Graad 10 Handleiding 2/2 Wiskunde

Handleiding 2/2

10

Wiskunde

KABV

Wiskunde VOO-fase Graad 10 • Handleiding 2/2 home classroom college workplace

2210-A-MAM-SG02

9 781990

948473

Wiskunde Handleiding 2/2 – Graad 10

2210-A-MAM-SG02

9 781990

948473

Aangepas vir KABV

Prof. C Vermeulen, Hoofouteur P de Swardt H Otto M Sherman E van Heerden L Young

INHOUDSOPGAWE

10.6

10.7

10.8

Voorwoord....................................................................................................3 TEMA 9 ANALITIESE MEETKUNDE...............................................................9 9.1 Die afstandsformule...................................................................11

Oefening 9.1 Die afstandsformule..............................................13 9.2 Die middelpunt van ’n lynstuk................................................14

Oefening 9.2 Die middelpunt van ’n lynstuk..........................15 9.3 Die gradiënt (helling) van ’n lyn.............................................18

Oefening 9.3 Die gradiënt (helling) van ’n lyn.......................20 9.4 Punte op ’n reguit lyn (kollineêre of reglynige punte)....22

Oefening 9.4 Punte op ’n reguit lyn (kollineêre of

reglynige punte...................................................................................23 9.5 Die vergelyking van ’n reguit lyn ...........................................24

Oefening 9.5 Die vergelyking van ’n reguit lyn......................24

TEMA 11 STATISTIEK............................................................................................62 11.1 Gegroepeerde data......................................................................66

Oefening 11.1 Gegroepeerde data..............................................69 11.2 Maatstawwe van sentrale neiging in gegroepeerde data 71 11.2.1 Beraamde gemiddeld van gegroepeerde data.............................72 11.2.2 Beraamde mediaan van gegroepeerde data.................................72 11.2.3 Modale klas van gegroepeerde data................................................72

Oefening 11.2 Maatstawwe van sentrale neiging in gegroepeerde data.............................................................................75 11.3 Maatstawwe van verspreiding................................................77 11.3.1 Kwartiele.....................................................................................................77 11.3.2 Interkwartielomvang (IKO).................................................................78 11.3.3 Semi-interkwartielomvang .................................................................78 11.3.4 Persentiele..................................................................................................78 11.3.5 Uitskieters...................................................................................................78

Oefening 11.3 Maatstawwe van verspreiding.......................83 11.4 Die vyfgetalopsomming.............................................................84

Oefening 11.4 Die vyfgetalopsomming.....................................86 11.5 Ontleding van statistiese opsommings en grafieke ........88

TEMA 10 FINANSIES EN GROEI.......................................................................28 10.1 Rente................................................................................................30

Oefening 10.1 Vasvra........................................................................31 10.2 Enkelvoudige rente.....................................................................31

Oefening 10.2.......................................................................................33 10.3 Huurkoop.......................................................................................34

Oefening 10.3.......................................................................................37 10.4 Saamgestelde rente....................................................................39

Oefening 10.4.......................................................................................42 10.5 Tydlyne...........................................................................................42 © Optimi

Oefening 10.5.......................................................................................45 Vergelyking van finansiële situasies.....................................47 Oefening 10.6.......................................................................................49 Inflasie en bevolkingsgroei......................................................50 Oefening 10.7.......................................................................................54 Buitelandse wisselkoerse.........................................................55 Oefening 10.8.......................................................................................57

1

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Handleiding 2/2

14.4

14.5

Oefening 11.5 Ontleed statistiese opsommings en

grafieke...................................................................................................90 TEMA 12 TRIGONOMETRIE: PROBLEME IN TWEE DIMENSIES..........98 12.1 Probleme wat met hoogte- en dieptehoeke verband hou 100

Oefening 12.1 Probleme wat met hoogte- en dieptehoeke verband hou.........................................................................................102 12.2 Probleme wat met peiling (rigting) verband hou.............105

Oefening 12.2 Probleme wat met peiling (rigting)

verband hou.........................................................................................107

TEMA 13 EUKLIDIESE MEETKUNDE...............................................................112

Oefening 13.1.......................................................................................112

TEMA 14 METING...................................................................................................117 14.1 Hersiening: omtrek, oppervlakte, buiteoppervlakte en volume.............................................................................................121 14.1.1 Omtrek en oppervlakte.........................................................................121 14.1.2 Reëlmatige veelhoeke............................................................................121 14.1.3 Nette van 3D-vorms................................................................................121 14.1.4 Buiteoppervlakte en volume...............................................................122

Oefening 14.1 Hersiening: omtrek, oppervlakte, buiteoppervlakte en volume.........................................................122 14.2 Buiteoppervlakte en volume van keëls................................125

Oefening 14.2 Buiteoppervlakte en volume van keëls.......126 14.3 Buiteoppervlakte en volume van piramides......................127

Oefening 14.3 Buiteoppervlakte en volume van piramides..............................................................................................128

2

Buiteoppervlakte en volume van sfere................................130 Oefening 14.4 Buiteoppervlakte en volume van sfere.......131 Uitwerking op volume en buiteoppervlakte as enige afmeting met ’n konstante faktor ​k​vermenigvuldig word 133 Oefening 14.5 Uitwerking op volume en buiteoppervlakte as enige afmeting met ’n konstante faktor ​k​ vermenigvuldig word.......................................................................134

TEMA 15 WAARSKYNLIKHEID..........................................................................138 15.1 Teoretiese waarskynlikheid....................................................141 15.1.1 Terminologie..............................................................................................141 15.1.2 Hoe om waarskynlikheid uit te druk...............................................142 15.1.3 Definisie van waarskynlikheid...........................................................142

