Page 1

Prof. Dr. Thomas Braun

Investition und Finanzierung Prof. Dr. Thomas Braun Lehrstuhl f端r Betriebswirtschaftslehre, insb. Finanzwirtschaft

Sommersemester 2010

1/110


Literatur

Braun, T. (2009), Investition und Finanzierung, Berlin. Kistner, K.-P. (2003), Optimierungsmethoden: Einf端hrung in die Unternehmensforschung f端r Wirtschaftswissenschaftler, Heidelberg, 3. Auflage. Rasmusen, E. (2001), Games and Information, 3rd Ed., Blackwell, Oxford. Tirole, J. (1988), The theory of industrial organization, Cambridge.

Prof. Dr. Thomas Braun

2/110


Inhalte der Veranstaltung

1. Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen 1.1 Dominanz und Effizienz 1.2 Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitpräferenzen 1.3 Zinssätze als Kapitalkostensätze 2. Investitionsrechnung 2.1 Vom Kapitalkostenkonzept zum Kapitalwertkriterium 2.2 Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren 2.3 interner Zinsfuß 2.4 Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens 2.5 optimaler Investitionszeitpunkt 2.6 Sensitivitätsanalyse Macauley Duration modifizierte Duration und Convexity als Sensitivitätskennziffern

3. Grundlagen der Rentenversicherung Prof. Dr. Thomas Braun

3/110


Inhalte der Veranstaltung

3.1 Barwerte von Zeitrenten in versicherungsmathematischer Notation 3.2 Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln 3.3 Grundlagen der Pr채mienkalkulation 3.4 Kommutationen als Rechenhilfe 3.5 prospektives Deckungskapital 4. Investitionsrechnung in stetiger Zeit 5. Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen 5.1 Spezifit채t von Investitionen 5.2 strategische Positionierung 6. Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) 6.1 Das Modell von Dean 6.2 Sensitivit채tsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus Prof. Dr. Thomas Braun

4/110


Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen Dominanz und Effizienz

Notation: j

(zij )Ni =n

:

durch die Verwirklichung von Projekt j = 1, . . . , J j j ausgelöste Folge von Zahlungen zn , . . . , zN j

N

:=

max(N 1 , . . . , N J )

:=

(zij )Ni =n

zN n

j

j

zentrale Annahmen: Jedes Investitionsprojekt j lässt sich durch eine Folge von j sicheren Zahlungen zn vollständig abbilden ◮ jedem Zählindex i ∈ N := {1, . . . , N } ist genau ein Zeitpunkt ti zugeordnet ◮

Prof. Dr. Thomas Braun

5/110


Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen Dominanz und Effizienz

Definition: Dominanz Projekt a dominiert Projekt b genau dann, wenn

zia ≥ zib für alle i ∈ N

(1)

zia > zib für wenigstens ein i ∈ N .

(2)

und

Prof. Dr. Thomas Braun

6/110


Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen Dominanz und Effizienz

Aufgabe: Dominanz Gibt es Dominanzbeziehungen zwischen den Projekten a, . . . , d? Wenn ja, welche? Projekt Zeitpunkt t0 t1 t2

a

b

c

d

-100 10 110

-110 12 0

-100 11 110

-99 0 110

Lösung: c dominiert a Problem: mangelnde Vergleichbarkeit von Zahlungen, die in verschiedenen Zeitpunkten erfolgen ⇒ trotz ingesamt wesentlich höherer Nettozahlungen keine Dominanz von c gegenüber b

Prof. Dr. Thomas Braun

7/110


Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitpräferenzen

Annahme: Der Wert einer Folge von Zahlungen z0 = (zi )N i =0 lässt sich mit einer linearen Bewertungsfunktion

N

V0 (z0 ) =

∑ αi · zi

(3)

i =0

mit

α0 = 1 bewerten.

Prof. Dr. Thomas Braun

8/110


Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitpräferenzen

Annahme: Der Entscheider ist in der Lage, für alle Zeitpunkte ti (i = 0, . . . , N − 1) durch Angabe von Ausgleichszahlungen ∆i +1 Indifferenzbeziehungen der folgenden Art zu spezifizieren:

z0 , . . . , zi − 1, zi +1 + ∆i +1 , . . . , zN ∼ (zi )N i =0

(4)

Schlussfolgerung: Es können Tauschrelationen angegeben werden:

Prof. Dr. Thomas Braun

αi +1 1 = αi ∆ i +1

(i = 0, . . . , N − 1)

9/110


Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitpräferenzen

Definition: Kapitalkostensatz Der Preis ki ,i +1 := ∆i +1 − 1 für die Überlassung einer Geldeinheit über den Zeitraum von ti bis ti +1 heißt Kapitalkostensatz der Periode [ti , ti +1 ).

Prof. Dr. Thomas Braun

10/110


Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitpräferenzen

Schlussfolgerung: Der Wert von zn (n = 1, . . . , N) im Zeitpunkt tm (m = 0, . . . , n − 1) kann in Verbindung mit der Definition von kapitalkostenbasierten Bewertungsfaktoren n −1

qm,n :=

1

n −1

1

αi +1 αn = α α i m i =m n −1

∏ 1 + ki ,i +1 = ∏ ∆i +1 = ∏

i =m

i =m

wie folgt bestimmt werden

Prof. Dr. Thomas Braun

N

Vm (zn ) =

∑ qm,i · zi

i =n

11/110


Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitpräferenzen

Für m = 0, . . . , n − 1, n = 1, . . . , N − 2 und o = n + 1, . . . , N − 1 und p = o + 1, . . . , N gilt

qm,p =

αp αo αp = · = qm,o · qo,p αm αm αo

und mithin

o

Vm (zn ) =

Prof. Dr. Thomas Braun

N

∑ qm,i · zi + qm,o ∑

i =n

i =o +1

o

qo,i · zi =

∑ qm,i · zi + qm,o · Vo (zo+1)

i =n

12/110


Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitpräferenzen

Für n = 0, . . . , N − 1 erhält man unter Berücksichtigung von VN (zN +1 ) = VN (0) = 0 Vn (zn+1 ) = qn,n+1 · zn+1 + qn,n+1 · Vn+1 (zn+2 ) In Verbindung mit qn−,n1+1 − 1 = ∆n+1 − 1 = kn,n+1 , folgt hieraus die

Prof. Dr. Thomas Braun

13/110


Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitpräferenzen

Fundamentalgleichung I

zn+1 + Vn+1 (zn+2 ) − Vn (zn+1 ) = kn,n+1 · Vn (zn+1 )

(5)

⇒ Die Wahlentscheidung fällt auf der Grundlage einer Bewertung, die garantiert, dass der Wert des (noch nicht realisierbaren!) Gesamtvermögens in jeder zukünftigen Teilperiode um die Kapitalkosten anwächst! Begründung: Die Kapitalkosten sind die aus der Sicht des Entscheiders notwendige Kompensation für das Aufschieben von Konsum! Im Allgemeinen hängt die Investitionsentscheidung demnach von Konsumpräferenzen ab!

Prof. Dr. Thomas Braun

14/110


Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen Zinssätze als Kapitalkostensätze

Frage: Kann man Investitionsgelegenheiten auch unabhängig von Konsumpräferenzen bewerten? Antwort: Wer Kapitalkostensätze in Höhe tatsächlich geltender Zinssätze für alle Teilperioden ansetzt, kann Konsumpräferenzen ignorieren, weil eine den Präferenzen entsprechende Verschiebung von Zahlungen auf der Zeitachse in diesem Fall nichts an der Bewertung ändert. Hinweis (Zinssatz): Ein Zinssatz ist der Preis für die Überlassung einer Geldeinheit für einen bestimmten Zeitraum bezogen auf ein Normlänge von einem Jahr (daher der Zusatz p.a. (pro annum)).

Prof. Dr. Thomas Braun

15/110


Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen Zinssätze als Kapitalkostensätze

Annnahme (Existenz eines vollkommenen und vollständigen Kapitalmarktes):

⇒ Auf vollkommenen und vollständigen Kapitalmärkten lassen sich die Preise für die Verlagerung von Geldeinheiten über beliebige Teilzeiträume [n, n + 1) zum Zeitpunkt der Bewertung t0 aus beobachtbaren Preisen ableiten. Sie werden als implizite Terminzinssätze f0,n,n+1 bezeichnet.

