Lisser Rye Ejersbo · Niels Johnsen · Peter Müller
Ideer til god matematikundervisning
0.-3. klasse
Lisser Rye Ejersbo · Niels Johnsen · Peter Müller
Ideer til god matematikundervisning
0.-3. klasse
Ideer til god matematikundervisning
0.-3. klasse
Forfattere
Lisser Rye Ejersbo
Niels Johnsen
Peter Müller
Redaktion
Connie Nielsen
Elisabeth Tang
Ideer til god matematikundervisning
Grafisk tilrettelæggelse
Bjørn Rasmussen
Bogen er sat med
Adelle og Adelle Sans
Tryk
Holm Print Management
ISBN: 978-87-93975-19-4
Copyright
Forlaget Matematik og forfatterne 2021
Forlaget Matematik
Naverland 2
2600 Glostrup mat.forlag@dkmat.dk
Tlf.: 8659 6022 www.dkmat.dk
Tak til Gonge Danmark for lån af konkrete materialer.
Indhold
Forord · side 7
1 | Hvordan lærer børn at forstå tal? · side 9
Talforståelse · side 9
Fem tælleprincipper · side 10
Talbehandling · side 12
Didaktiske ideer til afprøvning 1 · side 15
Didaktiske ideer til afprøvning 2 · side 18
Didaktiske ideer til afprøvning 3 · side 20
På vej mod et begreb om tal · side 20
Didaktiske ideer til afprøvning 4 · side 22
Dobbelttælling og videretælling · side 23
Regning med små tal · side 23
Brug af hænder og fingre · side 24
Metaforer og hjernens associative måde at tænke på · side 26
Tal som samlinger af genstande · side 27
Tal som sammensætning af genstande · side 28
Tal som længder · side 29
Tal som bevægelse langs en vej · side 29
Tal som steder og afstande · side 30
Proces-objekt-dualitet · side 31
Procept · side 31
Konkrete visuelle forestillinger · side 32
Tælleprocesser · side 32
Repræsentationer · side 33
Foto forside
Bjørn Rasmussen
2 | Subtraktion · side 37
Hos Lasse i 2. c · side 37
Udvikle metoder til beregning med naturlige tal · side 38
Så hvad indebærer det? · side 39
Udviklingen i de officielle bestemmelser · side 39
Eksempel 1 med tulipaner · side 39
Eksempel 2 med Jenny · side 39
Udvikling af metoder · side 40
Regnemetoder, algoritme og regneopstilling · side 41
Eksempel med Ludvig · side 42
Algoritmer · side 42
Udvikling af metoder til subtraktion · side 44
3 | Addition, multiplikation og division · side 49
Addition · side 49
Omgruppering · side 50
Lodret addition · side 51
Multiplikation · side 52
Gentagen addition · side 52
Komplekse fordoblingsmetoder · side 54
Forholdstabeller – en ide fra RME · side 55
Tabelviden · side 55
Opdeling af begge faktorer · side 56
Division · side 57
Standardalgoritmen for division – et eksempel · side 58
Lærerens fokus · side 60
Didaktiske ideer til afprøvning 5 · side 60
4 | De gode spørgsmål · side 63
Den didaktiske kontrakt · side 64
Didaktiske ideer til afprøvning 6 · side 65
Eksempler på spørgsmål i klasserummet · side 66
Inspiration til at stille de gode spørgsmål · side 68
Matematiske udtryksformer · side 71
Matematiske aktiviteter · side 72
Udvikling af matematiske begreber · side 73
Giv spørgsmålene navne · side 73
5 | Matematik
i den magiske cirkel · side 77
Tolv bjørne · side 78
Bjørne med personlighed · side 79
Bjørne, der er tilknyttet et matematisk begreb eller en matematisk egenskab · side 80
Præsentation af bjørnene til eleverne · side 80
Regnehistorier med bjørnene · side 81
Eksempel 1: Regneriks fødselsdag · side 81
Eksempel 2: Ind og ud af klassen · side 82
Eksempel 3: Springkap med bjørne og terninger · side 84
Eksempel 4: Bjørnefamilien flytter ind · side 85
Eksempel 5. Regnestrategier med Badut, Granit og Regnerik · side 87
Baduts ishockeyhold · side 87
Granits amerikanske fodboldhold · side 87
Regneriks fodboldtrøjer · side 88
Regnehistorier med bjørnefamilien · side 89
6 | Geometri · side 93
Udvikling af geometrisk tænkning · side 93
GeoGebra · side 94
Geometriske mønstre · side 95
Geometrisk puslespil · side 97
Geoboardet · side 99
Tegning · side 100
Figurskolen · side 101
Kanter og hjørner · side 101
Flader · side 104
7 | Statistik og sandsynlighed · side 107
Tre former for sandsynlighed · side 107
Statistik · side 108
Sandsynlighed · side 112
Hvad siger forskningen om sandsynlighed i de mindre klasser? · side 113
Spil 1 · side 113.
