Graad 10 Handleiding 1/2 Wiskunde

VOO-fase Graad 10 • Handleiding 1/2

Wiskunde KABV

Wiskunde Handleiding 1/2 – Graad 10

2210-A-MAM-SG01

9 781990

948350

Aangepas vir KABV

Prof. C Vermeulen, Hoofouteur P de Swardt H Otto M Sherman E van Heerden L Young

INHOUDSOPGAWE

1.6 1.6.1

Voorwoord....................................................................................................5 TEMA 1 GETALLE EN ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS..........................10 Die getallestelsel..........................................................................10 1.1 Oefening 1.1 Die getallestelsel.....................................................14 Tussen watter twee heelgetalle lê ’n wortelvorm? ..........14 1.2 Oefening 1.2.........................................................................................15 1.3 Afronding van reële getalle......................................................15 Oefening 1.3 Afronding van getalle............................................16 1.4 Vermenigvuldiging van algebraïese uitdrukkings...........17 1.4.1 Algebraïese uitdrukkings.....................................................................17 1.4.2 Produkte......................................................................................................18 Oefening 1.4 Vermenigvuldiging van algebraïese uitdrukkings.........................................................................................19 1.5 Faktorisering van algebraïese uitdrukkings......................21 1.5.1 Gemene faktor...........................................................................................22 1.5.2 Verskil van twee vierkante..................................................................23 1.5.3 Groepering (nuwe werk)......................................................................24 Oefening 1.5.1 Gemene faktor, verskil van vierkante en groepering.............................................................................................25 1.5.4 Kwadratiese drieterm............................................................................25 Oefening 1.5.2 Kwadratiese drieterme en gemengde faktorisering.........................................................................................27 1.5.5 Som en verskil van derdemagte........................................................28 Oefening 1.5.3 Som en verskil van derdemagte....................30

© Optimi

1.6.2 1.6.3 1.6.4 1.6.5

1

Algebraïese uitdrukkings met breuke.................................31 Vereenvoudiging van enkele algebraïese breuke m.b.v. faktore 31 Oefening 1.6.1 Vereenvoudiging van algebraïese breuke met behulp van faktore....................................................33 Vermenigvuldiging en deling van algebraïese breuke.............33 Oefening 1.6.2 Vermenigvuldiging en deling van algebraïese breuke............................................................................34 Bepaal die kleinste gemene veelvoud (KGV)...............................35 Oefening 1.6.3 Bepaal die KGV.....................................................36 Optelling van aftrekking van algebraïese breuke......................36 Oefening 1.6.4 Optelling en aftrekking van algebraïese breuke.....................................................................................................37 Vereenvoudiging van uitdrukkings met breuke binne-in breuke........................................................................................38 Oefening 1.6.5: Vereenvoudiging van uitdrukkings met breuke binne-in breuke...................................................................40

TEMA 2 EKSPONENTE.......................................................................................42 2.1 Saamgestelde grondtalle..........................................................45 Oefening 2.1: Saamgestelde grondtalle....................................46 2.2 Vereenvoudiging deur faktorisering.....................................48 Oefening 2.2 Vereenvoudiging deur faktorisering...............49 2.3 Rasionale eksponente................................................................50 Oefening 2.3 Rasionale eksponente...........................................50 2.4 Vergelykings..................................................................................51 2.4.1 Vergelykings met die onbekende in die grondtal (met breuke in die eksponente)...................................................................51

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Handleiding 1/2

2.4.2

4.4

Vergelykings met die onbekende in die eksponent (eksponensiële vergelykings).............................................................53 Oefening 2.4: Vergelykings.............................................................54

4.5

TEMA 3 GETALPATRONE..................................................................................58 3.1 Die algemene term van ’n getalpatroon...............................60 Oefening 3.1 Die algemene term van ’n getalpatroon........63 3.2 Gebruik van die algemene term.............................................63 Oefening 3.2 Gebruik van die algemene term.......................65 3.3 Die formule vir die algemene term van ’n lineêre ry......65 Oefening 3.3 Die formule vir die algemene term van ’n lineêre ry...............................................................................................67 3.4 Meetkundige patrone.................................................................68 Oefening 3.4 Meetkundige patrone............................................70 3.5 Oplossing van probleme met herhalende patrone..........71 Oefening 3.5 Oplossing van probleme met herhalende patrone...................................................................................................72

Lettervergelykings (verandering van die onderwerp van ’n formule).............................................................................87 Oefening 4.4 Lettervergelykings.................................................89 Lineêre ongelykhede..................................................................89 Oefening 4.5 Lineêre ongelykhede.............................................91

TEMA 5 TRIGONOMETRIE................................................................................94 5.1 Die definisies van die trigonometriese verhoudings sin θ, cos θ en tan θ in reghoekige driehoeke...............................94 Oefening 5.1 Basiese trigonometriese verhoudings in reghoekige driehoeke .....................................................................96 5.2 Die definisies van die inverse trigonometriese verhoudings, cosec θ, sec θ en cot θ, in reghoekige driehoeke.......................................................................................97 Oefening 5.2 Inverse trigonometriese verhoudings in reghoekige driehoeke......................................................................98 5.3 Die definisies van die trigonometriese verhoudings sin θ, cos θ en tan θ en hulle inverses in die cartesiese vlak....100 Oefening 5.3 Toepassing van die trigonometriese verhoudings in die Cartesiese vlak.............................................103 5.4 Pythagoras se stelling en trigonometriese verhoudings 104 Oefening 5.4 Pythagoras se stelling en trigonometriese verhoudings.........................................................................................107 5.5 Bepaal die trigonometriese verhoudings van die spesiale hoeke sonder ’n sakrekenaar .................................................110 Oefening 5.5 Werk met die spesiale hoeke sonder om ’n sakrekenaar te gebruik....................................................................112 5.6 Bepaal die waardes van trigonometriese verhoudings met ’n sakrekenaar .............................................................................114

TEMA 4 VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE............................................75 4.1 Lineêre vergelykings..................................................................78 Oefening 4.1 Lineêre vergelykings.............................................79 4.2 Kwadratiese vergelykings........................................................80 Oefening 4.2 Kwadratiese vergelykings...................................81 4.3 Lineêre vergelykingstelsels (ook bekend as gelyktydige vergelykings) ...............................................................................83 Oefening 4.3 Lineêre vergelykingstelsels (gelyktydige vergelykings).......................................................................................85 2

