Libro del alumnado de Physics & Chemistry 4º ESO. Learn in English

O S E 4

h s i l g n E n i n r a e L

Physics & Chemistry EUGENIO MANUEL FERNÁNDEZ AGUILAR CARLOS JAVIER REINA JIMÉNEZ MANUEL GARCÍA DÍAZ CARLOS LOBATO FERNÁNDEZ MYRIAM QUIJADA SÁNCHEZ DIEGO CASTELLANO SÁNCHEZ Adapted by: MARÍA REYES CABALLERO GONZÁLEZ DAVID PEREA MORA

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ANDALUSIA

O S E 4 Física y Química EUGENIO MANUEL FERNÁNDEZ AGUILAR CARLOS JAVIER REINA JIMÉNEZ MANUEL GARCÍA DÍAZ CARLOS LOBATO FERNÁNDEZ MYRIAM QUIJADA SÁNCHEZ DIEGO CASTELLANO SÁNCHEZ

algaida

ANDALUCÍA

Coordinación editorial: Luis Pino García Edición: Joaquín Pérez Blanca Diseño de cubierta e interior: Alegría Sánchez Maquetación: Aurora Tristán Ilustraciones: Isabel Correa Moreu, Joaquín González Dorao, Kaffa, Juan Pablo Mora, Luis Domínguez y Aurora Tristán Edición gráfica: Olga Sayans Fotografías: Age Fotostock, Alamy/ Cordon Press, Album Archivo Fotográfico, Archivo Anaya ( Cosano, P.; Martín, J.A.; Ortiz, J.; Sánchez, J.; Torres, O.; Valls, R.), Centro Nacional de Aceleradores (CNA)/ Universidad de Sevilla, Junta de Andalucía y CSIC/ Instalación Científico-Técnica Singular (ICTS), Cordon Press, ESA/D. Ducros, ESA/ P. Carril, Getty Images, NASA, NASA/ESA/The Hubble Heritage Team (STScI/AURA)-Hubble/ Europe Collaboration/ H. Bond (STScI and Penn State University), 123RF y colaboradores.

Este libro ha sido elaborado conforme a la legislación vigente en materia educativa y responde a las enseñanzas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria y al currículo de la materia de Física y Química establecidos para Andalucía.

Todas las tareas, actividades y ejercicios que aparecen en este libro han de realizarse en un cuaderno aparte.

Las normas ortográficas seguidas en este libro son las establecidas por la RAE en su Ortografía (2010).

Muchas actividades y tareas han sido diseñadas para trabajar en equipo de manera cooperativa. Otras tareas del manual constituyen proyectos integrados de trabajo.

Nuestros materiales educativos son editados con el compromiso de fomentar y favorecer la igualdad de todas las personas y el respeto a la diversidad.

Los contenidos de este libro y los procedimientos de trabajo han sido seleccionados y elaborados teniendo en cuenta criterios de cuidado, protección y conservación del medioambiente.

© Del texto: Eugenio Manuel Fernández Aguilar, Carlos Javier Reina Jiménez, Manuel García Díaz, Carlos Lobato Fernández, Myriam Quijada Sánchez y Diego Castellano Sánchez. © De esta edición: Algaida Editores, S.A. 2021. Avda. San Francisco Javier, 22. Edif. Hermes, 5ª, 3-8. 41018 Sevilla.

Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra está protegido por la Ley, que establece penas de prisión y/o multas, además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios, para quienes reprodujeren, plagiaren, distribuyeren o comunicaren públicamente, en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica, o su transformación, interpretación o ejecución artística fijada en cualquier tipo de soporte o comunicada a través de cualquier medio, sin la preceptiva autorización. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro. org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.

Índice

1

PÁGINAS INICIALES

DESARROLLO

LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA

2

PÁGINAS FINALES

PÁGINAS INICIALES

DESARROLLO

CINEMÁTICA

PÁGINAS FINALES

3

PÁGINAS INICIALES

DESARROLLO

DINÁMICA

PÁGINAS FINALES

Cita inicial: Albert Szent Gyorgyi

9

¿Qué sabes hasta ahora?

9

Al finalizar la unidad habrás aprendido

9

1. La investigación científica

10

2. Magnitudes y unidades

13

3. La expresión de la medida

17

4. Tablas y gráficas

22

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

24

ESQUEMA DE LA UNIDAD

26

COMPETENCIAS CLAVE

- ¿Qué es la nanotecnología?

27

- Ley de conservación de la masa

28

- El electrón-voltio

28

LA UNIDAD EN 10 PREGUNTAS

29

Cita inicial: Julio Cortázar

31

¿Qué sabes hasta ahora?

31

Al finalizar la unidad habrás aprendido

31

1. El movimiento

32

2. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

41

3. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

49

4. Movimiento circular uniforme (MCU)

57

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

60

ESQUEMA DE LA UNIDAD

62

COMPETENCIAS CLAVE

- Distancia de seguridad

63

- Experimentando en la Luna

64

LA UNIDAD EN 10 PREGUNTAS

65

Cita inicial: Isaac Newton

67

¿Qué sabes hasta ahora?

67

Al finalizar la unidad habrás aprendido

67

1. El concepto de fuerza

68

2. Las leyes de Newton

75

3. Ley de gravitación universal

85

4. Dinámica del movimiento circular

88

5. Satélites

90

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

92

ESQUEMA DE LA UNIDAD

94

COMPETENCIAS CLAVE LA UNIDAD EN 10 PREGUNTAS

- Johannes Kepler

95

- Satélites

96 97

ACTIVIDAD PRÁCTICA: Ley de Hooke

98

APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS: Vamos a llegar lejos

100

Índice 4

PÁGINAS INICIALES

DESARROLLO

LA PRESIÓN

PÁGINAS FINALES

Cita inicial: Evangelista Torricelli

103

¿Qué sabes hasta ahora?

103

Al finalizar la unidad habrás aprendido

103

1. La presión

104

2. Principio fundamental de la hidrostática

106

3. El principio de Pascal

109

4. El principio de Arquímedes

112

5. La presión atmosférica

116

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

122

ESQUEMA DE LA UNIDAD

124

COMPETENCIAS CLAVE

- La balanza hidrostática

125

- Una ‘U’ muy equilibrada

126 127

LA UNIDAD EN 10 PREGUNTAS

5

Cita inicial:Louis Pasteur PÁGINAS INICIALES

¿Qué sabes hasta ahora?

Al finalizar la unidad habrás aprendido 1. Cambios físicos y químicos

DESARROLLO

2. Reacciones químicas 3. La química en la sociedad ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN ESQUEMA DE LA UNIDAD

LA ENERGÍA

PÁGINAS FINALES

- Un muelle muy enérgico COMPETENCIAS CLAVE

- El carrito del minero - La pelota mecánica

LA UNIDAD EN 10 PREGUNTAS

6

Cita inicial: W. Thomson PÁGINAS INICIALES

¿Qué sabes hasta ahora?

Al finalizar la unidad habrás aprendido 1. Temperatura y calor

DESARROLLO

2. Efectos del calor 3. El equilibrio térmico 4. Transformaciones entre calor y trabajo ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN ESQUEMA DE LA UNIDAD

ENERGÍA TÉRMICA

PÁGINAS FINALES

- Cómo cocer un huevo en el Everest COMPETENCIAS CLAVE

- El anillo de Gravesande - Turbinas de vapor

LA UNIDAD EN 10 PREGUNTAS ACTIVIDAD PRÁCTICA: Pelotas y rebotes APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS: Jugando con Pascal

7

Cita inicial: J. J. Thomson PÁGINAS INICIALES

¿Qué sabes hasta ahora?

Al finalizar la unidad habrás aprendido 1. La estructura del átomo 2. El sistema periódico

DESARROLLO

3. El enlace químico 4. Formulación inorgánica 5. Fuerzas intermoleculares ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

EL ÁTOMO Y EL ENLACE QUÍMICO

ESQUEMA DE LA UNIDAD PÁGINAS FINALES

- Fosfolípidos

COMPETENCIAS CLAVE

- La tabla periódica por países

LA UNIDAD EN 10 PREGUNTAS

8

Cita inicial: Sture Forsén PÁGINAS INICIALES

¿Qué sabes hasta ahora?

Al finalizar la unidad habrás aprendido 1. Magnitudes químicas

DESARROLLO

2. Reacciones químicas 3. Tipos de reacciones 4. Estequiometría ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN ESQUEMA DE LA UNIDAD

REACCIONES QUÍMICAS

PÁGINAS FINALES

- Teoría de Arrhenius

COMPETENCIAS CLAVE

- Un desastre en el laboratorio

LA UNIDAD EN 10 PREGUNTAS

9

Cita inicial: August Kekulé PÁGINAS INICIALES

¿Qué sabes hasta ahora?

Al finalizar la unidad habrás aprendido 1. La química del carbono 2. El átomo de carbono

DESARROLLO

3. Los compuestos del carbono 4. Biomoléculas orgánicas 5. Polímeros ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

LA QUÍMICA DEL CARBONO

ESQUEMA DE LA UNIDAD PÁGINAS FINALES

- Bolas y varillas

COMPETENCIAS CLAVE

- Petróleo y salud

LA UNIDAD EN 10 PREGUNTAS ACTIVIDAD PRÁCTICA: Volumetría de neutralización ácido-base APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS

ANEXOS

Recursos matemáticos

Tabla periódica

Gráficas (cinemática)

Formulación inorgánica

Unidades y factores de conversión

Formulación orgánica

Constantes

Proyecto de investigación

Fórmulas

Conoce tu libro PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Doble página inicial con: Imagen de gran tamaño alusiva al título de la unidad.

Cita motivadora e imagen de su autor o autora. Índice temático de la unidad.

Cuestiones previas (“¿Qué sabes hasta ahora?”).

Objetivos de la unidad (“Al finalizar la unidad habrás aprendido”).

DESARROLLO DE LA UNIDAD Los epígrafes y subepígrafes desarrollan los contenidos de cada unidad. Los conceptos esenciales aparecen destacados para que puedas identificarlos y asimilarlos mejor. Además, dispones de numerosos recursos complementarios: Fotografías e ilustraciones científicas con gran detalle y precisión.

Cuadros sinópticos, tablas y esquemas.

Actividades internas para consolidar los contenidos.

Actividades resueltas: explicación paso a paso de las principales tipologías de actividades. ¿Sabías que…?: curiosidades científicas.

Informaciones complementarias: biografías de personalidades científicas, explicaciones adicionales, etc.

Recuerda: recordatorios de cuestiones ya estudiadas.

Experimentamos: sencillos experimentos que podrás realizar en casa o en tu centro.

6

PÁGINAS FINALES ESPECIALES Actividades de consolidación: para afianzar los contenidos de la unidad y para comprobar tu aprendizaje.

Esquema de la unidad: con el que podrás recordar y repasar los principales conceptos de cada unidad.

Competencias clave: situación concreta y práctica en la que hay que responder una serie de cuestiones aplicando los aprendizajes adquiridos.

La unidad en 10 preguntas: se incluyen las 10 cuestiones más importantes de cada unidad, con sus correspondientes respuestas.

Actividad práctica (cada tres unidades): para que puedas poner en práctica algunos de los conocimientos teóricos aprendidos.

Aprendizaje basado en problemas (cada tres unidades): deberás seguir una serie de pasos para encontrar posibles soluciones al reto planteado.

ANEXOS DEL LIBRO Recursos matemáticos: operaciones con potencias, ecuaciones de segundo grado, factores de conversión, razones trigonométricas, teorema de Pitágoras y trigonometría.

Gráficas (cinemática): gráficas x-t del MRU, gráficas v-t del MRU, gráficas x-t del MRUA y gráficas v-t del MRUA. Unidades y factores de conversión: magnitudes fundamentales y derivadas del Sistema Internacional, magnitudes y dimensiones, múltiplos y submúltiplos del Sistema Internacional y factores de conversión.

Constantes: sustancia y calor específico, calores latentes de fusión y vaporización, coeficientes de dilatación lineal, tabla de constantes, materiales en contacto y coeficiente de rozamiento, sistema solar y tabla de densidades.

Fórmulas: compendio de las principales fórmulas y leyes científicas.

Tabla periódica: tabla periódica de los elementos a doble página.

Formulación inorgánica: iones simples, hidruros, óxidos, haluros de oxígeno, peróxidos, sales binarias, hidróxidos, oxoácidos y sales oxoácidas.

Formulación orgánica: formulación de hidrocarburos y formulación de compuestos oxigenados.

Proyecto de investigación: para aprender cómo llevar a cabo una investigación científica.

7

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Physics & Chemistry EUGENIO MANUEL FERNÁNDEZ AGUILAR CARLOS JAVIER REINA JIMÉNEZ MANUEL GARCÍA DÍAZ CARLOS LOBATO FERNÁNDEZ MYRIAM QUIJADA SÁNCHEZ DIEGO CASTELLANO SÁNCHEZ Adapted by: MARÍA REYES CABALLERO GONZÁLEZ DAVID PEREA MORA

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ANDALUSIA

Publishing coordination: Luis Pino García.

Editor: María Prior Venegas.

Design and layout: Alegría Sánchez G. and Aurora Tristán López.

Cover design: Alegría Sánchez G. Translator: Bob Rouf.

Corrections: Marina Temprano Benítez.

Illustrations: Isabel Correa, Joaquín González, Kaffa, Juan Pablo Mora, Juan Venegas and Luis Domínguez.

Picture editing: Olga Sayans.

Photographs: Age Fotostock, Alamy/ Cordon Press, Album Archivo Fotográfico, Archivo Anaya ( Cosano, P.; Martín, J.A.; Ortiz, J.; Sánchez, J.; Torres, O.; Valls, R.), Centro Nacional de Aceleradores (CNA)/ Universidad de Sevilla, Junta de Andalucía y CSIC/ Instalación Científico-Técnica Singular (ICTS), Cordon Press, ESA/D. Ducros, ESA/ P. Carril, Getty Images, NASA, NASA/ ESA/The Hubble Heritage Team (STScI/AURA)-Hubble/Europe Collaboration/ H. Bond (STScI and Penn State University), 123RF and contributors.

This book has been published according to present legislation on education in Andalusia for Educación Secundaria Obligatoria.

© Of the original text: Eugenio Manuel Fernández Aguilar, Carlos Javier Reina Jiménez, Manuel García Díaz, Carlos Lobato Fernández, Myriam Quijada Sánchez and Diego Castellano Sánchez. © Of this adaptation: María Reyes Caballero González and David Perea Mora

All of the activities in this book that require writing should be completed in the student’s notebook.

© Of this edition: Algaida Editores, S. A. 2021. Avda. San Francisco Javier, 22. Edif. Hermes, 5ª, 3-8. 41018 Sevilla.

Our educational materials are published with the commitment to promote the equality of all people and the respect for diversity.

The contents of this book and the working procedures have been selected and prepared taking into account criteria of care, protection and conservation of the environment.

All rights reserved. The contents of this publication are protected by law which can lead to prison sentences and/or fines as well as the corresponding compensation for damages for those who reproduce, plagiarize, distribute or publically transmit partially or completely a literary publication, artistic or scientific, or its transformation, interpretation or artistic production by any kind of support or system in any form or by any means, without prior permission.

Index

1

SCIENTIFIC ACTIVITY 1. Scientific research

6

Activities

7

2. Quantities and units

8

3. How to express measures

8

Activities

9

4. Tables and graphs

10

Activities

11

2

KINEMATICS 1. Motion

12

Activities

13

2. Uniform linear motion (ULM)

14

Activities

15

3. Linear uniformly accelerated motion (LUAM)

16

4. Uniform circular motion (UCM)

16

Activities

17

3

DYNAMICS 1. The concept of force Activities 2. Newton’s Laws Activities 3. Universal law of gravitation 4. Dynamics of circular motion 5. Satellites Activities

Index

4

PRESSURE 1. Pressure 2. The fundamental principle of hydrostatics Activities 3. Pascal’s principle 4. Archimedes’ principle Activities 5. Atmospheric pressure Activities

5

ENERGY 1. Energy around us Activities 2. Work and power Activities 3. Mechanical energy 4. Conservation of mechanical energy Activities

6

THERMAL ENERGY 1. Temperature and heat 2. Effects of heat Activities 3. Thermal equilibrium Activities 4. Transformations between heat and work Activities

Index

7

THE ATOM AND THE CHEMICAL BOND 1. Structure of the atom Activities 2. The periodic system Activities 3. Chemical bonding 4. Intermolecular forces Activities

8

CHEMICAL REACTIONS 1. Chemical quantities Activities 2. Chemical reactions 3. Types of reactions Activities 4. Stoichiometry Activities

9

THE CHEMISTRY OF CARBON 1. The chemistry of carbon 2. The carbon atom Activities 3. Carbon compounds Activities 4. Organic biomolecules 5. Polymers Activities

Appendices

La tecnología permite incrementar la cantidad y la calidad de los avances en la investigación científica.

Unidad 1 La investigación científica

«La investigación se compone de cuatro cosas: el cerebro con el que se piensa, los ojos para observar, las máquinas para medir y, en cuarto lugar, el dinero».

Albert Szent Gyorgyi, fisiólogo húngaro (1893-1986).

1 La investigación científica 2 Magnitudes y unidades 3 La expresión de la medida 4 Tablas y gráficas

¿Qué sabes hasta ahora? ~~¿Cuáles son las etapas de método científico? ~~¿Es lo mismo una hipótesis que una teoría? ~~¿Qué es una magnitud? ~~¿Para qué sirven los factores de conversión? ~~¿Cómo se usa la notación científica? ~~¿Qué son las pseudociencias? ~~¿Cuáles son los prefijos de unidades que conoces? ~~¿En qué consiste el error en la medida? ~~¿Qué tipo de variables conoces? ~~¿En qué eje se representa cada tipo de variable?

Al finalizar la unidad habrás aprendido ~~A identificar una investigación científica. ~~Cómo diferenciar las magnitudes escalares de las vectoriales. ~~A comprobar la correcta expresión de un resultado con la ecuación de dimensiones. ~~A expresar el error en una medida y sus cifras significativas. ~~Cómo representar una gráfica a partir de la tabla de datos.

Unidad 1. La investigación científica

9

1. LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA El estado actual de la ciencia y la propia investigación científica no se entienden sin la colaboración de personas especialistas en distintas disciplinas. Es tal la variedad de las ramas en las que se diversifica la ciencia que es imposible dominarlas todas.

Recuerda El método científico es la forma en la que trabajan las personas que se dedican a la ciencia, siguiendo unas pautas. Si bien no existe un único método (depende del tipo de investigación), se pueden establecer unos pasos más o menos comunes en muchas investigaciones: observación, elaboración de hipótesis, experimentación, análisis de resultados y conclusiones.

¿

Sabías que...?

Posiblemente habrás visto alguna vez escrita la expresión I+D+i. Son las iniciales de investigación, desarrollo e innovación. Respecto a la investigación, ya conocemos algunos aspectos de ella: se trata de obtener conocimientos aplicando el método científico. Por desarrollo entendemos la aplicación del conocimiento científico al desarrollo de nuevos productos para el bienestar social. La innovación engloba la mejora de estos productos con fines económicos. Por tanto, no es de extrañar que las grandes empresas cuenten con departamentos de I+D+i.

Esta especialización se traduce en ocasiones en una difusa diferenciación entre investigación básica e investigación aplicada.

Se entiende por investigación básica aquella que no ofrece productos inmediatos; solo persigue mejorar la calidad de los conocimientos de una disciplina. Por otra parte, la investigación aplicada es aquella que persigue obtener productos para mejorar la vida del ser humano. Esta diferenciación en ocasiones puede resultar, sin embargo, algo artificial, pues sin la investigación básica no existiría la investigación aplicada.

El cuerpo de investigación científico puede asemejarse a un iceberg. Un iceberg es un enorme bloque de nieve apelmazada en el que solo emerge a la superficie una pequeña parte, en torno al 10 %. La mayor parte del iceberg está debajo del agua, un 90 % permanece oculto a los ojos. La investigación básica sería este 90 % oculto a los ojos y que es necesaria para la investigación aplicada, igual que ese 90 % sirve de apoyo al 10 % que emerge a la superficie del agua. Por tanto, la investigación básica es fundamental para que podamos aplicar los conocimientos a nuestra vida diaria.

Ciencia aplicada frente a ciencia básica Ciencia aplicada

Ciencia básica La ciencia básica es investigación destinada a entender problemas fundamentales. La ciencia aplicada se basa en el uso de conocimiento científico básico para resolver problemas prácticos.

10 Unidad 1. La investigación científica

1.1. Comunicación científica La comunidad científica comparte los resultados como uno de los pasos del propio ejercicio científico. Las personas dedicadas a la ciencia comunican sus conclusiones por diversas vías, fundamentalmente mediante revistas especializadas y ponencias en congresos.

Se busca así la aprobación del resto de la comunidad científica. Las características fundamentales de las publicaciones científicas son la claridad (oraciones no ambiguas), la precisión (terminología unívoca), la verificabilidad (fuentes y experimentos que puedan ser comprobados por una persona especializada), la universalidad (los hechos tratados deben ser comprendidos por cualquier persona del mundo, dentro del colectivo al que va dirigido) y la objetividad (se debe dar relevancia a los hechos, no a las opiniones).

En las publicaciones científicas se usa muy a menudo la revisión por pares (está muy extendida la expresión anglosajona peer review), también llamada arbitraje. Consiste en la revisión de un artículo antes de su publicación, pero no por cualquier persona, sino solo por especialistas de la misma disciplina y con experiencia, con el fin de que las publicaciones que vean la luz tengan un rigor científico adecuado. El que los textos científicos sean arbitrados no asegura que todo lo que se publique sea de calidad. A veces se publican textos que no están a la altura científica necesaria o al revés, textos que se publican en revistas no arbitradas y que son de una calidad extraordinaria. Un ejemplo de este último caso son los artículos que Einstein publicó a principios del siglo XX y que le permitieron alcanzar el Premio Nobel de Física.

Los congresos de Solvay

Actividades 1. Observa la imagen de esta página del Quinto Congreso de Solvay y busca información sobre algunas de las personas que aparecen en la fotografía. Elabora una presentación multimedia con tu investigación, haciendo especial hincapié en los conceptos científicos abordados en estos ciclos.

2. Amplía tu información sobre los conceptos de investigación básica e investigación aplicada. Identifica algunos ejemplos de ambas y escribe un pequeño texto en el que expliques razonadamente si las dos son necesarias o solo merece la pena un tipo de investigación.

La investigación básica es fundamental para el éxito y el desarrollo de la aplicada.

¿

Sabías que...?

Una de las primeras publicaciones científicas fue la Philosophical Transactions, de la Royal Society de Londres. El primer número data de 1665 y hoy continúa publicándose. En ella han plasmado sus logros científicos como Richard Boyle, Isaac Newton, Charles Darwin, Michael Faraday e incluso Stephen Hawking.

Quinto Congreso de Solvay (1927). En estas conferencias se reunían las más grandes mentes científicas de la época para debatir sobre física y química. De izquierda a derecha y de arriba abajo: Auguste Piccard, Émile Henriot, Paul Ehrenfest, Édouard Herzen, Théophile de Donder, Erwin Schrödinger, Jules-Émile Verschaffelt, Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg, Ralph H. Fowler, Léon Brillouin, Peter Debye, Martin Knudsen, William Lawrence Bragg, Hendrik Anthony Kramers, Paul Dirac, Arthur Compton, Louis-Victor de Broglie, Max Born, Niels Bohr, Irving Langmuir, Max Planck, Marie Curie, Hendrik Antoon Lorentz, Albert Einstein, Paul Langevin, Charles-Eugène Guye, Charles Wilson y Owen Willans Richardson.

Portada de uno de los primeros números de la prestigiosa publicación Philosophical Transactions.

Unidad 1. La investigación científica

11

Recuerda

1.2. Hipótesis, leyes y teorías En el lenguaje cotidiano a menudo se confunden los términos hipótesis, leyes y teorías. En el contexto de las ciencias y en especial en las disciplinas de física y química debemos diferenciarlos y usarlos con precisión.

Como sabemos por cursos anteriores, una hipótesis es un enunciado preliminar que procura explicar un fenómeno físico o un conjunto de regularidades observadas en la naturaleza. Una hipótesis debe ser verosímil, pero no necesariamente verídica. Esto significa que hay que someterla a escrutinio mediante la experimentación. Serán los resultados y el análisis de los datos los que darán un valor aceptable o no aceptable a la hipótesis inicial. La hipótesis es el punto del que partir para la mayoría de las investigaciones científicas y suele exponerse al principio de las publicaciones científicas.

Actividades 3. Imagina que dejas caer cuerpos variando distintas magnitudes. ¿De qué variables crees que depende el tiempo de caída de un cuerpo? Elabora una hipótesis sobre dicha caída.

4. Averigua cuáles son las partes que presenta un artículo científico. Identifica un artículo científico, léelo y procura explicar por escrito de qué trata.

5. Explica en qué consiste la revisión por pares y resume cuál es su objetivo principal.

6. ¿Qué se entiende por ley? Escribe la expresión matemática de las leyes de los gases y enúncialas.

Las observaciones y experimentos pueden permitir el descubrimiento de nuevas leyes naturales.

12 Unidad 1. La investigación científica

Por otra parte, las leyes físicas son conclusiones extraídas directamente de la observación y la experimentación que han conseguido un estatus de aceptación por parte de la comunidad científica. Esta aprobación se debe a que se ha comprobado experimentalmente en repetidas ocasiones (no es una afirmación matemática), además de ser válida en cualquier lugar y momento. A menudo las leyes pueden expresarse matemáticamente. Algunos ejemplos de leyes científicas son las leyes de los gases, la ley de conservación de la masa, la ley de conservación de la energía y las leyes de la termodinámica.

En un escalón por encima de las leyes encontramos las teorías científicas. Una teoría científica relaciona varias leyes entre sí, es capaz de explicar más de un fenómeno natural (en el sentido de «cómo» y en el sentido de «por qué») y puede predecir exitosamente un conjunto de comportamientos en el ámbito en el que ha sido enunciada. Así, Mendeleiev estableció una teoría de periodicidad en la tabla de los elementos, lo que le llevó a predecir con gran éxito la existencia de elementos que aún no se habían descubierto.

En resumen, las observaciones pueden producir hipótesis. Las observaciones y experimentos repetidos pueden acabar motivando el descubrimiento de leyes físicas. Las teorías abarcan diferentes leyes y las relaciona. A menudo se dice que los hechos deben preceder a las teorías.

Lo cierto es que las buenas teorías predicen fenómenos no observados anteriormente.

2. MAGNITUDES Y UNIDADES La medida correcta y su expresión es de gran importancia en ciencia, pues se trata de un vehículo para registrar la observación de la naturaleza. Como sabemos de años anteriores, no es lo mismo magnitud que unidad de medida. Mientras que la magnitud es una propiedad de la materia que puede ser medida, la unidad de medida es una referencia con la que comparar.

Recuerda también la necesidad de llegar a un acuerdo en el uso de unidades de medida, de ahí la adopción en el siglo XX del Sistema Internacional de Unidades (SI). En este sistema se clasifican dos tipos de magnitudes: las magnitudes fundamentales (definidas por sí mismas e independientes entre ellas) y las magnitudes derivadas (definidas a partir de otras magnitudes).

Magnitudes fundamentales del SI Magnitud

Unidad

Símbolo

Longitud

Metro

m

Masa

Kilogramo

kg

Tiempo

Segundo

s

Temperatura

Kelvin *

K

Intensidad de corriente

Amperio *

A

Intensidad luminosa

Candela

cd

Cantidad de sustancia

Mol

mol

Magnitudes derivadas del SI Magnitud

Unidad

Símbolo

Superficie

Metro cuadrado

m2

Volumen

Metro cúbico

m3

Densidad

Kilogramo/metro cúbico

kg/m3

Velocidad

Metro/segundo

m/s

Aceleración

Metro/segundo al cuadrado

m/s2 N

Patrón de 1 metro. Centro Español de Metrología.

Las siete unidades básicas del SI ∆vCs c

Newton *

Presión

Pascal *

Pa (kg/m · s2)

Energía

Julio *

J (kg · m2/s2)

Carga eléctrica

Culombio *

C (A · s)

* Unidades en honor a científicos; en la celda de la derecha, entre paréntesis, se indica la correspondencia con las unidades básicas. Este tipo de unidades son las únicas que se escriben en mayúsculas.

kg

m e

mol

A

(kg · m/s2)

Fuerza

h

s

K Kb

NA

cd Kcd

La redefinición de las siete unidades básicas del SI se basa en la relación entre estas unidades y en el uso de siete constantes físicas. Algunos ejemplos de estas constantes son la velocidad de la luz c y el número de Avogadro NA.

Unidad 1. La investigación científica

13

2.1. Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales En este curso es importante que recordemos la diferencia entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Esta diferencia estará presente en varias unidades; en concreto vamos a utilizarla para estudiar el movimiento.

Una magnitud escalar es aquella magnitud que puede ser descrita con un simple número. Ejemplos de magnitudes escalares son el tiempo y la temperatura.

Una magnitud vectorial es aquella que no puede ser descrita solo con un simple número; se necesita saber también por dónde discurre y hacia dónde va. Ejemplos de magnitudes vectoriales son la posición, la velocidad, la aceleración y la fuerza.

Recuerda Es importante que tengas soltura en el uso de factores de conversión. Recuerda que para pasar de una unidad a otra solo tienes que multiplicar por un factor (fracción) con la unidad de partida y la unidad que deseas. Debes colocar las unidades de tal forma que la unidad de partida se cancele con la de la fracción. Observa el ejemplo en el que se pasan 423 kilómetros a millas (1 milla equivale a 1,6 km): 423 km ·

1 milla 1,6 km

= 264,4 millas

Las magnitudes vectoriales vienen representadas por los llamados vectores, que no son más que segmentos orientados (flechas). Los componentes que se tienen en cuenta en un vector son: **Módulo: se trata de la medida del vector, es decir, la longitud del seg-

mento.

**Dirección: es la línea sobre la que descansa el vector. **Sentido: hacia dónde se dirige el vector, es decir, el lugar hacia donde

señala la punta de la flecha.

De ahora en adelante escribiremos una pequeña flecha sobre la letra que representa la magnitud cuando hablemos de ella como un vector. Si hablamos del módulo de dicho vector eliminaremos la flecha. Así, v es el vector velocidad y |v| es el módulo del vector velocidad.

Debes aprender a realizar operaciones con los vectores. Lo irás aprendiendo poco a poco, a medida que avancemos en la materia. Además, en la asignatura de Matemáticas se hace un tratamiento más profundo del cálculo vectorial. Es importante que muestres interés por asociar el aprendizaje de diferentes materias.

Componentes de un vector Los componentes de un vector son módulo, sentido y dirección.

Sentido

o

dul

Mó ión

ecc

Dir La fuerza gravitatoria es una magnitud vectorial.

14 Unidad 1. La investigación científica

ión

ecc

Dir

2.2. Ecuación de dimensiones El modo en el que una magnitud derivada se relaciona con las magnitudes fundamentales se indica en la denominada ecuación de dimensiones. Las dimensiones de las magnitudes básicas se representan de manera genérica por un símbolo, si no queremos especificar si se trata del Sistema Internacional o de otro sistema.

Las dimensiones de las magnitudes derivadas estarán relacionadas con las dimensiones de las fundamentales. Por ejemplo, sabes que las unidades de la superficie en el SI son los metros cuadrados, por tanto, la ecuación de dimensiones para la superficie será: [S] = L2.

Del mismo modo, para el volumen se tiene: [V] = L3.

Magnitudes básicas

Observa que en la ecuación de dimensiones se expresa el símbolo de la magnitud entre corchetes y el símbolo de la dimensión en mayúsculas y sin corchetes. El uso de las ecuaciones de dimensiones tiene varios objetivos:

[Masa] = M [Longitud] = L

** Usar la homogeneidad dimensional para comprobar la veraci-

[Tiempo] = T

dad de las fórmulas físicas.

[Intensidad de corriente] = I

** Poder expresar las magnitudes derivadas en función de las mag-

nitudes fundamentales.

[Cantidad de sustancia] = N

** Encontrar fórmulas de forma empírica a partir de datos extraí-

[Temperatura] = i

dos de un experimento.

Magnitud

Símbolo

Dimensiones

SI

Unidad

Superficie

S

[S] = L2

m2

metro cuadrado

Volumen

V

[V] = L3

m3

metro cúbico

Velocidad

v

[v] = L · T –1

m/s

metro por segundo

Aceleración

a

[a] = L · T –2

m/s2

metro por segundo cuadrado

Velocidad angular

w

[w] = T –1

rad/s

radián por segundo

Frecuencia

f

[f] = T –1

s –1 = Hz

hercio

Densidad

d

[d] = M · L –3

kg/m3

kilogramo por metro cúbico

Fuerza

F

[F] = M · L · T –2

kg · m/s2 = N

newton

Presión

p

[p] = M · L –1 · T –2

kg/m · s2 = Pa

pascal

Energía, Trabajo, Calor

E, T

[E] = M · L2 · T –2

kg · m2 /s2 = J

julio

Potencia

P

[P] = M · L2 · T –3

kg · m2 /s3 = W

watio

Carga eléctrica

q

[q] = I · T

A · s = C

culombio

Potencial eléctrico

V

[V] = M · L2 · T –3 · I –1

kg · m2 /s3 · A = V

voltio

Resistencia eléctrica

R

[R] = M · L2 · T –3 · I –2

kg · m2 /s3 · A2 = Ω

ohmio

Unidad 1. La investigación científica

15

Actividad resuelta 1. La expresión matemática para calcular la aceleración de un cuerpo es v a = , donde v es la velocidad y t el tiempo. Calcula las dimensiones de t la aceleración.

Solución Primero hay que ver si dentro de la fórmula aparece alguna magnitud derivada. Efectivamente aparece una, es la velocidad. Si sabes de memoria las dimensiones de dicha magnitud, puedes anotarla, si no, es cuestión de calcularla a partir de su fórmula: s L v= (s es el espacio, dimensiones de longitud) [v] = = L · T –1 t T Sustituimos en la ecuación de dimensiones de la aceleración: La velocidad es la magnitud física que expresa el espacio recorrido por un móvil en la unidad de tiempo.

Su unidad en el Sistema Internacional es el metro por segundo (m/s).

Actividades 7. Busca en Internet qué es el sistema CGS de unidades. Copia en tu cuaderno las siguientes unidades y su relación con el SI: longitud, masa, tiempo, fuerza y energía.

8. Encuentra la ecuación de dimensiones de la energía si sabes que la fórmula de la energía potencial gravitatoria es E = m · g · h, donde m es la masa, g la aceleración gravitatoria y h la altura.

9. Deduce la ecuación de dimensiones de la potencia sabiendo que esta se obtiene al dividir la energía por el tiempo. Ten en cuenta también que la energía tiene unidades de fuerza por desplazamiento y, a su vez, la fuerza tiene unidades de masa por aceleración.

10. Comprueba la homogeneidad de la ecuación que describe la velocidad de caída libre de un cuerpo al llegar al suelo si se soltó desde una altura h v = √ 2 · g · h

16 Unidad 1. La investigación científica

[a] =

L · T –1

= L · T –2

T

resuelta En el SIActividad se interpretaría como m / s2.

Actividad resuelta 2. La ley de Coulomb establece la fuerza F con la que interaccionan q1 · q2 dos cargas eléctricas: F = K · 2 . Encuentra las dimensiones de d la constante K, si q1 y q2 son las cargas y d la distancia. ¿Se corres2 ponde con las unidades del SI que conoces del curso anterior: N · m ?

C2 Datos: F = m · a, q = I · t Solución En primer lugar despejamos la constante: K=

F · d2 q1 · q2

Hay dos magnitudes derivadas, la fuerza y la carga.

Las dimensiones de la fuerza pueden extraerse con F = m · a: [F] = M · L · T –2, donde hemos tenido en cuenta las dimensiones de la aceleración de la actividad anterior.

Las dimensiones de la carga pueden extraerse con q = I · t: [q] = I · T, donde I es la intensidad y su propia dimensión.

Ya podemos sustituir en la ecuación de dimensiones de K: [K] =

M · L ·T –2 · L2 (I · T)2

=

M · T –2 · L3 I2 · T2

→ [K] = M · T –4 · L3 · I –2

Para ver si se corresponde con las unidades en el SI escribimos las unidades fundamentales y derivadas en sus correspondientes dimensiones, teniendo en cuenta que: N = kg · m/s2 N · m2 2

C

→

M · L · T –2 · L2 2

(I · T)

=

C = A · s

M · T –2 · L3 2

2

I · T

= M ·T –4 · L3 · I –2

c · q · d

Actividades

3. LA EXPRESIÓN DE LA MEDIDA En ciencias, y especialmente en las disciplinas de física y química, es fundamental expresar las medidas con la mayor precisión posible. Las medidas deben expresarse siempre con la unidad correspondiente. Por ejemplo, cuando mides la longitud de una mesa tiene sentido anotar 1,2 m, pero no tiene ningún sentido escribir 1,2. Recuerda estas dos normas en la expresión de las medidas: **Se deja un espacio entre el número y la unidad. **Nunca se pone punto tras la unidad, excepto cuando forme parte de

una frase y sea el último elemento de esta.

11. Escribe las siguientes cantidades en notación científica: a) 25 300; b) 0,002 46; c) 25 · 105; d) 0,00045 · 109.

12. Realiza los siguientes cambios de unidades mediante factores de conversión: a) 2,34 km → m;

Como sabes, además de utilizar las unidades del SI se pueden usar múltiplos y submúltiplos de estas. Nos estamos refiriendo a los prefijos (por ejemplo, kilo, es decir, k).

Múltiplos del Sistema Internacional

Factor

Prefijo

Submúltiplos del Sistema Internacional

Factor

Prefijo

Símbolo

Y

–24

10

yocto

y

zeta

Z

10 –21

zepto

z

1018

exa

E

10 –18

atto

a

1015

peta

P

10 –15

femto

f

1012

tera

T

10 –12

pico

p

G

–9

nano

n

–6

micro

µ

–3

mili

m

–2

centi

c

–1

deci

d

24

10

yotta

1021

9

10

6

10

3

10

2

10

1

10

giga mega kilo hecto deca

Símbolo

10

M

10

k

10

h

10

da

10

También es conveniente que recuerdes el uso de la notación científica: **Un número en cuya parte entera solo hay una cifra distinta de cero. **La parte decimal consta de tantas cifras como sean necesarias.

¿

**Lo anterior multiplicado por una potencia de 10.

b) 9,34 mL → nL; c) 9750 s → h-min-s; d) 0,0005 Mg → cg.

13. Realiza los siguientes cambios de unidades mediante dobles factores de conversión: a) 24 g/L → kg/mL; b) 120 km/h → m/s 14. Un año luz (a.l.) es una unidad de distancia, en concreto es la distancia que recorre la luz en un año. Teniendo en cuenta que la velocidad de la luz es de 3 · 108 m/s y que el diámetro medio de la Vía Láctea es de 150 000 a.l., ¿cuál sería el diámetro de esta última en km?

15. La Unidad Astronómica (UA) es la distancia media que hay de la Tierra al Sol, es decir, 150 millones de kilómetros. Encuentra un factor de conversión entre UA y a.l.

Soluciones: 11. a) 2,53 · 104 b) 2 · 10 −3

Sabías que...?

Para pasar de una unidad con prefijo a otra unidad con prefijo solías hacerlo en dos pasos, primero transformas a unidad sin prefijo y luego con prefijo. Por ejemplo, para pasar de 2 km a nm, pasarías de km a m y luego de m a nm. Sin embargo, puedes hacerlo de una vez si razonas matemáticamente la siguiente expresión: 2 km ·

103 nm 10 –9 km

12. a) 2,34 · 103 m b) 9,34 · 106 nL

c) 2 h 42 min 30 s d) 5 · 104 cg

13. a) 2,4 · 10 −5 kg/mL b) 33,3 m/s

= 2 · 1012 nm

Como en el denominador has puesto k (kilo), en el numerador debes poner su correspondencia, 103. Como en el numerador has puesto n (nano), en el denominador debes poner su correspondencia, 10 –9. Así, al final lo único que estás haciendo es multiplicar 2 km por uno, pero cambiando las unidades.

c) 2,5 · 106 d) 4,5 · 105

14.

1,4 · 1018 km 15.

6,3 · 104 UA Unidad 1. La investigación científica

17

3.1. Errores en la medida La medida de cualquier magnitud nunca es exacta, solo podemos acceder a una aproximación. Esta incertidumbre en la medida se debe a varios factores y para tenerla en cuenta se habla de error en la medida. Este error, como sabemos de años anteriores, puede ser sistemático o accidental.

El error sistemático está presente siempre, pues se debe al uso de instrumentos. Puede tratarse de un error de calibrado (el aparato está mal ajustado) o un error de paralaje (el observador no mira adecuadamente la marca de la medida). La forma de minimizar este error es calibrar con frecuencia el instrumento de medida y tomar las medidas de manera correcta.

Incorrecto Error de calibrado. Antes de comenzar a medir, el instrumento debe estar bien calibrado.