Spil 2 · side 113
Didaktiske ideer til afprøvning 7 · side 114
Hvordan kan man bruge spil? · side 115
Start enkelt og byg op · side 115
Fra deterministisk forestilling til forståelse af sandsynlighed · side 117
Didaktiske ideer til afprøvning 8 · side 118
Didaktiske ideer til afprøvning 9 · side 120
Litteraturliste · side 124
Stikordsregister · side 128
Forord
Intentionen med denne bog er at give både lærere, lærerstuderende og deres undervisere ideer til, hvordan man kan undervise på et både praktisk og teoretisk grundlag.
Bogen er blevet til gennem et samarbejde mellem tre forskellige undervisere på henholdsvis universitetet, læreruddannelsen og folkeskolen. Resultatet indeholder et væld af ideer til den gode matematikundervisning i de små klasser samt undervisningen på læreruddannelsen.
Hvorfor kan tal være så drilske?
At forstå tal er en ret kompleks proces, men samtidig hører forståelse af tal sammen med fundamentet af matematisk viden.
Hvordan børn møder og bliver fortrolige med tal, har betydning for, hvordan de vil opleve at navigere i et samfund, hvor tal fylder så meget. Det kræver tid at lytte og forstå elevernes tankegang, så deres egne potentialer kan vokse – og der er heldigvis mange måder at gøre det på.
Hvad er et godt spørgsmål? Og hvordan finder man det bedste lige nu og her? At kende og bruge gode spørgsmål i undervisningen, skaber erfaringsmæssigt en dynamik, hvor alle skal stå på tæer for at følge med. Sammen
med brugen af ‘den magiske cirkel’, hvor kun fantasien sætter grænser, kan matematikundervisningen byde på store overraskelser.
Man kommer ikke uden om brugen af digitale hjælpemidler selv i de små klasser. Men hvor ligger fælderne? Hjælpemidlerne bliver mere og mere avancerede, og skal de være en hjælp, er det nødvendigt at bruge dem på en måde, som følger de små elevers udvikling.
Vi benytter os af skøn og sandsynlighed hele tiden. Når vi fx skal vurdere om paraplyen skal med eller ej, er det den personlige sandsynlighed, som er på spil. Netop denne form for sandsynlighed kan fremlokke de små elevers egne overvejelser, som man kan bygge videre på både den statistiske og matematiske sandsynlighed.
Gennem hele bogen sætter vi fokus på de valg og udfordringer, som undervisning i matematik indebærer. Bogen bygger på et matematikdidaktisk teoretisk grundlag, hvor teori og praktiske eksempler giver ideer til, hvordan man kan arbejde med den gode matematikundervisning.
Lisser Rye Ejersbo Niels Johnsen
Peter Müller
1 4 5 2 6 7 3
Hvordan lærer børn
at forstå tal? 1
Tal er kongevejen til forståelse af matematik, siges det, og dette kapitel handler om, hvordan børn lærer at forstå tal. Det er bygget op af flere underafsnit, hvor forskellig forskning og projekter bruges som eksempler på, hvordan man kan arbejde med at få eleverne til at udvikle deres talbegreb.
Talforståelse
At tælle, forstå og bruge tal er ikke noget naturgivent. Der findes stadig en del sprog, som ikke indeholder ord for tal andet end en, to og mange. I vores kultur er vi afhængige af, at vi alle kan forstå og arbejde med tal på forskellige niveauer, fordi det gennemsyrer stort set alle processer i vores samfund på en måde, som vi ikke tænker på i det daglige. Lige fra vi slår øjnene op og tjekker tiden på det digitale ur og måske beregner, om der er tid til at blive liggende længere, eller hvordan vi kommer på arbejde/skole for slet ikke at nævne udvikling af vores mobiltelefoner eller raketforskning, som bygger på matematiske modeller.
