vereenvoudig die volgende eksponente en skryf die antwoorde met posiliewe eksponente. Geen sakrekenaar mag gebruik word nie. Dui die eksponentwet aan sodat jy bewys lewer dat jy nie 'n sakrekenaar gebruik het nie. Aanvaar dat die waardes van alle onbekendes is> 0

...

a- 1 = ..!. a o 0 is ongedefinieer

a" = a.a.a.a.a.a ... n keer a1 = a a0 = 1

,.. Definisies:

�asis (grondtal)

LU 1 & LU

Oefening 1: Basiese reels en definisies

Handleiding G10 ~ Wiskunde

312 - 5 3

J_ 4 y

©Optimi

6 3 p k 31 pS kAntwoord: = 3 1 + 1 k3 +-3 p 2+5 = 3sko p7 = 3s (1) p7 = 3Bp7

2x 4 y

=2x

= 2(x6 y-4) = 2 x6 y-4

5 2(x3 .y-2)2 Antwoord: 2(x3.y-2)2 2(x3x2 y-2x2)

35 Antwoord: 312

312

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Nog voorbeelde: 3(a2.b3)s = 3.a 10 b 1s (3a 2b3)s = 3s a 10 b 1s

In (2x3 y-2 )2 is die 2 binne die hakies. Die 2 moet daarom gekwadreer word. Dus, (2x3 y-2)2 = 22x6y4

In 2(x3y-2 )2 is die kwadraat aan die einde van die hakies slegs op toepassing van die hakies en nie die 2 voor die hakies nie. Moet dus nie die 2 eers vermenigvuldig en dan die kwadraat doen nie.

Onthou:

2-1 2-3 Antwoord: 1 r 3 21 = 2- - - 3 1 = 2 - +3

&a�•

5 4 k 2 m- 6) + ( 2 km-2 J- 3

= 2 7 33

312m-_4 eem ✓31om +4 + (32m )-4 ___ m>1 n 32m-1

,Jc

�

= 21 4 + 2 3 6 +2

✓

Toon aan hoe jy die eksponentwette gebruik. Voorbeeld: 2 14 _3 6

vir positiewe eksponente.)

NB: Al die grondtalle in die eerste 1O vrae is reeds priemfaktore. In die volgende afdeling gaan jy eers die grondtalle as priemfaktore moet skryf. Gebruik die volgende metode vir vereenvoudiging: (Sien opsomming van die wette.) 1. Verwyder wortels... indien enige. 2. Verwyder hakies... indien enige. 3. Maak grondtalle minder deur die wette te implementeer van bo na onder.

3-Pas p>0 2P+ 1 X 2P- 1 + 2-2p + 3 (Gee alle moontlike antwoorde 2 p- 1) -3 Onthou om die 1 in 2 1 ook met die -3 te vermenigvuldig.

-8

E_ + 2p-5 p-3

r 5-1 + s 554

2-4 . 2- 1 . 2- 3 . 2s

@Optimi

1.14***

1.13***

1.12***

1.11**

(m.3 2 )2 J�x 300

✓x-ao

�m 9 3-B.

✓m

. �

Video 1.9

Video 1.7 en 1.8

Video 1.16

Video 1.14 en 1.15

Video 1.13

Video 1.12

Video 1.11

.Jx .Jx = x deur van eksponentwette gebruik te maak.

Video 1.6 Bewys dat

Video 1.3 en 1.4

Video oefening 1.1 en 1.2 I Video 1.5

�erlik volgens die eksponentwette: • Deel die eerste. • Vermenigvuldig die tweede. • Trek die derde af.

1.10****

1.9***

1.8***

1.7**

1.5*

1.6****

1.4**

1.3***

1.1* 1.2**

'" " " I

Onthou om alle antwoorde met positiewe eksponente te skryf.

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Bewys dat a0 = 1 deur van die eksponentwette gebruik te maak.

Bewys dat ax . ay = ax + y deur van die eksponentwette gebruik te maak.

