Operación Mundo: Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais I 1. Bacharelato (demo)

DEMO

INCLÚE

C

EN

S

LI

PROXECTO DIXITAL E

ZA 12 MES

1

BACHAR ELATO

MATEMÁTICAS APLICADAS Ás CIENCIAS SOCIAIS I José Colera J., M.ª José Oliveira G., Ramón Colera C., Rosario García P., Ana Aicardo B.

a

ic ón

r pe

O u

o d n

m

Índice Os saberes básicos do curso

B reve historia das matemáticas Unidade inicial 0 Resolución de problemas

. . ......... 10

................................. 14

• Análise dalgunhas estratexias Problemas para practicar

BLOQUE I.

Aritmética e álxebra

1 Os números reais

Linguaxe matemática. Conxuntos e símbolos Números reais. A recta real Raíces e radicais Logaritmos Expresión decimal dos reais.

Números aproximados Exercicios e problemas Autoavaliación

2 Aritmética mercantil

.. ............................................ 56

Aumentos e diminucións porcentuais Taxas e números índices Xuros bancarios Que é a «Taxa anual equivalente» (T.A.E.)?

Amortización de préstamos Progresións xeométricas Cálculo de anualidades ou mensualidades para amortizar débedas 8. Produtos financeiros Exercicios e problemas Autoavaliación

2

.. ............................................................................................... 78

1.

2.

3.

4.

5.

Polinomios. Factorización Fraccións alxébricas Resolución de ecuacións Resolución de sistemas de ecuacións Inecuacións e sistemas de inecuacións cunha incógnita 6. Inecuacións lineais con dúas incógnitas Exercicios e problemas Autoavaliación Autoavaliación do bloque I

BLOQUE II. ............................................................ 30

1.

2.

3.

4.

5.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

3 Álxebra

Análise

4 Funcións I

.. ................................................................................... 108

1. As funcións e o seu estudo 2. Dominio de definición 3. Funcións lineais. Interpolación 4. Funcións cuadráticas. Interpolación 5. Funcións de proporcionalidade inversa 6. Funcións raíz 7. Funcións definidas a «anacos» 8. Valor absoluto dunha función Exercicios e problemas Autoavaliación

5 Funcións II

................................................................................. 134

1. Transformacións elementais de funcións 2. Composición de funcións 3. Función inversa ou recíproca doutra 4. Funcións exponenciais 5. Funcións logarítmicas 6. Funcións trigonométricas Exercicios e problemas Autoavaliación

6 L ímites de funcións.

Continuidade e ramas infinitas

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

. . ........................................................ 158

Comportamento dunha función no infinito Cálculo de límites de funcións cando x → +∞ Límite dunha función cando x → –∞ Cálculo de límites de funcións cando x → –∞ Comportamento dunha función nun punto.

Límites e continuidade Cálculo de límites nun punto Ramas infinitas. Asíntotas Ramas infinitas nas funcións racionais Ramas infinitas nas funcións trigonométricas, exponenciais e logarítmicas Exercicios e problemas Autoavaliación

7 D erivadas

....................................................................................... 188

1. Medida do crecemento dunha función 2. Obtención da derivada a partir da expresión analítica 3. Función derivada doutra 4. Regras para obter as derivadas dalgunhas funcións 5. Táboa de derivadas 6. Utilidades da función derivada 7. Optimización de funcións 8. Representación de funcións Exercicios e problemas Autoavaliación Autoavaliación do bloque II

BLOQUE III.

Estatística e probabilidade

8D istribucións

bidimensionais

.................................................................. 222

1. Distribucións bidimensionais.

Nubes de puntos 2. Correlación lineal 3. Parámetros asociados a unha distribución bidimensional 4. Recta de regresión 5. Hai dúas rectas de regresión 6. Táboas de continxencia Exercicios e problemas Autoavaliación

9 C ombinatoria e probabilidade

. . ........ 244

1. Diagrama en árbore 2. Variacións e permutacións (importa a orde) 3. Cando non inflúe a orde. Combinacións 4. Factoriais e números combinatorios 5. Cálculo de probabilidades Exercicios e problemas Autoavaliación Autoavaliación do bloque III

Anexo S olucionario

das autoavaliacións

......................................................... 263

3

4 Funcións I Primeiras aproximacións á idea de función O concepto de función aparece como tal no século xvii, pero o proceso ata chegar a el foi lento e remóntase ata a Antigüidade.

Na matemática babilónica de hai 4 000 anos encontramos os primeiros achegamentos en forma de leis que describen relacións entre magnitudes, de tal maneira que coñecendo o valor dalgunha delas se obtén, inequivocamente, o valor da outra.

No século ii a. C., o matemático grego Ptolomeo estudou relacións entre variables, sen chegar a comprender o concepto de función.

Oresme (matemático francés do século xiv) afirmou en 1350 que as leis da natureza son relacións de dependencia entre «dúas cantidades». Foron este tipo de relacións as que serviron de orixe ao concepto de función. A primeira idea de función é, pois, a dunha fórmula que relaciona alxebricamente varias magnitudes.

Galileo, a finais do século xvi, utilizou por primeira vez a experimentación cuantitativa como fonte de información. Empezou a medir, anotar e valorar cuantitativamente causas e efectos para establecer relacións numéricas que describisen fenómenos naturais.

Reprodución do mapamundi incluído na obra Geographia de Ptolomeo.

O concepto de función xeneralízase As investigacións de Galileo sobre as relacións matemáticas entre dúas variables (x e y, causas e efectos) son un antecedente moi claro do concepto de función, que vai collendo forma ao longo do século xvii. A representación gráfica mediante diagramas cartesianos (século xvii) permitiu a visualización das funcións. Deste modo, o concepto de función xeneralízase a calquera relación numérica que responda a unha gráfica sobre uns eixes coordenados.

Leibniz en 1673, adopta a palabra función para designar estas relacións.

Euler entre 1748 e 1755, foi perfilando o concepto, ao que deu precisión e xeneralidade, admitindo, que unha relación entre dúas variables pode ser función, aínda que non haxa unha expresión analítica que a describa. O propio Euler foi quen achegou a nomenclatura f (x) para indicar o valor da función f asociado ao número x. Pódese dicir que con Euler se asenta o concepto de función.

108

Utilidade das funcións As funcións utilízanse para modelizar e estudar multitude de fenómenos sociais, naturais, científicos... Aínda que algunhas teñen expresións moi complexas, é sorprendente ver a simplicidade de moitas outras.

Como se determina a cantidade de osíxeno en sangue? Entre outras, utilízase unha función cuxa curva ten forma de ese (dise que é de forma sigmoide).

Intervén algunha función na determinación da idade dos fósiles? Si, unha logarítmica.

Un equipo de investigadores e investigadoras da NASA desenvolveu un complexo modelo matemático destinado a predicir as eclipses de Fobos (satélite de Marte) para poder observalos co vehículo Curiosity desde a superficie de Marte. Entre outros datos, a predición das devanditas eclipses require coñecer, para calquera instante de tempo, as coordenadas de Fobos e do Sol desde Marte. Este modelo ditamina en que instantes a cámara situada no mastro de CurioA sonda Curiosity na superficie de Marte. sity debía enfocar o Sol.

RESOLVE Familias de funcións Xa coñeces moitas familias de funcións: os seus nomes, como son as súas expresións analíticas e que forma teñen as súas gráficas.

Asocia cada nome de familia coa súa representación gráfica e coa súa expresión analítica xeral.

1. Cuadrática 2. Raíz 3. Proporcionalidade inversa 4. Exponencial 5. Logarítmica A

B Y

Y

C

X

X

D

Y

E Y

Y

X X

C

X

D

Y

E Y

Y

X

X X

I. y = x – 4

II. y = 4x

III. y = x 2 – 4x

IV. y = log2 x

V. y =

2 x –3

109

1

As funcións e o seu estudo Concepto de función Na ciencia, na técnica, na natureza, podemos identificar infinidade de funcións: • A velocidade que leva unha partícula depende do tempo, é función do tempo.

• A presión da auga do mar é función da profundidade.

• O tamaño con que se ve un obxecto a través dunha lupa é función da distancia á que se coloque a lupa.

• A sensación coa que se percibe un estímulo é función da intensidade deste.

En todas elas se relacionan dúas variables. Tanto nestas coma nas demais funcións que manexamos habitualmente, as variables toman valores reais (é dicir, móvense no conxunto Á dos números reais). f é unha función de Á en Á se a cada número real, x ∈ Dom, faille corresponder outro número real, f (x): Dom ⊂ Á

Dom ⎯→ Á x ⎯→ f (x)

O conxunto Dom dos valores que pode tomar a variable independente, x, se chama dominio de definición da función.

Y

PERCORRIDO

O conxunto dos valores que toma a función chámase percorrido.

y = f (x)

➜

anayaeducacion.es Animación para visualizar o dominio e o percorrido de varios tipos de funcións.

DOMINIO DOMINIO

X

Destaquemos que para que f (x) sexa función, cada valor de x ∈ Dom debe ter asignado un único valor f (x): f (x) é único para cada x ∈ Dom Posto que tanto a variable x como a función f (x) toman valores rea­is, estas funcións chámanse funcións reais de variable real.

Como veñen dadas as funcións As funcións chégannos en diversos formatos: • Mediante a súa gráfica Permite que nos fagamos unha idea moi clara de como é a función cun só golpe de vista.

• Pola súa expresión analítica (fórmula) Sintetiza alxebricamente de forma perfecta a relación entre as dúas variables. É a máis precisa, pero non é doado ver o seu comportamento dunha soa ollada.

• Mediante un enunciado Se nos vén dada por un enunciado (acompañado ou non dunha táboa de valores) deberemos traducilo a unha gráfica ou, se fose posible, a unha expresión analítica.

110

y=x

4

3 x +1 –x –3

A temperatura dun paciente que comeza a súa enfermidade ata que volve ter 37 °C...

U4

Aspectos relevantes dunha función Analizar o comportamento dunha función dada pola súa gráfica é sinxelo. Claro, para iso está a devandita gráfica, para que sexa doado visualizar os vaivéns da función.

Observamos as subidas e baixadas (crecemento e decrecemento), así como os máximos (puntos onde a curva deixa de subir e empeza a baixar) e mínimos. As descontinuidades (roturas), as ramas infinitas... Todo iso é moi relevante para a análise da función que se está a describir.

Y

X

Nos cursos anteriores familiarizámonos coa interpretación de fenómenos físicos, biolóxicos, económicos... descritos mediante gráficas. Non obstante, neste curso marcámonos un novo e grande obxectivo: ser capaces de representar unha función a partir da súa expresión analítica. Para iso, necesitamos dúas importantes ferramentas (límites e derivadas) que estudaremos nas próximas unidades e que, agora, pasamos a describir moi brevemente.

Límites As ramas infinitas, tanto as que se dan en puntos finitos coma as que xorden cando a función se afasta cara á esquerda ou cara á dereita, obtéñense mediante os límites.

Y

Y

X

X

PREGUNTAR Á EXPRESIÓN ANALÍTICA Habemos de aprender a facerlle preguntas á expresión analítica dunha función.

• Es continua?

• Tes ramas infinitas? Onde están? Como son?

• Onde es crecente? Onde decrecente?

• Cales son os teus máximos e mínimos?

•…

E ser capaces de encontrar as respostas a estas preguntas.

O estudo dos límites (unidade 6) permitiranos descubrir se existen estas ramas, onde están localizadas e que forma teñen. Os límites tamén axudan a dilucidar se unha función é ou non continua nun punto ou se existe algún tipo de «rotura».

e

ce

crec X

ce

cre

O bo manexo das derivadas permitiranos descubrir os intervalos onde unha función é crecente e onde é decrecente, así como a obter os seus máximos e mínimos.

de

A derivada dunha función é outra función que describe a pendente (inclinación) da primeira en cada un dos seus puntos. Na unidade 7 aprenderemos as técnicas de cálculo de derivadas.

cre

Derivadas

Y

111

2

Dominio de definición Por que se restrinxe o dominio de definición • A función y = –5x 2 + 20x corresponde a unha parábola. A cada valor real da x correspóndelle un valor de y. O seu dominio de definición é todo Á.

Y 20

• A función a = 20t – 5t 2 indica a altura á que se encontra unha pedra lanzada cara a arriba cunha velocidade de 20 m/s. É a mesma parábola descrita no parágrafo anterior, pero agora a función só está definida para valores de t que fagan a ≥ 0 (a pedra se para ao chegar ao chan). O dominio desta función é [0, 4].

a = 20t – 5t 2

10 0

• A función cuxa expresión analítica é y = x – 7 non está definida en x = 1, pois 1 – 7 = –6 non é un número real. Só está definida se x vale 7 ou máis. O seu dominio de definición é [7, +∞).

2

4

X

y = –5x 2 + 20x

O dominio de definición dunha función queda restrinxido por algún dos seguintes motivos: • O enunciado ou contexto real do que se extraeu a función.

• A imposibilidade de facer algunha operación con certos valores de x. Por exemplo: — Se se anulase o denominador nunha fracción alxébrica.

— Se aparecese un número negativo dentro dunha raíz de índice par.

— Se un logaritmo actuase sobre un número non positivo.

• Por vontade de quen propón a función.

OBSERVACIÓN Se non se di outra cousa, o dominio de definición dunha función é tan amplo como permita a súa expresión analítica.

Operacións que restrinxen o dominio de definición • Denominador cero

x2 – 1 . Hai que excluír do dominio de definición – 2x – 15 os valores de x que anulan o denominador. Achámolos resolvendo a ecuación x 2 – 2x – 15 = 0 → x = –3, x = 5. Polo tanto: Por exemplo, f (x) =

x2

Dom f = Á – {–3, 5} = (–∞, –3) « (–3, 5) « (5, +∞) • Raíz de índice par e radicando negativo

LEMBRA O intervalo (–3, 5) abrangue todos os números comprendidos entre –3 e 5, pero non inclúe –3 nin 5.

O intervalo [–3, +∞) abarca todos os números maiores que –3 incluíndo o –3.

Por exemplo, f (x) = 2x + 6 . Só podemos achar a raíz cadrada para valores de x nos que 2x + 6 ≥ 0; é dicir, para x ≥ –3. Polo tanto: Dom f = [–3, +∞) • Logaritmo dun número non positivo Por exemplo, f (x) = ln (3x – 12). Para poder achar o logaritmo, debe ser 3x – 12 > 0; é dicir, x > 4. Polo tanto, o dominio de definición é: Dom f = (4, +∞) • Varias restricións Cando na mesma función conflúen máis dunha destas circunstancias, hai que telas en conta. Por exemplo: 1 . Para poder calcular a raíz cadrada, o radicando, x + 4, debería ser x +4 maior ou igual que cero; pero, ao estar no denominador, non pode ser cero. Polo tanto, o dominio estará formado polos valores de x tales que x + 4 > 0; é dicir, x > – 4. O dominio é Dom f = (–4, +∞).

• f (x) = 1 + x . Por unha parte, o denominador non pode ser cero, polo que x –5 x = 5 non forma parte do dominio. Ademais, ha de ser x ≥ 0 para poder achar a raíz cadrada. Unindo as dúas condicións, Dom f = [0, 5) « (5, +∞).

• f (x) =

112

➜

Axúdate de GeoGebra para calcular o dominio de definición.

U4

Exercicios resoltos

1 Achar o dominio de definición destas funcións: a) y = 2x + x – 5 x+4 x 3 – 7x – 6 – 8x 2 + 15x c) y = 2x – 3 x + x +1 b) y =

x3

2 Achar o dominio de definición das seguintes funcións: a) y = x 2 – 3x b) y = ln (x 2 – 3x)

a) Hai que excluír do dominio de definición ao 0, que anula ao primeiro denominador, e ao –4, que anula ao segundo. Polo tanto: Dom = Á – {–4, 0} = (–∞, –4) « (–4, 0) « (0, +∞) b) A función non está definida nos puntos nos que se anula o denominador, sen importar se o numerador se anula ou non neles: x3 – 8x2 + 15x = 0 ⇔ (x2 – 8x + 15) · x = 0 ⇔ x = 0, x = 3, x = 5 Hai que excluír estes tres valores do dominio de definición. Polo tanto: Dom = Á – {0, 3, 5} = (–∞, 0) « (0, 3) « (3, 5) « (5, +∞) c) O denominador non se anula en ningún punto. Polo tanto, o dominio de definición é todo Á: Dom = Á a) Vexamos para que valores de x o radicando é maior ou igual que cero: Temos: x 2 – 3x = 0 → x (x – 3) = 0 → x = 0, x = 3 Y

A representación da parábola axúdanos a ver que o radicando é negativo no intervalo (0, 3).

1

Polo tanto, o dominio de definición é: 1

3

Dom = Á – (0, 3) = (–∞, 0) « (3, +∞)

X

b) A expresión sobre a que actúa o logaritmo é negativa ou cero no intervalo [0, 3].

Polo tanto, o dominio de definición é: Dom = Á – [0, 3] = (–∞, 0) « (3, +∞) 3 Achar o dominio de definición de: log (x – 1) y= 5x – x 2

A función log debe actuar sobre valores positivos → x – 1 > 0 → x > 1 A raíz, sobre valores non negativos → 5x – x2 ≥ 0 → 0 ≤ x ≤ 5 O denominador non debe anularse → 5x – x>1 0

1

5

0<x<5

Pensa e practica

➜

x2

° ¢0<x<5 ≠ 0 → x ≠ 0 e x ≠ 5£

Ambas as dúas condicións cúmprense en (1, 5).

Polo tanto: Dom = (1, 5)

anayaeducacion.es Amplía o cálculo de dominios.

Acha o dominio de definición de cada unha das seguintes funcións: 1 a) y =

1 2 x – 4x – 3

2 b) y = x –24x + 3 x +1

1 3x – 9

2 a) y = 3x + 9

b) y =

3 a) y = x 2 – 5x

b) y = 3x2 – 5 x – 5x

4 a) y = log (5x – 20)

b) y = ln (x2 – 5x)

5 a) y =

2x + 1 x 3 – 6x 2 + 8x

b) y = x 3 – 6x 2

6 a) y =

1 – 3x – 1 x +1 x –2

b) y =

x log x

113

3

Funcións lineais. Interpolación As funcións describen fenómenos cotiáns, psicolóxicos, económicos... Tales funcións habitualmente obtéñense de forma experimental e, con frecuencia, responden a algunha das grandes familias que xa coñecemos de cursos anteriores.