Correcto

Error de paralaje. El enrase del líquido en la probeta debe observarse de frente.

El error accidental se debe a causas imprevistas, por eso también recibe la denominación de error aleatorio. La forma de minimizar este error es repetir muchas veces la misma medida y realizar un estudio estadístico. Concretamente, se puede calcular la media aritmética de todas las medidas.

Error absoluto El error absoluto εa es la diferencia entre el valor medido, x', y el valor verdadero, x: εa=x'-x.

Recuerda Para calcular la media aritmética de n medidas se suman todas y se divide entre n: x=

x1 + x2 + … xn n

Con la idea de minimizar el error accidental se realizan muchas medidas.

La forma de acercarnos al valor real será realizar el valor medio de todas estas medidas. Como error absoluto tomaremos la precisión del aparato de medida. La forma correcta de escribir una medida es acompañarlo de su error absoluto. Por ejemplo, si medimos un tiempo 1,45 s con una precisión de centésimas de segundo, lo escribiremos del siguiente modo: 1,45s±0,01s.

Error relativo El error relativo se calcula para evaluar la precisión de una medida. Se obtiene con la expresión siguiente y se expresa en porcentaje:

fr = fa ∙ 100 x

Así, en el ejemplo anterior tendremos:

fr = 18 Unidad 1. La investigación científica

0,01 s 1,45 s

∙ 100 = 0,69 %

Actividad resuelta 3. Con el fin de medir el periodo de oscilación de un péndulo, se ha medido el tiempo que tarda en dar 20 oscilaciones y se ha repetido dicha medida un total de cinco veces. Los resultados son 39,9 s, 39,8 s, 40,0 s, 39,7 s y 39,8 s. Calcula el valor medio de las medias y escríbelo con su error absoluto, teniendo en cuenta que la precisión del cronómetro es de 0,1 s.

Solución La precisión del cronómetro es de 0,1 s, hay que calcular la desviación estándar para ver si coincide, es menor o mayor.

39,9 s + 39,8 s + 40,0 s + 39,7 s + 39,8 s = 39,8 s 5 Así, el tiempo de oscilación será: 39,8 ± 0,1 s

El péndulo es un sistema físico que puede oscilar por la acción gravitatoria u otra característica física.

El valor medio será: x =

Actividades Actividad resuelta 4. La anchura de una hoja es de 210 mm ± 1 mm, mientras que la distancia entre dos capitales es de 320 km ± 1 km. ¿Cuál de las dos medidas es más precisa?

Solución Para saber cuál de las dos medidas es más precisa debemos acudir al error

f

relativo: fr = _a ∙ 100. Aplicamos dicha expresión a cada una de las medidas: x 1 mm fr (hoja) = ∙ 100 = 0,48 % 210 mm

fr (ciudades) =

1 km ∙ 100 = 0,31 % 320 km

Por tanto, la medida de la distancia de las dos ciudades conlleva una mayor precisión.

16. ¿Piensas que la localización de tu móvil por GPS es exacta? Investiga los tipos de imprecisiones que puede cometer el dispositivo y escríbelos en tu cuaderno.

17. Un polímetro ofrece valores de tensión con una precisión de 0,2 V. ¿Qué error relativo tendrá la medida de una pila de 4,5 V? 18. En diferentes días se ha medido el diámetro de una pequeña esfera de cobre, dando lugar a los siguientes resultados: 1,5 mm, 1,4 mm, 1,5 mm, 1,3 mm, 1,4 mm, 1,4 mm y 1,3 mm. ¿Cuál es la precisión del aparato de medida? Calcula el valor medio con su error absoluto.

Unidad 1. La investigación científica

19

3.2. Cifras significativas Al expresar una medida experimental debes tener en cuenta que no puede ser más precisa que el propio instrumento de medida.

Así, hay que dar el número de cifras adecuado, las llamadas cifras significativas. Observa los siguientes casos: ** Al medir con una cinta métrica anotamos 2,43 m, esto significa

que la precisión de la cinta métrica es de 0,01 m (nos da centímetros).

** En el caso anterior no tiene sentido escribir 2,430 m, pues no

sabemos nada desde el tercer decimal en adelante.

** Sin embargo, al medir con la misma cinta métrica sí sería correcto

escribir 1,20 m, pues sabemos con claridad que la precisión es de 0,01 m, es decir, llega hasta el segundo decimal.

** Por último, no es lo mismo escribir 1,20 m que 1,2 m. En el

segundo caso estamos diciendo que nuestra cinta métrica solo nos aporta una precisión de 0,1 m (nos da decímetros).

** Concluyendo, en la anotación de medidas experimentales escri-

bir uno o varios ceros después de la coma decimal puede tener sentido, por lo que no debemos suprimirlo.

Las cifras significativas son el número de cifras que se obtienen al medir con un instrumento determinado.

Cómo usar las cifras significativas ** Cualquier cifra distinta de cero se considera significativa.

División en centímetros de reglas escolares.

** Cualquier cero situado entre dos cifras distintas de cero es sig-

nificativo. Por ejemplo, 3,405 tiene cuatro cifras significativas.

** No se consideran significativos los ceros situados a la izquierda

Recuerda Cuando necesitamos quedarnos solo con algunos decimales, debemos redondear siguiendo estas normas: • Si el último dígito que eliminas es menor que 5, el dígito conservado permanece igual. Ejemplo: 2,354 ➝ 2,35 • Si el último dígito que eliminas es igual o mayor a 5, el anterior se aumenta en una unidad. Ejemplo: 5,36 ➝ 5,4

del primer dígito significativo distinto de cero. Por ejemplo, el número 0,0034 tiene dos cifras significativas.

** Los ceros a la derecha son cifras significativas, siempre que el

instrumento de medida así lo indique.

** Los ceros situados a la derecha serán significativos o no depen-

diendo del proceso de medida y del aparato. Lo habitual es usar notación científica para no caer en la ambigüedad. Así, 700 puede tener una, dos o tres cifras significativas 7 ∙ 102, 7,0 ∙ 102 o 7,00 ∙ 102, dependiendo de la precisión del instrumento.

Operaciones y cifras significativas Es muy importante el redondeo cuando se realizan operaciones entre cantidades. Como norma general, se expresará el resultado con el menor número de cifras significativas que hay entre los distintos operandos.

Por ejemplo, en la suma 1,4 m y 0,33 m, el resultado será 1,7 m; sería incorrecto escribir 1,73 m, pues se da una precisión mayor a una de las medidas experimentales, lo cual carece de sentido.

20 Unidad 1. La investigación científica

Distintos aparatos y utensilios de medida tienen precisiones diferentes, lo cual repercute en las cifras significativas y el error cometido al medir.

Henrietta Swan Leavitt La principal aportación de la estadounidense Henrietta Swan Leavitt (1868-1921) a la astronomía fue la introducción de un método para medir distancias de objetos estelares muy lejanos, es decir, una “regla” para medir el universo. En realidad, se trata de una consecuencia de su trabajo en torno a las estrellas variables.

Son estrellas que varían su brillo siguiendo un patrón concreto. Descubrió más de 2000 estrellas de este tipo, que reciben el nombre de cefeidas. Esta científica descubrió una ley que relaciona el periodo con la luminosidad de estas estrellas, convirtiendo a las cefeidas en los faros del universo.

Actividades 19. Señala el número de cifras significativas de las siguientes medidas: a) 2,45 m. b) 3400 s. c) 0,020 dm. d) 5,004 kg.

20. Realiza las siguientes operaciones teniendo en cuenta la correcta escritura de la cifras significativas: a) 4,56 m + 5,3 m. b) 9,34 g – 4,239 g. c) 3,25 cm · 2,245 cm.

Soluciones: 19. a) 3, b) 4, c) 2, d) 4 20. a) 9,9 m, b) 5,1 g, c) 7,30 cm2

Las cefeidas muestran periódicamente un máximo y un mínimo de luminosidad.

Unidad 1. La investigación científica

21

4. TABLAS Y GRÁFICAS En cursos anteriores y en varias materias hemos aprendido la importancia del uso de tablas y gráficas. En este curso debemos tener claro qué son las variables y qué tipos de variables hay. Recuerda que una variable es una magnitud física que produce cambios en un experimento. Por ejemplo, si comunicas calor a un cuerpo, el tiempo influirá en la temperatura que alcance. Las variables pueden ser dependientes o independientes.

Las tablas y las gráficas son herramientas muy útiles en nuestra vida diaria.

La variable independiente (la x en una gráfica) es aquella que podemos modificar a nuestro antojo. Por ejemplo, al dejar caer un cuerpo, podemos modificar la altura desde la que soltamos el objeto. La variable independiente (la y en una gráfica) es aquella que cambiará en función de la variación que hicimos en la independiente, es decir, no podemos controlarla. Por ejemplo, el tiempo que tarda en alcanzar el suelo en el caso del objeto que dejamos caer a distintas alturas. En una tabla deben aparecer las dos medidas, anotadas por pares (x, y). Estos pares de medidas (variable independiente-variable dependiente) son puntos en una gráfica.

En la gráfica no debe escribirse “eje x” ni “eje y”, sino que debe establecerse qué magnitud es la independiente (eje x) y qué magnitud es la dependiente (eje y), con sus respectivas unidades entre paréntesis.

Por último, deben unirse los puntos aproximadamente con una línea de ajuste (la línea no debe pasar por todos los puntos, solo debe indicar la tendencia que siguen). Esta línea puede ser una recta, parábola, hipérbola o cualquier otro tipo de curva. En el Anexo puedes ver los casos de rectas y parábolas, que se usarán en la unidad de cinemática.

Actividades Cables conductores de cobre.

21. Se pasa una corriente eléctrica constante por un cable de longitud variable y se miden las distintas diferencias de potencial a la que está sometido. Representa gráficamente V frente a L y calcula la pendiente.

L (cm)

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

V (V) 0,15 0,28 0,41 0,54 0,67 0,80 0,93 1,06 1,20 1,34 22. La ley de enfriamiento de Newton relaciona la temperatura de un sistema respecto al tiempo mediante una dependencia exponencial decreciente. Busca qué forma tienen las gráficas de este tipo y representa mediante una hoja de cálculo la siguiente tabla de datos en una gráfica T-t, que corresponde a una experiencia en la que se ha calentado una sustancia y se ha dejado enfriar a temperatura ambiente.

Avión volando a velocidad transónica.

22 Unidad 1. La investigación científica

t (s)

0

100

200

300

400

500

600

T (ºC)

100

67,1

47,7

36,3

29,6

25,7

23,3

Actividad

Actividad resuelta 5. La velocidad del sonido depende del medio en que se propague, pero también de la temperatura de este medio. En el caso del aire, la velocidad aumenta casi de manera proporcional a la temperatura, como puede verse en la siguiente tabla. Representa la tabla, calcula la pendiente de la recta (aunque no será realmente una recta, se puede aproximar) y estima una expresión algebraica que relacione ambas variables.

T (ºC)

0 332

v (m/s)

10 338

20 344

30 349

40 355

50 361

Solución 370

v (m/s)

360 350 340 330

0

10

20

30 T (ºC)

40

50

60

Para calcular la pendiente, elegimos distintas parejas de puntos y luego realizamos la media: m1 =

m 338 m/s – 332 m/s = 0,6 s · ºC 10 ºC – 0 ºC

m2 =

m 344 m/s – 338 m/s = 0,6 s · ºC 20 ºC – 10 ºC

m3 =

m 349 m/s – 344 m/s = 0,5 s · ºC 30 ºC – 20 ºC

m4 =

m 355 m/s – 349 m/s = 0,6 s · ºC 40 ºC – 30 ºC

m5 =

m 361 m/s – 355 m/s = 0,6 s · ºC 50 ºC – 40 ºC

La pendiente será la media de todas estas cantidades: m m = 0,6 s · ºC Puesto que la ecuación de la recta es y = mx + n, solo nos falta encontrar n, que será la ordenada en el origen, es decir, 332 m/s. Por tanto, la expresión estimada que da la velocidad en función de la temperatura será: v (T) = 332 + 0,6 ∙ T

23. La ley de Boyle (el volumen de un gas es inversamente proporcional a la presión que se ejerce sobre él) se deduce a partir de los experimentos que realizó Robert Boyle con su bomba de aire. Boyle publicó una tabla de datos sobre sus conclusiones en un texto conocido de manera abreviada como Defensa, en el cual demostraba la relación entre el volumen y la presión de un gas. La tabla es de difícil lectura para una persona actual, pero podemos interpretarla como sigue (debes notar que no hay unidades específicas de volumen y presión, por eso se pone ud, “unidades de”).

V (udV) 12,00 11,50 11,00 10,50 10,00 9,50 9,00 8,50 8,00 7,50 7,00 6,50 6,00 5,75 5,50 5,25 5,00 4,75 4,50 4,25 4,00 3,75 3,50 3,25 3,00

P (udp) 29,13 30,56 31,94 33,50 35,31 37,00 39,31 41,63 44,19 47,06 50,32 54,32 58,82 61,32 64,07 67,07 70,69 74,13 77,88 82,75 87,88 93,07 100,44 107,82 117,57

a) Investiga quién dio una formulación algebraica (puso fórmula) a la ley de Boyle. Escribe el nombre de dicho científico, su fecha de nacimiento y fallecimiento, además de la fórmula en cuestión. b) Investiga qué es la bomba de aire de Boyle, quién la construyó y en qué año. Dibuja esquemáticamente la bomba, indica cuáles son sus partes y explica su funcionamiento. c) Boyle se inspiró en una idea de Otto von Gericke para su bomba de aire. Investiga de qué se trata y explica este hecho. d) Representa gráficamente en una hoja de cálculo la tabla de datos de Boyle. ¿Se demuestra con la gráfica la ley de Boyle?

Unidad 1. La investigación científica

23

Actividades de consolidación 1. Entra en la plataforma naukas.com y busca una entrada en la que se cite y comente algún artículo de investigación científica. Explica la temática, escribe el nombre del autor o autora del blog, el nombre del artículo al que se hace referencia y el nombre de otros artículos de la misma persona.

7. En unidades siguientes estudiarás la energía intercambiada en forma de calor y verás que se calcula mediante la expresión Q = m ∙ ce ∙ ΔT, donde Q es el calor, m la masa, T la temperatura y ce el calor específico. Determina las unidades del calor específico a partir de un análisis de dimensiones.

2. Las misiones Apollo fueron las que llevaron al ser humano a la Luna. Investiga cuáles eran las disciplinas en las que estaban especializadas las personas que colaboraron para llegar a tal fin. ¿Pertenecían todas al mismo área de conocimiento?

8. Escribe en unidades del SI las siguientes ecuaciones de dimensiones:

3. Las unidades curio y becquerel tienen cierta relación entre ellas. Busca primero qué miden, luego la conversión entre ellas e intenta encontrar el origen de sus nombres.

4. Investiga qué es la panspermia. ¿Se trata de una hipótesis o de una ley? ¿Qué le faltaría para convertirse en teoría científica?

a) L ∙ T –2 b) M ∙ T –3 c) I ∙ T d) M ∙ L ∙ T –2 9. Expresa la cantidad 0,0009403 g en notación científica, de cuatro formas distintas, según sea el número de cifras significativas: dos, tres o cuatro.

10. Efectúa los siguientes cambios de unidades: a) 0,45 cm3 → mm3 b) 1520 cal → J c) 25 320 s → hmins d) 234 km⁄h → m⁄s 11. Escribe de nuevo las siguientes cantidades pero en forma de notación científica: a) 0,004 · 10 –3 b) 65,32 · 107 c) 0,03 · 10 –2 · 234 · 10 –7 d) 0,0005 · 54000

5. Comprueba que la ecuación P = RI2 es homogénea, sabiendo que P es la potencia eléctrica, R es la resistencia e I la intensidad de corriente.

12. Busca en el Anexo la distancia de la Tierra a la Luna. Escríbela primero en kilómetros y luego pásala a unidades astronómicas (UA).

6. La ecuación de Bernoulli es: v2 ∙ d + P + d ∙ g ∙ z = cte 2

a) Busca la interpretación de esta expresión. b) Realiza un análisis para demostrar que los tres sumandos de la izquierda tienen las mismas dimensiones. c) Busca en la tabla de magnitudes y dimensiones de qué magnitud se trata (en realidad no es necesario buscarlo, si observas bien uno de los tres sumandos). d) ¿Cuáles son las dimensiones de la constante de la derecha?

24 Unidad 1. La investigación científica

13. Calcula la densidad de un cuerpo que tiene una masa de 5,453 g y que ocupa un volumen de 5,3 cm3. Ten cuidado al expresar el número correcto de cifras significativas. Exprésalo también en kg/L.

14. Clasifica las siguientes magnitudes según sean escalares o vectoriales: velocidad, masa, trabajo, energía, calor, posición, peso, densidad, peso y tiempo.

15. En algunos cálculos se escribe 10 m/s2 para la aceleración de la gravedad en vez de 9,8 m/s2. Calcula qué porcentaje de error se comete si tomamos el segundo valor como valor real.

20. Tomamos habitualmente el valor 9,8 m/s2 como constante, y así puede hacerse a pequeñas alturas. Sin embargo, a medida que elevamos la altitud, la aceleración gravitatoria desciende con el inverso del cuadrado de la distancia. Realizando algunos cálculos puede obtenerse la siguiente tabla: h (m)

g (m/s2)

0

9,8

1000

7,3

2000

5,7

3000

4,5

4000

3,7

5000

3,1

6000

2,6

7000

2,2

8000

1,9

9000

1,7

10 000

1,5

16. Calcula la longitud de una grapadora si la han medido 5 estudiantes distintos, dando como resultados los de la siguiente tabla. Expresa dicha longitud con su error absoluto.

L (cm)

13,4

13,2

13,3

13,5

13,3

17. Si se realiza 20 veces una misma medida, ¿qué tipo de error se está minimizando?

18. Para medir el volumen de dos líquidos se usa primero una probeta con una precisión de 1 mL y luego una micropipeta con una precisión de 0,1 mL. En el primer caso se miden 60 mL y en el segundo caso 2,5 mL. ¿En qué caso la medida es más precisa? ¿Qué utilidad crees que tiene cada instrumento?

19. La resistencia de un conductor varía según la temperatura tal como puede observarse en la gráfica adjunta.

a) Representa gráficamente los datos y traza una línea suave que muestre la tendencia.

250 240

b) ¿Puedes estimar cuál será el valor de g a una altura de 12 000 m extrapolando la línea.

230

Soluciones:

220

8.

R (ohm)

210 200 190 180

11.

a) m/s2

a) 6,50 · 1011 mm2

b) kg/s3

b) 47,8 cal

c) A · s = C

c) 15 635 s

d) kg · m/s2 = N

d) 1,4 · 10 −11 hm/kL 12. 2,6 · 10 −3 UA

9.

170

• 9,4 · 10 −4 g 160 150

• 9,40 · 10 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

T (ºC)

−4

• 9,403 · 10

13. 1,0 g/cm3 = 1,0 kg/L g

−4

10.

a) Extrae de la gráfica una tabla de datos y luego vuelve a representarla en tu cuaderno. A continuación traza la recta que mejor ajusta los datos.

a) 5,432 · 10 −7

b) ¿Cuál será la resistencia a 35 ºC?

c) 1,9

c) Supón que el conductor está en un circuito que deja de funcionar si ofrece una resistencia de 240 Ω o más. ¿Qué temperatura no podrá alcanzar?

d) 3,6 · 10

g

15. 2 % 16. 13,3 ± 0,1

b) 3 · 10 −8

Unidad 1. La investigación científica

25

Esquema de la unidad LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA RESULTADOS

EXPRESIÓN CIENTÍFICA

Hipótesis

Leyes

PUBLICACIONES CIENTÍFICAS

Naturaleza

F= m · a

Magnitudes

Escalares

Características

ión

ecc

Dir

ión

Precisión

ecc

Dir

Sentido

Teorías

Claridad

Vectoriales

o

dul

Mó

Verificabilidad Universalidad

Sistema internacional (SI)

Fundamentales

Objetividad

Derivadas Peer review

Sistema internacional (SI) Unidades Ecuación de dimensiones Notación científica Sistemáticos

[F] = M · L · T –2

Aleatorio Errores

Tablas y gráficas 26 Unidad 1. La investigación científica

Absoluto

fa

Relativo

fr = fa x

x=

x1 + x2 + x3 + … n

Competencias clave ¿Qué es la nanotecnología?

«Edificios que comen contaminación, fármacos que liberan sustancias de forma selectiva y quizá, en un futuro, también nanorrobots. En todos estos campos está presente la revolución nanotecnológica que actualmente vivimos y que permite manipular los objetos a escala atómica y molecular. Pero pese a todo esto, y también pese a ser una de las líneas clave del programa europeo Horizonte 2020 y al que la Unión Europea destina cientos de millones de euros, la nanotecnología sigue siendo una gran desconocida para la mayoría de la población. Y es que menos del 10 % de la población en Europa puede explicar qué es la nanotecnología –un 4 % en el caso de España–, según sondeos de la Comisión.

Se espera que en un futuro próximo, la presencia de la nanotecnología sea aún más patente en campos como la microelectrónica o la medicina (ya hay más de 40 antitumorales basados en estas tecnologías).

Además, según los expertos, el uso de los nanomateriales en implantes mejorará las propiedades de las prótesis, permitiendo que duren, en lugar de los 15 o 25 años de hoy, de 35 a 40. Esto es especialmente importante puesto que hoy, con el aumento de la esperanza de vida, a veces se rompe un implante y hay que volver a operar al paciente para sustituirlo por otro.

España pertenece al club de las 10 primeras potencias que más artículos publican en el ámbito de la tecnología. Sin embargo, el número de empresas relacionadas con este sector en España tan solo representa una parte ínfima de las más de 11 000 que actualmente constan en el Registro de Empresas Innovadoras del Ministerio de Economía y Competitividad. Además, hay que tener en cuenta que, de las 1000 empresas europeas que más recursos dedican a I+D+i, tan solo 22 son españolas. Es evidente: el ámbito de mejora es muy amplio». http://economia.elpais.com

Cuestiones propuestas 1. El texto que acabas de leer, ¿es un artículo científico? En caso contrario, explica de qué tipo de texto crees que se trata y a quién va dirigido.

2. ¿De dónde piensas que proviene el prefijo «nano» en el vocablo «nanotecnología»? ¿Por qué se le aplica este prefijo a la palabra «tecnología»?

3. ¿Qué utilidades tiene la nanotecnología según el texto?

Busca otras aplicaciones en Internet y señala las fuentes en las que las has encontrado.

4. Investiga qué es el programa Horizonte 2020. Si encuentras una página web al respecto, indaga sobre cuáles son sus retos sociales (objetivos).

5. ¿Qué porcentaje de personas europeas y españolas no saben qué es la nanotecnología? ¿Estabas en ese porcentaje? ¿Piensas que es importante conocer los fundamentos de la nanotecnología?

6. Realiza una pequeña entrevista en tu barrio, entre amigos, familiares, vecinos, etc. Pregúntales qué es la nanotecnología. Calcula el porcentaje de personas que saben lo que es. Puedes formar parejas o grupos con el resto de la clase.

7. ¿Qué opinas sobre la cantidad de empresas españolas dedicadas a la nanotecnología?

8. Investiga qué son los nanotubos de carbono y qué aplicaciones pueden tener.

9. Busca otro artículo sobre nanotecnología. Resúmelo en tu cuaderno y cita tu fuente.

10. Busca en Internet algunos aspectos sobre la historia de la nanotecnología. Muestra tus hallazgos en una presentación multimedia en la que debes incluir los nombres de las personas relevantes en dicha historia, así como sus disciplinas de estudio.

Unidad 1. La investigación científica

27

Competencias clave Ley de conservación de la masa

El electrón-voltio

dioxígeno O2

CH4

vapor de agua reacción (combustión)

Luz, calor

H2O

metano H2O

CO2 O2

dióxodo de carbono

En algunos contextos científicos se usa la unidad de energía denominada electrón-voltio, en vez del julio. Para establecer el factor de conversión entre eV y J simplemente hay que acudir a la definición de electrón voltio: es la variación de potencial (V) que representa un electrón (carga qe), siendo dicha variación de un voltio (1 V). A partir de aquí, se sustituye en la expresión que da la energía de un electrón sometido a dicha variación de potencial: E = qe · V De este modo tenemos que:

átomo de hidrógeno

átomo de carbono

átomo de oxígeno

La ley de conservación de la masa de Lavoisier fue enunciada en 1785 y afirma que «en una reacción química la masa se conserva, es decir, la suma de las masas de los reactivos es igual a la suma de la masa de los productos».

1 eV = 1,6 ·10 –19 C ·1 V = 1,6 · 10 –19J. En física de partículas se usan unidades de masa expresadas en función del eV, en base a la conocida relación de Einstein E = m · c2 dicha masa se puede medir en eV / c2.

Consideremos el ejemplo de la combustión del metano: CH4 + O2 → CO2 + H2O. Aunque en época de Lavoisier no estaba confirmada la existencia del átomo, hoy podemos considerar esta reacción desde el punto de vista de los átomos que hay en los reactivos y en los productos. Con un diagrama de bolas es fácil ver que los átomos en ambas partes son los mismos, es decir, se conserva la masa porque los átomos no cambian, lo único que ha cambiado son los enlaces.

Cuestiones propuestas 1. Imagina que dejas un trozo de hierro a la intemperie. Pasado un tiempo está oxidado y puedes comprobar que tienes más cantidad, ¿contradice este hecho la ley de conservación de la masa?

2. La ley de conservación de la masa se denomina a veces ley de Lomonósov-Lavoisier. Investiga el porqué de esta denominación.

3. La ley de la conservación de la masa es una de las leyes estequiométricas. Busca el nombre de las otras leyes estequiométricas y explícalas mediante un ejemplo usando una presentación multimedia.

4. ¿Todas estas leyes pertenecen a la misma persona?, ¿qué papel juega aquí la colaboración científica?

5. Si te das cuenta, la ecuación química del enunciado no está ajustada. Ayúdate del diagrama de bolas para ajustarla.

28 Unidad 1. La investigación científica

En el tándem del Centro Nacional de Aceleradores (Sevilla), la masa se mide en eV / c2.

Cuestiones propuestas 1. ¿Para qué magnitud se usa el electrón-voltio?

2. Transforma 80 000 J a eV. 3. Demuestra que la unidad eV / c2 es una unidad de masa, a partir de la ecuación de dimensiones que se deriva de la relación de Einstein.

4. La masa del electrón es de 511 keV / c2. Demuéstralo.

5. Investiga qué es la masa relativista y busca una fórmula que la relacione con la masa estacionaria. ¿Se conserva la masa de una partícula?

1. En el símil del iceberg para la investigación científica, ¿qué parte sería la investigación básica y cuál la aplicada? Justifica tu respuesta.

La investigación básica sería la parte inferior, la que está dentro del agua. Representa la básica porque debe realizarse mucha investigación de este tipo para lograr progresos tecnológicos y sociales. Además, probablemente no toda verá la luz. Aquella investigación con aplicación directa en el mundo social es la investigación aplicada y vendría representada por la parte emergente del iceberg, la que podemos ver y que es mucho más pequeña. Para que la de arriba exista, debe existir la de abajo.

2. Enumera las principales características de las publicaciones científicas.

Las características fundamentales de las publicaciones científicas son la precisión, la verificabilidad, la universalidad y la objetividad.

3. ¿Con qué tipo de magnitudes se relacionan el módulo, la dirección y el sentido? ¿Cuál es el otro tipo de magnitud?

El módulo, dirección y sentido son los elementos que identifican una magnitud vectorial. El otro tipo de magnitud es la magnitud escalar.

4. Obtén la ecuación de dimensiones de la fuerza, sabiendo que su expresión matemática es x F = m · a.

La “m” es masa y la “a” es aceleración (espacio partido de distancia al cuadrado), por tanto: [F]= M · L · T –2 5. Expresa las siguientes cantidades en notación científica: a) 543,2 ∙ 10 –9 b) 0,003 ∙ 10 –5 a) 543,2 · 10 –9 =5,432 · 102 · 10 –9 =5,432 · 10 –7 b) 0,003 · 10 –5=3 · 10 –3 · 10 –5=3 · 10 –8 6. Realiza el siguiente cambio de unidades: 200 J → cal 200 J → cal 1 cal 200 J · = 47,8 cal 4,18 J 7. ¿De qué forma podemos minimizar el error accidental y qué otro nombre recibe?

La forma de minimizar el error accidental es repetir muchas veces la misma medida, pues la causa es absolutamente ajena a la persona que experimenta. También recibe el nombre de error aleatorio, pues se debe al azar.

preguntas 8. En esta gráfica puedes ver los volúmenes de los pulmones de varios mamíferos segun su masa corporal.

100

Ballena Cachalote Manatí Oso Humano Vaca Marsopa Cerdo Cabra Perro Mapache Gato Mono Marmota Conejo Armadillo

10

Volumen de los pulmones (l)

La unidad en 10

1,0

0,1

Rata

0,01

0,001

Cobaya

Ratón Musaraña Murciélago

0,0001 0,01

0,1

1,0

10

100

1000

10 000

Masa del cuerpo (kg)

Raúl Villar, Cayetano López y Fernando Cussó: Fundamentos físicos de los procesos biológicos.

a) A la vista de los ejes, indica cuál es la variable independiente y cuál la dependiente. b) Observa los puntos que representan a cada animal, no están todos sobre la recta, ¿significa eso que no se cumple una relación de dependencia? a) La variable independiente es la masa corporal y la dependiente es el volumen de los pulmones. b) Sí se cumple una relación de dependencia: el volumen de los pulmones es directamente proporcional a la masa corporal del mamífero.

9. ¿Cuántas cifras significativas tiene cada una de las siguientes cantidades? a) 3,45; b) 82,02; c) 37,100; d) 0,371. a) 3; b) 4; c) 5; d) 3.

10. Al medir el grosor de una moneda obtenemos tres medidas: 1,18, 1,20 y 1,21. El instrumento de medida es capaz de apreciar 0,01 mm. a) Calcula el valor medio de la medida y exprésalo junto a su error absoluto. b) Halla el error relativo de la medida. a) x =

1,18 mm + 1,20 mm + 1,21 mm

= 1,20 mm 3 El valor es 1,20±0,01mm. fa = 00,1 = 8,3 · 10 –3 → 0,83 % b) fr = x 1,20

Unidad 1. La investigación científica

29

Unit

1

Scientific activity

1. SCIENTIFIC RESEARCH

Scientific research can be of two types: **Basic research seeks to improve and broaden the knowledge of a discipline without considering its possible practical applications. **Applied research tries to obtain products with a clear and practical use.

We can compare science to an iceberg: basic research would be the 90 % that is hidden from our eyes under the water. However, it is necessary to support the other 10 % above water, that is applied science.

Applicated sicence vs. basic science Applicated science

Basic science

1.1. Scientific communication The scientific community shares results, because this is one of the steps of the scientific method. Scientists report their findings in specialised magazines and presentations.

Scientific publications must be clear and accurate, they must use precise language, and their conclusions must be objective, verifiable and universal.

In scientific publications, peer review is a common practice. This is the review of a scientific paper by other scientists before its publication. This review ensures the rigour of the works that are going to be published.

1.2. Hypotheses, laws and theories It is important to differentiate the following terms and use them correctly.

A hypothesis is a plausible explanation that attempts to explain an observed fact, a natural phenomenon. This is one of the steps of the scientific method, and it can be successful or not. **Scientific laws are conclusions drawn from observation and experimentation. They are usually expressed mathematically. **A scientific theory brings several laws together. It presents them in a model that explains how natural phenomena work.

6

Unit 1. Scientific activity

¿

Basic science is research aimed at understanding fundamental problems. Applied science is based on the use of basic scientific knowledge to solve practical problems.

One of the first scientific journals in history was the Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1665). It is still published today. It has published the findings of important scientists such as Robert Boyle, Isaac Newton, Charles Darwin, Michael Faraday and Stephen Hawking.

Activities 1. Find information about Philosophical Transactions of the Royal Society of London and answer these questions in your notebook. a) What was the name of the secretary of the Royal Society during the year of the first publication?

5. In your notebook, match each stage of the scientific method with its description and then draw a diagram showing the five stages of the method.

1. Observation of a phenomenon

a) In this step, it’s time to report your results and share your new knowledge.

c) In what year was the magazine divided into two?

2. Formulation of a hypothesis

2. Nature, one of the most prestigious scientific journals in the world, published an Andalusian article called “Scutoids are a geometrical solution to threedimensional packing of epithelia”. Explain in your notebook what a scutoid is and try to draw it.

b) This is the part of the scientific method that tests if your ideas about the topic are right or wrong.

3. Experimentation and data collection

c) In this phase, you define and identify the problem, which is a scientific question to be solved.

4. Drawing conclusions

d) In this stage, you put into words a reasonable explanation that you think can solve the problem.

5. Publication of results

e) In this stage, if your previous ideas were wrong, you have to reformulate the hypothesis.

b) On what day in 1665 was the first issue of the magazine published?

3. Do the crossword in your notebook and find the last names of 7 famous scientists featured in the photo of the Solvay congress in 1927.

1. To him we owe the exclusion principle of electrons.

2. She did research on radioactivity.

3. He developed the uncertainty principle.

4. He discovered a constant of universal nature that bears his name.

5. He won the Nobel Prize in Physics in 1902.

6. He committed suicide in 1933.

7. He created the theory of relativity.

6 1

5 2

3

7

6. Listen to the audio recording and complete the text in your notebook. research generates new principles and theories, which may not be immediately used. The branch of science which focuses on the of technology, on the other hand, is called research. When a or a working group is working on a new theory or technique, the method is applied. Before they publish their results in a scientific , it is common practice that one or more people of similar competence evaluate their work. This process is known as .

7. Place the following groups of words into the right order to create a logically-ordered statement. Explain it in your own words: a) and a set of laws b) a scientific theory. c) experiment, researchers draw d) conclusions in the form of laws, e) Observation f) about the same subject is g) leads to a hypothesis, and by repeating the same

4

4. Here is data on the percentage of GDP allocated to R&D&I (Research & Development & Innovation) in various European countries in 2018: Sweden, 3.34 %; Germany, 3.09 %; Portugal, 1.37 %; and Spain, 1.24 %.

Answer these questions in your notebook: a) Why do you think countries spend money on R&D&I? b) Do you think that a greater investment would be necessary in Spain?

8. 90 years after the famous photo at Solvay, during the 103rd Congress of the Italian Physical Society, a new photo was taken in Trento in commemoration of it.

Look both pictures up on the internet. a) Do you find any difference? What do you think about this photo? Write your answers in your notebook. b) Investigate and write what percentage of scientific researchers are women in Spain nowadays.

Writing activities should be completed in your notebook Unit 1. Scientific activity

7

2. QUANTITIES AND UNITS

A quantity is a property or quality that can be measured. For example, length.

A unit is a value that is taken as a reference to express a measurement. For example, millimetres.

2.1. Scalar quantities and vector quantities Quantities are classified into scalar and vector quantities: **Scalar quantities are completely described by a number and the unit.

For example, time and temperature. **Vector quantities require not only a number, but also a direction and a sense to be completely specified. For example, position, velocity, acceleration and force.

2.2. Dimensional equation

Vector quantities require a direction and a sense to be specified.

8 7 6 5 4 3

Each quantity is associated with a dimension, and this is represented by a standardised symbol. To express the dimension of a quantity, we write it in brackets: [Mass]=M

e

itud

gn Ma

n ctio

e

Dir

ion

ect

Dir

Sense

[Length]=L

[Amount of substance]=N

[Time]=T

2 1 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

In order to avoid calibration errors, the instrument must be properly calibrated before you start taking measurements.

Dimensional equations relate derived quantities to base quantities.

Surface: [S] = L2 Acceleration: [a] =

Volume: [V] = L3 [v] [T]

=

[L]/[T] [T]

_

=L·T 2

3. HOW TO EXPRESS MEASURES

Measures must always be expressed using the appropriate unit. It is very important to follow these rules: **There must be a blank space between the number and the unit. **The symbol of the unit isn’t followed by a full stop. **Scientific notation should be used. **Greek prefixes can be used for multiples and submultiples of units.

Correct

3.1. Measurement errors No measurement is 100 % accurate. Errors can be: **Systematic errors: these come from measuring instruments. The correct use of the instrument can minimise these errors. **Random errors: these are caused by unknown and unpredictable factors that cannot be controlled. To minimise this type of error, the measurement should be repeated many times.

An expression of measure must include, at least, the systematic error. This is due to the sensitivity of the instrument. If we measure 1.44 s with a timer whose sensitivity is one hundredth of a second, we will write: t = 1.44 s + - 0.01 s 8

Unit 1. Scientific activity

Incorrect The calibration mark of the liquid in the test tube must be observed level with your eye to avoid a systematic error.

Activities 9. As you may remember, the International System of Units (SI) establishes seven base quantities. Copy this table in your notebook and complete it.

Base quantities Quantity name

Base unit name

Unit symbol

Kilogram m K

Unit

Symbol

Dimension

Energy

Amount of substance

Electric charge s

10. Listen to the audio recording and complete the text in your notebook: Vector have three characteristics: a , a and a sense. Scalar quantities have only a magnitude. When doing any mathematical on a vector quantity (like adding, or multiplying) you have to consider the magnitude, the sense and the direction. This makes with vector quantities a little more than scalars.

11. Find information about the MKS system of units.

What’s the difference between MKS and the SI? 12. Kinetic energy (Ek) and gravitational potential energy (Ep) have the same dimensions. Write their dimensional equations and explain in your notebook whether energy is a base or derived quantity.

1 2

mv2

Ep = mgh

Volume 16. Read the following text and write it in your notebook, correcting any errors you find.

After removing it from the fire, scientists were measuring the temperature of a piece of iron measuring 2 mts in length every 45 sec. and the result varied from 45 C to 30 º c.

17. Copy and complete the following table in your notebook. Look at the example.

Measurement 200 km

Quantity Expressed in SI units measured and scientific notation Length

2 x 102 km = 2 x 105 m

1 month 67 kA 0.25 mm2 0.00037 x 1023 mol 300 mg

Note: m is mass, v is velocity, g is acceleration of gravity and h is height.

13. Pressure is defined as the amount of force exerted per area. Look at its dimensional equation and explain in your notebook what base quantities are involved: _

[P] = M · L2 · T 3

15. Complete this table in your notebook.

Acceleration

Candela

One of the uses of dimensional equations is to check the homogeneity of the expressions that are written, since in a physical formula the dimensions of the first member (left side) must be the same as the second member (right side) of the equation.

Checking this homogeneity is a common application of dimensional analysis.

Quantity

Ampere

Ek =

14. Read the following text and write the key words and the main idea in your notebook.

Discuss with a partner the differences and similarities between pressure and force.

18. Are the following statements true or false? Correct the false sentences in your notebook. a) Zero setting error is one of the most common random errors. b) In order to get exact measurements, it is enough to buy the best scientific instrument available. c) When we repeat an experiment, there are some uncontrolled variables that affect results. d) The higher the sensitivity of an instrument, the lower its error.

Writing activities should be completed in your notebook Unit 1. Scientific activity

9

3.1.1. Absolute error and relative error Absolute error (Ea) is the value of the difference between the measured value of a quantity (x) and its actual value (a): a

=|x-a|

Relative error (Er) is the quotient between the absolute error (Ea) and the value taken as true (a). r

=

a

a

3.2. Significant figures

The absolute error and the sensitivity of the instrument used to obtain an experimental measurement limit the number of digits to be included in the term of this measurement. It’s important to take into account that: **We shouldn’t indicate that a car is 4.350 m long if the resolution of our tape measure is the centimetre. We should write L = 4.35 m, as the last figure (zero) is not significant here. **We shouldn’t use fewer figures than those that are significant. If we measure an object with a ruler whose sensitivity is the millimetre, we might observe that the object is 210 mm long. Zero is significant. We will write L = 210 ± 1 mm. **We must maintain the quality of the measurement when we change units: 210 mm = 21.0 cm.

4. TABLES AND GRAPHS

A variable is a physical quantity that can cause changes in the results of an experiment. For example, when we measure the fall of an object, the quantities that describe it are the height from which the object falls and the time it takes to reach the ground. The room temperature or the time at which the experiment is done, on the other hand, are quantities that have no influence on the results. In this example, the variables would be height and time.

There are two types of variables: **Independent variables are those over which we have some control. **Dependent variables depend on the established values of other variables.

Each pair of values of the variables (the independent variable x and the dependent variable y) must be written in the data table for the experiment. v (m/s)

0

332

10

338

20

344

30

349

40

355

50

361

10 Unit 1. Scientific activity

Airplane flying at transonic speed.

Remember To represent experimental data on a graph, you should not force the union of the points to fit a straight line.

The line that best fits the experimental data is called the line of best fit or trend line, and this can be a straight line, but sometimes it is: A parabola.

A hyperbola.

Any other type of curve.

8 7

370

6 5

360 v (m/s)

T (ºC)

Measuring instruments are devices for measuring physical quantities. All measuring instruments are subject to varying degrees of instrument error and measurement inaccuracy.

