Grade 10 Fasiliteerdersgids 1/2 Wiskunde

VOO-fase Graad 10 • Fasiliteerdersgids 1/2

Wiskunde KABV

Wiskunde Fasiliteerdersgids 1/2 – Graad 10

2210-A-MAM-FG01

9 781990

948336

Aangepas vir KABV

Prof. C Vermeulen, Hoofouteur P de Swardt H Otto M Sherman E van Heerden L Young

INHOUDSOPGAWE

1.6.4

1.6.5

Voorwoord...............................................................................................................4 TEMA 1 GETALLE EN ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS......................................... 10 1.1 Die getallestelsel......................................................................................10 Oefening 1.1 Die getallestelsel.................................................................... 13 1.2 Tussen watter twee heelgetalle lê ’n wortelvorm? .......................15 Oefening 1.2 Bepaal die benaderde waardes van wortelvorme... 15 1.3 Afronding van reële getalle...................................................................16 Oefening 1.3 Afronding van getalle........................................................... 17 1.4 Vermenigvuldiging van algebraïese uitdrukkings........................18 1.4.1 Algebraïese uitdrukkings................................................................................... 18 1.4.2 Produkte.................................................................................................................... 19 Oefening 1.4 Vermenigvuldiging van algebraïese uitdrukkings... 20 1.5 Faktorisering van algebraïese uitdrukkings...................................26 1.5.1 Gemene faktor......................................................................................................... 27 1.5.2 Verskil van twee vierkante................................................................................ 28 1.5.3 Groepering (nuwe werk).................................................................................... 29 Oefening 1.5.1 Gemene faktor, verskil van vierkante en groepering........................................................................................................... 30 1.5.4 Kwadratiese drieterm.......................................................................................... 31 Oefening 1.5.2 Kwadratiese drieterme en gemengde faktorisering....................................................................................................... 33 1.5.5 Som en verskil van derdemagte...................................................................... 36 Oefening 1.5.3 Som en verskil van derdemagte................................... 38 1.6 Algebraïese uitdrukkings met breuke..............................................40 1.6.1 Vereenvoudiging van enkele algebraïese breuke m.b.v. ....................... 40 Oefening 1.6.1 Vereenvoudiging van algebraïese breuke met behulp van faktore........................................................................................... 42 1.6.2 Vermenigvuldiging en deling van algebraïese breuke........................... 43 Oefening 1.6.2 Vermenigvuldiging en deling van algebraïese breuke.................................................................................................................... 44 1.6.3 Bepaal die kleinste gemene veelvoud (KGV).............................................. 45 Oefening 1.6.3 Bepaal die KGV.................................................................... 46 ©Optimi

Optelling van aftrekking van algebraïese breuke.................................... 47 Oefening 1.6.4 Optelling en aftrekking van algebraïese breuke... 49 Vereenvoudiging van uitdrukkings met breuke binne-in breuke..... 52 Oefening 1.6.5 Vereenvoudiging van uitdrukkings met breuke binne-in breuke................................................................................................. 54

TEMA 2 EKSPONENTE...................................................................................................... 60 2.1 Saamgestelde grondtalle ....................................................................64 Oefening 2.1 Saamgestelde grondtalle.................................................... 65 2.2 Vereenvoudiging deur faktorisering..................................................67 Oefening 2.2 Vereenvoudiging deur faktorisering.............................. 69 2.3 Rasionale eksponente.............................................................................71 Oefening 2.3 Rasionale eksponente.......................................................... 71 2.4 Vergelykings...............................................................................................72 2.4.1 Vergelykings met die onbekende in die grondtal (met breuke in die eksponente)............................................................................................................. 72 2.4.2 Vergelykings met die onbekende in die eksponent (eksponensiële vergelykings)........................................................................................................... 73 Oefening 2.4 Vergelykings............................................................................. 74

TEMA 3 GETALPATRONE................................................................................................. 88 3.1 Die algemene term van ’n getalpatroon............................................90 Oefening 3.1 Die algemene term van ’n getalpatroon....................... 92 3.2 Gebruik van die algemene term..........................................................93 Oefening 3.2 Gebruik van die algemene term...................................... 95 3.3 Die formule vir die algemene term van ’n lineêre ry...................96 Oefening 3.3 Die formule vir die algemene term van ’n lineêre ry.............................................................................................................. 98 3.4 Meetkundige patrone..............................................................................100 Oefening 3.4 Meetkundige patrone........................................................... 102 3.5 Oplossing van probleme met herhalende patrone.......................105 Oefening 3.5 Oplossing van probleme met herhalende patrone.. 106 TEMA 4 VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE........................................................... 110 4.1 Lineêre vergelykings...............................................................................113 Oefening 4.1 Lineêre vergelykings............................................................ 114 1

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2 4.2 4.3

4.4 4.5

Kwadratiese vergelykings.....................................................................117 Oefening 4.2 Kwadratiese vergelykings.................................................. 119 Lineêre vergelykingstelsels (ook bekend as gelyktydige vergelykings) ............................................................................................125 Oefening 4.3 Lineêre vergelykingstelsels (gelyktydige vergelykings)...................................................................................................... 127 Lettervergelykings (verandering van die onderwerp van ’n formule)..................................................................................................133 Oefening 4.4 Lettervergelykings................................................................ 134 Lineêre ongelykhede...............................................................................136 Oefening 4.5 Lineêre ongelykhede............................................................ 138

5.7

5.8

TEMA 5 TRIGONOMETRIE............................................................................................... 144 5.1 Die definisies van die trigonometriese verhoudings sin θ, cos θ en tan θ in reghoekige driehoeke.................................145 Oefening 5.1 Basiese trigonometriese verhoudings in reghoekige driehoeke .................................................................................... 146 5.2 Die definisies van die inverse trigonometriese verhoudings, cosec θ, sec θ en cot θ, in reghoekige driehoeke............................148 Oefening 5.2 Inverse trigonometriese verhoudings in reghoekige driehoeke..................................................................................... 149 5.3 Die definisies van die trigonometriese verhoudings sin θ, cos θ en tan θ en hulle inverses in die cartesiese vlak.....152 Oefening 5.3 Toepassing van die trigonometriese verhoudings in die Cartesiese vlak....................................................................................... 154 5.4 Pythagoras se stelling en trigonometriese verhoudings............157 Oefening 5.4 Pythagoras se stelling en trigonometriese verhoudings........................................................................................................ 159 5.5 Bepaal die trigonometriese verhoudings van die spesiale hoeke sonder ’n sakrekenaar ...........................................................................166 Oefening 5.5 Werk met die spesiale hoeke sonder om ’n sakrekenaar te gebruik.................................................................................. 168 5.6 Bepaal die waardes van trigonometriese verhoudings met ’n sakrekenaar ..............................................................................................171 Oefening 5.6 Bepaal die waardes van die trigonometriese verhoudings met ’n sakrekenaar................................................................ 172 2

Oplossing van trigonometriese vergelykings (bereken die groottes van hoeke) ................................................................................173 Oefening 5.7 Oplossing van trigonometriese vergelykings met skerphoeke................................................................................................. 174 Oplossing van reghoekige driehoeke................................................175 Oefening 5.8 Oplossing van reghoekige driehoeke............................ 177

