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CÁLCULO INTEGRALES

1. INTEGRALES 1.1 Definición. Sea f ( x ) continua en [a, b] b 1).f(x ) no negativa ( f(x ) ≥ 0∀x ∈ [a, b] )  ∫ f = Area[R(f, [a, b])] a

La integral en este caso toma el mismo valor que el área de la región gris. b

2). f ( x ) no positiva ( f(x ) ≤ 0∀x ∈ [a, b] )  ∫ f = −Area[R(f, [a, b])] a

En este caso la integral, tomo el mismo valor que el área de la región gris, pero con signo negativo. El área siempre es positivo, lo que cambia de signo es la integral, dependiendo de cómo es el signo del integrando. Ejemplo Sea f : ℜ → ℜ , definida de la siguiente forma: − 2x + 3  f(x ) = − 1 x − 4 

si x ∈ [1,2] si x ∈ (2,3) si x ∈ [3,5]

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CÁLCULO INTEGRALES

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Calcular ∫ f(x )dx 1

Según la definición de integral que vimos, para calcular

5 ∫ f(x )dx debemos sumar 1

las áreas de las regiones del gráfico que quedan por encima de eje de las x y restar el área de las regiones del gráfico que quedan por debajo

5 ∫ f(x )dx = Area(ℜ(1)) − Area(ℜ(2)) + Area(ℜ(3)) = 1 1 *1 5 +1 *1 1 *1 1 7 1 1 − 7 + 2 2 − 2 + = − + = = −1 2 2 2 4 4 2 4

(

)

1.2 Propiedades Sea f(x ) continua en [a, b] a

1). Integral en un punto: ∫ f(x )dx = 0 a 2

Ejemplo: ∫ x2dx = 0 2 b

a

a

b

2). Cambio de extremos de integración: ∫ f(x )dx = − ∫ f(x )dx 1

0

0

1

Ejemplo: ∫ exdx = − ∫ exdx Av. 18 de Julio 1333 Oficina 203 Tels. 29009681-098349852

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CÁLCULO INTEGRALES

b

b

b

a

a

a

3). Linealidad: ∫ (α f(x ) + β g(x ))dx = α ∫ f(x )dx + β ∫ g(x )dx 1

1

1

0

0

0

Ejemplo: ∫ 2.senx + π.Arctgxdx = 2. ∫ senxdx + π. ∫ Arctgxdx b

c

b

a

a

c

4). Aditividad respecto del intervalo: ∫ f(x )dx = ∫ f(x )dx + ∫ f(x )dx 2

1

2

0

0

1

Ejemplo: ∫ cos xdx = ∫ cos dx + ∫ cos xdx (Sabiendo si la función es continua en todo el intervalo [a, c] también es válido considerar el “c” fuera del intervalo [a, b] ) 2

3

2

0

0

3

Ejemplo: ∫ cos xdx = ∫ cos dx + ∫ cos xdx 5). Acotación de la integral: Por teorema de Weierstrass, existen: m mínimo absoluto de f(x ) ( f(x ) ≥ m ∀x ∈ [a, b]) M

M máximo absoluto de f(x ) ( f(x ) ≤ M ∀x ∈ [a, b] ) m

b m(b − a ) ≤ ∫ f(x )dx ≤ M(b − a ) a

b

a

Ejemplo: Sea una cierta función f cuyo máximo absoluto es 3 y su mínimo absoluto es 1, o 5

sea 1 ≤ f(x ) ≤ 3 . Se quiere acotar el valor de la integral ∫ f(x )dx . 0 5 5 1 * (5 − 0 ) ≤ ∫ f(x )dx ≤ 3 * (5 − 0 ) ⇒ 5 ≤ ∫ f(x )dx ≤ 15 0 0 Av. 18 de Julio 1333 Oficina 203 Tels. 29009681-098349852

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CÁLCULO INTEGRALES b

b

a

a

6). Monotonía de la integral: f (x ) ≤ g (x ) ∀x ∈ [a, b] → ∫ f (x )dx ≤ ∫ g (x )dx

f(x) g(x) a

b

L2

Ejemplo: Acotar el valor de la integral ∫

et

2t 1 1 + t.e

dt

t ≥ 1 ⇒ t.e2t ≥ e2t ⇒ 1 + t.e2t ≥ e2t ⇒ 1 + t.e2t ≥ e t ⋅ e t ⇒ 1≥

L2 L2 et ⋅ et 1 et et et ≤ e− t ⇒ ∫ ⇒ ⇒ dt ≤ ∫ e − tdt ≥ 2t e t 1 + t.e2t 1 + t.e2t 1 + t.e2t 1 1 + t.e 1 L2

Asumiendo que ∫ e − tdt = 1

L2 et 1 1 1 1 dt ≤ − . − , se llega a ∫ 2t e 2 e 2 1 1 + t.e

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1.3 Primitivas y Regla de Barrow Def. G(x ) es primitiva de f(x ) en [a, b] ⇔ G' (x ) = f(x ), ∀x ∈ [a, b] Ejemplos: Función

Primitiva

1

x +C

x2

x

2

+C

ex

e x +C

1

L x +C

x

1 x±a

L x ± a +C

sen(x )

− cos(x ) +C

cos(x )

sen(x ) +C

1

Arctg(x ) +C

1 + x2

Regla de Barrow Sea f continua en [a ,b] y G una primitiva de f en [a ,b]. Se cumple: b b ∫ f(x )dx = G (x ) a = G (b) − G (a ) a

Ejemplos π π 1). ∫ cos xdx = senx ππ = senπ − sen  = 0 − 1 = −1 π

2

2

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2

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2.) 1 1 1 1 1 1  3 1 1 dt = ∫ − dt − 3 ∫ dt = Arctg(t ) − 3L t + 1 = ∫   2 2 t +1 0 1 + t 01 + t 0t + 1 0 0 π Arctg1 − Arctg0 − 3L2 + 3L1 = − 3L2 4

3

3

3

0

0

0

3). ∫ ( 2x − 1 + 2x − 4 )dx = ∫ 2x − 1 dx + ∫ 2x − 4 dx Siempre que aparezca la función

valor absoluto dentro de una integral,

estudiamos el signo de la función que aparece dentro del valor absoluto para eliminar a este: 2x − 1 → 2x − 1 = 0 → x = 1 / 2

-

+ 1/2

−2 x + 1 si x < 1/ 2 2x −1 =  2 x − 1 si x ≥ 1/ 2 3

2 x − 1 dx =

0

1/2

3

0

1/2

1/ 2

2 ∫ ( −2 x + 1) dx + ∫ ( 2 x − 1)dx = ( − x + x ) 0

+ ( x2 − x )

3 1/ 2

=

 1 1  1 1  13  − +  − 0 + ( 9 − 3) −  −  =  4 2 4 2 2

2x − 4 → 2x − 4 = 0 → x = 2

-

+ 2

−2 x + 4 si x < 2 2x − 4 =  2 x − 4 si x ≥ 2 3

2

3

0

2

2

3

0

2

2 x − 4 dx = ∫ ( −2 x + 4 ) dx + ∫ ( 2 x − 4 ) dx = ( − x 2 + 4 x ) + ( x 2 − 4 x ) =

0

( −4 + 8 ) − 0 + ( 9 − 12 ) − ( 4 − 8) = 5 3

⇒ ∫ ( 2 x − 1 + ( 2 x − 4 ) ) dx = 0

13 + 5 = 23 2 2

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INTEGRALES  

INTEGRALES. Definición, propiedades y primitivas

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