Matematik er af samme grund et af de store fag i folkeskolen, og det er nødvendigt at lære det på de bedste vilkår. Det er nemlig ikke bare en naturlighed at forstå og mestre begreberne i forhold til at forstå, hvad tal er, og hvordan de kan bruges. Hvis man selv har let ved at forstå tal og har let ved at bruge
dem i sit liv, så kan det virke så ligetil og selvfølgeligt at kunne mestre talbegrebet. Men, det er vores opfattelse, at der stadig er alt for mange elever, som ikke lærer at forstå, hvad tal er, hvordan de er konstrueret, og hvordan man kan regne med dem i både praktiske og abstrakte modeller og situationer – og det kan faktisk forfølge dem resten af livet.
Tal på to måder
Positionssystemet afløste for omkring 800 år siden romertallene, fordi den italienske matematiker Fibonacci tog det hindu-arabiske talsystem med hjem fra sine rejser. Denne forandring medførte, at det blev meget nemmere for flere mennesker at kunne gennemskue og foretage regneprocesser. Tallene kom til at se anderledes ud, men navnene på talordene fulgte desværre ikke det geniale system. Mange af navnene på de danske talord stammer således stadig fra et oldnordisk sprog.
Tal kan forstås på to måder, nemlig beskrivelsen af en rækkefølge (ordinaltal) og antal (kardinaltal). Hvordan de to forskellige måder tænkes sammen og anvendes i sammenhæng er vigtigt at forstå.
Rækkefølgen af tal beskrives ofte gennem en tallinje og tælling, mens kardinaltallet er den mængde, som hvert af tallene repræsenterer. Vi benytter sammen med stort set alle an-
dre lande 10-talssystemet, hvor vi anvender ti forskellige symboler (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), som hver især repræsenterer en mængde. Disse ti talsymboler kan sættes sammen på forskellig vis helt forskelligt fra bogstaver. Når vi har med flercifrede tal at gøre, er det cifferet på pladsen, der afgør tallets størrelse. Pladserne har værdi af tiere i forskellig potens.
Tallet i tabellen er 123456,7891 og læses et hundrede treogtyve tusinde fire hundrede og seks og halvtreds komma syv otte ni en. Bemærk, at tallene efter kommaet læses som enkeltcifre.
I vores kultur er børn – og voksne for den sags skyld også – omgivet af tal, så fra det tidspunkt små børn begynder at forstå deres omverden, vil de møde tal som antal og tal i rækkefølger hele tiden.
Fem tælleprincipper
Gelman og Gallistel (1978) har identificeret de følgende fem tælleprincipper (oversat af forfatterne).
• En til en princippet. Et og kun et tal er fastsat til hvert objekt
• Princippet om den stabile rækkefølge. Tallene kommer altid i en bestemt rækkefølge
• Kardinalprincippet. Det sidst talte tal bestemmer antallet i mængden
• Princippet om irrelevant rækkefølge. Det er ligegyldig i hvilken rækkefølge, man tæller elementerne
• Det abstrakte princip. Principperne gælder for alle mængder.
Børn er flere år om at lære at tælle, og det er ikke overraskende, når man ved, hvor kompliceret en proces der egentlig er tale om. Først skal de lære tælleremsen. Talnavnene skal siges i den rigtige rækkefølge, og intet ord må springes over. Det lærer børnene ofte i form af lege, hvor man siger nogle sjove ord, mens man peger med fingeren. Men barnet kan først tælle, når det kan koordinere tælleremsen med at pege på de genstande, der skal tælles. For hvert tal skal der udpeges en af de genstande, der skal tælles. Hver genstand må kun udpeges en gang, og ingen genstand må springes over.
Under tællingen har hver genstand således fået tildelt et nummer på samme måde, som vi får et nummer i køen, når vi venter hos bageren, eller ligesom barnet har et nummer i søskendeflokken. Nummeret giver kun mening, når det betegner en bestemt genstand (eller person). Det kræver et stort mentalt spring at forstå tallet som et antal. Under optællingen blev hver genstand sammenparret med et bestemt talnavn. Nu skal vi kassere forbindelsen mellem genstanden og det talnavn, den fik. Kun det sidst udtalte talnavn skal beholdes. I stedet for at forstå det som nummeret på den sidst optalte genstand skal vi løsrive det fra denne genstand og forstå det som betegnelse for antallet af alle genstande.
