Matematik med it
BAGGRUND · METODER · EKSEMPLER
Anden reviderede og udvidede udgave
Redaktion
Jørgen Uhl Pedersen, Kirsten Søs Spahn og Gert B. Nielsen
Matematik med it · 2. udgave
Baggrund · Metoder · Eksempler
Af
Karsten Enggaard
Mette Vedelsby
Rikke Schnedler Teglskov Kristensen
Kirsten Søs Spahn
Mari-Ann Skovlund
Niels Grønbæk
Morten Misfeldt
Bent B. Andresen
Forord
Jørgen Uhl Pedersen
Redaktion
Jørgen Uhl Pedersen
Kirsten Søs Spahn
Gert B. Nielsen
© 2025 Forlaget Matematik 2. udgave, 2. oplag 2025
Grafisk tilrettelæggelse
Bjørn Rasmussen
Grafisk tilrettelæggelse af omslag
Marianne Kongsted Cordes
Bjørn Rasmussen
Denne bog er beskyttet i medfør af gældende dansk lov om ophavsret. Kopiering må kun ske i overensstemmelse med loven. Det betyder f.eks. at kopiering til undervisningsbrug kun må ske efter aftale med Tekst & Node.
Foto
Jørgen Uhl Pedersen og forfatterne
Originalgrafik til kapitlerne
Forfatterne og Jørgen Uhl Pedersen
(CAS-grafik kapitel 5)
Forlaget har forsøgt at kontakte eventuelle rettighedshavere, som kan have krav på honorar i henhold til loven om ophavsret. Eventuelle rettighedshavere, som måtte have krav på vederlag, vil af forlaget få udbetalt et honorar, som var der indgået en aftale.
Trykt hos Holm Print Management
ISBN: 978-87-93975-58-3 forlagetmatematik.dk
Matematik med it
BAGGRUND · METODER · EKSEMPLER
Redaktion
Jørgen Uhl Pedersen, Kirsten Søs Spahn og Gert B. Nielsen
Indhold
Jørgen Uhl Pedersen
Forord side 7
Læsevejledning og projektbeskrivelse.
Karsten Enggaard
1. Procesorienteret matematikundervisning .................................. side 10
Det ser ud til, at Digitale værktøjer kan give en merværdi til elevernes læring i en procesorienteret kontekst. Kapitlet beskriver, hvordan procesorienteret opgaveløsning kan videreføres til procesorienteret undervisning.
Mette Vedelsby
2. Eksperimentel matematik .................................................................. side 28
Eksperimentel matematikundervisning med it har både fokus på eksperimenter i digitale værktøjer og fysiske eksperimenter, der efterbehandles med digitale værktøjer. Princippets muligheder og begrænsninger omtales med flere undervisningseksempler.
Rikke Teglskov
3. Digitale værktøjer i matematikundervisningen side 42 I kapitlet gennemgås et udvalg af typiske digitale værktøjer. Brugen af it i undervisningen er beskrevet i Fælles Mål og Læseplanen, men kapitlet beskæftiger sig desuden med lærerens egne overvejelser og begrundelser for anvendelse og udvælgelse af digitale værktøjer til undervisningsbrug.
Kirsten ‘Søs’ Spahn
4. Sproglig udvikling ...................................................................................side 68
Sproglig udvikling er et tværgående emne i Fælles Mål og beskrevet i Læseplanen. Kapitlet beskriver nogle af de mange væsentlige interaktioner mellem sprog og matematik med forslag til, hvordan der kan arbejdes med sproglig udvikling i en matematisk, digital kontekst.
Mari-Ann Skovlund-Jensen
5. Undervisningsdifferentiering ............................................................. side 82
Digitale værktøjer kan let indtænkes i individuel undervisning. Men kan de også støtte undervisningsdifferentiering? Kapitlet beskriver de forhold, der skal være til stede, før man kan tale om undervisningsdifferentiering. Desuden inddrager kapitlet digitale værktøjer som en mulig støtte til undervisningsdifferentiering.
Niels Grønbæk
6. CAS eller Ka’-Selv side 100
Helt fra introduktionen af lommeregneren i matematikundervisningen har det været diskuteret, hvad indførelse af et elektronisk hjælpemiddel gør ved de kernekompetencer, vi ønsker, at eleverne opnår. Problemet er ikke blevet mindre med introduktionen af kraftige digitale værktøjer. I kapitlet diskuteres, hvad der kan anses for kernekompetencer, og hvordan de udvikles i en digital virkelighed.
Morten Misfeldt
7. Hvad taler vi om, når vi taler om it
i matematikundervisningen? side 120
I kapitlet opsamles og perspektiveres de sidste 30 års forskning i matematikundervisning med it. Der tilbydes en matrix, der kan tjene som en forståelsesramme for de fremførte teorier og begreber.