5.7

5.8

Oefening 5.6 Bepaal die waardes van die trigonometriese verhoudings met ’n sakrekenaar.................................................115 Oplossing van trigonometriese vergelykings (bereken die groottes van hoeke) ...................................................................116 Oefening 5.7 Oplossing van trigonometriese vergelykings met skerphoeke..................................................................................117 Oplossing van reghoekige driehoeke...................................117 Oefening 5.8 Oplossing van reghoekige driehoeke.............119

TEMA 6 FUNKSIES..............................................................................................125 6.1 Funksies en relasies...................................................................127 Oefening 6.1 Funksies en relasies...............................................128 6.2 Lineêre funksies..........................................................................129 6.2.1 Ondersoek die eienskappe van lineêre funksies........................129 6.2.2 Funksienotasie..........................................................................................135 6.2.3 Ewewydige en loodregte lyne............................................................136 6.2.4 Teken sketsgrafieke van lineêre funksies......................................136 Oefening 6.2.1 Teken reguitlyngrafieke....................................138 6.2.5 Bepaal die vergelyking van ’n reguitlyngrafiek..........................139 Oefening 6.2.2 Bepaal die vergelyking van ’n reguitlyngrafiek..................................................................................140 6.2.6 Lyne wat mekaar sny.............................................................................141 Oefening 6.2.3 Lyne wat mekaar sny.........................................143 6.3 Kwadratiese funksies.................................................................144 6.3.1 Ondersoek die eienskappe van kwadratiese funksies.............145 6.3.2 Die invloed van ​a​ op die grafiek van ’n parabool ......................147 6.3.3 Die draaipunt van ’n parabool............................................................148 6.3.4 Die invloed van ​q​ op die grafiek van ’n parabool.......................148

© Optimi

6.3.5 6.3.6 6.3.7 6.3.8 6.3.9 6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.4.4 6.4.5 6.4.6 6.4.7 6.4.8 6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4

6.5.5 6.5.6 3

Definisieversameling en waardeversameling.............................148 Simmetrie-as.............................................................................................148 Afsnitte met die asse..............................................................................149 Teken sketsgrafieke van parabole....................................................149 Oefening 6.3.1 Teken sketsgrafieke van parabole................151 Bepaal die vergelyking van ’n parabool ........................................151 Oefening 6.3.2 Bepaal die vergelyking van 'n parabool.....154 Hiperboliese funksies................................................................155 Ondersoek die eienskappe van hiperboliese funksies............156 Die invloed van ​a​ op die grafiek van ’n hiperbool.....................158 Die invloed van ​q​ op die grafiek van ’n hiperbool.....................159 Asimptote....................................................................................................160 Definisieversameling en waardeversameling.............................160 Teken sketsgrafieke van hiperbole...................................................160 Bepaal die vergelyking van ’n hiperbool........................................162 Beperkings op hiperbole......................................................................163 Oefening 6.4.1 Hiperbole................................................................164 Eksponensiële funksies.............................................................165 Ondersoek die eienskappe van eksponensiële funksies.........166 Die invloed van ​a​ in ​y = ​a​x​op die grafiek van ’n eksponensiële funksie..........................................................................................................169 Die invloed van ​b​ in ​y = b . ​a​x​op die grafiek van ’n eksponensiële funksie...........................................................................169 Die invloed van ​q ​in ​y = ​a​x​ + q​op die grafiek van ’n eksponensiële funksie...........................................................................170 Definisieversameling en waardeversameling.............................170 Refleksies....................................................................................................170 Oefening 6.5.1 Eienskappe van eksponensiële grafieke...171

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Handleiding 1/2

6.5.7 6.5.8 6.6

TEMA 8 EUKLIDIESE MEETKUNDE...............................................................208 8.1 Basiese meetkunde: lyne, hoeke en driehoeke.................209 Oefening 8.1 Basiese meetkunde: lyne, hoeke en driehoeke..............................................................................................217 8.2 Die middelpuntstelling..............................................................220 Oefening 8.2 Die middelpuntstelling.........................................223 8.3 Spesiale vierhoeke......................................................................226 Oefening 8.3 Spesiale vierhoeke..................................................233

Teken sketsgrafieke van eksponensiële funksies.......................172 Oefening 6.5.2 Teken sketsgrafieke van eksponensiële funksies..................................................................................................173 Bepaal die vergelyking van ’n eksponensiële grafiek...............173 Oefening 6.5.3 Bepaal die vergelyking van ’n eksponensiële funksie ...................................................................................................174 Opsomming: die uitwerking van ​a​en q op elke soort grafiek.............................................................................................176

TEMA 7 TRIGONOMETRIESE FUNKSIES.....................................................183 7.1 Teken akkurate grafieke van die sin-, cos- en tan-funksie ....................................................................................186 Oefening 7.1.1 Teken akkurate grafieke van die sinusfunksie y = sin x........................................................................186 Oefening 7.1.2 Teken akkurate grafieke van die kosinusfunksie y = cos x..................................................................189 Oefening 7.1.3 Teken akkurate grafieke van die tangensfunksie y = tan x .................................................................191 7.2 Teken en interpreteer sketsgrafieke van trigonometriese funksies..........................................................................................195 Oefening 7.2 Teken en interpreteer sketsgrafieke van die trigonometriese funksies...............................................................199 7.3 Bepaal die vergelykings van trigonometriese grafieke en interpreteer grafieke.................................................................201 Oefening 7.3 Bepaal die vergelykings van trigonometriese grafieke en interpreteer grafieke................................................203

Vraestelle ......................................................................................................238 Formules ......................................................................................................243 Euklidiese meetkunde: aanvaarbare redes.......................................246 Woordelys......................................................................................................249

4

VOORWOORD

Kwartaal

In graad 10 is wiskunde vir die eerste keer ’n keusevak (teenoor wiskundige geletterdheid). Jy kies om verskillende redes wiskunde as vak, onder meer om jou voor te berei vir ’n studierigting waar graad 12-wiskunde ’n toelatingsvereiste is, of vir ’n beroep waarin ’n agtergrond in wiskunde voordelig is.

1

(11 weke)

Anders as in graad 1 tot 9 behels wiskunde in graad 10 tot 12 in die algemeen meer abstrakte begrippe en ingewikkelder prosedures. Om wiskunde in graad 10 tot 12 te bemeester, verg meer tyd, toewyding, kritiese denke en besinning as in graad 1 tot 9.

2

Hierdie produk bestaan uit twee handleidings en twee fasiliteerdersgidse wat op die konsepte van Optimi se GuidED Learning™-leermodel gebaseer is om jou te help om suksesvol te wees in jou studie van wiskunde. Dit dek al die werk vir graad 10-wiskunde en is in ooreenstemming met die KABV-riglyne soos opgestel deur die Departement van Basiese Onderwys vereis word.

