Operación mundo: Matemáticas 1 ESO (muestra)

muestra IN

PRO CLUYE DIGYI ECTO TAL

1 ÁTICAS ESO

MATEM

telu A., Ignacio Gaz ., J ra le o C José ra C. Ramón Cole

O peración ANDALUCÍA

mundo

¿Qué vamos a aprender?

BLOQUE I Números naturales y enteros

PÁGINA

Entrénate resolviendo problemas

10

1

Los números naturales

24

2

Potencias y raíces

46

3 Divisibilidad

62

Los números enteros

82

4

Los números

5 decimales

El sistema

BLOQUE II Números decimales y fracciones

BLOQUE III Geometría

BLOQUE IV Tratamiento de la información

126

7 Las fracciones

144

Operaciones

Producción y consumo responsable

Cosas de economía

108

158

9

Proporcionalidad y porcentajes

174

10

Álgebra

192

11

Rectas y ángulos

12

Figuras geométricas

238

13

Áreas y perímetros

264

14

Gráficas de funciones

286

15

Estadística

302

Trabajo decente y crecimiento económico

Partimos los grupos Alianzas para lograr los objetivos

Los números enteros Alianzas para lograr los objetivos

Alimentación y consumo Energía sostenible

Comunicación y medida Alianzas para lograr los objetivos

Lenguaje y pensamiento Educación de calidad

Juntos y diversos Reducción de la desigualdad

Plantear y resolver cuestiones, en las que aparezcan las fracciones Salud y bienestar

Lenguaje y pensamiento

220

SABERES BÁSICOS • ¡Ten muy claro el enunciado!

• Haz un dibujo

Proyectos y planificación

6 métrico decimal

8 con fracciones

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE • ODS

Industria, innovación e infraestructura

Las herramientas de medición de ángulos en distintas profesiones Industria, innovación e infraestructura

La belleza matemática de los mosaicos Industria, innovación e infraestructura

Estrategias para resolver problemas de áreas sombreadas Educación de calidad

Las gráficas de funciones al servicio de la medicina Salud y bienestar

Sondeos para explorar nuestro entorno Educación de calidad

• Sistemas de numeración • Algunas técnicas de conteo • Potencias • Potencias de base 10. Aplicaciones • La relación de divisibilidad • Los múltiplos y los divisores de un número • Números positivos y negativos • El conjunto de los números enteros • Sumas y restas de números enteros

• Estructura de los números decimales • Suma, resta y multiplicación de números decimales • Las magnitudes y su medida • El sistema métrico decimal • El significado de las fracciones • Relación entre fracciones y decimales • Reducción a común denominador • Suma y resta de fracciones • Relación de proporcionalidad entre magnitudes • Problemas de proporcionalidad directa • Letras en vez de números • Expresiones algebraicas • Ecuaciones

• Elementos geométricos básicos • Dos rectas importantes • Ángulos • Polígonos y otras figuras planas • Simetrías en las figuras planas • Triángulos • Cuadriláteros • Medidas en los cuadriláteros • Medidas en los triángulos

• Coordenadas cartesianas • Puntos que transmiten información • Proceso para realizar un estudio estadístico • Frecuencia y tablas de frecuencias

PORFOLIO • Haz una buena planificación • Representa los datos esquemáticamente

• Procede sistemáticamente • Tantea

• Los números grandes • Aproximación de números naturales

• Operaciones básicas con números naturales • Expresiones con operaciones combinadas

• Operaciones con potencias • Raíz cuadrada

Elegir un proyecto y planificar su financiación

Planificar un método de ahorro utilizando recursos de la unidad

• Números primos y compuestos • Descomposición de un número en sus factores primos

• Mínimo común múltiplo • Máximo común divisor

Elegir un conjunto de elementos y elaborar un informe sobre las posibilidades de dividirlo en paquetes

• Sumas y restas con paréntesis • Multiplicación y división de números enteros

• Operaciones combinadas • Potencias y raíces de números enteros

Idear una situación en la que se usen los números positivos y negativos

Muco

MÁS QUE MATES

• División de números decimales • Raíz cuadrada y números decimales

Hacer un informe de un producto

• Unidades de medida en las magnitudes básicas • Cantidades complejas e incomplejas • Cambios de unidad • Medida de la superficie

Reunir información sobre las unidades de medida

• Fracciones equivalentes • Algunos problemas con fracciones

Pensar, desarrollar y explicar una situación, en la que se muestre la utilidad de los números decimales y de las fracciones

• Multiplicación y división de fracciones • Operaciones combinadas

• Algunos problemas con fracciones

Plantear y resolver cuestiones en las que aparezcan las fracciones

• Problemas de proporcionalidad inversa • Porcentajes

• Aumentos y disminuciones porcentuales

Idear un contexto en el que intervengan tres magnitudes ligadas por relaciones de proporcionalidad

• Primeras técnicas para la resolución de ecuaciones • Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

• Resolución de problemas mediante ecuaciones

Investigar sobre los elementos que componen torres y generalizar los resultados usando herramientas algebraicas

Muco

MÁS QUE MATES

• Medida de ángulos • Operaciones con medidas angulares • Relaciones angulares

• Ángulos en los polígonos • Ángulos en la circunferencia

• Polígonos regulares y circunferencias • Triángulo cordobés y figuras relacionadas con él • Teorema de Pitágoras

• Aplicaciones del teorema de Pitágoras • Cuerpos geométricos • Poliedros • Cuerpos de revolución

Cómo rellenar el plano con polígonos regulares

• Medidas en los polígonos • Medidas en el círculo

• El teorema de Pitágoras para el cálculo de áreas

Resolver problemas de áreas sombreadas

Muco

MÁS QUE MATES

• Puntos que se relacionan • Interpretación de gráficas

• Funciones lineales.

Representación y ecuación

• Gráficos estadísticos • Parámetros estadísticos

• Parámetros de posición

Muco

Situarnos en un mapa con la ayuda de una brújula

MÁS QUE MATES

Analizar una hoja clínica e intentar sacar consecuencias

Encuesta: ¿Cuánto te gusta Elvis Presley?

1

Los números naturales 12. Producción y consumo responsable

24

Situación de aprendizaje

Proyectos y planificación

El entorno en el que vivimos nos coloca, constantemente, frente a múltiples opciones o alternativas, tanto en el terreno material, como en el afectivo, como en el intelectual, etc.

Nuestros deseos, nuestras ilusiones, nuestros proyectos..., forman parte de nuestras vidas y nos piden, continuamente, ir tomando decisiones.

Y esas decisiones demandan, en muchos casos, una planificación.

Te mostramos, más abajo, un ejemplo sencillo de un contexto en el que conviene planificar utilizando los números naturales y sus operaciones, y en el que podrás reconocer los intereses de cual­ quier chico o chica de tu edad.

A..

PROP

UEST

Te pediremos que pienses en una situación similar a la que se expone a continuación, o mejor, en un proyecto que tengas en mente, real o imaginado (una compra, un viaje, una acción solidaria, un regalo...) y que planifiques su financiación.

Al final del tema encontrarás una guía para realizar este trabajo, pero te sugerimos que, antes de abordarla, busques tus propias soluciones y después las compares con las que allí se ofrecen.

....

Ponte en situación con lo que ya sabes

Imagina que una de tus amigas es aficionada al monopatín, y que quiere cambiar su tabla por otra de gama más alta, que cuesta 165 € y que ve cada día al volver del colegio en el escaparate de una tienda de deportes. Pero como solo tiene 96 € en su hucha, necesita hacer un recuento de sus ingresos y gastos y planificar la forma de ahorrar lo que le falta.

Atendiendo a este caso, supón que maneja estos datos: Ingresos

Gastos

• Paga semanal → 15 €

• Salir con la pandilla → entre 5 € y 10 € semanales

• Las propinas por hacer recados → 20 € al mes

• Otros gastos (chuches, tebeos, etc.) → 6 €/semana

1 ¿Cuánto puede ahorrar, como mínimo, a la semana?

2 Entre los gastos, ¿cuáles consideras prescindibles? ¿Cuál es el máximo que podría

ahorrar suprimiéndolos?

3 Ahorrando el máximo que has calculado en la cuestión anterior, ¿cuántas semanas

tardaría en tener lo suficiente para el nuevo monopatín?

4 Piensa un plan intermedio que permita conseguir el objetivo en 10 semanas.

25

1

Sistemas de numeración Los números naturales (1, 2, 3, …) surgieron de la necesidad de contar, y su re­ presentación evolucionó adaptándose a cada momento cultural e histórico.

Las personas en la prehistoria ya utilizaban algunas técnicas para contar: compa­ raban con los dedos, hacían muescas en un cayado, ensartaban cuentas en una cuerda, etc.

Este hombre primitivo ha escrito el nú­ mero 47. ¿Sabrías decir el valor de cada símbolo?

A medida que la sociedad evolucionaba, se hizo necesario manejar cantidades grandes y representarlas de una forma práctica. Así, aparecieron en distintas cul­ turas los sistemas de numeración.

Los símbolos utilizados para representar los conteos, junto con sus normas de uso, forman un sistema de numeración.

El sistema de numeración egipcio Los antiguos egipcios utilizaban los símbolos siguientes:

Aquí aparece escrito el número 1 333 331.

1

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

palo

asa

cuerda

flor

dedo

rana

hombre

La norma para escribir un número era sencilla: se iban añadiendo (sumando) los símbolos necesarios hasta completar la cantidad deseada.

A los sistemas de numeración, como el egipcio, en que se van añadiendo símbo­ los y sumando su valor, los llamamos sistemas aditivos.

El sistema de numeración maya 0 1

2

3

4

5

7

8

9

6

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

El pueblo maya, en la actual Guatemala y en el sur de México, antes de la lle­ gada de Colón al continente americano, usaba solo tres símbolos para escribir los números: (0)

(1)

(5)

En los números menores de 20, como puedes ver a la izquierda, el sistema era aditivo. Hasta aquí, el primer nivel. Para escribir números mayores, se superpo­ nían otros niveles, con los mismos símbolos, pero multiplicando su valor por 20 al subir cada escalón.

Segundo nivel (× 20) → Primer nivel (× 1) →

20

21

27

36

40

100

137

Como ves, un símbolo tiene diferente valor según el nivel en que se encuentre, característica de los sistemas de numeración posicionales. Es decir, el sistema maya era en parte aditivo y en parte posicional.

26

1

El sistema de numeración decimal Recuerda

Un número se puede descomponer se­ gún sus órdenes de unidades y según el valor de posición de cada cifra: 27 473

• Se definen órdenes de unidades: unidades, decenas, centenas…

• Diez unidades de un orden hacen una unidad del orden inmediato superior.

• El valor de una cifra depende del lugar que ocupe (sistema de tipo posicional).

2 DM →

20 000

7 UM →

7 000

4C→

400

7D→

70

3U→

El sistema de numeración que utilizamos actualmente es el decimal. Consta de diez símbolos o cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y se rige por estas normas:

+

Veamos un ejemplo: umm

cm

dm

um

c

d

u

4

7

8

4

3

0

4

↓ 4 000 000 U

3

27 473

↓ 4 000 U

↓ 4U

La cifra 4 tiene diferente valor según el orden de unidades que ocupa.

Para fijar ideas

1 Situándote en el sistema de numeración decimal:

a) ¿Cuántas decenas hacen 3 millares?

Ayuda CM DM UM

b) ¿Cuántas centenas hacen una decena de millar? c) ¿Cuántas centenas hay en 5 unidades de millón?

1 Escribe en el sistema de numeración egipcio los números

19, 65, 34 120 y 2 523 083.

C

× 10

1

D

U

× 10

0

0

1 UM = 100 D

5 Completa en tu cuaderno.

a) 500 D = … C = … UM

2 En un sistema aditivo se utilizan estos símbolos:

b) 3 000 C = … UM = … DM c) 6 UM = … C = … D

1

5

10

100

Escribe, basándote en él, los números 7, 12, 84 y 126.

3 Traduce al sistema decimal los siguientes números del

sistema maya:

d) 8 CM = … DM = … D 6 ¿Verdadero o falso?

a) Si cambias de lugar las cifras, cambia el valor del número. b) Si añades un cero a la derecha de un número, su valor se multiplica por 10. c) Si añades un cero a la izquierda de un número, el valor se divide entre 10.

4 Añade cuatro elementos por la derecha y otros cuatro

elementos por la izquierda a esta serie de números del sistema maya:

d) Medio millar equivale a 5 decenas. e) Mil millares hacen un millón.

7 Un número tiene cinco cifras que suman 5. Si intercam­

bias las unidades con las unidades de millar, aumenta en 999. ¿Qué número es?

27

2

Algunas técnicas de conteo Utilizamos los números naturales para contar. Pero sabemos que los conteos solo se hacen, de uno en uno, en situaciones muy sencillas. Cuando se complican usamos estrategias que los hacen más rápidos y eficaces.

Repasemos algunas técnicas de conteo:

Recuentos de datos |Ejemplo nerea

6

A la izquierda tienes los resultados de la votación para la elección de delegado en una clase de 1.° ESO.

celia

13

Observa que:

aitor

9

• En la clase, entre chicas y chicos, son 28.

