Matematikundervisning · 3
Børnehaveklasse til 4. klasse
Under medvirken af Henning Westphael
Adrian Rau Bull og Torben Blankholm
Vidensbaseret Matematikundervisning · 3
Børnehaveklasse til 4. klasse
Adrian Rau Bull og Torben Blankholm
Under medvirken af Henning Westphael
Illustrationer: Annette Carlsen
Vidensbaseret
Matematikundervisning · 3
Børnehaveklasse til 4. klasse
Forfattere
Adrian Rau Bull
Torben Blankholm
Medvirkende forfatter
Henning Westphael
Redaktion
Klaus Fink
Tegninger
Annette Carlsen
Grafisk tilrettelæggelse
Bjørn Rasmussen
Bogen er sat med Trade Gothic Next LT Pro og Trade Gothic Next SR Pro
Tryk
Holm Print Management
ISBN: 978-87-93975-65-1 2. udgave, 1. oplag
Copyright
Forlaget Matematik og forfatterne 2024. Kopiering fra denne udgivelse må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node, og kun indenfor de i aftalen nævnte rammer.
Forlaget Matematik
Naverland 2
2600 Glostrup mat.forlag@dkmat.dk Tlf.: 8659 6022
www.dkmat.dk
Forsideillustration
Annette Carlsen
Indhold
Forord af Adrian Rau Bull og Torben Blankholm · Side 7
Kapitel 1 | Boaler Side 11
Reform af matematikundervisningen gennem seks læringsnøgler
Introduktion · Side 11
Undervisningsforløb · Side 24
Analyse af undervisningsforløbet · Side 30
Kapitel 4 | Lehrer Side 79
Udvikling og forståelse af geometrisk måling hos elever på de første klassetrin
Introduktion · Side 79
Undervisningsforløb, del 1 · Side 86
Undervisningsforløb, del 2 · Side 89
Analyse af undervisningsforløbet, del 1 · Side 91
Analyse af undervisningsforløbet, del 2· Side 95
Kapitel 2 | Bruner Side 37
Udvikling af matematik gennem tre typer af repræsentationer
Introduktion · Side 37
Undervisningsforløb · Side 46
Analyse af undervisningsforløbet · Side 52
Kapitel 5 | Sfard Side 101
Commognition –Tænkning som kommunikation
Hovedpointerne fra Anna Sfards bidrag til læring som deltagelse og hendes diskursive forståelse af matematik.
Kapitel 3 | Bishop Side 59
Hvordan udvikler børn matematikforståelse forskellige steder i verden?
Introduktion · Side 59
Undervisningsaktiviteter · Side 67
Analyse af undervisningsaktiviteter · Side 74
Appendiks Side 119
Appendiks 1. Testklasser og lærere · Side 119
Appendiks 2. Hyldest til matematik · Side 122
Appendiks 3. Oversigt over Tilknyttede materialer · Side 124
Arbejdskort og svarark tilknyttet bogens undervisningsforløb kan hentes på: kortlink.dk/2kncv og QR
Forord
Denne bog er tredje og sidste udgivelse i serien: Vidensbaseret Matematikundervisning.
Vi slutter serien af med et særligt fokus på de yngste elever i skolen.
Bogen indeholder vores fortolkning af fem anerkendte matematikdidaktiske teorier og vores konkrete bud på, hvordan teorierne kan bruges som udgangspunkt for undervisning i den danske grundskole fra børnehaveklasse til 4. klasse.
Vi har udvalgt fem fremtrædende teorier, der ikke er med i de tidligere bøger. De fem teorier er efter vores mening særligt interessante i forhold til udvikling af undervisning i og omkring indskolingen. Teorierne kan dog, ligesom teorierne fra de tidligere bøger, også bruges som base for udvikling af undervisning til andre aldersgrupper.
Forfatterne af denne bog har gennem et langt virke med relation til matematikundervisning hele tiden befundet sig et sted imellem den matematikdidaktiske forskning og matematikundervisningen i praksis. Med de tre bøger i serien Vidensbaseret Matematikundervisning er det vores hensigt at støtte og styrke lærerens didaktiske overvejelser ved at skabe forbindelse mellem det, der sker i lærerens matematikundervisning i skolen og de muligheder, der kan udfolde sig i praksis ved at kende og inddrage anerkendte matematikdidaktiske teorier. Kapitlerne i bøgerne i denne serie giver vores fortolkning af de teorier, der har været centrale for os i vores eget virke med at planlægge, gennemføre og evaluere en vidensbaseret matematikundervisning, der giver eleverne mulighed for at tage ejerskab og engagere sig aktivt i at udvikle deres matematiske kompetencer, færdigheder og viden.
