Nalle Puh
Matematiikka kielenä
Omana kouluaikanani, kun siirryttiin lukioon, oli ainakin pienemmissä maalaiskouluissa yleensä valittavissa joko matematiikka- tai kielipainotteinen suuntautuminen. Valinta merkitsi käytännössä myös reaaliaineiden valitsemista valitun suunnan mukaisesti, luonnontieteisiin tai humanistisiin aineisiin painottuen, koulun kulloisestakin tarjonnasta riippuen. Historia, kirkkohistoria, biologia, psykologia kuuluivat lähes kaikkien ohjelmaan
Valinta pitkän matematiikan ja kielipainotteisuuden välillä oli hyvin jyrkkä ja voimakkaasti sukupuoliriippuvainen. Toinen suuntaus koettiin usein vaikeaksi tai jopa mahdottomaksi oppia. Matematiikka sai osakseen jopa inhoa. Samaa ilmeni tuohon aikaan vielä jossain määrin myös kielten suhteen.
Ja kuitenkin, matematiikkakin on yksi kieli, tosin erityyppinen kuin puhutut kielet. Matematiikan kielellä voidaan kertoa asioista lyhyen ytimekkäästi ja täsmällisesti, ”kielioppisäännöt” ovat tiukan täsmälliset. Matematiikan hyvä hallinta edellyttää paitsi näiden sääntöjen tuntemusta niin myös taitoa kääntää arkikieli matematiikan kielelle ja päinvastoin. Omalla erikoisalallani talousmatematiikassa ja matemaattisessa mallinnuksessa tämä tulkin rooli oli erityisen keskeinen. Tehdään seuraavassa yksi tällainen tasoltaan yksinkertainen harjoitus.
Tarkastellaan kuvaan liittyvää yhtälön muotoon kirjoitettua lauseketta (sin2��+cos2
jonka vasen puoli koostuu kahdesta osalausekkeesta ja oikea puoli yhdestä. Osalausekkeet ovat kaikki matematiikan eri alueilta, trigonometriasta, integraalilaskennasta ja lukujonoista. Trigonometria kuuluu nykyisin peruskoulun matematiikan oppimäärään, kaksi muuta ovat lukiotasoa. Kun lausekkeiden väliselle suhteelle on merkitty yhtälö eli vasemman ja oikean puolen yhtäsuuruus, on syytä tarkastella, onko yhtäsuuruus todella voimassa, sitä ei lausekkeesta ihan suoraan voi päätellä. Ja jos yhtäsuuruus on totta, onko se sitä aina, ��:�� (suorakulmaisen kolmion toisen terävän kulman) arvosta riippumatta vai vain yhdellä tai muutamalla ��:�� arvoilla.
Lausekkeen (sin2��+cos2��) arvon määritys on yksinkertainen. Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien a ja b (suoran kulman viereiset sivut) ja hypotenuusan c (suoran kulman vastainen sivu) välillä vallitsee Pythagoraan teoreeman mukaan yhtälö a2 + b2 = c 2. Valitaan nyt kolmion mittayksiköt niin, että c = 1. Silloin a = sin �� ja b = cos ��. Nähdään siis, että tarkasteltavan sulkulausekkeen arvo = 1 kulman �� arvosta riippumatta.
c = 1
= sin α
Vanhan ajan timpurit tunsivat hyvin Pythagoraan säännön. Kun heidän piti tarkistaa esimerkiksi ovikarmin suorakulmaisuus silloisin vähin työvälinein, käytännössä metrin pituisella kokoon taittuvalla puumitalla, he mittasivat kulman muodostavilta pinnoilta kulmasta lukien 60 cm ja 80 cm pituiset etäisyydet. Jotta pinnat olivat kohtisuorassa toisiaan vastaa, mitattujen etäisyyksien päätepisteiden tuli olla 100 cm päässä toisistaan (602 + 802 = 1002). Koko mitan hyödyntäminen antoi parhaan mahdollisen tarkkuuden.
Määrätyn integraalin ∫ �� ������ ∞ 0 arvo määritetään niin, että etsitään ensin integroitavan eksponenttifunktion e –x integraalifunktio, määritetään sen arvot ylä- ja alarajoilla ja lasketaan näiden erotus. Saadaan laskelma
eli myös toisen lausekkeen arvo on = 1 ja vasemman puolen summa on siten = 2.