Forskningen viser, at disse principper er på plads hos de fleste børn, når de er 5 år gamle. Nogle børn har det dog allerede på plads som treårige, mens andre først får det senere. Vi kan derfor ikke regne med, at alle børn har det på plads, når de starter i skolen.
Børn lærer typisk talnavnene som en lang remse af ord. Allerede små børn under 3 år kan sige tal i en remse, som “1, 2, 3, nu” eller “7, 8, 9” uden at forbinde det med andet end en ordlyd. Når de skal demonstrere, at de kan
forbinde det med en bestemt mængde, siger de ofte hele remsen og lægger ekstra tryk på det sidste tal. Talnavnene er udviklet som lyde forbundet med både en rækkefølge og antallet af elementer i en mængde. Udviklingen hen imod at forstå talnavnet som en kardinalværdi kræver et kvalitativt skift i børnenes opfattelse af tal. Kardinalprincippet kræver en forståelse af logikken bag tælling og kompetencen til at forbinde et givet tal til en given mængde (Goswami, 2008). Kardinalprincippet bygger på en forståelse af en repræsentation af kvantitative informationer.
Subitizing
Opfattelsen af antallet i små mængder op til fire er anderledes end opfattelsen af større mængder. Små mængder op til fire kan ses direkte uden at tælle (subitizing), mens større mængder ofte bliver inddelt i mindre overskuelige mængder, kaldet object tracking system (OTS). Ordene har ikke en officiel dansk oversættelse.
Talbegrebet er en abstraktion, og til grund for den ligger en aktiv handling, nemlig det at tælle. Det er ikke en passiv betragtning af mange forskellige mængder, hvor der er fem genstande i hver, der fører til vores begreb om tallet fem. Det er den aktivitet, hvor vi mange gange har talt mængden, der fører til talbegrebet. Selv børn, der har lært at udføre tælleprocessen helt korrekt, har ikke nødvendigvis foretaget dette spring i forståelse. Det tager tid, og det kræver at barnet oplever en række situationer, hvor antallet har betydning. Vi kan ikke gå ud fra, at alle børn er nået hertil ved skolestarten.
The Number
Sense
En anden forskning, som Dehaene (1997, 2011) har været ophavsmand til med sin bog “The
Subitizing
Antalsbestemmelse af elementer op til fire, som børn kan se med et blik uden at tælle. Større mængder bliver ofte nedbrudt til mindre mængder med elementer op til fire. Dette kaldes OTS (Object Tracking System).
Number sense
Det engelske udtryk for talsans eller talfornemmelse
I neurologiske kredse bruges udtrykket om talsansen, og i matematikdidaktiske kredse bruges det om talfornemmelse.
ANS
Aproximate Number System er navnet på det medfødte anlæg, mennesker har for at estimere eller foretage overslag for at afgøre i hvilken mængde, der er flest elementer.
Number Sense”, viser, at vi alle er født med et anlæg for bestemmelse af mængder kaldet ANS (Approximation Number System – på dansk overslag eller estimering). I denne sammenhæng vil vi oversætte det engelske number sense med talsans.
Talsans
Talsansen deler vi med dyr, som har behov for at kunne beslutte, om det giver mening at kæmpe for at nedlægge et bestemt bytte eller vurdere, at antallet af modstandere er for stort. Mennesket bruger på samme måde sin talsans til at vurdere en tilnærmet værdi, fx en vurdering af i hvilken bunke der er flest samt til hurtigt at kunne bestemme antal op til fire (subitizing).
Hvordan
Talfornemmelse
Talfornemmelse bruges i matematikdidaktikken om evnen til at kunne beslutte sig for den mest hensigtsmæssige måde at vælge strategier i regneprocesser for at nå frem til et resultat – ofte på en smart måde. Det kan være alt fra addition af etcifrede tal til, hvordan man kan reducere et langt regneudtryk.
Talbehandling
Talsans
Vi bruger vores talsans til at vurdere en tilnærmet værdi fx en vurdering af, i hvilken bunke der er flest.