(11 weke)

Die handleidings word aanlyn deur aanvullende lesstrukture op die Optimi Learning Platform (OLP) ondersteun. Dit bied deurlopende begeleiding om jou leerproses te ondersteun en te verryk. Hierdie begeleiding is gebaseer op die jongste insigte in opvoedkunde, kognitiewe sielkunde en neurowetenskap. Let daarop dat die handleidings wel onafhanklik van die OLP gebruik kan word.

3

(10 weke)

4

(10 weke) 5

Tema

3

1. Algebraïese uitdrukkings

2

3. Getalpatrone

2 2 3 4 1 3 3

2. Eksponente

4. Vergelykings en ongelykhede 5. Trigonometrie 6. Funksies

7. Trigonometriese funksies 8. Euklidiese meetkunde

2 4 4

Werkopdrag of toets

Toets

11. Statistiek

1

Toets

10. Finansies en groei

2 2

Ondersoek of projek

Junie-eksamen

9. Analitiese meetkunde

2

Assessering*

Oefenvraestelle is in die handleiding ingesluit.

2

1

Die handleidings en fasiliteerdergidse is in 15 temas verdeel. Die temas stem inhoudelik en tydsgewys ooreen met die KABV-riglyne en verteenwoordig die jaarplan. Handleiding 1/2 en fasiliteerdergids 1/2 dek tema 1 tot 8 (kwartaal 1 en 2) en handleiding 2/2 en fasiliteerdergids 2/2 dek tema 9 tot 15 (kwartaal 3 en 4). © Optimi

Getal weke

12. Probleme in twee dimensies 13. Euklidiese meetkunde 14. Meting

15. Waarskynlikheid Hersiening

Oefenvraestelle is in die handleiding ingesluit.

Toets Toets

Eindjaareksamen G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Handleiding 1/2

* Jy sal die nuutste en volledigste inligting oor assessering in die portefeuljeboek en assesseringsplan vind.

so belangrik. Werkgeheue is anders as langtermyngeheue en het ’n beperkte kapasiteit. Dit beteken dat ’n mens se werkgeheue net ’n klein bietjie nuwe inligting op ’n slag kan hanteer.

Tydsindeling

Wanneer ’n mens wiskunde leer, is daar baie nuwe inligting wat jou brein moet verwerk en daarom kan dit maklik jou werkgeheue uitput. Hierdie handleidings is só geskryf en saamgestel dat dit nie die werkgeheue ooreis nie en dus die leer van wiskunde vergemaklik.

Volgens die KABV-voorskrifte behoort daar minstens 4,5 uur per week aan wiskunde-onderrig bestee te word. Daar sal byvoorbeeld 13,5 uur (drie weke × 4,5 uur per week) aan die onderrig van Tema 1 (algebraïese uitdrukkings) bestee word. Temas word nie onderverdeel in lesse nie; dit staan jou en jou fasiliteerder vry om soveel inhoud per sessie en per week af te handel as wat jou vordering toelaat. As jy stadiger werk, moet die nodige aanpassings gedoen word sodat jy nog steeds al die werk betyds kan bemeester.

Elke tema het dieselfde struktuur om dit vir jou makliker te maak om daardeur te werk. Die struktuur is soos volg:

Inleiding

Let op dat die onderrigtyd waarna ons hier bo verwys, nie die tyd insluit waartydens jy die kennis en begrippe wat jy geleer het, moet toepas en inoefen nie. Vir hierdie doel is daar verskeie oefeninge deur elke tema versprei. Hierdie oefeninge behels verskillende maniere om nuwe kennis toe te pas en in te oefen en dek verskillende moeilikheidsgrade.

Jy moet probeer om al hierdie oefeninge te doen. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse gegee.

Waaroor die tema gaan Dit sê kortliks vir jou waaroor die tema gaan sonder om detail te gee of “moeilike” of onbekende begrippe te gebruik. ’n Volledige lys van die leeruitkomste wat jy in ’n bepaalde tema moet bemeester, word as opsomming aan die einde van die tema gegee.

Die leeraktiwiteite wat as deel van die OLP se lesstrukture beskikbaar is, behels verskillende formate en vlakke van interaksie. Die hulpbronne ondersteun nie net die leerproses nie, maar bied jou ook die geleentheid om nuwe kennis in te oefen.

Voorafkennis

Hierdie afdeling sê vir jou watter bestaande kennis jy nodig het om die betrokke tema te bemeester.

Wenk: Hoe meer oefeninge jy doen, hoe groter is die kans dat jy sukses gaan behaal in wiskunde.

Struktuur van temas Leer is ’n ingewikkelde proses. Miljoene breinselle en senuweebane in ons brein werk saam om nuwe inligting in die langtermyngeheue te stoor sodat ons dit later kan onthou. Langtermyngeheue is nie ons enigste soort geheue nie en wanneer ons leer, is ons werkgeheue net

6

Oefeninge

Hersiening

Die oefeninge gee jou die geleentheid om die begrippe en prosedures wat behandel is, in te oefen. Dit is belangrik dat jy al die oefeninge probeer voltooi. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse verskaf.

Dit kan een van die volgende behels:

1. hersiening van die begrippe, definisies en prosedures wat as voorafkennis vereis word, 2. ’n oefening of aktiwiteit met oplossings sodat jy self jou voorafkennis kan toets, of 3. ’n kombinasie hiervan.

Vrae vorder gewoonlik van maklik (om basiese begrippe en prosedures te bemeester en in te oefen) na moeilik (ingewikkelder bewerkings).

Gemengde oefeninge kan ook voorkom, waar jy die geleentheid kry om verskillende begrippe en prosedures in te oefen en met vorige temas te integreer.

Moenie hierdie hersiening afskeep nie. Dit is belangrik om deeglik daardeur te werk. Wiskundige konsepte volg dikwels op mekaar en as basiese kennis ontbreek of nie goed genoeg bemeester word nie, sal dit die vorming van nuwe kennis bemoeilik.

Opsomming van tema

Ná die inleidende deel van die tema word nuwe kennis in subtemas behandel. Elke subtema het die volgende struktuur:

Hier sien jy ’n opsomming van wat jy in die tema moes bemeester het.

Dit word in meer formele wiskundige taal uitgedruk om by die KABV (die kurrikulumverklaring) aan te sluit.

SUBTEMA

Inleiding

Oefening om die tema af te sluit

Nuwe begrippe en prosedures word verduidelik. Relevante voorafkennis word ook hier behandel indien nodig.