⇒ Die Identifikation von Kapitalkostensätzen mit impliziten Terminzinssätzen gewährleistet in diesem Fall eine Bewertung zukünftiger Zahlungen zu dem Preis, den man in t0 am Markt für diese erzielen kann oder bezahlen muss. Dieser Preis wird als Marktwert bezeichnet und symbolisch durch Π0 dargestellt.

Prof. Dr. Thomas Braun

16/110


Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen Zinssätze als Kapitalkostensätze

In diesem Fall erhält man statt (5) die Fundamentalgleichung II zn+1 + Πn+1 (zn+2 ) − Πn (zn+1 ) = fn,n+1 · Πn (zn+1 )

(6)

und es ergeben sich Implikationen für den möglichen Konsum: Beispiel (Kapitalerhaltung):

Πn+1 (zn+2 ) = Πn (zn+1 )

für alle

⇔ zn+1 = f0,n,n+1 · Πn (zn+1 )

n = 0, . . . , N − 1 für alle

n = 0, . . . , N − 1

Das Vermögen bleibt demnach genau dann erhalten, wenn am Ende jeder Periode die am Markt realisierbaren Zinsen auf das zu Beginn der jeweiligen Periode vorhandene Kapital konsumiert werden! Prof. Dr. Thomas Braun

17/110


Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen Zinssätze als Kapitalkostensätze

Finanzpläne dienen der Ermittlung der mit einer Investitionsgelegenheit verbundenen Konsummöglichkeiten. Finanzpläne sind insbesondere dann nützlich, wenn Marktunvollkommenheiten (z.B. gespaltene Zinssätze, Steuern) zu berücksichtigen sind.

Prof. Dr. Thomas Braun

18/110


Investitionsrechnung Vom Kapitalkostenkonzept zum Kapitalwertkriterium

Notation: I

:

Anschaffungsauszahlung für eine Investition im Betrachtungszeitpunkt (grundsätzlich t0 )

Definition: Present Value (Barwert, Gegenwartswert) PV : = V0 (zn )

(7)

wird als Present Value der zukünftigen Zahlungen zn bezeichnet Definition: Net Present Value (Kapitalwert)

Prof. Dr. Thomas Braun

NPV := PV − I

19/110


Investitionsrechnung Vom Kapitalkostenkonzept zum Kapitalwertkriterium

Bei einer Bewertung zukünftiger Cash Flows durch N

Vn (zn+1 ) =

qn,i · zi

i =n +1

ist ist qua definitionem von qn,i gewährleistet, dass ein Investitionprojekt über alle Perioden ab t1 die Kapitalkosten auf den Wert der jeweils noch im Projekt gebundenen Cash Flows erwirtschaftet

⇒ notwendig und hinreichend dafür, dass eine Investition über sämtliche Perioden wenigstens die Kapitalkosten erwirtschaftet, ist demnach:

Prof. Dr. Thomas Braun

z1 + V1 (z2 ) − I ≥ k0,1 · I

(8)

20/110


Investitionsrechnung Vom Kapitalkostenkonzept zum Kapitalwertkriterium

(8) ist unter Berücksichtigung von k0,1 = q0−,11 − 1 äquivalent zum Kapitalwertkriterium

Prof. Dr. Thomas Braun

q0,1 · (z1 + V1 (z2 )) ≥ I

⇔ PV ≥ I ⇔ NPV ≥ 0

(9)

21/110


Investitionsrechnung Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

Allgemein gilt für den Present Value einer Zahlungscharakteristik zn und n < o < N o

PV =

∑ q0,i · zi + q0,o · Vo (zo+1)

i =n

Notation: m

:

valuation multiple, cash multiple (Multiplikator)

Vorgehensweise:

Prof. Dr. Thomas Braun

Vo (zo+1 ) ≡ m · zo 22/110


Investitionsrechnung Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

Unter vereinfachenden Annahmen an die Struktur

â&#x20AC;˘ der Zahlungscharakteristik (zi )Ni=o+1 â&#x20AC;˘ und/oder der Bewertungsfaktoren (qo,i )Ni=o+1 lassen sich Multiples und Bemessungsgrundlagen exakt berechnen: Annahmen (konstante Kapitalkostensätze, konstante Cash-Flow-Ă&#x201E;nderungsraten g):

Prof. Dr. Thomas Braun

qo,i zi

= q i â&#x2C6;&#x2019;o = zo ¡ (1 + g )i â&#x2C6;&#x2019;o



fĂźr i = o + 1, . . . , N ;

g > â&#x2C6;&#x2019;1

23/110


Investitionsrechnung Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

Bewertungsformeln: In Verbindung mit

kˆ :=

k −g 1+g

und

ˆ := q(kˆ) = q

1 1 + kˆ

=

1+g 1+k

gilt

Prof. Dr. Thomas Braun

N

V o ( zo + 1 ) =

ˆ i − o · zo = zo · m q

i =o +1

24/110


Investitionsrechnung Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

mit

m=



1 kˆ

N −o · (1 − qˆN −o )

falls g = k falls g 6= k

und (Gordonsche Wachstumsformel)

lim m =

N →∞

1 kˆ

(0 < kˆ ⇔ g < k )

Fazit: Konstante Cash-Flow-Änderungsraten können durch Modifikationen des Kapitalkostensatzes berücksichtigt werden.

Prof. Dr. Thomas Braun

25/110


Investitionsrechnung Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

Herleitung: Allgemein gilt für eine geometrische Reihe x n , x n+1 , . . . , x N mit x 6= 1: N

∑ xi =

x N +1 − x n

i =n

x −1

und mithin

Prof. Dr. Thomas Braun

N

i =o +1

ˆi −o = qˆ−o · q

ˆN +1 − qˆo+1 q ˆ−1 q

=− = =

ˆ q ˆ−1 q 1

ˆ −1 − 1 q 1 kˆ

· (1 − qˆN −o ) · (1 − qˆN −o )

· (1 − qˆN −o )

26/110


Investitionsrechnung Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

Annahmen (konstante Kapitalkostensätze, Konvergenz der Cash Flows zu einem Normalniveau z mit Geschwindigkeit v): qo,i zi

= q i â&#x2C6;&#x2019;o = z + q(v )i â&#x2C6;&#x2019;o ¡ (zo â&#x2C6;&#x2019; z )



fĂźr

i = o + 1, . . . , N ;

v â&#x2030;Ľ0

Definitionen:

Prof. Dr. Thomas Braun

m(x , y ) :=

Îą :=

1 x

¡ (1 â&#x2C6;&#x2019; q(x )y )

m(k + (1 + k ) ¡ v , N â&#x2C6;&#x2019; o) m(k , N â&#x2C6;&#x2019; o) 27/110


Investitionsrechnung Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

Hinweis

m(x , y ) =

1 x

− q(x )y ·

1 x

y ∞ = V0 (z∞ 1 ) − q(x ) · Vy (zy +1 )

Bewertungsformel: Vo = m · (α · zo + (1 − α ) · z ) Fazit: Konvergenz der Cash Flows zu einem Normalniveau kann durch eine Modifikation der Bemessungsgrundlage für den Multiplikator berücksichtigt werden.

Prof. Dr. Thomas Braun

28/110


Investitionsrechnung interner Zinsfuß

Definition (interner Zinsfuß): Ein interner Zinsfuß einer Zahlungsreihe ist ein Zinssatz y (yield), für den der Kapitalwert dieser Zahlungsreihe den Wert Null annimmt. Interne Zinsfüße werden als Kennziffer zur Beschreibung von Zahlungsreihen verwendet. Beispiel (Effektivrendite einer Kuponanleihe): Gesucht ist die Effektivrendite einer Kuponanleihe mit Nominalwert 1, einer Restlaufzeit von N Jahren und jährlichem N ,c Kupon c. Die Anleihe hat in t0 einen Preis P0 und zahlt am Ende der darauf folgenden N Jahre einen Kupon in Höhe von c und bei Fälligkeit zusätzlich den Nominalwert 1. Die Effektivrendite y (yield to maturity) entspricht dem internen Zinsfuß der durch ein Buy-and-Hold Geschäft in der Anleihe

Prof. Dr. Thomas Braun

29/110


Investitionsrechnung interner Zinsfuß

ausgelösten Zahlungsreihe und wird definitionsgemäß implizit durch

− P0N ,c

+c·



1 y

N

− q(y ) ·

1 y



!