Recordemos estas familias e algunhas funcións obtidas experimentalmente que corresponden a elas.

anayaeducacion.es

➜

Representación gráfica dunha función lineal.

Funcións lineais As funcións lineais descríbense con ecuacións de primeiro grao y = mx + n (m, pendente; n, ordenada na orixe), e represéntanse mediante rectas.

Y y = mx + n n X

A pendente, m, é o coeficiente da x cando a y está despexada. É a variación que se produce na y cando a x aumenta unha unidade.

Se coñecemos as coordenadas de dous puntos da recta, P (x1, y1), Q (x2, y2), para achar a pendente, procedemos así: m=

y2 – y1 x2 – x1

y 2 – y 1 é a variación do y x 2 – x 1 é a variación do x

Se dunha recta (función lineal) se coñece un dos seus puntos (x0, y0) e a súa pendente, m, a súa ecuación pode poñerse así: forma punto-pendente da ecuación dunha recta y = m(x – x0) + y0 Exemplo de función lineal: A presión P (en atmosferas) no mar e a profundidade h (en m) relaciónanse coa ecuación:: P=1+ h , h>0 10 A 100 m de profundidade, a presión é equivalente a que che puxesen un camión de 2 t sobre a cabeza.

Imaxina 3 000 m, onde viven os peixes abisais.

Exercicio resolto

➜

a b

(atm)

10

2 10

h h>0 P=1+— 10 50 100 PROFUNDIDADE (m)

anayaeducacion.es Escribe a ecuación punto-pendente da recta.

1 Escribir a ecuación das rectas representadas na gráfica. c

PRESIÓN

Sabías que a zona máis profunda do mar está na fosa das Marianas, no Pacífico, a 10 924 m?

Que presión soportan os seres que viven alí?

Unha triste noticia: cando o somerxible Limiting Factor marcou un récord de profundidade chegando ao fondo das Marianas, encontrou unha bolsa de plástico e envoltorios de caramelos.

a) Pasa por (0, 4) e (2, 5). A súa pendente é m = 5 – 4 = 1 . A ordenada na orixe é 4.

2–0 2 A súa ecuación é: y = 1 x + 4 2 b) Pasa por (0, 0) e (3, 2). A súa pendente é m = 2 . A súa ordenada na orixe é 0.

3 A ecuación é: y = 2 x 3 Lembra: estas funcións lineais cuxas rectas pasan pola orixe chámanse funcións de proporcionalidade. c) Pasa por (2, 7) e por (5, 3). m = 3 – 7 = – 4 . Ecuación: y = – 4 (x – 2) + 7 5–2 3 3

114

U4

Interpolación lineal Se dunha función coñecemos soamente dous dos seus puntos, é claro que nada ou case nada poderemos dicir do seu comportamento noutros puntos. Non obstante, se tivésemos motivos para supoñer que entre eses dous puntos a función é lineal (polo menos aproximadamente), poderiamos achar (exacta ou aproximadamente) os seus valores en puntos intermedios, valéndonos da ecuación dunha recta. y1 – y0 y=— (x – x0 ) + y0 x1 – x0

A(x0, y0)

B(x1, y1) y1 – y0

Unha función pasa polos puntos A(x0, y0), B(x1, y1), é dicir,f (x0) = y0, f (x1) = y1. Se hai razón para supoñer que a función é lineal no intervalo [x0, x1], entón podemos achar o seu valor para calquera abscisa, x, deste intervalo a partir da recta que pasa por A e B : y –y se x ∈ (x0, x1), entón f (x ) = 1 0 (x – x0) + y0 x1 – x0

x1 – x0

A este proceso chámaselle interpolación lineal.

Se x é exterior a [x0, x1], o proceso chámase extrapolación. Na extrapolación, canto máis afastado estea x do intervalo, menos fiable é o valor que obtemos para f (x).

Exercicio resolto

1 Se colgamos dun resorte un peso de 40 g, estírase ata 12 mm. E se colgamos un peso de 60 g, estírase ata 20 mm. a) Cal sería a súa lonxitude se colgásemos un peso de 55 g? b) Cal sería a súa lonxitude se colgásemos un peso de 100 g? c) E se o peso fose de 5 kg?

a) Podemos supoñer que, polo menos no intervalo [40, 60], a lonxitude do resorte depende linealmente do peso que lle colguemos. Polo tanto, podemos considerar a súa lonxitude para un peso intermedio: B(60, 20) f (55) = 8 (55 – 40) + 12 = 20 8 (x – 40) + 12 y=— 20 = 2 · 15 + 12 = 18 20 – 12 = 8 5 A(40, 12) Para 55 g, a lonxitude do resorte será de 18 mm.

60 – 40 = 20 b) Para 100 g, obtense f (100) = 2 (100 – 40) + 12 = 36 mm.

5 c) Para 5 kg = 5 000 g, f (5 000) = 2 (5 000 – 40) + 12 = 1 996 mm.

5 A extrapolación realizada en b) pode ser razoable, pois 100 g é próximo ao intervalo [40, 60]. Pero en c), o obtido é un disparate. Para ese peso (5 000 g) o resorte defórmase ou rompe. Non é válida esta extrapolación.

Pensa e practica

1 Representa a seguinte función:

d) Cantos cabe esperar que haxa no 2022? e) E no 2052?

y = –2x + 7, x ∈ (1, 4] 2 Unha función lineal f cumpre: f (3) = 5, f (7) = –4, Dom f = [0, 10]. Cal é a súa expresión analítica? Represéntaa.

3 Nunha universidade, no ano 2014 había 15 200 alumnos matriculados, e 18 000 no 2019. Estima cantos había: a) No ano 2015.

b) No 2017.

c) No 2012.

4 O consumo de gasolina de certo automóbil, por cada 100 km, depende da súa velocidade. A 60 km/h consume 5,7 L e a 90 km/h consume 7,2 L. a) Estima o seu consumo se percorre 100 km a 70 km/h. b) Canto consumirá a 100 km/h? c) E a 200 km/h?

115

4

Funcións cuadráticas. Interpolación As funcións cuadráticas descríben- Y se con ecuacións de segundo grao

Parábolas que varían en función

➜

dos seus parámetros.

y = ax 2 + bx + c

y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 e represéntanse mediante parábolas.

X

• Teñen os seus eixes paralelos ao eixe Y. • As formas destas parábolas (que as súas ramas estean cara a arriba ou cara a abaixo, que sexan máis ou menos anchas...) dependen, exclusivamente, do valor de a.

— Se dúas funcións cuadráticas teñen o mesmo valor de a (o coeficiente de x 2), as parábolas correspondentes son idénticas, aínda que poden estar situadas en posicións distintas.

anayaeducacion.es Representa

➜

funcións cuadráticas.

— Se a > 0, as ramas van cara arriba, e se a < 0, cara abaixo.

— Canto maior sexa |a |, máis estilizada é a parábola.

• A abscisa do vértice da parábola y = ax 2 + bx + c é x0 = – b .

2a Exemplos:

ALTURA

• A altura a (en m) á que se encontra un obxecto que se lanza verticalmente cara a arriba cunha velocidade de 50 m/s, en función do tempo t (en s), é a seguinte: a = 50t – 5t 2,

(m)

100

DISTANCIA PERCORRIDA

a = 50t – 5t 2

100

20

0 ≤ t ≤ 10

5

TEMPO

d = 0,0074v 2 + 0,21v

10 (s)

• A distancia d (en m) percorrida por un coche desde que o condutor ve o perigo ata que o coche para por completo, en función da velocidade v (en km/h) que leva o coche nese instante, vén dada por esta expresión analítica: d = 0,0074v 2 + 0,21v,

(m)

10 10

0 ≤ v ≤ 100

VELOCIDADE

100 (km/h)

Exercicio resolto

1 Representar as parábolas seguintes: a) y = x 2 – 4x + 6 b) y =

As abscisas dos seus vértices son: a) 2, b) 0, c) 2, d) 2 Dando algúns valores en cada unha, obtemos a súa representación:

x 2

a)

–1 c) y = – 1 x 2 + 2x + 5 2 d) y = 2x 2 – 8x + 4

b)

c)

Pensa e practica

1 Representa estas parábolas: x2

a) y = – 2x + 3 c) y = x 2 – 6x + 5 e) y = (1/3)x 2 – x + 3

116

2 Representa as funcións seguintes: – x2

b) y = – 2x – 3 2 d) y = 2x – 10x + 8 f ) y = (1/4)x 2 + x – 2

a) y = x 2 – 6x + 1, x ∈ [2, 5) b) y = – x 2 + 3x, x ∈ [0, 4] c) y = x 2 – 4, x ∈ (– ∞, –2) « (2, +∞)

d)

U4

Parábola que pasa por tres puntos Se os puntos A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) non están aliñados, entón existe unha parábola (e só unha) que pasa por A, B e C. Para determinala, poñemos a súa ecuación en forma xeral, y = ax 2 + bx + c, e «obrigamos» a que pase por cada un dos tres puntos. Obtemos, así, un sistema de tres ecuacións con tres incógnitas, a, b e c. Ao resolvelo, obtéñense os parámetros da ecuación.

Exercicio resolto

1 Achar a ecuación da parábola que pasa polos puntos (2, –1), (6, –5) e (10, 7).

FAINO TI

Acha a ecuación da parábola que pasa por (0, 3), (2, –3) e (6, 9).

Expresamos a ecuación da parábola en forma xeral, y = ax 2 + bx + c, e obrigamos a que pase por cada un dos puntos dados: _ (2, –1) 8 –1 = a · 2 2 + b · 2 + c 8 4a + 2b + c = –1 bb (6, –5) 8 –5 = a · 6 2 + b · 6 + c 8 36a + 6b + c = –5 ` (10, 7) 8 7 = a · 10 2 + b · 10 + c 8 100a + 10b + c = 7 b a 1 Resolvemos este sistema e obtemos os coeficientes: a = , b = –5, c = 7.

2 1 2 A parábola buscada é y = x – 5x + 7.

2

Método de Newton para obter a ecuación dunha parábola Aplicando este método, a obtención da parábola que pasa por tres puntos, A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), conséguese de forma máis cómoda. Utiliza a seguinte expresión como ecuación da parábola: y = p + m(x – x1) + n(x – x1)(x – x2) Ao impoñer que pase por A, B e C, o sistema de ecuacións obtido é graduado e, polo tanto, máis doado de resolver.

Exercicio resolto

1 Achar, polo método de Newton, a ecuación da parábola que pasa polos puntos (2, –1), (6, –5) e (10, 7).

FAINO TI

Acha, polo método de Newton, a ecuación da parábola que pasa por (0, 3), (2, –3) e (6, 9). Comproba que é a mesma que se obtén no FAINO TI anterior.

Ecuación da parábola: y = p + m(x – 2) + n(x – 2)(x – 6) Impoñemos que pase polos tres puntos dados: (2, –1) → –1 = p + m · (2 – 2) + n · (2 – 2) · (2 – 6) → p = –1 (6, –5) → –5 = p + m · (6 – 2) + n · (6 – 2) · (6 – 6) → p + 4m = –5 → m = –1 (10, 7) → 7 = p + m · (10 – 2) + n · (10 – 2) · (10 – 6) → p + 8m + 32n = 7 → n = 1 2 1 Obtemos, así, a ecuación: y = (x – 2)(x – 6) – (x – 2) – 1 2 Operando e reagrupando, obtense a ecuación do exercicio anterior: y = 1 x 2 – 5x + 7 2

Pensa e practica

3 Acha a ecuación da parábola que pasa polos puntos (–1, 0), (2, 12) e (8, –72). a) Usando a súa ecuación en forma xeral. b) Polo método de Newton.

4

Acha os puntos da parábola y = x 2 + 6x + 5 cuxas abscisas son 0, 3 e 5.

Obtén, polo método de Newton, a parábola que pasa por eses tres puntos e comproba que é a mesma.

117

Funcións cuadráticas. Interpolación

4

Interpolación parabólica Se dunha función coñecemos só tres puntos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), x1 < x2 < x3, poderemos achar aproximadamente novos valores desta a partir da parábola que pasa por eles, y = P (x). A confianza que podemos ter no valor estimado dependerá do tipo de función e da situación do novo punto: • Se x está no intervalo [x1, x3], trátase dunha interpolación e cabe esperar que o valor estimado sexa relativamente próximo ao real.

• Se x está fóra do intervalo [x1, x3], trátase dunha extrapolación e a estimación será tanto máis fiable canto máis preto estea x dalgún dos extremos do intervalo.

Exercicio resolto

1 A porcentaxe de paro en España nalgúns anos pasados foi: ano

2013

2017

2019

%

26,10

17,70

15,78

Estimar a porcentaxe de paro en 2014, 2018 e 2010 mediante unha interpolación (ou extrapolación) parabólica.

FAINO TI

A porcentaxe de paro en España nalgúns anos foi: ano

1994

1997

2000

%

24,1

20,6

13,9

Estima a porcentaxe de paro en 1998, 2001 e 2003 e compárao cos valores reais: ano

1998

2001

2003

%

18,6

10,63

11,37

Tomamos como ano cero o ano 2013. En consecuencia, habemos de obter a ecuación da parábola que pasa polos puntos (0; 26,10), (4; 17,70), (6; 15,78). Farémolo mediante o método de Newton.

Ecuación: y = P (x) = p + m(x – 0) + n(x – 0)(x – 4) → y = P (x) = p + mx + nx(x – 4) Agora, obrigamos a que pase por cada un dos tres puntos dados: (0; 26,10) → 26,10 = p + m · 0 + n · 0 · (– 4) → p = 26,10 (4; 17,70) → 17,70 = 26,10 + m · 4 + n · 4 · 0 → m = – 2,10 (6; 15,78) → 15,78 = 26,10 – 2,10 · 6 + n · 6 · 2 → n = 0,19 A ecuación é y = P (x) = 26,10 – 2,1x + 0,19x (x – 4).

Obtemos o valor de P en cada un dos puntos pedidos: 2014 → x = 1 → P (1) = 26,10 – 2,1 · 1 + 0,19 · 1 · (–3) = 23,43 (Valor real: 23,67 %, bastante próximo ao estimado) 2018 → x = 5 → P (5) = 26,10 – 2,1 · 5 + 0,19 · 5 · 1 = 16,55 (Valor real: 16,61 %, bastante próximo ao estimado) 2010 → x = –3 → P (–3) = 26,10 – 2,1 · (–3) + 0,19 · (–3) · (–7) = 36,39 (Valor real: 19,86 %, moi afastado do estimado) Como vemos, as estimacións feitas por interpolación ao intervalo, son boas. Ao afastarnos do intervalo obtense un resultado pouco axustado á realidade.

Pensa e practica

5

Meta 13.2. Unha asociación ecoloxista tiña 12 300 membros no ano 2015, 14 100 membros en 2017 e 15 600 en 2020. Estima cantos tiña: a) No ano 2016. b) En 2018 e en 2012. c) Cantos cabe esperar que teña en 2022?

Interpreta cada resultado tendo en conta se é interpolación ou extrapolación e como de afastados están os datos do intervalo de datos reais.

118

6 O consumo de gasolina de certo automóbil, por cada 100 km, depende da súa velocidade. A 60 km/h consume 5,7 L; a 70 km/h, 6 L e a 90 km/h consume 7,2 L. Calcula canto gastará por cada 100 km percorridos indo a: a) 80 km/h b) 100 km/h c) 200 km/h Este enunciado é como o do exercicio 4 da epígrafe anterior, pero enriquecido cun novo dato correspondente ao consumo a 70 km/h, co que agora, con tres puntos, se pode efectuar unha interpolación parabólica.

5

U4

Funcións de proporcionalidade inversa Chámanse funcións de proporcionalidade inversa a aquelas cuxa ecuación é y = k . As súas gráficas son hipérboles. O seu dominio de definición é x (–∞, 0) « (0, +∞).

1 y=— x

2 y=— x

1

anayaeducacion.es Animación

➜

interactiva para ver como funciona

1 1

Hipérboles y = a/x.

➜

1

unha función do tipo parámetro.

Recordemos que cada hipérbole «se cingue» a un par de rectas chamadas asíntotas. Pois ben, nas funcións de proporcionalidade inversa as asíntotas son os eixes coordenados.

AUMENTO

Tamén son hipérboles as gráficas das funcións y = ax + b . cx + d

4 A=— 4–d DISTANCIA (cm) 4

Exemplos: •

O aumento A producido por certa lupa vén dado pola ecuación: A=

4 4–d

onde d é a distancia (en cm) á que se sitúa o obxecto.

•

1 ao variar o x –a

LONXITUDE

A unha xiringa de 8 cm de lonxitude tapámoslle o orificio de saída. Ao apertar o émbolo, o aire comprímese.

(cm)

8

A relación entre a presión P (en atmosferas), e a lonxitude l (en cm) da columna de aire responde á ecuación: l = 8 , P ≥ 0 P +1

8 l=— P≥0 P+1

PRESIÓN

(atm)

Exercicio resolto

1 Representar

a) As asíntotas son os eixes coordenados.

a) y = 6x

Algúns puntos de coordenadas enteiras son:

b) y = – 4x

(–3, –2), (– 6, –1)

(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1), (–1, – 6), (–2, –3),

66 y =y — =x — x 1 1 1 1

b) As asíntotas son os eixes coordenados.

Algúns puntos de coordenadas enteiras son: (– 4, 1), (–2, 2), (–1, 4), (1, – 4), (2, –2), (4, –1)

1 1

44 y =y –=— x– — x 1 1

Pensa e practica

1 Representa: a) y = – 1 x

b) y = 8 x

c) y = – 6 x

d) y = 12 x

e) y = – 16 x

119

6

Funcións raíz As funcións de ecuación

Y

y = kx , k ≠ 0

Función raíz que varía ao

➜

— y = √kx

cambiar o valor de k.

represéntanse mediante medias parábolas co eixe paralelo ao eixe X.

