Vidensbaseret Matematikundervisning · 2
3. til 7. klasse
Adrian Rau Bull og Torben Blankholm
Under medvirken af Pernille Ladegaard Pedersen og Rasmus Ulsøe Kær
Vidensbaseret Matematikundervisning · 2
3. til 7. klasse
Adrian Rau Bull og Torben Blankholm
Under medvirken af Pernille Ladegaard Pedersen og Rasmus Ulsøe Kær
Illustrationer: Annette Carlsen
Vidensbaseret
Matematikundervisning · 2
3. til 7. klasse
Forfattere
Adrian Rau Bull
Torben Blankholm
Medvirkende forfattere
Pernille Ladegaard Pedersen
Rasmus Ulsøe Kær
Redaktion
Klaus Fink
Tegninger
Annette Carlsen
Grafisk tilrettelæggelse
Bjørn Rasmussen
Bogen er sat med
Trade Gothic Next LT Pro og Trade Gothic Next SR Pro
Tryk
Holm Print Management
ISBN: 978-87-93975-44-6
Copyright
Forlaget Matematik og forfatterne 2022. Kopiering fra denne udgivelse må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node, og kun indenfor de i aftalen nævnte rammer.
Forlaget Matematik
Naverland 2
2600 Glostrup
mat.forlag@dkmat.dk
Tlf.: 8659 6022
www.dkmat.dk
Forsideillustration
Annette Carlsen
Indhold
Forord af Klaus Fink · Side 7
Indledning · Side 8
Kapitel 1 | Liljedahl Side 11
Opbyg et klasserum til matematisk tænkning · Del 1
Introduktion · Side 11
Undervisningsforløb · Side 23
Analyse af undervisningsforløbet · Side 25
Kapitel 4 | van Hoof m.fl. Side 77
Det unaturlige ved at regne med rationale tal
Introduktion · Side 77
Undervisningsforløb · Side 84
Analyse af undervisningsforløbet · Side 92
Kapitel 2 | Liljedahl Side 31
Opbyg et klasserum til matematisk tænkning · Del 2
Introduktion · Side 31
Undervisningsforløb · Side 42
Analyse af undervisningsforløbet · Side 47
Kapitel 5 | van Hieles Side 99
Elevers udvikling af geometrisk tænkning og forståelse
Introduktion · Side 99
Undervisningsforløb · Side 104
Analyse af undervisningsforløbet · Side 110
Kapitel 3 | Freudenthal m.fl. Side 55
Realistisk matematikundervisning · RME
Den hollandske matematikdidaktiske skole
Introduktion · Side 55
Undervisningsforløb · Side 66
Analyse af undervisningsforløbet · Side 71
Kapitel 6 | Om data og test Side 117
Fra data til didaktik i matematikundervisningen
Om at bruge data til at kvalificere didaktiske valg
Gennemgang af nogle af de mest brugte test og evalueringer i Danmark med fokus på, hvordan disse kan bruges didaktisk.
Efterskrift · Side 139
Arbejdskort og svarark tilknyttet bogens undervisningsforløb kan hentes på: kortlink.dk/2g8z8 og QR
Forord
Af Klaus Fink, Forlaget Matematik
Denne bog er den anden udgivelse i serien Vidensbaseret Matematikundervisning. Den handler om forskningsbaseret undervisning omkring grundskolens mellemtrin fra 3. til 7. klasse. Formålet med nærværende bog er lige som med Vidensbaseret Matematikundervisning 1 at skabe samspil mellem matematikdidaktisk forskning og matematikundervisningen i grundskolen. Morten Blomhøj, der er leder af NCUM (National Center for Udvikling af Matematikundervisning), skriver i forordet til Vidensbaseret Matematikundervisning 1, at det er enestående i dansk sammenhæng at belyse matematikdidaktiske teorier på denne måde.
