Matemáticas orientadas a las enseñanzas Aplicadas 4º ESO

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PROYECTO DIGITAL BANCO DE RECURSOS Y LIBRO DIGITAL

4 ESO

S A C I T Á S M A Z E N A T Ñ A SE N E M S A L A S A D A T ORIEN S A D A C I L AP zález, n o G a r vei .ª J . O l i M , z Cañas, e a n r é e m l i o C ra J ero, R. b J. Cole l A u Z l e A PÉRE Í C I. Gazt R A G R.

SUMA

piezaS

ASÍ ES

tu libro Apertura de unidad

3

Unidad 3

NÚME ROS IRRAC IONAL

1 anayaeducacion.es el número π y

Curiosidades sobre otros irracionales.

s Números reale

ã La diagonal del — √2

Cada unidad comienza con una breve introducción histórica de los contenidos que vas a estudiar.

ales (estudio Números racion ían entre aritmética (técnicas los pitagóricos distingu En el siglo v a. C., propiedades) y logística de los números y sus teórico especulativo dedicación inferior. la consideraban una los planede cálculo). A esta , desde las órbitas de s regían el universo eran los número números los cos, ellos, Según los pitagóri Pero ¡atención!, para números. tas hasta la música. es eran relaciones entre ieron que naturales. Las fraccion ión cuando descubr una auténtica conmoc adas numéricamente; es dePor eso sufrieron . podían ser relacion no relación que esa a des ieran había magnitu que respond figuras números naturales cir, que no había dos se hallaban en sencillas que esas magnitudes Tanto más cuanto razón). geométricas. ales (contrarios a la s los llamaron irracion s, sino como magnitudes número nuevos A estos tratados como número Sin embargo, no fueron 2 000 años. casi geométricas, durante

ro cuadrado: el núme

√2

o

l de un cuadrad el valor de la diagona s nos proporciona El teorema de Pitágora l. de lado 1: 2 2 es un número irraciona d = 1 +1 = 2

1

s expresados

ã Otros irracionale 3

1

rica

Estrella pitagó

los números reales El conjunto de números racionales La idea de que los parte de un único e irracionales forman ra y característiconjunto con estructu muy reciente. es cas muy interesantes real, como ahoEl concepto de número fue concibiendo se os, ra lo manejam evolucionar el estuy construyendo al Su formalización dio de las funciones. alemán Cantor al definitiva se debe (1871).

ES

de dos númeponer como cociente son los que se pueden Números racionales o periódica. n decimal es exacta no pueden obteros enteros. Su expresió es, es decir, los que ales son los no racional Su expresión decimal es infinita no Números irracion de dos números enteros. … nerse como cociente 265359 3,14159 = , π ente inperiódica. Por ejemplo de los cuales son especialm s irracionales, algunos Hay infinitos número algunos. teresantes. Veamos

con las cinco Esta figura, formada o regular, diagonales de un pentágon os. pitagóric era el símbolo de los

les mediante radica

5 , … son irracionales.

5, 8, …, 4 , 10 n p es irracional.

Los números 3, exacta, entonces es una potencia n-ésima En general, si p no √5 + 1 oro: Φ = 2 es el ã El número de no de lado unidad pentágo un de l La diagona es irraciol 2 que, evidentemente, número ( 5 + 1) : mente, el primer número d =F nal. Además, es, histórica de que lo era. cia d del que se tuvo concien (y casi con sorpresa con eron cos descubri una proporción los griegos pitagóri lado no guardaban En el siglo v a. C., l del pentágono y su los números naespanto) que la diagona creía que todo el universo se regía por s se r que no era así es), pero al descubri exacta. Hasta entonce iones entre ellos (fraccion Por eso, llamaron irracional (conturales y las proporc se asomaba a su mundo. l y el lado del pentágono regular. les pareció que el caos la diagona entre relación esta Φ : 1 resultatraria a la razón) a que la proporción griegos consideraron áurea, y a Φ, ión artistas los , proporc Más adelante sa, por lo que la llamaron ba especialmente armonio escultor griego del número áureo. es la inicial de Fidias, letra «F» en griego), ión.

El nombre, Φ (fi, mente esta proporc reiterada utilizó siglo v a. C. que

ã El número π

rencia y su diámelongitud de una circunfe la relación entre la años.

Como sabes, π es desde hace muchos conoces y lo utilizas Su verdadetro. Este número lo suyas: 3,14 o 3,1416. siguientes aproximaciones as.

Has hecho uso de las decimales no periódic cifras infinitas nombre? La palabra ro valor tiene la «p». ¿Por qué este correspondiente a del círculo). π es la letra griega circunferencia (la periferia griega perifereia significa

L 2r

L 2r

=π

18), matemático Georg Cantor (1845-19 de la teoría de el padre alemán considerado conjuntos.

Su lectura enmarca los contenidos dentro del desarrollo histórico de las matemáticas y sirve de motivación para comenzar su estudio.

41

40

llo de la El desarro ividen en unidad se d estos en epígrafes, y s. subepígrafe

Los contenidos más importantes están resaltados.

Los iconos incluidos en algunas actividades sugieren la clave del proyecto que puede aplicarse en cada caso.

Desarrollo de los contenidos y actividades Unidad 6

2

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ã Ecuaciones con radicales

Una ecuación de primer grado es aquella en la que solo aparecen expresiones algebraicas de grado uno. Después de simplificarla, llegaremos a una igualdad del tipo ax + b = 0.

Recordemos, con un ejemplo, los pasos que conviene dar para resolver una ecuación de primer grado que tenga una fisonomía complicada.

3 (x + 1) 5 (x – 1) – 2 = 2x – 3 4

Al-Jwarizmi se educó y trabajó en la Casa de la Sabiduría de Bagdag, un centro de investigación comparable con la Biblioteca de Alejandría.

• 0x = b, con b ≠ 0 La ecuación no tiene solución.

• 0x = 0 La ecuación tiene infinitas soluciones. Es una identidad.

3x + 3 – 2 = 2x – 5x – 5 3 4

Quitar denominadores. Se multiplican los dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

mín. c. m. (4, 3) = 12 12 (3x + 3) 12 (5x – 5) – 12 · 2 = 12 · 2x – 3 4 3(3x + 3) – 24 = 24x – 4(5x – 5)

anayaeducacion.es Resuelve ecuaciones con radicales.

9x + 9 – 24 = 24x – 20x + 20 8

Problemas resueltos

8 9x – 15 = 4x + 20 8

1 Con motivo de la jubilación

Reducir cada miembro y transponer términos.

8 9x – 4x = 20 + 15 8 5x = 35

Despejar la incógnita y hallar la solución.

x = 35 → x = 7 5

Comprobar si el valor obtenido satisface la igualdad.

Sustituyendo en cada miembro, debe obtenerse el mismo resultado.

3 (7 + 1) – 2= 3·8 – 2=6 – 2=4 4 4 2·7–

5 (7 – 1) = 14 – 5 · 6 = 14 – 10 = 4 3 3

Existen expresiones que parecen ecuaciones de primer grado y que, sin embargo, no tienen solución o tienen infinitas soluciones. Por ejemplo: • 4x – 6 = 4(x + 3) → 4x – 6 = 4x + 12 → 0 · x = 18

Piensa y practica

a) 3(x + 1) = 21 8 3(x) = 21 – 1 b) 5(x – 2) + 3 = 10 8 (x – 2) + 3 = 10/5

x 2 + 5 = 2x – 1 ( x 2 + 5) 2 = (2x – 1) 2 8 x 2 + 5 = 4x 2 – 4x + 1 • Reducimos la ecuación a la forma general y la resolvemos: x1 = 2 4 ± 16 + 48 4 ± 8 3x 2 – 4x – 4 = 0 → x = = 6 6 x 2 = –2/3 • También aquí será necesario comprobar las soluciones, ya que, al elevar al cuadrado, pueden aparecer soluciones que no lo son de la ecuación original.

Ejemplos. Para practicar los procedimientos más importantes.

2

Comprueba que 2 2 + 5 + 1 = 2 · 2 y que c –2 m + 5 + 1 ≠ 2 c –2 m.

3 3

2 Para salvar un desnivel de

un metro, se ha construido una rampa que es 10 cm más larga que su proyección horizontal. ¿Cuál es la longitud de la rampa?

Finalmente participan x empleados, y cada uno deberá poner 240 euros. x 240 euros. x–4

Originalmente eran x – 4, y a cada uno le tocaba pagar La diferencia entre ambas cantidades es de 10 €:

240 – 240 = 10 → 240x – 240(x – 4) = 10x (x – 4) → x x–4 x 1 = 12 → 10x 2 – 40x – 960 = 0 → x 2 – 4x – 96 = 0 x 2 = –28 Solución: Finalmente participan 12 compañeros en la compra del regalo.

La longitud de la rampa, x, se diferencia en 1m 0,1 m de su proyección horizontal.

x

Es decir, x – x 2 – 1 = 0, 1.

— √x 2 – 12

x – 0,1 = x 2 + 1 → (x – 0,1)2 = x 2 – 1 → x 2 – 0,2x + 0,01 = x 2 – 1 → → –0,2x = –1,01 → x = 5,005 m Solución: La rampa mide 5 m y 5 mm.