Dit is ’n gemengde oefening oor alle begrippe en prosedures wat in die tema behandel word, waar hierdie werk ook met vorige werk geïntegreer kan word. Die moeilikheidsgraad van hierdie oefening wissel. Dit is belangrik dat jy probeer om al die oefeninge te voltooi.

Volledige oplossings verskyn in die fasiliteerdersgidse.

Uitgewerkte voorbeelde

Uitgewerkte voorbeelde wys jou hoe die nuwe begrippe en prosedures toegepas word en help jou om die begrippe en prosedures wat behandel is, beter te verstaan en toe te pas. © Optimi

7

Gemengde oefeninge soos dié in hierdie handleiding is ’n baie belangrike komponent daarvan om wiskunde te bemeester. Daar is ’n groot verskil tussen die vermoë om jou werk te herken en om dit te herroep. Wanneer jy jou werk kan herken, sê jy dikwels “O, ja!” maar jy sukkel om dit te

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Handleiding 1/2

onthou wanneer jy eksamen skryf. Wanneer jy jou werk kan herroep, beteken dit dat jy daardie kennis in jou langtermyngeheue vasgelê het en dit kan onthou en gebruik. Gemengde oefeninge stel jou in staat om nie net die werk te herken nie, maar om dit ook uit jou langtermyngeheue te herroep.

Selfevaluering In elke tema, en gewoonlik ná elke subtema, is daar ’n aktiwiteit waar jy krities moet nadink oor die mate waarin jy sekere begrippe en prosedures bemeester het. Hierdie aktiwiteit verskyn in die volgende formaat:

Wanneer jy dieselfde soort som of probleem oor en oor oefen, raak jy dikwels lui en dink jy nie meer na oor die oefening nie. Jy is oortuig daarvan dat jy presies weet watter soort som of probleem jy moet oplos.

Maar in ’n toets of eksamen is al hierdie somme deurmekaar, en dan is dit soms moeilik om te weet wat om te doen. Wanneer gemengde oefeninge deel vorm van jou leerproses, leer jy om ’n som of probleem reg te identifiseer én reg te voltooi. Dit beteken dat jy werklik voorbereid is vir toetse of eksamens, want jy kan die werk herroep en nie net herken nie.

Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die tabel wat volg, is:

1. Help!! Ek is glad nie gemaklik met die onderwerp nie, ek het hulp nodig.

2. Alarm! Ek is nie gemaklik nie, maar ek het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.

3. OK! Ek is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.

4. Sharp! Ek is gemaklik met die onderwerp.

5. Whoohoo, dis partytjietyd!! Ek is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs meer ingewikkelde vrae hieroor beantwoord.

Voltooi nou die volgende tabel.

Onderwerp

1

2

3

4

5

Wenk: Voltooi elke selfevaluering so eerlik as moontlik. As daar aspekte is wat jy nie onder die knie het nie, gaan kyk weer daarna en maak seker dat jy dit wel bemeester. Vra die fasiliteerder vir hulp. Dit is belangrik om nie na ’n volgende tema of subtema aan te beweeg voordat jy die betrokke onderwerp bemeester het nie, selfs al beteken dit dat jy meer tyd aan ’n sekere tema bestee as wat die KABV aanbeveel.

8

Eksamenvraestelle

Aanvullende boeke

Besoek Impaq se aanlynplatform vir die assesseringsplan en volledige inligting oor die samestelling en puntetelling van toetse, take en eksamens.

Enige ander boeke kan aanvullend tot hierdie handleidings gebruik word vir bykomende oefeninge en verduidelikings, insluitend: • Maths 4 Africa, beskikbaar by www.maths4africa.co.za • Die Siyavula-handboek, gratis aanlyn beskikbaar by www.siyavula. com • Pythagoras, beskikbaar by www.fisichem.co.za.

Wenk: Maak seker dat jy weet watter temas in watter vraestel gedek word. Die samestelling van die eksamens is onderhewig aan verandering.

Verwys altyd na die portefeuljeboek en assessseringsplan vir die nuutste inligting oor die samestelling van die eksamens.

Vraestel 1

Algebraïese uitdrukkings, vergelykings en ongelykhede, eksponente (Tema 1, 2 en 4) Getalpatrone (Tema 3)

Funksies en grafieke (Tema 6) Finansies en groei (Tema 10) Waarskynlikheid (Tema 15)

Wenk: Gebruik aanvullende hulpbronne vir verdere verduidelikings, voorbeelde en veral ekstra oefeninge.

Vraestel 2

Euklidiese meetkunde en meting (Tema 8, 13 en 14)

Sakrekenaar Die CASIO fx-82ES (Plus) of CASIO fx-82ZA word aanbeveel. Enige wetenskaplike, nie-programmeerbare en nie-grafiese sakrekenaar is egter geskik.

Analitiese meetkunde (Tema 9) Trigonometrie (Tema 5 en 7) Statistiek (Tema 11)

Let op:

• Geen grafiese of programmeerbare sakrekenaars word toegelaat nie (om byvoorbeeld te faktoriseer of die wortels van vergelykings te bepaal). Sakrekenaars moet net gebruik word om standaardnumeriese berekeninge te doen en om berekeninge wat met die hand gedoen is, te kontroleer.

• Formuleblaaie word nie in graad 10 tydens toetse en finale eksamens voorsien nie.

© Optimi

9

G10 – Wiskunde

Tema 1: Getalle en algebraïese uitdrukkings

G10 – Wiskunde – Handleiding 1/2

TEMA 1

1.1 DIE GETALLESTELSEL

GETALLE EN ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS

Inleiding Hierdie subtema is ’n opsomming van werk wat in graad 8 en 9 gedek is.

As dit vir jou moeilik is om dié afdeling te voltooi, moet jy eers die werk hersien wat in hierdie grade behandel is.

Inleiding

Verskillende soorte getalle

In hierdie tema gaan jy meer leer oor: • • • • • •

ℕ = {1; 2; 3; 4; 5;...} = natuurlike getalle

verskillende soorte getalle hoe om die waardes van sekere getalle te skat hoe om getalle af te rond hoe om algebraïese uitdrukkings te vermenigvuldig hoe om faktore van algebraïese uitdrukkings te bepaal hoe om algebraïese breuke te vereenvoudig.