Vidensbaseret Matematikundervisning 1 har i skrivende stund været på markedet i et års tid, hvor forfatterne bl.a. har gennemført en række workshops om udvalgte kapitler i bogen. Tilbagemeldinger fra deltagerne og andre lærere viser, at undervisningsforløbene fra bogen bliver brugt på mange forskellige skoler i hele Danmark. Det er også interessant, at bogen bliver brugt til matematikundervisningen på flere læreruddannelser i Danmark, samt at to af kapitlerne fra Vidensbaseret Matematikundervisning 1 allerede er blevet brugt i forberedelsesmaterialet til den afsluttende nationale kompetencemålsprøve i undervisningsfaget matematik i læreruddannelsen. Bogen er desuden blevet nævnt i forbindelse med nationale matematikdidaktiske forskningsoplæg. Dermed kunne man godt konkludere, at den første bog i serien allerede formår at leve op til sit formål.
Og her er så bind 2, en god og smuk bog, der forklarer dele af den matematikdidaktiske forskning,
omsætter den til danske forhold og konkretiserer den med et afprøvet undervisningsforløb. Men som de to forfatterne gerne siger højt:
Din matematikundervisning bliver ikke nødvendigvis bedre af, at du læser denne bog.
Det vigtigste i brugen af bogen er, at den bliver anvendt af matematiklærerne – gerne i deres fagteam – til at udvikle deres matematikundervisning på baggrund af viden om international forskning, konkretiseret med afprøvet undervisning og tilpasset danske skoleforhold. Formålet med bogen er først opnået, når matematiklærere udvikler egen undervisning sammen med kolleger og bruger bogen som inspiration til at undersøge egen undervisning og hvilke muligheder, der er, for at gøre den bedre. Målet er således også, at mange matematiklærere bruger bogen til igen og igen at bruge udvalgte dele af bogen som inspiration i den daglige matematikundervisning.
Derfor siger de to forfattere som opfølgning på det tidligere udsagn:
Din matematikundervisning kan blive bedre af, at du undersøger elementer fra denne bog i din egen matematikundervisning – gerne med dine kolleger.
Vi håber, at alle læsere får glæde af bogen og får brugt dele af den til at udvikle og måske forandre matematikundervisningen i Danmark, så alle børn bliver så dygtige, som de kan, gennem de rette didaktiske overvejelser.
Indledning
Denne bog er den anden udgivelse i serien Vidensbaseret Matematikundervisning, som er planlagt til tre bind. Den handler om forskningsbaseret undervisning for grundskolens mellemtrin fra 3. til 7. klasse. Formålet med bogen er at skabe samspil mellem matematikdidaktisk forskning og matematikundervisningen.
I bogen beskriver og forklarer vi, hvordan flere forskellige anerkendte forskere har observeret, analyseret og udviklet teorier om matematikundervisning. Forskerne er fra forskellige steder i verden, og deres forskning er ligeledes brugt og afprøvet flere forskellige steder i verden. Vi beskriver nogle centrale elementer fra forskningen og giver eksempler på, hvordan matematikundervisning i
en dansk grundskole kan tilrettelægges og gennemføres, så den bygger på forskernes artikler og teorier. Hensigten er at give dig et teoretisk og praktisk fundament af viden til at kunne gennemføre vidensbaseret matematikundervisning.
I denne anden bog i serien bruger vi stadig vores egne erfaringer med forskningsbaseret udvikling af undervisningspraksis i samarbejde med lærere og med at inddrage matematikdidaktisk forskning i læreruddannelsen. I to af bogens kapitler samarbejder vi også med erfarne matematikdidaktiske eksperter. Det er Pernille Ladegaard Pedersen i kapitel 4, der handler om udfordringer med rationale tal, og det er Rasmus Ulsøe Kær i kapitel 6,
der handler om didaktiske overvejelser i forhold til evalueringer, test og data.
I Vidensbaseret Matematikundervisning 2 er undervisningsforløbene skrevet til matematik på 3.-7. klassetrin, og dermed har bogen fokus på det andet af grundskolens første tre trinforløb ved at tage udgangspunkt i den matematikdidaktiske forskning og undervisning i og omkring mellemtrinnet.
