Matemáticas orientadas a las enseñanzas Académicas 4º ESO PD

DEMO

4 ESO

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS J. Colera Jiménez, M .ª J. Oliveira González, I. Gaztelu Albero, R. Colera Cañas, R. GARCÍA PÉREZ

propuesta didáctica

SUMA

piezaS 1

2

3

4

índice Suma Piezas y las claves del proyecto Nuestra oferta para la etapa

Unidades

1. números reales 2. P olinomios y fracciones algebraicas 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 4. Funciones. Características 5. Funciones elementales 6. Semejanza. Aplicaciones 7. trigonometría 8. Geometría analítica 9. estadística 10. distribuciones bidimensionales 11. Combinatoria 12. Cálculo de probabilidades

5

SUMA

piezaS

. e j a z i d n e r p a u y construye t Un proyecto sustentado en el aprendizaje competencial y en el desarrollo de compromisos del alumnado con la realidad de su tiempo

Suma Piezas propone un nuevo enfoque competencial, con el máximo rigor curricular y una secuenciación de contenidos coherente y coordinada entre todas las áreas a lo largo de la etapa. Favorece la competencia en comunicación lingüística, primordial para acceder al conocimiento que permite comprender el mundo que nos rodea y desarrollar habilidades de convivencia.

De manera flexible, Suma Piezas brinda la posibilidad de incorporar metodologías activas, utilizar estrategias cooperativas y de pensamiento, fomentar las habilidades personales y sociales para la gestión de las emociones y el desarrollo del emprendimiento y atender la orientación académica y profesional, apostando por la igualdad y la inclusión. Y todo ello, dentro del marco de los Objetivos de Desarrollo Sostenible, que han de ser nuestro horizonte en los próximos años.

6

LAS CLAVES DEL PROYECTO ODS

Compromiso ods Los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) establecen el marco a partir del cual articular aprendizajes competenciales que refuercen en el alumnado su preparación hacia una ciudadanía comprometida.

Plan Lingüístico Contribuye al desarrollo de habilidades orales y escritas y al aprendizaje de los diferentes aspectos relacionados con el uso del lenguaje.

Desarrollo del pensamiento Las estrategias de pensamiento fomentan la competencia de aprender a aprender; contribuyen a que el alumnado tome conciencia de sus procesos mentales y a que actúe de forma reflexiva y crítica.

Aprendizaje cooperativo La aplicación de técnicas cooperativas favorece el aprendizaje e incrementa la participación y el sentido de responsabilidad del alumnado para generar capacidades de comunicación y cooperación.

Educación emocional Proporciona al alumnado pautas para la gestión emocional de sus situaciones de aprendizaje diarias, ayudándoles a que, a nivel intrapersonal, identifiquen y reconozcan las emociones, las regulen y las gestionen; y a nivel interpersonal, adquieran habilidades de relación con las personas.

Cultura emprendedora Promueve las distintas habilidades de emprendimiento en sus tres dimensiones, personal, social y productiva, de manera transversal en todas las áreas a través de una secuencia progresiva de actividades a lo largo de toda la etapa.

TIC Integra el uso de las TIC como recurso para obtener información, seleccionarla y utilizarla con una finalidad concreta, desarrollar la ciudadanía digital y las competencias de planificación, gestión y elaboración de trabajos, pasando a tener un uso para el aprendizaje y el conocimiento (TAC).

Orientación académica y profesional Facilita el desarrollo de habilidades que le ayudarán a conocerse a sí mismo, a entender el entorno y a tomar decisiones académicas y profesionales que le permitan entrar en el mercado laboral y prosperar en él.

Evaluación Incorpora estrategias que permiten al alumnado participar en la evaluación de su aprendizaje analizando «qué ha aprendido» y «cómo ha aprendido», acompañando su análisis con el uso del portfolio y de otros instrumentos que faciliten una valoración objetiva.

7

nuestro proyecto para el área Los libros del alumnado

ESO

ICAS MATEMÁT

Los libros presentan los contenidos y las actividades ajustados al desarrollo curricular de nuestra comunidad. Bajo una metodología competencial, permiten responder de una manera creativa e innovadora a nuestro compromiso con los Objetivos de Desarrollo Sostenible y posibilitan el crecimiento de las habilidades y las aptitudes que exige nuestra sociedad, cada vez más diversa.

u Alb ero

ICAS

MATEMÁT

,

Gaz tel éne z, I. as ra Jim ra Cañ J. C ole R. C ole

u Alb ero

,

SUMA

SUMA

piezaS

ESO

• Programación, propuesta didáctica y documentación del proyecto.

• Diversidad e inclusión, para atender a la diversidad de motivaciones, intereses, ritmos y estilos de aprendizaje del alumnado. Ofrece: - Recursos teóricos para la adaptación curricular.

- Fichas de ejercitación.

- Fichas de profundización y para el desarrollo de competencias.

- Tareas, talleres y otros recursos.

• Evaluación, pilar fundamental del proyecto, presenta: - Herramienta digital para evaluar: aplicación que permite conocer el grado de adquisición de las competencias clave respecto a los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje evaluables del currículo de Andalucía.

- Generador digital de pruebas de evaluación por contenidos y estándares de aprendizaje.

- Pruebas y registros de evaluación prediseñados.

- Documentación específica.

- Fondo de herramientas de evaluación.

- Herramienta digital de entrenamiento de pruebas externas.

• Banco de recursos, con una gran variedad de recursos digitales tales como: Actividades GeoGebra · Videotutoriales · Autoevaluaciones · Glosarios · Recursos teóricos· Aprende jugando · Refuerza la resolución de problemas.

SUMA

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, piezaS u Alb ero

Gaz tel éne z, I. as ra Jim ra Cañ J. C ole R. C ole

ESO

ESO

, piezaS u Alb ero

La web del profesorado es una herramienta que facilita y enriquece la labor docente. Con ella, podrá adaptar los contenidos a las necesidades de los estudiantes a través de recursos adicionales o reforzar aspectos didácticos que considere relevantes:

S ÁASTENISCEÑAANZAS ESO M E T A L MORIENTADAS A ICAS M AS ACADÉ MANTTADEASMA LAÁSTENIC SEÑANZAS ORIE S APLICADA ál ez Go nz ei ra ña s Ol iv M.ª J. C ol er a Ca ne z, Ji mé ro , R. er a Al be J. C ol Ga zt el u I.

SUMA

La web www.anayaeducacion.es

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS

as ñanzas académic

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EL PROYECTO DIGITAL para el profesorado

44 ESO

MATEMÁTICAS orien

S ÁASTENISCEÑAANZAS ESO M E T A L MORIENTADAS A ICAS M AS ACADÉ MANTTADEASMA LAÁSTENIC SEÑANZAS ORIE S APLICADA ál ez Go nz ei ra ña s Ol iv M.ª J. C ol er a Ca ne z, Ji mé ro , R. er a Al be J. C ol Ga zt el u I.

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tadas a las ense

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS

3 3 ESO

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ESO

ESO

Gaz tel éne z, I. as ra Jim ra Cañ J. C ole R. C ole

2

MATEMÁTICAS

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SUMA

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PROPUESTA DIDÁCTICA

21 MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

J . C o l er a J im én ez , I. G a z telu Al b er o , R . C o l er a C a ñ as

J . C o l er a J im én ez , I. G a z telu Al b er o , R . C o l er a C a ñ as

PROPUESTA DIDÁCTICA

MATEMÁTICAS APLICADAS

ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS J. Colera Jiménez, I. Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

SUMA

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MATEMÁTICAS ACADÉMICAS

ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS J. Colera Jiménez, M.ª J. Oliveira González, I. Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

propuesta didáctica

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS

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PROPUESTA DIDÁCTICA

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS ESO

Una propuesta didáctica para cada libro del alumnado con las soluciones de las actividades, orientaciones metodológicas, sugerencias para aplicar las claves del proyecto, etc.

ESO

MATEMÁTICAS

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las Propuestas didácticas para el profesorado

MATEMÁTICAS

ESO

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS J. Colera Jiménez, M.ª J. Oliveira González, I. Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS J. Colera Jiménez, I. Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

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PROPUESTA DIDÁCTICA

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SUMA

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el libro digital Los libros de todos los cursos disponen de una versión digital. Podrá descargar el libro completo o por unidades, con todos sus recursos o en su versión ligera (sin los recursos digitales más pesados), lo que posibilita su uso en condiciones offline y online. Los recursos de cada unidad se agrupan por tipologías y permiten un acceso directo al banco de recursos de la web y a la propuesta didáctica.

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¿y para el alu mnado?

Banco de recurs

os en www.a nayaedu cacion.es • Recurso con: s relacion ados con del proye las clave cto. s • Recurso s destaca dos de la • Recurso materia. s para ca da unida Libro dig d . ital Una vers ión digit al del lib que pod ro de te rán desc xto argar co unidades; mpleto o con todo p or s sus rec descarga ursos o u ligera (sin n a los recurs más pesa os digitale dos). s

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5 funciones elementales Presentación de la unidad El curso próximo, en Bachillerato, los estudiantes deberán comenzar a representar funciones «haciendo preguntas a su expresión analítica» (cuáles son sus puntos singulares, cuáles sus ramas infinitas...). Para ello, necesitarán una fuerte base de análisis, fundamentalmente límites y derivadas.

Antes de ese momento, deben familiarizarse con una serie de funciones tipo (lineales, cuadráticas, radicales, de proporcionalidad inversa, exponenciales, logarítmicas...) muy frecuentes, no solo en la actividad matemática, sino también en otras ciencias naturales y sociales.

Las funciones lineales han sido abundantemente tratadas en los dos cursos anteriores. No obstante, su enorme importancia, así como la facilidad con que se olvidan algunos aspectos de su tratamiento, nos aconsejan volver a insistir en ellas, prestando una atención especial a las funciones dadas mediante tramos de rectas.

Se dedica un espacio importante a la representación de funciones cuadráticas, de modo que las peculiaridades de su tratamiento gráfico se relacionen con los valores de los coeficientes de su ecuación.

Las funciones exponenciales se estudian tanto para una base mayor que 1 (función creciente) como para una entre 0 y 1 (función decreciente).

Las funciones logarítmicas se estudian como recíprocas de las exponenciales, y se presta especial atención a los logaritmos.

Conocimientos mínimos • Asociación del crecimiento o decrecimiento de una recta con el signo de su pendiente.

• Representación de cualquier función lineal y obtención de la expresión analítica de cualquier recta.

• Representación de una función dada mediante tramos de rectas.

• Asignación de una ecuación a una función dada por tramos de rectas.

• La función cuadrática. Relación entre la forma de la curva y el coeficiente de x 2. Situación del vértice.

• Representación de una función cuadrática cualquiera.

• Intersección de rectas y parábolas.

• Funciones definidas a trozos, con participación de rectas y parábolas.

• Representación de funciones de la familia y = 1/x.

• Representación de funciones de la familia y = x .

• Representación de funciones exponenciales y logarítmicas.

• Asociación de funciones elementales a sus correspondientes gráficas.

Complementos importantes Además, es conveniente que los estudiantes completen su aprendizaje con otros contenidos, como los que se relacionan a continuación: • Representación de funciones de las familias anteriores, pero más complejas.

Anticipación de tareas • Obtener puntos de una función dada por su expresión analítica.

• Obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

10

CC: competencias clave, CCL: comunicación lingüística, CMCT: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología, CD: competencia digital, CAA: aprender a aprender, CSYC: competencias sociales y cívicas, SIEP: sentido de iniciativa y espíritu emprendedor y CEC: conciencia y expresiones culturales.

Contenidos y competencias Contenidos de la unidad

Competencias clave

Páginas iniciales • Buscando la precisión del concepto • Funciones honestas, según Poincaré • Funciones evidentemente útiles

CCL CMCT CAA SIEP CEC

1. Funciones lineales • Funciones lineales en la vida cotidiana • Función de proporcionalidad: y = mx • Función constante: y = n • Expresión general de la función lineal: y = mx + n • Ecuación de una recta en la forma punto-pendiente • Funciones lineales a trozos

CCL CMCT CAA SIEP

2. La parábola: una curva muy interesante

CCL CMCT

3. Funciones cuadráticas • Funciones cuadráticas • Representación de funciones cuadráticas • Rectas y parábolas

CCL CMCT CD CAA SIEP

4. Funciones con valor absoluto • Valor absoluto de una función: y = |f (x)|

CMCT CAA

5. Funciones radicales • Distintos tipos de funciones radicales

CMCT CAA

6. Funciones de proporcionalidad inversa • Estudio de la función y = k/x • Funciones relacionadas con y = k/x

CMCT CAA SIEP

7. Funciones exponenciales • Funciones exponenciales crecientes: y = ax, a > 1 • Funciones exponenciales decrecientes: 0 < a < 1 • Aplicaciones de las funciones exponenciales

CMCT CAA SIEP

8. Funciones logarítmicas

CMCT

Páginas finales • Ejercicios y problemas resueltos • Ejercicios y problemas • Taller de matemáticas • Autoevaluación

CCL CMCT CAA CSYC SIEP

Cultura emprendedora Dispone de un recurso para ayudar al alumnado a reforzar su confianza y valorar sus capacidades.

piezas clave

5

Compromiso ODS • Agua limpia y saneamiento, meta 6.a

Funciones evidentemente útiles

funciones elementales

Las funciones que se utilizan en la ciencia, en la técnica y en otras ramas del saber son, obviamente, útiles. Veamos algunas de ellas y cómo se llega de la experimentación a la expresión analítica: Cuando un conductor encuentra un peligro en la carretera y necesita frenar, transcurre un cierto tiempo desde que decide frenar hasta que realmente pisa el freno (tiempo de reacción). Ese tiempo, unos 3/4 de segundo, que puede parecer insignificante, da lugar a un recorrido del coche tanto más largo cuanto mayor sea la velocidad a la que circula.

Pero, además, el coche no para automáticamente cuando se pisa el freno, sino que recorre una distancia (distancia de frenado) debida a la inercia.

De modo que, desde que el conductor aprecia el peligro hasta que el coche se detiene, se recorre una distancia (d), tanto mayor cuanto más elevada sea la velocidad (v). Experimentalmente se obtienen los siguientes valores:

Buscando la precisión del concepto Durante los siglos xix y xx se produjeron apasionantes discusiones sobre qué requisitos eran imprescindibles para definir una función y cuáles no.

A lo largo de ese proceso, numerosos matemáticos, entre los que destacan Dirichlet, Riemann y Weierstrass, fueron perfilando el concepto, tratando de dar una definición precisa de función. Hasta que, en 1923, se llegó a la siguiente definición, muy parecida a la que se usa actualmente:

Plan Lingüístico Destreza: • Escribir (texto argumentativo)

Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = f (x).