ℕ0 = {0; 1; 2; 3; 4...} = telgetalle

ℤ = {...; –2; –1; 0; 1; 2; 3; ...} = heelgetalle

​ℚ = { ​ getalle wat geskryf kan word as ​ ____________________ ​ ​ ’n heelgetal (maar nie 0 nie) } = rasionale getalle​

Voorafkennis

’n heelgetal ​​ℚ′​ = ​{getalle wat nie as ​ ____________________ 'n heelgetal (maar nie 0 nie) ​ geskryf kan word nie}​

Om hierdie tema te bemeester, moet jy reeds weet:

• • • •

’n heelgetal

watter soort getalle daar is hoe ons getalle klassifiseer hoe om eenvoudige algebraïese uitdrukkings te vermenigvuldig hoe om eenvoudige breuke te vereenvoudig.

= irrasionale getalle​ (nie-eindigende, nie-repeterende desimale getalle)

ℝ = {rasionale plus irrasionale getalle} = reële getalle

ℝ’ = {getalle wat nie in die reële getallestelsel bestaan nie} = nie-reële getalle

10

Opsomming van die reële getallestelsel

Uitgewerkte voorbeeld 1

Reële getalle

Rasionale getalle

Heelgetalle

Herskryf 0,​​1̇ ​​​​2̇ ​​̇as ’n gewone breuk.

Irrasionale getalle

Oplossing

Breuke

Om ’n repeterende breuk as ’n gewone breuk te herskryf, moet jy die repeterende breuk manipuleer sodat jy ontslae kan raak van die repeterende “stert”.

• Negatiewe heelgetalle • Nul • Positiewe heelgetalle (natuurlike getalle)

Stel 𝑥 = 0,1212121212…

∴ 100𝑥 = 12,1212121212…

ONTHOU

_ ​​x0​= 0

_ √ ​ − 3 ​is

nie-reëel

_ ​x​is ongedefinieer​ 0

∴ ∴

Let op • ’n Rasionale getal is enige getal wat as _ ​​ab ​​geskryf kan word, waar 𝑎 en 𝑏 heelgetalle is.

• Die volgende is rasionale getalle:

3 ◦ breuke waarvan die teller en die noemer heelgetalle is, bv. ​_ ​ 7 ◦ ​heelgetalle, bv. –5 ◦ desimale getalle wat eindig, bv. 0,125 ◦ desimale getalle wat repeteer (herhaal), bv. 0,151515…

• Irrasionale getalle is nie rasionaal nie. Dit kan nie met ’n heelgetalteller en -noemer geskryf word nie, bv. 0,8672345…

• As die nde wortel van ’n getal nie as ’n rasionale waarde geskryf kan 3 _ word nie, word hierdie nde wortel ’n wortelvorm genoem, bv. ​​ √ 5 ​​.

© Optimi

11

– 𝑥 = 0,1212121212…

×100 om heelgetal + repeterende “stert” te kry Trek af

99x = 12

12 x = ​​_ ​​ 99

4 x = ​​_ ​​ 33

Vereenvoudig

G10 – Wiskunde

Tema 1: Getalle en algebraïese uitdrukkings

G10 – Wiskunde – Handleiding 1/2

Uitgewerkte voorbeeld 2

Uitgewerkte voorbeeld 3

Herskryf 2,5​​1̇ 2 ​​​​ ̇ ​​̇as ’n gewone breuk.

Gebruik jou kennis van die getallestelsel om die volgende tabel te voltooi deur ’n  in die regte blokkie(s) te maak:

Oplossing

Stel 𝑦 = 2,512121212…

∴1 000𝑦 = 2512,121212…

– 10𝑦 = 25,121212…

990𝑦 = 2487,000000…

​

487 ​∴ y = _ ​2990 ​​ ∴y = _ ​829 ​ 330 ​

×1 000 om heelgetal + repeterende “stert” te kry

3

_ ​​17 ​​

ℚ

ℚ'

ℝ

_

​​ √ 9 ​​

×10 om repeterende “stert” te kry

_ ​​02 ​​ __ 9 ​​ _ ​16 ​​​

Onthou dat die 5 nie repeteer (herhaal) nie

√

Onthou altyd om te vereenvoudig so ver jy kan

0,​​3​​̇

_

Oplossing

​​√ 50 ​​

Om te bepaal waar hierdie getalle by die getallestelsel inpas, kan jy jou sak­rekenaar gebruik om die desimale breuk te bepaal waar dit van toepassing is: _ ​​17 ​​

12

Hierdie getal is in die vorm ​​_ab ​​ geskryf; dit is dus ’n rasionale getal (ℚ).

Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskundefoutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).

3

_

_

​​ √ 9 ​​ = 0,2080083823… (nie-eindigende, nie-repeterende desimale breuk)

​​√ 50 ​​ =3,684031499… (nie-eindigende, nie-repeterende desimale breuk)

Hierdie getal kan nie in die vorm ​​_ab ​​geskryf word nie; dit is dus ’n irrasionale getal (ℚ').

Hierdie getal kan nie in die vorm ​​_ab ​​geskryf word nie; dit is dus ’n irrasionale getal (ℚ').

Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskundefoutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).

_ ​​20 ​​

Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskundefoutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).

= 0 (nul gedeel deur enige nie-nul-getal = nul)

Hierdie getal is in die vorm ​​_ab ​​ geskryf; dit is dus ’n rasionale getal (ℚ). __

Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskundefoutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).

√

0,​​3̇ ​​

ü

ü

ü

ü

ü

ü

0,​​3​​̇

ü

ü

√

__

_

​​√ 50 ​​

= 0,333333333… (nie-eindigende, repeterende desimale breuk) ​ _ = ​13 ​​

ü

_ ​​02 ​​

_

9 ​​ _ ​16 ​​​

Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskundefoutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).

ℝ

ü

​​ √ 9 ​​

Hierdie getal is in die vorm ​​_ab ​​ geskryf; dit is dus ’n rasionale getal (ℚ).

ℚ'

_ ​​17 ​​

3

9 ​​ _ ​16 ​​​ = ​ _ ​34 ​​

ℚ

ü

ü

Let op dat reële getalle (ℝ) óf rasionale (ℚ) óf irrasionale (ℚ') getalle is.

Hierdie getal kan in die vorm ​​_ab ​​geskryf word; dit is dus ’n rasionale getal (ℚ).

Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskundefoutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ). © Optimi

13

G10 – Wiskunde

Tema 1: Getalle en algebraïese uitdrukkings

G10 – Wiskunde – Handleiding 1/2

1.2 TUSSEN WATTER TWEE HEELGETALLE LÊ ’N WORTELVORM?

Oefening 1.1: Die getallestelsel 1.

Is die getal nul ’n positiewe of negatiewe getal?

3.

Watter soort getal is √ ​​ −8 ​​?

2.

4.

5.

_

3

_ _

Watter soort getal is ​​√ 8 ​​ ?