Bogens opbygning
Opbygningen af kapitlerne er den samme som i bind 1, så der både er et forskningsafsnit, et undervisningsforløb og en analyse, der forbinder forskningen med undervisningsforløbene i de fem af kapitlerne. Kun det sidste kapitel i bogen er lidt anderledes, da det omhandler de mest udbredte test og evalueringer i matematikundervisningen og derfor ikke har et undervisningsforløb.
Bogen kan bidrage til, at de behandlede teorier får eksemplarisk kvalitet til belysning af, hvordan matematikdidaktisk forskning generelt kan bidrage til udvikling af praksis på forskellige måder. Fem af kapitlerne behandler udvalgt forskning med eksempler på markante og centrale resultater af den verdensomspændende matematikdidaktiske forskning. De repræsenterer matematikdidaktisk forskning, der afdækker og forklarer vanskeligheder ved læring af matematik, matematiske begreber og metoder, samt teorier, der belyser muligheder og udfordring ved fornyelse og forandring af eksisterende matematikundervisning.
I undervisningsforløbene har vi forsøgt at illustrere, hvordan forskningen kan udnyttes konstruktivt til design af aktiviteter og forløb, samt som grundlag for samspillet med eleverne i undervisningen.
Den udvalgte matematikdidaktiske forskning er
• Kapitel 1 og 2. Peter Liljedahls forskning om Opbygning af et klasserum til matematisk tænkning Peter Liljedahls forskning dækker de to første kapitler, idet vi har valgt at bruge et kapitel på at introducere teoriens to første faser og implementere dem i et undervisningsforløb med tilhørende analyse. I det andet kapitel introduceres de sidste faser med et andet undervisningsforløb med tilhørende analyse.
• Kapitel 3 Hans Freudenthal m.fl.:
Realistisk matematikundervisning - RME.
Den hollandske matematikdidaktiske skole.
• Kapitel 4. Jo van Hoof m.fl.:
Det unaturlige ved at regne med rationale tal. Dette kapitel har vi skrevet i samarbejde med Pernille Ladegaard Pedersen, der i juli 2021 forsvarede sin PhD, Learning and understanding the complexity of fractions.
• Kapitel 5. Pierre M. van Hiele og
Dina van Hiele-Geldorf:
Om elevers udvikling af geometrisk tænkning og forståelse.
• Kapitel 6. Fra data til didaktik i matematikundervisningen. Kapitlet er skrevet i samarbejde med Rasmus Ulsøe Kær, der har stor national erfaring med at udvikle, kvalitetssikre og implementere data fra grundskolens matematikundervisning.
Udvælgelsen af forskning til Vidensbaseret Matematikundervisning 2 er forskellig fra den første bog, men afspejler stadig vores interesser og erfaringer, og vi mener at denne forskning er relevant for matematikundervisere på grundskolens 3.-7. klassetrin og andre, der interesserer sig for matematikdidaktik.
Vi har prøvet at formidle bogens indhold til matematiklærere og matematikstuderende på måder, som forbinder teorierne konkret til undervisningspraksis og giver grundlag for, at lærere og lærerstuderende kan bruge dem til refleksion over og udvikling af deres egen undervisningspraksis i matematik.
Vi ser frem til at følge, hvordan Vidensbaseret matematikundervisning 2 formår at leve op til den første bog i serien, og i hvilken grad de to bøger kommer til at støtte og udbygge udviklingen af matematikundervisningens praksis.
Vi håber, at udbredelsen og brugen af bogen kan blive styrket gennem udviklings- og forskningsprojekter og gennem understøttelse af samarbejde i lærerteams om vidensbaseret udvikling af undervisningspraksis. Foreløbig er der i hvert fald med den aktuelle udgivelse åbnet for endnu mere nyt land for formidling af forskning til matematiklærere.
Et klasserum til matematisk tænkning.
