ARBEJDSKORTBOGEN
Vidensbaseret Matematikundervisning 1-3 & Matematiske Kompetencer i Anvendelse
Til alle, der underviser eller gerne vil undervise i matematik
ARBEJDSKORTBOGEN
Vidensbaseret Matematikundervisning 1-3 & Matematiske Kompetencer i Anvendelse
Til alle, der underviser eller gerne vil undervise i matematik
Adrian Rau Bull · Torben Blankholm · Klaus Fink · Mikael Skånstrøm
Maria Vandborg Sneftrup · Henning Westphael · Frede Krøjgaard
ARBEJDSKORTBOGEN
Vidensbaseret Matematikundervisning 1-3 & Matematiske Kompetencer i Anvendelse
Til alle, der underviser eller gerne vil undervise i matematik
Forfattere
Adrian Rau Bull
Torben Blankholm
Klaus Fink
Mikael Skånstrøm
Maria Vandborg Sneftrup
Henning Westphael
Frede Krøjgaard
Redaktion
Torben Blankholm
Tegninger
Annette Carlsen
Grafisk tilrettelæggelse
Bjørn Rasmussen
Bogen er sat med Trade Gothic Next LT Pro og Trade Gothic Next SR Pro
Tryk
Holm Print Management
ISBN: 978-87-93975-82-8
Copyright
Forlaget Matematik og forfatterne 2024
Kopiering fra denne udgivelse må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node, og kun indenfor de i aftalen nævnte rammer.
Forlaget Matematik Naverland 2
2600 Glostrup mat.forlag@dkmat.dk Tlf.: 8659 6022 www.dkmat.dk
Forsideillustration
Annette Carlsen
Indhold
Forord · Side 7
Del 1
Vidensbaseret Matematikundervisning 1
Indledning til Del 1 | Side10
Arbejdskort 1 | Tall og Vinner | Side 12
Hvordan elever bruger begreber i deres matematikforståelse
Elevers udvikling af matematisk begrebsforståelse
Arbejdskort 2 | Gibbons m.fl. | Side 16
Fire tal på stribe med tallene 1-4 og de fire regningsarter Læring gennem sprogbrugssituationer
Arbejdskort 3 | Brousseau | Side 20
En verden af runde brikker Fundamentale situationer
Arbejdskort 4 | Duval | Side 24
Repræsentationer på nye måder Kategorier af matematiske repræsentationer
Arbejdskort 5 | Harel & Sowder | Side 28
Udvikling af elevers matematiske overbevisninger
Et udvidet perspektiv på læring og undervisning gennem udvikling af elevers matematiske overbevisninger
Arbejdskort 6 | Side 33
Forældreaftenen Teknologier i matematikundervisningen
Del 2
Vidensbaseret Matematikundervisning 2
Indledning til Del 2 | Side 38
Arbejdskort 1 | Liljedahl | Side 40
Det Tænkende Klasserum i praksis · 1
Opbyg et klasserum til matematisk tænkning · Del 1
Arbejdskort 2 | Liljedahl | Side 44
Det Tænkende Klasserum i praksis · 2
Opbyg et klasserum til matematisk tænkning · Del 2
Arbejdskort 3 | Den hollandske matematikdidaktiske skole | Side 50
Realistisk matematikundervisning i FP9
Realistisk matematikundervisning - RME
Arbejdskort 4 | van Hoof m.fl. | Side 56
Heltalsdistraktorer
Det unaturlige ved at regne med rationelle tal
Arbejdskort 5 | van Hieles | Side 60
Trigonometri og drageflyvning i niende klasse
Elevers udvikling af geometrisk tænkning og forståelse
Del 3
Vidensbaseret Matematikundervisning 3
Indledning til Del 3 | Side 66
Arbejdskort 1 | Boaler | Side 68
Matematikundervisning, der understøtter elevers grænseløse hjerner
Seks nøgler til reform af matematikundervisningen
Arbejdskort 2 | Bruner | Side 74
Et nyt undervisningsmateriale der bygger på teorien om repræsentationer Udvikling af matematik gennem tre typer af repræsentationer
Arbejdskort 3 | Bishop | Side 78
Uformel matematik og værdier i matematik
Hvordan udvikler børn matematikforståelse forskellige steder i verden?