Oefening 15.1 Teoretiese waarskynlikheid............................144 15.2 Relatiewe frekwensie.................................................................144 15.2.1 Die verskil tussen relatiewe frekwensie en teoretiese waarskynlikheid.......................................................................................144 15.2.2 Definisie van relatiewe frekwensie..................................................145

Oefening 15.2 Relatiewe frekwensie.........................................145 15.3 Venn-diagramme.........................................................................147 15.3.1 Die gebruik van Venn-diagramme om gebeurtenisse voor te stel..................................................................................................................147 15.3.2 Vereniging en snyding...........................................................................147 15.3.3 Die gebruik van Venn-diagramme om waarskynlikheid te bepaal...........................................................................................................150

Oefening 15.3 Venn-diagramme..................................................152 15.4 Waarskynlikheidsidentiteite...................................................154 15.4.1 Die vereniging van twee gebeurtenisse.........................................154

15.4.2 Onderling uitsluitende gebeurtenisse............................................155 15.4.3 Komplementêre gebeurtenisse.........................................................156 15.4.4 Onderling uitputtende gebeurtenisse.............................................158

Oefening 15.4 Waarskynlikheidsidentiteite, onderling uitsluitende gebeurtenisse en komplementêre gebeurtenisse......................................................................................158

VOORWOORD In graad 10 is wiskunde vir die eerste keer ’n keusevak (teenoor wiskundige geletterdheid). Jy kies om verskillende redes wiskunde as vak, onder meer om jou voor te berei vir ’n studierigting waar graad 12-wiskunde ’n toelatingsvereiste is, of vir ’n beroep waarin ’n agtergrond in wiskunde voordelig is.

Vraestelle ......................................................................................................164 Formules ......................................................................................................176 Euklidiese meetkunde: aanvaarbare redes.......................................179 Woordelys......................................................................................................182

Anders as in graad 1 tot 9 behels wiskunde in graad 10 tot 12 in die algemeen meer abstrakte begrippe en ingewikkelder prosedures. Om wiskunde in graad 10 tot 12 te bemeester, verg meer tyd, toewyding, kritiese denke en besinning as in graad 1 tot 9.

Hierdie produk bestaan uit twee handleidings en twee fasiliteerdersgidse wat op die konsepte van Optimi se GuidED Learning™-leermodel gebaseer is om jou te help om suksesvol te wees in jou studie van wiskunde. Dit dek al die werk vir graad 10-wiskunde en is in ooreenstemming met die KABV-riglyne soos opgestel deur die Departement van Basiese Onderwys vereis word.

Die handleidings word aanlyn deur aanvullende lesstrukture op die Optimi Learning Platform (OLP) ondersteun. Dit bied deurlopende begeleiding om jou leerproses te ondersteun en te verryk. Hierdie begeleiding is gebaseer op die jongste insigte in opvoedkunde, kognitiewe sielkunde en neurowetenskap. Let daarop dat die handleidings wel onafhanklik van die OLP gebruik kan word.

Die handleidings en fasiliteerdergidse is in 15 temas verdeel. Die temas stem inhoudelik en tydsgewys ooreen met die KABV-riglyne en verteenwoordig die jaarplan. Handleiding 1/2 en fasiliteerdergids 1/2 dek tema 1 tot 8 (kwartaal 1 en 2) en handleiding 2/2 en fasiliteerdergids 2/2 dek tema 9 tot 15 (kwartaal 3 en 4). © Optimi

3

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Handleiding 2/2

Kwartaal

1

(11 weke)

2

(11 weke)

3

(10 weke)

Getal weke

3

1. Algebraïese uitdrukkings

2

3. Getalpatrone

2 2 3 4 1 3 3

(10 weke) 4

2. Eksponente

4. Vergelykings en ongelykhede 5. Trigonometrie 6. Funksies

7. Trigonometriese funksies 8. Euklidiese meetkunde

2 4 4

Werkopdrag of toets

Toets

11. Statistiek

1

Toets

10. Finansies en groei

2 2

Ondersoek of projek

Junie-eksamen

9. Analitiese meetkunde

2

Assessering*

Oefenvraestelle is in die handleiding ingesluit.

2

1 4

Tema

12. Probleme in twee dimensies 13. Euklidiese meetkunde 14. Meting

15. Waarskynlikheid Hersiening

Oefenvraestelle is in die handleiding ingesluit.

Toets Toets

Eindjaareksamen

* Jy sal die nuutste en volledigste inligting oor assessering in die portefeuljeboek en assesseringsplan vind.

so belangrik. Werkgeheue is anders as langtermyngeheue en het ’n beperkte kapasiteit. Dit beteken dat ’n mens se werkgeheue net ’n klein bietjie nuwe inligting op ’n slag kan hanteer.

Tydsindeling

Wanneer ’n mens wiskunde leer, is daar baie nuwe inligting wat jou brein moet verwerk en daarom kan dit maklik jou werkgeheue uitput. Hierdie handleidings is só geskryf en saamgestel dat dit nie die werkgeheue ooreis nie en dus die leer van wiskunde vergemaklik.

Volgens die KABV-voorskrifte behoort daar minstens 4,5 uur per week aan wiskunde-onderrig bestee te word. Daar sal byvoorbeeld 13,5 uur (drie weke × 4,5 uur per week) aan die onderrig van Tema 1 (algebraïese uitdrukkings) bestee word. Temas word nie onderverdeel in lesse nie; dit staan jou en jou fasiliteerder vry om soveel inhoud per sessie en per week af te handel as wat jou vordering toelaat. As jy stadiger werk, moet die nodige aanpassings gedoen word sodat jy nog steeds al die werk betyds kan bemeester.