3 Resuelve.

4 Una comerciante de un mercadillo ha obtenido 240 €

a) x – 3 = 0

b) x + 2 = x

c) 4x + 5 = x + 2

d) x + 1 – 3 = x – 8

d) (4x – 9)/3 = 5 8 4x/3 = 5 + 9

e) 3 x – 1 = 2x – 11

f ) x = 2x 2 – 1

e) 10(x + 3) = 40 – x 8 x + 3 = 40/10 – x

g) 2x 2 – 2 = 1 – x

h) 3x 2 + 4 = 5x + 6

c) 3 – x/2 = 6 8 3 – x = 6 · 2

+ 5 + 1 = 2x .

• Aislamos el radical en un miembro, pasando al otro lo demás: • Elevamos al cuadrado los dos miembros:

Piensa y practica

anayaeducacion.es Iniciación. Resuelve ecuaciones con denominadores muy sencillos.

Encuentra el error en cada transformación:

Resolvamos la ecuación

x2

En este caso, x = 2 es solución, pero x = –2/3 no lo es.

de un empleado, varios compañeros deciden regalarle, como recuerdo, un reloj que cuesta 240 €. Al conocer la idea, se apuntan otros cuatro más y, así, tocan todos a 10 € menos. ¿Cuántos participan finalmente en la compra del regalo?

No puede ser 0 · x = 18. Por tanto, la ecuación no tiene solución.

• 4x – 6 = 4(x – 2) + 2 → 4x – 6 = 4x – 6 → 0 · x = 0 0 · x = 0 es cierto cualquiera que sea x, pues 0 = 0. Por tanto, la ecuación tiene infinitas soluciones.

1

No lo olvides Para resolver una ecuación en la que aparece un radical: • Se aísla el radical en uno de los miembros.

• Se elevan al cuadrado los dos miembros, con lo que desaparece el radical.

• Se resuelve la ecuación resultante.

• Se comprueba la validez de cada solución sobre la ecuación inicial.

Quitar paréntesis, si los hay.

ã Ecuaciones anómalas Casos especiales

Ejemplo

por la venta de cierta cantidad de camisas. Habría obtenido lo mismo vendiendo 6 unidades menos, pero dos euros más caras. ¿Cuántas camisas ha vendido?

5 Piensa en un triángulo rectángulo y escribe el enun-

ciado de un problema que se resuelva con la ecuación x 2 + 8 2 = x + 2. Da la solución.

94

103

Piensa y practica. Son ejercicios de aplicación directa de la teoría que se acaba de explicar.

del proyecto

Las claves

ODS Compromiso ODS

Plan Lingüístico

Desarrollo del pensamiento

Aprendizaje cooperativo

Descubre los Objetivos de Desarrollo Sostenible y forma parte activa de nuestro compromiso para lograr un mundo más igualitario y habitable.

Pon en práctica tus destrezas comunicativas en los diferentes tipos de texto que te proponemos. El lenguaje siempre está presente, ¡comunícate!

Trabaja estrategias de pensamiento: reflexiona sobre los contenidos que estás aprendiendo, genera ideas, organízalas, priorízalas, arguméntalas, exponlas…

Implícate en tu aprendizaje y participa en el de todo el grupo; comprobarás que cooperar mejora el rendimiento y la convivencia en clase.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS 5 LA SEMAJANZA EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

nar Recuerda seleccio o. para tu portfoli

tronco de cono de 9 cm de altura sabiendo que los radios de sus bases miden 20 cm y 8 cm.

1

x 8

9

de esta unidad

Ejercicios y problemas.

Contemplan la aplicación de todos los contenidos que se han ofrecido a lo largo de la unidad.

Unidad 12

lemas 5

Para cada uno de los siguientes casos: — Indica cuáles son las variables que se relacionan.

— Indica si se trata de una relación funcional o de una relación estadística.

Ampliamos el tronco hasta completar un cono. Llamamos x al incremento de la altura. Tenemos en cuenta la semejanza de los dos triángulos: el pequeño, de catetos 8 y x ; y el grande, de catetos 20 y x + 9:

Vtronco = 1 π · 202 · (9 + 6) – 1 π · 82 · 6 = 1 π (6 000 – 384) = 5 881,06 cm3 3 3 3

d) Longitud de un palmo en un estudiante - Número de calzado que usa.

4 ¿Cuál es la superficie de

tierra que se ve desde 1 000 km de altura?

La superficie de tierra que se ve al mirar la Tierra (o cualquier otra esfera grande) a una cierta distancia es un casquete esférico. (La línea del horizonte es la circunferencia en la que el cono formado por las visuales es tangente a la esfera).

e) Número de médicos y médicas por cada mil habitantes - Índice de mortalidad infantil.

Recordar que el radio de la Tierra es de 6 371 km.

Llamamos d = 1 000 km a la distancia desde el punto de mira a la esfera; R = 6 371 km, al radio de la esfera, y h, a la altura del casquete esférico cuya área queremos calcular.

R+d

R–h

2

3

Para calcular h, tenemos en cuenta que el triángulo rectángulo verde es semejante al grande: R = R – h 8 6 371 = 6 371 – h 8 R+d R 7 371 6 371 8 6 3712 = 7 371 · 6 371 – 7 371h 8 8 h = 864,33 km

5 5

1

3

6

12

18

12

18

24

16

15

14

13

14

14

12

13

anayaeducacion.es GeoGebra. Triángulos semejantes en el espacio.

8 Calcula el volumen de un tronco de cono cuya altura

10 Un globo sube 643 m sobre la superficie de la

es 9 cm y cuyas bases tienen radios de 20 cm y 35 cm.

xi 158 162 164 165 168 169 172 172 174 178 yi 163 155 160 161 164 158 175 169 166 172

f ) Estima el tiempo que dormiría un bebé de 9 meses.

gún sabemos, es de 3 500 km.

Averigua qué superficie de Luna se ve desde el cohete cuando se encuentra a 1 000 km de distancia.

Lados de los cuadrados: 40 cm y 16 cm Altura: 9 cm

Las estaturas de 10 chicas (xi ) y las de sus respectivas madres (yi ) son:

Están convenientemente clasificados y para cada uno de ellos se especifica su grado de dificultad, de uno a tres.

Representa los valores sobre papel cuadriculado mediante una nube de puntos, traza a ojo la recta de regresión y di si la correlación es positiva o negativa y más o menos fuerte de lo que esperabas.

e) Elige uno de los siguientes valores para el coeficiente de correlación: 0,81; –0,24; –0,79; 0,32.

11 Un cohete se aproxima a la Luna, cuyo diámetro, se-

drangular regular cuyas bases son cuadrados.

10 10

d) Ordena de menor a mayor las correlaciones de las cuatro (en valor absoluto): en primer lugar, la que presenta correlación más débil, y, en último lugar, aquella cuya correlación es más fuerte.

6

c) Representa la nube de puntos.

4

5 5

c) Una de ellas presenta relación funcional. ¿Cuál es? ¿Cuál es la expresión analítica de la función que relaciona las dos variables?

b) ¿Es una relación estadística o funcional?

Tierra. Averigua qué superficie terrestre se verá desde arriba.

10 10

b) ¿Cuáles de ellas tienen correlación positiva y cuáles tienen correlación negativa?

d) Indica si la correlación es positiva o negativa, fuerte o débil.

Piensa y practica

10 10

D D

5 5

5 5

Estos son los resultados que hemos obtenido al medir las horas de sueño diarias de varios bebés de distintas edades (en meses): edad

5 5 10 10

5 5

En cada uno de los apartados del ejercicio anterior, estima si la correlación será positiva o negativa, fuerte o débil.

horas

10 10

C C

10 10

a) ¿Es una distribución bidimensional? ¿Cuáles son las variables que se relacionan? ¿Y los individuos?

Acasquete = 2π · 6 371 · 864,33 = 34 599 280 ≈ 34 600 000 km2

9 Calcula el volumen de un tronco de pirámide cua-

5 5

f ) Velocidad con que se lanza una pelota hacia arriba Altura que alcanza.

Recordemos que Acasquete = 2πRh.

R

B B

10 10

a) Tamaño de la vivienda - Gasto en calefacción.

c) Metros cúbicos de gas consumidos en una casa Coste del recibo del gas.

h

A A

5 5

b) Número de personas que viven en una casa - Litros de agua consumidos en un mes.

El volumen del tronco de cono es la diferencia de volúmenes de dos conos:

d

a) Traza, a ojo, la recta de regresión en cada una de estas cuatro distribuciones bidimensionales: 10 10

— Di si se trata de una distribución bidimensional.

20

x = x + 9 → 20x = 8x + 72 → 12x = 72 → x = 6 cm 8 20 anayaeducacion.es Resuelve problemas guiados con triángulos semejantes en el espacio.

de trabajo

Practica

Problemas resueltos 3 Hallar el volumen de un

Ejercicios y problemas resueltos.

Se muestran estrategias, sugerencias, pistas y formas de pensar que te serán útiles para enfrentarte a la resolución de problemas similares.

el material

Ejercicios y prob

Representa el diagrama de dispersión correspondiente a la siguiente distribución y di cuál de estos valores puede ser su coeficiente de correlación: r=1 r = –0,25 r = –1 r = –0,63 x

1

2

3

4

5

6

y

10

8

6

4

2

0

166

199

autoevaluación y curiosidades matemáticas Unidad 3

Ejercicios y problemas 36

Racionaliza y simplifica.

