Thomas Kaas
TIDLIG ALGEBRA
Hvad, hvorfor, hvordan?
Thomas Kaas
TIDLIG ALGEBRA
Hvad, hvorfor, hvordan?
Tidlig algebra
Hvad, hvorfor, hvordan?
Forfatter
Thomas Kaas
Redaktion
Connie Nielsen
Elisabeth Tang
Grafisk tilrettelæggelse
Bjørn Rasmussen
Bogen er sat med
Adelle og Adelle Sans
Tryk
Holm Print Management
ISBN: 978-87-93975-79-8
Copyright
Forlaget Matematik og forfatteren 2024. Kopiering fra denne udgivelse må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node, og kun indenfor de i aftalen nævnte rammer.
Forlaget Matematik
Naverland 2
2600 Glostrup
mat.forlag@dkmat.dk
Tlf.: 8659 6022
www.dkmat.dk
Foto forside
Bjørn Rasmussen
Indhold
Forord · side 7
Del 1
Hvad er tidlig algebra?
Side 10
1 | Eksempler fra klasserum med tidlig algebra · side 13
Dagens tal · side 13
Hvor mange kyllinger · side 15
Borde og stole · side 17
Iskioskerne · side 19
Sammenfatning · side 20
2 | En karakteristik af algebra i grundskolen · side 21
Forskellige syn på algebra · side 22
Algebraisk stof og algebraisk tænkning · side 22
Kernen i algebraisk tænkning · side 23
Andre typer algebraisk tænkning · side 26
Samspillet mellem algebraisk tænkning og algebraisk stof · side 29
Sammenfatning · side 30
3 | Algebra fra 1. til 10. klasse · side 31
En opgave til hele forløbet · side 32
Opgaven i indskolingen · side 33
Opgaven på mellemtrinnet · side 35
Opgaven på de ældste klassetrin · side 38
Sammenfatning · side 39
Del 2
Hvorfor undervise i tidlig algebra? Side 40
4 | Hvorfor er algebra vigtigt for alle · side 43
Algebra ligger bag samfundsmæssige beslutninger · side 43
Algebra i hverdagen · side 46
Algebra spiller en rolle på ungdomsuddannelserne · side 48
Sammenfatning · side 51
5 | Hvorfor og hvordan opstod ideen om tidlig algebra? · side 53
Vanskeligheder med lighedstegnet · side 53
Vanskeligheder med betydningen af bogstaver i matematiske udtryk · side 55
Vanskeligheder ved at behandle bogstavudtryk · side 58
Bevægelsen mod tidlig algebra · side 59
Sammenfatning · side 60
Del 3
Hvordan kan vi undervise i tidlig algebra? Side 62
6 | Hvad ved vi om læring af og undervisning i tidlig algebra? · side 65
Funktionelle sammenhænge som fagligt indhold · side 65
Funktionssituationer · side 66
Funktionstabeller · side 68
Bogstavudtryk og andre repræsentationer · side 70
Forskningsresultater om anvendelse af algebraiske repræsentationer som redskaber · side 72
Sammenfatning · side 76
7 | Et undervisningsforsøg om tidlig algebra · Del 1 · side 77
Klassens faglige udgangspunkt · side 77
Organiseringen og arbejdsmåder i forsøgsundervisningen · side 79
Rektangler med sidelængden 4 · side 80
En vej til faktuelle og kontekstuelle generaliseringer · side 82
Funktionstabellen som redskab · side 84
Bogstavudtryk i utide? · side 86
Sammenfatning · side 90
8 | Et undervisningsforsøg om tidlig algebra · Del 2 · side 91
Generaliseringer der involverer bogstavudtryk · side 91
Sammenligninger af to funktionelle sammenhænge · side 94
Menneskeår og dyreår · side 96
Pengepungproblemet · side 98
Sammenfatning · side 101
9 | Et undervisningsforsøg om tidlig algebra · Del 3 · side 103
Tændstikhemmeligheder · side 103
Forskellige strategier til ligningsløsning · side 106
Leonardo da Vincis påstande · side 107
Legetøjstoget · side 110
Kapløbet · side 111
Udfordringer med algebraisk tænkning i reelle kontekster · side 113
Sammenfatning · side 114
Konklusion · side 117
Hvad er tidlig algebra? · side 117
Hvorfor undervise i tidlig algebra? · side 117
Hvordan undervise i tidlig algebra? · side 118
Afsluttende bemærkninger · side 121
Noter · side 122
Bilag · side 124
Referencer · side 127
Supplerende læsning · side 129
Stikordsregister · side 130
Forord
På en eller anden måde er algebra kommet til at fylde en del igennem mit uddannelses- og arbejdsliv. I grundskolen og gymnasiet tænkte jeg især på algebra som noget indviklet, der havde med bogstavregning og ligningsløsning at gøre. Jeg fik lært mig nogle huskeregler, som gjorde mig nogenlunde i stand til at løse de opgaver, vi fik stillet, og oplevede det også ind imellem som rimeligt tilfredsstillende at finde frem til løsningerne, men jeg havde ikke meget ide om, hvad det hele skulle gøre godt for.
