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DEMO

INCLUYE

LI C

PROYECTO DIGITAL CIA 12 MES

BAC H I L L E RAT O

MATEMÁTICAS I José Colera J., M.ª José Oliveira G., Ramón Colera C., Rosario García P., Ana Aicardo B.

ic ón

r pe

O u

o d n

Índice Los saberes básicos del curso

B reve historia de las matemáticas Unidad inicial 0 Resolución de problemas

.... 10

................................. 14

• Análisis de algunas estrategias Problemas para practicar

BLOQUE I.

4 F órmulas y funciones trigonométricas

Aritmética y álgebra

1 Número reales

....................................................................... 34

1. 2. 3. 4.

Lenguaje matemático. Conjuntos y símbolos Números reales. La recta real Logaritmos Expresión decimal de los reales. Números aproximados 5. Concepto de sucesión 6. Algunas sucesiones especialmente interesantes Ejercicios y problemas Autoevaluación

2 Álgebra

. . ...............................................................................................

Polinomios. Factorización Fracciones algebraicas Resolución de ecuaciones Resolución de sistemas de ecuaciones Inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una incógnita 6. Inecuaciones lineales con dos incógnitas Ejercicios y problemas Autoevaluación Autoevaluación del bloque I

Trigonometría y números complejos

1. Fórmulas trigonométricas 2. Ecuaciones trigonométricas 3. Funciones trigonométricas Ejercicios y problemas Autoevaluación .................................................... 132

1. En qué consisten los números complejos 2. Operaciones con números complejos en forma binómica 3. Números complejos en forma polar 4. Operaciones con complejos en forma polar 5. Radicación de números complejos 6. Números complejos con la calculadora 7. Descripciones gráficas con números complejos Ejercicios y problemas Autoevaluación Autoevaluación del bloque II

BLOQUE III.

Geometría

6V ectores

. . ........................................................................................... 158

1. Los vectores y sus operaciones 2. Coordenadas de un vector 3. Producto escalar de vectores Ejercicios y problemas Autoevaluación

BLOQUE II.

1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo (0° a 90°) 2. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (0° a 360°) 3. Ángulos fuera del intervalo 0° a 360° 4. Trigonometría con calculadora 5. Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos 6. Resolución de triángulos rectángulos

. . ............................................................... 114

5N úmeros complejos

1. 2. 3. 4. 5.

3 Resolución de triángulos

7. Resolución de triángulos oblicuángulos. Estrategia de la altura 8. Dos importantes teoremas para resolver triángulos cualesquiera Ejercicios y problemas Autoevaluación

7 Geometría analítica ..............................

................................................

174

1. Puntos y vectores en el plano 2. Ecuaciones de una recta 3. Haz de rectas 4. Reflexiones sobre ecuaciones con y sin «parámetros» 5. Paralelismo y perpendicularidad 6. Posiciones relativas de dos rectas 7. Ángulo de dos rectas 8. Cálculo de distancias Ejercicios y problemas Autoevaluación

8 Lugares geométricos. Cónicas

..... 202

1. Lugares geométricos 2. Estudio de la circunferencia 3. Las cónicas como lugares geométricos 4. Estudio de la elipse 5. Estudio de la hipérbola 6. Estudio de la parábola 7. Tangentes a las cónicas mediante papiroflexia Ejercicios y problemas Autoevaluación Autoevaluación del bloque III

BLOQUE IV.

................................................................................. 296

1. Medida del crecimiento de una función 2. Obtención de la derivada a partir de la expresión analítica 3. Función derivada de otra 4. Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones 5. Tabla de derivadas 6. Utilidades de la función derivada 7. Optimización de funciones 8. Regla de L’Hôpital 9. Representación de funciones Ejercicios y problemas Autoevaluación Autoevaluación del bloque IV

Análisis

9 Funciones elementales

............................... 236

1. Las funciones y su estudio 2. Dominio de definición 3. Familias de funciones elementales 4. Funciones definidas «a trozos» 5. Transformaciones elementales de funciones 6. Composición de funciones 7. Función inversa o recíproca de otra 8. Funciones arco Ejercicios y problemas Autoevaluación

10 L ímites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 1. 2. 3. 4. 5.

11 D erivadas

.. .............................................. 266

Comportamiento de una función en el infinito Cálculo de límites de funciones cuando x → +∞ Límite de una función cuando x → –∞ Cálculo de límites de funciones cuando x → –∞ Comportamiento de una función en un punto. Límites y continuidad 6. Cálculo de límites en un punto 7. Ramas infinitas. Asíntotas 8. Ramas infinitas en las funciones racionales 9. Ramas infinitas en las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas Ejercicios y problemas Autoevaluación

BLOQUE V.

Estadística y probabilidad

12 Distribuciones bidimensionales

...... 334

1. Distribuciones bidimensionales. Nubes de puntos 2. Correlación lineal 3. Parámetros asociados a una distribución bidimensional 4. Recta de regresión 5. Hay dos rectas de regresión 6. Tablas de contingencia Ejercicios y problemas Autoevaluación

13 Combinatoria y probabilidad

. . ...... 356

1. Diagrama en árbol 2. Variaciones y permutaciones (importa el orden) 3. Cuando no influye el orden. Combinaciones 4. Factoriales y números combinatorios 5. Cálculo de probabilidades Ejercicios y problemas Autoevaluación Autoevaluación del bloque V

Anexo S olucionario

de las autoevaluaciones

........................................ 375

8 Lugares geométricos. Cónicas Qué son las cónicas Una superficie cónica, tal y como se muestra en la ilustración de la derecha, es una figura formada por dos conos infinitos opuestos por el vértice. Si una superficie cónica se corta por un plano, se puede obtener una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola, dependiendo del ángulo que forme dicho plano con el eje de la superficie cónica. Por eso, a estas curvas se las llama cónicas.

➜

anayaeducacion.es Visualiza cómo se generan las cónicas.

Las cónicas en la historia En el siglo iii a. C., el gran geómetra griego Apolonio de Perga escribió un libro dedicado a las cónicas. Con un estilo pulido y sistemático, estudió estas curvas de forma exhaustiva. Siguiendo el espíritu griego, este tratado fue eminentemente especulativo, sin buscar aplicaciones prácticas. Cuando Apolonio describió las elipses, parábolas e hipérbolas como cónicas, estaba muy lejos de imaginar que dichas curvas se ajustaban a los movimientos de los cuerpos celestes. Durante muchos siglos se consideró que las órbitas de los planetas eran circulares. Fue a comienzos del siglo xvii cuando Kepler enunció sus importantes leyes, una de las cuales asigna órbitas elípticas a dichos cuerpos. Solo un siglo antes, Copérnico había dado al traste con la concepción geocéntrica del universo, haciendo ver que era la Tierra la que giraba alrededor del Sol. ➜

202

anayaeducacion.es Biografía de Apolonio de Perga.

Utilidad de las cónicas Las cónicas son referentes habituales en la tecnología actual. Veamos algunos ejemplos: Antenas parabólicas La parábola tiene la propiedad de que todas las rectas paralelas a su eje, al «rebotar» en la curva se reflejan pasando por el foco. Las antenas parabólicas sirven para recoger un haz de «rayos» procedentes del satélite artificial al que apuntan y concentrarlos en el foco, donde está el detector que recoge la información. Lámparas elípticas para dentistas En una elipse, si un rayo sale de un foco, al reflejarse en la curva, pasa por el otro foco. Esta propiedad se aplica para construir lámparas cuyos rayos se concentren todos en un punto. Por ejemplo, en las lámparas de los dentistas, el punto de luz se sitúa en uno de los focos de la elipse (en rojo en la figura), los rayos luminosos (en verde) se reflejan en la pantalla elíptica y se encuentran en el otro foco, donde se coloca el objeto que se quiere iluminar (la boca del paciente).

RESUELVE ¿Dónde se situará el depósito? Meta 7.2. Se quiere instalar un gran depósito de propano para abastecer a una factoría industrial y a dos urbanizaciones. Han de cumplirse las siguientes condiciones: conviene que el depósito esté lo más cerca de la factoría, pero por razones de seguridad, no puede estar a menos de 500 m de un horno que hay en ella. Por tanto habrá de situarse, exactamente, a 500 m del horno, H. Además, se desea que esté a la misma distancia de A que de B. Para resolverlo, llevamos los datos a unos ejes cartesianos (1 cuad = 100 m) y suponemos que los puntos H, A y B se sitúan donde se indica en la gráfica de la derecha.

• La circunferencia es el conjunto de puntos que están a 500 m del horno. Analíticamente, son puntos (x, y) cuya distancia a H(13, 15) es 5. Exprésalo mediante una ecuación.

• La recta verde es el conjunto de puntos que equidistan de A y de B. Analíticamente, es una recta que pasa por (6, 3) y tiene pendiente 2. Escribe su ecuación. • El punto P donde hemos de situar el depósito de propano se obtiene hallando la intersección de las dos líneas que acabamos de describir. Resuelve el sistema que forman sus ecuaciones para hallar las coordenadas de P.

203

Lugares geométricos Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Por ejemplo: a) La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos, X, que equidistan de sus extremos:

X A

dist (X, A) = dist (X, B) B

b) La bisectriz de un ángulo de lados r1 y r2 es el lugar geométrico de los puntos, X, que equidistan de r1 y de r2:

dist (X, r1) = dist (X, r2) r1

ATENCIÓN Es muy importante que interpretes cada una de estas líneas descritas en los ejemplos como un conjunto de puntos que cumplen una propiedad: a) Si X es un punto de la mediatriz, su distancia a A es igual que su distancia a B. b) Si X es un punto de la bisectriz, … c) Si X es un punto de la circunferencia, …

c) Circunferencia de centro O y radio r es el lugar geométrico de los puntos, X, cuya distancia a O es r :

dist (X, O) = r

Llamando X (x, y) al punto genérico y aplicando analíticamente la propiedad que debe cumplir, se obtiene la ecuación de la figura geométrica.

Ejercicios resueltos

1 Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(–3, 4) y B(1, 0).

Cada punto de la mediatriz, X(x, y), equidista de los extremos del segmento AB. Por tanto, ha de cumplir la condición dist (X, A) = dist (X, B). dist (X, A) = (x + 3)2 + ( y – 4)2 dist (X, B) = (x – 1)2 + y 2

4 8 ( x + 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = (x – 1 ) 2 + y 2

Elevamos al cuadrado los dos miembros, desarrollamos los cuadrados indicados y simplificamos: x 2 + 6x + 9 + y 2 – 8y + 16 = x 2 – 2x + 1 + y 2 → 8x – 8y + 24 = 0 → → x – y + 3 = 0 → y = x + 3. Es, efectivamente, una recta. Comprobamos que la recta obtenida es perpendicular al segmento AB en su punto medio: Y A (–3, 4)

• Pasa por (–1, 2), que es el punto medio del segmento. • Su pendiente, 1, y la pendiente del segmento, –1, cumplen que 1 · (–1) = –1. Luego son perpendiculares.

y=x+3

B (1, 0)

Por tanto, efectivamente, y = x + 3 es la mediatriz de AB. X

HAZLO TÚ. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son ➜

204

Resuelve con GeoGebra.

A(0, 0) y B(6, 4).

Ejercicios resueltos

2 Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo formado por: r1: 4x + 3y – 5 = 0 r2: 3x + 4y – 2 = 0

Cada punto X(x, y) de la bisectriz equidista de las rectas que forman el ángulo. Por tanto, debe cumplir que dist (X, r1) = dist (X, r2): _ 4x + 3y – 5 4x + 3y – 5 b dist (X, r1) = = b 5 4x + 3y – 5 3x + 4y – 2 42 + 32 = ` 8 5 5 3x + 4y – 2 3x + 4y – 2 b = dist (X, r2) = b 2 2 5 3 +4 a Para interpretar esta ecuación, debemos eliminar los valores absolutos. Al hacerlo, aparece un doble signo, pues: |A| = |B| ⇒ A = B o bien A = –B A = B → 4x + 3y – 5 = 3x + 4y – 2 → x – y – 3 = 0 (L1) A = –B → 4x + 3y – 5 = –(3x + 4y – 2) → x + y – 1 = 0 (L2) L2

El lugar geométrico buscado está compuesto por las dos rectas, (L1) y (L2), perpendiculares entre sí y que se cortan en (2, –1), el mismo punto en que se cortan r1 y r2.

(2, –1) r2 r1

Son las bisectrices de los ángulos formados por las dos rectas dadas.

HAZLO TÚ. Halla la ecuación de la bisectriz del ángulo formado por r1: 5x – 12y = 0

y r2: 12x + 5y = 0.

3 Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de cuadrados de distancias a P(4, 2) y a Q(–2, 5) es 15: [dist (X,

P) ]2 –

[dist (X,

Q)] 2

= 15

Expresamos analíticamente la condición:

a (x – 4) 2 + ( y – 2) 2k – a (x + 2) 2 + ( y – 5) 2k = 15 2

Operamos y simplificamos:

(x 2 – 8x + 16 + y 2 – 4y + 4) – (x 2 + 4x + 4 + y 2 – 10y + 25) = 15 → → –12x + 6y – 9 = 15 → –2x + y = 4 → y = 2x + 4

Es una recta de pendiente 2. La pendiente del segmento PQ es 5 – 2 = 3 = – 1 . –2 – 4 –6 2 Luego la recta es perpendicular al segmento, ya que 2 · c– 1 m = –1. 2 Conclusión: El L.G. buscado es una recta perpendicular al segmento PQ. HAZLO TÚ. Halla el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de cuadrados de

distancias a P(2, 5) y a Q(4, –1) es 40, es decir, XP 2 – XQ 2 = 40. Piensa y practica

Halla las ecuaciones de estos lugares geométricos: a) Mediatriz del segmento de extremos A(–5, –3), B (7, 1). Comprueba que es una recta perpendicular al segmento en su punto medio. b) Circunferencia de centro O (–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por el origen de coordenadas.

c) Bisectrices de los ángulos formados por las rectas: r1: 2x + y – 3 = 0 r2: x – 2y + 16 = 0 Comprueba que las bisectrices son dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo punto en que se cortan las rectas r1 y r2.

205

Estudio de la circunferencia La ecuación de una circunferencia de centro O(a, b) y radio r es:

X(x, y)

(x – a) 2 + ( y – b) 2 = r

dist (X, O) = r →

Para simplificar la expresión, elevamos al cuadrado los dos miembros y reordenamos los términos: (x – x 2

a)2

+ ( y –

– 2ax +

b)2

y 2

O(a, b)

r 2

– 2by + b2 = r 2

x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r 2 = 0

(x – a)2 + ( y – b)2 = r

Observamos que se trata de un polinomio de segundo grado en x e y, tal que los coeficientes de x 2 e y 2 son «1» y que no tiene término en xy : x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 ¿Qué relaciones hay entre los coeficientes de este polinomio y los elementos de la circunferencia (centro y radio)? Para verlas, comparemos esta ecuación con la anterior e igualemos los términos correspondientes: –2a = A → a = – A 2 B –2b = B → b = – 2

a2 + b 2 – r 2 = C → c A m + c B m – r 2 = C → r 2 = c A m + c B m – C 2 2 2 2 Conclusiones: • Si de una circunferencia conocemos el centro O(a, b) y el radio r, su ecuación será: (x – a)2 + ( y – b)2 = r 2 Ahora podemos desarrollar y simplificar esta expresión o no hacerlo, según convenga. • Si tenemos una expresión de segundo grado en x e y del tipo x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 y queremos saber si es una circunferencia y, en caso afirmativo, obtener su centro y su radio: I. Observamos que los coeficientes de x 2 e y 2 son 1. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, dividiríamos por él todos los términos. II. Observamos que no tiene término en xy. 2

III. Comprobamos que c A m + c B m – C > 0. 2 2 En tal caso, es una circunferencia. Su centro es: c– A , – B m y su radio es 2 2

c Am +cB m –C . 2 2

➜

Ecuación de una circunferencia con parámetros.

EJEMPLOS • Ecuación de la circunferencia de centro O(5, –3) y radio r = 7: (x – 5)2 + ( y + 3)2 = 49 • ¿Corresponde a una circunferencia la ecuación 5x 2 + 5y 2 – 50x + 30y – 75 = 0? I. Los términos x 2 e y 2 tienen el mismo coeficiente, 5. Dividimos por él: x 2 + y 2 – 10x + 6y – 15 = 0 II. No tiene término en xy. 2

III. c– 10 m + c 6 m – (–15) = 49 > 0 2 2 Es una circunferencia. Centro: (5, –3); radio = 49 = 7 También podríamos haber procedido completando cuadrados como ves a continuación: x 2 + y 2 – 10x + 6y – 15 = 0 → → x 2 – 10x + 25 + y 2 + 6y + 9 = = 15 + 25 + 9 → (x – 5)2 + ( y + 3)2 = 72 Vemos de nuevo que su centro es (5, –3) y su radio, 7.

Ejercicios resueltos

1 Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, –2) y radio 4.

(x – 3)2 + ( y + 2)2 = 16. Esta ya es la ecuación. Podríamos simplificarla si fuera necesario para nuestros fines: x 2 – 6x + 9 + y 2 + 4y + 4 = 16 → x 2 + y 2 – 6x + 4y – 3 = 0 HAZLO TÚ. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro

(–5, 2) y radio 3.

206

O(3, –2)

Ejercicios resueltos

2 Indicar cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a circunferencias y, en ellas, identificar el centro y el radio. Hacerlo con las fórmulas y completando cuadrados:

a) • Los coeficientes de x 2 e y 2 son 1. No hay término en xy. (Hasta aquí todo va bien). 2

Pero c 4 m – 6 = –2 < 0. Por tanto, no es circunferencia. 2 • Al completar cuadrados, obtenemos lo siguiente: x2 – 4x + 4 + y2 = –6 + 4 8 (x – 2)2 + y2 = –2

a) x 2 + y 2 – 4x + 6 = 0 b) 3x 2 + 3y 2 – 12x + 6y – 12 = 0 c) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 13 = 0

Es imposible que la suma de dos cuadrados sea –2; es decir, el radio no puede ser negativo, por tanto, no es una circunferencia. b) • Empezamos dividiendo entre 3: x 2 + y 2 – 4x + 2y – 4 = 0 Ahora los coeficientes de x 2 e y 2 son 1 y no hay término en xy. 2

c 4 m + c 2 m – (– 4) = 9 > 0. Por tanto, sí es circunferencia. 2 2 Su radio es 9 = 3. Su centro es c 4 , – 2 m , es decir, (2, –1). 2 2 • Completamos cuadrados a partir de x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0.

HAZLO TÚ

¿Qué ecuaciones corresponden a circunferencias? Obtén su centro y su radio utilizando las fórmulas y completando cuadrados. a) 2x 2 + 2y 2 – 8x = 0 b) x 2 – y 2 + 7x – 2 = 0 c) x 2 + y 2 – 3x + 4xy – 16 = 0 d) x 2 + y 2 + 10x – 2y + 40 = 0 e) x 2 + y 2 – 6x – 8y + 25 = 0 f ) x 2 + y 2 – 2x + 4y + 6 = 0 3 Hallar el lugar geométrico de los puntos P tales que la razón de distancias a dos puntos dados, A(0, 0) y B(6, 3), sea igual a 2. dist (A, P) Es decir, = 2. dist (B, P)

x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 4 + 4 + 1 8 (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9 Es claro que es una circunferencia de centro C(2, –1) y radio 9 = 3. c) • Los coeficientes de x 2 e y 2 son 1. No hay término en xy. 2

c 4 m + c 6 m – 13 = 4 + 9 – 13 = 0. Por tanto, no es circunferencia. 2 2 •A l completar cuadrados, obtenemos lo siguiente: x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = –13 + 4 + 9 8 (x + 2)2 + (y – 3)2 = 0 Solo el punto (–2, 3) cumple esa condición. Expresamos analíticamente la condición: x2 + y2 =2 ( x – 6) 2 + ( y – 3) 2

dist (A, P) =2 → dist (B, P) Operamos y simplificamos:

x 2 + y 2 = 4(x 2 – 12x + 36 + y 2 – 6y + 9) → → 3x 2 + 3y 2 – 48x – 24y + 180 = 0 → x 2 + y 2 – 16x – 8y + 60 = 0

➜

Cociente de distancias: una circunferencia.

Piensa y practica

➜

La ecuación resultante es una circunferencia de centro (8, 4) y radio 64 + 16 – 60 = 20 . HAZLO TÚ. Repite la actividad con M(0, 6), N(–2, 0) y PM /PN = 3

anayaeducacion.es Cálculo de la ecuación de la circunferencia.

1 Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0).

2 Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de cuadrados de distancias a los extremos del segmento AB, A(–3, 0) y B(5, 0), es 50.