• Celia ha obtenido 4 votos más que Aitor.

Tablas y operaciones |Ejemplo La tabla recoge datos relativos a la distribución de dos grupos de 1.° ESO y otros dos de 2.° ESO en un centro de secundaria.

Ten en cuenta

1.° A

Recuerda el significado de estos símbolos:

14

Femenino →

13

1.° B 0

12

13

2.° A 0

11

16

2.° B 1

12

Masculino →

Observa que:

Transgénero →

• En primer curso hay 52 personas, y en segundo, otras 52.

12

0

• En total contamos 49 chicas, 54 chicos y una persona que no desea ser con­ tabilizada en ninguno de esos dos grupos.

Ramificaciones en árbol |Ejemplo 1.ª bola

2.ª bola

queda

En una urna hay tres bolas de diferentes colores (rojo, azul y amarillo). Se propo­ ne la experiencia: sacar sucesivamente dos bolas.

• Supón que realizamos la experiencia seis veces y nos preguntamos: ¿En cuántas de ellas, teóricamente, debería quedar la roja en la urna? ¿Y si realizamos la experiencia 30 veces?

Nos apoyamos en un diagrama como el que aparece a la izquierda (diagrama en árbol) en el que se estudian todas las posibilidades.

Vemos que, teóricamente, la bola roja quedará en la urna dos de las seis veces.

Y si realizamos la experiencia 30 = 6 · 5 veces, teóricamente la roja quedará en la urna, 2 · 5 veces.

28

1

1 Marta, desde su ventana, ha anotado, para un trabajo de

clase, el color de los coches que han pasado frente a su casa durante media hora.

Pero, por un descuido, jugando, su hermano pequeño le ha borra­ do algunos datos.

Blanco

12

Negro

3

3 Supón un árbol en el que, año tras año, de cada rama

salen dos, y en el que cada extremo produce una flor.

año 3

año 2 año 1

Gris

año 0

Rojo Azul

10

Amarillo

3

Verde Otros

15

total

82

• Copia la tabla e intenta completar los datos que faltan.

2 Luis se prepara para un viaje y ha metido en su maleta

• ¿Cuántas flores mostraría en el sexto año? ¿Y en el décimo? ayuda:

Años

1

2

3

4

…

Flores

2

2·2=4

4·2=8

8 · 2 = 16

…

4 Tenemos una urna con cuatro bolas, tres azules y una

roja, y se propone la experiencia: Sacar sucesivamente dos bolas.

unas deportivas, unos zapatos de vestir, dos pantalones, dos camisas y dos niquis.

1

2

3

a) ¿Qué posibilidad hay de que queden en la urna dos bolas de distinto color? a) ¿De cuántas formas podrá elegir mañana su atuendo, usando prendas de la maleta?

b) ¿Y de que las dos bolas que queden sean del mismo color? nota: Te ayudará hacer y observar un esquema ramifica­

do, como el de la actividad anterior.

1

b) ¿Y si, en lugar de dos pantalones, llevara tres? c) Y si, atendiendo al calzado, ¿tenemos en cuenta, ade­ más, las zapatillas que llevaba puestas al salir de casa?

2

3

3

2

2

2 3

1

3

3

1

3

1 3

1

2

2

1

1

2

3

1

2

1

1

2

3

3

2

c) Y si en vez de sacar dos bolas se sacan tres, ¿qué posi­ bilidad crees que hay de que las tres sean azules?

29

3

Los números grandes Muchas cantidades y datos superan las nueve cifras: el número de habitantes de la Tierra (7 900 000 000), los segundos que tiene un siglo (3 153 600 000), los kilómetros de un año luz (9 460 800 000 000)…

millones

c

1

3

8

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

miles de

millares

1

millones

…

billones

El sistema de numeración decimal permite representar cantidades tan grandes como deseemos. Aquí tienes algunos órdenes para números con más de 9 cifras, junto a algunos ejemplos: d

u

Ten en cuenta

Aunque no es muy habitual, a los mi­ les de millones también se los llama millardos.

También se designan con el prefijo giga: 1 000 000 000 bytes = 1 gigabyte

El universo se originó El cerebro de una persona La Tierra tiene un volumen hace trece mil ochocientos joven tiene unos cien mil aproximado de un billón de millones de años. millones de neuronas. kilómetros cúbicos.

• Un millón ↔ Un 1 seguido de 6 ceros.

• Un billón ↔ Un millón de millones. ↔ Un 1 seguido de 12 ceros.

• Un trillón ↔ Un millón de billones. ↔ Un 1 seguido de 18 ceros.

1 Lee las primeras líneas de esta página. Después, escribe

cómo se leen:

a) El número de habitantes de la Tierra. b) El número de segundos de un siglo. c) El número de kilómetros que tiene un año luz.

2 Escribe con cifras.

a) Veintiocho millones trescientos cincuenta mil. b) Ciento cuarenta y tres millones. c) Dos mil setecientos millones. d) Dieciséis gigas. e) Un billón y medio. f ) Quince billones trescientos cincuenta mil millones.

30

3 Copia en tu cuaderno y completa.

a) Mil millares hacen un… b) Mil millones hacen un… c) Un millón de millares hacen un… d) Un millón de millones es un…

4 El cuerpo humano tiene entre diez y setenta millones de

millones de células. Expresa esas cantidades en billones.

5 ¿Cómo leerías el número expresado por un 1 seguido de

16 ceros?

6 Las científicas y los científicos calculan que los mares y

los océanos de la Tierra contienen tres cuatrillones de kilogramos de agua. ¿Qué crees que es un cuatrillón?

1

4

Aproximación de números naturales Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil de recordar e incómodo para operar. Por eso, lo solemos sustituir por otro más manejable de valor aproxima­ do, terminado en ceros. Por ejemplo: ¿Cuántos miles de millones de euros serán, aproximadamente?

En España circulan 31 853 000 billetes de 500 €.

31 853 000 × 500 = 15 926 500 000 Son, aproximadamente, dieciséis mil millones.

La forma más frecuente y práctica de realizar aproximaciones es el redondeo.

Para redondear un número a un determinado orden de unidades: • Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.

• Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco, se suma una uni­ dad a la cifra anterior.

Para fijar ideas

1 Completa para aproximar el número 384 523 a las centenas de millar, a

las decenas de millar y a los millares. centenas de millar decenas de millar 3 83 348 854 425 532 23 3 8 ≥ 85 ≥8 5≥ 5 cm ... ...0...00 00 00 00 00 0

+1 +1+1

millares

dm4 < 45 <45< 5 ... ...0... 00 00 00 00 0

+1 +1+1 um 5 ≥ 55 ≥5 5≥ 5

1 Redondea a los millares estos números:

a) 24 963

b) 7 280

c) 40 274

b) 828 502

c) 359 481

d) 99 834 d) 29 935 236

3 Lee esta noticia y aproxima el número de turistas a los

millones y el gasto a los miles de millones:

... ......0 00 00 00 0

4 Aproxima a los millones por redondeo.

2 Aproxima a las centenas y decenas de millar.

a) 530 298

Aproximación del número 52 722:

– A las decenas de millar → 50 000 3 83 348 854 425 532 23 3– A los millares → 53 000

3 83 348 854 425 532 23 3 = = =

Ayuda

a) 24 356 000

b) 36 905 000

c) 274 825 048

5 A continuación, puedes ver varias aproximaciones al pre­

cio de un piso en venta:

SE VENDE 138 290 €

138 000 € 138 300 € 140 000 €

a) ¿Cuál es más cercana al precio real? b) ¿Cuál te parece más adecuada para una información coloquial, si no se recuerda la cantidad exacta?

6 Un ayuntamiento ha presupuestado 149 637 € para re­

habilitar un área deportiva. ¿Qué cifra darías para comu­ nicar este dato en una conversación informal?

31

5 AFORO: 25 342 localidades Localidades ocupadas Gradas este: 11 576 Gradas oeste: 9 006

Operaciones básicas con números naturales Aunque ya sabes operar con números naturales, conviene que hagamos un rápido repaso de algunos conceptos y propiedades.

La suma y sus propiedades Recuerda que sumar es unir, juntar, añadir.

Por ejemplo, si queremos saber el número de personas que hay en el campo de fútbol que se ve en el margen, debemos hacer una suma: 11 576 + 9 006 = 20 582 La suma cumple las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa

• Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

34 + 16 = 16 + 34 50

a+b=b+a

50

• Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

Propiedad asociativa

(a + b) + c = a + (b + c)

(18 + 3) + 17 = 18 + (3 + 17) 21 + 17

18 + 20

38

38

La resta y sus relaciones con la suma Recuerda que restar es quitar, suprimir, hallar lo que falta o lo que sobra; es decir, calcular la diferencia.

Por ejemplo, para saber cuántas localidades vacías hay en el partido mencionado antes, tenemos que realizar una resta: 25 342 – 20 582 = 4 760

Recuerda

Observa, además, que 25 342 = 20 582 + 4 760 y que 20 582 = 25 342 – 4 760.

25 342 ← Minuendo (M ) – 20 582 ← Sustraendo (S )

M =S +D Relaciones entre la suma y la resta: M – S = D → * S=M –D

4 760 ← Diferencia (D )

1 Calcula.

3 Transforma.

a) 254 + 78 + 136

b) 340 + 255 – 429

a) Esta suma en una resta: 48 + 12 = 60

c) 1 526 – 831 + 63

d) 1 350 – 1 107 – 58

b) Esta resta en una suma: 22 – 2 – 6 = 14

2 Estima la respuesta y compruébala después.

Carmen compra un bolso de 167 €, una gabardina de 235 € y un pañuelo de 32 €. ¿Cuánto se ha gastado? a) Se ha gastado alrededor de 350 €. b) Se ha gastado, más o menos, 450 €. c) Se ha gastado alrededor de 550 €.

32

4 Si Alberto tuviera 15 años más, aún sería 18 años más

joven que su tío Tomás, que tiene 51 años. ¿Cuál es la edad de Alberto?

5 Si comprara solo una lavadora, me sobrarían 246 €, pero

si comprara también un televisor, me faltarían 204 €. ¿Puedes decir el precio de alguno de estos artículos?

1

La multiplicación y sus propiedades Recuerda que multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma repetida de sumandos iguales.

Por ejemplo, si una entrada para el partido de fútbol de la página anterior costaba 35 €, la recaudación por las 20 582 entradas vendidas sería: 35 + 35 + 35 + … + 35 = 35 · 20 582 = 720 370 €

Cálculo mental

16 × 55

20 582 veces

8 × 2 × 5 × 11

La multiplicación cumple las siguientes propiedades: • Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores. a·b=b·a • Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independien­ te de la forma en que se agrupen los factores. (a · b) · c = a · (b · c) • Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando. a · (b + c) = a · b + a · c a · (b – c) = a · b – a · c

88 × 10 880 La propiedad asociativa nos permite reagrupar los términos, y la conmutati­ va, cambiarlos de orden.

Este ejemplo te ayudará a comprender el significado de la propiedad distributiva:

35 · 7 + 35 · 3 = 35 · (7 + 3) 245 + 105

35 · 10

350

350

En una peña de amigos y amigas, compraron el jueves 7 entradas para el partido, y el viernes, 3 entradas más para los rezagados. ¿Cuál fue el coste de las entradas?

Podemos calcular de dos formas el coste de las entradas: gasto de 7 entradas + gasto de 3 entradas ↔ gasto de (7 + 3) entradas 35 · 7 + 35 · 3 = 35 · 10

6 Completa en tu cuaderno.

× 2

9 Multiplica mentalmente por 9 y por 11 como se hace

5

+ 9 0 1 2 6 0

9 8 × 2 8 7 4

+

2 9 9 3 4

7 Recuerda que para multiplicar por 10, por 100, por

1 000… se añaden uno, dos, tres… ceros. a) 19 · 10 b) 12 · 100 c) 15 · 1 000

d) 140 · 10

e) 230 · 100

f ) 460 · 1 000

8 Expresa con una igualdad aritmética:

Multiplicar un número por ocho es lo mismo que multiplicarlo primero por diez y después restarle su doble. ¿Qué propiedad se aplica en esta igualdad?

en los ejemplos.

• 23 · 9 = 23 · 10 – 23 = 230 – 23 = 207 • 23 · 11 = 23 · 10 + 23 = 230 + 23 = 253 a) 12 · 9

b) 25 · 9

c) 33 · 9

d) 12 · 11

e) 25 · 11

f ) 33 · 11

10 ¿Cuántas vueltas da en un cuarto de hora una rueda

que gira a razón de 1 500 revoluciones por minuto? ¿Y en una hora? ¿Y en hora y media?

11 Una agricultora tiene una huerta con 200 melocoto­

neros. Calcula que con cada árbol llenará siete cajas de cinco kilos de melocotones. ¿Qué beneficio obtendrá si vende toda la producción a 2 € el kilo?