2 3 b) a) 3 2 3 d) 4 e) 3 2 6 12

c) 3 15 f ) 32 5 Racionaliza, y simplifica si es posible. a 1+ 2 a) 3 b) c) a +1 1+ 3 1– 2 38 Di el valor de k en cada caso: b) 3 k = –2 c) 4 k = 3 a) k 243 = 3 2 d) k –125 = –5 e) 3 k = –1 f ) k 49 = 7 64 8

45

El lado de un cuadrado mide (1 + 20) cm. Los lados de un rectángulo miden ( 45 – 1) cm y ( 5 + 3) cm. ¿Cuál de los dos tiene mayor perímetro? ¿Y mayor área?

46

Las diagonales de un rombo miden 8 3 cm y 12 3 cm. Calcula el área del rombo y su perímetro.

Expresa el resultado con radicales, si es necesario.

47

El volumen de un cilindro de 5 cm de altura es 60 π cm3.

37

a) ¿Cuánto mide su radio? b) Calcula su área lateral. Da en ambos casos el valor exacto (utiliza radicales y π).

48

Halla el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble de la base cuya longitud es 3 cm. Expresa el resultado con radicales.

49

Calcula el perímetro de los triángulos ABC, DEF y GHI. Expresa el resultado con radicales.

Resuelve problemas 39

Indica si el número que se obtiene en cada caso es racional o irracional: a) La diagonal de un cuadrado de lado 2 cm.

4u

b) El área de un círculo de radio 2 cm.

Curiosidades matemáticas. Aquí puedes encontrar lecturas, actividades, consejos, informaciones… para contemplar desde otro punto de vista la materia trabajada en la unidad correspondiente.

c) El cateto de un triángulo rectángulo cuyos lados miden 24 cm y 25 cm.

40

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 2 6 m, y uno de los catetos, 2 3 m. ¿Cuánto mide el otro cateto? ¿Y su área? Da los valores exactos; es decir, con radicales.

41

Si el radio de un CD mide 6 cm, ¿es posible guardarlo en un sobre cuadrado de 16 cm de diagonal? ¿Y de 17 cm de diagonal?

42

Un cuadrado de 6 cm de lado está inscrito en un círculo. Calcula: a) El radio del círculo y su área.

A

D

C

I B

50

51

b) El perímetro del triángulo ABC, del que AB es un lado del cuadrado y C es el punto medio del lado opuesto.

G

F

E

H

44

Comprueba, sin resolver la ecuación, si alguno de los números 1 – 3 o 3 + 2 es solución de: x 2 – 6x + 7 = 0

6 2 2

AUTOEVALUACIÓN

¿Verdadero o falso? Justifica tu respuesta. a) 16 + 25 = 9 b) 3 (–8) –3 = 1 2 c) 64 – 16 = 4 3 d) 4 (–10) 2 = 10 3 =3+ 6 e) f ) 20 – 45 + 5 = 1 3– 2

anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios y una autoevaluación interactiva.

1 Clasifica los siguientes números como naturales, ente-

ros, racionales, irracionales y reales: !

7 7,53; 64; ; – 5; π ; 3, 23 ; 2 4

7 11 2 Escribe en forma de intervalo y representa estas desigualdades: a) –3 < x ≤ 5 b) 0 ≤ x < 5 c) –5 < x d) x ≤ 1

e) –1 ≤ x < 2

f ) 5 < x < 11

g) x < –2

h) x ≥ 0

i) –3 < x ≤ –1

b) (–∞, 3]

c) [0, 4]

d) (1, +∞)

e) [–3, 2)

f) (–∞, 0)

g) (3, 4)

h) (1,5; 4] b) k –125 = –5

a)

34

b) `7 125j

c) 8 6 10

e) 4 8 : 4 2

f)

4

3 15

d) 3 60 · 3 18

3

64

6 Opera: 12 + 48 – 27 – 75 7 Suprime el radical del denominador y simplifica.

a)

3 Escribe en forma de desigualdad y representa.

a) (–3, 9)

5 Simplifica y, si es posible, extrae factores.

3 5 3

b)

14 7

c)

4

5

1 a3

8 Tenemos un cuadrado de lado `2 + 5j cm y un rec-

i) [0,5; +∞)

tángulo de 2 cm de altura y base variable. a) ¿Cuánto debe medir la base del rectángulo para que los dos cuadriláteros tengan el mismo perímetro?

c) 625 = k

b) ¿Cuál de los dos tiene mayor área?

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS B

Infórmate

Una pirámide regular tiene por base un cuadrado inscrito en un círculo de radio 4 cm. Las aristas laterales miden 8 cm.

Calcula la altura de un tetraedro regular de 8 cm de arista. Expresa el resultado con radicales.

h

6

4 Halla el valor de k en cada caso:

b

En páginas anteriores se habla del número de oro número identificado entre los no racionales.

eF =

5 +1 o como el primer 2

c a

Ya Platón (428-347 a. C.), en la antigua Grecia, hablaba de él como la divina proporción y como la mejor de todas las relaciones matemáticas.

El hecho es que su presencia en las dimensiones de los objetos les aporta armonía y belleza. Y numerosos artistas, sabiéndolo, lo han introducido en sus obras a lo largo de la historia.

h

h/3

2h/3

Todo lo anterior se puede apreciar en obras tan famosas como el Partenón de Atenas, y el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, o en objetos tan cotidianos como las tarjetas de crédito.

Compromiso

52

Visualiza el vídeo meta 5.2, piensa en una acción con la que podrías contribuir al logro de esa meta y comprométete a llevarla a cabo.

rás ación. Pod Autoevalu do n ta n r, inte comproba es d a id v s acti resolver la si , n e n o p pro que se te á st e je a diz tu apren deseado. siendo el

d

Su aparición no es casual, hasta el punto de que se podría decir que lo llevamos grabado de forma inconsciente en nuestra mente. Pondremos un ejemplo: si te piden que dibujes, a bote pronto, un rectángulo, lo harás, seguramente, de forma que la proporción entre el lado largo y el lado corto se aproxime al número de oro.

4 cm

52

54

A

8 cm

Averigua para qué valores de x se pueden calcular las siguientes raíces: b) 5 – x c) –x d) x 2 + 1 a) x – 7

Halla el volumen de un octaedro regular cuya arista mide 6 cm. Expresa el resultado con radicales.

a) 3 k = 7

Los puntos A y B dividen la diagonal del cuadrado en tres partes iguales. Si el área del cuadrado es 36 cm2, ¿cuánto medirá el lado del rombo? Expresa el resultado con radicales.

Calcula el volumen de la pirámide.

Expresa los resultados con radicales y π.

43

53

b = d =Φ a c m

n

m =Φ n 53

Educación emocional

Cultura emprendedora

TIC

académica y profesional

Evaluación

Aprende a conocerte; identifica las situaciones que te generan emociones bloqueantes y gestiónalas con experiencias de autoafirmación constructiva.

Confía en tus aptitudes y conocimientos, desarrolla la creatividad, adáptate a las situaciones cambiantes y ten una actitud proactiva y responsable.

Aprende a obtener información, seleccionarla y aplicarla; a planificar, gestionar y elaborar trabajos; a colaborar en Red de forma ética y segura.

Valora tus capacidades personales, descubre y despierta tu vocación, entrénate en la toma de decisiones y aprende a orientarte entre distintas opciones.

Descubre diversas estrategias para analizar qué has aprendido y cómo lo has aprendido; entrénate para asumir compromisos o superar dificultades.

Orientación

ASÍ ES

el proyecto

digital

libro digital Banco de recursos

Regístrate en www.anayaeducacion.es. Solo necesitas tener un correo electrónico, el código que se indica en la primera página de este libro y el permiso de tu padre, madre, tutor o tutora legales. Así podrás acceder al banco de recursos y descargar el libro digital.

Una versión digital de tu libro, que podrás usar en condiciones offline y online, con acceso a los recursos digitales tanto agrupados por tipologías como asociados a los contenidos de cada unidad.

Un espacio con recursos, técnicas y actividades, diseñado para afianzar tus conocimientos.

Más sobre las claves

Recursos relacionados con

LAS CLAVES del proyecto ODS

Compromiso ODS, con microvídeos que te ayudarán a conocer cuáles son las metas para alcanzar los Objetivos de Desarrollo Sostenible trabajadas en el proyecto.

Plan Lingüístico, con infografías que te darán las pautas para abordar el trabajo por medio de distintos tipos de textos (descriptivo, narrativo, expositivo, etc.).

Desarrollo del pensamiento, donde se incorporan explicaciones sobre cómo aplicar las distintas estrategias de pensamiento planteadas en el proyecto.

Aprendizaje cooperativo, que incluye la descripción de las técnicas de aprendizaje cooperativo propuestas en el proyecto.

Educación emocional, con orientaciones para superar la inquietud generada en diferentes situaciones de tu proceso de aprendizaje (inicio del curso, enfrentarte a un examen, etc.).

TIC, mediante fichas que reforzarán tu uso saludable, correcto y seguro de las tecnologías de la información y la comunicación.