207

Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia Una recta, s, y una circunferencia, C, pueden ser exteriores (a), tangentes (b) o secantes (c y d). Analíticamente puede identificarse su posición de dos maneras:

(a)

C d

I. Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, que tendrá dos soluciones (se cortan), una (son tangentes) o ninguna (son exteriores).

exteriores (c)

II. Comparando el radio, r, con la distancia, d, de su centro a la recta:

(b)

tangentes (d)

d OC

• Si d > r, son exteriores. • Si d = r, son tangentes.

• Si d < r, son secantes, y si d = 0, la recta pasa por el centro.

secantes

Ejercicio resuelto

1 Hallar la posición relativa de la recta s: y = x y la circunferencia siguiente: x 2 + y 2 – 8x + 2y + 1 = 0

• Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la circunferencia, se obtienen los puntos de corte. (Si el sistema no tuviera solución, la recta sería exterior a la circunferencia): x 2 + y 2 – 8x + 2y + 1 = 0 4 x 2 + x 2 – 8x + 2x + 1 = 0 → y=x 3 + 7 = 2, 82 6 ± 36 – 8 2 2 → 2x – 6x + 1 = 0 → x = 3 – 7 = 0, 18 4 2 La recta y la circunferencia se cortan en los puntos (0,18; 0,18) y (2,82; 2,82). • Si solo nos importa la posición relativa, esta podría averiguarse comparando el radio, r, de la circunferencia con la distancia, d, de su centro a la recta. Hallamos el centro y el radio:

x2 + y2 – 8x + 2y = –1 8 x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 = HAZLO TÚ

= –1 + 16 + 1 8 (x – 4)2 + (y + 1)2 = 16

Halla la posición relativa de las rectas

Centro: OC (4, –1)

s1: y = x – 1

s: y = x 8 s: x – y = 0

s2: y = x + 1

4 + (–1) = 4 + 1 = 5 = 3, 5 2 2 1+1 2 1 + (–1) Puesto que r > d, la recta corta a la circunferencia en dos puntos. dist (OC , s) = d =

s3: y = 3 respecto de la circunferencia anterior.

Piensa y practica

➜

anayaeducacion.es Estudia la posición relativa de una recta y una circunferencia.

3 Estudia la posición relativa de la circunferencia x 2

y 2

C : + – 6x – 4y – 12 = 0 respecto de las rectas: s1: 3x – 4y – 26 = 0 s2: 5x – 8y + 60 = 0 s3: 3x – 4y – 1 = 0 s4: x = 5 Halla los puntos de corte y de tangencia, si los hubiera.

208

Radio: r = 16 = 4

4 ¿Para qué valores de b la recta y = x + b es tangente a la circunferencia x 2 + y 2 = 9? 5 Halla la posición relativa de C : x 2 + y 2 – 6x + 8y = 0 respecto de las rectas: s1: x + y = 10 s3: 3x – 4y = 0

s2: 4x + 3y + 20 = 0 s4: y = –2

Potencia de un punto a una circunferencia Dados un punto P(α, β) y una circunferencia C de centro O(a, b) y radio r, llamamos d a la distancia de P a O: d = dist (O, P ). Se llama potencia P del punto P a la circunferencia C a d 2 – r 2.

r O(a, b)

P = d 2 – r 2 = (α – a)2 + (β – b)2 – r 2

d P(a, b)

• Si el punto es exterior a la circunferencia (d > r) → P > 0 • Si el punto es de la circunferencia (d = r) → P = 0 • Si el punto es interior a la circunferencia (d < r) → P < 0 Observando la ecuación de C, (x – a)2 + ( y – b)2 – r 2 = 0, advertimos que P es el resultado de sustituir las coordenadas del punto P(α, β) por x e y en dicha ecuación. Ejercicio resuelto

1 Calcular las potencias del punto P(7, –4) a estas circunferencias: a) Tiene centro O(1, 4) y radio 12. b) x2 + y2 – 8x + 3y + 12 = 0

a) P = d 2 – r 2 = OP 2 – r 2 = a (7 – 1) 2 + (– 4 – 4) 2 k – 12 2 = 100 – 144 = – 44 < 0 2

Como P < 0, el punto es interior a la circunferencia.

b) P = 72 + (– 4)2 – 8 · 7 + 3 · (– 4) + 12 = 9 > 0 Como P > 0, el punto es exterior a la circunferencia.

Eje radical de dos circunferencias Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas. El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular al segmento que une sus centros. Ejercicio resuelto

1 Hallar el eje radical de las circunferencias:

Expresamos analíticamente las potencias de un punto genérico X (x, y) a ambas circunferencias y las igualamos:

C1: x 2 + y 2 – 6x + 4y – 11 = 0

P(X a C1) = x 2 + y 2 – 6x + 4y – 11 Los puntos que tienen la misma potencia respecto a

C2: x 2 + y 2 + 8x – 2y – 1 = 0

P(X a C2) = x 2 + y 2 + 8x – 2y – 1

C1 y C2 se obtienen igualando las dos expresiones.

x 2 + y 2 – 6x + 4y – 11 = x 2 + y 2 + 8x – 2y – 1

simplificando

7x – 3y + 5 = 0

Es, evidentemente, una recta. Se puede comprobar que es perpendicular a la recta que une los centros de C1 y C2 (su pendiente es –3/7). Piensa y practica

6 Halla la potencia de P(–3, 8) a estas circunferencias: C1: x 2 + y 2 – 14x + 20 = 0 C2: O(4, –3), r = 20 Di si P es interior o exterior a C1 y a C2.

7 Halla el eje radical de estas circunferencias: C1: x 2 + y 2 – 4x + 12y – 11 = 0 C2: x 2 + y 2 – 6y = 0 Comprueba que es perpendicular a la línea de sus centros.

209

Las cónicas como lugares geométricos Cómo se dibuja una elipse Los jardineros se valen del siguiente método para trazar un parterre de forma elíptica: se clavan en el suelo dos estacas, se ata entre ambas una cuerda suficientemente amplia y se procede como en la fotografía. Mientras se traza la curva, la cuerda debe estar siempre tensa.

Observa cómo nos hemos valido de esta trama formada por dos familias de circunferencias concéntricas para representar algunas elipses. Por ejemplo, la roja: si sumas la distancia de uno de sus puntos a F1 y a F2 obtienes 28 unidades. Comprueba que esta suma no varía al cambiar de punto. En ambas construcciones se observa que la suma de distancias de cada punto de la elipse a los dos puntos fijos es siempre la misma. Cómo se dibuja una hipérbola La misma trama anterior nos sirve para representar hipérbolas. Observa, por ejemplo, la roja. Toma un punto de ella. Resta sus distancias a F1 y a F2. Comprueba con otro punto que la diferencia es la misma (18).

OTRA PARÁBOLA Observa esta otra parábola con la directriz, d, más alejada del foco.

Es decir, la diferencia de distancias de cada punto de la hipérbola a los dos puntos fijos es siempre la misma.

Cómo se dibuja una parábola

Esta otra trama nos va a servir para representar parábolas. Observa la roja. Toma un punto de ella y mide sus distancias a F y a d. Compáralas. Haz lo mismo con otros puntos de la misma curva. Los puntos de la parábola equidistan de un punto fijo, F, y de una recta fija, d. 210

Definiciones Dados dos puntos, F1 y F2, llamados focos, y una distancia k, llamada «constante de la elipse» [k > dist (F1, F2)], se llama elipse al lugar geométrico de los puntos P cuya suma de distancias a F1 y a F2 es igual a k: dist (P, F1) + dist (P, F2) = k Dados dos puntos, F1 y F2, llamados focos, y una distancia k, llamada «constante de la hipérbola» [k < dist (F1, F2)], se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos P cuya diferencia de distancias a F1 y a F2 es, en valor absoluto, igual a k : |dist (P, F1) – dist (P, F2)| = k

EJEMPLOS Las dos elipses dibujadas en la página anterior tienen la misma distancia focal: dist (F1, F2) = 24 • En la roja, k = 28. • En la azul, k = 42. Las tres hipérbolas dibujadas en la página anterior tienen la misma distancia focal: dist (F1, F2) = 24 • En la azul, k = 22. • En la roja, k = 18. • En la verde, k = 10.

Dados un punto, F, llamado foco, y una recta, d, llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos, P, que equidistan de F y de d: dist (P, F ) = dist (P, d ) Mediante estas definiciones se pueden obtener, con toda sencillez, las ecuaciones de estas figuras. Sin embargo, dada una ecuación, es menos fácil aprender a reconocer cuál es la figura a la que corresponde. Para ello, las estudiaremos con más detalle en los próximos apartados.

anayaeducacion.es

➜

Visualiza las cónicas en función de sus ecuaciones.

Ejercicio resuelto

1 Dados los puntos F1(–2, 5), F2(7, –3) y la recta r: x – y –1 = 0, obtener las ecuaciones de: a) La elipse de focos F1 y F2 y cuya constante es 17. b) La hipérbola de focos F1 y F2 y cuya constante es 6. c) La parábola cuyo foco es F1 y cuya directriz es r.

a) dist (P, F1) + dist (P, F 2) = 17 →

(x + 2) 2 + ( y – 5) 2 + (x – 7) 2 + ( y + 3) 2 = 17

b) |dist (P, F1) – dist (P, F2)| = 6 →

(x + 2) 2 + ( y – 5) 2 – (x – 7) 2 + ( y + 3) 2 = 6

c) dist (P, F1) = dist (P, r) →

( x + 2) 2 + ( y – 5 ) 2 =

x – y –1 1+1

HAZLO TÚ. Dados los puntos F1(–3, 0) y F2(1, –2) y la recta r : x + 2y – 5 = 0,

obtén las ecuaciones de: a) La elipse de focos F1 y F2 y constante 20. b) La hipérbola de focos F1 y F2 y constante 2. c) La parábola cuyo foco es F1 y cuya directriz es r.

Piensa y practica

Halla la ecuación de la elipse de focos F1(4, 0) y F2(– 4, 0) y cuya constante es 10. Una vez puesta la ecuación inicial, pasa una raíz al segundo miembro, eleva al cuadrado (¡atención con el doble producto!), simplifica, aísla la raíz, vuelve a elevar al cuadrado y simplifica hasta llegar a la ecuación 9x 2 + 25y 2 = 225.

2 Halla la ecuación de la hipérbola de focos F1(5, 0) y F2(–5, 0) y cuya constante es 6. Simplifica como en el ejercicio anterior hasta llegar a la expresión 16x 2 – 9y 2 = 144. 3 Halla la ecuación de la parábola de foco F(–1, 0) y directriz r : x = 1. Simplifica hasta llegar a la expresión y 2 = – 4x.

211

Estudio de la elipse Elementos característicos

VÉRTICES DE LA ELIPSE

Tenemos una elipse de focos F y F'. Trazamos sus dos ejes de simetría. Sus elementos característicos se designan así: O

centro de la elipse

a = OA = OA'

semieje mayor

b = OB = OB'

semieje menor

c = OF = OF'

semidistancia focal

A los puntos A, A', B y B' se les suele llamar vértices de la elipse.

B a

b A'

La constante, k, de la elipse es 2a, pues:

k = AF + AF' = AF + A'F = 2a

Además, como B es un punto de la elipse:

Observando el triángulo rectángulo BOF, se tiene que a 2 = b 2 + c 2.

Resumiendo: • Constante de la elipse: k = 2a

BF + BF' = 2a ⇒ BF = BF' = a

B a

• BF = BF' = a

• OF = OF' = c < a • a 2 = b 2 + c 2

B' ➜

Excentricidad

anayaeducacion.es Cortes de las cónicas que forman

Para un mismo valor de a, cuanto mayor sea c más alargada será la elipse, y cuanto menor sea c más se parecerá a una circunferencia. Para medir hasta qué punto se diferencia la forma de una elipse de la de una circunferencia, se define su excentricidad. Se llama excentricidad de una elipse al cociente entre la distancia focal y el eje mayor: exc = c a La excentricidad de una elipse es un número mayor que 0 y menor que 1.

elipses.

ÓRBITAS Los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol (primera ley de Kepler). Estas órbitas son muy poco excéntricas. Por ejemplo, la excentricidad de la órbita de la Tierra es tan pequeña que si la dibujamos a escala en una hoja de papel, parece una circunferencia. Los cometas también describen órbitas elípticas, pero mucho más excéntricas.

planeta

exc = 0,88

exc = 0,61

exc = 0,21

Estas tres elipses tienen el mismo eje mayor, 2a. Cuanto más distan los focos (2c), mayor es su excentricidad 2c = c . 2a a Piensa y practica

212

¿Verdadero o falso? Si varias elipses tienen la misma distancia focal, cuanto más grande sea la constante k = 2a, mayor es la excentricidad.

sol cometa

Ecuación reducida de la elipse Para simplificar la ecuación de la elipse, escogemos los ejes coordenados convenientemente: tomamos el centro de la elipse como centro de coordenadas y sus ejes como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son F'(–c, 0) y F(c, 0).

Y P (x, y)

Cualquier punto P(x, y) de la elipse cumple la condición: F'(–c, 0) O

dist (P, F) + dist(P, F' ) = 2a

F(c, 0)

Esta igualdad, expresada analíticamente, da lugar a la siguiente ecuación: (x – c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2a Se pasa una raíz al segundo miembro:

PF + PF' = 2a

(x – c) 2 + y 2 = 2a – (x + c) 2 + y 2 Se elevan al cuadrado los dos miembros: x 2 – 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 + 2cx + c 2 + y 2 – 4a (x + c) 2 + y 2 → → – 4cx – 4a 2 = – 4a (x + c) 2 + y 2 → cx + a 2 = a (x + c) 2 + y 2 Se elevan al cuadrado los dos miembros y se opera: c 2x 2 + a4 + 2ca 2x = a 2(x 2 + 2cx + c 2 + y 2) → → c 2x 2 + a2a2 + 2ca 2x = a 2x 2 + a22cx + a2c 2 + a2 y 2 Se ponen los términos con x2 e y2 en el mismo miembro, se anulan los 2ca2x y se agrupan términos: (a 2 – c 2)x 2 + a 2y 2 = a 2(a 2 – c 2) Se tiene en cuenta que a 2 – c 2 = b 2: b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 Dividiendo por a 2b 2 se obtiene, finalmente: 2 x 2 + y = 1 ecuación reducida de la elipse a2 b2

➜

Juega con la ecuación reducida de la elipse.

Ejercicio resuelto

1 Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos F1(4, 0) y F2(– 4, 0) y constante k = 10.

Semieje mayor:

Ecuación reducida:

k = 10 → 2a = 10 → a = 5 Semidistancia focal:

2 x2 + y =1 25 9

F1 F2 = 8 → 2c = 8 → c = 4

Semieje menor: b 2 = a 2 – c 2 = 25 – 16 → b = 3 Excentricidad: c/a = 4/5 = 0,8 → exc = 0,8 Piensa y practica

➜

F2(– 4, 0)

5 4 F1(4, 0) 5

anayaeducacion.es Representación de una elipse.

2 Una elipse tiene sus focos en los puntos F(5, 0) y F'(–5, 0) y su constante es k = 26. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala.

213

Elipse con los focos en el eje Y F(0, 4)

Esta elipse es idéntica a la del margen, pero con los ejes cambiados. Sus focos están sobre el eje Y.

F (–4, 0)

Su ecuación es: 2 x2 + y =1 32 52

F' (0, – 4)

y2 x2 + — — =1 52 32

Para poder seguir usando la nomenclatura habitual: eje mayor = 2a

F (4, 0)

excentricidad = c a

eje menor = 2b

en estos casos en que el denominador de x 2 es menor que el de y 2, pondremos la ecuación de la elipse así: 2 x2 + y =1 b2 a2

ELIPSES CON CENTRO EN (5, 3) 2 ( y – 3) 2 En rojo: (x – 25) + =1 4 22 2 ( y – 3) 2 =1 En azul: (x – 25) + 2 42

Elipse con centro distinto del (0, 0) La ecuación de una elipse de semiejes a y b (a > b), con su centro en (α, β) y ejes paralelos a los ejes coordenados es:

(5, 3)

(x – a) 2 ( y – b) 2 (x – a)2 ( y – b)2 + = 1 o bien + =1 a2 b2 b2 a2 Ejercicio resuelto

1 Representar las siguientes elipses y hallar su excentricidad y sus focos: 2 y2 a) x + =1 16 36 ( x – 3) 2 b) + y2 = 1 25 (x + 2) 2 (y – 1) 2 c) + =1 16 25 d) x 2 + 4y 2 = 4

c = 6 2 – 4 2 = 20

exc = 24 = 0, 98 5

F (0, 20)

F (3 – 24, 0)

F' (0, – 20)

F' (3 + 24, 0) d)

exc = 3 = 0, 6 5 X

c = 52 – 12 = 24

exc = 20 = 0, 75 6

c = 52 – 42 = 3

F (–2, 4) F' (–2, –2)

Y X

x2 + y2 =1 4 c = 22 – 12 = 3 exc = 3 = 0, 87 2 F ( 3, 0) F' (– 3, 0)

Piensa y practica

214

Representa y halla la excentricidad y los focos. 2 ( y – 2) 2 a) (x + 5) + =1 b) 9x 2 + 16y 2 = 144 16 4

2 ( y – 7) 2 c) (x – 3) + =1 16 64

d) x 2 + 4( y – 3)2 = 4

Estudio de la hipérbola Elementos característicos Tenemos una hipérbola de focos F y F'. Trazamos sus dos ejes de simetría.

Llamamos: O

centro de la hipérbola

c = OF = OF'

semidistancia focal

a = OA = OA'

semieje

r y r'

asíntotas

c a

F' A' O

La constante de la hipérbola es 2a, pues:

k = AF' – AF = AF' – A'F' = AA' = 2a En el caso de la hipérbola, el segmento b se representa como se hace en la figura del margen. Se cumple la relación: c 2 = a 2 + b 2 (Atención, ahora es c > a) Observamos que las pendientes de las asíntotas son: b y – b . a a Para un mismo valor de a, al variar c, varía la forma de la hipérbola.

c a

exc = 1,41

c b a A F

TEN EN CUENTA Si quieres dibujar una hipérbola, empieza trazando sus asíntotas. Después, dibuja la curva ciñéndose a ellas.

c a

exc = 1,22

exc = 1,10

Al igual que en la elipse, la relación entre c y a se llama excentricidad: excentricidad = c a Pero, así como en la elipse la excentricidad es menor que 1, en la hipérbola la excentricidad es mayor que 1. Resumiendo:

➜

anayaeducacion.es Cortes de las cónicas que forman hipérbolas.

• Constante de la hipérbola: k = 2a

• OF = OF' = c > a • c 2 = a 2 + b 2

• Pendientes de las asíntotas: b y – b a a c • exc = > 1 a

COMETAS «EXPULSADOS»

c r'

En la igualdad c 2 = a 2 + b 2 dividimos los dos miembros por a 2: 2

c 2 = a 2 + b 2 8 c 2 = 1 + b 8 exc 2 = 1 + (pendiente) 2 b l cam a a2 a2 a2 Cuanto mayor sea la pendiente, b /a, de la asíntota, mayor será la excentricidad, c /a, de la hipérbola.

Los libros de astronomía nos cuentan que, a veces, un cometa es expulsado del sistema solar por un empujón de Júpiter. El cometa llevaba una trayectoria elíptica y, al pasar cerca de Júpiter, este gran planeta desvía su trayectoria convirtiéndola en hiperbólica. En tal caso, ya no podrá volver. Una elipse muy excéntrica (exc poco menor que 1) es muy parecida, en un cierto tramo, a una hipérbola muy poco excéntrica (exc poco mayor que 1). 215

Ecuación reducida de la hipérbola Para encontrar una ecuación de la hipérbola razonablemente simplificada, al igual que hacíamos con la elipse, escogeremos convenientemente los ejes coordenados tal como se indica en la figura del margen. De ese modo, los focos son F(c, 0) y F'(–c, 0).

Y P (x, y)

Un punto P(x, y) de la hipérbola cumple la condición siguiente: F'(–c, 0)

|dist (P, F ) – dist (P, F' )| = 2a

F (c, 0)

Al suprimir el valor absoluto, hay que contemplar la posibilidad del doble signo: (x – c) 2 + y 2 – (x + c) 2 + y 2 = ±2a Al pasar una raíz al otro miembro, elevar al cuadrado, simplificar, agrupar, elevar de nuevo al cuadrado, etc., se procede igual que con la elipse y se llega a una expresión idéntica a aquella: c 2x 2 + a 4 = a 2x 2 + a 2y 2 + a 2c 2 Pero, ahora, b 2 = c 2 – a 2. Por tanto, agrupando y sustituyendo: (c 2 – a 2)x 2 – a 2y 2 = a 2(c 2 – a 2) → b 2x 2 – a 2y 2 = a 2b 2 Dividiendo ambos miembros por a 2b 2 se obtiene, finalmente, la ecuación reducida. 2 x 2 – y = 1 ecuación reducida de la hipérbola a2 b2

Ejercicio resuelto

1 Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la hipérbola de focos F1(5, 0) y F2(–5, 0) y constante k = 8.