Oikean puolen lauseke (alusta) auki kirjoitettuna on päättymättömän lukujonon jäsenten summa ∑ (½)�� ∞ ��=0 = 1 + (½)1 + (½)2 + (½)3 + (½)4 + (½)4 + …
Laskemalla summan kehitys muutaman yhteenlaskettavan verran voi pian päätellä, mikä tuoksi summaksi muodostuu (tai tarkasti ottaen mitä se rajatta lähestyy), kun edetään pitkälle. Merkitään summa symbolilla Sn, kun on edetty jäseneen n asti. Yleiseksi Sn:n lausekkeeksi voi helpohkosti päätellä
Sn = (2n+1 – 1)/2n = 2 – (½)n .
Jälkimmäisen termin vaikutus summan arvoon vähenee eksponentiaalisesti, joten summa lähenee nopeasti kohti arvoa 2. Sen täsmällinen todistaminen, että tuo esitetty kaava on oikea, on matematiikan perustehtäviä. Todistustapoja on useita. Yksinkertaisin tässä tapauksessa on ns. täydellinen induktio (päättely tällöin osista kokonaisuuteen, deduktiivinen päättely tapahtuu kokonaisuudesta osiin). Kaavan yhtälö on tosi, jos se täyttää seuraavat kaksi ehtoa.
a) Voidaan osoittaa summan lauseke oikeaksi yhdellä n:n arvolla. Valitaan n = 0, jolloin S0 = 2 – 1 = 1. Koska sarjassa on tällöin vain yksi jäsen, joka on (½)0 = 1 eli kaava pätee, kun n = 0.
b) Oletetaan, että summan lauseke on tosi, kun n = n. Osoitetaan, että tästä olettamuksesta seuraa sen oleminen tosi myös tapauksessa n = n+1. Tällöin kaava on yleisesti tosi.
Sijoittamalla kaavaan n = n + 1 saadaan Sn+1 = 2 - (½)n+1 .
Sn:n määritelmästä ja olettamuksesta kaavan oikeellisuudesta kun n = n saadaan n:n arvolla n+1: Sn+1 = Sn + (½)n+1 = 2 – (½)n + (½)n+1 = 2 – (½)n(1 – ½) = 2 - (½)n ½ = = 2 - (½)n+1 eli kaava pätee myös, kun n = n+1. Induktioperiaatteen nojalla tulos on osoitettu yleisesti oikeaksi.
Alkuperäisen yhtälön lausekkeet ratkaisemalla yhtälö on saatettu varsin yksinkertaiseen muotoon 1 + 1 = 2. Onko Nalle Puh pettynyt tulokseen vai väsähtänyt ratkontatehtävästä?
Aluksi monimutkaiselta näyttänyt lauseke on saanut varsin yksinkertaisen muodon. Moni saattaa nyt rientää sanomaan, että tätä se matematiikka juuri onkin, yksinkertaiset asiat esitetään monimutkaisesti. Tilanne on kuitenkin juuri päinvastainen. Reaalimaailman ongelmat ovat monimutkaisia. Toisinaan niitä voidaan ratkoa matematiikan avulla. Tämä onnistuu, jos ongelma voidaan pelkistää riittävällä vastaavaisuudella matemaattisen mallin muotoon. Tämä malli ratkaistaan matematiikan työkaluilla ja saatu tulos tulkitaan ongelmaa koskevaksi.
Nalle Puhin ongelma voisi olla esimerkiksi kuvaus jonkin tapahtuneen vahingon hallinnasta. Vasemmalla puolella esitetään vahingon aiheuttamat kustannukset ja niiden ajallinen eteneminen. Sulkulausekkeessa on esitetty vahingon aiheuttamien vaurioiden kertaluoteiset korjauskustannukset (neliömuotoisuus viittaa pinta-alavaurioihin). Eksponenttifunktio kuvaa ajan mukana vähenevän intensiteetin omaavan vahingon (esim. vuodon) aiheuttamaa kustannuskehitystä, sen integraali (vastaa summausta) tästä syntyvää kokonaiskustannusta. Oikean puolen summalauseke kuvaa vaurion hoitoon tarvittavan rahavirran esimerkiksi päivittäistä kehitystä. Aluksi panostus on suurta ja vuodon tullessa hallintaan panostukset nopeasti vähenevät. Panosten kokonaissumma on vauriokustannusten suuruinen.
Ilkka Virtanen