Jeg kan huske, at vi i 8. eller 9. klasse lærte en af reglerne som en remse, vi skulle kunne udenad: “Produktet af en toleddet størrelse er lig med kvadratet på første led plus kvadratet på anden led plus eller minus det dobbelte produkt af leddene”. Jeg kan også huske, at det ikke var alle ordene i remsen, der sagde mig noget. Hvad mon en toleddet størrelse egentlig er? Hvad betyder kvadratet på første led? Og hvad med det dobbelte produkt? Efterhånden som min lærer viste nogle eksempler på tavlen, fangede jeg dog mønstret og fandt ud af, at et produkt måtte være resultatet af et gangestykke, og at man kunne se på regnetegnet i parentesen, om det var plus eller minus det dobbelte produkt.
Senere tog jeg en læreruddannelse, og der gik det op for mig, at algebra kan være et redskab til modellering og problemløsning.
Specielt kan jeg huske en opgave, hvor vi studerende skulle forestille os, at Jorden er en kugle, og at vi ved ækvator kunne binde en snor stramt rundt omkring hele Jorden. Nu skulle vi i tanken klippe snoren over og forlænge den med præcis 1 meter, så den ikke længere ville være stram. Tænk, hvis vi kunne klodse snoren op hele vejen rundt, sådan at den igen dannede en cirkel. Gad vide, hvor meget snoren nu ville være hævet over Jorden?
Først prøvede vi at gætte på resultatet. Det måtte vel være begrænset, hvor meget den forlængede snor kunne have hævet sig over Jorden? Vores underviser opfordrede os til at tegne situationen og til at bruge algebra til at svare på spørgsmålet. I min gruppe tegnede vi og udtrykte omkredsen af den hævede snor på to forskellige måder. Den måtte jo være 1 meter længere end den ‘gamle’ snor, og samtidig måtte den være omkredsen af en cirkel med radius r plus den ‘tilvækst’, vi søgte efter.
Vi skrev 2 πr + 1 = 2 π ( r + Δ r ), løste ligningen med hensyn til Δ r , og var noget overraskede over at konstatere, at resultatet er ca. 16 cm.
Bagefter diskuterede vi vores løsningsmetoder i klassen. Jeg hæftede mig ved, at vi i løsningsprocessen havde taget udgangspunkt i nogle forestillinger om omverdenen, men at vi helt forlod disse forestillinger, da vi først fik opstillet en ligning og koncentrerede os om at løse den. Mens vi opstillede ligningen, var
det afgørende, at vi tænkte over betydningen af de variable, vi valgte at bruge, men mens vi løste ligningen slap vi i en overgang bekymringen om det, symbolerne refererede til, og fokuserede på regneregler. Det var først, da vi havde isoleret Δ r , at vi vendte tilbage til betydningen af denne variabel. Desuden erkendte jeg i situationen, at vi formentlig ikke villet have kunnet løse opgaven uden algebra som redskab. På læreruddannelsen gik det også op for mig, at algebra er et nødvendigt redskab i en lang række problemer, der kan dukke op i arbejdsliv, samfundsliv og naturforhold. Desuden fik jeg oplevet algebra som et sprog til at udtrykke generelle sammenhænge og som et redskab, man kan argumentere med. I slutningen af 1990’erne blev jeg så lærer. Jeg glædede mig til at undervise i matematik, men jeg oplevede bl.a., hvordan en overgang fra aritmetik til algebra kan være næsten uoverstigelig for nogle elever på mellemtrinnet. Mange af mine elever har på forskellige måder givet udtryk for, at “matematik bare bliver et helt andet fag, når man skal bruge bogstaver i stedet for tal”. En hel del af disse elever lærte sig tilsyneladende dog efterhånden at løse forskellige typer algebraopgaver, fx fandt de veje til at løse ligninger, når jeg støttede deres udvikling af løsningsmetoder med anvendelse af konkrete materialer eller illustrationer. Alligevel havde jeg ikke fornemmelsen af, at de helt fangede ideen med at løse sådanne ligninger. Hvorfor skulle de nu have den her nye type opgaver, og hvad kunne løsningerne bruges til?