Også dyr har denne sans, som de bruger, når de skal beslutte, om det giver mening at kæmpe for at nedlægge et bestemt bytte eller vurdere, om antallet af modstandere er for stort.
Talbehandling bygger på talviden om fakta, som her bruges om tallenes indbyrdes størrelsesforhold og deres aritmetiske forbindelser, fx at 7 + 5 = 12. Det omfatter også kendskab til den lille tabel, vel at mærke – både gangetabel og additionstabel. Men det er også meget mere end tabelkundskaber, og derfor vil vi her bruge det bredere udtryk talviden. Det er fx viden om, at 9 er større end 7, at 5 + 5 = 6 + 4, at 3 · 25 = 75, at 41 og 43 begge er primtal, at π er lidt over 3 og mange flere fakta. Talviden er kort sagt viden om tallenes aritmetiske forbindelser og 10-talsystemet, endvidere kan man nævne tallenes rækkefølge, deres divisorer, hvordan de kan opdeles i addender osv.
Talforståelse
Talforståelse
Talforståelse er:
– at forstå tallene som et abstrakt system og kende systemets indre sammenhænge og regler.
– at kunne se sammenhænge mellem dette system og den virkelige verden.
Talforståelse tager udgangspunkt i vores erfaringer med omverden. Vi tæller og måler ting og vænner os til, at der skal bruges store tal, hvis der er mange ting, eller hvis vi måler på store ting. Vi lægger bunker af ting sammen og regner på antallet ved at lægge tal sammen. Vi deler ligeligt, og vi ved, at handlingen kan beskrives med division. Talforståelse tager udgangspunkt i erfaringer med situationer, som kan beskrives med tal og regneoperationer.
Talviden
Talviden er:
– viden om tallenes aritmetiske forbindelser og 10-talsystemet.
– viden om tallenes rækkefølge, deres divisorer, hvordan de kan opdeles i addender osv.
Talforståelse er både at opfatte tallene som et abstrakt system og at kunne se sammenhænge mellem dette system og praktiske situationer (modelleringskompetence). Den viser sig ved, at eleven kan forbinde tallene med praktiske situationer og arbejdet med de abstrakte tal.
Talforståelse består således i to ting:
• At forstå tallene som et abstrakt system og kende systemets indre sammenhænge og regler
• At kunne se sammenhænge mellem dette system og den virkelige verden.
Medfødt TALSANS
Antalsfornemmelse (ANS)
Tillært TALFORSTÅELSE
Antalsforståelse
= 5
“Hvor er flest?”
Omtrentligt antal og forholdsmæssig sammenligning af mængder
Subitizing
Genkende mængder på 1, 2, 3 eller 4.
En skematisk fremstilling af forskellige former for talopfattelser og udviklingen af disse fra en medfødt talsans til den tillærte talforståelse. Det er ikke sådan, at talforståelse afløser talsansen, men der er en konstant vekselvirkning
Talviden
Talviden og talforståelse hænger tæt sammen. Viden udvikles og huskes i kraft af meningsfyldte sammenhænge, og forståelse bygger på kendskab til faktaviden om tal.
Brug af overslag i undervisningen
Inspireret af Gilmore, McCarthy og Spelke (2007, 2010) udviklede og afprøvede vi et projekt, hvor vi undersøgte, i hvor høj grad danske børn i en børnehaveklasse kunne svare på spørgsmål om mængder (Ejersbo 2016). Lærer
Symboler og talord koblet til præcist antal, tælleremser og kardinalitet.
Relationel talforståelse
5 8 20 = 8
Tallenes indbyrdes størrelsesforhold, tallinjen.
mellem disse, og jo mere man i undervisningen er i stand til at inddrage den medfødte talsans, jo bedre resultater kan aflæses selv i den mere avancerede matematiske forståelse.
Sunde & Ejersbo (2014)
Peter havde en samtale med hver enkelt elev i børnehaveklassen, inden han skulle overtage hele klassen som sin 1. klasse i matematik. I denne samtale stillede han den enkelte elev nogle opgaver, som de skulle svare på mundtligt. Det var aftalt, hvordan og hvilke tal der skulle afprøves. Det drejede sig om tocifrede tal, hvor eleverne skulle afgøre, hvem der havde flest stykker slik efter en af personerne enten havde fået nogle flere stykker eller givet nogen væk.