Bent B. Andresen
8. Afslutning og overblik side 134
Den politiske ambition med digitaliseringsindsatsen i matematik er, at eleverne bliver mere kompetente medborgere. Kapitlet beskæftiger sig med, hvordan læreren bedst og lettest kan afdække elevernes kompetencer på dette område med henblik på at tilrettelægge den bedst mulige undervisning.
Tillæg ved Kirsten ‘Søs’ Spahn
Vejledning og it i matematik – hvordan og hvorfor? side 147
En læsevejledning til bogen for matematikvejledere.
Appendiks
Noter og bilag side 157
Forord
Danmarks Matematiklærerforening har udviklet et efteruddannelsesprojekt, Matematikløft, til alle Danmarks matematiklærere i grundskolen inden for emnet Matematik med it
Projektet
Projektets formål er at opkvalificere matematiklærere og matematikvejledere inden for området it-didaktik på baggrund af ny forskningsmæssig og evidensbaseret viden om brug af it-programmer på alle trin i grundskolens matematikundervisning. Samtidig bygger projektet på det øgede fokus på it i Fælles Mål og Læseplanen for matematik og det tværgående område it og medier.
Baggrund
Mange skolevæsener har, i overensstemmelse med aftalerne mellem kommunerne og staten om en øget it-indsats, anskaffet personlige computere og tablets i håb om, at de kan tilføje undervisningen nye dimensioner med henblik på at øge kvaliteten af elevernes læring. Kommunernes indsats støttes af Fælles Mål og Læseplanen, der i matematik foreskriver, at eleverne skal udvikle og bruge digitale færdigheder gennem hele skoleforløbet især gennem arbejdet med matematiske, digitale værktøjer som regneark, CAS og dynamiske geometriprogrammer og kommunikationsprogrammer.
Forskning
Der er, som optakt til projektet, gennemført forskning på en række mindre undervisningsforløb i matematiske kerneområder på flere klassetrin og med deltagende klasser og lærere spredt over hele landet. Undervisningen er i alle klasser søgt gennemført efter en best practise model, hvor der er anvendt en tilgang, vi kalder procesorienteret matematik. Denne metode er nærmere beskrevet i kapitel 1. Elever og lærere var delt i to grupper, der begge arbejdede med samme kernefaglige områder og begge grupper med samme undervisningsmetode. Der var kun én systematisk forskel mellem de to grupper. Den ene gruppe havde CAS-værktøjer til rådighed, den
anden gruppe måtte klare sig uden avancerede, digitale hjælpemidler. Statistiske resultater og andre former for tilbagemeldinger i forbindelse med forskningen udgør en del af projektforudsætningerne.
Aktiviteter
Deltagerne i Matematikløft vil være grupper af matematiklærere fra de kommuner, der ønsker en kvalificering af matematikundervisning med it. Denne bog indgår som grundbog i projekterne. Der udarbejdes supplerende materiale, og projektet får sin egen hjemmeside og blog. Det er håbet, at grundbogen, hjælpemidlerne og hjemmesiden vil kunne bruges af matematiske fagteam og matematikvejledere og konsulenter ud over landet, også efter det oprindelige forløb er afsluttet.
Bogen
Denne bog beskriver i otte artikler nogle væsentlige emner, der kan være med til at danne en ramme for lærerens didaktiske og metodiske tænkning i forbindelse med planlægning af undervisning. Forfatterne dækker bredt det matematisk-pædagogiske spektrum. Nogle forfattere har baggrund i grundskolens matematikundervisning, andre har baggrund i læreruddannelserne og nogle har baggrund i universitetsverdenen. Fælles for dem er, at de har gjort sig tanker om undervisning i matematik med it.
Kapitel 1 beskæftiger sig med procesorienteret undervisningspraksis med eksempler hentet fra det indledende forskningsforløb, der tidligere er omtalt. Så følger et kapitel om eksperimenterende matematikundervisning, hvor der både eksperimenteres i programmerne, men også eksperimenteres i den fysiske verden for efterfølgende at behandle de indvundne data. Digitale værktøjer i matematikundervisningen behandles grundigt i kapitel 3, der efterfølges af kapitel 4, som behandler sproglig udvikling ud fra en moderne opfattelse af vekselvirkningen mellem sprog og matematik. Kapitel 5 kredser om differentieringsmuligheder med eksempler på nogle af de mange fremtrædelsesformer, der kan etableres for det samme matematiske udtryk i CAS-værktøjer, men behandler også klassiske udfordringer, når det drejer sig om undervisningsdifferentiering.