+ q(y )N · 1 = 0

(10)

bestimmt. Spezialfall (Pari-Notiz): N ,c Für P0 = 1 (Preis = Nominalwert) wird (10) von y = c erfüllt.

Prof. Dr. Thomas Braun

30/110


Investitionsrechnung Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

Notation: f0 z fN r

αi θ N

: : : : : : :

Nominalbetrag (Auszahlungsbetrag) monatliche Rate Restschuld Nominalzinssatz Bruchteil der i-ten Monatsrate, der für die Tilgung verbleibt anfänglicher jährlicher Tilgungssatz Anzahl voller Monatsraten

Zahlungscharakteristik (aus Gläubigersicht)

Prof. Dr. Thomas Braun

31/110


Investitionsrechnung Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

      

−f0 z .. . z z + fN

      

mit z =

r +θ 12

· f0

Bestimmung von Laufzeit und Restschuld: Sei αj der Bruchteil der j-ten Monatsrate, der für die Tilgung verbleibt, dann gilt

Prof. Dr. Thomas Braun

αj · z =

(

r  z − f0 · 12  j −1 r z − f − ∑i =1 αj · z · 12

für

j

= 1

für

j

= 2, . . . , N

32/110


Investitionsrechnung Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

Unter Berücksichtigung von

αj = 1 − = 1−

Prof. Dr. Thomas Braun

z f0 z

|

erhält man

αj =

f0

  

j −1

− ∑ αj i =1 j −2

− ∑ αj i =1

!

·

!

·

{z

θ



r 1 + 12 · αj −1

12 r 12

+ αj −1 ·

r 12

}

αj − 1

r +θ

r

für

j

= 1

für

j

= 2, . . . , N

33/110


Investitionsrechnung Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

Es verbleibt also eine Restschuld in Höhe von N −1

fN = f0 − z

∑ αi

i =1

= f0 − z α1

N −1

∑q

i =0

 r −i 12

 r −N   θ  q 12 −1 = f0 − · f 0 · r +θ ·  − 1 r q 12 −1     − N r = f0 · 1 − θr q 12 −1 r +θ 12

Der interne Zinsfuß pro Monat ym wird implizit durch

Prof. Dr. Thomas Braun

N !

z · m (ym , N ) + fN · q (ym ) = f0 34/110


Investitionsrechnung Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

bzw. r +θ 12



    · y1m 1 − q (ym )N + 1 − θr q

 r −N 12

 ! − 1 · q (ym )N = 1 ⇔ ym =

r 12

bestimmt. Für den Effektivzinssatz p.a. y gilt 1 + y = (1 + ym )12 , und somit für das Hypothekendarlehen r y = 1 + 12

12

−1 >

r 12

Als maximale Anzahl voller Monatsraten (Anm.: ⌊x ⌋ bezeichnet die größte ganze Zahl, die nicht größer als x ist) Prof. Dr. Thomas Braun

35/110


Investitionsrechnung Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

x

Nmax := ⌊x ⌋ : z

∑ αi = f0

i =1

errechnet sich

Prof. Dr. Thomas Braun

Nmax = ⌊

ln(1+ θr ) r ln(1+ 12 )

36/110


Investitionsrechnung Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

Beispiel f0 r

θ

Prof. Dr. Thomas Braun

: : :

10.000 4,4% 100%

z=

0,044+1 12

· 10.000 = 870 ln( ) Nmax = ⌊ ⌋ = ⌊11,765⌋ = 11 ln( )    11 0,044 1 f11 = 1 − 0,044 1 + 12 −1 · 10.000 ≈ 663,42 0,044 1+ 1 0,044 1+ 12

37/110


Investitionsrechnung optimaler Investitionszeitpunkt

Annnahme Die Verwirklichung einer Investitionsgelegenheit kann verschoben werden. Die Zahlungskonsequenzen der Verschiebung sind mit Sicherheit bekannt. Notation: i

(zji )Nj =i +1

:

durch die Verwirklichung der Gelegenheit in ti = i ausgelรถste Folge von Zahlungen zii+1 , . . . , zNi i

zi + 1

:=

(zji )Nj =i +1

Prof. Dr. Thomas Braun

i

38/110


Investitionsrechnung optimaler Investitionszeitpunkt

Bedingung für den Aufschub der Projektrealisierung vom Zeitpunkt i auf den Zeitpunkt i + 1



+1 N q(ki ,i +1 ) · Vi +1 (zN i +2 ) − Ii +1 > Vi (zi +1 ) − Ii

bzw.

+1 N N Vi +1 (zN i +2 ) − Vi (zi +1 ) − (Ii +1 − Ii ) > ki ,i +1 · (Vi (zi +1 ) − Ii )

(11) Spezialfälle: konstante Investitionsauszahlung Ii +1 = Ii = I und ewige Rente

Prof. Dr. Thomas Braun

39/110


Investitionsrechnung optimaler Investitionszeitpunkt

Fall OZ1: konstante Investitionsauszahlung und ewige Rente Bedingung (11) konkretisiert sich zu: 0 > ki ,i +1 · (Vi (z∞ i +1 ) − I )

⇒ Eine solche Gelegenheit wird entweder sofort oder niemals realisiert! Fall OZ2: konstante Investitionsauszahlung Ii +1 = Ii = I und ewig mit der Rate g wachsende Zahlungen Unter Berücksichtigung von ∞ ∞ Vi +1 (z∞ i +2 ) − Vi (zi +1 ) = g · Vi (zi +1 )

konkretisiert sich Bedingung (11) zu:

Prof. Dr. Thomas Braun

∞ g · Vi (z∞ i +1 ) > ki ,i +1 · (Vi (zi +1 ) − I ) 40/110


Investitionsrechnung optimaler Investitionszeitpunkt

bzw.

Vi (z∞ i +1 ) <

ki ,i +1 g − ki ,i +1

·I

Nimmt man nun noch ki ,i +1 = k > g für alle i an, dann existiert eine Schwelle (Barrier) B :=

k g k g

−1

·I > I,

die der Present Value wenigstens erreichen muss, bevor die Investitionsgelegenheit ergriffen werden sollte. Im Fall g > k besteht keine Veranlassung zu warten, weil der Wert in jedem möglichen Investitionszeitpunkt unendlich groß ist. Prof. Dr. Thomas Braun

41/110


Investitionsrechnung optimaler Investitionszeitpunkt

Fall OZ3: konstanter Kapitalkostensatz; endliche Anzahl N von Zahlungen, die mit konstanter Rate g = k wachsen und

zji +1 − zji

=



+1 zii+ 1+N

0 = (1 + g )N · zii+1

j = i + 2, . . . , i + N j = i +1+N

für für

Bedingung (11) konkretisiert sich zu: N · zi +1 − N · zi > k · (N · zi − I ) bzw. g · zi > k · (zi −

I N

) ⇔ zi <

k g k g

I

−1 N

In diesem Fall sollte man demnach trotz positivem NPV solange wie möglich mit der Investition warten, falls g ≥ k. Prof. Dr. Thomas Braun

42/110


Investitionsrechnung Sensitivitätsanalyse Macauley Duration

Definition(Macauley Duration): Die Macauley Duration entspricht der gewichteten mittleren (Rest-)Laufzeit einer Zahlungscharakteristik

N

d :=

∑ wi · i

i =1

mit

Prof. Dr. Thomas Braun

wi : =

q(y )i · zi

∑Ni=1 q(y )i

· zi

43/110


Investitionsrechnung Sensitivitätsanalyse Macauley Duration

Beispiel: Duration einer nachschüssige Rente mit insgesamt N = 10 Zahlungen bei einem Kapitalkostensatz in Höhe von 5%