Cultura emprendedora • Dimensión personal: Autoconocimiento TIC • Recursos para cada unidad (vídeos, ejercicios resueltos, actividades con GeoGebra, autoevaluación…)

• «Portfolio»: versión imprimible del portfolio de la unidad Evaluación • Ejercicios y problemas • Elaboración del portfolio • Autoevaluación

(km/h)

distancia

(por tiempo de reacción en m)

10

distancia

(de frenado en m)

2

1

distancia total de detención (m)

3

20

4

3

7

Pero en esta búsqueda de la precisión, se generaron una serie de funciones estrafalarias que contrariaron a Poincaré, incómodo con la deriva que estaba llevando la definición de función, lo que le llevó, en 1899, a afirmar lo siguiente:

30

6,5

7

13,5

40

8,5

12

20,5

50

10,5

19

29,5

«Durante medio siglo hemos visto una masa de funciones extrañas construidas de modo que se parezcan lo menos posible a las funciones honestas que sirven a algún propósito. Antes, cuando se inventaba alguna función, era con alguna meta práctica. Hoy son inventadas con el fin de mostrar que el razonamiento de nuestros antecesores fue erróneo».

60

12,5

27

39,5

70

14,5

36

50,5

17

47

80 90 100

19

60

21

74

64 79 95

Las ecuaciones son:

En esta unidad vamos a dedicarnos a esas funciones honestas que propugnaba el gran Poincaré, esas funciones que sirven para algo más que para construir o desmontar conceptos.

Desarrollo del pensamiento Organizador gráfico: • Cadena de consecuencias Aprendizaje cooperativo Técnica: • Comprobamos

velocidad que se lleva

Funciones honestas, segun Poincaré

dreacción = 0,21v

dfrenado = 0,0074v 2

dtotal = 0,0074v 2 + 0,21v

Resuelve 1

Henri Poincaré (1854-1912) es uno de los grandes matemáticos de la historia. Sus contribuciones abarcan todos los ámbitos de la disciplina matemática.

Comprueba, usando tu calculadora, la validez de las fórmulas anteriores para los valores de la tabla (haz la comprobación solo para algunos valores de cada fila, teniendo en cuenta que se trata de valores aproximados) y construye las gráficas correspondientes.

109

108

Funciones elementales Al iniciar la unidad El rigor ha sido fundamental para la construcción sólida y armoniosa del edificio matemático. Pero su exageración puede producir hartazgo, como vemos en esta lectura en la que se describe el tirón de orejas que Poincaré daba a sus coetáneos por volcarse en exceso en la búsqueda de rigor en menoscabo de la utilidad práctica.

Cuestiones para detectar ideas previas El ejercicio propuesto en la página 109 sirve como modelo de casos sencillos de funciones lineales y cuadráticas obtenidas experimentalmente. Se les pide que comprueben que sus valores siguen aproximadamente las ecuaciones dadas. Podemos considerar este ejercicio un buen punto de partida para conocer cómo de asentados tienen los conocimientos de cursos anteriores.

Se sugieren las siguientes actividades: • Confeccionar un trabajo mostrando algunos ejemplos de la utilidad de las funciones en distintos campos: física, biología, economía, medicina, tecnología…

• Buscar información en Internet sobre la evolución del concepto y el tratamiento de las funciones a lo largo de los últimos cien años.

• Buscar y utilizar, en Internet, programas que permiten dibujar gráficas de funciones sin más que introducir su expresión analítica.

Soluciones de «Resuelve» distancia (m)

1 100

total

50

frenado

10

reacción 10

50

100

velocidad (km/h) 11

Unidad

1

Si de un muelle colgamos distintas pesas, se producen diversos alargamientos.

Es decir, la longitud del muelle es función del peso que se cuelga. Y es interesante destacar que esta función es lineal. longitud (cm)

y = 30 + 15x ( y : longitud en cm; x : peso en kg) El dominio de definición de esta función es [0, 6], suponiendo que para pesos de más de 6 kg el muelle se deteriora.

100

1

2

3

4

5

6

X

La pendiente de la recta es la razón de proporcionalidad, m.

• Si damos a x el valor x0 → y = y0 + m (x0 – x0) = y0 + m · 0 = y0. Para x = x0

hemos obtenido y = y0, es decir, pasa por (x0, y0).

2

➜ recta dada por dos puntos

Para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, procedemos así:

1

• A partir de los dos puntos, obtenemos su pendiente.

Ejercicio resuelto

a) Pasa por (–5, 7) y tiene una pendiente de –3 .

5 b) Pasa por (–2, 7) y por (4, 5) .

a) Ecuación: y = 7 – 3 (x + 5). Esto ya es la ecuación de la recta.

5

n

Se representa mediante una recta paralela al eje X.

y=n

Su pendiente es 0.

La recta y = 0 coincide con el eje X.

y=0

X

200 100 32

F

ã Expresión general de la función lineal: y = mx + n Su representación es una recta de pendiente m que corta al eje Y en el punto (0, n). Al número n se le llama ordenada en el origen.

Y F = 32 + 1,8C C 50 100

y = mx + n n X

110

Por ejemplo, la recta F = 32 + 1,8C, representada en el margen, permite pasar de grados centígrados, C, a grados Fahrenheit, F.

Podemos simplificarla: y = 7 – 3 x – 3 · 5 → y = 4 – 3 x 5 5 5 5 – 7 = –2 = – 1 3 6 4 – (–2)

b) Empezamos hallando su pendiente: m =

Ecuación de la recta que pasa por (–2, 7) y cuya pendiente es – 1 : 3 y = 7 – 1 (x + 2) 8 y = 19 – 1 x 3 3 3

ã Función constante: y = n Y

Presentamos de manera práctica el concepto de función lineal. La relación entre el alargamiento de un muelle y el peso que cuelga de él es un caso real de función cuya representación es una recta y que, además, pretende ser útil para que los estudiantes se familiaricen con el cálculo de y conocido el valor de x, y viceversa.

anayaeducacion.es Repasa la ecuación punto-pendiente.

Hallar la ecuación de cada una de las rectas siguientes:

e = v · t, donde v es la pendiente de la recta que relaciona e con t.

Por ejemplo, la distancia de un satélite artificial a la Tierra es constante, no depende del tiempo, t. La ecuación sería d = 36 000, d: distancia, en km; t: tiempo, que no aparece en la ecuación.

Piensa y practica

anayaeducacion.es GeoGebra. Calcula la pendiente de una recta.

1 Representa las siguientes funciones:

a) y = 2x

b) y = 2 x 3

c) y = – 1 x d) y = – 7 x 3 4

b) y = –2

c) y = 0

2 Representa.

a) y = 3

Sugerencias metodológicas

• Con la pendiente y uno de los puntos, obtenemos la ecuación.

Por ejemplo, el espacio recorrido a velocidad constante, v, en función del tiempo es:

anayaeducacion.es GeoGebra. Representación gráfica de una función lineal.

Funciones lineales (I)

Ecuación: y = y0 + m(x – x0)

• y = y0 + m (x – x0) es una expresión de 1.er grado. Por tanto, es una recta.

y 2 – y1 m = –––––– x –x

peso (kg)

0

Pendiente: m

• El coeficiente de la x es m. Por tanto, su pendiente es m. (x2, y2)

(x1, y1) x – x 2 1

Las funciones de proporcionalidad se representan mediante rectas que pasan por el origen. Describen una proporción entre los valores de las dos variables.

y = mx

Punto: P (x0, y0) justificación

y = 30 + 15x 50

ã Función de proporcionalidad: y = mx Y

Esta fórmula es muy útil. ¡Aprende a usarla!

y2 – y1

En concreto, supongamos que el muelle sin estirar mide 30 cm y que se alarga 15 cm por cada kilogramo que colguemos. La relación es:

Con mucha frecuencia hemos de escribir la ecuación de una recta de la cual conocemos un punto y la pendiente. La damos a continuación:

Atención

La ciencia está plagada de funciones en las que las variaciones de las causas influyen proporcionalmente en las variaciones de los efectos. Todas estas funciones se llaman lineales y se representan mediante rectas. Veamos un ejemplo: alargamiento de un muelle

5

ã Ecuación de una recta en la forma punto-pendiente

FUNCIONES LINEALES ã Funciones lineales en la vida cotidiana

d) y = –5

3 Representa estas funciones:

a) y = 2x – 3 b) y = 2 x + 2 3 c) y = – 1 x + 5 d) y = –3x – 1 4 4 Un objeto móvil, en el instante inicial, está a 3 m del origen y se aleja de este con una velocidad de 2 m/s.

Halla la ecuación de su distancia al origen en función del tiempo y represéntala.

5

El precio de las patatas en el mercado es de 1 €/kg, y el de los tomates, 2 €/kg. a) Escribe la ecuación del coste de una bolsa de patatas en función de su peso. b) Escribe la ecuación del coste de una bolsa de tomates en función de su peso. c) Representa las funciones anteriores.

6 Con los datos que se te dan, halla la ecuación de cada

una de las siguientes rectas: a) Pasa por (–3, –5) y tiene una pendiente de 4 .

9 b) Pasa por (0, –3) y tiene una pendiente de 4. c) Pasa por (3, –5) y por (– 4, 7).

111

Aprendizaje cooperativo Dispone del recurso «Aprendizaje cooperativo: Comprobamos» para la realización en grupo de la actividad 5 si el profesor o la profesora lo estima oportuno.

TIC anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de actividades interactivas para reforzar este contenido.

Puede ser un buen momento para pedirles que busquen ejemplos de este tipo de funciones que se manifiestan en la vida real.

Por ejemplo: — La relación entre la temperatura en grados Celsius, x, y en grados Fahrenheit, y, es y = 32 + 1,8x.

— La velocidad, v, con movimiento uniformemente acelerado (aceleración constante, a) en función del tiempo, t, es v = a · t; el parámetro a es la pendiente de la recta.

— El coste del gas se obtiene mediante la suma de un término fijo, n, y otro proporcional a la cantidad de metros cúbicos consumidos: y = mx + n, siendo x los metros cúbicos consumidos.

A continuación, partiendo de la expresión general y = mx + n, se distinguen los tres tipos de funciones lineales: • primer caso: si n = 0 8 y = mx • segundo caso: si m = 0 8 y = n • tercer caso: si m ≠ 0 y n ≠ 0 8 y = mx + n Se puede proponer a las alumnas y a los alumnos que hagan una tabla en la que figure el tipo de función lineal, el punto de corte con el eje Y, así como alguna característica de su gráfica.

Es importante que los estudiantes adquieran el hábito de reflexionar sobre las características que va a tener la gráfica (crecimiento, decrecimiento, punto de corte con el eje Y ) antes de representar la función, así como la escala más adecuada que se ha de tomar en cada eje para obtener una buena representación.

La ecuación de la recta en la forma punto-pendiente es de gran operatividad y eficacia. El alumnado debe aprender a utilizarla con destreza, como se hace en el ejercicio resuelto de la página 111.

El desarrollo de la ecuación punto-pendiente nos llevará a la forma y = mx + n.

Es interesante que los estudiantes comprueben que en la ecuación y = y0 + m(x – x0), el punto (x0, y0) puede ser cualquiera que pertenezca a la recta, y que su expresión final no cambia aunque tomemos uno u otro. Para ello, podemos completar el ejercicio resuelto de la página 111 tomando otro punto distinto del elegido en cualquiera de las rectas y ver que la ecuación, una vez desarrollada, es la misma.

Se sugiere la siguiente actividad complementaria: Determinar las condiciones que deben cumplir los coeficientes de y = mx + n para que la función sea creciente, decreciente o constante. O para que las representaciones de dos funciones sean paralelas.

Refuerzo y ampliación Se recomiendan: • Del cuaderno n.º 3 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicio 2, apartado a), de la página 15.

Ampliación: Ejercicio 1 de la página 15.

• Del apartado DIVERSIDAD E INCLUSIÓN del banco de recursos de anayaeducacion.es: Refuerzo: Ejercicio 4, apartado a), de Practica, ficha A.

12

Soluciones de «Piensa y practica» y = 2x

Y

1

2 y=—x 3 2

X

1 y =–—x 4

7 y =–—x 3 Y 2

2

y=3 2

X

y=0 y = –2 y = –5

3

y = 2x – 3

Y

1 y = – —x + 5 4 X

2

2 y =— x + 2 3

y = –3x – 1 4 y

= 2x + 3 posición (m)

y = 2x + 3 2 5

4

tiempo (s)

a) y = x b) y = 2x c) Y y = 2x y=x

1 1

X

y + 5 = 4 (x + 3) 8 y = 4 x – 11 3 9 9 b) y + 3x = 4x 8 y = 4x – 3 7 – (–5) = 12 = – 12 c) m = –4 –3 –7 7 12 y +5= – (x – 3) 8 y = – 12 x + 1 7 7 7

6 a)

13

Unidad

1 FUNCIONES LINEALES

y=x+4

y = –2x + 13

2 • El primer tramo, x ≤ 3, pertenece a la recta cuya pendiente es 1 y cuya orde-

nada en el origen es 4. Su ecuación: y = x + 4.

• El segundo tramo, 3 < x < 6, pertenece a la recta que pasa por (3, 7) y

3<x<6

En la vida cotidiana nos encontramos con multitud de parábolas: chorros de agua, todo tipo de lanzamientos de pelotas y otros objetos, las secciones de las antenas parabólicas y de los faros de los coches… Todas ellas se describen mediante funciones cuadráticas.

cuya pendiente es –2. Su ecuación en la forma punto-pendiente es, pues, y = 7 – 2(x – 3) 8 y = –2x + 13.

5 x≤3

• El tercer tramo, x ≥ 6, es la función constante y = 1.

Z si x ≤ 3 ]]x + 4 La función se describe así: f (x) = [–2x + 13 si 3 < x < 6 ]1 si x ≥ 6 \

x≥6

➜ funciones cuadráticas

• La función y = x 2 nos proporciona una parábola tipo, que va a servir de referencia para las demás.

• La ecuación de la parábola que describe la pelota del tenista del dibujo de arriba 2 es y = 5 – x , donde x es el recorrido horizontal, en m, e y es la altura, en m.

20 El origen de coordenadas está en el jugador que está parado en la red.

Para describir analíticamente una gráfica formada por trozos de rectas, se dan las ecuaciones de los diversos tramos, enumerados por orden de izquierda a derecha, indicando en cada uno de los tramos los valores de x para los que la función está definida.

anayaeducacion.es Ejercicios para reforzar las funciones definidas mediante dos o tres trozos.

• El área de un cuadrado en función de un lado (A = l 2) o la de un círculo en función del radio (A = πr 2).

Ejercicio resuelto

Representar la función cuya expresión analítica es la siguiente: Z si x < –1 ]4 ]0, 5 (x – 1) + 5 si –1 ≤ x ≤ 3 y =[ si 3 < x < 5 ]–2x + 12 ]–1 si x ≥ 5 \

Obtenemos los puntos extremos de cada uno de los tramos, empezando, por ejemplo, en la abscisa –5 y terminando en 11 (podríamos haber tomado –4 y 8): 1.°

2.°

3.°

(3, 6)

(5, 2) (5, –1)

Piensa y practica 7 Representa la función cuya expresión analítica es la si-

Z si x < 0 ]]–3 y = [x – 3 si 0 ≤ x ≤ 5 ]2 si x > 5 \ Di cuál es la pendiente de cada uno de los tramos que forman la función. ¿Es una función continua?