Semieje: k = 2a = 8 → a = 4 Semidistancia focal: F1 F2 = 10 → c = 5 Cálculo de b: c 2 = a 2 + b 2 → b = 25 – 16 = 3

5 4

Excentricidad: exc = c = 5 = 1,25 a 4

Asíntotas: y = 3 x, y = – 3 x 4 4 2 y2 Ecuación reducida: x – =1 16 9

Piensa y practica

anayaeducacion.es Representación de una hipérbola.

➜

1 ¿Verdadero o falso?

2 Una hipérbola tiene sus focos en los puntos: F1(5, 0)

a) La hipérbola III es la más excéntrica. b) La hipérbola I es la menos excéntrica.

216

III

y F2(–5, 0)

y su constante es k = 6. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala.

Hipérbola con los focos en el eje Y I

La hipérbola I es idéntica a la II , pero con los ejes cambiados. Sus focos están sobre el eje Y.

II a

y2 x2 En general, la ecuación – = 1 correspona2 b2 de a una hipérbola con focos F(0, c) y F'(0, –c), siendo c = a 2 + b 2 . Sus asíntotas son y = ± a x . b Su excentricidad es exc = c . a

y2 x2 – — — =1 32 22

y2 x2 – =1 32 22

Hipérbola con centro distinto del (0, 0) La ecuación de una hipérbola de semiejes a y b con su centro en (α, β) y ejes paralelos a los ejes coordenados es una de las siguientes: a

(a, b)

b (a, b)

(y – b)2 (x – a)2 – — — =1 2 a b2

(y – b)2 (x – a)2 — –—=1 a2 b2

Ejercicio resuelto

1 Representar las siguientes hipérbolas: 2 y2 a) x – =1 16 36 ( x – 3) 2 b) y 2 – =1 25 ( y – 2) 2 (x – 1) 2 – c) =1 16 25 d) 4y 2 – x 2= 4

a) I

b) II

c) III

IV d)

Piensa y practica

3 Representa. 2 ( y – 2) 2 a) (x + 5) – =1 16 4

b) 9x 2 – 16y 2 = 144

( y – 7) 2 ( x – 3 ) 2 – =1 64 16

d) x 2 – 4( y – 3)2 = 4

217

Hipérbolas equiláteras

2 y Si en una hipérbola de ecuación x 2 – 2 = 1 hacemos que a = b, entonces se puea b 2 y2 de expresar de la forma x 2 – 2 = 1 → x2 – y2 = a2. Sus asíntotas serán entonces a b y = ±x, es decir, son perpendiculares entre sí y forman un ángulo de 45° con los ejes.

Como en las hipérbolas equiláteras a = b, entonces: c2 = a2 + a2 = 2a2 8 c = 2 a. Su excentricidad es, por tanto: 2a excentricidad = c = = 2 a a Podemos asegurar que todas las hipérbolas equiláteras son semejantes.

A este tipo de curvas se las conoce como hipérbolas equiláteras.

OBSERVA

Hipérbolas y = k/x Las gráficas de las funciones de proporcionalidad inversa, y = k/x, que has estudiado en cursos pasados, son hipérbolas equiláteras. Se representan giradas con respecto a las del tipo x2 – y2 = a2. Pero, ¿dónde se encuentran sus focos? ¿Y sus asíntotas? ¿Cuál es el valor de sus parámetros a, b y c? Veámoslo: ky= k k y =— x — x y =— x

ky= k k y =— x — x y =— x

( k , (k k ) , (k k) , k ) k

ky= k k y =— x — x y =— x

a a F ( a ( 2k, )F ( 2k ) 2k ) 2k, 2k 2k 2k 2k,F 2k c c c a a a

Es claro que las asíntotas son los ejes de coordenadas. El vértice de la hipérbola y = k/x está en ( k , k ), es decir, se encuentra a 2k del centro. Por tanto, como ves en el dibujo, los focos son F ( 2k , 2k ) y F'(– 2k , – 2k ) y sus parámetros son a = b = 2k y c = 4k = 2 k . Ejercicio resuelto

1 Hallar las coordenadas de los focos y la distancia focal de cada una de estas hipérbolas equiláteras: a) y = 3 b) y= – 8 x x

a) Los focos son F ( 2 $ 3, 2 $ 3 ) = F ( 6, 6) y F'( – 6, – 6 ). La distancia focal es 4 3 u. b) Los focos están en los cuadrantes 2.° y 4.°. Por tanto, los focos se encuentran en F(–4, 4) y F'(4, –4). La distancia focal es 8 2 u.

Piensa y practica

4 Calcula la distancia focal y las coordenadas de los focos de las siguientes hipérbolas equiláteras: a) y = 1 x 218

b) y = – 2 x

c) y = 18 x

d) xy = 1 4

Dadas las funciones de proporcionalidad inversa del ejercicio anterior, escribe la ecuación que describe cada una de las gráficas giradas 45° con respecto al origen de coordenadas.

Estudio de la parábola Elementos característicos Llamamos

TODAS LAS PARÁBOLAS SON SEMEJANTES

V: vértice de la parábola

La forma de una cónica queda determinada por su excentricidad. Dos elipses con la misma excentricidad son semejantes, tienen la misma forma. Análogamente ocurre con las hipérbolas. Pues bien, como la excentricidad de todas las parábolas es la misma, 1, todas ellas son semejantes.

p: distancia del foco a la directriz Además de los elementos ya conocidos:

F: foco d: directriz

La excentricidad de una parábola es siempre 1. Ecuación reducida Tenemos una parábola de foco F y directriz d.

Tomamos como eje X la recta que pasa por F y es perpendicular a d. El centro de coordenadas lo situamos en el punto medio entre F y d.

P (x, y)

Según esto, y teniendo en cuenta que llamamos p a la distancia entre F y d, tenemos que: p p F c , 0m y d: x = – 2 2

( )

p 0 F —, 2

p x = –— 2

Un punto P(x, y) de la parábola cumple la condición: dist (P, F ) = dist (P, d ) Esta igualdad, expresada analíticamente, da lugar a la ecuación: 2 2 2 cx – p m + y 2 = x + p → x 2 + p – px + y 2 = x 2 + p + px 2 2 4 4

y 2 = 2px

OBSERVA

ecuación reducida de la parábola

Las parábolas no tienen asíntotas.

Parábolas con vértice distinto de (0, 0) Como has visto, la ecuación de una parábola cuyo vértice está en (0, 0) es y2 = 2px. Una parábola con el vértice en V(a, b) tiene por ecuación: (y – b)2 = 2p(x – a)

➜

Por ejemplo, la parábola con p = 3 y vértice (3, –2) es (y + 2)2 = 6(x – 3).

anayaeducacion.es Cortes de las cónicas que forman parábolas.

Ejercicio resuelto

1 Hallar la ecuación reducida de las siguientes parábolas:

a) Distancia del foco a la directriz: p = 4

a) Foco F(2, 0) y directriz x = –2.

b) Ecuación reducida: (y + 1)2 = 8(x – 3)

b) Igual que la anterior, pero con el vértice en el punto (3, –1).

Piensa y practica

➜

Ecuación reducida: y2 = 8x

2 1

anayaeducacion.es Calcula la ecuación reducida de una parábola.

1 Halla la ecuación reducida de la parábola de foco F(1,5; 0) y directriz x = –1,5.

2 Halla la ecuación reducida de una parábola como la del ejercicio 1 pero con el vértice en (–2, 3).

219

Cálculo del foco y de la directriz de una parábola con eje paralelo al eje Y

y = k x2

p Como hemos visto en la página anterior, el foco de la parábola y2 = 2px es F c , 0m 2 p y su directriz, d: x = – . 2 2 Si en la ecuación y = 2px cambiamos la x por la y, obtenemos x2 = 2py. Se trata de la misma parábola girada 90° con respecto al origen de coordenadas. p p Por tanto, su foco es F c0, m y su directriz, d: y = – . 2 2 Pero, ¿cómo hallar el foco y la directriz de una parábola de ecuación y = kx2? Para ello, la expresamos así: x2= 1 y y la comparamos con x2 = 2py. De esta forma, k relacionamos k con p, así hallamos el foco y la directriz en función de k. 1 = 2p 8 p = 1 8 p = 1 k 2k 2 4k

x = k y2

y 2 = 2px

y 2 = –2px

x 2 = 2py

x 2 = –2py

En la parábola y = kx2, con k > 0, el foco es F c0, 1 m y la directriz, d: y = – 1 . 4k 4k Por ejemplo: • En la parábola y = x2, el foco es F c0, 1 m y la directriz, d: y = – 1 . 4 4 1 • En y = – 1 x2, el foco es F c0, – 1 m y la directriz, d: y = . 2 2 2 Ejercicios resueltos

1 Hallar las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de las siguientes parábolas: a) y = 2x2 b) y= – 1 x2 4 Dibujar cada una sobre unos ejes coordenados.

1 a) El foco es: F c0, 8 m

La directriz, d: y = – 1 . 8 1 F

0,5

F 1

2 Calcular el foco y la directriz de la parábola de ecuación: y = 1 x 2 – 2 x + 11 6 3 3

b) Como la parábola está «abierta hacia abajo», el foco y la directriz cambian de lado. El foco es F(0, –1) y la directriz, d: y = 1. d

El vértice de la parábola es V(2, 3). En la parábola y =

1 2 x el foco es F c0, 3 m y la directriz, d: y = – 3 . 6 2 2

Como V(2, 3), el foco es F c2, 3 + 3 m = F c2, 9 m y la directriz, d: y = 3 – 3 = 3 2 2 2 2

Piensa y practica

3 Halla las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de las siguientes parábolas: a)

220

y = 4x2

b) y = 1 x2 2

c) y = – 1 x2 8

d) y = –0,1x2

4 Dibuja las parábolas del ejercicio anterior y sus elementos. 5 Calcula el foco y la directriz de esta parábola: y = – 1 x2 + x – 1 2 10

Tangentes a las cónicas mediante papiroflexia Tangentes a una elipse La siguiente actividad es muy interesante. Dibuja una circunferencia de centro C y radio r y, en su interior, un punto P distinto del centro. Dobla el papel de modo que se haga pasar la circunferencia por el punto P. Vuelve a hacerlo más de doce veces. Si, como en la ilustración, vas recorriendo todas las partes de la circunferencia, verás que las líneas de los pliegues envuelven una hermosa elipse cuyos focos son P y C.

t Q

P F'

Cada uno de los dobleces es una tangente a la elipse, y la constante de la elipse (suma de las distancias de cada punto a los focos) es el radio, r, de la circunferencia.

La tangente en cada punto, Q, es la bisectriz exterior de los segmentos QF y QF'.

Tangentes a una hipérbola

Si se repite la actividad descrita más arriba poniendo el punto P exterior a la circunferencia, se obtiene una hipérbola como curva tangente a los dobleces. También aquí el radio de la circunferencia es la constante de la hipérbola: diferencia de distancias a los focos (P y C ).

t Q F

La tangente a una hipérbola en un punto es la bisectriz interior de los radios vectores que parten de ese punto.

Tangentes a una parábola Si sobre un papel trazas una recta d y un punto F, y doblas el papel haciendo coincidir el punto F con un punto de la recta, los dobleces r son tangentes a una parábola de foco F y directriz d.

Observa ahora los dibujos del margen. Las rectas paralelas al eje (perpendiculares a d ) se «reflejan» en la parábola y pasan por el punto F. Y viceversa, una recta que sale de F, se «refleja» en la parábola y sale paralela al eje.

Esta propiedad se utiliza muchísimo: faros de coches, hornos parabólicos, antenas parabólicas…

Antena parabólica

Faro de coche

Faro de un coche.

Horno solar en Font Romeu, Francia. 221

Ejercicios y problemas resueltos 1. Determinación de una circunferencia conocidos tres puntos por los que pasa Obtener el centro, el radio y la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(0, 0), Q(10, 0) y R(18, 12).

Análisis del problema. Como el centro de la circunferencia, O, equidista de los tres puntos, pertenece a las mediatrices de los segmentos PQ y PR y puede ser hallado como la intersección de dichas mediatrices. Es decir, hay que encontrar el circuncentro del triángulo PQR. • Hallamos las mediatrices de PQ y PR, respectivamente mPQ y mPR .

La recta mPQ pasa por el punto medio de PQ, MPQ = (5, 0), y es perpendicular a PQ = (10, 0), es decir, paralela al eje Y. Por tanto, mPQ: x = 5. La recta mPR pasa por el punto medio de PR, MPR = (9, 6), y es perpendicular a PR = (18, 12) (3, 2). Por tanto:

P 2

mPR : 3(x – 9) + 2(y – 6) = 0 → mPR: 3x + 2y – 39 = 0 Calculamos el centro O como la intersección de estas mediatrices: x =5 4 x = 5, y = 12 → O (5, 12) 3x + 2y – 39 = 0 • Obtenemos el radio como la distancia de O a cualquiera de los puntos dados: r = dist (O, P ) = (5 – 0) 2 + (12 – 0) 2 = 169 = 13 • La ecuación de la circunferencia es: (x – 5)2 + ( y – 12)2 = 169 Otro método de resolución La ecuación reducida de una circunferencia es: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

HAZLO TÚ

Obtén el centro, el radio y la ecuación de la circunferencia que pasa por P(–1, 3), Q(2, –2) y R(3, 0).

Como P, Q y R pertenecen a la circunferencia, cumplen su ecuación: _ Z 0 2 + 0 2 + 0 · A + 0 · B + C = 0b ]]C = 0 2 2 10 + 0 + 10A + 0 · B + C = 0` → [10 2 + 10A = 0 8 A = –10 b ]18 2 + 12 2 – 180 + 12B = 0 8 B = –24 18 2 + 12 2 + 18A + 12B + C = 0 a \ La ecuación de la circunferencia es: x 2 + y 2 – 10x – 24y = 0 Centro: O c –A , –B m = (5, 12). 2 2

Radio: r = c A m + c B m – C = 5 2 + 12 2 = 13 2 2

2. Circunferencia que pasa por un punto y cuyo centro está sobre una determinada recta Hallar analíticamente la ecuación de la circunferencia de radio 17 que pasa por (4, –1) y cuyo centro pertenece a la recta: 1 1 y= x+ 2 2

HAZLO TÚ

Obtén la ecuación de la circunferencia de radio 40 que pasa por P(2, 11) y cuyo centro pertenece a la recta de ecuación x – 3y + 11 = 0.

222

Análisis del problema. Debemos hallar la ecuación de una circunferencia de la que ya conocemos el radio. Sabemos que su centro está en una recta. Trazamos una circunferencia de centro (4, –1) y radio 17 . La intersección de esta circunferencia con la recta es el centro que buscamos. Ecuación de la circunferencia de centro (4, –1) y radio 17 es: (x – 4)2 + (y + 1)2 = 17 1 1 Veamos los puntos de corte de la circunferencia y la recta y = x + : 2 2 Z Y ]]x 1 = 1 8 y 1 = 1 $ 1 + 1 = 3 (x – 4) 2 + (y + 1) 2 = 17 5 2 5 2 5 8 [ * y= 1x+ 1 X ]x 2 = 5 8 y 2 = 1 $ 5 + 1 = 3 2 2 (4, –1) 1 y 2 2 \ 1 3 Hemos encontrado dos puntos, c , m y (5, 3), que son los 5 5 centros de las dos circunferencias, C1 y C2, que cumplen las condiciones: C1: cx –

1 2 y– 3 2 m = 17 m +c 5 5

C2: (x – 5)2 + (y – 3)2 = 17

3. Descripción de una cónica a partir de su ecuación Describir las siguientes cónicas, obtener sus elementos y dibujarlas: a)

x 2 + y 2 –

x 2 +

y 2 –

2y –

y 2 –

2y – 4x – 11 = 0

2x + 4y + 2 = 0

4y 2 –

8y = 0

x 2 =

a) Se trata de una circunferencia porque los coeficientes de x 2 e y 2 son 1. Operamos en la ecuación hasta obtenerla en la forma (x – x0)2 + ( y – y0)2 = r 2. Y

Completamos cuadrados:

(x 2 – 2x + 1) + ( y 2 + 4y + 4) + 2 – 5 = 0 →

→ (x – 1)2 + ( y + 2)2 = 3 Circunferencia de centro O(1, –2) y radio r = 3. b) Los coeficientes de x 2 e y 2 son distintos, pero del mismo signo; es una elipse. (x – x 0) 2 ( y – y 0) 2 Operamos en la ecuación hasta obtenerla en la forma + = 1. a2 b2 Completamos cuadrados: x 2 + (4y 2 – 8y + 4) – 4 = 0 → x 2 + (4y 2 – 8y + 4) = 4 → 2 2 (4y 2 – 8y + 4) 4 → x + = 8 x + ( y – 1)2 = 1 4 4 4 4 Es una elipse de centro O(0, 1) y eje mayor paralelo al eje X. Semiejes: a = 2, b = 1 Semidistancia focal: c 2 = a 2 – b 2 = 4 – 1 = 3 → c = 3

X 1 Excentricidad: exc = c = 3 a 2 c) Es una hipérbola porque los coeficientes de x 2 e y 2 tienen distinto signo. ( y – y 0 ) 2 ( x – x 0) 2 – Operamos en la ecuación hasta obtenerla en la forma = 1. b2 a2 Completamos cuadrados:

y 2 – 2y – x 2 = 0 → ( y 2 – 2y + 1) – x 2 – 1 = 0 → ( y – 1)2 – x 2 = 1 Se trata de una hipérbola equilátera (es decir, a = b) de centro O(x0, y0) = (0, 1) y focos en el eje Y. Semiejes: a = 1, b = 1 c 2

HAZLO TÚ

Describe las siguientes cónicas, obtén sus elementos y dibújalas: a) x 2 – 2y + 2 = 0 b) x 2 – 4y 2 – 2x – 3 = 0 c)

x 2 +

9y 2

– 2x – 8 = 0

d) x 2 + y 2 + 4x + 6y + 9 = 0

b 2

Semidistancia focal: = + = + =2 → c= 2 2 Asíntotas: y = ± a (x – x 0) + y 0 → y = x + 1 e y = –x + 1 X b 2 c = 2 Excentricidad: exc = = a 1 d) Al tener término en y 2 y no en x 2 es una parábola con eje horizontal. Además, O(0, 0) no cumple la ecuación de la parábola; por tanto, su vértice V(x0, y0), no está situado en el origen de coordenadas. La ecuación de una parábola de este tipo es p p ( y – y0)2 = 2p(x – x0), siendo el foco F cx 0 + , y 0m y la directriz x = x 0 – . Ope2 2 ramos hasta tener la ecuación inicial de esta forma. Completamos cuadrados: ( y 2

– 2y + 1) – 4x – 11 – 1 = 0 → ( y –

→ ( y –

1)2

= 2 · 2(x + 3)

1)2

= 4x + 12 →

p Vértice: V(x0, y0) = (–3, 1) Foco: F cx 0 + , y 0m = (–2, 1) 2 p Directriz: x = x0 – → x = – 4 2

223

Ejercicios y problemas resueltos 4. Ecuación de una elipse no centrada en el origen Obtener la ecuación de la elipse de focos F'(–1, 1) y F(5, 1) y cuya excentricidad es exc = 3 . 5

HAZLO TÚ

Obtén la ecuación de la elipse de focos F' (3, –2) y F(3, 6) y cuya excentricidad es exc = 4 . 5

Hallamos el centro de la elipse como el punto medio de los focos:

O = MF'F = c –1 + 5 , 1 + 1 m = (2, 1). La elipse no está centrada en (0, 0). 2 2 ( x – 2) 2 + ( y – 1 ) 2 = 1 La ecuación de la elipse ha de tener la forma: a2 b2 Para determinar los semiejes, utilizaremos la distancia focal y la excentricidad: dist (F', F ) = 6 = 2c → c = 3; exc = c 8 3 = 3 8 a = 5 5 a a 2 2 2 2 2 b = a – c 8 b = a – c = 25 – 9 = 16 = 4 La ecuación requerida es:

(x – 2) 2 ( y – 1) 2 + =1 25 16

5. Ecuación de una hipérbola no centrada en el origen a partir de su representación gráfica Calcular las ecuaciones de las hipérbolas roja y azul representadas a continuación: Y

El centro es el punto de intersección de ambas asíntotas: C (2, 1) ( x – 2 ) 2 – ( y – 1) 2 = 1 a2 b2 Como a = 2 y las pendientes de las asíntotas son m = ±3/4, entonces: 2 b = 3 8 b = 3 . Por tanto, la ecuación buscada es: (x – 2) 2 – ( y – 1) = 1 2 4 2 4 9/4 Hipérbola roja. La línea de los focos es paralela al eje X:

( y – 2) 2 ( x – 1) 2 – =1 a2 b2 Como las asíntotas son iguales, a y b siguen valiendo lo mismo. (y – 2) 2 ( x – 1) 2 – La ecuación es: =1 4 9/4 Hipérbola azul. Como la línea de los focos es paralela al eje Y:

6. Elementos de una parábola de eje vertical a partir de su representación gráfica Calcular el foco y la directriz de esta parábola: Y

(–2, 3)

(2, 1) X

Calcula el foco y la directriz de esta parábola: Y 1 X

(1, –6)

224

La ecuación general de una parábola de eje vertical es: y = ax2 + bx + c –b 8 2 = –b La abscisa del vértice de la parábola es: Vx = 8 4a + b = 0 2a 2a Como (2, 1) pertenece a la parábola: 1 = a · 22 + b · 2 + c 8 4a + 2b + c = 1 Como (–2, 3) también pertenece: 3 = a · (–2)2 + b · (–2) + c 8 4a – 2b + c = 3

HAZLO TÚ

(–3, 2)

Análisis del problema. A partir del vértice y de otro punto de la parábola, calculamos su ecuación. Con el coeficiente de la x 2 podemos calcular el foco y la directriz de una parábola igual a esta centrada en el origen. Calculamos el foco y la directriz real trasladándolos con el vector posición del vértice.