Bogen indeholder vores konkrete bud på centrale elementer af de fem teorier, samt hvordan disse elementer kan implementeres i matematikundervisningen.
Hovedforfatterne til serien (Torben og Adrian) og redaktøren (Klaus) kan på nuværende tidspunkt hverken betegnes som forskere i matematikundervisningen eller som matematikundervisere i skolen. Vi er både-og og hverken-enten-eller. Samlet set nærmer vi os en erfaringsbase på næsten hundrede års matematikundervisning i folkeskolen, og vi har alle gennem en årrække fungeret som beskikkede censorer i matematik ved såvel grundskole som læreruddannelse. Vi har alle tre undervist i matematik på læreruddannelsen og har hver især været med til at udgive flere undervisningsmaterialer til matematikundervisningen i skolen. Vi har alle deltaget i forskningsprojekter i matematik i forbindelse med vores forskellige ansættelser som lærere, konsulenter og undervisere fx på forsøgsskole, i ministeriet, på læreruddannelsen og i Danmarks Matematiklærerforening. Vi er ikke for unge til at elske matematikdidaktikken, og vi er heller ikke for gamle til at slås for den.
Vores mål med bøgerne er at støtte matematikundervisere, matematikvejledere, matematiklærerstuderende og andre til at få interesse for, hvordan matematikdidaktiske teorier kan bruges til at udforme inspirerende og engagerende undervisning for eleverne. Og til at gennemføre teoretisk og fagfagligt funderede undervisningsforløb, gerne med virkelighedsnær matematik tilpasset den lokale kontekst, der både kan støtte og udfordre eleverne i deres arbejde med at forstå, udvikle og bruge deres opnåede matematiske færdigheder og viden.
Af Adrian Rau Bull og Torben Blankholm
Vi har mange anvendelige erfaringer fra de undervisere, der har læst de første versioner af kapitlerne til denne bog og afprøvet de inkluderede undervisningsforløb i deres egne klasser. Vi har fået lov til at være med i en del af klasserne, når de har afprøvet undervisningsforløb og/eller aktiviteter. Derved har vi observeret, hvordan de fungerer i praksis. Vi vil gerne sige tak til de skoler og lærere, der sammen med deres klasser aktivt og engageret er gået ind i arbejdet med at afprøve undervisningsforløbene og give os kvalificerede tilbagemeldinger. Lærernes erfaringer og evalueringer af forløbene og vores observationer i klasserne har vi brugt til at justere tekst, aktiviteter og øvelser i den endelige version af kapitlerne. Bagerst i denne bog kan du se, hvilke skoler, lærere og klasser det drejer sig om.
På baggrund af tilbagemeldinger fra læsere af de to første bøger og afprøvning af undervisningen fra alle bøgerne kan vi give følgende forslag til læsevejledning:
• Hvis du ikke kender til en teori fra vores bog, eller kun kender den sporadisk og gerne vil vide mere, kan Vidensbaseret Matematikundervisning 3 være den helt rigtige for dig. Bogen har netop til hensigt at introducere nogle af de allermest anerkendte teorier om matematikdidaktik samt at fokusere på udvalgte elementer fra teorierne, der kan være hensigtsmæssige i sammenhæng med dansk matematikundervisning i skolen. For nogle læsere kan vores fortolkning af teorierne i bogen være netop det skub, der skal til for selv at opsøge mere viden om teorierne, fx gennem vores anbefalinger til videre læsning eller til selv at søge viden om teorierne på biblioteket eller i forskningsdatabaser. De enkelte kapitler kan også give støtte til at bruge teorierne generelt i forbindelse med matematikundervisningen og give mod på udforske og udarbejde yderligere undervisning, der bygger på teorierne.
• Hvis du er underviser i matematik i indskolingen, kan en brugbar måde at anvende Vidensbaseret Matematikundervisning 3 på være at orientere dig i den konkrete undervisningsdel af kapitlerne og vælge noget ud, som du kan afprøve i
din(e) klasse(r). Når du har valgt noget af vores undervisning ud, vil vi anbefale, at du også læser analyseafsnittet, der er placeret efter undervisningsdelen. Analyseafsnittet virker også som en slags læringsvejledning, og ofte indeholder det nogle tips og råd til gennemførelse af undervisningen. Når du har afprøvet noget fra vores undervisningsdel, er det vores erfaring, at det herefter vil være særligt spændende at læse den teoridel, der omhandler netop den teori, som din afprøvede undervisning tog udgangspunkt i.