112

• La altura de una piedra que lanzamos hacia arriba, en función del tiempo (alt = 20t – 5t 2). y = x2

–2 · 5 + 12 = 2 → (5, 2) (11, –1)

Representamos los cuatro tramos (teniendo en cuenta si los extremos pertenecen o no) y así obtenemos la gráfica de la función.

(–1, 4)

guiente:

4.°

(–5, 4) 0,5(–1 – 1) + 5 = 4 → (–1, 4) –2 · 3 + 12 = 6 → (3, 6) (5, –1) (–1, 4) 0,5(3 – 1) + 5 = 6 → (3, 6)

Funciones lineales (II)

El tenista de la izquierda aprovecha que su adversario está junto a la red para superarle con un «globo». La curva que describe la pelota es una parábola.

Es frecuente encontrarse con funciones cuyas gráficas están formadas por trozos de rectas. Veamos, por ejemplo, la función representada en el margen:

5

5

LA PARÁBOLA: UNA CURVA MUY INTERESANTE

ã Funciones lineales a trozos

y=1

(3, 7)

Observamos que la función es continua en x = –1 porque en ese punto los dos tramos toman el mismo valor, 4. Lo mismo ocurre en x = 3, pero no en x = 5, donde la función es discontinua.

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones lineales a trozos.

8 Escribe la ecuación que corresponde a la gráfica si-

guiente:

x y = –– 4 2

➜ ¿son iguales todas las parábolas?

Pues sí, más que iguales, semejantes. Esas parábolas que parecen mucho más anchas simplemente están representadas solo por su «extremo», la parte próxima al vértice. Si las prolongáramos, se verían con la misma forma que las otras más finas, más estiradas. ➜ ¿responden esas parábolas de las funciones a su definición como lugares geométricos?

anayaeducacion.es • Todas las parábolas son semejantes.

• Las parábolas que responden a las funciones cuadráticas merecen ese nombre. Tienen un foco y una directriz.

El curso pasado aprendiste que una parábola queda determinada por un punto, F (foco) y una recta, d (directriz). Los puntos P de la parábola equidistan de F y de d: PF = dist(P, d). Ahora nos preguntamos: ¿las parábolas y = x 2 o y = x 2/4 responden a esta definición? La respuesta es, naturalmente, afirmativa.

Para y = x 2, el foco es F(0, 1/4), y la directriz, d: y = –1/4. Para y = x 2/4, el foco es F(0, 1), y la directriz, d: y = –1. Puedes comprobarlo. ➜ ¿qué peculiaridad tienen las antenas parabólicas o los faros de los coches?

5

Un rayo que llega paralelo al eje de la parábola se refleja en ella de modo que pasa por el foco, en donde se concentran todos ellos.

5

10

Y viceversa, los rayos que salen del foco se reflejan en la parábola y se proyectan, hacia fuera, en un haz de rayos paralelos a su eje. anayaeducacion.es Propiedad de la parábola que justifica las antenas parabólicas, los hornos solares, los faros de los coches…

113

TIC anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de actividades interactivas para reforzar este contenido.

Sugerencias metodológicas Convendría presentar esta página con algún ejemplo de función definida a trozos que apareciese en una situación real; un ejemplo en esta línea puede ser «poner un cazo al fuego con agua, con una temperatura inicial T0 °C y esperar a que se evapore totalmente». Llega un momento en que la temperatura deja de crecer y se mantiene constante.

Con los ejercicios propuestos, pretendemos que los estudiantes consigan representar con soltura una función definida a trozos, así como escribir la expresión analítica de una gráfica formada por trozos de rectas: • En el primer caso, se sugiere tomar de forma mecánica los puntos extremos de cada uno de los tramos, independientemente de si dichos puntos pertenecen o no a ese tramo. Tras la representación gráfica de cada tramo, es necesaria una reflexión sobre la pertenencia a dicho tramo de los puntos extremos.

• En el segundo caso, la idea clave estaría en identificar los valores de x donde la recta cambia de dirección. Así como ver si hay algún trozo de función con recta paralela al eje X (la ecuación sería inmediata, y = k).

Refuerzo y ampliación Se recomiendan: • Del cuaderno n.º 3 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicio 2, apartado a), de la página 15.

Ampliación: Ejercicio 1 de la página 15.

• Del apartado DIVERSIDAD E INCLUSIÓN del banco de recursos de anayaeducacion.es: Refuerzo: Ejercicio 4, apartado a), de Practica, ficha A. Soluciones de «Piensa y practica» 7

Y 0

5

X

Pendiente 0 en los tramos primero y tercero.

Pendiente 1 en el segundo tramo.

La función es continua.

Z ]1 x + 9 ]2 2 8 y = [ 6 ]] 13 – x \

si x ≤ 3 si 3 < x < 7 si x ≥ 7

La parábola: una curva muy interesante Sugerencias metodológicas Ciertamente, como dice el título, la parábola es muy interesante. Y también sería muy interesante que los estudiantes pudieran reflexionar sobre los siguientes aspectos: • Las parábolas son curvas que «vemos» a diario, en la vida cotidiana y en el ámbito científico del propio alumnado.

• ¿Son iguales todas las parábolas? Es un error muy común creer que hay parábolas «estiradas» (y = 10x2) y parábolas «chatas» (y = x2/10). Conviene insistir y visualizar que son semejantes (las parábolas «chatas», si se prolongaran, serían como las «estiradas», pero menores (como una circunferencia de 10 m de radio es semejante a otra de 1 cm de radio).

14

• El alumnado especialmente interesado podrá reconocer estas curvas procedentes de funciones cuadráticas como lugares geométricos, con foco y directriz.

La página web aporta apoyo y ampliación para estas reflexiones. Y las enriquecen con nuevas e interesantes peculiaridades de esta curva.

Unidad

3

FUNCIONES CUADRÁTICAS El curso pasado hicimos una suave introducción al estudio de las parábolas. Vamos, ahora, a repasar aquello y a avanzar un poco en su tratamiento.

Observa las siguientes parábolas con sus respectivas ecuaciones:

Para representar una función cuadrática dada por su ecuación, solo hace falta obtener varios de sus puntos. Empezamos encontrando el vértice de la parábola, para hallar, después, algunos puntos que lo rodean.

La calculadora nos permite elaborar, de forma rápida y eficiente, una tabla de valores correspondiente a cualquier función, en el intervalo que queramos y con los incrementos deseados. Observa cómo lo hacemos para la función y = –x2 + 3x + 4.

y y==x x2y 2= x 2

1— 21 x 2 y1x=x2 — y y==— 22 2

y 2=2 3x 2 y y==3x3x 2 –+18x y 2=2–3x y y==3x3x –18x 18x +2424+ 24

2– +–66x6 – 6 y 2=2+–x +6x6x y y==–x–x

2 +–18x 2++18x y =2 –3x 18x –2424– 24 y y==–3x –3x

2 2 y =2 –3x y y==–3x –3x

12 x 2 1=— 1x–x2 — y y==––y— 22 2

-

x )

x )

.

x+3

x

• Los cortes con los ejes pueden venirnos bien para la representación:

)

— Con el eje X, se resuelve la ecuación ax 2 + bx + c = 0.

— Con el eje Y, es el (0, c ).

Ejercicio resuelto

Representar la parábola de ecuación y = –x 2 + 3x + 4.

+4=

Obtenemos el vértice: Abscisa: p = – 3 = 1,5 → Ordenada: f (1,5) = 6,25 → Vértice: (1,5; 6,25) –2 Obtenemos puntos próximos al vértice:

Aparece esta pantalla, donde debes indicar el primer y el último valor de x y el tamaño del paso:

2+ x6x –+66x6 + 6 y y==x x2y 2–=–6x

y 2=2 –x 2 y y==–x–x

las teclas

12++2x 1=— 1x–x2 — 2– x2x +–42x4 – 4 y y==––y— 22 2

En nuestro caso, como el vértice está en x = 1,5, le damos los valores de –2 a 5 y vamos de 1 en 1 (paso).

x

–2

–1

0

1

2

3

4

5

y

–6

0

4

6

6

4

0

–6

Podemos observar que, debido a la simetría de la parábola respecto a su eje, las ordenadas de los puntos que están a la misma distancia del vértice coinciden. Es decir, como el vértice está en x = 1,5, entonces f (1) = f (2); f (0) = f (3)…

Vemos que – x 2 + 3x + 4 = 0 tiene dos soluciones, x = –1 y x = 4; y que f (0) = 4. Pero estos puntos de corte con los ejes ya aparecen en la tabla.

Para ver los valores que no salen, debes moverte hacia abajo con el cursor.

Analizándolas, podemos realizar las siguientes afirmaciones: Las funciones y = ax 2 + bx + c, con a ≠ 0, llamadas cuadráticas, se representan todas ellas mediante parábolas y son continuas en todo Á. anayaeducacion.es Ampliación teórica y práctica sobre traslaciones de parábolas.

eje

1

A

• Si a > 0, tienen las ramas hacia arriba, y si a < 0, hacia • Cuanto mayor sea |a |, más estilizada es la parábola.

C

•a=2 •a=– 1 3 •a= 1 2

de x 2, sus parábolas correspondientes son idénticas, aunque pueden estar situadas en posiciones distintas. abajo.

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones cuadráticas.

Asocia cada uno de los coeficientes de la x 2 con su correspondiente parábola: • a = –1

Su forma depende de a, coeficiente de x 2, del siguiente modo: • Si dos funciones cuadráticas tienen el mismo coeficiente

114

Piensa y practica

Cada una de estas parábolas tiene un eje paralelo al eje Y.

vértice

D

2 Representa las siguientes parábolas:

a) y = x 2 – 2x + 2 c) y = 1 x 2 + x – 2 3 e) y = – 1 x 2 + 2 2

b) y = –2x 2 – 2x – 3 d) y = –x 2 + 4 f ) y = 3x 2 + 6x + 4

3 Dibuja en tu cuaderno la representación gráfica de es-

tas funciones cuadráticas:

E

• a = –3 B

Funciones cuadráticas (I)

• Hallamos la abscisa del vértice de la parábola y = + bx + c → p = – b 2a • Calculamos el valor de la función en algunas abscisas próximas al vértice.

ax 2

Se elige 9:Tabla en la opción de �.

Aparece f (x) y, a continuación, se introduce la expresión. Ten en cuenta que para escribir la x hay que pulsar 1— 2+ 21 x2x –+42x4 + 4 y1x=x2 — ––2x y y==— 22 2

5

ã Representación de funciones cuadráticas

Tablas de valores con calculadora

ã Funciones cuadráticas

a) y = (x – 1) · (x – 3) c) y = 1 (x + 2) · (x – 2) 2

b) y = 2(x – 2)2 d) y = (x – 1)2 + 5

115

Desarrollo del pensamiento Se recomienda la utilización del organizador gráfico «Cadena de consecuencias» para la realización de la actividad 1. Dispone de una explicación de la misma en anayaeducacion.es.

TIC anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de actividades interactivas para reforzar este contenido.

Sugerencias metodológicas Con la representación de las parábolas se busca que los estudiantes lleguen a asociar con rapidez que la expresión y = ax2 + bx + c corresponde a una parábola que pasa por el punto (0, c) y profundizar en el papel que desempeña el coeficiente a en la gráfica de esta función.

Una propuesta podría ser encontrar diferencias y similitudes entre las parábolas de ecuaciones y = 3x2 e y = –3x2; entre y = 3x2 e y = –3x2 + 18x – 24, y, por último, entre y =1/3 x2, y = x2 e y = 3x2: • El signo de a indica hacia dónde está abierta la parábola.

• Parábolas con el mismo parámetro a pero los parámetros b y c distintos son iguales, pero desplazadas entre sí.

• Las ramas de la parábola se van aproximando a su eje a medida que |a| es mayor.

Conviene automatizar la representación de cualquier función cuadrática mediante la parábola correspondiente. Se dan para ello una serie de recursos que han de servir como guía, entre los que se destaca el cálculo del vértice. Es conveniente que entiendan que calcular la abscisa del vértice equivale a calcular el punto medio de las soluciones de la ecuación ax2 + bx = 0.

En el margen de la página 115 se explica cómo obtener, con la calculadora, los puntos próximos al vértice, mediante tablas de valores.

Por último, merece la pena insistir en la importancia que tiene tomar la escala adecuada en el momento de la representación. Desde ese punto de vista, resultaría interesante dibujar parábolas sencillas como las siguientes: x2 y = 0,01x 2 y= y = 50x 2 10 En todas ellas es necesaria una reflexión previa sobre la escala que conviene tomar.

Refuerzo y ampliación Se recomiendan: • Del cuaderno n.º 3 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 1, 2, 3 y 4 de las páginas 8 y 9.

Ampliación: Ejercicios 1 a 9 de las páginas 10 y 11.

• Del apartado DIVERSIDAD E INCLUSIÓN del banco de recursos de anayaeducacion.es: Refuerzo: Ejercicio 1 de Practica, ficha A. Ampliación: Ejercicios 1, 2 y 3 de Aplica, ficha B. Soluciones de «Piensa y practica» a = –1 8 E; a = 2 8 A; a = – 1 8 B; a = 1 8 D; a = –3 8 C 3 2 2 a) b) 1

y = x 2 – 2x + 2

y = –2x 2 – 2x – 3

15

c)

d) 1 x2 + x – 2 y=— 3

e)

y = –x 2 + 4

f ) y = 3x 2 + 6x + 4

1 x2 + 2 y = –— 2

3

a)

b) y = 2(x – 2)2

y = (x – 1)(x – 3)

c)

d) y = (x – 1)2 + 5

1 (x + 2)(x – 2) y=— 2

3 FUNCIONES CUADRÁTICAS

Unidad

4

ã Rectas y parábolas En algunos problemas tendremos que hacer un estudio conjunto de una función lineal y otra cuadrática, o bien de dos cuadráticas. Para ello, algunas veces habrá que resolver un sistema de segundo grado, cuyas soluciones (dos, una o ninguna) serán las coordenadas de los puntos de corte de las dos gráficas.

Recuerda que el valor absoluto de un número a coincide con a si es positivo o nulo, o con su opuesto, –a, si es negativo:

En algunas funciones a trozos también aparecerán las rectas y las parábolas conjuntamente.

|a | = )

y = |x|

|x | = )

Analíticamente:

camente, este sistema:

ã Valor absoluto de una función: y = |f (x)| Observa cómo hallamos el valor absoluto de algunas funciones:

Hay dos soluciones. En la resolución gráfica observaremos que la parábola y la recta se cortan en los puntos (0, –2) y (2, 0). y=x –2

Gráficamente: Representamos la parábola y = –2x 2 + 5x – 2 y la recta y = x – 2.

y = |2x – 4|

(2, 0)

(0, –2)

Los puntos de corte de las dos curvas son (0, –2) y (2, 0), las soluciones del sistema.