33

5

Operaciones básicas con números naturales

La división Recuerda dos de las situaciones que resuelve la división y que aparecen frecuen­ temente en los problemas aritméticos: • Se han gastado 5 625 metros cúbicos de agua para regar un parque durante 15 días. ¿Cuántos metros cúbicos se han gastado cada día?

5625 112 075 00

15 375

⎯→

5 625 : 15 = 375 m3 cada día

Dividir es repartir un todo entre varios, en partes iguales, para averiguar cuánto le toca a cada uno.

• El riego de un parque supone un gasto diario de 375 metros cúbicos de agua. ¿Para cuántos días hay reservas en un depósito con 5 625 metros cúbicos?

5625 1875 000

375 15

⎯→

5 625 : 375 = 15 días

Dividir es partir un todo en porciones iguales de un tamaño dado, para averiguar cuántas porciones se obtienen.

División exacta

Se reparten 35 kg de naranjas en cajas de 5 kilos.

35 0

5 7

Se llenan 7 cajas y no sobra nada.

División entera

Se reparten 38 kg de manzanas en cajas de 5 kilos.

38 3

5 7

Se llenan 7 cajas y sobran 3 kilos.

División exacta y división entera En el ejemplo anterior, con 5 625 metros cúbicos se regaba el parque exactamente durante 15 días, y no sobraba nada de agua.

5625 1875 000

375 15

⎯→ 5 625 = 375 · 15 Decimos que esta división es exacta.

Pero si en el depósito hubiera 5 700 metros cúbicos, tendría reservas, igualmente, para 15 días, pero sobraría algo de agua.

5700 1950 075

375 15

⎯→ 5 700 = 375 · 15 + 75 Decimos que esta división es entera.

Una división puede ser exacta o entera dependiendo del valor del resto.

• División exacta (el resto es cero).

D d ⎯→ El dividendo es igual al divisor por el cociente.

0 c D=d·c

anayaeducacion.es Cálculo mental con divisiones.

34

• División entera (el resto es distinto de cero).

D d ⎯→ El dividendo es igual al divisor por el cociente más r c el resto.

D=d·c+r

1

Una propiedad de la división Ejemplo

32 0

×7

8 4

Observa lo que ocurre cuando en una división multiplicamos el dividendo y el divisor por el mismo número: Para regar 3 arbustos, utilizamos 24 litros de agua. ¿Qué ocurre si tenemos el doble de arbustos y el doble de litros de agua?

×7

24 litros

224 56 00 4

48 litros

El cociente no varía.

24 0

3 8

48 0

6 8

Al repartir el doble de litros entre el doble de arbustos, la cantidad que corres­ ponde a cada uno no varía.

Si en una división se multiplican el dividendo y el divisor por el mismo nú­ mero, el cociente no varía.

12 Averigua el cociente y el resto en cada división:

a) 96 : 13 d) 7 029 : 26

b) 713 : 31 e) 49 896 : 162

17 Resuelve sin lápiz ni papel.

c) 5 309 : 7 f ) 80 391 : 629

a) Repartimos 150 gramos de mortadela en tres boca­ dillos. ¿Cuántos gramos pondremos en cada uno?

13 Divide mentalmente, por partes, como en el ejemplo. : 12

• 96 :3

a) 60 : 12 d) 75 : 15 g) 180 : 30

32

b) ¿Cuántos minutos son 180 segundos?

8

c) Hemos recorrido, por la autopista, 240 kilómetros en tres horas. ¿Cuántos kilómetros por hora son?

:4

b) 180 : 12 e) 90 : 15 h) 240 : 30

c) 300 : 12 f ) 180 : 15 i) 390 : 30

14 Realiza en tu cuaderno las operaciones como se indica

d) Envasamos 250 kg de manzanas en cajas de 10 kg. ¿Cuántas cajas llenamos?

18 Un club infantil ha pagado una factura de 1470 € por

la compra de 35 equipaciones de fútbol.

en los esquemas. ¿Qué observas?

(36 : 12) : 3

36 : (12 : 3)

:

:

b) Si el utillero las guarda en estanterías de capacidad para seis equipaciones, ¿cuántas estanterías utiliza?

15 Calcula y compara los resultados. Después, contesta.

a) (50 : 10) : 5 50 : (10 : 5) b) (36 : 6) : 2 36 : (6 : 2) ¿Cumple la división la propiedad asociativa?

16 Averigua el término que falta en cada división:

dividendo 39

53 15

1 000 12

a) ¿A cómo ha salido cada equipación?

divisor 38

19

En situación Raúl tiene 65 € y está ahorrando para comprar un monopatín que cuesta ciento cinco.

a) ¿Cuánto tiempo tardará en conseguirlo, si ahorra cinco euros a la semana? ¿Y si ahorra seis? b) ¿Cuál debe ser el ahorro semanal si desea conseguir su objetivo en 4 semanas? c) ¿Lo conseguirá en 3 semanas si ahorra 13 € cada semana?

35

6

Expresiones con operaciones combinadas Orden en que han de hacerse las operaciones Al resolver expresiones con operaciones combinadas, debes tener en cuenta las normas del lenguaje matemático. Estas normas aseguran que cada expresión ten­ ga un significado y una solución únicos.

Observa el orden de actuación en las siguientes expresiones. Los resultados son diferentes a pesar de estar formadas por los mismos números y operaciones.

• 48 : 3 + 5 – 2 · 3 = 16 + 5 – 6 = = 21 – 6 = 15

48 : 3 + 5 – 2 · 3

48 : (3 + 5) – 2 · 3

48 : 3 + (5 – 2) · 3

16 + 5 – 6

48 : 8 – 6

16 + 3 · 3

21 – 6

6–6

16 + 9

15

0

25

• 48 : (3 + 5) – 2 · 3 = 48 : 8 – 6 = =6–6=0 • 48 : 3 + (5 – 2) · 3 = 16 + 3 · 3 = = 16 + 9 = 25

En las expresiones con operaciones combinadas, hemos de atender: • Primero, a los paréntesis.

• Después, a las multiplicaciones y a las divisiones.

• Por último, a las sumas y a las restas.

Para fijar ideas

1 Completa en tu cuaderno cada casilla y comprueba que obtienes el resultado que se indica.

4 · (10 – 8) · 3 + 2

4 · 10 – (8 · 3 + 2)

4 · 10 – 8 · (3 + 2)

·3+2

– (

– 8 ·

+2

+2

–

–

18

26

14

0

4 · 10 – 8 · 3 + 2 –

+2

4·

+ 2)

4 · (10 – 8) · (3 + 2) 4 · 4

· · 40

Aprende a usar la calculadora Introduce en la calculadora esta secuencia: 2 + 3 * 4 = Aunque te parezca extraño, según la máquina que utilices puedes obtener en pantalla dos soluciones diferentes, 20 o 14. {∫“≠} → La calculadora hace las operaciones en el orden en que van entrando.

(2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20 {∫‘¢} → La calculadora hace primero el producto. Es decir, respeta la prioridad de las operaciones.

2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 Como ves, no todas las calculadoras tienen la misma lógica interna. Averigua de cuál de los dos tipos es la tuya y tenlo en cuenta cuando la utilices.

36

1

Para fijar ideas

2 Copia y completa en tu cuaderno. Después, comprueba los resultados con una cal­

Ayudas

culadora de cuatro operaciones, siguiendo la secuencia de teclas que se indica en cada caso.

40 – 12 : 4 + 2 · 3 (40 – 12) : 4 + 2 · 3 40 –

+

≤ → Suma la pantalla a la memoria

µ → Resta la pantalla a la memoria

: 4 +

+

Ñ → Recupera lo que hay

+

40 ≤ 12 / 4 µ 2 * 3 ≤Ñ→ {∫∫∫∫∫∫¢«}

en la memoria

40 - 12 =/ 4 ≤ 2 * 3 ≤Ñ → {∫∫∫∫∫∫‘«}

1 Opera como en los ejemplos.

5 Problema resuelto

• 12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4

Un empleado ha trabajado este mes 12 jornadas de 7 horas, con tarifa normal, y 5 jornadas de 6 horas con tarifa normal y 3 con tarifa nocturna. ¿Cuántas horas ha trabajado en todo el mes?

• (17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4 a) 8 + 5 · 2

b) 15 – 10 : 5

c) 4 · 6 – 13

d) (15 – 3) : 4

e) (8 + 2) · 3

f ) 18 : (10 – 4)

Lo podemos resolver con dos expresiones:

2 Resuelve mentalmente y compara los resultados.

a) 2 + 3 · 4

(2 + 3) · 4

b) 6 – 2 · 3

(6 – 2) · 3

c) 18 – 10 : 2

(18 – 10) : 2

d) 24 : 6 + 2

24 : (6 + 2)

3 Observa el ejemplo y calcula.

• 4 · (7 – 5) – 3 = 4 · 2 – 3 = 8 – 3 = 5 a) 2 · (7 – 3) – 5

b) 3 · (10 – 7) + 4

c) 4 + (7 – 5) · 3

d) 18 – 4 · (5 – 2)

e) 8 – (9 + 6) : 3

f ) 22 : (7 + 4) + 3

4 Resuelve, indicando los pasos seguidos, y comprueba la

solución que se da a la derecha. Si no coincide, repasa el ejercicio. a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7)

→ 14

b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5

→ 2

c) 21 : (3 + 4) + 6

→ 9

d) 26 – 5 · (2 + 3) + 6

→ 7

e) (14 + 12) : 2 – 4 · 3

→ 1

f ) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2)

→ 11

g) 30 – 6 · (13 – 4 · 2)

→ 0

h) 3 · [13 – 3 · (5 – 2)]

→ 12

normal

nocturna

12 · 7 + 5 · 6 + 5 · 3 = 84 + 30 + 15 = 129 12 jornadas

5 jornadas

12 · 7 + 5 · (6 + 3) = 84 + 5 · 9 = 84 + 45 = 129 Solución: Ha trabajado, en total, 129 horas.

6

Escribe una expresión que resuelva cada enunciado y calcula la solución. a) Una furgoneta transporta 8 cajas de plátanos, 20 de naranjas y 6 de manzanas. Las cajas de plátanos pesan 15 kilos, y las de naranjas y manzanas, 8 kilos. ¿Cuán­ tos kilos de fruta transporta la furgoneta? b) Un supermercado hace un pedido de 20 paquetes de leche entera, 15 de leche desnatada y 10 de se­ midesnatada. Cada paquete contiene 6 cajas de litro. ¿Cuántas cajas van en el pedido? c) En una cafetería hay 15 mesas, 55 sillas y 12 tabure­ tes. ¿Cuántas patas hay en total? nota: los taburetes son de 3 patas. d) Una granjera envasa 1 500 huevos en cajas de 10 uni­ dades, otros tantos en cajas de 6 unidades, y una par­ tida de 300 huevos de producción ecológica, también en cajas de 6 unidades. ¿Cuántas cajas ha llenado?

37

Ejercicios y problemas ¿Dominas lo básico?

Utilidades de los números

Sistemas de numeración

8

Estos son los números de varias habitaciones en un hotel de playa: 401 235 724 231 a) Una de ellas está al final del pasillo. ¿Cuál es? b) Otra está en la última planta. ¿Qué número tiene? c) ¿Cuáles de ellas están a la misma altura?

9

¿Recuerdas cómo se ordenan las matrículas de los coches? Observa las tres siguientes:

1

Traduce al sistema decimal estos números del anti­ guo Egipto: A

B

D

C

E

2

3

b) 235

c) 2 130

Expresa en números romanos cada uno de los nú­ meros siguientes. a) 87

b) 425

c) 2 600

d) 54 528

4

Escribe el número «cincuenta y siete» en, al menos, tres sistemas de numeración.

5

¿Cuántas cifras necesitas para escribir un billón? ¿Y un trillón? ¿Cuántos ceros son en cada caso?

6

Número

10

12

2 830 554 19 270 000 399 675 000

7

Lees, en un anuncio, que una vivienda se ven­ de por 293 528 €. Unos días después lo comentas con una amiga, pero no te acuerdas exactamente del precio. ¿Cuál de las siguientes expresiones elegirías para trans­ mitir la información? Explica por qué. a) Cuesta casi trescientos mil euros. b) Cuesta doscientos y pico mil. c) Cuesta doscientos noventa mil.

38

E

4389 GFB

Suma y resta

Copia en tu cuaderno y completa la tabla.

Aproximaciones A las centenas A los millones de millar

3894 FBG

Operaciones

11

Aproximaciones

E

a) ¿Cuál es la más antigua? ¿Y la más nueva? b) ¿Cuál es la siguiente a la roja? ¿Y la anterior? c) ¿Cuántos coches se matricularon entre la roja y la verde? d) ¿Cuántos coches se matricularon después de la azul con las mismas letras?