Arbejdskort 4 | Lehrer | Side 82
Aktiviteter struktureret efter 6F-modellen
Udvikling og forståelse af geometrisk måling
Arbejdskort 5 | Sfard | Side 87
Matematiske diskurser, objekter og rutiner Comognition – tænkning som kommunikation
Del 4
Matematiske Kompetencer i Anvendelse
Indledning til Del 4 | Side 94
Arbejdskort 1 | Side 96
Aktiviteter med problembehandling
Problembehandlingskompetencen
Arbejdskort 2 | Side 100
Geometriske modeller
Modelleringskompetencen
Arbejdskort 3 | Side 104
Bevisets stilling
Ræsonnements- og tankegangskompetencen
Arbejdskort 4 | Side 108
Et historisk blik på en matematisk kompetence
Repræsentations- og Symbolbehandlingskompetencen
Arbejdskort 5 | Side 112
Trailertur med fliser
Kommunikationskompetencen og forståelse af geometrisk måling
Arbejdskort 6 | Side 116
Det gyldne snit med Den gyldne passer Hjælpemiddelkompetencen
Arbejdskort 7 | Side 120
Kan du styre et 3’er-dyr?
Stofområdet Tal og algebra
Arbejdskort 8 | Side 126
Turen går til Cairo
Stofområdet Geometri og måling
Arbejdskort 9 | Side 129
Sandsynligheden for at danne en trekant
Stofområdet Statistik og sandsynlighed
Arbejdskort 10 | Side 134 Faget Børnehaveklassen
Arbejdskort 11 | Side 137 Opmærksomhedspunkterne
Del 5
Matematisk byvandring
Matematisk byvandring
Vidensbaseret Matematikundervisning 1, 2 og 3 samt Matematiske Kompetencer i Anvendelser
Side 142
Kopiark tilknyttet bogens undervisningsforløb kan hentes på https://wp.me/P8aOIl-fVz eller kortlink.dk/2qm9z
Forord
Forlaget Matematik har udgivet en række bøger, der henvender sig til lærere i grundskolen og lærere og studerende på læreruddannelsen. Bøgerne har allerede fundet deres plads i mange lærerstuderendes uddannelsesforløb og i grundskolelærernes didaktiske overvejelser i forbindelse med undervisningens planlægning og gennemførelse. Det drejer sig om de fire udgivelser
• Matematiske Kompetencer i Anvendelse af Klaus Fink, Torben Blankholm og Mikael Skånstrøm
• Vidensbaseret Matematikundervisning 1, af Adrian Rau Bull og Torben Blankholm
• Vidensbaseret Matematikundervisning 2, af Adrian Rau Bull, Torben Blankholm, Pernille Ladegaard Pedersen og Rasmus Ulsøe Kær
• Vidensbaseret Matematikundervisning 3, af Adrian Rau Bull, Torben Blankholm og Henning Westphael
Det kan efter vores opfattelse give mening at styrke brugen af bøgerne med en fælles arbejdskortbog, der kan binde bøgerne sammen og støtte og intensivere anvendelsen af bøgerne i læreruddannelserne og i matematikfaggrupperne på grundskoler i hele landet og blandt alle, der underviser eller gerne vil undervise i matematik. Derfor har vi skrevet nærværende publikation med titlen
ARBEJDSKORTBOGEN
Vidensbaseret Matematikundervisning 1-3 & Matematiske Kompetencer i Anvendelse Til alle, der underviser eller gerne vil undervise i matematik
Arbejdskortbogen er tilrettelagt og skrevet med arbejdskort, der skal supplere og udvikle udvalgte kapitler i de fire bøger. Vi har udarbejdet arbejdskort til • Vidensbaseret Matematikundervisning 1, 2 og 3
• De seks matematiske kompetencer i Matematiske Kompetencer i Anvendelse
• De tre stofområder i Matematiske Kompetencer i Anvendelse
Vi er syv forfattere, der har stor erfaring med både grundskolen og læreruddannelsen. Vi har gode erfaringer med at bruge Matematiske Kompetencer i Anvendelse og Vidensbaseret Matematikundervisning i undervisningen. Vi vil gerne udvide disse erfaringer fra undervisningen yderligere. Det har været formålet med udarbejdelsen af arbejdskortene i denne bog. De enkelte arbejdskort bygger på forfatternes erfaringer og afprøvninger. Dette afsæt i læreruddannelsens og grundskolens praksis vil samtidig betyde, at andre matematikundervisere på læreruddannelserne og matematikvejledere og -lærere i grundskolerne rundt i landet kan få fuldt udbytte af de fire udgivelser. Det er vores erfaring, at der opstår en synergi imellem anvendelsen af arbejdskortbogen og de fire udgivelser, den knytter sig til.