Elke tema het dieselfde struktuur om dit vir jou makliker te maak om daardeur te werk. Die struktuur is soos volg:

Inleiding

Let op dat die onderrigtyd waarna ons hier bo verwys, nie die tyd insluit waartydens jy die kennis en begrippe wat jy geleer het, moet toepas en inoefen nie. Vir hierdie doel is daar verskeie oefeninge deur elke tema versprei. Hierdie oefeninge behels verskillende maniere om nuwe kennis toe te pas en in te oefen en dek verskillende moeilikheidsgrade.

Jy moet probeer om al hierdie oefeninge te doen. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse gegee.

Waaroor die tema gaan Dit sê kortliks vir jou waaroor die tema gaan sonder om detail te gee of “moeilike” of onbekende begrippe te gebruik. ’n Volledige lys van die leeruitkomste wat jy in ’n bepaalde tema moet bemeester, word as opsomming aan die einde van die tema gegee.

Die leeraktiwiteite wat as deel van die OLP se lesstrukture beskikbaar is, behels verskillende formate en vlakke van interaksie. Die hulpbronne ondersteun nie net die leerproses nie, maar bied jou ook die geleentheid om nuwe kennis in te oefen.

Voorafkennis

Hierdie afdeling sê vir jou watter bestaande kennis jy nodig het om die betrokke tema te bemeester.

Wenk: Hoe meer oefeninge jy doen, hoe groter is die kans dat jy sukses gaan behaal in wiskunde.

Struktuur van temas Leer is ’n ingewikkelde proses. Miljoene breinselle en senuweebane in ons brein werk saam om nuwe inligting in die langtermyngeheue te stoor sodat ons dit later kan onthou. Langtermyngeheue is nie ons enigste soort geheue nie en wanneer ons leer, is ons werkgeheue net

© Optimi

5

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Handleiding 2/2

Oefeninge

Hersiening Dit kan een van die volgende behels:

Die oefeninge gee jou die geleentheid om die begrippe en prosedures wat behandel is, in te oefen. Dit is belangrik dat jy al die oefeninge probeer voltooi. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse verskaf.

1. hersiening van die begrippe, definisies en prosedures wat as voorafkennis vereis word, 2. ’n oefening of aktiwiteit met oplossings sodat jy self jou voorafkennis kan toets, of 3. ’n kombinasie hiervan.

Vrae vorder gewoonlik van maklik (om basiese begrippe en prosedures te bemeester en in te oefen) na moeilik (ingewikkelder bewerkings).

Gemengde oefeninge kan ook voorkom, waar jy die geleentheid kry om verskillende begrippe en prosedures in te oefen en met vorige temas te integreer.

Moenie hierdie hersiening afskeep nie. Dit is belangrik om deeglik daardeur te werk. Wiskundige konsepte volg dikwels op mekaar en as basiese kennis ontbreek of nie goed genoeg bemeester word nie, sal dit die vorming van nuwe kennis bemoeilik.

Opsomming van tema

Ná die inleidende deel van die tema word nuwe kennis in subtemas behandel. Elke subtema het die volgende struktuur:

Hier sien jy ’n opsomming van wat jy in die tema moes bemeester het.

Dit word in meer formele wiskundige taal uitgedruk om by die KABV (die kurrikulumverklaring) aan te sluit.

SUBTEMA

Inleiding

Oefening om die tema af te sluit

Nuwe begrippe en prosedures word verduidelik. Relevante voorafkennis word ook hier behandel indien nodig.

Dit is ’n gemengde oefening oor alle begrippe en prosedures wat in die tema behandel word, waar hierdie werk ook met vorige werk geïntegreer kan word. Die moeilikheidsgraad van hierdie oefening wissel. Dit is belangrik dat jy probeer om al die oefeninge te voltooi.

Volledige oplossings verskyn in die fasiliteerdersgids.

Uitgewerkte voorbeelde

Uitgewerkte voorbeelde wys jou hoe die nuwe begrippe en prosedures toegepas word en help jou om die begrippe en prosedures wat behandel is, beter te verstaan en toe te pas.

6

Gemengde oefeninge soos dié in hierdie handleiding is ’n baie belangrike komponent daarvan om wiskunde te bemeester. Daar is ’n groot verskil tussen die vermoë om jou werk te herken en om dit te herroep. Wanneer jy jou werk kan herken, sê jy dikwels “O, ja!” maar jy sukkel om dit te

onthou wanneer jy eksamen skryf. Wanneer jy jou werk kan herroep, beteken dit dat jy daardie kennis in jou langtermyngeheue vasgelê het en dit kan onthou en gebruik. Gemengde oefeninge stel jou in staat om nie net die werk te herken nie, maar om dit ook uit jou langtermyngeheue te herroep.

Selfevaluering In elke tema, en gewoonlik ná elke subtema, is daar ’n aktiwiteit waar jy krities moet nadink oor die mate waarin jy sekere begrippe en prosedures bemeester het. Hierdie aktiwiteit verskyn in die volgende formaat: Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die tabel wat volg, is: 1. Help!! Ek is glad nie gemaklik met die onderwerp nie, ek het hulp nodig.

2. Alarm! Ek is nie gemaklik nie, maar ek het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.

3. OK! Ek is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.

4. Sharp! Ek is gemaklik met die onderwerp.

5. Whoohoo, dis partytjietyd!! Ek is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs meer ingewikkelde vrae hieroor beantwoord.

Wanneer jy dieselfde soort som of probleem oor en oor oefen, raak jy dikwels lui en dink jy nie meer na oor die oefening nie. Jy is oortuig daarvan dat jy presies weet watter soort som of probleem jy moet oplos.