TEMA 6 FUNKSIES............................................................................................................. 186 6.1 Funksies en relasies................................................................................188 Oefening 6.1 Funksies en relasies.............................................................. 189 6.2 Lineêre funksies.......................................................................................191 6.2.1 Ondersoek die eienskappe van lineêre funksies...................................... 191 6.2.2 Funksienotasie........................................................................................................ 197 6.2.3 Ewewydige en loodregte lyne........................................................................... 198 6.2.4 Teken sketsgrafieke van lineêre funksies.................................................... 198 Oefening 6.2.1 Teken reguitlyngrafieke.................................................. 200 6.2.5 Bepaal die vergelyking van ’n reguitlyngrafiek......................................... 208 Oefening 6.2.2 Bepaal die vergelyking van ’n reguitlyngrafiek..... 209 6.2.6 Lyne wat mekaar sny............................................................................................ 211 Oefening 6.2.3 Lyne wat mekaar sny........................................................ 213 6.3 Kwadratiese funksies..............................................................................216 6.3.1 Ondersoek die eienskappe van kwadratiese funksies........................... 216 6.3.2 Die invloed van ​a​ op die grafiek van ’n parabool .................................... 219 6.3.3 Die draaipunt van ’n parabool.......................................................................... 219 6.3.4 Die invloed van ​q​ op die grafiek van ’n parabool..................................... 219 6.3.5 Definisieversameling en waardeversameling........................................... 220 6.3.6 Simmetrie-as............................................................................................................ 220 6.3.7 Afsnitte met die asse............................................................................................ 220 6.3.8 Teken sketsgrafieke van parabole.................................................................. 221 Oefening 6.3.1 Teken sketsgrafieke van parabole............................... 223 6.3.9 Bepaal die vergelyking van ’n parabool ...................................................... 225 Oefening 6.3.2 Bepaal die vergelyking van ’n parabool................... 227 6.4 Hiperboliese funksies.............................................................................230 6.4.1 Ondersoek die eienskappe van hiperboliese funksies........................... 231 6.4.2 Die invloed van ​a​ op die grafiek van ’n hiperbool.................................... 233 6.4.3 Die invloed van ​q​ op die grafiek van ’n hiperbool.................................... 234 6.4.4 Asimptote.................................................................................................................. 235

6.4.5 6.4.6 6.4.7 6.4.8 6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5 6.5.6 6.5.7 6.5.8 6.6

7.3

Definisieversameling en waardeversameling........................................... 235 Teken sketsgrafieke van hiperbole................................................................. 235 Bepaal die vergelyking van ’n hiperbool...................................................... 237 Beperkings op hiperbole.................................................................................... 238 Oefening 6.4.1 Hiperbole............................................................................... 239 Eksponensiële funksies..........................................................................242 Ondersoek die eienskappe van eksponensiële funksies....................... 243 Die invloed van ​a​in ​y = ​a​​ x​​ op die grafiek van ’n eksponensiële funksie........................................................................................................................ 246 Die invloed van ​b​in ​y = b . a ​ ​​​​​x​ op die grafiek van ’n eksponensiële funksie........................................................................................................................ 247 Die invloed van ​q ​in ​y = ​a​​x​ + q​ op die grafiek van ’n eksponensiële funksie........................................................................................................................ 247 Definisieversameling en waardeversameling........................................... 247 Refleksies.................................................................................................................. 248 Oefening 6.5.1 Eienskappe van eksponensiële grafieke................. 248 Teken sketsgrafieke van eksponensiële funksies..................................... 250 Oefening 6.5.2 Teken sketsgrafieke van eksponensiële funksies................................................................................................................. 251 Bepaal die vergelyking van ’n eksponensiële grafiek............................. 254 Oefening 6.5.3 Bepaal die vergelyking van ’n eksponensiële funksie................................................................................................................... 255 Opsomming die uitwerking van ​a​ en q op elke soort grafiek....258

Bepaal die vergelykings van trigonometriese grafieke en interpreteer grafieke..............................................................................296 Oefening 7.3 Bepaal die vergelykings van trigonometriese grafieke en interpreteer grafieke............................................................... 298

TEMA 8 EUKLIDIESE MEETKUNDE.............................................................................. 306 8.1 Basiese meetkunde lyne, hoeke en driehoeke...............................308 Oefening 8.1 Basiese meetkunde lyne, hoeke en driehoeke......... 315 8.2 Die middelpuntstelling...........................................................................324 Oefening 8.2 Die middelpuntstelling........................................................ 326 8.3 Spesiale vierhoeke...................................................................................332 Oefening 8.3 Spesiale vierhoeke................................................................ 339 Vraestelle en memorandums.............................................................................349 Formules...................................................................................................................361 Euklidiese meetkunde: aanvaarbare redes..................................................364 Woordelys.................................................................................................................367

TEMA 7 TRIGONOMETRIESE FUNKSIES................................................................... 271 7.1 Teken akkurate grafieke van die sin-, cos- en tan-funksie ........274 Oefening 7.1.1 Teken akkurate grafieke van die sinusfunksie y = sin x.................................................................................................................. 274 Oefening 7.1.2 Teken akkurate grafieke van die kosinusfunksie y = cos x................................................................................................................. 278 Oefening 7.1.3 Teken akkurate grafieke van die tangensfunksie y = tan x ................................................................................................................ 281 7.2 Teken en interpreteer sketsgrafieke van trigonometriese funksies.......................................................................................................286 Oefening 7.2 Teken en interpreteer sketsgrafieke van die trigonometriese funksies.............................................................................. 291 ©Optimi

3

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2

VOORWOORD

Kwartaal

In graad 10 is wiskunde vir die eerste keer ’n keusevak (teenoor wiskundige geletterdheid). Leerders kies om verskillende redes wiskunde as vak, onder meer om hulle voor te berei vir ’n studierigting waar graad 12-wiskunde ’n toelatingsvereiste is, of vir ’n beroep waarin ’n agtergrond in wiskunde voordelig is.

1

(11 weke)

Anders as in die Algemene Onderwys- en Opleidingsfase (AOO-fase) van graad 1 tot 9 behels wiskunde in die Voortgesette Onderwys- en Opleidingsfase (VOO-fase) van graad 10 tot 12 in die algemeen meer abstrakte begrippe en ingewikkelder prosedures. Om wiskunde in die VOO-fase te bemeester, verg meer tyd, toewyding, kritiese denke en besinning van leerders as in die AOOfase, terwyl fasiliteerders meer ondersteuning en leiding behoort te gee.

2

(11 weke)

Hierdie produk bestaan uit twee handleidings en twee fasiliteerdersgidse wat op die konsepte van Optimi se GuidED™ Learning™-leermodel gebaseer is om leerders en fasiliteerders te help om suksesvol te wees in hulle studie van wiskunde. Dit dek al die werk vir graad 10-wiskunde en is in ooreenstemming met die KABV-riglyne soos opgestel deur die Departement van Basiese Onderwys vereis word.

Getal weke 3

1. Algebraïese uitdrukkings

2

3. Getalpatrone

2 2 3 4 1 3 3 2

3

(10 weke)

Die handleidings word aanlyn deur aanvullende lesstrukture op die Optimi Learning Platform (OLP) ondersteun. Dit bied deurlopende begeleiding om die leerders se leerproses te ondersteun en te verryk. Hierdie begeleiding is gebaseer op die jongste insigte in opvoedkunde, kognitiewe sielkunde en neurowetenskap. Let daarop dat die handleidings wel onafhanklik van die OLP gebruik kan word.