Prof. Dr. Thomas Braun

d = 0,1233 · 1

+ 0,1175 · 2 + 0,1119 · 3 + 0,1065 · 4 + 0,1015 · 5 + 0,0966 · 6 + 0,0920 · 7 + 0,0877 · 8 + 0,0835 · 9 + 0,0795 · 10 ≈ 5, 1 <

10 + 1 2

44/110


Investitionsrechnung Sensitivitätsanalyse Macauley Duration

Eigenschaften der Macauley Duration:

Prof. Dr. Thomas Braun

Die Duration eines Zerobonds entspricht seiner Restlaufzeit, da nur eine Zahlung im Zeitpunkt der Fälligkeit erfolgt. Die Duration einer kupontragenden Anleihe ist stets kleiner als deren Restlaufzeit, solange der vorletzte Kupon noch nicht eingelöst wurde. Die Duration einer kupontragenden Anleihe nimmt ceteris paribus mit steigendem Kuponzinssatz ab, da sich das Gewicht der relativ frühen Zahlungen erhöht. Die Duration einer kupontragenden Anleihe nimmt ceteris paribus mit steigender Effektivrendite ab, da die zukünftigen Zahlungen durch die stärkere Abdiskontierung im Zeitpunkt der Berechnung relativ an Bedeutung verlieren.

45/110


Investitionsrechnung Sensitivitätsanalyse modifizierte Duration und Convexity als Sensitivitätskennziffern

Definition (modifizierte Duration):

dm := q(y ) · d = −

dV0 (y ) V0 (y ) dy 1

Definition (Konvexität):

Prof. Dr. Thomas Braun

N d2 V0 (y ) 2 c:= = q ( y ) · d + ∑ wi · i 2 V0 (y ) dy 2 i =1

1

!

46/110


Investitionsrechnung Sensitivitätsanalyse modifizierte Duration und Convexity als Sensitivitätskennziffern

Wert einer Zahlungscharakteristik (zi )N i =1 im Zeitpunkt t bei einem konstanten Kapitalkostensatz k

N

Vt (k ) = ∑ q(k )(ti −t ) · zi i =1

Satz von Taylor

Prof. Dr. Thomas Braun

n

f (x + h) =

i =0

f (i ) (x ) i!

hi + o(|h|n )

47/110


Investitionsrechnung Sensitivitätsanalyse modifizierte Duration und Convexity als Sensitivitätskennziffern

Taylor-Approximation zweiter Ordnung

V0 (k + ∆k ) ≈ V0 (k ) +

dV0 (k ) 1 d2 V0 (k ) ∆k + (∆k )2 dk 2 dk 2

approximative relative Wertänderung

∆V0 (k + ∆k ) 1 dV0 (k ) 1 1 d2 V0 (k ) ≈ · ∆k + · (∆k )2 V0 (k ) V0 (k ) dk 2 V0 (k ) dk 2 | {z } | {z } −dm

c

(12)

⇒ Investitionsentscheidungen lassen sich umso besser durch die Wahl des Kapitalkostensatzes beeinflussen, je länger die durchschnittliche Rückflussdauer Prof. Dr. Thomas Braun

48/110


Investitionsrechnung Sensitivitätsanalyse modifizierte Duration und Convexity als Sensitivitätskennziffern

⇒ der Wert erhöht sich im Falle einer um den Betrag |∆k | sinkenden Effektivrendite stärker als er im Falle einer um den gleichen Betrag steigenden Effektivrendite fällt! Beispiel ◮

Annahmen: ◮

Betrachtet werden zwei Investitionsgelegenheiten, die in der Zukunft folgende Zahlungen generieren i

1

2

3

zi1 zi2

0 10

33 11

0 12, 1

konstanter Kapitalkostensatz im Bewertungszeitpunkt t0 = 0

exakte Berechnung Auswirkungen einer Absenkung des Kapitalkostensatzes um 2%

Prof. Dr. Thomas Braun

49/110


Investitionsrechnung Sensitivitätsanalyse modifizierte Duration und Convexity als Sensitivitätskennziffern

Prof. Dr. Thomas Braun

Wert der Investitionsgelegenheit bei einem Kapitalkostensatz von k = 10%

V10 (10%) = V20 (10%) = ◮

33 1, 12 10 1, 1

≈ 27, 27

+

11 1, 12

+

12, 1 1, 13

=

33 1, 12

≈ 27, 27

Wert der Investitionsgelegenheit bei einem Kapitalkostensatz von k = 8%

V10 (8%) = V20 (8%) =

33 1, 082 10 1, 08

≈ 28, 29

+

11 1, 082

+

12, 1 1, 083

≈ 28, 30

50/110


Investitionsrechnung Sensitivitätsanalyse modifizierte Duration und Convexity als Sensitivitätskennziffern

approximative Berechnung der Auswirkungen einer Absenkung des Kapitalkostensatzes um 2% mit Hilfe von Formel (12)

Prof. Dr. Thomas Braun

Berechnung der modifizierten Durationen

1 = dm

1

2

·2 = 1, 1   1 1 1 1 2 2 dm = 1· +2· +3· = 1, 1 3 3 3 1, 1 ◮

1, 1

Berechnung der Konvexitäten

c1 =

1

6

· (2 + 22) = 1, 12   1 1+4+9 1 20 c2 = · 2 + = 2 1, 1 3 1, 12 3 1, 12

51/110


Investitionsrechnung Sensitivitätsanalyse modifizierte Duration und Convexity als Sensitivitätskennziffern

Prof. Dr. Thomas Braun

Einsetzen in (12)

  6 0, 0004 2 V10 (8%) ≈ 27, 27 1 − · (−0, 02) + 1, 1 1, 12 2 3 138

= 27, 27 · ≈ 28, 28 3 025  2 1 20 0, 0004 V20 (8%) ≈ 27, 27 1 − · (−0, 02) + 1, 1 1, 12 3 2 = 27, 27 ·

1 883 1 815

≈ 28, 29

52/110


Grundlagen der Rentenversicherung Barwerte von Zeitrenten in versicherungsmathematischer Notation

vereinfachende Annahmen: ◮ ◮ ◮

konstanter Kapitalkostensatz k ⇒ q = q(k ) := äquidistante Zahlungszeitpunkte Normierung auf eine Geldeinheit (GE)

1 1+k

Barwert einer nachschüssigen Rente (bestehend aus n Zahlungen) n

na

:= ∑ q i = m(k , n) i =1

Barwert einer vorschüssigen Rente

Prof. Dr. Thomas Braun

a n¨

:= n a · q −1

53/110


Grundlagen der Rentenversicherung Barwerte von Zeitrenten in versicherungsmathematischer Notation

Endwert einer nachschüssigen Rente ns

:= n a · q −n

Endwert einer vorschüssigen Rente

Prof. Dr. Thomas Braun

s n¨

:= n a¨ · q −n =n a · q −(n+1)

54/110


Grundlagen der Rentenversicherung Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

Definition: Leib- vs. Zeitrente Eine Leibrente wird im Gegensatz zur Zeitrente nur unter der Bedingung gezahlt, dass die anspruchsberechtigte Person die Zahlungszeitpunkte erlebt. Annahmen (über die Lebensdauer)

Prof. Dr. Thomas Braun

◮ ◮

kein Mensch wird älter als X Jahre Die Lebenserwartung ist stationär, sie hängt ausschließlich vom bereits erreichten Alter x ab (weder Geburtsjahr noch irgendwelche Ereignisse (z.B. Krankheiten) beeinflussen die von einem x-jährigen Versicherungsnehmer (VN) noch zu durchlebenden Jahre Tx )

⇒ P (Tx ≤ i + 1| Tx > i ) = P (Tx +i ≤ 1) ≡ 1 qx +i

55/110


Grundlagen der Rentenversicherung Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