Vi tænker, at arbejdskortbogen vil kunne indgå i undervisningen i undervisningsfaget Matematik på læreruddannelsen. Arbejdskortbogen vil kunne blive et godt arbejdsredskab for de studerende, hvor de med bogen i hånden i undervisningen vil kunne tilføje notater og skrive deres besvarelser i den.
Når vi skriver: Til alle, der underviser eller gerne vil undervise i matematik, tænker vi på, at arbejdskorte-
ne vil kunne inspirere og/eller inddrages i undervisningen af undervisere, der arbejder med matematik inden for mange forskellige uddannelser. I forskellige faglige sammenhænge møder vi med jævne mellemrum fx matematikundervisere, der søger inspiration til at udvikle og vidensbasere deres undervisning i eller arbejde konkret med de matematiske kompetencer.
Det har været en udfordring for forfatterne at koordinere indholdet af arbejdskortbogen de pågående revideringer af såvel grundskole som læreruddannelse. I flere af arbejdskortene er der blandt andet opgaver eller aktiviteter med at inddrage Folkeskolens og matematikfagets formål samt Matematik Faghæfte 2019, hvor de nugældende Fælles Mål indgår. Vi lever i en dynamisk verden, som er et vilkår for alle –også undervisere. Vi ser os nødsagede til at overlade det til den enkelte underviser at vurdere behovet for ændringer og ajourføring til de aktuelt gældende læseplaner, bekendtgørelser og vejledninger.
Som supplement til en række af bogens arbejdskort er der udarbejdet forslag til besvarelser af udvalgte aktiviteter og problemer samt et antal svarark og arbejdskort som kopisider. De kan hentes på og/ eller printes fra forlagets hjemmeside. Se link under indholdsfortegnelsen på side 6.
Juni 2024
Adrian Rau Bull
Torben Blankholm
Klaus Fink
Mikael Skånstrøm
Maria Vandborg Sneftrup
Henning Westphael
Frede Krøjgaard
Tak til alle de undervisere i matematik der enten har afprøvet, læst eller kommet med inspiration til et eller flere forløb i denne bog.
Del 1
Vidensbaseret Matematikundervisning · 1
Om Vidensbaseret
Matematikundervisning
· 1
Fakta
Udgivelse: 2021
Forfattere: Adrian Rau Bull & Torben Blankholm
Sideantal: 108
Forlag: Forlaget Matematik
Vidensbaseret Matematikundervisning 1 har som mål at trække elementer fra internationalt anerkendte matematikdidaktikeres undersøgelser ind i den konkrete matematikundervisning. Bogen er fokuseret matematikundervisningen på 6.-10. klassetrin.