X

A función y = 3 x é continua e crecente e o seu dominio de definición é todo Á.

Y

3— y = √x

X

Exemplos: •

O período T dun péndulo (tempo, en s, que tarda en realizar unha oscilación completa) en función da súa lonxitude l (en m). A súa ecuación é:

T — T = 2√l

T=2 l •

En psicoloxía ten grande importancia o estudo de percepcións. Percibimos luz, olores, sons... A percepción (sensación) depende (é función) dos estímulos físicos que chegan por medio dos sentidos.

l

A fórmula que relaciona a sensación S coa intensidade I do estímulo é: SENSACIÓN (estimada polo individuo) 3— S = k √I

S=k 3I 1

8 ESTÍMULO FÍSICO

Esta relación entre estímulos (físicos) e sensacións (psicolóxicas) chámase lei psicofísica.

Exercicio resolto

1 Representar:

a)

b)

Y

Y

a) y = – 4x b) y = 3 –27x X

X

Pensa e practica

1 Representa: a) y = 4x

120

b) y = 9x

c) y = – 9x

d) y = – 9x

e) y = 3 –8x

U4

Pensa e practica

➜

anayaeducacion.es Representación de funcións radicais.

2 Asocia a cada unha das seguintes gráficas unha das ecuacións de abaixo. Observa que hai máis ecuacións que gráficas.

Y

A

Y

B

Y

C

D

80

Y (4, 16π)

50 1

F Y

1

Y

G

5

1 H

800

X

Y

X

2

1 X

1

1

100 X

1 Y

I

10

X

1

X

1

Y

E

1

1 X

1

Y

J

Y

K

1

X 10

2 Y

L

1 1

X

1

X

1

1 X

1

lineais

cuadráticas

1

proporcionalidade inversa

radicais

L1

y= 3x 2

C1

y = x 2 – 8x + 15

PI1

y= 1 x

L2

y = – 2 (x – 1) + 5 3

C2

y = (x + 3) (x + 5)

PI2

y=

L3

y = 25πx

C3

y = x 2, x > 0

PI3

y= 2 x

R3 y = 2 4 – x

L4

y = 3 x + 1, x ≥ 0 4

C4

y = πx 2, x > 0

PI4

y= 6, x>0 x

R4 y = 4x , x > 0

2 ,x≥0 2–x

X

R1 y = 2x + 4 R2 y = x + 4

3 Cada un dos seguintes enunciados correspóndese cunha gráfica de entre as do exercicio anterior.

Identifícaa.

1. Superficie, en centímetros cadrados, dun círculo. Raio, en centímetros.

2. Aumento dunha lupa. Distancia ao obxecto, en centímetros.

3. Período dun péndulo. Lonxitude, en metros.

4. Volume dun cilindro, en centímetros cúbicos. O raio do círculo da súa base mide 5 cm. Altura, en centímetros.

5. Lonxitude dun resorte, en decímetros. Mide 1 dm e alóngase 75 mm por cada quilo que se lle colga.

6. Dimensións (longo e ancho, en centímetros) dos rectángulos que teñen unha superficie de 6 cm2.

121

7

Funcións definidas «a anacos» As expresións analíticas das seguintes funcións son moi peculiares: x 2 + 2x + 1

y = *1 x –3

x se x ≤ 2 y=( 1 se x > 2

Debuxa unha función definida a

➜

anacos.

se x ≤ 0 se 0 < x < 4 se x ≥ 4

Requiren de varias «fórmulas», cada unhas das cales rexe o comportamento da función en certo tramo.

Y

Y y=1

y = x2 + 2x + 1 X

2

y=x–3

y=1

y=x

X

4

As súas representacións gráficas son doadas se sabemos representar cada un dos tramos e se pon atención ao seu comportamento nos puntos de empalme.

Tamén é sinxelo obter a expresión analítica, a partir dunha gráfica formada por anacos de rectas.

anayaeducacion.es Funcións

➜

lineais a anacos.

Exercicio resolto

1 A seguinte gráfica describe a temperatura T da auga que, sendo xeo, se bota a unha cazola, se pon ao lume e se mantén ata que leva fervendo un anaco.

T (° C)

A súa pendente é:

0 – (–20) = 20 = 2 (O xeo aumenta a súa temperatura de –20° a 0°).

10 – 0 10

Ecuación: y = 2(x – 0) – 20 → y = 2x – 20 • Segundo tramo: y = 0 (Mentres o xeo se desconxela a súa temperatura segue sendo 0°).

• Terceiro tramo: pertence a unha recta que pasa por (20, 0) e (35, 100).

Ecuación: y = 100 (x – 20) → y = 20 x – 400 (A auga sobe a súa temperatura de 0° a 100°).

3 3 15

50

–20

• Primeiro tramo: pertence a unha recta que pasa por (0, –20) e (10, 0).

• Cuarto tramo: y = 100 (A auga fervendo mantense a 100°).

15

t (min) 45 30

Obter a súa expresión analítica en función do tempo, t.

Se en lugar de x e y poñemos t Z ]2t – 20 ]0 T = f (t) = [ 20 400 ]3 t– 3 ]100 \

(tempo) e T (temperatura), a súa expresión analítica é: se se se se

0 ≤ t ≤ 10 10 < t < 20 20 ≤ t ≤ 35 35 < t ≤ 50

Pensa e practica

1 Representa esta función: x +1 se x ∈ [–3, 0) f (x) = *x 2 – 2x + 1 se x ∈ [0, 3] 4 se x ∈ (3, 7) 2 Fai a representación gráfica da seguinte función: 2x + 1 se x < 1 g (x) = ) 2 x – 1 se x ≥ 1

122

3 Escribe a expresión analítica que corresponde á seguinte gráfica: Y 2 2

X

U4

Función «parte enteira» Chámase parte enteira dun número x ao maior número enteiro menor ou igual a x.

A partir disto, definimos a función parte enteira de x, Ent(x), que fai corresponder a cada número x a súa parte enteira.

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

PRACTICA Ent (7,5) = 7 Ent (–4) = –4 Ent (–5,3) = –6 atención!

Continúa: Ent (6,48) Ent (7) Ent (–3,9) Ent (–11,3) Ent (–8)

Y

1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3

X

Función «parte decimal» A parte decimal ou mantisa dun número x é Mant(x) = x – Ent(x). Por exemplo:

PRACTICA

Mant (7,54) = 7,54 – 7 = 0,54 Mant (–7,54) = –7,54 – (–8) = 0,46

Mant (7,68) = 0,68 Mant (–8) = 0 Mant (–7,68) = 0,32 Continúa: Mant (3,791) Mant (2)

A partir disto, definimos a función parte decimal de x, Mant(x), que fai corresponder a cada número x a súa parte decimal.

2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

Y

1 2 3 4 5 6 7X

Mant (–6,94) Mant (–4,804)

Función «valor absoluto» Recordemos que o valor absoluto dun número a coincide con a se é positivo ou nulo, ou co seu oposto, se é negativo: –a se a < 0 |a| = ( a se a ≥ 0 A función y = |x| defínese, en consecuencia, así: –x se x < 0 y = |x| = ( x se x ≥ 0 Pensa e practica

4 Verdadeiro ou falso? a) A gráfica vermella corresponde á función y = Ent b x l .

4 b) A gráfica verde corresponde á función y = 5 + Ent b x l .

4 5

6

Verdadeiro ou falso?

a) A gráfica vermella corresponde a y = 3Mant b x l .

4 b) A gráfica vermella corresponde a y = 3Mant (4x). c) A gráfica verde corresponde a y = 5 – Mant b x l .

4 5

4

8

12

5 Representa: a) y = Ent (x) + 2

b) y = Ent (x + 0,5)

4

8

12

7 Representa: a) y = Mant (x) – 0,5

b) y = |Mant (x) – 0,5|

123

8

Valor absoluto dunha función f (x) se f (x) ≥ 0 O valor absoluto dunha función defínese así: | f (x)| = * –f (x) se f (x) < 0 y = f (x)

y = | f (x)|

Per tant, per representar el valor absolut d’una funció f (x) hem de representar primer la funció f (x) i després deixar la part positiva com està i fer una simetria respecte a l’eix X de la part negativa. Per a això, hem de trobar els punts de tall amb els eixos. Vegem-ne uns exemples:

anayaeducacion.es

➜

Visualización dunha función con valor absoluto.

Exercicios resoltos

1 Representar a seguinte función: y = | x2 – 5 x + 4 |

Achamos os puntos de corte da función f (x) = x2 – 5x + 4 co eixe X: x1 = 1

f (x) = x2 – 5x + 4 = 0

Y

x2 = 4

y = f (x)

Polo tanto, entre 1 e 4 a gráfica sobe sobre o eixe X.

2 Representar a seguinte función:

Y y = | f (x)|

X

Y

X

Y

y = | 2x – 4 |, x é [–1, 5] y = f (x)

y = | f (x)|

X

3 Representar esta función:

Y

X

Y

y = | x3 – x | X y = f (x)

X y = | f (x)|

Pensa e practica

1 Representa: y = | –x2 + 4x + 5|

124

x 2 Representa graficamente: y = 2 – 3

U4

Exercicios e problemas resoltos 1. Dominio de definición Achar o dominio de definición das seguintes funcións: a) f (x) = b) f (x) =

x + ln (5 – x) x2 – 4 1 2x 2 + 7x – 4

x non está definida nos puntos onde o denominador é nulo, que x2 – 4 son x = 2 e x = –2. O seu dominio é Á – {–2, 2}.

a) A función y =

Na función y = ln (5 – x) o logaritmo só está definido para valores positivos. Resolvemos 5 – x > 0 → x < 5. O seu dominio é (–∞, 5).

Para que exista a función f deben cumprirse as dúas condicións.

Polo tanto, Dom f = (– ∞, –2) « (–2, 2) « (2, 5). b) A función está definida para os valores de x que cumpren 2x 2 + 7x – 4 > 0.

Resolvemos a inecuación, buscando en primeiro lugar as solucións da ecuación: 2x 2 + 7x – 4 = 0 → x = – 4; x = 1/2

FAINO TI

Acha o dominio de definición da función: f (x) = –x 2 + 5x – 6

Estes valores determinan os intervalos nos que hai que estudar o signo de 2x2 + 7x – 4. signo de

2x 2

+ 7x – 4

(– ∞, – 4)

(– 4, 1/2)

(1/2, +∞)

+

–

+

Dominio de definición de f = (– ∞, – 4) « (1/2, +∞).

2. Interpolación lineal Un boing 747 consume 83 912 litros de combustible nun voo Madrid-Caracas (7 001 km) e 13 143 litros nun voo Madrid-París (1 054 km). Estimar o consumo nun voo Madrid-Moscova (3 044 km).

FAINO TI

A porcentaxe de persoas que tiñan acceso a Internet en España era en 2020 o 93,2 % e en 2016 o 80,56 %.

Estimar a porcentaxe en 2018.

Análise do problema. Supoñemos que o consumo no intervalo [1 054, 7 001] depende linealmente dos quilómetros percorridos. Polo tanto, podemos estimar o consumo, para un percorrido intermedio, mediante interpolación lineal.

Achamos a ecuación da recta que pasa polos puntos (1 054, 13 143) e (7 001, 83 912): Pendente:

m = 83 912 – 13143 = 11,9 7 001 – 1054

Ecuación:

f (x ) = 13 143 + 11,9(x – 1 054) = 11,9x + 600,4

Para x = 3 044 → f (3 044) = 36 824.

O consumo estimado para o voo Madrid-Moscova é de 36 824 litros.

3. Función cuadrática Unha feira gandeira está aberta ao público entre as 10 e as 20 horas. O número de visitantes vén dado pola función: N(t ) = –20t2 + Bt + C onde t é a hora de visita.

Sabendo que ás 17 h se alcanza o máximo de 1 500 visitantes, achar B e C e representar a función.

A función N (t ) é unha parábola aberta cara abaixo. O seu punto máis alto (17, 1 500) é o vértice.

Coa abscisa do vértice calculamos B : t = –b → 17 = –B → B = 680 2a 2 (–20) A parábola pasa por (17, 1 500).

N (17) = 1 500 → –20 · 172 + 680 · 17 + C = 1 500 → C = – 4 280 A función é: N(t ) = –20t 2 + 680t – 4 280; 10 ≤ t ≤ 20 Para representar a función achamos algúns puntos: t = 10 → N (10) = 520 → (10, 520) t = 20 → N (20) = 1 320 → (20, 1 320)

FAINO TI

N.º DE VISITANTES

1 500

1 000

500

Representa a seguinte función: f (t ) = –t 2 + 12t – 31, 4 ≤ t ≤ 7

HORAS

5

10

15

20

125

Exercicios e problemas resoltos 4. Ecuación e representación dunha parábola a) Escribir a ecuación dunha parábola que ten o vértice no punto (1, 9) e corta ao eixe Y en (0, 8). b) Representala. c) Determinar o dominio de definición e o percorrido.

a) Unha parábola ten por ecuación y = ax 2 + bx + c. Temos que achar a, b e c.

Coa abscisa do vértice, –b , relacionamos as incógnitas a e b : 2a 1 = –b → –b = 2a 2a A parábola pasa por (1, 9) e (0, 8). Substituímos estes puntos na súa ecuación e obtemos outras dúas ecuacións con a, b e c como incógnitas: (1, 9) → 9 = a ∙ 12 + b ∙ 1 + c

(0, 8) → 8 = a ∙ 0 + b ∙ 0 + c

Resolvemos o sistema: –b = 2a 9 = a + b + c4 a = –1; b = 2; c = 8 8=c A ecuación da parábola é y = –x 2 + 2x + 8.

Outra forma de resolvelo: Posto que a abscisa do vértice é 1, unha forma máis rápida de obter a parábola é escribila na forma y = a(x – 1)2 + k e substituír nela os puntos (1, 9) e (0, 8).

Y 9

b) Cortes co eixe X: 0 = –x 2 + 2x + 8 → x = –2, x = 4 Corta ao eixe X en (–2, 0) e (4, 0).

FAINO TI

Escribe a ecuación da parábola que ten o vértice en (2, –4) e pasa polo punto (3, –3).

c) Como en todas as funcións polinómicas, o seu dominio é todo Á. Para determinar o percorrido, observamos que o maior valor que alcanza a función é y = 9. Polo tanto, o seu percorrido é (–∞, 9].

–2

1

4

X

5. Representación dunha función definida «a anacos» dada por un enunciado O salario neto mensual é o que se obtén ao restar os impostos obrigatorios ao salario bruto. En certo país aplícanse estes impostos:

a) Temos en conta que os primeiros 500 € non teñen impostos.

• 20 % da parte do salario bruto comprendido entre 500 €, que é o salario mínimo, e 2 000 €.

b) Calculamos a función que nos dá os impostos I (x) nos casos en que 500 ≤ x ≤ 2 000 e x > 2 000.

• 40 % da parte do salario bruto superior a 2 000 €. a) Que salario neto corresponde a 1 200 € de salario bruto? E a 2 500 €? b) Escribir a función que dá os impostos segundo o salario bruto x, e representala. c) Cal debe ser, como mínimo, o salario bruto para que o neto sexa superior a 2 500 €?

126

O salario neto para 1 200 € é 1 200 – 0,2 ∙ (1 200 – 500) = 1 060 € O salario neto para 2 500 € é 2 500 – 0,2 ∙ 1 500 – 0,4 ∙ 500 = 2 000 €

• Se 500 ≤ x ≤ 2 000: I (x) = 0,2(x – 500) = 0,2x – 100 • Se x > 2 000:

IMPOSTOS

(€)

800

I (x) = 0,2 ∙ 1 500 + 0,4(x – 2 000) = 0,4x – 500 500

Polo tanto:

0, 2x – 100 se 500 ≤ x ≤ 2000 I (x) = ) 0, 4x – 500 se x > 2000 c) Resolvemos a inecuación x – I (x) > 2 500:

100

x – (0,4x – 500) > 2 500 → 0,6x > 2 000 → x > 3 333,33 O salario bruto debe ser superior a 3 333,33 €.

(€) 3000

SALARIO BRUTO

500 1000

2000

U4

6. Función «parte enteira» Unha tenda de roupa ofrece á súa clientela a tarxeta «2MÁIS» na que ingresará 2 € para futuras compras, por cada 10 € de gasto que se faga alí.

a) Por unha compra inferior a 10 € non ingresan nada. Se gastamos máis de 10 € e menos de 20 €, ingresan 2 €; entre 20 e 30 € correspóndennos 4 €; … ingresos (€) 6

a) Representar a función que nos dá a cantidade ingresada na tarxeta segundo o gasto realizado.

4 2

b) Escribir a súa expresión analítica.

FAINO TI

Representa f (x) = Ent (2x).

10

20

40 gasto (€)

30

Z ]0 se x é [0, 10) ]2 se x é [10, 20) ] b) É unha función definida «a anacos»: f (x) = [4 se x é [20, 30) ]6 se x é [30, 40) ]] … \ x Tamén podemos definila utilizando a función «parte enteira»: f (x) = 2 Ent b 10 l

7. Valor absoluto dunha función Definir por intervalos as seguintes funcións e representalas graficamente: a) f (x) = 4|x| – x2 b) f (x) = |x – 4| – |x| c) f (x) = | x|

–x se x < 0 a) Recordamos que a función y = |x | defínese así: y = ) 3 . Polo tanto: x se x ≥ 0 4 (–x) – x 2 se x < 0 –4x – x 2 se x < 0 = f (x) = * 4 * 4 4x – x 2 se x ≥ 0 4x – x 2 se x ≥ 0 Buscamos os vértices e os puntos de corte cos eixes de cada parábola: parábola

vértice

cortes con eixe

y = – 4x – x 2

(–2, 4)

(0, 0) e (– 4, 0)

y = 4x – x 2

(2, 4)

(0, 0) e (4, 0)

Y

X

4

–2

–x + 4 se x < 4 b) |x – 4| = ) x – 4 se 4 ≥ x

X

2

–x se x < 0 |x| = ) x se 0 ≤ x

Dispoñemos os cálculos nunha táboa para achar a función resultante:

FAINO TI

Define por intervalos e representa: a) f (x) = |x 2 – x – 6| b) f (x) = x – |x | c) f (x) = 1 x

(–@, 0)

[0, 4)

[4, +@)

|x – 4|

–x + 4

–x + 4

x–4

|x|

–x

x

x

|x – 4| – |x|

4

4 – 2x

–4

Y 4 X

4 se x < 0 f (x) = *4 – 2x se 0 ≤ x < 4 –4 se 4 ≤ x

2

c) A función está definida para todos os números reais.