2 2 2 1 1

4

Hier onder verduidelik ons hoe die handleiding en fasiliteerdersgids saamgestel is en hoe leerders en fasiliteerders dit kan gebruik om sukses in wiskunde te behaal. Die handleidings en fasiliteerdersgidse is in 15 temas verdeel. Die temas stem inhoudelik en tydsgewys ooreen met die KABV-riglyne en verteenwoordig die jaarplan. Handleiding 1/2 en fasiliteerdergids 1/2 dek tema 1 tot 8 (kwartaal 1 en 2) en handleiding 2/2 en fasiliteerdergids 2/2 dek tema 9 tot 15 (kwartaal 3 en 4).

(10 weke)

Tema

2 4 4

2. Eksponente

4. Vergelykings en ongelykhede 5. Trigonometrie 6. Funksies

7. Trigonometriese funksies 8. Euklidiese meetkunde

Assessering*

Ondersoek of projek Toets

Werkopdrag of toets

Oefenvraestelle is in die handleiding ingesluit.

Junie-eksamen

10. Finansies en groei

Toets

9. Analitiese meetkunde 11. Statistiek

12. Probleme in twee dimensies 13. Euklidiese meetkunde 14. Meting

15. Waarskynlikheid Hersiening

Oefenvraestelle is in die handleiding ingesluit.

Toets Toets Eindjaareksamen

* Jy sal die nuutste en volledigste inligting oor assessering in die portefeuljeboek en assesseringsplan vind.

Wenk: Die tabel dui die jaarplan aan. Gebruik dit vir die beplanning van onderrig en assessering.

4

Tydsindeling

Dit beteken dat verskeie strategieë gebruik word om seker te maak dat leerders die beste moontlike kans het om elke deel van die werk te bemeester.

Uiteindelik kan ’n mens sê dat leer plaasgevind het wanneer leerders nuwe inligting in hulle langtermyngeheue gestoor het en die vermoë het om dit te herroep en te gebruik. Die handleidings se struktuur ondersteun dié proses en help leerders om wiskunde te bemeester.

Volgens die KABV-voorskrifte behoort daar minstens 4,5 uur per week aan wiskunde-onderrig bestee te word. Daar sal byvoorbeeld 13,5 uur (drie weke × 4,5 uur per week) aan die onderrig van Tema 1 (algebraïese uitdrukkings) bestee word. Temas word nie onderverdeel in lesse nie; dit staan elke leerder en fasiliteerder vry om soveel inhoud per sessie en per week af te handel as wat leerders se vordering toelaat. As leerders stadiger werk, moet die nodige aanpassings gedoen word sodat hulle nog steeds al die werk betyds kan bemeester.

Wenk: Elke tema het dieselfde struktuur om dit vir leerders makliker te maak om daardeur te werk.

Elke tema het die volgende struktuur:

Wenk: Gebruik die voorgestelde tydsindeling saam met jou leerders se vordering om jou lesse te beplan.

Inleiding

Let op dat die onderrigtyd waarna ons hier bo verwys, nie die tyd insluit waartydens leerders die kennis en begrippe wat hulle geleer het, moet toepas en inoefen nie. Vir hierdie doel is daar verskeie oefeninge deur elke tema versprei. Hierdie oefeninge behels verskillende maniere om nuwe kennis toe te pas en in te oefen en dek verskillende moeilikheidsgrade. Leerders moet probeer om al hierdie oefeninge te doen. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgids gegee.

Waaroor die tema gaan Dit sê kortliks vir leerders waaroor die tema gaan sonder om detail te gee of “moeilike” of onbekende begrippe te gebruik. ’n Volledige lys van die leeruitkomste wat leerders in ’n bepaalde tema moet bemeester, word as opsomming aan die einde van die tema gegee.

Wenk: Kyk dat leerders soveel moontlik van die oefeninge doen. Volg op en bied ondersteuning wanneer leerders sukkel.

Voorafkennis

Struktuur van temas

Hierdie afdeling sê vir leerders watter bestaande kennis hulle nodig het om die betrokke tema te bemeester.

Leer is ’n ingewikkelde proses. Miljoene breinselle en senuweebane in ons brein werk saam om nuwe inligting in die langtermyngeheue te stoor sodat ons dit later kan onthou. Langtermyngeheue is nie ons enigste soort geheue nie en wanneer ons leer, is ons werkgeheue net so belangrik. Werkgeheue is anders as langtermyngeheue en het ’n beperkte kapasiteit. Dit beteken dat ’n mens se werkgeheue net ’n klein bietjie nuwe inligting op ’n slag kan hanteer.

Wanneer ’n mens wiskunde leer, is daar baie nuwe inligting wat jou brein moet verwerk en daarom kan dit maklik jou werkgeheue uitput. Dit hou verband met die kognitiewe ladingsteorie. Hierdie handleidings is só geskryf en saamgestel dat dit nie die werkgeheue ooreis nie en dus die leer van wiskunde vergemaklik. Leerders se kognitiewe kapasiteit word te alle tye in ag geneem.

©Optimi

5

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2

Oefeninge

Hersiening Dit kan een van die volgende behels:

Die oefeninge gee leerders die geleentheid om die begrippe en prosedures wat behandel is, in te oefen. Dit is belangrik dat hulle al die oefeninge probeer voltooi. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse verskaf.

1. hersiening van die begrippe, definisies en prosedures wat as voorafkennis vereis word, 2. ’n oefening of aktiwiteit met oplossings sodat leerders self hulle voorafkennis kan toets, of 3. ’n kombinasie hiervan.

Vrae vorder gewoonlik van maklik (om basiese begrippe en prosedures te bemeester en in te oefen) na moeilik (ingewikkelder bewerkings).

Gemengde oefeninge kan ook voorkom, waar leerders die geleentheid kry om verskillende begrippe en prosedures in te oefen en met vorige temas te integreer.

Moenie hierdie hersiening afskeep nie. Dit is belangrik om deeglik daardeur te werk. Wiskundige konsepte volg dikwels op mekaar en as basiese kennis ontbreek of nie goed genoeg bemeester word nie, sal dit die vorming van nuwe kennis bemoeilik.

Opsomming van tema

Ná die inleidende deel van die tema word nuwe kennis in subtemas behandel.

Elke subtema het die volgende struktuur:

Hier sien leerders ’n opsomming van wat hulle in die tema moes bemeester het. Dit word in meer formele wiskundige taal uitgedruk om by die KABV (die kurrikulumverklaring) aan te sluit.

SUBTEMA

Inleiding

Oefening om die tema af te sluit

Nuwe begrippe en prosedures word verduidelik. Relevante voorafkennis word ook hier behandel indien nodig.

Dit is ’n gemengde oefening oor alle begrippe en prosedures wat in die tema behandel word, waar hierdie werk ook met vorige werk geïntegreer kan word. Die moeilikheidsgraad van hierdie oefening wissel. Dit is belangrik dat leerders probeer om al die oefeninge te voltooi. Volledige oplossings verskyn in die fasiliteerdersgidse.

