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Texto manuscrito del profesor Cario Federici

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(ífr?J.s· ARTÍCULOS

NUMEROSIDAD* Definición restringida de la numerosidad entendida como: concepto que permite comparar cualitativamente la extensión discreta de los elementos de dos o más conjuntos Autor: Juan Carlos Negret P.

Aun antes de la construcción de los numeros cardinales propietivos es posible comparar la numerosidad "entre" dos o más conjuntos. En efecto, sin contar, un sujeto puede establecer si hay más personas que sillas en una reunión, más flores que floreros en una mesa, etc. La numerosidad es el nombre que le damos al concepto que permite comparar la cantidad de cosas o eventos entre dos o más conjuntos, sin utilizar el número cardinal. No se trata entonces, en un sentido estricto de una cuantificación, es una comparación de una cualidad particular de los conjuntos: su dimensión física referida en este caso a "la extensión discreta de los elementos" que los componen. Como esta extensión discreta no ha sido aun contada, es una comparación aun cualitativa, pero muy aproximada a la cuantificación. Definamos entonces de manera más estricta la numerosidad: Es el nombre que le damos al concepto que permite comparar cualitativamente la extensión discreta de los elementos de dos o más conjuntos. La operación que permite comparar la cantidad de cosas de dos o más conjuntos, sin el uso del número, es la correspondencia uno a uno. En cuanto a la correspondencia, es pertinente hacer una diferenciación entre correspondencia perceptiva, la correspondencia cualitativa y la correspondencia cuantitativa: Correspondencia perceptiva:

Es la que se establece buscando una buena forma perceptiva, esto es una organización en el espacio de los objetos, de tal manera que queden previamente organizados de acuerdo a un patrón. Correspondencia cualitativa:

Es la que permite establecer relaciones entre conjuntos de objetos a partir de las propiedades físicas de los objetos. Correspondencia numérica:

Es la que permite establecer relaciones entre dos o más conjuntos a partir de las propiedades lógicas qu e un sujeto les atribuye a los objetos. En este caso la propiedad

* Este texto es una interpretación del autor. elaborada a partir de las lecciones del profesor Cario Federici.

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(ífr"As· que determina la relación es la numerosidad, entendida como la equivalencia uno a uno entre los objetos de los conjuntos, sin una consideración necesaria por la disposición espacial de los objetos (buena forma perceptiva) ni por las cualidades físicas de los mismos (correspondencia cualitativa). El resultado de esta comparación se expresa en tres proposiciones

El conjunto A es más

numeroso que el conjunto B

El conjunto A es menos

numeroso que el conjunto B

El conjunto A es lo mismo de

numeroso que el conjunto B

En el lenguaje común estas proposiciones se expresan de manera variada con frases como:

En la caja hay más

naranjas que en la mesa

En la caja hay menos

naranjas que en la mesa

En la caja hay lo mismo de

naranjas que en la mesa

En ambos casos la constante son los adverbios comparativos de orden: más que, menos que, Jo mismo que. Son los mismos adverbios con los que se construyen las relaciones de orden primario. Lo importante es que cuando se aplican los adverbios de orden al discurso, siempre se debe explicitar la cualidad que ordenan. Como en este caso se trata de la numerosidad, se hace necesario enunciarla. Ejemplifiquemos la explicitación de la numerosidad en los distintos niveles de abstracción del discurso:

Más naranjas que

más cosas que

más numeroso que

Menos naranjas que

menos cosas que

menos numeroso que

Cuando la relación señala una diferencia de numerosidad (más cosas que, menos cosas que) se trata de una re lación de orden, cuando la relación establece una equivalencia de numerosidad, se trata de una relación de equivalencia.

RELACIONES DE ORDEN Es más numeroso que Es Es

que

RELACIONES DE EQUIVALENCIA Es lo mismo de numeroso que Es

que

La numerosidad es entonces, una relación de orden fundamental, sobre la cual se va a construir el concepto de número cardinal propietivo. La numerosidad es el producto de aplicar la correspondencia, siempre y cuando esta operación permita ordenar los conjuntos comparados. La correspondencia como una habilidad lograda en sí misma, debe estar ligada a las situaciones de numerosidad para recuperar su eficacia aritmética.

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(ífr?J.s· ARTÍCULOS

CARDINALIDAD* Definiendo la cardinalidad como el concepto que permite establecer numéricamente la cantidad de cosas de un conjunto Autor:Juan Carlos Negret P

La cardinalidad es el nombre que le damos al concepto que permite establecer numéricamente la cantidad de cosas de un conjunto. El número que se utiliza en este caso es el número cardinal propietivo, según ha sido definido por el Profesor Carlos Federici: Se llaman propietivos porque establecen una propiedad en los conjuntos: la cantidad de los elementos que posee. Se diferencia de los números cardinales relativos o medidores porque

éstos establecen relaciones. La cardinalidad, como los demás conceptos, se construye enfrentando a los sujetos a situaciones de cardinalidad. Una situación de cardinalidad, es una situación significativa para el sujeto, la cual debe ser resuelta aplicando el concepto de cardinalidad. La forma general de la situación de contabilidad se traduce en la presentación de un conjunto de cosas o de eventos, ligados a la pregunta ¿Cuántas cosas hay? Las situaciones de contabilidad son subsidiarias de las situaciones de numerosidad. En efecto, una vez que el sujeto ha establecido que en un conjunto hay más cosas que en otro, la pregunta siguiente es: ¿Cuántas cosas más? Esta pregunta puede presentarse de muchas formas: • ¿Cuántas cosas hay más en A que en B? • ¿Cuántas cosas hay menos en A que en B? • ¿Cuántas sobran en N • ¿Cuántas faltan en B? • Ni más, ni menos. • Ni sobran, ni faltan. • ¿Cuántos son estos? Podemos introducir y clarificar con un ejemplo como un juego de bolos entre tres niños: Después de tirar con la pelota, Hugo, Paco y Luis obtuvieron el siguiente resultado: • Hugo tumbó 3 bolos • Paco tumbó 6 bolos • Luis tumbo 8 bolos

* Este texto es una interpretación del autor. elaborada a partir de las lecciones del profesor Cario Federici.

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(ífr"As· Se les pide que sobre un pape l dibujen la situación de los bolos después del tiro de la pelota. Los tres niños reproducen con un dibujo realista de intención, la disposición de los bolos. Después se les pide que señalen con rayas los bolos caídos y con cruces los bolos en pie.Acto seguido se hace la entrevista a Paco:

ENTREVISTADOR: ¿Quién ganó? PACO: Luis ganó

E: ¿Por qué? P: Porque tumbó más Hasta aquí se trata de una situación de numerosidad. En efecto, Paco sin manejar necesariamente los números puede establecer una correspondencia uno a uno entre los bolos derribados por él y por Luis, los de Hugo los descarta de entrada porque la diferencia es marcada. La siguiente pregunta del entrevistador, en el mismo juego lo introduce en una situación de cardinalidad:

E: ¿Y cuántos más tumbó? Paco mira los bolos, su dibujo, las rayas, y haciendo con los dedos la señal de dos, dice:

P: Estos E: Estos que tu señalas con los dedos son los mismos que las dos rayas, o que los dos bolos dibujados, o que los dos bolos caídos?

P: Sí E: ¿Y cuántos son estos? P: Dos Suponiendo en el mejor de los casos, que Paco no conozca el significado de dos, la intención del ejercicio es mostrarle la equivalencia o la equinumerosidad de los sucesivos conjuntos presentes en el juego: bolos, dibujo de los bolos, rayas, los cuales tienen una propiedad común: Pueden ser puestos en correspondencia uno a uno con los dedos de la mano. Esta equivalencia simultánea entre diversos conjuntos, que no es otra cosa que el establecimiento de la semejanza entre varios conjuntos, puede ser ya nombrada, o renombrada: pues todos los conjuntos que tengan tantos elementos como "éstos (señalando con los dedos de la mano) se llaman conjuntos de "dos elementos".

El lector podría objetar muy posiblemente que el niño en esta situación ya sabe contar, y que el ejercicio no tiene sentido. Ante esta objeción, respondemos de dos maneras: En primer lugar, si bien el niño sabe contar y de inmediato dice que Luis tumbó dos bolos más que él, la puesta en relación de los diversos conjuntos equivalentes, acompañada de la expresión:" los bolos, el dibujo, las rayas se parecen porque tienen, como los dedos, el mismo número de elementos ; y si no pongámoslos en correspondencia, y ese mismo número se llama dos", le permite al niño, desde muy pequeño comprender, no solo el concepto del cardinal dos, sino acercarse a la definición aritmética formal, a la cual solo podrá acceder con consistencia muchos años después. Se acompaña entonces, la comprensión de una conceptualización explícita, que permite además, resolver la situación, enunciarla, decirla, hacerla discurso, lo que es pedagógicamente un significativo ava nce.