Prof. Dr. Thomas Braun

In Verbindung mit (Satz von Bayes) P (i < Tx ≤ i + 1) = P (Tx ≤ i + 1| Tx > i ) · P (Tx > i ) und der Kurzschreibweise P (Tx > i ) ≡ i px impliziert die Stationarität P (i < Tx ≤ i + 1) = i px · 1 qx +i

56/110


Grundlagen der Rentenversicherung Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

konstante Anzahl von Geburten + stationäre Verteilung der Lebensdauer ⇒ Überlebens- und Sterbewahrscheinlichkeiten jüngerer Menschen lassen sich mittels Volkszählung unmittelbar aus der Altersstruktur des Gesamtbestands ableiten: Sei lx die Anzahl der Lebenden im Alter x und dx die Anzahl derjenigen, die im Alter x versterben, dann gilt

Prof. Dr. Thomas Braun

1 qx +i

=

i px

=

dx +i lx +i lx +i

=

lx +i − lx +i +1 lx +i

lx

57/110


Grundlagen der Rentenversicherung Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

vollendetes Alter

SterbeÜberlebenswahrscheinlichkeit vom Alter x bis x + 1

Überlebende im Alter x

Gestorbene im Alter x bis unter x + 1

lx

dx

Von den Überlebenden im Alter x bis zum insgesamt Alter x + 1 noch zu durchlebte durchlebende Jahre Lx e x lx

Durchschnittlich Lebenserwartun im Alter x in Jahren ex

x

qx

px

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,00451084 0,00038944 0,00020135 0,00018239 0,00014866 0,00012825 0,00011832 0,00011816 0,00011928 0,00010729

0,99548916 0,99961056 0,99979865 0,99981761 0,99985134 0,99987175 0,99988168 0,99988184 0,99988072 0,99989271

100 000 99 549 99 510 99 490 99 472 99 457 99 444 99 433 99 421 99 409

451 39 20 18 15 13 12 12 12 11

99 621 99 530 99 500 99 481 99 465 99 451 99 439 99 427 99 415 99 404

7 621 066 7 521 445 7 421 916 7 322 415 7 222 934 7 123 470 7 024 019 6 924 581 6 825 154 6 725 739

76,21 75,56 74,58 73,60 72,61 71,62 70,63 69,64 68,65 67,66

. . . 100

. . . 0,37845799

. . . 0,62154201

. . . 539

. . . 204

. . . 437

. . . 1 060

. . . 1,97

Tabelle: Periodensterbetafel 2003/2005 für die männliche deutsche Bevölkerung, entnommen aus ? S. 30. Prof. Dr. Thomas Braun

58/110


Grundlagen der Rentenversicherung Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

Leistungscharakteristik (Todesfallversicherung): Auszahlung von 1 GE am Ende des Jahres, in dem der Versicherungsnehmer stirbt Barwert der erwarteten Leistung von Todesfallversicherungen

Prof. Dr. Thomas Braun

. . . bei unbegrenzter Laufzeit (whole life insurance) X −x

Ax : =

∑ q i · P ( i − 1 < Tx ≤ i )

i =1

X −x −1

Ax : =

q i +1 · P (i < Tx ≤ i + 1)

i =0 X −x −1

=

q i +1 · i px · 1 qx +i

i =0

59/110


Grundlagen der Rentenversicherung Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

. . . bei begrenzter Laufzeit n ≤ X − x (Risikolebensversicherung, term insurance) n −1 n Ax

=

∑ q i +1 ·i px ·1 qx +i

i =0

Leistungscharakteristik (n-jährige Erlebensfallversicherung): Auszahlung von 1 GE am Ende des Jahres n, falls der Versicherungsnehmer dann noch lebt Barwert der erwarteten Leistung einer n-jährigen Erlebensfallversicherung (pure endowment):

Prof. Dr. Thomas Braun

n Bx

:= q n ·n px 60/110


Grundlagen der Rentenversicherung Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

Barwert der erwarteten Leistungen einer unbegrenzten vorschüssigen Leibrente X −x −1

¨x : = a

i Bx

i =0

Barwert der erwarteten Leistungen einer auf n Zahlungen begrenzten vorschüssigen Leibrente

Prof. Dr. Thomas Braun

n −1

¨ ax :n | : =

i Bx

i =0

61/110


Grundlagen der Rentenversicherung Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

Kapitallebensversicherung = Risikolebensversicherung + Erlebensfallversicherung

Ax :n | := ◮

n Ax

+ n Bx

Pensionsversicherung Barwert einer lebenslangen Rente in Höhe von 1 GE ab Erreichen des Renteneintrittsalters z an einen VN mit Alter x < z

Prof. Dr. Thomas Braun

ax |z −x ¨

¨z : = q z −x ·z −x px · a

62/110


Grundlagen der Rentenversicherung Grundlagen der Prämienkalkulation

Kalkulationsschema: Nettoprämie + Sicherheitszuschlag + Kostenzuschläge = Ausreichende Prämie + Gewinnzuschlag = Tarifprämie (als Jahres- oder Einmalprämie) + Ratenzuschlag = Tarifprämie (bei Prämienzahlung in Raten) + Versicherungssteuer = Bruttoprämie Die Nettoprämie basiert auf dem Prinzip der Gleichheit von Leistung und Gegenleistung (Äquivalenzprinzip)

⇒ Nettoprämie = erwarteter Leistungsbarwert Prof. Dr. Thomas Braun

63/110


Grundlagen der Rentenversicherung Grundlagen der Prämienkalkulation

Beispiel (Risikolebensversicherung mit Laufzeit n) Annahmen: ◮

der komplette Jahrgang der heute x-Jährigen wird versichert (perfektes Pooling)

diskontierter erwarteter Gesamtschaden pro Vertrag:

Prof. Dr. Thomas Braun

∑ni =−01 q i +1 · dx +i lx

n −1

=

∑ q i +1 ·

i =0

lx +i dx +i · lx lx +i

n −1

=

∑ qi +1 ·i px ·1 qx +i

i =0

= n Ax

64/110


Grundlagen der Rentenversicherung Grundlagen der Prämienkalkulation

faire laufende Prämie bei m gleiche Raten m −1

n Ax

n Ax

π · ∑ q i · lx +i = lx · n Ax ⇔ π = m−1 i = ¨ ax :m | ∑i =0 q · i px i =0 | {z } !

Aequivalenzbedingung

Beispiel (Rentenversicherung)

faire Prämie für die Anwartschaft eines x-Jährigen auf eine ab Erreichen des Renteneintrittsalters z > x zahlbare lebenslange vorschüssige Leibrente in Höhe von 1 GE jährlich

Prof. Dr. Thomas Braun

πz−x | ¨ax =

ax z −x | ¨

¨ ax :z −x |

65/110


Grundlagen der Rentenversicherung Kommutationen als Rechenhilfe

Anwendungsvoraussetzungen: ◮ ◮

konstante, linear oder geometrische wachsende Zahlungen konstanter Diskontierungszinssatz

Eine Kommutation erster Ordnung ist die diskontierte Zahl der Lebenden Dx := q x lx

Durch Aufsummieren der diskontierten Zahlen der Lebenden erhält man die Kommutation zweiter Ordnung

Prof. Dr. Thomas Braun

X −1

Nx : =

∑ Di

i =x

66/110


Grundlagen der Rentenversicherung Kommutationen als Rechenhilfe

Beispiele

Prof. Dr. Thomas Braun

n Bx

: = q n ·n px = =

¨ ax : =

q x +n lx +n qx Dx +n

·

lx

Dx X −x −1

i Bx

i =0

= = =

1 Dx 1

X −x −1

Dx +i

i =0 X −1

∑ Di

Dx i =x Nx Dx

67/110


Grundlagen der Rentenversicherung Kommutationen als Rechenhilfe

noch mehr Beispiele

Prof. Dr. Thomas Braun

¨ ax :n | = ax :n | = ax z −x | ¨

=

πz−x | ¨ax =

Nx − Nx +n Dx Nx +1 − Nx +n+1 Dx Nz Dx Nz Nx − Nz

68/110


Grundlagen der Rentenversicherung prospektives Deckungskapital

Prospektives Deckungskapital für eine von einem heute y-jährigen im Alter x abgeschlossene mit Erreichen des Alters z lebenslänglich jährlich vorschüssig zahlbare Altersrente in Höhe von 1 GE