4 3 2

350

1 0

340 330

0

10

20

30 T (ºC)

40

50

60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Experimental data will tend to be scattered around the trend line.

As you can see, the parabola (blue line) fits the data better than a straight line (dotted red line).

Activities 19. In order to find the value of the acceleration of gravity g, we measure the time it takes for a body with initial velocity 0 m/s to fall from a height of 20 m. If we have obtained a time of t = 2 s, calculate the absolute error and the relative error. Consider the real value of g = 9.8 m/s2, and the free fall equation as h= 0.5 g x t2.

20. Measure the time it takes an object to reach the ground from a height of 2 m and calculate the value of g. Is it the value you expected? Write down the results in your notebook and what the errors may be that are influencing your result.

21. In your notebook, explain the meaning of the following statements. Justify your answers.

27. Do you think that the statement “0 % of Spanish people are over 100 years old” is correct? Is there a difference if we say 0,0 %?

28. Explain in your notebook whether the following statements are true or false. Then, listen to the audio recording and check your answers. a) In a measurement, zero is never significant. b) Time is always the independent variable in any experiment. c) Once the experimental values have been plotted on a graph, the straight line that best fits these points should be drawn.

a) The absolute error has units, but the relative error doesn’t.

d) To describe a measurement, as many significant figures should be included as are registered on the instrument used.

b) The smaller the quantity that a measuring instrument is able to measure, the better it is.

29. Order the letters to make words from this unit. Write them in your notebook. b) g / f / i / s / i / n / c / i / a / n / t s / e / r / u / f / g / i c) d / n / e / s / i / n / d / e / n / e / t v / a / a / b / l / e / r / i d) t / y / s / i / t / i / v / i / s / e / n e) r / e / n / d / t / e / i / n / l 30. Copy this unit diagram in your notebook and fill in the gaps.

Applied research

24. The percent error (the relative error expressed as a percentage) is calculated by multiplying the relative error by 100. Discuss with your partner whether a measure can have an error of 105 %.

25. The following data has been recorded, of two dimensions A and B, to see how B depends on A. Answer the following questions in your notebook:

b) What types of dimensions have been measured in this experiment?

Quantity A (s)

Quantity B (m)

0.0

2.0

0.5

3.4

1

5.2

2.5

9.3

4

13.6

6

20

26. Explain in your notebook why when we add 8.4 kg to 6.321 kg, we write the result as 14.7 kg.

SCIENTIFIC ACTIVITY

a) Represent the data on a graph, and study if the straight line is well adjusted to the data or not.

a) Laws b) c) Units

e)

23. The relative error is a number between 0 and 1. Explain this statement in your notebook.

a) r / y / c / a / c / u / c / a

g) Error Tables and graphs

d) Vector f) Dimensional equations Systematic Rabdom

h) i) j)

Scientific communication

22. A quantity can be an independent variable in one experiment and a dependent variable in another. In your notebook, write an example of an experiment in which time acts as an independent variable and another in which it acts as a dependent variable. Compare them with your partner.

Accuracy

Characteristics Peer view

k) l) Universality

m)

Writing activities should be completed in your notebook Unit 1. Scientific activity

11

La cinemática es la rama de la mecánica que describe el movimiento de los objetos sólidos sin considerar las causas que lo originan.

Unidad 2 Cinemática 1

El movimiento

2 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

«Aunque parezca broma, un cuento es como andar en bicicleta, mientras se mantiene la velocidad el equilibrio es muy fácil, pero si se empieza a perder velocidad ahí te caes y un cuento que pierde velocidad al final, pues es un golpe para el autor y para el lector».

Julio Cortázar (1914-1984), escritor argentino.

3 Movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado (MRUA)

4 Movimiento circular uniforme (MCU)

¿Qué sabes hasta ahora? ~~¿A qué llamamos movimiento? ~~¿Cómo se calcula una velocidad media? ~~¿Cuáles son las unidades de la aceleración? ~~¿Qué son los factores de conversión? ~~¿Qué entiendes por trayectoria? ~~¿Qué es una caída libre? ~~¿Qué son los vectores? ~~¿De qué forma sabes medir los ángulos? ~~¿Qué es la velocidad angular? ~~¿Qué es el periodo de un movimiento circular?

Al finalizar la unidad habrás aprendido ~~Cómo identificar los tipos de movimiento (MRU, MRUA y MCU). ~~A tomar los datos mínimos para describir un movimiento. ~~A escribir las ecuaciones de movimiento de un cuerpo. ~~Cómo extraer información cinemática a partir de gráficas. ~~A predecir diferentes acontecimientos en el movimiento de un cuerpo.

Unidad 2. Cinemática

31

1. EL MOVIMIENTO

Sistema de referencia

1.1. Movimiento, reposo y sistemas de referencia Tal vez te parezca muy sencillo diferenciar el movimiento del reposo.

Procura responder a esta pregunta: si te sientas en el asiento de un autobús que se mueve en una carretera, ¿estás en movimiento o en reposo? Si reflexionas un momento te darás cuenta de que la respuesta no es única, depende de quién la ofrezca. Para un acompañante de viaje que esté sentado junto a ti, estás claramente en reposo. Sin embargo, para una persona apoyada en un semáforo por donde pasa tu autobús, te estás moviendo. Depende, por tanto, del lugar desde donde se mire. Se dice en este caso que el movimiento es relativo, puesto que necesita un sistema de referencia para ser definido.

z

0

y

x De ahora en adelante usaremos la letra O para designar el origen del sistema de referencia.

Los viajeros A y B están en reposo el uno respecto del otro, sin embargo, el peatón C ve a los viajeros moviéndose. Por otra parte, los viajeros A y B observan al peatón C en movimiento, aunque esté parado respecto al semáforo.

El movimiento es relativo

Hotel A

B

C

Recuerda n

ció

ec Dir

Sentido

ón

cci

e Dir

ulo

d Mó

En un evento deportivo es fundamental tener claro cuál es el sistema de referencia utilizado, que puede ser la salida o la meta. Competición hípica en Sanlúcar de Barrameda (Cádiz).

32 Unidad 2. Cinemática

1.2. Magnitudes y conceptos sobre movimiento Cuando queremos describir el estado de movimiento de un objeto móvil no basta con situarnos en un sistema de referencia, es necesario que conozcas o recuerdes algunas magnitudes y conceptos. ∆s

y

A tA

rA

0

∆rAB

∆tAB

¿

B tB

Sabías que...?

rB z

**Posición: es el lugar que ocupa un objeto móvil en un instante deter-

La cinemática es la parte de la ciencia que estudia el movimiento de los cuerpos. De forma genérica se denomina móvil a un cuerpo que se mueve.

minado respecto a un sistema de referencia. Se representa mediante el denominado vector posición que señala el lugar donde se encuentra el móvil con respecto al origen O del sistema de referencia. Se representa habitualmente con r, s, x o y, dependiendo del contexto en el que se encuentre el objeto estudiado. Se suele usar un subíndice para designar una posición concreta, o entre paréntesis si se indica el instante de tiempo. Por ejemplo, r1 o r (3). A veces se prescindirá de la flecha.

**Trayectoria: es la línea que resulta de unir todos los puntos que va

ocupando el móvil en su movimiento. Puede ser rectilínea o curvilínea (circulares, elípticas, parabólicas, sinusoidales o irregulares).

**Instante de tiempo: se refiere al momento concreto en que un móvil

ocupa una posición determinada. Se representa por la letra t y un subíndice que designa a qué punto nos referimos.

**Desplazamiento: es cuánto se ha desplazado el móvil entre dos instan-

tes de tiempo determinados, es decir, entre dos posiciones concretas.

Se trata de un incremento, es decir, la diferencia entre una cantidad final y una inicial. Para calcularlo se necesita encontrar primero el vector desplazamiento, es decir, usamos la expresión: ∆xAB = xB – xA. El desplazamiento es un vector. A veces se prescindirá de la flecha.

Recuerda La letra griega ∆ se utiliza en física para expresar la diferencia entre dos valores de una misma magnitud.

**Duración o intervalo de tiempo: es el tiempo empleado por el móvil

en desplazarse entre dos posiciones concretas, por ejemplo, desde xA hasta xB. Puesto que se trata de un incremento, se calcula restando el instante de tiempo en la posición final menos el instante de tiempo en la posición inicial: ∆tAB = tB – tA.

**Distancia recorrida: es el espacio recorrido por el móvil, el cual solo

coincide con el desplazamiento en el caso de que no cambie la dirección del movimiento (líneas rectas). Lo representaremos como ∆s.

Observa que en este caso no se escribe en el subíndice la posición final e inicial. La distancia recorrida es un escalar.

El móvil de la gráfica (el pajarito) se desplaza desde la posición rA ocupada en el instante tA hasta la posición rB ocupada en el instante tB, desplazándose una cantidad ∆rAB y recorriendo un espacio ∆s, con una duración ∆tAB.

La huella dejada por la persona de la imagen será la propia trayectoria que ha seguido. Sierra Nevada (Granada).

Unidad 2. Cinemática

33

Criterio de uso de vectores en los problemas Para representar un vector posición en un plano necesitas saber la dirección y el sentido del punto que quieres situar. Para ello puedes apoyarte en los ejes de coordenadas x e y. En otros cursos verás que se usan los denominados vectores unitarios i y j , en los ejes x e y respectivamente. Así, un objeto situado en el punto A de coordenadas (4,-2) vendrá representado por el vector r = 4i – 2j (cuatro unidades a la derecha y dos unidades hacia abajo). Observa la imagen para entenderlo. y 2

1

j i

0

x

0

1

2

4

3

5

–3

A = (4, –2)

–2

Solo vas a estudiar movimientos rectilíneos, lo que significa que se van a desarrollar en un eje. Esto nos va a permitir prescindir de los

Actividades

–3

A –2

0

–1

0 0

D 1

2

3

4

b) x2 = 7 m 34 Unidad 2. Cinemática

0 –1

x2

0 0

1

2

B 3

4

Fíjate en la forma de expresar estos vectores a la hora de asignarles valores numéricos: x1 = –3 m (va hacia la izquierda desde el punto O, por eso se pone el signo negativo) x2 = 4 m (va hacia la derecha desde el punto O, por eso se prescinde del signo positivo)

v

B 5

2. Representa los vectores siguientes en una misma recta: a) x1 = –2 m

–2

v

1. Escribe la expresión numérica de los vectores que dan la posición de los puntos A, B, C y D en la imagen, siguiendo el criterio adoptado de uso de vectores (toma como referencia el punto O).

C

x1

A

r

–1

vectores unitarios i y j , así que todo se va a simplificar. Si quitamos los vectores unitarios de la derecha de la expresión numérica de un vector, por coherencia quitaremos también la flecha de la letra del vector que está a la izquierda. Sin embargo, no se puede prescindir del signo. La importancia del signo es capital, pues indica el sentido del vector. Además, en vez de escribir r para la posición, escribiremos x, pues su uso está más generalizado para una sola dimensión. Pero recuerda que a la hora de realizar problemas con números quitaremos la flecha de encima de la letra. Observa el ejemplo siguiente para entender el criterio, en el que suponemos el sentido positivo hacia la derecha, lo cual indica que cualquier vector que siga este sentido no llevará signo (será positivo) y si va en sentido opuesto llevará un signo menos (será negativo). Un objeto pasa de izquierda a derecha, del punto A hacia el punto B. Esto significa que pasa de ocupar la posición x1 a ocupar la posición x2.

6

Si queremos describir el estado de movimiento de un coche en una autopista no es suficiente con establecer el valor numérico de la velocidad respecto a un punto de la carretera. Esto solo sería el módulo de la velocidad. La dirección es la propia carretera y el sentido lo marca el lado de la calzada donde circule el coche. Las velocidades v1 y v2 de los coches son distintas, puesto que los sentidos son distintos, a pesar de que coincidan en dirección e incluso puedan coincidir en módulo (v1 = v2).

Desplazamientos y trayectorias A

Curva Expo '92 1

2 Curva Michelín 3

Curva Alex Crivillé

Curva Ferrari

11

Δs2

Chicane Senna

4

Δr ΔrAB AB

Δs1

Curva Sito Pons

12

5

B

8

Curva Aspar

Curva Peluqui 10

7

13 Curva

Lorenzo

9

Curva Ángel Nieto Curva Dry Sac 6

Observa el trazado del circuito de velocidad de Jerez de la Frontera. Para ir desde la curva Michelín (2) a la curva Sito Pons (5), las personas que compiten deben hacerlo sobre la trayectoria. Hay dos formas, pasando las curvas 3 y 4 o en sentido inverso, es decir, pasando por las curvas 1 a 6. El primer caso lo hemos etiquetado con ∆s1 y, el segundo, con ∆s2. En ambos casos hablaríamos de distancias recorridas. Sin embargo, en ambos el desplazamiento sería el mismo, es decir, el módulo del vector ∆rAB.

Recuerda 1 milla terrestre = 1,61 km 1 milla náutica = 1,85 km

Cómo trabajar con magnitudes vectoriales en cinemática Imagina a una ciclista que se mueve de izquierda a derecha, desde el punto A hacia el punto B. El punto A está a 3 m de cierto observador y el punto B a 2 m del mismo observador, una vez sobrepasado este. El reloj del observador indicaba 2 s cuando la ciclista pasaba por A y cuando alcanzó la posición B indicaba 12 s. No pretendemos resolver ningún problema específico, el objetivo de este enunciado es que sepas trabajar gráfica y algebraicamente con vectores.

A la hora de realizar actividades durante esta unidad deberás tener en cuenta algunas reglas, con el fin de no equivocarte y simplificar al máximo la notación. Sigue los siguientes pasos: 1. Elige un sistema de referencia y su origen O, si el problema no especifica ninguno.

0 A B 2. Elige un criterio de signos, es decir, en qué sentido la magnitud vectorial es positiva y en qué sentido es negativa. Lo indicaremos con una pequeña flecha que tenga un + sobre ella.

+

0 A B 3. D ebes tener mucho cuidado a la hora de diferenciar vectores de escalares. A pesar de que eliminamos la flecha del vector, es fundamental que tengas en cuenta el criterio de signos: se pondrá un menos si el vector se dirige en sentido contrario al criterio de signos positivo y no se pondrá nada (es como poner un signo positivo) si el vector va en el sentido del criterio de signos positivo.

+ xA = –3 m

A

0

tA = 2 s

xB = 2 m tB = 12 s

B

En la imagen se ve que hemos elegido el criterio de signos positivo hacia la derecha. La ciclista se encuentra en el instante tA a 3 metros a la izquierda del origen del sistema de referencias. Es decir, alguien que estuviera sentando en O tendría que mirar a la izquierda, en sentido contrario al criterio de signos elegido. Por eso escribimos que su posición es xA = –3 m, con un signo menos. En el instante tB la ciclista está a la derecha del origen del sistema de referencias, es decir, un observador situado en O tendría que mirar en el mismo sentido que marca el criterio de signos, por eso la posición es xB = 2 m.

4. Y a estamos preparados para realizar operaciones. Por ejemplo, puedes responder preguntas como: calcula el desplazamiento, calcula la distancia recorrida o calcula la duración del movimiento dla ciclista. Fíjate en el razonamiento matemático y observa el gráfico.

•D esplazamiento: ∆xAB = xB – xA = (2 m) – (–3 m) = 5 m. Puesto que resulta positivo, el vector desplazamiento está orientado en el mismo sentido que el criterio de signos, es decir, hacia la derecha.

•D istancia recorrida: es cuánto ha recorrido la ciclista. Como ha ido directamente de A a B en línea recta, coincide con el módulo del vector desplazamiento. Por tanto, ∆s = 5 m.

•D uración: ∆AB = tB – tA = (12 s) – (2 s) = 10 s

A

0

B

∆xAB

Unidad 2. Cinemática

35

Actividad resuelta Actividades 3. Busca un ejemplo en el que un cuerpo esté en movimiento respecto a un sistema de referencia y, sin embargo, en reposo respecto a otro.

4. Elige la frase correcta en tu cuaderno y justifica tu elección:

1. Un móvil se desplaza desde la posición x1 hasta la posición x2, siguiendo la trayectoria curva según el gráfico. Contesta: a) ¿Cuál es el criterio de signos empleado según la imagen? b) Calcula la duración de dicho desplazamiento. c) Calcula el desplazamiento. Represéntalo. d) ¿Coincide la distancia recorrida con el módulo del vector desplazamiento? ¿Cuál es mayor?

a) El cuerpo está en movimiento. b) El cuerpo está en movimiento respecto a cierto punto.

5. Realiza un dibujo de una trayectoria en la que la distancia recorrida y el desplazamiento de un móvil coincidan.

6. ¿Es lo mismo duración que instante de tiempo?

7. Dibuja la trayectoria y el desplazamiento de un papel que has lanzado a la papelera desde cierta distancia. Indica además cuál es la distancia recorrida. ¿Coincide con el desplazamiento?

4m

0

x1

x2

t1 = 7 s

–5 m t2 = 15 s

Solución a) El criterio de signos es positivo hacia la izquierda.

b) La duración de tiempo se calcula mediante el incremento de los instantes de tiempo entre las dos posiciones: ∆t12 = t2 – t1 = (15 s) – (7s) = 8 s c) El desplazamiento se define como el incremento entre las posiciones que ocupa el cuerpo en los dos instantes de tiempo concretos: ∆x12 = x2 – x1 = (–5 m) – (4 m) = –9 m. Puesto que el signo es negativo, el vector desplazamiento está orientado en el sentido opuesto al criterio de signos adoptado, es decir, va hacia la derecha. ∆s

ctoria

traye

+

x1

0

x2

∆x12

¿

Sabías que...?

El sistema GPS (Sistema de Posicionamiento Global) es un sistema de posicionamiento formado por 24 satélites que orbitan alrededor de la Tierra y que permiten ofrecer la localización de cualquier aparato receptor.

d) La distancia recorrida (∆s) serán los metros recorridos sobre la trayectoria (señalada en naranja). Puesto que este recorrido es mayor que la línea recta, la distancia recorrida es mayor que el módulo del vector desplazamiento.

1.3. Velocidad Debes diferenciar entre velocidad y rapidez. Las unidades de uno y otro concepto son las mismas, m/s en el Sistema Internacional.

Veamos primero las dos definiciones, con sus correspondientes expresiones matemáticas y, luego, cuáles son los detalles que las diferencian.

La velocidad es la razón entre el desplazamiento y el tiempo empleado. v=

∆x ∆t

La rapidez es la razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado. v=

36

Unidad 2. Cinemática

∆s ∆t

Diferencias entre velocidad y rapidez VELOCIDAD v=

Recuerda

RAPIDEZ

∆x ∆t

v=

La ecuación de dimensiones de la velocidad es: [v] = L · T–1

∆s ∆t

Es un vector.

Es un escalar.

Cambio de módulo, dirección y sentido.

Cambio de módulo de la posición.

VAB xB

∆xAB

∆sAB

∆xAB xA

xA

|∆xAB| ≠ ∆sAB

∆sAB xB

|∆xAB| = ∆sAB

0

Observa el tiovivo de la imagen. En tiempos iguales se recorren distancias iguales. La dirección de la velocidad siempre es tangente a la curva (este concepto se amplía en cursos superiores).

• La velocidad varía en cada momento, pues varía la dirección y el sentido, aunque el módulo sea constante. vA ≠ vB pero |vA| = |vB| • La rapidez es constante, puesto que la distancia recorrida en un tiempo concreto siempre es la misma.

• En los movimientos no lineales no se cumple que el módulo del vector desplazamiento sea igual a la distancia recorrida. Es por ello que el módulo de la velocidad no es igual a la rapidez. |∆xAB| ≠ ∆sAB • E n los movimientos lineales sí se cumple que el módulo del vector desplazamiento coincide con la distancia recorrida. Por tanto, la rapidez y el módulo del vector velocidad son iguales. |∆xAB| = ∆sAB

El velocímetro de un vehículo marca la velocidad instantánea en el mismo.

La velocidad media de las personas que van sobre el patinete eléctrico se calculará dividiendo el espacio que han recorrido entre el tiempo empleado.

Unidad 2. Cinemática

37

Actividad resuelta

Recuerda La ecuación de dimensiones de la aceleración es: [a] = L · T –2

2. Un móvil recorre una distancia de 2 km en una hora sobre una curva.

Sin embargo, el desplazamiento real que ha realizado es de 1,2 km.

Calcula la rapidez de dicho móvil y el módulo de su velocidad, en km/h y en m/s.

Solución Datos:

∆s = 2 km;

|∆x| = 1,2 km;

∆t = 1h

La rapidez será la distancia recorrida entre el tiempo empleado: v=

at

km 103 m ∆s 2 km 1h = 2 km/h → 2 · · · = 0,56 m/s = ∆t 1h h 1 km 3,6 · 103 s

v = 5,6 · 10 –1 m/s

El módulo de la velocidad será el módulo del desplazamiento entre el tiempo empleado: |v| = an

km 103 m |∆x| 1,2 km 1h = = 1,2 km/h → 1,2 · = 0,33 m/s · · ∆t 1h h 1 km 3,6 · 103 s

|v| = 3,3 · 10 –1 m/s

0

1.4. Aceleración La velocidad no tiene por qué ser constante, puede aumentar o disminuir con el paso del tiempo. Por ejemplo, si pisamos el pedal del acelerador de un coche, este aumenta su velocidad y, si levantamos el pie, disminuye. Se trata del concepto de aceleración.

La aceleración total se calcula con la expresión:

a = √ a 2t + a 2n

La aceleración de un móvil es la rapidez con la que varía la velocidad de un cuerpo.

En el Sistema Internacional, las unidades de aceleración establecidas son los m/s2. ¿Qué significa que la velocidad cambie? Puesto que es un vector, la respuesta puede ser doble: que cambie su módulo o que cambie su dirección. En los movimientos lineales el cambio se produce solo en el módulo, mientras que en los movimientos no lineales puede haber también cambios en la dirección. En cada caso la aceleración toma dos nombres distintos: aceleración tangencial y aceleración normal.

En una trayectoria circular en la que las vueltas cada vez son más rápidas, existen los dos tipos de aceleración: la tangencial, que es la que representa el cambio en el módulo de la velocidad, y la normal, que es la que marca el cambio de dirección de la velocidad.

En ocasiones las carreteras tienen curvas para sortear ciertos obstáculos debidos a la orografía del terreno. En estos casos la distancia recorrida y el desplazamiento no coinciden. Es lo que ocurre en esta carretera de Riotinto (Huelva).

38 Unidad 2. Cinemática

De ahora en adelante, cuando se indique el término aceleración, sin especificar si es tangencial o normal, nos estaremos refiriendo a aceleración tangencial. Esto será así porque en los movimientos rectilíneos solo existe aceleración tangencial.

La aceleración tangencial es la variación del módulo de la velocidad con el tiempo. |∆vAB| at = ∆tAB

+

vA

∆vAB = vB – vA < 0

La dirección y sentido de la aceleración tangencial coincide con la dirección y sentido del vector incremento de la velocidad.

La aceleración normal es la variación de la dirección de la velocidad en las trayectorias curvilíneas. an =

v2 r

Usaremos este concepto en unidades siguientes, aunque podemos adelantar que para calcularla hace falta conocer el radio “r” de la curvatura de la trayectoria y el módulo de la velocidad.

Actividad resuelta 3. Un ciclista toma una curva a una velocidad constante de 16 m/s. Suponiendo que la curva tiene un radio de 40 m, calcula la aceleración tangencial y la aceleración normal.

Solución La aceleración tangencial es nula, puesto que la velocidad permanece constante (en realidad su módulo).

vB

at

at < 0

Si la velocidad disminuye, el incremento de velocidad será negativo. Por tanto, la aceleración tangencial será también negativa. Es decir, un signo menos en la aceleración tangencial significa “desaceleración”, como cuando se toca el pedal de freno de un coche.

+

vA

vB

at

∆vAB = vB – vA > 0 at > 0

Si la velocidad aumenta, el incremento de velocidad será positivo, por tanto, la aceleración tangencial será también positiva. Es decir, un signo positivo en la aceleración tangencial significa que el cuerpo “se acelera”, como cuando se pisa el pedal de aceleración de un coche.

Para calcular la aceleración normal hacemos uso de la expresión estudiada: v2 (16 m/s)2 256 m2/s2 an = = = = 6,4 m/s2 r 40 m 40 m

Actividades 8. ¿Cuál es la diferencia entre velocidad y rapidez? ¿Y entre velocidad media y velocidad instantánea?

9. La velocidad de un caracol es de 1,5 mm/s y la de un avión es de 220 m/s. Expresa ambas cantidades en km/h.

10. Calcula la aceleración que se ha aplicado sobre una motocicleta si desde el reposo se ha elevado su velocidad a 100 km/h en 9 s.

11. Un turismo frena y reduce su velocidad de 80 km/h a 60 km/h en 0,5 s. Calcula la aceleración.

Soluciones: 9. 5,4 · 10 –3 km/h, 792 km/h 10. 3,1 m/s2 11. –11 m/s2 Unidad 2. Cinemática

39

Actividad resuelta 4. El guepardo es el animal terrestre más veloz, pero es su aceleración lo que le hace un depredador eficaz, no su velocidad. Puede subir de 0 a 60 mph en tan solo 3 s, aunque normalmente corre a medio gas, con el fin de no gastar energías inútilmente. El Lamborghini Gallardo acelera de 0 a 100 en 3,8 s. Calcula la aceleración de cada uno de los dos. ¿Cuál es mayor?

Solución Guepardo v0 = 0 m/s vf = 60 mph = 60 mph · aG =

∆v0f ∆t

=

1,6 km/h 1 mph

26,7 m/s – 0 m/s 3s

103 m 1h · · = 26,7 m/s 1 km 3,6 · 103 s

= 8,9 m/s2

Lamborghini v0 = 0 m/s 103 m 1h vf = 100 km/h = 100 km/h · · = 27,8 m/s 1 km 3,6 · 103 s

aL =

∆vof ∆t

=

27,8 m/s – 0 m/s 3s

= 7,3 m/s2

El guepardo adquiere una aceleración mayor que el Lamborghini.

Actividad 12. Imagina que estás bañándote un día de verano en una playa y escuchas un barco bajo el agua. Te das cuenta de que 2 segundos después escuchas dicho barco por el aire. Esto se debe a que la velocidad del sonido no es igual en el aire que en el agua de mar:

v (aire) = 340 m⁄s

v (agua de mar) = 1280 m⁄s

Teniendo en cuenta estos datos, ¿a qué distancia está el barco? Para poder resolver este ejercicio lo mejor es que diferencies con claridad las dos velocidades y, sobre todo, que comprendas que el tiempo de llegada del sonido a tu oído es diferente. La velocidad en el mar puede llamarse VM, mientras que en el aire es VA. Si en el agua tarda un tiempo t, en el aire tardará un tiempo t+2, pues tarda 2 s más que en el agua. Por tanto, podemos escribir las siguientes fórmulas, teniendo en cuenta que el espacio recorrido en ambos casos es prácticamente el mismo: vM = x vA = x t t+2

40 Unidad 2. Cinemática

2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) En este epígrafe vamos a estudiar el movimiento más sencillo que existe, aquél en el que la velocidad es constante, en módulo, dirección y sentido. Para introducir este tipo de movimientos observa la siguiente tabla. En ella se han recogido las posiciones ocupadas por un móvil en distintos instantes de tiempo. t (s) x (m)

0 0

5 10

10 20

15 30

Si etiquetamos los distintos instantes y las distintas posiciones de 0 a 3, podemos calcular la velocidad entre dos instantes consecutivos cualesquiera siguiendo los pasos del epígrafe anterior: ∆x 01 x1 – x0 10 m – 0 m v01 = = = = 2 m/s ∆t 01 t1 – t 0 5s–0s

v12 = v23 =

∆x 12

=

x2 – x1

=

20 m – 10 m = 2 m/s 10 s – 5 s

∆x 23

=

x3 – x2

=

30 m – 20 m = 2 m/s 15 s – 10 s

∆t 12

∆t 23

t2 – t 1

t3 – t 2

Podemos concluir que la velocidad media permanece constante.

De hecho, se pueden tomar dos instantes cualesquiera aunque no sean consecutivos y el resultado sigue siendo el mismo: ∆x 02 x2 – x0 v02 = = = 20 m – 0 m = 2 m/s ∆t 02 t2 – t 0 10 s – 0 s

Las mesas de aire son dispositivos que procuran eliminar el rozamiento entre la superficie deslizante y el objeto que se desliza, consiguiendo así unas condiciones muy parecidas a un movimiento rectilíneo uniforme, es decir, mantienen la velocidad constante.

El hecho de que la velocidad no varíe se traduce en que el cuerpo recorrerá distancias iguales en intervalos de tiempo idénticos. Esta es la base de la definición del movimiento rectilíneo uniforme.

El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es el movimiento que sigue un cuerpo cuando su trayectoria es rectilínea y mantiene constante el valor de su velocidad.

2.1. Ecuaciones de movimiento del MRU Las ecuaciones de movimiento de un móvil son funciones matemáticas que describen las variables importantes de dicho movimiento: posición (x), velocidad (v) y tiempo (t). Es decir, responden a las preguntas dónde está el cuerpo, cuál es su velocidad y en qué momento ocurre la medida. Las ecuaciones de movimiento que describen por completo el movimiento de un cuerpo son dos: la posición como función del tiempo y la velocidad como función del tiempo, es decir, x(t) y v(t). Se introduce la t entre paréntesis para indicar que la posición x y la velocidad v dependen del tiempo.

El movimiento de un avión en un tramo pequeño puede considerarse un MRU; en tramos grandes no, puesto que la velocidad varía y efectúa curvas.

Unidad 2. Cinemática

41

Para escribir las ecuaciones de movimiento se necesitan las denominadas condiciones iniciales, es decir, la posición (x0), velocidad inicial (v0) del cuerpo y aceleración (a).

Recuerda En las ecuaciones de movimiento x, v y t son variables, mientras que x0, v0 y a son coeficientes, es decir, números que representan las condiciones iniciales de un cuerpo. En las ecuaciones de movimiento es esencial que se introduzca el concepto de sistema de referencia y el de criterio de signos. Es decir, igual que en el epígrafe anterior, hay que elegir en primer lugar el sistema de referencia y luego el criterio de signos.

Recuerda En las actividades puedes eliminar la flecha de las magnitudes vectoriales, pero no olvides tener en cuenta el criterio de signos: x (t) = x0 + v0 (t) v (t) = v0

Recuerda 1.º) Sistema de referencia.

2.º) Criterio de signos.

3.º) Condiciones iniciales.

4.º) Ecuaciones de movimiento.

Sin embargo, en el caso de un MRU la velocidad no depende del tiempo, puesto que es constante. Dicho de otro modo, la velocidad inicial v0 es la misma que la velocidad en cualquier otro instante. Por tanto, la aceleración es nula y la ecuación para la velocidad en realidad es una constante.

Ecuaciones de movimiento de un MRU: x (t) = x 0 + v 0 t * v (t) = v 0

Observa que en realidad la segunda ecuación es una función constante, pues la velocidad inicial es un número dado.

¿Cómo usar las ecuaciones de movimiento?

Es importante que entiendas que las ecuaciones de movimiento solo son necesarias para poder describir el estado de movimiento de un cuerpo. De este modo, a la hora de resolver ejercicios solo necesitas x0 y v0. Las ecuaciones de movimiento dependen del sistema de referencia elegido y del criterio de signos adoptado, puesto que aparecen magnitudes vectoriales. Tras elegir el sistema de referencia y el criterio de signos, se escribe el valor de las condiciones iniciales (c.i.) en función de la elección: aquellos vectores que estén orientados según el sentido que indican el criterio de signos tendrán un signo positivo (se elimina) delante del número y los que vayan en sentido opuesto tendrán un signo negativo.

Una norma que seguiremos será escribir siempre las unidades en el SI y nunca se introducirán en las ecuaciones de movimiento. Se pondrán entre paréntesis y al final de la ecuación, tal como puedes observar en el ejemplo.

¿

Sabías que...?

En las ecuaciones de movimiento del MRU se está suponiendo que el instante inicial t0 es 0 s. Si no fuese así y fuese cualquier otro valor, las ecuaciones de movimiento deberían escribirse del siguiente modo: x (t) = x0 + v0 (t – t0) v (t) = v0

42 Unidad 2. Cinemática

Las ecuaciones de movimiento son fundamentales para poder diseñar el entorno gráfico de los videojuegos.

Actividad resuelta

Actividades

5. Un vehículo ha sobrepasado una señal de tráfico en 20 m cuando un observador situado en dicha señal pone el cronómetro en marcha. a) Escribe las ecuaciones de dicho movimiento según el observador si su velocidad es constante y tiene un módulo de 60 km/h. b) Calcula la posición del vehículo en el instante 10 s. c) ¿Coincide la posición calculada en el apartado b con la distancia recorrida? d) ¿En qué momento alcanza el vehículo la posición 100 m? e) ¿Cuál es la distancia recorrida por el vehículo entre los instantes 15 s y 25 s? ¿Es coherente el resultado?

13. Un atleta se encuentra a 5 m a la derecha de la señal de salida de una pista de atletismo. Se dirige al vestuario con una velocidad constante de 2 km/h, que está a la izquierda de la señal de salida. Si tomamos el criterio de signos positivo a la derecha y el origen del sistema de referencias en la salida, contesta en tu cuaderno: a) Escribe las ecuaciones de movimiento del atleta.

Solución a) En primer lugar representamos un diagrama con toda la información e indicamos con claridad el sistema de referencia (O) y el criterio de signos (flecha con signo + encima). + 0

20 m

x0

Según el criterio de signos las condiciones iniciales son: c.i.

Por tanto:

{

{

b) Calcula el vector desplazamiento del atleta si el vestuario está a 15 m a la izquierda de la señal de salida.

14. Indica en tu cuaderno, en los siguientes casos, cuál es la posición inicial y cuál es la velocidad del MRU que representan:

x 0 = 20 m v0 = 16,7 m/s

a) x(t) = 3 +2t (m); b) x(t) = –1 + 2t (m);

x(t) = 20 + 16,7 t (m) e.m. v(t) = 16,7 (m/s)

b) x(10) = 20 + 16,7 · 10 = 20 + 167 → x(10) = 187 m En el instante 10 s el vehículo ocupa la posición 187 m.

c) x(t) = –4t (m); d) x(t) = 7 – t (m).

15. Calcula la posición de un cuerpo en el instante 6 s si su ecuación de movimiento es:

c) Usamos la expresión ∆x01 = x1 – x0, donde x1 representa la posición del vehículo en el instante 10 s (x1 = x(10) = 187 m) y x0 representa la posición del cuerpo en el instante inicial (x0 = 20 m). Por tanto:

∆x01 = x1 – x0 = 187 m – 20 m = 167 m

El cuerpo recorre 167 m cuando el instante de tiempo es 10 s. No coincide. d) Sustituimos en x(t) y despejamos el tiempo: 100 – 20 100 = 20 + 16,7 · t → t = → t = 4,8 s 16,7 e) La distancia recorrida ∆x12 entre ambos instantes se calcula a partir de las posiciones ocupadas: t1 = 15 s → x1 = x(15) = 20 + 16,7 · 15 → x1 = 270,5 m t2 = 25 s → x2 = x(25) = 20 + 16,7 · 25 → x2 = 437,5 m

∆x12 = x2 – x1 = 437,5 m – 270,5 m = 167 m

La distancia recorrida entre los instantes de tiempo 15 s y 25 s es de 167 m. El resultado es completamente coherente, pues el intervalo de tiempo es ∆t12 = 10 s, es decir, igual que en los apartados b y c. Debe ser así, pues se trata de un MRU.

x(t) = 50 + 4t (m).

16. Un objeto sigue la siguiente ecuación de movimiento: x(t) = –20 + 2t (m). ¿En qué instante de tiempo alcanzará el origen de coordenadas? El origen de coordenadas se corresponde con la posición x = 0 m.

Soluciones: x (t) = 5 –0,6 t (m) 13. a) v (t) = –0,6 (m/s) b) ∆x0f = –20 m

{

14. a) x0 = 3 m; v = 2 m/s b) x0 = –1 m; v = 2 m/s c) x0 = 0 m; v = –4 m/s d) x0 = 7 m; v = –1 m/s

15. x (6) = 74 m 16. 10 s

Unidad 2. Cinemática

43

2.2. Gráficas del MRU En cinemática es muy importante el uso y entendimiento de las gráficas. En concreto hay dos gráficas importantes: x-t y v-t. Cada una de las dos gráficas anteriores está relacionada con una de las dos ecuaciones de movimiento vistas en el apartado anterior: posición en función del tiempo (gráfica x-t) y velocidad en función del tiempo (gráfica v-t). Tanto la posición como la velocidad (x y v) serán las variables dependientes y se representarán en el eje de ordenadas, es decir, en el eje vertical. En ambas gráficas el tiempo es la variable independiente y se representará en el eje de abscisas, es decir, en el eje horizontal.

Gráfica x-t del MRU Esta gráfica corresponde a la ecuación de la posición respecto al tiempo: x(t) = x0 + v0t Se trata de una recta oblicua, es decir, que forma cierto ángulo con el eje horizontal. Consulta el Anexo sobre gráficas para profundizar en este tema.

Ejemplo: x(t) = 5 + 5t (m) x0 = 5 m;

Ejemplo: x(t) = 5 – 5t (m) v0 = 5 m/s

En este caso la velocidad es positiva (5 m/s), por eso la recta es creciente. El corte de la gráfica con el eje vertical da la posición inicial, en este caso es 5 m.

x0 = 5 m;

En este caso la velocidad es negativa (–5 m/s), por eso la recta es decreciente. El corte de la gráfica con el eje vertical nos da la posición inicial, es decir, 5 m.

30

10

25

5

20

0

x (m)

0

x (m)

v0 = –5 m/s

15

10

1

2

3

4

5

t (s)

–5

–10

5

–15

t (s)

0 0

1

2

3

4

5

–20

La estela recta que deja un barco en el mar constituye un MRU. 44 Unidad 2. Cinemática

Gráfica v-t del MRU Esta gráfica corresponde a la ecuación de la velocidad. Recuerda que en este caso la velocidad no depende del tiempo, puesto que es constante: v(t) = v0 Ejemplo: v(t) = 2 (ms)

Ejemplo: v(t) = –2 (m/s) Si la velocidad es negativa, la gráfica v-t será una recta horizontal que corta al eje vertical en el valor de la velocidad por debajo del eje horizontal.

En este caso –2 m/s.

3

3

2

2

1

1

t (s)

0 0

1

2

3

4

v (m/s)

v (m/s)

Si la velocidad es positiva, la gráfica v-t será una recta horizontal que corta al eje vertical en el valor de la velocidad por encima del eje horizontal. En este caso 2 m/s.

t (s)

0 0

–1

–1

–2

–2

–3

–3

1

2

3

4

Un disco de los que se usan en hockey sobre hielo es otro ejemplo de MRU.

2s

2s

20 m

20 m

Un coche recorrerá la misma distancia en el mismo tiempo.

Unidad 2. Cinemática

45

Actividad 17. La siguiente gráfica recoge los datos del recorrido realizado por Eugenia al pasear desde su casa a una tienda de electrónica.

120

100

x (m)

80

60

40

20

0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

t (s)

Maria Mitchell, navegando entre estrellas

a) ¿Ha estado Eugenia siempre en movimiento?, ¿entre qué instantes de tiempo ha estado parada? b) ¿Qué interpretación cinemática tienen los tramos oblicuos?, ¿qué diferencia aprecias entre que el tramo sea creciente y que sea decreciente? c) Con la definición de velocidad, calcula las velocidades en cada uno de los tres tramos de la gráfica. d) Imagina que la tienda estaba a 80 metros de la casa de Eugenia. Si los tiempos que emplea en ir, estar en la tienda y volver son los mismos, construye la nueva gráfica.

Con catorce años, la futura astrónoma estadounidense Maria Mitchell (1818-1889) ayudaba a los marineros locales a realizar los cálculos de navegación. De hecho, nació en Nantucket, una isla ballenera de referencia que sirvió como escenario para la conocida novela Moby Dick.

La posición es una magnitud fundamental en la astronomía y Maria se convirtió en una auténtica experta desde su niñez. Tanto es así que fue la tercera mujer en la historia en descubrir un cometa, en 1847, aunque en su caso con una peculiaridad: lo hizo con un telescopio. Por ello recibió un premio del rey Federico VII de Dinamarca y el cometa recibió el nombre de Miss Mitchell’s Cometa.

Gran defensora de los derechos de la mujer, llegó a escribir: “Hasta que las mujeres no se deshagan de la reverencia a la autoridad no se podrán desarrollar”.

46 Unidad 2. Cinemática

Midiendo la posición de un cometa en distintos momentos, podemos llegar a predecir cuándo se aproximará a la Tierra.

Actividad resuelta 6. En la siguiente gráfica se puede observar la posición de un objeto respecto al tiempo. Indica a partir de ella: a) La posición inicial del objeto.

90

b) Durante cuánto tiempo se está moviendo.