Orientación académica y profesional, con información sobre diferentes profesiones vinculadas a los contenidos tratados en la asignatura.

0:40/1:33

Evaluación, se presentan orientaciones para hacer tu portfolio, así como rúbricas y dianas que facilitan tu autoevaluación.

Recursos DESTACADOS de la materia Tutoriales Actividades con GeoGebra Glosario Aprende jugando Autoevaluaciones

Recursos clasificados por unidades

Todos los recursos clasificados para que puedas localizar fácilmente los relacionados con cada apartado de tu unidad.

ASÍ SON

LOS contenidos del curso

1

Números enteros y fraccionarios

Pág. 10

1. Números naturales.............................................................. 11 2. Otras formas de contar .................................................... 12 3. Números enteros ................................................................ 14 4. Fracciones ............................................................................. 16 5. Potencias ............................................................................... 20 Ejercicios y problemas ......................................................... 22 Autoevaluación......................................................................... 25 Curiosidades matemáticas................................................... 25

2

Números decimales

Pág. 26

1. Importancia del sistema de numeración decimal ... 27 2. Tipos de números decimales .......................................... 28 3. De decimal a fracción ....................................................... 29 4. Cantidades aproximadas. Errores ................................ 30 5. La notación científica ........................................................ 33 Ejercicios y problemas ......................................................... 35 Autoevaluación......................................................................... 39 Curiosidades matemáticas................................................... 39

4

Problemas aritméticos

Pág. 54

1. Proporcionalidad simple ..................................................

2. Proporcionalidad compuesta ........................................

3. Repartos proporcionales .................................................

4. Cálculos con porcentajes .................................................

5. Préstamos y depósitos......................................................

6. Otros problemas aritméticos .........................................

Ejercicios y problemas .........................................................

Autoevaluación.........................................................................

Curiosidades matemáticas...................................................

5

Polinomios

Ecuaciones

58 59 64 66 69 73 73

Pág. 76

1. Monomios...............................................................................

2. Polinomios. Operaciones..................................................

3. Preparación para ecuaciones .........................................

4. División de polinomios .....................................................

5. Raíces de un polinomio ....................................................

6. Factorización de polinomios ..........................................

Ejercicios y problemas .........................................................

Autoevaluación.........................................................................

Curiosidades matemáticas...................................................

6

55 56

77 78 80 82 85 86 88 91 91

Pág. 92

1. Identidades y ecuaciones................................................. 93 2. Ecuaciones de primer grado .......................................... 94 3. Ecuaciones de segundo grado ...................................... 98 4. Otros tipos de ecuaciones .............................................. 102 Ejercicios y problemas ......................................................... 104 Autoevaluación......................................................................... 107 Curiosidades matemáticas................................................... 107

3

Números reales

Pág. 40

1. Números irracionales .........................................................

2. Números reales: la recta real ..........................................

3. Tramos de la recta real: intervalos y semirrectas ...

4. Raíces y radicales ...............................................................

5. Operaciones con radicales ..............................................

Ejercicios y problemas .........................................................

Autoevaluación.........................................................................

Curiosidades matemáticas...................................................

41 42 44 46 47 50 53 53

7

Sistemas de ecuaciones

Pág. 108

1. Sistemas de ecuaciones lineales.................................... 109 2. Resolución de sistemas de ecuaciones ...................... 110 3. Sistemas de ecuaciones lineales más complejos ... 112 4. Sistemas no lineales ........................................................... 113 5. Resolución de problemas mediante sistemas ......... 114 Ejercicios y problemas ......................................................... 116 Autoevaluación......................................................................... 119 Curiosidades matemáticas................................................... 119

8

Funciones. Características

Pág. 122

1. Conceptos básicos.............................................................. 123 2. Cómo se presentan las funciones ................................ 124 3. Funciones continuas. Discontinuidades ..................... 127 4. Crecimiento, máximos y mínimos ................................ 128 5. Tendencia y periodicidad ................................................ 130 Ejercicios y problemas ......................................................... 132 Autoevaluación......................................................................... 135 Curiosidades matemáticas................................................... 135

9

Funciones elementales

Pág. 136

1. Funciones lineales ............................................................. 137 2. La parábola: una curva muy interesante ................... 140 3. Funciones cuadráticas. Parábolas ................................ 141 4. Funciones radicales ........................................................... 143 5. Funciones de proporcionalidad inversa ..................... 144 6. Funciones exponenciales................................................. 146 Ejercicios y problemas ......................................................... 148 Autoevaluación......................................................................... 151 Curiosidades matemáticas................................................... 151

10

Aplicaciones de la semejanza

12 Pág. 154

1. Semejanza.............................................................................. 155 2. Homotecia.............................................................................. 158 3. Rectángulos de dimensiones interesantes ............... 160 4. Semejanza de triángulos ................................................. 162 5. La semejanza en los triángulos rectángulos............. 164 Ejercicios y problemas ......................................................... 167 Autoevaluación......................................................................... 171 Curiosidades matemáticas................................................... 171

11

estadística

Pág. 174

1. Conceptos básicos.............................................................. 175 2. Tablas de frecuencias ........................................................ 176 3. Parámetros estadísticos: x– y q ................................... 178 4. Parámetros de posición ................................................... 180 5. Diagramas de caja .............................................................. 182 6. Estadística inferencial........................................................ 184 Ejercicios y problemas ......................................................... 186 Autoevaluación......................................................................... 189 Curiosidades matemáticas................................................... 189

Distribuciones bidimensionales

Pág. 190

1. Distribuciones bidimensionales ..................................... 191 2. El valor de la correlación ................................................. 194 3. La recta de regresión para hacer estimaciones....... 196 4. Distribuciones bidimensionales con calculadora ............................................................................ 198 Ejercicios y problemas ......................................................... 199 Autoevaluación......................................................................... 201 Curiosidades matemáticas................................................... 201

13

Probabilidad

Pág. 202

1. Obtención de probabilidades: ¿experimentación o cálculo matemático? ................ 203 2. Sucesos aleatorios............................................................... 204 3. Probabilidad de un suceso............................................... 2 06 4. Probabilidad en experiencias regulares.

Ley de Laplace...................................................................... 208 5. Experiencias compuestas. Diagramas en árbol ...... 209 6. Tablas de contingencia...................................................... 212 Ejercicios y problemas ......................................................... 214 Autoevaluación......................................................................... 217 Curiosidades matemáticas................................................... 217

9

funciones elementales Buscando la precisión del concepto Durante los siglos xix y xx se produjeron apasionantes discusiones sobre qué requisitos eran imprescindibles para definir una función y cuáles no.

A lo largo de ese proceso, numerosos matemáticos, entre los que destacan Dirichlet, Riemann y Weierstrass, fueron perfilando el concepto, tratando de dar una definición precisa de función. Hasta que, en 1923, se llegó a la siguiente definición, muy parecida a la que se usa actualmente: Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = f (x).

Funciones honestas, segun Poincaré Pero en esta búsqueda de la precisión, se generaron una serie de funciones estrafalarias que contrariaron a Poincaré, incómodo con la deriva que estaba llevando la definición de función, lo que le llevó, en 1899, a afirmar lo siguiente: «Durante medio siglo hemos visto una masa de funciones extrañas construidas de modo que se parezcan lo menos posible a las funciones honestas que sirven a algún propósito. Antes, cuando se inventaba alguna función, era con alguna meta práctica. Hoy son inventadas con el fin de mostrar que el razonamiento de nuestros antecesores fue erróneo».

En esta unidad vamos a dedicarnos a esas funciones honestas que propugnaba el gran Poincaré, esas funciones que sirven para algo más que para construir o desmontar conceptos.

Henri Poincaré (1854-1912) es uno de los grandes matemáticos de la historia. Sus contribuciones abarcan todos los ámbitos de la disciplina matemática.

136

Unidad 9

1

FUNCIONES LINEALES ã Funciones lineales en la vida cotidiana La naturaleza, la ciencia, la técnica, la economía… están plagadas de funciones en las que las variaciones de las causas influyen proporcionalmente en las variaciones de los efectos. Todas estas funciones se llaman lineales y se representan mediante rectas. Veamos algunos ejemplos: ➜ relación entre la temperatura en °C y en °F (fahrenheit)

200

°F

(100, 212)

Un europeo en EE. UU. realiza la siguiente experiencia: mide distintas temperaturas con dos termómetros, uno en grados centígrados (°C) y otro en grados Fahrenheit (°F). He aquí algunos resultados: 0 °C → 32 °F, 10 °C → 50 °F, 60 °C → 140 °F, 100 °C → 212 °F

150

Llamando:

(60, 140)

x = temperatura en °C

y = 32 + 1,8x 100

50

°C 100

(10, 50) (0, 32)

0

50

°F 212

y = temperatura en °F los resultados anteriores responden a la relación y = 32 + 1,8x. (Compruébalo).

Por ejemplo:

0

32

°C 100

— A 30 °C le corresponden 32 + 1,8 · 30 = 86 °F. — A 100 °F le corresponden:

!

100 = 32 + 1,8x → x = 100 – 32 = 37,7 °C 1, 8

➜ alargamiento de un muelle alargamiento de un muelle

Si de un muelle colgamos distintas pesas, se producen diversos alargamientos.