A súa definición é f (x) = *

–x se x < 0 . Para x ≥ 0 a x se x ≥ 0 gráfica é a da función raíz e para x < 0 a grafica pasa por (–1, 1); (–2, 2); (– 4, 2); …

4

Y 2 –4 –2

–2

2

X 4

127

Exercicios e problemas guiados 1. Funcións lineais Unha empresa de aluguer de coches ofrece dúas tarifas: A: 120 km → 80 € 350 km → 137,5 €

Supoñemos que o prezo depende linealmente dos quilómetros percorridos.

• Obtén, en cada un dos dous casos, a expresión analítica da función que nos dá o gasto segundo os quilómetros percorridos.

• Representa nos mesmos eixes as dúas funcións, elixindo unha escala adecuada.

B: 150 km → 75 €

• Acha o punto de corte de ambas as dúas funcións e observa os valores da función á esquerda e á dereita dese punto.

250 km → 125 € Analizar cal é máis vantaxosa segundo os quilómetros que vaiamos percorrer.

Solución: A opción B é máis vantaxosa se se percorren menos de 200 km. A partir

desta distancia, é máis vantaxosa a opción A.

2. Unha función cuadrática Os custos de produción de certo produto (en euros) dunha empresa, veñen dados por: C = 40 000 + 20q + q2 sendo q o número de unidades producidas. O prezo de venda de cada unidade é de 520 euros. a) Expresar en función de q o beneficio da empresa e representalo. b) Cantas unidades hai que producir para que o beneficio sexa máximo?

a) • A función beneficio, B, obterala restando do prezo de venda de q unidades, 520q, o custo para producir esas q unidades.

• Obterás unha función cuadrática. Represéntaa. b) Observando a representación gráfica da función beneficio, apreciarás en que punto alcanza o seu valor máximo (no vértice, xa que é unha parábola coas ramas cara a abaixo).

Solución:

a) B(q) = – 40 000 + 500q – q 2 b) O beneficio máximo de 22 500 euros obtense producindo 250 unidades.

3. Expresión analítica dunha función Escribir a expresión analítica desta función f (x):

Outra opción consiste en aplicar o método de Newton utilizando a expresión y = p + m(x – x1) + n(x – x1)(x – x2) para calcular p, m, n e con eles a ecuación.

8 4

• Tomamos dous puntos da recta, e escribimos a súa ecuación.

4

–8 –4

• Para achar a ecuación da parábola escribímola en forma xeral y = ax2 + bx + c e substituímos nela tres dos puntos da súa gráfica.

8

–4 –8

• Ten en conta que o punto (3, 1) non pertence á función, pero si pertence (3; –2,5).

1 2 Solución: f (x) = *– 2 x + 2 se x ≤ 3 2x – 5

se x > 3

4. Produción máxima Nun horto hai 40 maceiras. Cada unha produce 600 mazás. Por cada árbore adicional que se plante, a produción de cada árbore redúcese en 10 mazás. Cantas árbores se deben plantar para obter a produción máis alta posible? Cal é a devandita produción?

• Calcula a produción total de mazás con 40 árbores. Ao plantar 5 árbores máis, cal será a produción de cada árbore?

• Escribe a función que dá a produción total se se plantan x árbores máis. A función obtida é unha parábola aberta cara abaixo. O seu vértice corresponde ao valor máximo da función.

Solución:

A función é p (x) = –10x2 + 200x + 24 000. Débense plantar 10 árbores máis para alcanzar a máxima produción e esta será de 25 000 mazás.

128 128

U4

Exercicios e problemas propostos Para practicar

Funcións lineais e cuadráticas. Interpolación

8 Escribe as ecuacións das seguintes rectas e represéntaas graficamente: a) Pasa por P (1, –5) e Q (10, 11). b) Pasa por (–7, 2) e a súa pendente é –0,75. c) Corta aos eixes en (3,5; 0) e (0, –5). d) É paralela á recta 3x – y + 1 = 0 e pasa polo punto (–2, –3).

Dominio de definición

1 Acha o dominio de definición destas funcións: 2 a) y = b) y = 3x3 + 2 (x + 5)2 x +x c) y = 2 x d) y = 1 + 1 x x +2 x – x +2 e) y = 1 (x – 2)3 + x 2 2

f ) y = x2 – 4

9

t

2 Estuda o dominio de definición destas funcións: a) y = 2x + 5 b) y = 7 – x c) y = x 2 + 3x + 4

–2

3 Di cal é o dominio de definición de: 1 a) y = 1 b) y = 2 4–x x +1 1 c) y = 3 1 d) y = x 2 – 3x 9 – x2

a)

f) y =

3

x +1 x–4

5 Observa as gráficas destas funcións e indica cal é o seu dominio de definición e o seu percorrido: a) b) Y 2Y 2

2

X

2

c)

d)

Y

–2

X

X

–2

2

X

6 A función h(t) = 80 + 64t – 16t 2 dános a altura á que está unha pelota lanzada cara arriba no instante t, ata que volve ao chan. Cal é o seu dominio de definición?

7

X

x

0,45

0,5

0,6

y

2

…

0,25

b)

x

47

112

120

y

18

37

…

x (toneladas)

1

3

5

y (millóns de euros)

5,2

14,8

21,2

Estima, mediante interpolación cuadrática, os ingresos obtidos se se venden 2 t e 4 t.

12 Representa as seguintes funcións: a) y = x 2 + 2x + 1

e) y = – 4x 2 + 1

2 2

4

c) y = – x 2 + 3x – 5

Y

2

2

11 A seguinte táboa mostra os ingresos, en millóns de euros, dunha fábrica de cemento segundo o número de toneladas vendidas:

2 d) y = 4 – x 2x + 1

e) y = ln c 21 m x +3

–2

10 Calcula, mediante interpolación ou extrapolación lineal, os valores de y que faltan en cada táboa:

4 Determina o dominio de definición destas funcións:: a) y = ln (x 2 – 4x) b) y = ln ^ x – 2h c) y = 5 – x

Calcula a pendente das rectas r, s e t e escribe a súa ecuación.

r

2

d) y = x – 1 + x – 2

3

s

Y 4

A temperatura dun paciente, desde que comeza a súa enfermidade ata que volve ter 37 °C, evolucionou segundo a función T = – 0,1t 2 + 1,2t + 37, sendo t o número de días transcorridos desde o inicio da enfermidade. Cal é o seu dominio de definición? E o seu percorrido?

2 b) y = x + 3x + 1 2 2 d) y = x + 3x + 6 3 f ) y = –2x 2 – 3x + 0,5

13 Acha a ecuación da parábola que pasa polos puntos (–2, –9), (2, –5) e (4, 0).

Faino de dúas formas distintas. a) Utilizando a expresión y = ax2 + bx + c. b) Polo método de Newton.

14 Acha, en cada caso, a ecuación da parábola que pasa polos puntos dados. a) (1, –1), (3, 3), (5, –1) b) (0, – 4), (1, –6), (3, – 4) Acha as ordenadas dos puntos das parábolas anteriores con abscisa x = 4 e x = –3.

129 129

Exercicios e problemas propostos Representación de funcións elementais

15

Funcións definidas «a anacos»

Asocia a cada gráfica a súa expresión analítica. a) y = –0,5x 2 + 3

b) y = x + 2

1 x–4 g) y = 1 – x 2 3

e) y = 3x 2 + 5x – 1

d) y =

I

c) y =

–1 3 f) y = 1 + 2 x

h) y = – – x

4 Y

Y

II

–2

2

–1

1

2 X

–1

2

4

X

6

–2

–2

Y 4

I

Y

II

4

2 4 Y

III

X

–2

2

–2

–2

–4

–4

4 Y

V

2

4

X

III

4

4

2

2 2

–2

4

X

–4 –2

4

6 X

2

4 X

Y

IV

2

4

6

2

–4

–2 –2

X

X

20 Representa graficamente as seguintes funcións:

6 Y

VIII

2

–2 2

–4 Y

Y 4

–2

–2

–4

X

6

2

–4 –2

–2

4

–2

6 X

2

–2

–2

4

4 Y

VI

2

VII

2 –2

2

–8 –6 –4 –2

2

4 Y

IV

2

2

4 X

–2

16 Representa estas funcións no intervalo indicado: 2 a) y = 2x 2 – 4, [0, 2] b) y = – 3x , x ≥ –1 2 c) y = 1 , x < 0 d) y = 3x – 30 , [–5, 5] x 5 17 Representa as seguintes funcións: a) y = 2x b) y = – x c) y = 2 x d) y = –x e) y = –1 f) y = 2 x x 18 Acha o valor de k para que: a) A función y = k pase polo punto (2, 1/4). x b) A función y = kx pase polo punto (2, 2). c) Representa as funcións obtidas.

130

19 Asocia a cada gráfica a súa expresión analítica.

Z ] 2 – 2x se x < 0 ] 3 –(x + 2)2 se x < 0 a) y = [ 2 b) y = * se 0 ≤ x ≤ 4 x –2 se x ≥ 0 ] 8 – 3x se x > 4 ] 2 \ Z ] 2 + 4x se x < 0 ] x 2 – 4x + 2 se x < 4 3 c) y = * 14 – 2x d) y = [ 2 se 0 ≤ x ≤ 4 se x ≥ 4 ] x 3 3 – 4 se x > 4 ] \ 2

–3

–4

–4

x2

se x < 0 –2 a) y = * x – 2 se 0 ≤ x < 4 2 se x ≥ 4

b) y = )

c) y = *

–x 2 d) y = * 2 + 2 se x ≤ 3 2x – 5 se x > 3

x 2 – 2x se x < 2 2x – 4 se x ≥ 2

–2x – 1 se x ≤ 1 x +1 se x > 1

21 Representa.

–x 2 se x < 2 a) y = * –x + 6 se 2 ≤ x < 7 3 se x ≥ 7

–x – 1 se x ≤ –1 b) y = * 2x 2 – 2 se –1 < x < 1 x –1 se x ≥ 1

c) y = *

d) y = *

1/x se x < 0 x se x ≥ 0

–x se x ≤ 0 – x se x > 0

22 Obtén a expresión analítica destas funcións: a) b) Y Y 4

4 2 2

4

6

X

* Ten en conta o exercicio guiado 3.

2 –2 –2

2

4 X

U4

Valor absoluto dunha función

23 Representa a función y = |x – 5| e comproba que a súa expresión analítica en intervalos é: y=)

–x + 5 se x < 5 x – 5 se x ≥ 5

24 Representa as seguintes funcións e defíneas como funcións «a anacos»: a) y = |4 – x |

b) y = |3x + 6|

c) y = x – 3 2

d) y = | –x – 1|

25 Representa as seguintes funcións e defíneas por intervalos. a) y = |x 2 – 1|

b) y = |x 2 – 4x |

c) y = |x 2 + 2x – 3|

d) y = |x 2 – 2x + 1|

26 Define as seguintes funcións como funcións «a anacos» e represéntaas. a) y = 1 b) y = 1 + |x | x x c) y = d) y = 2|x | + x x * Ten en conta o exercicio resolto 7.

27 Escribe a expresión analítica destas gráficas como funcións «a anacos» e como valor absoluto.

I

–5 –4 –3 –2 –1

Y

Y

3

II

2

2

1

1 X

–1

–1

1

2

3

X 4

Para resolver 28 O prezo do billete dunha liña de proximidades depende dos quilómetros percorridos. Por 57 km paguei 2,85 euros, e por 168 km, 13,4 euros. Calcula o prezo dun billete para unha distancia de 100 km.

29 Cuns gastos en publicidade de 3 000 €, as vendas obtidas por unha empresa foron de 28 000 €; e con 5 000 € investidos en publicidade, as vendas ascenderon a 39 000 €. a) Estima, mediante interpolación lineal, cales serían as vendas se se invertesen 4 000 € en publicidade. b) Se sabemos que cun gasto de 6 000 € obtivéronse unhas vendas de 40 000 €, estima mediante interpolación parabólica as vendas que se obterían investindo 4 000 € en publicidade. Utiliza o método de Newton.

30 Medindo a temperatura a diferentes alturas, observouse que por cada 180 m de ascenso o termómetro baixa 1 °C. Se na base dunha montaña de 800 m estamos a 10 °C, cal será a temperatura no cume? Representa graficamente a función altura-temperatura e busca a súa expresión analítica.

31 Observamos nunha farmacia unha táboa cos pesos dos nenos menores de 9 anos, segundo a súa idade: x (anos)

1

3

6

9

y (kg)

10

14

20

26

Representa estes datos e utiliza o modelo de interpolación que creas máis adecuado para estimar o peso dun neno aos 5 anos e aos 10 anos.

32 Na cociña dun restaurante, un equipo de 2 persoas é capaz de preparar os pedidos para 30 comensais. Se o equipo é de 4 persoas a capacidade elévase ata os 50 comensais. E se o equipo chega a 8 persoas, estorbaríanse uns a outros e non habería lumes para todos, polo que a capacidade se mantería en 50 comensais. Estima mediante interpolación parabólica cantos comensais podería atender un equipo de 5 persoas.

33 Un opositor enfróntase a un temario de 3 100 páxinas. Sabe que se estuda 4 horas diarias é capaz de memorizar 4 páxinas por día. Se dedica 8 horas, aprende 7 páxinas; e se dedica 12 horas, consegue 9 páxinas. Considera unha xornada diaria de 10 horas e quere saber o número de días que lle vai supoñer dar unha primeira volta ao temario completo.

Utiliza a interpolación parabólica para responderlle.

34 A dose dun fármaco comeza con 10 mg e cada día debe aumentar 2 mg ata chegar a 20 mg. Débese seguir 15 días con esa cantidade e a partir de entón ir diminuíndo 4 mg cada día. a) Representa a función que describe este enunciado e determina a súa expresión analítica. b) Di cal é o seu dominio e o seu percorrido.

35 O peso en miligramos dun embrión dunha especie animal vén dado na seguinte táboa: tempo (días) peso

(mg)

3

5

8

8

22

73

Acha, mediante interpolación cuadrática, o peso dun embrión de 6 días.

36 As ganancias esperadas dunha empresa nos próximos 10 anos, en millóns de euros, veñen dadas pola función G (t ) = –2t 2 + 20t + 5; t, en anos. Representa a función e determina cando serán máximas as ganancias.

131

Exercicios e problemas propostos 37 Nas funcións de oferta e demanda, chámase cantidade de equilibrio ao número de unidades que hai que producir para que a oferta e a demanda se igualen, o (x) = d (x).

Chámase prezo de equilibrio ao prezo co cal se consegue esa igualdade. a) Acha o prezo e a cantidade de equilibrio dun produto cuxas funcións de oferta e demanda son o (x) = 2,5x – 100 e d (x) = 300 – 1,5x (x en euros, d e o en miles de unidades do produto). b) Se o prezo do produto é de 80 €, haberá escaseza ou exceso deste? E se o prezo fose de 120 €? c) Cal sería o prezo e a cantidade de equilibrio se as funcións de oferta e demanda fosen o (x) = 0,25x 2 – 100 e d (x) = 185 – 2x ?

38 O custo de produción de x unidades dun produto é igual a 1 x 2 + 35x + 25 euros e o prezo de venda dunha unidade 4 é 50 – x euros.

4 a) Escribe a función que nos dá o beneficio total se se venden as x unidades producidas, e represéntaa. b) Acha o número de unidades que deben venderse para que o beneficio sexa máximo.

39 Nunha fábrica véndense mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cada un e saben que por cada 10 euros de suba venderán 2 electrodomésticos menos. a) Cales serán os ingresos se soben os prezos 50 euros? b) Escribe a función que relaciona a suba de prezo cos ingresos mensuais. c) Cal debe ser a suba para que os ingresos da fábrica sexan máximos?

40 Os beneficios mensuais dunha fábrica de lambetadas, en miles de euros, veñen dados por f (x) = – 0,1x 2 + 2,5x – 10, cando se venden x toneladas de produto. a) Representa a función. b) Calcula a cantidade mínima que se ha de vender para non ter perdas. c) Cantas toneladas se han de vender para que o beneficio sexa máximo? Cal é ese beneficio?

41 Para enviar un paquete desde Adelaida a París, un servizo de correo cobra 50 € por paquetes que pesen ata 2 kg e 10 € por cada kg ou fracción adicional. a) Calcula o que custa enviar un paquete de 5 kg. b) Escribe a expresión analítica do prezo de enviar un paquete de x kg para x menor ou igual a 8. c) Represéntaa graficamente.

132

42 Tres operadores telefónicos ofrecen estas tarifas mensuais: abono

2h

custo a partir de

2h

tarifa

A

30 €

0,50 € por minuto

tarifa

B

20 €

0,75 € por minuto

tarifa

C

40 €

0,25 € por minuto

Analiza cal é a tarifa máis vantaxosa segundo o tempo que se supera as 2 h do abono.

43 Unha discoteca abre ás 10 da noite e pecha cando se vai toda a clientela. Representa a función que nos dá o número de clientes, N, segundo o número de horas que leva aberta, t, é N (t ) = 80t – 10t 2. a) A que hora o número de clientes é máximo? b) A que hora pechará a discoteca?

44 A porcentaxe de estudantes que asisten a un curso de inglés de 10 meses de duración vén dada pola función: P (t ) = *

at 2 + bt + c se 0 ≤ t ≤ 3 t, en meses 28 se 3 < t ≤ 10 Sabemos que, inicialmente, o 100 % dos estudantes asiste ao curso; que transcorrido un mes, asiste o 60 % e que ao cumprirse o terceiro mes, a asistencia se reduce ao 28 %.

Calcula a, b, c e representa a función.