80

c) La posición del objeto a los 8 s. d) La distancia recorrida

70

e) Calcula la velocidad media de todo el movimiento.

60

Solución x (m)

50

a) La posición inicial del objeto es x = 30 m.

40

b) Solo se moverá en los tramos oblicuos, es decir, entre los instantes de tiempo 4 s y 12 s. Por tanto se estará moviendo durante 8 s.

30

c) x(8) = 80 m 20

d) La distancia recorrida se calcula sumando las distancias recorridas en cada uno de los dos tramos oblicuos:

10

∆s = (80 m – 30 m) + (80 m – 60 m) = 50 m + 20 m = 70 m

e) v =

∆x ∆t

=

60 m – 30 m 16 s – 0 s

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

t (s)

= 1,9 m/s

Actividades 18. Se ha tirado un disco metálico sobre una pista de hielo y sigue un MRU con la siguiente ecuación de movimiento: x (t) = 5 + 10 t (m). Construye una tabla de datos y representa la gráfica x-t del movimiento del disco.

19. En el laboratorio observas la siguiente gráfica x-t. Encuentra: la posición inicial, la velocidad y las ecuaciones de movimiento. ¿De qué tipo de movimiento se trata? Extrae toda la información que puedas sobre las condiciones iniciales y escribe las ecuaciones de movimiento.

120

100

x (m)

80

60

40

20

0

0

100

200

300

400

500

t (s)

600

700

800

900

1000

Los trenes suelen llevar una velocidad constante para que los pasajeros tengan una mejor experiencia de viaje.

Unidad 2. Cinemática

47

Actividad 20. Un cuerpo se mueve en línea recta de acuerdo a los siguientes datos:

Actividad resuelta 7. En la gráfica siguiente se pueden ver los movimientos rectilíneos uniformes de dos cuerpos diferentes. Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Se mueven en el mismo sentido? b) Expresa la posición inicial de cada uno de los cuerpos.

t (s)

x (m)

1

0

c) Calcula la velocidad en cada uno de los casos y realiza algún comentario.

1

15

d) ¿Parten los dos cuerpos desde el reposo en el mismo instante?

2

30

3

45

4

60

5

75

e) ¿Dónde se encuentran los dos cuerpos y en qué momento?, ¿por qué?, ¿qué distancia habrá recorrido cada uno?

60

50

a) Representa la gráfica x-t. x (m)

Cuerpo 2

c) Representa la gráfica v-t.

30

d) Escribe las ecuaciones de movimiento del cuerpo.

20

e) ¿Qué posicion ocupará el cuerpo en el instante 15 s?

10

f) ¿En qué instante de tiempo el cuerpo ocupará la posicion 150 m? g) Calcula algebraicamente el espacio recorrido entre los instantes 20 s y 50 s.

Cuerpo 1

40

b) Calcula la velocidad gráficamente.

0

0

1

2

3

4

5

6

t (s)

Solución a) No se mueven en el mismo sentido. El cuerpo 1 se mueve desde la parte positiva de las posiciones hacia el origen, mientras que el cuerpo 2 se mueve desde el origen hacia partes positivas de las posiciones. b) Cuerpo 1: x0 = 50 m. Cuerpo 2: x0 = 0 m.

x –x c) Para calcular la velocidad usamos la definición de velocidad: vof = f o tf – t0 0 m – 50 m = – 10 m/s Cuerpo 1: vof = 5s–0s 30 m – 0 m = 10 m/s Cuerpo 2: vof = 4s–1s

El módulo de la velocidad es el mismo, pero los vectores tienen sentido opuesto. d) Mientras que el primer cuerpo parte en el instante 0 s, el segundo cuerpo parte en el instante 2 s. e) Los dos cuerpos se encuentran en la posición x = 20 m y en el instante t = 3 s. Esto lo sabemos porque es el lugar donde se cortan las dos gráficas. Las distancias recorridas son: Cuerpo 1: ∆s = 50 m − 20 m = 30 m Cuerpo 2: ∆s = 20 m − 0 m = 20 m Aunque se podría haber resuelto también a partir de la velocidad: en cada segundo ambos objetos recorren 10 m. Hasta el encuentro, el primer cuerpo se mueve durante 3 s, por eso recorre 30 m; el segundo cuerpo se mueve durante 2 s, por eso recorre 20 m.

48 Unidad 2. Cinemática

3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO

UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA)

En este epígrafe vamos a seguir profundizando en uno de los movimientos más sencillos que existen. En este caso vamos a introducir un grado de dificultad: la velocidad no es constante pero sí varía de forma constante. Dicho de otro modo, existe una aceleración y es constante, de ahí la denominación “uniformemente acelerado”.

En este caso el movimiento también se desarrolla en una línea recta.

Igual que en el caso anterior, es interesante partir de un ejemplo para entender bien el MRUA. La siguiente tabla representa las posiciones ocupadas por un coche al acelerar durante 4 segundos, suponiendo que quien pilota pisa el acelerador del mismo modo durante todo el trayecto. t (s)

0

1

2

3

4

x (m)

0

4

16

36

64

v (m/s)

0

8

16

24

32

t0 = 0 s t1 = 1 s t2 = 2 s x0 = 0 m x1 = 4 m x2 = 16 m v0 = 0 m/s v1 = 8 m/s v2 = 16 m/s

t3 = 3 s x3 = 36 m v3 = 24 m/s

Recuerda En las ecuaciones de movimiento x, v y t son variables, mientras que x0, v0 y a son coeficientes, es decir, números que representan las condiciones iniciales de un cuerpo. En las ecuaciones de movimiento es esencial que se introduzca el concepto de sistema de referencia y el de criterio de signos. Es decir, igual que en el epígrafe anterior, hay que elegir en primer lugar el sistema de referencia y luego el criterio de signos.

t4 = 4 s x4 = 64 m v4 = 32 m/s

Si etiquetamos las posiciones, velocidades y tiempos desde 0 a 5, podemos calcular la aceleración y comprobar que es constante:

a01 = a12 = a23 =

∆v01 ∆t 01

=

8 m/s – 0 m/s = 8 m/s2 1s–0s

∆v12

= 16 m/s – 8 m/s = 8 m/s2 2s–1s ∆t 12

∆v23 24 m/s – 16 m/s = = 8 m/s2 ∆t 23 3 s – 21 s

∆v34 32 m/s – 24 m/s = = 8 m/s2 ∆t 34 4s–3s Se comprueba que el coche sufre una aceleración constante, es decir, aumenta su velocidad de manera uniforme. a34 =

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es el movimiento que sigue un cuerpo cuando su trayectoria es rectilínea y tiene una aceleración constante.

Recuerda que la aceleración puede ser positiva o negativa. En el segundo caso se denomina deceleración, es decir, aquel en el que la velocidad decrece con el paso del tiempo.

Ejemplo de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. En tiempos iguales no se recorren espacios iguales.

Actividades 21. En el estudio de la velocidad de un MRUA, ¿es suficiente calcular la velocidad media o es importante el análisis de otro tipo de velocidad?

Unidad 2. Cinemática

49

3.1. Ecuaciones de movimiento del MRUA Recuerda En las actividades puedes eliminar la flecha del vector, pero no olvides tener en cuenta el criterio de signos: 1 x(t) = x0 + v0t + at2 2

{

Recuerda que para escribir las ecuaciones de movimiento se necesitan las denominadas condiciones iniciales, es decir, la posición (x0), velocidad inicial (v0) y aceleración (a). En el MRUA deberemos tener en cuenta estas tres condiciones, pues ahora la aceleración no es nula.

Ecuaciones de movimiento de un MRUA:

v(t) = v0 + at

{

x(t) = x0 + v0t +

1 2 at 2

v(t) = v0 + at

Actividad resuelta 8. Un vehículo que circula a 80 km/h frena 40 m antes de llegar a una señal de STOP. Se detiene por completo en 5 s.

Según el criterio de signos: v0 = 22,2 m/s Para calcular la aceleración:

a) Escribe las ecuaciones de movimiento del vehículo. b) ¿Qué posición ocupará después de 2 s? ¿Se encuentra a la izquierda o a la derecha del STOP? c) ¿Qué velocidad llevará después de 2 s? d) ¿Sobrepasa el STOP o se detiene antes? e) ¿Qué distancia ha recorrido el vehículo en la frenada?

Solución a) En primer lugar elegimos el sistema de referencia (en la señal de STOP) y el criterio de signos (positivo hacia dónde se dirige el coche). Suponemos que el coche está a la izquierda.

v0

+ x0 0

40 m

En función de esta elección debemos escribir los valores y signos de las condiciones iniciales, es decir, de x0, v0 y a. Los valores de las dos primeras los tenemos, pero no de la aceleración, aunque podemos calcularla con la velocidad inicial (80 km/h), la velocidad final (0 km/h, pues se detiene por completo) y el tiempo que tarda en realizarse este cambio en la velocidad (5 s).

El coche está inicialmente a 40 m a la izquierda del origen del sistema de coordenadas, es decir, en dirección opuesta al criterio de signos: x0 = –40m.

Te va a hacer falta expresar el módulo de la velocidad inicial en m/s: v0 = 80

km 103 m 1h · · = 22,2 m/s h 1 km 3,6 · 103 s

50 Unidad 2. Cinemática

a=

∆v0f ∆t 0f

=

vf – v0 ∆t 0f

=

0 m/s – 22,2 m/s → a = –4,4 m/s2 5s

La aceleración sale negativa porque su sentido es opuesto al de la marcha del coche y, por tanto, al criterio de signos.

Resumiendo: c.i.

{

x0 = –40 m v0 = 22,2 m/s a = –4,4 m/s2

Obtenemos las ecuaciones de movimiento del vehículo en concreto (sustituyendo las c.i.):

e.m.

{

x(t) = –40 + 22,2 t – 2,2 t2 (m) v(t) = 22,2 – 4,4 t (m/s)

b) x(2) = –40 + 22,2 · (2) – 2,2 · (2)2 = –4,4 m. Puesto que el resultado es –4,4 m (negativo), se encuentra a la izquierda.

x(2)=-4, 4m

c) v(2) = 22,2 – 4,4 · (2) →

v(2) = 13,4 m/s

d) Para saber si ha sobrepasado la señal de tráfico habrá que calcular la posición final del vehículo, será aquella posición que el cuerpo ocupe cuando se detenga por completo, es decir, la que corresponde al instante tf = 5 s: xf = x(5) = –40 + 22,2 · (5) – 2,2 · (5)2 → xf = 16 m Puesto que el resultado es 16 m (positivo) significa que ha pasado en 16 metros la señal de tráfico. e) La distancia recorrida se calcula como la diferencia entre las posiciones final e inicial, pues coincide con el módulo del vector desplazamiento: ∆x0f = xf – x0 = (16 m) – (–40 m) →

∆x0f = 56 m

El vehículo recorre 56 m en los 5 segundos que dura la frenada.

3.2. Ejemplos de MRUA Dos casos importantes de MRUA son la caída libre y el tiro vertical, ambos relacionados con el movimiento ocurrido en un campo gravitatorio.

Una caída libre es el movimiento que sigue un cuerpo al ser soltado libremente (velocidad inicial igual a cero) desde cierta altura.

Tomamos, por ejemplo, el origen de coordenadas en el punto más bajo de la trayectoria (el suelo en la ilustración) y criterio de signos positivo hacia arriba, tendremos:

{

c.i. h x0

x0 = h v0 = 0 m/s a = –g = –9,8 m/s2

Las ecuaciones de movimiento serán: +

g

e.m.

{

x(t) = h –

1 2

g t2 (m)

v(t) = –g t (m/s)

0

Atracción de caída libre en Isla Mágica, Sevilla.

Corresponde a la situación en la que la posición Instante t s en el que llega al coincide con el origen del sistema de referencia, es decir: suelo. x(ts ) = 0 m Este instante coincide con el tiempo que tarda en llegar al suelo ∆t0s si el Sustituimos en la primera ecuación de moinstante inicial es cero (t0 = 0 s): vimiento y despejamos:

∆t 0s = ts – t 0 = t s

1 2

0=h–

Velocidad vs con la que llega al suelo.

Cuando dejas caer un objeto, este llega al suelo con cierta velocidad.

g ts2 →

tS =

√

2h g

Se sustituye el instante t s en la ecuación de movimiento para la velocidad, pues en ese instante es cuando toca el suelo: v(ts) = –g

√ 2hg = –√ g g2h → 2

v(tS) = –√2gh

¿

Sabías que...?

Para facilitar los problemas, puede tomarse la aceleración gravitatoria como g = 9,8 m/s2.

Si esta va en el sentido del criterio de signo escribiremos g, si va en sentido opuesto escribiremos –g.

El signo menos indica que la velocidad va en sentido opuesto al criterio de signos elegido.

Observa que en realidad este problema se puede resolver de otras formas, dependiendo del sistema de referencia elegido y del criterio de signos.

h

h

0 vs < 0

c.i.

{

x0 = h m a = –g

h

0 vs > 0

xs = 0 m

v0 = 0 m/s

c.i.

{

xs = 0 m x0 = –h m v0 = 0 m/s a=g

c.i.

{

xs

h

xs

+

0

+

x0

+

x0

+

0

vs < 0

vs > 0

xs = –h

xs = h

x0 = 0 m v0 = 0 m/s a = –g

c.i.

{

x0 = 0 m v0 = 0 m/s a=g

Unidad 2. Cinemática

51

Actividad resuelta

Recuerda Cuando escribimos g nos referimos al módulo de la aceleración gravitatoria, que en el caso de la Tierra es 9,8 m/s2. El signo dependerá del criterio de signos adoptado por ti en el problema: positivo si va en el mismo sentido y negativo si va en el sentido opuesto. g

+ g

g

+ –g

9. Se deja caer desde una altura de 30 metros un llavero. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y con qué velocidad lo hace.

Solución En primer lugar debemos escribir las ecuaciones de movimiento y, para ello, necesitamos las condiciones iniciales en base a la elección del sistema de referencia y criterio de signos.

0

Las condiciones iniciales, según la ilustración, son: x0 = 0 m (la posición inicial coincide con el origen del sistema de referencia).

xS = 30 m

v0 = 0 m/s (puesto que se trata de una caída libre).

¿

Sabías que...?

En una caída libre real en la Tierra, los cuerpos no se aceleran eternamente. Si dejas caer un objeto desde, por ejemplo, un avión, sufrirá un rozamiento debido a la atmósfera. Este rozamiento es una fuerza opuesta a la fuerza peso del objeto, lo que hace que se alcance la denominada velocidad límite, es decir, una velocidad máxima. Depende de factores como la forma del objeto, la masa y las propias condiciones ambientales.

+

a = 9,8 m/s2 (la aceleración gravitatoria está orientada igual que el criterio de signos).

Si sustituyes las condiciones iniciales en las ecuaciones de movimiento y posteriormente simplificas, tendrás: e. m.

{

x(t) = 4,9 t2 (m) v(t) = 9,8 t (m/s)

Puesto que podemos caracterizar la posición en el suelo (xs = 30 m), esto nos servirá para calcular el instante en que toca el suelo y, posteriormente, el tiempo que dura la caída y la velocidad con la que llega al suelo.

30 = 4,9 t2s → t s =

30 √ 4,9 → t s = 2,5 s

Como el instante inicial es cero: ∆t0s = ts – t0 = ts →

∆t0s = 2,5 s

Sustituimos el instante ts en la ecuación de la velocidad para calcular la velocidad al tocar el suelo: vs = v(ts) = v(2,5) = 9,8 · 2,5 →

vs = 24,5 m/s

El llavero llega al suelo en 2,5 s y con una velocidad de 24,5 m/s.

Experimentamos Graba la caída de un cuerpo desde distintas alturas (más de 1 m). Viendo el vídeo, elabora una tabla de datos de posición (para ello necesitarás haber marcado el fondo con alguna regla) y tiempo. Si incluyes una tercera columna con el tiempo al cuadrado y tienes en cuenta que en este caso x (t) = 1/2 gt2, puedes representar gráficamente x frente a t2 (sale una recta). La pendiente sería 1/2 g. Realiza el experimento, calcula el valor de g y presenta un informe según los pasos del Anexo de Proyectos.

52 Unidad 2. Cinemática

Un tiro vertical es el movimiento que sigue un cuerpo al ser lanzado perpendicularmente hacia arriba con una velocidad distinta de cero. v1 = 0 m/s h

Tomamos, por ejemplo, el origen de coordenadas en el lugar desde donde se lanza el objeto y criterio de signos positivo hacia arriba:

+

c.i. g

{

x0 = 0 m v0 = v0 a = –g

Las ecuaciones de movimiento serán: v0 = 0

{

x(t) = v0 t –

1 2

g t2 (m)

v(t) = v0 – gt (m/s)

0 La altura máxima es la posición en la cual la velocidad se hace nula, es decir: v(t1) = 0 m/s Instante t 1 en el que se alcanza la altura máxima.

Altura h máxima alcanzada.

En el instante de tiempo t1.

Sustituyendo en la ecuación de la velocidad se puede conocer el instante en el que se alcanza la altura h máxima: v0 0 = v0 – gt1 → t1 = g Como ya conocemos el instante t 1 en que se alcanza la altura máxima, si calculamos la posición en este instante, la altura máxima coincidirá con el módulo de dicha posición:

Los fuegos artificiales son un ejemplo de tiro vertical. Sevilla.

2 v2 v v2 1 v x(t1) = v0 · ( g0 ) – g ( g0 ) = g0 – 1 g0 = 1 v02 2 2 2 Por tanto: 2 1 v0 h = |x(t1)| → h = 2 g

Esta situación corresponde a que se alcance de nuevo la posición inicial, es decir: x(ts) = 0 m → 0 = v0t – Instante de tiempo ts en que toca de nuevo el suelo. Habrá dos soluciones, pues estará en el suelo al principio y al final. La primera solución será O s.

1 2

g t2s

Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta, sacamos factor común de t: 1 gt )=0 2 s La solución que nos interesa será: ts · (v0 –

2v0 ts = g Corresponde al instante en que toca el suelo, es decir, el instante ts: Velocidad al llegar al suelo.

Recuerda que no llega al suelo con velocidad nula.

v(tS) = v0 – g

2v0 g

→ v(t s) = –v0

El signo menos indica que la velocidad va en sentido opuesto al criterio de signos elegido.

Fíjate que la velocidad con la que toca el suelo es la misma con la que partió, pero de sentido opuesto.

Recuerda Antes de responder cualquier pregunta, debes escribir las ecuaciones de movimiento de tu problema, puesto que ellas tienen toda la información que necesitas. Para ello antes debes encontrar las condiciones iniciales, elegir un sistema de referencia y optar por un criterio de signos.

Unidad 2. Cinemática

53

Actividad resuelta

t1

10. Frogman, desde el suelo, lanza su lengua verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. ¿Qué altura alcanzará?

Solución

+

En primer lugar debemos escribir las ecuaciones de movimiento y, para ello, necesitamos las condiciones iniciales según la elección del sistema de referencia y criterio de signos.

¿h?

x0 = 0 m (la posición inicial coincide con el origen del sistema de referencia, el propio suelo). v0 = 10 m/s (puesto que se trata de un tiro vertical). a = –9,8 m/s2 (la aceleración gravitatoria está orientada en sentido contrario al criterio de signos).

Si sustituyes las condiciones iniciales en las ecuaciones de movimiento y posteriormente simplificas, tendrás: e. m.

{

x(t) = 10 t – 4,9 t2 (m)

v0

v(t) = 10 – 9,8 t (m/s)

La altura máxima se corresponde con aquella situación en la que la velocidad se hace nula, es decir: v(t1) = 0 m/s, donde t1 es el instante en que se alcanza dicha altura. Solo hay que sustituir en la ecuación de la posición, calcular t1 y luego sustituir el resultado en la ecuación de la posición.

0 = 10 – 9,8 t1 → t 1 =

10 9,8

0

= 1,02 s

h = x(t1) = x(1,02) = 10 · (1,02) – 4,9 · (1,02)2 →

h = 5,1 m

La lengua lanzada por Frogman tarda 1,02 s en alcanzar una altura máxima de 5,1 m.

Actividades 22. Si dejases caer una tiza desde la azotea de tu instituto situada a una altura de 30 m, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar al suelo del patio y con qué velocidad lo haría?

Debes escribir previamente las ecuaciones de movimiento.

23. María está subida en lo alto de una escalera de 2 m de altura y lanza un pendrive a 3 m/s. ¿Qué altura máxima alcanzará el pendrive si se mide desde el suelo?

3.3. Gráficas del MRUA Gráficas x-t del MRUA La ecuación de movimiento para la posición en este caso es una parábola: x(t) = x0 + v0t + 1 at2 2 En el Anexo sobre gráficas puedes encontrar más información sobre las parábolas, aunque es suficiente que sepas que:

24. Herminia está jugando con una pelota y la lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad 6 m/s. Quiere lanzar la pelota por encima de una tapia de 5 metros. ¿Lo conseguirá?

**x0: es la ordenada en el origen. Es decir, la parábola corta al eje

Soluciones:

**a: la aceleración dará la orientación de la parábola. Es decir,

22. t = 2,5 s, v = 24,5 m/s 23. 2,5 m.

54 Unidad 2. Cinemática

vertical justo en el valor numérico de la posición inicial. Así hay tres posibilidades: corta en la parte positiva del eje vertical (x0>0), corta justo en el origen de coordenadas (x0 = 0) o corta en la parte negativa del eje vertical (x0<0). podemos tener las ramas hacia arriba (a>0) o las ramas hacia abajo (a<0).

Ejemplo: x(t) = 50 + 2t2 x0 = 50 m;

Ejemplo: x(t) = 50 – 2t2 a = 4 m/s2

v0 = 0 m/s;

x0 = 50 m;

Puesto que la aceleración es positiva (4 m/s2), la parábola tiene las ramas hacia arriba. Corta en el eje vertical en 50 m, es decir, en la posición inicial.

v0 = 0 m/s;

a = –4 m/s2

Puesto que la aceleración es negativa (–4 m/s2), la parábola tiene las ramas hacia abajo. Corta al eje vertical en 50 m, es decir, en la posición inicial.

300 100 200 2

x (m)

x (m)

0 100

4

8

10

–100 0 0

2

4

6

8

10

–200

t (s)

t (s)

Actividad resuelta 11. Observa la siguiente gráfica x-t del movimiento de cierto cuerpo y contesta: 500

400

x (m)

300

200

100

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t (s)

a) ¿Se trata de un MRU o de un MRUA? b) ¿Cuál es la posición inicial del cuerpo? c) ¿Cuál es la posición en el instante 10 s? d) Si la velocidad inicial es 5 m/s, ¿cuál será la aceleración? e) Escribe la ecuación de movimiento para la posición y la velocidad.

Solución a) Se trata de un MRUA porque la gráfica x-t es una parábola. b) La posición inicial del cuerpo es 50 m, puesto que corresponde al punto de corte de la parábola con el eje y. c) x(10) = 500 m. d) Usamos los datos de la posición inicial y de la velocidad inicial, a falta 1 de la aceleración: x(t) = 50 + 5t + at2 2

Con el apartado “c”: 500 = 50 + 5 · 10 + 1 a(10)2 → a = 8 m/s2 e) x(t) = 50 + 5t + 4t2 (m);

2

v(t) = 5 + 8t (m/s)

Galileo Galilei (1564-1642), astrónomo, filósofo, matemático y físico italiano.

Unidad 2. Cinemática

55

Gráficas v-t del MRUA La ecuación de movimiento para la velocidad es una recta: v(t) = v0 + at

donde v0 es la ordenada en el origen y a es la pendiente.

Ejemplo: v(t) = 2t (m/s)

Ejemplo: v(t) = 1–2t (m/s) a = 2 m/s2

v0 = 0 m;

m/s2)

La aceleración es positiva (2 y por eso la recta es creciente. La velocidad inicial es cero, que es donde corta la gráfica al eje vertical.

10

m/s2), por

La aceleración es negativa (–2 eso la recta es decreciente. La velocidad inicial puede conocerse por el corte con el eje vertical, en este caso es 1 m/s.

10

5

0

1

2

3

v (m/s)

5

v (m/s)

a = –2 m/s2

v0 = 1 m;

4

5

0

2

3

4

5

0

0

t (s)

t (s)

Actividad resuelta 12. Calcula la aceleración del cuerpo cuya gráfica v-t es la siguiente.

300

Solución La aceleración se calcula mediante la expresión a =

donde podemos tomar dos puntos cualesquiera de la gráfica, por ejemplo, (0,50) y (500, 300):

250

v (m/s)

150

100

50

0

100

200

t (s)

300

400

(0,50)

500

∆t = 500 s – 0 s = 500 s

∆v = 300 m/s – 50 m/s = 250 m/s

(500,300)

200

0

∆v0f ∆t0f

a=

250 m/s 500 s

→ a = 0,5 m/s2

Actividades 25. Calcula la aceleración que sigue el cuerpo cuya gráfica v-t es la siguiente: 600

26. ¿Qué se puede decir de las gráficas x-t y v-t de un MRUA si sabemos el signo de la posición inicial?

27. La ecuación de movimiento para la velocidad de una pelota es v(t) = 10 – 10t. Realiza la gráfica v-t e indica los valores de la velocidad inicial y de la aceleración.

v (m/s)

400

Solución:

200

25. 10 m/s2 0 0

10

20

30 t (s)

56 Unidad 2. Cinemática

40

50

Actividades 28. Un cuerpo se acelera desde el reposo hasta 500 m/s de manera uniforme en 5 s. Se han tomado las posiciones y las velocidades cada segundo, como muestra la siguiente tabla: t (s)

x (m)

v (t)

0 1 2 3 4 5

50 55 70 95 130 175

0 100 200 300 400 500

a) Representa la gráfica x-t. ¿Qué tipo de curva ha salido? b) Representa la gráfica v-t. ¿Qué tipo de curva ha salido? c) ¿Cuál es la posicion inicial? d) ¿Cuál es la velocidad inicial? e) Calcula o deduce la aceleracion. f) Escribe las ecuaciones de movimiento.

Un movimiento parabólico es el resultado de combinar un MRU (horizontal) con un MRUA (vertical), como en el caso de la pelota de la imagen.

4. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Los movimientos curvilíneos son mucho más comunes que los rectilíneos.

Para entender este tipo de movimientos, necesitamos conocer el concepto de ángulo, velocidad angular y aceleración normal.

La velocidad angular ~ es el ángulo barrido por un móvil por unidad de tiempo. { ~=∆ ∆t En el Sistema Internacional, la velocidad angular se mide en radianes por segundos (rad/s).

Las revoluciones por minuto (rpm) son unidades muy usadas para la velocidad angular. Se define rpm como el número de vueltas (revoluciones) que da un cuerpo en un minuto. Puesto que una vuelta equivale a 2r rad, el factor de conversión será: 1 rpm =

2r rad 60 s

En un movimiento circular uniforme, la velocidad angular se mantiene constante, pero la dirección de la velocidad lineal varía continuamente, aunque mantiene constante su módulo.

El movimiento circular uniforme (MCU) es aquel en el que un móvil sigue una trayectoria circular barriendo ángulos iguales en tiempos iguales, es decir, tenemos una velocidad angular constante.

Este caso es parecido al MRU, aunque ahora sí hay aceleración: la aceleración normal que hace variar de dirección al vector velocidad lineal. El hecho de que la velocidad lineal en cada punto mantenga su módulo constante significa que no existe aceleración tangencial. Por tanto, la aceleración total de un cuerpo en MCU coincide con su aceleración normal: a = an =

v2 R

¿

Sabías que...?

El periodo T de un móvil en MCU es el tiempo que tarda dicho móvil en dar una vuelta completa a la circunferencia. Se mide en s.

La frecuencia f de un móvil en MCU es el número de vueltas que da en un segundo dicho móvil. Se mide en s–1 o Hz (hercios).

La frecuencia es el inverso del periodo: 1 f= T Unidad 2. Cinemática

57

¿

Sabías que...?

Los ángulos pueden medirse de muchas maneras, aunque el radián es la forma natural utilizada en física. Debes aprender y acostumbrarte a utilizarlo. Fíjate en la figura para entender lo que se explica a continuación. El punto A forma un ángulo φ1 (φ se pronuncia “fi”) con el origen del sistema de referencia (a la derecha), mientras que el punto B forma un ángulo φ2 con el origen del sistema de referencia. El ángulo Δφ se define como la división del arco Δs subtendido por dicho ángulo entre el radio R de la circunferencia: ∆{ =

B ∆s ∆{

A

{2 {1

R

0

∆s R

4.1. R elación entre la velocidad angular y la velocidad lineal Entre la velocidad angular ~ y la velocidad lineal v hay una relación matemática. Para llegar a ella partimos de la definición de velocidad lineal, de velocidad angular y de ángulo. Manejando estas tres expresiones matemáticas llegaremos a la deseada: Ejemplo de movimiento circular uniforme.

Ayuntamiento de Nerva (Huelva).

Velocidad lineal v=

Ángulo

Ds Dt

D~ =

Velocidad angular

Ds R

~=

D{ Dt

Despejamos el arco subtendido de la definición de ángulo: Δs = R Δφ. Si dividimos por el intervalo de tiempo ambos miembros observa lo que resulta: v R ∆{ ∆s = ∆t ∆t

v=~R

~

Actividad resuelta 13. Las aspas de un aerogenerador pueden medir unos 20 metros y giran a un ritmo de unas 15 revoluciones por minuto. Expresa la velocidad angular en rad/s y calcula la velocidad lineal en la punta de las aspas.

Solución

~ = 15 rpm = Una noria gira siguiendo un movimiento circular uniforme.

58 Unidad 2. Cinemática

15 vueltas 1 min 2 π rad · · = 0,5 π rad⁄s 1 min 60 s 1 vuelta

v= ~ · R = 0,5 π rad⁄s · 20 m → v = 31,4 m⁄s

Actividades 29. ¿Qué ángulo recorrerá un móvil en 2 min si su movimiento es un MCU con velocidad angular es de 20~ rad/s? Expresa el resultado en radianes y grados.

30. Calcula la velocidad angular de la Tierra en su rotación. Si la Tierra tiene un radio de casi 6400 km, ¿cuál será la velocidad lineal de una persona sobre la superficie de esta?, ¿y la aceleración normal?

31. Expresa en rpm el giro de una rueda si su velocidad angular es de 0,5 rad/s.

32. Un tiovivo de 3 m de radio tiene una velocidad angular de 0,3 rpm. Contesta en tu cuaderno: a) Expresa la velocidad angular en rad/s. b) ¿Qué velocidad lineal tendrá una niña situada en un caballo a 2 metros del centro? c) ¿Qué velocidad lineal tendrá un coche de bomberos que esté justo en la periferia?

33. Demuestra que la aceleración normal también puede calcularse de la siguiente forma:

an = ~ 2 R

Soluciones:

La Tierra tarda 24 horas en dar una vuelta sobre su propio eje.

29. 2400 ~ rad 30. ~ = 7,3 · 10 –5 rad/s, v = 467,2 m/s, a = 3,4 · 10 –2 m/s2 31. 4,8 rpm 32. a) 0,01 r rad/s b) 0,06 m/s c) 0,09 m/s

¿

Sabías que...?

El movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) es aquel movimiento circular en el que la velocidad angular varía de forma uniforme. Es el equivalente al MRUA pero con una trayectoria circular. En este caso hay tanto aceleración normal como tangencial.

Los puntos A y B tienen la misma velocidad angular ~. Esto significa que el módulo de la velocidad lineal v en B debe ser mayor que en A, puesto que la distancia recorrida por B es mayor que la recorrida por A.

~A = ~B vA < vB ∆sA < ∆sB RA < RB

∆sB

∆sA ∆{ RA

A

B

RB

Unidad 2. Cinemática

59

Actividades de consolidación 1. Mientras que Ptolomeo afirmaba que la Tierra está en el centro del universo y que los planetas y el Sol giran en torno a ella, Copérnico defendía un sistema en el que el Sol está en el centro y los planetas y la Tierra giran en torno a él. Explica cuál es el sistema de referencia en cada caso. Ayúdate de un dibujo.

7. Calcula la velocidad media en km/h de un tren que recorre 300 km en 1 hora y 20 min.

8. La siguiente gráfica representa la posición de un móvil en función del tiempo. Calcula la velocidad en cada uno de los tramos: 250

2. Razona si tiene sentido estudiar el movimiento de un cuerpo sin elegir primero el sistema de referencia.

150

x (m)

3. Observa la trayectoria seguida por un búmeran al lanzarlo y volver a tu mano. ¿Qué desplazamiento ha sufrido?

Razona tu respuesta.

200

100

50

0 0

200

400

600

800

1000

1200

t (s)

9. Calcula la aceleración que aplica un ciclista a los pedales si pasa de 20 km/h a 30 km/h en 5 s.

4. El velocímetro de un coche, ¿marca la velocidad media o la velocidad instantánea? ¿Por qué?

5. La velocidad de la luz es 300 000 km/s. Observa la imagen y calcula el tiempo que tarda la luz del Sol en llegar hasta la Tierra. Debes redondear el dato que se ofrece.

10. Para evitar un accidente, un camionero frena deteniendo su vehículo en 10 s. Si la velocidad a la que iba inicialmente era de 80 km/h, ¿qué aceleración ha sufrido el camión?, ¿qué distancia recorre? Usa las ecuaciones de movimiento para responder a la segunda pregunta.

149 597 871 km Sol

Tierra

6. Observa este desplazamiento de un objeto desde el instante t0 hasta el instante t2. Contesta en tu cuaderno. x 0 = –3 m t0 = 2 s

0

x2 = 2 m

x1 = 4 m

t2 = 6 s

t1 = 3 s

a) ¿Cuál es el criterio de signos empleado según la imagen? b) Representa los vectores posición de los tres puntos señalados. c) Calcula y representa: Δx01, Δx12 y Δx02. ¿Cuál de los tres es el desplazamiento total que ha sufrido el objeto? d) Calcula la distancia recorrida por el objeto. ¿Coincide con el módulo del vector desplazamiento?

60 Unidad 2. Cinemática

11. En un despiste, Angustias deja caer un jarrón desde una altura de 1 m. Si el jarrón soporta un impacto a velocidad máxima de 6 m/s, ¿se salvará al tocar el suelo?

12. Félix y Mario son dos amigos que quieren hacer un experimento. Mario se coloca en la calle mirando hacia arriba, en concreto hacia una altura de 4 m, donde hay un balcón en el que se encuentra Félix. Mario quiere lanzar un huevo a Félix de tal forma que llegue suavemente a la mano de este, es decir, con velocidad cero. ¿A qué velocidad deberá lanzar Mario el huevo? Realiza todo el problema como si conocieras la velocidad inicial, realiza el dibujo, elige el sistema de referencia, opta por un criterio de signos y escribe las ecuaciones de movimiento.

13. ¿Cuánto tiempo tarda un cuerpo en adquirir una velocidad de 100 km/h si se ha dejado caer desde altura suficiente?

14. Se han tomado los siguientes datos para la posición y el tiempo de un móvil. Contesta en tu cuaderno. t (s)

0

5

10

15

x (m)

5

30

55

80

a) ¿Se trata de un MRU? b) Representa la gráfica x-t y la gráfica v-t c) ¿Cuál es la posición inicial del móvil?

15. A continuación se dan tres gráficas x-t y tres gráficas v-t.

También se dan tres ecuaciones de movimiento. Identifica la correspondencia entre ellas en tu cuaderno.

a) Calcula en grados el ángulo que ha girado. b) Expresa en radianes el ángulo girado.

b) x(t) = –10 – 5t (m)

d) Calcula la velocidad lineal del punto.

A

18. Teniendo en cuenta la relación matemática entre velocidad lineal y velocidad angular, calcula la velocidad lineal vB del punto B en la ilustración si sabemos que está situado a la mitad de distancia que el punto A respecto al centro. Los datos del problema son las distancias de los dos puntos al centro (R para el punto A y R para el punto B) y la velocidad lineal del punto A (v). 2

I 10 1

2

3

4

5

6

7

8

9

9

10

8

–20

7

–30

6 v (m/s)

x (m)

17. Un punto gira a 2 m de distancia del centro de una circunferencia. Suponiendo que pasa en 2 s desde el ángulo 20º al ángulo 40º, contesta en tu cuaderno:

c) Calcula la velocidad angular de dicho punto.

10

–10

–40 –50

t (s)

v

5 4 3

R 2

1 0

B

1

2

3

4

5 6 t (s)

7

8

9

10

18

40

16

19. Si un objeto lleva una velocidad angular de 30 rad/s, con un movimiento circular uniforme, ¿cuál es su aceleración normal? ¿Y su aceleración tangencial? El radio de giro es de 2 m.

14

30

12 v (m/s)

20 10 0

1

2

3

4

5 6 t (s)

7

8

9

10

10 8 6 4 2 0

C 90

8

80

6

70

4 v (m/s)

10

50

1

2

3

4

5 6 t (s)

7

8

9

10

0 –2

30

–4

20

–6

10 1

2

3

4

5 6 t (s)

7

8

9

10

20. Un atleta lanza un martillo con una velocidad de 20 m/s.

Si desde el asa a la bola hay una distancia de 117,5 cm y desde el tronco del atleta al asa una distancia de 120 cm, calcula la velocidad angular con la que giraba en el momento de lanzarlo. Escríbela en rad/s y en rpm.

Soluciones: 5. Aproximadamente 8 minutos.

2

40

0

0

III

100

60 x (m)

R

20

60

x (m)

0

A

II

50

0

v

B

2

0

A

a) x(t) = 5 + 5t (m) c) x(t) = 10t (m)

0

B

16. Un CD gira dentro de un lector a 500 rpm. Busca en casa uno y realiza las medidas oportunas para calcular la velocidad lineal de los puntos A y B que se ven en la imagen.

1

2

3

4

5

t (s)

6

7

8

9

10

7. 230,8 km/h.

17. a) 20° b) 0,1 ~ rad c) 0,0,5 ~ rad/s d) 0,3 m/s.

9. 0,6 m/s2.

18. vB =v/2

10. a = 2,2 m/s2, |Δx| = 444 m

19. an = 1800 m/s2, at = 0 m/s2.

13. 2,8 s.

20. 8,4 rad/s; 80,3 rpm.

Unidad 2. Cinemática

61

Esquema de la unidad CINEMÁTICA MAGNITUDES

ECUACIONES DE MOVIMIENTO

GRÁFICAS

Posición x(t)

x-t

Velocidad v(t)

v-t

Posición: xA

r

r

1 2

2

2

an

∆x

2

1 2

1

∆s

1

an

2

an

1

∆s

2

1

at

2

an

1

a

2 Velocidad (vector): v Velocidad

∆x (escalar): |v| Rapidez

r

h x0

1 2

2

2

1

1

Tangencial: at

+

g

Aceleración

at

Normal: an

an 1 2

62 Unidad 2. Cinemática

∆s

2

1

at

n

0 Derivadas

∆x

2

2

∆x

Duración: ∆tAB

∆s

2

1

1

1

1

1

1 2

2

2

∆s

∆s

Instante de tiempo: tA

Temporales

2

1

1

2

Distancia recorrida: ∆s

∆s

∆x

1

∆x

∆s

1

2

1 2

1

2

21 2 1 2 MCU

01

Desplazamiento: ∆xAB

r

1

MRUA

Curvilínea

Espaciales

0

MRU

2

0

Rectilínea 0

0

1

r

Trayectoria

r

2

2

0

r

1

1

0

∆x r

0

a t

Competencias clave Distancia de seguridad La distancia de seguridad es la que debe mantener un vehículo en marcha respecto al vehículo que le precede para evitar una colisión con este en caso de frenado de emergencia. Desde que vemos el peligro hasta que detenemos por completo el vehículo recorremos una distancia total dT que es la suma de la distancia de reacción más la distancia de frenado. Desde que vemos el suceso que nos hace frenar hasta que pisamos el freno pasa un tiempo, el llamado tiempo de reacción. Este tiempo es de 1 segundo aproximadamente en condiciones normales.

Los accidentes viales por no respetar la distancia de seguridad suponen habitualmente más del 30 % de los siniestros con víctimas, y dejan decenas de fallecidos y cientos de heridos graves. Para evitarlos, se debe tener en cuenta que hay que guardar dicha distancia y aumentarla en casos de climatología adversa (lluvia, hielo y nieve), de calzada en mal estado o con objetos deslizantes.

La distancia de reacción dR es la distancia que recorre el vehículo desde que vemos el peligro hasta que frenamos, mientras que la distancia de frenado dF es la distancia que recorre el vehículo hasta que se detiene por completo. La distancia de seguridad será por tanto la distancia mínima para que no se produzca la colisión, es decir, debe ser igual o superior a la distancia total recorrida por el vehículo que frena. En la siguiente tabla se pueden observar cifras aproximadas en calzadas secas y mojadas. v (km/h) Estado calzada: 50 90 120

Distancia de reacción (m)

Distancia de frenado (m)

Distancia total (m)

Seco

Mojado

Seco

Mojado

Seco

Mojado

14 25 33

14 25 33

10 32 57

20 65 113

24 57 90

34 90 146

Cuestiones propuestas 1. Explica en una sola frase qué es la distancia de seguridad.