Senere har jeg set i data fra Folkeskolens prøver, at mine elever ikke har været de eneste, der har været udfordret af algebra. Lidt over halvdelen af eleverne i 9. klasse ser ud til at have lært at løse ligninger som 5x − 3 = 2x + 18,
men kun omkring 25 % af eleverne kunne i 2019 korrekt besvare spørgsmålet: “Hvor stor er sidelængden i et kvadrat, der har arealet a”?
Problemerne bliver typisk endnu større, hvis eleverne på egen hånd skal udtrykke en generalisering. Fx kunne kun ca. 10 % af eleverne i 2019 korrekt beskrive udviklingen fra trin nummer n til det efterfølgende trin i talfølgen 1, 3, 6, 10 …
Så blev jeg ansat på læreruddannelsen og mødte en del studerende, der personligt oplevede det som udfordrende at opstille, anvende og tolke udtryk med variable. Jeg skulle jo både støtte dem i at udvikle deres egen matematikfaglighed og i at udvikle lærerfaglighed, men tit tænkte jeg, at det var en ret begrænset hjælp, jeg kunne give dem i begge henseender. Hvordan er det egentlig, at elever og studerende udvikler algebraisk viden og kunnen?
Findes der veje, som er bedre end andre? Jeg prøvede at læse forskningsartikler om sagen, men det meste af det, jeg kunne finde, handlede om de vanskeligheder, som elever og studerende kan have med algebra – og ikke så meget om, hvad vi kan gøre ved det. Hvad kan vi fx gøre for de elever, som oplever matematik som et helt andet fag, når der kommer bogstaver i spil?
Først omkring år 2016 blev jeg opmærksom på forskningslitteratur, der handler om at begynde undervisningen i algebra allerede på de yngste klassetrin i stedet for at vente til den sidste del af grundskoleforløbet. På forhånd var jeg skeptisk over en sådan tidlig start på algebra. Hvordan skulle man kunne forvente, at elevernes vanskeligheder med algebra skulle blive mindre, hvis de begyndte tidligere? Skulle man ikke snarere forvente, at det, der er vanskeligt for ældre elever, vil være endnu vanskeligere for yngre elever?
Jeg havde nok også på forhånd en forventning
om, at algebraundervisning for de yngste elever nødvendigvis ville have mere formel og abstrakt karakter, end de former for matematikundervisning jeg selv har forsøgt at praktisere.
En del af de artikler, jeg læste, overraskede mig imidlertid. Her blev ikke tegnet billedet af et mere formelt og abstrakt fag. De tilgange til algebraundervisning, der blev foreslået, så tværtimod ud til at bygge på elevernes uformelle tænkning og på konkrete problemstillinger. Undervisningsforslagene var præget af undersøgelser, problemløsning og dialog. Desuden kunne en række forskningsprojekter dokumentere nogle læringsresultater, der virkede meget lovende.
En holdning blandt en hel del af de kolleger, jeg har haft i mit arbejdsliv, har været, at elever som disse slet ikke er udviklingsmæssige parate til at tænke i variable, og at en sådan form for tænkning kræver mange års erfaring med talbehandling og stor talforståelse. Hvordan skal vi kunne forvente, at elever kan generalisere, hvis de ikke kan foretage almindelige beregninger? Artiklerne fik mig imidlertid til at tænke, at de udfordringer, som er forbundet med at lære algebra, måske ikke så meget har bund i elevers udviklingsmæssige parathed,
men måske i højere grad i de måder vi underviser i algebra på? Måske vil en vej frem være at begynde undervisningen tidligere og lade den strække sig igennem hele skoleforløbet? Hvis vi vil undersøge en sådan ny tilgang til algebraundervisning, opstår der naturligt en række spørgsmål, som må afklares, fx: Hvilke begrundelser findes der for at tro på, at en tidligere begyndelse og evt. anden tilgang til algebraundervisning vil føre til større viden og kunnen hos eleverne? Hvilke sider af algebra kan elever på de yngste klassetrin i det hele taget arbejde med og lære? Hvordan kan algebraundervisning på de yngste klassetrin i det hele taget se ud?