2 Representar

finido para x ≤ 1/2. El vértice está en el punto (0, 1), corta al eje X en (–1, 0) [el punto (1, 0) no lo consideramos, pues ha de ser x ≤ 1/2], y pasa por los puntos (1/2, 3/4) y (–2, –3).

• El último tramo es un trozo de recta que parte del

punto (2, 3/4) y pasa por (3, 7/4).

y = |2x – 4|

y = |x 2 – 3x – 4|

–1

y = x 2 – 3x – 4

1

2

3

mas de ecuaciones: y = x 2 – 6x + 5 y=x –5

c) *

y = 5 – x2

116

y = 2x + 2

b) *

y = x 2 – 2x y = –x + 2

La expresión analítica se consigue cambiando de signo la función en los tramos en los que f (x) toma valores negativos. Para ello, es fundamental conocer los puntos de corte de y = f (x) con el eje X.

Z 2 ]] y = x – 4x + 2 2 d) [ ] y = –x + x + 6 2 \

5 Representa gráficamente estas funciones:

Z 2 ]x + 2 ] a) y = [3 –3x + 15 ]] 2 \

si x ≤ 1 si 1 < x < 3 si x ≥ 3

4–x si x ≤ 1 b) y = )–x 2 + 4x si x > 1

Z 2 ]]x – 3x – 4 si x ≤ –1 Es decir: y = [–x 2 + 3x + 4 si –1 < x < 4 ]x 2 – 3x – 4 si x ≥ 4 \

La representación de y = |f (x)| a partir de y = f (x) es muy sencilla: solo hemos de «hacer positivo lo que es negativo», es decir, la parte de la gráfica que está bajo el eje X es sustituida por su simétrica respecto a este eje.

–2

Piensa y practica 4 Resuelve, analítica y gráficamente, los siguientes siste-

si x ≤ –1 o x ≥ 4 x 2 – 3x – 4 y = |x 2 – 3x – 4| = * 2 – (x – 3x – 4) si –1 < x < 4

y = |x2 – 3x – 4|

1 –1

– (2x – 4) si x < 2 y = |2x – 4| = ) 2x – 4 si x ≥ 2 –2x + 4 si x < 2 Es decir: y = ) 2x – 4 si x ≥ 2

corta en x = –1 x=4

2

• El segundo tramo corresponde a un trozo de recta

horizontal que empieza en (1/2, 3/4) y termina en (2, 3/4).

corta en x=2 y = 2x – 4

y = –2x 2 + 5x – 2

• El primer tramo de la función corresponde a un trozo de parábola y solo está de-

gráficamente la función siguiente: Z 2 ]]–x + 1 si x ≤ 1/2 y = [3/4 si 1/2 < x < 2 ]x – 5/4 si x ≥ 2 \

–x si x < 0 x si x ≥ 0

Se conoce como función valor absoluto y su representación gráfica es la del margen.

y = –2x 2 + 5x – 2 4 –2x 2 + 5x – 2 = x – 2 → –2x 2 + 4x = 0 → y=x –2 x = 0 8 y = –2 → x (–2x + 4) = 0 x =2 8 y =0

y = –2x 2 + 5x – 2 y=x – 2

a) *

a si a ≥ 0 –a si a < 0

En consecuencia, y = |x | es una función definida a trozos como la siguiente:

Ejercicios resueltos 1 Resolver, analítica y gráfi-

*

Funciones cuadráticas (II)

5

FUNCIONES CON VALOR ABSOLUTO

Piensa y practica 1 Representa en tu

cuaderno el valor absoluto de estas funciones:

2 Representa estas funciones y pon sus expresiones anaA

B

líticas sin usar el valor absoluto: a) y = |3 – 2x |

b) y = 1 x + 1 2

c) y = |x 2 – 4x |

d) y = |–x 2 + 6x – 5|

117

Sugerencias metodológicas Esta página está dedicada al estudio conjunto de rectas y parábolas desde dos puntos de vista: — La resolución de sistemas de ecuaciones formados por una ecuación lineal y otra cuadrática.

— La representación de funciones definidas a trozos en las que se combinan las rectas y las parábolas.

A la hora de resolver sistemas de ecuaciones en los que intervienen ecuaciones lineales y cuadráticas, insistiremos en la correspondencia entre las soluciones numéricas obtenidas algebraicamente y los puntos de corte que se obtienen al representar en unos mismos ejes las rectas y las parábolas asociadas a las ecuaciones.

Para representar funciones definidas mediante trozos de rectas y parábolas, son adecuadas las mismas sugerencias que se hicieron para representar funciones lineales a trozos.

Refuerzo y ampliación Se recomiendan: • Del cuaderno n.º 3 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 1 a 5 de la página 12.

Ampliación: Ejercicios 6, 7 y 8 de la página 13. Ejercicios 1 a 5 de las páginas 15 y 16.

16

Soluciones de «Piensa y practica» 4 a)

(5, 0) y (2, –3)

b) (2, 0) y (–1, 3) 4 14 d) (2, –2) y c , – m 3 9

c) (1, 4) y (–3, –4) 5

a)

b)

Y

Y

1 1

3

X

X

Funciones con valor absoluto Sugerencias metodológicas El alumnado puede llegar a la expresión analítica de y = |f (x)| de dos formas: — Representando y = f (x); a partir de ella, hallando la gráfica de y = |f (x)| y, después, describiéndola analíticamente.

— O bien, averiguando dónde cambia de signo f (x) (puntos de corte con el eje X) y poniendo su expresión analítica cambiando de signo donde convenga.

Ambos procedimientos son muy instructivos.

Refuerzo y ampliación Se recomiendan: • Del apartado DIVERSIDAD E INCLUSIÓN del banco de recursos de anayaeduacion.es: Refuerzo: Ejercicio 4, apartado b), de Practica, ficha A. Ejercicio 2, apartado c), de Practica, ficha B. Soluciones de «Piensa y practica» 1

| A|

Z ]]–3 + 2x si x > 3 2 y = 3 –2 2xa) y = [

] 3 – 2x si x ≤ 3 2 \ Y

|B|

Y y = |3 – 2x|

X

Z 1 ]]– x – 1 si x < –2 2 1 y = — x + b) y 1 =[ 2 ] 1 x + 1 X si x ≥ –2 2 \ Y

X

Y X 1 y = —x + 1 2

|

|

17

–x 2 +Y4x si 0 < x < 4 x 2 – 4x si x ≤ 0 o x ≥ 4

Y

y =c) x 2y–=4x*

X

X

x 2 –Y 6x + 5 si x < 1 o x > 5 d) y = * 2 y = –x 2 + 6x – 5 –x + 6x – 5 si 1 ≤ x ≤ 5

Y

Unidad

FUNCIONES RADICALES

Funciones radicales

5

Ejercicios resueltos 1 Representar esta función e

indicar su dominio de definición:

Veamos algunos ejemplos de funciones radicales: • El lado de un cuadrado en función de su área es:

y = –2 + x – 1

l= A

• La x en el radicando significa que la curva va hacia la derecha.

• El primer valor que damos a la x es 1 porque anula el radicando.

• Damos a x los valores 1, 2, 5, 10 y 17 con los que la raíz es exacta. x

• El radio de un círculo en función de su superficie es:

1

x–1

S r= π • El periodo de un péndulo simple en función de la longitud de su brazo es: T = 2 l ; l en m, T en s

0

2

5

10

17 16

1

4

9

√x – 1

0

1

2

3

y = –2 + √x – 1

–2

–1

0

1

4 2

Y

• La velocidad con la que llega al suelo una bola que dejamos caer desde una altura a es:

5

10

15

X

v = 20 a ; v en m/s, a en m Dominio de definición: [1, +∞)

A continuación, las estudiaremos teóricamente.

2 Representar

ã Distintos tipos de funciones radicales Ten en cuenta La función y = x está definida y es continua en [0, +@). Y es creciente, aunque cada vez crece más despacio.

Análogamente, y = – x está definida y es continua en [0, +@). Y es decreciente.

Las funciones y = x e y = – x se pueden representar punto a punto y dan lugar a las gráficas que ves abajo. Son mitades de parábola y juntas describen una parábola idéntica a y = x 2, pero con su eje sobre el eje X. Y

la siguiente función e indicar su dominio de definición: y = –3 –x + 2

X

• El –x implica que la curva va hacia la iz–14 quierda.

• El coeficiente –3 produce ordenadas negativas. Por tanto, la curva está por debajo del eje X.

X

3 Representar

Y

— y = 2√x – 4

— y = 2√–x + 1

la siguiente función e indicar su dominio de definición:

118

(1, –3)

3

–8 –2

–1

0

1

8

27

–1

0

1

2

3

Y

X — y = –2√–x – 3

12

(–14, –12)

8

Las funciones y = a x + b , y = a –x + b , se representan mediante medias parábolas. Sus dominios de definición son, respectivamente: [–b, +∞) y (– ∞, b]

x y = √x

y= 3x Y

X — y = –2√x – 5

–2

(–2, –6) (–7, –9)

Dominio de definición: (–∞, 2]

y = –√x

El dominio de definición de estas funciones es [0, +∞).

Las siguientes curvas son de la misma familia:

–7

• El primer valor que damos a x es 2, porque anula el radicando.

• Damos a la x los valores 2, 1, –2, –7, –14 con los cuales la raíz es exacta.

Y y = √x

y = |–x 2 + 6x – 5|

X

X

5

y = |x 2 – 4x|

27 X

Dominio de definición: (–∞, +∞) Piensa y practica

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones radicales.

1 Representa las siguientes funciones y halla el dominio de definición de cada una:

a) y = 2 x

b) y = –2 x

c) y = 2 x + 3

d) y = –2 x + 3

e) y = 4 –2 x + 3

f ) y = 2 –x

g) y = –2 –x

h) y = 2 –x + 3

i) y = –2 –x + 5

j) y = –3 –2 –x + 5

119

TIC anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de actividades interactivas para reforzar este contenido.

Sugerencias metodológicas Convendría presentar la función radical relacionándola con la función y = x2, parábola simétrica respecto al eje Y. Esa misma parábola, pero haciéndola simétrica respecto al eje X, tendría como expresión analítica y2 = x 8 y = ± x .

Sería entonces un buen momento para recordarles el concepto de función, lo que nos llevaría a introducir la función radical como mitades de parábola: y = x o y = – x .

Para la representación gráfica se sugiere, con el fin de evitar errores, hacer una tabla de valores paso a paso, tomando abscisas que al final hagan que la raíz sea exacta, tal como se muestra en los ejercicios resueltos. Esta idea conviene afianzarla realizando las actividades propuestas al final del epígrafe.

Refuerzo y ampliación Se recomiendan: • Del cuaderno n.º 3 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la página 17.

Ampliación: Ejercicios 2 y 4 de la página 21.

• Del apartado DIVERSIDAD E INCLUSIÓN del banco de recursos de anayaeduacion.es: Refuerzo: Ejercicio 3 de Practica, ficha A. Ampliación: Ejercicio 2, apartados a) y b), de Practica, ficha B. Soluciones de «Piensa y practica» 1

a), b), c), d), e) Y

y = 2 √x + 3 y = 2√x

X y = 4 – 2√x+3

18

y = –2 √x + 3

y = –2 √x

f ), g), h), i), j) y = 2√–x

y = 2√–x + 3

Y

X

y = –2√–x

y = – 3 – 2√– x +5

y = –2√–x + 5

Los dominios de definición son:

Unidad

6

5 10 15 20 25 30 V (litros) 6

P (atm)

6

x

y

0,5!

0,3 0,25 0,20 …

1

x

y

1

1 2 3 4 5 …

0,5!

0,3 0,25 0,20 …

1 y=— x

1

Ejercicios resueltos

6 x–4

• No está definida para x = 0.

La gráfica de esta función será como la de y = 6/x, desplazada 4 unidades a la derecha. Veamos que es así mediante una tabla de valores: x

3 … 5

6

7

8 10 …

x – 4 –6 –4 –3 –2 –1 … 1

–2

2

3

4

3

2 1,5 1 …

y

• Si x se acerca a 0, y toma valores

• Esta curva se llama hipérbola. Sus

k y= x –a, y= k , y= k +b a–x x–a son hipérbolas que están relacionadas con las de proporcionalidad inversa. Veamos algunos ejemplos.

anayaeducacion.es Ampliación: traslaciones de hipérbolas.

y=

grandes, y se acerca a 0. Por eso el eje X es otra asíntota.

0

1

2

–1 –1,5 –2 –3 –6 … 6

6 …

Sus asíntotas son x = 4, y = 0.

indicar su dominio de definición: y=

asíntotas son los ejes coordenados.

1 y = – –– x

6 +2 x–4

Su gráfica será como la anterior, subida 2 unidades.

Es decir, se obtiene de la gráfica anterior bajando el eje X dos unidades.

Su dominio de definición es (–∞, 4) ∪ (4, +∞).

4 y = – –– x

Piensa y practica

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones de proporcionalidad inversa.

1 Relaciona cada una de las siguientes gráficas con su correspondiente función. Indica el do-

Las funciones y = k se llaman funciones de proporcionalidad inversa. x Se representan mediante hipérbolas, cuyas asíntotas son los ejes coordenados.

Su dominio de definición está formado por los tramos (–∞, 0) y (0, +∞).

Esto se expresa así: Dom = (–∞, 0) ∪ (0, +∞)

120

d) [–3, +∞)

e) [–3, +∞)

f ) (–∞, 0]

g) (–∞, 0]

h) (–∞, 3]

i) (–∞, 5]

j) (–∞, 5]

Funciones de proporcionalidad inversa Sugerencias metodológicas Iniciamos la página intentando que los estudiantes observen:

Su dominio de definición es (–∞, 4) ∪ (4, +∞).

2 Representar esta función e

Las siguientes curvas son de la misma familia: 6 y = –– x

c) [–3, +∞)

• En general, las funciones

la siguiente función e indicar su dominio de definición:

• Si x toma valores cada vez más

b) [0, +∞)

objeto. La gráfica de esta función es también una hipérbola. Sus asíntotas son el eje de abscisas y la recta d = 2.

cada vez más grandes. Por eso decimos que el eje Y es una asíntota.

1

Al cambiar de signo la x, cambia de signo la y.

2 • En la unidad anterior vimos la función A = , que relacionaba el au2–d mento, A, producido por una lupa con la distancia, d, a la que se colocaba el

1 Representar

ã Estudio de la función y = k/x Esta es la gráfica de la función y = 1 : x

1 2 3 4 5 …

5

ã Funciones relacionadas con y = k/x

Las relaciones de proporcionalidad inversa se presentan con mucha frecuencia en la naturaleza, la física, la economía… Vamos a analizarlas teóricamente.