Hvordan lærer børn at forstå tal?
Figur 1. Udvikling af talopfattelser
Stikordsregister
A
Addition 25ff, 29, 30, 31, 43, 49ff, 81, 89
Additionstabel 12, 25
Ahluwalia, A. 113, 115
Algoritmer 42ff
Al Khwarizmi 43
Ambrose 52, 54ff
Analyse 33, 34
Appletter 95, 99, 100
Associativ 26
B
Balsvik og Vig 95
Bettelheim 83
Bills 73
Bjørnefamilien 78ff
Blomhøj, M. 64
Brix, C. G. 90
Brousseau, G. 64
C
Carruthers, E 50
Christensen, V. T., 84
Ciffer 10, 17, 32, 38, 40, 44, 46, 47, 50, 51, 58, 59, 69
Cobb 64
D
Definitioner 71, 93
Dehaene, S. 11
Det beskrivende niveau 93, 102
Det uformelle deduktive niveau 93
Det visuelle niveau 93, 102
Didaktisk kontrakt 64
Didaktiske ideer 15, 18, 20, 22, 60, 65 114, 118, 120
Diskurs 69, 71
Division 12, 41, 43, 57ff,
Dobbelttælling 23, 24
Driscoll, M. 65
Duval, R. 90
Dynamiske funktion 101
E
Egelund, N. 84
Ejersbo L. R. 13, 17, 25, 105, 115
Erfaringsdannelse 112
F
Falsk 71, 72
Fejltælling 23
Fibonacci 9
Figurskolen 93, 101ff
Firkant 75, 93, 103, 105
Fischbein, H 107
Flade 93, 104, 105
Fordoblingsmetoder 54
Forståelsesniveauer 93
Fredslund, E. K. 84
Freudenthal, H 32, 34
Frihåndstegning 100
Frise 94ff
Fælles mål 38, 39
G
Gallistel, C. R. 10
Gelman, R. 10
Geoboard 99
GeoGebra 94ff
Geometri 90, 93ff
Gibbons, P. 101
Gigerenzer G. 109
Gilmore, C. K 13
Goswami, U. 11
Gravemeijer, K. 55
Gray, E. 32ff
H
Hjælperegister 90, 91
Hjørne 93, 101ff
Hovedregning 32, 39, 41, 49, 52, 53, 61
Hypotese 71
I
Ibsen, J. M. 90
Intra Parietal Sulcus 14
IT 94
J
Jeffcoat, M. 71, 72
Jensen T. P. 84
Johnson-Laird, P. 108
Jones, M. 71, 71
K
Kahneman, D. 108
Kamii 52
Kant 101ff
Kardinaltal 9, 18
Klasserumsnormer 65
Kognitive processer 95
Kombination 34, 55, 56, 108
Kompetencer 16, 42, 64, 76, 80, 97
Konkrete materialer 32, 56, 61, 93ff, 97, 98
Kvadrat 71, 72, 93, 99, 101
Kvadratnet 105
L
Lakoff, G. 27ff
Langtidshukommelse 14
Lieberoth A. 84
Lindenskov L. 95
Ludoeffekt 112
Lukkede opgaver 69
M
Magisk cirkel 83, 77ff, 93, 101, 104
Maher, C. A. 113, 115
Mansergh, J., 71, 72
Mason, J. 71ff
Matematiktal 17, 18
Matematisk sandsynlighed 112
Matematiske kompetencer 16, 42, 64, 76, 80, 97
Matematiske refleksioner 86
Maya-tal 33
McCarthy, S. E. 13
Meder B. 109
Mellin-Olsen 27
Metaforer 26, 27, 29, 90, 91, 105
Metode 19, 22, 26, 29, 37ff, 49ff, 63, 66. 67
Misfeldt, M. 17
Modeksempler 71
Multiplikation 41ff, 52ff
NNarrativ 84, 105
Neuman 19ff 34
Niss, M. 31
Núñez, R. E 27ff
OOperation 12, 19, 28, 40, 50, 51, 74, 82, 90
Opfordringer 69ff
Ordinaltal 9
Ordningsmidler 32
PParallelforskydning 94, 97
Personlig sandsynlighed 107, 108, 115, 116
Pitta-Pantazi, D. 32ff
Plauborg, H. 67, 68
Position 45, 47, 50
Positionssystemet 9, 41, 52
Praksis 26, 40, 64, 94
Problemstilling 56, 71, 90, 91, 103
Procept 31, 32
Proces-objekt-dualitet 31w