Es decir, la longitud del muelle es función del peso que se cuelga. Y es interesante destacar que esta función es lineal. longitud (cm) En concreto, supongamos que el muelle sin estirar mide 30 cm y que se alarga 15 cm por cada kilogramo que colguemos. Entonces, la relación es: y = 30 + 15x ( y: longitud en cm; x : peso en kg) El dominio de definición de esta función es [0, 6], suponiendo que para pesos de más de 6 kg el muelle se deteriora.

100 y = 30 + 15x 50 peso (kg)

0

1

2

3

4

5

6

Piensa y practica 1 Copia y completa, en tu cuaderno, las igualdades si-

guientes: a) –50 °C = … °F b) 95 °F = … °C

2 Un termómetro clínico abarca temperaturas desde

35 °C a 41 °C. ¿Cuál es la gama en °F?

3 La temperatura normal de una persona sana es de

36,5 °C. ¿Cuál es en °F?

4 a) ¿Qué longitud alcanzará el muelle del ejemplo ante-

rior si le colgamos una pesa de 4,6 kg?

b) ¿Qué peso hay que colgar del muelle para que alcance una longitud de 1 m?

137

1 FUNCIONES LINEALES

ã Distintos tipos de funciones lineales ➜ función de proporcionalidad: y = mx Ejemplo El espacio recorrido con movimiento uniforme (velocidad constante) en función del tiempo es:

Las funciones de proporcionalidad se representan mediante rectas que pasan por el origen. Describen una proporción entre los valores de las dos variables.

La pendiente de la recta es la razón de proporcionalidad, m.

Y

e=v·t

y = mx

v es la pendiente de la recta que relaciona e con t.

X

➜ función constante: y = n Ejemplos

Se representa mediante una recta paralela al eje X. Su pendiente es 0.

• El precio de la comida en algunos restaurantes es constante, no depende de la cantidad que nos sirvamos.

• La distancia de un satélite artificial a la Tierra es constante, no varía con el tiempo.

La recta y = 0 coincide con el eje X.

anayaeducacion.es GeoGebra.

Representación gráfica de una función lineal.

Y n

32

X

➜ expresión general: y = mx + n

F

100

y=0

En estas rectas, todos los puntos tienen la misma ordenada. Por ejemplo, (2, 5), (6, 5), (11, 5) son puntos de la recta y = 5.

Su representación es una recta de pendiente m que corta al eje Y en el punto (0, n). Al número n se le llama ordenada en el origen.

Y 200

y=n

y = mx + n n F = 32 + 1,8C C 50 100

X

Por ejemplo, la recta F = 32 + 1,8 C, representada en el margen, permite pasar de una temperatura en grados centígrados, C, a la correspondiente en grados Fahrenheit, F.

Piensa y practica 5 Representa.

a) y = 2x

8 Un móvil, en el instante inicial, se encuentra situado a

b) y = 2 x 3

c) y = – 1 x 4

d) y = – 7 x 3

b) y = –2

c) y = 0

d) y = –5

3 m del origen y se aleja progresivamente de este con una velocidad de 2 m/s.

Halla la ecuación de su posición en función del tiempo y represéntala.

6 Representa.

a) y = 3 7 Representa.

a) y = 2x – 3 c) y = – 1 x + 5 4 138

b) y = 2 x + 2 3 d) y = –3x – 1

9

Un móvil, que en el instante inicial llevaba una velocidad de 8 m/s, frena de repente con una aceleración de –1 m/s2.

Escribe la ecuación de la velocidad en función del tiempo y represéntala.

Unidad 9

ã Ecuación de una recta en la forma punto-pendiente Con mucha frecuencia hemos de escribir la ecuación de una recta de la cual conocemos un punto y la pendiente. La damos a continuación:

Atención Esta fórmula es muy útil. ¡Aprende a usarla!

Punto: P(x0, y0)

Pendiente: m

Ecuación: y = y0 + m(x – x0)

justificación

• y = y0 + m (x – x0) es una expresión de 1.er grado. Por tanto, es una recta.

• El coeficiente de la x es m. Por tanto, su pendiente es m.

• Si damos a x el valor x0 → y = y0 + m (x0 – x0) = y0 + m · 0 = y0. Para x = x0

hemos obtenido y = y0, es decir, pasa por (x0, y0).

(x2, y2) y2 – y1

y2 – y1 m = –––––– x2 – x1

(x1, y1) x – x 2 1

➜ recta dada por dos puntos

Para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, procedemos así: • A partir de los dos puntos, obtenemos su pendiente.

• Con la pendiente y uno de los puntos, obtenemos la ecuación.

Ejercicio resuelto

anayaeducacion.es Repasa la ecuación punto-pendiente.

Hallar la ecuación de cada una de las rectas siguientes:

a) Ecuación: y = 7 – 3 (x + 5). Esto ya es la ecuación de la recta.

5

a) Pasa por (–5, 7) y tiene una pendiente de –3 .

5

Podemos simplificarla: y = 7 – 3 x – 3 · 5 → y = 4 – 3 x 5 5 5

b) Pasa por (0, 4) y tiene una pendiente de 7 .

3 c) Pasa por (–2, 7) y por (4, 5).

b) y = 4 + 7 x. Observa que (0, 4) está en el eje Y. Es decir, 4 es la ordenada en el 3 origen. c) Empezamos hallando su pendiente: m = 5 – 7 = –2 = – 1 3 6 4 – (–2) Ecuación de la recta que pasa por (–2, 7) y cuya pendiente es – 1 : 3 y = 7 – 1 (x + 2) (*) 3 También podríamos hallarla a partir del otro punto:

Ecuación de la recta que pasa por (4, 5) y cuya pendiente es – 1 : 3 y = 5 – 1 (x – 4) (**) 3 ¿Coincidirán? ¡Naturalmente! Puedes comprobarlo simplificando las ecuaciones (*) y (**).

Piensa y practica 10 Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas:

a) Pasa por (–3, –5) y tiene una pendiente de 4 .

9

anayaeducacion.es GeoGebra. Calcula la pendiente de una recta.

b) Pasa por (0, –3) y tiene una pendiente de 4. c) Pasa por (3, –5) y por (– 4, 7).

139

2

LA PARÁBOLA: UNA CURVA MUY INTERESANTE El tenista de la izquierda aprovecha que su adversario está junto a la red para superarle con un «globo». La curva que describe la pelota es una parábola.

En la vida cotidiana nos encontramos con multitud de parábolas: chorros de agua, todo tipo de lanzamientos de pelotas y otros objetos, las secciones de las antenas parabólicas y de los faros de los coches… Todas ellas se describen mediante funciones cuadráticas. ➜ funciones cuadráticas

• La función y = x 2 nos proporciona una parábola tipo, que va a servir de referencia para las demás.

• La ecuación de la parábola que describe la pelota del tenista del dibujo de arriba 2 es y = 5 – x , donde x es el recorrido horizontal, en m, e y es la altura, en m.

20 El origen de coordenadas está en el jugador que está parado en la red.

• El área de un cuadrado en función de un lado (A = l 2 ) o la de un círculo en función del radio (A = πr 2).

• La altura de una piedra que lanzamos hacia arriba, en función del tiempo (alt = 20t – 5t 2). ➜ ¿son iguales todas las parábolas? y = x2

Pues sí, más que iguales, semejantes. Esas parábolas que parecen mucho más anchas simplemente están representadas solo por su «extremo», la parte próxima al vértice. Si las prolongáramos, se verían con la misma forma que las otras más finas, más estiradas.

Por ejemplo, vamos a mirar la propia curva y = x 2 desde dos puntos de vista muy distintos:

x2 y = –– 4

–1

anayaeducacion.es Todas las parábolas son semejantes.

140

–0,8 –0,6 –0,4 –0,2

1

50

0,8

40

0,6

30

0,4

20

0,2

10

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1 –10

0

10

Estas dos curvas son la misma representada con distintas escalas. La primera es la punta de la segunda ampliada considerablemente. Si la primera se continuara en un enorme papel de 2,5 m de alto y 1 m de ancho, se obtendría una curva como la segunda, pero 50 veces más grande.

Unidad 9

3

FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS ã Funciones cuadráticas El curso pasado hicimos una leve introducción al estudio de las parábolas. Vamos, ahora, a repasar aquello y a avanzar un poco en su tratamiento.

Observa las siguientes parábolas con sus respectivas ecuaciones:

y y==x x2y 2= x 2

1— 21 x 2 y1x=x2 — y y==— 22 2

y 2=2 3x 2 y y==3x3x

1— 2+ 21 x2x –+42x4 + 4 y1x=x2 — ––2x y y==— 22 2

2 –+18x y 2=2–3x y y==3x3x –18x 18x +2424+ 24 2+ x6x –+66x6 + 6 y y==x x2y 2–=–6x

2– +–66x6 – 6 y 2=2+–x +6x6x y y==–x–x

y 2=2 –x 2 y y==–x–x

2 +–18x 2++18x y =2 –3x 18x –2424– 24 y y==–3x –3x

2 2 y =2 –3x y y==–3x –3x

12 x 2 1=— 1x–x2 — y y==––y— 22 2

12++2x 1=— 1x–x2 — 2– x2x +–42x4 – 4 y y==––y— 22 2

Analizándolas, podemos realizar las siguientes afirmaciones: Las funciones y = ax 2 + bx + c, con a ≠ 0, llamadas cuadráticas, se representan todas ellas mediante parábolas y son continuas en todo Á. anayaeducacion.es Ampliación teórica y práctica sobre traslaciones de parábolas.

eje

Cada una de estas parábolas tiene un eje paralelo al eje Y. Su forma depende de a, coeficiente de x 2, del siguiente modo: • Si dos funciones cuadráticas tienen el mismo coeficiente

de x 2, sus parábolas correspondientes son idénticas, aunque pueden estar situadas en posiciones distintas.