Video 1.17

Eenheid

geskryf word nie.

geskryf word, maar as m < 0 dan is 2-m

(

Bewys dat

)-1 as m > 1

as m < 3

1.22****

As jy nie weet of die eksponent positief of negatief is nie, vervang ’n numeriese waarde wat aan die voorwaarde voldoen in die eksponent en kyk of dit positief of negatief is.

1.21****

1.20***

1.19***

Video 1.22

Video 1.21

Video 1.20

Video 1.19

Vereenvoudig die volgende en skryf die antwoorde met positiewe eksponente. 1.18*** Video 1.18

positief en moet netso gelaat word.

Indien m > 0 dan moet 2-m as

Voorbeeld:

In die vorige oefening is daar pertinent gesê dat die onbekendes positief is.

Bv. 2-x moet dus netso gelaat word en nie as

Onthou: Eksponent van -x is nie altyd negatief nie. Dit hang van die waarde van x af.

1.17**

1.16**

1.15***

Handleiding G10 ~ Wiskunde 2 Eenheid

Verwyder die hakie met wet 3 en maak die grondtalle minder.

saamgestelde faktore.

Skryf hierdie priemgetalle in

Metode Verander elke saamgestelde getal na die produk van sy priemfaktore. Gebruik die leertjie-metode indien jy sukkel.

Maar dis gegee dat x < -3 Beide eksponente is dus negatief. Die antwoord is dus

Die eksponent sal negatief wees as: 8x +6 < 0 of x+3<0

Voorbeeld 1: Die boonste voorbeeld word weer gegee met die opdrag om die antwoord met positiewe eksponente te skryf. Daar word ook gegee dat x < -3.

Voorbeeld:

Video oefening 2

Dit is belangrik dat jy verstaan dat jy altyd met priemfaktore moet werk. Indien grondtalle nie priemgetalle is nie, moet jy dit priemgetalle maak. Dan is die res van die vraag soortgelyk aan dié in Oefening 1.

LU1 & LU2

Oefening 2: Saamgestelde grondtalle

Handleiding G10 ~ Wiskunde 2

2x-3

Die eksponent is negatief as x -3<0 M.a.w. x<3

---v

met x > 4

om 'n positiewe

&a�•

©Optimi

2.6**

2.5****

2.4**

(8-3m _10-2m ) +( 5 2m rm) as m<0 1 20 m-1(5m )2 as m< 2 4om_ r2m 49 a-3 as a > O (?a)_ 2

Video 2.10

Video 2.8 Video 2.9

Video 2.6 en 2.7

Video 2.4

Video 2.3 Video 2.5

Video 2.2

Video 2.1

_____,

_;x-• om 'n positiewe eksponent le verseker. 2 Vereenvoudig die volgende deur die grondtalle na priemgetalle te verander sonder die gebruik van 'n sakrekenaar. Skryf die antwoorde as positiewe eksponente. 2.1* 8 2 Y + 3 as y<-2 2.2* gY · 27Y + 1 as y > 0 Onthou LK en RK----------2.3* Bewys dat 2. 2m 4m as m >Oen m 1

dan

Dit is gegee dat x<-2. Dit beleken dat die eksponent negatief is, en die antwoord is

Dit is gegee dat x > 4 wat beteken dat die eksponent altyd positief is en nie negatief nie. Die antwoord is 2x- 3 met die eksponent positief. Voorbeeld 4: (4x+1 ) 2 met X<-2 = 42 x+ 2 Die eksponent is negatief as 4x +4<0 4x<-4 = (22 )2 x+ 2 X<-1 = 24x+ 4

'-----

---3.::.._ = 2-x-(-2 x+3) 2-2 x+3 = 2-x+ 2x-3

eksponent le he. Voorbeeld 3:

2 _!+6

3x< +6 X<2

rn, '"''"'"' ;, oeg,1;,1 as 3x -6<o

Dit is gegee dat x<2 is, en daarom is die antwoord

Voorbeeld 2: ,,_, . 2•• =22x-1 +x-5 =23x -6

::_J

Handleiding G10 ~ Wiskunde

_4 P -as p<0 5P m 3-m 81 gm+-1 . -27- as m<5 2-k 18k+1 ask> 0 g-k-2 (0,125r m . ( 0, 25 r+1 as m :cc 2