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(ífr?J.s· En segundo lugar, si el niño sabe contar y dice que Luis tumbó 8 bolos y él tumbó 6 bolos, la situación de contabilidad no se agota, pues la pregunta pertinente es: ¿Cuántos más tumbó? Si Paco contestó, porque sabía que 8 es mayor que 6, que Luis ganó porque tumbó más bolos, está entonces, a raíz de la pregunta, enfrentado a un nuevo problema; ¿Cuántos más tumbó? Se trata pues de una situación aditiva. En este punto podemos suponer dos cosas: La primera es que Paco, la resuelve retrocontando o restando y dice "dos", si sucede así Paco no solamente ha construido la cardinalidad, sino que ya esta manejando por lo menos las bases de la adición. La situación nos permitió descubrirlo, pero en el caso de que no maneje aun los fundamentos de la adición, tendrá que establecer una correspondencia uno a uno y señalar con los dedos o con los bolos y acto seguido dirá "estos" señalando los dedos o los bolos cuántos más tumbó Luis que él. Pero además como consecuencia de la actividad bien aplicada, el entrevistador tiene ya elementos adicionales, para hacer de esta situación de contabilidad una situación aditiva que le permite establecer las formas y el nivel de manejo de la operación aditiva en Paco. Esta simple actividad pedagógica complejizada solo por el análisis, puede ser reproducida de muchas formas y con muchos contenidos. Ella nos permite concluir:

• El hecho inmediato de que una actividad concreta, pone en escena de manera simultánea e indivisa, múltiples situaciones evaluativas didácticas. • La evidencia de que la didáctica no consiste sólo en la posibilidad de que el aprendiz resuelva problemas, sino que solicitando e interviniendo en su discurso, él pueda no sólo transformarlo, sino ir accediendo a la comprensión conciente del conocimiento matemático. Si bien no se pretende que el niño elabore conceptualmente las definiciones en intención del discurso matemático, si puede paulatinamente y desde primer momento, estar asim ilando inconscientemente el discurso aritmético en todo su rigor.

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(ífr?J.s· A RTÍCULOS

ORDEN Y ORDINALIDAD* Definiendo la ordinalidad como la estructura de orden discreto del sistema de los números cardinales propietivos Autor:Juan Carlos Negret P.

El orden fundamental del sistema de los números cardinales p ropietivos o la ordinalidad Los Números Cardinales Propietivos son los nú meros que permiten establecer la cardi nali dad : cant idad de cosas o eventos de un conjunto. Los números cardinales pro pietivos son un sist ema ordenado. El orden fundamental de los núm eros cardinales consist e en una serie o sucesión de ele ment os discret os. Definimos po r Ordinalidad a la Estructura de Orden Discreto del sistema de los números

cardinales propietivos.

La construcción de la ordinalidad La est ruct ura o perato r ia de Ord en del sistema de los núm eros ha de ser constru ida po r el niño, y no se confunde con el Orden Perceptivo o Figura/ de los elementos de una figura, ni con el Orden Revelado u O rden memor izado de la ser ie de los núme ros.

El orden figural Consist e en la asimilación de una serie de objetos dispuestos o rdenadament e en el espacio -una figu ra o una configuración- con una imagen mental -esquema intuitivo de orden-. La acción de niño consiste aquí en reconocer o discriminar una serie o en realizar mat e r ial mente esa ser ie.

Orden revelado Consiste en la enunciación consecutiva y memoríst ica de los números card inales sin una co mprensión sistemática de las relaciones que esa o rdenación im plica. Se trat a de la sucesión revelada, o sucesión signifi cante aprendida que perm it e repet ir la sucesión de los números. La signifi cación de esta sucesión es variable. Compren der el o rden de los cardinales es co mprender la razón lógica de dicha sucesión.

* Este texto es una interpretación del autor. elaborada a partir de las lecciones del profesor Cario Federici.

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(ífr"As· El orden operatorio Las relaciones de orden elemental : Las relaciones de orden elemental son las que le permiten al sujeto comprender y establecer la diferencia en una cualidad o en una propiedad física o lógica entre parejas de objet os. Las cualidad es y propiedades que pe rm iten comparar y ordenar por su diferencia los objetos, son múltiples. En el cuadro siguiente se il ustran de manera general algunas: CUALIDAD FÍSICA

CUALIDAD LÓGICA

Diferencias en: • Color • Olor • Sabor

CANTIDAD Discreta

Continua o Magnitud

• Nume rosidad

• Longitud

• Cardinalidad

• Anchura

• Sonoridad

• Área

• Tamaño

• Peso

• Otros: Disposición Espacial

Edad Afectos y Gustos

Secuencia Temporal

• Cerca de

• Antes de

• Lejos de

• Después de

El orden elemental se establece en el lenguaje a partir de: Adjetivos Connotativos C alificativos Comparativos: Dan el grado de significación de un sustantivo comparando una cualidad entre dos objetos.

• Comparat ivo de igualdad: Tanto ... co mo • Comparativo de Superioridad: Más ... que • Comparativo de Inferioridad: Menos ... que Es posible comparar consecutivamente pares de objetos sin que se establezca una ordenación sistemática de los tres o más elementos Dados los elementos A.B.C.D. E.F con una diferencia de tamaño. El sujeto puede establecer consecutivamente en el t iempo: Momento 1: A mayor que B Momento 2: C menor que B Momento 3: A mayor que C Momento 4: A mayor que F Es posible también que el sujeto establezca relaciones entre ternas aplicando las nociones de Grande, mediano

y pequeño

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(ífr?J.s· La composición de las relaciones de orden elemental: Una ordenación de tres o más elementos implica la composición de las relaciones:

• Es más grande que el primero y a la vez el más pequeño de los que quedan. .. La introducción de un elemento en una serie implica la coordinación de las relaciones:

• Va aquí porque es mayor que y menor que .. .

Las relaciones de orden superior: Las relaciones de orden superior son las que permiten hacer la ordenación de tres o más elementos en un solo sistema ordenado. Las relaciones de orden superior se construyen a partir de la composición de las relaciones de orden elemental, o bien componiendo las binas -cuando comparten un elemento común-, o bien componiendo las ternas, -cuando comparten un elemento en común-, para producir un sólo conjunto sistemáticamente ordenado. Esta ordenación se realiza mediante una operación que es la composición de dos o más relaciones de orden elemental. En este caso se trata de una composición aditiva de relaciones de orden, para diferenciarla de la composición multiplicativa en la cual el niño debe ordenar dos o más conjuntos entre sí. El producto de esta composición le permite al aprendiz organizar una serie de objetos estableciendo entre ellos una relación de orden superior a partir de las diferencias consecutivas en una o más propiedades de los objetos: la numerosidad, para las cantidades discretas y la magnitud para las cantidades continuas.

Los significantes del lenguaje que dan cuenta de esta relac ión son: Operadores o relatores

Siguiente de (los siguientes)

La preposición

entre

El siguiente de (el inmediatamente siguiente)

El producto de la composición busca que el aprendiz:

• Componga relaciones: - Más que ... y menos que ... - Mayor que ... y menor que .. . - Antes de . .. y después de .. . • Establezca relaciones de consecutividad: - El siguiente de ... - Los siguientes de ...

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(ífr"As· ETAPAS DE LA CONSTRUCCIÓN OPERATORIA DE LA ESTRUCTURA DE ORDEN ORDENACIÓN DE ELEMENTOS ESTADIO lA

Ningún intento de seriación o realización de colecciones figurales. ESTADIO 1 B

Fracaso en la serie total, pero asoc1ac1ones por cualidades absolutas (grandes, pequeños) a. Pares incordiándoos entre sí (pares de elementos grandes y pequeños). b. Tríos incordiándoos entre sí (uno grande, uno mediano, uno pequeño, etc.). c. Seriación en línea de los vértices correcta pe ro sin base horizontal.

SISTEMA LINGÜISTICO DICOTOMÍAS: Los términos utilizad os son "grande" y "pequeño"; bien sea que diga "pequeño, pequeño, grande, grande" o "pequeño, grande; peq ueño, grande". TRICOTOMÍAS: Int rod ucen el término " mediano"; bien sea "pequeño, pequeño, mediano, mediano, grande, grande" o "pequeño, mediano, grande; pequeño, mediano grande" ETIQUETAJES: Se utilizan categorizaciones detalladas o nombres siempre diferentes para cada element o. Por ejemplo: " pequeño del todo, algo pequeño, pequeño, medio pequeño, medio grande, etc.

d. Seriación en techo con cobert ura. ESTADIO 11

Éxito mediante tanteos, pero si se agregan como suplemento nuevos elementos int ercalares, el aprendiz no ensaya método alguno para colocarlos de una vez, prefie re, en general, comenzar de nuevo.

DESCRIPCIONES COMPARATIVAS CON SENTIDO ÚNICO

Por e jemplo:" EI más pequeño, más grande, todavía más grand e, el más grande". Cuan do se solicita la descripción con sentido inverso el niño esta confuso, porque el penúltimo, que era "todavía más grande", se convierte en "más pequeño", lo cual le cuesta aceptar.

ESTADIO 111

Éxito ope rativo reconocible por tres caracte res: a. El sujet o sigue un mét odo sistemático consistente en partir del mayor de todos y, a continuación, del más grande d e los restantes, etc. (lo que implica la coordinación de las dos relaciones de orden). b. Los elementos intercalares se colocan sin dificultad. c. El sujeto admit e la transitividad (no si endo A y e vis ibles juntos).