• Si a > 0, tienen las ramas hacia arriba, y si a < 0, hacia

abajo.

• Cuanto mayor sea |a |, más estilizada es la parábola.

vértice

141

3 FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS

ã Representación de funciones cuadráticas Para representar una función cuadrática dada por su ecuación, solo hace falta obtener varios de sus puntos. Empezamos encontrando el vértice de la parábola, para hallar, después, algunos puntos que lo rodean.

y=ax 2 +bx+c y=c

• Hallamos la abscisa del vértice de la parábola y = ax 2 + bx + c → p = – b

2a • Calculamos el valor de la función en algunas abscisas próximas al vértice.

• Los cortes con los ejes pueden venirnos bien para la representación: 0

b p= – — 2a

— Con el eje X, se resuelve la ecuación ax 2 + bx + c = 0.

–b — a

— Con el eje Y, es el (0, c ).

Ejercicio resuelto

Representar la parábola de ecuación y = –x 2 + 3x + 4.

Obtenemos el vértice: Abscisa: p = – 3 = 1,5 → Ordenada: f (1,5) = 6,25 → Vértice: (1,5; 6,25) –2 Obtenemos puntos próximos al vértice: x

–2

–1

0

1

2

3

4

5

y

– 6

0

4

6

6

4

0

– 6

Podemos observar que, debido a la simetría de la parábola respecto a su eje, las ordenadas de los puntos que están a la misma distancia del vértice coinciden. Es decir, como el vértice está en x = 1,5, entonces f (1) = f (2); f (0) = f (3)…

Vemos que – x 2 + 3x + 4 = 0 tiene dos soluciones, x = –1 y x = 4; y que f (0) = 4. Pero estos puntos de corte con los ejes ya aparecen en la tabla.

Piensa y practica 1

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones cuadráticas.

Asocia cada uno de los coeficientes de la x 2 con su correspondiente parábola: A

• a = –1

C

D

• a = 2 • a = – 1 3 1 • a = 2

a) y = x 2 – 2x + 2 c) y = 1 x 2 + x – 2 3 e) y = – 1 x 2 + 2 2

b) y = –2x 2 – 2x – 3 d) y = –x 2 + 4 f ) y = 3x 2 + 6x + 4

3 Dibuja en tu cuaderno la representación gráfica de es-

tas funciones cuadráticas:

E

• a = –3 B

142

2 Representa las siguientes parábolas:

a) y = (x – 1) · (x – 3) c) y = 1 (x + 2) · (x – 2) 2

b) y = 2(x – 2)2 d) y = (x – 1)2 + 5

Unidad 9

4 Ten en cuenta La función y = x está definida y es continua en [0, +∞). Y es creciente, aunque cada vez crece más despacio.

FUNCIONES RADICALES Las funciones y = x e y = – x se pueden representar punto a punto y dan lugar a las gráficas que ves abajo. Son mitades de parábola y juntas describen una parábola idéntica a y = x 2, pero con su eje sobre el eje X. Y

Análogamente, y = – x está definida y es continua en [0, +∞). Y es decreciente.

X

Las siguientes curvas son de la misma familia:

Ejemplos

Y

y= x

Y

X

y=– x

— y = 2√x – 4

Y

— y = 2√–x + 1 X

El periodo, T (en s), de un péndulo simple en función de la longitud, l (en m), de la cuerda es:

X — y = –2√–x – 3

— y = –2√x – 5

T=2 l

Las funciones radicales son del tipo y = a x + b e y = a –x + b y se representan mediante medias parábolas tumbadas.

Su representación depende del signo de la x y de los valores de a y b : • Si x tiene signo positivo, la curva va hacia la derecha; si tiene signo negatiLa velocidad, v (en m/s), con la que llega al suelo una bola que cae desde una altura, a (en m), es, aproximadamente: v = 20a

vo, la curva va hacia la izquierda.

• Si a es positivo, la curva está por encima del eje X, y por debajo si es ne-

gativo. Además, cuanto mayor sea |a |, más rápido crece o decrece la curva.

• El valor de b hace que se traslade b unidades a la derecha o a la izquierda

dependiendo del signo de la x y de la b.

Ejercicio resuelto

Representar la siguiente función e indicar su dominio de definición: y = –3 –x + 2

• El –x implica que la curva va hacia la iz–14 quierda.

• El primer valor que damos a x es 2, porque anula el radicando.

• Damos a la x los valores 2, 1, –2, –7, –14 con los cuales la raíz es exacta.

• El coeficiente –3 produce ordenadas negativas. Por tanto, la curva está por debajo del eje X. Dominio de definición: (–∞, 2]

Piensa y practica

–7

–2

12 (1, –3)

(–2, –6) (–7, –9)

(–14, –12)

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones radicales.

1 Representa las siguientes funciones y halla el dominio de definición de cada una:

a) y = 2 x b) y = –2 x c) y = 2 x + 3 d) y = –2 x + 3 e) y = 2 –x f ) y = –2 –x g) y = 2 –x + 3 h) y = –2 –x + 5

143

5

• De un rectángulo de 100 cm2 de superficie, desconocemos sus lados. Los llamamos x e y. Es claro que xy = 100. Lo ponemos así: y = 100 (A igualdad de áreas, los lados son inversamente proporcionales). x • En un depósito de 6 L hay aire a presión atmosférica. Si lo comprimimos (aumentamos la presión), disminuye el volumen. Se cumple la relación P · V = 6.

Lo ponemos así: 6 V = P ( La presión y el volumen de una masa de gas son inversamente proporcionales)

30 25 20 15 10 5 5 10 15 20 25 30 V (litros) 6

Las relaciones de proporcionalidad inversa se presentan con mucha frecuencia en la naturaleza, la física, la economía… Vamos a analizarlas teóricamente.

1 1

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

P (atm)

6

ã Estudio de la función y = k/x Esta es la gráfica de la función y = 1 : x

x

y

x

y

1 2 3 4 5 …

1 0,5!

0, 3 0,25 0,20 …

1 0,5!

0, 3 0,25 0,20 …

1 2 3 4 5 …

1 y=— x

• No está definida para x = 0.

• Si x se acerca a 0, y toma valores

cada vez más grandes. Por eso decimos que el eje Y es una asíntota.

1 1

• Si x toma valores cada vez más

grandes, y se acerca a 0. Por eso el eje X es otra asíntota.

• Esta curva se llama hipérbola. Sus

Al cambiar de signo la x, cambia de signo la y.

asíntotas son los ejes coordenados.

Las siguientes curvas son de la misma familia: 6 y = –– x

1 y = – –– x

4 y = – –– x

Las funciones y = k se llaman funciones de proporcionalidad inversa. x Se representan mediante hipérbolas, cuyas asíntotas son los ejes coordenados.

Su dominio de definición está formado por los tramos (–∞, 0) y (0, +∞).

Esto se expresa así: Dom = (–∞, 0) ∪ (0, +∞)

144

Unidad 9

ã Funciones relacionadas con y = k/x

2 • En la unidad anterior vimos la función A = , que relacionaba el au2–d mento, A, producido por una lupa con la distancia, d, a la que se colocaba el objeto. La gráfica de esta función es también una hipérbola. Sus asíntotas son el eje de abscisas y la recta d = 2.

• En general, las funciones k y= x –a, y= k , y= k +b a–x x–a son hipérbolas que están relacionadas con las de proporcionalidad inversa. Veamos algunos ejemplos.

anayaeducacion.es Ampliación: traslaciones de hipérbolas.

Ejercicios resueltos 1 Representar

la siguiente función e indicar su dominio de definición: y=

6 x–4

La gráfica de esta función será como la de y = 6/x, desplazada 4 unidades a la derecha. Veamos que es así mediante una tabla de valores: x

3 … 5

6

7

8 10 …

x – 4 –6 –4 –3 –2 –1 … 1

2

3

4

3

2 1,5 1 …

y

–2

0

1

2

–1 –1,5 –2 –3 –6 … 6

6 …

Sus asíntotas son x = 4, y = 0.

Su dominio de definición es (–∞, 4) ∪ (4, +∞).

2 Representar esta función e

indicar su dominio de definición: y=

6 +2 x–4

Su gráfica será como la anterior, subida 2 unidades.

Es decir, se obtiene de la gráfica anterior bajando el eje X dos unidades.

Su dominio de definición es (–∞, 4) ∪ (4, +∞).

Piensa y practica

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones de proporcionalidad inversa.