}

Voorbeelde 12345,6 =1,23456 X 104 0,0005 =5, 0 X 10·4

@Optimi

2.13***

2.11* 2.12**

'" " " I

Skryf 10 000 in wetenskaplike notasie. Video 2.11 en 2.12 I Vereenvoudig die volgende en skryf die antwoord in wetenskaplike notasie neer. Video 2.13 I 4.(103) + 6.(103) Vereenvoudig die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar en skryf die antwoord in welenskaplike nolasie. 0,24 X 10-3 + 0,4x10-1

Voorbeeld: 1, 3 X 10· 3 + 4 X 10·4 _,=1,3 X 101 X 10· 3 X 10·1 + 4 X 10·4 Onthou =13 X 10" 4 + 4 X 10"4 10 1 X 10-1 =1 4 =17 x 10· Verander die terme sodat die eksponent van die grondtal 10 dieselfde word.

Daa, moot oot

een tellende syfer voor die desimaal wees.

Wetenskaplike notasie is ook 'n vorm van eksponente.

2.1o···

2.9***

2.8***

2.7**

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Eenheid

Voorbeeld 3:

Voorbeeld 2:

Voorbeeld 1:

Voorbeeld 4:

3.8***

3.7**

3.6**

3.5**

3.4**

3.3**

3.2*

3.1*

Onthou: 1 = 70

Video 3.11 en 3.12

Video 3.9 en 3.10

Video 3.8

Video 3.6 en 3.7

Video 3.5

Vereenvoudig deur elke term met 2 te deel.

Video oefening 3.2 tot 3.4

Video oefening 3 en 3.1

Metode: Kry een term aan elke kant van die = teken. Sorg dat die grondtalle dieselfde is. Sorg dat die eksponentgedeeltes aan albei kante van die = teken gelyk.

Los op vir m in die volgende vergelykings:

LU2

Oefening 3: Eksponentvergelykings sonder die gebruik van ’n sakrekenaar

Handleiding G10 ~ Wiskunde Eenheid

4.11*** 4.12**** 4.13****

Video oef 4 en 4.1 tot 4.4

5 = 7m + 3 2. (17)2m – 3 – 12 = 0

Video 4.13

Video 4.7 en 4.8

Video 4.5 en 4.6

soos dit van graad 12’s verwag word nie. Al wat jy moet weet is hoe om ’n getal as ’n mag van 10 te skryf. Dan sal jy met enige basis kan werk.

Los op vir m in die volgende vergelykings. (Verander beide kante van die = teken na ’n grondtal 10.) Gee al die antwoorde korrek tot 2 desimale plekke. 4.7* 2 = 3m 4.8* 3,5m = 6 4.9* 10m = 0,2 4.10** 100m+ 1 =

0 (23456)

(234567)0 4.5*** 4.6***

-8

23,75

4.4***

4.3**

4.2*

Skryf elk van die volgende getalle as ’n mag van 10. 4.1* 100 000 000 Die doel is nie om jou te leer om logaritmes te gebruik

Soek die “log” knoppie op jou sakrekenaar. Hierdie knoppie gee die eksponent van enige getal met ’n basis van 10. Kyk of jy met jou sakrekenaar die volgende antwoorde kan kry: Log (3) = 0,4771212547........ Log (5) = 0,6989700043 1 2 5 10 0,6989700043 ...... Log (100) = 2 Log (5,234) = 0,7188337183 3 4 5, 234 10 0,7188337183 ... Log (0) = bestaan nie, Log (-2) = bestaan ook nie, 5 want 0 kan nie geskryf 6 want -2 kan nie as ’n mag word as 10x nie. van 10 geskryf word nie. 0 = 10x sal geen x oplewer nie. Dus -2 = 10x sal geen x oplewer nie.