Maar in ’n toets of eksamen is al hierdie somme deurmekaar, en dan is dit soms moeilik om te weet wat om te doen. Wanneer gemengde oefeninge deel vorm van jou leerproses, leer jy om ’n som of probleem reg te identifiseer én reg te voltooi. Dit beteken dat jy werklik voorbereid is vir toetse of eksamens, want jy kan die werk herroep en nie net herken nie.

Voltooi nou die volgende tabel.

Onderwerp

1

2

3

4

5

Wenk: Voltooi elke selfevaluering so eerlik as moontlik. As daar aspekte is wat jy nie onder die knie het nie, gaan kyk weer daarna en maak seker dat jy dit wel bemeester. Vra die fasiliteerder vir hulp. Dit is belangrik om nie na ’n volgende tema of subtema aan te beweeg voordat jy die betrokke onderwerp bemeester het nie, selfs al beteken dit dat jy meer tyd aan ’n sekere tema bestee as wat die KABV aanbeveel. © Optimi

7

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Handleiding 2/2

Eksamenvraestelle

Aanvullende boeke

Besoek Impaq se aanlynplatform vir die assesseringsplan en volledige inligting oor die samestelling en puntetelling van toetse, take en eksamens.

Enige ander boeke kan aanvullend tot hierdie handleiding gebruik word vir bykomende oefeninge en verduidelikings, insluitend: • Maths 4 Africa, beskikbaar by www.maths4africa.co.za • Die Siyavula-handboek, gratis aanlyn beskikbaar by www.siyavula. com • Pythagoras, beskikbaar by www.fisichem.co.za.

Wenk: Maak seker dat jy weet watter temas in watter vraestel gedek word. Die samestelling van die eksamens is onderhewig aan verandering.

Verwys altyd na die portefeuljeboek en assessseringsplan vir die nuutste inligting oor die samestelling van die eksamens.

Vraestel 1

Algebraïese uitdrukkings, vergelykings en ongelykhede, eksponente (Tema 1, 2 en 4) Getalpatrone (Tema 3)

Funksies en grafieke (Tema 6) Finansies en groei (Tema 10) Waarskynlikheid (Tema 15)

Wenk: Gebruik aanvullende hulpbronne vir verdere verduidelikings, voorbeelde en veral ekstra oefeninge.

Vraestel 2

Euklidiese meetkunde en meting (Tema 8, 13 en 14)

Sakrekenaar Die CASIO fx-82ES (Plus) of CASIO fx-82ZA word aanbeveel. Enige wetenskaplike, nie-programmeerbare en nie-grafiese sakrekenaar is egter geskik.

Analitiese meetkunde (Tema 9) Trigonometrie (Tema 5 en 7) Statistiek (Tema 11)

Let op:

• Geen grafiese of programmeerbare sakrekenaars word toegelaat nie (om byvoorbeeld te faktoriseer of die wortels van vergelykings te bepaal). Sakrekenaars moet net gebruik word om standaardnumeriese berekeninge te doen en om berekeninge wat met die hand gedoen is, te kontroleer.

• Formuleblaaie word nie in graad 10 tydens toetse en finale eksamens voorsien nie.

8

TEMA 9

Waaroor gaan analitiese meetkunde?

Analitiese meetkunde word ook koördinaatmeetkunde genoem en was vroeër bekend as Cartesiese meetkunde.

ANALITIESE MEETKUNDE

Dit is die studie van meetkunde deur die beginsels van algebra en die Cartesiese koördinaatstelsel te gebruik. Dit het te doen met die definisie van meetkundige figure op ’n numeriese wyse (met getalle) en die bepaling van numeriese inligting wanneer diagramme in die Cartesiese vlak gegee word.

Inleiding Waaroor hierdie tema gaan

Die ontwikkeling van analitiese meetkunde word soms as die begin van moderne wiskunde beskou.

In hierdie tema gaan jy leer om: • • • • •

die afstand tussen twee punte in die Cartesiese vlak te bepaal die middelpunt van ’n lynsegment te bepaal die gradiënt van ’n lyn te bepaal die vergelyking van ’n lyn te bepaal die vergelykings van ewewydige en loodregte lyne te bepaal en vas te stel of lyne ewewydig of loodreg is • met kollineêre punte (punte wat op dieselfde lyn lê) te werk • al hierdie kennis in gemengde oefeninge toe te pas.

Agtergrond

As ons die koördinate van die hoekpunte van ’n figuur het, kan ons die figuur in die Cartesiese vlak teken.

In die diagram hier onder is ​L ​ ​(​​− 5; − 2​)​​​​, ​​M​(​​− 1; − 6​)​​​​ en K ​​ ​(​​5; 4​)​​​​ byvoorbeeld die hoekpunte van ​∆ KLM​in die Cartesiese vlak.

Voorafkennis

Om hierdie tema te bemeester, moet jy reeds:

• kennis hê van die Cartesiese vlak en weet dat dit uit vier kwadrante bestaan • kennis hê van koördinaatpunte, byvoorbeeld (3; 5), waar die eerste koördinaat (3) altyd die x​ ​-koördinaat is, en die tweede koördinaat (5) altyd die y​ ​-koördinaat • weet dat die gradiënt of helling van ’n lyn verwys na die steilheid van die lyn, en dat dit gedefinieer word as: y – y die verandering in die y-waarde tussen 2 punte op die lyn ___________ ​​

​​ = ​​_ 2 1 ​​ die verandering in die x-waardes tussen dieselfde 2 punte op die lyn x2 – x1

• die eienskappe van driehoeke en vierhoeke ken.