2. Imagina que vas en una motocicleta a 50 km/h y el coche que te precede frena violentamente porque se ha cruzado en la carretera una persona. Expresa la velocidad en m/s y calcula qué distancia recorres antes de que pises el freno.

3. En vista a los datos de la tabla, ¿coincide con la tabla el resultado de la actividad anterior? Si el vehículo de delante está a 10 metros, ¿colisionarías con él?

4. Representa en una gráfica los valores de la distancia total para las velocidades que aparecen en la tabla. ¿Varían por igual las distancias con respecto a la velocidad?

5. Bajo los efectos del alcohol se puede tardar hasta el doble de tiempo o más en reaccionar ante un estímulo. Si una persona ebria ve un animal en la carretera a 25 m y tarda dos segundos en reaccionar, ¿lo atropellará si su velocidad es de 50 km/h?

6. Amplía tu información sobre este tipo de siniestralidad. ¿Qué porcentaje de accidentes ocurrieron en 2020 debido a una mala distancia de seguridad? ¿Piensas que se podrían haber evitado?

7. Hoy en día hay mucha información sobre la necesidad de guardar la distancia de seguridad. ¿A qué crees que se debe que sigan ocurriendo este tipo de accidentes?

8. Busca información acerca de cómo afecta la masa en la distancia de frenado. ¿Aumenta la distancia o la disminuye? ¿Y en la distancia de reacción?

9. Además del alcohol, ¿qué otros factores de la propia persona conductora pueden influir en la distancia de reacción?

10. Elabora un lema para una hipotética campaña publicitaria con el que se pretenda concienciar a las personas conductoras sobre la distancia de seguridad. Realiza con este un cartel publicitario y una presentación multimedia con un programa informático. Compártelos con el resto de la clase.

Unidad 2. Cinemática

63

Competencias clave Experimentando en la Luna “En ausencia de atmósfera todos los cuerpos caen con la misma aceleración, algo que descubrió Galileo en el siglo XVII. Si dejas caer en la Tierra un martillo y una pluma, llegará antes el martillo, pero no por la masa sino por la forma de la pluma, que presenta una aerodinámica más proclive a ser afectada por el rozamiento con el aire. David Scott, comandante de la misión Apolo 15, se encargó de demostrar que en la Luna esto no pasaría. En la página web ALSJ puede verse el vídeo que aquí traducimos parcialmente: 167:22:06 Scott: Bien, en mi mano izquierda tengo una pluma y en mi mano derecha un martillo. Supongo que una de las razones por las que estamos hoy aquí es por un caballero llamado Galileo, el cual, hace mucho tiempo, hizo un importante descubrimiento acerca de los cuerpos que caen en un campo gravitatorio. Y pensamos que la Luna sería el mejor lugar para confirmar sus ideas.

167:22:28 Scott: Ahora lo intentaremos para que lo veas. La pluma es, concretamente, una pluma de halcón para nuestro Halcón [Falcon es el nombre del módulo lunar del Apolo 15; falcon es ‘halcón’ en inglés]. Ahora soltaremos los dos a la vez, y esperamos que llegue al suelo a la vez.

[Dave sostiene la pluma y el martillo con el pulgar y el índice de su mano izquierda y derecha, respectivamente; sus codos están elevados hacia el exterior]”.

La conspiración lunar ¡vaya timo!

Eugenio Manuel Fernández Aguilar. Laetoli.

Cuestiones propuestas 1. ¿Qué afirmaba Galileo con respecto a la caída de los cuerpos?

2. Se habla de la web ALSJ, que es un acrónimo de Apollo Lunar Surface Journal. ¿Cómo lo traducirías? Entra en la página web y comenta tu impresión.

3. Busca una explicación al título de la actividad.

4. ¿Qué nombre tenía el módulo lunar? ¿Qué tiene que ver con el experimento?

5. ¿Qué tipo de trayectoria y qué tipo de movimiento siguen el martillo y la pluma del experimento?

6. La aceleración gravitatoria en la Luna es la sexta parte de la aceleración gravitatoria terrestre. Calcúlala.

7. Se puede estimar que la pluma, de 30 g de masa, y el martillo, de 1,3 kg de masa, se soltaron desde una altura de 120 cm. Escribe las ecuaciones de movimiento del martillo y la pluma. ¿Son idénticas?

64 Unidad 2. Cinemática

8. Si analizas este vídeo (youtube.com/watch?v=oYEgdZ3iEKA), puedes comprobar que el tiempo de caída es de 1,2 s.

Calcula la velocidad con la cual tocan el suelo la pluma y el martillo.

9. Hay quien afirma que las grabaciones lunares fueron falsas, que el vídeo de la caída del martillo y la pluma fue grabado en la Tierra y luego se reprodujo más lentamente (suelen decir que se reproduce a la mitad de tiempo).

Esto significa que si se grabó en la Tierra, la caída duró 0,6 s. Calcula la altura desde la que se dejó caer el martillo y la pluma si se hubiera realizado en la Tierra.

10. A la vista del resultado de la actividad 9, ¿tiene alguna consistencia la hipótesis de la falsedad del vídeo? Acude al enlace de los experimentos y elige uno para realizarlo. Presenta un pequeño informe con fotografías, vídeos o gráficas que demuestren su elaboración.

La unidad en 10 1. Indica el movimiento en el que la distancia recorrida y el vector desplazamiento coinciden.

Se trata del movimiento rectilíneo.

2. Explica cuál es la diferencia entre velocidad y rapidez. ¿Son el mismo tipo de magnitud?

Mientras que la velocidad es la razón entre el desplazamiento y el tiempo empleado (vector), la rapidez es la razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado (escalar).

3. Un camión que circula a 60 km/h se detiene en 6 s. ¿Qué aceleración se ha aplicado al pedal?

60 km/h = 16,7 m/s ∆v

0 m/s – 16,7 m/s

→ a = –2,78 m/s2 ∆t 6s 4. Un repartidor de una empresa de mensajería ha necesitado todo el día para realizar una entrega a un cliente que estaba de mudanza. En la siguiente gráfica se representa la posición frente al tiempo (hora del día) respecto a su almacén. Calcula la velocidad en cada uno de los tramos del recorrido a=

=

preguntas 6. ¿Con qué velocidad tocará el suelo un objeto soltado desde una altura de 20 m? y0 = 0 m y (t) = 4,9 t2 (m) c.i. v0 = 0 m/s MRUA → v (t) = 9,8 t (m/s)

a = 9,8 m/s2 Suelo: y0 (t) = 20 m, por tanto: 20 = 4,9 t2 → t = 2,02 s

La velocidad al tocar el suelo: v (2,02) = 9,8 · 2,02 →

v (2,02) = 19,8 m/ s

7. Calcula la aceleración de un coche para que pase de 0 a 100 km/h en 9 s.

100 km/h = 27,8 m/s a=

∆v ∆t

=

27,8 m/s – 0 m/s 9s

a = 3,1 m/s2

→

8. Justifica a qué tipo de movimiento corresponde cada gráfica: a) b) 10

10

5

5

v (m/s)

140

120

0

1

2

3

4

v (m/s)

160

0

2

3

4

100

5

5

x (m)

80

0

0

t (s)

60

t (s)

a) Se trata de un MRUA, pues la velocidad crece de manera constante con el tiempo.

40

20

0 8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

t (s)

Tramo 1: Δx = 150km, Δt = 3h → v = 150 km = 50 km⁄h 3h Tramo 2: Puesto que permanece en la posición 150 km, la velocidad es 0 km/h. Se supone que está descargando el camión y descansando.

150 km Tramo 3: Δx = 150km, Δt = 2h → v = = 75 km⁄h 2h 5. Escribe las ecuaciones de movimiento de un vehículo que se desplaza a 80 km/h en línea recta.

80 km/h = 22,2 m/s Las condiciones iniciales serán: x =0m c.i. 0 v0 = 22,2 m/s Sustituimos estas condiciones iniciales en las ecuaciones de movimiento generales del MRU:

b) Se trata de un MRU, pues a tiempos iguales se tienen desplazamientos iguales.

9. Subimos al barco pirata de un tiovivo que da dos vueltas cada minuto. Si está a 6 m del eje, ¿cuál es la velocidad angular del barco y su velocidad lineal?

2 rrad r La velocidad angular será ω = 2 rpm · = rad⁄s.

60 s 15 ~ rad v= ω · R = · 6 m = 1,3 m⁄s 15 s 10. Una atleta lanza una bola de 7 kg a una velocidad de 24 m/s. Suponiendo que el martillo (bola) ha girado en torno a un radio de 2 m, ¿cuál es la aceleración centrípeta (normal) que ha comunicado la atleta al objeto?

La aceleración centrípeta es la que se debe calcular: ac =

v2 R

=

(24 m/s)2 2m

= 288 m/s2

x (t) = 22,2 t (m) v (t) = 22,2 (m/s) Unidad 2. Cinemática

65

2

Unit

Kinematics

1. MOTION 1.1. Motion, rest and frames of reference If we want to know whether a body is at rest or in motion, we need to know where we are looking at it from. We need a frame of reference to calculate the distance of the objects we are observing.

z

1.2. Quantities and concepts related to motion

0

Kinematics studies the motion of objects. The following are some important concepts in kinematics: Position of an object: the place that an object occupies in relation to a frame of reference.

The position is defined by the position vector. It is represented by r (t) or s (t).

Trajectory: the path that an object follows to go from one position to another.

Displacement: the difference between two specific positions in space. It’s represented

by Dr AB = r B - r A , in which A and B are the initial and the final positions.

Distance: the length of the path that an object has travelled. Distance is a scalar quantity, and is represented by Δs.

∆s A tA

rA

∆rAB

∆tAB

x The origin of the frame of reference is represented by the letter O.

Remember • We use x(t) for the position vector of unidirectional motion. If x(t) < 0, the vector will point to the left of the frame of reference origin, and if x(t) > 0, it will point to the right.

• In unidirectional motion, the reference system axis matches up with the direction of motion.

Objects are considered to be point particles without dimensions. All of their mass is concentrated into a point that defines their position. y

B tB

Velocity (vector)

v= rB

∆r ∆t

v=

Velocity is the rate of change of position with respect to time. The International System unit for velocity is m/s. It is a vector quantity, and it will always be tangent to the trajectory.

Speed is the rate of change of distance with time. It is measured in m/s and is a scalar quantity.

1.4. Acceleration Acceleration (which is a vector quantity) is the rate of change of velocity with respect to time. The SI unit for acceleration is m/s2.

The rate of change of the magnitude of the velocity with time.

The rate of change of tangential velocity. In the Centripetal formula, v is the magnitude of the velocity and r is acceleration the radius of curvature of the trajectory.

at =

|∆vAB|

∆tAB

an =

v2 r

∆s ∆t

+

1.3. Velocity

12 Unit 2. Kinematics

Speed (scalar)

z

0

Tangential acceleration

y

vA

vB

at

∆vAB = vB – vA < 0 at < 0

Velocity decreases, so the velocity increment is negative. A negative acceleration means that the object is decelerating. + vA

at

vB

∆vAB = vB – vA > 0 at > 0

Velocity increases, so the velocity increment is positive. A positive acceleration means that the body is accelerating.

Activities 1. Listen to the audio recording and complete the text in your notebook.

For a in circular motion, the magnitude of its is constant, so the tangential is zero. However, there is normal acceleration, since the direction of the velocity changes with time.

2. In pairs, discuss the following questions. A car leaves Barcelona at a speed of 80 km/h. Can we know its position after an hour? What about the distance travelled? Explain why. Here are some useful expressions that you can use: • In my opinion…

• As I see it…

• I (don’t) agree with you, because…

3. Some students go on an excursion to La Rábida Monastery (Huelva). The first part of the trip from Seville to La Rábida is done by bus, travelling 104 km in two and a half hours.

The visit to the monastery lasts one hour and a quarter.

Then they stop for half an hour for breakfast. Finally, they return to Seville by the same way in two hours and a quarter. Plot the graph space (km) vs time (h) and calculate the speed in each phase expressed in m/s.

4. In pairs, discuss the following statement: Distance and displacement will be equal when the direction and sense of the position vector don’t change. Here are some useful expressions that you can use: • I think / I don’t think…

• The difference lies in…

• I agree/disagree, because…

5. A car travels 3 miles in 10 minutes around a curve.

Nevertheless, the real displacement is 1.4 miles. Calculate the speed of the car and the magnitude of its velocity in km/h and in m/s.

6. Are the following statements true or false? Correct the false sentences in your notebook. a) An object’s velocity is always equal to its speed. b) Acceleration is a vector quantity. c) The distance travelled by a car that has completed a lap of a circular track is zero. d) The displacement of a car that has completed a lap of a circular track is zero. e) If the average velocity of a runner is 5 m/s, this means that he has run at a constant velocity along the whole trajectory. f) If an object travels in a straight trajectory, its centripetal acceleration is zero. g) The larger the radius of a curve is, the vehicle travelling the curve will have more normal acceleration.

7. Find the words in the word search. Write them in your notebook and mark the main stress in each word.

F T R A J A Y Z T H T N E M E N E N R T E M V A L A E O S E Y C W T M E T Z U I M L I G R N P G C T I S M I O U I O E D S D Y S J C V I A M N O I T A

E O C Y I C N E O C X L I D R

C P A U T N R J U N E O E T E

T P L I I A E T Y A H E P V L

O R Y H A E O I P S I D O P A C O M K R T S I D L A N T M R E E A D M F E S A Y P T T H R P I M U E C N P A S B E C C A

8. Order these speeds from the highest to the slowest in your notebook: a) 90 km/h c) 35 m/s b) 7,450 cm/min d) 75 mm/s 9. What is acceleration? Justify your answer in your notebook and explain it by calculating the acceleration of Usain Bolt in a race if he is moving at a speed of 12.4 m/s after 4 seconds.

10. A turtle travels in a straight line a distance of 1.2 m in 10 minutes. How far will it travel in 1 hour and 20 minutes?

11. A woman travels a straight line in her car at 80 km/h and she accelerates to 100 km/h in 5 seconds. In your notebook, calculate her acceleration in m/s. Is it tangential acceleration or centripetal acceleration?

12. The speed of sound in air is 343 m/s. In your notebook calculate how long it takes to hear the thunder from a lightning strike 8 km away.

Writing activities should be completed in your notebook Unit 2. Kinematics

13

Uniform linear motion (ULM) is motion with a linear trajectory and constant velocity. Acceleration will always be zero, since velocity is constant.

2.1. ULM equations of motion ULM equations of motion allow us to know the position and velocity of an object at any given moment (t).

¿

2. UNIFORM LINEAR MOTION (ULM)

In ULM equations of motion, it is assumed that the initial instant t0 is 0 s. If it has a different value, equations of motion should be written as follows: x (t) = x0 + v0 (t – t0) v (t) = v0

r(t) = r0 + vt v(t) = v0 In order to get the equations of motion we need to know the initial conditions: the initial position (r0) and the initial velocity (v0).

In these problems, the x axis will match the direction of movement, so you will see equations such as these:

x = x0 + vt v = v0 In equations of motion, it is essential to know the frame of reference and sign criteria. This means that just as in the previous section, we first need to define the frame of reference and then the sign criteria.

You will sometimes find distances in units other than SI units, so you should remember that: 1 statute mile = 1.61 km 1 nautical mile = 1.85 km If a velocity is expressed in miles per hour (mph or mi/h), we can convert units taking into account the following:

1

ml 161 km 1000 m 1 h · · · h 1 ml 1 km 3600 s

The motion of a plane during a short journey can be considered as an example of ULM. During long journeys, velocity varies and the plane doesn’t follow a linear trajectory, so it cannot be considered to be ULM.

Activity with answers The speed limit is 70 mph on British motorways. A Spanish tourist travels in his car at a speed of 120 km/h. Is this speed legal? What’s the speed limit in km/h?

120

km 1ml 120 ml ml · = = 74.53 h 1.61km 1.61h h

The speed isn’t legal, since it’s higher than 70 mph. Now, let’s calculate the maximum speed limit: 70

14 Unit 2. Kinematics

ml 1.61km km km · = 70 ·1.61 = 112.7 h 1ml h h

Equations of motion are essential for designing the graphic environment of video games.

Activities 13. In your notebook, deduce the equations of the motion for an object whose initial position is 1.5 km and whose speed is 72 km/h. Where will the object be after 20 minutes? What distance has it travelled during this time? Use SI units.

17. A thief steals a motorcycle and runs away with it at a speed of 45 km/h. A police officer who is 15 meters behind sees him and 5 seconds later she decides to run after the thief with a speed of 65 km/h. When and where will the police officer reach the thief?

14. In a race, a cyclist is riding at a constant speed of 18 km/h and she is 30 km from the finish line. If his average speed remains constant:

18. Find words related to uniform linear motion and write them in your notebook. With your classmates, look up the words you don’t know in a dictionary, and copy their definitions.

a) In your notebook, write the equations of motion, taking the finish line position as the origin of the frame of reference.

P

B

Z

R

S

S

T

R

A

I

G

H

T

Y

A

V

O

S

U

Y

M

Z

Y

X

P

U

V

N

R

E

C

T

I

L

I

N

E

A

R

M

S

L

T

D

T

Y

U

N

W

U

S

K

C

T

Y

O

I

N

O

N

Z

E

R

O

T

D

A

R

A

M

C

Y

E

C

W

I

P

Y

R

N

D

I

E

L

L

F

O

Z

D

O

T

• In my opinion…

T

T

A

X

N

T

Y

E

L

T

R

S

I

• It should be…

S

C

O

N

S

T

A

N

T

T

Y

I

C

O

I

B

M

I

L

A

W

V

I

N

T

O

U

N

I

F

O

R

M

R

S

T

M

I

L

I

A

R

A

N

B

H

T

L

E

D

O

E

A

C

C

E

L

E

R

A

T

I

O

N

V

Q

L

O

R

T

C

N

I

E

A

B

A

T

b) How far from the finish line will the cyclist be 30 minutes later? c) How long will it take to reach the goal?

15. Look at this graph and discuss the following question with your partner. Do you know what kind of movement this is? Write an explanation in your notebook. Then determine the equation of motion. You can use these expressions:

• Why do you think…?

• On the other hand, …

120 100

x (m)

80 60

19. Fill in the gaps with the words you found in the word search and write the text in your notebook.

40 20 0

0

100

200

300

400

500 t (s)

600

700

800

900 1000

16. Listen to the audio recording and complete the text with the correct words in your notebook.

Back in 2009, sprinter Usain Bolt ran the 100-metre dash in a record-setting time of 9.58 . An interesting thing about Bolt is that he’s 1.95 metres tall. That means he to expend a bit more than the sprinter in order to overcome the drag caused by wind , he’s actually not very relative to other runners.

But that said, his record was the biggest since timing was introduced in 1968. He’s truly a of nature.

Adapted from The Physics of Usain Bolt’s World Record 100-metre Dash, io9.gizmondo.com

motion is the simplest movement that is studied in kinematics. It is a movement along a line, so it can be described mathematically using only one spatial . linear motion is that of an with velocity and, therefore, zero .

Non-uniform linear motion is that of an object with acceleration, i.e. variable . We can know the of a particle that is performing ULM if we know its initial position and velocity.

20. The equation of motion of an object is: x = 35 + 4 (t – 2).

Calculate in your notebook: a) The initial position (r0), the initial instant (t0) and the initial velocity (v0). b) Calculate the position and velocity of the object at the moment t = 5 s.

Writing activities should be completed in your notebook Unit 2. Kinematics

15

3. LINEAR UNIFORMLY ACCELERATED MOTION (LUAM)

Linear uniformly accelerated motion (LUAM) is the motion of an object along a rectilinear trajectory with a constant acceleration. t (s)

0

1

2

3

4

x (m)

0

4

16

36

64

v (m/s)

0

8

16

24

32

This table represents the position of an object that is performing a LUAM with a constant acceleration. Velocity increases at a uniform rate.

3.1. Equations of motion for LUAM In order to describe the motion of an object with linear uniformly accelerated motion we need to know the initial conditions: the initial position (x0), the initial velocity (v0) and the acceleration (a).

Since it is rectilinear motion, we will make an axis from our reference system (the x axis) match the direction of motion.

x (t) = x 0 + v 0 t + v (t) = v 0 + at

1 2 at 2

4. UNIFORM CIRCULAR MOTION (UCM)

Uniform circular motion (UCM) is the motion of an object moving in a circular trajectory. This movement covers equal angles in equal time intervals.

Angular velocity ω is the angle covered by an object per unit of time. If we name the angle as φ, we will have:

Example of a linear uniformly accelerated motion.

D{ Dt Angular velocity doesn’t vary with this type of motion, but linear velocity changes its direction constantly. Therefore, we have acceleration. ~=

a = a0 =

v2 R

4.1. Relationship between angular velocity and linear velocity

Angular velocity ω and linear velocity v are connected. If one of them increases, the other one will also increase. Let’s see the mathematical relationship between them: Linear velocity

v=

Angle

Ds Dt

D~ =

Angular velocity

Ds R

~=

D{ Dt

We find the subtended arc from the definition of the angle. If we divide both members by the time interval, look at the result: v ∆s = ∆t

R ∆{ ∆t ~

16 Unit 2. Kinematics

v = ~ R

A big wheel spins around in a uniform circular motion.

Remember In the SI, angular velocity is measured in radians per second (rad/s).

A complete rotation is equivalent to 2π rad, so:

1rpm =

2r rad 60 s

Activities 21. At the moment of landing, an airplane has a speed of 250 km/h and has a braking acceleration of 1.8 m/s2. a) Write in your notebook the equations of motion, taking the start of the runway as the origin of the frame of reference. b) What is the minimum length of the runway to stop safely?

22. A tennis ball thrown vertically upward reaches a height of 20 m above the level from which it was thrown.

Calculate in your notebook:

27. If the period of an UCM triples, what happens to the following? a) Its angular velocity. b) Its frequency.

a) How fast was it thrown?

c) Its normal acceleration.

b) The time it will take to reach this height.

d) Calculate the angular velocity and period of a UCM that has a frequency of 70 s-1.

c) What was the speed of the ball 2 seconds after it was thrown?

23. A coin on the edge of a well falls and reaches the bottom in 2.5 seconds. In your notebook, calculate the depth of the well and the speed with which the coin reaches the bottom. Write in your notebook the equations of motion first, taking the edge of the well as the origin of the frame of reference.

24. Look at the following x-t graph and answer the following questions in your notebook. a) Does it show a UCM or a LUAM? c) Is the acceleration positive or negative? Why? d) What is the position of the object at 10 seconds? e) If the initial velocity is 4 m/s, write the equations of motion and calculate the acceleration.

500

a) Frequency. b) Uniform circular motion. c) Acceleration. d) Velocity. e) Uniform rectilinear motion.

29. Listen to the audio recording and complete the definitions with the missing words in your notebook. is the number of cycles completed in a unit of time.

b) is the time that it takes the particle to cover a whole circumference. c)

is the angle covered by a particle which is turning around a circle divided by the time taken.

d) is the angle made at the centre of a circle by an arc whose length is equal to the radius of the circle.

400 300

30. The turntable of a microwave completes 1.5 revolutions per minute. Calculate in your notebook:

200

a) The angular velocity of the turntable in rad/s.

100 0

28. In your notebook, define the following concepts in your own words and mark the stress:

a)

b) What is the initial position of the object?

x (m)

26. In an old record player, a record called Sgt. Pepper’s Lonely Hearts Club Band is spinning at an angular velocity of 33 rpm. How many times does the disc spin per second? What is its angular velocity in rad/s? What is its frequency and its period? Write the results in your notebook using SI units.

0

1

2

3

4

t (s)

5

6

7

8

9

10

25. Are the following statements true or false? Explain why and correct the false sentences in your notebook. a) In a LUAM, centripetal acceleration is equal to zero. b) An object with a constant acceleration is performing a LUAM. c) We can guess the initial velocity of an object in a LUAM from the point where the v-t graph cuts the vertical axis.

b) The number of revolutions the plate makes in 3 minutes.

31. The trip on a carousel lasts 2 and a half minutes. The carousel turns at 30 revolutions per minute. In your notebook: a) Calculate the angular and linear velocity of a girl who is 1.5 meters from the centre and a boy who is 2 meters away. b) Calculate the distance travelled by each one. c) Calculate the acceleration of each child.

d) The x-t graph of a LUAM is always a parabola. e) In the case of a free fall, the x–t graph is a convex parabola.

Writing activities should be completed in your notebook Unit 2. Kinematics

17

La nebulosa Cabeza de Caballo o Barnard 33 (B33) es una nube de gas fría y oscura, situada a unos 1500 años luz de la Tierra, al sur del extremo izquierdo del cinturón de Orión. Forma parte del Complejo de Nubes Moleculares de Orión, y mide aproximadamente 3,5 años luz de ancho.

Unidad 3 Dinámica

1 El concepto de fuerza

«Para explicar toda la naturaleza, no basta ni una persona ni una edad completa. En su lugar, lo mejor es que la persona busque un poco de verdad y certeza, dejando el resto para los demás, para los que vendrán, con conjeturas y sin dar nada por hecho».

2 Las leyes de Newton

Isaac Newton (1643-1727), físico inglés.

3 Ley de gravitación universal 4 Dinámica del movimiento circular 5 Satélites

¿Qué sabes hasta ahora? ~~¿Qué es una fuerza? ~~¿En qué unidades se mide la fuerza? ~~¿Qué diferencia hay entre cuerpos elásticos y cuerpos plásticos? ~~¿Cómo se calcula el peso de un cuerpo? ~~¿Qué entiendes por inercia? ~~¿Qué estudia la dinámica? ~~¿A qué te suena el binomio “acción-reacción”? ~~¿Qué ley rige el movimiento de los objetos celestes? ~~¿Qué tipo de órbitas siguen los planetas en torno al Sol? ~~¿Qué son los satélites y cuál es su utilidad?

Al finalizar la unidad habrás aprendido ~~Cómo realizar operaciones con fuerzas. ~~Aplicar las leyes que gobiernan las fuerzas entre los cuerpos. ~~Cómo funcionan las fuerzas en los movimientos circulares. ~~Cuál es la estructura del universo. ~~Cuáles son los tipos de satélites artificiales que orbitan la Tierra.

Unidad 3. Dinámica

67

1. EL CONCEPTO DE FUERZA En el lenguaje cotidiano usamos el término fuerza para referirnos a un amplio abanico de situaciones. Sin embargo, no siempre coincide con la definición usada en física. Debes tener cuidado con su uso cuando estés hablando en el ámbito científico. En física, la definición de fuerza está relacionada con los efectos que produce. Así, una fuerza puede producir movimiento, detener por completo un cuerpo o producir algún tipo de deformación. Es decir, las fuerzas son las causantes de los denominados cambios físicos.

La deformación producida en la carrocería de nuestros vehículos por la fuerza de un impacto nos puede salvar la vida, pues absorbe la energía transmitida.

Una fuerza es cualquier causa capaz de modificar el estado de reposo o movimiento de un cuerpo, así como de producir deformaciones sobre él.

La fuerza solo se pone de manifiesto en tanto que un cuerpo o sistema interacciona con otros cuerpos o sistemas, es decir, las fuerzas no existen por sí solas. Debes tener en cuenta, además, que la fuerza es una magnitud vectorial, esto es, una fuerza realizada por un cuerpo o sistema está identificada por un módulo, una dirección y un sentido.

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el newton (N). La equivalencia entre el newton y otras unidades fundamentales en el Sistema Internacional es: 1N = -

1 kg · 1 m 1 s2

Un sistema de referencia es un punto imaginario desde el cual describimos el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. La persona o dispositivo que mide dicho estado de movimiento se denomina observador.

Frenar o aumentar la velocidad de un cuerpo en movimiento es un efecto de las fuerzas.

Recuerda Los componentes de un vector son el módulo, dirección y sentido. Las fuerzas son magnitudes vectoriales, por tanto tienen módulo, dirección y sentido.

Poner en movimiento un cuerpo que estaba en reposo también es un efecto de las fuerzas.

68 Unidad 3. Dinámica

1.1. Operaciones con fuerzas

Descomposición de una fuerza

En ocasiones, un cuerpo puede sufrir el efecto de más de una fuerza. En este caso, se habla de composición de fuerzas, es decir, el cuerpo sufre el efecto combinado de todas las fuerzas como si fuera una sola.

La fuerza resultante FR es aquella fuerza que produciría el mismo efecto sobre un cuerpo que la combinación de varias fuerzas simultáneas sobre dicho cuerpo.

La fuerza F de 5 N puede descomponerse en las componentes Fx de 3 N y Fy de 4 N. Esta fuerza puede representarse algebraicamente de la forma F = (3 N, 4 N). Un signo negativo delante de los números indicaría que la componente va en el sentido opuesto.

En realidad, se trata de la misma operación geométrica realizada en la regla del paralelogramo pero a la inversa.

Matemáticamente podemos expresarlo del siguiente modo: n

F

n F = F + F + ... + F F R F=R =/ ∑ n I = 1 FII = F1 1+ F2 +2 … + Fn

i =1

La forma de entender esta expresión es que si tenemos un número “n” de fuerzas aplicadas sobre un cuerpo, la fuerza resultante es igual a la composición de todas estas fuerzas. Dependiendo del ángulo que formen las fuerzas entre sí, la composición se hace de una o de otra manera. En los ejemplos siguientes se tiene en cuenta el caso de la composición de dos fuerzas.

También te resultará de gran utilidad conocer el concepto de descomposición de fuerzas. En ciertas ocasiones es conveniente descomponer una fuerza en dos fuerzas que sumadas producen el mismo efecto. Cualquier fuerza puede descomponerse en dos ejes perpendiculares arbitrarios, dando lugar a dos fuerzas, que podemos denominar Fx y Fy. F = Fx + Fy (descomposición de fuerzas)

Puesto que entre la fuerza original F y sus componentes puede trazarse un triángulo rectángulo, es posible aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar la siguiente relación:

Fy

Fx

¿

Sabías que...?

No tiene sentido decir que un cuerpo o sistema posee fuerza, pues la fuerza es la causante de cambios en el movimiento o de deformaciones. Así pues, en física, será incorrecto, por ejemplo, decir “Susana tiene mucha fuerza”.

F2 = Fx2 + Fy2 Hay determinadas situaciones en las que un cuerpo puede encontrarse en equilibrio. En estos casos, aunque haya más de una fuerza, la combinación de todas produciría un efecto nulo. No es lo mismo equilibrio que reposo, pues un cuerpo puede estar en equilibrio y en movimiento al mismo tiempo.

Un cuerpo o un sistema se encuentra en equilibrio cuando la fuerza resultante es nula. n

/ i =1

¿

Sabías que...?

Se conocen cuatro tipos de fuerzas: fuerzas electromagnéticas, fuerzas gravitatorias, fuerzas nucleares débiles y fuerzas nucleares fuertes.

=0

(Equilibrio de fuerzas)

Recuerda La ecuación de dimensiones de la fuerza es: [F] = M · L · T–2 Unidad 3. Dinámica

69

Composición de fuerzas Fuerzas en la misma dirección y sentido Las dos fuerzas forman un ángulo de 0º. El módulo de la fuerza resultante se calcula sumando los módulos de ambas fuerzas, pues las dos contribuyen de la misma forma al cambio en el estado de movimiento del objeto. La resolución gráfica se efectúa situando un vector a continuación de otro y dibujando el vector resultante como el vector que va desde el inicio del primero hasta el final del segundo.

FR F1

F2

FR = F1 + F2 = = 6 N + 4 N = 10 N

Fuerzas en la misma dirección y de sentido opuesto Las dos fuerzas forman un ángulo de 180º. El módulo de la fuerza resultante se calcula resF1 tando al módulo de la fuerza mayor el valor de la menor, pues ambas fuerzas contribuyen FR F2 de manera opuesta al estado de movimiento del objeto. La resolución gráfica se efectúa poniendo el vector menor en sentido opuesto partiendo desde el final del vector mayor. La FR = F1 – F2 = resultante será el vector que va desde el inicio =6N–4N=2N del mayor hasta la punta de flecha del menor.

FR = F1 + F2 → FR = F1 – F2

FR = F1 + F2 → FR = F1 + F2

F1

F2

F1

F2

Fuerzas que forman un ángulo recto Las fuerzas forman 90º. Para la resolución gráfica se usa la regla del paralelogramo: se parte de dos vectores que comparten un origen común y se trazan rectas paralelas a los vectores que partan del fin de cada uno de ellos, formando un paralelogramo. El lugar de corte de las rectas trazadas será el fin del vector resultante y el origen del vector resultante será el origen común de los dos vectores de partida.

El módulo del vector resultante se obtiene con el teorema de Pitágoras: 2 R

2 1

FR F1 F2

Fuerzas que forman un ángulo agudo u obtuso Las dos fuerzas forman un ángulo cualquiera distinto de 0º, 90º y 180º. En este caso la resolución que puedes efectuar solo es de tipo F2 gráfico y se hace mediante la regla del paralelogramo.

FR2 = F12 + F22 → FR = √ (6 N)2 + (4 N)2 = = 7,2 N 2 2

FR = F1 + F2 → F = F + F

F2 F1

F2

70 Unidad 3. Dinámica

F1

FR

F1

F1 + F2 + F3 = 0 F1

F3

Recuerda

F2

Si la resultante de la fuerza de estas dos personas es del mismo valor y va en la misma dirección pero es de sentido opuesto a la del delfín, la barcaza se mantendrá en equilibrio.

lo

du

Mó

ión

c

ec

Dir

ón

cci

e Dir

Sentido

Actividad resuelta 1. Eloísa y Enrique están disfrutando con el juego del pañuelo y, en un momento dado, ambos tiran del pañuelo en distintas direcciones mientras que Carla lo sostiene. Si el pañuelo permanecía en una situación de equilibrio de fuerzas, ¿qué fuerza debe ejercer Carla? Datos: la fuerza que ejerce Eloísa es FM = (4 N, 5 N) y la que ejerce Enrique es FA = (–5 N, –3 N). x

Solución Para que se dé una situación de equilibrio, Carla debe anular la resultante de las fuerzas de Eloísa y Enrique. Y debe hacerlo en cada uno de los ejes: FM + FA + FR = 0

FM

FMy

Eje x: FMx + FAx + FRx = 0 → 4 N – 5 N + FRx = 0 → FRx = 1 N Eje y: FMy + FAy + FRy = 0 → 5 N – 3 N + FRy = 0 → FRy = –2 N

FAx

FRx

y

Es decir, la fuerza que debe ejercer Carla es: FR

FR = (1 N, –2 N) Para finalizar representamos las tres fuerzas con sus componentes correspondientes.

FMx

FRy FA FAy

Unidad 3. Dinámica

71

1.2. El peso Una fuerza muy especial que debes tener en cuenta es la denominada fuerza peso (la que sufren los cuerpos que se encuentran en campos gravitatorios).

El peso de un cuerpo depende de su masa m y de la aceleración gravitatoria g del planeta en que se encuentre. En concreto, en la Tierra la aceleración gravitatoria es 9,8 m/s2.

La fuerza peso es la fuerza que sufre un cuerpo al ser sometido a la acción gravitatoria de un planeta, como es el caso de la Tierra. Se calcula multiplicando la masa del cuerpo por la aceleración gravitatoria.

FP = mg

Actividad resuelta 2. Imagina que tienes una masa de 80 kg y que te dedicas a visitar planetas. Contesta a las siguientes preguntas. Datos: la aceleración gravitatoria de la luna es de 1,62 m⁄s2, mientras que en Marte sería de 3,71 m⁄s2 . a) En la vida cotidiana se usa la expresión “Peso 80 kg”, ¿es correcta? b) Calcula tu peso en Marte.

Aunque en las balanzas puedas leer kg, en realidad está midiendo fuerzas. Si tu masa es de 70 kg, tu peso será de 685 N.

c) ¿Qué masa debería tener un astronauta en la Luna para que su peso fuera el mismo que el del astronauta que aparece en la imagen de la Tierra?

Solución a) Muy a menudo se confunde masa con peso. El peso es la fuerza de atracción que se siente debido al campo gravitatorio terrestre. Por tanto, la expresión es incorrecta. b) PMarte = 80 kg · 3,71 m⁄s2 → PMarte = 296,8 N c) Partimos de la misma expresión para el peso, tanto en la Luna como en la Tierra: F = m · g.

Queremos que el peso sea el mismo en la Luna y en la Tierra, por lo que las únicas variables son la masa y la aceleración gravitatoria.

Luna: F=mL · gL

Fpeso

Tierra: F=mT · gT Igualamos ambas expresiones y despejamos la masa en la Luna, que es la incógnita: gT

mL · gL = mT · gT → mL = mT ·

La fuerza peso se representa mediante un vector dirigido hacia el centro de la Tierra, es decir, será perpendicular al suelo.

72

Unidad 3. Dinámica

gL

= 80 kg ·

9,8 m⁄s2 1,62 m⁄s2

→ mL = 484 kg

Masa= 80 kg Peso= 784 N Masa= 80 kg Peso= 129,6 N

1.3. Ley de Hooke Respecto a la deformación producida por una fuerza en un cuerpo, se puede establecer la siguiente clasificación: cuerpos plásticos y cuerpos elásticos. Los cuerpos plásticos son aquellos que no recuperan su forma inicial tras cesar la fuerza que produce su deformación. Los cuerpos elásticos (como los muelles) recuperan la forma inicial tras cesar la fuerza que produce dicha deformación.

Expresión matemática de la ley de Hooke Fíjate que la expresión matemática de la ley de Hooke es una recta, en la cual k es la pendiente, ∆x la variable independiente y F la variable dependiente.

F (N)

Es fácil comprobar con sencillos experimentos que los cuerpos elásticos se deforman de forma lineal, aumentando su deformación proporcionalmente a la fuerza aplicada. Pero esta elasticidad se mantiene hasta ciertos límites: un muelle, que es un cuerpo elástico, pierde sus propiedades si se estira demasiado, pues puede conseguirse que no recupere su forma inicial.

k=

La ley de Hooke establece que el alargamiento ∆x sufrido por un cuerpo elástico es directamente proporcional a la fuerza F aplicada sobre él.

F = k ∆x

F

∆x

∆x (m)

En esta expresión la k es la constante elástica y se mide en N/m.

Esta constante es una característica de cada cuerpo.

Objeto elástico (recupera su forma inicial tras una deformación).

Objeto plástico (no recupera su forma tras una deformación).

Actividades 1. Dos amigas deciden realizar experimentos con una mesa.

Ejercen fuerzas de 15 N y 10 N respectivamente. Calcula en tu cuaderno la fuerza resultante en los siguientes casos: a) Las dos amigas empujan la mesa en la misma dirección y sentido.

3. Con objeto de conocer la masa de un coche de juguete se cuelga de un muelle de longitud 40 cm. Si la longitud del muelle, una vez colgado el coche de juguete, es de 42 cm y la constante del muelle es de 500 N/m, ¿cuál es la masa del coche?

b) Las dos amigas empujan en la misma dirección pero en sentido contrario.

4. ¿Qué alargamiento en cm sufrirá un muelle de 3000 N/m de constante elástica si se cuelga de él una masa de 3 kg?

c) Las amigas tiran de la mesa con cuerdas que forman entre sí un ángulo de 90º.

Soluciones:

2. Calcula el peso de un armario de 40 kg de masa. Representa gráficamente dicha fuerza peso.

1. a) 25 N

b) 5 N

c) 18 N

2. 392 N 3. 1,02 kg 4. 0,98 cm Unidad 3. Dinámica

73

Actividad resuelta 3. En un laboratorio se ha realizado una experiencia con un muelle de 40 cm. Se han ido colgando pesas de distinta masa para ver su estiramiento y comprobar así la ley de Hooke. Los datos que se han recogido son los siguientes:

F (N) ∆x (m)

100 0,05

200 0,10

300

400 0,20

0,15

500 0,25

a) Realiza un dibujo esquemático del muelle en dos situaciones: sin pesa y con pesa.

Incluye los vectores fuerza que entran en juego. b) Dibuja la gráfica F – ∆x. ¿Se cumple la ley de Hooke? c) Calcula la constante k del muelle. d) Escribe la expresión algebraica que relaciona la fuerza con el alargamiento del muelle.

La ley de Hooke está presente en el día a día de las personas que hacen deporte.

Solución a) La Tierra atrae la pesa, por eso aparece la fuerza peso FP, mientras que el muelle tira de la pesa hacia arriba, por eso aparece la fuerza F. Ambas fuerzas son iguales pero de sentido opuesto, ya que el muelle se encuentra en equilibrio.

x 0 = 40 cm x 1 = 45 cm 5 cm F FP

b) Se cumple la ley de Hooke, puesto que la fuerza es directamente proporcional al alargamiento, es decir, sale una recta.

600

Experimentamos Un dinamómetro casero

500

F (N)

400

300

200

100

0 0,00

Es fácil hacer un dinamómetro casero con materiales sencillos. Un modo es usando una jeringuilla, un resorte, tornillos y un poco de alambre. Anímate a investigar la forma de construirlo y ponlo a funcionar.