LU2

Oefening 4: Eksponentvergelykings met die gebruik van ’n sakrekenaar

3.12****

3.11**

3.10***

3.9***

Handleiding G10 ~ Wiskunde

miljoen = 1 000 000 (6 nulle) = 106 miljard = 1 000 000 000 (9 nulle) = 109 biljoen = 1 000 000 000 000 = miljoen2 (12 nulle) = 10 12 triljoen = 1 000 000 000 000 000 000 = miljoen3 (18 nulle) = 10 18

&a�•

"'11111

©Optimi

5.4.1** 5.4.2** 5.4.3**

5.4**

5.2** 5.3***

5.1*

Video 5.2

is die simbool vir"nano"

I Video 5.4

'n mikrosekonde is 1 x 1o-6 sekonde 'n nanosekonde is 1 x 10-9 sekonde

Watter een van die twee is die grootste? Hoeveel nanosekondes is in 10 mikrosekondes? Hoeveel mikrosekondes is in 10 nanosekondes?

µ is die simbool vir" mikro"

[

Hoeveel ure is daar in 10 sekondes? Benader tot die naaste heelgetal. Video 5.3 Hoeveel dae is daar in 8 miljard sekondes? lndien die aarde 150 000 000 meter van die son is, en lig teen 3 x 108 meter per sekonde beweeg, bereken hoe lank di! lig neem om van die son na die aarde te beweeg. Gegee:

In die wetenskappe aanvaar ons bogenoemde definisies, maar in die besigheidswereld en veral in die VSA, is 'n miljard en biljoen dieselfde (9 nulle). Jy kan dus albei gebruik, definieer net jou definisie indien jy dit gebruik. Video 5.1 -.,_ �

�1 1 1 1

(Seeliger graad 10) bl. 80

LU1 & LU2

Oefening 5: Woordprobleme en eksponente

Handleiding G10 ~ Wiskunde

@Optimi

6.1* 6.1.1*

LU2

'" " " I

Tel die aantal swart driehoeke in elke fase en kry die ry se patroon. Bepaal die formule om die aantal swart driehoeke in die nd • fase te kan bereken. Hoeveel swart driehoeke sal in die 1Qd • fase voorkom? Skryf die antwoord in wetenskaplike notasie.

I Video 5.7

A A AA AA.·· · · · ·

(Wiskunde vir Almal) bl. 266 Skryf die deursnee van 'n rooibloedsel in meter en wetenskaplike notasie. Bereken hoeveel keer die rooibloedselle groter is as 'n virus met 'n deursnee van 200 nanometer. Die eerste drie fases van die Sierpinski-driehoekpatroon is as volg:

'n mikrometer is 1 x 10-6 meter 'n nanometer is 1 x 10-9 meter

Watter een van die wiskundiges he! eerste gesterf? Hoeveel jare was daar onqeveer tussen hulle leeftye? Ongeveer hoe lank gelede he! Archimedes gelewe? Die deursnee van 'n rooibloedsel word gegee as ongeveer 7,8 mikrometer 7,8 µ m

Archimedes

Pythagoras en Archimedes was albei bekende wiskundiges. Pythagoras he! ongeveer van 500 v.C. geleef en Archimedes ongeveer 200 v.C.

Bestudeer die vergelyking y = 3x 2 0 � -1 � 1 Vollooi die label.

[ Video oefening 6 en 6.1

Oefening 6: Grafieke van eksponensiele funksies

5.7.3**

5.7.1** 5.7.2**

5.7**

5.6.1*** 5.6.2***

5.5.1** 5.5.2** 5.5.3** 5.6***

5.5**

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Skaal: Neem drie blokke vir een eenheid op x-as.

X-as

Gebruik die volgende Cartesiese vlak en skets die grafiek f: y = 3x met x en y R. Y-as

Eenheid

Video 6.1.3 tot 6.1.8 Video 6.1.10 en 6.1.11

As x > 1

? x

Skryf die vergelyking van die grafiek op die gesketste grafiek. Is die grafiek kontinu of diskreet? Wat is die waarde van x as y = 0? Wat is die waarde van x as y < 0? Watter beperkinge is op die grafiek ten opsigte van waardes vir x en y? Teken op dieselfde assekruis die refleksiebeeld van y = 3x op die y-as en skryf die vergelyking van hierdie beeld op die grafiek. 6.1.9** Teken op dieselfde assekruis die refleksiebeeld van y = 3x op die x-as en skryf die vergelyking van hierdie beeld op die grafiek. 6.1.10** Teken weer die grafiek van f en bepaal watter x-waardes is f(x) > 1. 6.1.11 Gebruik die grafiek van f om te bepaal vir watter y-waardes is x > 1.