© Optimi

9

G10 – Wiskunde

Tema 9: Analitiese meetkunde

G10 – Wiskunde – Handleiding 2/2

In die volgende figuur word die punt ​​​(​​0; 0​)​​​​ aangedui, wat die oorsprong is. Die punt ​​P​(​​3; 5​)​​​​ word ook gegee.

die verandering in die y-waardes tussen 2 punte op die lyn

​Gradiënt = ___________________________________________________________________ ​

​​ die verandering in die x-waardes tussen dieselfde 2 punte op die lyn ​y​ ​​ − ​y​ ​​

2 1 ​= ​ _ ​x​ ​​ − ​x ​ ​​​​

y

10

II

–10

III

5

–5

P(3 ; 5)

x 5

–5 –10

2

(0 ; 0) oorsprong

1

1 − 3 ​= _ ​ − 8 − 0

​​ − 4 ​= _ ​ 8 ​​ 1 ​= − _ ​ 2 ​​

I

10

IV

Hersieningsoefening

Die gradiënt (helling) van die lyn vanaf ​​​(​​0; 0​)​​​​ tot by (​​​ ​​3; 5​)​​​​

Beskou die figuur en beantwoord die vrae wat volg.

die verandering in die y-waardes tussen 2 punte op die lyn ​= ___________________________________________________________________ ​

​​ die verandering in die x-waardes tussen dieselfde 2 punte op die lyn ​y ​ ​​ − ​y ​ ​​ ​= _ ​ ​x2 ​ ​​ − ​x ​1 ​​ ​​ 2 1

​= _ ​ 5 − 0 ​​ 3 − 0 5 ​= _ ​ 3 ​​

Kom ons bereken die gradiënt van die lyn in die volgende figuur:

1. Skryf die koördinate van A, B, C en D neer.

2. Bereken die gradiënte van AD en BC. Wat merk jy op?

3. Bereken die gradiënte van AB en DC. Wat merk jy op?

10

4. Watter soort figuur is ABCD? Gee ’n rede vir jou antwoord.

9.1 DIE AFSTANDSFORMULE

ONTHOU Die volgorde van die letters waarmee ons ’n figuur benoem, is belangrik.

In die diagram hier onder word twee punte gegee: (–3; –1) en (2; 3). Ons wil die afstand tussen hulle bepaal.

Die naam ABCD sê vir ons dat ons van punt A na punt B beweeg, van B na punt C, van C na punt D en dan weer terug na punt A om figuur ABCD te vorm.

Om die afstand tussen die punte (–3; –1) en (2; 3) te bepaal, gaan ons ’n punt vertikaal onder (2; 3) en horisontaal regs van (–3; –1) invoeg.

Hierdie nuwe punt is dus (2; –1). As ons die drie punte verbind, vorm dit ’n reghoekige driehoek met die 90​°​–hoek by die nuwe punt.

Memorandum

Om die afstand tussen (–3; –1) en (2; 3) te bereken, gebruik ons Pythagoras se stelling.

1. A(-1; 3), B(2; -1), C(8; 1), D(5; 5)

5 – 3 2. Gradiënt van AD = ​​_ 5 – ( – 1)

​​ = ​​_ 26 ​​ = ​​_ 13 ​​​​​​ ​​ 1 – ( – 1)

Gradiënt van BC = ​​_ 8 – 2

​​ = ​​_ 26 ​​ = ​​_ 31 ​​

Die gradiënte (hellings) is gelyk.

– 1 – 3 3. Gradiënt van AB = ​​ _

​​ = ​​_ –4 ​​​​ ​​ 2 – ( – 1) 3 –4 1 – 5 _ Gradiënt van DC = ​​ _

8 – 5 ​​ = ​​ 3 ​​ ​​ ​​

Die gradiënte (hellings) is gelyk.

Die vertikale sy se lengte is (3 –(–1)) = 4 eenhede en die horisontale sy se lengte is (2– (–3)) = 5 eenhede.

4. Dit is ’n parallelogram, want albei pare teenoorstaande sye is ewewydig.

(afstand)² = (3 –(–1))² + (2 – (– 3))²

Pythagoras

= 4² + 5² = 16 + 25 = 41

_

© Optimi

11

​∴​ afstand = ​​√ 41 ​​

G10 – Wiskunde

Tema 9: Analitiese meetkunde

G10 – Wiskunde – Handleiding 2/2

=Ons kan hierdie berekening veralgemeen en by ’n formule uitkom.

(Onthou, ’n formule is bloot die veralgemening van ’n spesifieke geval.)

Oplossing Laat A(–5 ; –2) = (𝑥1 ; 𝑦1) en B(3 ; 4) = (𝑥2 ; 𝑦2) __________________________

AB = ​​√ ​​(𝑥2 – 𝑥1 )​​​ 2​ + ​​(𝑦2– 𝑦1 )​​​ 2​ ​​

ONTHOU

_________________________

= ​​√ (3–(–5))2 + (4–(–2))2 ​​

Formule vir die afstand tussen twee punte, A (x1; y1) en B (x2; y2), is:

_____________

= ​​√ (8)2 + (6)2 ​​

______________

d(AB) = ​√ ​

(x2 – x1)2​ + ​(y2 – y1)2​ ​​

_

= ​​√ 100 ​​

= 10 eenhede

Uitgewerkte voorbeeld 1

Uitgewerkte voorbeeld 2

Die afstand tussen A(​​x; 4​)​​​​en B(2; 1) is 5 eenhede. Bepaal die waarde van ​x.​ Oplossing

________________________

AB = ​​√ (𝑥2– 𝑥1 )2+ (𝑦2– 𝑦1 )2 ​​ ___________________

5 = ​​√ (2 – 𝑥)2 + (1 – 4)2 ​​ _________________

5 = ​​√ 4 – 4𝑥 + 𝑥²+ 9 ​​ ______________

5 = ​​√ 𝑥²– 4𝑥 + 13 ​​

25 = 𝑥²– 4𝑥 + 13 0 = 𝑥2 – 4𝑥 – 12

Bepaal die afstand tussen A en B.