• Hvis du allerede har et særligt kendskab til en af teorierne fra vores bog, kan du muligvis blive skuffet over, at vi ikke har taget den nyeste udvikling af teorien med. Det kan være, at du ikke er helt enig i de elementer, som vi har valgt ud eller de fortolkninger, som vi har gjort for at tilpasse teorien til vores udgave af en dansk matematikundervisning. Hvis du har et særligt kendskab til en teori, vil det muligvis være mere interessant at fokusere på den del af kapitlet, der komme med bud på konkret undervisning. Vi har udformet vores bud på konkret undervisning til hver af teorierne, men måske kan du udvide denne undervisning i kraft af din særlige viden eller komme med nye undervisningseksempler, som i højere grad følger dit særlige kendskab til teorien.
Uanset hvilken af overstående profiler, der passer til dig, er det vores erfaring, at bogen kan skabe basis for gode samtaler om teorierne og på basis af teorierne, men ikke mindst om hvordan de kan implementeres og støtte matematikundervisningen på den enkelte skole og i den lokale kontekst. Vi kan også anbefale at bruge bogen, som udgangspunkt for matematikdidaktiske samtaler eller diskussioner i fagteamet på skolen, i undervisningen på læreruddannelsen, i matematiske studiegrupper eller andre steder, hvor der er fokus på og interesse for matematikundervisning.
Hvis du ligesom os elsker matematikundervisning, der bygger på anerkendte teorier, så tror vi, at denne bogen er et godt udgangspunkt for at blive klar til at slås for god matematikundervisning.
Der er mange personer, der har inspireret os og gjort det muligt for os at skrive denne serie om vidensbaseret matematikundervisning. Ikke mindst dem, der har været direkte involveret i bøgerne:
Vi vil gerne takke vores redaktør Klaus Fink for at støtte og udvikle vores projekt. Vi vil gerne takke Klaus for at læse med og tænke med projektet og for at formidle vores bøger vidt og bredt.
Vi vil gerne takke vores grafiker Bjørn Rasmussen for at sætte vores bøger op og komme med gode input til, hvordan bøgerne bedst muligt kan give læseren en forståelse af vores ideer og fortolkning af teorierne.
Vi vil gerne takke vores tegner Annette Carlsen for at lave de mest fantastiske og levende tegninger til kapitlerne og for at støtte læseren med at opbygge de helt rigtige tankebilleder til at kunne forstå vores ideer i bøgerne.
Vi vil særligt takke Henning Westphael for hans bidrag til denne bog. Kapitel 5 om Anna Sfards teori om tænkning som kommunikation. Dette kapitel
kunne ikke være blevet til en del af vores bog uden et samarbejde med Henning. Tak for det.
Vi gerne vil takke Marit Johnsen-Høines for at læse vores ikke-færdige udgaver af flere af kapitlerne til bogen. Marit har ud fra disse kapitler givet os feedback og nogle pointer, som har været udgangspunkt for dette forord.
Vi vil gerne takke alle der har brugt vores bøger og afprøvet bøgerne, samt givet feedback på vores bøger. I slutningen af bogen har vi en særlig tak til de skoler, lærere og klasser, der har afprøvet undervisningsforløbene fra denne bog. Og vi vil gerne takke alle, der fremover bruger og afprøver elementer fra vores bøger.
Mest af alle vil vi gerne takke dig, fordi du netop nu sidder med en udgave af vores bog. Vi håber, at du kan bruge denne bog til at udvikle din egen didaktik i matematikundervisningen.
Venlig Hilsen
Adrian Rau Bull og Torben Blankholm Århus C og København Ø, marts 2023
Illustrationen viser at når du læser bogen Vidensbaseret Matematikundervisning 3, så indgår du i en diskurs om matematikdidaktik med forfatterne.
Forfatterne har ligeledes indgået i en diskurs med de fem didaktikere (Boaler, Sfard, Bruner, Lehrer og Bishop) omtalt i bogen, ved at læse faglitteratur skrevet af disse.
Reform af matematikundervisningen gennem seks læringsnøgler
Matematikundervisning, der støtter alle elevers grænseløse hjerner
Vidensbasering: Jo Boaler
Dette kapitel handler om Jo Boaler, der er britisk professor i matematikundervisning ved Standford Graduate School of Education, samt de seks læringsnøgler, som Boaler mener, at man skal have fokus på, når man vil udvikle elevernes færdigheder og viden i matematikundervisningen. Boaler har være involveret i at promovere nytænkning af matematik og ligeværd i matematikundervisningen for alle elever og med særligt fokus på kvinders og minoriteters rettigheder og muligheder i England og USA.