3

Watter soort getal is ​​√ −8 ​​?

7.1

0,​​6̇ ​​

8.

n

_

Beskou wortelvorme van die vorm ​​√ a ​​, waar a enige positiewe getal is, _ 3 _ byvoorbeeld ​​√ 7 ​​ of ​​√ 5 ​​._Dit is baie algemeen dat n ’n waarde van 2 het; _ 2 daarom skryf ons nie ​​√ 𝑎 ​​ nie. Ons skryf die wortelvorm bloot as ​​√ 𝑎 ​​. Dit word die vierkantswortel van a genoem.

_

10 Bepaal al die getalsoorte waartoe 2 ​​___ 27 ​​ behoort sonder om ’n sakrekenaar te gebruik.

7.2

getal vereenvoudig As die nde wortel van ’n getal nie tot ’n rasionale _ 6 _ kan word nie, noem ons_ dit ’n wortelvorm. ​​√ 2 ​​​​ en ​​√ 3 ​​ is byvoorbeeld wortelvorme, maar √ ​​ 4 ​​ ​​ is nie ’n wortelvorm nie, want dit kan vereenvoudig word tot die rasionale getal 2.

Watter soort getal is √ ​​ 8​​?

6.

7.

Inleiding

Dit is soms nuttig om die benaderde waarde van ’n wortelvorm te kan bepaal sonder om ’n sakrekenaar te gebruik.

Herskryf die volgende as gewone breuke

_

Kom ons bepaal byvoorbeeld waar ​​√ 3 ​​​​ min of meer op die getallelyn lê:

3,1​​5̇ ​​​​6̇ ​​

_

As ons ’n sakrekenaar gebruik, sien ons dat ​​√ 3 ​​​​ =1,73205…

Vir watter _waarde(s) van 𝑥 sal f(𝑥) nie–reëel wees as:

_

Dit is maklik om te sien dat ​​√ 3 ​​​​ groter as 1 en kleiner as 2 is.

9 ​11 ​ ​​ – 𝑥 en 𝑥∈{–5; 0; 11}? √ ___

f(𝑥) = ​​

_

Maar om die waardes van ander wortelvorme, byvoorbeeld ​​√ 18 ​​​​ te bepaal sonder om ’n sakrekenaar te gebruik, moet jy eers die volgende verstaan: n

14

_

n

_

• As 𝑎 en b positiewe heelgetalle is en 𝑎 < b, dan sal ​​√ 𝑎 ​​ < ​​√ 𝑏 ​​.

• ’n Volkome vierkant is die getal wat verkry word wanneer ’n heelgetal gekwadreer word.

9 is byvoorbeeld ’n volkome vierkant, want 3² = 9.

• ’n Volkome derdemag is ’n getal wat die derdemag van ’n heelgetal is. 27 is byvoorbeeld ’n volkome derdemag, want 3³ = 27.

1.3 AFRONDING VAN REËLE GETALLE

Uitgewerkte voorbeeld 4

Inleiding

_

Bepaal tussen watter twee heelgetalle die irrasionale getal ​​√ 62 ​​ lê.

As jy getalle afrond, is dit eenvoudiger en makliker om dit te gebruik. Dit is dikwels net makliker om met afgeronde getalle te werk.

Oplossing

Om getalle af te rond, beteken om die syfers aan te pas (boontoe of ondertoe) om ruwe berekeninge makliker te maak. Die resultaat sal ’n beraamde antwoord wees eerder as ’n presiese een.

Bepaal die twee volkome vierkante links van (net kleiner as) en regs van (net groter as) 62 op die getallelyn.

• Die volkome vierkant links van 62 is 49.

• Die volkome vierkant regs van 62 is 64.

Hoe om getalle af te rond

Bepaal nou die vierkantswortels van hierdie volkome vierkante:

• Wanneer jy tot ’n vereiste getal plekke afrond, kyk jy na die volgende desimale syfer. As jy byvoorbeeld gevra word om af te rond tot drie desimale plekke, kyk jy na die 4de desimale syfer.

• As die volgende syfer kleiner as 5 is, bly die vorige desimale syfer soos dit is.

• As die volgende syfer 5 of groter as 5 is, word die vorige desimale syfer een meer.

• As jy gevra word om tot drie desimale plekke af te rond, moet jy drie syfers ná die desimale komma hê (al is dit nulle).

_

•​ √ ​​ 49 ​​ = 7 _

• ​​√ 64 ​​ = 8 _

​​√ 64 ​​ lê dus tussen 7 en 8. _

∴ 7 < ​​√ 62 ​​ < 8

Oefening 1.2

Bepaal die benaderde waardes van wortelvorme (sonder ’n sakrekenaar) 1.

2.

3.

4.

© Optimi

Uitgewerkte voorbeeld 5

_

Bepaal die twee opeenvolgende heelgetalle waartussen ​​√ 26 ​​ lê.

Bepaal die twee opeenvolgende heelgetalle waartussen​​ 3 _ √ 49 ​​ lê.

Bepaal tussen watter twee opeenvolgende heelgetalle _ ​​√ 18 ​​ lê. _ Bereken die benaderde waarde van ​​√ 10 ​​ korrek tot een desimale plek.

Rond 2,6003 af tot drie desimale plekke.

Oplossing 2,6003 = 2,600 15

Kyk na die 4de desimale syfer: 3<5 3de syfer bly dieselfde.

G10 – Wiskunde

Tema 1: Getalle en algebraïese uitdrukkings

G10 – Wiskunde – Handleiding 1/2

Uitgewerkte voorbeeld 6

Selfevaluering Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die tabel wat volg, is:

Rond 473,78 af tot die naaste heelgetal.

Oplossing

1. Help!! Ek is glad nie gemaklik met die onderwerp nie, ek het hulp nodig.

2. Alarm! Ek is nie gemaklik nie, maar ek het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.

3. OK! Ek is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.

4. Sharp! Ek is gemaklik met die onderwerp.

5. Whoohoo, dis partytjietyd!! Ek is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs meer ingewikkelde vrae hieroor beantwoord.

Kyk na die 1ste desimale syfer: 7>5 Enesyfer word 1 meer..

473,78

= 474

Oefening 1.3: Afronding van getalle Rond die volgende getalle af soos aangedui word: 1.

12,507 tot twee desimale plekke

3.

–48,2291 tot drie desimale plekke

2.

4.

5.

Voltooi nou die volgende tabel.

36,8121212 tot die naaste heelgetal

Onderwerp

Ek kan enige reële getal klassifiseer as rasionaal of irrasionaal.