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(ífr?J.s· ARTÍCULOS

UNA APROXIMACIÓN AL CONCEPTO DE NÚMERO Presentando al número como un sistema y diferenciándolo del sistema numérico y del de numeración Autores: Equipo investigador de fa Facultad de Psicofogia de fa Universidad javeriana

¿Cuál es el significado que tiene un numeral de una cifra como el 7? Su significado for mal es: el conjunto de todos los conjuntos que se pueden poner en correspondencia término a t érmino con un conjunto como <x,x,x,x,x,x,x>.lgual podría decirse de otros numerales. Para un niño el conjunto <x,x,x,x,x,x,x,> puede ser por ejemplo 7 dedos extendidos, o mejor aún, los dedos de una mano y dos de la otra. Pero si bien este es el significado formal de 7, no puede pensarse que el concepto de SISTEMA NUMÉRICO esta compuesto de los significados aislados de los numeroso. Por el contrario debe pensarse en términos de un SISTEMA, de tal manera que puede afirmarse que el concepto de un número existe gracias a la existencia de los otros, a las relaciones y a las operaciones (al menos de tipo aditivo, para el caso de números pequeños) que se establecen entre ellos. La diferencia entre el significado que le asigna un adulto que ha hecho una elaboración conceptual del número y el que asigna un niño que apenas esta construyéndolo, consiste en que para el primero es un concepto que hace parte de un sistema de conceptos: el sistema numérico, que no remite a una imagen particular, sino a la red de relaciones y operaciones que conforman el sistema (el 7 es mayor que otros números y a las vez menor que otros, pero también que este 7 es el inmediato siguiente de ... y a la vez el inmediato anterior a... y que es el resultado de múltiples composiciones o descomposiciones aditivas: 6 + 1, 5 + 2, 4 + 3, ... y 8 - 1, 9 - 2, 1O -3, ...). Todas estas relaciones y operaciones se dan en el pensamiento de manera simultánea y sin necesidad de realizar ningún proceso de razonamiento que le suponga hacer inferencias, simplemente esta información se tiene sin más, precisamente porque el 7 no es un concepto aislado sino que esta ligado a un sistema. Es decir, el verdadero concepto de número no es un concepto par ticular sino el sistema total de los numeroso, ¿Qué pasa en el caso del niño? El significado, en un momento más (o menos elaborado de su construcción -hay momentos que corresponden a niveles más rudimentarios- remite a imágenes muy ligadas a las situaciones concretas, por ejemplo dedos, que cada vez se van integrando en una red de relaciones (hay más, hay menos, hay lo mismo) y acciones (reunión o agregación, descomposición o desagregación) mentales que, como ya se dijo, aun se encuentran muy ligadas a acciones físicas y como tales adolecen de la movilidad necesaria para que cada imagen este ligada a la

* Equipo compuesto por:Angela María Robledo. Jorge Castaño G. y Juan Carlos Negret P.

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(ífr"As· multiplicidad de relaciones y operaciones que el sistema numérico comporta. Esto se ilustra muy bien con lo que contestaba un niño de primer grado al que se le pedía que calculara ¿cuántas canicas reúnen Pedro y Alberto, si el primero tiene 4 y el segundo 3! El niño contestaba "7". Al preguntársele como lo hacia contestaba: "Yo estiré en mi mente 4 deditos y después 3 deditos y después los conté". Mientras se permanezca en este plano, las relaciones y operaciones que se puedan ligar la gran conquista del niño son escasas y resultan aun muy rígidas. En síntesis, en el caso del adulto el concepto es abstracto y en el caso del niño el "conce pto" aún se encuentra a medio camino, entre las acciones físicas y la abstracción conceptual. Aclarado lo anterior ¿Cómo pensar el significado de un numeral como "75" ! ¿Qué es lo que se representa un sujeto en su pensamiento al escuchar"setenta y cinco" o leer "75"! ¿Será que se pueden formar imágenes de "75" parecidas a las que en un momento se pueden formar de números pequeños como "7"! Es difícil sostener tal posición. Definitivamente aquí ya no se puede estar tan directamente ligado a lo concreto. Parece más razonable pensar que en este plano las imágenes que se construyen se hacen sobre la base de relaciones y operaciones más abstractas, y como tales deben soportarse en un sistema de numerales -no necesariamente el que corresponde al producto terminado del sistema decimal de numeración- con los cuales se pueda operar. Quizás la imagen más elemental que pueda pensarse como adecuada sea la de 7 grupos de diez y 5 sueltas. Pero de nuevo en este plano no se puede pensar un número aislado de los otros sino como un sistema total, axial como se planteo arriba para los números pequeños, solo que en este caso las relaciones y operaciones de composición que se requieren resultan mas complejas, esto se mostrará mas adelante. Antes de pasar a hacer un estudio de la lógica que comporta el sistema decimal de numeración, y aunque resulte reiterativo, conviene dejarnos la siguiente inquietud: La forma como tradicionalmente se procede al enseñar los números mayores que 9 consiste en enseñar la sucesión numérica 1O, 11, 12,.. , tratando de mostrar las reglas que rigen su escritura, considerando que de all í surge la lógica necesaria para llenar de significado estos numerales. Lo que se procura mostrar en este trabajo puede sintetizarse en: Está del lado de lo que es propiamente el sistema numérico -no de los numerales- , el niño tiene que reconstruir en este nuevo plano lo que ya construyó en el nivel inferior. Es decir debe reconstruirse ese sistema de relaciones y operaciones que dará origen al concepto de número en este nuevo rango numérico.Y esto debe ayudarse a elaborar al niño, simultáneamente con la enseñanza del sistema de los numerales, para que estos cobren un real significado. Los numerales escritos en el sistema decimal d e numeración y los algoritmos formales de las operaciones matemáticas, requieren una lógica más o menos compleja a la que el niño no logra acceder por el hecho de representarle un numeral como tantas decenas y tantas unidades y por adiestrarlo en los procedimientos. Insistir en lo que tradicionalmente se hace lleva al niño a memorizar, sin lograr una adecuada comprensión del Sistema Decimal de Numeración que a su vez soporte una profunda comprensión de los algoritmos. El camino pedagógico que parece ser más conveniente es adecuar el estud io del Sistema Deci mal de Numeración a las elaboraciones que el niño va logrando en ese proceso constructivo del concepto de números mayores.

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(ífr?J.s· ARTÍCULOS

COMPRENSIÓN DEL VALOR POSICIONAL (Basado en la teoría de Kan1ii) Construir el número toma muchos años, el niño no puede construir el sistema de decenas sobre el sistema de unidades, hasta tanto pueda conservar el sistema de unidades en su cabeza y lo divida en partes de diez Autor: Caro/ Susana Acosta C. En cuanto a la importancia que tiene para los niños la comprensión del valor posicional de nuestro sistema de numeración, es imperativo hacer referencia al trabajo desarrollado por Constante Kamii, quien retoma la tesis piagetana sobre la construcción del número para analizar y justificar las dificultades que presentan, los aprendices de primero a quinto de primaria, para construir el sistema de decenas y manejar la noción de valor posicional. Con respecto a las razones por las cuales el valor de posición es tan difícil, Constante Kamii resalta tres puntos: l. El concepto de número corresponde al conocimiento lógico-matemático, cuyo origen descansa en la acción mental del niño y no en grupos de objetos de la realidad externa. 2. Construir el número toma muchos años, el niño no puede construir el sistema de decenas sobre el sistema de unidades, hasta tanto pueda conservar e l sistema de unidades en su cabeza y lo divida en partes de diez. 3. El valor de posición involucra la multiplicación. Por ejemplo "sesenta y uno" significa "seis veces diez y uno más". La multiplicación tiene que construirse sobre la suma y no como una simple extensión de la misma. Estos tres puntos responden las innumerables preguntas que diariamente nos hacemos los maestros del porqué hasta nosotros mismos le tememos a las matemáticas, sufrimos al aprenderlas y le huimos a enseñarlas; y es que si nosotros mismos aún no entendemos la lógica de la construcción de nuestro sistema de numeración, muy difícilmente podremos hacer que nuestros aprendices lo hagan, de allí la importancia de retomar el artícu lo de Kamii: "Valor de posición: una explicación de sus dircultades e implicaciones educacionales para los alumnos de primaria", en el cual se hace una detallada explicación sobre las tres clases de conocimiento distinguidas por Piaget. En primer lugar el conocimiento fís ico referido al reconocimiento de los objetos que existen en la realidad externa y que pueden conocerse por observación. En segundo lugar, el conocimiento lógico matemático conformado por las relaciones que cada individuo construye por ejemplo al establecer diferencias o similitudes mediante la comparación de dos o mas objetos o sucesos. El niño continúa construyendo el conocimiento lógico-matemático mediante la coordinación de relaciones previamente creadas ante los objetos. Por ejemplo coordinando las relaciones de igualdad, diferencia, y más, es capaz de deducir que hay más animales que vacas en el mundo. Por último el conocimiento social tiene por fuente las convenciones

* Basado en el art ículo: "El valor de posición, una explicación de sus dificultades e implicaciones educacionales"

1988.