Jo Boalers udbredelse af reformmatematik er kendt og brugt i det meste af verden. Reformmatematik er blandt andet kendt fra den amerikanske organisation NCTM i USA (National Council
of Teachers of Mathematics). Reformmatematik blev sat i værk som en modreaktion til den måde matematikundervisningen på det tidspunkt foregik på. I 1989 og fremefter har NCTM udgivet en del materialer med en ny version af skolematematikken i USA og Canada, fordi matematikundervisningen mange steder blandt andet havde meget fokus på standardiserede algoritmer og korrekte svar. Udøvere af reformmatematik er ikke imod korrekte svar, men foretrækker, at eleverne fokuserer deres opmærksomhed på processen, der fører frem til svar. Tilstedeværelsen af fejl anses for at være en vigtig del af udviklingen af elevernes matematikforståelse. Undersøgelser har vist, at børn bliver bedre til matematik, når de forstår begreberne, der ligger
til grund for de metoder, de bruger. I Jo Boalers undersøgelser ser det ud til, at børn i klasser, der arbejder med reformmatematik, klarer sig mindst lige så godt som børn i traditionelle klasser, når de bliver testet i færdigheder og bedre, når de bliver testet i problemløsning.
Jo Boaler er blevet særligt kendt for hendes bidrag til reformmatematikken i Danmark i forbindelse med hendes bog The Elephant in the Classroom fra 2009. Bogen har til formål at hjælpe børn til at elske matematik og at få faget til at handle mere om den matematik, der kan udvikle elevernes matematiske evner og få dem til at bruge evnerne i deres hverdag og senere liv.
Boalers anbefalinger
I en anden bog, Den grænseløse hjerne, der udkom i Danmark i foråret 2020, har Jo Boaler samlet sine erfaringer til nogle anbefalinger til matematikundervisningen. Boalers anbefalinger bliver i bogen kaldt læringsnøgler. Dette kapitel omhandler de seks læringsnøgler og vores udlægning af disse. Vi har givet de seks læringsnøgler følgende overskrifter:
1. Forandringsparathed
2. Fejlmodighed
3. Udviklingstankegang
4. Flerdimensionalitet
5. Fleksibilitet
6. Samarbejde
De seks læringsnøgler er ifølge Boaler forudsætningen for god matematikundervisning. Vi viser eksempler på, hvordan læringsnøglerne kan implementeres i matematikundervisningen i danske skoler, og beskriver et konkret undervisningsforløb, der bygger på læringsnøglerne. Undervisningsforløbet er primært rettet til elever i aldersgruppen fra Børnehaveklassen til 4. klasse. Sidst i kapitlet analyserer vi undervisningsforløbet med henblik på at vise, hvordan læringsnøglerne indgår. Målet er at vise, hvordan dele af Jo Boalers ideer og tanker samt viden fra hendes undersøgelser, bøger og forskning kan tilpasses til danske forhold med udbytte for såvel lærere som elever.
De seks læringsnøgler
Jo Boaler har været optaget af at undersøge, hvordan der kan skabes et undervisningsmiljø, hvor alle eleverne er engagerede i undervisningen og uanset deres faglige niveau og forudsætninger deltager aktivt med at udvikle sig selv og hinanden fagligt i matematik. Hendes forskning viser, at det især handler om, hvordan læreren forholder sig til og planlægger matematikundervisningen med udgangspunkt i seks læringsnøgler.
Læringsnøgle 1: Forandringsparathed Forandringsparathed handler om, at lærerne gør op med de statiske tankegange, der kan præge matematikundervisningen og synet på eleverne. Det kan fx være læreres tanker og udsagn som: “Mine elever er generelt dårlige til matematik”, “Der er mange i klassen, som ikke er gode til matematik” og “En af mine elever har en matematikevne, der svarer til elever, som er to klasser lavere”, “Det er okay, at min bedste elev hjælper de andre, de ved jo allerede, at han er den bedste til matematik”.
Ifølge Jo Boaler befinder eleverne sig konstant på en personlig matematisk udviklingsrejse. Hver gang de lærer noget nyt, danner, sammenkobler og styrker deres hjerner nye neurale stier. Nogle af de største trusler mod dette er kedsomhed, kontrol og rutiner.