0 = (𝑥 – 6)(𝑥 + 2) 12

𝑥 = 6 of 𝑥 = –2

Die koördinate van A kan dus (6; 4) of (–2; 4) wees.

3.

Daar is twee antwoorde, want daar is twee moontlike posisies vir A. Dit word in die onderstaande skets aangedui.

Bereken die lengtes van die lynstukke in die volgende skets.

Los jou antwoorde in die eenvoudigste wortelvorm. y-as

B(–1 ; 7)

E(3 ; 9)

F(–1 ; 1) C(–1 ; –1) D(–2 ; –3)

4.

x-as

A(4 ; –2)

Die punt B(​b​; –3) is 5 eenhede vanaf die oorsprong.

Bepaal die waarde van ​b​.

Let op die verskil tussen B en​ b​.

Die hoofletter (B) dui die punt aan, en die kleinletter (​b​) dui ’n koördinaat aan (in hierdie geval die ​x​-koördinaat).

Belangrik Voordat jy ’n probleem in analitiese meetkunde begin oplos, teken eers ’n skets waarop jy die gegewe inligting aandui. So ’n skets help jou om die inligting korrek te gebruik en ook om seker te maak dat jou antwoord reg is.

5.

6.

Oefening 9.1 Die afstandsformule

1.

2. © Optimi

Teken die punte C(–4; 1) en D(3; –4) op ’n assestelsel en bereken die afstand van C na D.

13

Bereken die waarde van ​m​. Dui jou antwoord op ’n skets aan.

A(–1;–1) is ewe ver van M(0; 2) en P(​p​; –2).

Bepaal die waarde van​ p​en dui jou antwoord ook op ’n skets aan.

Bereken die waarde van ​q​.

7.

Teken die punte A(–1; 4) en B(7; –2) op ’n assestelsel en bereken die afstand van A na B.

_

Gegee: A(–7; ​m​), B(–3; 4) en AB = 4​​√ 5 ​​.

’n Sirkel met die oorsprong as middelpunt word gegee.

A(3; 4) en B(-4; q ​ ​) is punte op die omtrek van die sirkel.

G10 – Wiskunde

Tema 9: Analitiese meetkunde

G10 – Wiskunde – Handleiding 2/2

9.2 DIE MIDDELPUNT VAN ’N LYNSTUK

y-as A(3 ; 4)

B(–4 ; q)

In die diagram hier onder is C(x; y) die middelpunt van lynstuk AB, met A(x1; y1) en B(x2; y2).

x-as

8.

Gegee: P(2; –3), M(–2; 1) en N(𝑥; –7). N is ewe ver van P en M. Teken ’n skets om die gegewe inligting voor te stel. Bepaal dan die waarde van 𝑥 en dui jou antwoord op die skets aan.

10.

A(0; 0), B( √ ​​ 3 ​​​​; 1) en C(​​√ 3 ​​; –1) is die hoekpunte van ’n driehoek.

Toon deur berekeninge aan dat ΔABC gelyksydig is.

9.

11.

12.

12.1

12.2

A(0 ; 0), B​​ (p ; q)​​ en C​​(–q ; p)​​is die hoekpunte van ’n driehoek. Toon deur berekeninge aan dat ∆ABC gelykbenig en reghoekig is. _

_

Die x​ ​-koördinaat van C is presies halfpad tussen x​ ​1 en ​x​2 op die x​ ​-as. y + y

1 Netso is y​ ​ se waarde ​​ _ 2 ​​ ​​ .

2

’n Parallelogram met hoekpunte A(–2; 2), B(3; 2), C(1; –2) en D(–4; ​p​) word gegee. Bereken die waarde van ​p​.

Hieruit volg:

_

’n Sirkel met middelpunt M(–2; 1) en radius ​​√ 13 ​​ eenhede word gegee.

Die formule vir die middelpunt, C, van 'n lynstuk tussen twee punte, A(x1; y1) en B(x2; y2), is:

Bewys dat die sirkel deur die punte A(–5; 3) en B(1; 3) gaan.

Bereken die omtrek en oppervlakte van hierdie sirkel as die eenhede in sentimeter is. Rond jou antwoorde af tot die naaste heelgetal.

x + x

1 Die waarde van C se x​ ​-koördinaat is dus ​​ _ 2 ​​ ​​. Dit is die gemiddelde 2 waarde van ​x​1 en ​x​2.

​ 1 2 2 ​ ; ​_ 1 2 2 ​ )​​ CAB = ​​(_ x + x

y + y

Die woord "middelpunt" dui aan dat 'n lynstuk gehalveer word.

14

1 2 M ​​(–2 ; 1)​​ = ​​[_ ​ 1 2 ​ 2 ; ​ _ ​

​​​​ 2 ]

Uitgewerkte voorbeeld 3

∴ –2 = _ ​​ a – 6 ​​

2

Bepaal die middelpunt van die lynstuk tussen ​A​(2; 5)​​ en ​​B​(​​− 8; − 1)​ ​​​​ en toon jou antwoord op ’n skets. ​​M​ AB​​​ = ​​(​ 2 ​; ​ 2 ) ​ ​​

2 + (–8) ______ 5 + (–1) ​; ​ 2 ​ ​​ = ​​(______ ​ 2 )

∴

______ ​ ; ​ 4 ______ ​ ​​ = ​​(​ –6 2 2)

= ​(​ –3 ; 2)​​

B(–8 ; –1)

1=_ ​​ b + 8 ​​

2

en

∴2=b+8

a = 2

∴b=–6

∴ B​​(2 ; –6)​​

y-as M(–3 ; 2)

y + y

∴ – 4 = a – 6

Oplossing

​𝑥​ 1​​ + ​𝑥​ 2​​ ______ ​𝑦​ 1​​ + ​𝑦​ 2​​ ______

x + x

A(2 ; 5)

Oefening 9.2 Die middelpunt van ’n lynstuk x-as

1.