1 1

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA • De un rectángulo de 100 cm2 de superficie, desconocemos sus lados. Los llamamos x e y. Es claro que xy = 100. Lo ponemos así: y = 100 (A igualdad de áreas, los lados son inversamente proporcionales). x • En un depósito de 6 L hay aire a presión atmosférica. Si lo comprimimos (aumentamos la presión), disminuye el volumen. Se cumple la relación P · V = 6.

Lo ponemos así: 6 V = P (La presión y el volumen de una masa de gas son inversamente proporcionales)

30 25 20 15 10 5

a) [0, +∞)

minio de cada una: a) y = 2 b) y = – 2 x x 2 d) y = 2 + 5 x–3 x–3

A

B

C

D

c) y =

2 Representa cada función e indica su dominio:

a) y = 8 x

b) y = – 8 x

c) y =

8 x–2

d) y =

8 2–x

e) y = 8 – 3 x

f) y =

8 +3 x–2

121

TIC anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de actividades interactivas para reforzar este contenido.

— Cuál es la expresión analítica de la función de proporcionalidad inversa. En este nivel, es suficiente que la asocien con y = «algo»/x.

— Las características de la gráfica de dicha función: dónde no está definida, qué asíntotas tiene y cómo se sitúan sus ramas, respecto a las asíntotas, en función del signo de k.

Conviene detenerse en la gráfica de la función y = 6/x y buscar pares de puntos que estén en la gráfica, como (2, 3), (3, 2), (1, 6), (6, 1), (–2, –3)… Los estudiantes deben descubrir con facilidad que el producto de ambas coordenadas es constante e igual a 6.

Concluimos este apartado presentando situaciones en las que esta función responde a fenómenos físicos como, por ejemplo, la relación entre el aumento producido por una lupa y la distancia de la lupa al objeto. Con este ejemplo se introducen las funciones y = k/x trasladadas a unidades en horizontal y b unidades en vertical: y=

k +b x–a

Refuerzo y ampliación Se recomiendan: • Del cuaderno n.º 3 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 1 a 6 de las páginas 18 y 19.

Ampliación: Ejercicios 1 y 3 de la página 21.

• Del apartado DIVERSIDAD E INCLUSIÓN del banco de recursos de anayaeduacion.es: Refuerzo: Ejercicio 2 de Practica, ficha A. Ampliación: Ejercicios 1, 2, 3 y 4 de Aplica, ficha A. Ejercicio 1 de Practica, ficha B. 19

Soluciones de «Piensa y practica» 1

a) 8 C; b) 8 B; c) 8 A; d) 8 D

2

a) y = 8 x

Y

2 2

X

Y

b) y = – 8 x

2 2

c) y =

8 x –2

X

Y

2 0

d) y =

8 2–x

X

2

Y

2

X

2

e) y = 8 – 3 x

Y 2 2

20

X

f) y =

Y

8 +3 x –2

2

2

Los dominios de definición son: a) Dom = Û – {0} b) Dom = Û – {0} d) Dom = Û – {2} e) Dom = Û – {0} Unidad

7 15 y = 2x

FUNCIONES EXPONENCIALES

El crecimiento exponencial es muy frecuente en la naturaleza (cultivos de microorganismos, poblaciones animales o vegetales…). También sirve para describir fenómenos económicos y otros. Veamos algunos ejemplos.

En el margen tienes la gráfica de la función exponencial de base 2: y = 2x.

➜ ejemplo 1. crecimiento de una población

x ≥ 0: 10

5

–4

x < 0:

x

0

1

2

3

4

…

x

–1

–2

–3

2x

1

2

4

8

16 …

2x

2–1 = 0,5

2–2 = 0,25

2–3 = 0,125

Cuando x toma valores cada vez más grandes, 2x tiende a infinito. Sin embargo, cuando x toma los valores –4, –5, –10, …, 2x se hace muy pequeño. Es decir, hacia la izquierda, 2x tiende a cero.

0

4

• Son continuas, están definidas en todo

Á y pasan por (0, 1) y (1, a).

( )

x

Ten en cuenta

10

ã Funciones exponenciales decrecientes: 0 < a < 1 x

y = c 1 m también es exponencial. Como su base (1/2) es menor que 1, la fun2 ción es decreciente. Su gráfica es simétrica de la de y = 2x respecto al eje Y.

5

–4

Las funciones de la forma y = akx = (ak)x son exponenciales de base ak.

0

4

Las funciones y = a x con 0 < a < 1 también pasan por (0, 1) y (1, a), son continuas y definidas en todo Á, pero son decrecientes. Decrecen tanto más rápidamente cuanto más próximo a 0 sea a.

Las funciones y = a x e y = (1/a)x son simétricas respecto al eje Y.

Ejercicio resuelto

Representar la función: y = 10 0,2x Después, representar sobre los mismos ejes la función: y=c

1 x m 1, 6

100,2x = (100,2)x = 1,6x Pasa por los puntos (0, 1) y (1; 1,6).

Hallamos algunos puntos más alrededor del eje Y.

x

1 Representa las siguientes funciones en tu cuaderno.

¿Cuál es el dominio de definición de cada una? a) y = 1,25x b) y = 0,8x

y=

X

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones exponenciales.

2 Escribe en forma exponencial estas expresiones:

b) 100,01x

c) 1,0112x

La expresión que da el capital acumulado al cabo de T meses es: C = 20 000 · 1,005T, T ≥ 0

cuenta que produce el 5 % anual. ¿Cuánto dinero tendremos dentro de 8 años y 3 meses?

ria se devalúa a razón de un 8 % al año. Si ahora vale 120 000 € , ¿cuál será su valor dentro de 11 años?

x

a) 20,4x

Un capital de 20 000 € está en un banco, colocado al 0,5 % mensual; lo que quiere decir que cada mes aumenta el 0,5 % y, por tanto, el capital que hay al principio de cada mes se multiplica por 1,005.

Problemas resueltos 1 Ponemos 60 000 € en una

2 El valor de una maquina1,6x

La función y = c 1 m es simétrica a 1, 6 la primera con respecto al eje Y.

Piensa y practica

122

( )

1 y= — 1,6

El número aproximado de amebas que habrá al cabo de t horas es N = 2t. Su gráfica es como la primera gráfica de la página anterior, pero solo es válida para valores t ≥ 0. ➜ ejemplo 2. crecimiento del dinero

Un aumento del 5 % anual significa multiplicar por 1,05 cada año. El dinero evoluciona según la ecuación: C = 60 000 · 1,05T El dinero que habrá dentro de 8 años y 3 meses (8 años y cuarto) es el valor de C para T = 8,25: C (8,25) = 60 000 · 1,058,25 = 89 735,23 €

Y

Como 1,6 > 1, la función es creciente.

Las amebas, como sabes, son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos (bipartición) con más o menos rapidez.

Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que el número de amebas se duplica, aproximadamente, cada hora y que, al principio, hay una ameba.

En el Taller de Matemáticas (pág.

132) se estudia la aplicación de la función exponencial a la desintegración radiactiva y a la prueba del carbono catorce.

• Crecen tanto más rápidamente cuanto mayor es a.

1 y = –– 2

anayaeducacion.es Para representar y comparar funciones con crecimiento muy rápido, como las exponenciales, es especialmente útil utilizar una plantilla de papel semilogarítmico.

Se llaman funciones exponenciales a las que tienen la ecuación y = a x.

• Si la base es mayor que 1 (a > 1), entonces son crecientes.

15

5

ã Aplicaciones de las funciones exponenciales

ã Funciones exponenciales crecientes: y = a x, a > 1

x/28

d) c 1 m 2

Una devaluación del 8 % anual significa multiplicar por 0,92 al final de cada año (1 – 0,08 = 0,92). El valor de la maquinaria evoluciona así: V = 120 000 · 0,92T Para T = 11, obtenemos V (11) = 120 000 · 0,9211 = 47 956,49 €.

Piensa y practica

anayaeducacion.es Ampliación: Aplicaciones de las funciones exponenciales.

3 Escribe la ecuación que expresa el número aproxima-

do de amebas que habrá al cabo de t horas en un cultivo similar al del ejemplo 1, suponiendo que, al principio, hay 200 amebas. ¿Cuántas amebas habrá al cabo de 8 horas?

4 Un capital de 130 000 € está en un banco colocado al

12 % anual. Expresa el valor del capital C en función del tiempo, t, expresado en años, que permanezca el dinero en el banco. ¿Cuánto dinero habrá al cabo de 6 años y 9 meses?

123

TIC anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de actividades interactivas para reforzar este contenido.

X

c) Dom = Û – {2} f ) Dom = Û – {2}

Funciones exponenciales Sugerencias metodológicas Tanto las funciones exponenciales como las logarítmicas, que se verán en el siguiente epígrafe, se estudian muy someramente con el único fin de que se conozcan y se asocie la forma de la gráfica al tipo de expresión analítica correspondiente.

No obstante, no estaría de más que los estudiantes supieran que la variación relativa de la función y = ax es constante. La demostración es inmediata tomando dos intervalos de longitud constante [x, x + h] e [x', x' + h], calculando el valor de la función en los extremos y aplicando las propiedades de las potencias.

También puede ser interesante relacionar la función exponencial y = ax con la progresión geométrica {1, a, a2, a3, …} de razón a. En este punto conviene recordar cómo calcular sucesivas potencias de a haciendo uso de la calculadora a través de la tecla q.

El interés por el estudio de este tipo de funciones se debe a su enorme aplicación a otras áreas. A título informativo se les puede comentar, además de los ejemplos que aparecen en el libro, este otro: El volumen de madera que tiene un bosque al cabo de t años, suponiendo que inicialmente tiene 10 000 m3 de madera y que aumenta el 5 % al año, será: M = 12 000 · 1,05t Refuerzo y ampliación Se recomiendan: • Del cuaderno n.º 3 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 1 a 5 de las páginas 22 y 23.

Ampliación: Ejercicios 6 a 10 de la página 23. Ejercicios 1, 4 y 5 de las páginas 24 y 25.

• Del apartado DIVERSIDAD E INCLUSIÓN del banco de recursos de anayaeduacion.es: Refuerzo: Ejercicio 2, apartado d), de Practica, ficha B. Soluciones de «Piensa y practica» 1

a)

Y

y = 1,25x 1 1

X 21

b)

Y y = 0,8

x

1 X

1

2

a) (1,32)x c) (1,13)x

b) (1,02)x d) (0,98)x

3

N = 200 · 2t Pasadas 8 h habrá 51 200 amebas. = 130 000 · 1,12t Pasados 6 años y 9 meses habrá 279 360,5 €.

4 C

Funciones logarítmicas

Unidad 5

mas resueltos

Ejercicios y proble

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

1 Función continua a trozos

8

y = log2 x

4 4

8

12

16

(1, 0), (2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4)… son puntos de II.

II

En general, si el punto (a, b ) es de I, entonces (b, a ) es de II. Por eso, decimos que la función descrita por II es la inversa o recíproca de la I.

20

–4

• 2–1 = 1 → log2 1 = –1 2 2

La función descrita por la gráfica roja se llama función logarítmica de base 2, y se designa así: y = log2 x • La función logarítmica y = loga x con a > 1 es la

inversa de la exponencial y = a x.

• Está definida para valores mayores que 0. Es decir,

1 1

2 Obtención de la ecuación de una parábola a partir de su vértice y uno de sus puntos

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es (3, –1) sabiendo que pasa por el punto (2, –2).

Representarla en unos ejes de coordenadas.

y = log1,5 x

(2; 2,25)

(2,25; 2)

(3; 3,38) (4; 5,06)

3 Rectas y parábolas

*

(3,38; 3) (7,59; 5) (11,39; 6)

Piensa y practica

Interpretar analítica y gráficamente este sistema:

y = 1,5x

y = log1,5 x

(5,06; 4)

(5; 7,59) (6; 11,39)

1 1

X

anayaeducacion.es GeoGebra. Representación de funciones logarítmicas.

1 Representa en tu cuaderno cada par de funciones en los mismos ejes coordenados:

a) y = ex; y = ln x

b) y = 3x; y = log3 x

c) y = 10x; y = log x

Di cuál es el dominio de definición de cada una.

124

(*)

–1 = 9a + 3b + c 8 –9a + c = –1

Hazlo tú Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el punto (–2, –9) y que pasa por (0, 1).

Y

Para su representación, nos ayudamos de su inversa, la función exponencial y = 1,5x: y = 1,5x

Por tanto: –b/2a = 3 8 b = –6a (*) La parábola pasa por (3, –1) y (2, –2):

La parábola es y = –x2 + 6x – 10.

Ejercicio resuelto

Sabemos que pasa por (1, 0) y (1,5; 1).

El valor de la abscisa del vértice es x = 3.

(*)

crecimiento disminuye, haciéndose muy pequeña.

• Tiene una rama infinita en el eje Y.

y = log1,5 x

Una parábola cualquiera es y = ax 2 + bx + c.

–2 = 4a + 2b + c 8 –8a + c = –2 9a – c = 1 ) 8 a = –1; b = 6; c = –10 –8a + c = –2

• Pasa por los puntos (1, 0) y (a, 1).

• Es creciente, pero, al aumentar x, su velocidad de

Representar la siguiente función:

X

Hazlo tú Halla el valor de k para que esta función sea continua: 4x + 2 si x < –1 Represéntala para el valor de k obtenido. y=) kx – 3 si x ≥ –1

su dominio de definición es (0, +@).

a

2 · 2 – 5 = 2m + 3 → m = –2 2x – 5 si x < 2 La función queda así: y = ) –2x + 3 si x ≥ 2

–5

(0, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16)… son puntos de I.

I

12

2

+3

y=x

16

–4

Y

–2x

• 23 = 8 → log2 8 = 3

La función está representada por dos rectas. Para que sea continua, solo hace falta que coincidan en x = 2, donde cambia de la primera a la segunda. Para ello, 2x – 5 debe coincidir con mx + 3 en x = 2:

y=

Logaritmos Recuerda que log a P es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. Es decir: log a P = x ⇔ a x = P Por ejemplo:

Estas dos curvas se relacionan analíticamente del siguiente modo:

y = 2x

20

Calcular el valor de m para que la siguiente función sea continua: 2x – 5 si x < 2 y=) mx + 3 si x ≥ 2 Representarla para el valor de m obtenido.

2x

En estos ejes coordenados están dibujadas la gráfica de la función y = 2x, en azul, y su simétrica respecto a la recta y = x, en rojo.

y=

8

d) y = 2,2x; y = log2,2 x

e) y = 4x; y = log4 x

y = x2 – 2 y=x

Describir y representar la función continua que se obtiene a partir de ambas, formada por recta-parábola-recta.