Kamii

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(ífr"As· establecidas por la gente, su principal característica es su carácter totalmente arbitrario; de esta manera, las palabras "uno", "dos" y "tres" y la escritura de los numerales 1, 2 y 3 pertenecen al conocimiento social, pero sus conceptos numéricos pertenecen al conocimiento lógico-matemático. Para Kamii en la enseñanza tradiciona l, la principal dificultad con el valor posicional se encuentra en la suposición errada de que los numerales simplemente representan números de objetos o grupos de objetos y realmente la dificultad va más allá va más allá, se trata de un problema de abstracción conceptual; sobre este tema Piaget distinguió dos clases de abstracción: Empírica, que tiene que se evidencia cuando el niño se centra en una sola propiedad de los objetos e ignorar las otras; por otro lado la abstracción reflexiva que involucra la construcción de las relaciones entre objetos, es este tipo de abstracción el que se señala como "vital" dentro de las matemáticas y la que precisamente los maestros pasamos por alto. Si un niño ha construido el número mediante abstracción reflexiva (por síntesis de orden e inclusión jerárquica), no podría dar a las palabras "uno", "dos" y "tres" ... el significado que un adulto les da. Entonces, la construcción del sistema de decenas, en el cual " una decena", "dos decenas","tres decenas" ... involucra la construcción de un segundo sistema jerárquico sobre el primero que los niños han construido, esta construcción requiere de una división mental del primero, en partes iguales de diez, mientras el primer sistema permanece intacto. Después de hacer esta d ivisión, el niño debe hacer un proceso de ordenamiento y de inclusión jerárquica de las mismas. A continuación se presentan las entrevistas aplicadas a niños de diferentes grados de primaria, basadas en la experiencia de Kamii.

ENTREVISTA 1: Andrés -7 años 6 meses- grado primero. (Situación tomada de Const.l.nce Kamii) Se verificará que el niño cuenta, lee y escribe los números hasta 99. E: ¡Cuántas fichas hay aquí? (Se le entrega un montón de 36 fichas)

N: Cuenta correctamente de uno en uno E: A un amigo tuyo le pedimos que contara cuántas fichas había en este montón (de 43) y él hizo así: Pri mero formó un grupo de di ez (Se for ma delante del niño y contando de uno en uno el grupo de diez y se separa del montón de 43), después hizo otra de diez (se forma el segundo grupo) y siguió así, ¡entiendes?

N: Sí.

E: Cuando formó todos los grupos de diez, nos dijo cuántas fichas había en el montón. Puedes contar como lo hace tu amigo? Se le revuelven los dos montones antes hechos.

N: Forma los grupos de diez y los va separando sobre la mesa. (4 grupos de diez y 3 sueltas)

E: ¡Cuántas fichas hay? N: 1O (A la vez que señala el primer grupo), al llegar al segundo, toma de a uno y cuenta de" 11, 12, ... ",hace lo mismo con el t ercero y el cuarto, ...

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(ífr?J.s· ENTREVISTA 2: Juan -8 años- Segundo

E: Explica el procedimiento de agrupar de a diez. ¿T ú lo puedes hacer así? N: Sí

E: ¿Cuántos hay aquí? (Se le entrega un montón de 58)

N: Hace 5 montones de a 1O y deja los restantes aparte. 1O, 20, 30, 40, 50 y 8 (A medida que cuenta cada grupo de diez, pone una mano sobre él como indicando que ya lo contó).

¿Por qué el primer niño no puede dar cuenta de la cantidad de fichas contando de diez en diez? Al hacer grupos de diez, el niño se enfrenta a un conjunto con unidades heterogéneas (las de diez y las de uno), si no está en capacidad de manejarlas simultáneamente se vera en la obligación de homogenizarlas para poderlas contar. Podrá dar cuenta o de los grupos de diez o de las sueltas, pero no de ambos a la vez; al hacer los grupos de diez, la totalidad se divide en pa rtes y para dar cuenta de la totalidad el niño debe ser capaz de volverla a componer en el pensamiento. Esto lo ilustra Kamii ( 198) "Cuando pedí

a los niños de primer grado que contaran las fichas por decenas, inmediatamente preguntaron " ¿Usted quiere grupos de diez?" Yo les conteste que quería que contaran las fichas por decenas, de la forma que quisieran, e hicieron grupos de diez. Después les pregunte que cuántas fichas había por todo, contestaron "siete" (refiriéndose a los siete grupos), cuando pregunte" ¿En total siete fichas?, dando a entender que no estaba satisfecha con esta respuesta, los niños de primero cambiaron su respuesta a "diez" (significando que en cada grupo había diez). Estas respuestas no son sorprendentes, si se tiene en cuenta que las relaciones cuantitativas de parte a todo son muy difíciles antes de los 7 u 8 años de edad. La mayoría de los alumnos de primero pueden pensar en la totalidad y en las partes sucesivamente, pero no simultáneamente ..."

SEGUNDA SITUACIÓN

E: Resulta que tú tienes 142 rayas, con esas rayas vas a hacer grupos de a diez. ¿Cuántos grupos de diez puedes hacer?

N: ¿Con rayas? ¿Cuántas rayas hay? E: Son 142 rayas. N : Y en grupos de a diez ... ¿Ciento qué?

E: 142 N: ¡Ya! . . . 1O grupos E: 1O grupos. ¿Por qué? N: Uno empieza 1O, 20, 30, 40, 50: serían S grupos y otros 1O, 20, 30, 40, 50, son diez grupos ... (Guarda silencio como si ya hubiera terminado)

E: Con esos diez grupos ¿Cuántas rayas tendrías? N : 100 rayas

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(ífr"As· El niño sigue haciendo intentos por resolver el problema, finalmente la entrevista se desenvuelve as í:

E: Entonces ¡Cuántos grupos se forman con las 142 rayas? N: Son 1O grupos ... ¡Ah, no! Son 1 1O grupos

E: ¡Por qué? N: Porque mira, iban 100 y eran 142, serían 140 grupos.

E: ¡Serían 140 grupos de diez? N: Sí

E: ¡Por qué? N: Como habían 1Ogrupos de diez, uno completa 100 y uno suma otros 1O y quedan 110, y otros 10, 120 y otros 10, 130 y otros 10 son 140 ...

E: ¡ 140 qué? N: 140 grupos de diez

E: ¡Y cuántas rayas son? N: ¡En total? 140 rayas

E: La pregunta que te hago es: Con las 142 rayas ¡Cuántos grupos de diez pueden salir? N: ¡De diez? ... 1OO ... , 1O, 240 (Haciendo cuentas mentalmente) 140 serían ... 140 grupos de 1O.

E: ¡ 140 grupos de diez? N: Sí, 140 grupos de diez.

E: Y si tienes 140 grupos de diez, ¡Cuántas rayas son? N: 140 rayas (convencido, le parece obvio)

E: O sea que ¡Es lo mismo tener 140 rayas que tener 1O grupos de diez? N: ¡No! (Lo dice con seguridad)

Nota: El niño cae en la cuenta de la contradicción, reinicia sus cuentas hasta terminar resolviendo correctamente el problema.

RESULTADOS: Sumando a la experiencia de Kamii las entrevistas anteriormente expuestas, podemos reafirmar sus conclusiones: l. Contar fichas a su manera: La mayoría de los estudiantes de primaria, cuentan por unidades grandes cantidades de fichas. Contar por decenas, mediante la completa separación en grupos de diez no aparece en los primeros grados. Una técnica frecuentemente usada fu e contar pares, sin e m bargo, ésta es tan sólo una forma más rápida de contar unidades. 2. Contar Fichas por decenas: En esta parte se evidencia claramente qu e la dificultad qu e presentan los aprendices para contar unidades de segundo orden tiene que ver con la dificultad para establecer relaciones parte-todo. Se presentan situaciones como: - No saber como contar las fichas, es decir, niños a los cuales les fue imposible encontrar la manera de contar las fichas presentadas por decenas.

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(ífr?J.s· - Contar cada ficha como si fuera una decena, es decir, se relaciona con la matemática moderna, la cual enseña a los niños a hacer grupos de dos, tres, cuatro, etc., y codificar y decodificar grupos de números y de unidades en una variedad de bases. - No diferenciar el todo en sus partes, es decir, contar grupos de diez, separarlos físicamente pero no poder dar cuenta de qué cantidad están conformando esos grupos de diez - Hacer grupos de diez conservando el todo. en donde se hacen los grupos de diez pero se mant iene la totalidad al poder expresar que cifra representan esos grupos de diez. Al analizar estas entrevistas podemos comprender la conclusión de Kamii con respecto a la enseñanza de las matemáticas en los primeros grados: "La dificultad generalizada

del valor de posición puede deberse, por lo menos en parte, a los procedimientos clásicos de enseñanza. El procedimiento de empezar con las unidades estimula a los niños a contestar irreflexivamente respuestas sin pensarlas. Los procedimientos convencionales parecen ser eficientes para el adulto. Pero los niños pequeños no piensan como los adultos y si quisiéramos mejorar la enseñanza necesitaríamos enfocarla en la forma como ellos piensan. El valor de posición y los procedimientos convencionales son producto de centurias de construcción por parte del adulto. Los niños no pueden "tragarse" estos productos en su forma final. Para dominar el valor de posición y continuar con otras cosas que dependen de su fundamentación, ellos deben seguir un proceso de reconstrucción".'

Kamii. M. El valor de posición, una explicación de sus dificultades e implicaciones educacionales para los

alumnos de primaria. 1998.