Escribe en el sistema aditivo egipcio cada uno de estos números: a) 48

3948 FBG

Calcula. a) 6 070 + 893 + 527 c) 831 – 392 – 76

b) 651 + 283 – 459 d) 1 648 – 725 – 263

Calcula mentalmente. a) 5 + 7 – 3 – 4 c) 10 – 6 + 3 – 7 e) 12 + 13 + 8 – 23

b) 18 – 4 – 5 – 6 d) 8 + 5 – 4 – 3 – 5 f ) 40 – 18 – 12 – 6

Calcula. a) 47 – (35 – 28) b) 52 – (36 – 27) c) 128 – (86 – 45 – 12) d) 237 – (152 + 48 – 14) e) 348 – (148 – 86 + 29) f ) 235 – (340 – 152 – 84)

Multiplicación y división

13

Multiplica. a) 16 · 10 d) 17 · 100 g) 22 · 1 000

b) 128 · 10 e) 85 · 100 h) 134 · 1 000

c) 60 · 10 f ) 120 · 100 i) 140 · 1 000

1

14

Calcula el cociente y el resto en cada caso: a) 2 647 : 8 b) 1 345 : 29 c) 9 045 : 45 d) 7 482 : 174 e) 7 971 : 2 657 f ) 27 178 : 254

15

Entrénate y practica 21

¿Verdadero o falso? a) Un millón equivale a mil centenas. b) Cien millones son mil centenas de millar. c) Mil veces un millón hacen un giga. d) Cien gigas hacen un billón. e) Un billón tiene un millón de millones.

22

Meta 11.c. Según publicó un periódico cai­ rota, la población de la capital de Egipto, en junio de 2018, era de 19 487 245 habitantes. Si te preguntaran por esa cifra y no te acordaras de la cantidad exacta, ¿qué responderías?

Si continúa el crecimiento de la población, ¿cuál po­ dría ser la cifra en 2030? ¿Qué medidas tomarías para favorecer que en el año 2030 El Cairo sea una ciudad sostenible?

23

La tabla contiene algunos datos sobre el consumo en España de productos hortícolas durante 2021:

Copia y completa en tu cuaderno.

8

5 6

3

14

8 2 9

5

6 7 6 16

17

Calcula mentalmente. a) 3 · (10 : 5) b) (4 · 6) : 8 d) (30 : 5) · 3 e) 10 : (40 : 8)

c) 20 : (2 · 5) f ) (40 : 8) : 5

Resuelve mentalmente. a) En un bidón de agua caben 5 litros. ¿Cuántos bido­ nes se llenan con 100 litros? b) Un kilo de almendras cuesta 12 €. ¿Cuánto cuesta una bolsa de 5 kilos? c) Una caja de refrescos contiene 24 botellas. ¿Cuántas botellas hay en 10 cajas? d) Cambiar las cuatro ruedas de un coche ha salido por 360 euros. ¿Cuánto ha costado cada rueda?

Operaciones combinadas

18

19

20

Calcula. a) 8 + 7 – 3 · 4 c) 15 – 2 · 3 – 5 e) 22 – 6 · 3 + 5 g) 36 – 8 · 4 – 1 Opera. a) 2 · (4 + 6) c) 8 : (7 – 5) e) (5 + 6) · 4 g) (19 – 7) : 2

b) 8 : 4 + 7 – 3 d) 10 – 12 : 6 – 4 f ) 8 + 10 : 5 – 10 h) 11 – 2 – 9 : 3 b) 2 · 4 + 6 d) 5 · 7 – 5 f) 5 + 6 : 3 h) 18 – 7 · 2

Calcula. a) 30 – 4 · (5 + 2) b) 5 + 3 · (8 – 6) c) 5 · (11 – 3) + 7 d) 3 · (2 + 5) – 13 e) 2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4) f ) 4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7) g) 3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2) h) 2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3) Comprueba tus soluciones: a) 2; b) 11; c) 47; d) 8; e) 9; f ) 14; g) 9; h) 11

Frutas frescas

Peso (toneladas) 4 369 449

Valor (miles de €) 6 195 054

Hortalizas y patatas

3 626 510

5 214 031

Total

7 995 959

11 409 085

Repite la tabla, aproximando los datos a los millones de toneladas y a los cientos de millones de euros.

24

Una estrella, A, está a una distancia de cinco años luz de la Tierra, y otra, B, a cinco billones de kilóme­ tros. ¿Cuál de las dos está más lejos?

25

Copia en tu cuaderno, calcula y completa. a) 48 + … = 163 b) … + 256 = 359 c) 628 – … = 199 d) … – 284 = 196

26

Calcula. a) 5 – [7 – (2 + 3)] b) 3 + [8 – (4 + 3)] c) 2 + [6 + (13 – 7)] d) 7 – [12 – (2 + 5)] e) 20 – [15 – (11 – 9)] f ) 15 – [17 – (8 + 4)] Comprueba tus resultados: a) 3; b) 4; c) 14; d) 2; e) 7; f ) 10

27

Copia en tu cuaderno, calcula y completa. a) 123 · … = 5 904 b) … · 86 = 1 548 c) … : 57 = 26 d) 1 862 : … = 133 39

Ejercicios y problemas 28

Calcula mentalmente, teniendo en cuenta que di­ vidir entre 5 es igual que dividir entre 10 y, después, multiplicar por 2. :5

• 90 : 10

29

9

34

A

18

a) 60 : 5

b) 80 : 5

c) 120 : 5

d) 140 : 5

e) 170 : 5

f ) 200 : 5

g) 210 : 5

h) 340 : 5

i) 420 : 5

Copia en tu cuaderno, completa y calcula. b) 5 · 9 – 5 · 6 = 5 · ( ... – ...) = 5 · … = …

Interpreta, describe, exprésate 35

Asocia cada enunciado con dos de las expresiones de abajo: I. En el autobús urbano iban 50 personas. En la pri­ mera parada bajan 16 y suben 4.

II. La clase de música tiene 50 estudiantes matricula­ dos, pero hoy han faltado 4 y otros 16 han ido a un concierto.

III. Ernesto compró una camiseta de 16 € y una gorra de 4 €, y pagó con un billete de 50 €.

IV. En el hotel han pernoctado 50 clientes. Hoy en­ tran 16 nuevos y salen 4. a) 50 – 16 – 4 b) 50 – 16 + 4 c) 50 – (16 + 4) d) 50 – (16 – 4) e) 50 + (16 – 4) f ) 50 + 16 – 4

36

¿Cuál o cuáles de las expresiones aritméticas llevan a la solución de este problema?

En el supermercado se han vendido esta mañana 24 kg de manzanas a 2 €/kg, 12 melones a 4 € la pieza, y 13 piñas a 2 € cada una. ¿Cuánto se ha ingresado en caja por la venta de esas frutas? a) 24 · 12 + 4 · 13 + 2 b) 24 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2 c) (24 + 13) · 2 + 12 · 4 d) (24 + 13 + 2) · (2 + 4)

37

Lee el enunciado del problema y observa su resolu­ ción. Después, explica el significado de cada operación y lo que se obtiene en cada resultado parcial.

En una granja hay caballos, vacas y gallinas. En total hemos contado 714 patas, 168 cuernos y 137 picos. ¿Cuántos caballos hay en la granja?

Resolución 1.º 168 : 2 = 84 2.º 84 · 4 = 336 3.º 137 · 2 = 274 4.º 336 + 274 = 610 5.º 714 – 610 = 104 6.º 104 : 4 = 26

c) (10 – 8) · 4 = 10 · 4 – … · 4 = 40 – … = … d) 7 · 12 – 2 · 12 = (… – …) · 12 = … · … = … ¿Qué propiedad has usado?

31

Investiga: Si en una división multiplicas el di­ videndo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía. Pero ¿qué le ocurre al resto? ¿Verdadero o falso? a) Al multiplicar un número por tres, obtenemos el mismo resultado que si le sumamos su doble. b) Tres veces quince es lo mismo que quince veces tres. c) Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar dos veces por cinco. d) Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar primero por cinco y después por dos. e) La propiedad conmutativa se cumple solo para los números pares.

32

33

Calcula. a) 4 · 7 – 13 – 2 · 6

b) 15 : 3 + 7 + 4 : 2

c) 5 · 4 + 12 – 6 · 4

d) 12 : 4 – 1 – 6 : 3

e) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5

f) 9 : 3 + 8 : 4 – 7 : 7

g) 8 · 8 – 4 · 6 – 5 · 8

h) 18 : 2 – 12 : 3 – 6 : 2

Opera. a) 7 · 4 + 2 · (10 – 6)

b) 8 : 2 + 4 : (9 – 5)

c) 5 · (11 – 7) – 6

d) 12 : (11 – 7) – 2

e) 3 · (8 – 5) – 12 · (6 – 4) f ) 15 : (2 + 3) + 5 · (2 + 2)

40

B

·2

a) 6 · (8 + 2) = 6 · 8 + 6 · 2 = … · … = …

30

Escribe una expresión con los números 9, 3 y 1 cuyo resultado sea el peso que marca cada balanza:

g) 9 : (6 – 3) + 8 · (6 – 5)

h) 6 · (9 – 5) – 18 : (9 – 7)

i) [(24 : (9 – 2 – 3)] : 2

j) 24 : [(9 – 2 – 3) : 2]

1

Resuelve problemas sencillos 38

39

La construcción de cierto chalé, A, duró 14 me­ ses y comenzó 4 meses después de que se iniciaran las obras de otro chalé, B, cuya construcción duró 15 me­ ses. Si A se finalizó en junio, ¿en qué mes se finalizó B? María ha mandado en la última semana 40 men­ sajes con su móvil. A su hermano Pepe le ha mandado cinco; a sus padres, tres más que a Pepe, y al grupo de su pandilla, el resto. ¿Cuántos mensajes ha mandado a la pandilla?

40

En una granja hay el doble de vacas que de caba­ llos y en total son 36 cabezas. ¿Cuántas vacas y cuántos caballos son?

41

Un camión de reparto transporta 15 cajas de re­ frescos de naranja y 12 de limón. ¿Cuántas botellas lle­ va en total si cada caja contiene 24 unidades?

42

Rosa tiene dos años más que su hermano pequeño, Julián, y dos menos que Alberto, su hermano mayor. Si entre los tres igualan la edad de su madre, Marta, que acaba de cumplir 42, ¿cuántos años tiene cada uno de los hermanos?

49

50

El sector hotelero de cierta localidad turística ha contratado a 12 845 personas. Tres de cada cinco son mujeres. ¿Cuántas mujeres se han contratado?

Problema resuelto

En situación Deja claro el significado de cada paso, de cada operación y de cada resultado.

Un agricultor tiene 140 melocotoneros en un huerto.

Atendiendo a su experiencia de campañas anteriores, espera cosechar, por término medio, 35 kg de melocotones en cada árbol. La fruta, según se recoge, se envasa en cajas de 10 kg y se vende a 12 € la caja. ¿Cuánto espera obtener por la venta de su cosecha?

­ Kilos cosechados (140 árboles, a 35 kg por árbol): 140 · 35 = 4 900 kg ­ Cajas que se llenan (4 900 kilos en cajas de 10 kg): 4 900 : 10 = 490 cajas ­ Ingresos esperados (490 cajas a 12 € la caja): 490 · 12 = 5 880 € Solución: El agricultor espera obtener 5 880 € por la venta de su cosecha.

43

Un tren de mercancías, que avanza a 55 km/h, se cruza con uno de pasajeros que avanza por la vía para­ lela a 105 km/h. ¿Qué distancia los separa media hora más tarde?

44

Un coche y una moto parten a la vez de una cafete­ ría de carretera en la misma dirección. El coche avanza a 90 km/h, y la moto, a 100 km/h. ¿Qué distancia los separa al cabo de hora y media?

51

En una industria conservera se preparan 250 kg de mermelada de ciruela que se envasan en tarros de 200 g. Durante el proceso se desechan 17 tarros por rotura o por sellado defectuoso. ¿Cuántos tarros váli­ dos se obtienen?

En la familia Smith, el padre, Jonathan, cobra 1 940 dólares al mes. Si gana 720 dólares más que Jon, el hijo mayor, 880 más que Cathy, la hija que sigue, más joven, y 280 menos que Catherine, su mujer, ¿cuáles son los ingresos mensuales de la familia?

52

En situación Un club de hockey tiene una par­ tida de 5 000 € para material y ha comprado 2 por­ terías, 18 sticks y 18 pares de patines, con los precios que se indican. Y con lo que sobre, deciden comprar 18 equipaciones de ropa, que cuestan, según calidades, 45 €, 60 €, o 100 €. ¿Qué tipo de equipación deben elegir, si desean la mejor calidad que sea posible?

45

46

En el vivero de una huerta se preparan 50 bande­ jas con 100 semillas en cada una. En cada bandeja se malogran, por término medio, 20 semillas. ¿Cuántos plantones espera obtener el hortelano?

47

Como pago por buzonear 7 tacos de propaganda, Clara ha recibido 28 euros. ¿Cuánto habría recibido si hubiera repartido un taco más?

48

60 €

129 €

140 €

En la estantería de los refrescos del supermercado quedaban 7 cajas de 6 botes y 4 botes sueltos. La repo­ nedora coloca 12 cajas más. ¿Cuántos botes hay ahora?

41

Ejercicios y problemas 53

54

55

Un mayorista en alimentación compra 150 sacos de patatas de 30 kg por 2 000 €. Después, al seleccio­ nar la mercancía desecha 300 kg y envasa el resto en bolsas de 5 kg, que vende a 4 € la bolsa. ¿Qué ganan­ cia obtiene?