6.1.3** 6.1.4* 6.1.5* 6.1.6*** 6.1.7** 6.1.8***

6.1.2*

Handleiding G10 ~ Wiskunde 2

Bestudeer die inligting wat gegee word en beantwoord dan die daaropvolgende vrae.

Eenheid

Vereenvoudig:

7.2***

Vereenvoudig:

7.1**

Laat alle antwoorde in positiewe eksponentvorm.

LU1 & LU2

(4)

(5)

Punte 40

Hoeveel amebe sal daar in die 6de fase gevorm word? Indien y die aantal amebe voorstel en x die fasenommer, bepaal die verband tussen x en y. Hoeveel fases sal dit neem om 256 amebe op te lewer? Teken die grafiek van bogenoemde gegewens. Teken ’n assekruis. Hoe verskil hierdie grafiek van y = 2x? Hoe sal die inligting verander indien jy met 3 amebe begin, In plaas van met 1 amebe. Gee die formule vir hierdie reproduksie fases in vraag 6.2.6 en skets die grafiek op ’n nuwe assekruis.

Oefening 7: Gemengde oefeninge

6.2.7 ***

6.2.5 *** 6.2.6 ****

6.2.3** 6.2.4 ***

6.2.1* 6.2.2***

ens.

Fase 3

Fase 2

Fase1

’n Amoeba is ’n enkelsel mikroskopiese organisme van ongeveer 0,1 mm in deursnee. Die amoeba reproduseer deur in twee te deel, soos hieronder geïllustreer.

6.2***

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Skets die volgende 4 grafieke op dieselfde assestelsel sodat die verskille duidelik sigbaar sal wees. Gebruik grafiekpapier of blokkiespapier. Skets al vier grafieke vir x en y

(10)

(4)

en.wikipedia.org/wiki/Amoeba. (n.d.). Laridon, e. a. (n.d.). Wiskunde vir die klaskamer graad 10 leerderboek. Phillips, M. (n.d.). Mathematics 10 Textbook & Workbook. Seeliger. (n.d.). Prac-Maths graad 10. Tapson, F. (2006). Oxford Mathematics Study Dictionary. Oxford University Press. Van der Lith, D. (n.d.). Study& Master Mathematics Learner's Book grade 11. Cambridge University Press.

Bibliografie

In ander afdelings van hierdie jaar se werk sal hierdie grafieke weer gebruik en uitgebrei word – hierdie afdelings is onder andere transformasies en funksies.

7.9*

5 x

Los op vir x. Gee die antwoord korrek tot 2 syfers na die desimale plekke.

7.8**

(4)

(3) (4)

Los op vir y in die volgende vergelyking: 3. 2y + 1 – 384 = 0 Indien P = e2 – k, P = 1,5 x 105 en e = 23-3 bepaal k in wetenskaplike notasie. Los op vir x:

7.5*** 7.6***

7.7**

(2)

Vereenvoudig:

7.4**

(4)

Vereenvoudig:

Eenheid

7.3***

Handleiding G10 ~ Wiskunde

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Oefening

Eenheid 3: Algebra

INHOUDSOPGAWE

Hersiening van produkte van graad 9 Kortpadvermenigvuldiging met veelterme Vermenigvuldiging van veelterme met breuke Vermenigvuldiging van veelterme met eksponente Faktorisering Breuke Oplos van vergelykings Liniêre ongelykhede Formules Gemengde oefeninge Bibliografie

Handleiding G10 ~ Wiskunde 3

33 35 36 37 37 41 46 50 51 52 53

Bladsy

Eenheid

&a�•

©Optimi

Gebruik verdelende vermenigvuldiging om die volgende te vereenvoudig: Voorbeeld 1; Die vermenigvuldiging van twee veelterme (x-3) (x+2) =x (x+2)-3 (x+2) elkeen met mekaar =x2+2x-3x-6 verwyder die hakies =x2-x-6 vereenvoudig