Beskou die skets hier onder. Bepaal die koördinate van die middelpunt van elk van die volgende lynstukke: AB, CD, EF en EH. y-as

Uitgewerkte voorbeeld 4

C(–4 ; 5)

As M ​ ​(− 2; 1)​​die middelpunt van die lynstuk tussen ​​A​(​​−6; 8​)​​​​ en B ​​ ​(​​a; b​)​​​​ is, bepaal die koördinate van ​B​.

A(–3 ; 9)

Oplossing

A(–6 ; 8)

y-as

D(d ; –4)

M(–2 ; 1)

F(5 ; m) E(g ; k)

x-as B(11 ; –3) H(a ; b)

x-as B(a ; b)

© Optimi

15

G10 – Wiskunde

Tema 9: Analitiese meetkunde

G10 – Wiskunde – Handleiding 2/2

2.

Gegee: Reghoek ABCD met A(–6; 2), B(–5; –2), C(5; 2) en

D(4; 6). Verder is AE = ED.

E

A(–6 ; 2)

2.1

y-as

B(–5 ; –2)

M(–6 ; 3)

x-as

5.

Toon aan dat die middelpunt van BC = Q(0; 0).

Bepaal nou die koördinate van E, die middelpunt van AD.

2.4

Is die volgende stelling waar?

A(–13 ; 5)

C(5 ; 2)

Q

“As die middelpunte van ’n paar teenoorstaande sye van ’n reghoek verbind word, word twee reghoeke verkry wat kongruent is.”

C(5 ; 8)

N(r ; s)

B(p ; q)

x-as

Vierkant PQSR word gegee. y-as

P(–1 ; 4)

Bewys dat AB = EQ = DC.

Q(4 ; 4) x-as

Gee redes vir jou antwoord.

5.1

(Wenk: Om te bewys dat twee reghoeke kongruent is, moet jy bewys dat die ooreenstemmende sye ewe lank is én dat die ooreenstemmende hoeke ewe groot is.)

3.

Gegee: M is die middelpunt van AB en N is die middelpunt van BC. Bepaal die koördinate van N. y-as

D(4 ; 6)

2.2 2.3

4.

5.2

As M(–3; –2) die middelpunt van A(–8; –5) en B(​p​; q ​ ​) is, bereken die waardes van ​p​en ​q​.

16

R(a ; b)

S(c ; d)

Wat is die waardes van a ​ ​, ​b​, ​c​en ​d​in die koördinate van R en S? Dui die koördinate van R en S op die skets aan.

Toon nou aan dat die hoeklyne van ’n vierkant mekaar halveer deur die middelpuntsformule te gebruik.

6.

Beskou driehoek ABC hier onder. y-as

7.

A(3 ; 8)

Ruit ABCD word gegee. y-as

A(1 ; 8) x-as

B(–7 ; –2)

6.1 6.2

B

C(9 ; –6)

Teken die skets oor, doen die nodige berekeninge en trek al drie swaartelyne van die gegewe driehoek op die skets.

7.1 7.2

Dui die swaartepunt van die driehoek op die skets aan.

Wenk: ’n Swaartelyn verbind ’n hoekpunt met die middelpunt van die sy teenoor daardie hoekpunt. Die punt waar die drie swaartelyne mekaar sny, word die swaartepunt (of sentroïed) van die driehoek genoem.

D

x-as

C(3 ; –8)

Toon aan dat die snypunt van die hoeklyne op die 𝑥-as lê.

Bepaal die lengte van AC afgerond tot twee desimale plekke.

Voorbeeld:

© Optimi

17

G10 – Wiskunde

Tema 9: Analitiese meetkunde

G10 – Wiskunde – Handleiding 2/2

9.3 DIE GRADIËNT (HELLING) VAN ’N LYN

Selfevaluering

Die gradiënt of helling van ’n lyn verwys na die steilheid van die lyn.

Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die tabel wat volg, is: 1. Help!! Ek is glad nie gemaklik met die onderwerp nie, ek het hulp nodig.

2. Alarm! Ek is nie gemaklik nie, maar ek het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.

3. OK! Ek is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.

4. Sharp! Ek is gemaklik met die onderwerp.

5. Whoohoo, dis partytjietyd!! Ek is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs meer ingewikkelde vrae hieroor beantwoord.

Voltooi nou die volgende tabel.

Onderwerp

1

2

3

4

Ons het dit vroeër gedefinieer as:

die verandering in die y-waardes tussen 2 punte op die lyn ___________________________________________________________________ ​die verandering in die x-waardes tussen dieselfde 2 punte op die lyn ​

​​

Dit kan ook gedefinieer word as:

die vertikale verskil tussen 2 punte op ’n lyn _______________________________________________ ​​

​​ die horisontale verskil tussen dieselfde 2 punte

Die formule vir die gradiënt van ’n lyn wat die twee punte ​y2​ ​​− ​y1​ ​​ ​A​(​x1​ ​​; ​y1​ ​​)​​en ​​B​(​​ ​x2​ ​​; ​y2​ ​​​)​​​​verbind, is: ​m = ​ _ ​​ ​x​ ​​− ​x​ ​​ 2

5

y2 – y1 beteken "die verandering van 𝑦".

Ons kan dit ook skryf as ∆y (delta 𝑦)

Ek verstaan hoe die afstandsformule afgelei is.