Puslespil 97, 98
R
Rasmussen, L. 107
Redskaber 24, 32, 51, 52
Regnekundskaber 19, 23, 33
Regnemetode 40, 41, 44, 46
Regneoperationer 12, 19, 28, 90
Regruppering 25, 26, 50
Repræsentationer 18, 32ff, 61, 71, 105
Retrieval 14, 25, 26
Runddellen 94
Ræsonnement 71, 94, 96, 97, 113
S
Sandsynlighed 107, 108, 112, 113, 115ff, 121
Sandt 69, 71, 72, 94
Sewell, H. 71, 72
Side 93, 103
Skema 51, 55
Skitseregister 90
Skott J. 64
Sociomatematiske normer 66
Sokratisk samtale 64
Spejlinger 97
Spelke, E. S. 13
Spil 30, 82ff, 97, 113ff
Spilleplade 82ff, 118ff
Sprogligt register 90
Spørgsmål 15, 46, 61ff
Standardalgoritmer 37, 42
Statistik 107, 108, 113, 115, 121
Statistisk sandsynlighed 107, 108, 112
Steen, F. F. 83
Steffensen, B. 105
Strategi 12, 14, 16, 19, 25, 26, 49, 65ff, 70, 74, 81, 86, 96, 97, 109, 119, 121
Struktur 33, 34, 54, 65, 69, 71
Subtraktion 14, 19, 20, 25, 27ff, 37ff, 43, 44, 54, 59, 74, 82, 83, 85, 86, 89, 90
Sullivan, P. 63, 64
Clarke, D. 63, 64
Sunde, P. B. 13, 25, 26
Symbolsk register 90
Symmetri 97, 100
T
Tal 9ff
Talbegreb 9ff, 16ff, 22, 26, 31, 32, 91
Talfornemmelse 11, 12, 15
Talforståelse 12ff, 17ff, 25ff
Talkendskab 41, 56, 57
Tall, D. 32ff
Tallinje 9, 13, 18, 32, 45, 90
Talnavne 10, 11, 17, 18
Talord 9, 13, 23
Talsans 11ff, 115
Talsymboler 10, 90
Talviden 12, 13, 23, 25
Tapet 94
Teori 16, 27, 31, 64
Tversky, A. 108
Tælleprincipper 10, 21
Tælleprocesser 32
Tælling 9ff, 14, 16, 19ff, 26, 32ff, 40, 41, 102, 107ff
U
Udtryksformer 71
Udviklingstrin 32
Undersøgelse 19ff, 24, 32, 34, 52, 53, 66, 85 96, 119
Undervisningsaktivitet 95
V
van Galen, F. 55
van Hiele 93, 94
Velsing-Rasmussen, G. 34
Videretælling 23, 24
Vinderchancer 112
Vinkel 93, 95, 105
Visuelle forestillinger 32ff
Voigt, J. 67, 104
Værktøjslinje 95
W
Watson 73
Watson A. 71, 72
Wells, G. 68, 71
Winsløw C. 64
Worthington, M 50
Y
Yackel 64
Å
Åbne opgaver 64, 69, 70, 91
Ideer til god matematikundervisning
Denne bog henvender sig til både lærere, lærerstuderende og deres undervisere med en intention om at give inspiration til den daglige undervisningspraksis i matematik.
Bogen
sætter fokus på
– Hvorfor tal kan være så drilske, og hvordan man kan udvikle fortrolighed med dem.
– Hvordan man kan undervise og undersøge matematikken gennem gode spørgsmål.
– Brugen af digitale hjælpemidler i de små klasser med fokus på gode ideer og fælder.
– Hvorfor og hvordan sandsynlighedsregning har relevans for de mindre elever.
Gennem hele bogen sætter vi fokus på de valg og udfordringer, som det indebærer at undervise i matematik. Bogen bygger på et matematikdidaktisk grundlag, hvor teori og praktiske eksempler går hånd i hånd med ideer til, hvordan man kan arbejde med den gode matematikundervisning.
ISBN 978-87-93975-19-4
ISBN: 978-87-93975-19-4