LU2

Oefening 1: Hersiening van produkte van graad 9

3 4 5

Hersiening van graad 9-werk. • Verstaan die betekenis van woorde soos koeffisient, veranderlike, terme, uitdrukking, eksponent en vergelyking. • Vermenigvuldiging, verdeling, optelling en aftrekking van terme en uitdrukkings. • Vermenigvuldiging van 'n veelterm met 'n veelterm. • Faktorisering van uitdrukkings. Verstaan van kortpadvermenigvuldigingsmetodes by veelterme met spesiale aandag aan die vierkant van 'n veelterm. Verstaan veelterme met breuke en die vereenvoudiging daarvan. Verstaan veelterme met eksponente. Faktorisering • Groepering in pare. • Toepassing van hierdie kennis in vereenvoudigingsbreukdele. Breuke • Gebruik faktorisering om optel, aftrek vermenigvuldig en deel van algebra"iese breuke te vereenvoudig. Oplos van vergelykings • Liniere en eenvoudige vierkantsvergelykings. Liniere ongelykhede • Los op en verstaan eenvoudige ongelykhede en die aanbieding daarvan in grafieke. Formules • Maak a die onderwerp. • Los a op. • Skryf a in terme van die ander letters.

Die doel van hierdie eenheid is om 'n basiese begrip van algebra en die toepassing daarvan in Wiskunde, asook algemene probleme te vorm. Nadal jy hierdie eenheid bestudeer het, moet jy in staat wees om die volgende le kan doen:

Handleiding G10 ~ Wiskunde

'n Polinoom voldoen aan: 1. Eksponente moet heelgetalle wees. 2. Noemers mag nie veranderlikes wees nie.

'" " " I

@Optimi

Video oefening 1.14 en 1.15 Video oefening 1.11 tot 1.13 Video oefening 1.16 tot 1.19

Video oefening 1.8 tot 1.10

Video oefening 1.1 tot 1.7

Voorbeeld 3: Meer as twee faktore (werk van links na regs) -(x+3)(x-2)(x) =-(x+3)(x2-2x) =-(x3-2x2+3x2-6x) Video oefening1 =-x3+2x2-3x2+6x =-x3-x2+6x 2(x-1)-3 (x+4) 1.1 Onthou die volqende: 1.2* -( xy2) (-3x ) -2(x-3 ) is nie dieselfde as (x-3) -2 nie. 1.3* (2x-5) (2x+5) 1.4* (2x-7)2 Voorbeeld: (let op na die verskil) 1.5* (x2-y2)2 -2(x-3) =-2x+6 2 1.6** (3-x) (X - 3)-2 =X - 3-2=X - 5 (-y-3)2 1.7** (x-3)(-2) =-2x+6 -7(7x-1)2 1.8** 1 1.9** ( x-4)(8x- 10) 2 -(x-3) (x+8)-(x+2)2 1.1O*** 2 (x+1) (x-1)-(x-2)2 1.11*** 1.12* 4-2 (x+3) 1.13*** {2x (x-1)+2x}{-x (x-1)+x} ---------------1.14*** (x-2)3 Onthou dat (x-2)2 x2 -22 (a2+3a _ 2)3 1.15**** 'n Middelterm moet bykom en die laaste term 1.16 (a+3) (a-3) moet saam met die teken gekwadreer word. 1.17 (2a-5) (2a+5) 1.18 (-a+6) (-a-6) (0,1-3b) (0,1+3b) 1.19 1.20 (30abc-1) (30 abc+1)

Voorbeeld 2: Die vermenigvuldiging van kwadrate (x-3)2 =(x-3) (x-3) =x2 -3x-3x+9 =x2 -6x+9

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Handleiding ~ Wiskunde &a�•

Laaste term gekwadreer

1 st' vermenigvuldig met 2'' term, vermenigvuldig met 2 (teken en al)

©Optimi

Voorbeeld 2: (x-1)(x+ 1)2 (-2) = -2 (x-1)(x+ 1)2 = -2 (x-1)(x2+ 2x+ 1) = -2 [x 3+ 2x2+ x-x2 - 2x-1] = -2 [x 3+ x2 - x-1] = -2x3 -2x2+ 2x+ 2 2 -

(x-1) = x 2x+ 1 (x-1)(x+ 1)= x2 - 1 2

Vermenigvuldig eerste en laaste terme.