1 Relaciona cada una de las siguientes gráficas con su correspondiente función. Indica el do-

minio de cada una: a) y = 2 b) y = – x c) y = 2 d) y = x–3 x

2

2 x 2 + 5 –3

A

Representa cada función e indica su dominio: a) y = 8 b) y = – 8 c) y = 8 x x x–2

B

d) y =

C

8 e) y = 8 – 3 2–x x

D

f) y =

8 +3 x–2 145

6

FUNCIONES EXPONENCIALES ã Funciones exponenciales crecientes: y = a x, a > 1

15

En el margen tienes la gráfica de la función exponencial de base 2: y = 2x.

y = 2x

x ≥ 0: 10

0 1 2 3 4 …

–1 x x 2x

5

–4

x < 0: 1

2

4

8

16 …

2x

2–1 = 0,5

–2

–3

2–2 = 0,25

2–3 = 0,125

Cuando x toma valores cada vez más grandes, 2x tiende a infinito. Sin embargo, cuando x toma los valores –4, –5, –10, …, 2x se hace muy pequeño. Es decir, hacia la izquierda, 2x tiende a cero.

0

4

Se llaman funciones exponenciales a las que tienen la ecuación y = a x.

• Son continuas, están definidas en todo

Á y pasan por (0, 1) y (1, a).

• Si la base es mayor que 1 (a > 1), entonces son crecientes.

• Crecen tanto más rápidamente cuanto mayor es a.

Las funciones de la forma y = akx = (ak)x son exponenciales de base ak.

15

( )

1 y = –– 2

x

x

y = c1 m también es exponencial. Como su base (1/2) es menor que 1, la fun2 ción es decreciente. Su gráfica es simétrica de la de y = 2x respecto al eje Y.

10

5

–4

ã Funciones exponenciales decrecientes: 0 < a < 1

0

4

Las funciones y = a x con 0 < a < 1 también pasan por (0, 1) y (1, a), son continuas y definidas en todo Á, pero son decrecientes. Decrecen tanto más rápidamente cuanto más próximo a 0 sea a.

Las funciones y = a x e y = (1/a)x son simétricas respecto al eje Y.

Ejercicio resuelto

Representar la función: y = 10 0,2x Después, representar sobre los mismos ejes la función: x

1 m y=c 1, 6

100,2x = (100,2)x = 1,6x Pasa por los puntos (0, 1) y (1; 1,6).

Como 1,6 > 1, la función es creciente.

Hallamos algunos puntos más alrededor del eje Y. x 1 La función y = c m es simétrica a 1, 6 la primera con respecto al eje Y.

Piensa y practica 1 Representa las siguientes funciones en tu cuaderno.

¿Cuál es el dominio de definición de cada una? a) y = 1,25x b) y = 0,8x

146

Y

( )

1 y= — 1,6

x

y = 1,6x

X

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones exponenciales.

2 Escribe en forma exponencial estas expresiones:

a) 20,4x

b) 100,01x

x/28

c1 m c) 1,0112x d) 2

Unidad 9

ã Aplicaciones de las funciones exponenciales El crecimiento exponencial es muy frecuente en la naturaleza (cultivos de microorganismos, poblaciones animales o vegetales…). También sirve para describir fenómenos económicos y otros. Veamos algunos ejemplos. ➜ ejemplo 1. crecimiento de una población Ten en cuenta

Las amebas, como sabes, son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos (bipartición) con más o menos rapidez.

En Curiosidades matemáticas (pág.

151) se estudia la aplicación de la función exponencial a la desintegración radiactiva.

Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que el número de amebas se duplica, aproximadamente, cada hora y que, al principio, hay una ameba.

El número aproximado de amebas que habrá al cabo de t horas es N = 2t. Su gráfica es como la primera gráfica de la página anterior, pero solo es válida para valores t ≥ 0. ➜ ejemplo 2. crecimiento del dinero

Un capital de 20 000 € está en un banco, colocado al 0,5 % mensual; lo que quiere decir que cada mes aumenta el 0,5 % y, por tanto, el capital que hay al principio de cada mes se multiplica por 1,005.

La expresión que da el capital acumulado al cabo de T meses es: C = 20 000 · 1,005T, T ≥ 0 Problemas resueltos 1 Ponemos 60 000 € en una

cuenta que produce el 5 % anual. ¿Cuánto dinero tendremos dentro de 8 años y 3 meses?

Un aumento del 5 % anual significa multiplicar por 1,05 cada año. El dinero evoluciona según la ecuación: C = 60 000 · 1,05T El dinero que habrá dentro de 8 años y 3 meses (8 años y cuarto) es el valor de C para T = 8,25: C (8,25) = 60 000 · 1,058,25 = 89 735,23 €

2 El valor de una maquina-

ria se devalúa a razón de un 8 % al año. Si ahora vale 120 000 €, ¿cuál será su valor dentro de 11 años?

Una devaluación del 8 % anual significa multiplicar por 0,92 al final de cada año (1 – 0,08 = 0,92). El valor de la maquinaria evoluciona así: V = 120 000 · 0,92T Para T = 11, obtenemos V (11) = 120 000 · 0,9211 = 47 956,49 €.

Piensa y practica

anayaeducacion.es Ampliación: Aplicaciones de las funciones exponenciales.

3 Escribe la ecuación que expresa el número aproxima-

do de amebas que habrá al cabo de t horas en un cultivo similar al del ejemplo 1, suponiendo que, al principio, hay 200 amebas. ¿Cuántas amebas habrá al cabo de 8 horas?

4 Un capital de 130 000 € está en un banco colocado al

12 % anual. Expresa el valor del capital C en función del tiempo, t, expresado en años, que permanezca el dinero en el banco. ¿Cuánto dinero habrá al cabo de 6 años y 9 meses?

147

trabajo material de leccionar el Recuerda se rtfolio. para tu po

idad de esta un

blemas

ro Ejercicios y p

Practica

Funciones cuadráticas

7

Funciones lineales

1

2

Representa las siguientes funciones lineales: a) y = 2x – 3 b) y = 4 x 7 c) y = –3x + 10 d) y = 2,5 5

Asocia cada gráfica con su expresión: a) y = x 2 b) y = (x – 3)2 c) y = x 2 – 3 d) y = x 2 – 6x + 6

2

b) P (2, –1), m = –2 –2

2

4

6

X

–2

Calcula la ecuación de estas funciones lineales: 8

A

B C

D

a) A (3, 0), B (5, 0)

b) A (–2, – 4), B (2, –3)

c) A (0, –3), B (3, 0)

d) A (0, –5), B (–3, 1)

Halla la ecuación, en cada caso, y represéntala: a) Recta que pasa por (2, –3) y es paralela a la recta que pasa por (1, –2) y (– 4, 3). b) Función de proporcionalidad que pasa por el punto (– 4, 2). c) Función constante que pasa por (18; –1,5).

Halla el valor de los parámetros desconocidos para que las rectas y los puntos cumplan las condiciones pedidas. Represéntalas. a) Que la recta que pasa por los puntos (4, 0) y (–2, a) tenga pendiente –1.

d) Que los puntos (d, –2) y (4, e) pertenezcan a la recta de ecuación y = 1 x – 3 .

2 148

x

– 4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

…

…

…

…

…

…

…

…

…

b) y = –x 2 + 4

c) y = –3x 2 d) y = 0,4x 2 9

Representa las siguientes parábolas, hallando el vértice, algunos puntos próximos a él y los puntos de corte con los ejes: a) y = (x + 2)2 b) y = x 2 – 4x c) y = 1 x 2 + 2x + 1 d) y = x 2 – 9 2 10 Di cuál es el punto (abscisa y ordenada) donde se encuentra el vértice de las siguientes parábolas, señalando, en cada caso, si se trata de un máximo o de un mínimo. Después, represéntalas. a) y = 8 – x 2 b) y = 4 + (3 – x)2 c) y = –x 2 – 2x + 4 d) y = 3x – 1 x 2 + 1 2 15 1 1 1 2 2 – x + x e) y = f ) y = x + 2x + 3 2 3 4 4 11

b) Que la recta y = bx + 2 pase por el punto (–3, 4). c) Que las rectas de ecuaciones y = 3x + c e y = cx + 3 se corten en el punto de ordenada 2. ¿Cuál es la abscisa correspondiente?

Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta:

a) y = x 2 + 1

Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B:

5

6

D

4

c) A (–2, 1), m = 1 d) A (1, 3), m = – 5 3 2 3

C

6

A

Dados la pendiente y un punto, calcula en cada caso la ecuación de la recta: a) P (0, 0), m = 1

4

Y

B

Representa estas funciones cuadráticas: a) y = (x – 5)2 b) y = x · (x – 5) c) y = (x – 3) · (x + 3)

12

d) y = 4 – (x – 2)2

Utiliza una escala adecuada y representa.