Sugerencias metodológicas Presentamos la función logarítmica como la inversa de la función exponencial y describimos, a través de su gráfica, las características más importantes que posee.

Hallamos los puntos de corte de la parábola y la recta. Para ello, despejamos y en cada ecuación e igualamos: y = x2 – 2 4 → x 2 – 2 = x → x 2 – x – 2 = 0 → x = –1, x = 2 y=x Se cortan en (–1, –1) y (2, 2).

En el enunciado dice que primero es un trozo de recta; luego, un trozo de parábola, y finalmente, otro trozo de recta. Esta es la función definida a trozos: Z si x < –1 ]]x y = [x 2 – 2 si –1 ≤ x ≤ 2 ]x si x > 2 \ La representamos a la derecha.

Y

X

Hazlo tú Haz lo mismo con este otro sistema: y = 4 – x2 * y = –x – 2 125

TIC anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de actividades interactivas para reforzar este contenido.

Refuerzo y ampliación Se recomiendan: • Del cuaderno n.º 3 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 1, 2 y 3 de la página 28.

Ampliación: Ejercicio 1 de la página 31.

Soluciones de «Piensa y practica» 1

a)

Y

y=e x y=ln x

1 X

1

b)

Y

y = 3x

y = log3 x

1 1

22

X

c)

Y

y=10x

y=log x

1

X

1

d)

Y

y = 2,2x

y = log2,2 x

1 X

1

e)

Y

y = 4x

y = log4 x

1 1

X

En todos los casos, el dominio de la exponencial es Dom = Û y el dominio de la logarítmica es Dom = (0, +∞).

Ejercicios y problemas resueltos (I) Sugerencias metodológicas En las páginas de «Ejercicios y problemas resueltos» se muestran estrategias, sugerencias, pistas y formas de pensar que serán útiles a los estudiantes para enfrentarse a la resolución de las actividades que se les proponen en las páginas finales de la unidad.

Su fin último es que los estudiantes sean capaces de reproducir procedimientos similares cada vez que se encuentren ante una situación problemática.

Se sugiere la siguiente actividad: Se hacen pequeños grupos, por ejemplo cuatro alumnos y alumnas por grupo. Cada uno de ellos, en un papel cuadriculado, representa una función que responde a las características de algunas de las curvas estudiadas en la unidad.

23

6 + 5 . Cada uno de los demás, trax –3 bajando por separado, debe escribir la ecuación de dicha curva. Una vez han terminado, comparan los resultados y discuten sobre las discrepancias (¡atención! puede haber discrepancias no solamente en las distintas ecuaciones que se ofrecen como solución, sino también en la propia representación de la curva).

De esta discusión, realizada de manera ordenada, debería salir la forma correcta de la curva y la ecuación correspondiente. Y esto se repite para los otros miembros del grupo.

Por ejemplo, uno de ellos representa la función y =

Soluciones de «Hazlo tú» 1

k=–1

2

y = 2x2 – 8x – 1

3

Y –1 1

X

Y 1 X

1

r el material Recuerda selecciona para tu portfolio.

emas resueltos

ejercicios y probl

de trabajo

de esta unidad

Practica

Para expresarla en forma de función definida a trozos, primero tenemos que ver dónde corta al eje X la función que está dentro del valor absoluto. Así podremos averiguar en qué intervalos es positiva y dónde es negativa.

y = 1 x2 – 5 x + 9 2 4 4

1 x 2 – 5 x + 9 = 0 → x = 1, x = 9 2 4 4 Como las ramas de la parábola van hacia arriba, ya que el coeficiente de x 2 es positivo, la función solo es negativa entre los dos puntos de corte con el eje X. Tenemos, pues, tres tramos: (– ∞, 1] y [9, +∞) donde la función es positiva o cero, por lo que no hay que cambiarla de signo, y el intervalo (1, 9), en el que la función es negativa. En este tramo camY biamos de signo la función. Veamos cómo queda: Z ] 1 x2 – 5 x + 9 2 4 ]4 ] y = [– 1 x 2 + 5 x – 9 2 4 ] 4 9 1 2 5 ]] 4 x – 2 x + 4 \

Hazlo tú Expresa como función definida a trozos y represéntala: y = |x 2 – 2x – 8|

1

si 1 < x < 9

1

9

7

Representa las siguientes funciones lineales: b) y = 4 x 7 d) y = 2,5 c) y = –3x + 10 5

2

X

Expresar cada una de las siguientes funciones como una función definida a trozos: a) y = |x 2 – 1| + 1

b) P (2, –1), m = –2

c) A (–2, 1), m = 1 2

d) A (1, 3), m = – 5 3

Hazlo tú Expresa cada función como una función definida a trozos: a) y = |x 2 – 4| – 2

B C

b) y = |x + 3| + |x|

x<0

0≤x≤2

x>2

|2x – 4|

–2x + 4

–2x + 4

2x – 4

|x|

–x

x

x

|2x – 4| + |x|

–3x + 4

–x + 4

3x – 4

La función queda así: Z –3x + 4 si x < 0 ]] y = [–x + 4 si 0 ≤ x ≤ 2 ]3x – 4 si x > 2 \

6 Funciones relacionadas con la función de proporcionalidad inversa

Expresar la siguiente función de la forma y = k + b. Desx–a pués, representarla. y = 2x + 3 x +1 Hazlo tú Representa esta función: y = 3x – 1 x+2 126

Comenzamos realizando la división: 2x + 3 x + 1 – 2x – 2 2 1

La función se puede expresar así: 2x + 3 = 2 + 1 x +1 x +1

Se trata de la función y = 1 desplazada 1 unix dad a la izquierda y 2 unidades hacia arriba.

5

2

d) A (0, –5), B (–3, 1)

9

Representa las siguientes parábolas, hallando el vértice, algunos puntos próximos a él y los puntos de corte con los ejes:

10

Halla el valor de los parámetros desconocidos para que las rectas y los puntos cumplan las condiciones pedidas. Represéntalas.

d) Que los puntos (d, –2) y (4, e) pertenezcan a la recta de ecuación y = 1 x – 3 .

2

x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

…

…

…

…

…

…

…

…

…

a) y = x 2 + 1

b) y = –x 2 + 4

c) y = –3x 2

d) y = 0,4x 2

b) y = x 2 – 4x a) y = (x + 2)2 c) y = 1 x 2 + 2x + 1 d) y = x 2 – 9 2 Di cuál es el punto (abscisa y ordenada) donde se encuentra el vértice de las siguientes parábolas, señalando, en cada caso, si se trata de un máximo o de un mínimo. Después, represéntalas. a) y = 8 – x 2 c) y = –x 2 – 2x + 4

a) Que la recta que pasa por los puntos (4, 0) y (–2, a) tenga pendiente –1. b) Que la recta y = bx + 2 pase por el punto (–3, 4).

X

Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta:

c) Función constante que pasa por (18; –1,5).

c) Que las rectas de ecuaciones y = 3x + c e y = cx + 3 se corten en el punto de ordenada 2. ¿Cuál es la abscisa correspondiente?

6

8

Halla la ecuación, en cada caso, y represéntala:

b) Función de proporcionalidad que pasa por el punto (– 4, 2).

4

–2

D

b) A (–2, – 4), B (2, –3)

c) A (0, –3), B (3, 0)

Soluciones de «Hazlo tú»

D

2

Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B: a) A (3, 0), B (5, 0)

C

6 4

–2

a) Recta que pasa por (2, –3) y es paralela a la recta que pasa por (1, –2) y (– 4, 3).

6

Y

A

Calcula la ecuación de estas funciones lineales: A

4

d) y = x 2 – 6x + 6

B

Dados la pendiente y un punto, calcula en cada caso la ecuación de la recta: a) P (0, 0), m = 1

si x ≥ 9

a) Los puntos de corte con el eje X de la parábola y = x 2 – 1 son x = –1 y x = 1. Como tiene las ramas hacia arriba, la función definida a trozos sería así: Z Z si x < –1 ]]x 2 – 1 + 1 si x < –1 ]]x 2 y = [–x 2 + 1 + 1 si –1 ≤ x ≤ 1 8 y = [–x 2 + 2 si –1 ≤ x ≤ 1 ]x 2 – 1 + 1 si x > 1 ]x 2 si x > 1 \ \ b) Confeccionamos una tabla para estudiar cómo varía la expresión dentro de cada valor absoluto según el tramo. Los extremos de cada tramo son los que hacen 0 cada una de las expresiones:

Asocia cada gráfica con su expresión: b) y = (x – 3)2 a) y = x 2 c) y = x 2 – 3

a) y = 2x – 3

3

si x ≤ 1

Funciones cuadráticas

Funciones lineales

5 Funciones con valores absolutos

b) y = |2x – 4| + |x|

Ejercicios y problemas resueltos (II)

Unidad 5

emas

Ejercicios y probl

4 Valor absoluto de una función

Expresar la siguiente función sin usar el signo de valor absoluto y representarla:

e) y = 15 – 1 x 2 + 1 x 2 4 4 11

b) y = 4 + (3 – x)2 d) y = 3x – 1 x 2 + 1 2 f ) y = 1 x 2 + 2x + 3 3

x 2 – 2x – 8 si x < –2 4 y = *–x 2 + 2x + 8 si –2 ≤ x ≤ 4 x 2 – 2x – 8 si x > 4

Y

Calcula el vértice, el eje de simetría y los puntos de corte con los ejes (si los tiene) de cada una de estas parábolas: a) y = 2x2

b) y = 2(x – 5)2

c) y = 2(x – 5)2 + 2

d) y = –x2 + 1

e) y = –(x + 1)2 + 1

f ) y = –3x + 2x2

127

1 1

x 2 – 6 si x < 2 5 a) y = *2 – x 2 si –2 ≤ x ≤ 2 x 2 – 6 si x > 2 6

–2x – 3 si x < –3 si –3 ≤ x ≤ 0 b) y = *3 2x + 3 si x > 0

Y

1 1

24

X

X

Ejercicios y problemas Practica Funciones lineales 1

y = 2x – 3

Y

4 y=—x 7 y = 2,5 2

X

–3x + 10 y=— 5

2

a) y = x

b) y = –2x + 3

3

A → y = 3

B→y=

4 a) 5

1 x + 2 2 1 C→y= x 3

c) y =

5 –3 x–

4 4 7 1 b) y = x – c) y = x – 3 2 4 1 b) y = – x c) y = –1,5 2

y = 0

a) y = –x – 1

–5 14 x+ 3 3 5 D → y = x – 12 3

d) y =

d) y = –2x – 5

Y

a) b)

X

c)

6 a) a

y = –1,5 1x y = –— 2 y = –x – 1

=6

Y

1 X

1

2 b) b = – 3 Y

1 1

X

1 c) c = 3 o c = –1. Si c = 3, x = – . Si c = –1, x = 1.

3 Y

Y 1X 1

1 1

X

25

d) d = 2, e = –1 Y

X

1

Funciones cuadráticas 7

a) Roja

b) Verde

8 a)

c) Azul

d) Amarilla

a) d)

d)

1

1

1

1 1

1 b)

c)

c)

9

y = (x + 2)2 15

10

5 1 2 + 2x + 1 y = —x 2 –7,5 –5

y = x 2 – 4x

–2,5

2,5

5

7,5

–5

y = x2 – 9

–10

10

15

10

y = 4 + (3 – x)2

y = 8 – x2 5

–10

–7,5

–5

1

1 b)

–2,5

2,5 –5

y = –x 2 – 2x + 4 –10

26 15

5

7,5

10

–10

15

10 x 2 + 2x + 3 y=— 3 1 2+1 y = 3x – —x 2

5

–10

–7,5

–5

–2,5

2,5

5

7,5

10

–5

2

x 15 – — x +— y=— 4 4 2

–10

11

a) y = 2x2; V(0, 0); Eje de simetría: x = 0; Puntos de corte: (0, 0). b) y = 2(x – 5)2; V(5, 0); Eje de simetría: x = 5; Puntos de corte: (5, 0) y (0, 50). c) y = 2(x – 5)2 + 2; V(5, 2); Eje de simetría: x = 5; Puntos de corte: (0, 52). d) y = –x2 + 1; V(0, 1); Eje de simetría: x = 0; Puntos de corte: (–1, 0), (1, 0) y (0, 1). f ) y = –(x + 1)2 + 1; V(–1, 1); Eje de simetría: x = –1; Puntos de corte: (–2, 0) y (0, 0).

3 9 e) y = –3x + 2x2; V c , – m; Eje de simetría: x = 3 ; Puntos de corte: (0, 0), (3/2, 0).

4 8 4

Valor absoluto de una función

Otras funciones

12

16

20

Representa e indica cuáles son continuas: Z ]] 2x si x ≤ –1 –3 si x < 0 a) y = [ –2 si –1 < x ≤ 3 b) y = ) 2x + 1 si x ≥ 0 ] x – 5 si x > 3 \ Z ]] –x + 3 si x < 1 si 1 ≤ x < 2 c) y = [ 2 ]x si x ≥ 2 \ Z si x < –2 ]] 0 d) y = [ x + 2 si –2 ≤ x ≤ 0 ] 3x – 2 si x > 0 \ 13 Representa las siguientes funciones: Z ]] –1 – x si x < –1 a) y = [ 1 – x 2 si –1 ≤ x ≤ 1 ] x – 1 si x > 1 \ x 2 si x < 0 b) y = * 2 –x si x ≥ 0 c) y = * 14

15

b) y = |4 – x |

c) y = 1 x + 2 2

d) y = 1 – 1 x 2 D

C

Asocia a cada gráfica una de estas fórmulas e indica el dominio de definición de cada una: I) y = 1 II) y = 3 – 1 2–x x–3 III) y = 2 + 2 IV) y = – 1 x x +3 Y Y a) b)

a) y = |x 2 – 4|

b) y = |–x 2 – 10x – 22,75|

c) y = |x 2 – 6x + 5|

d) y = |–x 2 – 4x – 3| 21

B A

6

8 X

Y

B

18

C

D

Y

X

X

Expresa en cada caso en forma de función definida a trozos. Recuerda que para definir los intervalos necesitas los puntos de corte con el eje X. a) y = 4 – 1 x 3 c) y = |x 2 – 2x – 3| e) y = 1 x 2 – 4x + 7 2 2

19 X

2

–4

–4

X

4

b) y = |2x + 2| d) y = |–x 2 + 2x – 1| f ) y = |9 – x 2|

2 X 6 X

Y 2

26 2

4

X

6 Y

d)

2

Escribe la función definida a trozos correspondiente a cada una de estas funciones.

Exprésalas luego a como el valor absoluto de una función.

X

Asocia a cada gráfica una de estas fórmulas: I) y = 3x II) y = 1,5x III) y = 0,4x IV) y = 0,7x a

4

c

b

4

8

–4 –2 d

2

6

4

4

4

c) y = 2 –x

d) y = – –x

e) y = –2 – x

f ) y = –2 – 2 –x

g) y = 2 + –x

h) y = 2 –x + 2

–4 –2

2

4

Di, en cada una de ellas, si es creciente o decreciente.