Del horno de cierto obrador de bollería salen ca­ da día cinco bandejas con tres docenas de magdalenas cada una. ¿Cuántas magdalenas fabrican a la semana, teniendo en cuenta que los lunes cierran por descanso del personal?

Un camión cisterna debe cargar 3 000 litros de ga­ soil de calefacción en el almacén y llevarlo a un colegio que está a 40 km de distancia. Para llenar y vaciar, uti­ liza una bomba que mueve 150 litros por minuto. Si el camión viaja a una velocidad media de 80 km/h y pierde un cuarto de hora entre unas cosas y otras, ¿qué tiempo tarda en hacer el servicio y volver al almacén?

59

Un coche tarda 78 segundos en atravesar un tramo de 2 km con la velocidad limitada a 90 km/h. ¿Crees que ha superado el límite permitido? ¿Por qué?

60

En situación Marta tiene ahorrados 162 € y quiere comprar un monopatín que cuesta 199 €. Si consiguiera ahorrar de su paga 10 € cada semana, ¿cuántas semanas tardaría en comprar el monopatín?

61

Una fábrica de coches ha producido 15 660 unida­ des entre enero, febrero y marzo. ¿Cuántos coches saca, por término medio, cada día?

62

En un colegio que tiene 450 estudiantes, dos de cada cinco estudian un segundo idioma y, de ellos, uno de cada tres ha elegido alemán. ¿Cuántos estudian se­ gundo idioma? ¿Cuántos estudian alemán?

63

La carta de un restaurante ofrece cinco variedades de primer plato, tres de segundo y dos de postre. ¿De cuántas formas puede elegir su menú un cliente que toma un plato de cada grupo?

64

Utilizando solamente ceros y unos, se pueden construir cuatro números diferentes de tres cifras:

Para pensar un poco más 56

El Real Alcázar de Sevilla recibió, por término me­ dio, 144 404 visitantes mensuales durante el año 2022, cantidad que supera ampliamente el doble de los reci­ bidos en 2021.

1.ª

2.ª

3.ª 1 0 1 0

1

1

0

111 110 101 100

¿Cuántos números de cuatro cifras tienen solo ceros y unos? ¿Y de cinco cifras?

65

a) ¿Cuántos miles de visitantes recibió a lo largo de ese año? b) ¿Cuántas visitas recibió, por término medio, al día? c) Con los datos del enunciado, estima el número de visitas durante el año 2021.

57

58

42

Un autobús con 54 turistas a bordo sufre una ave­ ría camino del aeropuerto. Como no hay tiempo, pues el avión no espera, el responsable del grupo decide aco­ modar a las viajeras y los viajeros en taxis de cuatro plazas. ¿Cuántos taxis necesitan?

Un camión de reparto lleva 27 cajas de refrescos de 24 botellas. En un accidente se vuelca la carga y se rompen 311 botellas. Averigua si se ha salvado más o menos de la mitad de la carga.

Antonio, Beatriz, Cora y David acaban de entrar al cine. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar en las cuatro butacas que les corresponden?

Haz, primero, un problema más fácil: ¿De cuántas formas se podrían sentar si Antonio ha ocupado ya la butaca n.º 1?

1.a 2.a 3.a 4.a

A

B C D

B D C

C B D

C D B

D B C

D C B

66

Tienes un buen montón de monedas de 50, 20 y 10 céntimos. ¿De cuántas formas diferentes puedes juntar 1 euro? Justifica tu respuesta.

67

Marta, Julián y Rosa salen de compras. Marta gasta 30 € más que Julián y 40 € menos que Rosa. Si entre los tres han gastado 208 €, ¿cuánto ha gastado cada uno?

1

68

Una empresa organizadora de eventos hace un pe­ dido, a un almacén de flores, de 150 docenas de rosas.

El almacén dispone en ese momento de 40 paquetes de 25 rosas. ¿Cuántos paquetes de 25 rosas se deben pedir para poder cubrir el pedido?

69

Valentina tiene una granja de patos y gansos. Hoy ha vendido 21 de sus animales por 350 euros.

Entre los animales había el doble de patos que de gan­ sos, y un ganso vale el triple que un pato. ¿Qué precio tiene un pato? ¿Y un ganso?

70

En un garaje hay el triple de coches que de motos. ¿Cuántos vehículos hay de cada clase, si en total hemos contado 70 ruedas?

71

Una practicante de senderismo entrena caminando a un ritmo de 100 pasos por minuto y avanza 80 cm en cada paso. Su punto de llegada está a 10 km de la salida y pretende llegar en un par de horas. ¿Lo conse­ guirá? ¿Por qué?

72

74

gris

15

73

15

20 20

azul

rojo

otros

75

Para la elaboración de una estadística sobre las va­ caciones en una ciudad de interior, se ha hecho una encuesta que arroja los siguientes datos: — El 56 % ha estado en la playa.

— El 47 % ha pasado unos días en el pueblo.

— El 23 % ha disfrutado de ambos destinos. ¿Qué tanto por ciento no ha estado ni en la playa ni en el pueblo?

76

Un número tiene cuatro cifras que suman 4. Si intercambias las unidades con las centenas, aumenta en 99. ¿Qué número puede ser? Intenta encontrar más de una solución.

77

De los alumnos y las alumnas matriculados en 1.º ESO, sabemos que: — 44 se quedan al comedor, 58 usan el transporte es­ colar y 47 están apuntados a extraescolares.

— 24 se quedan al comedor y a extraescolares.

— 23 se quedan al comedor y usan el transporte escolar.

— 25 usan el transporte y se quedan a extraescolares.

— 11 usan los tres servicios, y 17, ninguno de los tres. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay matriculados?

Dibuja sobre cuadrícula casos más sencillos. Por ejemplo: 30

blanco verde

¿Cuántos coches rojos se han fabricado en ese periodo?

En un campo rectangular de 150 m × 300 m se van a plantar chopos, dispuestos en filas y columnas parale­ las a las vallas, de forma que cada línea esté a 5 metros de las contiguas o, en su caso, de los bordes. ¿Cuántos chopos albergará el campo?

20

La gráfica informa de la distribución, por colores, de los 30 690 coches fabricados en un trimestre.

¿Te serviría utilizar un gráfico como este?

1.° eso

30

comedor

tr. escolar

20

Martina ha obtenido así la suma de los 7 primeros números naturales.

1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 8 · 7 = 56 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 14 56 : 2 = 28 8+8+8+8+8+8+8 ¿Sabrías calcular la suma del 1 al 100?

act. extr.

78

Cuatro personas se pesan, por parejas, de todas las formas posibles y anotan los resultados: 83 kg ­ 87 kg ­ 91 kg ­ 80 kg ­ 84 kg ­ 88 kg La persona más grande pesa 46 kg. ¿Cuánto pesa cada una por separado?

43

Autoevaluación ¿Qué has aprendido?

anayaeducacion.es Resolución de estos ejercicios.

1 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla: Sistemas de numeración Egipcio

0 1

2

3

4

5

7

8

9

6

10 Copia estas operaciones en tu cuaderno y calcula los

términos que faltan:

a) 154 · = 462 = 35 c) 30 275 :

11 ¿Cuántos cartones de dos docenas y media se necesitan

10 11 12 13 14

Maya

15 16 17 18 19

Decimal

b) : 27 = 98 d) 1 508 = · 125 + 8

para guardar 350 huevos?

528

2 Di si cada uno de los sistemas de la actividad anterior

12 En una cafetería hay 60 asientos. Si las sillas son el

triple que las banquetas, ¿cuántas hay de cada clase?

es aditivo o posicional. ¿Cuál es la diferencia?

3 Observa estas cantidades:

• La extensión de Brasil es de ocho millones quinien­ tos catorce mil ochocientos setenta y siete kilóme­ tros cuadrados.

• La población mundial en abril de 2018 ascendía a 7 601 767 200 habitantes.

Expresa la primera con cifras y la segunda con letras.

4 a) Redondea a las decenas de millar las cantidades de

la actividad anterior. b) Redondéalas al orden de unidad que consideres más adecuado para que la información sea razona­ ble e indica a qué orden has redondeado.

5 Calcula.

b) 7 · 3 – 4 · 2 + 2 6 Escribe una expresión con los números 2, 3 y 5 cuyo

resultado sea 18.

Debes utilizar los tres y puedes repetir alguno.

7 a) Transforma esta suma en resta: 18 + 42 = 60

b) Transforma esta resta en suma: 55 – 45 = 10 8 Realiza las siguientes operaciones combinadas:

a) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7 b) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)] 9 Copia en tu cuaderno y rellena los huecos.

c) 4 000 : 44

= 180 = 40

metros por hora se cruza con un coche que avanza en sentido contrario a 90 kilómetros por hora. ¿Qué distancia los separa 10 minutos después?

14 Una apicultora tiene 187 colmenas con una produc­

ción de dos cosechas al año, a razón de 9 kilos de miel por colmena en cada cosecha. a) La miel se envasa en tarros de medio kilo. ¿Cuántos tarros de miel obtiene al año?

a) 12 + 3 · 5 – 2

a) 18 ·

13 Un camión que avanza por una carretera a 60 kiló­

b) Los tarros se envasan en cajas de seis que se venden a 18 € cada una. ¿Qué beneficio anual produce el colmenar? c) ¿Cuál es, en números redondos, ese beneficio?

15 ¿Cuál de las expresiones que ves debajo resuelve el si­

guiente problema?

Un hortelano tiene dos campos con 180 y 70 manzanos, respectivamente. Espera cosechar, por término medio, 35 kg de manzanas por árbol, que envasará en cajas de 10 kg para la venta. ¿Cuántas cajas de manzanas espera llenar? a) (180 + 70 + 35) · 10

b)

· 100 = 27 000

b) (35 · 180 + 35 · 70) · 10

d)

: 10 = 38

c) (35 · 180 + 35 · 70) : 10

Situación de aprendizaje

1

Elegir un proyecto y planificar su financiación

....

RESU

ELVO 165 €

....

Recuerda la propuesta que te hacíamos al iniciar el tema. Como muestra, puedes tomar el que proponemos como ejemplo a continuación.

Viki es aficionada al monopatín y quiere cambiar el que tiene, ya muy usado, por el que ve todos los días en la tienda de deportes, al volver del colegio, y cuesta 165 €.

Para planificar la compra, Viki hace un repaso del estado de sus finanzas, ya que solo tiene 96 € en la hucha.

Ingresos

Gastos

• Paga semanal → 15 €.

• Entre 5 € y 12 € a la semana para salir con la pandilla.

• Una vez al mes su abuela suele darle una ayudita de 20 €.

• Entre 16 € y 20 € mensuales en gastos varios (chuches, tebeos, etcétera).

• Entre 0 € y 20 € quincenales en propinas por colaboraciones en el vecindario (recados, riego de flores, pasear mascotas…).

1 Calculamos el ahorro máximo y el mínimo. Copia y completa.

Ingresos

Gastos

Paga

Abuela

Propinas

Pandilla

Varios

Ahorro mímimo /semanal

15

20 : 4 = 5

0

12

20 : 4 = 5

(15 + 5 + 0) – (12 + 5) = 3 €

Ahorro máximo/semanal

15

20 : 4 = 5 20 : 2 = 10

5

16 : 4 = 4

(… + … + …) – (… + …) =

2 Ahorrando el mínimo que has calculado en la cuestión anterior, ¿cuántas semanas

tardaría en conseguir los fondos para el monopatín?

Tiene que ahorrar → Coste menos lo que tiene en la hucha → 165 – … = …

Ahora tantea: En 10 semanas ahorra → 10 · 3 = 30 € → ¿es suficiente? …

En 20 semanas ahorra → 20 · … = … € → ¿es suficiente? …

En ..........................................................................................................................

Y ahorrando el máximo, ¿cuánto le faltaría transcurridas dos semanas? ...................

3 Supón que tú, en el caso de Viki, decidieras conseguir el objetivo en dos meses,

sin tener que reducir los gastos al máximo. ¿Qué ingresos y qué gastos adoptarías?

Avanza solo o en equipo

• Haz el mismo trabajo, contando con tus ahorros y en el supuesto de que vas a adqui­ rir algún artículo de tu elección.

• O si lo prefieres… Repite el mismo trabajo en el supuesto de que Viki quiera adqui­ rir, además, un casco y un juego de rodilleras y coderas. nota: deberás buscar los datos necesarios en tiendas o páginas web especializadas.

45

2 Potencias y raíces 8. Trabajo decente y crecimiento económico

46

Situación de aprendizaje

Cosas de economía

La economía es un factor determinante en nuestras vidas. A tu nivel, seguro que no eres indiferente al contenido de tu hucha, al coste de tus proyectos pendientes, a tu paga… A nivel familiar, los sueldos, la hipoteca, el coste de las vacaciones…

Y a otros niveles, los presupuestos municipales o autonómicos, la seguridad social, la sanidad, las pensiones…

La planificación del gasto y el consumo responsable nos afectan significativamente. Y esas decisiones, en su aspecto técnico, se apoyan en herramientas matemáticas que ayudan a valorar resultados y a predecir las consecuencias.