45 As funcións I (t) = –0,5t 2 + 17t e C (t) = 0,5t 2 – t + 32, 0 ≤ t ≤ 18, representan, respectivamente, os ingresos e os custos dunha empresa, en miles de euros, en función dos anos transcorridos desde o seu comezo e nos últimos 18 anos. a) Para que valor de t, dáse a igualdade C (t) = I (t)? b) Acha a función que expresa os beneficios (ingresos menos custos) en función de t e represéntaa graficamente. c) Cantos anos despois do comezo da súa actividade a empresa alcanzou o beneficio máximo? Calcula o seu valor.

46 Obtén a expresión analítica das seguintes funcións: a) 6 Y

4Y

b)

4 2

c)

2 2

4

8

6

4Y

d)

2 –4 –2 –2

–4 –2

10 X

2

4

2 4

X 6

4

6

Y

2 –4 –2

X

2

4

X 6

47 Representa as seguintes funcións e defíneas como funcións «a anacos»: a) y = |2x + 5| b) y = |4 – x 2| c) y = 3x – 3 2

d) y = |– x 2 + 2x + 3|

U4

Cuestións teóricas

Para afondar

48 Verdadeiro ou falso? a) A función y = a – x non existe se a < 0. b) Unha función non pode cortar o eixe Y en dous puntos. c) A gráfica de y = mx 2 + n é unha recta. d) A parábola y = 3x 2 é máis estreita que y = x 2. e) O dominio de definición da función f (x) = 3 x 2 – 4 é (–∞, +∞).

51 Define por intervalos e representa. a) y = |x + 1| + |x – 3| b) y = |2x – 4| – |x – 1| 52 Acha o dominio de definición destas funcións: x +3 b) y = x – 9 x –2 x 53 A evolución mensual do número de persoas asociadas dun club, durante un ano, vén dada pola función: a) y =

49 Cal é o dominio de definición e o percorrido das seguintes funcións?

Y 4 Y a) b)

– x 2 + 6x + a se 0 ≤ x ≤ 6 f (x) = * 50 se 6 < x ≤ 8 x, en meses x 2 – 20x + 146 se 8 < x ≤ 12

55

X –4

c)

10

d)

Y

10

a) Acha a sabendo que se fundou con 50 persoas asociadas. b) Representa a función e di en que mes o número de persoas asociadas foi máximo e en que mes foi mínimo. c) Se para cubrir gastos o club necesita ter máis de 47 persoas asociadas, en que mes tivo perdas?

X

Y

X

X

50 Cantas solucións pode ter cada un dos seguintes sistemas de ecuacións? Xustifícao con exemplos gráficos. a) *

y = x2 y = ax + b

b) *

1 c) * y = x y = ax + b

y= x y = ax + b

AUTOAVALIACIÓN

➜

1 Acha o dominio de definición das seguintes funcións: b) y =

c) y = 4 – 2x

d) y = 5x – x 2

5 Poñemos ao lume un cazo con auga a 10 °C. En 5 minutos alcanza 100 °C e mantense así durante media hora, ata que a auga se evapora totalmente. Representa a función que describe este fenómeno e acha a súa expresión analítica.

2 Representa as seguintes funcións: a) f (x) = – 0,5x 2 + 2x – 2 b) f (x) = |5 + 2x | 1 – x 2 se x ≤ 0 x + 3 se x > 0

d) f (x) = – –x

3 Determina a expresión analítica desta función definida no intervalo [–6, 6]. Cal é o seu percorrido?

Y 2 –4 –2

2 –2

anayaeducacion.es Resolucións destes exercicios.

4 Asistir a un ximnasio durante 6 meses cústanos 246 €. Se asistimos 15 meses, o prezo é 570 €. Canto teremos que pagar se queremos ir durante un ano?

3x (2x – 6)2

a) y = x 3 – x 2

c) f (x) = *

54 As tarifas dunha empresa de transportes son: • 40 € por tonelada de carga se esta é menor ou igual a 20 t.

• Se a carga é maior que 20 t, restarase, dos 40 €, tantos euros como toneladas superen as 20.

Debuxa a función ingresos da empresa segundo a carga que transporte (carga máxima: 30 t) e obtén a expresión analítica.

4

X

6 O prezo de venda dun artigo vén dado pola expresión p = 12 – 0,01x (x = número de artigos fabricados; p = prezo, en centos de euros). a) Se se venden 500 artigos, cales serán os ingresos? b) Representa a función número de artigos-ingresos. c) Cantos artigos se deben fabricar para que os ingresos sexan máximos?

133

5 Funcións II Funcións exponenciais e logarítmicas Xa coñeces estas funcións de cursos anteriores.

Como sabes, as funcións exponenciais encóntranse con moitísima frecuencia no noso mundo: na natureza (crecemento de poboacións animais ou vexetais), na economía (crecemento dun capital depositado nun banco). As funcións logarítmicas utilízanse para determinar a idade dos fósiles, para describir o pH (grao de acidez) das substancias químicas...

Amonite fosilizado.

A trigonometría: do mundo árabe a Europa A matemática árabe, e en concreto a trigonometría, bebeu dos coñecementos de Grecia e da India. Pero as súas achegas foron moitas e notables. Unha delas foi a de tomar r = 1 na circunferencia goniométrica (en Grecia usábase r = 60). Ademais, Al-Jwarizmi, o máis destacado matemático árabe, fixo as primeiras táboas exactas do seno e do coseno, e tabulou por primeira vez os valores da tanxente.

A matemática xurdida da cultura árabe, incluídos os seus coñecementos sobre trigonometría, estendeuse por Europa a partir do século xii. O astrónomo prusiano Johan Müller (Regiomontano), nado en Königsberg no século xv, foi o primeiro europeo en sistematizar e ampliar os coñecementos trigonométricos recibidos daquela cultura.

Como foi que un prusiano se chamase Regiomontano? Naquela época a linguaxe da ciencia era o latín e os científicos tamén latinizaban os seus nomes de modo que Königsberg, montaña rexia en alemán, pasou a ser Regiomontanus.

Müller traduciu o Almaxesto grego directamente ao latín, sen partir dunha tradución árabe e escribiu varios libros de trigonometría. Nun deles, De triangulis omnimodis (1464), fixo unha exposición sistemática dos métodos de resolución de triángulos. Este libro constitúe un dos grandes fitos da trigonometría e, debido a el, Regiomontano é considerado o pai da trigonometría moderna.

A primeira representación do seno Gilles de Roberval, matemático francés especialmente interesado no estudo de diversas curvas, en 1635 bosquexou por primeira vez a gráfica da metade dun arco da curva seno.

O que ata entón era unha colección de valores (táboa numérica) útil para a trigonometría, pasou a ser mirado como gráfica dunha función.

Máis adiante, Leibniz (1646-1716) deulle carta de natureza á función seno, xunto ás demais funcións trigonométricas.

140

As funcións trigonométricas hoxe A comezos do século xix a trigonometría alcanzou o seu punto culminante coas series de Fourier, que uniron estreitamente a trigonometría á análise, proporcionando un instrumento sen precedentes para a exploración das vibracións e movementos periódicos que por todas as partes aparecen na natureza.

A análise harmónica é a ferramenta que trata das funcións periódicas. Comezou co estudo da vibración dunha corda musical e desenvolveuse de tal maneira que con el se poden analizar e describir todo tipo de ondas. Física, química, medicina, enxeñaría, tecnoloxía... son debedoras desta rama das matemáticas. Os seus ingredientes básicos son as funcións trigonométricas que se estudan nesta unidade.

RESOLVE Dúas formas de visualizar a curva seno 1.ª Nunha folla de papel transparente, pinta unha diagonal cun rotulador vermello de trazo groso. Enrola a transparencia sobre o lado longo da folla e verás con toda nitidez a curva seno.

2.ª Enrola unha folla de papel ao redor dunha vela ou arredor do soporte de cartón dun rolo de papel hixiénico ou de papel de cociña. Córtao cun coitelo, cúter ou serrón, trazando un ángulo de 45° co seu eixe. Desenrola. A curva resultante é a curva seno.

141

1

Transformacións elementais de funcións Imos ver como se transforma a gráfica de y = f (x) cando sometemos a función a certas transformacións moi sinxelas.

Translacións Se k é un número positivo, entón: obtense trasladando a gráfica de f (x)

A gráfica de

k unidades cara arriba

f (x) – k

k unidades cara abaixo

f (x + k)

k unidades cara á esquerda

f (x – k)

k unidades cara á dereita

cambiando os parámetros.

f (x – 5)

f (x + 5)

f (x) + k

Move calquera función

➜

f (x) + 5

Y

f (x) X

f (x) – 5

Simetrías Y

é a simétrica da gráfica de f (x)

A gráfica de –f (x)

respecto ao eixe X

f (–x)

respecto ao eixe Y

–f (x)

X f (x)

f (–x)

Exercicio resolto

1 Relacionar as seguintes gráficas mediante as súas ecuacións: Y

1 É a gráfica da función y =

2 Obtense trasladando 1 6 unidades á dereita → y = x – 6 .

3

5 1

1.

3 Obtense trasladando 2 3 unidades cara arriba → y = x – 6 + 3 .

2

4 É a simétrica respecto ao eixe X de 1 → y = – 1.

X

20 x – 5 Obtense trasladando 4 5 unidades cara arriba → y = – 3 .

4

Pensa e practica

1 Representa sucesivamente. a) y = 1 x c) y = –

142

b) y = 1 x +3

1 x +3

d) y = –

1 +8 x +3

2 Representa nos mesmos eixes de coordenadas as seguintes funcións: a) y = x 2

b) y = (x + 2)2

c) y = (x – 3)2 + 1

d) y = (x + 1)2 – 3

U5

Y

Estiramentos e contraccións

2f (x)

Se k é un número maior que 1, entón: A gráfica de

f (x)

obtense a partir da gráfica de f (x)

kf (x)

estirándoa en sentido vertical multiplicando por k

1 f (x) k

contraéndoa en sentido vertical dividindo entre k

1 f (x) — 2

X

anayaeducacion.es

➜

Transformacións elementais de funcións.

Exercicios resoltos

1 Representar sucesivamente as seguintes funcións: 1 y= 6 x

2 obtense desprazando 1 5 unidades á dereita.

3 é a simétrica de 2 respecto ao eixe X. 4 obtense subindo 3 4 unidades.

Y

2 y= 6 x–5 3 y = – 6 x–5

1 y= x 2 y=2 x 3 y = –2 x

4

2 3 1 X

X

para chegar, finalmente, á representación de: 4 y = – 6 + 4 x–5 2 Representar sucesivamente:

Y

1

2 3 4 5

4

3

2

obtense estirando 1 en sentido vertical multiplicando por 2. é a simétrica de 2 respecto ao eixe X. é a simétrica de 3 respecto ao eixe Y. obtense desprazando 4 6 unidades á esquerda.

Y

4 y = –2 –x para chegar, finalmente, á representación de: 5 y = –2 – (x + 6 )

2

1 X

5

4

3

Pensa e practica

3 Se y = f (x) pasa por (3, 8), di un punto de: y = f (x) – 6, y = f (x + 4), y = 1 f (x), y = 2f (x), 2 y = –f (x), y = f (–x), y = –2f (–x) + 3

4 Representa.

4 –3 x +8 b) y = 3 –x + 10 a) y = –

143

2

Composición de funcións Vexamos, cuns exemplos, como a partir de dúas funcións se obtén outra, chamada función composta de ambas as dúas.

• Observa a seguinte secuencia: 16

16 = 4

1/x

OBSERVA

1 = 1 16 4

1 Se agora actuamos sobre unha variable, x, obtemos a función : x 1/x 1 x x x

— √■

1/■

x

Ä8

√x

Ä8 1/ √x

16

8

4

8

1/4

1

8

1

8

1

100

8

10

8

0,1

0,0001

8

0,01

8

100

Poñamos nomes ás funcións utilizadas: 1

= v (x) x = r (x) x A función resultante chámase función composta de r e v e desígnase v ° r: 1 v ° r (x) = v [r (x)] 8 v ° r (16) = v [r (16)] = v ( 16 ) = v(4) = 4 • Outro exemplo: f (x) = x2 – 5x; r(x) = x x

f

x2

– 5x

r

x2

OBSERVA x

– 5x

9

8

36

8

6

–3

8

24

8

√24

0

8

0

8

0

–0,1

8

0,51

8

√0,51

r % f (x) = r [ f (x)] = x 2 – 5x r ° f (9) = r (81 – 45) = r (36) = 36 = 6

—

2

■ – 5■ √■ ÄÄ8 x2 – 5x Ä8 √x2 – 5x

Dadas dúas funcións, f e g, se chama función composta de f e g, e desígnase por g ° f, á función que transforma x en g [ f (x)]: g°f

f

x ⎯⎯→ g [ f (x)]

g°f

x

f

g

x ⎯→ f (x) ⎯→ g [ f (x)]

f (x)

A expresión g ° f (x) lese f composta con g. Noméase en primeiro lugar a función da dereita porque é a primeira en actuar sobre o x.

g

En xeral, a función f [ g (x)] é distinta de g [ f (x)].

g [ f (x)]

• Observa que, en xeral, non é o mesmo compoñer dúas funcións nun sentido que en sentido contrario: x

r

x

f

( x) 2 – 5 · x = x – 5 x

f % r (x) = f [r (x)] = x – 5 · x ≠ r % f (x) = x 2 – 5x f % r (9) = f ( 9) = f (3) = 3 2 – 5 · 3 = –6 ≠ r % f (9) = 6

➜

Composición de funcións con Geogebra.

• Non obstante, tamén hai casos nos que ao compoñer dúas funcións en ambos os dous sentidos o resultado é o mesmo: f (x) = 2x + 1

g(x) = 3x + 2

• f ° g (x) = f [g(x)] = 2(3x + 2) + 1 = 6x + 4 + 1 = 6x + 5 • g ° f (x) = g[ f (x)] = 3(2x + 1) + 2 = 6x + 3 + 2 = 6x + 5 Polo tanto, neste caso, f ° g (x) = g ° f (x).

144

TEN EN CONTA En xeral, non é o mesmo r ° f (x).

f ° r (x) que

U5

Exercicios resoltos

1 Considerar as funcións:

2

f (x) = x2 – x e g(x) =

4 (x + 1) = 12 – 4x a) • f [ g (x)] = f < 4 F = c 4 m – 4 = 16 2 – ⇒ x +1 x +1 x + 1 (x + 1) (x + 1) 2 (x + 1) 2 ⇒ f % g (x) = 12 – 4x2

(x + 1)

4 x +1

a) Obter a expresión analítica de: f°g

g°f

f°f

g°g

• g [ f (x)] = g (x 2 – x) =

b) Achar f [g(1)] e g[ f (1)].

4 4 ⇒ g % f (x) = 2 4 = (x 2 – x) + 1 x 2 – x + 1 x – x +1

• f [ f (x)] = f (x 2 – x) = (x 2 – x)2 – (x 2 – x) = x 4 – 2x 3 + x 2 – x 2 + x ⇒

⇒ f ° f (x) = x 4 – 2x 3 + x

• g [ g (x)] = g < 4 F = x +1

4 ( 1) 4 4 = = x + = 4x + 4 ⇒ 4 +1 4 + x +1 4 + x +1 x + 5 x +1 x +1 4 x + 4 ⇒ g % g (x) = x +5

g f b) • f [ g (1)] = 12 – 4 $21 = 8 = 2; ou ben, 1 ⎯→ 4 = 2 ⎯→ 22 – 2 = 2 1+ 1 4 (1 + 1)

• g [ f (1)] = 2 Dadas estas funcións: f (x) = 1 x g(x) = x2

f g 4 = 4; ou ben, 1 ⎯→ 12 – 1 = 0 ⎯→ 4 = 4 0 +1 – 1+1

a) En cada caso trátase de ver a composición de dúas funcións. É bastante intuitivo.

h(x) = x + 1 a) Indicar como deben compoñerse para obter estas outras: y1 = 12 y2 = x2 + 1 x y3 = x2 + 2x + 1 y4 = 1 x +1 b) Compoñer f{g[h(x)}.

Pensa e practica

12

➜

• y 1: é claro que hai que aplicar f e g, pero parece que se se fai dunha forma ou outra se obtén o mesmo: 2 f ° g (x) = f (x2) = 12 ; g ° f (x) = g b 1 l = b 1 l = 12 x x x x Vale tanto f ° g (x) como g ° f (x).

• y2: primeiro aplícase g(x) e despois h(x). É dicir, h ° g(x) = h(x2) = x2 + 1.

• y3: aplicouse o cadrado a x + 1, polo tanto: g ° h(x) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

1 • y4: aplícase primeiro h(x) e despois f (x). É dicir,, f ° h(x) = f (x + 1) = . x +1 1 b) f {g[h(x)]} = f [g(x + 1)] = f [(x + 1)2] = (x + 1) 2

anayaeducacion.es Practica a composición de funcións.

1 Se f (x) = x 2 – 5x + 3 e g (x) = x 2, obtén as expresións de f [ g (x)] e g [ f (x)].

Acha f [ g (4)] e g [ f (4)].

2 Se f (x) = x e g (x) = x + 4, obtén as expresións de f ° g, g ° f, f ° f e g ° g.

Acha o valor destas funcións en x = 0 e x = 5.

1 , g(x) = x2 + 5, acha f ° g, g ° f, f ° f e g ° g. x Acha o valor destas funcións en x = 1 e x = 2.

3 Se f (x) =

4 Dado f (x) = x + 1, obtén en cada caso a función g(x) para que se cumpra: a) g[f (x)] = x – 2 c) g ° f (x) = x2 + 2x

b) f [g(x)] = x2 + 3x – 2 d) f ° g (x) = x 145

3

Función inversa ou recíproca doutra Imos compoñer as funcións f (x) = x 3 – 6 e f –1(x) = 3 x + 6 : f –1

f

x ⎯→ x 3 – 6 ⎯→ f –1

x ⎯→

3

3

➜

Inversa dunha función.

f –1[ f (x)] = x

(x 3 – 6) + 6 = 3 x 3 = x

f x + 6 ⎯→ `3 x + 6j – 6 = (x + 6) – 6 = x 3

f [ f –1(x)] = x

Vemos que f e f –1 teñen a peculiaridade de que ao actuar sucesivamente sobre un número x, o número mantense, é dicir, cada unha desas funcións desfai o que fai a outra. Por iso dise que f –1 é a inversa de f, ou que cada unha delas é inversa da outra.