Prof. Dr. Thomas Braun

DKx ,y ,z =

=



(

¨y |z −y a Nz Dy

− πz−x | ¨ax · ¨ ay :z −y | falls y <z ¨y a sonst

− NxN−zNz · Ny Dy

Ny −Nz Dy

falls

y <z

sonst

69/110


Investitionsrechnung in stetiger Zeit

Bei stetiger Verzinsung geht die Anzahl der Abrechnungsperiode n gegen unendlich. Wird zu Beginn eines Jahres eine GE zum Zinssatz r p.a. (per annum) angelegt, dann beträgt der Saldo des Anlagekontos am Jahresende:

lim

n→∞



1+

r n

n

= er

Angenommen Sie legen 1.000.000 eam 1. Januar eines Jahres zu 10% an, dann verfügen Sie am 1. Januar des folgenden Jahres über einen Betrag in Höhe von ◮

1.100.000,00 e bei jährlicher Abrechnung

1.102.500,00 e bei halbjährlicher Abrechnung

1.103.812,89 e bei vierteljährlicher Abrechnung

Prof. Dr. Thomas Braun

70/110


Investitionsrechnung in stetiger Zeit

1.104.713,07 e bei monatlicher Abrechnung

1.105.155,78 e bei täglicher Abrechnung (365 Tage)

1.105.170,92 e bei stetiger Abrechnung

Prof. Dr. Thomas Braun

71/110


Investitionsrechnung in stetiger Zeit

Bei einem Zinssatz in Höhe der konformen Kassazinsrate

rc := ln(1 + r ) = 9, 531018% verfügen Sie am 1. Januar des folgenden Jahres über einen Betrag in Höhe von ◮ ◮

1.099.986,31 e bei täglicher Abrechnung (365 Tage) 1.100.000,00 e (1000000 · e ln(1+0,1) = 1000000 · (1 + 0, 1)) bei stetiger Abrechnung

Prof. Dr. Thomas Braun

72/110


Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen Spezifität von Investitionen

Spezifität ist das Gegenteil von Universalität: Je geringer die Anzahl alternativer Verwendungsmöglichkeiten, desto spezifischer ist eine Investition Problem: Wer sich von seinem Vertragspartner abhängig macht, muss damit rechnen, dass dieser ihm den Kooperationsgewinn (teilweise) vorenthält (hold up) Konsequenz: spezifische Investitionen werden nicht oder nur unzureichend getätigt

Prof. Dr. Thomas Braun

73/110


Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen Spezifität von Investitionen

• Beispiel (Tirole, 1988, S. 24f) Notation: B Buyer I Anschaffungsauszahlung (Investition) S Seller c B (I ) Kosten der Kooperation mit B für S (abhängig von I) v Nutzen der Kooperation für B (öffentlich bekannt) p Verkaufspreis

Prof. Dr. Thomas Braun

74/110


Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen Spezifit채t von Investitionen

Annahmen:

v =3 B

c (I ) =



3, 0,

falls I = 0 falls I = 2

Erl채uterung: Die variablen Kosten (= Grenzkosten) von S h채ngen davon ab, ob dieser zuvor eine auf B zugeschnittene (spezifische) Investition I get채tigt hat oder nicht

Prof. Dr. Thomas Braun

75/110


Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen Spezifität von Investitionen

⊲ ein Planer würde die spezifische Investition tätigen, da v − c B (2) − 2 > v − c B (0) − 0 = 0

⊲ S muss fürchten, dass B ihm die Hälfte des ex-post Kooperationsgewinns in Höhe von v − c B (2) = 3 − 0 vorenthält, obwohl B im Gegensatz zu S keine Vorleistungen erbringen musste

Prof. Dr. Thomas Braun

76/110


Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen Spezifität von Investitionen

⊲ Bestimmung des Gleichgewichtspreises p: Da der Kooperationsgewinn v − c B (I ) geteilt werden soll, muss der Gewinn von Käufer B (v − p) dem halben Kooperationsgewinn entsprechen

v −p =

v − c B (I ) 2

⇔p=v−

v − c B (I ) 2

⇒ die spezifische Investition lohnt sich für S bei einem Verkaufspreis in Höhe von

p=v−

v − c B (2) 2

= 1.5

wegen p − I = 1.5 − 2 = −0.5 nicht! Prof. Dr. Thomas Braun

77/110


Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen Spezifität von Investitionen

Annahme: Es gibt einen Markt für das von S angebotene Produkt, auf dem ein Preis in Höhe von pM = 3 erzielbar ist

⊲ eine an die Bedürfnisse des Marktes angepasste Version verursacht bei S variable Kosten (= Grenzkosten) in Höhe von

Prof. Dr. Thomas Braun

M

c (I ) =



3, 1,

falls I = 0 falls I = 2

78/110


Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen Spezifität von Investitionen

Prof. Dr. Thomas Braun

⇒ Der ex-post Kooperationsgewinn reduziert sich auf v − c B (2) − (pM − c M (2)) Die Teilung impliziert einen Verkaufspreis in Höhe von

p=v−

v − c B (2) − (pM − c M (2)) 2

= 2.5

⇒ Dank alternativer Einsatzmöglichkeiten (Belieferung des Marktes) hat sich die Spezifität der Investition verringert, so dass sich die Investition nunmehr rechnet.

⇒ tendenziell wird im Bemühen um eine möglichst gute ex-post Verhandlungsposition zu viel in Flexibilität investiert (schwimmende Kraftwerke) 79/110


Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen strategische Positionierung

Prof. Dr. Thomas Braun

◮ Spielzüge (Rasmusen, 2001, S. 93f) • I ist bereits am Markt, E entscheidet über den Markteintritt

◮ Zahlungskonsequenzen • Monopolgewinn ΠM • Duopolgewinn ΠD • Kosten des Markteintritts cE • Kosten der (stets erfolgreichen) Gegenwehr cI

80/110


Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen strategische Positionierung

enter



collude  I  fight

( Π2D − cE , Π2D )

(−cE , ΠM − cI )

E  stay out

(0, ΠM )

Abbildung: Die extensive Form des Spiels (vgl. Rasmusen (2001, S. 94))

Prof. Dr. Thomas Braun

81/110


Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen strategische Positionierung

Prof. Dr. Thomas Braun

◮ Ist die Androhung von Gegenwehr glaubwürdig? • Rekursionsprinzip: Die Androhung ist nur glaubwürdig, falls I sich nicht selbst schadet, wenn er sie (ex post) wahr macht. Die Bedingung hierfür lautet:

ΠM − cI ≥

ΠD 2

⇔ cI ≤ ΠM −

ΠD 2

82/110


Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen strategische Positionierung

Prof. Dr. Thomas Braun

◮ Gleichgewicht • Der Markteintritt kommt dann und nur dann zu Stande, wenn cI > ΠM −

ΠD 2

und cE <

ΠD 2

83/110


Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen strategische Positionierung Möglichkeiten der Einschüchterung des potentiellen Konkurrenten E

Prof. Dr. Thomas Braun

• Erhöhung von cE , z.B. Beschränkung des Zugangs zu wichtigen Ressourcen

• Reduktion von cI , z.B. durch deutlich wahrnehmbare Überkapazitäten (dank niedriger Grenzkosten der Produktion können die negativen Folgen eines Preiskampfes, der ja zu einer Ankurbelung des Absatzes bei zu niedrigem Preis führt, in Grenzen gehalten werden)

• Strategische Positionierung: I muss sich selbst seiner ex-post Wahlmöglichkeit berauben (bildlich: Brücken hinter sich abbrechen (Tirole, 1988, S. 316)), um E abzuschrecken. Funktioniert unter der Voraussetzung cE > 0

84/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

Literaturhinweis: Kistner (2003, S. 40f) zentrale Annahme: ◮

beschränkter Zugang zum Kapitalmarkt zentrale Erkenntnisse:

Kapitalkostensätze lassen sich auch mit der Knappheit an Zahlungsmitteln begründen

auf der Grundlage dieser Kapitalkostensätze (= endogene Kalkulationszinssätze)

Prof. Dr. Thomas Braun

lässt sich die optimale Entscheidung mit Hilfe der Kapitalwertmethode reproduzieren lassen sich Auswirkungen von Änderungen des Datenkranzes beurteilen 85/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

Notation:

¯ zt

:

ztj

:

xj

:

xJ + 1 x¯j

: :

Prof. Dr. Thomas Braun

Zahlungen, die im Zeitpunkt t vom Unternehmen an die Anteilseigner (z¯t > 0) oder in umgekehrter Richtung (z¯t < 0) fließen Zahlungskonsequenzen der Investitionsund Finanzierungsgelegenheiten j = 1, . . . , J pro eingesetzer GE in den Zeitpunkten t = 0, . . . , T der in Geldeinheiten gemessene Umfang, in dem die Gelegenheit j realisiert wird Kassenhaltung maximal möglicher Umfang in GE, in dem Gelegenheit j realisiert werden kann

86/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

Primales Programm

0 · x1

...