Uitgewerkte voorbeelde Uitgewerkte voorbeelde wys leerders hoe die nuwe begrippe en prosedures toegepas word en help hulle om die begrippe en prosedures wat behandel is, beter te verstaan en toe te pas.

6

Gemengde oefeninge soos dié in hierdie handleiding is ’n baie belangrike komponent daarvan om wiskunde te bemeester. Daar is ’n groot verskil tussen die vermoë om jou werk te herken en om dit te herroep. Wanneer leerders hulle werk kan herken, sê hulle dikwels “O, ja!” maar hulle sukkel om dit te onthou wanneer hulle eksamen skryf. Wanneer hulle hulle werk kan herroep,

beteken dit dat hulle daardie kennis in hulle langtermyngeheue vasgelê het en dit kan onthou en gebruik. Gemengde oefeninge stel leerders in staat om nie net die werk te herken nie, maar om dit ook uit hulle langtermyngeheue te herroep.

Selfevaluering In elke tema, en gewoonlik ná elke subtema, is daar ’n aktiwiteit waar leerders krities moet nadink oor die mate waarin hulle sekere begrippe en prosedures bemeester het. Hierdie aktiwiteit verskyn in die volgende formaat:

Wanneer leerders dieselfde soort som of probleem oor en oor oefen, raak hulle dikwels lui en dink hulle nie meer na oor die oefening nie. Hulle is oortuig daarvan dat hulle presies weet watter soort som of probleem hulle moet oplos.

Maar in ’n toets of eksamen is al hierdie somme deurmekaar, en dan is dit soms moeilik om te weet wat om te doen. Wanneer gemengde oefeninge deel vorm van leerders se leerproses, leer hulle om ’n som of probleem reg te identifiseer én reg te voltooi. Dit beteken dat hulle werklik voorbereid is vir toetse of eksamens, want hulle kan die werk herroep en nie net herken nie.

Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die tabel wat volg, is: 1. Help!! Ek is glad nie gemaklik met die onderwerp nie, ek het hulp nodig.

2. Alarm! Ek is nie gemaklik nie, maar ek het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.

3. OK! Ek is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.

4. Sharp! Ek is gemaklik met die onderwerp.

5. Whoohoo, dis partytjietyd!! Ek is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs meer ingewikkelde vrae hieroor beantwoord.

Voltooi nou die volgende tabel.

Onderwerp

1

2

3

4

5

Fasiliteerders moet hierdie evaluering gebruik om te bepaal of leerders nog hulp in die betrokke tema of subtema nodig het. Indien wel, word dit aanbeveel om dadelik hersiening of nog oefeninge te doen om seker te maak dat leerders die noodsaaklike begrippe en prosedures bemeester. Die selfevaluering kan ook gebruik word om vir verryking te beplan. As leerders die werk in die tema of subtema onder die knie het, kan verrykingsoefeninge gedoen word.

Dit is belangrik om nie na ’n volgende tema of subtema aan te beweeg voordat die betrokke onderwerp volledig behandel en bemeester is nie, selfs al beteken ©Optimi

7

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2 dit dat meer tyd aan ’n sekere tema bestee word as wat die KABV aanbeveel.

Pas die tydsindeling voortdurend aan volgens die leerders se behoeftes.

Leerders voltooi sewe formele assesseringstake vir skoolgebaseerde assessering.

Dit is wel belangrik om die betrokke temas af te handel voordat ’n toets of eksamen afgelê word.

Wenk: Gebruik leerders se selfevaluering om te besluit of hulle hulp nodig het met die betrokke afdeling, wat die aard van die hulp moet wees, en of daar na die volgende afdeling aanbeweeg kan word.

Skoolgebaseerde assessering

Kwartaal 1 Kwartaal 2

Assesseringsvereistes

Kwartaal 3

Besoek Impaq se aanlynplatform vir die assesseringsplan en volledige inligting oor die samestelling en puntetelling van toetse, take en eksamens.

Die hoeveelheid take, puntetelling en relatiewe gewig is onderhewig aan verandering.

Kwartaal 4

Skoolgebaseerde assesseringspunt

Wenk: Wees bewus van die KABV-voorskrifte en beplan die jaar se assessering daarvolgens.

Skoolgebaseerde assesseringspunt (as % van bevorderingspunt) Eindjaareksamen

Bevorderingspunt

Let op: • •

•

Take

Projek of ondersoek Toets

Werkopdrag of toets Junie-eksamen Toets Toets Toets

Gewig (%) 20 10 10 30 10 10 10

100 25

Twee vraestelle

75

100

Slegs een projek/ondersoek moet per jaar gedoen word.

Geen grafiese of programmeerbare sakrekenaars word toegelaat nie (om byvoorbeeld te faktoriseer of die wortels van vergelykings te bepaal). Sakrekenaars moet net gebruik word om standaard- numeriese berekeninge te doen en om berekeninge wat met die hand gedoen is, te kontroleer.

Formuleblaaie word nie in graad 10 tydens toetse en finale eksamens voorsien nie.

Wenk: Hierdie tabel dui slegs die formele assessering (d.w.s. wat vir bevordering gebruik word) aan. Informele deurlopende assessering moet ook plaasvind om elke leerder se vordering te monitor sodat leemtes in leerders se kennis betyds raakgesien en reggestel word.

8

Die twee vraestelle aan die einde van die jaar word soos volg saamgestel: Vraestel 1

Algebraïese uitdrukkings, vergelykings en ongelykhede, eksponente (Tema 1, 2 en 4) Getalpatrone (Tema 3)

Funksies en grafieke (Tema 6) Finansies en groei (Tema 10) Waarskynlikheid (Tema 15)

Vraestel 2

Euklidiese meetkunde en meting (Tema 8, 13 en 14) Analitiese meetkunde (Tema 9) Trigonometrie (Tema 5 en 7) Statistiek (Tema 11)

Wenk: Wees bewus van watter temas in watter vraestel gedek moet word, sowel as die relatiewe gewig van elk. Maak seker dat vraestelle aan hierdie verspreiding voldoen.

Let op: Die samestelling van die eksamens is onderhewig aan verandering.

Verwys altyd na die portefeuljeboek en assessseringsplan vir die nuutste inligting oor die samestelling van die eksamens.

Aanvullende boeke

Enige ander boeke kan aanvullend tot hierdie handleidings gebruik word vir bykomende oefeninge en verduidelikings, insluitend: • • •

Maths 4 Africa, beskikbaar by www.maths4africa.co.za Die Siyavula-handboek, gratis aanlyn beskikbaar by www.siyavula.com Pythagoras, beskikbaar by www.fisichem.co.za.

Wenk: Help leerders om aanvullende bronne te bekom en dit doeltreffend te gebruik.

Sakrekenaar Die CASIO fx-82ES (Plus) of CASIO fx-82ZA word aanbeveel. Enige wetenskaplike, nie-programmeerbare en nie-grafiese sakrekenaar is egter geskik.