Opbyg et klasserum til matematisk tænkning · Del 1
Vidensbasering: Peter Liljedahl 1
Hvordan skaber man en god og lærerig undervisningssituation i matematik?
Dette kapitel handler om, hvordan man kan ændre sin praksis, så det i højere grad bliver muligt for eleverne i klassen at udvikle deres matematiske tænkning. Forskning i matematikundervisning og matematikdidaktik har gennem tiden haft forskellige opfattelser af, hvad der udvikler matematisk tænkning hos eleverne. I det følgende vil vi beskrive ideer til, hvordan man kan arbejde med at udvikle matematisk tænkning hos elever ved at basere matematikundervisningen på udvalgte dele af den canadiske forsker Peter Liljedahls forskning.
For at skabe en forståelsesramme vil vi indledningsvis kort redegøre for nogle elementer, der historisk set har haft det primære fokus, når man har undersøgt matematikundervisningen og muligheden for at udvikle elevernes matematiske tænkning. Derefter beskriver vi de to første
faser ud af fire, som Peter Liljedahl anbefaler at implementere, når man ønsker at opbygge et klasserum, der fremmer matematisk tænkning. De to første faser beskriver otte af de i alt 14 undervisningstiltag, fra Liljedahls forskning. Du kan læse om fase 3 og fase 4 med seks tilhørende undervisningstiltag i kapitel 2.
Her i kapitel 1 giver vi et eksempel på, hvordan man på baggrund af de otte undervisningstiltag i de første to faser kan tilrettelægge et konkret undervisningsforløb på grundskolens mellemtrin. Vi afslutter kapitlet af med en analyse, der trin for trin viser, hvordan undervisningsforløbet udfolder Liljedahls forskning i praksis.
Formålet er at vise, hvordan Peter Liljedahls forskning om opbygningen af et klasserum til matematisk tænkning kan tilpasses til danske forhold med udbytte både for matematiklærerne og eleverne i matematikundervisningen.
Hovedfokus i matematikdidaktiske tekster gennem tiden
Curriculum
Den lærende
Underviseren
Samspillet
Grovskitse af hovedfokus i matematikdidaktiske tekster gennem tiden – inspireret af Stephen Lerman.
Liljedahl |
Forskning om matematikundervisning eller matematisk tænkning kan spores langt tilbage i tiden. Den tidlige forskning havde primært fokus på ”de gode opgaver og matematiske emner”. Forskningen handlede om, hvad der var vigtigt at lære i matematik og ikke så meget om de personer, der skulle lære matematik, eller dem, som skulle undervise i matematik. De tidlige tekster beskæftiger sig kun i ringe grad med samspillet mellem aktørerne og det matematiske stof.
I matematikdidaktikkens historie kan man i de publicerede tekster se, at forskere fra omkring 1960’erne bliver opmærksomme på, at viden ikke bliver modtaget passivt. Eleverne eller de studerende har selv stor betydning for, hvad de lærer. Der er meget matematikdidaktisk forskning, som arbejder med at klarlægge, hvorfor elever har svært ved fx arbejde med åbne og problemorienterede matematikopgaver. Forskerne sætter fokus på eleverne, deres evner, deres motivation osv.
Det sociale aspekt og kontekstens betydning har i nyere tid været et særligt fokusområde inden for forskningen i matematikdidaktik. Det har vist sig at være afgørende, at der er et passende samspil mellem stoffet, underviseren, eleven og klassen som social enhed. At alle dele af undervisningen har betydning for, om et matematikdidaktisk udviklingsprojekt kommer til at fungere i den praksis, der undersøges.
Forskellige udviklingsprojekter har udført forsøg med at tilrettelægge og gennemføre udviklingsforløb for enkeltelever, der havde ønske om eller oplevede et behov for matematisk udvikling. Umiddelbart gav projekterne gode resultater, men desværre viste det sig efterfølgende, at udviklingen forsvandt over tid, når eleverne vendte tilbage til undervisningen i deres egen klasse. Vi mener, at det kan have stor betydning, at elevernes udvikling sker som en del af deres konkrete matematikundervisning i og sammen med klassen.