Kapitel 6 drejer sig egentlig om relationerne mellem eleven og de programmer, der stilles til rådighed for eleven. Er det de meget kraftige digitale værktøjer, der bestemmer, hvad der er vigtigt og uvigtigt at kunne selv, og regner de egentlig rigtigt? Er der matematiske kompetencer, vi regner for meget vigtige personlige kompetencer, der udliciteres til de digitale værktøjer med et kompetencetab til følge for eleven?
Kapitel 7 beskæftiger sig med den såkaldte a priori tankegang inden for matematisk forskning og undervisning. Hvilke konsekvenser har det for forskning og undervisning, når vigtige matematiske beviser og grundlæggende matematisk forskning nu etableres på en it-platform?
Det afsluttende kapitel 8 beskæftiger sig dels med evalueringsproblematikken, dels indeholder kapitlet en oversigt over en række af de undervisningsmetoder, der kan anvendes i en digital virkelighed, men som ikke er behandlet i selvstændige kapitler i bogen.
Kapitlerne indeholder spørgsmål til refleksion, der vi være velegnede til brug i lærerteamets arbejde med bogen. I denne 2. udgave af bogen er udformet et tillæg med særligt fokus på matematikvejledernes arbejde med bogen og rolle på skolerne.
God fornøjelse med læsningen
Danmarks Matematiklærerforening august 2022
Jørgen Uhl Pedersen
Hjemmesidens adresse er: http://matematikmedit.dk/
Kapitel 1
Abstract
I procesorienteret matematikundervisning er der sat fokus på kommunikationen omkring løsningsprocessen og formidlingen af resultaterne frem for fokus på facit.
Grundideen er at skabe et forum for diskussion af forskellige løsningsmuligheder samt fordele og ulemper ved forskellige metoder. Det centrale er, at kommunikationen er forståelig for alle parter.
Det betyder, at såvel afsendere som modtagere skal være indstillede på at kommunikere bedst muligt. Kommunikationen kan være mundtlig, skriftlig, via computer, tavle, video, CAS-program eller hvad, der er bedst i den aktuelle situation.
Forfatter
Karsten Enggaard
Chefkonsulent på Forlaget Matematik (Danmarks Matematiklærerforening)
Matematiklærer i folkeskolen 1971-2005
Pædagogisk konsulent fra 1978 bl.a. DLH og UVM
Udgivelser
Konsulent/forfatter på materialer til matematik i grundskolen herunder det digitale CAS-værktøj MatematiKan og onlinematerialet PRØV!. Medtilrettelægger af Danmarks Matematiklærerforenings opkvalificeringsindsats i it og matematik for lærere i grundskolen 2016/17
Kapitel 1 Procesorienteret matematikundervisning
Procesorienteret matematikundervisning er en undervisningsform, der med udgangspunkt i løsning af problemer stiller nogle bestemte krav til elevog lærerrollen. Eleven skal være en aktiv deltager i løsningsprocessen og bidrage med forslag i stedet for at være modtager af en række standardiserede løsninger, der indgår som en del af pensum i matematik. Det nødvendiggør, at læreren bliver en aktiv og kritisk deltager i kommunikationen om løsninger til opgaver og matematiske problemstillinger. Dette i modsætning til den lærerrolle, hvor læreren fremstår som eksperten, der kender de korrekte standardiserede løsninger på de typer af problemer, vi p.t. beskæftiger os med.
En søgende og spørgende adfærd hos lærer og elever er en vigtig del af kommunikationen i den procesorienterede problembehandling og matematikundervisning.
Der findes ikke forkerte svar eller dårlige spørgsmål. Alle svar og alle spørgsmål er en del af processen frem mod en total forståelse af problemet, løsningsmuligheder og resultater.
Når elever arbejder procesorienteret, er der tre hovedelementer i processen.
1. Hvad er det for et problem, vi skal arbejde med?
2. Dialog om problemløsningen med respons og nye forslag. Ny respons?
Ja Nej
3. Fremlæggelse af den bedst mulige løsning med kommentarer.
1 En indledende fastlæggelse af, hvad problemet er. Introduktionen til opgaven kan være mere eller mindre åben, men indeholder ofte en forklarende tekstdel, en beskrivelse af betingelser for problembehandlingen og/eller krav til løsningen.
2 Dialog mellem lærer/elev og elev/elev om, hvordan vi løser problemet.
Der kan være tale om flere delprocesser, løsningsforslag, responser, nye forslag.
3 Det bedst mulige resultat, et facit, en løsning, og måske kommentarer til resultatet.
Hvis processen har været forholdsvis simpel, er der selvfølgelig ingen særlige kommentarer, men hvis processen har indeholdt overvejelser, og der er foretaget valg, der har betydning for løsningen og resultatet, skal det fremgå.