74 Unidad 3. Dinámica

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

∆x (m)

c) k =

F 100 N 200 N 300 N 500 N = = = = = 2000 N/m ∆x 0,05 m 0,10 m 0,15 m 0,25 m

d) Simplemente hay que sustituir en la fórmula de la ley de Hooke: F = 2000 ∆x.

2. LAS LEYES DE NEWTON Como ya sabemos, la dinámica estudia las fuerzas y sus efectos. Isaac Newton (1642-1727) fue el primer científico en estudiar matemáticamente las fuerzas, continuando los trabajos de Galileo y otros científicos anteriores.

Newton publicó una obra titulada Principios Matemáticos de Filosofía Natural en la que recoge las que hoy se conocen como las tres leyes de Newton, a pesar de que se basan en estudios anteriores. Esta obra está considerada la más importante en materia de dinámica.

2.1. Primera ley de Newton: ley de la inercia Galileo realizó el primer estudio serio que originaría con el tiempo la conocida como ley de la inercia. Fíjate en la siguiente secuencia de imágenes y en el texto que las acompaña. En ellas observamos un plano ideal, es decir, un plano en el cual podemos realizar experimentos sin que haya pérdidas de energía por rozamiento (imagina por ejemplo una mesa de aire). Este plano puede orientarse de forma paralela al suelo o de forma inclinada.

Isaac Newton (1642-1727), físico, filósofo, teólogo, inventor y matemático inglés.

Experimentación con la inercia A.

B.

y

C.

y

x

v2

a

x

a v1

v1

FP X FP X

FP Y FP Y

v2

v2

FP

FP

v1 v2 > v1 a>0

Si sueltas la pelota desde lo alto de un plano inclinado, la velocidad irá creciendo paulatinamente. Se debe a que actúa la fuerza peso. Fíjate que la fuerza peso puede descomponerse en las componente paralela y perpendicular al plano. La componente paralela hace que la pelota se acelere aumentando su velocidad, ya que va en la misma dirección y sentido que la velocidad.

FP

v1 = v2 a=0

v2 < v1 a<0

Si lanzas hacia arriba una pelota desde la parte inferior, la velocidad irá reduciéndose. Se debe a que actúa también la fuerza peso. Fíjate que la fuerza peso puede descomponerse en la componente paralela y perpendicular al plano. La componente paralela hace que la pelota se decelere reduciendo su velocidad, ya que va en la misma dirección y sentido opuesto a la velocidad.

Si lanzamos la pelota por el plano horizontal, es fácil imaginar que su velocidad no va a variar (suponiendo que no hay rozamiento), puesto que no hay fuerzas en la dirección del movimiento. Fíjate en el diagrama de fuerzas.

La conclusión que se puede extraer de esta cadena de experimentos es que el estado de movimiento de un cuerpo solo varía si hay una fuerza neta aplicada sobre dicho cuerpo.

La primera ley de Newton o ley de la inercia afirma que cualquier cuerpo o sistema mantiene su estado de movimiento o reposo constante si la fuerza resultante sobre él es nula.

Si / Fi = 0 " ) n

i =1

v = cte v =0 Unidad 3. Dinámica

75

¿

La inercia Movimiento

Sabías que...?

Galileo explica sus consideraciones acerca de lo que luego sería la ley de la inercia en la obra titulada Diálogos acerca de dos nuevas ciencias. La obra, como casi todas las de Galileo, está escrita a modo de diálogo entre dos o más personajes.

Movimiento

Movimiento

Parada

La inercia es la propiedad de los cuerpos de mantener su estado de reposo o movimiento si no es por la acción de una fuerza. La pantalla tiende, en este ejemplo, a llevar la velocidad que ya tenía.

Experimentamos El vaso, el papel y la moneda Puedes realizar un experimento sencillo para mostrar con claridad la ley de la inercia. Fíjate en esta secuencia de imágenes.

1. Coloca una tira de papel sobre el borde de un vaso y encima de él una moneda en equilibrio.

Es posible que tengas que hacer varias pruebas para equilibrarla. No es fácil a la primera, debes tener paciencia.

Actividades 5. Explica qué le pasará a una persona sentada en el interior de un autobús si:

2. Busca una regla, un palo o algún elemento con el que puedas golpear el papel sin romperlo. Tensa el papel y dale un golpe seco. De nuevo, paciencia.

a) Arranca bruscamente. b) Frena repentinamente.

6. Al tirar una pelota por el suelo, esta se acaba parando, ¿contradice esto la ley de inercia?

7. La primera ley de Newton, ¿está relacionada con el MRU o con el MRUA? Razona tu respuesta.

76 Unidad 3. Dinámica

3. Podrás comprobar que la moneda se ha quedado en el borde, si has realizado el experimento correctamente. La ley de la inercia afirma que si un cuerpo no sufre ninguna fuerza, continúa en su estado de movimiento o reposo. El golpe ha sido tan seco que la moneda no ha tenido tiempo de reaccionar.

2.2. Segunda ley de Newton: definición de fuerza Newton experimentó con cuerpos aplicándoles determinadas fuerzas y observó las aceleraciones que se producían. Se percató de que la fuerza y la aceleración son directamente proporcionales, es decir, a mayor fuerza mayor aceleración. Supongamos que tenemos un objeto y lo sometemos a distintas fuerzas, por ejemplo, colgando de él distintas masas según el montaje de la imagen. Si se ejerce una fuerza F1 se produce en el cuerpo una aceleración a1, si se ejerce una fuerza F2 se producirá en el cuerpo una aceleración a2, etc. Es decir, este experimento puede repetirse aplicando todas las fuerzas que se deseen para luego medir la aceleración correspondiente. Lo que comprobó Newton fue que la razón fuerza/aceleración se mantenía constante, es decir, al dividir las dos cantidades siempre se obtenía una cantidad concreta.

A esta constante de proporcionalidad se le llama masa:

Aceleración y fuerza

a1 mA

F1

F1

F1 F2 Fn = = ... = =m a1 a2 an La forma general de escribir esta relación matemática será: F = ma, expresión que recibe el nombre de segunda ley de Newton, principio fundamental de la dinámica o definición de fuerza. Este principio puede generalizarse para el caso de un conjunto de fuerzas que actúan sobre el cuerpo, es decir, en vez de hablar de una sola fuerza hablamos de la composición de fuerzas (resultante).

La segunda ley de Newton o definición de fuerza establece que la aceleración adquirida por un cuerpo al ser sometido a una fuerza resultante no nula es directamente proporcional a dicha fuerza, siendo la constante de proporcionalidad la masa del cuerpo.

a2 mA

F2

n

/ F = ma i =1

i

En el caso de que solo haya una fuerza: F = ma

F2

Fuerza, masa y aceleración

La aceleración es directamente proporcional a la fuerza.

m1

F

F = m1 a1 a1=

m1 > m2

F m1

a1 < a2

F = m2 a2 F a2= m 2

m2

F

De la definición de fuerza se deduce que si se aplica una misma fuerza a dos cuerpos de distinta masa, el cuerpo de menor masa se acelerará más que el de mayor masa.

Unidad 3. Dinámica

77

Actividad resuelta

Actividades 8. Imagina que te montas en la parte de atrás de un coche de 750 kg que arranca con una aceleración de 2 m/s2. ¿Cuál es la fuerza que le ha comunicado el motor suponiendo que no hay pérdidas de energía?

4. Calcula la fuerza que producen los reactores de un avión de 300 t si este pasa del reposo a los 72 m/s en 5 s.

9. Una motocicleta acelera de 0 a 100 km/h en 3 s. Si la aceleración que produce el motor es constante, ¿cuál es su valor? Calcula además la fuerza aplicada y la distancia recorrida. La masa de la moto es de 200 kg.

10. Los motores de un Airbus 380 de la serie 700 producen una fuerza de empuje de 302 kN. ¿Cuál será la aceleración máxima que tendrá el Airbus?

Soluciones: 8. 1500 N 9. a = 9,3 m/s2, F = 1860 N, d = 41,85 m Solución

10. 1,1 m/s2

Según la segunda ley de Newton, la fuerza vendrá dada por la expresión: F = ma. Es decir, debes calcular la aceleración con los conocimientos de la unidad anterior: a=

El signo positivo indica que la aceleración va a favor del movimiento, es decir, la velocidad aumenta. La fuerza será:

Actividad resuelta 5. A un cuerpo de 6 kg de masa se le aplica una fuerza vertical de 65 N. Calcula la aceleración con la que subirá.

F = 300 t · 14,4 m/s2 = 3 · 105 kg · 14,4 m/s2 = 43,2 N →

Williamina Fleming

Solución El cuerpo estará acelerado si la resultante de la fuerzas es distinta de cero. Observando el diagrama de fuerzas, puedes ver que solo hay dos fuerzas en el eje vertical. Sustituimos la expresión para la fuerza peso y despejamos la aceleración: n

/ F = ma " F - F = ma " i

P

i =1

F - mg = ma " a =

F - mg m

Solo queda sustituir:

a=

72 m/s – 0 m/s = 14,4 m/s2 5s

65 N – 6 kg · 9,8 m/s2 6 kg

78 Unidad 3. Dinámica

a = 1,03 m/s2

F

FP

La escocesa Williamina Paton Stevens Fleming (1857-1911) se trasladó a los 20 años a Boston (Massachusetts, Estados Unidos). Tras trabajar como empleada de hogar del director del Observatorio de Harvard, comenzó a encargarse de revisar las placas fotográficas del cielo en dicho departamento. Su trabajo fue tan extraordinario que llegó a descubrir 10 novas, 59 nebulosas y 300 estrellas variables.

Su hallazgo más conocido es la nebulosa Cabeza de Caballo. Llegó a convertirse en la conservadora del archivo fotográfico de Harvard, el primer cargo institucional de dicha universidad que era ocupado por una mujer.

F = 43,2 N

2.3. Tercera ley de Newton: acción y reacción Si buscas el término interacción en el Diccionario de la Real Academia Española de la Lengua puedes leer: “acción que se ejerce recíprocamente entre dos o más objetos, agentes, fuerzas, funciones, etc.”. Esta definición es perfecta en el sentido de las fuerzas, pues nunca actúan por separado ni individualmente, es decir, las fuerzas se producen por la interacción entre distintos sistemas. Recíprocamente quiere decir que están actuando los dos sistemas entre ellos y no solo uno de los sistemas.

Estudiemos, por ejemplo, el caso de un imán y una bolita de hierro. El imán atraerá a la bolita, pero también ocurre al revés, es decir, la bolita atrae al imán. Existen otros muchos ejemplos de este tipo, de hecho, cualquier fuerza que se aplique tiene una respuesta en el cuerpo que se aplica.

¿Llegaremos a la orilla?

Si te fijas en la ilustración, la fuerza F21 que ejerce el imán sobre la bolita es de la misma intensidad (igual módulo), tienen la misma dirección pero es de sentido contrario a la fuerza F12 que ejerce la bolita sobre el imán.

Aceleración y masa a2 2

a1

F2

F12

F1

1 F21

La bolita adquiere una aceleración mayor que el imán por el hecho de tener menos masa.

Acción y reacción

F21

1

2

Si estás justo en la orilla y saltas de una barca poco pesada, es posible que caigas al agua en vez de en la orilla.

F12

Si uno de los dos patinadores empuja al otro, los dos se moverán por el denominado principio de acción y reacción.

Unidad 3. Dinámica

79

2.4. La fuerza normal Si depositas un objeto en una mesa, es fácil comprobar que el objeto no cae al suelo traspasando la mesa. Esto se debe a que hay una fuerza que anula la fuerza peso de dicho objeto. Esta fuerza la ejerce la mesa y es perpendicular a la superficie de contacto con el objeto. La suma de ambas fuerzas es cero, puesto que el objeto está en equilibrio. Estamos aplicando la primera ley de Newton: n

/F =0" F i =1

i

N

+ F P = 0 " FN - FP = 0 " FN = FP

Fuerzas en un plano horizontal

Fn La fuerza que ejerce la mesa es perpendicular a la superficie de contacto con el objeto.

Fp Actividad resuelta 6. Se deposita una caja de 2 kg en una mesa. Realiza un diagrama de fuerzas y calcula tanto el peso como la fuerza normal.

FN

Solución En el eje OY hay un equilibrio de fuerzas: n

/ F (OY) = 0 (1.ª ley de Newton) i

i =1

Por tanto: FN – FP = 0 → FN = FP Por otra parte, la definición nos dice: FP = m · g Por consiguiente: FN = FP =m · g = 2 kg · 9,8 m/s2 = 19,6 N

80 Unidad 3. Dinámica

FP

Plano inclinado Si ahora inclinas la mesa, la fuerza normal seguirá siendo perpendicular a la superficie de contacto, pero en esta ocasión no se cancelará con la fuerza peso, como es fácil comprobar en la ilustración. Ahora entra en juego la posibilidad de descomponer la fuerza peso en el eje perpendicular y paralelo a la superficie de la mesa y poder realizar de este modo un estudio dinámico. Puedes comprobar fácilmente que la componente perpendicular de la fuerza peso se cancela con la fuerza normal (primera ley de Newton, puesto que la suma de fuerzas es nula), mientras que la componente paralela de la fuerza peso es la única que hay en este eje, por eso el cuerpo se acelera y comienza a caer (segunda ley de Newton, puesto que hay una fuerza resultante distinta de cero que provoca una aceleración).

Fuerzas en un plano inclinado En el estudio del movimiento de un plano inclinado es muy útil descomponer las fuerzas según el eje paralelo al plano (eje x) y el eje perpendicular al plano (eje y). En este caso, si conoces la fuerza peso FP y el ángulo de inclinación a del plano, pueden conocerse las componentes a partir de la definición de las razones trigonométricas (véase Anexo sobre matemáticas): FPx

sen a =

FP FPy

cos a =

FP

→ F Px = F P · sen a → F Py = F P · cos a

EJE OY: Primera ley de Newton +

=

EJE OX: Segunda ley de Newton

FP X a

n

/ F (OX) = ma " F i

i =1

Px

FP Y

= ma " FPx = ma

Se acelera por tanto en el eje paralelo al tablero de la mesa.

FP

a

Fuerzas inclinadas

Fn

OY

Fp

OX

FN 0

FPX

FP

FPY

a Aunque la mesa esté inclinada, la fuerza que ejerce esta sobre la caja es perpendicular al tablero.

Unidad 3. Dinámica

81

2.5. El rozamiento

MRUA

v

FN

FROZ FP

Debido a que existe una fuerza de rozamiento, el sacapuntas no llevará un MRU, es decir, su velocidad irá disminuyendo hasta llegar a cero. Por tanto, en un caso real de un cuerpo que se desliza por una superficie, el movimiento que lo caracteriza es el MRUA.

Al derrapar con una bicicleta, el suelo ejerce una fuerza de rozamiento sobre las ruedas en sentido opuesto al movimiento.

82 Unidad 3. Dinámica

En las situaciones reales la energía se degrada debido al rozamiento y la fricción entre los sistemas. Así, si deslizas un sacapuntas sobre una mesa dándole un pequeño golpe con el dedo, no se estará moviendo indefinidamente, puesto que el rozamiento entre el sacapuntas y la mesa se traduce en una fuerza de resistencia en la misma dirección pero de sentido opuesto a la velocidad del sacapuntas. Además, esta fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal que ejerce la superficie de contacto sobre el sacapuntas y depende de las características del sacapuntas y de la mesa.

El módulo de la fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal y depende de las características de las superficies que entren en contacto (material, pulimentado, temperatura, etc.). La dirección será la misma que la de la velocidad pero de sentido opuesto.

FROZ = µFN donde µ es el coeficiente de rozamiento entre las dos superficies, y no tiene unidades.

Materiales en contacto

Coeficiente de rozamiento

Acero sobre hielo

0,03

Acero sobre acero

0,57

Madera sobre madera

0,5

Rueda sobre asfalto seco

0,7

Rueda sobre asfalto mojado

0,4

Estos valores son aproximados, puesto que el coeficiente de rozamiento depende del tipo de material, el pulimentado y si hay o no algún lubricante entre las superficies de contacto, entre otras circunstancias.

Actividad resuelta 7. Calcula la aceleración del carrito en los dos casos que se indican, así como la fuerza normal y la fuerza de rozamiento, suponiendo que el módulo de la fuerza en las dos situaciones es de 10 N. La masa del carrito es de 2 kg. El coeficiente de rozamiento entre las ruedas del carrito y el suelo es de 0,2. Extrae alguna conclusión comparando los resultados de las dos situaciones.

Dato: sen 30º = 0,5; cos 30º = 0,87 (A)

(B) F

F 30º

• Sustituimos el resultado en la ecuación (4): FROZ = µ FN = 0,2 · 19,6 N → FROZ = 3,92 N • Despejando la aceleración en la ecuación (2): 10 N – 3,92 N F – FROZ a= = → a = 3,04 m/s2 m 2 kg

Situación (B) En este caso, antes de abordar el tratamiento algebraico, debes descomponer la fuerza aplicada en los ejes vertical y horizontal al desplazamiento, como puedes ver en el diagrama.

FN FROZ

x

Solución

FP

En las dos situaciones deberemos hacer un estudio en dos ejes distintos: el vertical y el horizontal, puesto que existen fuerzas en cada uno de los ejes. En este tipo de problemas hay que tener en cuenta dos conjuntos de ecuaciones: el que proviene de aplicar las leyes de Newton en cada eje y el que proviene de aplicar las definiciones de peso y fuerza de rozamiento.

A

Situación (A)

y FN F

x

FROZ FP

Aplicamos las leyes de Newton en cada eje:

n

i

N

- FP = 0

i =1

• Eje OX: en este eje sí hay una aceleración y también hay dos fuerzas, una es la fuerza aplicada y otra es la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento (segunda ley de Newton): n / Fi (OX) = ma " F - FROZ = ma i =1

Tenemos en cuenta las definiciones:

• Fuerza peso: FP = mg • Fuerza de rozamiento: FROZ = µ FN Por tanto, tenemos un conjunto de cuatro ecuaciones, el problema se resuelve mediante la resolución de este conjunto: (1) FN – FP = 0 (2) F – FROZ = ma

(3) FP = mg (4) FROZ = µ FN

• Despejando en la ecuación (1) y sustituyendo en ella la ecuación (3): FN = FP = mg = 2 kg · 9,8 N → FN = 19,6 N

FX = F cos 30º FY = F sen 30º

FX

• Eje OY: en este eje no hay movimiento y la resultante de las fuerzas es cero.n Es decir, según la primera ley de Newton: / Fi (OY) = 0 " FY + FN - FP = 0 i =1

• Eje OX: en este eje sí hay una aceleración y también hay dos fuerzas, una es la fuerza aplicada y otra es la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento (segunda ley de Newton): n / Fi (OX) = ma " FX - FROZ = ma i =1

Tenemos en cuenta las definiciones:

• Fuerza peso: FP = mg • Fuerza de rozamiento: FROZ = µ FN Por tanto, tenemos un conjunto de cuatro ecuaciones, el problema se resuelve mediante la resolución de este conjunto: (1) F sen 30º + FN – FP = 0 (2) F cos 30º – FROZ = ma

• Eje OY: en este eje no hay movimiento y la resultante de las fuerzas es cero. Es decir, según la primera ley de Newton:

/ F (OY) = 0 " F

F

FY

(3) FP = mg (4) FROZ = µ FN

• Despejando la fuerza normal en la ecuación (1) y sustituyendo en ella la ecuación (3): FN = FP – FY = mg – F sen 30º = 2 kg · 9,8 m/s2 – 10 · 0,5 N →

→ FN = 14,6 N • Sustituimos el resultado en la ecuación (4): FROZ = µ FN = 0,2 · 14,6 N → FROZ = 2,92 N • Despejando la aceleración en la ecuación (2): a=

F cos 30 – FROZ m

=

10 · 0,87 N – 2,92 N 2 kg

→ a = 2,89 m/s2

Conclusiones: en el caso B, aunque la fuerza es la misma, produce un efecto diferente en el carrito. La aceleración será menor, puesto que no toda la fuerza se invierte en acelerar el sistema; solo aquella componente que es paralela al eje OX, es decir, en este caso es como si tuviésemos una fuerza: FOX = F cos 30 = 10 N · 0,87 N = 8,7 N.

Unidad 3. Dinámica

83

Actividad resuelta

Actividad 11. Una caja de 3 kg descansa en una mesa. Si dos amigas empujan con fuerzas de 50 N y 70 N en la misma dirección pero de sentido contrario, ¿cuál es la fuerza resultante y qué aceleración adquiere la caja?

12. Calcula la aceleración adquirida por una pieza de madera que es empujada hacia la parte superior de un plano inclinado 30º si la fuerza aplicada es de 50 N. La masa de la pieza es de 4 kg.

Repite el ejercicio si el coeficiente de rozamiento es de 0,4. Elabora un diagrama de fuerzas en ambos casos.

13. Un conductor frena su vehículo de 400 kg, que circula a 100 km/h, ejerciendo una fuerza de 3200 N en sentido contrario al movimiento, al pisar el freno.

Calcula en tu cuaderno la deceleración sufrida por el coche en los siguientes casos: a) Sobre asfalto seco. b) Sobre asfalto mojado.

Debes consultar la tabla de coeficientes de fricción y realizar los correspondientes diagramas de fuerza.

14. Justo cuando comienza su movimiento, el cable de un montacargas lo eleva con una fuerza de 5500 N. Si la masa del montacargas y su contenido es de 500 kg, ¿cuál será la aceleración que adquiere?

Soluciones: 11. 20 N, 6,7 m/s

2

12. a = 7,6 m/s2, aroz = 4,2 m/s2 13. a) 1,14 m/s2 b) 4,08 m/s2 14. 1,2 m/s2

84 Unidad 3. Dinámica

8. Tu sacapuntas de acero está sobre una mesa de madera. Tienes la necesidad de levantar la mesa por un lado creando un plano inclinado de 60º. Teniendo en cuenta que existe rozamiento entre el sacapuntas y la mesa, calcula qué aceleración adquirirá el sacapuntas. Dato: masa del sacapuntas = 100 g; sen 60º = 0,87; cos 60º µ = 0,5.

Solución

x

FN

En primer lugar, hacemos un diagrama de fuerzas y descomponemos el peso en las componentes vertical y horizontal al movimiento.

F ROZ FP X

Debemos buscar un conjunto de ecuaciones mediante las leyes de Newton y las definiciones correspondientes.

• Eje OY:

60º 60º

FP Y

FP

n

/ F (OY) = 0 (1.ª ley de Newton) → F i

N

i =1

– FPY = 0 → FN – FP cos 60º = 0

• Eje OX: n

/ F (OX) = ma (2.ª ley de Newton) → F

PX

i

i =1

– FROZ = ma → FP sen 60º – FROZ = ma

• Definición de peso: FP = mg • Definición de fuerza de rozamiento: FROZ = µ FN Por tanto, el conjunto de ecuaciones es: (1) FN – FP cos 60º = 0 (2) FP sen 60º – FROZ = ma

(3) FP = mg (4) FROZ = µ FN

Puesto que solo se pide la aceleración, llegaremos a una expresión que ofrezca la aceleración en función de los datos conocidos.

• Introducimos (3) en (1) y despejamos la fuerza normal: FN – mg cos 60º = 0 → FN = mg cos 60º • En (4) sustituimos la fuerza normal que hemos encontrado: FROZ = µ mg cos 60º • Despejamos la aceleración de (2) y sustituimos la fuerza peso y la fuerza de rozamiento: F sen 60º – FROZ mg sen 60º – µ mg cos 60º a= P a= → m m

→ a = g sen 60º – µ g cos 60º →

¿

a = 6,1 m/s2

Sabías que...?

En realidad existen dos coeficientes de rozamiento distintos: el estático (µe) y el dinámico (µd). El coeficiente de rozamiento estático entra en juego cuando queremos mover un cuerpo desde el reposo, mientras que el coeficiente de rozamiento dinámico entra en juego cuando hablamos de un cuerpo que ya está en movimiento. Habrás notado que debes realizar más esfuerzo para mover un cuerpo desde el reposo que si ya está en movimiento, por eso el coeficiente de rozamiento estático es mayor que el dinámico.

3. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Johannes Kepler (1571-1630), gracias a las rigurosas observaciones que heredó de Ticho Brahe (1546-1601), llegó a la conclusión de que las órbitas de los planetas en torno al Sol son elípticas. Por otra parte, como sabes, Galileo había descubierto las ecuaciones de movimiento de los cuerpos sometidos a una aceleración, como los cuerpos que caen en la Tierra. Según las creencias aristotélicas, la mecánica celeste (de estrellas y planetas) respondía a leyes distintas que la mecánica de los cuerpos sobre la superficie de la Tierra. Sin embargo no es así, como demostraría Isaac Newton en su obra Principios Naturales de Filosofía Natural. Lo que Newton consiguió fue sintetizar por primera vez dos descubrimientos distintos en uno solo, resultando la primera teoría de unificación de la ciencia.

Se entiende por síntesis newtoniana la unificación del movimiento de los astros con el movimiento de los cuerpos sobre la superficie terrestre, al demostrar que ambos movimientos responden a las mismas leyes físicas.

La causa que produce movimientos tanto en los cuerpos celestes como en los objetos terrestres es la fuerza gravitatoria. Newton demostró mediante ingeniosos procedimientos cuál es la expresión matemática que sirve para calcular la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos. Esta expresión se conoce como ley de gravitación universal.

Johannes Kepler (1571-1630), astrónomo y matemático alemán.

Dos cuerpos materiales se atraen entre sí con una fuerza gravitatoria que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias que los separa.

F = G·

m 1 · m 2 d2

La constante de proporcionalidad G recibe el nombre de constante de gravitación universal o constante de Cavendish (que fue el primero en medirla con precisión). Se dice que es universal porque no depende del medio, es decir, no depende de en qué medio se encuentren los cuerpos que se atraen.

G = 6,67 · 10 –11 N · m2/kg2 Henry Cavendish (1731-1810), físico y químico británico con cuyo experimento se determinó la constante de gravitación universal.

La fuerza gravitatoria MT FLT

FTL

dTL

ML

La fuerza gravitatoria entre dos cuerpos está en la línea que une los dos cuerpos, y su sentido es de un cuerpo a otro, aunque son iguales en módulo. Por ejemplo, en el caso de la interacción entre la Tierra (de masa MT) y la Luna (de masa ML ), separadas una distancia dTL, existirán dos fuerzas: la fuerza que ejerce la Tierra sobre la Luna (FTL ) y la fuerza que ejerce la Luna sobre la Tierra (FLT), siendo FTL = FLT. Unidad 3. Dinámica

85

Una ley para cielos y Tierra

Actividad resuelta 9. Calcula la fuerza gravitatoria con la que se atraen la Tierra y la Luna.

Datos: MT = 5,97 · 1024 kg; M L = 7,3 · 1022 kg; dTL = 3,84 · 105 km.

Solución Las dos fuerzas son idénticas en módulo, simplemente hay que sustituir en la expresión de la ley de gravitación universal y realizar los cálculos pertinentes: MT · ML N · m2 5,97 · 1024 kg · 7,3 · 1022 kg –11 F=G· = 6,67 ·

1 0 · = d2TL kg2 (3,84 · 108 m)2 = Para demostrar que los cielos y la Tierra obedecían a las mismas leyes físicas, Newton realizó el siguiente experimento mental. Imagina que desde lo alto de una montaña (punto V) lanzamos una bala con un cañón. Si se hace con una velocidad pequeña llegará a cierta distancia, pongamos que al punto D. Esta distancia será mayor (punto E) si la velocidad de la bala aumenta. Podemos seguir aumentando la velocidad para llegar hasta F, por ejemplo. Sin embargo, teóricamente podríamos lanzar tan velozmente la bala que volvería a V sin llegar a tocar el suelo, lo cual significa que la bala entraría en órbita alrededor de la Tierra. La ilustración pertenece a los Principios de Newton.

6,67 · 5,97 · 7,3 3,842

·

10 –11 · 10 24 · 10 22

·

10 16

N · m2 · kg2 kg2 · m2

= 19,7 · 1019 N

Es decir, la fuerza gravitatoria entre la Tierra y la Luna es de 1,97 · 1020 N.

Actividad resuelta 10. Calcula el valor de la aceleración gravitatoria terrestre en la superficie de la Tierra. Datos: Masa de la Tierra: 5,972 · 1024 kg. Radio de la Tierra: 6371 km.

Solución Supón que estás en la superficie de la Tierra, esto significa que entre la Tierra y tu cuerpo existirá una fuerza de atracción gravitatoria. Si el radio de la Tierra es rT y tu masa es m, esta fuerza vendrá dada por: F=G·

MT · m r2T

Con la ley de la gravitación universal es fácil ver de dónde proviene la expresión FP = mg para calcular el peso de un cuerpo. Observa que podemos reunir los términos del siguiente modo: MT · m = mg F= G· r2T g Es decir, si introducimos los valores numéricos correspondientes podremos comprobar el conocido valor de la aceleración gravitatoria: MT 5,97 · 1024 kg N · m2 · = g = G · 2 = 6,67 · 10 –11 (6,37 · 106 m)2 rT kg2 = Desde 1915 la ley de gravitación universal de Newton ha sido incluida y superada por la teoría de la relatividad general de Einstein, en la que el concepto de campo gravitatorio se estudia en términos geométricos.

86 Unidad 3. Dinámica

6,67 · 5,97 6,372

·

10 –11 · 10 24 1012

·

N · m2 · kg kg2 · m2

kg = 0,98 · 10

m s2 kg

= 9,8 m/s2

La conclusión es que el peso que sientes es el resultado de la atracción gravitatoria entre la Tierra y tu cuerpo, debido a sus masas.

Actividad resuelta 11. Calcula la fuerza gravitatoria de atracción entre la Tierra y una pelota de 600 g si esta se encuentra a 2 m de altura. Si lo dejamos caer, ¿por qué no orbitará la pelota la Tierra como lo hace la Luna?

Solución Datos: • MT = 5,97 · 1024 kg, mp = 6 · 10-1 kg • RT = 6370 km, hp = 2 m • hp = 6370 km + 2m = 6370 km + 0,002 km = 6370,002 km ≈ 6370 km • dTp ≈ 6370 km = 6,37 · 106 m Por tanto, d 2T tomamos el radio de la Tierra como distancia desde su centro a la pelota, pues los 2 m son una cantidad insignificante.

P

M · m 5,97 · 1024 kg · 6 · 10-1 kg N · m2 F = G · T 2 p = 6,67 · 10-11 N · · = (6,37 · 106 m)2 kg2 d Tp 6,67 · 5,97 · 6 10-11 · 1024 · 10-1 N · m2 · kg2 =

·

· → F = 5,9 · 10 N 1012 kg2 · m2 6,372 La pelota no orbita la Tierra porque sufrirá un movimiento de caída libre y será atraído directamente por ella. Para que orbite se deben dar unas condiciones adecuadas en la velocidad de la pelota.

¿

Sabías que...?

En las observaciones y cálculos astronómicos suelen usarse las siguientes unidades: • La unidad astronómica (distancia Tierra-Sol): 1 ua = 1,5 · 1011 m.

• El año luz (distancia recorrida por la luz en un año): 1 año luz = 9,5 · 1015 m.

• El pársec (la distancia a la que una unidad astronómica subtiende un ángulo de un segundo de arco): 1 pársec = 3,1 · 1016 m.

Actividades 15. Calcula la fuerza de atracción gravitatoria existente entre el Sol y la Tierra.

16. Teniendo en cuenta que el diámetro de la Luna (3476 km) y su masa (M L = 7,3 · 1022 kg), calcula la aceleración gravitatoria en la Luna. Calcula tu peso en la Tierra y en la Luna.

17. Busca por qué algunas veces las fuerzas gravitatorias producen caídas libres y otras movimientos elípticos (planetas).

Radiotelescopio del observatorio astronómico de Sierra Nevada (Granada).

18. Calcula la atracción gravitatoria entre un paquete de arroz de un kilogramo y tu cuerpo si estáis a una distancia de 1 cm.

Compara esta atracción con la atracción de tu cuerpo y la Luna.

Unidad 3. Dinámica

87

Fuerza centrífuga

4. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR En el MCU (Movimiento Circular Uniforme) un cuerpo se mueve en una trayectoria circular con una velocidad de módulo constante pero que varía de dirección continuamente. Esto significa, como sabemos del tema anterior, 2 que entra en juego una aceleración centrípeta: aC = v donde v es el módulo R de la mencionada velocidad y R es el radio de la trayectoria circular.

En esta unidad hemos visto que los cuerpos se aceleran debido a fuerzas que se aplican sobre ellos. Es decir, la aceleración centrípeta tiene una causa: una fuerza centrípeta dirigida en todo momento hacia el centro de la trayectoria.

vP aC

FC = maC →

FC

v2 FC = m R

Recuerda que la velocidad lineal está relacionada con la velocidad angular mediante una relación matemática, lo que nos permite escribir la fuerza centrípeta de un modo alternativo: R 2

En el centrifugado, la ropa se escurre debido a la fuerza centrífuga, puesto que el agua sale despedida hacia fuera del bombo. En las lavadoras con ventana puede observarse cómo la ropa se pega a las paredes.

v = ~ R → FC = m

Es fácil comprobar cómo en un MCU aparece el efecto de una fuerza “hacia afuera”, es la fuerza centrífuga (“que huye del centro”). Esta fuerza es, por ejemplo, la responsable de que tengamos la sensación de “irnos por la tangente” al coger una curva o el hecho de que una piedra salga despedida en dirección a la velocidad si se rompe la cuerda con la que se le da vueltas. Es importante que sepas que no es una fuerza real en el sentido que hemos estudiado, pues no la ejerce ningún cuerpo; es el resultado de la inercia del movimiento. En efecto, si la fuerza centrípeta deja de efectuarse, el objeto saldrá despedido en la dirección y sentido que marca la velocidad en el momento concreto, debido a la inercia.

Experimentamos Construcción de cariocas Es fácil reproducir un MCU: basta con atar un peso en el extremo de una cuerda. Un ejemplo son las cariocas, un utensilio usado en los juegos malabares. Para construirlas solo necesitas tres elementos: algo que sirva de cuerda y asidera (una media vieja es perfecta), una bolsita (un globo, por ejemplo) y algo de relleno (arena, arroz u otras legumbres).

Construye dos pares de cariocas con dos masas muy distintas. Puedes hacerlo con algún compañero o alguna compañera, así cada uno construye un par. ¿Cómo podrías saber la fuerza aplicada sobre las cariocas si alguien observa el giro que les proporcionas?

88 Unidad 3. Dinámica

2

(~ R) (~ R) =m → FC = m ~2 R R R

Actividad resuelta 12. Un cuerpo de 200 g gira en un plano horizontal a una velocidad de 4 m/s. Suponiendo que el radio de giro es de 85 cm, calcula: a) La velocidad angular. b) La aceleración centrípeta. c) La fuerza centrípeta.

Solución a) v = ~ · R → ~ =

v

=

400 cm⁄s

→ ~ = 4,7 rad⁄s R 85cm v2 (4 m⁄s)2 b) ac = → ac = → ac = 18,8 m⁄s2 R 0,85 m c) Fc = m · ac → Fc = 0,2 kg · 18,8 m⁄s2 → Fc = 3,8 N

Actividad resuelta 13. La distancia entre la Tierra y la Luna es de aproximadamente 380 000 km. Teniendo en cuenta que la Luna tarda poco más de 27 días en dar una vuelta completa a la Tierra, ¿cuál es la masa de la Tierra?

Dato: para calcular la velocidad angular a partir del periodo T, se 2π usa la expresión ~ = T Solución Aunque no lo parezca, estamos ante un problema de movimiento circular de astros. La clave está en apreciar que la fuerza gravitatoria que une la Tierra y la Luna coincide con la fuerza centrípeta que siente la Luna: Fg = Fc → G ·

MT · mL dTL2

v2

= mL ·

MT · mL

→ G ·

dTL

dTL2

Despejamos la masa de la Tierra: MT =

v2

= mL ·

dTL

v2 · dTL G

Teniendo en cuenta que: v = ~ · dTL Usando el dato que nos dan: v =

2 π · dTL

, sustituimos:

T

b

2r · d TL 2 l · d TL 4r · d 3 TL T MT = = G G· T2 Pasamos el periodo 27 días a segundos y sustituimos todos los datos: 4 π2 · (3,8 · 108 m)3 MT = = 6,67 · 10-11 N · m2 · kg-2 · (2,3 · 106 s)2 4 π2 · 3,83 6,67 · 2,3

2

·

1024 10 · 10 -11

12

·

kg · m · s · m · kg s

MT = 6,1 · 1024 kg

Actividades 19. Durante su ejercicio, una patinadora que va a 15 m/s describe círculos de 30 m de radio. Si la masa de la patinadora es de 65 kg, ¿cuál es la aceleración y fuerza centrípetas?

20. Imagina que atas una piedra de 1,5 kg al extremo de una cuerda y comienzas a darle vueltas en vertical, es decir, en un plano perpendicular al suelo. Esto significa que debes realizar una fuerza centrípeta como mínimo igual al peso. Suponiendo que la distancia desde la piedra hasta el centro de giro (tu hombro) es de 2 m y que se le comunica la fuerza mínima para contrarrestar el peso, responde en tu cuaderno: a) Calcula la fuerza peso. b) Calcula la fuerza centrípeta. c) Calcula la fuerza centrípeta arriba del todo. d) Calcula la velocidad mínima.

m3 -2

El descubrimiento realizado por Isaac Newton de la ley de la gravitación universal (todos los objetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros) es uno de los momentos culminantes de la historia de la física.

2

-2

2

21. ¿Qué relación crees que puede tener la dinámica circular con la ley de gravitación universal?

Unidad 3. Dinámica

89

¿

Sabías que...?

En 1957 la Unión Soviética puso en órbita el primer satélite artificial, el Sputnik 1.

Se suele denominar basura espacial a los objetos artificiales que orbitan la Tierra y que provienen de fragmentos de cohetes, satélites, etc.

5. SATÉLITES Los satélites artificiales son objetos creados por el ser humano ideados para orbitar cualquier cuerpo celeste con un objetivo concreto. Aunque se ha logrado colocar todo tipo de satélites en varios planetas, aquí nos centraremos en los satélites artificiales que orbitan la Tierra. Así, el fundamento dinámico de unos y otros es la ley de gravitación universal. Una forma de clasificar los satélites es en función de su finalidad.

Tipos de satélites Telecomunicaciones Utilizados para enviar todo tipo de informaciones de un punto a otro de la Tierra, tales como radio, televisión o telefonía. La empresa española Hispasat opera satélites de este tipo.

Meteorológico Se emplea para la medición de parámetros atmosféricos que nos permitan predecir el tiempo. Los europeos Meteosat son los satélites meteorológicos más conocidos.

Navegación Se trata de una red de satélites cuyo objetivo es conocer la posición de receptores en la Tierra. El más usado es el sistema estadounidense GPS, con un total de 24 satélites. Sin embargo, en Europa se está diseñando el sistema Galileo, que mejorará el anterior.

Astronómicos Están diseñados para observar planetas, estrellas, galaxias o cualquier objeto astronómico. Un ejemplo es el telescopio espacial Hubble, que realiza observaciones en el espectro visible, aunque hay otros satélites que usan rayos X o infrarrojos.

Estaciones espaciales Son grandes estructuras diseñadas para que los seres humanos puedan vivir en el espacio exterior, orbitando la Tierra. En este tipo de satélites se realizan todo tipo de experimentos. Las primeras fueron la rusa MIR y la

90 Unidad 3. Dinámica

estadounidense Skylab. Desde al año 2010 está en órbita la Estación Espacial Internacional (ISS), gestionada mediante cooperación internacional.

Actividad resuelta 14. Un satélite geoestacionario es un satélite sobre el ecuador que tiene la misma velocidad angular de la Tierra. Son los que se usan, por ejemplo, para las observaciones meteorológicas. Teniendo en cuenta que el periodo de orbitación de la Tierra y de estos satélites coinciden, ¿a qué distancia sobre la Tierra se encuentran?

Datos: aproxima la masa de la Tierra a 6 · 1024 kg y el radio a 6400 km.

Solución Tenemos en cuenta que la fuerza gravitatoria y la centrípeta aquí coinciden (r es la distancia del satélite al centro de la Tierra, es decir, el radio orbital): M ·m M ·m v2 v2 Fg = Fc " G · T 2 s = m L " G · T 2 s = m s · r r r r 2r · r Introducimos aquí la expresión v = , que nos da la velocidad orbital a T partir del periodo, para luego despejar el radio de la órbita: G·

MT M 2r · r 2 M 4r 2 · r 2 l " G· T = = v2 " G· T = b r r T r T2

El satélite Hispasat 36W-1 es el primer satélite en utilizar la plataforma Small GEO, lo que supone la primera asociación entre la ESA y un operador de telecomunicaciones español.