Obtenemos los coeficientes a, b y c con este sistema de ecuaciones: Z ]]4a + b = 0 2 [4a + 2b + c = 1 8 a = 1 ; b = – 1 ; c = 3 8 y = x – x + 3 2 2 2 8 2 8 ]4a – 2b + c = 3 \ Hallamos el foco y la directriz: 1 = 1 8 p = 4 8 2p p p Parábola con vértice en (0, 0): F c0, m 8 F(0, 2); d : y = – 8 d: y = –2 2 2 Parábola con vértice en (2, 1): F (2, 3); d: y = –1

7. Centro radical de tres circunferencias Calcula un punto que tenga la misma potencia respecto de estas tres circunferencias. C1: x2 + y2 – 6x – 6y + 9 = 0 C2: x2 + y2 + 10y = 0 C3: x2 + y2 – 12x + 11 = 0 Dicho punto se llama centro radical de las tres circunferencias.

Análisis del problema. Para hallar el centro radical, R, radicales y determinar su punto de corte.

hay que obtener dos de los ejes

Eje radical de C1 y C2: x2 + y2 – 6x – 6y + 9 = x2 + y2 + 10y 8 6x + 16y – 9 = 0 Eje radical de C2 y C3: x2 + y2 + 10y = x2 + y2 – 12x + 11 8 12x + 10y – 11 = 0 Punto de corte de los dos ejes radicales:

6x + 16y – 9 = 0 7 43 7 43 8 y= 8 x= 8 Rc , m 22 66 22 66 12x + 10y – 11 = 0

HAZLO TÚ. Halla el centro radical de estas tres circunferencias:

C1: x2 + y2 – 6x + 6y – 14 = 0 C2: x2 + y2 – 10y – 8y + 37 = 0 C3: x2 + y2 – 8x + 7 = 0 8. Ecuación de una párabola con vértice distinto de (0, 0) dados el foco y la directriz Calcular la ecuación de la parábola, cuyo eje es paralelo al eje X, de foco F(3, 5) y directriz x = –1. HAZLO TÚ

Halla la ecuación de la parábola de eje horizontal cuyo foco es F(4, –3) y cuya directriz es x = 2.

Si el foco de una parábola es F(3, 5) y su directriz es x = –1, la distancia del foco a la directriz es p = 3 – (–1) = 4. Por tanto, el vértice se encuentra a la misma distancia del foco y de la directriz. Es decir: 3 –1,5 Vc m = V(1, 5) 2 Como la ecuación de una parábola cuyo vértice está en (0, 0) es y2 = 2px, la ecuación de la parábola buscada será: (y – 5)2 = 8(x – 1)

9. Cálculo de la recta tangente a una parábola en un punto Hallar la recta tangente a la parábola y 2 = 8x en el punto A(8, 8). Y

8 X

Análisis del problema. Como la recta tangente no es paralela al eje Y y pasa por A(8, 8), tiene que ser de la forma y = m(x – 8) + 8. Para hallar la pendiente, utilizaremos el hecho de que una recta tangente a la parábola tiene que tener un único punto en común con ella, A. Es decir, el sistema que forman sus ecuaciones debe tener solución única. y = m ( x – 8) + 8 4 → [m(x – 8) + 8]2 = 8x y 2 = 8x Desarrollando y operando, obtenemos: m2x 2 + (–16m2 + 16m – 8)x + 64m2 – 128m + 64 = 0 Para que esta ecuación de 2.º grado tenga solución única, su discriminante debe ser 0. (–16m2 + 16m – 8)2 – 4m2(64m2 – 128m + 64) = 0 → → 256m4 – 512m3 + 512m2 – 256m + 64 – 256m4 + 512m3 – 256m2 = 0 → → 256m2 – 256m + 64 = 0 → 4m2 – 4m + 1 = 0 → (2m – 1)2 = 0 → m = 1/2 La recta tangente buscada es r : y = 1 (x – 8) + 8 → r : x – 2y + 8 = 0 2 HAZLO TÚ. Resuelve este ejercicio para la parábola y 2 = – 4x y el punto A(– 4, 4). 225

Ejercicios y problemas guiados 1. Cálculo de los elementos de una elipse Calcular la distancia focal, el semieje menor y la excentricidad de esta elipse:

• Halla el semieje mayor y, a partir de esa medida y de la distancia del foco al extremo izquierdo, calcula la semidistancia focal. • Con los datos que tienes, por el teorema de Pitágoras, ya puedes calcular el semieje menor.

50 cm 1 cm

• Halla, a partir de los datos calculados, la excentricidad de la elipse. Solución:

Distancia focal = 48 cm; semieje menor = 10 cm; excentricidad = 12/13 = 0,92 2. Circunferencia inscrita en un triángulo Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo de lados a, b y c, siendo: a: y = 0 b: 3x – 4y = 0

• Halla la bisectriz del ángulo que definen a y b. Obtenla como el lugar geométrico de los puntos P(x, y) que equidistan de ambos lados: dist (P, a) = dist (P, b). Expresa en coordenadas esta condición y resuelve la ecuación resultante. Los valores absolutos darán lugar a dos ecuaciones distintas, correspondientes a las dos bisectrices de estas rectas. Ayúdate de una representación gráfica para distinguir cuál es la que corresponde al ángulo interior de triángulo.

c: 4x + 3y – 50 = 0 Y b

O(x0, y0)

• De forma análoga, calcula la bisectriz correspondiente a los lados a y c.

r 1

Análisis del problema. Una circunferencia queda determinada por su centro y su radio. El centro de la circunferencia inscrita en un triángulo es el incentro; es decir, el punto de corte de las bisectrices de los ángulos interiores de ese triángulo. El radio, al ser la circunferencia tangente a los lados del triángulo, puede ser calculado como la distancia del centro a cualquiera de estos lados.

• Calcula el incentro O(x0, y0) como el punto de corte de ambas bisectrices, resolviendo el sistema que forman sus ecuaciones. • Obtén el radio de la circunferencia como la distancia de O a cualquiera de los lados del triángulo. Observa que si calculas la distancia al lado a, los cálculos son más simples: r = dist (O, a). • La ecuación de la circunferencia es: (x – x0)2 + ( y – y0)2 = r 2. Al aparecer denominadores en las coordenadas del centro y en el radio, puede ser conveniente desarrollar la expresión obtenida para simplificarla. Solución: 4x 2 + 4y 2 – 60x – 20y + 225 = 0

3. Rectas tangente y normal a una circunferencia en un punto Sean r y s, respectivamente, las rectas tangente y normal a una circunferencia en un punto P. r: x + y – 7 = 0

s: x – y – 9 = 0

Calcular la ecuación de la circunferencia sabiendo que su radio es r = 2 2 .

• El punto de la circunferencia, P, donde r es tangente se puede hallar como el punto de intersección de r y s resolviendo el sistema que forman sus ecuaciones. • Para hallar el centro de la circunferencia O(x0, y0), ten en cuenta que debe cumplir estas dos condiciones: O ∈ s y dist (P, O) = 2 2. Expresa analíticamente estas condiciones y resuelve el sistema que forman ambas ecuaciones. Obtendrás dos soluciones, O y O'. Y • Halla las expresiones de las circunferencias solución mediante la ecuación: (x – x0)2 + ( y – y0)2 = r 2 Solución:

(x – 6)2 + ( y + 3)2 = 8; (x – 10)2 + ( y – 1)2 = 8

226 226

O' 1

P O

Ejercicios y problemas propuestos

11 Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por c0, – 1 m y tiene centro en c 1 , – 1 m . 3 2 3

Para practicar Lugares geométricos

1 Halla, en cada caso, la mediatriz del segmento AB. a) A(5, –1) B(–3, 1) b) A(3, 6) B(–1, 6) Comprueba que es una recta perpendicular a AB. 2 Halla el lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos A(0, 0) y B(6, 3) es 15. ¿Qué figura obtienes? 3 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta 4x – 3y + 11 = 0 es 6. 4 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas r y s. Interpreta el resultado. r : 3x – 5y + 11 = 0 s : 3x – 5y + 3 = 0 5 Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r y s: r : 4x – 3y + 8 = 0 s : 12x + 5y – 7 = 0 6 Calcula el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a P(1, 0) sea la mitad de la distancia a la recta x = 4. ¿Qué figura obtienes?

7 Halla, en cada caso, el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto A es d. a) A(0, 5) y d = 2 b) A(0, 0) y d = 1 d) A(–1, –5) y d = 3 5

8 Halla el lugar geométrico de los puntos cuyo cociente de distancias a los puntos A(0, 6) y B(0, 3) es 2, es decir: dist (P, A) 2 = dist (P, B)

14 Uno de los diámetros de una circunferencia tiene por extremos A(3, –2) y B(7, 0). Halla la ecuación de la circunferencia. 15 Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por A(2, – 4), B(8, –10) y C(4, –8). * Mira el ejercicio resuelto 1. 16 Da la ecuación de la circunferencia que tiene por centro el punto (2, –5) y es tangente al eje de abscisas. 17 Obtén la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el punto (3, – 4) y que es tangente al eje de ordenadas. 18 Determina la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen de coordenadas y es tangente a la recta x + y – 3 = 0. 19 Determina las rectas tangente y normal a la circunferencia (x + 4)2 + ( y + 2)2 = 13 en el punto A(–2, 1). 20 Calcula la distancia del centro de la circunferencia x 2 + y 2 – 2y – 1 = 0 a la recta r : 2x – y + 3 = 0. ¿Cuál es la posición de r respecto a la circunferencia? 21 Estudia la posición relativa de la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0 respecto de cada una de las siguientes rectas: r1: x + y – 1 = 0 r2: 3x – 4y + 9 = 0 22

9 Da, en cada caso, la ecuación de la circunferencia que tiene centro C y radio r. a) C(0, 0) y r = 1 b) C(2, –3) y r = 2 c) C(–1, 0) y r = 2 3

13 Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por A(1, –2) y por B(2, –1) y tiene radio 1.

Posiciones relativas de rectas y circunferencias

Circunferencias

c) A(–2, 0) y d = 1 2

12 Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(0, –5) y cuyo diámetro es igual a 10.

d) C(0, 3) y r = 5 4

10 Averigua cuáles de las siguientes expresiones corresponden a circunferencias y, en ellas, halla su centro y su radio: a) x 2 + y 2 – 8x + 2y + 10 = 0 b) x 2 – y 2 + 2x + 3y – 5 = 0 c) x 2 + y 2 + xy – x + 4y – 8 = 0 d) 2x 2 + 2y 2 – 16x + 24 = 0

Estudia la posición relativa de la circunferencia de ecuación (x + 1)2 + (y – 2)2 = 4 respecto a cada una de las siguientes rectas: r1: x – 2 = 0 r2: y = 0 r3: y = 2x + 1 Utiliza, en cada caso, los dos métodos siguientes: a) Resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por la circunferencia y cada recta. b) Comparando la medida del radio con la distancia de cada recta al centro de la circunferencia.

23 Estudia la posición relativa de la recta y = x + b y la circunferencia x 2 + y 2 = 1 en función del parámetro b. 24 Determina la posición relativa de la recta y = 2x – 3 y la circunferencia x2 + y2 = a en función del valor del parámetro a. 227 227

Ejercicios y problemas propuestos Potencia de un punto a una circunferencia

25 Determina la potencia de los puntos P(5, 2), Q(2, 1) y R(–1, 0) a la circunferencia: C: x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0 Utilízalo para estudiar la posición relativa de P, Q y R respecto de C. 26 Halla y representa el eje radical de los siguientes pares de circunferencias: a) x 2 + y 2 = 4

x 2 + ( y – 1)2 = 9

b) (x – 3)2 + y 2 = 5 y

(x – 7)2 + y 2 = 9

c) x 2 + ( y – 3)2 = 2 y

(x – 5)2 + y 2 = 1

36 Halla los vértices, los focos y la excentricidad de estas elipses no centradas en el origen de coordenadas. Represéntalas: 2 ( y + 3) 2 =1 a) x + 25 9

(x – 1) 2 ( y + 2) 2 + =1 9 16

37 Indica la ecuación de estas elipses y calcula su excentricidad: Y Y a) b)

27 Calcula el centro radical de estas tres circunferencias: C1: x2 + y2 – 4x + 6y = 0 C2: x2 + y2– 1 = 0 C3: x2 + y2 + 6x + 5 = 0 * Mira el ejercicio resuelto 7.

Elipses

28 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a P(– 4, 0) y Q(4, 0) es 10. 29 De una elipse conocemos sus focos F(0, 1) y F' (0, –1) y su constante k = 4. Determina su ecuación. 30 Halla la ecuación de la elipse de focos (–2, 0) y (2, 0) sabiendo que la longitud de su eje mayor es 10. 31 Escribe la ecuación de la elipse cuyos focos son F(–3, 0) y F' (3, 0) y cuya excentricidad es igual a 0,5. 32 Da la ecuación de la elipse que pasa por (3, 1) y tiene por focos (4, 0) y (– 4, 0). 33 De una elipse, centrada en (0, 0), se sabe que su eje mayor, que es igual a 10, está sobre el eje X. Además, pasa por el punto (3, 3). Obtén su ecuación. 34 Determina, en cada caso, la ecuación de la elipse, centrada en (0, 0), que tiene estas características: a) Su excentricidad es 1/2 y su eje mayor está sobre el eje Y y es igual a 2. b) Sus vértices son (–2, 0), (2, 0), (0, – 4) y (0, 4). 35 Halla los vértices, los focos y la excentricidad de las siguientes elipses dadas por sus ecuaciones. Represéntalas: 2 y2 a) x + =1 100 36

c) 228

9x 2

25y 2

= 25

2 y2 b) x + =1 64 100

d) 9x 2

4y 2

Hipérbolas

38 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a F'(– 4, 0) y F (4, 0) es 6. 39 Halla la ecuación de la hipérbola de focos (– 4, 0) y (4, 0) y distancia entre vértices, 4. 40 Obtén la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son y = ± 1 x y uno de sus vértices es (2, 0). 5 41 De una hipérbola sabemos que pasa por el punto `8, 5 3j y sus focos son (–3, 0) y (3, 0). Calcula su ecuación. 42 Halla la ecuación de la hipérbola de focos (–3, 0) y (3, 0) y asíntotas y = ± 2 5 x . 5 43 Halla los vértices, los focos, las excentricidades y las asíntotas de las hipérbolas dadas por estas ecuaciones. Dibújalas: 2 y2 a) x – =1 100 36

2 b) 9x – y 2 = 1 16

c) x 2 – 4y 2 = 1

d) x 2 – 4y 2 = 4

y2 x2 – =1 4 36

f ) y 2 – 16x 2 = 16

g) 9x 2 – 4y 2 = 36

h) 4x 2 – y 2 + 16 = 0

2 ( y – 1) 2 i) x – =1 36 64

(y – 1) 2 (x – 1) 2 – =1 16 9

44 Indica la ecuación de cada una de las siguientes hipérbolas y calcula su excentricidad: a) b) Y Y X

45 Halla las coordenadas de los focos y la distancia focal de estas hipérbolas equiláteras: b) y = – 3 x

a) y = 1 4x

c) y = 12 x

Para resolver 54 Identifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos y dibújalas: a) 4x 2 + 9y 2 = 36 b) 16x 2 – 9y 2 = 144 c) 9x 2 + 9y 2 = 25 d) x 2 – 4y 2 = 16 e) y 2 = 14x f ) 25x 2 + 144y 2 = 900 (x – 1) 2 + ( y – 4) 2 = 1 9 25 i) (x + 2)2 = 4( y + 5) g)

2 ( y + 1) 2 =1 h) (x – 1) – 16 9 j) x 2 + y 2 – 2x + 4y = – 4

46 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto (3, 0) y de la recta y = –3.

55 Calcula el vértice, el foco y la directriz de cada una de las siguientes parábolas: a) y2 – x + 2 = 0 b) y2 – 2y – 4x + 1 = 0 c) x2 – 4x – 6y – 2 = 0 d) y2 – 4y – 6x – 5 = 0 * Mira el ejercicio resuelto 3d).

47 Halla, en cada caso, la ecuación de la parábola de foco F y directriz d. a) F (5, 0); d: x = –5 b) F (–3, 0); d: x = 3 c) F (0; 2,5); d: y = –2,5 d) F (0, – 4); d: y = 4

56 a) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(–1, 1) y es tangente a la recta 3x – 4y – 3 = 0. b) De todas las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante, encuentra las que sean tangentes a la circunferencia hallada en el apartado anterior.

48 Determina la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen de coordenadas y cuya directriz es y = 3.

57 Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (–3, 2) y (4, 1) y es tangente al eje X.

49 Calcula la ecuación de la parábola de foco F y directriz d. a) F (3, 5); d: x = 1 b) F (–2, 1); d: x = –6 c) F (1, –2); d: y = –4 d) F (0, 3); d: y = –5 * Mira el ejercicio resuelto 8.

58 De la circunferencia C se sabe que tiene su centro en la recta x – 3y = 0 y pasa por los puntos (–1, 4) y (3, 6). Obtén la ecuación de C.

Parábolas

50 Halla la ecuación de la parábola con foco F(1, 1) y vértice V(1, 1/2). 51 Halla los vértices, los focos y las directrices de las siguientes parábolas. Represéntalas: 2 a) y 2 = 6x b) y 2 = – 6x c) y = x 2 d) y = x 4 2 2 e) y = 4(x – 1) f ) (y – 2) = 8x g) (x – 1)2 = –8(y + 1)

60 Halla la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo de vértices A(3, 2), B `1 – 2, – 2j y C `5 + 2, – 2j .

61 Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo determinado por la recta y = –x + 4 y los ejes de coordenadas. Calcula la ecuación de la recta tangente a esta circunferencia en (0, 0). 62 Halla la ecuación de la circunferencia inscrita en el cuadrado de vértices A(–3, 3), B(–1, 3), C(–1, 1) y D(–3, 1).

h) (y + 2)2 = –4(x – 1)

52 Calcula las ecuaciones de estas parábolas: Y Y a) b) c)

59 Determina la ecuación de la circunferencia de radio 10 que, en el punto (7, 2), es tangente a la recta 3x – 4y – 13 = 0.

63 Halla la ecuación de la circunferencia de radio 5 que pasa por P(1, 1) y cuyo centro pertenece a la recta x + 3y – 19 = 0. * Mira el ejercicio resuelto 2.

* Mira el ejercicio resuelto 6. 53 Halla la ecuación de la parábola de vértice en el punto (2, 3) y que pasa por el punto (4, 5).

64 Estudia la posición relativa del punto P(0, 3) respecto a la circunferencia (x – m)2 + y 2 = 25 en función de los valores del parámetro m. 65 Estudia en función de k la posición relativa de la recta s : 4x + 3y + k = 0 respecto a la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 – 2x – 6y + 6 = 0. 229

Ejercicios y problemas propuestos 66 Halla los puntos de intersección de cada pareja de circunferencias y di cuál es su posición relativa. x 2 + y 2 – 6x – 16 = 0 a) * 2 2 x + y =4 – 6x – 4y + 9 = 0 b) * 2 2 x + y – 6x + 2y + 9 = 0 x2 + y2

67 Considera las circunferencias C1: (x – 1)2 + ( y + 1) 2 = 2 y C2: (x – 3)2 + ( y + 3) 2 = 10. a) Comprueba que ambas circunferencias son secantes y calcula sus puntos de corte, A y B.