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(ífr?J.s· ARTÍCULOS

SITUACIONES ADITIVAS NUMÉRICAS SIMPLES Entendidad como las situaciones de la vida escolar o cotidiana que para ser resueltas requieren de la realización de una operación aditiva numérica

Autores: Equipo investigador de fa Facultad de Psicología de fa Universidad javeriana

A continuación presentamos un trabajo de investigación y conceptualización sobre situacio nes aditivas numéricas simples que son propias de la etapa del desarrollo en la cual se encuentran los aprendices. En la primera parte se describen las diferentes clases de situaciones aditivas numéricas simples, ejemplificando cada una de ellas; en la segunda parte se muestran también de forma ejemplificada los diferentes procedimientos a emplear para resolver dichas situaciones, y por último se presentan los procedim ientos a seguir en la resolución de cada tipo de situación.

l. Clasificación descriptiva de las situaciones aditivas numéricas simples Entendemos por situaciones aditivas numéricas simples, las situaciones de la vida escolar o cotidiana que para ser resueltas requieren de la realización de una operación aditiva numérica. Se llaman "simples" para diferenciarlas de las situaciones aditivas numéricas "compuestas" las cuales requieren para su resolución de la realización de dos o más operaciones aditivas numéricas. Toda situación aditiva numérica simple presenta tres elementos, los cuales corresponden lógicamente a dos partes (P 1 y P2) y una totalidad (T) resu ltante de la composición de las dos partes. Su forma genérica sería:

Parte uno (P 1) + Parte dos complementaria (P2) = T (Totalidad)

Como se trata de una situación problema, esto es, una situación que ha de ser resuelta por el sujeto, se caracteriza porque presentan dos elementos conocidos para obtener el tercero d esconocido a partir de estos dos. De acuerdo a diversos factores, las situaciones aditivas numéricas simples son susceptibles de ser clasificadas y tipificadas lógicamente. Con el propósito de hacer una clasificación lógica de dichas situaciones, presentamos el siguiente cuadro que ilustra sin orden alguno diferentes situaciones aditivas numéricas simples:

* Equipo compuesto por:Angela María Robledo. jorge Castaño G. y Juan Carlos Negret P.

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(ífr"As· DIVERSAS SITUACIONES ADITIVAS NUMÉRICAS SIMPLES • Pedro tiene 15 bolitas, Javier tiene 16 bolitas, ¿Cuántas bolitas tienen entre los dos? • T ienes 1O bolitas, juegas y pierdes 4 bolitas, ¿Con cuántas bolitas te quedas al final? • Pedro t iene 15 bolitas, ¿Cuántas bolitas le faltan para completar 30? • Pedro t iene $100 y Javier tiene $80, ¿Cuánta plata más tiene Pedro que Javier? • Jugaste y ganaste 4 bolitas, y al final del juego quedaste con 9 bolitas, ¿Cuántas bolitas tenías antes de empezar el juego? • Jugaste y perdiste 7 bolitas, y al final del juego quedaste con 8 bolitas, ¿Cuántas bolitas tenías antes de empezar el juego?

Situaciones Aditivas de la forma 1 (con evento) En un primer análisis de las situaciones presentadas se puede obser var que algunas de ellas se caracterizan porque se refieren a sucesos ocurridos en el tiempo, en donde un evento transforma una situación inicial. Se tienen por ejemplo 5 bolas, se ganan 8 y se pregunta por e l número de bolas con las que se queda después del juego. En términos generales podemos definir estas situaciones porque se componen d e un Estado Inicial (Ei), un Evento (Ev) que transforma el estado inicial, y un estado Final (Ef) resultante de esa t ransformación. De manera más sistemática podríamos analizar esas situaciones así:

Primer lapso Estado inicial--i> Ei Tienes 4 bolitas

Segundo lapso Evento --i> Ev juegas y te ganas 5

Tercer lapso Estado Final--i> Ef ¿Con cuántas te quedaste?

Situaciones Aditivas de la forma 11 (sin evento) Las situaciones restantes se caracterizan porque no hacen referencia a un evento que transforme en algún momento un estado de cosas. Presentan dos datos que hacen referencia a estados de cosas y se hace una pregunta que pone en relación esos datos, preguntándose por el tercer dato que cumple la re lación especificada. Podemos ilustrar estas situaciones así:

Dato 1

Dato 2

Dato resultante

Pedro tiene S bolitas

Javier tiene 16

¿Cuántas bolitas tiene más Javier que Pedro?

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(ífr?J.s· En las primeras situaciones mencionadas se trata de dar cuenta de una T RANSFORMACIÓN CONCRETA, que sucedió realmente, descrita por el EVENTO. En las otras situaciones se trata de encontrar mediante una operación el dato que verifica la RELACIÓN ABSTRACTA, que la situación demanda, descrita por la pregunta. En otras palabras la pregunta define la re lación aditiva que el sujeto tiene que establecer entre los elementos conocidos para obtener una operación aditiva numérica, el elemento desconocido. Como consecuencia de lo anterior encontramos que las primeras situaciones implican temporalidad, a diferencia de las segundas que hacen abstracción de toda temporali dad. En el cuadro siguiente presentamos las situaciones aditivas clasificadas de acuerdo a la presencia de una TRANSFORMACIÓN real descrita por un EVENTO (situaciones con evento), o de una RELACIÓN (situaciones sin evento).

Las 4 situaciones aditivas numéricas simples sin evento

·Tipo de situación

Tipo 1

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Forma de pregunta

¿Cuánto se reúne? ¿Cuánto suma? Etc.

Ejemp.los

. Pedro tiene 15 bolitas, Javier tiene 16 bolitas, ¿Cuántas bolitas reúnen entre los dos?

Tipo 11

¿Cuánto es la diferencia? ¿Cuál es la resta? Etc.

• Pedro tiene 50 bolitas, Javier tiene 16 bolitas ¿Cuál es la diferencia de bolitas entre Pedro y Javier?

Tipo 111

¿Cuánto le falta? ¿Cuánto menos? ¿Cuánto hay que ponerle? Etc.

• Pedro tiene 15 bolitas, ¿Cuántas bolitas le faltan para completar 30? • Pedro tiene $15, José tiene $30, ¿Cuánto menos tiene Pedro con relación a José?

Tipo IV

¿Cuánto le sobra? ¿Cuánto más? ¿Cuánto hay que quitarle? Etc.

• José tiene $30, ¿Cuánto le sobra con relación a Juan que tiene $18? • Pedro tiene $1 00 y Javier tiene $80, ¿Cuánta plata más tiene Pedro que Javier?

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(ífr"As· Las 6 situaciones aditivas numéricas simples con evento Tipo de la situación

Forma de la situación estados-evento

Ejemplo

Tipo 1

Ev+

• Tiene 4 bolitas, juegas y te ganas 5 bolitas, ¿Con cuántas bolitas te quedaste al final?

Tipo 11

Ev-

• Tienes 1O bolitas, juegas y pierdes 4 bolitas, ¿Con cuántas bolitas te quedas?

Tipo 111

• Tienes 25 bolitas, juegas y al final del juego te das cuenta que tienes 32 bolitas, ¿Qué pasó en el juego? ¿Cuántas bolitas ganaste?

Tipo IV

• Tienes 23 bolitas, juegas y al final del juego te das cuenta que tienes 15 bolitas, ¿Qué pasó en el en el juego? ¿Cuántas bolitas perdiste?

Tipo V

Ev+

• Jugaste y ganaste 4 bolitas, y al final del juego quedaste con 9 bolitas, ¿Cuántas bolitas tenías antes de empezar el juego?

Tipo VI

Ev-

• Jugaste y perdiste 7 bolitas, y al final del juego te quedaste con 8 bolitas, ¿Cuántas bolitas tenías antes de empezar a jugar?

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(ífr?J.s· 11. Esquemas cognitivos usados para la resolución de situaciones aditivas numéricas simples A continuación se p resentan los diferentes esquemas cognitivos que se emplean para resolver las situaciones adit ivas numéricas, dichos esquemas permiten comprender la lógica de resolución de cada una de las situaciones anteriormente descritas.

Situación de tipo 1: Composición Este tipo de situación sucede cuando un estado se ve transformado po r un evento positivo (ganar, recibir, etc.); o cuando se presentan dos datos referidos a estados de cosas y se pregunta por LA SUMA (o la reunión o el total, etc.). Lo que se demanda lógicamente para resolverlas es que el sujeto tenga al menos una INTUICIÓN DE LA RELACIÓN DE COMPOSICIÓN.

EJEMPLOS:

Forma 1: Tienes 6 monedas, en casa te regalan 3 monedas más, ¿Con cuántas monedas te quedas al final?

Forma 11: Tienes 1O monedas y Juan tiene 8, ¿Cuántas bolitas tienen entre los dos?

Forma directa -y ún ica- de asimilar y resolver la situación: En este caso el sujeto resuelve la situación reuniendo física o mentalmente los conjuntos que la situación presenta o, adicionando numéricamente los datos de la misma. En términos de relaciones de parte y todo, para resolver esta situación, al sujeto le basta tener la INTUICIÓN de que lo que se le demanda es hacer una composición de los datos considerados como partes para obtener la totalidad , (P 1 + P2 ---P T). En ciertos casos es posible el reconocimiento de que esa totalidad abarca las dos partes (T ---P P 1 + P2). El esquema que sintetiza las relaciones descritas, se expresa en la siguiente fórmula:

PI + P2 ---P? El signo + representa las acciones aditivas que el sujeto debe ejecutar. El signo ---P representa el PRODUCTO de las situaciones aditivas.

Situación de tipo 2: Descomposición Esta situación sucede cuando un est ado se ve tran sformado por un evento negativo (perdió, entregó, etc.); o porque se presentan dos datos referidos a estados de cosas y se pregunta por la RESTA (o la diferencia, etc.). Lo que demanda lógicamente para resolver estas situaciones es que el sujeto descubra, intuitivamente, al menos en ellas una SITUACIÓN DE DESCOMPOSICIÓN.