2 a) y = x b) y = –75x 2 + 675 100 c) y = 0,002x 2 – 0,04x d) y = –10x 2 – 100x

Unidad 9

Otras funciones

13

4

4

2

2 2

c)

4 X

2

d)

Y 2

6 X

4

17

Di cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones y cuáles son sus asíntotas. Represéntalas gráficamente: a) y = 1 b) y = – 3 x +1 x +3 c) y = 1 + 2 d) y = 1 + 2 x –1 1– x

18

Ayúdate de una tabla de valores para representar gráficamente las siguientes funciones e indica el dominio de definición de cada una:

Y 2

X

–4 –2

–2

2

–2

–2

–4

–4

X

4

Asocia a cada gráfica la fórmula que le corresponde e indica su dominio de definición: I) y = x – 3 II) y= x –3 III) y = 3 – –x IV) y = –3x a)

b)

Y 2 –4 –2 2 Y

c)

4

2 X 6 X

a) y = x + 2

Y 2 2

4

X

6 Y

d)

19

2

4

2

2

–4 –2

2

4

8

–4 –2 d

2

6

4

4

2

2 4

–4 –2

4

Di, en cada una de ellas, si es creciente o decreciente.

x = 0; –4; –9

d) y = 2 + x + 3

x = –3; 1; 6

Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores (ayúdate de la calculadora): a) y = 2x b) y = 3x + 1 x

21 2

c) y = –x

c) y = c2 m + 1 d) y = 20,5x 3 0, 5x e) y = 1,24x f ) y = c1 m 4

4

8

6

2

20

6

4

–4 –2 c

b

x = 2; –2; –7

b) y = 7 – 2x + 4 x = –2; 0; 6

Asocia a cada gráfica una de estas fórmulas: I) y = 3x II) y = 1,5x III) y = 0,4x IV) y = 0,7x 6

Representa gráficamente estas funciones dando los valores que se indican en cada caso: a) y = 2 – x

X

–6 –4 –2

a

b) y = 2 – x

c) y = 2 –x d) y = – –x

–2

15

Dibuja la gráfica de estas funciones, dando a x los valores que se indican en cada caso: a) y = 3 x = –3; –1; – 1 ; 1 ; 1; 3 x 2 2 b) y = – 3 x = –3; –1; – 1 ; 1 ; 1; 3 x 2 2 c) y = 5 x = –5; –1; – 1 ; 1 ; 1; 5 x 2 2 d) y = – 2 x = –2; –1; – 1 ; 1 ; 1; 2 x 2 2

Asocia a cada gráfica una de estas fórmulas e indica el dominio de definición de cada una: I) y = 1 II) y=3– 1 x–3 2–x III) y = 2 + 2 IV) y = – 1 x x +3 Y Y a) b)

–4 –2

14

16

Representa cada par de funciones sobre los mismos ejes coordenados. ¿Qué relación hay entre ellas? x

a) y = c1 m ; y = 3x b) y = 0,25x; y = 4x 3 149

Ejercicios y problemas 27

Resuelve problemas 22

Calcula a y b para que la función y = a x –b pase por los puntos (2, 2) y (–1, –1).

23

Con un listón de madera de 3 metros de largo, queremos fabricar un marco para un cuadro. a) Si la base midiera 0,5 m, ¿cuánto mediría la altura? ¿Y la superficie del cuadro? b) ¿Cuál es el valor de la superficie para una base cualquiera x ?

b) Calcula b para que la recta 2x + by = –11 pase por el punto (2, –5). c) Halla k para que la parábola y = kx 2 – 2x + 3 pase por el punto (–1, 0). d) Halla el valor de a para que la parábola de ecuación y = ax 2 + 2x + 3 tenga su vértice en el punto de abscisa x = 2.

28

c) ¿Para qué valor de la base se obtiene la superficie máxima? ¿Cuánto vale dicha superficie?

24

25

¿Verdadero o falso?

2 y = ax + bx + c

El sueldo inicial de Ana es de 24 000 € anuales.

En su contrato de trabajo figura que subirá un 8 % anual. ¿Cuánto ganará dentro de 10 años? Escribe la función que relaciona el sueldo con el tiempo.

a) Calcula c para que la recta 3x – 5y = c pase por el punto (–2, 4).

29

El coste por unidad de fabricación de un tipo de cajas disminuye según el número de unidades fabricadas y viene dado por la función:

a) ¿Qué valores toma la variable independiente, x ? b) Calcula el coste por unidad y el coste total para fabricar 10 cajas. Haz lo mismo para 100 000 cajas. c) ¿A cuánto crees que se acerca el coste por unidad cuando el número de cajas se hace muy grande?

26

30

31

8m

O

12 m

La trayectoria es una parábola y = ax 2 + bx + c con su vértice en el punto de caída. Toma O como centro de coordenadas y ten en cuenta que el vértice es (0, 8).

150

a) a > 0 b) b > 0 c) c > 0 d) a > b y = bx e) c < b f ) c>a g) –c > a h) b > –c

y = ax

y = cx

¿Verdadero o falso? Justifica tus respuestas. a) Se puede obtener la ecuación de una recta sabiendo su pendiente y el punto de corte con el eje Y. b) Con los puntos de corte con los ejes siempre es posible obtener la ecuación de una recta. c) La pendiente de una recta es lo que aumenta la x cuando la y aumenta 1. d) La pendiente de una recta es lo que aumenta la y cuando la x aumenta 1. e) Si una parábola corta al eje X en dos puntos, la abscisa de su vértice es su punto medio.

En una piscina hay un trampolín a 8 m del agua.

Esther lanza una pelota rodando y cae al agua a 12 m de la vertical del trampolín.

Escribe la ecuación de la trayectoria descrita por la pelota desde que sale del trampolín hasta que toca el agua. Da su dominio de definición.

¿Verdadero o falso?

y = 0, 3x + 1000 x

a) a>0 b) c = 0 c) c < 0 d) b2 – 4ac > 0 e) b = 0

Explica por qué el siguiente razonamiento es correcto: Para hallar la abscisa del vértice de la parábola de ecuación y = x 2 + 6x – 7, le quito el término independiente, –7, e igualo la y a 0. Así obtengo: x 2 + 6x = 0 8 x(x + 6) = 0 8 x = 0 y x = –6 El vértice está en medio, es decir, x = –3.

Recuerda que dispones, en tu banco de recursos:

•

Unidad 9

de diversos talleres para gestionar tus emociones

y de una diana para evaluarlas.

•

AUTOEVALUACIÓN

anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios y una autoevaluación interactiva.

1 Escribe la ecuación de cada una de estas rectas:

4 Halla el valor que deben tener b y c para que la grá-

fica de y = x2 + bx + c pase por (1, 0) y (0, –2).

a) Pasa por el punto (1, –2) y tiene pendiente 3/2.

5 Representa e indica sus dominios de definición.

b) Pasa por los puntos (–2, –5) y (1, 1). b) y = x 2 + 4x – 5

1 b) y = 3 – 2 x x +5 d) y = x + 2 e) y = 2 x – 1

c) y = 3 + 1 x –1 f ) y = – x – 3

d) y = –(x – 3)2 – 1

g) y = 2,5x

i) y = 1,1x

a) y =

2 Halla el vértice de las parábolas y represéntalas: 2 a) y = x – 2 2 c) y = (5 – x)(x + 1)

e) y = 2x 2 + 4x f ) y = 9 – (x – 1)2 g) y = 2(x – 1)(x + 3) 3 Asocia cada grá­­

y = –2x + n y = cx2

iv

ii

iii

v vi vii

y = mx – 2 y = ax

y = –(x + 1)2 + 4

y= – x

h) y = 0,4x

6 Andrea ha comprado por 100 € un regalo de cum-

h) y = (x + 2)2 – 2x 2

i

fica con su ecuación y halla los parámetros desconocidos:

de fichas para mejorar tu ciudadanía digital.

y = – x +b

pleaños para Carlos. El resto de los amigos del grupo deciden pagar el regalo entre todos.

Construye una función que nos dé el dinero que debe poner cada uno dependiendo del número de personas que haya y dibújala.

7 El contrato de alquiler de un apartamento marca que

subirá un 7 % anual. Si el precio era de 250 € mensuales el primer año, escribe la función que relaciona el precio mensual con el tiempo transcurrido.

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Desintegración radiactiva Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo radiaciones y transformándose en otras sustancias. Este proceso se realiza con el paso del tiempo y a un ritmo que varía muchísimo de unas sustancias a otras. sustancia radiactiva 8 radiaciones + otra sustancia La rapidez con la que se desintegra una sustancia radiactiva se mide mediante su periodo de semidesintegración, que es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa inicial. A la derecha puedes ver los periodos de semidesintegración de algunas sustancias radiactivas.

Uranio 8 4 500 millones de años Radio 8 1 620 años Actinio 8 28 años Talio 8 3 minutos

Si tenemos una masa inicial de 1 g, la cantidad de masa de esta sustancia que queda al pasar el tiempo es: T

M = c1 m gramos 2 donde T es el tiempo transcurrido tomando como unidad el periodo de semidesintegración, SD. Si la sustancia fuera el actinio y el tiempo lo quisiéramos expresar en años, la fórmula correspondiente sería: t/28 M = c1 m donde M es la cantidad de actinio que queda al pasar t años.

2

Compromiso

Visualiza el vídeo meta 6.a, piensa en una acción con la que podrías contribuir al logro de esa meta y comprométete a llevarla a cabo.

1

masa (g)

1 –– 2 1 –– 4 1

2

3

4

tiempo en periodos de SD 151

© GRUPO ANAYA, S.A., 2021 - C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid.

Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra está protegido por la Ley, que establece penas de prisión y/o multas, además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios, para quienes reprodujeren, plagiaren, distribuyeren o comunicaren públicamente, en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica, o su transformación, interpretación o ejecución artística fijada en cualquier tipo de soporte o comunicada a través de cualquier medio, sin la preceptiva autorización.