3 M · T2 Por tanto: r = G · T 2 , teniendo en cuenta que el periodo del satélite 4r es de 24 h y pasándolo a segundos, solo quedaría sustituir:

r=

3

r=

3

6, 67 ·10 -11 N · m 2 · kg -2 ·

6 ·10 24 kg · (8, 64 · 10 4 s) 2 4r 2

6, 67 · 6 · 8, 64 2 ·10 -11 ·10 24 ·10 8 kg · m · s -2 · m 2 · kg -2 · kg · s 2 4r 2

r = 3 75, 7 ·10 21 m 3 = 4, 2 ·10 7 m Para calcular la altura sobre el suelo, se resta el radio de la Tierra: h = r - R = 4, 2 ·10 7 m - 6, 4 ·10 6 m = 3, 6 ·10 7 m Por tanto, los satélites geoestacionarios se encuentra a una altura de unos 36 000 km sobre la superficie terrestre.

Actividades 22. El satélite Hispasat 1C tiene una masa de unos 300 kg y su radio orbital geoestacionario es de unos 42 000 km. a) Calcula la fuerza gravitatoria que lo mantiene orbitando alrededor de la Tierra. b) Calcula la aceleración centrípeta del satélite.

23. Investiga qué es la velocidad de escape de un objeto en la Tierra.

24. Amplía tu información en Internet sobre cuál es la misión de los satélites especializados en cartografía.

Los invernaderos de Almería son visibles desde el espacio.

25. ¿Cuáles son los riesgos y problemas asociados a la basura espacial? ¿Conoces alguna medida de carácter internacional que intente paliar este hecho?

Unidad 3. Dinámica

91

Actividades de consolidación 1. Un cuerpo de 2 kg es sometido a dos fuerzas de 120 N y 40 N respectivamente. Calcula en tu cuaderno la fuerza resultante en los siguientes casos: a) Van en la misma dirección y sentido. b) Van en la misma dirección pero son de sentido contrario. c) Son perpendiculares.

Realiza un esquema de la fuerzas en los tres casos.

2. Observa el sistema de fuerzas de la imagen y calcula la que falta.

¿F?

10. Supón que aplicas una misma fuerza a un balón de reglamento de fútbol que a una pelota de tenis. Calcula la relación existente entre las aceleraciones adquiridas por cada pelota, es decir, cuántas veces es más grande una que otra.

Datos: m (fútbol) = 410 g; m (tenis) = 55 g.

11. ¿Por qué piensas que es necesario poner cadenas a las ruedas de los coches en las zonas donde hay nieve?

10 N

8N

3. María pesa en la Tierra 588 N y Alonso pesa en la Luna 112 N. ¿Cuál de los dos tiene más masa?

Datos: gT = 9,8 m/s2; gL = 1,6 m/s2 4. En función de la expresión matemática de la ley de Hooke, ¿será más fácil deformar un cuerpo con una constante elástica alta o baja?

5. El comportamiento de un muelle que conserva sus propiedades elásticas hasta un alargamiento de 50 cm responde a la expresión F = 50 Δx. a) Construye una tabla en la que aparezcan las distintas fuerzas con sus deformaciones, desde 0 cm hasta 50 cm, cada 10 cm. b) Representa gráficamente el comportamiento de dicho muelle.

6. Según las leyes de Newton, ¿por qué es importante llevar cinturón de seguridad en los coches?

7. Imagina que vas en el interior de un coche en movimiento y, repentinamente, se cae el ambientador que estaba colgado del espejo retrovisor. Cae justo debajo del espejo, ¿no debería haber caído atrás puesto que el coche sigue hacia adelante? Razona tu respuesta.

8. Un coche de 1200 kg arranca con una aceleración de 2,5 m/s2. Calcula la fuerza que actúa sobre él. ¿Cuál será la fuerza si la aceleración se divide a la mitad?

9. ¿Qué aceleración y de qué signo habrá que comunicarle a una furgoneta que circula a 70 km/h si queremos que se detenga a 100 m? ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse? Calcula además la fuerza de la furgoneta si su masa es de 2000 kg.

92 Unidad 3. Dinámica

12. Se dice que un objeto riza el rizo cuando da una vuelta completa a un bucle sin caerse, lo que se debe a la fuerza centrífuga. Por ejemplo, en las exhibiciones deportivas es habitual que una motocicleta rice el rizo sin caerse. Contesta en tu cuaderno, suponiendo que el radio del bucle es de 6 m. a) Dibuja las fuerzas a las que se ve sometido el sistema motocicleta-conductor en el punto más alto. b) Calcula el peso del sistema motocicleta-conductor si su masa es de 400 kg. c) Teniendo en cuenta que la fuerza centrífuga coincide numéricamente con la fuerza centrípeta y que la fuerza peso y la fuerza centrífuga están equilibradas, calcula la aceleración centrípeta del sistema motocicleta-conductor. d) Calcula la velocidad del conductor en el punto más alto.

13. Dos ocupantes de un ascensor de 250 kg tienen masas respectivas de 60 kg y 80 kg. El motor ejerce 5000 N de fuerza. a) ¿Con qué aceleración subirá el ascensor? b) ¿Y si fuera vacío?

14. Cuando se suelta un globo que ha sido inflado dejando que el aire escape, ¿hacia dónde se mueve el globo?

Razona tu respuesta apoyándote en una de las leyes de Newton y representa las fuerzas que entran en juego.

15. Se deja caer un objeto desde una altura de un metro en la Tierra y en la Luna. ¿Cuánto tiempo tardará en caer en cada lugar? Utiliza las ecuaciones de movimiento con las aceleraciones gravitatorias correspondientes en cada caso.

16. En el lanzamiento de cohetes puedes apreciar una gran cantidad de gases saliendo de las toberas. ¿Cuál es su función? Explícalo según una de las tres leyes de Newton y representa las fuerzas que entran en juego.

17. Un tractor arrastra una piedra de 600 kg sobre un terreno horizontal donde el coeficiente de rozamiento adquiere el valor 0,24. Calcula la fuerza de rozamiento que sufre la piedra así como su aceleración. Realiza un diagrama de fuerzas, separando los ejes correctamente y dejando claro el uso de las leyes de Newton. La velocidad de la piedra es constante.

18. Pedro y Silvia inician su descenso desde lo alto de la cima de una montaña rusa, subidos en un vagón de 300 kg de masa. Si la cima está inclinada 60º sobre la horizontal, calcula la aceleración con la que descienden. Realiza un diagrama de fuerzas y descompón los vectores según los ejes paralelos y perpendicular al plano del descenso.

19. Calcula cuál es la fuerza centrípeta y la aceleración centrípeta que actúa sobre un coche de 1100 kg si toma una curva de 20 m a 70 km/h.

20. Calcula la aceleración que adquiere la mochila de la imagen si se suelta desde lo alto del tobogán.

m = 3,5 kg

µ = 0,1 30º

21. Susana está arrastrando horizontalmente una caja por el suelo, aplicando una fuerza de 300 N. ¿Qué valor debe tener la fuerza de rozamiento para que la caja lleve una velocidad constante? Explica en qué ley te basas.

22. Responde en tu cuaderno verdadero o falso y razona tu elección. a) Si la resultante de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo es distinto de cero, este cambia su estado de movimiento. b) Si un ciclista circula a 40 km/h pero deja de pedalear, de tal forma que la fuerza neta sobre las ruedas es nula, el ciclista se para de inmediato. c) Si no actúan fuerzas sobre un cuerpo, este está en reposo.

23. Si la distancia entre el Sol y la Tierra fuera la mitad de la que realmente es, ¿cuál sería la fuerza de atracción gravitatoria?

24. Dos cuerpos de masas m1 y m2 se atraen gravitatoriamente con una fuerza F a una distancia d. Si se duplica la distancia la atracción pasa a ser F’. Expresa F’ en función de F. 25. Podemos suponer que la órbita de la Tierra es circular, una aproximación que nos permite calcular la velocidad de la Tierra alrededor del Sol y la propia masa del Sol. Sigue los pasos que se dan a continuación y responde a las preguntas. a) La velocidad angular se calcula dividiendo el número de radianes que recorre en un tiempo determinado (medido en segundos). En nuestro caso, la Tierra realiza una órbita completa (2πrad) en 365 días. Calcula de este modo la velocidad angular y exprésala en notación científica con dos cifras significativas. b) Recuerda la relación entre velocidad angular y velocidad lineal. Teniendo en cuenta que el radio de la órbita es aproximadamente 150 millones de kilómetros, calcula la velocidad lineal de la Tierra alrededor del Sol. Busca este dato en Internet, ¿es exactamente igual que tu solución? Si hay alguna diferencia, procura explicar por qué. c) La fuerza gravitatoria (FG) que sufre la Tierra debida al Sol es una fuerza de tipo centrípeta (FC). Escribe la expresión algebraica para cada una de estas fuerzas, tomando la notación de MT para la masa de la Tierra y MS para la masa del Sol. En los dos casos la distancia será dTS. Iguala ambas expresiones y despeja la masa del Sol. ¿Qué ha pasado con la masa de la Tierra? Sustituye los datos, calcula la masa del Sol y busca en Internet si tu solución coincide con la masa real.

Soluciones 1. a) 160 N b) 80 N c) 126,5 N. 2. 6 N. 8. 3000 N, 1500 N. 9. t = 10,2 s, a = –1,9 m/s2 , F = 3800 N. mb 10. at = m ab → at = 7,5 ab t 12. a) 3920 N b) 9,8 m/s2 d) 7,7 m/s.

13. a) 3 m/s2 b) 10,2 m/s2.

15. tt = 0,45 s, tl = 1,12s.

17. F= 1411,2 N, a = 0 m/s2.

18. 8,5 m/s2.

19. a = 18,8 m/s2, F =20680 N. 20. 4,1 m/s2.

Unidad 3. Dinámica

93

Esquema de la unidad DINÁMICA FUERZAS

F (N)

Vector

F k=

F

∆x

∆x (m)

Peso

Leyes de Newton

Fp = m · g 1.ª) Inercia 2.ª) F = m · a 3.ª) Acción-reacción Ley de Hooke F= K · ∆x Centrípetas Fpeso

a=

Gravitación universal

V2 R

F = G ·

94 Unidad 3. Dinámica

M1 · M2 d2

Satélites

Competencias clave Johannes Kepler Kepler publicó en dos obras lo que hoy conocemos como las tres leyes de Kepler, gracias a los datos recogidos por Tycho Brahe. Estas leyes ayudaron a cambiar para siempre la visión y el entendimiento que tenemos hoy sobre el universo. Sirvieron para variar el modelo heliocéntrico, puesto que las órbitas no son circulares sino elípticas.

Estas averiguaciones fueron de vital importancia, puesto que constituyeron una de las bases para que Newton pudiese llegar a sus conclusiones.

• Primera ley de Kepler: los planetas describen trayectorias elípticas alrededor del Sol, siendo el Sol uno de sus focos.

• Segunda ley de Kepler: el radio vector que une cada planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Si el área A1 es igual al área A2, entonces el tiempo empleado por el planeta en ir de A a B es el mismo que el empleado en ir de C a D.

• Tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol. La constante es la misma para todos los planetas que giran en torno a una misma estrella, o para todos los satélites que giran en torno a un mismo planeta.

T2 = k · R3 Es fácil trazar una elipse con un trozo de hilo, dos chinchetas, un lápiz y un papel. Clava las chinchetas en el papel, átales los cabos del hilo, ata el lápiz al hilo de forma que pueda desplazarse por él y traza la curva como se indica en la imagen.

C A

A2

A1

B D

Cuestiones propuestas 1. ¿Consiguió Kepler llegar a sus conclusiones por sí mismo?

2. Señala dos diferencias entre el modelo heliocéntrico y las dos primeras leyes de Kepler.

3. Newton escribió que llegó a sus conclusiones porque “caminó a hombros de gigantes”. ¿A qué se refería?

4. Observa la expresión matemática de la tercera ley de Kepler. ¿Por qué los planetas más alejados del Sol tardan más tiempo en realizar una vuelta completa a este?

5. Conociendo los datos del periodo y del radio orbital terrestre, calcula la constante k.

6. Ahora que conoces la constante k, calcula el radio orbital de Marte si tienes como dato conocido su periodo orbital.

7. Busca en Internet los periodos orbitales y radios orbitales de los cuatro satélites galileanos de Júpiter y comprueba que se cumple la tercera ley de Kepler.

8. Dibuja una elipse en una hoja de papel milimetrado, tal como se indica en el texto, y señala con una E la posición del perihelio (punto en el que un planeta se halla más cerca del Sol) y con una F la posición del afelio (punto de la órbita de un planeta que dista más del Sol).

9. Mirando la imagen del texto, señala los puntos A, B, C y D de forma que se cumpla la segunda ley de Kepler. Para ello puedes ayudarte contando cuadraditos en el papel milimetrado.

10. Investiga todo lo que puedas sobre la sonda espacial Kepler y realiza un informe al respecto.

Unidad 3. Dinámica

95

Competencias clave Satélites “Los satélites artificiales son artefactos que se ponen en órbita alrededor de la Tierra mediante un cohete o un transbordador espacial para que cumplan alguna misión. Sus usos pueden ser muy variados: trazado de mapas, meteorología, telecomunicaciones, posicionamiento y localización, científicos, espionaje, etc.

En 1957 la Unión Soviética puso en órbita el primer satélite artificial, el Sputnik 1. Algunos meses después Estados Unidos lanzó su primer satélite, el Explorer 1. No sería hasta 1975 cuando España lanzaría su primer satélite, el Intelsat. Se han lanzado ya más de 5000 satélites.

Existen distintos tipos de órbitas dependiendo de la utilidad del satélite: órbita polar (comunicaciones y observación terrestre), órbita baja (clima y navegación), geoestacionaria (comunicaciones, clima, navegación y GPS) y órbita elíptica (comunicaciones). En el caso de los satélites en órbitas geoestacionarias la posición respecto a la Tierra no varía, pues el periodo coincide con la rotación terrestre, es decir, siempre está sobre el mismo punto y siempre están en el plano del ecuador.

Entre los satélites científicos se encuentran el Hubble (telescopio dedicado a la observación astronómica), Chandra (rayos X) y el Spitzer (infrarrojos). Los Astra son una red de satélites geoestacionarios dedicados a la transmisión de señales de televisíon. La serie Meteosat se dedica al pronóstico meteorológico y el LandSat se dedica a la observación terrestre”.

V. M. Brodianski: Móvil perpetuo antes y ahora.

Editorial Mir-Moscú.

Cuestiones propuestas 1. ¿Cuál es la diferencia entre un satélite artificial y un satélite natural?

2. ¿Cuáles fueron los primeros países en lanzar satélites artificiales?

3. ¿Cuál fue el primer satélite español?

4. ¿Qué es un satélite geoestacionario?

5. ¿Cuántos tipos de órbitas hay para los satélites artificiales?

6. ¿En qué órbita se sitúan los satélites que se encargan del estudio del clima?

96 Unidad 3. Dinámica

7. ¿Qué es el Hubble? Amplía información buscando referencias en Internet. Es de especial interés que encuentres de dónde proviene el nombre.

8. Amplía la lista de satélites científicos buscando en Internet.

9. ¿Piensas que los satélites son útiles? ¿Consideras necesarias las inversiones que se realizan en ellos?

10. Imagina que un día dejan de funcionar los satélites. Escribe un pequeño texto contando cómo afectaría este suceso a tu vida cotidiana.

La unidad en 10 1. Demuestra que las dimensiones de la aceleración centrípeta corresponden a una aceleración.

Partimos de la expresión matemática: ac = v2 /R, donde v es la velocidad y R el radio. ^6L@ / 6T@h2

Por tanto: ría m⁄s2

=

L

6L@2 / 6T@2 6L@ = 2 Es decir, en el SI seL 6T@

2. Dos personas tiran de un remolque lleno de troncos con sendas cuerdas, según el esquema de la figura.

F2

preguntas 5. Una persona sostiene un objeto en una de sus manos. ¿Cuál es la fuerza que hace que la suma de fuerzas sobre el cuerpo sea nula?

La fuerza normal que la mano ejerce sobre el objeto.

6. La fuerza de despegue de un cohete Falcon 1 es de 454 kN. Suponiendo que la masa total es de unas 40 t, ¿qué aceleración sufre durante esta maniobra?

F 4,54 · 105 N F = m · a → a = = = 11 m⁄s2 a 4 · 104 kg 7. Tiramos de un objeto de 100 kg que se encuentra sobre un plano horizontal, con una fuerza de 300 N. Si el coeficiente de rozamiento es 0,1, ¿con qué aceleración se moverá? Realiza un diagrama de fuerzas.

FN

F1

a) Representa las fuerzas sobre el eje de coordenadas: F1 = (–1,2) y F2 = (4,5). b) Calcula la resultante de las fuerzas, gráficamente y algebraicamente.

Resolvemos los dos apartados sobre el mismo diagrama:

FR

7

6

F R = F 1 + F 2 = (3, 7)

5

F2 4

FROZ

FP

FP

Del eje Y sacamos que la fuerza peso y la fuerza normal coinciden en módulo (primera ley de Newton): Z]FN = FP = m · g ]] ]] F - FROZ []F - FROZ = m · a " a = m ]] ]]F = n · F ROZ N \ F - nFN F - n · m · g F Por tanto: a = = = - n· g m m m Sustituyendo: a = 2,02 m/s2

3

8. ¿Qué ley explica que los gases de ignición de un cohete puedan hacer que despegue?

2

F1

-2

-1

1

0

1

2

3

4

3. Una persona pesa en Júpiter 132 N. Si en ese planeta gigante la aceleración gravitatoria tiene un valor de 2,64 m/s2, ¿qué peso tendrá en la Tierra?

F 132 N FJ = m · gJ → m = J = = 50 kg gJ 2,64 m⁄s2 F T = m · gT = 50 kg · 9,8 m⁄s2 = 490 N También se podría haber hecho sin calcular la masa, observa con las aceleraciones: F g 9,8 F T = m · gT = J · gT = FJ · T = 132 N · = 490 N gJ gJ 2,64 4. Queremos comprimir 5 cm un muelle, ¿qué fuerza habrá que aplicar? Constante elástica del muelle: k = 3 · 103 N/m.

La fuerza necesaria será aquella que venza la propia tensión del muelle, en la misma dirección pero sentido opuesto. Según la ley de Hooke: N F = k · Δx = 3 · 103 · 5 · 10 –2 = 150 N m

La tercera ley de Newton. El cohete expulsa los gases hacia fuera y los gases ejercen la misma fuerza sobre el cohete pero en sentido contrario.

9. Calcula la fuerza de atracción gravitatoria entre el Sol y Marte. Datos: ms = 1,99 · 1030 kg; mM = 6,4 · 1023 kg; dMS = 2,3 · 10 8 km m · m F = G · S 2 M = dSM N · m2 1,99 · 1030 kg · 6,4 · 1023 kg = 6,67 · 10 –11 · = kg2 (2,3 · 10 8)2 10 –11 · 1030· 1023 N · m2 · kg2 6,67 · 1,99 · 6,4 = · · → 1016 kg2 · m2 2,32

→ F = 1,6 · 1027 N 10. El periodo de rotación de Proteo, un satélite de Júpiter, es de 1,122 días. Calcula su velocidad orbital en km/s si el radio de la órbita es de unos 118 000 km.

2π 2π · 1,18 · 105 km v = ~ · R = · R = = 7,6 km⁄s T 1,122 · 24 · 3600 s Unidad 3. Dinámica

97

Actividad práctica Ley de Hooke Objetivo • Investigar y entender la relación entre la fuerza que se aplica a un cuerpo elástico y su deformación.

• Calcular la constante elástica de un muelle.

Material • Muelle, pesas de distintas masas, cinta métrica, balanza y soporte.

Conceptos teóricos • Recuerda que el alargamiento de un muelle es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre este, según la ley de Hooke.

F = k ∆x • Si colocas una pesa en el muelle suavemente, verás que el sistema está en equilibrio, es decir, la suma de las fuerzas aplicadas (fuerza peso y fuerza elástica) sobre la pesa será cero: F – FP = 0 → F = FP → F = mg • Es decir, para conocer la fuerza aplicada será suficiente con conocer la masa de la pesa y multiplicarla por la aceleración gravitatoria. Además, si conoces el alargamiento del muelle, puedes calcular la constante elástica igualando las dos expresiones de la fuerza (la ley de Hooke y la que proviene del equilibrio de fuerzas):

mg = k ∆x → k =

mg

∆x

Procedimiento 1. En primer lugar debes realizar el montaje experimental con el mayor cuidado posible. Debes colgar el muelle del soporte y situar de alguna manera la cinta métrica detrás, de tal forma que se aprecie con claridad la posición inicial de la parte inferior. A esta posición la llamaremos x0. Anótala.

2. Mide el peso de todos las pesas que colgarás en el muelle. Llamaremos a estas masas m1, m2, m3, etc.

3. Cuelga las distintas pesas e irás anotando los distintos alargamientos. A estos los llamaremos x1, x 2, x 3, etc.

4. Anota los valores medidos en una tabla, tal como puedes ver en el ejemplo, incluyendo las masas que has puesto en cada caso.

98

x0

x0

x1

5. Calcula los distintos alargamientos mediante la expresión: ∆xOi = xi – xO. 6. Calcula la fuerza aplicada multiplicando la masa por la aceleración gravitatoria.

7. Añade dos columnas en la tabla con los valores de la fuerza aplicada y del alargamiento, tal como puedes ver en el ejemplo. x0 = 50 cm

Ejemplo

Número dato

m (kg)

x (m)

F (N) [m · g]

∆x (m)

1

0,1

0,52

0,98

0,02

2

0,2

0,53

1,96

0,03

3

0,3

0,55

2,94

0,05

4

0,4

0,59

3,92

0,09

5

0,5

0,60

4,90

0,10

Actividades 1. Confecciona un cuadernillo de prácticas en el que deberás incluir: objetivos, material, recogida de datos (tablas) y resultados (gráficas y respuestas a preguntas).

2. Realiza la práctica y construye la tabla de la que se habla en el procedimiento, en la que aparezcan las siguientes columnas: masas, posiciones, fuerzas y alargamientos.

3. Representa gráficamente los alargamientos frente a la fuerza.

4. ¿Están todos los puntos alineados perfectamente en una recta? Si no es así, ¿a qué crees que se debe?

5. Observa la expresión matemática de la ley de Hooke. Identifica en ella la pendiente de la gráfica que has representado.

6. Calcula la constante elástica usando la expresión deducida en la sección de “Conceptos teóricos”. Para ello antes debes usar todas las parejas de puntos y luego realizar la media aritmética.

7. Calcula la constante elástica en el caso del ejemplo que se ofrece en el texto.

8. ¿Coincide la constante elástica del ejemplo con la de tu práctica? ¿Por qué?

9. Investiga qué es un dinamómetro y escribe en qué consiste.

10. Busca cómo construir un dinamómetro y elabora uno.

99

Aprendizaje

basado en

problemas

Vamos a llegar lejos 1. Introducción Uno de los contextos en los que se desarrolló la cinemática fue el de la mejora del lanzamiento de proyectiles. En este caso tenemos un movimiento que se llama “parabólico”, pues la trayectoria seguida por el móvil describe una parábola. Podemos aplicar este concepto al chorro de agua de una manguera, al lanzamiento de una pelota de golf, etc. En todos estos casos, el movimiento parabólico se puede dividir en dos movimientos independientes, teniendo en cuenta que la única aceleración es la gravitatoria (vertical): un MRU en el eje horizontal (como si fuese solo un movimiento con velocidad constante) y un MRUA en el eje vertical (como si fuese solo un tiro vertical).

y ymax

vy3 = 0 vx0

vy2 vx0

vy1

vx0 –vy4

vx0

vy0 v0

a

vx0 –vy5

vx0

–vy6

xmax

vx0

x

v6

2. El desafío: ¿como lograr el alcance máximo al lanzar una pelota de golf?

En esta actividad vamos a usar varias herramientas de forma individual, siguiendo estas pautas: a) Buscar información sobre el uso de las ecuaciones de movimiento de un tiro parabólico. b) Interacción con un simulador. c) Representación gráfica con hojas de cálculo. d) Representación gráfica con la calculadora GeoGebra.

3. El punto de partida En el dibujo, el alcance máximo se etiqueta como xmax . Las condiciones iniciales son: posición inicial (origen de coordenadas), velocidad inicial (v0) junto al ángulo de lanzamiento ( a ) y aceleración gravitatoria ( −g , criterio de signos positivo hacia arriba). Con esto podemos escribir las ecuaciones de movimiento en ejes separados, teniendo en cuenta la descomposición de la velocidad (vx=v0 cos a ; v0y=v0 sen a ). Además, fíjate en que, según el teorema de Pitágoras, tenemos: v 20 = v 20x + v 20y

100

Eje OX

Eje OY

x = v 0 cos a · t v x = v 0 cos a

1 y = v 0 sena · t - gt 2 2 v y = v 0 sena - gt

4. Los recursos

5. El guion de trabajo

Vamos a manejar recursos que se vienen citando a lo largo de este ABP.

A la hora de realizar vuestra investigación seguiréis los siguientes pasos:

Simulador

1.ª fase: búsqueda de varios vídeos o páginas web

Se puede visualizar desde cualquier sistema operativo, ya sea en móvil, ordenador o tablet. También se puede descargar:

2.ª fase: acercamiento al simulador de PhET sobre

• https://phet.colorado.edu/es/simulation/projectile-

motion PhET es una página con simuladores de ciencia de acceso gratuito, creada por la Universidad de Colorado.

para descubrir cuál es el ángulo que nos da un alcance máximo. Este ángulo será tu hipótesis de partida. tiro parabólico. Manipular todos los elementos para familiarizarnos con él.

3.ª fase: tomar los siguientes datos: calabaza (1 kg y 1

Vídeos

m de diámetro) a 20 m/s, sin resistencia del aire y con aceleración gravitatoria correcta. Manipula el ángulo para poner el que ha servido de hipótesis de partida. Anotar el alcance que te da el simulador.

Algunos ejemplos son:

4.ª fase: realiza la deducción matemática que nos lleva

Qué es el tiro parabólico, en unProfesor.com:

a dicho alcance, encontrando una expresión algebraica que nos dé xmax como una función de v0 y a . Sustituir los datos y demostrar que nos da el mismo resultado que en el simulador.

• https://youtu.be/re0o9H9Eauo

Deducción tanto de ymax como de xmax en Profesor Particular Puebla: • https://youtu.be/VtnTMr6NqDE

Actividad resuelta en Física para todos: • https://youtu.be/9_yN5OW8qyA

Lista de reproducción Tiro parabólico en Virtual Preparatoria: • https://www.youtube.com/watch?v=7PHLOFylz_I&list=PLo7_

lpX1yruPiaBBzxylfo4NJAduIZpGM

Hojas de cálculo

5.ª fase: elaborar la gráfica de la trayectoria y-x de dos formas diferentes: con una hoja de cálculo (tabla de g datos) y mediante GeoGebra (y = tan a x x 2) 2 2 v 0 cos 2 a 6.ª fase: divulgación. Elaborar un documento con las siguientes seis diapositivas: (1) Introducción, (2) Estudio matemático de las ecuaciones de movimiento, (3) Captura de pantalla del simulador con el ángulo óptimo, (4) Capturas de pantalla de la gráfica en hojas de cálculo y GeoGebra, en una sola diapositiva, (5) Conclusiones y (6) Referencias usadas.

6. Valoración

Open Office Calc

Google Sheets

Excel

Numbers

A la hora de evaluar vuestra investigación, se tendrá en cuenta la correcta referencia a las fuentes utilizadas, la edición del documento final (fórmulas, inserción de imágenes, etc.), la originalidad, la creatividad y la claridad expositiva.

Puedes usar la hoja de cálculo que tengas a tu disposición.

Lo importante es saber usarlas.

Geogebra Para representar la gráfica a partir de la expresión algebraica de la trayectoria, y = f (x)

101

Los embalses son grandes depósitos que se forman artificialmente, cerrando la boca de un valle mediante un dique o presa, y en el que se almacenan las aguas de un río o arroyo, para utilizarlas en el riego de terrenos, en el abastecimiento de poblaciones, en la producción de energía eléctrica, etc. Embalse de Iznájar (Córdoba).

Unidad 4 La presión 1 La presión

«Vivimos sumergidos en el fondo de un mar de aire que, mediante experimentos, se sabe que pesa tanto que en la superficie terrestre es aproximadamente la decimoquinta parte del peso del agua».

Evangelista Torricelli (1608-1647), físico y matemático italiano.

2 Principio fundamental de la hidrostática 3 El principio de Pascal 4 El principio de Arquímedes 5 La presión atmosférica

¿Qué sabes hasta ahora? ~~¿Qué entiendes por presión? ~~¿Qué son los fluidos? ~~¿Cuál es la fórmula de la densidad? ~~¿Cómo funciona una prensa hidráulica? ~~¿Qué es un barómetro? ~~¿Qué es la presión atmosférica? ~~¿Por qué flotan los cuerpos? ~~¿Cómo llega el agua a tu casa? ~~¿Cómo se llama a la presión que ejerce el agua? ~~¿Qué son los vasos comunicantes?

Al finalizar la unidad habrás aprendido ~~Cómo calcular la presión ejercida por un cuerpo sobre una superficie. ~~Cómo medir la presión sufrida por un cuerpo en el interior de un fluido. ~~Qué es el principio de Pascal. ~~Qué es el principio de Arquímedes. ~~Qué es la presión atmosférica.

Unidad 4. La presión 103

1. LA PRESIÓN Como sabemos, las fuerzas aplicadas a los cuerpos producen cambios en el estado de reposo o movimiento de estos últimos. Además, el resultado de aplicar una misma fuerza no es el mismo en distintas situaciones. Observa para ello las imágenes de esta página e intenta averiguar la diferencia entre un caso y otro.

La diferencia radica en la superficie: a menor superficie mayor es el efecto que se consigue. De este modo hemos llegado a la definición de presión: La presión es la fuerza por unidad de superficie. p=

F S

Esta definición es válida cuando la fuerza se ejerce de modo perpendicular a la superficie. Si la fuerza no es perpendicular, solo ejercerá presión la componente perpendicular.

Una misma fuerza no siempre produce el mismo resultado.

Actividades 1. ¿Por qué los esquís evitan que personas que esquían se hundan en la nieve que pisan?

2. ¿Sobre qué superficie ejercerá más presión tu peso: sobre un círculo de 20 cm de diámetro o sobre un cuadrado de 20 cm de lado?

3. Un cuerpo de 50 kg con una base circular de 15 cm de radio se deposita sobre el suelo. ¿Cuál es la presión que ejercerá?

4. Una mesa de 25 kg se apoya sobre cuatro patas. Suponiendo que cada pata se apoya en el suelo mediante una base cuadrangular de 5 cm de lado, ¿qué presión ejerce cada pata sobre el suelo? ¿Cuál es la presión total que ejerce la mesa sobre el suelo?

Soluciones: 3. p = 7000 Pa 4. p = 2,45 · 104 Pa 104 Unidad 4. La presión

La unidad de presión en el SI es el pascal (Pa), que se define como la presión que ejerce una fuerza de 1 newton sobre una superficie de 1 metro cuadrado: 1m 1 kg · 1N 1 s2 = 1 kg 1 Pa = = 1 m · 1 s2 1 m2 1 m2 En el epígrafe 5 veremos otras unidades de presión, como la atmósfera y el milímetro de mercurio: 1 atm = 1,013 · 105 Pa 1 mmHg = 1,333 · 102 Pa

¿

Sabías que...?

Los faquires no tienen poderes sobrenaturales. Al tumbarse en una cama de clavos el peso se reparte entre todos ellos. De esta manera, la presión total sobre cada clavo es menor.

Actividad resuelta 1. Colocamos sobre una mesa un prisma cuyas dimensiones son 20 cm x 30 cm x 50 cm. Calcula la presión que ejercerá sobre la mesa cada una de sus caras, teniendo en cuenta que su masa es de 5 kg. ¿Sobre qué cara ejerce más presión? ¿Es coherente?

Solución El prisma ejerce una presión debido a su propio peso, pero será distinta en cada una de las caras, puesto que tienen áreas distintas.

cara 3

a2 car 20 cm

cara 1

El manómetro es un aparato que nos ayuda a medir la presión en el interior de líquidos y gases.

50 cm 30 cm

El peso sobre todas las caras será el mismo: FP = m · g = 5 kg · 9,8 m/s2 = 49 N Peso (N)

Cara

Dimensiones

Superficie (cm2)

Superficie (m2)

Presión (Pa)

49

1

20 cm · 30 cm

600

0,06

8,17 · 102

49

2

20 cm · 50 cm

1000

0,10

4,90 · 102

49

3

30 cm · 50 cm

1500

0,15

3,27 · 102

Ejerce más presión sobre la cara 1 (20 cm x 30 cm), lo que es completamente coherente, puesto que la superficie sobre la que se apoya el prisma es menor. Se puede decir por tanto que conforme disminuye la superficie aumenta la presión.

El barómetro es un instrumento que mide la presión del aire.

Recuerda Los cuchillos muy afilados cortan bien porque la superficie de contacto con el alimento que se desea cortar es muy pequeña y con débiles fuerzas se consiguen grandes presiones.

La ecuación de dimensiones de la presión es: [p] = M · L–1 · T–2 Unidad 4. La presión 105

2. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA Se denominan fluidos a las sustancias líquidas y gaseosas, las cuales se adaptan al recipiente que los contiene.

La presión ejercida por los fluidos puede ser de dos tipos: estática y dinámica. Es estática cuando se produce por los fluidos en reposo, y dinámica cuando se produce por el movimiento de un fluido.

Un fluido pesa, y por tanto ejerce presión estática tanto sobre el fondo del recipiente que lo contiene como sobre sus paredes. Además, ejercerá presión sobre la superficie de cualquier objeto sumergido en él. Así pues, se dice que los cuerpos sumergidos en el interior de los fluidos soportan fuerzas cuyo origen se halla en el peso de dichos fluidos.

Experimentamos Presión hidrostática

En cualquier punto de un fluido en reposo siempre existe presión, como puede deducirse por el equilibrio de fuerzas: FA = FP La presión hidrostática es la presión estática que ejercen los líquidos en reposo debido a su propio peso. Así, la presión hidrostática es la fuerza por unidad de área que ejerce un líquido en reposo sobre las paredes del recipiente que lo contiene y sobre cualquier cuerpo que se encuentre sumergido.

Presión baja Presión media Presión alta

Prueba a practicar un orificio en una botella de agua, el líquido sale despedido debido a la presión hidrostática. Observa que el chorro de agua alcanzará mayor distancia a medida que la profundidad aumenta.

¿

Sabías que...?

La estática de fluidos es la rama de la física que estudia las presiones ejercidas por los fluidos cuando están en reposo. Cuando se trata de líquidos se habla de hidrostática, y cuando se ocupa de los gases se denomina aerostática.

106 Unidad 4. La presión

En cualquier punto de un fluido en reposo siempre existe presión, como puede deducirse por el equilibrio de fuerzas: FA = FP

FA A

Fp

Los fluidos no solo ejercen presiones sobre las paredes y la base de los recipientes que los contienen, también lo hacen sobre cualquier punto de dicho fluido. Esto es fácil de entender. Imagina un punto A cualquiera del fluido en reposo, como el de la imagen. Sobre este punto existe una columna de fluido que ejerce una presión debido a su fuerza peso FP. Como el fluido está en reposo, debe existir una fuerza FA en la misma dirección y del mismo módulo a la fuerza peso, pero de sentido contrario, puesto que existe un equilibrio de fuerzas. Esta fuerza será pues la responsable de la presión en el punto A.

Vamos a seguir un razonamiento para encontrar la expresión matemática de la presión que sufre un objeto sumergido en un fluido, es decir, nos planteamos cuáles son las magnitudes de las que depende dicha presión. Primero calculamos la fuerza y a partir de ella, la presión.

En primer lugar, tenemos en cuenta un cilindro imaginario de líquido como el de la imagen, con una altura h y siendo S la superficie de la base. Este cilindro imaginario tiene un peso, que puede calcularse con la expresión que ya conoces: FP = mg En segundo lugar, necesitamos saber cuál es la masa de dicho cilindro, para lo cual acudimos a la expresión de la densidad d del líquido: m d= V De aquí podemos despejar la masa:

Actividad resuelta 2. Calcula la presión en el fondo de una alberca suponiendo que su profundidad es de 2 m.

Densidad del agua: 1000 kg/m3 Solución Basta con aplicar la expresión para la presión hidrostática: 2 kg m 3 kg · m · 9,8 · 2 m = 9,8 · 2 · 10 3 2 ms3 s2 m s kg 4 p = 19,6 · 103 → p = 1,96 · 10 Pa ms2

p = 103

m = V · d (masa del cilindro)

h

S

La presión en un fluido depende de la profundidad, de su densidad y de la aceleración gravitatoria.

A

Conocemos las dimensiones del cilindro, así que su volumen será: V = S · h (volumen del cilindro) Introducimos ahora el volumen del cilindro en la masa y luego en el peso: m = S · h · d → FP = S · h · d · g (peso del cilindro imaginario) Una vez calculada la fuerza peso del cilindro imaginario, se calcula la presión mediante la expresión del epígrafe anterior:

p=

FP

S

=

S hdg S

p = dgh (principio fundamental de la hidrostática) Por tanto, la presión que soporta cualquier punto de un fluido solo depende de la profundidad h a la que se encuentre, de la densidad d del fluido y de la aceleración gravitatoria g. A esta expresión se la conoce como principio fundamental de la hidrostática.

Actividades 5. ¿Por qué piensas que las presas se construyen más gruesas por la base que por la parte superior? Razónalo según la expresión matemática del principio fundamental de la hidrostática.

6. Calcula la presión hidrostática a 40 cm de profundidad en un recipiente lleno de aceite. Densidad del aceite: 918 kg/m3.

7. Calcula la masa de agua que hay en un depósito cúbico de 1 m de lado, así como el peso y la presión que soporta el fondo.

8. ¿Qué presión sufre un submarinista a 40 m de profundidad en el mar? Densidad del agua del mar: 1025 kg/m3.

Soluciones: 6. p = 3,6 · 103 Pa 7. m = 1000 kg; FP = 9800 N; p = 9800 Pa 8. p = 4,02 · 105 Pa Unidad 4. La presión 107

2.1. C onsecuencias del principio fundamental de la hidrostática

La paradoja hidrostática Una de las consecuencias del principio fundamental de la hidrostática es la paradoja hidrostática. Aunque los recipientes tienen distintas formas y volúmenes de líquido, la presión sobre un punto del fondo es la misma, puesto que esta depende solo de la densidad del líquido y de la profundidad, no de la forma del continente.

h

Los vasos comunicantes constituyen la otra gran consecuencia del principio fundamental de la hidrostática. Se trata de dos o varios recipientes conectados de algún modo, de forma que el fluido de su interior puede pasar de un recipiente a otro. En una situación de equilibrio, el fluido alcanzará la misma altura en todos los recipientes.

h

Paradoja hidrostática Presas

Dique

Agua

Sifón h1 p

h2 > h1

1

h2

p >p 2

1

p

2

En una presa, el grosor de muro de contención aumenta a medida que se acerca al fondo. Se debe a que la presión del fluido aumenta con la profundidad.

En su forma más general, un sifón es un sistema de conducto que trasvasa agua de un lugar a otro.

108

Unidad 4. La presión

Harriet Williams Russell Strong Harriet Williams (1844-1926) fue una activista social estadounidense, además de inventora.

Con menos de 40 años y tras quedar viuda con cuatro hijas a su cargo, comenzó a gestionar su finca en California. Fue pionera en la perforación de pozos artesianos para bombear agua.

Este tipo de pozos se comunican con un acuífero cautivo de agua desde el que asciende el líquido debido a la diferencia de presión. Llegó a conseguir una patente para la construcción de una presa y un depósito.

Otra de sus patentes consistía en un método para incautar escombros. Estas innovaciones permitieron, por ejemplo, la construcción de la presa Hoover, una de las más conocidas del mundo.

Pozos artesianos 6

3 4

3 7

5 2 1 2 1. Acuífero 2. Estratos impermeables 3. Zona de infiltración

4. Pozo artesiano 5. Nivel de saturación

6. Pozo subartesiano 7. Fuente artesiana

Actividades 9. ¿Por qué en los vasos comunicantes el líquido alcanza la misma altura?

Explícalo en función de una expresión algebraica.

10. Puedes ver en la siguiente ilustración un sifón invertido. Investiga en internet cuál es su utilidad.

h1 h2

Vista aérea de la Presa Hoover y el puente del río Colorado (Estados Unidos).

Unidad 4. La presión 109

3. EL PRINCIPIO DE PASCAL Es posible que alguna vez te hayas preguntado cómo funcionan los gatos neumáticos para levantar los coches en los talleres mecánicos o los frenos de los vehículos. La respuesta la encontramos gracias a la aplicación del conocido como principio de Pascal. Para entender en qué consiste vamos a realizar un experimento que puedes intentar en casa.

Con el martillo neumático se pueden ejercer grandes presiones sobre el asfalto para lograr levantarlo.

Llenamos un globo y una jeringuilla de agua y los acoplamos como en la imagen. Si practicamos varios orificios en el globo y presionamos el émbolo de la jeringuilla, observaremos que el agua sale por los orificios con la misma velocidad. Esto sucede porque la presión ejercida en un punto del líquido, debido a su incompresibilidad, se transmite a todos los puntos del líquido.