Vidensbaseret Matematikundervisning 1 indeholder seks kapitler med teori og tilhørende undervisningsforløb til udskolingen, der er baseret på:
1. David Tall og Shlomo Vinners teori om elevers udvikling af matematiske begreber
2. Pauline Gibbons teori om læring gennem sprogbrugssituationer
3. Guy Brousseaus teori om fundamentale situationer
4. Raymond Duvals teori om kategorier af matematiske repræsentationer
5. Guershon Harel og Larry Sowders teori om overbevisninger
6. Teknologier i matematikundervisningen
De seks kapitler følger alle en struktur med gennemgang af centrale elementer og anbefalinger fra forskerne med forklarende eksempler, et afprøvet undervisningsforløb med tilhørende arbejdskort og svarark på baggrund af de centrale elementer og anbefalinger samt en analyse af undervisningsforløbet. Vores mål er at tydeliggøre, hvordan matematikdidaktisk teori er nøglen til god undervisning og læring i matematik. Vidensbaseret matematikundervisning er særligt velegnet til de matematikvejlederne, matema-
tiklærere, og matematiklærerstuderende, der ønsker at sætte spot på egen praksis. Vi vil gerne udvide dette yderligere ved at tilføje nogle arbejdskort, der ikke bare er fokuseret mod matematikundervisningen i grundskolen, men også kan undersøge og udvide teorien bag Vidensbaseret Matematikundervisning 1.
Det har vi gjort med følgende arbejdskort:
Arbejdskort 1 knytter sig til David Tall og Shlomo Vinners teori om elevers udvikling af matematiske begreber og inddrager desuden kapitel 3 i bogen Fra Snublesten til byggesten samt artiklen Growth in Mathematical Understanding: How Can We Characterize It and How Can We Represent It? af Susan Pirie og Thomas Kieren. Aktiviteterne i arbejdskortet går på at undersøge, hvordan Tall og Vinners teori om matematisk begrebsforståelse kan bruges på flere matematiske emner og sammenlignes med andre lignende teorier om elevers udvikling af matematisk begrebsforståelse.
Arbejdskort 2 knytter sig til Pauline Gibbons teori om læring gennem sprogbrugssituationer. I aktiviteterne er der fokus på at undersøge et undervisningsforløb, der handler om at bruge de fire regningsarter og regningsarternes hierarki i forbindelse med at spille Fire tal på stribe og efterfølgende at koble det til teorier om sprogbrugssituationer.
Arbejdskort 3 knytter sig til Guy Brousseaus teori om fundamentale situationer. Det indeholder et undervisningsforløb, som handler om at finde antallet af figurer dannet af runde brikker og at undersøge figurernes egenskaber. Den sidste del af arbejdskor-
tet handler om at koble undervisningsforløbet til Guy Brousseaus teori.
I Arbejdskort 4 til Raymond Duvals teori om kategorier af matematiske repræsentationer udfoldes perspektivet på, hvorfor matematiske repræsentationer er særlig interessante i matematik, og hvordan forståelsen af sammenhænge mellem samtidige repræsentationer kan udvikles ved brug af dynamiske geometriprogrammer.
Arbejdskort 5 til kapitlet om Guershon Harel og Larry Sowders teori om overbevisninger indeholder undersøgelser af konkrete undervisningseksempler om, hvordan man kan arbejde ud fra et udvidet perspektiv på læring gennem udvikling af elevers matematiske overbevisninger.
I Arbejdskort 6 er der fokus på Teknologier i matematikundervisningen. Aktiviteterne tager udgangspunkt i en situation, hvor nogle elever skal planlægge en forældreaften med indsamling af penge til klassekassen. Situationen giver mulighed for at inddrage et regnearksprogram til undersøgelser om sandsynlighedsbegrebet . Udgangspunktet for arbejdskortet er overvejelser og undersøgelser i relation til Teknologier i matematikundervisningen.
Vidensbaseret
Matematikundervisning · 1
6. til 10. klasse
Adrian Rau Bull og Torben Blankholm
Hvordan elever bruger begreber i deres matematikforståelse
Elevers udvikling af matematisk begrebsforståelse
Vidensbasering: David Tall og Shlomo Vinner
Forudsætning
Dette arbejdskort er baseret på, at I har læst kapitel 1 Elevers udvikling af matematisk begrebsforståelse (Tall og Vinner) i Vidensbaseret
Matematikundervisning 1
Det vil også være en fordel, hvis I har læst kapitel 3 i bogen Fra snublesten til byggesten samt har kendskab til artiklen Growth in Mathematical
Understanding: How Can We Characterize It and How Can We Represent It? af Susan Pirie og Thomas Kieren.