12

Estudia el dominio de definición de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente: a) y = 2 – x

b) y = 7 – 2x + 4

c) y = –x – 1

d) y = 2 + x + 3

e) y = 1 + x – 1

f ) y = 2(x – 1)

g) y = – – (x + 2)

h) y = 1 + 1 – (x + 1)

a)

Y

Y 2

Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores. b) y = 3x + 1 a) y = 2–x d) y = 0,75–x

X

Representa cada par de funciones sobre los mismos ejes coordenados. ¿Qué relación hay entre ellas? x

29

2 2

b) y = 2 – x

a) y = c 1 m ; y = 3x 3

4

8

6

2 –4 –2

28

2 2

a) y = x + 2

c) y = c 2 m + 3 3

4

2 –4 –2

27

6

Funciones definidas a trozos

Representa gráficamente las siguientes funciones e indica el dominio de definición de cada una:

x

b

6

Dibuja la gráfica de las funciones siguientes:

a) y = – 1 b) y = 2 x x c) y = 1 – 3 d) y = 3 + 2 x x 24 Di cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones y cuáles son sus asíntotas. Represéntalas gráficamente. b) y = – 3 a) y = 1 x +1 x +3 c) y = 1 + 2 d) y = 1 + 2 x –1 1– x

IV) y = –3x b)

4

–6 –4 –2

22

23

25

–2

Y

X

–2 –2

Y 2 –4 –2 2 Y

c) 4

6 X

4

Y 2

X

En la realización de los siguientes ejercicios se aconseja utilizar la calculadora para crear una tabla de valores en cada caso.

Asocia a cada gráfica la fórmula que le corresponde e indica su dominio de definición: II) y = x – 3 I) y = x – 3 a)

2

2

d)

Y 2

–2

III) y = 3 – –x

D

C

4 X

2

–4 –2

Y

2

2

2

Asocia cada función con su gráfica:

4

–6 –4 –2

4

4

–4 –2

c) 17

Escribe la expresión analítica de cada función:

Y

a) y = |2x – 2|

B

Sabemos que las ecuaciones de las parábolas representadas en las gráficas son y = x 2; y = –x 2 – 4x; y = 4 – x 2; y = x 2 – 6x + 5.

A

Asocia cada función con su correspondiente gráfica:

A

x 2 + 4x si x < 0 –x 2 + 4x si x ≥ 0

Escribe la ecuación de la función a trozos que corresponde a esta gráfica:

Ejercicios y problemas

Unidad 5

Ejercicios y problemas Funciones definidas a trozos

b) y = 0,25x; y = 4x

b) Y 2

Y

X

a) Representa las funciones siguientes: y = 3x e y = log3 x b) Comprueba si los puntos siguientes pertenecen a la gráfica de y = log3 x : (243, 5) c 1 , –3m ` 3; 0,5j (–3, –1) 27

128

Y

Y

129

2

X

2

X X 2

2 Y

Y

Y 2

2

X

c)

Y

Y

Y

d)

Y

Y

X 2

X

2

X 2

2

X

2

X

X

2

X

Son continuas las funciones de los apartados a) y c).

13

a)

Y

b)

Y 1

1

1 1

X

X

27

c)

Y 1 X

1

Z ]2x + 12 ]] 1 x + 24 14 f (x) = [ 5 5 ] 3 38 ]– 7 x + 7 \

15

A

C

]Z] ]] –5 ]] y = ][] –x 2 – 4x ]] ]] –x + 2 \ ]Z] ]] 5 ]] y = ][] –x 2 – 6x ]] ]] –x + 5 \

si x < –4 si –4 ≤ x ≤ 1 si x > 1 si x ≤ –5 si –5 < x ≤ –1 si x > –1

B

si x ≤ 0 + 5 si 0 < x < 5 si x ≥ 5

D

]Z] ]] 4 si x ≤ –2 ]] y = ][] x 2 si –2 < x < 2 ]] ]] 4 si x ≥ 2 \ Z] ]] –x – 8 si x ≤ –3 ]] ] y = ][] 4 – x 2 si –3 < x ]] ]] x – 8 si x ≥ 3 \

<3

Valor absoluto de una función 16

a) D

b) C

c) A

d) B

17

a) D

b) A

c) C

d) B

YZ

1 si x > 12 ]]–4y += 14 –x —x 3 3 18 a) y = [ 1 si x ≤ 12 1 ]4 – 3 x \ X

Y

|

1

3

X

3

Y –2x – 2 si x < –1 b) y = * 2x +y =2 2x +si2 x ≥ –1

Y y = |2x + 2|

1

1 X

1

Y

–x 2 + 2x + 3 c) y = * 2 x – 2x – 3

X

1

si –1 < x < 3 y = x 2 – 2x – 3 si x ≤ –1 o x ≥ 3

1

Y y = |x 2 – 2x – 3|

1 1

28

|

1 y = 4 – —x 3

X

1

X

d) y = x2 – 2x + 1

Y

Y

1

y = |–x 2 + 2x – 1|

1 X

1

X

1

y = –x 2 + 2x – 1

Z 1 Y 7 71 2 – 4x + — ]]– x 2 + 4xy –= —x si 1 < x2 < 7 2 2 e) y = [ ] 1 x 2 – 4x + 7 si x ≤ 1 o x ≥ 7 2 2 \ 1

Y

Y

x 2 – 9 si x < –3 o x > 3 f ) y = * 2 –x + 9 si –3 ≤ x ≤ 3

1

|

1

X

1

|

1 2 – 4x + — 7 y = —x 2 2

X

1

Y

y = |9 – x 2|

1 X

1

1

X

y = 9 – x2

19

2–x a) y = * x –2

si x < 2 ; es decir, y = |x – 2| si x ≥ 2

Z ]]– 1 x – 1 si x < –2 2 b) y = [ ; es decir, y = 1 x + 1 2 1 ] x + 1 si x ≥ –2 2 \ Otras funciones 20 I)

→ d)

II) → b)

III) → a)

IV) → c)

Dominios: a) Á – {0}; b) Á – {3}; c) Á – {–3}; d) Á – {2} 21

I) → b)

II) → c)

III) → d)

IV) → a)

Dominios: a) (–∞, 0]; b) [3, +∞); c) [0, +∞); d) (–∞, 0] 22

I) → d) Creciente.

II) → b) Creciente.

III) → c) Decreciente.

IV) → a) Decreciente.

29

23 a) Y

Y 1 y=–— x

1 x + 3a) 24 y= 1 x+3 y=

Yc) Y

25

Y 2 y=— x

Y

X

X

c)Y

b)

1 y=–— x

d)

1 –3 1 – Y3 y = — y=— x x X X

Y

y = Y1 x+3 Y y= 1 x+3

b)

Y X

X

X

X

Y

d)

Y 1 y = 1 + 2y = 1 – x + 2 1 – xY y = 1 + 2y = 1 + 2 1–x 1–x

X

X

3 +Y2 y=— x

3 +2 y=— x

X

X Y

Y y = –3 x+1 Y y = –3 x+1

y = –3 x+1 y = –3 x+1

2 y=— x

Y X

X

X

X

1 y = 1 Y + 2y = x – 1 + 2 x–1 y = 1 Y + 2y = 1 + 2 x–1 x–1

Y Y

X

X

X

X

X

X

X

X

a) [0, +∞)

b) [0, +∞)

c) (–∞, 0]

d) (–∞, 0]

e) [0, +∞)

f ) (–∞, 0]

g) (–∞, 0]

h) (–∞, 0]

Y

— y = 2√–x

— y = 2 – √x

— y = – √–x

— y = 2√–x + 2

— y = √x + 2

X

Y

— y = 2 + √–x

X — y = –2 – √x — y = –2 – 2√–x

30

26

a) (–∞, 2]

b) [–2, +∞)

c) (–∞, –1]

d) [–3, +∞)

e) [1, +∞)

f ) [1, +∞)

g) (–∞, –2]

h) (–∞, 0]

Y

— y = 2 + √x + 3

— y = √2 – x

— y = 7 – √2x + 4

— y = √–x – 1

X Y — y = 1 + √1 – (x + 1)

— y = 1 + √x – 1 — y = √2(x – 1)

X

— y = –√–(x + 2)

27

()

2 x+3 y= — 3

y = 2–x

Y

y = 3x + 1

y = 0,75–x

1 X

1

28

a)

x xY Y 1 y =y— =1 — 3 3

( )( )

y = y3=x 3x

b)

X X

Y Y x x y = y0,25 y = y4=x 4x = 0,25

X X

Gráficas simétricas respecto al eje Y. 29

a)

Y

y = 3x

b) E l único que no pertenece a la gráfica es (–3, –1).

3 1 1

X

y = log3 x 31

30

40

Resuelve analítica y gráficamente estos sistemas: y = 2x 2 – 5x – 6 y = –x 2 + 5x a) * b) * y = 3x + 4 y = x 2 + 3x – (15/2)

31

a) Calcula b y c para que el vértice de la parábola y = x 2 + bx + c esté en el punto (3, 1). b) ¿Cuál es su eje de simetría? c) ¿Cuáles son sus puntos de corte con los ejes?

32

La parábola y = ax 2 + bx + c pasa por el origen de coordenadas. ¿Cuánto valdrá c ?

Si, además, sabemos que pasa por los puntos (1, 3) y (4, 6), halla a y b y representa la parábola.

33

Calcula a y b para que la función y = a x –b pase por los puntos (2, 2) y (–1, –1).

34

La gráfica de una función exponencial del tipo y = ka x pasa por los puntos (0, 3) y (1; 3,6). b) ¿Es creciente o decreciente?

41

42

c) Representa la función.

36

La función exponencial y = ka x pasa por los puntos (0, 2) y (2; 1,28). Calcula k y a y represéntala. a) Representa gráficamente la función exponencial y = 1,2x haciendo uso de una tabla de valores. b) ¿Cuál es la función inversa o recíproca de y = 1,2x?

Represéntala en los mismos ejes.

37

Representa las siguientes funciones: Z 2 ]]x si x < 1 si x < 0 b) y = [ 1 x si x ≥ 0 ] si x ≥ 1 \x

Calcula el valor del parámetro k para que la siguiente función sea continua: Z ]]–x 2 – kx – 5 si x ≤ –2 y = [1 si x > –2 ]2 x + 4 \ 39 Representa la gráfica de las siguientes funciones: a) y = |x 2 – 1| – 2

b) y = 1 + |x |

c) y = 1 – |x 2 – 6x + 5|

d) y = |x | – |4 – x |

La altura, h, a la que se encuentra en cada instante, t, una flecha que lanzamos con el arco hacia arriba con una velocidad de 40 m/s es h = 40t – 5t 2. a) Representa gráficamente la función. b) Di cuál es su dominio de definición. c) ¿En qué momento alcanza su altura máxima? ¿Cuál es esa altura? d) ¿En qué momento se clava la flecha en el suelo? e) ¿En qué intervalo de tiempo la flecha está a una altura superior a 35 metros?

43

Reflexiona sobre la teoría

45

Utiliza una escala adecuada y representa.

2 a) y = x b) y = –75x 2 + 675 100 c) y = 0,002x 2 – 0,04x d) y = –10x 2 – 100x

51

46

Expresa las siguientes funciones de la forma y = k + b y represéntalas: x–a b) y = x + 1 c) y = 1 – x a) y = 3x – 1 x –1 x +1 x+2 Este año, Verónica ha conseguido recoger de su cosecha 240 kg de aguacates que hoy se venderían a 1,20 €/kg. A partir de ahora, cada día que pasa se estropean 4 kg, pero el precio aumenta 0,10 €/kg. ¿Cuándo debe vender los aguacates para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál será ese beneficio?

Indica por qué estas expresiones no pueden corresponder a funciones definidas a trozos: Z ]]2x + 1 si x ≤ –2 x + 1 si x ≤ 1 a) y = [x 2 – 4 si –2 ≤ x ≤ 1 b) y = ) x – 1 si x > 0 ]2x + 1 si x ≥ 1 \

52

Dibuja y escribe la ecuación, en cada caso, de las parábolas que cumplen estas condiciones: a) Su eje es x = 2, el coeficiente de la x 2 es –1 y corta al eje X en un solo punto. b) Tiene el vértice en el punto (3, –2) y tiene la misma forma que y = x 2. c) Tiene el vértice en el origen de coordenadas y pasa por el punto (–3, –18).

53

Construye funciones definidas a trozos que cumplan las siguientes condiciones y dibújalas:

47

48

La intensidad del sonido que nos llega procedente de un foco sonoro es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que nos separa de él. Por ejemplo: d, distancia en metros I = 252 , I, intensidad del sonido d Representa la gráfica, tomando, en el eje X, 1 cuadrado = 1 m, y en el eje Y, 1 cuadrado = 5 u. ¿A qué distancia ha de ponerse una persona con problemas auditivos que solo oiga sonidos superiores a 100 u?

130

El coste por unidad de fabricación de un tipo de cajas disminuye según el número de unidades fabricadas y viene dado por la función: y = 0, 3x + 1000 x a) ¿Qué valores toma la variable independiente, x ? b) Calcula el coste por unidad y el coste total para fabricar 10 cajas. Haz lo mismo para 100 000 cajas. c) ¿A cuánto crees que se acerca el coste por unidad cuando el número de cajas se hace muy grande?

49

Halla la expresión analítica correspondiente a cada una de las parábolas representadas:

50

En una piscina hay un trampolín a 8 m del agua.

Esther lanza una pelota rodando y cae al agua a 12 m de la vertical del trampolín.

Escribe la ecuación de la trayectoria descrita por la pelota desde que 8m sale del trampolín hasta que toca el agua. Da su dominio de definición.

El sueldo inicial de Ana es de 24 000 € anuales.

En su contrato de trabajo figura que subirá un 8 % anual. a) ¿Cuánto ganará dentro de 10 años? b) Escribe la función que relaciona el sueldo con el tiempo. c) ¿Para qué valores de la variable está definida?

44

Resuelve: un poco más difícil

Andrea ha comprado por 100 € un regalo de cumpleaños para Carlos. El resto de los amigos del grupo deciden pagar el regalo entre todos.

Construye una función que nos dé el dinero que debe poner cada uno dependiendo del número de personas que haya y dibújala. ¿Tiene sentido unir los puntos? Razónalo.

x a) y = ) 38

La temperatura de ebullición del agua es de 100 ºC a 0 m sobre el nivel del mar. Cada 300 m que subimos, la temperatura de ebullición disminuye 1 ºC. Es decir, a 3 000 m sobre el nivel del mar la temperatura de ebullición del agua es de 90 ºC. a) Escribe la función que relaciona la temperatura de ebullición del agua, T, con la altura, a. b) Represéntala en unos ejes. c) ¿A qué temperatura hierve el agua donde tú vives? ¿Y en la cima del monte Everest?

a) Calcula k y a.