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(ífr"As· EJEMPLO: Forma 1: Tienes 1O monedas, vas a la tienda y gastas 4 monedas, ¿Con cuántas monedas te quedas! Forma 11: Ayer tenías 1O monedas y hoy sacaste 4 ¿Cuántas monedas te quedan!

Formas de asimilar y resolver esta situación a. Forma Directa: Por la vía de la descomposición: En este caso el sujeto resuelve la

situación separando física o mentalmente el conjunto correspondiente al número menor del conjunto correspondiente al número mayor, o sustrayendo numéricamente el dato menor del dato mayor. En términos de las relaciones parte y todo, para resolver esta situación, al sujeto le basta tener la INTUICIÓN de que lo que se le demanda es hacer una DESCOMPOSICIÓN de la totalidad para obtener la parte desconocida (T- P1--i> P2), intuición que puede ser lograda por el sujeto preoperatorio. Pero tal como se dice es una INTUICIÓN. El hecho de reconocer que la totalidad se puede descomponer en dos partes y que al retirar una queda la otra, no necesariamente supone que el sujeto reconozca que al retirar una parte lo que queda es la parte complementaria. El esquema que sintetiza las relaciones descritas, lo expresamos en la siguiente formula:

T-PI --i>? b. Forma con transformación por la vía del complemento: En este caso el sujeto resuelve la situación partiendo del dato menor, buscando lo que le falta para completar el dato mayor.

En térm inos de las relaciones parte y todo a diferencia de la forma directa de representarse y resolver la situación, en este caso el sujeto se representa, ya en algún grado, la coordinación de las relaciones de composición y descomposición. Esta coordinación cuando es operatoria es la equivalencia que se expresa en la fórmula:

T - P1 = P2 4--i> P 1 + P2 = T Como en este momento se trata de una coordinación intuitiva, es como si el sujeto se representara que la obtención de la parte desconocida (P2) por la descomposición del todo, corresponde a buscar el complemento de la parte conocida con respecto al TODO. El esquema que sintetiza las relaciones y la coordinación descritas, lo expresamos en la siguiente fórmula:

(T - P1 --i> ?) ===P (P +

--i> T)

El signo===Prepresenta la coordinación intuitiva que no es aún la equivalencia entre las relaciones descritas.

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(ífr?J.s· Situaciones de tipo 3: Complemento Este tipo de situaciones se caracteriza cuando se trata de una situación de FORMA porque un estado se ve transformado por un evento positivo (ganó, recibió, etc.) que es desconocido, produciéndose un nuevo estado conocido (se quedó, etc.); o cuando se trata de una situación de FORMA 11 porque se presentan dos datos referidos a estados de cosas y se pregunta por LO QUE FALTA (o cuanto menos, cuántos debe poner para . .. , etc.). Lo que demanda lógicamente para resolver estas situaciones es que el sujeto descubra en ellas UNA RELACIÓN DE COMPLEMENTO.

EJEMPLO: Forma 1: Tienes 18 monedas, en tu cumpleaños te regalan varias monedas y cuando te das cuenta ya tienes 25 monedas, ¿Cuántas monedas te regalaron? Forma 11: Si tienes 18 monedas, ¿Cuántas te faltan para completar 30?

Formas para asimilar y resolver esta situación a. Forma directa por la vía del complemento: En este caso el sujeto resuelve la situación partiendo del dato menor, buscando lo que falta para completar el dato mayor. En términos de las relaciones parte y todo para resolver esta situación, el sujeto ha de comprender que lo que se le demanda es encontrar el complemento de la parte conocida con respecto al todo. Para comprender que a una parte (P 1) se le puede agregar otra parte (P2) para complementar el todo, es necesario que el sujeto tenga intuición de COMPOSICIÓN y que comprenda que la parte que ha de encontrar (P2) es ahora la parte complementaria (que notamos P2). Esto no significa que el sujeto comprende que el complemento equivalga a la sustracción de la parte conoc ida de la totalidad. Como se desconoce una de las partes, la fórmula del esquema como el sujeto se representa esta situación es:

PI + b . Forma con transformación por la vía de la sustracción: En este caso el sujeto resuelve la situación sustrayendo d el dato mayor que reconoce como la totalidad, el dato menor que reconoce como la parte. Este tipo de resolución se produce porque además de la forma directa de representarse y resolver esta situación, es también posible que si el sujeto tiene en algún grado la coordinación de las relaciones de composición y descomposición, pueda representarse esta situación. Es como si el sujeto representara que la obtención de la parte complementaria (P2) con respecto al todo (T) a partir de la parte conocida (P 1); corresponde a comprender que la parte complementaria (P2) es lo que queda una vez que a la totali dad le

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(ífr"As· sustrae la parte conocida (P 1). El esquema que sintetiza las relac iones y la coordinación descritas, lo expresamos en la siguiente fórmu la:

P 1 + ? ---i> T ===P T - P1 ---i> P2 El signo ===P representa la coordinación intuitiva que no es aún la equivalencia entre las relaciones descritas.

Situaciones de tipo 4: Excedencia Este tipo de situaciones se caracteriza cuando se trata de una situación de la FORMA 1 porque un estado se ve transformado por un evento negativo (pe rdió, entregó, etc.) que es desconocido, produciéndose un nuevo estado conocido (se quedó con ... );o cuando se trata de una situación de la FORMA 11 porque se presentan dos datos referidos a estados de cosas y se pregunta por LO QUE SOBRA (o ¿Cuánto más! ¿Cuántos se deben quitar para ... !, etc.). Lo que se demanda lógicamente para resolver la situación es que el sujeto descubra en ella UNA RELACIÓN DE EXCEDENCIA.

EJEMPLO: Forma 1: Tienes 25 monedas, vas a la tienda y compras varias golosinas, te quedaron 1O monedas, ¿Cuántas monedas gastaste! Forma 11: Tienes 25 monedas Juan tiene 50, ¿Cuántas monedas más tiene Juan!

Formas resolver esta situación a. Forma directa por la vía de la excedencia: En este caso el sujeto resuelve la situación partiendo del dato mayor, y buscando el dato que sustraído a éste, le permite

obtener el dato conocido. En términos de relaciones parte y todo para resolver esta situación, el sujeto ha de comprender que lo que se le demanda es encontrar la excedencia del todo conocido con respecto a la parte conocida. Para comprender que se puede encontrar lo que a la totalidad (T) le sobra con respecto a una parte conocida (P2), parecería bastar que el sujeto tenga la intuición de la d escomposición. El esqu ema que sintetiza de manera general las relacio nes descritas en esta forma de representarse la situación, se puede expresar en la fórmula:

T-? ---i> PI b. Forma con transformación: • Por la vía de la sustracción: En este caso el sujeto puede resolver la situación sustrayendo el dato mayor que reconoce como la totalidad, el dato menor que reconoce como una de las partes. Este tipo de resolución se produce porque además de

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(ífr?J.s· la forma directa de representarse y resolver esta situación, es también posi ble que si el sujeto tiene, en algún grado, la coordinación de las relaciones de composición y descomposición, puede representársela como una relación de descomposición. Es como si el sujeto se representara que la obtención de la parte excedente (P2) con respecto al todo (T) a partir de la parte conocida (P 1), corresponde a comprender que la parte excedente (P2) es lo que queda una vez que a la totalidad se le sustrae la parte conocida (P 1). El esquema que sintetiza las relaciones y la coordinación descritas lo expresamos en la siguiente fórmula:

(T - ? --i> P 1)

(T-PI

--i> ?)

• Por la vía del complemento: En este caso el sujeto puede resolver la situación

buscando el complemento de la parte menor con respecto a la parte mayor. Este tipo de resoluci ón se produce porque además de las form as precedentes de representarlas y resolver esta situación, es también posible que si el sujeto tiene en algún grado, la coordinación de las relaciones de composición y descomposición, pueda representarse y resolver esta situación buscando el complemento de la parte conocida con respecto al todo conocido. Es como si el sujeto se representara que la obtención de la parte excedente (P2) con respecto al todo (T) a partir de la parte conocida (P 1), corresponde a comprender que la parte excedente (?) desconocida es lo que le falta a la parte conocida (P 1) para completar la total idad. El esquema que sintetiza las relaciones y coordinación descritas, se expresa en la siguiente fórmu la:

(T - ? --i> P1)

( p 1+}

Situaciones de tipo 5: Complemento a izquierda Este tipo de situaciones que solo se presentan en la FORMA 1 se caracterizan porque un estado inicial desconocido (no se sabe cuánto tenía) se ve t ransformado por un evento posit ivo (juega y gana, recibe, etc.) produciendo un nuevo estado conocido (se queda con). Lo que se demanda lógicamente para encontrar el estado inicial desconocido (cuánto ten ía) es que el sujeto establezca UNA RELACIÓN DE COMPLEMENTO A IZQUIERDA

EJEMPLO: Forma 1: Te encontraste 3 monedas y con las que tenías reuniste 9 monedas ¡Cuántas monedas tenías al principio!? Forma 11: No aplica

Formas resolver esta situación a. Forma directa por la vía del complemento a la izquierda: En términos de las relaciones parte y tod o para resolver est a situación, el sujeto se representa que lo que t iene que encontrar es la parte desconocida (P 1) que adicionada con la parte co-

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(ífr"As· nocida (P2) le produce la totalidad. Para comprender que el estado inicial es una parte desconocida, que adicionada con el evento que es la otra parte, produce el estado final que es la totali dad, es necesario que el sujeto tenga la intuición de la composición:

? + P2 ---i> T Pero en este caso con la intuición de la descomposición resultaría insuficiente. En efecto, además de la intuición de la composición, en esta situación el sujeto debe tener en cuenta de manera más precisa las relaciones de temporalidad, presente en las situaciones anterio res de la FORMA I.Y esto porque en los casos anteriores, el sujeto establece las relaciones parte y todo en el mismo orden en que suceden en el tiempo puesto que siempre conoce el estado inicial. En este caso, lo que sucede es que el sujeto tiene que representarse un evento que actuó en el pasado, sobre un estado inicial que él desconoce. Entonces para representarse las partes a componer debe reconstruir, en el tiempo, la situación y comprender que lo que tenía era una parte que modificada por el evento -la otra parte- le produjo el estado final -/a totalidad-. Esto se refleja de manera muy clara cuando a algunos sujetos al presentarles la situación exigen que se les de el estado inicial. Veamos un ejemplo en la siguiente entrevista:

E: No sabías cuántas bolitas tenías, juegas y ganas 5 bolitas, y ahora tienes 13 bolitas. ¿Cuántas bolitas tenías antes de jugar! N: Pero ¿Cuántas tenía al principio!