Spørgsmål som disse fik mig i gang med et ph.d.-projekt om tidlig algebra (Kaas, 2022), og bogen her er en formidling af udvalgte dele af dette projekt. Jeg har forsøgt at lægge vægt på dele, som kan give inspiration til konkret undervisning med tidlig algebra. Bogen er opbygget i tre dele med hver sit grundlæggende spørgsmål: Hvad er tidlig algebra? Hvorfor skal man undervise i tidlig algebra? Hvordan undervise i tidlig algebra?
Stor tak til Heidi Kristiansen, som jeg har samarbejdet med i forsøgsundervisningen, der er beskrevet i bogens sidste del.
Valby, maj 2024
Thomas Kaas
Hvad er tidlig algebra ?
Helt kort sagt handler tidlig algebra om undervisning i algebra på 1. til 6. klassetrin. I Danmark og i de fleste andre vestlige lande har vi ellers i mange år først undervist i algebra senere i skoleforløbet. I de seneste to årtier er der imidlertid mere og mere forskning og flere og flere erfaringer fra praksis, som tyder på, at der kan være en god ide i at begynde algebraundervisning tidligt. I de seneste danske læseplaner har algebra på de yngste klassetrin derfor fået en mere fremtrædende plads, end det har haft før. Spørgsmålet er imidlertid, hvad undervisningen mere præcist skal bestå i? Hvad kan elever på de yngste klassetrin i det hele taget lære om algebra – og hvordan?
Det er nok typisk først og fremmest at forbinde algebra med bogstavregning og ligningsløsning. Selv om disse emner er vigtige, så fanger de dog ikke nødvendigvis ‘kernen’ i algebra, og det er bestemt ikke hensigten med tidlig algebra, at eleverne nu bare skal lære de traditionelle emner tidligere og på samme måde som før i tiden. Nogle matematikdidaktikere har udtrykt det sådan. – Tidlig algebra er ikke bare algebra tidligere
Tværtimod sigter tidlig algebra på en helt ny tilgang til det at lære og at undervise i algebra. Det er en tilgang, der forsøger at indfange, hvad det dybest set vil sige at kunne algebra og at tænke algebraisk. Samtidig er det en tilgang, som er forbundet med alle de matematiske kompetencer, vi sigter på i Danmark, og som giver gode muligheder for undervisningsdifferentiering.
Denne del 1 af bogen udfolder, hvad tidlig algebra er.
• Kapitel 1 giver eksempler på undervisningssituationer, der viser, hvordan algebraundervisning kan se ud på forskellige af de yngste klassetrin. Efter hvert eksempel er der udpeget nogle af de ting i situationen, som gør det, der foregår, til tidlig algebra.
• Kapitel 2 giver en mere sammenhængende beskrivelse af, hvad indholdet i tidlig algebraundervisning kan bestå i.
• Kapitel 3 viser, hvordan tidlig algebraundervisning kan hænge sammen med algebra på de ældste klassetrin. Med andre ord: Det viser progressionen i grundskolens algebraundervisning.
Stikordsregister
A
Algebraisk repræsentation 28
Algebraisk tænkning 16, 22 f., 26 ff., 32 ff. 72, 103, 107, 109 ff., 113 ff., 117, 125
Aritmetik 8, 18, 59
B
Begrunde (generelle egenskaber og sammenhænge) 15 ff. 25 ff., 33 ff., 69 ff, 77 ff
Behandle (algebraiske repræsentationer) 16, 26 ff., 53, 58, 95 f.
Beskrive (generelle egenskaber og sammenhænge) 8, 14 ff., 25 ff.
Blair, W 59
Blanton, M. L. 70 f
Bogstavregning 7, 11, 22, 47
Bogstavudtryk 58
Borde og stole 17 f.
Brizuela, B. M., 75
Børne- og Undervisningsministeriet 22, 31 f
C
Carraher, D. W. 72 ff.
CO2-udledning 48
D
Dagens tal 13
Dyreår 96 ff.
E
Eksemplificerende aktivitet 118
Euklid 25
F
Faktuel generalisering 36, 82, 92, 111, 118
Figurmønster 72
Folkeskolens prøver 8, 55, 57, 59
Freil, O. 91, 118
Funktionelle sammenhænge 20, 38, 65 ff., 89, 94 ff., 119
Funktionssituation 66 ff., 80 ff., 103
Funktionstabeller 68 ff., 84 ff., 95 ff., 104, 118 ff.
G
Generalisere 9, 15 f., 23, 25 ff.