Wenk: Maak seker dat elke leerder ’n geskikte sakrekenaar het. ©Optimi

9

G10 – Wiskunde

Tema 1: Getalle en algebraïese uitdrukkings

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2

TEMA 1

Inleiding

GETALLE EN ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS

In hierdie tema gaan leerders meer leer oor: • • • • • •

Leervereistes volgens die KABV Leerders moet: 1. verstaan dat reële getalle rasionaal of irrasionaal kan wees 2. kan bepaal tussen watter twee heelgetalle ’n gegewe eenvoudige wortelvorm lê 3. reële getalle kan afrond soos vereis word 4. ’n tweeterm en ’n drieterm kan vermenigvuldig 5. algebraïese uitdrukkings kan faktoriseer deur tegnieke te gebruik wat in graad 9 onderrig is, sowel as: • • •

Voorafkennis

Om hierdie tema te bemeester, moet leerders reeds weet: • • • •

drieterme (meer gevorderde drieterme) groepering som en verskil van twee derdemagte

Duur Vraestel Gewig

watter soort getalle daar is hoe ons getalle klassifiseer hoe om eenvoudige algebraïese uitdrukkings te vermenigvuldig hoe om eenvoudige breuke te vereenvoudig.

1.1 DIE GETALLESTELSEL

6. algebraïese breuke kan vereenvoudig deur die noemers te faktoriseer, wat derdemagte kan insluit (beperk tot die som en verskil van derdemagte).

Kwartaal

verskillende soorte getalle hoe om die waardes van sekere getalle te skat hoe om getalle af te rond hoe om algebraïese uitdrukkings te vermenigvuldig hoe om faktore van algebraïese uitdrukkings te bepaal hoe om algebraïese breuke te vereenvoudig.

Inleiding Hierdie subtema is ’n opsomming van werk wat in graad 8 en 9 gedek is. As dit vir leerders moeilik is om dié afdeling te voltooi, moet jy eers die werk hersien wat in hierdie grade behandel is.

1

3 weke 1

Verskillende soorte getalle

Algebraïese uitdrukkings vorm deel van algebra, waarvan die gewigstoekenning 30 ± 3 van Vraestel 1 is.

ℕ = {1; 2; 3; 4; 5;...} = natuurlike getalle ℕ0 = {0; 1; 2; 3; 4...} = telgetalle

ℤ = {...; –2; –1; 0; 1; 2; 3; ...} = heelgetalle 10

’n heelgetal ​ℚ = { ​ getalle wat geskryf kan word as ​____________________ ​ ​ ’n heelgetal (maar nie 0 nie) }

= rasionale getalle​

Let op •

​ℚ′​ = { ​ getalle wat nie as ​____________________ ​ geskryf kan word nie}​ 'n heelgetal (maar nie 0 nie) = irrasionale getalle​(nie-eindigende, nie-repeterende desimale getalle) ’n heelgetal

•

ℝ = {rasionale plus irrasionale getalle} = reële getalle

ℝ’ = {getalle wat nie in die reële getallestelsel bestaan nie} = nie-reële getalle

• •

Opsomming van die reële getallestelsel

Reële getalle

Rasionale getalle

• • •

Heelgetalle

Breuke

_

Irrasionale getalle is nie rasionaal nie. Dit kan nie met ’n heelgetalteller en -noemer geskryf word nie, bv. 0,8672345…

As die nde wortel van ’n getal nie as ’n rasionale waarde geskryf kan word 3 _ nie, word hierdie nde wortel ’n wortelvorm genoem, bv. ​​ √ 5 ​​.

Oplossing

Om ’n repeterende breuk as ’n gewone breuk te herskryf, moet jy die repeterende breuk manipuleer sodat jy ontslae kan raak van die repeterende “stert”.

Stel 𝑥 = 0,1212121212…

∴ 100𝑥 = 12,1212121212…

_ ​x​is ongedefinieer​ 0

– 𝑥 = 0,1212121212…

×100 om heelgetal + repeterende “stert” te kry Trek af

99𝑥 =12 ​

©Optimi

3 breuke waarvan die teller en die noemer heelgetalle is, bv. ​_ ​ 7 ​heelgetalle, bv. –5 desimale getalle wat eindig, bv. 0,125 desimale getalle wat repeteer (herhaal), bv. 0,151515…

Herskryf 0,​​1̇ ​​​​2̇ ​​̇as ’n gewone breuk.

ONTHOU

​√ − 3​ is nie-reëel

◦ ◦ ◦ ◦

Uitgewerkte voorbeeld 1

Irrasionale getalle

Negatiewe heelgetalle Nul Positiewe heelgetalle (natuurlike getalle) _0​ ​= 0 x

a ’n Rasionale getal is enige getal wat as ​​_ ​​ ​​geskryf kan word, waar 𝑎 en 𝑏 b heelgetalle is.

Die volgende is rasionale getalle:

11

​∴ x = _ ​12 ​​ 99

4 ∴x=_ ​33 ​​

Vereenvoudig

G10 – Wiskunde

Tema 1: Getalle en algebraïese uitdrukkings

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2

Oplossing

Uitgewerkte voorbeeld 2

Om te bepaal waar hierdie getalle by die getallestelsel inpas, kan jy jou sak­ rekenaar gebruik om die desimale breuk te bepaal waar dit van toepassing is:

Herskryf 2,5​​1̇ ​​​​2̇ ​​̇as ’n gewone breuk.

Oplossing

Stel 𝑦 = 2,512121212…

∴1 000𝑦 = 2512,121212…

3

×10 om repeterende “stert” te kry

990𝑦 = 2487,000000…

Onthou dat die 5 nie repeteer (herhaal) nie

487 ​∴ y = _ ​2990 ​​ ∴y = _ ​829 ​ ​ 330

Onthou altyd om te vereenvoudig so ver jy kan

Gebruik jou kennis van die getallestelsel om die volgende tabel te voltooi deur ’n  in die regte blokkie(s) te maak: 3

_

ℚ

ℚ'

= 0,2080083823… (nie-eindigende, nie-repeterende desimale breuk) Hierdie getal kan nie in die vorm ​​_ab ​​geskryf word nie; dit is dus ’n irrasionale getal (ℚ'). = 0 (nul gedeel deur enige nie-nul-getal = nul)

Hierdie getal is in die vorm ​​_ab ​​geskryf; dit is dus ’n rasionale getal (ℚ).

__

Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskunde-foutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).

9 3 ​​​ = ​​ ​​ _ ​16 ​ ​_ 4

√

ℝ

​​ √ 9 ​​

_ ​​02 ​​ __ 9 ​​ _ ​16 ​​​

√

0,​​3​​̇

_

​​√ 50 ​​

Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskunde-foutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).

Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskunde-foutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).

_ ​​02 ​​

Uitgewerkte voorbeeld 3

_ ​​17 ​​

_

​​ √ 9 ​​

×1 000 om heelgetal + repeterende “stert” te kry

– 10𝑦 = 25,121212…

​

Hierdie getal is in die vorm ​​_ab ​​geskryf; dit is dus ’n rasionale getal (ℚ).

_ ​​17 ​​

12

Hierdie getal is in die vorm ​​_ab ​​geskryf; dit is dus ’n rasionale getal (ℚ).

Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskundefoutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).

0,​​3̇ ​​

_

= 0,333333333… (nie-eindigende, repeterende desimale breuk)

Oefening 1.1: Die getallestelsel

​= _ ​13 ​​

Hierdie getal kan in die vorm ​​_ab ​​geskryf word; dit is dus ’n rasionale getal (ℚ).

Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskunde-foutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).