E: Eso es lo que te estoy preguntando N: Si no me dice cuántas tenía al comienzo, no le puedo responder.

Esto explica por qué las situaciones de tipo 5, que se resuelven a partir de la intuición de la composición son más difíciles de resolver para los sujetos, que las anteriores que se basan en esta misma intuición. En efecto, si bien un sujeto tiene la intuición de la composición (P 1 + P2 ---i> T),lo que se le dificulta aquí es reconocer en los datos del problema, qué corresponde a las partes y qué al todo, y cuáles son las relaciones entre ellos y la incógnita. El esquema que representa las relaciones descritas en esta forma de presentarse y resolver la situación, se pueden expresar en la fórmula:

? + Ev ---i> Ef ? + P2 ---i> T b. Formas con transformación

Por la vía del complemento a derecha: En este caso el sujeto puede resolver la situación partiendo del evento, buscan do lo que le falta para completar el estado fi nal. Este tipo d e resolución se produce porqu e además de la forma precedente de representarse y resolver esta situación, el sujeto tiene, en algún grado, la coordinación de las relaciones de composición y descomposición y el manejo de las relaciones de temporalidad implicadas en la situación, que le permiten comprender el dato-evento como la parte conocida a la que se le demanda encontrar el complemento.

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(ífr?J.s· Es como si el sujeto se representara que la parte desconocida (P 1 !), corresponde a obtener el complemento a derecha de la parte conocida (P2) con respecto al todo. El esquema que sintetiza las relaciones y la coordinación descritas, lo expresamos en la siguiente fórmula:

(? + P2 --i> T)

( P2 +? --i> T)

Por la vía de la sustracción: En este caso el sujeto puede resolver la situación sustrayendo del dato -estado final- que reconoce como la totalidad y el dato-evento que corresponde como una de las partes. Este tipo de resolución se produce porque además de la forma directa de representarse y resolver esta situación es también posible que si el sujeto tiene, en algún grado, la coordinación de las relac iones de composición y descomposición , puede presentarse que el complemento a izquierda se puede hacer corresponder con la descomposición. Es como si el sujeto representara que la parte desconocida (P 1) es lo que queda una vez que a la totalidad se le sustrae la parte conocida (P2). El esquema que sintetiza las relaciones y la coordinación escritas, lo expresamos en la siguiente fórmula:

( ? + P2 --i> T)

(T - P2 --i> ?)

Situaciones de tipo 6: Recomposición En este caso para resolver este tipo de situaciones que solo se presentan en la FORMA se caracterizan porque un estado inicial desconocido (no se sabe cuánto tenía ... ) se ve transformado por un evento negativo (juega y pierde, entrega, etc.) produciéndose un nuevo estado conocido (se queda con ... ) Lo que se demanda lógicamente para encontrar el estado inicial escocido, es que el sujeto establezca una relac ión de composición que por el carácter fuertemente temporal de esta situación llamamos RELACIÓN DE COMPOSICIÓN.

EJEMPLO: Forma 1: Gastaste 6 monedas y te quedaron 8, ¿Cuántas monedas ten ías antes de gastar! Forma 11: No aplica

Formas para asimilar y resolver esta situación a. Forma directa por la vía de la descomposición: En términos de las relaciones

parte y todo para resolver esta situación el sujeto se representa que lo que tiene que encontrar es la totalidad desconocida -el est ado inicial- que al sust raerle la part e conocida -el evento- le produce la otra parte -el estado final-. Para comprender que el estado inicial es la totalidad desconocida a la que al sustraerle la parte conocida -el evento- produce el estado final que es la otra parte:

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(ífr"As· El.·?

Ev ......P Ef

P1 ----i> P2

Ahora, para tener la intuición de la descomposición, en este caso, se requiere que el sujeto sea capaz de representarse el estado inicial como el Todo. Pero en este caso el todo es desconocido el sujeto debe conservarlo a pesar de que fue descompuesto por el evento - una de las Partes- que le produjo el estado final -la otra Parte-.

111. Procedimientos para la resolución de situaciones aditivas numéricas simples Cuando el sujeto se ve enfrentado a una situación aditiva en primera instancia se representa la situación asimilada a determinados esquemas cognitivos tal como los presentados anteriormente. Pero para la resolución de la situación el sujeto realiza una especie de acciones particulares que llamamos PROCEDIMIENTOS. Siguiendo los planteamientos de Piaget, los procedimientos consisten en secuencias de acciones que sirven de medios para conseguir el objetivo, siendo este lo que determina las acciones. Estas consecuencias son verdaderos sistemas de acción que en tanto tales se pueden identificar y se caracterizan en términos generales porque: Están estrictamente vinculados a los esquemas cognitivos, los cuales les otorgan significación y pertinencia. Están dirigido a alcanzar un objetivo. Es difícil abstraerlos de su contexto, ya que se relacionan con situaciones específicas y heterogéneas. Son temporales, en el sentido en que el método posterior sustituye al anterior que ya no resulta necesario. Son transferib les entre situaciones pero no generalizables como los esquemas.

Procedimiento 1: Reunión y conteo Es aquel que cuando para resolver una situación, el sujeto procede de la siguiente manera: • Junta física o mentalmente los conjuntos A y B. Cuenta el número de elementos del conjunto resultante C. Expresado dicho procedimiento en una fórmula sería: R(A;B)

ere

En donde R(A;B) significa la reunión de los conjuntos A y B; y crC significa el número cardinal del conjunto C.

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(ífr?J.s· ENTREVISTA lván- 6 años-preescolar

E: Tienes 4 bolitas y te ganas S bolitas. ¡Cuántas bolitas tienes en total? N : (Dibuja primero 4 bolitas y después las otras S)

o o

Me quedo con 9.

E: ¡Cómo hiciste para saber que eran 9? N: Conté 1,2,3,4,S,6,7,8,9, (señalando las bolitas)

Procedimiento 2:Agregación sucesiva y reflexión En este caso el sujeto parte del cardinal del primer conjunto y agrega sucesivamente el número de veces designado por el cardinal del segundo conjunto. Su fórmula es:

CRa (+lyrB -i> CRc Donde(+ 1) elevado al "crB" significa que la acción de agregar 1 se repite tantas veces como lo indica el cardinal B, hasta obtener el cardinal C. ENTREVISTA Fabio- 8 años-Primero

E: Tienías 4 bolitas jugaste y ganaste S bolitas. ¡Con cuántas bolitas quedaste al final? N: 9 (contesta inmed iatamente)

E: ¡Cómo hiciste para saber que eran 9? N: Pensando

E: ¡Cómo? N: En la mente

E: ¡Cómo pensaste en la mente? N: Sumando. Dice 4 (levanta la mano), S (agachando un dedo), 6 (agachando el siguiente), y así sucesivamente 7,8,9

El sujeto adiciona los cardinales a los dos conjuntos, bien sea acudiendo a los algoritmos aritméticos posic ionales o no posicionales. Procedimiento 3: Adición por procedimientos no posicionales: El sujeto adiciona los cardinales de los conjuntos por procedimientos no posicionales descomponiendo y recomponiendo los cardinales con los que opera.

Los procedimientos no posicionales son muy diversos dependiendo de las cantidades con las que se esté trabajando. En algunas ocasiones se descompone el número en decenas (el 24 en 20 y 4) en otras ocasiones se le agrega al número lo necesario para completar la decena siguiente (el 24 al 30), etc.

H&G

1-'M'CJG I-<AMA

(ífr"As· Procedimiento lB: Adición por procedimientos posicionales: El sujeto adiciona los cardinales de los conjuntos siguiendo el procedimiento posicional (el algoritmo aritmético que se aplica cuando se suman los cardinales dispuestos en columnas).

ENTREVISTA Diego -9 años- Grado Segundo

E: Tienes 23 fichas. Estamos jugando y te ganas 15 fichas. ¿Cuántas tienes en total? N: 38 (dudando)

E: ¿Cómo hiciste para saber que eran 38? N: Tenía 23 y gané 15, entonces pensé que eran 20 y si eran 15 entonces eran 35;y después sumé los otros tres y me dio el resultado

Procedimiento 4: Separación y conteo Para resolver la situac ión el sujeto procede de la siguiente manera: •

Separa física o ment almente el conjunto A del C.