A..

PROP

UEST

Te proponemos hacer una evaluación de un sorprendente método de ahorro, utilizando herramientas y recursos del lenguaje matemático que vas a estudiar en la unidad.

Al final del tema encontrarás una guía para realizar este trabajo, pero te sugerimos que, antes de abordarla, busques tus propias soluciones y, después, las compares con las que allí se ofrecen.

....

Ponte en situación con lo que ya sabes

Un individuo, un tanto soñador e iluso, propone el siguiente método de ahorro: • El primer día se propone meter en su hucha una moneda de un euro (1 €).

• El segundo día dos monedas (2 €).

• El tercer día cuatro euros (4 €).

• El cuarto día ocho (8 €).

Y así sucesivamente, poniendo cada día el doble que el anterior.

1 ¿Qué cantidad deberá introducir ese ahorrador en la hucha el quinto día? ¿Y qué cantidad tendría

acumulada después de hacerlo?

2 ¿Cuántos días tendrían que pasar para tener que poner más de cien euros? ¿Y para tener que poner

más de 200?

3 Copia, recuerda y completa.

Expresión

22

23

24

…

Significado

2×2

2×2×2

2×2×2×2

…

Valor

4

8

…

32

47

1

Potencias Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales: a · a · a · a · a = a5 En las potencias, el factor repetido se llama base, y el número de veces que se repite, exponente.

ab

exponente

→ Se lee: a elevado a b.

base

Números y geometría

|Ejemplos

el cuadrado

• Expresar cada producto en forma de potencia:

5 5

El cuadrado de 5 es:

a) 3 · 3 · 3 · 3 = 34 → Tres elevado a cuatro o tres elevado a la cuarta.

52 = 5 · 5 = 25

b) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 → Dos elevado a cinco o dos elevado a la quinta.

(25 cuadraditos)

a) 73 = 7 · 7 · 7 = 343

5

el cubo El cubo de 5 es: 53 = 5 · 5 · 5 = 125

5

• Calcular estas potencias:

(125 cubitos) 5

¿Cómo representarías geométricamente los números 32 y 33? ¿Serías capaz de idear una forma de representar también 34?

b) 104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000

Dos potencias especiales: el cuadrado y el cubo Elevar un número a la potencia de exponente 2 es elevar al cuadrado.

Por ejemplo: 72 = 7 · 7 = 49 → El cuadrado de 7 es 49.

Elevar un número a la potencia de exponente 3 es elevar al cubo.

Por ejemplo: 73 = 7 · 7 · 7 = 343 → El cubo de 7 es 343.

Las potencias en la calculadora Las potencias, excepto en los casos más sencillos, arrojan como resultados números grandes.

Por ejemplo: 96 = 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 = 81 · 9 · 9 · 9 · 9 = 729 · 9 · 9 · 9 = … = 531 441 Estos cálculos resultan rutinarios y molestos, por lo que suelen hacerse con una calculadora.

• En las calculadoras sencillas, utilizaremos las teclas * e =.

96 ⎯→ 9 *

*

=

=

=

=

= ⎯→ {∫∫∞«‘¢¢‘}

↓

↓

↓

↓

↓

92

93

94

95

96

• En una calculadora científica, utilizaremos la tecla ‰.

96 ⎯→ 9 ‰ 6 = ⎯→ {∫∫∞«‘¢¢‘}

nota: Cuando el resultado es muy grande y no cabe en la pantalla, las calculadoras sencillas dan error, mientras que las científicas lo dan en formatos como este: 458 ⎯→ [VCWHJCGCDGEKÀÍÏ] que significa que el número decimal de la pantalla hay que multiplicarlo 13 veces por 10 (esto es, desplazar la coma decimal 13 lugares a la derecha).

48

2

Para fijar ideas

1 Completa para calcular, con lápiz y papel, el valor de 75.

Ayudas

75 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = (7 · 7) · (7 · 7) · 7 = 49 · 49 · 7 =

·7=…

1 Completa en tu cuaderno.

52 = 5 · 5 = 25

2 ¿Cuál es el valor de x en cada caso?

53 = (5 · 5) · 5 = 25 · 5 = …

a) x3 = 125 → x = …

54 = (5 · 5) · (5 · 5) = …

b) 5x = 3 125 → x = …

2 7x = 2 401 → ¿Cuánto vale x ?

3 Calcula y completa cada casilla con la cantidad que corresponda.

2 · (112 – 92) – 62 = 2 · (121 –

) – 62 = 2 ·

–

1 Expresa cada producto con una potencia.

a) 6 · 6 c) 4 · 4 · 4 · 4

=

–

b) 27

naturales.

b) 7 · 7 · 7 d) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 c) 93

d) 152

e) 106

f ) 204

Base

Exponente

5

3

a4

b) 52 e) 104

5 Calcula con lápiz y papel.

a) 28 d) 94 g) 103

b) 35 e) 152 h) 304 b) 66 e) 353

7 Escribe el valor de cada exponente:

a) 2x = 64 c) 6z = 36 e) 10n = 10 000

d) a4 = 2 401

b) a2 = 25

e) a3 = 1 000

… ↓ …

202 ↓ 400

c) 123 f ) 852 i) 1003 c) 95 f ) 2052

b) 3 y = 81 d) 8m = 512 f ) 30t = 810 000

b) 33 – 32 d) 92 – (72 + 42) f ) (82 – 72)2 – 2 · 102

12

Recorta en papel cuadriculado dos cuadrados, uno de lado diez y otro de lado cinco. ¿Hay en el primero el doble de cuadrados que en el segundo? Explica BB tu respuesta.

c) 43 f ) 112

8 Calcula el valor de la base, a, en cada caso:

a) a4 = 16

32 ↓ 9

En situación Un peregrino llega enfermo a un albergue y paga una moneda por pasar la noche. Como van llegando más viajeros, el hostelero dobla el precio, y el peregrino paga dos monedas por la segunda noche.

La tercera noche vuelve a doblar el precio y otra vez la cuarta. Finalmente, restablecido, el peregrino abandona el hospedaje. a) Escribe una expresión con potencias, que exprese el total pagado por el peregrino. b) Calcula el valor de esa expresión.

5

6 Obtén estas potencias con ayuda de la calculadora:

a) 311 d) 134

22 ↓ 4

11

4 Calcula mentalmente y ordena de mayor a menor.

a) 23 d) 203

12 ↓ 1

a) 82 + 8 c) 53 – 52 + 5 e) (26 – 24)5 – 24

26

m

7**=== {∫∫∫∫“¢≠‘}

10 Calcula expresando el proceso paso a paso.

3 Completa la tabla en tu cuaderno.

Potencia

=…

9 Escribe los cuadrados de los veinte primeros números

2 Lee estas potencias y exprésalas como producto:

a) 34

Con la calculadora sencilla:

AA

13 Expresa con potencias el número de cubos unitarios

que hay en cada construcción policubo: BB

CC

DD

AA

c) a3 = 64

f ) a10 = 1 024 CC

DD

49

2

Potencias de base 10. Aplicaciones Ya sabes que para multiplicar por 10 basta añadir un cero. Así:

Reflexiona

¿Qué es más cómodo de escribir?

102 = 10 · 10 = 100

103 = 10 · 10 · 10 = 1 000

105 = 100 000

109 = 1 000 000 000

¿Y de interpretar?

9 ceros

1 000 000 000 000 ↔ 1012

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

Expresión abreviada de números grandes En un gramo de oxígeno hay 37 638 383 060 000 000 000 000 átomos.

Los números terminados en ceros pueden expresarse como producto de un número por una potencia de base 10.

Por ejemplo: 400 000 = 4 · 100 000 = 4 · 105 Este recurso facilita la expresión y la comprensión de números muy grandes. |Ejemplo Un año luz: 9 460 800 000 000 km. Observa las transformaciones que hacemos para que esta cantidad sea más fácil de leer, de escribir y de recordar: • Redondeamos, dejando dos cifras significativas → 9 500 000 000 000 • Descomponemos en producto → 95 · 100 000 000 000

37 638 383 060 000 000 000 000 21 cifras

• Expresamos el segundo factor como una potencia de base 10 → 95 · 1011 Un año luz equivale a 95 · 1011 km.

Descomposición polinómica de un número La descomposición de un número según el valor posicional de sus cifras y lo que has aprendido sobre las potencias de base 10 permiten la transformación que muestra el ejemplo siguiente. Es la descomposición polinómica del número.

En un gramo de oxígeno hay 38 · 1021 átomos.

800 000 + 30 000 + 6 000 + 200 + 836 279 =

1 Escribe como potencias de base 10.

a) Un millar. c) Mil millones. a) 4 · 105

b) 15 · 109

3 Escribe el valor de x en cada caso:

a) 2 936 428 ≈ 29 · 10 x b) 3 601 294 835 ≈ 36 · 10 x c) 19 570 000 000 000 ≈ 20 · 10 x

50

+ 9

8 · 105 + 3 · 104 + 6 · 103 + 2 · 102 + 7 · 10 + 9

4 Realiza la descomposición polinómica de los siguientes

números: a) 74 238 c) 4 528 926

b) Un millón. d) Un billón.

2 Expresa con todas sus cifras.

70

c) 86 · 1014

5

b) 680 290 d) 46 350 000

Escribe en notación abreviada los datos que siguen: a) El número de moléculas elementales en un litro de agua es 334 326 000 000 000 000 000 000. b) Las estrellas Alfa Centauri están a unos cuarenta billones de kilómetros del Sol.

2

3

Operaciones con potencias Vas a aprender ahora algunas propiedades que facilitan el cálculo con potencias.

Por eso, es conveniente que las entiendas, las memorices y ensayes su aplicación en diferentes situaciones.

Potencia de un producto (Producto de potencias con el mismo exponente) No te confundas

(2 + 3)4 = 54 = 625

Compara las dos expresiones siguientes y observa que en ambas se obtiene el mismo resultado.

• (2 · 3)3 = 63 = 6 · 6 · 6 = 216

24 + 34 = 16 + 81 = 97

• 23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = 8 · 27 = 216

(2 + 3)4 ≠ 24 + 34

O también:

La potencia de una suma (o una resta) NO ES IGUAL a la suma de las potencias de los sumandos.

• 23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = (2 · 3)3

(a + b)n ≠ an + bn (a – b)n ≠ an – bn

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.

⎯→ (a · b)n = an · bn

Potencia de un cociente (Cociente de potencias con el mismo exponente) Observa otras dos expresiones que también tienen el mismo valor.

• (6 : 3)3 = 23 = 2 · 2 · 2 = 8 • 63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = 216 : 27 = 8 O también: • 63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) = (6 : 3)3 La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor.

⎯→ (a : b)n = an : bn

Para fijar ideas

1 Estudia los ejemplos resueltos a la derecha y, siguiendo los mismos proce-

dimientos, completa y resuelve en tu cuaderno. a) 25 · 55 = (… · …)5 = …5 = …

b) 184 : 94 = (… : …)4 = …4 = … c) 63 · 53 = (… · …)3 = …3 = (… · 10)3 = …3 · 103 = … · 1 000 = … d) (85 · 65) : 245 = (… · …)5 : 245 = …5 : 245 = (… : 24)5 = …5 = …

Ejemplos

• 56 · 26 = (5 · 2)6 = 106 = 1 000 000 • 123 : 43 = (12 : 4)3 = 33 = 27 • 54 · 44 = (5 · 4)4 = 204 = (2 · 10)4 = = 24 · 104 = 16 · 10 000 = 160 000

e) (363 : 93) · 253 = (… : …)3 · 253 = …3 · 253 = (… · 25)3 = …3 = …

• (66 · 56) : 156 = (6 · 5)6 : 156 =

f ) (542 : 32) : 22 = (… : …)2 : …2 = … 2 : … 2 = (… : …)2 = … 2 = …

= 306 : 156 = (30 : 15)6 = 26 = 64

51

3

Operaciones con potencias

Producto de potencias de la misma base anayaeducacion.es Producto de potencias de la misma base.

Al multiplicar dos potencias del mismo número, se obtiene otra potencia de dicho número.

54 · 53 = (5 · 5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 57 ⎯→ 54 · 53 = 54 + 3 = 57 4 veces

3 veces

Observa que el exponente del producto final es la suma de los exponentes de los factores.

Para multiplicar dos potencias de la misma base, se deja la base y se suman los exponentes.

⎯→ am · an = am + n

Cociente de potencias de la misma base anayaeducacion.es

Recordando las relaciones entre la multiplicación y la división, tenemos que:

Cociente de potencias de la misma base.

54 · 53 = 57 ↔

57 : 53 = 54 ⎯→ 57 : 53 = 57 – 3 = 54 57 : 54 = 53 ⎯→ 57 : 54 = 57 – 4 = 53

Observa que el exponente de cada cociente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.

Para dividir dos potencias de la misma base, se deja la base y se restan los exponentes.