+ 0 · xJ

+ xJ + 1

max! xJ +1

unter den Bedingungen xj ≥ 0 für j = 1, . . . , J + 1 und z01 · x1 .. . zT 1 · x1 x1

Prof. Dr. Thomas Braun

. . . +z0J · xJ .. .

− xJ + 1

¯ z0

.. .

.. . z¯T x¯1 .. . x¯J

. . . +zTJ · xJ

≥ ≤

..

.. .

. xJ

q0 .. . qT qT +1 .. . qT +J

87/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

Äquivalentes primales Programm

− 0 · x1 . . .

− 0 · xJ

− xJ + 1

min! xJ +1

unter den Bedingungen xj ≥ 0 für j = 1, . . . , J + 1 und z01 · x1 .. . zT 1 · x1 − x1

Prof. Dr. Thomas Braun

. . . +z0J · xJ .. .

− xJ + 1

≥ .. .

. . . +zTJ · xJ

≥ ≥

..

.. .

.

− xJ

z¯0 .. . z¯T −¯ x1 .. . −¯ xJ

q0 .. . qT qT +1 .. . qT +J

88/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

Duales Programm

¯z0 · q0

...

+¯ zT · qT

−¯ x1 · qT +1

...

−¯ xJ · qT +J

max !

q0 ,...,qT +J

unter den Bedingungen qi ≥ 0 für i = 0, . . . , T + J und z01 · q0 .. . z0J · q0 −q0

Prof. Dr. Thomas Braun

. . . +zT 1 · qT .. .

...

+zTJ · qT

−qT +1

≤ ..

.. .

.

−qT +J

≤ ≤

0 .. . 0 −1

x1 .. . xJ xJ +1

89/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

Satz vom komplementären Schlupf Existiert eine optimale Lösung, dann existieren Dualvariablen qt∗ für alle Zeitpunkte t, so dass T

∑ ztj · qt∗ < 0 ⇒

t =0 T

xj∗ = 0

∑ ztj · qt∗ > 0 ⇒ xj∗ = x¯j

t =0

bzw.

Prof. Dr. Thomas Braun

xj∗ = 0

x∗

j

= x¯j

T

∑ ztj · qt∗ ≤ 0

t =0 T

∑ ztj · qt∗ ≥ 0

t =0

90/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Das Modell von Dean

Gegeben sei ein Unternehmen mit den in nachfolgender Abbildung 2 dargestellten Investitions- und Finanzierungsgelegenheiten

Prof. Dr. Thomas Braun

Abbildung: Investitions- und Finanzierungsgelegenheiten

91/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Das Modell von Dean

Ein Blick auf Abb. 2 zeigt, dass das Programm x1∗ x2∗ x3∗ x4∗

= 20 = 0 = 10 = 0

den Gewinn maximiert. Demnach müssen Bewertungsfaktoren existieren, so dass gilt

Prof. Dr. Thomas Braun

NPV1∗ NPV2∗ NPV3∗ NPV4∗

≥ ≤ ≥ ≤

0 0 0 0 92/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Das Modell von Dean

In Verbindung mit der Definition (endogener Kalkulationszinssatz) q∗ k ∗ := 0∗ − 1 q1 sind die Kapitalwertrelationen äquivalent zu

Prof. Dr. Thomas Braun

k∗ k∗ k∗ k∗

≤ 25% ≥ 5% ≥ 10% ≤ 15%

   

⇒ 10% ≤ k ∗ ≤ 15%

   93/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Das Modell von Dean

Reproduktion der Lösung mit Hilfe der linearen Programmierung: Maximiere das Endvermögen 5 4

· x1 +

21 20

· x2 + − 11 · x3 + − 23 · x4 → 10 20

max !

x1 ,...,x4

unter den Bedingungen xj ≥ 0 für j = 1, . . . , 4 und

− x1 −

Prof. Dr. Thomas Braun

x2

+

x3

+

x4

x1 x2

+

x3

+

x4

≥ ≤ ≤ ≤ ≤

−10 20 10 10 10

94/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Das Modell von Dean

Transformation des Restriktionen-Systems (zusätzlich gilt xj ≥ 0 für j = 1, . . . , 9) in ein Standard-Maximum-Problem

x1 x1

+ x2 − x3 − x4 + x5 + x6 + x2

+ x7 + x3

+ x8 + x4

+ x9

= = = = =

10 20 10 10 10

q0 q2 q3 q4 q5

Hinweis: q1∗ wird bewusst übersprungen.

Prof. Dr. Thomas Braun

95/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Das Modell von Dean

Vorüberlegungen

Prof. Dr. Thomas Braun

5 der insgesamt 9 Variablen nehmen im Optimum den Wert Null an, nämlich x2 , x4 , x5 , x6 und x8

Die optimale Basislösung ist primal degeneriert, weil somit auch eine der 5 Basisvariablen den Wert Null annehmen muss

Es muss also (wenigstens) zwei optimale primale Basen Bi∗ geben, wobei gilt x1 , x3 , x7 , x9 ∈ Bi∗

96/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Das Modell von Dean

Das duale Restriktionen-(Teil-)System in Normalform

+q0 +q2 −q6 +q0 +q3 −q7 −q0 +q4 −q8 −q0 +q5 −q9

5 = 4 21 = 20 11 = − 10 23 = − 20

x1 x2 x3 x4

reduziert sich in Verbindung mit (Satz vom komplementären Schlupf)

Prof. Dr. Thomas Braun

x1∗ > 0 ⇒ q6∗ = 0 x3∗ > 0 ⇒ q8∗ = 0 x7∗ > 0 ⇒ q3∗ = 0 x9∗ > 0 ⇒ q5∗ = 0 97/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Das Modell von Dean

auf

−1 · q0∗ + 54 · 1 −1 · q0∗ + 21 ·1 20 11 ∗ 1 · q0 − 10 · 1 1 · q0∗ − 23 ·1 20

= = = =

+q2∗ −q7∗ +q4∗ −q9∗

≥ ≤ ≥ ≤

0 0 0 0

(13)

und kann i.V.m. q1∗ ≡ 1 wie folgt interpretiert werden NPV1∗ NPV2∗ NPV3∗ NPV4∗

≥ ≤ ≥ ≤

0 0 0 0

q0∗ , q2∗ , q7∗ > 0 ist notw. Voraussetzung für (13)

Prof. Dr. Thomas Braun

98/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Das Modell von Dean

es existieren 2 optimale duale Basen DB1∗ = {q0 , q2 , q4 , q7 } DB2∗ = {q0 , q2 , q7 , q9 } mit den korrespondierenden optimalen primalen Basen B1∗ = {x1 , x3 , x4 , x7 , x9 } B2∗ = {x1 , x3 , x7 , x8 , x9 } Die optimalen primalen Basen sind wegen x4∗ = 0 und x8∗ = 0 degeneriert