Vi ved i dag, at underviseren har stor indflydelse på, hvordan undervisningen foregår, og hvad eleverne får ud af den.
Det var i forbindelse med Lee S. Shulmans udgivelser i 1980´erne, at der kom særligt fokus på
underviseren i forbindelse med elevernes udvikling af matematikforståelse.
Liljedahl arbejder blandt andet ud fra Shulmans forskning i sit arbejde med at afprøve forskellige problemorienterede opgaver i 40 canadiske skoleklasser. Liljedahl konstaterer
• at eleverne generelt ikke viser gode evner til at arbejde med problemorienterede matematikopgaver
• at lærernes viden og deres måde at undervise på har stor betydning for elevernes udbytte af undervisningen.
Som et kuriosum kan det nævnes, at Peter Liljedahls forskning om det matematiske klasserum tager afsæt en dag i 2003, hvor han bliver kontaktet af en lærer, der efterspørger nogle gode problemorienterede opgaver til sine elever. Læreren er ikke interesseret i et samarbejde eller co-teaching, hun ønsker kun nogle gode problemorienterede opgaver. Liljedahl giver læreren denne klassiske opgave:
Hvis 6 katte kan fange 6 rotter på 6 minutter, hvor mange katte skal man så bruge til at fange 100 rotter på 50 minutter?
Læreren tager opgaven med til sin skole og præsenterer den for klassen. Opgaven får ikke den modtagelse, som hun havde håbet på. Mange af eleverne giver hurtigt op, og de arbejder generelt ikke grundigt med opgaven – især når hun ikke er i nærheden.
Liljedahl bliver opmærksom på, at det ovenstående mønster hos eleverne er noget, der går igen hos alle elever i de 40 skoleklasser, han besøgte. Han mener, at det skyldes en tilgang hos lærerne, der kan beskrives som en implicit antagelse om, at lærerne behandler deres elever som nogle, der ikke kan eller ikke ønsker at tænke matematisk. På den baggrund besluttede Liljedahl sig for at undersøge, hvordan der kan opbygges et undervisningsrum, som giver eleverne mulighed for og understøtter deres evner til at tænke matematisk.
Liljedahl har gennem en årrække haft kontakt med cirka 400 matematiklærere fra alle trin i det canadiske skolesystem. Lærerne arbejdede med at implementere forskellige undervisningstiltag i deres klasser og har givet feedback om, hvilke undervisningstiltag der fungerede godt, og hvilke der fungerede mindre godt.
Ud fra de empiriske data fra Liljedahls afprøvninger og observationer i de 40 klasser samt den omtalte feedback fra lærerne i de 400 klasser konkluderer Liljedahl, at der er 14 undervisningstiltag, som har en særlig stor betydning for elevernes muligheder for at udvikle og gennemføre matematisk tænkning. Han anbefaler at implementere tiltagene gradvis gennem fire faser for at give tid og rum til, at undervisningstiltagene bliver en integreret del af undervisningen – at de bliver til undervisningsrutiner.
Vi har oversat og omformuleret undervisningstiltagene til følgende:
Første fase
1 Brug problemorienterede opgaver
2 Sammensæt grupper jævnligt og offentligt
3 Lad grupperne arbejde ved lodrette flader
Anden fase
4 Præsenter opgaverne mundtligt for eleverne
5 Tilpas indretningen af klasseværelset
6 Overvej, hvordan og hvornår du svarer på elevernes spørgsmål
7 Lad eleverne udarbejde personlige meningsfulde noter
8 Giv handlefrihed og selvstændighed i gruppearbejdet
Tredje fase
9 Giv tips, tricks og udfordringer til undersøgelser og problemløsning
10 Gennemfør klassesamtaler undervejs med udveksling af viden mellem grupperne
11 Tilbyd supplerende opgaver, der kan hjælpe med forståelsen af stoffet
Fjerde fase
12 Anvend formativ evaluering
13 Anvend summativ evaluering
14 Giv konstruktive tilbagemeldinger
Vi har valgt at nummerere undervisningstiltagene i den rækkefølge, Liljedahl peger på, at de bør introduceres i en klasse.
