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2 Evolución de los modelos atómicos
26 Se realiza un lanzamiento oblicuo en la superficie de la
Luna con una velocidad de 50 m/s que forma un ángulo de 20° con la horizontal. Calcula la altura máxima y la distancia alcanzada. (Dato: gL = 1,63 m/s2). Solución: ymáx = 89,1 m; x = 987 m. 27 Se lanza un objeto con una velocidad inicial tal que sus componentes son: v0x = 60 m/s y v0y = 80 m/s. Calcula: a) La altura máxima alcanzada. b) El alcance máximo. Solución: a) ymáx = 325, 9 m; b) xmáx = 984 m. 28 Un pastor lanza una piedra con una honda y alcanza un objetivo que está a 250 m en la horizontal del lugar del lanzamiento. Si el ángulo de salida fue de 45°, calcula la velocidad de lanzamiento. Halla también la altura máxima alcanzada y el tiempo de vuelo. Solución: v0 = 49,5 m/s; ymáx = 62,4 m; t = 7,2 s. 29 Una pulga es capaz de saltar en horizontal hasta 30 cm.
Suponiendo que haya efectuado el salto con una velocidad cuya dirección forma un ángulo con la horizontal de 45º, ¿con qué velocidad se impulsó en el salto? Solución: v0 = 1,72 m/s. 30 En una competición universitaria, un lanzador de martillo ha alcanzado la distancia de 65,10 m. Suponiendo que la bola sale con un ángulo de 45°, calcula la velocidad de lanzamiento y la aceleración centrípeta a que estaba sometida la bola en el momento de ser lanzada si el radio de la circunferencia descrita medía 1,15 m. Solución: v0 = 25,27 m/s; ac = 555 m/s2 . 31 Una pelota rueda por un tejado inclinado 30° respecto a la horizontal y, al llegar a su extremo, a 30 m de altura, queda en libertad con una velocidad de 9 m/s. a) Calcula la ecuación de la trayectoria. b) Si la anchura de la calle a la que vierte el tejado es de 30 m, ¿llegará directamente al suelo o chocará antes en la pared opuesta? c) ¿Qué tiempo tarda en llegar al suelo? d) ¿Cuál es la velocidad en ese momento? Solución: a) y = 30 – 0,58 · x – 0,08 · x 2; b) Llega al suelo; c) t = 2,05 s; d) v = 26 m/s. 32 Se lanzan unas llaves desde 10 m de altura con una velocidad v0 = 1,2 m/s formando un ángulo de –20° con la horizontal. Calcula: a) La ecuación de la trayectoria. b) La posición de las llaves al segundo del lanzamiento. c) El tiempo que tarda en impactar con el suelo. d) El alcance máximo. e) La velocidad en el momento de llegar al suelo. Solución: a) y = 10 – 0,36x – 3,84x 2; b) r(1) = (1,13 i + 4,68 j) m; c) t = 1,39 s; d) xmáx = 0,61 m; e) v = 14,1 m/s. 33 Una chica intenta sacar una pelota por encima de una valla impulsándola desde el suelo. La chica se encuentra a 6 m de la valla y la altura de esta es de 3 m. Si la lanza desde el suelo con un ángulo de 60°, calcula la velocidad con que debe impulsarla para que pase por encima. Solución: v0 = 9,78 m/s. 34 Un jardinero quiere regar la copa de un árbol situada a 5 m de altura. Para ello dirige el agua, que sale a 15 m/s de la manguera, cuya boca está situada a 1 m del suelo, con un ángulo de 60°. ¿A qué distancia de la vertical de la copa del árbol se debe situar?
Solución: x = 17,14 m. 35 Una lanzadora de jabalina realiza un lanzamiento oblicuo de 50° respecto a la horizontal, a una altura, en el momento de soltar la jabalina, de 1,85 m. Si el tiempo que tarda la jabalina en clavarse en el suelo es de 3,5 s, halla: a) La velocidad con la que se realizó el lanzamiento. b) El tiempo que se tarda en alcanzar la altura máxima. c) La altura máxima que alcanza la jabalina. Solución: a) v0 = 21,8 m/s; b) t = 1,7 s; c) ymáx = 16,0 m. 36 En las fiestas de tu pueblo, desde una carroza que se mueve con una velocidad constante de 1,5 m/s, lanzas caramelos en la dirección y el sentido del movimiento, con una velocidad de 10 m/s y un ángulo de 40° desde una altura de 3 m. Calcula, respecto a un observador situado en el suelo de la calle: a) La ecuación de la trayectoria de los caramelos. b) El tiempo que tardan en llegar al suelo. Solución: a) y = 3 + 0,696 · x – 0,058 · x 2; b) t = 1,7 s. 37 En un partido de baloncesto una jugadora se levanta a 8 m de la canasta y lanza el balón desde una altura de 2,25 m con un ángulo de 45° sobre la horizontal. a) Si el aro está situado en el punto (8, 3) m, ¿con qué velocidad debe realizar el lanzamiento para encestar? b) ¿Qué tiempo tarda el balón en llegar a la canasta? Solución: a) v0 = 9,4 m/s; b) t = 1,2 s. 38 Desde un avión, en vuelo horizontal a 150 m de altura, se suelta un paquete cuando lleva una velocidad de 125 m/s. a) ¿Qué tiempo tarda el paquete en llegar al suelo? b) ¿Dónde cae, visto desde un observador en tierra? c) ¿Dónde cae respecto al piloto del avión? d) Calcula el vector velocidad del paquete a los 3 s de soltarlo.