Observa a simetría dos puntos dunha e outra función respecto a y = x : puntos de

f (x): y = x 3 – 6

(–1, –7)

(0, –6)

(2, 2)

…

(a, b)

puntos de

f –1(x): y = 3 x + 6

(–7, –1)

(– 6, 0)

(2, 2)

…

(b, a)

Chámase función inversa ou recíproca de f a outra función (desígnase por f –1) que cumpre a seguinte condición:

GRÁFICAS DE FUNCIÓNS INVERSAS

Se f (a) = b, entón f –1(b) = a.

y = f –1(x)

Y

Como consecuencia, danse as relacións seguintes: f

f –1

f –1

f

x ⎯→ f (x) ⎯→ x ; é dicir,

X

f –1[ f (x)]

=x

y = f (x)

x ⎯→ f –1(x) ⎯→ x ; é dicir, f [ f –1(x)] = x

y=x

f –1

A función inversa de é, á súa vez, f. Por iso dise, simplemente, que as fun–1 cións f e f son inversas ou recíprocas.

As gráficas de dúas funcións inversas son simétricas respecto á recta y = x.

O dominio de f coincide co percorrido de f –1 e o percorrido de f coincide co dominio de f –1.

Para que unha función teña inversa ha de ser inxectiva, é dicir, cada valor de y ha de corresponder a un único valor de x. Se non é así, ha de descompoñerse en tramos en que sexa inxectiva, cada uns dos cales terá a súa función inversa.

Por exemplo, como y = x 2 non é inxectiva, para achar a súa inversa procedemos así: Y

y = f (x) = x 2 *

( x ) = x 2,

y = f1 x ≥0 " 2 y = f 2 ( x) = x , x ≤ 0 "

y = x 2, x ≥ 0

f1–1 (x) = x f2–1 (x) = – x

y = √x

Y y = x 2, x ≤ 0

X

X y = –√x

Pensa e practica

1

Verdadeiro ou falso? a) A función recíproca de y = x é y = 1 . x 1 b) Cada unha das funcións y = x, y = é recíproca de si x mesma. c) A inversa da función y = é y=

, x ∈ [1, 3].

x

, x ∈ [3, 9]

x d) Se unha función é crecente, a súa recíproca é decrecente.

146

2 Representa y = 2x, y = x e comproba que son inversas.

2 3 Comproba que hai que descompoñer y = x 2 – 1 en dúas ramas para achar as súas inversas.

Descobre cales son.

4 Comproba que a función recíproca de y = 2x + 4 é y = 1 x – 2.

2

U5

Expresión analítica da función inversa doutra Para achar a inversa de y = f (x), intercámbianse as dúas incógnitas, x = f ( y). Agora, se se pode, despéxase o y.

Por exemplo, f (x) = 2x – 3: y = 2x – 3 → x = 2y – 3 → y = x + 3 2 Polo tanto, f –1(x) = x + 3 2 Vexamos como procederiamos se f (x) tivese o dominio de definición limitado: Y

f (x) = 2x – 3, x ∈ [–1, 4] Para achar a súa inversa, achamos os valores que toma a función nos extremos do intervalo: f (–1) = –5, f (4) = 5.

Polo tanto, f

–1(x)

y = f –1(x)

2 2 y = f (x)

= x + 3 , x ∈ [–5, 5] 2

X

Vexamos outro exemplo; achemos a inversa da función y = f (x) = x 2 – 6x + 8 : Per representar y = (punteada en azul).

x2

– 6x + 8 (en verde) apoiámonos na gráfica de

Y

y = x 2 – 6x + 8

Como ves, y = f (x) non está definida nos valores nos cales o radicando é negativo, é dicir, en (2, 4). Polo tanto, a súa gráfica está composta por dúas ramas: y = f1(x) = x 2 – 6x + 8 , x ≤ 2

8 6 4 — y = √x 2 – 6x + 8 2 x≤2 –4 –2

y = f2(x) = x 2 – 6x + 8 , x ≥ 4

y = x 2 – 6x + 8

— y = √x 2 – 6x + 8 x≥4 2

4

6

X

8

Obtemos as expresións analíticas das súas inversas: y = x 2 – 6x + 8 → x = y 2 – 6y + 8 → x 2 = y 2 – 6y + 8 → → y 2 – 6y + (8 – x 2) = 0 → y = 6 ± 36 – 4 (8 – 2 = 3 ± x2 + 1 É dicir:

f 2–1

= 3 ± 9 – 8 + x2 = f2

f1 2

A inversa de y = f1(x) = x 2 – 6x + 8 , x ≤ 2, é: y = f1–1(x) = 3 – x 2 + 1 , x ≥ 0 A inversa de y = f2(x) =

x 2)

Y

x2

– 6x + 8 , x ≥ 4, é:

X

2 f 1–1

y = f2–1(x) = 3 + x 2 + 1 , x ≥ 0 Pensa e practica

5 Acha a expresión analítica da función inversa de: a) f (x) = x – 5 , x ∈ [3, 13] 2 2 b) g (x) = – x , x ∈ [–7, 14] 3

6 A función y = x 2 – 2x ten dúas ramas: unha decrecente para x ≤ 1, e outra crecente para x ≥ 1.

Exprésaa como dúas funcións f 1(x) e f 2(x) e acha a función inversa de cada unha delas.

147

4

Funcións exponenciais A función exponencial de base 2: y = 2x A gráfica da esquerda mostra a representación da función y = 2x. Trátase dunha función definida en todo Á, continua e crecente.

y = 2x 10

Crece máis á présa que calquera función potencia. Por exemplo, aínda que a función y = x 10 ao principio é maior que y = 2x, esta «supéraa» para valores suficientemente grandes de x.

5

–4

x

0

2

4

4

10

40

x10 1 024 1 048 576 10 000 000 000 1,049 · 1016 2x

4

16

1 024

1,1 ·

1012

60

…

6,05 · 1017

…

1018

…

1,15 ·

A función exponencial de base 1/2: y = (1/2)x x

A gráfica da función y = c 1 m é simétrica, respecto do eixe Y, da de y = 2x. A razón 2 disto é a seguinte: f1(–x)

y = f 1 (x) = 2 x 4 f (–x ) = f2(x ) y = f2 (x) = (1/2) x = 2 –x 1

()

1 y= — 2

x

y = 2x

f1(x)

–x

10

5

x x

Como consecuencia da propiedade anterior, a función y = c 1 m é tamén continua 2 en todo Á, pero decrecente.

–4

0

4

Características das funcións exponenciais Chámanse funcións exponenciais as que teñen por ecuación y = a x, sendo a base a un número positivo distinto de 1.

• Todas elas son continuas en Á, e pasan por (0, 1) e (1, a).

• Se a > 1, son crecentes, tanto máis canto maior sexa a. O crecemento de calquera delas chega a ser moi rápido, superando mesmo a calquera función potencia. Por iso a expresión crecemento exponencial é sinónima de crecemento moi rápido.

• Se 0 < a < 1, son decrecentes.

➜

anayaeducacion.es Representación de funcións

ex

• En matemáticas superiores a función y = é extraordinariamente importante.

Tanto é así que cando se fala de «a función exponencial», sen mencionar cal é a súa base, se está a facer referencia a ela.

exponenciais.

• Tamén son exponenciais as funcións y = a kx, pois a kx = (a k )x. É dicir, y = a kx é unha función exponencial de base a k.

• Nas calculadoras científicas adoita haber dúas teclas, e , coas que se obteñen valores das funcións y = 10 x e y = e x, respectivamente.

148

➜

Xoga coa base de funcións exponenciais.

U5

Fenómenos que se describen mediante a función exponencial A función exponencial preséntase en multitude de fenómenos de crecemento animal, vexetal, económico, etc. En todos eles, a variable independente é o tempo. Vexamos algúns exemplos: • Nun lugar illado introdúcense 1 000 moscas de certa especie. A poboación (N = n.º de moscas) varía ao longo do tempo t (expresado en días) segundo a seguinte función: N = 1 000 · 1,02t

N.º DE MOSCAS

3 000 2 000 1 000

• Un capital de 50 000 € imposto ao 6 % anual transfórmase nun capital C ao cabo de t anos do seguinte modo: C = 50 000 ·

10

1,06t

A función exponencial tamén serve para describir fenómenos de decrecemento. Por exemplo:

M = m · 0,76t

CANTIDADE DE SUBSTANCIA RADIACTIVA

onde t é o tempo e vén dado en miles de anos, m é a cantidade inicial de substancia radiactiva e M é a cantidade de substancia radiactiva transcorrido un tempo t.

30

40

DÍAS TRANSCORRIDOS

50

Crecemento da poboación mundial

poboación total

• As substancias radiactivas desintégranse co paso do tempo e a cantidade de substancia radiactiva diminúe de forma exponencial. Nunhas, a desintegración é rapidísima, noutras, moi lenta. Por exemplo, certa cantidade de masa dunha substancia desintégrase segundo a ecuación:

20

m desde o ano 10.000 a. c. ata o ano 2.000 d. c.

1

2

3

4 5 de anos)

TEMPO (miles

• Se un capital de 80 000 € depositados en divisas desvalorízanse un 3,5 % ao ano, a súa evolución co tempo descríbese mediante a función: t

C = 80 000 · c 100 – 3, 5 m = 80 000 · 0,965t 100

Pensa e practica

1 A masa de madeira dun bosque aumenta nun 40 % cada 100 anos. Se tomamos como unidade de masa vexetal (biomasa) a que había no ano 1800, que consideramos instante de partida, e como unidade de tempo 100 anos, a función M = 1,4t dános a cantidade de masa vexetal, M, nun instante calquera, t, expresado en séculos a partir de 1800 (razoa por que). a) Descobre cando haberá unha masa de madeira tripla que en 1800 (1,4t = 3) e cando había a terceira parte.

Observa que os dous períodos de tempo son iguais.

b) Calcula a cantidade de madeira que había en 1900, 1990, 2000, 1600 e 1550.

2 Comproba que, no exemplo anterior referente á desintegración de certa substancia radiactiva, M = m · 0,76t (t expresado en miles de anos), o período de semidesintegración (tempo que tarda en reducirse á metade a substancia radiactiva) é de, aproximadamente, 2 500 anos.

Para iso, comproba que unha cantidade inicial calquera se reduce á metade ao cabo duns 2 500 anos (t = 2,5).

149

5

Funcións logarítmicas Y 20

A gráfica de y = log2 x é simétrica respecto da recta y = x da gráfica de y = 2x, por ser a súa función inversa.

10

y = 2x

Exponencial e logarítmica:

➜

funcións inversas.

y=

x

A función inversa de y = 2x chámase función logarítmica de base 2 e desígnase así: y = log2 x. Os valores que toma esta función son, obviamente, os dos logaritmos en base 2.

y = log2 x 2 –4

–4

2

10

20

X

nota: Tamén existen as funcións logarítmicas y = loga x, para 0 < a < 1, pero aquí non as imos estudar.

Características das funcións logarítmicas Chámanse funcións logarítmicas as que teñen a ecuación y = loga x, sendo a un número positivo maior que 1.

• Todas elas son continuas en (0, +∞) e pasan polos puntos (1, 0) e (a, 1).

• Son crecentes. O seu crecemento é moi lento, tanto máis canto maior sexa a.

• En matemáticas superiores a función y = loge x é moi importante. Chámaselle logaritmo neperiano e desígnase y = ln x ou y = Lx. É a función inversa da exponencial de base e.

• Nas calculadoras científicas adoita haber tres teclas, , e , coas que se obteñen valores das funcións y = loga x (a calquera), y = log x e y = ln x, respectivamente.

anayaeducacion.es

➜

Visualiza funcións logarítmicas..

A función logarítmica como modelo En psicoloxía ten grande importancia o estudo de percepcións. O individuo percibe cores, sons, olores, sabores... A percepción depende (é función) dos estímulos físicos.

Por exemplo, falemos da iluminación (I ), que pode ser medida fisicamente, e a percepción, S, que aprecia un individuo. A relación entre as dúas variables vén dada pola chamada lei psicofísica ou lei de Weber-Fechner: S = C log I

SENSACIÓN(estimada (estimadapor polo individuo) S = SENSACIÓN el individuo)

(C é unha constante)

Para valores pequenos de I o individuo aprecia pequenos cambios. Pero canto maior sexa I maiores teñen que ser os cambios para que se aprecien.

II==ESTÍMULO FÍSICO ESTÍMULO FÍSICO

Exercicio resolto

1 Calcular a función recíproca de y = 10x, x ∈ [–2, 4].

10–2 = 1 = 0,01; 104 = 10 000 100 A función y = 10x pasa por (–2; 0,01) e por (4, 10 000). Polo tanto, a súa recíproca pasa por (0,01; –2) e por (10 000, 4).

Conclusión: a recíproca de y = 10x, x ∈ [–2, 4] é y = log x, x ∈ [0,01; 10 000].

Pensa e practica

1 Verdadeiro ou falso?

A función recíproca de y = 2x, x > 0 é y = log2 x, x > 1.

150

2 Acha a función recíproca de: y = log2 x, x ∈ [8, 32]

6

U5

Funcións trigonométricas Visión intuitiva Estamos a arranxar unha picada nunha roda de bicicleta, que temos situada no bordo dunha mesa, tal como se ve na fotografía.

P

Ao xirar a roda, o punto P no que está a picada varía a súa altura respecto da mesa.

A función que relaciona x con y x: lonxitude percorrida polo punto P ao xirar y: altura á que se encontra P respecto ao nivel da mesa tomando a lonxitude do raio como unidade de medida, chámase función seno: sen

x (percorrido) ⎯→ y = sen x (altura) 3 2 y x

1

π x=— 2

y

x=π 4 y

5

π 3π x=— 2

x = 2π 10

y

y y

6

y

9 8

7

Así é a gráfica que obtemos: OBSERVA

3 2 1

4

10 5 9 8

6 7

A partir da primeira volta, os valores da función repítense unha e outra vez. Trátase dunha función periódica. O seu período é 2π, pois esta é a distancia que percorre P ao dar unha volta completa. α x

Podemos observar que cada posición de P corresponde a un ángulo de xiro, α. Se o devandito ángulo o medimos polo valor de x, diremos que está medido en radiáns.

151

6

Funcións trigonométricas

Seno dun ángulo

Y P

Un punto P xira sobre unha circunferencia de raio 1. Trazamos uns eixes coordenados X, Y con orixe no centro da circunferencia.

β

Se α é o ángulo de xiro, chámase seno de α, e exprésase sen α á ordenada do punto P. É a distancia de P ao eixe X de modo que se o punto queda enriba do eixe X, a distancia é positiva (sen α > 0) e se o punto queda baixo o eixe X, a distancia é negativa (sen β < 0).

–1 ≤ sen α ≤ 1

A circunferencia de raio unidade que utilizamos para medir os valores do seno chámase circunferencia goniométrica.

GRAOS E RADIÁNS CON CALCULADORA Na calculadora utilízanse por defecto os graos. Para configurar a medida angular púlsase e selecciónase 2:Unidade angular. Aparecen tres opcións para elixir: 1:Grao sexag (D) 2:Radián 3:Grao cent (G)

Graos e radiáns 1 rad ≈ 57° 17' 1 rad 1 180 α° = —— α rad π

O valor dun ángulo α en radiáns é igual á lonxitude do arco correspondente medido sobre a circunferencia goniométrica.

Valores do seno

y = sen x, x ∈[0, 2π]

1

Os valores do seno dun ángulo pódense obter coa calculadora:

= 0,714676

en graos:

sen 45° 37' →

45

en radiáns:

sen 1,5 rad →

1,5 = 0,997495

37

X

sen β

O seno dun ángulo toma, pois, valores entre –1 e 1: –1 ≤ sen α ≤ 1

Os ángulos mídense, habitualmente, en graos. Non obstante, para representar as funcións trigonométricas é moi útil outra unidade de medida de ángulos: o radián.

sen α

α

1 –1

Observa algúns valores interesantes que dan lugar á gráfica da marxe:

π 2 — 2

π 3

4

3π —5 2

2π 6

x : medida do ángulo en radiáns.

graos

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

radiáns

0

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

π

7π 6

5π 4

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

2π

sen

0

1 2

2 2

3 2

1

3 2

2 2

1 2

0

–1 2

– 2 – 3 2 2

–1

– 3 – 2 2 2

–1 2

0

A función seno A gráfica representada na marxe é a da función y = sen x, sendo x a medida en radiáns dun ángulo do intervalo [0, 2π], é dicir, entre 0° e 360°.

Se consideramos ángulos maiores que 360° (2π rad) facendo que o punto siga xirando despois da primeira volta, e ángulos negativos cando o ángulo xira en sentido contrario, os valores do seno repítense. Obtense, así, a seguinte función, definida en todo Á, continua e periódica de período 2π.

–π –2π

152

1

–1

y = sen x π 2π

3π

FUNCIÓN PERIÓDICA Unha función é periódica se: f (x ) = f (x + l ) = … = f (x + kl ), k ∈ Z É dicir, se os valores de f repítense cada vez que se avanza ou retrocédese un intervalo de lonxitude l.

U5

Coseno dun ángulo

Y

Situamos un ángulo α sobre a circunferencia goniométrica. O primeiro lado do ángulo é o eixe X e o segundo determina un punto P. Chámase coseno de α e desígnase cos α, á abscisa de P, é dicir, á súa distancia ao eixe Y, que será positiva se está á súa dereita e negativa se está á súa esquerda.

cos β

β

P

α cos α

X

O coseno dun ángulo toma valores entre –1 e 1: –1 ≤ cos α ≤ 1 –1 ≤ cos α ≤ 1

Relacións entre seno e coseno • Posto que calquera que sexa o ángulo α, sen α e cos α son as coordenadas dun punto P da circunferencia goniométrica, cuxo raio é 1, verifícase a seguinte igualdade:

relación fundamental

+α

(sen α)2 + (cos α)2 = 1

90°

sen (90° + α) cos (90° + α)

• Se dous ángulos difiren en 90°, α e α + 90°, entón:

sen α

α cos α

sen (90° + α) = cos α cos (90° + α) = –sen α

Valores do coseno

y = cos x, x ∈[0, 2π]

1

Os valores do coseno dun ángulo pódense obter coa calculadora:

= 0,699455

en graos:

cos 45° 37' →

45

en radiáns:

cos 1,5 rad →

1,5 = 0,070737

37

1 –1

graos

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

radiáns

0

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

2π

cos

1

3 2

2 2

1 2

0

2 – 2 – 3 –1 – 3 – 2 –1 x+ 2 2 2 2 2

0

1 2

2 2

3 2

1

5π 6

π

5π 4

7π 6

π 3

4

3π —5 2

2π 6

x : medida do ángulo en radiáns.