Peter Liljedahls forskning viser, at implementeringen af de 14 undervisningstiltag ikke nødvendigvis virker så godt, hvis læreren introducerer dem alle på en gang. Det fungerer bedre at inddrage dem trinvis over en længere tidsperiode i undervisningen gennem fire faser. Derfor har vi i dette kapitel valgt at starte med at beskrive, hvordan man via de to første faser kan starte helt konkret med at introducere og indarbejde de første otte undervisningstiltag i en klasse.
I kapitel 2 præsenterer vi den tredje og fjerde fase med de tilhørende seks undervisningstiltag.
Første fase
1 Brug problemorienterede opgaver
2 Sammensæt grupper jævnligt og offentligt
3 Lad grupperne arbejde ved lodrette flader (whiteboards og/eller vinduer)
Første fase i implementering af Peter Liljedahls forskning. Læg mærke til, at det er undervisningstiltag 1, 2 og 3, der bør implementeres som de første i klasserummet.
Der er i Liljedahls forskning opmærksomhed på, at det er undervisningstiltag 1, 2 og 3, der først skal implementeres i undervisningen. De tre undervisningstiltag er afgørende for elevernes måde at
Kapitel 1
Kapitel 2
Liljedahl
Vidensbaseret Matematikundervisning · 2
3. til 7. klasse
En nyttig bog til matematikvejledere, matematiklærere, læreruddannere og lærerstuderendende, der er interesseret i at bruge matematikdidaktisk viden i matematikundervisningen.
Vidensbaseret Matematikundervisning 2 giver inspiration til at organisere og gennemføre matematikundervisning på baggrund af klassisk international matematikdidaktisk viden, der er omskrevet af forfatterne, så den er tilpasset en dansk kontekst.
Udgivelsen er anden bog i en serie, hvor forfatterne i et praksisnært sprog præsenterer viden om, hvordan forskning i matematikundervisning kan tilpasses til en dansk kontekst og bidrage til konkret matematikundervisning i skolen.
Bogen indeholder fem undervisningsforløb, der henvender sig til mellemtrinet og er baseret på disse forskeres- og forskningsgruppers teorier:
1. Peter Liljedahl: Opbyg et klasserum til matematisk tænkning · Del 1
2. Peter Liljedahl: Opbyg et klasserum til matematisk tænkning · Del 2
3. Hans Freudenthal, Adri Treffers, Koeno Gravemeijer, Leen Streefland, Marja Van den Heuvel-Panhuizen m.fl.: Realistisk matematikundervisning · RME
4. Jo van Hoof, Lieven Verschaffel, Xenia Vamvakoussi og Wim van Dooren:
Det unaturlige ved at arbejde med rationale tal
5. Pierre M. van Hiele & Dina van Hiele-Geldorf:
Om elevers udvikling af geometrisk tænkning og forståelse
6. Fra data til didaktik i matematikundervisningen
Hvert af de fem første kapitler indeholder tre dele:
1. En gennemgang af nogle centrale elementer og anbefalinger fra internationale forskere tilpasset til en dansk skolekontekst med forklarende eksempler.
2. Et afprøvet undervisningsforløb med tilhørende arbejdskort og svarark på baggrund af de centrale elementer og anbefalinger.
3. Analyse af hvordan elementer og anbefalinger indgår og påvirker undervisningsforløbene.
– Det sidste kapitel omhandler brug af data til at kvalificere didaktiske valg i skolens matematikundervisning.
Svarark og arbejdskort til de enkelte undervisningsforløb kan hentes på forlagets hjemmeside.
ISBN 978-87-93975-44-6
ISBN 978-87-93975-44-6