75 Asocia cada una de las siguientes ecuaciones a una de las gráficas que están a continuación: a) x 2 + 4y 2 = 4 b) x 2 + y 2 = 9 c) y 2 – 9x 2 = 9 d) 2xy = 1 2 y2 e) x + =1 9 16 2 g) x – y 2 = 1 4 2 y2 =0 i) x + 25 9

2 f ) x – y = 0 9

h) y 2 = 2(x – 1) 2 j) (x – 1) + ( y – 1) 2 = 1 4

III

VII

VIII

b) Halla las potencias de los puntos A y B a las circunferencias C1 y C2. c) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿qué podrías decir del eje radical de ambas circunferencias? d) ¿Puedes generalizar este resultado para un par cualquiera de circunferencias secantes? 68 Dos circunferencias se cortan en los puntos (0, 0) y (0, 8). ¿Cuál es su eje radical? Justifica tu respuesta. 69

Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P(8, –3) y que su eje mayor es igual al doble del menor.

70 Halla la ecuación de la hipérbola centrada en el punto (4, 5), cuyos focos son F (2, 5) y F'(6, 5) y cuyo semieje menor es b = 1. 71 Halla la ecuación de la siguiente hipérbola: • Tiene el centro en el origen de coordenadas. • Tiene los focos en el eje de abscisas. • Pasa por el punto P ` 5/2, 1j .

• Una de sus asíntotas es la recta y = 2x. 72 Halla la ecuación de la hipérbola equilátera cuyos focos son (5, 0) y (–5, 0).

73 El cometa Halley describe una órbita elíptica, estando el Sol en uno de sus focos, de excentricidad 0,96657. Si su distancia mínima al Sol (perihelio) es de 0,6 UA, calcula cuál es la máxima (afelio). Recuerda que 1 UA (unidad astronómica) es la distancia media entre la Tierra y el Sol.

Cuestiones teóricas

74 La Tierra describe una órbita elíptica, estando el Sol en uno de sus focos. En esta trayectoria, la distancia mínima Tierra-Sol es de 147 095 248 km, y la máxima es de 152 100 492 km. Calcula la excentricidad de la órbita e interpreta el resultado obtenido.

76 Determina si las siguientes ecuaciones corresponden a cónicas. Si es así, indica qué cónica es: 2 2 y2 y2 a) – x = +1 b) x = –1 4 9 4 9 c) x 2 + y 2 + x + y + 1 = 0 d) y 2 + 2y = x

230

77 Sabemos que en esta hipérbola | PF – PF' | = 4. ¿Qué rama corresponde a PF – PF' = 4 y cuál corresponde a PF' – PF = 4? 78

Para profundizar F

Teniendo en cuenta la definición de elipse y tomando sobre el dibujo algunas medidas, di cuáles de estas elipses con sus focos están mal dibujadas:

¿Verdadero o falso? a) Si la distancia de una recta al centro de una elipse es mayor que el semieje mayor, no se cortan. b) Todas las hipérbolas equiláteras tienen la misma excentricidad.

80 a) Halla el lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(–3, 0) y B(3, 0) es 68. Puedes comprobar que se trata de una circunferencia de centro O(0, 0). ¿Cuál es su radio? b) Generaliza: Halla el lugar geométrico de los puntos cuya suma de cuadrados de distancias a A(–a, 0) y B(a, 0) es k (constante), y comprueba que se trata de una circunferencia de centro O(0, 0). Di el valor de su radio en función de a y de k. ¿Qué relación deben cumplir a y k para que realmente sea una circunferencia? 81 a) Considera la circunferencia C : (x – 1)2 + y 2 = 25 y el punto P(9, 6). Sea r la recta que une P con el centro de la circunferencia. Halla A y B, puntos de corte de r y C. Comprueba que la potencia de P respecto a C coincide con d (P, A) · d (P, B). b) Demuestra que el apartado anterior es cierto si sustituimos r por cualquier recta secante a C que pase por P.

* Haz un dibujo y llama

A' y B' a los puntos de corte de C y la nueva recta. Aplica semejanza a los triángulos AB'P y A'PB.

c) Las parábolas del tipo y2 = –2px tienen excentricidad –1. d) Por tres puntos alineados no puede pasar una circunferencia. e) Cuanto más se alejan el foco y la directriz de una parábola, mayor es su excentricidad.

AUTOEVALUACIÓN

r1: x = 3 r2: 3x – 4y + 1 = 0 2 Escribe la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(1, –3) y pasa por el punto A(5, 0). 3 Consideramos la circunferencia x 2 + y 2 – 2x = 0 y la recta r : 3x – 4y + k = 0. Calcula los valores que debe tomar k para que r sea interior, tangente o exterior a la circunferencia. 4 Describe las siguientes cónicas. Obtén sus elementos y dibújalas: y2 – =1 a) 9 16

anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.

➜

1 Halla la ecuación de la bisectriz de los ángulos formados por las siguientes rectas:

82 Calcula el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a estas rectas es 2: 2 r: 2x + 3y = 0 s: y = x 3

– 5) 2 9

( y + 1) 2 =1 – 16

5 Obtén la ecuación de la elipse de focos F (– 4, 0) y F' (4, 0) y excentricidad 0,8.

6 Escribe la ecuación de la parábola que tiene directriz x = 3 y como vértice, el origen de coordenadas. 7 Halla los focos, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola que tiene por ecuación: 9y 2 – 16x 2 = 144. Dibújala. 8 Indica las ecuaciones de las siguientes cónicas: a)

9 Dadas estas circunferencias: C1: x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0 C2: x2 + y2 – 4x – 18y + 21 = 0 C3: x2 + y2 – 8x – 5y + 1 = 0 Represéntalas y calcula su centro radical.

231

9 Funciones elementales Primeras aproximaciones a la idea de función El concepto de función aparece como tal en el siglo xvii, pero el proceso hasta llegar a él fue lento y se remonta hasta la Antigüedad. En la matemática babilónica de hace 4 000 años encontramos los primeros acercamientos en forma de leyes que describen relaciones entre magnitudes, de tal manera que conociendo el valor de alguna de ellas se obtiene, inequívocamente, el valor de la otra. En el siglo ii a. C., el matemático griego Ptolomeo estudió relaciones entre variables, sin llegar a comprender el concepto de función. Oresme (matemático francés del siglo xiv) afirmó en 1350 que las leyes de la naturaleza son relaciones de dependencia entre «dos cantidades». Fueron este tipo de relaciones las que sirvieron de origen al concepto de función. La primera idea de función es, pues, la de una fórmula que relaciona algebraicamente varias magnitudes. Galileo, a finales del siglo xvi, utilizó por primera vez la experimentación cuantitativa como fuente de información. Empezó a medir, anotar y valorar cuantitativamente causas y efectos para establecer relaciones numéricas que describieran fenómenos naturales.

Reproducción del mapamundi incluido en la obra Geographia de Ptolomeo.

El concepto de función se generaliza Las investigaciones de Galileo sobre las relaciones matemáticas entre dos variables (x e y, causas y efectos) son un antecedente muy claro del concepto de función, que va tomando forma a lo largo del siglo xvii. La representación gráfica mediante diagramas cartesianos (siglo xvii) permitió la visualización de las funciones. De este modo, el concepto de función se generaliza a cualquier relación numérica que responda a una gráfica sobre unos ejes coordenados. Leibniz, en 1673, adopta la palabra función para designar estas relaciones. Euler, entre 1748 y 1755, fue perfilando el concepto, al que dio precisión y generalidad, admitiendo que una relación entre dos variables puede ser función aunque no haya una expresión analítica que la describa. El propio Euler fue quien aportó la nomenclatura f (x) para indicar el valor de la función f asociado al número x. Se puede decir que con Euler se asienta el concepto de función.

236

Utilidad de las funciones Las funciones se utilizan para modelizar y estudiar multitud de fenómenos sociales, naturales, científicos… Aunque algunas tienen expresiones muy complejas, es sorprendente ver la simplicidad de muchas otras. ¿Cómo se determina la cantidad de oxígeno en sangre? Entre otras, se utiliza una función cuya curva tiene forma de ese (se dice que es de forma sigmoidea). ¿Interviene alguna función en la determinación de la edad de los fósiles? Sí, una logarítmica. Un equipo de investigadores e investigadoras de la NASA desarrolló un complejo modelo matemático destinado a predecir los eclipses de Fobos (satélite de Marte) para poder observarlos con el vehículo Curiosity desde la superficie de Marte. Entre otros datos, la predicción de dichos eclipses requiere conocer, para cualquier instante de tiempo, las coordenadas de Fobos y del Sol desde Marte. Este modelo dictamina en qué instantes la cámara situada en el mástil de Curiosity debía enfocar al Sol.

La sonda Curiosity en la superficie de Marte.

RESUELVE Familias de funciones Ya conoces muchas familias de funciones: sus nombres, cómo son sus expresiones analíticas y qué forma tienen sus gráficas. Asocia cada nombre de familia con su representación gráfica y con su expresión analítica general. 1. Cuadrática 2. Raíz 3. Proporcionalidad inversa 4. Exponencial 5. Logarítmica A

B Y

E Y

X X

E Y

X X

I. y = x – 4

II. y = 4x

III. y = x 2 – 4x

IV. y = log2 x

V. y =

2 x –3

237

Las funciones y su estudio Concepto de función En la ciencia, en la técnica, en la naturaleza, podemos identificar infinidad de funciones: • La velocidad que lleva una partícula depende del tiempo, es función del tiempo. • La presión del agua del mar es función de la profundidad. • El tamaño con que se ve un objeto a través de una lupa es función de la distancia a la que se coloque la lupa. • La sensación con la que se percibe un estímulo es función de la intensidad de este. En todas ellas se relacionan dos variables. Tanto en estas como en las demás funciones que manejamos habitualmente, las variables toman valores reales (es decir, se mueven en el conjunto Á de los números reales). f es una función de Á en Á si a cada número real, x ∈Dom, le hace corresponder otro número real, f (x): Dom ⊂ Á

Dom ⎯→ Á x ⎯→ f (x)

El conjunto Dom de los valores que puede tomar la variable independiente, x, se llama dominio de definición de la función. Y recorrido

El conjunto de los valores que toma la función se llama recorrido.

y = f (x)

➜

anayaeducacion.es Animación que permite visualizar el dominio y el recorrido de varios tipos de funciones

dominio

Destaquemos que para que f (x) sea función, cada valor de x ∈ Dom debe tener asignado un único valor f (x): f (x) es único para cada x ∈ Dom Puesto que tanto la variable x como la función f (x) toman valores reales, estas funciones se llaman funciones reales de variable real.

Cómo vienen dadas las funciones Las funciones nos llegan en diversos formatos: • Mediante su gráfica Permite que nos hagamos una idea muy clara de cómo es la función con un solo golpe de vista. • Por su expresión analítica (fórmula) Sintetiza algebraicamente de forma perfecta la relación entre las dos variables. Es la más precisa, pero no es fácil ver su comportamiento de un solo vistazo. • Mediante un enunciado Si nos viene dada por un enunciado (acompañado o no de una tabla de valores) deberemos traducirlo a una gráfica o, si fuera posible, a una expresión analítica. 238

y=x

3 x +1 –x –3

La temperatura de un paciente que comienza su enfermedad hasta que vuelve a tener 37 °C…

Aspectos relevantes de una función Analizar el comportamiento de una función dada por su gráfica es sencillo. Claro, para eso está la gráfica, para que sea fácil visualizar los vaivenes de la función. Observamos las subidas y bajadas (crecimiento y decrecimiento), así como los máximos (puntos en donde la curva deja de subir y empieza a bajar) y mínimos. Las discontinuidades (roturas), las ramas infinitas… Todo ello es muy relevante para el análisis de la función que se está describiendo. Y

En los cursos anteriores nos familiarizamos con la interpretación de fenómenos físicos, biológicos, económicos… descritos mediante gráficas. Sin embargo, en este curso nos marcamos un nuevo y gran objetivo: ser capaces de representar una función a partir de su expresión analítica. Para ello, necesitamos dos importantes herramientas (límites y derivadas) que estudiaremos en las próximas unidades y que, ahora, pasamos a describir muy brevemente. Límites Las ramas infinitas, tanto las que se dan en puntos finitos como las que surgen cuando la función se aleja hacia la izquierda o hacia la derecha, se obtienen mediante los límites.

PREGUNTAR A LA EXPRESIÓN ANALÍTICA PREGUNTAR A LA EXPRESIÓN ANALÍTICA Hemos de aprender a hacerle preguntas a la expresión analítica de una función. • ¿Eres continua? • ¿Tienes ramas infinitas? ¿Dónde están? ¿Cómo son? • ¿Dónde eres creciente? ¿Dónde decreciente? • ¿Cuáles son tus máximos y mínimos? •… Y ser capaces de encontrar las respuestas a estas preguntas.

El estudio de los límites (unidad 10) nos permitirá averiguar si existen estas ramas, dónde están localizadas y qué forma tienen. Los límites también ayudan a dilucidar si una función es o no continua en un punto o si existe algún tipo de «rotura».

crec X

cre

El buen manejo de las derivadas nos permitirá averiguar los intervalos donde una función es creciente y donde es decreciente, así como a obtener sus máximos y mínimos.

La derivada de una función es otra función que describe la pendiente (inclinación) de la primera en cada uno de sus puntos. En la unidad 11 aprenderemos las técnicas de cálculo de derivadas.

cre

Derivadas

239

Dominio de definición Por qué se restringe el dominio de definición • La función y = –5x 2 + 20x corresponde a una parábola. A cada valor real de la x le corresponde un valor de y. Su dominio de definición es todo Á.

Y 20

5t 2

• La función a = 20t – corresponde a la altura a la que se encuentra una piedra que lanzamos hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Es la misma parábola descrita en el párrafo anterior, pero ahora la función solo está definida para valores de t que hagan a ≥ 0 (la piedra se para al llegar al suelo). El dominio de esta función es [0, 4].

20t –– 5t 5t22 aa == 20t

10 0

y = –5x 2 + 20x

• La función cuya expresión analítica es y = x – 7 no está definida en x = 1, pues 1 – 7 = –6 no es un número real. Solo está definida si x vale 7 o más. Su dominio de definición es [7, +∞). El dominio de definición de una función queda restringido por alguno de los siguientes motivos: • El enunciado o contexto real del que se ha extraído la función. • La imposibilidad de hacer alguna operación con ciertos valores de x. Por ejemplo: — Si se anulase el denominador en una fracción algebraica. — Si apareciese un número negativo dentro de una raíz de índice par. — Si un logaritmo actuara sobre un número no positivo. • Por voluntad de quien propone la función.

OBSERVACIÓN Si no se dice otra cosa, el dominio de definición de una función es tan amplio como permita su expresión analítica.

Operaciones aritméticas que restringen el dominio de definición • Denominador cero

Por ejemplo, f (x) = 1 + x – 5 . Hay que excluir del dominio de definición al 0, x x +4 que anula al primer denominador, y al –4, que anula al segundo. Por tanto:

OBSERVA

Dom = Á – {–4, 0} = (–∞, –4) « (–4, 0) « (0, +∞)

• Raíz de índice par y radicando negativo

Por ejemplo, f (x) = x 2 – 3x . El radicando es negativo en el intervalo (0, 3). Por tanto, el dominio de definición es:

Dom = Á – (0, 3) = (–∞, 0] « [3, +∞)

• Logaritmo de un número no positivo Por ejemplo, f (x) = ln (x2 – 3x). La expresión sobre la que actua el logaritmo es negativa o cero en el intervalo [0, 3]. Por tanto, el dominio de definición es:

y = x2 – 3x es negativa en el intervalo (0, 3).

Dom = Á – [0, 3] = (–∞, 0) « (3, +∞) • Varias restricciones. Cuando en la misma función confluyen más de una de estas circunstancias, hay que tenerlas todas en cuenta. Por ejemplo: • f (x) =

x 2 + 5x

. Hay que suprimir del dominio de definición los valores de x

que anulan el denominador, –5 y 0, y también los del intervalo (–5, 0), que hacen negativo el radicando. Por tanto, Dom = Á – [–5, 0] = (–∞, –5) « (0, +∞). • f (x) = ln (x – 4) . El logaritmo neperiano obliga a exluir el tramo (–∞, 4]. Pero, además, cuando x é (4, 5), ln(x – 4) < 0, por lo que la raíz obliga a suprimir también estos valores. Por tanto, Dom = Á – (–∞, 5) = [5, +∞). 240

OBSERVA Y 1 1

4 5

En el tramo (4, 5), ln (x – 4) toma valores negativos.

Ejercicios resueltos

1 Hallar el dominio de definición de estas funciones: x 3 – 7x – 6 a) y = 3 x – 8x 2 + 15x b) y =

x –3 x2 + x + 1

2 Hallar el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = x 3 – 8x 2 + 15x b) y = x 4 + x 2 c) y = log (x 4 + x 2)

a) La función no está definida en los puntos en los que se anula el denominador, sin importar si el numerador se anula o no en ellos: x3 – 8x2 + 15x = 0 ⇔ (x2 – 8x + 15) · x = 0 ⇔ x = 0, x = 3, x = 5 Hay que excluir estos tres valores del dominio de definición. Por tanto: Dom = Á – {0, 3, 5} = (–∞, 0) « (0, 3) « (3, 5) « (5, +∞) b) El denominador no se anula en ningún punto. Por tanto, el dominio es todo Á: Dom = Á a) Veamos para qué valores de x el radicando, al que llamamos g(x), es positivo. g (x) = x3 – 8x2 + 15x = 0 ⇔ x = 0, x = 3, x = 5 El polinomio se anula en 0, 3 y 5. En cada uno de los intervalos, (–∞, 0), (0, 3), (3, 5) y (5, +∞), el signo del polinomio (positivo o negativo) se mantiene constante. Por ello, calculamos el valor del polinomio en un punto en cada intervalo pues su signo será el signo de g(x) en todo ese intervalo: g(–1) = –24

g(1) = 8

g(4) = –4

g(6) = 18

g<0

g>0

g<0

g>0

g (x) ≥ 0 en [0, 3] y en [5, +∞). Por tanto: Dom = [0, 3] « [5, +∞) b) g (x) = x4 + x2 solo se anula en x = 0 y es positivo en el resto. Es decir, g (x) ≥ 0 siempre. Por tanto, no hay ningún punto en el que no esté definida la función g (x) . Dom = Á c) g (x) = x4 + x2 se anula en x = 0 y es positivo en el resto. Por tanto, en el dominio de log g(x) hay que suprimir x = 0: Dom = Á – {0} = (–∞, 0) « (0, +∞)

Estudia el dominio

➜

representado.

3 Hallar el dominio de definición de: log (x – 1) y= 5x – x 2

La función log debe actuar sobre valores positivos → x – 1 > 0 → x > 1 ° La raíz, sobre valores no negativos → 5x – x2 ≥ 0 → 0 ≤ x ≤ 5 ¢0<x<5 2 El denominador no debe anularse → 5x – x ≠ 0 → x ≠ 0 y x ≠ 5 £ x>1 Ambas condiciones se cumplen en (1, 5). Por tanto: Dom = (1, 5) 0 1 5 0<x<5

Piensa y practica

➜

anayaeducacion.es Amplía el cálculo de dominios.

Halla el dominio de definición de cada una de las siguientes funciones: 2 1 a) y = x3 – 4x2 + 3 x – 4x + 3x

2 b) y = x –24x + 3 x +1

2 a) y = log (x3 – 6x2 + 8x)

b) y = x 3 – 6x 2 + 8x

3 y=

log (x 3 – 6x 2 + 8x) x 3 – 6x 2 + 8x

4 a) y = x 3 – 2x 2 + x – 2 5 y=

b) y = log (x3 – 2x2 + x – 2)

x Atención: ¿para qué valores de x se anula el denolog x

6 a) y =

minador? log x = 0 → x = …

log (x – 3) x 2 – 7x + 10

b) y =

x 2 – 7x + 10 log (x – 3)

241

Familias de funciones elementales Las funciones describen fenómenos cotidianos, psicológicos, económicos, científicos, técnicos… Tales funciones habitualmente se obtienen de forma experimental y, con frecuencia, responden a alguna de las grandes familias que ya conocemos de cursos anteriores. Recordemos estas familias y algunas funciones obtenidas experimentalmente que se corresponden con ellas. Funciones lineales Las funciones lineales se describen con ecuaciones de primer grado

FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA

Y y = ax + b

y = ax + b y se representan mediante rectas.

Ejemplos: • La longitud l (en cm) de un cierto muelle del que se cuelgan pesas de masa M (en g) viene dada por la ecuación: l = 2 + 0,29M,

0 ≤ M ≤ 50

• La presión P (en atmósferas) en el mar y la profundidad h (en m) se relacionan con la ecuación: P=1+ h , 10

presión (atm) 10

h>0

¿Qué presión soportan los peces abisales que viven a los 6 000 metros de profundidad?

