Issuu

Mette Bjarning & Mette Thompson

Rationale tal udvider elevernes forståelse af, hvad tal kan være. Tal handler ikke længere kun om, hvor mange der er, men også om hvor stor en del, hvor meget og hvordan størrelser kan sammenlignes og sættes i relation til hinanden. Det kræver nye mentale billeder og nye måder at tænke på. Vi ved samtidig, at denne udvidelse ikke er lige let for alle elever. Nogle får hurtigt greb om sammenhængene, mens andre kæmper med at få de forskellige repræsentationer til at give mening. Netop derfor er det fortsatte arbejde med at udvide elevernes talforståelse relevant og vigtigt for alle elever. Forståelsen skal løbende styrkes, undersøges fra forskellige vinkler og udvikles gennem erfaringer, samtaler og meningsfulde sammenhænge. Titlerne i Bedst til matematik-serien har til formål at levere grund-

Mette Thompson Cand.pæd. didaktik (matematik). Læreruddannet og matematikvejleder. Har mange års erfaring fra grundskolen og som kommunal matematikkonsulent.

9 788785 412225

læggende viden og konkrete idéer til en tidssvarende, motiverende og fagligt funderet undervisning inden for relevante matematikfaglige områder. Bøgerne er udarbejdet af dygtige og erfarne teoretikere og praktikere. De enkelte bøger i serien er rettet mod et eller flere trin, fra grundskolens indskoling til ungdomsuddannelserne. Serien henvender sig til undervisere i grundskolen og på ungdomsuddannelserne, samt studerende på læreruddannelsen.

Mette Bjarning & Mette Thompson

Mette Bjarning Læreruddannet og matematikvejleder med mange års erfaring som underviser i matematik i grundskolen.

Udvidet talforståelse

Udvidet talforståelse Mellemtrin ~ Udskoling

Mette Bjarning & Mette Thompson

Udvidet talforståelse Mellemtrin ~ Udskoling

Mette Bjarning & Mette Thompson

Udvidet talforståelse Mellemtrin ~ Udskoling

Forord 07

Introduktion 08

Aktiviteter 30

Tre repræsentationer i spil Hvad er størst? – 33 Rig på rutinen – 34 Samme størrelse, flere repræsentationer – 36 Tegn din tænkning – 38

To repræsentationer i spil Er det rimeligt? – 41 Tænk og tegn blokmodeller – 42 Find misforståelsen – 44 Undersøg et kortspil – 46 Undersøg et tangram – 48 Byg brøk- og procentfigurer – 50 Gæt mit tal – 52 Hvor mange procent vingummi er jeg? – 54 Procent og brøker i min verden – 56

Brøker Byg brøkregnestykker – 59 Del kagen lige – 60 Gæt min brøk 62 Tæt på 0 - ½ - 1 – 64 Først til tre hele – 66 Hvad er det halve, hvad er det dobbelte af brøken? – 68

Decimaltal Uendeligt mellem decimaltal – 71 Tallinjer – hvilket tal ligger her – 72 Pantflasker – 74 Byg med talkort – 76 Tallet imellem – 78 Størst og mindst – 80 Gæt mit decimaltal – 82 Tæt på nul – 84

Procent Mere end 100 %? – 87 Procenter i mit skoleliv – 88 Find forholdet – 90 Rabatjægeren – 92 Tik-Tok-tricket – 94

Forord Titlerne i serien Bedst til matematik har til formål at levere grundlæggende viden og konkrete idéer til en tidssvarende, motiverende og fagligt funderet undervisning inden for relevante matematikfaglige områder. Bøgerne er udarbejdet i et tæt samarbejde mellem dygtige teoretikere og erfarne praktikere. De enkelte bøger i serien er rettet mod et eller flere trin, spændende fra grundskolens indskoling til ungdomsuddannelserne, og er målrettet undervisere samt studerende på læreruddannelsen. Bøgerne indledes med en faglig introduktion, der giver en grundlæggende forståelse af bogens specifikke fagområde. I bøgernes anden del præsenteres en række konkrete aktiviteter, der er lige til at bruge i undervisningen. Aktiviteterne er designet til at kunne gennemføres inden for et enkelt modul og kan gennemføres mange gange i samme klasse. Hver aktivitet introduceres kort og indeholder en beskrivelse af formål, forberedelse og materialer, organiseringsform, supplerende idéer samt eventuelle differentieringsmuligheder med henblik på at tilpasse aktiviteten til forskellige niveauer. Til flere af undervisningsaktiviteterne findes der tilhørende arbejdsark, der ligger klar til udprint på Forlaget Matematiks hjemmeside. Det lille papirflyverikon ved aktiviteterne angiver, at der findes et arbejdsark til aktiviteten. God læselyst og god undervisning!