Incompresibilidad de los líquidos

Blaise Pascal, matemático, físico, filósofo y escritor francés (1623-1662).

Experimentamos Prensas hidráulicas El principio de Pascal afirma que si se ejerce una presión sobre un punto en un líquido en reposo, esta presión se comunica a todos los puntos del líquido por igual.

Si llamamos A y B a dos puntos cualesquiera de un líquido, la expresión matemática para el principio de Pascal es: pA = pB Se pueden realizar modelos de prensas hidráulicas y otros mecanismos con jeringuillas y tubos. Busca vídeos en Internet y realiza alguna construcción. Expón el resultado al resto de la clase.

110 Unidad 4. La presión

Puesto que la presión es la fuerza por unidad de superficie, podemos escribir el principio de Pascal de otra forma:

FA F = B SA SB

3.1. La prensa hidráulica Una de las aplicaciones técnicas del principio de Pascal es la prensa hidráulica. Consta de dos cavidades A y B separadas, pero comunicadas. Cada una de ellas se cierra mediante un émbolo móvil de superficies distintas (SA y SB). Si se aplica una fuerza en el émbolo de menor sección, se comunicará dicha fuerza al émbolo de sección mayor, incrementándose según el principio de Pascal de la siguiente forma:

pA = pB →

FA F S = B → FB = FA B SA SB SA En las chatarrerías se pueden encontrar máquinas hidráulicas que prensan el metal para que ocupe menos espacio.

Si nos fijamos en la expresión final, cuanto mayor sea la sección del émbolo B (SB) y menor la del A (SA), mayor será la fuerza FB que se obtendrá al aplicar la fuerza FA. En conclusión, se pueden conseguir grandes fuerzas a partir de pequeños esfuerzos, con una efectividad tanto mayor cuanto más grande sea la diferencia entre las superficies de los émbolos.

El elevador hidráulico funciona como la prensa hidráulica y sirve para elevar grandes masas, como vehículos en los talleres mecánicos.

La prensa hidráulica se usa para realizar grandes esfuerzos, por ejemplo para comprimir objetos.

Actividad resuelta 3. Una prensa hidráulica tiene secciones de 65 cm2 y 900 cm2.

Si depositamos un objeto de 8 kg sobre el émbolo pequeño, calcula: a) La fuerza que se ejerce en el émbolo pequeño.

Solución Basta con aplicar la expresión para la presión hidrostática: a) FA = mA · g = 8 kg · 9,8 m/s2 = 78,4 N → FA = 78,4 N

b) La fuerza que se comunica al émbolo mayor. c) La masa que puede elevarse.

b) pA = pB FB =

FA

→

SA

900 cm2 65 cm2

c) FB = mB · g

=

FB SB

→ FB =

SB

F → SA A

· 78,4 N → FB = 1085,5 N

→ mB =

mB = 110,8 kg

FB g

→ mB =

1085,5 N 9,8 m/s2

→

Unidad 4. La presión 111

Experimentamos Una prensa hidráulica casera

Podemos elaborar una prensa hidráulica con elementos sencillos. Basta una bolsa de basura grande y dos pupitres de la clase. Observa la imagen e intenta explicar cómo funciona.

Frenos hidráulicos Observa el esquema de funcionamiento de los frenos hidráulicos. Funcionan según el principio de Pascal. El pedal de freno hace el papel de émbolo pequeño, y la fuerza se multiplica cuando llega al disco de freno.

Líquido de frenos

Rueda

Pistón Pedal de frenos

Latiguillo Detalle del émbolo

Actividades 11. Mediante una fuerza de 20 N queremos conseguir una fuerza de 200 N. El émbolo pequeño de una prensa hidráulica tiene una superficie de 40 cm2. Calcula la superficie que debe tener el émbolo grande. ¿En qué lugar debe aplicarse la fuerza?

12. ¿Qué masa puede levantarse con un elevador hidráulico si se ejerce una fuerza de 50 N sobre el émbolo menor?

Las secciones de los émbolos son 50 cm2 y 800 cm2.

13. Investiga y explica qué tipos de presas existen según su estructura y diseño. ¿Qué función social cumplen las presas?

14. Busca información sobre el abastecimiento del agua en nuestro país. ¿Qué importancia tiene este abastecimiento?

Soluciones: 11. A = 400 cm2 12. m = 81,6 kg

112 Unidad 4. La presión

4. EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Peso en aire y en agua

Alguna vez habrás notado que al bañarte en la playa tu peso disminuye en el interior del agua. Vamos a realizar una sencilla experiencia para explicar esta situación desde el punto de vista científico. El material que vamos a necesitar es un dinamómetro, una probeta con agua, un banco de trabajo, una pesa y una pinza para sostener el dinamómetro. Solo debes seguir dos pasos: medir la fuerza peso en el aire (fuera del agua) y medir de nuevo la fuerza peso sumergiendo la pesa en el agua. Debes notar que el módulo de la fuerza peso FP en el aire y la fuerza peso FP’ en el agua son distintas. De hecho, en el agua es menor, por lo que se demuestra que la sensación de pérdida de peso en la piscina o la playa es real. También puedes observar que al introducir el cuerpo en la probeta el nivel del agua sube.

Esta pérdida aparente de peso se debe al empuje que realizan los fluidos a cualquier objeto que introduzcamos en ellos. Puesto que en el segundo caso la pesa está en equilibrio, si llamamos FE al empuje, FP a la fuerza peso real en el aire y F’P a la fuerza peso aparente en el líquido, tenemos la siguiente expresión según la resultante de las fuerzas:

FP

FP’

Aire

FE F’P

Agua

Al sumergir un cuerpo en agua se produce una pérdida aparente de peso.

F’P = FP – FE

FP

Arquímedes descubrió cómo calcular este empuje. Es lo que se conoce hoy como principio de Arquímedes.

El principio de Arquímedes establece que cualquier cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido sufre un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desplaza.

Según este principio tendremos que calcular el peso del fluido desalojado para saber el empuje que sufre un cuerpo sumergido en él: FP (fluido) = mfluido · g = Vfluido · dfluido · g Y puesto que FE = Fp (fluido) y prescindiendo de los subíndices pues sabemos que se refieren al fluido, el empuje sufrido por el cuerpo será: FE = V · d · g Debes tener en cuenta de aquí en adelante que el volumen V de esta expresión se refiere al volumen del fluido desalojado (Vf), que en realidad coincide con el volumen del cuerpo (Vc). La densidad d siempre se refiere a la densidad del fluido.

Unidad 4. La presión 113

Actividad resuelta

Actividad resuelta

4. Un cuerpo pesa 500 N en el aire y 400 N cuando se sumerge en agua. Calcula el empuje que sufre el cuerpo y su volumen.

5. Calcula el empuje que experimenta un cuerpo de 4 cm3 al introducirlo en agua de mar.

Solución

Solución Puesto que el volumen de agua desalojada coincide con el volumen del cuerpo:

F’P = FP – FE FE = FP – F’P = 500 N – 400 N = 100 N El volumen del cuerpo coincide con el volumen de agua desalojada (Vcuerpo = V = Vagua). Calcularemos dicho volumen despejando de la expresión vista anteriormente: m 100 kg 2 FE 100 N s = 10–2 m3 = = FE = Vdg → V =

3 3 kg m kg m dg 10 3· 9,8 10 3· 9,8 m s2 m s2

V (agua) = V (cuerpo) = 4 cm3 = 4 · 10–6 m3 d (agua mar) = 1,025 g/cm3 = 1,025 · 103 kg/m3 FE = Vdg FE = 4 · 10–6 m3 · 1,025 · 103

Por tanto:

kg m

3

· 9,8

m s2

F = 4,02 · 10–2 N E

4.1. Flotabilidad Como sabemos por cursos anteriores, los cuerpos flotarán o no en un fluido dependiendo de su densidad. La condición para que un cuerpo flote a partir de la densidad puede deducirse de la comparación del peso de dicho cuerpo con el empuje sufrido por parte del líquido. El cuerpo flotará si el empuje es mayor que el peso, estará en equilibrio si empuje y peso son iguales y se hundirá si el empuje es menor que el peso. Observa las siguientes imágenes y su razonamiento matemático para ver cómo se deducen las correspondientes condiciones de la densidad. Recuerda que el volumen sumergido del cuerpo Vc coincide con el volumen Vf de fluido desalojado.

Se hunde

En equilibrio

Flota

FE FE FE FE FE FE

Fp Fp Fp > FE mc · g > Vf · df · g Como Vc = Vf y mc = Vc · dc Vc · dc · g > Vc · df · g dc > df

114 Unidad 4. La presión

FE

Fp Fp

Fp

FE

FE

FE Fp Fp

FE FE

Fp

Fp Fp

Fp

Fp Fp = FE

Fp < FE

mc · g = Vf · df · g

mc · g < Vf · df · g

Como Vc = Vf y mc = Vc · dc Vc · dc · g = Vc · df · g dc = df El cuerpo se queda en posición de equilibrio allá donde se suelte.

Como Vc = Vf y mc = Vc · dc dc < df

Vc · dc · g < Vc · df · g

El cuerpo sube y sobresale por la superficie del agua de tal modo que el empuje sobre la parte sumergida iguale al peso del cuerpo, encontrándose así un equilibrio de fuerzas.

Actividad resuelta 6. En un vaso de precipitados hay 45 mL de agua y tras introducir una pieza de madera el volumen sube a 50 mL. Calcula el volumen sumergido de la pieza de madera y el peso de dicha pieza.

Solución V = V2 – V1 = 50 mL – 45 mL = 5 mL V = 5 mL = 5 · 10–3 L ·

1 dm3 10–3 m3 · = 5 · 10–6 m3 1 dm3 1L

Cuando la pieza está en reposo estamos ante una situación de equilibrio dinámico, es decir, el empuje coincide con la fuerza peso: FE = FP. Podemos calcular el empuje con el volumen sumergido:

Por el principio de Arquímedes, los barcos flotan más bajos en el agua cuando están muy cargados.

FE = Vdg FE = 5 · 10–6 m3 · 103 Por tanto:

kg m3 –2

FP = 4,9 · 10

· 9,8

m

s2

= 49 · 10–3

kg m

s2

= 4,9 · 10–2 N

Experimentamos Presión y flotabilidad

N V2 = 50 mL FE

V1 = 45 mL

V Fp

Actividades 15. Una pequeña bola de 2 cm de diámetro se cuelga de un dinamómetro y este ofrece una lectura de 0,5 N. Seguidamente se introduce en agua. Calcula la lectura del dinamómetro cuando la bola está sumergida en agua, así como el empuje que sufre.

16. ¿Cómo es posible que un tornillo se hunda y sin embargo los barcos, aún siendo de metal, floten?

17. Busca en la tabla de las densidades un líquido distinto al agua en el que flote la madera pero no el hierro. Explica tu razonamiento.

18. Una esfera de aluminio tiene un peso de 400 N en el aire y de 300 N en un líquido. Encuentra en la tabla de densidades de qué líquido se trata si la esfera tiene un volumen de 11,1 dm3.

19. Calcula el peso aparente de un objeto de cobre de 2 dm3 de volumen si se ha sumergido completamente en agua.

Soluciones: 15. FE = 0,041 N

F’P = 0,46 N

18. Aceite 19. F’P = 156 N

La vejiga natatoria permite a los peces variar su densidad para subir o bajar dentro del agua. Puedes construir un dispositivo que emule esta vejiga con una botella de agua, un tubo y un globo. Construye un dispositivo como el de la imagen.

Cuando la botella está llena de agua y el globo sin aire, dicha botella se va al fondo.

Cuando hinchas el globo sale parte del agua, un volumen igual al insuflado. Esta acción implica que la densidad del conjunto disminuye y el dispositivo sube.

Unidad 4. La presión 115

5. LA PRESIÓN ATMOSFÉRICA La rama de la ciencia que estudia la presión ejercida por los gases al ser fluidos y ejercer presiones debido a su peso se denomina aerostática.

La atmósfera es la capa de aire que envuelve la Tierra. Se trata de un fluido y, como tal, tiene un peso y ejerce una presión sobre los objetos que hay en su interior.

La presión atmosférica es la presión aerostática que ejerce la atmósfera sobre los cuerpos que están en su interior por tratarse de un fluido.

La densidad del aire no es uniforme ni respecto a la altura ni de un día para otro. Esto significa que no podemos calcular la presión con la expresión p = dgh, pero sí podemos medirla. Para entenderlo fíjate en el conocido experimento de Torricelli.

Experimentamos

¿

Experimento para comprobar la presión atmosférica

Sabías que...?

Un globo aerostático es una aeronave aerostática no propulsada que se sirve del principio de los fluidos de Arquímedes para volar, entendiendo el aire como un fluido.

Están compuestos por una bolsa que encierra una masa de gas más ligero que el aire y de ahí que se conozcan popularmente como globo. El gas puede ser el mismo aire, pero calentado mediante algún foco térmico, puesto que el aire caliente es menos denso que el frío.

En la parte inferior de esta bolsa puede ubicarse una estructura sólida denominada barquilla. Como no tienen ningún tipo de propulsor, los globos aerostáticos se “dejan llevar” por las corrientes de aire, aunque existen algunos tipos que pueden controlar su elevación.

Para comprobar que el aire ejerce una presión puedes realizar en clase un sencillo experimento. Lo único que necesitas es un listón de contrachapado (como una regla) y una hoja de papel de periódico o un A3. Se coloca el listón en una mesa de forma que sobresalga un poco. Si golpeas el listón, este sale despedido. Pon ahora sobre el listón el papel de periódico. Una vez construido el sistema, se golpea con fuerza el listón por la parte sobresaliente. Debe ser un golpe rápido y seco. Comprobarás que la regla probablemente se rompa. ¿Por qué? Pues porque la atmósfera ejerce más presión en el segundo caso, es decir, cuando está el papel, pues la superficie de contacto (el periódico) es mucho mayor.

116 Unidad 4. La presión

5.1. La experiencia de Torricelli Evangelista Torricelli fue la primera persona en demostrar la existencia de la presión atmosférica. Para ello rellenó de mercurio un largo tubo sellado por uno de los extremos. A continuación, le dio la vuelta tapando con el dedo la parte abierta, para que no se saliese el mercurio. Introdujo el tubo en una cubeta con mercurio y quitó el dedo cuando el extremo libre estaba ya dentro del mercurio. Lo que ocurrió fue que parte del mercurio, no todo, salió del tubo. De hecho, quedó una columna de 760 mm de altura. Esto se debe a que la columna de mercurio ejerce una presión sobre el mercurio (punto B) igual a la presión que ejerce la propia atmósfera sobre los puntos A y C. Así pues, el mercurio no terminó de salir debido a que la presión ejercida por el aire (presión atmosférica) lo impide, y desciende hasta que las presiones del mercurio y del aire se igualan.

La experiencia del tubo de mercurio Se da la circunstancia de que PA = PB = PC, es decir, se trata de la presión atmosférica.

76 cm C

A B

Puesto que la densidad del mercurio es conocida, podemos calcular la presión sobre el punto B, que es la misma que la presión atmosférica:

kg m · 9,8 2 · 7,6 · 10–1 m = 3 m s kg 5 = 1,36 · 9,8 · 7,6 · 104 · 10–1 2 = 1,013 · 10 Pa m · s

pB = d · g · h = 1,36 · 104

Recuerda El experimento de Torricelli se puede usar para medir la presión atmosférica. Al subir el sistema a una montaña, la columna de aire baja, puesto que la presión es menor (menor altura de columna de aire que se soporta). Al bajar el sistema, la columna sube (mayor altura de la columna de aire que se soporta).

Este valor encontrado por Torricelli recibe el nombre de presión atmosférica normal y corresponde a la unidad de presión: pa = 1,013 · 105 Pa = 1 atm = 760 mmHg Es muy habitual ofrecer la presión atmosférica en milibares. Si miras los factores de conversión correspondientes a la presión en los anexos, puedes comprobar que la presión atmosférica normal corresponde a 1013 milibares (mbar). Además, hay que tener en cuenta que todos estos valores se obtienen a nivel del mar y disminuyen a medida que aumenta la altitud.

1 atm = 1013 mbar Unidad 4. La presión 117

¿

Sabías que...?

Presión atmosférica

Pascal envió a su cuñado Florin Périer a subir el Puy de Dône, un volcán situado en el sur de Francia, para comprobar la propuesta de Torricelli de que el aire influye en la presión. Para ello se llevó un barómetro y midió la presión a distintas alturas.

Presión atmosférica y altitud La presión atmosférica depende de la altura, a mayor altitud, menor presión atmosférica.

El peso del aire de la columna aplica una presión sobre la superficie Presión atmosférica

20 000

15 000

h (m)

Tope de la atmósfera 1 atm = 1013 mb 760 mmHg

El peso del aire de la columna es menor

0,887 atm = 808,4 mb 674 mmHg

La presión atmosférica depende de la altura

10 000

5000

0 0

200

400

600

800

1000

1200

p (hPa)

Experimentamos El experimento de la lata Un experimento muy habitual para observar la presión atmosférica es el de la lata.

Solo necesitas una lata de refresco, una pinza, un recipiente con agua fría y un mechero bunsen.

1. Vacía por completo la lata y rellena el fondo con un poco de agua, solo un par de cucharadas soperas.

2. Calienta la lata sosteniéndola con las pinzas. Ten la precaución de direccionar la boquilla de la lata hacia donde no haya nadie.

3. Espera unos minutos hasta que veas que sale un poco de vapor de agua al comenzar a hervir el agua que hay dentro.

4. En cuanto veas que el vapor de agua sale con violencia y de forma homogénea, vuelca con rapidez la lata sobre el recipiente con agua, girándola y haciendo que la boquilla quede en la parte inferior.

118 Unidad 4. La presión

5. Observarás que la lata implosiona, es decir, colapsa sobre sí misma. El vapor de agua hace que el aire que hay en la lata salga de ella, y llega un momento en que en la lata solo hay vapor de agua. Al introducir la lata en agua fría se enfría con rapidez, por lo que el vapor de agua se convierte en agua líquida, creando un vacío en la lata. Al no haber aire en la lata la presión externa es muy superior a la interna, haciendo que la lata colapse.

5.2. Los hemisferios de Magdeburgo En 1656, el físico alemán Otto von Guericke ideó una forma de poner de manifiesto el gran poder de la presión atmosférica. Construyó una esfera que podía dividirse en dos hemisferios, algo parecido a los huevos sorpresa con los que jugábamos en nuestra infancia. Tenía un diámetro de 50 cm, una capacidad de 60 litros y estaban construidas en cobre y con dos argollas en polos opuestos. Una vez acopladas las semiesferas se le extraía el aire con la ayuda de una bomba de vacío y una válvula diseñada para tal efecto. Ambos hemisferios estaban acoplados por un aro de cuero, para que el aire no volviese a entrar. El experimento de Guericke consistía en intentar separar las esferas. Sabía que era prácticamente imposible, pues al extraer el aire del interior, la presión atmosférica del exterior apretaba con fuerza un hemisferio contra el otro. Demostró que ningún ser humano podía separarla con sus propias manos, así que llegó a situar a ocho caballos tirando de cada lado y solo consiguieron separarlo después de mucho tiempo y con un gran estruendo. Sin embargo, las esferas podían separarse con facilidad una vez abierta la válvula. El nombre del experimento hace alusión a la localidad en la que vivía Otto, Magdeburgo (Alemania).

Los hemisferios empleados por Guericke se hicieron muy populares en las clases de física como ejemplo del poder de la presión del aire y todavía se usan en entornos educativos.

Actividades 20. Calcula qué altura tendrá la columna de mercurio en un día cuya presión, según has leído en Internet, será de 1030 mbar. Expresa el resultado en milímetros.

21. ¿Es realmente cierto que la densidad del aire es constante con la altura? ¿Por qué crees que es así?

22. Realiza un cálculo estimativo del peso de la columna de aire que soporta una persona adulta. Para ello, utiliza la presión atmosférica como dato y como superficie puedes tomar la circunferencia de la cabeza vista desde arriba.

23. ¿Por qué en la experiencia de Torricelli la columna de mercurio no desciende por completo?

24. Calcula la altura que alcanzaría la columna en la experiencia de Torricelli si se cambia el mercurio por agua.

Solución: 20. 773 mm 22. FP = 2,4 · 103 N 24. h = 10,3 m Unidad 4. La presión 119

5.3. Meteorología La meteorología es la ciencia que se encarga de estudiar la atmósfera y los fenómenos meteorológicos, con los cuales se puede determinar el tiempo atmosférico. Para describir el estado de la atmósfera, suelen estudiarse las siguientes variables: temperatura, presión atmosférica, viento, radiación solar, humedad y precipitación. Para medir estas variables se usan distintos instrumentos meteorológicos que suelen agruparse en una estación meteorológica.

Instrumentos meteorológicos 1.

4.

2.

5.

3.

6.

1. Veleta: sirve para medir la dirección del viento.

2. Termómetro: mide la temperatura. Existen de máximas y mínimas diarias, además de temperaturas del momento.

3. Anemómetro: mide la velocidad del viento, expresada en m/s o km/h.

4. Pluviómetro: mide la cantidad de agua que ha caído en un lugar, en milímetros de altura alcanzados.

5. Barómetro: mide la presión atmosférica, expresada en mmHg o mbar.

6. Higrómetro: mide el grado de humedad del aire.

Los vientos

Tipos de aire y brisas

El viento no es más que el movimiento de aire de una zona a otra, normalmente producida por la diferencia de presión o temperatura entre los dos puntos extremos. El aire se mueve de zonas de alta presión a zonas de baja presión. Si es la diferencia térmica la responsable del viento, es porque una masa de aire alcanza una temperatura superior a la de su entorno, por lo que disminuye su densidad (aumenta su volumen) y asciende a zonas más altas. Este es el origen de las tormentas de verano.

Los tipos de viento más comunes son: **Brisas de mar: durante el día la tierra se calienta con más rapidez

que el mar (el calor específico del agua es superior), así que el aire del interior asciende y el espacio que deja es ocupado por el aire fresco que proviene del mar. Por la noche ocurre lo contrario.

**Brisas de montaña y valles: durante el día se calienta con rapidez

el aire de los valles, por lo que tiende a ascender. Cuando cae la noche, se enfría el aire de las zonas altas y cae a los valles.

**Vientos locales: se trata de vientos que se producen solo en una

zona determinada debido a las características geográficas y orográficas de la zona. En España son muy conocidos los siguientes vientos: ábrego, cierzo, galerna, levante, poniente o terral.

120 Unidad 4. La presión

Los mapas del tiempo Es importante que sepamos interpretar un mapa del tiempo, pues se trata de una información que a diario puedes consultar en la televisión, periódicos e Internet. Para interpretar un mapa del tiempo hay que analizar tres elementos: isobaras, centros de acción y frentes. **Las isobaras son líneas que unen puntos con igual presión. La diferencia entre isobara e isobara es de 4 mb, y la separación entre isobaras se conoce como gradiente de presión. A menor gradiente de presión (isobaras más juntas) tendremos mayores velocidades. **Los centros de acción se identifican con las letras A (anticiclón) y B (borrasca). Si la presión es mayor que 1013 mbar tendremos un anticiclón (centro de alta presión); si la presión es menor que 1013 mbar tendremos una borrasca (centro de baja presión). En el hemisferio norte la dirección del viento es en sentido horario para anticiclones y en sentido antihorario para borrascas. **Los frentes son masas de aire a distinta temperatura en movimiento. En un frente frío (representado con una línea azul que contiene triángulos) una masa de aire frío desplaza hacia arriba a una masa de aire cálido, la cual se enfría al ascender y produce nubosidad. En este caso desciende la temperatura y se producen fuertes vientos y precipitaciones en forma de tormenta. En un frente cálido (representado con una línea roja que contiene semicírculos) una masa de aire cálido asciende por encima de una masa de aire frío, haciendo que este retroceda. En este caso aumenta la temperatura y puede dar lugar a alguna precipitación al inicio del frente. También puede darse el caso de frente ocluido (cuando un frente frío alcanza un frente cálido) y frente estacionario (choque entre dos masas de aire en las que ninguna tiene fuerza para desplazar a la otra).

Los mapas meteorológicos nos ofrecen una representación sencilla de la situación del tiempo actual o que se prevé en una zona geográfica determinada.

Actividades 25. Investiga en qué zonas de España se producen cada uno de los vientos locales citados en el texto. ¿Se produce alguno de ellos en la zona donde vives?, ¿hay algún viento en tu localidad que no esté nombrado aquí?

26. Interpreta el mapa de isobaras de esta página.

27. ¿Qué relación existe entre la presión atmosférica con los vientos y los frentes?

Tipos de frentes meteorológicos

AIRE MÁS CALIENTE

AIRE MÁS CALIENTE 19º AIRE MÁS FRÍO 12º

22º 20º

15º

33º

21º

14º 10º

34º

22º

13º 11º

26º

33º

31º

35º 30º

32º

13º 25º

Frente frío

Frente caliente

26º 21º

25º AIRE MÁS FRÍO 27º 24º 23º

AIRE FRÍO

AIRE CALIENTE AIRE FRÍO AIRE MÁS FRÍO

Frente ocluido

AIRE CALIENTE

AIRE FRÍO

Frente estacionario Unidad 4. La presión 121

Actividades de consolidación 1. Calcula la presión de los siguientes prismas sobre la superficie en la que descansan.

m1 = 5 kg

a) Sobre sus pies, suponiendo que tienen una superficie de 200 cm2 cada uno.

m3= 2 kg r = 5 cm

m2 = 1500 g

5. Calcula en tu cuaderno la presión ejercida por una esquiadora de 50 kg:

b = 5 cm a = 2 cm

L = 5 dm

b) Sobre los esquís, suponiendo que tienen una superficie de 1500 cm2 cada uno.

6. Una mesa de 40 kg se sostiene sobre tres patas cilíndricas cuya base es de 20 cm de diámetro. Calcula la presión que ejerce cada pata. ¿Qué presión harían si ponemos una cuarta pata?

7. Determina la superficie que debe tener el émbolo grande de una prensa hidráulica para obtener una fuerza de 1000 N a partir de una de 20 N. La sección del émbolo pequeño es de 10 cm2.

2. La superficie de la punta de un clavo es 0,01 mm2. Calcula la presión que ejerce al aplicar sobre su cabeza una fuerza de 120 N. 3. Al duplicar la arista de un cubo pero manteniendo la masa, ¿qué ocurrirá con la presión que ejerce sobre las caras al apoyarlo en una superficie?

8. Colocamos sobre el émbolo menor de una prensa hidráulica un peso de 2000 N. Si la superficie del émbolo mayor es 4 veces más grande que el pequeño, ¿qué fuerza se consigue sobre el émbolo mayor?

9. Es muy común que los depósitos de agua que abastecen a las viviendas suelan ubicarse en zonas muy elevadas, tal como puedes ver en esta imagen de forma esquemática. ¿Por qué crees que es así?

4. Observa estas imágenes en las que se da un golpe a una puntilla por un lado y por otro. Explica, en función de alguna fórmula estudiada, por qué se clava por una parte y no por otra.

10. ¿Cuál es el peso aparente de una barra de hierro de 1 dm3 de volumen si se introduce en agua? La densidad del hierro es 7900 kg/m3.

11. Una roca tiene una masa de 250 g y un volumen de 45 cm3. Calcula en tu cuaderno: a) El peso de la roca. b) El empuje que sufre al sumergirlo en agua. c) El peso aparente al estar sumergido por completo en agua.

12. Se introduce un trozo de corcho en un recipiente relleno con 50 mL de agua, obteniéndose una lectura de 56 mL tras introducir el corcho. Calcula el volumen de corcho sumergido y el empuje que sufre.

122 Unidad 4. La presión

13. Se introducen en agua tres cuerpos, obteniéndose estos datos: Cuerpo A B C

Masa (g) 200 80 60

Volumen (cm3) 50 85 25

22. Se cuenta que Pascal reventó un tonel vertiendo agua con una jarra, tal como puedes ver en esta imagen. ¿Cómo fue posible?

a) Copia la tabla en tu cuaderno e incluye una columna con las densidades. b) Incluye una columna en la que indiques SÍ si el cuerpo se hunde y NO si el cuerpo flota. c) Calcula la fuerza de empuje que sufre cada cuerpo y escríbela en otra columna.

14. Al introducir en cierto líquido un cilindro de material desconocido de 2 cm de radio y 5 cm de altura se aprecia que solo se hunde hasta una altura de 3 cm. Si la densidad del líquido es de 1,1 g/cm3, calcula la fuerza de empuje y la densidad del cilindro.

15. Busca información y explica con detalle el funcionamiento de los barómetros y los manómetros. ¿Cuáles son sus aplicaciones prácticas?

16. Tras realizar el experimento de Torricelli observamos que la columna de mercurio alcanza una altura de 746 mm. ¿Cuál es la presión atmosférica en el punto de medida?

Exprésala en mmHg, Pa y atmósferas.

17. Hacemos una lectura de un barómetro para registrar datos meteorológicos e indica 750 mmHg. Tras ascender cierta altura su lectura cambia a 745 mmHg. Calcula los metros que hay de un lugar a otro suponiendo que la densidad del aire es constante e igual a 1,29 kg/m3.

18. Busca información sobre qué es y cómo funciona un altímetro.

19. ¿Por qué se abren con menor dificultad los tarros envasados al vacío si se les practica un orificio o se introduce un cuchillo por un lateral de la tapa?

20. Existen unos percheros que se pueden pegar a la pared con una ventosa, ¿qué explicación le encuentras a esto desde el punto de vista de la presión?

21. En el artículo “La tortura del bebedor avaricioso”, de la web científica Naukas (https://eugenio.naukas. com/2018/11/07/298/) puedes leer la historia de la copa de Tántalos, que tiene relación con el sifón. Lee el texto e intenta construir una copa similar en casa.

23. Explica en tu cuaderno razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) La unidad de presión en el SI es kg/m. b) Con el principio de Arquímedes podemos explicar el funcionamiento de los frenos hidráulicos. c) Sumergidos en agua tenemos la sensación de ser más ligeros. d) La presión que un cuerpo sufre en el interior de un líquido depende de su masa. e) Los cuerpos se hunden en los líquidos cuando su densidad supera a la de dicho líquido. f) La altura de la columna de mercurio en la experiencia de Torricelli depende de la anchura de dicha columna.

24. El mar Muerto es un lago situado entre Israel, Jordania y Palestina. Su nombre se debe a que la vida es imposible en él debido a su alta salinidad. Esta salinidad hace que la densidad sea muy elevada, tanto que las personas flotan con facilidad en su superficie, alcanzando más de 1240 kg/m3. Calcula el empuje que sufre un prisma de 2 cm de lado y 2 kg de masa. ¿Cuál es su peso aparente? Repite los cálculos para agua destilada.

25. Piensa en los frentes de aire y relaciónalos con las siguientes frases: a) En una casa de dos plantas, al poner la chimenea en la planta de abajo, se calienta la de arriba. b) En una casa de dos plantas, al poner el aire acondicionado en la planta de arriba, se enfría la de abajo.

Unidad 4. La presión 123

Esquema de la unidad LA PRESIÓN DEFINICIÓN

p=

PRINCIPIO DE PASCAL

EXPERIENCIA DE TORRICELLI

PA = PB

Presión atmosférica

F S Prensa hidráulica

76 cm C

A B

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA

PRINCIPIO DE ARQUÍMIDES

F'P = FP – FE

p = dgh

d

Vasos comunicantes

FE = Vdg

Flotabilidad Paradoja hidrostática

FE FE FE

g

FE

Fp Fp

Fp Fp

Fp

FE FE FE Fp

FE Fp Fp

124 Unidad 4. La presión

Fp

FE

FE Fp

Competencias clave La balanza hidrostática La balanza hidrostática es un dispositivo utilizado para determinar densidades. Es parecida a una balanza normal, aunque los platillos se encuentran situados a alturas diferentes. Para encontrar la densidad de un cuerpo se siguen los siguientes pasos: 1. Se cuelga el cuerpo que vamos a medir de uno de los platillos. En el ejemplo se utiliza una esfera de metal.

3. Se introduce el cuerpo en una probeta con agua, produciéndose un desequilibrio.

4. Se ponen pesas en el platillo del cuerpo, hasta alcanzar de nuevo el equilibrio. La masa introducida coincide con la masa de agua desalojada (magua).

magua mcuerpo mcuerpo

cuerpo a medir

2. Se equilibra el peso del cuerpo poniendo pesas en el otro platillo hasta tener la misma masa del cuerpo (mcuerpo).

5. Puesto que el volumen del cuerpo Vc coincide con el del agua (Vc = Va), el cual se calcula con la expresión da = ma/Va, ahora es fácil determinar la densidad del cuerpo a partir de la expresión dc = mc/Vc.

Cuestiones propuestas 1. ¿En qué principio de los estudiados en la unidad se basa la balanza hidrostática? Escribe el enunciado general de dicho principio.

2. ¿Puede calcularse el empuje que sufriría un cuerpo de 100 g introducido en el agua de la balanza hidrostática?

3. Dibuja un diagrama de fuerzas en el que aparezca el peso de un cuerpo, el empuje y el peso aparente de dicho cuerpo, antes de equilibrar la balanza.

4. Calcula la densidad del cuerpo de 100 g si la masa de agua desalojada es 80 g.

5. Si este cuerpo hubiese sido introducido en alcohol, ¿qué masa de este habría desalojado?

Densidad del alcohol = 0,79 g/cm .

3

6. La balanza hidrostática también puede usarse para medir la densidad de líquidos, ¿se te ocurre de qué modo?

7. En vez de medir la masa de agua desalojada, ¿piensas que se puede medir el volumen de agua desalojada? Indica cómo y con qué material.

8. Realiza una lista de materiales comunes con los que puedes construir una balanza hidrostática.

9. Construye, en un grupo de cuatro miembros, una balanza hidrostática, fotografía todo el proceso y graba un vídeo con un ejemplo real. Presenta el resultado en formato audiovisual.

10. Investiga qué otros modos de medir la densidad existen y realiza un pequeño informe sobre ello.

Unidad 4. La presión 125

Competencias clave Una ‘U’ muy equilibrada Si colocas un líquido en un tubo con forma de U, alcanzará la misma altura en ambas ramas. Si tomas dos puntos a la misma altura como referencia (A y B), puedes comprobar que sucede esto una vez el líquido está en equilibrio dinámico (imagen 1). Sin embargo, se da la circunstancia de que si viertes dos líquidos inmiscibles se alcanzarán distintas alturas en cada una de las ramas. Obsérvalo en la imagen 2: las alturas h1 y h2 son distintas.

Esta situación se debe a que las densidades de los líquidos son distintas. Para que la columna esté en equilibrio las dos columnas deben tener el mismo peso, por lo que el líquido de menor densidad ha de alcanzar mayor altura. Dicho de

h B

A

otro modo, para que se produzca el equilibrio, las presiones en A y en B deben ser idénticas. Procura seguir el razonamiento matemático siguiente: pA = pB → d1 · g · h1 = d2 · g · h2 → d1 · h1 = d2 · h2 A partir de esta expresión se le puede sacar partido al problema del tubo en U para líquidos inmiscibles. Solo necesitas tres datos, quedando así una sola incógnita. Por ejemplo, podemos calcular la densidad de uno de los líquidos sabiendo la densidad del otro y las alturas que se alcanzan dentro del tubo.

h2 B

Imagen 1

A

h1

Imagen 2

Cuestiones propuestas 1. ¿Por qué en el caso de tener un único líquido la altura de las ramas es idéntica?

6. Realiza un dibujo que represente los datos de la cuestión anterior.

2. ¿Qué principio estudiado en la unidad se aplica en el razonamiento matemático? Escribe el enunciado general de dicho principio.

7. Busca un tubo de plástico y construye un tubo en U. Introduce agua por un lado y aceite por otro, teniendo cuidado al verterlos para no mezclarlos. ¿Se aprecia mucha diferencia de altura? ¿Por qué?

3. Supón que no conocemos la densidad d2. Encuentra una expresión matemática para calcularla.

4. Explica qué material utilizarías y cómo realizarías el montaje para calcular la densidad d2 de la pregunta anterior.

Debes indicar claramente cuáles son los datos conocidos y qué debes medir.

5. Imagina que utilizas mercurio y un líquido de menor densidad desconocida. Las alturas respectivas son 2 y 5 cm.

Calcula la densidad del líquido de densidad desconocida.

126 Unidad 4. La presión

8. Si la densidad de uno de los líquidos es el doble que la densidad del otro y atendiendo a la igualdad marcada en el texto, ¿qué se deduce de las alturas?

9. Si tenemos un tubo de 2 cm de radio y una columna de 3 cm de mercurio, ¿qué altura alcanzará la otra rama si lo que hay es agua? Recuerda que los pesos deben ser iguales.

10. Busca información en Internet acerca de los manómetros en U. ¿Qué son? ¿Cómo funcionan?

La unidad en 10 1. Calcula la presión que ejerce un cuerpo de 5 kg si se apoya completamente en las siguientes superficies: a) Un cuadrado de 2 cm de lado. b) Un círculo de 2 cm de diámetro. m = 5 kg FP = m · g = 49 N a) S = 4 · 10−4 m2 p=

FP S

=

49 N 4 · 10–4 m2

→ p = 1,2 · 105 Pa

b) S = r · r2 = r · (10−2 m)2 = 3,1 · 10−4 m2 F 49 N p= P = → p = 1,6 · 105 Pa S 3,1 · 10–4 m2

preguntas Esto significa que si se ejerce una fuerza sobre una superficie pequeña, dicha fuerza se multiplicará en superficies mayores.

6. ¿Qué principio relacionado con la hidrostática explica que al apretar el émbolo de una jeringuilla el líquido salga por la aguja?

Se trata del principio de Pascal, pues afirma que al ejercer presión sobre un punto de un líquido en reposo dicha presión se comunicará a todos los puntos del líquido por igual. Y uno de los puntos, obviamente, es el lugar por donde sale el líquido, es decir, la aguja.

7. Un cuerpo macizo de 2 kg y 3 cm3 de volumen, ¿se hunde o flota en agua? Razónalo.

2. Explica de qué variables depende la presión hidrostática que sufre un cuerpo en el interior de un líquido. Indica el nombre de la ley que utilizas y escribe su expresión matemática.

Debemos calcular la densidad y compararla con la del agua.

2 kg m d= = = 6, 7 ·10 5 kg/m 3 v 3 ·10 -6 m 3

La presión que sufre un cuerpo en el interior de un líquido depende de la profundidad a la que se encuentre, de la densidad del líquido y de la aceleración gravitatoria. Se trata del principio fundamental de la hidrostática: p = dgh.

La densidad es muy superior a la del agua (103 kg/m3), por lo tanto se hundirá.

3. Observa la siguiente imagen y trata de explicarla en función de lo que has aprendido en esta unidad.

Según el principio fundamental de la hidrostática, la presión de un fluido aumenta con la profundidad. Por eso el chorro de abajo alcanza más distancia, puesto que sufre más presión y sale con mayor velocidad.

4. ¿Cuál es la razón por la que las bolsas de los goteros de suero se coloquen en alto? ¿Le encuentras alguna relación con el abastecimiento de agua en los hogares?

Las bolsas se colocan en alto para que la presión del peso del suero facilite la entrada por la vía hacia el torrente sanguíneo, del mismo modo que los depósitos de agua se sitúan en zonas más altas que las viviendas para lograr que circule por los grifos.

5. ¿Cómo funciona la prensa hidráulica? ¿En qué principio se basa su funcionamiento?

El funcionamiento de la prensa hidráulica se basa en el principio de Pascal: la presión en un punto de un fluido se transmite por igual a cualquier otro punto del fluido.

8. Calcula el empuje que sufre un cuerpo de 700 N de peso si su peso aparente al ser sumergido por completo en agua es de 650 N. ¿Cuál es su volumen en dm3?

FE = FP - Fl P = 700 N - 650 N " FE = 50 N F 50 N FE = V · d · g " V = E = = d· g kg m 10 3 3 · 9, 8 2 m s -3 3 3 = 5, 1·10 m " V = 5, 1dm 9. ¿Cuál es la principal consecuencia del experimento de Torricelli? ¿Qué materiales utilizó para su experimento?

Torricelli logró demostrar que la atmósfera ejerce presión y, además, pudo calcularla. Usó un recipiente lleno de mercurio y un tubo también lleno de mercurio, pero abierto en un extremo.

10. ¿Qué nombre reciben las masas de aire que se mueven por causa de la diferencia de temperatura? ¿Qué dos tipos principales existen y cómo se mueven? ¿Hay más tipos?

Las masas de aire en movimiento por la distinta temperatura reciben el nombre de frentes. En los frentes fríos, las masas de aire frío desplazan hacia arriba las masas de aire caliente. En los frentes cálidos ocurre lo contrario, es decir, una masa de aire cálido sube por encima de las masas de aire frío. También figuran los frentes ocluidos y los frentes estacionarios.

Unidad 4. La presión 127