​​√ 50 ​​ =3,684031499… (nie-eindigende, nie-repeterende desimale breuk) Hierdie getal kan nie in die vorm ​​_ab ​​geskryf word nie; dit is dus ’n irrasionale getal (ℚ').

ℚ'

ℝ

_ ​​17 ​​

ü

_ ​​02 ​​ __ 9 ​​ _ ​16 ​​​

ü

ü

ü

ü

ü

ü

3

_

​​ √ 9 ​​

√

0,​​3​​̇

_

​​√ 50 ​​

ü

ü

2.

Watter soort getal is √ ​ 8​​?

4.

ü ü

5.

ü

Let op dat reële getalle (ℝ) óf rasionale (ℚ) óf irrasionale (ℚ') getalle is.

©Optimi

Is die getal nul ’n positiewe of negatiewe getal?

3.

Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskundefoutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ). ℚ

1.

Nul is nie positief of negatief nie. _

_

_

_

√ ​​ 8​​ = ​​√ 4 ×2 ​​ = 2​​√ 2 ​​

∴ ’n reële, irrasionale getal _

Watter soort getal is ​√ ​ −8 ​​?

Die vierkantswortel van ’n negatiewe getal bestaan nie in die reële getallestelsel nie. ∴ ’n nie-reële getal

3

_

Watter soort getal is ​​√ 8 ​​ ?

3

_

​​√ 8 ​​ = 2

∴ ’n reële getal, ’n rasionale getal, ’n heelgetal, ’n telgetal en ’n natuurlike getal (natuurlike getal impliseer: reële getal, rasionale getal, heelgetal, telgetal) 3

_

Watter soort getal is ​​√−8 ​​?

3

_

​​√−8 ​​= ​−2 ​

∴ ’n reële getal, ’n rasionale getal en ’n heelgetal.

13

G10 – Wiskunde

Tema 1: Getalle en algebraïese uitdrukkings

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2 6.

7.

7.1

10 Bepaal al die getalsoorte waartoe 2 ​​___ ​​ behoort sonder om ’n 27 sakrekenaar te gebruik.

8.

10 ___ 2 ​​___ ​​ = ​​64 ​​ 27 27

_

9 ​11 ​ ​​ – 𝑥 en 𝑥∈{–5; 0; 11}? √ ___

f(𝑥) = ​​

Vir die uitdrukking om nie-reëel te wees, moet die waarde in die wortel ’n negatiewe getal wees.

∴ ’n reële, rasionale getal (64 ÷ 27 gee ’n nie-eindigende, repeterende desimale getal as antwoord) Herskryf die volgende as gewone breuke

Stel die gegewe elemente in om te bepaal watter waarde ’n negatiewe antwoord sal gee:

Stel 𝑥 = 0,​​6̇ ​​=0,666666…

𝑥 = –5 gee ’n positiewe antwoord

√

×10 om heelgetal + repeterende “stert” te kry

√

6

𝑥 = ​_ ​9 ​​

√

3 125 ∴ 𝑦 = ​​_ ​​ 990 625 ∴𝑦 = ​​_ ​​ 198

___________

√

√

_____________

_

√

𝑥 = 11 gee ’n negatiewe antwoord

3,1​​5̇ ​​​​6̇ ​​

990𝑦 = 3 125

___________

√

9 112 f(11) = ​​ ​___ ​ – (11) ​​ = ​​ – ​_____ ​ ​​ < 0 11 11

𝑥 = ​_ ​23 ​​

– 10𝑦 = 31,565656…

_

𝑥 = 0 gee ’n positiewe antwoord

9𝑥 = 6

∴1 000𝑦 = 3 156,565656…

_

9 9 f(0) = ​​ ​___ ​ – (0) ​​ = ​​ ​___ ​ ​​ > 0 11 11

– 𝑥 = 0,666666…

Stel 𝑦 = 3,1​​5̇ ​​​​6̇ ​​̇= 3,1565656…

____________

9 9 64 f(–5) = ​​ ​___ ​ –(–5) ​​ = ​​ ​___ ​ +5 ​​ = ​​ ​___ ​ ​​ > 0 11 11 11

0,​​6̇ ​​

∴10𝑥 = 6,666666…

7.2

Vir watter waarde(s) van 𝑥 sal f(𝑥) nie-reëel wees as:

∴ die uitdrukking sal nie-reëel wees as 𝑥 = 11 ×1 000 om heelgetal + repeterende “stert” te kry ×10 om repeterende “stert” te kry

ONTHOU Onthou altyd om heeltemal te vereenvoudig

14

1.2 TUSSEN WATTER TWEE HEELGETALLE LÊ ’N WORTELVORM?

Uitgewerkte voorbeeld 4 _

Inleiding

Bepaal tussen watter twee heelgetalle die irrasionale getal ​​​​​√ 62 ​​ lê.

As die nde wortel van ’n getal nie tot_ ’n rasionale getal vereenvoudig kan word 6 _ nie, noem ons dit ’n wortelvorm. ​​ 2 ​​ e n ​​ 3 ​​ i s byvoorbeeld wortelvorme, maar ​​ √ √ _ √ 4 ​​ is nie ’n wortelvorm nie, want dit kan vereenvoudig word tot die rasionale getal 2. n

Oplossing

Bepaal die twee volkome vierkante links van (net kleiner as) en regs van (net groter as) 62 op die getallelyn.

• •

_

Beskou wortelvorme van die vorm ​​√ 𝑎 ​​, waar a enige positiewe getal is, _ 3 _ byvoorbeeld ​​√ 7 ​​ of ​​√ 5 ​​. Dit is baie algemeen dat n ’n waarde van 2 het; daarom 2

_

Bepaal nou die vierkantswortels van hierdie volkome vierkante:

_

skryf ons nie ​​√ 𝑎 ​​ nie. Ons skryf die wortelvorm bloot as ​​√ 𝑎 ​​. Dit word die vierkantswortel van a genoem.

_

√ ​​​​​ 64 ​​ =

_

_

Oefening 1.2: Bepaal die benaderde waardes van wortelvorme

_

Doen hierdie oefening sonder ’n sakrekenaar.

Maar om die waardes van ander wortelvorme, byvoorbeeld √ ​​ 18 ​​ te bepaal sonder om ’n sakrekenaar te gebruik, moet jy eers die volgende verstaan: • • •

n

_

n

1.

_

As 𝑎 en b positiewe heelgetalle is en 𝑎 < b, dan sal ​​√ 𝑎 ​​ < ​​√ 𝑏 ​​. ’n Volkome vierkant is die getal wat verkry word wanneer ’n heelgetal gekwadreer word.

9 is byvoorbeeld ’n volkome vierkant, want 3² = 9. ’n Volkome derdemag is ’n getal wat die derdemag van ’n heelgetal is. 27 is byvoorbeeld ’n volkome derdemag, want 3³ = 27.

©Optimi

_

​∴ 7 < ​√ 62 ​ < 8​

As ons ’n sakrekenaar gebruik, sien ons dat ​​√ 3 ​​ =1,73205…

Dit is maklik om te sien dat ​​√ 3 ​​ groter as 1 en kleiner as 2 is.

8

​​​​​​√ 62 ​​ lê dus tussen 7 en 8.