Find arbejdsark til udprint på forlagetmatematik.dk/bedsttilmatematik

Introduktion

Talforståelse Når vi arbejder med talforståelsen, arbejder vi ikke kun med tal. Vi arbejder med forestillinger om mængder, relationer og strukturer og med vores forståelse af, hvad tal er, og dette er bl.a. med til at forme vores matematiske identitet. Talforståelsen udgør et helt centralt fundament i matematik. Det er gennem talforståelsen, at eleverne lærer, hvad tal betyder, hvordan de hænger sammen, og hvordan de kan bruges til at tænke, forklare og handle matematisk. Talforståelse er et begreb, der bruges ofte, men som kan rumme forskellige betydninger afhængigt af sammenhængen. I denne bog anvendes talforståelse som en samlet betegnelse for den forståelse, der gør det muligt for elever at give tal mening og anvende dem fleksibelt i matematiske sammenhænge. Talforståelse handler ikke blot om at kunne tælle, læse eller skrive tal korrekt. Det handler om at forstå, hvad tal repræsenterer, hvordan de er opbygget, og hvordan de kan forbindes med hinanden. Talforståelsen udvikles i samspil mellem medfødte forudsætninger og erfaringer fra undervisningen. Allerede før skolestart har børn en intuitiv fornemmelse for mængder og antal, som danner grundlag for den senere matematiske læring. I skolen skal denne intuitive viden forbindes til talnavne, talsymboler og matematiske strukturer. Det er i dette samspil, at talforståelsen gradvist skal opbygges over tid. Talforståelse er dermed ikke én samlet færdighed, men et sammensat fænomen, der består af flere indbyrdes forbundne aspekter. Talforståelsen skal styrkes løbende, gentages og udvides til nye sammenhænge og have en relevant og væsentlig plads i undervisningen.

Hvorfor rationale tal? Når rationale tal introduceres for eleverne på mellemtrinnet og i udskolingen, er der ikke tale om et helt nyt talområde, men om en udvidelse af det, eleverne allerede kender. De rationale tal omfatter både de naturlige tal og de hele tal, men udvides med brøker, decimaltal og negative tal.

-1 6

3,3

1 6

0 -1

-0,3

-0,02

-93 12

-12 3,17

93 1007

-33

-1007

2 3 9 10

-9 10

0,02

Naturlige tal: Alle hele positive tal Hele tal: Alle positive og negative tal samt nul Rationale tal: Alle tal, der kan skrives som en brøk af to heltal Reelle tal: Alle rationale og irrationale tal Når elever arbejder med rationale tal, udvider de deres talforståelse, fordi de rationale tal grundlæggende adskiller sig fra de naturlige tal. Det betyder, at tal ikke længere kun beskriver hele antal og kan bruges til at tælle. Nu kan tal også beskrive dele af helheder, forhold mellem størrelser og værdier under nul. Med de rationale tal bliver matematik derfor ikke kun et spørgsmål om hvor mange, men også et spørgsmål om hvor meget, hvilken del og i hvilket forhold. Dette markerer et vigtigt begrebsskifte i elevernes matematiske udvikling, hvilket gør, at vi kan tale om en reel udvidelse af talforståelsen. Rationale tal spiller en central rolle i både skolematematik og i hverdagslivet. Elever møder dem i forbindelse med penge, mål, rabatter, opskrifter, statistik og sandsynlighed og også i algebra og proportional tænkning. Med proportional tænkning menes evnen til at forstå, hvordan ændringer i én størrelse påvirker en anden. Fx handler det om at forstå, at hvis en opskrift skal fordobles, skal alle ingredienser fordobles, eller at 20 % rabat betyder den samme andel af prisen, hvad enten varen koster 50 eller 500 kr.

En sikker forståelse af brøker, decimaltal og procent er derfor afgørende for, at eleverne kan deltage meningsfuldt i matematiske aktiviteter og kan få mening ud af de situationer, de møder i hverdagen. De rationale tal udgør et centralt fundament for den videre matematik, fordi mange efterfølgende emner forudsætter, at eleverne kan sammenligne størrelser, arbejde med forandringer og forstå sammenhænge mellem tal.

Rationale tal som udvidelse af naturlige tal Udviklingen af forståelsen for rationale tal skal som nævnt ikke betragtes som et helt nyt begyndelsespunkt for eleverne, men som en udvidelse af deres eksisterende talforståelse for de naturlige tal. Eleverne bringer erfaringer med naturlige tal, tælling og positionssystemet med sig ind i arbejdet med de rationale tal. Disse erfaringer fungerer både som en ressource, men også som en potentiel barriere. Hvor de naturlige tal bygger på tælling af objekter, kræver rationale tal, at eleverne kan forholde sig til kontinuerlige størrelser, del-helhed-relationer og forhold. Det indebærer et begrebsskifte, hvor tal ikke længere udelukkende forstås som hele antal. Forskning peger på, at mange elevers vanskeligheder med rationale tal netop hænger sammen med, at strategier og forestillinger fra de naturlige tal overføres direkte til brøker og decimaltal. Dette fænomen betegnes som heltalsdistraktorer og kan komme til udtryk ved, at eleverne vurderer 3⁄8 som større end ½, fordi 3 er større end 1 (Pedersen, 2021). Eller at 3,17 opfattes som større end 3,3, fordi 17 er større end 3 (Thompson, 2024).

Sæt tallene i rækkefølge fra mindst til størst.