Observa algúns valores interesantes que dan lugar á gráfica da marxe:

3π 4

π 2 — 2

A función coseno A gráfica representada na marxe é a da función y = cos x, sendo x a medida en radiáns dun ángulo do intervalo [0, 2π], é dicir, entre 0° e 360°.

Se consideramos ángulos maiores que 360° (2π rad) e ángulos negativos, os valores do coseno repítense. Obtense así a seguinte función definida en todo Á, continua e periódica de período 2π: 1 –2π

–π

–1

LEMBRA

y = cos x π

2π

3π

cos α = sen (90° + α) = sen (π/2 radián + α) Polo tanto, a gráfica da función y = cos x = sen (π/2 + x ) é a de y = sen x desprazada π/2 á esquerda..

153

6

Funcións trigonométricas

Tanxente dun ángulo

T tan α

90°

No punto U no que a circunferencia goniométrica corta a parte positiva do eixe das X, trazamos unha recta t tanxente a ela.

A

B 180°

Situamos un ángulo sobre a circunferencia. Ao prolongar o segundo lado do ángulo, ou a súa semirrecta oposta, corta á recta t nun punto T. Chámase tanxente do ángulo á medida UT, que será positiva se T está sobre o eixe X e negativa se está por debaixo (obsérvao na gráfica da marxe).

γ

β

t tan γ

α

U

δ

C

tan β 270° D tan δ

Os ángulos de 90° e 270° non teñen tanxente, pois nin o segundo lado do ángulo nin a semirrecta oposta cortan a recta t.

T

Relacións entre seno, coseno e tanxente S

tan α = 1

Se α é un ángulo distinto de 90° e de 270°, verifícase que

tan α

2

sen α α O U cos α C

Para probalo, observamos que os triángulos OCS e OUT son semellantes.

Polo tanto: tan a = 2π UT = CS → 1 3 OU OC Se o ángulo está situado noutro cuadrante, tamén se cumpre a igualdade, co correspondente signo.

NOTACIÓN Seno, coseno e tanxente dun ángulo chámanse as súas razóns trigonométricas.

Valores da tanxente

y = tan x

Observa algúns valores da tanxente, que dan lugar á gráfica da marxe: graos

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

radiáns

0

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

π

7π 6

5π 4

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

2π

tan

0

3 3

1

3

–

– 3

–1

– 3 3

0

3 3

1

3

–

– 3

–1

– 3 3

0

0

π — 2 1 2

π 3

3π — 2 4 5

2π 6

A función tanxente Procedendo de forma similar a como o fixemos para as funcións sen x e cos x, obtense a función y = tan x. Trátase dunha función definida e continua en todo Á salvo nas abscisas π + k π, sendo k números enteiros (as rectas 2 y = π + k π son asíntotas da función y = tan x). É periódica de período π.

2

➜

anayaeducacion.es Visualiza funcións trigonométricas.

y = tan x

NOTACIÓN –2π

154

–π

0

π

2π

3π

4π

As funcións y = sen x, y = cos x, y = tan x chámanse funcións trigonométricas ou funcións circulares.

U5

Exercicios e problemas resoltos 1. Transformacións dunha función As súas gráficas son estas: a) –1

1

g(x)

b)

4

3

Esta é a gráfica da función: f (x) = x2 – 2x – 3 Representar, a partir dela, as funcións: a) g (x) = f (x) + 3 b) h (x) = f (x + 2) c) i (x) = – f (x) d) l (x) = | f (x)|

–1

c) 2

–2

2

–4

h(x)

2

i(x)

2 2

d)

l(x) 4 2

2

–4

2

–2

4

Podes comprobalo coa súa expresión analítica: a) g (x) = x 2 – 2x b) h (x) = (x + 2)2 – 2(x + 2) – 3 = x 2 + 2x – 3 c) i (x) = –x 2 + 2x + 3 x 2 – 2x – 3 se x ∈ (–@, –1] « [3, +@) d) l (x) = * 2 –x + 2x + 3 se x ∈ (–1, 3)

2. Representación de hipérboles Representar as hipérboles seguintes: a) y = 3x – 5 x–2 b) y = 2x + 1 x +1

FAINO TI

Representa a función y = –2x + 7 . x –3

Utilizando a relación Dividendo = cociente + resto , podemos representar este tipo de divisor divisor funcións a partir da hipérbole y = 1/x mediante transformacións elementais. a) Dividimos: 3x – 5 x – 2 → x + 3 2 –3x + 6 3 1 Polo tanto, a gráfica pedida é como a de y = 1 desprazada x 2 unidades á dereita e 3 arriba. b) Dividimos: 2x + 1 x + 1 –2x – 2 2 –1

Y

1 X

1 Y

→

100 15

A gráfica pedida é como a de y = – 1 desprazada 2 unidax des cara arriba e 1 cara á esquerda.

2 –2

1

X

3. Transformar unha función Describir as transformacións que habemos de facer na gráfica de y = x2 para representar: f (x) = x2 – 2x – 8

Debemos escribir f da forma f (x) = a(x – m)2 + p.

Para iso separamos os termos en x e completamos o cadrado dunha suma ou diferenza enchendo os símbolos ■ cos números adecuados: Y f (x) = x 2 – 2x + ■ – 8 – ■

X

f (x) = (x 2 – 2x + 1) – 8 – 1 FAINO TI

f (x) = (x – 1)2 – 9

Que transformacións habemos de facer na gráfica de y = x 2 para representar f (x) = x 2 – 4x + 3?

Para representar f (x) partimos da gráfica de y = x 2 e facemos unha translación de 1 unidade á dereita e 9 unidades cara abaixo.

–5

As coordenadas do vértice son (1, –9).

155

Exercicios e problemas resoltos 4. Composición de funcións e función inversa Dadas as funcións: f (x) = 2x + 1 g (x) = 3 x + 1 h (x) = x3 – 1 achar: a) g ° f b) h ° f c) g ° h d) h ° g ° f e) f -1 FAINO TI

Acha g ° f e f ° g, sendo: f (x) = 3x 2 – 5 e g (x) = 2 x – 1

Observamos que f ( ) = 2

+ 1;

g( ) = 3 Y + 1 ; h( ) =

3

– 1.

3

a) g ° f (x) = g[ f (x)] = g(2x + 1) = 2 x + 1 + 1 b) h ° f (x) = h[ f (x)] = h(2x + 1) = (2x + 1)3 – 1 = 23x + 3 – 1

c) g ° h (x) = g [ h (x)] = g(x3 – 1) = 3 (x 3 – 1) + 1 = x As funcións g e h son inversas porque verifican (g ° h)(x) = x.

d) h ° g ° f (x) = h 7g ^2 x + 1hA = h ^3 2 x + 1 + 1 h = ^3 2 x + 1 + 1 h – 1 = 2x + 1 = f (x) 3

e) Para calcular a inversa de f, cambiamos as variables, x = 2y + 1, e tomamos logaritmos de base 2 para despexar x : log2 x = log2 2y + 1 → log2 x = y + 1 → y = –1 + log2 x → f – 1(x)= –1 + log2 x

5. Recoñecer funcións compostas Explicar como, a partir das funcións f (x) = 1 + 2x, g(x) = x 2 + 1 , h(x) = 1/x 2, pódense obter as funcións: 2

a) m(x) = 1 + 2 x + 1 1 b) n(x) = (1 + 2 x ) 2 c) p(x) = (1/x 4 ) + 1 FAINO TI

A partir das funcións f, g, h aquí definidas, obtén: a) q (x ) = (1 + 2 x ) 2 + 1 b) r (x ) = 21 x +1

2

a) Observamos que m(x ) = 1 + 2 x + 1 ten que ver con f (x ) = 1 + 2x e con g (x ) = x 2 + 1 , de modo que para obter un valor calquera m(a) calculamos en primeiro lugar a 2 + 1 , despois elevamos 2 a ese valor e sumamos 1. É dicir, aplicamos primeiro g e despois f : f [ g (x)] = f ( x 2 + 1 ) = 1 + 2

x2 +1

→ m (x ) = ( f ° g ) (x )

b) En n(x ) interveñen f (x ) e h(x ). A primeira que actúa sobre x é f e despois h. Polo tanto: 1 h[ f (x)] = h (1 + 2x ) = → n (x ) = (h ° f ) (x ) (1 + 2 x )2 c) Para obter p(x ) aplicamos h(x ) en primeiro lugar e despois g (x ): 2

g [h (x)] = g c 12 m = c 12 m + 1 = 14 + 1 → p(x ) = (g ° h ) (x ) x x x

6. Función inversa doutra Obter a función inversa de cada unha das funcións seguintes: a) f (x) =

1 x–3

b) g (x) = 3 + 2 x + 1 c) h(x) = 2 ln (x – 3) FAINO TI

Obtén a función inversa de: a) p (x ) =

3x – 2

b) q (x ) = log2 (x + 1) c) r (x ) =

156

2 x +4

a) Para obter a función inversa, intercambiamos as variables e despexamos o y : x = 1 → y – 3 = 1 → y = 1 + 3 → f –1(x) = 1 + 3 y –3 x x x b) Despois de intercambiar as variables, pasamos 3 ao primeiro membro e tomamos logaritmos en base 2 para despexar y : x = 3 + 2 y + 1 → x – 3 = 2 y + 1 → log2 (x – 3) = y + 1 → → y = –1 + log2 (x – 3) → g –1(x ) = –1 + log2 (x – 3) c) Intercambiamos as variables, pasamos 2 ao primeiro membro e aplicamos a definición de logaritmo para despexar y : x = 2 ln ( y – 3) → x = ln ( y – 3) → e x/2 = y – 3 → e x/2 + 3 = y → 2 –1 x/2 → h (x ) = 3 + e

U5

7. Gráficas de funcións exponenciais e logarítmicas a) Obtense desprazando y = 2x unha unidade cara arriba.

A partir destas gráficas, b) É a simétrica de y = 2x respecto do eixe X.

y = 2x

Y 6

c) Obtense trasladando 2x dúas unidades cara á dereita.

4

y = log2 x

2

d) É a simétrica de 2x respecto do eixe Y. Coincide con y = (1/2)x. e) Obtense trasladando y = log2 x dúas unidades cara á esquerda.

2

4

6

8 X

f ) É a simétrica de log2 x respecto do eixe X. a)

representar: a) y = 2 x + 1

b) y = –2x

c) y = 2 x – 2

d) y = 2 -x

e) y = log2 (x + 2)

f ) y = – log2 x

FAINO TI

c) y = log2 (x – 2)

c)

Y 2

4

6

X

–2

4

2

–4

2

d)

4

e)

Y 6 y = 2–x

–6

X

6

b) y = 2x + 3

4

f)

2

6

X

2

4

6

X

–2

6 X

4

4

2

y = log2 (x + 2)

2

4 X

2 4Y

2

2

d) y = log2 (–x )

y = –2x 6Y

4

y = 2x – 2

Y 6

4

2

Representa: a) y = 2x – 1

b)

y = 2x + 1

Y 6

y = –log2 x

8. Función exponencial O proceso de cicatrización dunha ferida segue unha lei exponencial. A superficie S da ferida ao cabo de t días pódese calcular mediante a fórmula S = So e kt, onde So é a superficie inicial e k unha constante.

a) Coñecemos S0 = 50 e un punto (2; 24,83). Substituíndo estes valores na fórmula S = S0e kt podemos obter k.

a) Se unha ferida tiña unha superficie inicial de 50 cm2 e ao cabo de dous días mide 24,83 cm2, cal é o valor de k?

c) Facemos unha táboa de valores da función S = 50 . e – 0,35t.

b) Calcular a superficie da ferida despois de 8 días.

t=2

S = 50e kt ⎯→ 24,83 = 50e 2k → e 2k = 0,4966 → 2k = ln 0,4966 → k = – 0,35 b) Para t = 8, S = 50e – 0,35 ∙ 8 = 3 cm2

t

1

2

4

S(t) 35,2 24,9 12,3

5

8

8,7

3

SUPERFICIE (cm2)

50

25

S = 50e –0,35t

5

c) Representar a función.

1

2

3

4

5

6

7

8

TEMPO (días)

9. Función logarítmica

b) Representar a función e a súa inversa.

FAINO TI

Acha a e b para que a gráfica da función y = –2 + logb (x + a) pase por (1, 0) e (–1, –1).

O seu dominio é (3, +∞). Pasa polos puntos (3,5; 0), (4, 1) e (7, 3).

A gráfica da súa función inversa é simétrica respecto á bisectriz do primeiro cuadrante.

A súa expresión analítica é y = 3 +

2x – 1.

(3, 7)

6 (1, 4)

x

a) Calcular a e b.

a) Pasa por (4, 1): 1 = 1 + logb (4 – a) → logb (4 – a) = 0 → b0 = 4 – a → a = 3 b = –2 (non vale) Pasa por (7, 3): 3 = 1 + logb (7 – 3) → 2 = logb 4 → b 2 = 4 b=2 b) A función é y = 1 + log2 (x – 3).

Y y=

A gráfica dunha función logarítmica do tipo y = 1 + logb (x – a) pasa polos puntos (4, 1) e (7, 3).

(7, 3)

2 2

(4, 1) 4 6

y=1+ 8 X

157

Exercicios e problemas guiados 1. Función inversa a) O dominio de definición de f está limitado. Para saber cal é o percorrido considera cal é o valor máximo que pode ter f (x ).

Y 2 2

X

Esta é a gráfica da función: f (x) = 2 – x2, x ≤ 0 a) Dar o seu dominio de definición e o seu percorrido. b) Representar a súa función inversa.

b) Fai unha táboa de valores de f (x ) e inverte as variables para obter algúns puntos de f –1(x ). Lembra que as funcións inversas deber ser simétricas respecto da bisectriz do primeiro cuadrante. c) Ao intercambiar as variables e despexar o y, obterás dúas funcións con distinto percorrido. Ten en conta que o dominio de f (x ) é o percorrido de f –1(x ).

Solución:

a) Dominio de f = (–∞, 0]

b)

Y 2 2

Percorrido de f = (–∞, 2]

X

c) f –1(x ) = – 2 – x

c) Achar a expresión analítica de f –1(x).

2. Xuro composto Depositamos nun banco 5 000 ao 4,8 % anual con pagamento trimestral de xuros. a) Cal será o capital acumulado ao cabo de 3 anos? b) Escribir a función que nos di en canto se transforma ese capital ao cabo de t anos.

• O 4,8 % anual significa un 4, 8 = 1,2 % trimestral.

4 • Como os períodos de capitalización son trimestrais, ao final do primeiro ano o 4 capital converterase en 5 000 · c1 + 1, 2 m .

100 4 • Esa cantidade multiplicarase cada ano por c1 + 1, 2 m .

100 Solución: a) 5 769,5 €

b) f (t ) = 5 000 · (1,012)4t ≈ 5 000 · (1,049)t

3. Depreciación Unha máquina que custou 20 000 depréciase a un ritmo do 10 % anual.

a) Ao cabo dun ano o prezo baixa un 10 %. Polo tanto, o valor da máquina será 20 000 · (1 – 0,1). Repite este razoamento para catro anos.

a) Cal será o seu valor dentro de 4 anos?

b) Escribe a función, f (t ), que dá o prezo despois de t anos. Fai f (t ) = 12 000 e despexa t.

b) Cantos anos teñen que pasar para que o seu valor sexa de 12 000 €? c) Escribir a función que dá o número de anos que deben pasar para chegar a un valor x.

c) A función pedida é a función inversa de f (t ).

Solución:

a) 13 122 €

b) 5 anos

c) f –1(t ) = ln x – ln 20 000 ln 0, 9

4. Función loxística A función f (x) =

• Observa que has de encontrar o valor de x para o que f (x) = 6 000.

12 000 1 + 499 (1,09 –x )

dá as vendas totais dun videoxogo x días despois do seu lanzamento. En que día se chegou a 6 000 xogos vendidos?

158 158

• Opera a expresión ata eliminar denominadores e facela o máis sinxela posible.

• Obterás unha expresión do tipo A = C –x. Para obter o valor de x, toma logaritB mos e utiliza a calculadora.

Solución: Chegouse aos 6 000 xogos vendidos 72 días despois do seu lanzamento.

U5

Exercicios e problemas propostos Para practicar

Composición de funcións

Transformacións dunha función

10 Dadas as funcións f (x ) = x + 3 e g (x ) = 2x 2, acha: a) f [ g (2)] b) g [ f (– 4)] c) f [ g (x )] d) g [ f (x )]

1 Representa f (x) = 4 – x 2 e, a partir dela, representa as seguintes funcións: a) y = f (x) – 3 b) y = f (x + 2) c) y = | f (x)| 2 Esta é a gráfica da función y = f (x):

Y 2 X

2

Representa, a partir dela, as funcións: a) y = f (x – 1) b) y = f (x) + 2

c) y = | f (x)|

14 Dadas as funcións f (x) = x 2 + 1

x e debuxa a partir dela as seguintes b) h(x) = f (x) – 3

5 A expresión analítica desta función é do tipo y = 1 + b. x–a Observa a gráfica e di o valor de a e b.

6 A ecuación desta gráfica é do tipo y = (x – m)2 + p .

Obsérvaa e di o valor de m e p.

c) j(x) = | f (x)|

7 Representa as seguintes funcións: a) y = 1 b) y = x –1 c) y = –1 d) y = x –3

g (x) =

3 x –2

h(x) = x – 3

obtén as expresións de: a) f ° g b) g ° f c) f ° h d) g ° h e) h ° f f) h ° g Acha, se é posible, o valor das funcións obtidas en x = 5 e en x = 0.