Ko,tp.,;, wmd "'"'''"""" ''"'� kommutatiewe wet te gebruik.

•

Daar is twee maniere waaropjy 'n kortpad kan neem:

Onthou dat hakies (faktore)ook omgeruil kan word met die kommutatiewe wet. Deur die kommutatiewe wet te gebruik, maakjy die stappe minder en makliker.

Voorbeeld 1: Onthou dat hakies altyd voorkeur geniet. -2 (x-1)2 = -2 (x-1)(x-1) Prociuk van drie waardes. = -2 (x2 - 2x-1) Maak hakies minder met die kort metode. = -2x2+ 4x+ 2 Vereenvoudig.

Vereenvoudig die volgende deur van die 'kort' metode gebruik te maak. 2.1* (-m+ 1)2 Video oefening 2.1 tot 2.4 2.2* (-x-2)2 (2g-4m)2 2.3* 2.4** 1 (-x-2y) 2 2 Metode vir meer as twee 11rodukte Begin van agter af en vermenigvuldig in elke stap twee faktore. Vereenvoudig elke keer voordatjy weer vermenigvuldig.

= x2 -

(x-6)2 12x+ 36

Kortpad om 'n tweeterrn te kwadraat. Let wel die antwoord is altyd 'n drieterrn.

LU2

Oefening 2: Kort�advermenigvuldiging met veelterme

G10

Video oefening 2.14 tot 2.16

Asjy nie die kort metodes ken nie, gebruik die basiese reels en vermenigvuldig elke term met elke term. Dit neem miskien langer, maar solankjy die stappe volg saljy by die regte antwoord uitkom.

2ab(ab -a2 b)- a2 b2-(ab-b)(ab+b)

(a2 b2+ a2) (ab-a)(ab+ a) (a+ b+ c)(a+ b-c) x2 (x2 y2 + x2 ) (xy -x) (xy+ x)

..!

c!a _ _!)(2a - 3) 3 2 a a2 (- -2 )(- + a + 4) 2 4 1 1 (- X - -y)2 2 3

1 1 ( 2 - b - 3 e ) (1-) 2 4

-x

Video oefening 3.8

Video oefening 3.7

Video oefening 3.5 en 3.6

Video oefening 3.3 en 3.4

Video oefening 3.2

Video oefening 3.1

---

@Optimi

c! + _!_) 2 - 2 (_!_l c J - (! - _!_)c! + _!_) Video oefening 3.9 en 3.10 n m m n n m n m 3.8**** 1 1 m 1 2 (- - m) (- + m) - -2 (- + mn ) n n n m 3.9*** (2,3-1,7m)(3,5m-0,07)met 'n sakrekenaar. 3.10** (0,2 x-0,3y)2 sander 'n sakrekenaar.

3.7****

3.6**

3.5***

3.4***

3.3***

Vereenvoudig die volgende veelterme wat breuke in het. 3.1** (� - �)2 X 3 1� = � 4 4 1 1 3.2** (a - 2)(a + 4)

LU2

Oefening 3: Vermenigvuldiging van veelterme met breuke

....

2.13*** 2.14**** 2.15**** 2.16***

'" " " I

Gebruik die kennis watjy uit die bogenoemde voorbeelde verwerf het om die volgende produkte makliker op te los. -(2x-7)2 2.5** -2 (-x+ 2)2 2.6** Video oefening 2.5 tot 2.7 2.7** (-y-3)2 (-3) (x-4)(-4)(x-4) 2.8** Video oefening 2.8 tot 2.10 (x2+ 16)(x+ 4)(x-4) 2.9** 2 (x -2) (x + 2) -(x + 3) 2.1 o·· Video oefening 2.11 tot 2.11•• (x-1)2 (x+ 1)2 2.13 2.12··· (a-b)2 (a+ b)2

Handleiding ~ Wiskunde

G10

Eenheid

Vereenvoudig:

Video oefening 5

Jy moet ’n mengsel van al vier metodes verwag. Haal altyd eers die gemeenskaplike faktor uit indien daar een is. Dit vereenvoudig verdere redenasies.