⎯→ am : an = am – n

Potencia de otra potencia Al elevar una potencia a otra potencia, se obtiene una nueva potencia de la misma base.

(54)3 = 54 · 54 · 54 = 54 + 4 + 4 = 54 · 3 = 512 Observa que el exponente final es el producto de los exponentes de la expresión inicial.

Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

⎯→ (an)m = an · m

Para fijar ideas

2 Completa en tu cuaderno y reduce.

Ayudas

a) a3 · a5 = a… + … = a…

b) a8 : a5 = a… – … = a…

c) (a2)4 = a… · … = a…

d) (a2)2 = a… · … = a…

3 Opera y reduce a una sola potencia.

a) a12 : (a4 · a4) = a12 : a… = a… b) (53)3 : (54 · 53) = 5… : 5… = 5… c) (m10 : m8) · (m5 : m4) = m… · m… = m…

52

• a3 · a3 = a3 + 3 = a6 (a3)3 = a3 · 3 = a9 • x9 : (x3 · x4) = x9 : x7 = x2 (y5)2 : (y2 · y4) = y10 : y6 = y4 (z3 · z5) : (z4 · z2) = z8 : z6 = z2

2

Potencia de exponente cero Observa lo que ocurre cuando dividimos una potencia cualquiera, por ejemplo 53, entre sí misma: • Aplicando la propiedad del cociente → 53 : 53 = 53 – 3 = 50 • Aplicando el cálculo habitual → 53 : 53 = 125 : 125 = 1

→ 50 = 1

Así, a 50 le asignamos el valor 1.

La potencia cero de un número (distinto de cero) es igual a uno.

⎯→ a0 = 1 (a ≠ 0)

Por ejemplo: 20 = 1

80 = 1

100 = 1

340 = 1

anayaeducacion.es Operaciones con potencias.

1 Completa en tu cuaderno, como en el ejemplo.

6 Reduce a una sola potencia.

• (4 · 3) = 12 = 144 4 " (4 · 3)2 = 4 2 · 3 2 4 2 · 3 2 = 16 · 9 = 144

a) 52 · 52

b) 32 · 35

c) 105 · 102

d) a5 · a5

a) (3 · 5)2 = … …

4 32 · 52 = …

e) m7 · m

f ) x2 · x6

2

2

b) (4 · 2)3 = … …

4 43 · 23 = …

2=

7 Expresa con una única potencia.

3=

c) (12 : 3) … …

4 12 2 : 3 2 = …

d) (20 : 4) … …

4 203 : 43 = …

2 Reflexiona y calcula de la forma más sencilla.

a) 53 · 23

b) 42 · 52

c) 252 · 42

d) 203 · 53

e) 165 : 85

f ) 183 : 63

g) 214 : 74

h) 352 : 52

i) 1003 : 503

b) (64 · 34) : 94

c) (803 : 83) : 53

d) (482 : 22) : 62

e) (82 · 122) : (62 · 82)

f ) (33 · 43) : (203 : 53) b) (5 + 2)3

62 + 42

53 + 23

5 Copia en tu cuaderno y sustituye cada casilla por el signo

«=» o «≠», según corresponda:

10

d) a10 : a6

e) m5 : m

f ) x8 : x4

a) (52)3

b) (25)2

c) (103)3

d) (a5)3

e) (m2)6

f ) (x4)4

a) x · x 2 · x3

b) m2 · m4 · m4

c) (k9 : k5) : k3

d) (x5 : x3) : x 2

e) m6 : (m8 : m4)

f ) (k 2 · k5) : k6

g) (x 2)5 : x7

h) m10 : (m3)3

i) (k 2)6 : (k3)4

j) (x5 : x3)2

Resuelve las siguientes expresiones con operaciones combinadas:

a) (4 + 1)3

43 + 13

b) (4 + 1)3

c) (6 – 2)4

64 – 24

d) 73

(10 – 3)3

a) 62 + 22 – 22 + 5

b) 24 – 38 : 36 – 22

f ) 104

52 · 22

c) 10 + (52)3 : (53)2

d) (105 : 55) – (22 · 22)

e) [(8 – 5)2 · (9 – 6)3] : 35

f ) [(7 – 4)3 – (9 – 4)2]4

e) 102

52 · 22

g) (12 : 3)2

122 : 32

h) 122 : 62

53

c) 107 : 106

9 Reduce.

4 Calcula y observa que los resultados no coinciden.

a) (6 + 4)2

b) 38 : 35

8 Reduce a una única potencia.

3 Calcula.

a) (25 · 35) : 65

a) 26 : 22

64

53

4

Raíz cuadrada Calcular la raíz cuadrada es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado. b2 = a )

a =b

|Ejemplos 42 = 16 → 16 = 4 → La raíz cuadrada de 16 es 4.

152 = 225 →

225 = 15 → La raíz cuadrada de 225 es 15. raíz

— √a = b

⎯→ Se lee: La raíz cuadrada de a es igual a b.

radicando

Raíces exactas y raíces enteras • Los cuadrados de los números naturales se llaman cuadrados perfectos:

No lo olvides

Te conviene memorizar los primeros cuadrados perfectos.

12

22

32

42

52

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

1

4

9

16 25

64

121

400

…

82

…

112

202

…

12 = 1

102 = 100

22 = 4

112 = 121

32 = 9

122 = 144

La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es una raíz exacta.

42 = 16

132 = 169

Por ejemplo, son raíces exactas las siguientes:

52 = 25

142 = 196

62 = 36

152 = 225

72 = 49

162 = 256

82 = 64

172 = …

92 = 81

182 = …

9 =3

121 = 11

…

400 = 20

• Sin embargo, para la mayoría de los números, la raíz no coincide con una cantidad exacta de unidades enteras.

Busquemos, por ejemplo, la raíz de 40: 6 2 = 36 < 40 → 6 < 40 < 7 → La raíz cuadrada de 40 es un 4 número comprendido entre 6 y 7.

7 2 = 49 > 40 Al número natural que más se aproxima, por debajo, a la raíz, lo llamamos raíz entera.

40 ≈ 6 → La raíz entera de 40 es 6.

Para fijar ideas

1 Teniendo en cuenta los datos del recuadro, completa en tu cuaderno.

a) 175 ≈ 13 → Raíz entera b) 200 … → … c) 225 … → … d) 250 … → …

54

122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256

Ayudas

• 122 = 144 → 144 = 12 → Raíz exacta • 150 ≈ 12 → Raíz entera • 132 = 169 → 169 = 13 → Raíz exacta • 230 ≈ 15 → Raíz entera

2

Cálculo de la raíz cuadrada por tanteo Con lo que ya sabes, puedes calcular raíces mediante el tanteo. Esta técnica te ayudará a aclarar ideas y a fijar el concepto. Más adelante aprenderás otras técnicas más rápidas. |Ejemplo Calcular, por tanteo, 3 900 .

60 2 = 3 600 < 3 900 h h h Como ves, 3 900 es mayor que 62 2 y menor que 63 2 .

2= < 62 3 844 3 900 63 2 = 3 969 > 3 900

4

Por tanto: 62 < 3 900 < 63 La raíz cuadrada de 3 900 es un número comprendido entre 62 y 63.

3 900 ↓

622

632 3 969

3 844 — √3 900 ↓

62

1 Copia y completa, como en el ejemplo.

63

5 Calcula, teniendo en cuenta los resultados del ejercicio

anterior.

• 25 = 5 " La raíz de 25 es igual a 5. a) 49 = 7 " … b) 64 = … " …

a) 289

b) 361

c)

d) 576

e) 676

f ) 841

o entera.

d) 121 = … " …

2 Calcula mentalmente.

4

b) 9

c) 36

d) 400

e) 900

f ) 3 600

g) 6 400

h) 8100

i)

10 000

3 Calcula la raíz entera en cada caso:

a)

484

6 Observa el cuadro y calcula indicando si la raíz es exacta

c) 81 = … " …

a)

3900 ≈ 62 → La raíz entera de 3 900 es 62.

5

b) 10

c) 24

d) 32

e) 39

f ) 50

g) 68

h) 92

i)

105

4 Escribe en tu cuaderno los cuadrados perfectos com-

prendidos entre 200 y 900.

152

162

172

182

…

302

225

256

289

324

…

900

502 = 2 500

512 = 2 601

522 = 2 704

532 = 2 809

542 = 2 916

552 = 3 025

a) 2 550

b) 2 601

c) 2 725

d) 2 815

e)

f ) 2 929

2 916

7 Calcula por tanteo.

a) 90

b) 150

c) 700

d) 1521

e) 6 816

f ) 10 816

8 Resuelve.

a) 121 – 100 + 81

b) _4 · 25 – 5 · 9 i : 5 c)

4 3 – 25 – 5 2 + 7

d) (8 – 6)6 : 4 4 55

4

Raíz cuadrada

Algoritmo para el cálculo de la raíz cuadrada Para calcular con lápiz y papel una raíz cuadrada, sigue los pasos que se describen a continuación. |Ejemplo Vamos a calcular 105 674 : 1 Separamos de dos en dos, desde la derecha, las cifras del radicando, y calcula-

mos la raíz del paquete de la izquierda _ 10… i. √10 . 56 . 74 3

3 · 3 → –9

6

← A

A = 10 = 3 y deja 1 de resto.

← B

B: Escribimos el doble de A.

1 2 Bajamos el paquete siguiente (56) y buscamos la cifra

6 c × c sea lo más próximo a 156, sin sobrepasarlo.

c , de forma que

√10 . 56 . 74 3

√10 . 56 . 74 3

–9 ↓↓

–9

6 c × c c =2

1 56

62 × 2 = 124

156

6 2 × 2 = 124 → –124 032 c = 2 al campo de la solución, bajamos el siguiente paquete (74) y repetimos el proceso.

3 Subimos el valor

√10 . 56 . 74 32

√10 . 56 . 74 32

–9

62 × 2 = 124

–9

62 × 2 = 124

156

64 d × d

156

645 × 5 = 3 225

–124 32

–124 d =5

74

64 5 × 5 = 3 225 → –3225

Utiliza la calculadora

• En algunas calculadoras, la sucesión de teclas para calcular 105 674 es: 105674 $ → {«“∞…≠|∞………}

0049 4 Subimos el valor

d campo de la solución.

• En otras, es la siguiente:

Solución: 105 674 = 325

• $ 105674 = → {«“∞…≠|∞………}

Prueba: 3252 + 49 = 105 674

9 Copia en tu cuaderno y completa las siguientes raíces

resueltas mediante el algoritmo: √1 1 5 8 4 – 6 × – 2 5 6 0 0

56

3274

√2 7 3 8 5 – 102 × 2 2 3 8 –

10 Calcula con lápiz y papel y, después, comprueba con la

calculadora. a) 1 444

b) 2 025

c) 2 945

d) 3 974

e)

f ) 126 782

20164

11 Obtén con ayuda de la calculadora.

a) 2 936

b) 10 568

c) 528 471

Ejercicios y problemas

2

¿Dominas lo básico?

Operaciones con potencias

Cálculo de potencias

11

Calcula. b) (5 – 4 + 2 – 1)3 a) 72 – 62 + 52 – 42 c) (10 – 6)2 – (10 – 8)3 d) 34 – (5 – 3)2 – (23)2 e) (13 – 3)2 · (7 + 3)2 + (15 – 5)2 · 10

12

Reflexiona sobre estos enunciados y tradúcelos a igualdades o desigualdades matemáticas: a) Potencia de un producto. ↔ Producto de las potencias de los factores. b) Potencia de una suma. ↔ Suma de las potencias de los sumandos. c) Producto de potencias de igual base. ↔ La misma base elevada a la suma de exponentes. d) Potencia de potencia. ↔ La misma base elevada al producto de los exponentes. e) Potencia de exponente cero. ↔ Uno.

1

Calcula mentalmente. b) 63 c) 35

a) 24 2

3 4 5

d) 204

e) 300

Copia en tu cuaderno y completa. b) 2 = 4 900 a) 3 = 8 000 d) 4 = 160 000 c) 4 = 10 000 Calcula con lápiz y papel. b) 95 c) 110 a) 55

d) 153

e) 164

Escribe todos los cuadrados perfectos comprendidos entre 1 000 y 1 500.

Copia y completa en tu cuaderno. a0

a1

a2

a3

a4

a5

3 16

13

1 000 16 1

14

7

8 9

10

Escribe con todas sus cifras. b) 106 c) 1010 a) 102

d) 1012

e) 1016

Escribe como potencia de base 10. a) Cien. b) Cien millones. c) Cien billones. d) Cien mil billones.

Expresa con todas sus cifras. b) 34 · 109 a) 13 · 107

c) (k 2)4 f ) k6 : k4

Sustituye cada asterisco por el exponente adecuado. b) a5 · a3 = a* d) 26 : 24 = 2* c) m3 · m* = m9 f ) m8 : m* = m6 e) a9 : a8 = a* g) (42)3 = 4* h) (a2)2 = a* j) (x*)2 = x12 i) (m4)* = m12

a) 64 · 63 = 6*

Potencias de base 10. Expresión abreviada de números grandes

6

Reduce estas expresiones: b) m4 · m2 d) x 5 · x 5 e) (m3)2

a) x 8 : x 3

15

a) (a7 : a) · a3 c) (m2)5 : (m3)2

c) 62 · 1011

En un kilómetro hay 103 = 1 000 metros, y en un metro hay 102 = 100 centímetros.