Solución: a) t = 5,53 s; b) x = 691 m; c) x = 0 m; d) v = (125 , –29,43) m/s. 39 Se lanza horizontalmente una flecha desde 1,60 m sobre el suelo. La flecha toca el suelo a 10 m. ¿Con qué velocidad ha salido, si se supone nulo el rozamiento del aire? Solución: v0 = 17,5 m/s.
ACTIVIDADES
40 A un chico que va en bicicleta a 22 km/h, se le cae el móvil desde 1,30 m de altura. ¿Con qué velocidad llega al suelo? Solución: v = 7,96 m/s. 41 El alcance máximo en el lanzamiento horizontal con velocidad v0 y altura y0 es: x máx = √ 2y0 g
v0
Indica a qué altura debe volar un avión con velocidad v0 = 130 km/h para dejar un paquete a xmáx = 150 m. Solución: y0 = 84,64 m. 42 Desde una ventana situada a 9 m de altura sobre el suelo se lanza una pelota con una velocidad de 10 m/s, de cinco formas distintas: 1) Verticalmente hacia arriba. 2) Verticalmente hacia abajo. 3) Con una inclinación hacia arriba respecto a la horizontal de 30°. 4) Con una inclinación hacia abajo respecto a la horizontal de 30°. 5) Horizontalmente. a) Ordena las velocidades (en módulo) de llegada al suelo de mayor a menor. b) Indica el orden de llegada al suelo (g = 10 m/s2).
Solución: a) Iguales, v = 16,73 m/s; b) t1 = 2,67 s t2 = 0,67 s, t 3 = 1,93 s, t 4 = 0,93 s, t 5 = 1,34 s. 43 En una garrafa de plástico llena de agua hasta una altura h, se hacen tres agujeros con un punzón. La velocidad de salida del agua es v = √ 2 g p , donde p es la profundidad del agujero. Calcula en el caso indicado en la figura 9.30: a) Las velocidades de salida del agua por cada uno de los agujeros. b) El alcance de cada uno de los chorros.
v1
h 3/4 h 1/2 h 1/4 h
v2
v3
x1
Figura 9.30.
El agua sale a distinta velocidad según la altura.
x2
Solución: a) v1 = √ g · 2 h , v2 = √gh , v3 = √ 3gh 2 ; b) x1 = x3 = 0,87 · h; x2 = h.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
44 Un satélite de comunicaciones gira en torno a la Tierra a 40 000 km de su centro. Si tiene la misma velocidad angular de rotación que nuestro planeta, determina su velocidad lineal de rotación referida al centro de la Tierra en m/s y km/h. ¿Cuál es su aceleración centrípeta? Solución: v = 2 908,84 m/s = 10 472 km/h; ac = 0,21 m/s2 . 45 Si el radio terrestre correspondiente al Ecuador es de 6 400 km, determina la velocidad angular de rotación de la Tierra y la velocidad lineal de un punto del Ecuador. Solución: ω = 7,27 × 10–5 rad/s; v = 465,28 m/s. 46 Un automóvil toma una curva de 60 m de radio a una velocidad de 144 km/h. Expresa, en función de g, la aceleración centrípeta a que está sometido un ocupante del automóvil.
Solución: ac = 2,72 · g. 47 Entrenan a los astronautas sometiéndolos a aceleraciones de varias g. Si un astronauta va dentro de una cabina que describe una circunferencia de 6 m de radio y la aceleración centrípeta es ac = 10 g, calcula la velocidad angular, la velocidad lineal, el período y la frecuencia de rotación del mismo. Solución: ω = 4,04 rad/s; v = 24,24 m/s; T = 1,56 s; f = 0,64 Hz. 48 Una máquina radial gira a 2400 vueltas por minuto. Si se desprende una partícula del borde del disco que tiene un diámetro de 10 cm, ¿con qué velocidad tangencial sale despedida?
Solución: v = 12,6 m/s. 49 Cada 40 s, un ciclista completa una vuelta en un velódromo circular de 70 m de radio. Si el diámetro de las ruedas de su bicicleta es de 90 cm, calcula: a) La velocidad lineal del ciclista. b) La velocidad angular en rad/s. c) Las vueltas que da cada rueda para completar el circuito. d) La velocidad angular de las ruedas. e) ¿Cuáles son el período y la frecuencia de rotación de las ruedas?