Kom ons bepaal byvoorbeeld waar ​​√ 3 ​​ min of meer op die getallelyn lê: _

_

​​√ 49 ​​= 7

Dit is soms nuttig om die benaderde waarde van ’n wortelvorm te kan bepaal sonder om ’n sakrekenaar te gebruik. _

Die volkome vierkant links van 62 is 49.

Die volkome vierkant regs van 62 is 64.

_

Bepaal die twee opeenvolgende heelgetalle waartussen ​​​​​√ 26 ​​ lê.

Bepaal die twee volkome vierkante links van (net kleiner as) en regs van (net groter as) 26 op die getallelyn.

• Die volkome vierkant links van 26 is 25.

• Die volkome vierkant regs van 26 is 36. _

_

​​​​​√ 25 ​ = 5​en ​√ ​ 36 ​ = 6​ 15

_

​∴ 5 < √ ​ 26​ < 6​

G10 – Wiskunde

Tema 1: Getalle en algebraïese uitdrukkings

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2 2.

3

_

1.3 AFRONDING VAN REËLE GETALLE

Bepaal die twee opeenvolgende heelgetalle waartussen ​​​​√ 49 ​​ lê.

Bepaal die twee volkome derdemagte links van (net kleiner as) en regs van (net groter as) 49.

• Die volkome derdemag links van 49 is 27.

• Die volkome derdemag regs van 49 is 64.

3

_

3

Inleiding As jy getalle afrond, is dit eenvoudiger en makliker om dit te gebruik. Dit is dikwels net makliker om met afgeronde getalle te werk.

_

​​​​​​​√27 ​​= 3 en ​​√ 64 ​​= 4 3

_

​∴ 3 < ​√ 49 ​ < 4​ 3.

_

Hoe om getalle af te rond

Bepaal tussen watter twee opeenvolgende heelgetalle ​​​​​√ 18 ​​ lê.

Bepaal die twee volkome vierkante links van (net kleiner as) en regs van (net groter as) 18.

• Die volkome vierkant links van 18 is 16.

• Die volkome vierkant regs van 18 is 25. _

√ ​​ 16 ​​ =

4.

Om getalle af te rond, beteken om die syfers aan te pas (boontoe of ondertoe) om ruwe berekeninge makliker te maak. Die resultaat sal ’n beraamde antwoord wees eerder as ’n presiese een.

• • •

_

4 en √ ​​​​​ 25 ​​ = 5 _

∴ 4 < ​​√ 18 ​​ < 5

•

_

Bereken die benaderde waarde van ​​​​​√ 10 ​​ korrek tot een desimale plek.

Bepaal die twee volkome vierkante links van (net kleiner as) en regs van (net groter as) 10.

• Die volkome vierkant links van 10 is 9.

• Die volkome vierkant regs van 10 is 16. _

_

Uitgewerkte voorbeeld 5 Rond 2,6003 af tot drie desimale plekke.

Oplossing

_

​​​​​√ 9 ​​ = 3 en ​√ ​​​​ 16 ​​ = 4 ∴ 3 < ​√ ​​​​ 10 ​​ < 4

Wanneer jy tot ’n vereiste getal plekke afrond, kyk jy na die volgende desimale syfer. As jy byvoorbeeld gevra word om af te rond tot drie desimale plekke, kyk jy na die 4de desimale syfer.

As die volgende syfer kleiner as 5 is, bly die vorige desimale syfer soos dit is.

As die volgende syfer 5 of groter as 5 is, word die vorige desimale syfer een meer.

As jy gevra word om tot drie desimale plekke af te rond, moet jy drie syfers ná die desimale komma hê (al is dit nulle).

2,6003 = 2,600

_

Benaderde waarde van​​√ 10 ​​ = 3,1

16

Kyk na die 4de desimale syfer: 3<5 3de syfer bly dieselfde.

Uitgewerkte voorbeeld 6

Selfevaluering Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die tabel wat volg, is:

Rond 473,78 af tot die naaste heelgetal.

1. Help!! Ek is glad nie gemaklik met die onderwerp nie, ek het hulp nodig.

2. Alarm! Ek is nie gemaklik nie, maar ek het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.

3. OK! Ek is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.

4. Sharp! Ek is gemaklik met die onderwerp.

5. Whoohoo, dis partytjietyd!! Ek is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs meer ingewikkelde vrae hieroor beantwoord.

Oplossing 473,78 = 474

Kyk na die 1ste desimale syfer: 7 > 5 Enesyfer word 1 meer.

Oefening 1.3: Afronding van getalle

Voltooi nou die volgende tabel.

Rond die volgende getalle af soos aangedui word: 1.

2.

3.

4.

5.

©Optimi

Onderwerp

12,507 tot twee desimale plekke 12,507 ≈ 12,51

1

2

3

4

5

Ek kan enige reële getal klassifiseer as rasionaal of irrasionaal.

Ek kan enige repeterende desimale breuk as ’n gewone breuk skryf.

36,8121212 tot die naaste heelgetal 36,8121212 ≈ 37

Ek kan bepaal tussen watter twee heelgetalle ’n gegewe wortel­ vorm val.

–48,2291 tot drie desimale plekke –48,2291 ≈ –48,229

Ek kan reële getalle tot ’n bepaalde graad van akkuraatheid afrond.

28,995 tot twee desimale plekke 28,995 ≈ 29,00

–185,02 tot een desimale plek –185,02 = –185,0

17

G10 – Wiskunde

Tema 1: Getalle en algebraïese uitdrukkings

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2

1.4 VERMENIGVULDIGING VAN ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS

Leerders moet die volgende terminologie met betrekking tot algebraïese uitdrukkings ken:

Inleiding Beskou die algebraïese uitdrukking 3​𝑎​⁴ + 2​𝑎​²–3​𝑎​ + 8.

In hierdie subtema het ons te doen met die vermenigvuldiging van algebraïese uitdrukkings.

Terminologie

1.4.1 Algebraïese uitdrukkings

Koëffisiënt

’n Algebraïese uitdrukking bevat lettersimbole en getalle, bv. 2𝑥² – 3𝑥y + 𝑦³– 5.

Let op die verskil tussen ’n algebraïese uitdrukking en ’n algebraïese vergelyking: •

In ’n algebraïese vergelyking word twee uitdrukkings gelykgestel (deur ’n gelykaanteken te gebruik). Voorbeelde:

Konstante

•

’n Algebraïese uitdrukking het nie ’n gelykaanteken nie. Voorbeelde:

Getal terme

Algebraïese vergelykings kan opgelos word. Dit beteken ons kan die unieke waarde(s) van die onbekende (bv. 𝑥) bepaal waarvoor die vergelyking waar is.

Algebraïese uitdrukkings kan nie opgelos word nie. In ’n algebraïese uitdrukking kan die veranderlike(s) (bv. 𝑥) enige waarde aanneem wat toelaatbaar is.

Veranderlike

• •

Graad van uitdrukking

◦ 2𝑥 – 5 = 0 ◦ 3𝑥² – 5𝑥 = 7𝑥+2 ◦ 2𝑥 – 5 ◦ 3𝑥² – 5𝑥

Beskrywing

Die getal (met sy teken) wat met die veranderlike vermenigvuldig word

Die term sonder enige veranderlike (met sy teken) Die hoogste waarde van die eksponente

Terme word geskei deur plus(+) en minus- (–) tekens Die lettersimbole wat in die algebraïese uitdrukking voorkom.