28,995 tot twee desimale plekke

Ek kan enige repeterende desimale breuk as ’n gewone breuk skryf.

–185,02 tot een desimale plek

Ek kan bepaal tussen watter twee heelgetalle ’n gegewe wortel­ vorm val.

Ek kan reële getalle tot ’n bepaalde graad van akkuraatheid afrond.

16

1

2

3

4

5

1.4 VERMENIGVULDIGING VAN ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS

Jy moet die volgende terminologie met betrekking tot algebraïese uitdrukkings ken:

Inleiding In hierdie subtema het ons te doen met die vermenigvuldiging van algebraïese uitdrukkings.

Beskou die algebraïese uitdrukking 3​𝑎​⁴ + 2​𝑎​²–3​𝑎​ + 8.

’n Algebraïese uitdrukking bevat lettersimbole en getalle, bv.

Koëffisiënt

Terminologie

1.4.1 Algebraïese uitdrukkings 2𝑥² – 3𝑥y + 𝑦³– 5.

Konstante

Let op die verskil tussen ’n algebraïese uitdrukking en ’n algebraïese vergelyking:

Graad van uitdrukking

• In ’n algebraïese vergelyking word twee uitdrukkings gelykgestel (deur ’n gelykaanteken te gebruik). Voorbeelde:

Getal terme

◦ 2𝑥 – 5 = 0

◦ 3𝑥² – 5𝑥 = 7𝑥+2

• ’n Algebraïese uitdrukking het nie ’n gelykaanteken nie. Voorbeelde:

Veranderlike

◦ 2𝑥 – 5

◦ 3𝑥² – 5𝑥

Die getal (met sy teken) wat met die veranderlike vermenigvuldig word

Die term sonder enige veranderlike (met sy teken) Die hoogste waarde van die eksponente

Terme word geskei deur plus(+) en minus- (–) tekens

Die lettersimbole wat in die algebraïese uitdrukking voorkom.

Let op: Veranderlikes kan enige toelaatbare waarde hê.

Voorbeeld

Koëffisiënt van ​​𝑎​​4​​ is +3 Koëffisiënt van ​​𝑎​​2​​ is +2 Koëffisiënt van ​​​𝑎​​ ​​​ is –3 Konstante is +8

Graad van uitdrukking is 4

Getal terme is 4

Veranderlike is 𝑎

Algebraïese uitdrukkings word benoem op grond van die getal terme:

• Algebraïese vergelykings kan opgelos word. Dit beteken ons kan die unieke waarde(s) van die onbekende (bv. 𝑥) bepaal waarvoor die vergelyking waar is.

Monoom

–

1 term

–

twee of meer terme

Tweeterm (binoom) –

• Algebraïese uitdrukkings kan nie opgelos word nie. In ’n algebraïese uitdrukking kan die veranderlike(s) (bv. 𝑥) enige waarde aanneem wat toelaatbaar is.

© Optimi

Beskrywing

Drieterm (trinoom) – Polinoom

17

2 terme 3 terme

G10 – Wiskunde

Tema 1: Getalle en algebraïese uitdrukkings

G10 – Wiskunde – Handleiding 1/2

* As jy ’n tweeterm met ’n tweeterm vermenigvuldig: Gebruik die metode eerstes, buitenstes, binnestes, laastes (EBBL) om die produk te bepaal:

1.4.2 Produkte * As jy ’n monoom met ’n polinoom vermenigvuldig: • Gebruik altyd die distributiewe eienskap om die hakies te verwyder.

• Gebruik eksponentwette wanneer dit nodig is. (Verwys na die eksponent­wette in Tema 2 as jy onseker is hiervan.)

• Vereenvoudig gelyksoortige terme.

E

B

Vermenigvuldig die getal buite die hakie met elke term in die hakie:

B

2(𝑥 – 4)

L

Uitgewerkte voorbeeld 7 1.

2.

3.

𝑥(𝑥 +2) = (𝑥 × 𝑥)+(𝑥 × 2)

– 3𝑦² (𝑥² – 2) = (–3𝑦² × 𝑥²) + (–3𝑦² × –2)

Distributiewe wet

2b(3c + d) – 3(b – c + d)

Distributiewe wet

= – 3𝑥² 𝑦² + 6𝑦²

= 2b × 3c + 2b × d – 3 × b – 3 × (– c) – 3 × d

1.

2.

= 6bc + 2bd – 3b + 3c – 3d

(𝑥 – 2)(𝑥 + 4)

= 𝑥² + 4𝑥 – 2𝑥 – 8 = 𝑥² + 2𝑥 – 8

(3𝑎 – 4b)(2𝑎 + 3b)

= 6𝑎² + 9𝑎b – 8𝑎b – 12b² = 6𝑎² + 𝑎b – 12b²

E: (𝑥) × (𝑥) = 𝑥² B: (𝑥) × ( + 4) = 4𝑥 B: ( – 2) × (𝑥) = –2𝑥 L: ( – 2) × ( + 4) = –8 E: 3𝑎×2𝑎 = 6𝑎² B: 3𝑎×3b = 9ab B: –4b×2𝑎 = –8𝑎b L: –4b×3b = –12b2

(i) Gebruik “kortpad”-metode – net van toepassing as jy ’n tweeterm kwadreer: (ii) Kwadreer die eerste term. (iii) Vermenigvuldig die eerste en laaste term, en vermenigvuldig die antwoord met 2. (iv) Kwadreer die tweede term.

ONTHOU

(+) × (+) = (+) (–) × (–) = (+) (+) × (–) = (–) (–) × (+) = (–)

vermenigvuldig die eerste terme van die tweeterme vermenigvuldig 1ste term van eerste tweeterm met laaste term van tweede tweeterm vermenigvuldig laaste term van eerste tweeterm met 1st term van tweede tweeterm vermenigvuldig die laaste terme van die tweeterme

Uitgewerkte voorbeeld 8

Gebruik distributiewe wet

= 𝑥² + 2𝑥

Eerste terme Buitenste terme Binneste terme Laaste terme

18

Hoekom dink jy werk hierdie kort metode? (Wenk: Gebruik EBBLmetode.)

Oefening 1.4: Vermenigvuldiging van algebraïese uitdrukkings

Uitgewerkte voorbeeld 9 1.

(2𝑥 – 3𝑦)²

= 4𝑥² – 12𝑥𝑦 + 9𝑦² (2𝑥 × 2x) = 4x2 E

2.

2 ×(2x × -3y) = -12xy B+B

1.