2 10

h h>0 P=1+— 10 50 100 profundidad (m)

En el proceso de compra-venta de cualquier producto se pueden considerar dos funciones: • Función oferta, o(x): cuanto mayor sea el precio del producto, mayor será la cantidad de unidades que la empresa esté dispuesta a producir y, por tanto, mayor será la oferta. o(x) es creciente. • Función demanda, d(x): cuanto mayor sea el precio del producto, menor será el número de personas dispuestas a comprar y, por tanto, menor será la demanda. d(x) es decreciente. Con frecuencia las funciones de oferta y demanda son lineales: se representan mediante trozos de rectas. Cantidad (y)

oferta Punto de equilibrio

Funciones cuadráticas

demanda Precio (x)

Las funciones cuadráticas se describen con ecuaciones de segundo grado

y = ax 2 + bx + c

y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 X

y se representan mediante parábolas. Ejemplos: • La altura a (en m) a la que se encuentra un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 50 m/s, en función del tiempo t (en s), es la siguiente: a = 50t – 5t 2,

0 ≤ t ≤ 10

altura (m) 100 a = 50t – 5t 2

242

0 ≤ v ≤ 100

distancia recorrida (m)

100

20 5

10 tiempo (s)

• La distancia d (en m) recorrida por un coche desde que el conductor ve el peligro hasta que el coche para por completo en función de la velocidad v (en km/h) que lleva el coche en ese instante, viene dada por esta expresión analítica: d = 0,0074v 2 + 0,21v,

El punto de corte es un punto de equilibrio: para ese precio, lo que se oferta es igual a lo que se demanda y ni sobra ni falta mercancía. nota: En economía, estas funciones se describen tomando la cantidad como variable independiente y el precio como variable dependiente. Pero en este nivel creemos que son más sencillas de entender presentándolas como lo hacemos aquí.

d = 0,0074v 2 + 0,21v

10 10

100 velocidad (km/h)

Funciones raíz

Función raíz que varía al cambiar

➜

el valor de k.

Las funciones de ecuación y = kx , k > 0

se representan mediante medias parábolas con el eje paralelo al eje X.

— y = √kx

Las raíces de índices distintos de 2 se representan (para x ≥ 0) de forma similar.

Ejemplos: • El periodo T de un péndulo (tiempo, en s, que tarda en realizar una oscilación completa) es función de su longitud l (en m). Su ecuación es: T=2 l

¿Qué longitud debe tener la cadena de un péndulo para que tarde un segundo en hacer una oscilación?

• En psicología tiene gran importancia el estudio de percepciones. Percibimos luz, olores, sonidos… La percepción (sensación) depende (es función) de los estímulos físicos que llegan por medio de los sentidos. La relación entre la sensación S con la intensidad I del estímulo, ley psicofísica, viene dada por esta fórmula:

sensación (estimada por el individuo)

S=k 3I

3– S = k √I

Por ejemplo, si una persona experimenta un cierto dolor al apretarle con un dedo, para «duplicar» ese dolor la presión debe ser ocho veces mayor. 1

Funciones de proporcionalidad inversa Su expresión analítica es

➜

k y=— x

y= k, k≠0 x y se representan mediante hipérbolas.

aumento

• El aumento A producido por una cierta lupa viene dado por la ecuación: 4 donde d es la distancia (en cm) a la que se sitúa el objeto. 4–d ¿Qué es lo que pasa cuando d = 4? Interpreta la asíntota. A=

La relación entre la presión P (en atmósferas), y la longitud l (en cm) de la columna de aire responde a la ecuación: l= 8 , P≥0 P +1 Como ves, la columna cada vez desciende menos. Por mucho que aprietes nunca llega a cero.

Hipérbolas y = ax.

Ejemplos:

• A una jeringa de 8 cm de longitud le tapamos el orificio de salida. Al apretar el émbolo, el aire se comprime.

8 estímulo físico

4 A=— 4–d 4

distancia (cm)

longitud (cm) 10 8 8 l=— P≥0 P+1

–1

presión (atm)

243

Funciones exponenciales Crecimiento de la población mundial

y = a x,

()

1 xY y= — 2

a > 0, a ≠ 1

y = 2x

población total

Se llaman funciones exponenciales las que tienen por ecuación

• Si a > 1, la función es creciente y crece tanto más rápidamente cuanto mayor sea a. El crecimiento de cualquiera de ellas llega a ser muy rápido, superando incluso a cualquier función potencia. Por eso la expresión «crecimiento exponencial» es sinónima de crecimiento muy rápido.

X 4

–4

desde el año 10.000 a. c. hasta el año 2.000 d. c.

• Si 0 < a < 1, es decreciente. Ejemplos: capital (€)

• Un capital de 50 000 € depositado al 6 % anual se transforma en t años en un capital C siguiendo esta ecuación: C = 50 000 ∙

150 000

C = 50 000 ∙ 1,06t

100 000

1,06t

50 000 2

• Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo y su masa disminuye en forma exponencial. En unas, la desintegración es rapidísima, en otras, muy lenta. Por ejemplo, 5 g de una cierta sustancia se desintegran según esta ecuación:

10 20 tiempo (años)

masa (g) 5 M = 5 ∙ 0,76t 1 tiempo (miles de años)

M = 5 ∙ 0,76t

anayaeducacion.es

➜

Representación de funciones

t : miles de años; M: cantidad, en g, de sustancia radiactiva al cabo de t años.

exponenciales.

Funciones logarítmicas Las funciones logarítmicas responden a la ecuación

ATENCIÓN Y

y = log2 x

y = loga x, a > 1 Son crecientes de modo tal que superan a cualquier número por grande que sea.

La base, a, de un logaritmo también puede ser 0 < a < 1. En tal caso, la curva sería decreciente en todo su dominio. Observa la gráfica de y = log1/2 x. Y

Su crecimiento es muy lento, tanto más cuanto mayor sea a. Ejemplo: • La ley psicofísica, de la que hemos hablado en la página anterior, y que se describía mediante una raíz cúbica, en otros casos se enuncia siguiendo el modelo logarítmico (ley de Weber-Fechner): S = k log10 I 244

sensación (estimada por el individuo)

y = log —1 x 2

S = k log10 I ➜

estímulo físico

anayaeducacion.es Representación de funciones logarítmicas.

Piensa y practica

anayaeducacion.es Representación de diferentes tipos de funciones.

➜

1 Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación: A

D 80 Y

(4, 16p)

50 1

1 X

F Y

1 H

Y (5, 32)

50 1 10

50 X

1 K

(4, 16)

1 1

lineales

y= 3x 2 y = – 2 (x – 1) + 5 3

cuadráticas

1 proporcionalidad inversa

radicales

exponenciales

y = x 2 – 8x + 15

PI1

y= 1 x

y = 2x + 4

y = 2x

y = (x + 3)(x + 5)

PI2

y = x +4

y = 0,5x

L3 3x + 2y = 0

y = x 2, x > 0

PI3

y=2 4–x

y = 20 + 80 ∙ 0,95x

L4 y = 3 x + 1, x ≥ 0 4

y = πx 2, x > 0

PI4

2 ,x≥0 2–x y= 2 x 6 y= , x>0 x

y = – 4+x

y = 3x

L1 L2

2 Cada uno de los siguientes enunciados se corresponde con una gráfica de entre las del ejercicio anterior. Identifícala. 1. Superficie, en centímetros cuadrados, de un círculo. Radio, en centímetros. 2. Aumento de una lupa. Distancia al objeto, en centí metros. 3. Temperatura de un cazo de agua que se deja enfriar desde 100 °C. Tiempo, en minutos. 4. Número de amebas que se duplican cada hora. Se empieza con una. 5. Longitud de un muelle, en decímetros. Mide 1 dm y se alarga 75 mm por cada kilo que se le cuelga. 6. Dimensiones (largo y ancho, en centímetros) de rectángulos cuya superficie es de 6 cm2.

¿Verdadero o falso? a) En una función cuadrática y = ax 2 + bx + c, cuanto mayor es a, más ancha es la parábola que la representa. b) Las gráficas de y = 5x 2 + bx + c son idénticas. Se sitúan en posiciones distintas al variar b y c. c) Todas las parábolas de ecuación y = ax 2 + c tienen su vértice en el punto de abscisa x = 0.

4 ¿Verdadero o falso? a) Las funciones y = – kx se representan mediante medias parábolas con el eje paralelo al eje Y. b) El dominio de definición de y = –a x + b es [–b, +∞). c) Los ejes X e Y son asíntotas de las funciones y = k . x d) El dominio de definición de y = k es Á – {k }. a+x

245

Funciones definidas «a trozos» Las expresiones analíticas de las siguientes funciones son muy peculiares:

trozos.

x 2 + 2x + 1 si x ≤ 0 y = *1 si 0 < x < 4 x –3 si x ≥ 4

x si x ≤ 2 y=( 1 si x > 2

Dibuja una función definida a

➜

Requieren de varias «fórmulas», cada una de las cuales rige el comportamiento de la función en un cierto tramo. Y

Y y=1

+ 2x + 1 y=x–3

y=1

y=x

Sus representaciones gráficas son fáciles si sabemos representar cada uno de los tramos y se presta atención a su comportamiento en los puntos de empalme. También es sencillo obtener la expresión analítica, a partir de una gráfica formada por trozos de rectas.

➜

anayaeducacion.es Función lineal a trozos.

Ejercicio resuelto

1 La siguiente gráfica describe la temperatura T del agua que, siendo hielo, se echa a una cazuela, se pone al fuego y se mantiene hasta que lleva un rato hirviendo. T (° C)

Su pendiente es:

0 – (–20) = 20 = 2 (El hielo aumenta su temperatura de –20° a 0°). 10 – 0 10

Ecuación: y = 2(x – 0) – 20 → y = 2x – 20 • Segundo tramo: y = 0 (Mientras el hielo se descongela su temperatura sigue siendo 0°). • Tercer tramo: pertenece a una recta que pasa por (20, 0) y (35, 100). Ecuación: y = 100 (x – 20) → y = 20 x – 400 (El agua sube su temperatura de 0° a 100°). 3 3 15

• Cuarto tramo: y = 100 (El agua hirviendo se mantiene a 100°). t (min)

–20

• Primer tramo: pertenece a una recta que pasa por (0, –20) y (10, 0).

Obtener su expresión analítica en función del tiempo, t.

Si en lugar de x e y ponemos t (tiempo) y T (temperatura), su expresión analítica es: Z si 0 ≤ t ≤ 10 ]2t – 20 ]0 si 10 < t < 20 T = f (t) = [ 20 400 ] 3 t – 3 si 20 ≤ t ≤ 35 ]100 si 35 < t ≤ 50 \

Piensa y practica

1 Representa esta función: si –3 ≤ x < 0 x +1 2 f (x) = *x – 2x + 1 si 0 ≤ x < 3 4 si 3 ≤ x < 7 2 Haz la representación gráfica de la siguiente función: 2x + 1 si x < 1 g (x) = ) 2 x – 1 si x ≥ 1

246

3 Escribe la expresión analítica que corresponde a la siguiente gráfica: Y 2 2

Función «parte entera»

PRACTICA

Se llama parte entera de un número x al mayor número entero menor o igual a x. A partir de esto, definimos la función parte entera de x, Ent (x), que hace corresponder a cada número x su parte entera. 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

Ent (7,5) = 7 Ent (–4) = –4 Ent (–5,3) = –6 ¡atención! Continúa tú: Ent (6,48) Ent (7) Ent (–3,9) Ent (–11,3) Ent (–8)

1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3

Función «parte decimal»

PRACTICA

La parte decimal o mantisa de un número x es Mant (x) = x – Ent (x). Por ejemplo: Mant (7,54) = 7,54 – 7 = 0,54

Mant (7,68) = 0,68 Mant (–8) = 0 Mant (–7,68) = 0,32 Continúa tú: Mant (3,791) Mant (2)

Mant (–7,54) = –7,54 – (–8) = 0,46

A partir de esto, definimos la función parte decimal de x, Mant (x), que hace corresponder a cada número x su parte decimal. 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

Mant (–6,94) Mant (–4,804)

1 2 3 4 5 6 7X

Función «valor absoluto» Recordemos que el valor absoluto de un número a coincide con a si es positivo o nulo, o con su opuesto, si es negativo: a si a ≥ 0 |a| = ( –a si a < 0 La función y = |x| se define, en consecuencia, así: –x si x < 0 y = |x| = ( x si x ≥ 0 Piensa y practica

4 ¿Verdadero o falso? a) La gráfica roja corresponde a la función y = Ent b x l . 4 b) La gráfica verde corresponde a la función y = 5 + Ent b x l . 4 5

a) La gráfica roja corresponde a y = 3Mant b x l . 4 b) La gráfica roja corresponde a y = 3Mant (4x).

c) La gráfica verde corresponde a y = 5 – Mant b x l . 4 5

5 Representa: a) y = Ent (x) + 2

6 ¿Verdadero o falso?

7 Representa: b) y = Ent (x + 0,5)

a) y = Mant (x) – 0,5

b) y = |Mant (x) – 0,5|

247

Transformaciones elementales de funciones Vamos a ver cómo se transforma la gráfica de y = f (x) cuando sometemos a la función a ciertas transformaciones muy sencillas.

Mueve cualquier función

➜

cambiando los parámetros.

Traslaciones Si k es un número positivo, entonces: f (x) + 5

se obtiene trasladando la gráfica de f (x)

La gráfica de

f (x – 5)

f (x + 5)

f (x) + k

k unidades hacia arriba

f (x) – k

k unidades hacia abajo

f (x + k)

k unidades hacia la izquierda

f (x – k)

k unidades hacia la derecha

f (x) X

f (x) – 5

Simetrías

es la simétrica de la gráfica de f (x)

La gráfica de –f (x)

respecto al eje X

f (–x)

respecto al eje Y

–f (x)

X f (–x)

f (x)

Ejercicio resuelto

1 Relacionar las siguientes gráficas mediante sus ecuaciones: Y

5 1

2 X 4

1 Es la gráfica de la función y = x . 2 Se obtiene trasladando 1 6 unidades a la derecha → y = x – 6 . 3 Se obtiene trasladando 2 3 unidades hacia arriba → y = x – 6 + 3 . 4 Es la simétrica respecto al eje X de 1 → y = – x . 5 Se obtiene trasladando 4 5 unidades hacia arriba → y = – x + 5 .

Piensa y practica

1 Representa sucesivamente. a) y = 1 x

248

b) y =

1 x +3

c) y = –

1 x +3

d) y = –

1 +8 x +3

Estiramientos y contracciones

2f (x)

Si k es un número mayor que 1, entonces: La gráfica de

f (x)

se obtiene a partir de la gráfica de f (x)

1 f (x) — 2

kf (x)

estirándola en sentido vertical multiplicando por k

1 f (x) k

contrayéndola en sentido vertical dividiendo entre k

Ejercicios resueltos

1 Representar sucesivamente las siguientes funciones: 1 y= 6 x

2 se obtiene desplazando 1 5 unidades a la derecha. 3 es la simétrica de 2 respecto al eje X. 4 se obtiene subiendo 3 4 unidades. Y

6 x–5 3 y = – 6 x–5 2 y=

1 y= x 2 y=2 x 3 y = –2 x

2 3 1 X

para llegar, finalmente, a la representación de: 4 y = – 6 + 4 x–5 2 Representar sucesivamente:

2 se obtiene estirando 1 en sentido vertical multiplicando por 2. 3 es la simétrica de 2 respecto al eje X. 4 es la simétrica de 3 respecto al eje Y. 5 se obtiene desplazando 4 6 unidades a la izquierda. Y

4 y = –2 –x para llegar, finalmente, a la representación de: 5 y = –2 – (x + 6 )

1 X

Piensa y practica

2 Si y = f (x) pasa por (3, 8), di un punto de: y = f (x) – 6, y = f (x + 4), y = 1 f (x), y = 2f (x), 2 y = –f (x), y = f (–x), y = –2f (–x) + 3

3 Representa. 4 –3 x +8 b) y = 3 –x + 10 a) y = –

249

Valor absoluto

f (x) si f (x) ≥ 0 El valor absoluto de una función se define así: | f (x)| = * –f (x) si f (x) < 0 y = f (x)

y = | f (x)|

Por tanto, para representar el valor absoluto de una función f (x) debemos primero representar la función f (x) y luego dejar la parte positiva como está y realizar una simetría con respecto al eje X de la parte negativa. Para ello, debemos encontrar los puntos de corte con los ejes. Veamos unos ejemplos: Ejercicios resueltos

1 Representar la siguiente función: y = | x2 – 5 x + 4|

Hallamos los puntos de corte de la función f (x) = x2 – 5x + 4 con el eje X: x1 = 1

f (x) = x2 – 5x + 4 = 0

x2 = 4

y = f (x)

Por tanto, entre 1 y 4 la gráfica sube sobre el eje X.

2 Representar la siguiente función:

Y y = | f (x)|

y = | 2x – 4|, x é [–1, 5] y = f (x)

y = | f (x)|

3 Representar esta función: y = | x3 – x|

y = f (x) 1

y = | f (x)| 1

Piensa y practica

4 Representa: y = | –x2 + 4x + 5|

250

x 5 Representa gráficamente: y = 2 – 3

Composición de funciones Veamos, con unos ejemplos, cómo a partir de dos funciones se obtiene otra, llamada función compuesta de ambas. • Observa la siguiente secuencia: 16

16 = 4

1/x

OBSERVA

1 = 1 16 4

Si ahora actuamos sobre una variable, x, obtenemos la función x

1/x

1 : x

1 x

1/4

Ä8

√x

Ä8 1/ √x

1/4

100

0,1

0,0001

0,01

100

Pongamos nombres a las funciones utilizadas: 1 = v (x) x = r (x) x La función resultante se llama función compuesta de r y v y se designa v ° r : 1 v ° r (x) = v [r (x)] 8 v ° r (16) = v [r (16)] = v ( 16 ) = v(4) = 4 OBSERVA

• Otro ejemplo: f (x) = x 2 – 5x; r(x) = x x

x 2 – 5x

√x2 – 5x

–3

6 √24

–0,1

0,51

√0,51

r % f (x) = r [ f (x)] = x 2 – 5x r ° f (9) = r (81 – 45) = r (36) = 36 = 6

4 4 – 54 ÄÄ8 x2 – 5x Ä8

Dadas dos funciones, f y g, se llama función compuesta de f y g, y se designa por g ° f, a la función que transforma x en g [ f (x)]: g°f

x ⎯⎯→ g [ f (x)]

g°f

x ⎯→ f (x) ⎯→ g [ f (x)]

La expresión g ° f (x) se lee f compuesta con g. Se nombra en primer lugar la función de la derecha porque es la primera en actuar sobre la x.

f (x) g

En general, la función f [ g (x)] es distinta de g [ f (x)].

g [ f (x)]

• Observa que, en general, no es lo mismo componer dos funciones en un sentido que en sentido contrario: x

( x) 2 – 5 · x = x – 5 x

➜

Composición de funciones con GeoGebra.

f % r (x) = f [r (x)] = x – 5 · x ≠ r % f (x) = x 2 – 5x f % r (9) = f ( 9) = f (3) = 3 2 – 5 · 3 = –6 ≠ r % f (9) = 6 • Sin embargo, también hay casos en los que al componer dos funciones en ambos sentidos el resultado es el mismo: f (x) = 2x + 1

g(x) = 3x + 2

• f ° g (x) = f [g(x)] = 2(3x + 2) + 1 = 6x + 4 + 1 = 6x + 5 • g ° f (x) = g[ f (x)] = 3(2x + 1) + 2 = 6x + 3 + 2 = 6x + 5 Por tanto, en este caso, f ° g (x) = g ° f (x).

TEN EN CUENTA En general, no es lo mismo f ° r (x) que r ° f (x). 251

Ejercicios resueltos

1 Considerar las funciones:

f (x) = x 2 – x y g(x) =

4 x +1

a) Obtener la expresión analítica de: f°g

g°f

f°f

g°g

b) Hallar f [g(1)] y g[ f (1)].

4 (x + 1) = 12 – 4x a) • f [ g (x)] = f < 4 F = c 4 m – 4 = 16 2 – ⇒ x +1 x +1 x + 1 (x + 1) (x + 1) 2 (x + 1) 2 ⇒ f % g (x) = 12 – 4x2 (x + 1) • g [ f (x)] = g (x 2 – x) =

4 4 ⇒ g % f (x) = 2 4 = (x 2 – x) + 1 x 2 – x + 1 x – x +1

• f [ f (x)] = f (x 2 – x) = (x 2 – x)2 – (x 2 – x) = x 4 – 2x 3 + x 2 – x 2 + x ⇒

⇒ f ° f (x) = x 4 – 2x 3 + x

• g [ g (x)] = g < 4 F = x +1

4 ( 1) 4 4 = = x + = 4x + 4 ⇒ 4 +1 4 + x +1 4 + x +1 x + 5 x +1 x +1 4 x + 4 ⇒ g % g (x) = x +5

g f b) • f [ g (1)] = 12 – 4 $21 = 8 = 2; o bien, 1 ⎯→ 4 = 2 ⎯→ 22 – 2 = 2 1+ 1 4 (1 + 1)

• g [ f (1)] = 2 Dadas estas funciones: f (x) = 1 x g(x) = x2

a) En cada caso se trata de ver la composición de dos funciones. Es bastante intuitivo.

h(x) = x + 1 a) Indicar cómo deben componerse para obtener estas otras: y1 = 12 y2 = x2 + 1 x y3 = x2 + 2x + 1 y4 = 1 x +1 b) Componer f{g[h(x)]}.