0,9

-3,3

3,3

-0,2

0,9

-0,2

3,3

3,17

Aktiviteter Tre repræsentationer i spil > 32-39 To repræsentationer i spil > 40-57 Brøker > 58-69 Decimaltal > 70-85 Procent > 86-95

Rig på Rutinen Formål Formålet er at styrke elevernes forståelse af rationale tal gennem arbejdet med flere sammenhængende repræsentationer. Eleverne skal udvikle fleksibilitet i at bevæge sig mellem symboler, visuelle modeller og kontekster samt opbygge mentale repræsentationer af tal som udtryk for størrelser.

Organisering Individuelt eller makkerpar.

Forberedelse og materialer – Læs evt. Sammenhæng mellem brøk, decimaltal og procent, side 21. – Print arbejdsark 2, så der er til alle elever.

Fremgangsmåde – Skriv tre tal på tavlen, som eleverne kan vælge imellem. Fx 0,75, ⅓ og 25 %. – Bed eleverne vælge ét af tallene og skrive det i midten af arbejdsarket. – Fortæl eleverne, at de selv må vælge, hvilket felt på arbejdsarket de begynder i, men at de skal forsøge at nå alle fire felter inden for den afsatte tid:

> Regneudtryk: Eleverne laver regnestykker, der giver deres valgte tal.

Fx 3:4 = 0,75.

> Visuel model: Eleverne tegner en model, der viser tallet som en del af en

helhed. Det kan fx være en blokmodel, en tallinje eller et procentdiagram. hvis det var udtrykt som samme størrelse i de andre repræsentationer.

Fx 0,75 svarer til ¾ og 75 %.

Regne

udtryk

> Som decimaltal - brøk - procent: Eleverne skal vise deres valgte tal,

en konkret enhed, fx “Min arm er 0,75 meter lang” eller “Jeg har drukket

0,75 liter vand.”

Med e n

enhed

> Med en enhed: Eleverne skriver en kort historie, hvor tallet indgår med

– Fortæl eleverne, at de kan genbesøge felterne flere gange og lave flere regneudtryk, tegninger eller historier. – Afslut aktiviteten med en klassesamtale, hvor I drøfter, hvordan de forskellige repræsentationer hænger sammen, og hvilke visuelle modeller eleverne har fundet på for at repræsentere tallets størrelse.

Du kan også … Aktiviteten kan i en periode gennemføres som en fælles rutine i klassen (10-20 min.), fx som opstart på timen.

Differentieringsmuligheder Det, at eleverne selv vælger tal, giver en naturlig mulighed for differentiering. Du kan skifte nogle af felterne på arbejdsarket ud og arbejde mere målrettet med bestemte repræsentationer. Fx kan feltet Visuel model konkretiseres til blokmodel, tallinje eller procentdiagram, hvis eleverne har brug for mere stilladsering.

Rig på

odel Visuel m

malta

l - brø k - pro

ocent brøk - pr maltal Som deci

cent

hed Med en en

Med e n

enhed

Visuel m

odel

ryk Regneudt

Regne

udtryk

utpinåernutinen Rrig

Vær opmærksom på, om eleven gentagne gange vælger samme type tal (fx kun decimaltal). Inddrag det i en dialog om, hvad der skal til, for at eleven føler sig tryg ved at vælge andre repræsentationer næste gang.

Udvidet talforståelse Mellemtrin - Udskoling Af Mette Bjarning & Mette Thompson © 2026 Forlaget Matematik 1. udgave, 1. oplag 2026 Forlagsredaktion: Marie Louise Brücker og Erica Price Terp Illustrationer: Inge Rand Grafisk tilrettelæggelse og omslag: Inge Rand Denne bog er beskyttet i medfør af gældende dansk lov om ophavsret. Kopiering eller spredning - analogt og digitalt - af denne bog eller dele deraf må kun ske i overensstemmelse med loven. Det betyder f.eks., at kopiering til undervisningsbrug kun må ske efter aftale med Tekst & Node. Brug af denne bog eller dele deraf til tekst- og datamining eller til indlægning i chatbots eller andre former for AI-teknologi er ikke tilladt. Trykt hos Tarm Bogtryk A/S Printed in Denmark 2026 For at mindske transport og CO2-aftryk mest muligt er bogen trykt i Danmark ved hjælp af 100 % grøn strøm. Papiret er fremstillet i Sverige og opfylder FSC og Svanemærket om bæredygtigt skovbrug, energioptimering samt lavt CO2-aftryk. ISBN: 978-87-8541-222-5 www.forlagetmatematik.dk

Mette Bjarning & Mette Thompson

Mette Thompson Cand.pæd. didaktik (matematik). Læreruddannet og matematikvejleder. Har mange års erfaring fra grundskolen og som kommunal matematikkonsulent.

9 788785 412225

Mette Bjarning & Mette Thompson

Mette Bjarning Læreruddannet og matematikvejleder med mange års erfaring som underviser i matematik i grundskolen.

Udvidet talforståelse

Udvidet talforståelse Mellemtrin ~ Udskoling