Prof. Dr. Thomas Braun

99/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Das Modell von Dean

Bestimmung des endogenen Kalkulationszinsfußes Einsetzen von q4∗ = 0 bzw. q9∗ = 0 in (13) führt auf DB1∗

q0

=

DB ∗ q0 2

=

11 10 23 20

Die mit den beiden optimalen dualen Basen korrespondierenden endogenen Kapitalkostensätze belaufen sich auf

Prof. Dr. Thomas Braun

k1∗ :

=

k2∗ :

=

11 10

1

− 1 = 10%

1

− 1 = 15%

23 20

100/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Das Modell von Dean

Da neben den beiden Ecklösungen des Duals auch sämtliche Konvexkombinationen der beiden Ecklösungen optimal sind, gilt DB1∗

q0∗ = λ · q0

DB2∗

+ (1 − λ ) · q0

(0 ≤ λ ≤ 1)

und mithin

Prof. Dr. Thomas Braun

10% ≤ k ∗ ≤ 15%

101/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Sensitivitätsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

B1∗ x1 x3 x4 x7 x9

L.-Sp. 20 10 0 10 10

z

14

Prof. Dr. Thomas Braun

x1 +1 0 0 0 0

x2 0 0 −1 +1 +1

x3 0 +1 0 0 0

x4 0 0 0 +1 0

x5 0 0 −1 0 +1

x6 +1 0 +1 0 −1

x7 0 0 0 +1 0

x8 0 +1 −1 0 +1

x9 0 0 0 0 +1

0

2 + 20

0

0

23 + 20

2 + 20

0

1 + 20

0

102/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Sensitivitätsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

B2∗ x1 x3 x7 x8 x9

L.-Sp. 20 10 10 0 10

x1 +1 0 0 0 0

x2 0 −1 +1 +1 0

x3 0 +1 0 0 0

x4 0 +1 0 −1 0

x5 0 −1 0 +1 0

x6 +1 +1 0 −1 0

x7 0 0 +1 0 0

x8 0 0 0 +1 0

x9 0 0 0 0 +1

z

14

0

1 + 20

0

1 + 20

11 + 10

3 + 20

0

0

0

Prof. Dr. Thomas Braun

103/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Sensitivitätsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

Auswirkungen von Parameteränderungen auf den Zielfunktionswert

Prof. Dr. Thomas Braun

B1∗ p

∆¯ z0 ∆¯ x1 ∆¯ x2 ∆¯ x3 ∆¯ x4 ∆ c1 ∆ c2 ∆ c3 ∆ c4

∆z ∗ (p) p p ∆z ∗ (p) 23 11 · p −10 0 ·p 20 10 2 3 · p 0 10 ·p 20 20 0 −10 ∞ 0 1 · p − 10 0 0 20 0 −10 ∞ 0 2 20 · p − 20 ∞ 20 · p 2 0 −∞ 20 0 1 10 · p − 20 ∞ 10 · p 2 1 0 − 20 0 20

B2∗ p 0

−10 −10 0 −10 3 − 20 −∞ 1 − 20 −∞

p 10 0

∞ ∞ ∞ ∞ 1 20 1 20 1 20

104/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Sensitivitätsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

Die Mehrzahl dualer Ecklösungen bewirkt, dass Auswirkungen von Veränderungen der Beschränkungskonstanten vom Vorzeichen abhängig sind Tableau zu B1∗ erfasst Auswirkungen einer Kapitalauszahlung

• Grundsätzlich mögliche Anpassungsreaktionen:

Prof. Dr. Thomas Braun

(teilweise) Nutzung noch nicht in Anspruch genommener Finanzierungsgelegenheiten (Voraussetzung: positive Werte für die Schlupfvariablen x8 und/oder x9 ) Drosselung des Volumens bereits beschlossener Investitionsprojekte (Voraussetzung: positive Werte für die Entscheidungsvariablen x1 und/oder x2 )

105/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Sensitivitätsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

• Die optimale Basis B1∗ = {x1 , x3 , x4 , x7 , x9 } impliziert die Alternativen ◮

(teilweise) Inanspruchnahme von Finanzierungsgelegenheit 4, angezeigt durch die Basisvariable x9 Drosselung des Volumens von Investitionsprojekt 1, angezeigt durch die Basisvariable x1

⇒ Inanspruchnahme von Finanzierungsgelegenheit 4 (maximales Volumen: 10 GE) ◮

Tableau zu B2∗ erfasst Auswirkungen einer Kapitaleinzahlung

• Grundsätzlich mögliche Anpassungsreaktionen:

Prof. Dr. Thomas Braun

(teilweise) Verwirklichung bislang ungenutzter Investitionsgelegenheiten (Voraussetzung: positive Werte für die Schlupfvariablen x6 und/oder x7 ) (teilweise) Substitution bereits eingeplanter Finanzierungsgelegenheiten (Voraussetzung: positive Werte für die Entscheidungsvariablen x3 und/oder x4 . 106/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Sensitivitätsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

• Die optimale Basis B2∗ = {x1 , x3 , x7 , x8 , x9 } impliziert die Alternativen ◮

(teilweise) Verwirklichung von Investitionsgelegenheit 2, angezeigt durch die Basisvariable x7 (teilweise) Substitution von Finanzierungsgelegenheit 3, angezeigt durch die Basisvariable x3

⇒ Substitution von Finanzierungsgelegenheit 3 (maximales Volumen: 10 GE) ◮

Auswirkungen des maximal möglichen Umfangs von Investitionsgelegenheit 1 (zugehörige Beschränkungskonstante: b2 ) ◮ Erhöhung: Nettorendite 25% − 15% = 10% ◮ Verminderung: Nettorendite −25% + 10% = −15%

Prof. Dr. Thomas Braun

107/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Sensitivitätsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

Auswirkungen des maximal möglichen Umfangs von Investitionsgelegenheit 2 und Finanzierungsgelegenheit 4 (zugehörige Beschränkungskonstante: b3 , b5 : keine (Projekte sind inattraktiv)

Auswirkungen des maximal möglichen Umfangs von Finanzierungsgelegenheit 3 (zugehörige Beschränkungskonstante: b4 ) ◮ Erhöhung: Nettorendite 0% (wird mangels hinreichend attraktiver

Prof. Dr. Thomas Braun

Anlagemöglichkeiten nicht in Anspruch genommen) Verminderung: Nettorendite +10% − 15% = −5% (Substitution durch Finanzierungsgelegenheit 4)

108/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Sensitivitätsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

Die Auswirkungen von Veränderungen der Zielfunktionskoeffizienten sind für B1∗ und B2∗ gleich; allerdings unterscheiden sich die Intervallgrenzen

Ursache für die unterschiedlichen Intervallgrenzen ist sind vermeintlich unterschiedliche Finanzierungs- bzw. Anlagealternativen, die allerdings faktisch nicht existieren (primale Degeneration!).

Intervallgrenzen, die auf eine degenerierte Basisvariable zurückzuführen sind, ist keine Beachtung zu schenken! Erläuterung: Darf die Rendite von Investitionsprojekt 1 um 10% (entsprechende Basislösung: B1∗ ) oder um 15% (entsprechende Basislösung: B2∗ ) sinken, bevor es zu einem Basiswechsel kommt?

Prof. Dr. Thomas Braun

109/110


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise) Sensitivitätsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

Grundsätzlich gilt: Sinkt die Rendite eines Investitionsprojektes kommt es zu einem Basiswechsel, sobald die Kapitalkosten der teuersten in Anspruch genommenen Finanzierungsform (Grenzkapitalkosten) erreicht bzw. unterschritten werden. x4 ∈ / B2∗ impliziert Grenzkapitalkosten von 10%. x4 ∈ B1∗ impliziert Grenzkapitalkosten von 15%, was aber wegen x4∗ = 0 faktisch unzutreffend ist. Tatsächlich darf die Rendite von Investitionsprojekt 1 also um bis zu 15% sinken, bevor es verworfen wird. ◮

Die Intervallgrenzen zu ∆c3 und ∆c4 erschließen sich, wenn man bedenkt, dass ein positiver Wert einer Reduktion der Kapitalkosten entspricht

Prof. Dr. Thomas Braun

110/110

Investition und Finanzierung  

Folien zum Kurs bla bla

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you