I arbejdskortet skal I undersøge, hvordan Tall og Vinners teori om matematisk begrebsforståelse kan bruges på flere matematiske emner og sammenlignes med andre lignende teorier om elevers udvikling af matematisk begrebsforståelse.
Begreber er viden, men kan godt være modstridende
Tegningen på side 14 i Vidensbaseret Matematikundervisning 1 viser en pige, der sidder ved siden af en dreng og kigger på en matematiklærer.
På tegningen kan man i forskellige tænkebobler se pigens forståelse af det matematikfaglige begreb multiplikation.
Illustration:
Annette Carlsen
Aktivitet 1
Hvad er begrebsforståelse og kognitive konflikter?
1.1 Diskuter i gruppen, hvilke af pigens tænkebobler om multiplikation der er modstridende og dermed kan skabe en kognitiv konflikt for hende.
1.2 Beskriv en undervisningssituation, der kan give anledning til, at pigens modstridende begrebsforståelser om multiplikation kommer i spil samtidig, så hun kan opdage sine kognitive konflikter og derved få mulighed for at ændre sin begrebsforståelse.
1.3 Diskuter jeres egne begrebsforståelser af multiplikation. Skriv ned, hvis I selv har nogle begrebsforståelser, som ikke ser ud til at være en del af pigens begrebsforståelse af multiplikation.
Aktivitet 2
Begrebsforståelse af funktioner
I situationen vist på tegningen fra side 14 siger læreren: “I dag skal vi arbejde med multiplikation”, men en anden dag siger læreren: “I dag skal vi arbejde med funktioner”.
2.1 Udfyld drengens tænkebobler med begrebsforståelser af funktioner, som I tænker, de kunne se ud. Tænkeboblerne skal indeholde mindst to kognitive konflikter.
Illustration:
Annette
Carlsen
Aktivitet 2 · Fortsat
I kapitel 3 Begreber om funktioner i bogen Fra snublesten til byggesten kan man på side 50 se Amalie-fortolkningen. Amalie er et fiktivt navn for en person i en gymnasial første-g-klasse.
2.2 Kom med et bud på, hvordan Amalie kunne tænkes at besvare følgende to opgaver:
• Se på funktionen y = x + 5. Beskriv, hvad funktionen fortæller om sammenhængen mellem y og x?
• Forklar, hvordan funktionen y = 2x + 5 er forskellig fra funktionen y = x + 5
I kan efterfølgende læse Amalies reelle besvarelse i på side 51 i bogen Fra Snublesten til byggesten.
2.3 Hvad ville jeres egen besvarelse af spørgsmålene i 2.2 være?
2.4 Kognitive konflikter er et centralt begreb til at fjerne uhensigtsmæssige begrebsbilleder – beskrevet i kapitel 1. i Vidensbaseret Matematikundervisning 1. Beskriv, hvordan I vil skabe undervisningssituationer, så Amalie kan få kognitive konflikter, hvor hun kan redigere sine misforståede begrebsbilleder omkring funktioner.
Aktivitet 3
Andre modeller om udvikling af begreber i matematik
I artiklen Growth in Mathematical Understanding: How Can We Characterize It and How Can We Represent It?
præsenterer Susan Pirie og Thomas Kieren denne model for deres teori om forståelse af matematik I forskellige niveauer.
Growth in understanding Efter Pirie og Kierens model.
Aktivitet 3 · Fortsat
Eksempler på nogle af elementerne i modellen:
• Primitive Knowing: Udgangspunktet for forståelse af et matematisk koncept, hvor en person bruger sin eksisterende viden som fundament for at lære noget nyt.
• Image Making: Personen skaber mentale billeder eller repræsentationer af matematiske ideer gennem konkrete handlinger eller aktiviteter.
• Formalising: Personen abstraherer fra en metode eller fælles egenskaber fra tidligere afhængig viden, hvilket fører til en formel matematisk forståelse af et koncept.