Piensa y practica

f g 4 = 4; o bien, 1 ⎯→ 12 – 1 = 0 ⎯→ 4 = 4 0 +1 12 – 1+ 1

➜

• y 1: es claro que hay que aplicar f y g, pero parece que si se hace de una forma u otra se obtiene lo mismo: 2 f ° g (x) = f (x2) = 12 ; g ° f (x) = g b 1 l = b 1 l = 12 x x x x Vale tanto f ° g (x) como g ° f (x). • y2: primero se aplica g(x) y después h(x). Es decir, h ° g(x) = h(x2) = x2 + 1. • y3: se ha aplicado el cuadrado a x + 1, por tanto: g ° h(x) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

• y4: se aplica primero h(x) y después f (x). Es decir, f ° h(x) = f (x + 1) = 1 . x +1 1 b) f {g[h(x)]} = f [g(x + 1)] = f [(x + 1)2] = (x + 1) 2

anayaeducacion.es Practica la composición de funciones.

1 Si f (x) = x 2 – 5x + 3 y g (x) = x 2, obtén las expresiones de f [ g (x)] y g [ f (x)]. Halla f [ g (4)] y g [ f (4)]. 2 Si f (x) = sen x y g (x) = x + π , obtén las expresiones de 2 f ° g, g ° f, f ° f y g ° g. Halla el valor de estas funciones en x = 0 y x = π/4.

252

3 Si f (x) = sen x, g(x) = x2 + 5, halla las expresiones de las funciones f ° g, g ° f, f ° f y g ° g. Halla el valor de estas funciones en x = 0 y x = 2. 4 Dado f (x) = x + 1, obtén en cada caso la función g(x) para que se cumpla: a) g[f (x)] = x – 2 c) g ° f (x) = x2 + 2x

b) f [g(x)] = x2 + 3x – 2 d) f ° g (x) = x

Función inversa o recíproca de otra Vamos a componer las funciones f (x) = x 3 – 6 y f –1(x) = 3 x + 6 : f –1

x ⎯→ x 3 – 6 ⎯→ f –1

x ⎯→

➜

Inversa de una función.

f –1[ f (x)] = x

( x 3 – 6) + 6 = 3 x 3 = x

f x + 6 ⎯→ `3 x + 6j – 6 = (x + 6) – 6 = x 3

f [ f –1(x)] = x

Vemos que f y f –1 tienen la peculiaridad de que al actuar sucesivamente sobre un número x, el número se mantiene, es decir, cada una de esas funciones deshace lo que hace la otra. Por eso se dice que f –1 es la inversa de f, o que cada una de ellas es inversa de la otra. Observa la simetría de los puntos de una y otra función respecto a y = x : puntos de

f (x): y = x 3 – 6

puntos de f –1(x):

(–1, –7)

(0, –6)

(2, 2)

…

(a, b)

y = x + 6 (–7, –1)

(– 6, 0)

(2, 2)

…

(b, a)

Se llama función inversa o recíproca de f a otra función (se designa por f –1) que cumple la siguiente condición:

GRÁFICAS DE FUNCIONES INVERSAS

Si f (a) = b, entonces f –1(b) = a.

y = f –1(x)

Como consecuencia, se dan las relaciones siguientes: f

f –1

x ⎯→ f (x) ⎯→ x ; es decir, f –1[ f (x)] = x

y = f (x)

x ⎯→ f –1(x) ⎯→ x ; es decir, f [ f –1(x)] = x

y=x

f –1

La función inversa de es, a su vez, f. Por eso se dice, simplemente, que las funciones f y f –1 son inversas o recíprocas. Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto a la recta y = x.

El dominio de f coincide con el recorrido de f –1 y el recorrido de f coincide con el dominio de f –1.

Para que una función tenga inversa ha de ser inyectiva, es decir, cada valor de y ha de corresponder a un único valor de x. Si no es así, ha de descomponerse en tramos en que sea inyectiva, cada uno de los cuales tendrá su función inversa. Por ejemplo, como y = x 2 no es inyectiva, para hallar su inversa procedemos así: Y

y = f (x) = x 2 *

( x ) = x 2,

y = f1 x ≥0 " y = f 2 ( x ) = x 2, x ≤ 0 "

y = x 2, x ≥ 0

f1–1 (x) = x f2–1 (x) = – x

y= x

Y y = x 2, x ≤ 0

X y=– x

Piensa y practica

¿Verdadero o falso? a) La función recíproca de y = x es y = 1 . x 1 b) Cada una de las funciones y = x, y = es recíproca de x sí misma. c) La inversa la función de y = 9 , x ∈ [3, 9] es x y = 9 , x ∈ [1, 3]. x d) Si una función es creciente, su recíproca es decreciente.

2 Representa y = 2x, y = x y comprueba que son inversas. 2 3 Comprueba que hay que descomponer y = x 2 – 1 en dos ramas para hallar sus inversas. Averigua cuáles son. 4 Comprueba que la función recíproca de y = 2x + 4 es y = 1 x – 2. 2

253

Expresión analítica de la función inversa de otra Para hallar la inversa de y = f (x), se intercambian las dos incógnitas, x = f ( y). Ahora, si se puede, se despeja la y. Por ejemplo, f (x) = 2x – 3:

OBSERVA

y = 2x – 3 → x = 2y – 3 → y = x + 3 2 Por tanto, f –1(x) = x + 3 2

y = ex

Veamos cómo procederíamos si f (x) tuviese el dominio de definición limitado: f (x) = 2x – 3, x ∈ [–1, 4]

Para hallar su inversa, hallamos los valores que toma la función en los extremos del intervalo: f (–1) = –5, f (4) = 5. Por tanto,

f –1(x)

y = f –1(x) X

= x + 3 , x ∈ [–5, 5] 2

y = f (x)

y = ln x

Las funciones y = ex, y = ln x, simétricas respecto a la recta y = x, son de gran importancia en matemáticas superiores.

Exponenciales y logarítmicas son recíprocas Partimos de una función exponencial, y = 2x. Para hallar su recíproca, cambiamos las variables: x = 2y. Para despejar la y, tomamos logaritmos en base 2: log2 x = y log2 2 = y. Por tanto, y = log2 x. Hemos obtenido, pues, que la función recíproca de y =

Y 20

es y = log2 x.

y = 2x y=

En general, la recíproca de y = a x es y = loga x. Observa que:

y = a x pasa por los puntos (0,1) y (1, a) •* y = log a x pasa por los puntos (1, 0) y (a, 1) • Si a > 1, y =

y = log2 x 2

tiene un crecimiento muy rápido, mientras que

–4

y = loga x tiene un crecimiento muy lento.

–4

Ejercicio resuelto

1 Hallar la función recíproca de y = 10 x, x ∈ [–2, 4].

10–2 = 1 = 0,01; 104 = 10 000 100 La función y = 10x pasa por (–2; 0,01) y por (4, 10 000). Por tanto, su recíproca pasa por (0,01; –2) y por (10 000, 4). Conclusión: la recíproca de y = 10x, x ∈ [–2, 4] es y = log x, x ∈ [0,01; 10 000].

Piensa y practica

anayaeducacion.es Función inversa de otra.

➜

5 ¿Verdadero o falso? La función recíproca de y =

254

6 Halla la función recíproca de: 2x,

x > 0 es y = log2 x, x > 1.

y = log2 x, x ∈ [8, 32]

Funciones arco Vamos a definir las inversas de las funciones trigonométricas y = sen x, y = cos x, y = tg x, que se estudiaron en la unidad 5. La función arco seno ¿Cuál es el ángulo cuyo seno vale 1/2? La respuesta puede ser 30° o bien π rad. Esto se expresa así: 6

(

)

arc sen 1 = π el arco cuyo seno es 1 mide π rad 2 2 6 6 Vamos a estudiar las características de la función arc sen (arco seno). La función arc sen es la inversa (recíproca) de la función sen. Y

y = arc sen x 5p — 6 p — 6

y = sen x 1 — 2

11p – —— 6

Su gráfica, que es la que está en rojo, es la simétrica de la gráfica de y = sen x respecto a la recta y = x. Sin embargo, dicha gráfica no corresponde a una función, pues a cada valor de x le corresponden muchos (infinitos) valores de y. Por ejemplo, para x = 1 , puede valer: π , 5π , 13π , …, – 11π , … 2 6 6 6 6 Para que arc sen sea una función, hemos de quedarnos con un trozo de gráfica que sea unívoca, es decir, que a cada valor de x le corresponda un único valor de y. Cualquiera de los infinitos tramos podría servir, pero se acostumbra a seleccionar el que aparece dibujado en trazo continuo en la gráfica anterior. Estos son los valores con los que trabaja la calculadora cuando utilizamos la función arc sen ( ).

OBSERVA La función y = sen x no es inyectiva. Nos quedamos con un tramo que sí lo es: sen :– π , π D ⎯→ [–1, 1] 2 2 Su inversa es la función y = arc sen x: arc sen [–1, 1] ⎯→ :– π , π D 2 2

En definitiva, definimos la función arc sen del siguiente modo: arc sen es una función definida en [–1, 1] y que toma valores en :– π , π D , tal que: 2 2 arc sen a = b ⇔ sen b = a Es una función creciente. Verifica que: sen(arc sen x) = x p Y — 2 –1

arc sen(sen x) = x y = arc sen x

X y = sen x

p –— 2 ➜

Inversa del seno.

255

La función arco coseno De forma análoga a como se hacía con arc sen, la función arc cos (arco coseno) se define como función recíproca de la función coseno. Y

OBSERVA La función y = cos x no es inyectiva. Nos quedamos con un tramo que sí lo es: cos [0, π] ⎯→ [–1, 1] Su inversa es la función y = arc cos x:

p y = arc cos x –1

y = cos x

arc cos

[–1, 1] ⎯→ [0, π]

Hemos de quedarnos con uno de los tramos para que sea una función. Se suele elegir el que en la gráfica aparece en trazo continuo. Sus valores son los que da la calculadora cuando utilizamos la función arc cos ( ). arc cos es una función definida en [–1, 1] y que toma valores en [0, π], tal que: arc cos a = b ⇔ cos b = a Y

Es una función decreciente. Verifica que: cos(arc cos x) = x

arc cos(cos x) = x

y = arc cos x –1

1 y = cos x

La función arco tangente La función arc tg (arco tangente) se define análogamente: arc tg es una función definida en (–∞, +∞) que toma valores en b– π , π l , tal que: 2 2 arc tg a = b ⇔ tg b = a Es una función creciente. Verifica que: tg(arc tg x) = x

arc tg(tg x) = x

p — 2

y = tg x y = arc tg x X

p –— 2 ➜

anayaeducacion.es Visualización de las funciones arco.

Piensa y practica

1 ¿Verdadero o falso? a) La función y = arc tg x, x ∈ (–∞, +∞) es la recíproca de π π la función y = tg x, x ∈ b– 2 , 2 l .

256

b) arc sen 0 = π 2 d) arc cos π = –1 f ) arc sen π no existe 2

c) arc cos 0 = π 2 e) arc cos (–1) = π g) arc tg 1 = π 4

Ejercicios y problemas resueltos 1. Dominio de definición Hallar el dominio de definición de las siguientes funciones: x a) f (x) = 2 + ln (5 – x) x –4 b) f (x) =

x+3 2x – 5

a) La función no está definida en los puntos donde el denominador es nulo, que son x = 2 y x = –2. Su dominio es Á – {–2, 2}. En la función y = ln (5 – x), el logaritmo solo está definido para valores positivos. Resolvemos, 5 – x > 0 8 x < 5. Su dominio es (–∞, 5). Por tanto: Dom f = (–∞, –2) « (–2, 2) « (2, 5) x +3 b) Buscamos los valores de x tales que ≥ 0. Para ello, hallamos los valores que 2x – 5 anulan el numerador y el denominador y estudiamos su signo.

HAZLO TÚ

Halla el dominio de definición de las funciones: a) f (x) = –x 2 + 5x – 6

5 c–3, 2 m +

5 2 +

5 c 2 , +@m

–

(–∞, –3)

–3

x+3

–

2x – 5 x +3 2x – 5

En x = 5/2 la función no existe porque el denominador es 0. En x = –3 la función existe y vale 0. Por tanto: Dom f = (–∞, –3] « (5/2, +∞)

b) g(x) = ln (sen x) 2. Función definida «a trozos» Las tarifas de una empresa de transporte son:

a) Calculamos los ingresos en algunos casos concretos. Sea x la carga en toneladas:

• 40 € por tonelada de carga si esta es menor o igual que 20 t. • Si la carga es mayor que 20 t, el precio por tonelada será 40 € menos tantos euros como toneladas sobrepasen las 20.

ingresos (€)

f (x)

15 t

15 · 40 = 600 €

800

20 t

20 · 40 = 800 €

600

25 t

(40 – 5) · 25 = 875 €

400

30 t

(40 – 10) · 30 = 900 €

200

a) Dibujar la función «ingresos» según la carga (carga máxima: 30 t). b) Obtener la expresión analítica.

10 15 20 25 30 carga (t)

40 x si 0 ≤ x ≤ 20 si 0 ≤ x ≤ 20 40 x b) f (x) = * 3 4 . Es decir f (x) = ) 60x – x 2 si 20 < x ≤ 30 [40 – (x – 20)] x si 20 < x ≤ 30

3. Función exponencial El proceso de cicatrización de una herida sigue una ley exponencial. La superficie S de la herida al cabo de t días se puede calcular mediante la fórmula S = So e kt, donde So es la superficie inicial, y k, una constante. a) Si una herida tenía una superficie inicial de 50 cm2 y al cabo de dos días mide 24,83 cm2, ¿cuál es el valor de k? b) Calcular la superficie de la herida después de 8 días. c) Representar la función.

a) Conocemos S0 = 50 y un punto (2; 24,83). Sustituyendo estos valores en la fórmula S = S0e kt podemos obtener k. t=2

S = 50e kt ⎯→ 24,83 = 50e 2k → e 2k = 0,4966 → 2k = ln 0,4966 → k = – 0,35 t=8

b) S = 50e – 0,35t ⎯→ S = 50e – 0,35 ∙ 8 = 3 cm2 superficie (cm2)

c) 50

S = 50e –0,35t

5 1

tiempo (días)

257

Ejercicios y problemas resueltos 4. Valor absoluto de una función Definir por intervalos las siguientes funciones y representarlas gráficamente: a) f (x) = 4|x| – x2 b) f (x) = |x – 4| – |x| c) f (x) = |ln x|

–x si x < 0 a) Recordamos que la función y = |x | se define así: y = ) 3 . Por tanto: x si x ≥ 0 4 (–x) – x 2 si x < 0 –4x – x 2 si x < 0 = f (x) = * * 4 4 4x – x 2 si x ≥ 0 4x – x 2 si x ≥ 0 Buscamos los vértices y los puntos de corte con los ejes de cada parábola: parábola

vértice

cortes con eje

y = – 4x – x 2

(–2, 4)

(0, 0) y (– 4, 0)

y = 4x – x 2

(2, 4)

(0, 0) y (4, 0)

–2

–x + 4 si x < 4 b) |x – 4| = ) x – 4 si 4 ≥ x

–x si x < 0 |x| = ) x si 0 ≤ x

Disponemos los cálculos en una tabla para hallar la función resultante: (–@, 0)

[0, 4)

[4, +@)

|x – 4|

–x + 4

x–4

|x|

–x

|x – 4| – |x|

4 – 2x

–4

b) f (x) = x – |x | c) f (x) = ln |x – 3|

4 si x < 0 f (x) = *4 – 2x si 0 ≤ x < 4 –4 si 4 ≤ x

HAZLO TÚ

Define por intervalos y representa. a) f (x) = |x 2 – x – 6|

Y 4

c) La función y = ln x corta al eje X en x = 1, por tanto: Y – ln x si 0 < x < 1 f (x) = ) 1 ln x si 1 ≤ x 1

5. Función «parte entera» Una tienda de ropa ofrece a su clientela la tarjeta «2MÁS», en la que ingresará 2 € para futuras compras por cada 10 € de gasto que se haga allí. a) Representar la función que nos da la cantidad ingresada en la tarjeta según el gasto realizado. b) Escribir su expresión analítica.

HAZLO TÚ

Representa f (x) = Ent (2x).

258

a) Por una compra inferior a 10 € no ingresan nada. Si gastamos más de 10 € y menos de 20 €, ingresan 2 €; entre 20 y 30 € nos corresponden 4 €; … ingresos (€) 6 4 2 10

40 gasto (€)

b) Es una función definida «a trozos»: Z ]0 si x é[0, 10) ]]2 si x é[10, 20) f (x) = [4 si x é[20, 30) ]6 si x é[30, 40) ]] … \ x También podemos definirla utilizando la función «parte entera»: f (x) = 2 Ent b 10 l

6. Composición de funciones y función inversa Dadas las funciones: f (x) = 2 x+1 g (x) = 3 x + 1 h (x) = x3 – 1 hallar: a) g ° f b) h ° f c) g ° h -1 d) h ° g ° f e) f HAZLO TÚ

Halla g ° f y f ° g, siendo: f (x) = 3 x 2 – 5 y g (x) = 2 x – 1

Observamos que f ( ) = 2

+ 1;

g( ) = 3 4+ 1 ; h( ) =

– 1.

a) g ° f (x) = g[ f (x)] = g(2x + 1) = 3 2 x + 1 + 1 b) h ° f (x) = h[ f (x)] = h(2x + 1) = (2x + 1)3 – 1 = 23x + 3 – 1

c) g ° h (x) = g [ h (x)] = g(x3 – 1) = 3 (x 3 – 1) + 1 = x Las funciones g y h son inversas porque verifican ( g ° h)(x) = x. 3 d) h ° g ° f (x) = h 7g ^2 x + 1hA = h ^3 2 x + 1 + 1 h = ^3 2 x + 1 + 1 h – 1 = 2x + 1 = f (x)

e) Para calcular la inversa de f, cambiamos las variables, x = 2y + 1, y tomamos logaritmos de base 2 para despejar x : log2 x = log2 2y + 1 → log2 x = y + 1 → y = –1 + log2 x → f – 1(x)= –1 + log2 x

7. Representación de hipérbolas a) Representar la siguiente función: 2x + 1 f (x) = x+1 b) Hallar su función inversa y representarla. c) Determinar el dominio y recorrido de f y de f –1.

HAZLO TÚ

Representa la función y = 3x – 5 y x –2 su inversa.

Utilizando la relación Dividendo = cociente + resto , podemos representar este tipo divisor divisor 1 de funciones a partir de la hipérbola y = mediante transformaciones elementales. x a) Dividimos: Y 2x + 1 x + 1 → 2x + 1 = 2 + –1 x +1 x +1 –2x – 2 2 2 –1 Por tanto, la gráfica pedida es como la de y = – 1 desplazaX x –2 1 da 2 unidades hacia arriba y 1 hacia la izquierda. b) Cambiamos las variables y despejamos: 2y + 1 x= → x (y + 1) = 2y + 1 → xy – 2y = 1 – x → y = 1 – x y +1 x –2 –1 Y Por tanto, f (x) = 1 – x = –1 + –1 . x –2 x –2 La gráfica es la simétrica de 1 respecto al eje X, desplazax da 1 unidad hacia abajo y 2 unidades hacia la derecha. –1 c) Observamos que Dom f = Á{–1} y Rec f = Á{–2}. En la inversa Dom f –1 = Á{–2} y Rec f –1= Á{–1}. El dominio de f es el recorrido de f –1 y el recorrido de f es el dominio de f –1.

8. Transformaciones elementales de funciones Describir las transformaciones que hemos de hacer en la siguiente función para representarla a partir de la gráfica de otra más simple: f (x) = – 1 x2 – 2x – 5 2 HAZLO TÚ

Describe las transformaciones que debemos hacer en la gráfica de y = x2 para representar f (x) = x2 – 2x – 3.