Solución: a) v = 11 m/s ; b) ω = 0,16 rad/s; c) N = 156 vueltas; d) ω = 7,8 π rad/s; e) T = 0,26 s, f = 3,8 Hz. 50 Suponiendo la órbita de la Luna circular, de radio 380000 km y cuyo período es de 27,32 días, ¿cuál es la aceleración centrípeta a que está sometida la Luna? Solución: ac = 2,69 × 10–3 m/s2 . 51 El radio de las ruedas de un vehículo que marcha a 108 km/h mide 0,32 m. Calcula: a) La velocidad angular de las ruedas. b) La frecuencia de rotación de estas. c) Las vueltas que da cada una en 5 minutos. Solución: a) ω = 93,75 rad/s; b) f = 14,92 Hz; c) N = 4476 vueltas.
52 Una rueda que gira a razón de 15 vueltas/s adquiere una velocidad angular de 40 vueltas/s en 8 s. Calcula: a) La aceleración angular supuesta constante. b) El número de vueltas dadas en ese tiempo. Solución: a) α = 6,25π rad/s2; b) N = 220 vueltas.
53 Un volante de 10 cm de radio gira en torno a su eje a razón de 5 vueltas/s. Si en 5 s se le frena y se para, calcula: a) El número de vueltas que da el volante hasta pararse. b) Las componentes intrínsecas de la aceleración en un punto de su periferia en el instante en que la rueda acaba de dar 2 vueltas.
Solución: a) α = –2π rad/s2; N = 12,5 vueltas; b) at = –0,63 m/s2; ac = 82,90 m/s2 . 54 Un móvil describe una circunferencia de 60 cm de radio.
Partiendo del reposo se mueve con una aceleración angular constante de 0,5 rad/s2 durante 6 s. Calcula: a) La aceleración centrípeta en ese tiempo y la aceleración tangencial. b) El valor de la aceleración total en ese instante. Solución: a) ac = 5,40 m/s2; at = 0,3 m/s2; b) a = 5,41 m/s2 .
55 Una centrifugadora desde el reposo alcanza, en 6 s, el régimen estable con velocidad de 45000 vueltas/min. Calcula la relación entre la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial una vez que la centrifugadora ha alcanzado el régimen estable.
Solución: ac /at = 28 274,33. 56 El tren de un parque de atracciones circula por una vía circular de 24 m de radio. Partiendo del reposo, alcanza los 20 km/h al acabar la segunda vuelta. A partir de este momento mantiene la velocidad constante durante siete vueltas. El tren acaba el viaje parando en la última vuelta.
Calcula: a) Aceleración angular en la primera fase del movimiento. b) Aceleración angular de frenado en la última vuelta. c) Aceleración centrípeta en el tramo que realiza con velocidad constante. d) Tiempo que dura el viaje. e) Haz una gráfica ω (rad/s) – t (min) del viaje. Solución: a) α1 = 2,10 × 10–3 rad/s2; b) α3 = –4,21 × 10–3 rad/s2; c) ac = 1,27 m/s2; d) t = 5,93 min.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
57 Deduce la ecuación del movimiento de la proyección sobre el eje x de un móvil que sigue un movimiento circular uniforme con velocidad angular ω, en el supuesto de que se empezase a contar tiempo (t = 0 s) cuando el móvil lleve recorrido un ángulo φ0. 58 La ecuación de un movimiento armónico simple es: x (t) = A cos ω t
¿Cuál será la ecuación de la velocidad y la aceleración de este movimiento?
59 Un caballito de un tiovivo sube y baja con un movimiento armónico simple, de amplitud 0,5 m y período 6 s. Calcula: a) La frecuencia del movimiento. b) La frecuencia angular del movimiento. c) La aceleración máxima del movimiento. Solución: a) f = 0,17 Hz; b) ω = 0,34 π rad/s; c) amáx = 0,059 π 2 m/s2 . 60 Un movimiento armónico simple tiene una amplitud de √ 3 m y su aceleración es a = –100 · x m/s2. Escribe la ecuación del movimiento, si cuando t = 0, x = + √ 3 m. Solución: x = √ 3 cos (10 t ). 61 La ecuación de un movimiento armónico simple es la siguiente: x = 0,04 cos (5 t + π/2) en unidades del SI. a) ¿Cuánto vale la velocidad máxima? b) ¿En qué posición la velocidad es cero? Solución: a) vmáx = 0,2 m/s; b) x = ±0,04 m. 62 La ecuación de un movimiento armónico es, en unidades del SI:
x = 0,5 cos (8π t) ¿Cuánto valen la velocidad y la aceleración máximas? Solución: vmáx = 4 π m/s; amáx = 32 π 2 m/s2 . 63 La corriente alterna que llega a los hogares, cuyo valor máximo es de 311 V, cambia el voltaje armónicamente con una frecuencia de 50 Hz. Escribe la ecuación del movimiento armónico simple que representa estos cambios de sentido y represéntala en una gráfica V-t. Solución: V = 311 cos (100 π t).
64 Calcula la amplitud, la frecuencia angular, el período y la frecuencia de un movimiento armónico simple de ecuación (en unidades SI): x = 2 π cos π t
Representa esta ecuación en una gráfica x-t. Solución: A = 2 π m; ω = π rad/s; T = 2 s; f = 0,5 Hz
© de esta edición: Grupo Editorial Bruño, S. L., 2022
Juan Ignacio Luca de Tena, 15 28027 Madrid