15 Dadas as funcións f (x) = sen x , g (x) = x 2 , h (x) = 1 acha x a expresión analítica de: a) g ° f b) f ° fg c) f ° g ° h d) h ° g ° f

Y

1 X

1

Y 1 –1

12 Se f (x ) = 2x + 3 e g (x ) = x 2 – 2x, obtén: a) f ° g b) g ° f c) f ° f d) g ° g 13 Dadas as funcións f (x ) = 3x + 2 i g (x ) = x , acha: a) ( f ° g ) (x ) b) ( g ° f ) (x ) c) ( g ° g ) (x )

3 A partir da gráfica de f (x) = 1 , representa: x a) g (x) = f (x) – 2 b) h(x) = f (x – 3) c) i(x) = –f (x) d) j(x) = | f (x)| 4 Representa a función funcións: a) g (x) = f (x + 1)

11 Considera as funcións f (x ) = x 2 + 1 e g (x ) = 1 . Calcula: x a) ( f ° g ) (2) b) ( g ° f ) (–3) c) ( g ° g ) (x ) d) ( f ° g ) (x )

1

2

3 X

1 x +1 1 +2 x

8 Representa as seguintes funcións: a) y = x – 1 b) y = – x + 3 c) y = 2 + x d) y = 1 – x 9 Debuxa a gráfica da función f (x) = x 2 – 6x + 5 .

Representa, a partir dela, as seguintes funcións e escribe as súas ecuacións. a) g (x) = f (x) + 2 b) h (x) = f (x – 3) c) i (x) = –f (x)

16 Coas funcións f (x ) = 12 e g (x ) = x – 2, obtivex 1 mos por composición as funcións p (x ) = e (x – 2)2 q (x ) = 12 – 2. Indica cal destas expresións corresponde a x f ° g e cal a g ° f.

17 Explica como a partir das funcións f (x) = 2x – 1 g (x) = x + 2 h(x) = 1 x –3 pódense obter estas outras: a) m(x) = 2 x + 1 b) n(x) = 2 x – 1 + 2 4–x

1 +2 x –3 e) r (x) = 1 x +1

d) q(x) = 2 x – 3

c) p(x) =

f ) s (x) =

1

2x – 1

–1

18 Considera estas funcións: 1 x +2 Explica como, a partir de f, g e h, pódense obter, por composición, p, q e r : p (x ) = x – 5 ; q (x ) = x – 5; r (x ) = 1 x +2 f (x ) = x – 5

g (x ) = x

h (x ) =

159 159

Exercicios e problemas propostos Función inversa doutra

19 Dada a función f (x) = 3x – 1 acha f –1(x). Representa 2 f e f –1 e comproba a súa simetría respecto da recta y = x.

20 Acha a función inversa das seguintes funcións: a) y = 3x – 2 b) y = x + 3 2 c) y = 2x + 1 d) y = 1 + 2x e) y = 2 + log3 x f ) y = 4 – x 2, x ≥ 0 21 Representa graficamente a función inversa en cada caso: a)

b)

Y

2

2

X

III Y

2

4

X

4

2 X

4

6

V Y

23 Considera a función y = x + 2 , x ∈ [–2, 7].

6

4

X

6

–2

2

4

6

2

X

–2

–6

–4

–2

x

30 Fai unha táboa de valores da función y = 3x. A partir dela, representa a función y = log3 x.

Funcións trigonométricas

c) y =

2x/2

e) y = 1 – 2x

d) y = b 1 l 2 f ) y = 22 – x

x +3

26 Representa estas funcións a partir da gráfica de y = log2 x : a) y = 1 + log2 x b) y = log2 (x – 1) c) y = 2 – log2 x d) y = log2 (–x )

X

29 Comproba que as gráficas de y = 3x e y = c 1 m son simé3 tricas respecto ao eixe OY.

b) Obtén a súa función inversa e determina o dominio de definición e o percorrido desta.

25 Representa estas funcións a partir da gráfica de y = 2x: a) y = 2x + 2 b) y = 2x – 3

160

2

31 Cal é o dominio de y = log2 (2 – x )? Represéntaa.

Funcións exponenciais e logarítmicas

Y

4

2

a) Cal é o seu percorrido?

24 Acha a función inversa das seguintes funcións: a) y = 3x – 1 b) y = 3 1 – 3x 2 c) y = 1 + 2x – 3 d) y = 2 + log3 (x + 1) e) y = 1 + 3 f ) y = 2x – 3 x +1 x –1

X

VI

4

22 Comproba se cada par de funcións son unha inversa da outra. Para iso calcula f ° f –1 ou ben f –1 ° f : a) f (x) = 1 ; f –1(x) = 1 – 2 x +2 x 2 b) f (x) = 2x + 3 ; f –1(x) = x + 2 3 x –1 c) f (x) = 1 + log2 ; f (x) = 3 ∙ 2x – 1 3

4

–4

–6

IV Y

2 –2

–4

X

Y

2

–2

–2

2 2 X

II

I Y

2

2

2

28 Asocia a cada unha das seguintes expresións a gráfica que lle corresponde: a) y = ln x b) y = 21 – x c) y = e x d) y = –log2 x e) y = –(1/2)x f ) y = log2 (x + 3)

2

c) Y

Y

27 Con axuda da calculadora, representa estas funcións: a) y = 3 · 0,8x b) y = (1/2) · 1,8x c) y = ln (2x ) d) y = ln (x + 1)

32 Se un punto P percorre unha circunferencia completa de raio 1, o ángulo de xiro é 360º que, medido polo arco, equivale a 2π radiáns. Polo tanto: 360° = 2π rad → 180° = π rad → 90° = π rad 2 a) Expresa en radiáns os seguintes ángulos 30°, 45°, 60°, 120°, 135°. b) Expresa en graos os seguintes ángulos 5π/6, 7π/4, 4π/3, 3π/2, 7π/6.

33 Representa estas funcións: a) y = 1 + sen x

b) y = –cos x

34 Representa y = sen 2x . Para iso utiliza a calculadora seleccionando o radián como unidade angular e completa a seguinte táboa de valores no teu caderno. x

0

π/4

π/2

y

0

1

0

3π/4

π

5π/4 3π/2 7π/4

U5

35 Asocia a cada unha das seguintes funcións, a gráfica que lle corresponde: a) y = cos 2x b) y = –sen x c) y = 2sen x d) y = 1 + cos x I

39 A gráfica dunha función exponencial y = ka x pasa polos puntos (0; 0,5) e (1; 1,7). Calcula k e a, e represéntaa.

1 – –π 2

–1

π – 2

π

3π — 2

2π

π – 2

π

3π — 2

2π

II 1 – –π 2

–1 2

III

1 – –π 2

π – 2

π

π – 2

π

3π — 2

2π

3π — 2

2π

1

IV

–1

40 Os puntos (1; 1,2) e (2; 0,48) pertencen á gráfica da función y = k · a x. a) Calcula k e a. b) Acha o valor de x para o cal y = 120.

41 A gráfica da función logarítmica y = –2 + logb (x + a) corta aos eixes de coordenadas nos puntos (0, –2) e (8, 0). a) Calcula a e b. b) Para que valor de x é y = 3?

42 A función y = a + b ln x pasa por (e, 5) e (1/e, –1). a) Calcula a e b. b) Cal é a súa función inversa?

43 A función y = 5 (x – 32) converte graos Fahrenheit en 9 graos centígrados. Acha a función para converter graos centígrados en graos Fahrenheit.

2

– –π 2

38 Representa e acha a función inversa en cada caso. a) y = 3 + 2x – 1 b) y = 0,2 · 23 – x c) y = 1,8 · 50,2x d) y = 1 + log2 (x + 4) e) y = ln (3x + 2) f ) y = 2,5 · e –x/2

–2

Para resolver 1 +b e x–a describe as transformacións que temos que facer para representala a partir de y = 1 . x a) y = 3x b) y = x – 2 x –1 x–4 c) y = 3x + 2 d) y = x + 1 x +1 x –1 * Mira o exercicio resolto 2.

36 Expresa as seguintes funcións da forma y =

37 Expresa as seguintes funcións utilizando a expresión y = a (x – m)2 + p e describe as transformacións que temos que facer para representalas a partir de y = x 2. a) y = x 2 – 10x + 16 b) y = x2 – x + 2 * Mira o exercicio resolto 3.

44 Un cultivo de bacterias crece segundo a función y = 1 + + 2x/10 ( y : miles de bacterias, x : horas). Cantas había no momento inicial? E ao cabo de 10 horas? Canto tardarán en duplicarse?

45 A función y = 80 · 2–0,4t dános a cantidade (en gramos) de estroncio radiactivo nunha mostra de auga no instante t (en anos). a) Que cantidade haberá ao cabo de 10 anos? b) Cando a cantidade actual se terá reducido ao 50 %?

46 A concentración dun fármaco en sangue vén dada por y = 100 · (0,94)t ( y en mg, t en h). a) Di cal é a dose inicial e a cantidade dese fármaco que ten o paciente ao cabo de 3 horas. b) Representa a función. c) Se queremos que a concentración non baixe de 60 mg, ao cabo de canto tempo teremos que inxectalo de novo?

47 A cantidade de material radiactivo que queda ao cabo de t anos nunha mostra de 75 gramos, pódese calcular mediante a ecuación C (t) = 75(0,62)t. a) Cantos anos teñen que transcorrer para que queden 10 gramos de material radiactivo? b) Representa a función.

161

Exercicios e problemas propostos 48 Un alumno dun curso de psicoloxía sabe que a porcentaxe de coñecementos que recordará t meses despois de rematar o curso, pódese calcular mediante a función: R (t) = 94 – 46,8 log (t – 1) a) Calcula a porcentaxe que recordará 6 meses despois de rematar o curso. b) Representa a función.

49 Sabemos que a presión amosférica varía coa altura. A ecuación h (x) = 41,97(0,996)x dános a altura dunha montaña, en quilómetros, se coñecemos a presión atmosférica, x, en milibares. a) Se no cume do Everest a presión é de 389 milibares, cal é a altura do Everest? b) Cal será a presión no cume dunha montaña de 3 500 metros de altura?

50 Esta gráfica representa un movemento que se repite periodicamente. a) Represéntaa no intervalo [0, 10]. b) Calcula f (7), f (10) e f (20).

Y 2 2

4

X

51 Un depósito de 10 L de auga énchese e baleira automaticamente cada 8 minutos. Cando o depósito está baleiro comeza a enchedura, que tarda 2 minutos, permanece cheo 5 minutos e se baleira en 1 minuto. Este proceso repítese periodicamente. a) Representa a función que expresa a cantidade de auga que hai no depósito durante media hora. b) Calcula f (12), f (16) e f (19) e comproba que f (x + 8k) = f (x), k ∈ Z. Cal é o seu período?

52 O número de exemplares que se venden dun libro depende do diñeiro que se dedica á súa publicidade. A función que dá esta relación é: y = 2 + 0,5 ln (x + 1); x en miles de euros, y en miles a) Calcula cantos exemplares se venden se se inverten 20 000 € en publicidade. b) Canto haberá que inverter para vender 5 000 libros?

53 Un capital de 10 000 € deposítase nun banco ao 6 % de xuro anual con pagamento mensual de xuros. Escribe a función que nos di en canto se transforma ese capital en m meses. Calcula canto tarda en duplicarse o capital.

54 A poboación mundial creceu de forma exponencial desde 1650. A función P (t) = 0,5 · e0,0072t, t en anos, P (t) en miles de millóns, dános unha boa aproximación da poboación mundial ata 2015. a) Cal era a poboación mundial en 1920? b) Estima a poboación mundial en 2020.

162

55 O carbono 14 serve para calcular a idade dos fósiles e outros obxectos. A fórmula que se utiliza é C = C0 · e–t ln 2/5730, onde C0 é a cantidade de carbono 14 que tiña o fósil cando se formou e C a que terá dentro de t anos. a) Se en certo fósil C 0 = 500 g, cantos gramos de carbono 14 terá dentro de 2 000 anos? b) Chámase período de semidesintegración ao tempo necesario para que a cantidade inicial se reduza á metade.

Calcula o período de semidesintegración do carbono 14.

56 O prezo dun automóbil deportivo é de 24 000 €. Sabemos que se deprecia a un ritmo dun 12 % anual. a) Que función dá o valor do coche ao cabo de t anos? b) Cando chegará á metade do valor inicial?

57 Invertemos 20 000 € ao 4,8 % anual nunha conta que se capitaliza semestralmente. a) Escribe a función que nos dá o diñeiro que teremos na conta ao cabo de t anos. b) Canto tempo ten que pasar para que o capital inicial aumente un 50 %?

58 O número de receitas para medicamentos emitidas polos médicos do servizo de saúde dunha comunidade autónoma creceu exponencialmente desde 2005. A función é do tipo f (t) = ke at. Calcula k e a sabendo que en 2005 (t = 0) emitíronse 6,52 miles de receitas e no 2008 foron 9,84 miles. En que ano se chegará a 50 miles?

59 Un estudo da policía reflicte que o número de roubos en vivendas, por ano, nunha cidade, decrece segundo unha función do tipo N (t) = A – B · log (t + 2). Sabemos que no ano 2000, que é cando se iniciou o estudo, o número de roubos foi de 520 e no ano 2003 foron 476. a) Determina A e B. b) Calcula o número de roubos que se esperan en 2020.

60 Un cultivo de bacterias comeza con 100 células. Media hora despois hai 435. Se segue un crecemento exponencial do tipo y = k e a t (t en minutos), calcula k e a e representa a función. Canto tardará en chegar a 5 000 bacterias?

61 Unha cunca de café recén feito está a 75 °C. Despois de 3 minutos nun cuarto a 21 °C, a temperatura do café descendeu 64 °C. Se a temperatura, T, do café en cada instante t vén dada pola expresión T = Ae kt + 21, calcula A e k e representa a función. Canto teremos que esperar para que a temperatura do café sexa de 45 °C? 62 Un estudo estima que a poboación dun barrio vai crecer segundo a función y = 10 000 (t, anos; y, habitantes).

1 + ke – 0, 2t a) O barrio ten, actualmente, 1 250 habitantes. Acha k. b) Calcula cal será a poboación dentro de 10 anos.

U5

1

Un charco circular de auga estase a evaporar ao sol. Ao cabo de t minutos o seu raio é g(t) = 15 cm. t +2

a) Expresa a área do charco en función do tempo. b) Cal será a área do charco ao cabo de 10 min? c) Que relación ten a función do apartado a) coas funcións f (r) = πr 2 e g(t) = 15 ? t +2

5 Representa as funcións y = sen x, y = cos x, y = tan x. a) Cal é o seu período? b) Di cal é o dominio de definición de cada unha. c) Entre que valores varían?

6 Representa as funcións:

ax

2 A recta y = 20x + 1 corta a y = en x = 0 e x = 4. a) Calcula a. b) Para ese valor de a, escribe a ecuación da recta, s, que corta a y = loga x en x = 1 e x = 81. c) Que relación hai entre as rectas r e s?

3 Dada a función y = a x, contesta: a) Pode ser negativo o y ? E o x ? b) Para que valores de a é decrecente? c) Cal é o punto polo que pasan todas as funcións do tipo y = loga x ? d) Para que valores de x verifícase 0 < a x < 1 sendo a > 1?

E se 0 < a < 1?

AUTOAVALIACIÓN

y = |cos x |

7 Xustifica cal destas funcións é a inversa de y = 3x – 2. a) y = 2 + log3 x b) y = 3 x + 2 c) y = log3 (x + 2) a) As gráficas de y = sen bx + π l e y = cos x son iguais.

2 b) Na función y = a x non podemos dar a x valores negativos cando 0 < a < 1. c) As funcións y = log (x – a) e y = ln (x – a) cortan o eixe X nun mesmo punto. d) As funcións y = ln x e y = 1 córtanse nun punto. x

anayaeducacion.es Resolucións destes exercicios.

➜

1 , acha: x –3 b) g [ f (15)] c) f ° g

1 Dadas f (x) = x + 1 , g (x) =

2 Representa a gráfica da función inversa de y = f (x).

y = sen bx – π l y = cos bx + π l y = |sen x | 2 2 a partir das gráficas de y = sen x e y = cos x .

8 Verdadeiro ou falso? Comproba e xustifica.

Cuestións teóricas

a) f [ g (2)]

4 Se f (x ) = 2x e g (x ) = log2 x, cal é a función (g ° f ) (x )?

E ( f ° g) (x )?

d) g –1(x) Y

y = f (x)

X

3 A gráfica dunha función y = a + b log 2 (x + 2) pasa polos puntos (0, 1) e (2, 0). Acha a e b e xustifica se se trata dunha función crecente ou decrecente.

6 Representa y = 1 . A partir dela, debuxa y = –2x + 5 . x –2 x 7 Representa e acha a inversa en cada caso. a) y = 1,5 · 2x – 3 b) y = 2 + ln (x + 1) 8 Asocia a esta gráfica unha das seguintes expresións e di cal é o seu período: a) y = cos x b) y = cos 2x c) y = 2cos x 1

π — π — π — 6 4 3

4 O prezo dunha furgoneta baixa un 8 % cada ano. Se custou 18 000 €, canto tardará en reducirse á metade?

5 Un cultivo de bacterias comeza con 50 células. Dúas horas despois hai 162. Se ese cultivo crece de forma exponencial segundo unha función y = ke a t (t en horas) calcula k e a.

Canto tardará en chegar a 5 000 bacterias?

π — 2

π 3— π 5— π 2— 3 4 6

π

π 5— π 4— π 7— 6 4 3

–1

Completa estes puntos para que pertenzan á función y = 2 cos x: (5π/6...), (4π/3... ..., (–π/4... ...).

Represéntaa no intervalo [0, 2π].

163

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid.

Reservados todos os dereitos. O contido desta obra está protexido pola Lei, que establece penas de prisión e/ou multas, amais das correspondentes indemnizacións por perdas e danos, para quen reproduza, plaxie, distribúa ou comunique publicamente, en todo ou en parte, unha obra literaria, artística ou científica, ou a súa transformación, interpretación ou execución artística fixada en calquera tipo de soporte ou comunicada a través de calquera medio, sen a preceptiva autorización.