35

Ejercicios y problemas

Unidad 5

Ejercicios y problemas Resuelve problemas

O

a) Es continua y está compuesta por dos trozos de rectas. Pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente –2 en x = 4. Tiene un máximo en (3, 7). b) Es continua y está compuesta por un trozo de parábola y un trozo de recta en este orden. Tiene un mínimo relativo en (0, 0) y un máximo relativo en (2, 4).

54

Todas las funciones exponenciales de la forma y = a x pasan por un mismo punto. Indica qué punto es y justifícalo. ¿Para qué valores de a la función es decreciente?

55

¿Verdadero o falso? a) Las funciones y = x e y = –x forman una parábola tumbada al representarlas en los mismos ejes. b) Si el eje de una parábola es x = 2, no puede pasar por los puntos (–1, 6) y (5, 8).

f

g

12 m

La trayectoria es una parábola y = ax 2 + bx + c con su vértice en el punto de caída. Toma O como centro de coordenadas y ten en cuenta que el vértice es (0, 8).

c) Las funciones y = 4x e y = – 4x son simétricas respecto al eje Y. x d) Las funciones y = 4x e y = c 1 m son simétricas 4 respecto al eje Y. e) La función y = log3 x tiene dos asíntotas, una vertical y otra horizontal. f ) Las funciones y = log x e y = respecto al eje Y.

10 x

Resuelve problemas 30 a) (5, 31

son simétricas

131

Plan Lingüístico

a) y = x2 – 6x + 10

b) Eje de simetría: x = 3

c) Cortes con los ejes: (0, 10)

g) Las funciones y = log x e y = 10 x son simétricas respecto a la recta y = x.

Dispone del recurso «Texto argumentativo» para que el alumnado mejore la exposición escrita de razonamientos.

5 25 –3 –39 b) c , m y c , m 2 4 2 4

19) y (–1, 1)

32

7 1 y = – x2 + x 2 2

Y 6 3 1

33

X

4

a = 2, b = 1

34 a) k

= 3; a = 1,2

b) Creciente. c)

Y

6 3 –3 –1

35

1

3

X

k = 2; a = 0,8 Y

1 X

1 36

a) y b) La inversa de y = 1,2x es y = log1,2 x.

16

y = log1,2 x

10

y=

12

x

14

8 6

y = 1,2x

4 2 –2

2 –2

32

4

6

8

10

12

14

16

37

a)

Y

b)

— y = √x

1 y=x

y = x2

X

1

Y

1 y=— x

1

X

1 38

k=6

39

a)

b)

Y

Y

y = |x 2 – 1| – 2

y = 1 + |x| X

X

c)

d)

Y

Y

y=4

y = 1 – |x 2 – 6x + 5| X y = 2x – 4

X

y = –4

40 a)

T = 100 –

b)

a 300

temperatura de ebullición (°C)

Y 100 80 60 40 20 1000 2 000 3000 4000 5000 6 000 7000 8 000 9000

X

altura sobre el nivel del mar (m)

c) Respuesta abierta. En la cima del Everest el agua hierve a 70,5 °C. 41

a) 80 20 4

8

b) [0, 8] c) Alcanza 80 m a los 4 segundos. d) A los 8 segundos. e) En el intervalo (1, 7).

33

42 y

= 100 x No tiene sentido unir los puntos, ya que no puede haber un número decimal de personas, solo un número natural. Es decir, no puede haber 1,5 personas.

10 1 43 Dentro

de 10 años ganará 51 814,20 euros.

a) S (t ) = 24 000 · 1,08t b) Para los valores naturales.

44

intensidad (u)

Y 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 X

distancia (m)

Ha de ponerse a una distancia de medio metro.

Resuelve: un poco más difícil 45 a)

b)

Y

50 50

34

X

Y

75 1

X

c)

Y

d)

Y 100 5

0,1 X

5

46 a)

X

y = 3x – 1 = 2 + 3 x –1 x –1

Y

1

b) y = x + 1 = –

1

X Y

1 +1 x+2

x+2

1 1 X

c) y = 1 – x =

x +1

47 Debe 48 a) x

Y

2 –1 x +1

1 1

X

venderlos el 24.º día y obtendrá un beneficio de 518,40 euros.

∈N

b)

Coste por unidad

Total

10

100,3

1 003

100 000

0,31

31 000

c) Se acerca a 0,3.

49 f

(x) = (x + 1)2 + 1 = x2 + 2x + 2

50 y

1 2 =– x , definida en [0, 12].

18

1 g(x) = – 1 (x – 6)2 + 4 = – x2 + 6x – 14 2 2

Reflexiona sobre la teoría 51

a) Para x = 2 y para x = 1, la función tiene dos valores distintos. b) Para todos los puntos del intervalo (0, 1], la función tiene dos valores distintos.

52

a) y = –x2 + 4x – 4 Y X

35

b) y = x2 – 6x + 7 Y

X

c) y = –2x2 Y

53

X

7 x si x < 3 a) Por ejemplo: f (x) = * 3 –2x + 13 si x ≥ 3 Y 7

67 X

3

x2 b) Por ejemplo: f (x) = * –x + 6

si x ≤ 2 si x > 2

Y

4

2

X

pasan por (0, 1), ya que y = a0 = 1 para cualquier valor de a ≠ 0.

Para 0 < a < 1, es decreciente.

54 Todas

55

36

a) Falso. b) Verdadero. c) Falso. d) Verdadero. e) Falso. f ) Falso. g) Verdadero.

Taller de matemáticas

Unidad 5

áticas

Taller de matem INFÓRMATE

ENTRÉNATE RESOLVIENDO OTROS PROBLEMAS

Desintegración radiactiva

• Una vela dura una hora. Con las sobras de 10 velas se fabrica una nueva.

Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo radiaciones y transformándose en otras sustancias. Este proceso se realiza con el paso del tiempo y a un ritmo que varía muchísimo de unas sustancias a otras.

Uranio 92 sustancia radiactiva 8 radiaciones + otra sustancia U 2 500 millones de años La rapidez con la que se desintegra una sustancia radiactiva 238,029 se mide mediante su periodo de semidesintegración, que 89 es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa Actinio Ac inicial. A la derecha puedes ver los periodos de desintegra28 años 227,028 ción de algunas sustancias radiactivas.

Si tenemos una masa inicial de 1 g, la cantidad de masa de esta sustancia que queda al pasar el tiempo es: T

M = c 1 m gramos 2 donde T es el tiempo transcurrido tomando como unidad el periodo de semidesintegración, SD. Si la sustancia fuera el actinio y el tiempo lo quisiéramos expresar en años, la fórmula correspondiente sería: t/28 M = c 1 m donde M es la cantidad de actinio que queda al pasar t años.

2

1

a) ¿Cuántas horas de luz tendremos con 442 velas?

88

Radio 1 620 años

Ra

226,025

81

Talio 3 minutos

Tl

204,383

b) ¿Cuántas velas se necesitan para 1 000 horas de luz?

• Una granjera fue al mercado a vender una cesta de huevos. La primera clienta compró la mitad de los huevos más medio huevo. La segunda compró la mitad de los que le quedaban más medio huevo, y lo mismo hizo la tercera. Con esto concluyó la venta, ya que a la granjera no le quedaban más huevos. ¿Cuántos huevos tenía?

masa (g)

1 –– 2 1 –– 4 1

La prueba del carbono catorce, C14 En la naturaleza hay tres isótopos del carbono: C12, C13 y C14. Los dos primeros son estables y el tercero es radiactivo. Tiene un periodo de semidesintegración de 5 700 años; es decir, en ese tiempo, cualquier cantidad de C14 queda reducida a la mitad.

Al igual que los otros isótopos del carbono, el C14 está en la atmósfera (CO2) y es absorbido por las plantas (función clorofílica) que lo asimilan en una determinada proporción. Y, por medio de las plantas, el C14 se incorpora, también, a los demás seres vivos en la misma proporción. Pues bien, cuando un ser vivo muere y se fosiliza, su C14 sigue el proceso de desintegración según la función que ves a la derecha.

2

3

AUTOEVALUACIÓN

4

tiempo en periodos de SD

P = 100 · c 1 m 2

ción es: Z ]] 2x + 6 si x < –2 y = [ x/2 + 3 si –2 ≤ x < 2 ] –x + 6 si x ≥ 2 \ ¿Es continua? Inventa una con los mismos tramos que no sea continua.

t 5 700

2 Halla el vértice de cada una de las siguientes parábo-

proporción de C14 de un fósil y conociendo la inicial (planta viva), con la ecuación anterior se puede obtener su edad geológica, es decir, el tiempo que hace que se formó.

Si expresamos el tiempo, t, en siglos, la ecuación anterior puede transformarse así: t

P = 100 · c 1 m = 100 · >c 1 m H ≈ 100 · 0,988t 8 P = 100 · 0,988t, t en siglos 2 2 Es decir, que en 1 siglo se conserva el 100 · 0,988 = 98,8% del C14 o, lo que es lo mismo, se ha desintegrado el 1,2 %.

• ¿Qué porcentaje de C14, con relación al de una planta viva, tendrá un fósil de 33 000 años?

• ¿Cuál es la antigüedad de un fósil al que le queda solo un 10 % del C14 de una planta viva?

1 57

las y represéntalas: 2 a) y = x – 2 2 c) y = (5 – x)(x + 1)

b) y = x 2 + 4x – 5

e) y = 2x 2 + 4x

f ) y = 9 – (x – 1)2

g) y = 2(x – 1)(x + 3)

h) y = (x + 2)2 – 2x 2

d) y = –(x – 3)2 – 1

3 Expresa, en cada caso, como función definida a tro-

zos y represéntala: a) y = |2x + 1|

c) y = |–x 2 + 4x – 3|

En la fórmula, sustituye P por 10 y despeja t tomando logaritmos.

Compromiso

132

anayaeducación.es Resoluciones de estos ejercicios y una autoevaluación interactiva.

1 Representa la función definida a trozos cuya ecua-

Es decir, cada 5 700 años la cantidad de C14 queda reducida a la mitad. Así, averiguando la

t 57

• Un padre repartió entre sus hijos un rebaño de ovejas.

— El mayor de ellos se llevó una oveja más 1/7 de las restantes.

— Al segundo le correspondieron dos ovejas más 1/7 de las restantes.

— El tercero recibió tres ovejas más 1/7 de las que quedaban.

— Y así sucesivamente hasta llegar al más pequeño.

De esta manera, todos recibieron la misma herencia y no sobró ninguna oveja. ¿Cuántos hermanos eran? ¿Cuántas ovejas había en el rebaño?

b) y = 1 – x 4 d) y = |9 – (x – 2)2|

4 Representa las siguientes funciones e indica sus do-

minios de definición: a) y = 1 b) y = 3 – 2 x x +5 d) y = x + 2

e) y = 2 x – 1

c) y =

3 +1 x –1

f) y = – x – 3

5 Representa estos pares de funciones:

a) y = 1,2x; y = log1,2 x b) y = 2,5x; y = log2,5 x ¿Respecto a qué recta son simétricas las dos funciones de cada par?

6 Con un listón de madera de 3 metros de largo, que-

remos fabricar un marco para un cuadro. a) Si la base del cuadro midiera 0,5 m, ¿cuánto mediría la altura? ¿Y la superficie?

b) ¿Cuál es la expresión que nos da la superficie, S, para una base cualquiera, b ? Represéntala. c) ¿Para qué valor de la base se obtiene la superficie máxima? ¿Cuánto vale dicha superficie?

Visualiza el vídeo Meta 6.a, piensa en una acción con la que podrías contribuir al logro de esa meta y comprométete a llevarla a cabo.

TIC anayaeducacion.es Soluciones de la autoevaluación.

Compromiso ODS Visualizar el vídeo Meta 6.a.

133

Infórmate y calcula La desintegración radiactiva se presenta tomando como unidad de tiempo el periodo de semidesintegración, con el fin de que aparezca como ecuación una sencilla exponencial de base 1/2.

Hasta aquí es una actividad bastante asequible. En la segunda parte, Prueba del C14, se complica algo no solo por el proceso que se describe, sino también por los cambios matemáticos que conlleva el expresar la ecuación con una unidad de tiempo dada en años o en siglos.

Creemos que, a pesar de su relativa dificultad, es una actividad factible y culturalmente muy interesante.

Soluciones

• 1,86 % • Unos 19 000 años.

Entrénate resolviendo otros problemas • a) Se consiguen 491 horas de luz y sobra algo de vela. b) Se necesitan 901 velas, aunque con ellas conseguiremos no 1 000, sino 1 001 horas de luz.

• 7 huevos.

• Eran 6 hermanos y había 36 ovejas.

Autoevaluación 1

Y 2 –2

–2

2

X

Z Es continua. ]]2x si x < –2 Respuesta abierta. Por ejemplo: y = [3x si –2 ≤ x < 2 ]2x si x ≥ 2 \ 2

a) Vértice: (0, –2)

b) Vértice: (–2 –9)

Y

Y x2 – 2 y=— 2

X

X y = x 2 + 4x – 5 37

c) Vértice: (2, 9) Y

d) Vértice: (3, –1) Y

y = (5 – x)(x + 1)

X

y = –(x – 3)2 – 1 X

e) Vértice: (–1, –2)

f ) Vértice: (1, 9)

Y

Y

y = 9 – (x – 1)2

y = 2x 2 + 4x

X

X

g) Vértice: (–1, –8)

h) Vértice: (2, 8)

Y

Y

y = (x + 2)2 – 2x 2

X

y = 2(x – 1)(x + 3)

X

3

a)

b)

Y

Y

X X

c)

d)

Y

Y

X X 4 a) Á

b) Á – {0}

– {–5}

Y

Y X

–5 1 y=— x+5 38

–2

X 3 –2 y=— x

c) Á – {1}

d) [–2, +∞)

Y

Y

3 +1 y=— x–1

1

— y = √x + 2 X

X

1

e) [1, +∞) Y

f ) [3, +∞) Y

— y = 2√x – 1

X X

— y = –√x – 3

5

a) y = 1,2x

y = log1,2 x

Las funciones son simétricas respecto a y = x. b)

y = 2,5x

Y

y = log 2,5 x

1

X

1

Las funciones son simétricas respecto a y = x.

6 a) Altura

= 1 m; Área = 0,5 m2

b) S = b(1,5 – b) = 1,5b – b2 superficie(m)

0,5

0

0,75

1,5

base (m)

c) El área máxima se obtiene para una base de 0,75 m, y es de 0,5625 m2.

39

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Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra está protegido por la Ley, que establece penas de prisión y/o multas, además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios, para quienes reprodujeren, plagiaren, distribuyeren o comunicaren públicamente, en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica, o su transformación, interpretación o ejecución artística fijada en cualquier tipo de soporte o comunicada a través de cualquier medio, sin la preceptiva autorización.

40