• Inventising: Personen har en fuld struktureret forståelse og kan derfor skabe nye spørgsmål, som kan udvikle sig til et helt nyt matematisk koncept.
Et forenklet eksempel på, hvordan udviklingen af den matematiske forståelse af funktioner kan beskrives gennem niveauerne i modellen kunne være på følgende måde:
1. Primitive knowing
Eksempel: En elev genkender, at 2x + 3 er et matematisk udtryk, men har ikke dybere forståelse af, hvad det betyder.
2. Image making
Eksempel: En elev bruger konkrete materialer (f.eks. brikker, tændstikker eller tegninger) til at visualisere, hvordan en lineær funktion ændrer sig.
3. Image having
Eksempel: En elev abstraherer fra konkrete eksempler og forstår, at y = 2x + 3 repræsenterer en lineær funktion med hældning 2 og skæring på y-aksen i 3.
4. Property noticing
Eksempel: En elev eksperimenterer med forskellige værdier af a og b i en lineær funktion og opdager mønstre.
5. Formalising
Eksempel: En elev forstår sammenhængen mellem lineære funktioner og deres grafiske repræsentation i et koordinatsystem.
6. Observing
Eksempel: En elev formulerer hypoteser om, hvordan ændringer i koefficienterne a og b påvirker grafen for en lineær funktion.
7. Structuring
Eksempel: En elev bruger algebraiske metoder til at bevise, at to lineære funktioner er ens.
8. Inventising
Eksempel: En elev anvender sin forståelse af lineære funktioner til at løse praktiske problemer, f.eks. beregning af omkostninger eller indtægter.
3.1 Hvor vil I placere Amalie i Pirie og Kierens model?
3.2 Overstående eksempel med funktioner i kategorierne fra Pirie og Kierens model er lavet ved hjælp fra AI (kunstig intelligens). Brug en AI til at konstruere et eksempel med et andet matematisk emne end funktioner.
3.3 Beskriv forskelle og ligheder mellem Pirie og Kierens model og Tall og Vinners teori.
3.4 Hvordan kan de to modeller støtte Amalie og andre elever, der er i matematikvanskeligheder.
ARBEJDSKORTBOGEN til Vidensbaseret Matematikundervisning 1-3 & Matematiske Kompetencer i Anvendelse er en fælles arbejdskortbog, der på en gang støtter og udvider anvendelsen af de fire bøger i såvel læreruddannelsen som i grundskolen.
Forfatterne har udarbejdet et antal spændende og engagerende arbejdskort til udvalgte kapitler i bøgerne. Der er arbejdskort til hvert kapitel i Vidensbaseret Matematikundervisning 1, 2 og 3, og til bogen Matematiske
Kompetencer i Anvendelse er der arbejdskort til hvert af kapitlerne om de seks matematiske kompetencer, de tre stofområder, faget Børnehaveklassen og opmærksomhedspunkterne.
Det sidste arbejdskort i bogen iscenesætter en byvandring, der inddrager en række kapitler og sætter de tilhørende didaktiske teorier i spil i praksis.
Som supplement til en række af bogens arbejdskort er der udarbejdet et antal svarark og arbejdskort som kopisider. De kan hentes på og/eller printes fra forlagets hjemmeside.
I ARBEJDSKORTBOGEN er kopisiderne indsat som illustration i miniatureudgaver. Til et antal af arbejdskortene er der udarbejdet løsningsforslag, som ligeledes kan findes på forlagets hjemmeside.
Forfatterne er
Adrian Rau Bull · Torben Blankholm · Klaus Fink · Mikael Skånstrøm Maria Vandborg Sneftrup · Henning Westphael · Frede Krøjgaard
Alle ARBEJDSKORTBOGENS syv forfattere underviser eller har undervist ved såvel grundskole som læreruddannelsen og har afprøvet arbejdskortene i deres egen undervisning.
ARBEJDSKORTBOGEN er til alle, der underviser eller gerne vil undervise i matematik
ISBN 978-87-93975-82-8
ISBN 978-87-93975-82-8