Det viser sig i praksis, at mange elever indstiller deres deltagelse til et minimum, når de bliver beskrevet som gode eller som dårlige, når de oplever, at de ikke får noget ud af undervisningen, og de ikke har mulighed for at engagere sig i og bidrage til løsningen af de matematiske udfordringer, men oplever, at de blot skal reproducere bogen eller lærerens arbejde. Når undervisningen derimod tilrettelægges, så eleverne bliver aktive deltagere, får mulighed for at give deres personlige bidrag til løsningen af de matematiske udfordringer, og at deres bidrag bliver værdsat, medfører det ofte engagement og faglig udvikling.
Elevernes indsats og vedholdenhed har en langt større effekt på deres matematiske præstationer end deres evner for matematik. Derfor er det mere brugbart at forsøge at forstærke elevernes indsats
og vedholdenhed end at have opmærksomhed på deres matematiske evner. Jo Boalers forskning viser, at eleverne i en klasse, der præsterer dårligt i matematik, men hvor eleverne gerne vil yde en indsat og er vedholdende, på lang sigt vil klare sig bedre end en klasse, hvor eleverne præsterer godt i matematik, men hvor eleverne ikke yder en indsats, og hvor eleverne ikke er vedholdende. Når en elev bliver optaget af en udfordring, kan eleven nå et højt matematisk niveau - også med et minimum af matematisk viden og kunnen.
Derfor er der brug for at udskifte rutinepræget undervisning med aktiviteter, der kan skabe motivation og forandringsparthed blandt eleverne fremfor at forsøge at tilpasse undervisningen til elevernes faglige niveau eller matematiske evner.
Hvis eleverne ikke er interesserede i matematik og samtidig er bekymrede for deres matematiske niveau, vil nogle af dem prøve at memorere matematikken. De vil forsøge at lære regneregler og
matematisk viden udenad. Undersøgelser viser, at memorering i matematik ofte fører til, at eleverne klarer sig dårligere i matematik. Se figur nedenfor. Det er muligvis ikke så overraskende, at memorering ikke virker så godt til at huske, hvordan man bruger matematikken.
Øvelse
Prøv fx denne lille øvelse, hvor du forsøger at lære et telefonnummer udenad.
Hvis du skal lære telefonnummeret ved hjælp af memorering, svarer det til, at du skal huske alle otte cifre i nummeret udenad i den rigtige rækkefølge. Mere effektive måder at huske telefonnummeret på kan være at knytte tallene i nummeret til en historie eller at se sammensætningen af flere tal som billeder eller lave en lille remse med nummeret.
Denne graf fra PISA 2012 viser, at elever, der bruger memoreringstekniker, klarer sig evident dårligere jo sværere opgaverne bliver. De helfarvede prikker viser evidens.
Vidensbaseret Matematikundervisning · 3
Børnehaveklasse til 4. klasse
Bogen henvender sig til matematikvejledere, matematiklærere, børnehaveklasseledere, læreruddannere og lærerstuderende, der er interesserede i vidensbaseret matematikundervisning i indskolingen og matematisk opmærksomhed i børnehaveklassen.
Vidensbaseret Matematkundervisning 3 giver inspiration til at organisere og gennemføre matematikundervisning i indskolingen og til at arbejde med matematisk opmærksomhed i børnehaveklassen med udgangspunkt i international didaktisk viden. Udgivelsen er tredje og sidste bog i en serie, hvor forfatterne i et praksisnært sprog viser, hvordan matematikdidaktiske teorier kan danne baggrund for matematikundervisning i grundskolen.
Bogen indeholder fem undervisningsforløb, som kan bruges i børnehaveklassen og indskolingen baseret på disse forskeres teorier:
1. Jo Boaler: Reform af matematikundervisningen gennem seks læringsnøgler
2. Jerome Seymour Bruner: Udvikling af matematik gennem tre typer af repræsentationer
3. Alan Bishop: Hvordan udvikler børn matematikforståelse forskellige steder i verden?
4. Richard Lehrer: Udvikling og forståelse af geometrisk måling hos elever på de første klassetrin
5. Anna Sfard: Commognition – Tænkning som kommunikation
De fire første kapitler indeholder tre dele:
1. En gennemgang af nogle centrale elementer og anbefalinger fra forskerne tilpasset en dansk skolekontekst og med forklarende eksempler.
2. Et undervisningsforløb med tilhørende arbejdskort og svarark med baggrund i de centrale elementer i forskernes arbejde, og som er afprøvet i danske skoleklasser.
3. Analyse af undervisningsforløbet og gode råd til de lærer, der vil bruge forløbet.
Svarark og arbejdskort til de enkelte undervisningsforløb kan hentes på kortlink.dk/2kncv
ISBN 978-87-93975-65-1
ISBN 978-87-93975-65-1