•

Cuenta el número de elementos del conjunto resultante B. Expresado este procedim iento en una fórmu la, sería:

S(A,C)

crB

En donde S(A,C) significa la separación del conjunto A del conjunto C , y crB significa el cardinal del conjunto B.

ENTREVISTA FABIO -8 años- Grado Primero

E: Tienes 17 bolitas juegas y al final miras y tienes 25 bo litas. ¡Qué pasó durante el juego? N: (El niño pinta las 17 bolitas y se queda en silencio)

E: Y al final miras y tienes 25 bolitas, ¿Qué pasó? N: No entendí nada

E: (Repite el problema) N: Que le gané a mi hermano

E: ¡Cuántas? N: (El niño pinta las 25 bolitas) y dice le gané 25

E: Pero tu ya tenías 17 bolitas N: Le gané 8 ... Tapé las mías y conté las que le gané a mi hermano

Procedimiento 5: Desagregación sucesiva y reflexión El sujeto parte del cardinal del conjunto que reconoce como la totalidad y desagrega sucesivamente (-1) el número de veces designado por el cardinal del segundo conjunto. Su fórmula es:

Portafolio del educador del Programa Cifras®de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromie nto sygestion.com • correo@he rramientasygestton.com

H&G

... 1-(0GKAMA

(ífr?J.s· CrC (-1)

erA

-i> crB

Donde (-1) elevado al erA significa que la acción de desagregar veces como lo indique el cardinal A, hasta obtener el cardinal B.

se repite tantas

ENTREVISTA

Wilson -7 años- Grado Primero E: No sabías cuántas bolitas tenías, jugaste y ganaste 7 bolitas, al final quedaste con 11 bol itas ¿Cuántas bolitas ten ías al principio! N: No me acuerdo, repítemelo E: (Repite el problema) N: ¿Cuántas me gané? E: 7 bolitas N: (Dibuja 11 palitos y él mismo se pregunta ¿Con cuántas terminé? Y se contesta). Con 11 (Se pregunta ¿me gané 7? Entonces tacha 7 palitos y dice:) Tenía 4 bolitas al princi pio E: {Por qué sabes que tenías 4! N: Porque 4 más 7 igual a 1 1

Procedimiento 6: Sustracción El sujeto sustrae e l cardinal del conjunto menor del cardinal del conjunto mayor, bien sea acudiendo a algoritmos aritméticos posicionales o no pos icionales. Procedimiento 6": Sustracción Por Procedimientos No Posicionales: El sujeto sustrae el cardinal del conjunto que reconoce como la parte, del cardinal del conjunto que reconoce como la totalidad por procedimientos no posicionales, descomponiendo o recomponiendo los cardinales con los que opera. Al igual que en el caso de la adición , estos procedimientos son muy diversos depend iendo de las cantidades con las que se este trabajando. Procedimiento 6b: Sustracción Por Procedimientos Posicionales: El sujeto sustrae el cardinal del conjunto -parte del cardinal del conjunto Todo- siguiendo el procedimiento posicional (el algoritmo aritmético que se aplica cuando se sustraen los cardinales dispuestos en columnas). ENTREVISTA

Camilo -7 años- Grado Primero

E: No sabías cuántas bolitas tenías, te ganaste 2 bolitas, al final quedaste con 6 bolitas. Entonces ¿Cuántas bolitas ten ías al principio?

N: 4 E: ¿Cómo supiste qu e eran 4! N: Pues yo ten ía un montoncito que no sabía cuánto era, entonces me gané 2, entonces me quedan 6, porque 6-2=4. Entonces me di cuenta de que tenía 4 al principio

H&G

1-'M'CJG I-<AMA

(ífr"As· Los Procedimientos Posibles Para Resolver Las Situaciones Aditivas

Nombre

Descripción del procedimiento

Hipótesis y verificación

El sujeto asume hipotéticamete un dato y lo verifica en la situación.

Reunión y conteo

El sujeto reune los conjuntos presentes o figurados y obtiene cuenta (obtiene R(A, B) ---] C ---] el cardinal) del conjunto resultante.

Separación y conteo

Fórmula lógica

El sujeto separa física o mentalmente el conjunto -parte del conjuntoS(C,A) --] B ---] todo y cuenta el conjunto que le queda.

Conteo repetido y reflexión

el sujeto parte del cardinal del primer conjunto y cuenta repetidamente (agregando + 1) el número designado por el cardinal del segundo conjunto.

Reconteo repetido y reflexión

El sujeto parte del cardinal del conjunto todo y retrocuenta repetidamente crC(-l)c,.s --] erA (desagregando -1) el número de veces designado por el cardinal del conjunto-parte.

Adición por procedimientos No posicionales ANP

El sujeto adiciona los cardinales de los conjuntos por procedimientos no posicionales, descomponiendo y recomponiendo los cardinales con los que opera.

Adición por procedimientos posicionales APP

El sujeto adiciona los cardinales de los conjuntos siguiendo el procedimiento posicional (el algoritmo aritmético).

Sustracción por procedimientos no posicionales SNP

El sujeto resta el cardinal del conjunto parte del conjunto todo por procedimientos no posicionales, descomponiendo y recomponiendo los cardinales.

Sustracción por procedimientos posicionales APP

El sujeto resta el cardinal del conjunto parte del cardinal del conjunto todo siguiendo el procedimiento posicional (el algoritmo aritmético).

crC

crB

CrA(+ l)CrB--] ere

Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromientosygestion.com • correo@herramientasygestton.com

H&G

PROGRAMA

(ifr?J.S©

Caja de herramientas Cuadro con los tipos de situaciones aditivas numéricas simples, formas de preguntar, esquemas y procedimientos para su resolución

H E RRA MI E N TA S

GES T I Ó N

... 1-(0GKAMA

(ífr?J.s· Tipos de situaciones aditivas numéricas simples, formas de preguntar, esquemas y procedimientos para su resolución SITUACIONES

FORMAS

TIPO

DE SITUACIÓN

PREGUNTAR

TIPO 1 Composición

FORMAS PSICOLÓGICAS DE REPRESENTACIÓN Y RESOLUCIÓN DE LAS SITUACIONES ESQUEMAS ADITIVOS NUMÉRICOS

¿Con cuántos se

TIPO 11 Descomposición

PI + P2 --i>

Reunión y Conteo Agreg. Sucesiva y reflexiva Adición

T- PI --i>

Separación y Conteo Desagrreg. Sucesiva y reflexiva Sustracción

quedó? ¿Con cuántos se quedó? ¿Cuál es la diferencia

PROCEDIMIENTOS

T- PI --i>

===P PI + ?--i> T

¿Cuántos ganó?

PI + TIPO 111 Complemento a Izquierda

¿Cuántos le

--i> T ===P T - Pl--i>

p +

¿Cuántos

¿Cuántos perdió?

' --i>

Agreg. Sucesiva y reflexiva Adición

T - ?--i> PI ==::p T - PI --i> ?

Separación y conteo Desagreg. sucesiva y reflexiva Sustracción

T-? --i>PI ===P PI + ?--i>T

Agreg. Sucesiva y reflexiva Adición

T-?--i> PI

Agreg. Sucesiva y reflexiva Hipótesis y verificación

¿Cuántos le

Excedencia

Separación y conteo Desagreg. Sucesiva y reflexiva Sustracción

faltan?

menos?

TIPO IV

Agreg. Sucesiva y reflexiva Adición

sobran? ¿Cuántos más? ¿Cuántos hay que quitarle?

Separación y conteo Desagreg. Sucesiva y reflexiva Sustracción

+ PI --i> T===P T- Pl--i>

+ Pl--i> T ===P PI + ?--i> T

Agreg. Sucesiva y reflexiva Adición

+ PI --i> T

Agreg. Sucesiva y reflexiva Hipótesis y verificación

TIPO V Complem ento

¿Cuántos ten ía?

a derecha

' TIPO VI Recomposición

H&G

¿Cuántos ten ía?

P1--i> P2 ==::p P2 + PI --i> T PI + P2 --i> T

Todos excepto separación y conteo

PROGRAMA

(ifr?J.S©

Alcance y secuencia conceptual

H E RRA MI E N TA S

GES T I Ó N

... 1-(0GKAMA

(ífr?J.s· Alcance y secuencia conceptual

El siguiente esquema representa la relación directa y articulación de los fundamentos teóricos expuestos en esta primera parte, con cada una de las fases y pasos que hacen parte de la metodología del Programa Cifras. Pretendemos ilustrar de forma práctica el alcance y secuencia conceptual de nuestra propuesta.

Sistema/concepto

. . . . . . . .

H&G

Fase/pasos

Signos y numerosidad

Cardinalidad

Orden y secuencia

Composición y descomposición

Sumas Restas

. . . . . . . . .

Dígitos. Pasos l y2

Artículo

Numerosidad

Cardinalidad

Orden y ordinalidad

Cifras paso 1

Dígitos: Paso 3 Cifras pasos 2 a 4

Dígitos: Pasos 4 y S Cifras: Pasos 3 a S

Dígitos: Paso 6

Dígitos: Pasos 7 y 8 Cifras: Pasos 6 a 8

. . .

Una aproximación al concepto de número

Comprensión el valor posicional Situaciones aditivas numéricas simples

Complemento Problemas