Ek kan die afstandsformule gebruik om die afstand tussen twee gegewe punte (d.w.s. die lengte van ’n lynstuk) op die Cartesiese vlak te bepaal.

y-as

B(x2 ; y2)

(y2 – y1)

Ek kan die afstandsformule gebruik om pro– bleme in analitiese meetkunde op te los.

x-as

Ek verstaan hoe die formule vir die middelpunt van ’n lynstuk afgelei is.

A(x1 ; y1)

Ek kan die formule vir die middelpunt van ’n lynstuk gebruik om die middelpunt van ’n lynstuk op die Cartesiese vlak te bepaal.

Ek kan die formule vir die middelpunt van ’n lynstuk gebruik om probleme in analitiese meetkunde op te los.

1

(x2 – x1)

C(x₂ ; y₁)

𝑥2 – 𝑥1 beteken "die verandering in 𝑥".

Ons kan dit ook skryf as ∆𝑥 (delta 𝑥) 18

Let op: Die volgorde waarin die x​ ​- en ​y​-koördinate van mekaar afgetrek word, is belangrik: y – y

Die gradiënt van ’n vertikale lyn is ongedefinieer, want daar is geen horisontale verandering in die gradiënt van die lyn nie:

y – y

verandering in y

2 1 1 2 ​​ of m = ​​ _ ​​ Korrek: m = ​​ _ x – x x – x 2

1

y – y

1

2

2

1

y – y

2 1 1 2 Verkeerd: m = ​​ _ ​​ of m = ​​ _ ​​ x – x x – x 1

2

Beskou die onderstaande skets: y=3

Bepaal die helling en middelpunt van die lynstuk wat ​​A​(​​4; 1​)​​​​ en ​​B​(​​−8; 4​)​​​​ verbind. ​𝑦​ 2​​ – ​𝑦​ 1​​ ​​m​ AB​​​ = ​​ _______ ​​ ​𝑥​ 2​​ – ​𝑥​ 1 ​​ 4 – 1 ​ = ​_ ​ –8 – 4 ​ 3 = ​_ ​ –12 ​ ​ = ​​_ –1 4 ​​

Middelpunt

1 2 M(𝑥 ; 𝑦) = ​​(______ ​ 1 2 2 ​ ; ​ ______ ​) ​​ 2

​𝑥​ ​​ + ​𝑥​ ​​ ​𝑦​ ​​ + ​𝑦​ ​​

3

–4

= ​​(_ ​ 2 ​; _ ​ 1 + 4 ​ ​​ 2 ) 4 + (–8)

1 ​ ​​ = ​​(–2 ; 2​ _ 2 )

Oral op hierdie horisontale lyn is die y-waarde 3. x-as

Oral op hierdie vertikale lyn is die x-waarde – 4.

In die skets sien ons:

Horisontale en vertikale lyne

• Punte wat presies langs mekaar op ’n horisontale lyn lê, se y-koördinate is gelyk.

• Punte wat presies onder mekaar op ’n vertikale lyn lê, se x-koördinate ​​is gelyk.

’n Lyn wat ewewydig is aan die ​x​-as word ’n horisontale lyn genoem.

Die gradiënt van ’n horisontale lyn is nul, want daar is geen vertikale verandering in die gradiënt van die lyn nie:

Let op: Ewewydige lyne se gradiënte is gelyk: ​​m1​ ​​= ​m2​ ​​​ Loodregte lyne se gradiënte: ​m ​ 1​ ​​× ​m2​ ​​ = − 1​

verandering in y

0 ​m = ​_________________ verandering in x

​ = ​_________________ verandering in x

​ = 0​

’n Lyn wat ewewydig is aan die ​y​-as word ’n vertikale lyn genoem. © Optimi

y-as

x=–4

Uitgewerkte voorbeeld 5

Helling

verandering in y

​m = ​_________________ verandering in x

​ = ​_________________

​ = ongedefinieer​

0

19

G10 – Wiskunde

Tema 9: Analitiese meetkunde

G10 – Wiskunde – Handleiding 2/2

3.

Oefening 9.3 Die gradiënt (helling) van ’n lyn 1.

Beskou die gegewe lynstukke:

In die skets is AB ⊥ CD en PQ ⊥ RS. Die punte A(–14; 5), B(2; 1), R(5; –2) en S(–4; –6) word gegee. Bepaal die gradiënte van CD en PQ. y-as

D

A(–14 ; 5)

C

1.1 1.2 2.

Bepaal al die onbekende koördinate en dui dit op die skets aan.

Beskou die gegewe skets: A(a ; 5)

B(b ; 3) –2

C(m ; n) D(d ; –4)

–1

P(x ; y)

E(1 ; e)

5

Bereken die waarde van ​a​.

Die punte ​A ​ (​ ​​–5 ; –1)​ ​​​​en ​​B(​ ​​–3; a)​ ​​​​vorm lynstuk ​AB​en die punte ​​C​(​​–4; –3​)​​ ​​en ​​D​(​​–1; 3​)​​​​vorm lynstuk ​CD​.

Indien AB​ ⊥ ​CD met A(–5; 2), B(​b​; –1), C(–4; –3) en D(–1; 3), bereken die waarde van​ b​.

C(–4 ; –3)

x-as

F(k ; h)

A(–5 ; 2)

Q(r ; s)

Bepaal die waardes van die koördinate wat deur die letters ​ a​tot ​s​aangedui word.

20

P

Lynstuk ​AB​en ​CD​word gegee, met ​AB ∥ CD​.

5.

y-as

S(–4 ; –6)

x-as R(5 ; –2)

4.

Bepaal nou elke lynstuk se gradiënt.

Q

B(2 ; 1)

D(–1 ; 3)

B(b ; –1)