Daar is vier faktoriseringsmetodes: 1. Die keuse van gemeenskaplike terme. (Dit sluit in groepering van terme sodat daar verder gefaktoriseer kan word.) 2. Verskil van vierkante. 3. Die drieterm. 4. Die som en verskil van derdemagte.

LU2

Voorbeelde: (32x – 1)2 = 32x . 32x – 2(32x)(1) + 1 = 34x – 2 . 32x + 1 ( 2x – 4)2 = 2x . 2x – 2(2x)(4) + 16 = 22x – 2.2x . 22 + 16 = 22x – 21 + x + 2 + 16 = 22x – 2x + 3 + 16 of = 22x – 8 . 2x + 16

Onthou die eksponentwette en gebruik dit reg. Hersien Eenheid 2.

Video oefening 4.7 en 4.8

Oefening 5: Faktorisering

Video oefening 4.1 tot 4.3

4.8****

4.7***

4.6**

4.5**

4.4**

4.3**

4.2***

4.1**

LU2

Oefening 4: Vermenigvuldiging van veelterme met eksponente

(0,1m + 1,5b)2

Voorbeeld van wanneer ’n sakrekenaar nie gebruik mag word nie: Verander desimale breuke na gewone breuke.

Handleiding G10 ~ Wiskunde Eenheid

9x – 1 = 32x – 1 = (3x – 1)(3x + 1)

32x – 52x = (32x – 52x)(32x + 52x) 24x – 32x = (22x – 3x)(22x + 3x)

2x+1 – 2x = 2x.21 – 2x = 2x(21 – 1) = 2x

6x – 3x = (2.3)x – 3x = 2x3x – 3x = 3x(2x – 1)

Hakies verskil net in terme van teken. Verander die teken voor die 2de hakie. Verander die terme in die 2de hakie. Skryf die hakies korrek. Faktoriseer.

4x – 22x – 1 = 22x – 22x – 1 = 22x (1 – 2 – 1) = 22x2– 1 = 22x – 1

x2 – x – 12 = (x – 4 )(x + 3)

5a2 + 20a – 105 = 5 (a2 + 4a – 21) = 5 (a + 7)(a – 3)

Die volgorde is nie reg nie, en die terme moet eers geskommel word. a – b + ab – 1 = a + ab – b – 1 Gebruik die kommutatiewe wet. = (a + ab) + (-b – 1) Groepeer met ’n + tussen die hakies. = a (1 + b) + (-b – 1) Faktoriseer elke hakie. = a (1 + b) – (b + 1) Maak die tekens in die hakies dieselfde. = (b + 1) (a – 1) Faktoriseer.

4px – 4 py – x + y = (4px – 4py) + (-x + y) = 4p(x – y) – (x – y) = (x – y) (4p – 1)

(x + 1)2 – 4 = [(x + 1) – 2] [(x + 1) + 2] = (x + 1 – 2) (x + 1 + 2) = (x – 1) (x + 3)

2 (x – 1) – 3x (1 – x) = 2(x – 1) + 3x (-1 + x) = 2( x – 1) + 3x (x – 1) = (x – 1) (2 + 3x)

10yx (a – 8) + 4 (a – 8) = (a – 8) (10yx + 4) = 2(a – 8) (5xy + 2)

Faktorisering beteken om ’n getal of uitdrukking as die produk van sy priemfaktore te skryf. 12 = 6 x 2, maar 6 is nie priemgetal nie, daarom is die priemfaktore van 12 = 2.2.3 x2 – x = 1(x2 – x), wat beteken (x2 – x) is ’n faktor, maar indien ons dit as priemfaktore wil skryf sal dit x2 – x = x (x – 1) wees. Faktoriseer dus altyd volledig tot alle faktore priemfaktore is. Voorbeelde: 6x – 4 3x3 + 2x2 + x 2x +3.2x – 5.2x = 2(3x – 2) = x (3x2 + 2x + 1) = 2x ( + 3 – 5) = -2x

Handleiding G10 ~ Wiskunde