Eksempel 1. Begyndertrin
Opgave 1 kr.
Først to femmere
Vida får penge af sin mor. Hvor mange kroner får hun i alt?
Opgave 1 kan løses på forskellige måder.
★ Er der måder, der er ’smartere’ end andre?
★ Hvilken måde er bedst for dig – og hvorfor det?
Opgave 5
Indsæt de rigtige svar:
17 + 17 = 34
17 + = 35
17 + = 36
17 + = 45
17 + = 46
5 kr 5 kr
10 kr
Der er 2 femmere to gange
10 kr 10 kr
20 kr
Det giver 20 kr.
Så er der tre 2-kroner
2 kr 2 kr 2 kr
6 kr
Ialt
20 kr 6 kr
26 kr
CAS: MatematiKan
★ Kom med forslag til, hvordan Opgave 5 kan løses.
★ Ved hovedregning.
★ Med CAS-værktøj.
12 kr. 12 kr
Eksempel 2
Opgave 1
Karla og Oskar har 50 kr. i alt.
Men Karla har 12 kr. mere end Oskar. Hvor mange kr. har Karla?
Først får Karla 12 kr.
In[1]:= 50 kr 12 kr
Først får Karla 12 kr.
Out[1]= 38 kr
Mellemtrin
★ Hvilke andre løsningsforslag vil elever på mellemtrinnet foreslå?
In[1]:= 50 kr 12 kr
Først får Karla 12 kr.
Out[1]= 38 kr
Der er så 38 kr. tilbage, som skal deles mellem Oskar og Karla.
In[1]:= 50 kr 12 kr
38 kr. tilbage, som skal deles mellem Oskar og Karla.
In[2]:= 38 kr 2
Out[1]= 38 kr
Der er så 38 kr. tilbage, som skal deles mellem Oskar og Karla.
Out[2]= 19 kr
In[2]:= 38 kr 2
Out[2]= 19 kr
12 kr
In[2]:= 38 kr 2
2 har derfor 19 kr., og Karla har også 19 kr.+12 kr.
kr. tilbage, som skal deles mellem Oskar og Karla.
Der er så 38 kr. tilbage, som skal deles mellem Oskar og Karla.
Osker har derfor 19 kr., og Karla har også 19 kr.+12 kr.
Out[2]= 19 kr
Out[3]= 31 kr
derfor 19 kr., og Karla har også 19 kr.+12 kr. kr
In[3]:= 19 kr 12 kr
Osker har derfor 19 kr., og Karla har også 19 kr.+12 kr.
In[3]:= 19 kr 12 kr
Out[3]= 31 kr
Osker har derfor 19 kr., og Karla har også 19 kr.+12 kr.
Karla har 31kr.
In[3]:= 19 kr 12 kr
31kr. kr. tilbage, som skal deles mellem Oskar og Karla.
Karla har 31kr. Karla 12 kr. kr
Out[3]= 31 kr
19 kr., og Karla har også 19 kr.+12 kr.
31kr.
Karla har 31kr.
Opgave 3
CAS: MatematiKan
• Til klassefesten køber klassen tre kasser sodavand til 69,95 kr. pr. kasse med 30 sodavand i hver kasse.
• De sælger sodavand til festen og vil gerne have et overskud på 150 kr. til klassekassen.
Hvad skal en sodavand koste, hvis de regner med at sælge cirka 75 sodavand?
★ Kom med mindst to forslag til, hvordan Opgave 3 kan løses med et CAS-værktøj.
Karla
Matematik med it
BAGGRUND · METODER · EKSEMPLER
Matematik med it giver i otte kapitler en oversigt over muligheder og begrænsninger, når der arbejdes med it i matematikundervisningen.
Bogen beskriver med baggrundsstof og eksempler brugen af it i forskellige scenarier. De digitale værktøjer beskrives indgående med reference til Fælles Mål og Læseplanen. Mulighederne for undervisningsdifferentiering og udvikling af sproglig kompetence har fået selvstændige kapitler.
Spørgsmålet om matematiske kernekompetencer og den udfordring, der ligger i meget “kompetente” digitale værktøjers overtagelse af dele af arbejdet i matematikundervisningen, problematiseres med eksempler fra gymnasieundervisningen.
Endelig følges op med kapitler, hvor den aktuelle forskningsstatus indenfor matematikdidaktik med it og matematik som emne præsenteres sammen med en oversigt over undervisningsmetoder, der kan tænkes anvendt i matematikundervisningen.
I denne 2. udgave er udformet et tillæg særligt rettet mod matematikvejlederne.
2. udgave 2. oplag