Let op: Veranderlikes kan enige toelaatbare waarde hê.

Voorbeeld

Koëffisiënt van ​​𝑎​​4​​ is +3 Koëffisiënt van ​​𝑎​​2​​ is +2 Koëffisiënt van ​​​𝑎​​ ​​​ is –3 Konstante is +8

Graad van uitdrukking is 4 Getal terme is 4

Veranderlike is 𝑎

Algebraïese uitdrukkings word benoem op grond van die getal terme: Monoom

Tweeterm (binoom) Drieterm (trinoom) Polinoom

18

–

1 term

–

twee of meer terme

–

–

2 terme 3 terme

1.4.2 Produkte

* As jy ’n tweeterm met ’n tweeterm vermenigvuldig:

* As jy ’n monoom met ’n polinoom vermenigvuldig: • • •

Gebruik die metode eerstes, buitenstes, binnestes, laastes (EBBL) om die produk te bepaal:

Gebruik altyd die distributiewe eienskap om die hakies te verwyder.

Gebruik eksponentwette wanneer dit nodig is. (Verwys na die eksponent­ wette in Tema 2 as leerders onseker is hiervan.)

Vereenvoudig gelyksoortige terme.

E

B

Vermenigvuldig die getal buite die hakie met elke term in die hakie:

2(𝑥 – 4)

B L

Uitgewerkte voorbeeld 7 1. 𝑥(𝑥 +2) = (𝑥 × 𝑥)+(𝑥 × 2) 2. – 3𝑦² (𝑥² – 2) = (–3𝑦² × 𝑥²) + (–3𝑦² × –2)

Distributiewe wet

3. 2b(3c + d) – 3(b – c + d)

Distributiewe wet

= – 3𝑥² 𝑦² + 6𝑦²

= 2b × 3c + 2b × d – 3 × b – 3 × (–c) – 3 × d = 6bc + 2bd – 3b + 3c – 3d

©Optimi

Binneste terme

vermenigvuldig laaste term van eerste tweeterm met 1st term van tweede tweeterm

Buitenste terme

Laaste terme

vermenigvuldig 1ste term van eerste tweeterm met laaste term van tweede tweeterm vermenigvuldig die laaste terme van die tweeterme

1. (𝑥 – 2)(𝑥 + 4)

= 𝑥² + 4𝑥 – 2𝑥 – 8 = 𝑥² + 2𝑥 – 8

2. (3𝑎 – 4b)(2𝑎 + 3b) •

ONTHOU

(+) × (+) = (+) (–) × (–) = (+) (+) × (–) = (–) (–) × (+) = (–)

vermenigvuldig die eerste terme van die tweeterme

Uitgewerkte voorbeeld 8

Gebruik distributiewe wet

= 𝑥² + 2𝑥

Eerste terme

19

= 6𝑎² + 9𝑎b – 8𝑎b – 12b² = 6𝑎² + 𝑎b – 12b²

E: (𝑥) × (𝑥) = 𝑥² B: (𝑥) × (+ 4) = 4𝑥 B: (–2) × (𝑥) = –2𝑥 L: (–2) × (+ 4) = –8

E: 3𝑎×2𝑎 = 6𝑎² B: 3𝑎×3b = 9ab B: –4b×2𝑎 = –8𝑎b L: –4b×3b = –12b2

Gebruik “kortpad”-metode – net van toepassing as jy ’n tweeterm kwadreer: ◦ Kwadreer die eerste term. ◦ Vermenigvuldig die eerste en laaste term, en vermenigvuldig die antwoord met 2. ◦ Kwadreer die tweede term.

Hoekom dink jy werk hierdie kort metode? (Wenk: Gebruik die EBBL-metode.)

G10 – Wiskunde

Tema 1: Getalle en algebraïese uitdrukkings

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2

Oefening 1.4: Vermenigvuldiging van algebraïese uitdrukkings

Uitgewerkte voorbeeld 9 1.

1. (2𝑥 – 3𝑦)²

= 4𝑥² – 12𝑥𝑦 + 9𝑦²

(2𝑥 × 2x) = 4x2 E

2 ×(2x × -3y) = -12xy B+B

1.1

(-3y × -3y) = 9y2 L

1.2

(i) 2𝑥 × 2𝑥 = 4𝑥² (ii) 2𝑥 × y × 2 = 4𝑥y (iii) y × y = y²

2. (2𝑥 + 𝑦)²

= 4𝑥² + 4𝑥𝑦 + 𝑦²

* As jy polinome vermenigvuldig:

1.3

i.

Werk van links na regs en vermenigvuldig elke term van eerste polinoom met elke term van tweede polinoom. ii. Gebruik eksponentwette waar nodig. iii. Vereenvoudig gelyksoortige terme.

1.4

Uitgewerkte voorbeeld 10

1.5

(𝑥 + 𝑦)(2𝑥 – 3𝑦 + 8)

= 2𝑥² – 3𝑥𝑦 + 8𝑥 + 2𝑥𝑦 – 3𝑦² + 8𝑦 = 2𝑥² – 𝑥𝑦 + 8𝑥 + 8𝑦 – 3𝑦² Vermenigvuldig eerste term

Vermenigvuldig tweede term

(i) 𝑥 × 2𝑥 = 2𝑥²

(iv) y ×2𝑥 = 2𝑥y

(ii) 𝑥 × – 3y = – 3𝑥y (iii) 𝑥 × 8 = 8𝑥

1.6 1.7

(v) y ×-3y = –3y2 (vi) y × 8 = 8y

20

Vereenvoudig die volgende: 2​​​(𝑥 − 1)​​​ − 3​​​(𝑥 + 4)​​​ = 2𝑥 − 2 − 3𝑥 − 12 = −𝑥 − 14

​−​(𝑥​𝑦​​2​)​​(−3𝑥)​

= − ​(−3𝑥​​2𝑦​​2)​ = 3​𝑥​​2​​𝑦​​2​

​​​(2𝑥 − 5)​​(2𝑥 + 5)​​​ = 4​​​𝑥​​​2​​​​ − 25 ​​​​(2𝑥 − 7)​2​​​​

= 4​​​𝑥​2​​​​ − 28𝑥 + 49 ​​​​(​𝑥​2​​– ​𝑦​​​ 2​​)2​​​​​ ​​​

= ​​​𝑥​​​4​​​ − 2​​𝑥​​​2​​​ 𝑦​2​​​​ + ​​𝑦​​4​​ ​​​​(3 − 𝑥)​2​​​​

= 9 − 6𝑥 + ​​​𝑥​2​ ​​​​(−𝑦 − 3)​2​​​​

= ​​​𝑦​2​​​​ + 6𝑦 + 9

Verskil van vierkante

Onthou: (2𝑥 – 7)²=(2𝑥 – 7)(2𝑥 – 7)

​​​(𝑥 + y)​​​ 2 = ​​(𝑥 + y)​​​​(𝑥 + y)​​ = ​​𝑥​​ 2​​ + 𝑥y + 𝑥y + ​​y​​ 2​​ = ​​𝑥​​ 2​​ + 2𝑥y + ​​y​​ 2​​ Dit is beslis nie ​​𝑥​​2​​ + ​​y​​ 2​​ nie