(2𝑥 + 𝑦)²

= 4𝑥² + 4𝑥𝑦 + 𝑦²

(i) 2𝑥 × 2𝑥 = 4𝑥² (ii) 2𝑥 × y × 2 = 4𝑥y (iii) y × y = y²

1.7 1.8 1.9

1.10 1.11

(𝑥 + 𝑦)(2𝑥 – 3𝑦 + 8)

1.12

= 2𝑥² – 3𝑥𝑦 + 8𝑥 + 2𝑥𝑦 – 3𝑦² + 8𝑦 (i) 𝑥 × 2𝑥 = 2𝑥²

(iv) y ×2𝑥 = 2𝑥y

(ii) 𝑥 × – 3y = – 3𝑥y

(iii) 𝑥 × 8 = 8𝑥

© Optimi

​​​(2𝑥 − 5)​​(2𝑥 + 5)​​​

1.6

Uitgewerkte voorbeeld 10

Vermenigvuldig tweede term

1.3 1.5

iii. Vereenvoudig gelyksoortige terme.

Vermenigvuldig eerste term

2​​​(𝑥 − 1)​​​ − 3​​​(𝑥 + 4)​​​

1.4

* As jy polinome vermenigvuldig: i. Werk van links na regs en vermenigvuldig elke term van eerste polinoom met elke term van tweede polinoom. ii. Gebruik eksponentwette waar nodig.

= 2𝑥² – 𝑥𝑦 + 8𝑥 + 8𝑦 – 3𝑦²

1.1 1.2

(-3y × -3y) = 9y2 L

1.13 1.14 1.15

(v) y ×-3y = –3y2 (vi) y × 8 = 8y

19

Vereenvoudig die volgende:

​−​(𝑥​𝑦​​ 2​)​​(−3𝑥) ​ ​​​​(2𝑥 − 7)​2​​​​

​​​​(𝑥​ ​ 2​​– ​𝑦​​​ 2​​)2​​​​​ ​​​ ​​​​(3 − 𝑥)​ ​​​

2​

​​​​(−𝑦 − 3)​2​​​​

−7 ​​​​(7𝑥 − 1)​​​​2​​​​

ONTHOU –2(𝑥 – 3) beteken nie dieselfde as (x – 3) – 2 nie.

Voorbeelde (let op die verskille): –2 (x – 3) = –2x + 6 (x – 3) – 2 = x – 3 – 2 = x – 5 (x – 3)(–2) = –2x + 6

​​(_ ​12 ​× − 4)​​(8𝑥 − 10)​​

−​​​(𝑥 − 3)​​​​​​(𝑥 + 8)​​​ − ​​​​(𝑥 + 2)​​​​2​ 2​​​(𝑥 + 1)​​​​​​(𝑥 − 1)​​​ − ​​​​(𝑥 − 2)​​​​2​ 4 − 2 ​​​(𝑥 + 3)​​​

​​{2𝑥 ​(𝑥 − 1)​+ 2𝑥}​​ ​​{−𝑥 ​(𝑥 − 1)​ + 𝑥}​​ ​​(x – 2)3

(a + 3)(a –3) G10 – Wiskunde

Tema 1: Getalle en algebraïese uitdrukkings

G10 – Wiskunde – Handleiding 1/2

1.16

​​​(2𝑎 − 5)​​​​​​(2𝑎 + 5)​​​

2.13

​​(​a​​2​​b​​2​+ ​a​​2​)​​​​(ab − a)​​​​(ab + a)​​

1.18

​​(0,1 − 3b)​​​​(0,1 + 3b)​​

2.15

​​𝑥​​2​​(​𝑥​​2​​𝑦​​2​+ ​𝑥​​2​)​​(𝑥𝑦 −𝑥 )​​​​(𝑥𝑦 + 𝑥)​​

1.17 1.19

Vereenvoudig die volgende deur die kort metode te gebruik:

2.2

(​​​ −𝑥 − 2)​​​2​​

2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

2.10 2.11 2.12

2.16

(​​ 30𝑎bc − 1)(​​​​ 30𝑎bc + 1)​​

2.

2.1

2.14

​​​(−𝑎 + 6)​​​​​​(−𝑎 − 6)​​​

​​​(−m + 1 ​​​ ​​

​​​(2g − 4m)​​​2​​

Vereenvoudig die volgende deur die kort metode te gebruik:

3.2

​​(a − ​ _12 ​)​​(a + ​ _14 ​)​​

3.3

​​​(_ ​12 ​𝑥 − 2𝑦)​​​ ​​

3.4

2

3.5

− ​​​(2𝑥 − 7)​​​2​​

3.6

−2 ​​​(−𝑥 + 2 ​​​ ​​

)2

3.7

​​​(−𝑦 − 3)​​​2​​ ​​(−3)​​

3.8

(​​ 𝑥 − 4)(​​​​ −4)(​​​​ 𝑥 − 4)​​

3.9

​​(​𝑥​​2​+ 16)​​​​(𝑥 + 4)​​​​(𝑥 − 4)​​

3.10

(​​ 𝑥 − 2)(​​​​ 𝑥 + 2)(​​​​​ 𝑥 + 3)​​​2​​

​​​(𝑥 − 1)​​​2(​​​​​ 𝑥 + 1)​​​2​​ ​​​(a −b)​​​ 2​​ ​​​(a + b)​​​ 2​​

20

2ab​​(ab − ​a​​2​b)​ − ​​​a​​2​​b​​2​ − ​(ab − b)​​(ab + b)​​

3.

3.1

)2

​​(a + b + c)(​​ a + b − c)​​

​​​(3_​𝑥​− 𝑥​_3​)​​​ ​​

2

​​(2​_12 ​b − 3e)​​(1​41_ ​)​​

​​(2​1_ ​a − 3​1_ ​)​​(2a − 3)​​

​a​​ ​ ​​(2_​a​− 2)​​(​4__ ​+ a + 4)​​ 2

1 ​​​(2​_1𝑥 ​ − ​ _ ​𝑦 ​​​ ​​ 3 )

2

​​​(n​_1​+m ​_1​)​​(n​1_​)​​ − ​​(n​1_​− m ​_1)​ ​​​ ​​ − 2​​(m ​_1​)​​​​(n​_1​+ m ​_1)​ ​​ 2

m _ ​​(n​1_​− m)​​(n​1_​+ m)​ − ​​n___ ​​ ​1 ​+ m ​ n​​2​)​​ ​​2​(m

​​(2,3 − 1,7m)​​(3,5m − 0,07)​​ ​​​(0,2𝑥 − 0,3𝑦)​​​2​​

Met ’n sakrekenaar Sonder ’n sakrekenaar