Debemos escribir f de la forma y = m (x – n)2 + p. Para ello, separamos los términos en x y completamos cuadrados rellenando los símbolos con los números adecuados: f (x) = – 1 (x2 + 4x + ) – 5 + 2 f (x) = – 1 (x2 + 4x + 4) – 5 + 2 2 –1 1 2 –1 f (x) = – (x + 2) – 3 2 Para representar f (x) partimos de la gráfica de y = – x2 y hacemos una traslación de 2 unidades hacia la izquierda, 3 unidades hacia abajo y un ensanchamiento en sentido vertical dividiendo por 2. 259

Ejercicios y problemas guiados 1. Interpolación lineal El porcentaje de personas que tenían acceso a Internet en España era en 2018 el 86,1 % y, en 2014, el 74,4 %.

• Si conocemos dos puntos de una función y podemos suponer que es lineal en un intervalo, podemos estimar su valor para cualquier x de ese intervalo utilizando la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos.

Estimar el porcentaje en 2016.

• En este caso los puntos conocidos son A(2018; 86,1) y B(2014; 74,4). • Escribe la ecuación de la recta que pasa por A y B. Solución: El porcentaje en 2016 era del 80,25 %.

2. Ecuación de una parábola Escribir la ecuación de una parábola que tiene el vértice en el punto (1, 9) y corta al eje Y en (0, 8).

• Una parábola tiene por ecuación y = ax2 + bx + c. Tenemos que hallar a, b y c. –b • Con la abscisa del vértice, , relacionamos las incógnitas a y b. 2a • La parábola pasa por los puntos (1, 9) y (0, 8). Sustitúyelos en su ecuación. Obtendrás un sistema de tres ecuaciones con incógnitas a, b y c. Resuélvelo. Otra forma de resolverlo. Puesto que conocemos la abscisa del vértice, podemos escribir la ecuación de la parábola como y = a(x – 1)2 + k y sustituir en ella los puntos (1, 9) y (0, 8). Solución: y = –x2 + 2x + 8

3. Una función polinómica

a) Escribir la función que nos da el volumen del cono según lo que mide su altura, x.

• Deberás expresar el radio del cono en función de la altura x (observa en el gráfico el triángulo de lados x, R y 15 cm).

b) ¿Cuál es su dominio de definición?

b) ¿Entre qué valores puede variar la altura x ? Solución: a) V(x) =

π (225x – 3

x 3)

a) • Recuerda cómo se calcula el volumen de un cono en función del radio de la base y de la altura. 15

Considerar todos los conos cuya generatriz mide 15 cm.

b) Dom V(x) = (0, 15)

4. Función logística La función

• Observa que has de encontrar el valor de x para el que f (x) = 6 000.

12 000 1 + 499 (1,09 –x ) da las ventas totales de un videojuego x días después de su lanzamiento. ¿En qué día se llegó a 6 000 juegos vendidos?

• Opera la expresión hasta eliminar denominadores y hacerla lo más sencilla posible. • Obtendrás una expresión del tipo A = C –x. Para obtener el valor de x, toma B logaritmos y utiliza la calculadora.

f (x) =

Solución: Se llegó a los 6 000 juegos vendidos 72 días después de su lanzamiento.

5. Área de un triángulo El perímetro de un triángulo isósceles es 30 cm. Expresa su área en función del lado desigual. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de esa función?

• Llama x a la mitad de la base. • Escribe el lado igual en función de x. Ten en cuenta que conoces el perímetro. • Expresa la altura en función de x. Solución:

A(x) = x 225 – 30x , x é (0; 7,5). El recorrido es 25 3.

260 260

Ejercicios y problemas propuestos Para practicar

Funciones elementales

Dominio de definición

1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2 b) y = 3x3 + 2 x +x ^x + 5h2 c) y = 2 x d) y = 1 + 1 x x +2 x – x +2 2 Estudia el dominio de definición de estas funciones: a) y =

a) y = 2x + 5

b) y = 7 – x

c) y = x 2 + 3x + 4

d) y = x – 1 + x – 2

d) y =

a) y = 1,5x

b) y = x + 2

1 d) y = x – 4

2 c) y = x – 1 3

e) y = 3x 2 + 5x – 1

f ) y = 0,75x

g) y = log2 x

h) y = – – x

–2

6 La función h(t) = 80 + 64t – 16t 2 nos da la altura a la que está una pelota lanzada hacia arriba en el instante t, hasta que vuelve al suelo. ¿Cuál es su dominio de definición? ¿Y su recorrido? 7 Escribe la función que nos da el área de un rectángulo de perímetro 16 cm, en función de su base x. ¿Cuáles son su dominio de definición y su recorrido? 8

6 X

4 X

4 Y

La temperatura de una persona, desde que comienza su enfermedad hasta que vuelve a tener 37 °C, ha evolucionado según la función T(t)= – 0,1t 2 + 1,2t + 37, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de la enfermedad. ¿Cuál es su dominio de definición? ¿Y su recorrido?

–2

–4

6 Y

–2

4 Y

4 2

–2

–4 –2

–2

–4

–2 Y

8 Y

VIII

4 2

2 –2

–2

–8 –6 –4 –2

–2 2

4 Y

2 X

–3

VII

d) 2

d) y =

–2

–1 –1

III

5 Observa las gráficas de estas funciones e indica cuál es su dominio de definición y su recorrido: Y Y a) b)

–2 2

–4

4 – x2 2x + 1 x +3 x +3 e) y = f) y = x –2 x –2 Los apartados e) y f ), ¿corresponden a la misma función?

–2

4 Determina el dominio de definición de estas funciones: a) y = e –x b) y = ln ( x – 2) c) y = 1 + log 2 x

4 Y 2

3 Di cuál es el dominio de definición de: a) y = 3 + 21 – x b) y = log2 (x + 3) c) y = ln (2 – x)

Asocia a cada gráfica su fórmula.

–4 –2

10 Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y algún punto próximo al vértice: a) y = x 2 + 2x + 1 b) y = 0,5x 2 – 2x + 1 c) y = –x 2 + 3x – 5 d) y = –1,5x 2 – 3x – 2 11 Representa estas funciones en el intervalo indicado: a) y = 2x 2 – 4, [0, 2] c) y = 1 , x < 0 x e) y = log2 x, (0, 7]

2 b) y = – 3x , x ≥ –1 2 d) y = 0,6x, [–3, 3]

f ) y = x , [0, 1]

12 Representa las siguientes funciones: a) f (x) = e–x

b) f (x) = –ln x

c) f (x) = 3 x 261 261

Ejercicios y problemas propuestos Funciones definidas «a trozos»

Transformaciones de una función

13 Representa gráficamente las siguientes funciones:

20 Representa f (x) = 4 – x 2 y, a partir de ella, representa: a) y = f (x) – 3 b) y = f (x + 2) c) y = | f (x)|

si x < 0 –2 a) y = *x – 2 si 0 ≤ x < 4 2 si x ≥ 4

21 Esta es la gráfica de la función y = f (x):

Y 2

–2x – 1 si x ≤ 1 b) y = ) x +1 si x > 1

x 2 – 2x si x < 2 c) y = * 2x – 4 si x ≥ 2 14 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: x 2 – 2x si x ≤ 2 a) y = * si x > 2 3 –x 2 – 4x – 2 si x < –1 b) y = * 2 si x ≥ –1 x –x – 1 si x ≤ –1 c) y = *2x 2 – 2 si –1 < x < 1 x –1 si x ≥ 1

c) y = | f (x)|

22 A partir de la gráfica de f (x) = 1/x, representa: a) g (x) = f (x) – 2 b) h(x) = f (x – 3) c) i(x) = –f (x) d) j(x) = | f (x)| 23 Representa la función f (x) = x y dibuja a partir de ella: a) g (x) = f (x + 1) b) h(x) = f (x) – 3 c) j(x) = | f (x)| 24 Representa las siguientes funciones: a) y =

15 Representa.

1 x +1

c) y = –1 x

1/x si x < 0 a) y = * x si x ≥ 0

b) y =

1 x –1

d) y = –1 x –3

25 Representa las siguientes funciones: a) y = x – 1 b) y = – x + 3 c) y = 2 + x d) y = 1 – x

2x si x < 2 b) y = *–x + 6 si 2 ≤ x < 7 3 si x ≥ 7 16 Representa las siguientes funciones y defínelas como funciones «a trozos»: a) y = |4 – x | b) y = |3x + 6| c) y = x – 3 2

Representa, a partir de ella, las funciones: a) y = f (x – 1) b) y = f (x) + 2

d) y = |–x – 1|

26 Representa estas funciones: a) y = 2x + 1 b) y = 2x – 3 c) y = 2x – 1 e) y = 1 – 2x

d) y = b 1 l 2 –x f) y = 2

x +3

17 Representa estas funciones: a) y = |x 2 – 1| b) y = |x 2 – 4x | c) y = |x 2 + 2x – 3| d) y = |x 2 – 2x + 1|

27 Representa estas funciones a partir de la gráfica de y = log2 x : a) y = 1 + log2 x b) y = log2 (x – 1) c) y = – log2 x d) y = log2 (–x)

18 Representa. a) y = 1 x

28 Expresa estas funciones de la forma y = a(x – m)2 + p y describe las transformaciones que tenemos que hacer para representarlas a partir de y = x2: a) y = x2 – 10x + 16 b) y = 3x2 – 3x + 5 k 29 Expresa las siguientes funciones de la forma y = +b x–a y describe las transformaciones que tenemos que hacer para 1 representarla a partir de y = : x 3 x a) y = b) y = x – 2 x –1 x–4 c) y = 3x + 2 d) y = x + 1 x +1 x –1

c) y =

x x

b) y = |log2 x| d) y = 2|x| + x

19 Representa las funciones siguientes:

262

e x si x < 1 a) y = ) ln x si x ≥ 1

cos x si –π ≤ x < 0 b) y = ) sen x si 0 ≤ x ≤ π

5 – x si x < 3 c) y = * 2 x – 2 si x ≥ 3

2 x – 3 si x < 3 d) y = * x – 3 si x ≥ 3

Para resolver

Composición y función inversa

30 Dadas las funciones f (x) = + 1 g (x) = 3 h(x) = x – 3 x –2 obtén las expresiones de: a) f ° g b) g ° f c) f ° h d) g ° h e) h ° f f) h ° g Halla, si es posible, el valor de las funciones obtenidas en los puntos x = 5 y en x = 0.

36 Obtén la expresión analítica de las siguientes funciones:

g (x) = x + 2

se pueden obtener estas otras: a) m(x) = 2 c) p(x) =

1 +2 x –3

d) q(x) =

e) r (x) =

1 x +1

f ) s (x) =

2x – 1 – 1

c) Y

Calcula sobre la gráfica correspondiente: f –1(2) f –1(1)

b) f (x) = 2x + 3 ;

X 6

4 2 –4 –2 –2

X 6

b) V(–2, 3), P(0, 6)

e) y = arc cos b– 1 l 2

b) y = arc cos 1 2 d) y = arc sen (–1) f ) y = arc tg 3

39 Calcula en radianes. a) arc sen bsen π l 4

c) arc tg btg π l 5 e) sen (arc cos (–1))

f –1(–1)

34 Comprueba si cada par de funciones son una inversa de la otra. Para ello, calcula f ° f –1 o bien f –1 ° f : a) f (x) = 1 ; f –1(x) = 1 – 2 x +2 x f –1(x)

a) y = arc sen 3 2 c) y = arc tg 1

2 2 X

38 Obtén el valor de y en grados y radianes.

a) V(1, – 4), P(–1, 0)

d) y = 2 + log3 (x + 1)

37 Determina, en cada caso, la ecuación de la parábola de la que conocemos el vértice y otro punto.

b) y = 2x – 1

–4

4–x 2x –3

f ) y = 2x – 3 x +1 33 Representa gráficamente la función inversa en cada caso: Y

8 10

–4 –2 –2

e) y = 4 – x , x ≤ 4

32 Halla la función inversa de las siguientes funciones: a) y = 3x – 1 2 c) y = 1 + 2x – 3

–4 –2 –2

b) n(x) = 2 x – 1 + 2

x +1

Y 6 4 2

1 x –3

h(x) =

31 Explica cómo a partir de las funciones f (x) = 2x – 1

2 = x +2 3

c) f (x) = 1 + log2 x ; f –1(x) = 3 ∙ 2x – 1 3 35 Considera la función y = x + 2 , x ∈ [–2, 7]. a) ¿Cuál es su recorrido? b) Obtén su función inversa, y determina el dominio de definición y el recorrido de esta.

b) arc cos (cos π) d) tg (arc tg 1) f ) arc cos (tg π)

En las funciones de oferta y demanda, se llama cantidad de equilibrio al número de unidades que hay que producir para que la oferta y la demanda se igualen, o (x) = d (x); y se llama precio de equilibrio al precio con el cual se consigue esa igualdad. a) Halla el precio y la cantidad de equilibrio de un producto con funciones de oferta y demanda o (x) = 2,5x – 100 y d (x) = 300 – 1,5x (x en euros, d y o en miles de unidades del producto). b) Si el precio del producto es de 80 €, ¿habrá escasez o exceso del mismo? ¿Y si el precio fuese de 120 €? c) ¿Cuáles serían el precio y la cantidad de equilibrio si las funciones de oferta y demanda fuesen o (x) = 0,25x 2 – 100 y d (x) = 185 – 2x ? 263

Ejercicios y problemas propuestos 41 Se sabe que la retención de conocimientos de un curso va disminuyendo con el paso del tiempo. Un estudio de psicología concluye que el porcentaje que se recuerda, t meses después de finalizado el curso, viene dado por la función: R(t) = 94 – 46,8 log (t + 1) a) Calcula el porcentaje del curso que se recordará cuando pase un año. b) ¿Al cabo de cuánto tiempo se recordará la mitad de los conocimientos?

47 Un negocio en el que invertimos 10 000 €, pierde un 4 % mensual. Escribe la función que nos da el capital que tendremos según los meses transcurridos, y represéntala. ¿Cuánto tiempo tardará el capital inicial en reducirse a la mitad? 48 Una taza de café recién hecho está a 75 °C. Después de 3 minutos en una habitación a 21 °C, la temperatura del café ha descendido a 64 °C. Si la temperatura, T, del café en cada instante t viene dada por la expresión T = A e kt + 21, calcula A y k y representa la función. ¿Cuánto tendremos que esperar para que la temperatura del café sea de 45 °C?

42 En cierto país se aplican estos impuestos sobre los salarios mensuales: • 20 % de la parte del salario bruto comprendida entre 800 €, que es el salario mínimo, y 2 500 €. • 40 % de la parte del salario bruto superior a 2 500 €. a) ¿Qué salario neto corresponde a 1 500 € de salario bruto? ¿Y a 3 000 €? b) Escribe la función que da los impuestos a pagar, según el salario bruto x. c) ¿Cuál debe ser, como mínimo, el salario bruto para que el neto sea superior a 2 500 €?

49 Para enviar un paquete desde Adelaida a París, un servicio de correo cobra 50 € por paquetes que pesen hasta 2 kg y 10 € por cada kilogramo o fracción adicional. a) Calcula lo que cuesta enviar un paquete de 5 kg. b) Escribe la expresión analítica del precio de enviar un paquete de x kg para x menor o igual a 8. c) Represéntala gráficamente.

43 Una feria ganadera está abierta al público entre las 10 y las 20 horas. El número de visitantes viene dado por la función N (t) = –20t 2 + Bt + C, donde t es la hora de visita. Sabiendo que a las 17 h se alcanza el máximo de 1 500 visitantes, halla B y C y representa la función.

a) Expresa el área del charco en función del tiempo. b) ¿Cuál será el área del charco al cabo de 10 min? c) ¿Qué relación tiene la función del apartado a) con las funciones f (r) = πr2 y g(t) = 15 ?

44 En un cilindro de radio 8 cm, depositamos una bola esférica de radio x y echamos agua hasta que cubra la bola. Escribe la función que da la cantidad de agua que hay que echar según la medida del radio de la bola.

8 cm

¿Cuál es su dominio de definición?

50 Un charco circular de agua se está evaporando al sol. Al cabo de t minutos, su radio es g(t) = 15 cm. t +2

t +2

51 La recta y = 20x + 1 corta a y = ax en x = 0 y x = 4. a) Calcula a. b) Para ese valor de a, escribe la ecuación de la recta, s, que corta a y = loga x en x = 1 y x = 81. c) ¿Qué relación hay entre las rectas r y s?

Cuestiones teóricas

45 Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cada uno y sabe que por cada 10 euros de subida venderán 2 electrodomésticos menos. a) ¿Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros? b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) ¿Cuál debe ser la subida para que los ingresos de la fábrica sean máximos?

46 Un cultivo de bacterias comienza con 100 células. Media hora después hay 435. Si ese cultivo sigue un crecimiento exponencial del tipo y = kat (t en minutos), calcula k y a y representa la función. ¿Cuánto tardará en llegar a 5 000 bacterias?

53 Dadas f (x) = x2 – x + 1 y g(x) = 1 + x – 3 : 2 4 a) ¿Cuál debe ser el dominio de f para que exista f –1? b) Halla g ° f, y di cómo son entre sí f y g. c) ¿Cuáles son los dominios de f ° g y de g ° f ?

264

¿Verdadero o falso? Justifícalo y pon ejemplos. a) Si a > 0, se cumple al oga x = x. b) La función y = arc cos x corta el eje Y en (0, π/2). c) En la función y = ax no podemos dar a x valores negativos cuando 0 < a < 1. π π d) El dominio de la función y = arc tg x es b– 2 , 2 l . π e) Si x é :0, 2 D entonces arc sen (cos x) = π – x 2

54 Demuestra que y = logb (x – a) e y = logc (x – a) cortan al eje OX en el mismo punto.

58 Si f (x) = ax – 4 y g(x) = bx + 3, determina la condición que deben cumplir a y b para que f ° g (x) = g ° f (x) para todo x.

55 Calcula x en las siguientes expresiones: a) arc tg x = –72° b) arc sen x = 75°

59 ¿Cuántas soluciones tienen estas ecuaciones? a) – 3 x + 4 = log2 x b) ex = x 2 1 c) ex = 4 – x2 d) ln x = x Busca, cuando sea posible, una solución aproximada.

c) arc cos x = π rad 3

d) arc tg x = 1,5 rad

56 ¿Cuántas soluciones puede tener cada uno de estos sistemas? a) *

b) *

y = x2 y = ax + b

c) *

y= x y = ax + b

y = 1/x y = ax + b

Para profundizar 57 Dadas las funciones f (x) = 2x + 1 y g(x) = 1 – x . x +2 a) Represéntalas y di, en cada caso, cuál es su dominio y su recorrido. b) ¿ Cuál es el dominio de f ° g? ¿Y el de g ° f ?

60 Una función f tiene la siguiente propiedad: f (2x + 1) + 3 = 4x2 + 6x + 2 f (1) ¿Cuánto vale f (2)? 61 Definimos la función f (x) = a – ax + b para cualquier par de números reales (a, b). Dos números reales m y n se dice que son sustituibles si existe un par (a, b) tal que la función asociada a ese par cumple f (m) = n y f (n) = m. Comprueba que 2 y 3 son sustituibles. ¿Lo son también 4 y 7? Halla en cada caso a y b.

AUTOEVALUACIÓN

➜

1 Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = x 2 – 2x

b) y =

2 x3 – x2

2 Representa gráficamente las siguientes funciones: –x 2 + 4 si x < 1 a) y = |2x + 3| b) y = ( si x ≥ 1 4–x 3 Representa y = 1 . A partir de ella, dibuja la gráfica de x y = –2x + 5 . x –2 Y 4 Determina la expresión analítica de esta función definida en 2 el intervalo [–6, 6]. ¿Cuál es su X recorrido? 2 4 – 4 –2

7 El precio de venta de un artículo viene dado por la expresión p = 12 – 0,01x (x = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros). a) Si se fabrican y se venden 500 artículos, ¿cuáles serán los ingresos obtenidos? b) Representa la función número de artículos-ingresos. c) ¿Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máximos? 8

La dosis de un fármaco comienza con 10 mg y cada día debe aumentar 2 mg hasta llegar a 20 mg. Se debe seguir 15 días con esa cantidad y a partir de entonces ir disminuyendo 4 mg cada día. a) Representa la función que describe este enunciado y determina su expresión analítica. b) Di cuáles son su dominio y su recorrido.

Meta 11.c. Para estudiar el crecimiento poblacional de una ciudad se requiere una función del tipo P(t) = P0 e kt. Al iniciarse el estudio, la ciudad tenía 50 000 habitantes y 10 años después, 74 590 habitantes. a) Determina la función. b) ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a los 100 000 habitantes?

–2

1 , halla: x –3 b) g [ f (15)] c) f ° g

5 Dadas f (x) = x + 1 , g(x) = a) f [ g (2)]

d) g–1(x)

6 Depositamos en un banco 2 000 € al 6 % anual. a) Escribe la función que nos dice cómo evoluciona el capital a lo largo del tiempo. ¿Qué tipo de función es? Represéntala. b) ¿En cuánto tiempo se duplicará el capital?

anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.

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