Expresa, de la misma forma, los centímetros que hay en un kilómetro.

Redondea a la centena de millar y escribe abreviadamente con el apoyo de una potencia de base 10 el número de habitantes de cada una de estas ciudades: casablanca: 5 899 000 parís: 10 858 000 san francisco: 5 929 000 pekín: 21 009 000

Reduce a una sola potencia, como en el ejemplo.

• (m7 : m4) · (m4 : m3) = m3 · m = m4

16

b) (x9 : x4) : x3 d) (a5)3 : (a4)3

Ejercicio resuelto

Reducir a una sola potencia y, después, calcular.

210 : 44 210 : 44 = 210 : (22)4 = 210 : 28 = 22 = 4 17

Sustituye cada asterisco por el exponente adecuado y comprueba los resultados. a) 27 : 16 = 27 : 2* = 2* = 8 b) 81 : 32 = 3* : 32 = 3* = 9 c) 83 : 25 = (2*)3 : 25 = 2* : 25 = 2* = 16 d) 93 : 33 = (3*)3 : 33 = 3* : 33 = 3* = 27 57

Ejercicios y problemas 29

Raíz cuadrada

18

Calcula, por tanteo, la raíz exacta o la entera. b) 121 c) 1 785 a) 90

19

Resuelve con la calculadora. b) 1024 a) 655 d) 4 225 e) 12 664

20

c) 1369 f ) 33 856

Selecciona y copia los cuadrados perfectos.

1 000 1 225 1 600 1 724 1 601 2 464 3 364 3 540 3 773 3 844 4 000 5 625

30

31

Entrénate y practica 21

Obtén con la calculadora. b) 510 c) 453

a) 412 22

23

24

d) 674

e) 993

Calcula el exponente en cada caso. b) 10x = 10 000 a) 2x = 256 d) 13x = 2 197 c) 7x = 2 401 Transforma como el ejemplo.

• 180 000 = 18 · 104 a) 5 000 b) 1 700 000

16 · 108

9 · 109

Escribe con ayuda de una potencia de base 10. a) Ocho mil quinientos millones. b) Dos billones, trescientos mil millones. c) Cuatro trillones, novecientos mil billones.

26

Calcula como en el ejemplo.

• 123 : 43 = (12 : 4)3 = 33 = 27 b) 26 · 56 a) 82 · 52 d) 65 : 35 e) 153 : 53

27

28

58

32

c) 4 000 000 000

25

Calcula. a) 184 : (24 · 34) c) (154 : 34) : 52 e) (62 · 65) : (63 · 64)

33

a) 5 2 + 12 2 – _ 5 i

2

b) _ 2 i + _ 3 i – 50 4

2

Copia en tu cuaderno y sustituye cada casilla por el signo «=» o por el signo «≠», según corresponda. b) 3 · 4 a) 2 · 9 12 36 c) 5 · 16 20 d) 4 · 25 10 f) 4 · 4 e) 9 · 9 18 16

En situación Piensa en un tablero de ajedrez

y supón que pones un granito de arroz en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, etc., y continúas doblando el número de granitos cuadro a cuadro. Expresa con potencias: a) El número de granos que habrías necesitado para completar la primera fila. b) El número de granos que había que poner en el último cuadro de la segunda fila. c) Compara los resultados obtenidos en los dos apartados anteriores.

Pon los exponentes en tu cuaderno y calcula. a) Montse tiene una caja con muchos cubitos de goma de 1 cm de arista. Con ellos construye tres cubos iguales de 3 cm de arista.

Número de cubitos usados: 3 = … b) Un hortelano planta lechugas en una parcela de su huerta. Las distribuye en 25 surcos y en cada surco pone 25 lechugas.

Número de lechugas: 5 = … c) Un camión de reparto lleva 6 palés de cajas de leche.

En cada palé van 36 cajas, y en cada caja, 6 tetrabriks de litro.

Número de litros: 6 = …

c) 253 · 43 f ) 204 : 54

b) (35 · 33) : 36 d) (45)2 : (47 : 43) f ) (407 : 57) : (25 · 45)

Observa el ejemplo. Copia, sustituye cada asterisco por el número adecuado y, finalmente, calcula.

• 212 : 45 = 212 : (22)5 = 212 : 210 = 22 = 4 a) 36 : 92 = 36 : (3*)2 = 36 : 3* = 3* = … b) 253 : 54 = (5*)3 : 54 = 5* : 54 = 5* = …

Resuelve.

Expresa y calcula

Ordena, de menor a mayor, estas cantidades: 17 · 107 98 · 106 8 · 109 1010

Copia, sustituye cada asterisco por el número adecuado y, finalmente, calcula. a) (55 · 53) : 253 = (55 · 53) : (5*)3 = … b) (23 · 42) : 8 = [23 · (2*)2] : 2* = [23 · 2*] : 2* = … c) (34 · 92) : 272 = [34 · (3*)2] : (3*)2 = [34 · 3*] : 3* = …

34

Meta 12.3. Un restaurante de la costa granadina, especializado en cocina nazarí, ofrece en su carta nueve primeros platos, nueve segundos y tres postres.

Expresa con una potencia y calcula el número de menús diferentes que se pueden elegir.

2

35

Expresa con una potencia el número de madres y padres que tuvieron entre todos los tatarabuelos y tatarabuelas de Juancho.

39

a) Supón que lo pintamos de rojo. ¿Cuántos cubitos unitarios habrían quedado parcialmente pintados? b) Supón que lo queremos hacer más grande, recubriéndolo completamente con una capa de cubitos verdes. ¿Cuántos cubitos verdes necesitaríamos?

Resuelve problemas sencillos 36

¿Cuáles son las dimensiones del mayor suelo cuadrado que se puede cubrir con 200 baldosas cuadradas de 20 cm de lado, sin partir ninguna? ¿Cuántas baldosas sobran?

37

Marcos tiene una bolsa con 50 dados de madera de 1 cm de arista. ¿Cuál es la arista del mayor cubo que puede construir con ellos? ¿Cuántos dados sobran?

38

Observa el cubo de la ilustración formado por 5 × 5 × 5 cubitos unitarios.

40

Una finca cuadrada tiene 900 metros cuadrados de superficie. ¿Cuántos metros lineales de alambrada habría que comprar para cercarla?

Problema resuelto

Decide los pasos intermedios. ¿Qué datos aún no conoces pero necesitas para llegar a la solución?

Marta ha comprado cinco pliegos con cuarenta pegatinas cada uno y ha decorado el cubo pequeño. ¿Le quedan suficientes pegatinas para decorar de la misma forma el cubo grande?

• ¿Cuántas pegatinas compró?

Compró 5 × 40 = 200 pegatinas.

• ¿Cuántas usó para el cubo pequeño?

En el cubo pequeño usó 6 · 32 = … pegatinas.

• ¿Cuántas pegatinas le quedan?

Para pensar un poco más 41

Alberto le cuenta un cotilleo a Nacho y Sara.

Diez minutos después, Nacho se lo ha contado ya a Raquel y a Marta; y Sara, a Rosa y a Pablo.

Pasados otros diez minutos, cada uno de estos últimos se lo ha contado a otras dos personas.

Si la difusión del cotilleo sigue al mismo ritmo, ¿cuántas personas lo sabrán una hora después de que se enteraran Nacho y Sara?

42

El suelo de una habitación cuadrada está enlosado con 484 baldosas de 15 cm de lado. Son todas blancas, excepto las que están a 15 cm de la pared, que forman un marco decorativo de color rojo como se ve en este dibujo:

Le quedan 200 – … = … pegatinas.

• ¿Cuántas necesita para el cubo grande?

Para el cubo grande necesita…

Copia y completa el proceso de resolución en tu cuaderno.

• ¿Cuántas baldosas rojas hay en ese suelo?

59

Autoevaluación ¿Qué has aprendido?

anayaeducacion.es Resolución de estos ejercicios.

1 Copia y completa, como en el primer apartado.

8 Copia y completa esta tabla en tu cuaderno:

• Ocho al cuadrado .... → 82 a) Seis al cubo ............... → … b) Siete a la cuarta ......... → … c) ................................. → 102 d) ................................. → 123 e) ................................. → 29

Propiedades de las potencias La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor.

Para multiplicar dos potencias de la misma base, se suman los exponentes.

2 Escribe en forma de potencia.

a) 1 · 1 · 1 · 1 · 1 c) 5 · 5 · 5 f) m · m h) x · x · x · x

b) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 e) 10 · 10 · 10 g) a · a · a i) z · z · z · z · z · z

3 Calcula.

a) 50 d) 70 g) 100

b) 51 e) 71 h) 103

c) 52 f ) 72 i) 107

4 Copia y completa en tu cuaderno.

a) 2 = 8 c) 2 = 81

b) 5 = 125 d) 4 = 81

5 Escribe todos los cuadrados perfectos mayores que

100 y menores que 300.

6 Observa, copia en tu cuaderno y completa.

Número

(a · b)n = an · bn

Descomposición polinómica

456 002

am : an = am – n

Para dividir…

Para elevar una potencia a otra potencia…

9 Copia y completa en tu cuaderno.

a) x 3 · y 3 = (

·

b) x 4 : y 4 = (

)

:

)

10 Reduce a una sola potencia.

a) a3 · a2 11

b) x5 : x4

c) (a3)4

Calcula por el camino más corto. a) 24 · 54

b) 183 : 93

12 Reduce.

a) (x 5 · x 2) : x 4

b) (a5)2 : (a2)3

13 Copia en tu cuaderno y completa.

a) 36 = d c) 10 000 = d e) d = 8

b) 400 = d d) d = 3 f ) d = 30

14 Calcula con lápiz y papel la raíz cuadrada entera de 3 · 106 + 7 · 105 + 2 · 103

7 La población española el 1 de enero de 2021 era de

47 394 223 habitantes.

2 920. Después, comprueba con la calculadora si el resultado es correcto.

15 Álvaro dibuja tres cuadrados: uno de 5 cm de lado,

otro de 12 cm de lado y el tercero de 13 cm de lado.

Después, colorea de rojo los dos primeros y de verde el último. ¿Qué superficie es mayor, la verde o la roja?

16 ¿Cuántos dados de madera, de 1 cm de arista, hay en

10 paquetes como el que ves en la ilustración? m

10 c

a) Aproxima esa cantidad a los millones. b) Exprésala en la notación abreviada, con ayuda de una potencia de base 10.

60

10 cm 10

cm

Situación de aprendizaje Planificar un método de ahorro utilizando recursos de la unidad

....

RESU

ELVO

2

....

Recuerda la propuesta que te hacíamos al iniciar el tema. A continuación te mostramos una forma de realizar ese trabajo.

– El primer día pone en una hucha una moneda de un euro (1 €).

– El segundo día, dos monedas (2 €).

– El tercer día mete cuatro euros (4 €).

– El cuarto día, ocho (8 €).

Y así sucesivamente, poniendo cada día el doble que el anterior.

• En primer lugar, observamos la evolución de la cantidad a poner cada día, y del ahorro que se va acumulando.

Día

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Toca poner

1

2

4

8

16

32

64

?

?

?

Ahorro acumulado

1

1+2=3

4+3=7

8 + 7 = 15

31

63

?

?

?

?

¿Ves alguna relación entre los valores de la segunda y de la tercera fila? ¿Cuál?

• ¿Podrías expresarlo con potencias?

Día

1

2

3

4

5

…

10

Toca poner

20

21

22

23

?

…

?

Ahorro acumulado

21 – 1

22 – 1

…

…

?

…

?

Ahora, si has completado las tablas, lo tendrás más fácil: 1 ¿Cuántos días tendrían que pasar para tener que poner más

de cien euros? (8 días: 27 = …)

2 ¿Cuánto tendría ahorrado en ese momento, contando con

lo puesto ese día? (2 … – 1 = … €)

3 Hazte las mismas dos preguntas anteriores, pero en el caso

de tener que poner más de 1 000.

4 ¿Te atreves a repetirlas con cantidades mayores? ¿Cuántos

Nota Consulta con tu profesor o profesora si, a partir de algún momento, puedes usar la calculadora.

Si le parece bien, asegúrate antes de que manejas correctamente el modelo que usas (todas, hasta las más sencillas, te facilitarán el trabajo, pero no todas funcionan igual). Te mostramos dos modelos y la forma de calcular, con ellos, potencias de 2.

días tendrían que pasar para tener ahorrado un millón de euros?

El día … tendría que poner 2… = … € y con eso, tendría acumulados 2… – 1= … € Comentario: el crecimiento es … , por tanto, …

25 = 32

Avanza solo o en equipo

Puedes repetir el trabajo anterior, pero suponiendo que, en vez del doble, cada día se pone el triple que el anterior.

1 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

61

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