Generaliseret tal 20, 25
Gennemsigtig (brug af en repræsentation eller symbolisering) 85, 94, 98
H
Harolds og Sallys penge 75
Heidi Kristiansen 9, 77 ff., 85 ff., 91 ff., 103 ff.
Hvad betyder kontakttallet? 45
Hvor mange kyllinger? 15 f.
Hvor mange skal vi vaccinere? 46
Høj med en hat 70 ff.
I
Iscenesættelse 79 ff.
Iskioskerne 19 f. Iversen, Birger 22
J
Jensen, J. H. 51
K
Kapløbet 111 ff.
Kaput, J. J. 23, 25, 59, Kieran, C. 22, 26
Klip en snor 91
Kondital 47
Kontekstuel generalisering 82, 93
Korrespondancesammenhæng 34 ff., 68 ff., 80 ff., 92, 111, 119
Kristiansen, Heidi 9, 77 ff., 85 ff., 91 ff, 103 ff
L
Legetøjstog 110
Leonardo da Vinci 107 ff.
Lighedstegn 53 ff
Ligning 16, 20 ff., 28, 31 f., 38f., 54f., 58, 74 f., 86, 95, 98, 100 f., 103 ff., 112 f.
Ligningsløsning 11, 22, 29, 31, 37, 54, 58, 74f., 103 ff.
Lisas og Johans arbejde 107
Læseplan 11, 21
Løft væk (fra den oprindelige kontekst) 85 f., 109
M
Makspuls 45
Mike og Robins penge 73
Mønster 14, 17, 23, 33, 67, f., 83
N
NTCM 59 ff.
O
Opdage (generelle egenskaber og sammenhænge) 14 ff., 23 ff., 34 ff., 66 ff., 78, 80, 91, 107,
Oversætte (til algebraiske repræsentationer) 16, 20, 28f., 58, 73, 75, 88 ff., 94 ff., 99, 106
P
Pant for flasker 27 ff.
Parameter 26, 44
Pengepungsproblemet 98 ff.
Plan for undervisning i generalisering af korrespondancesammenhænge 82 ff.
Proces 96
R
Radford, L. 26, 71 f.
Rammerne 33 ff.
Refererende aktivitet 118
Reformorienteret syn på algebra 22, 29
Rektangler 78 ff.
Rekursiv sammenhæng 34, 69, 84 f.
S
Sammenfatning 20, 30, 39, 51, 60, 76, 90
Samvariation 34 f., 68 ff., 97, 119
Sara finder mønstre 78
Schliemann, A. 72 ff.
SEIR-model 44
Summen af to ulige tal 24 f.
Symbolisere 16, 18, 25f, 36 ff., 56, 87, 90, 107, 120
Symbolsprog 14 ff., 21, 35, 66, 106
TTalpar 37, 66 ff., 78, 81 ff., 92, 97, 108, 111, 118
Tolke (arbejde med algebraiske repræsentationer) 16, 20, 28 ff., 44f., 54, 56, 74 ff., 84, 88, 95 ff.,
Traditionelt syn på algebra 22
Tændstikhemmelighed 103 ff.
Tænkning med matematiske symboler 119 f.
U
Ubekendt 16, 26, 58, 74 f., 104
Ubestemt tal 16, 20, 26, 29, Uigennemsigtig (brug af en repræsentation eller symbolisering) 85, 98,
Undervisningsministeriet 22, 31 f
Ungdomsuddannelser 48 ff
V
Variabel 24 f.
Variabelnotation 37, 71, 73, 104
TIDLIG ALGEBRA
Tidlig algebra henvender sig til matematiklærere, vejledere, konsulenter og lærerstuderende.
Bogen viser, hvad det vil sige at lære og at undervise i algebra og algebraisk tænkning på 1.- 6. klassetrin. Den giver et forskningsbaseret bud på
• hvad der kan forstås ved algebra på disse klassetrin
• hvorfor tidlig algebra er blevet udbredt i store dele af verden
• hvordan man helt konkret kan gribe tidlig algebraundervisning an.
Indholdet varierer mellem teori og praksis. Bogen indeholder en stribe eksempler, der kan anvendes direkte i egen undervisning.
Forfatter er Thomas Kaas, der har 25 års erfaring med matematikundervisning i folkeskolen, på læreruddannelsen og universitetet. Bogen er baseret på hans ph.d.-afhandling Tidlig algebra i grundskolens matematikundervisning.
ISBN 978-87-93975-79-8
ISBN: 978-87-93975-79-8
9 788793 975798