Oldřich Šámal
Vývojová a konstrukční kancelář
TECHNICKÁ MECHANIKA Mechanika tekutin
JHV-ENGINEERING s.r.o. Nádražní 641 533 51 Pardubice
JHV-ENGINEERING s.r.o. Thámova 137/16 186 00 Praha 8
www.jhv.cz
Technická mechanika mechanika tekutin
Ing. Oldřich Šámal
Technická mechanika mechanika tekutin
Praha 2021
Tato učebnice je čtvrtým dílem řady technické mechaniky pro střední průmyslové školy se strojírenským zaměřením. Studenti se v ní seznámí s vlastnostmi tekutých látek, jejich prouděním a působením dynamických sil na těleso.
Všechna práva vyhrazena. Tato kniha ani její části nesmějí být rozmnožovány tiskem, fotokopiemi, elektronickými datovými soubory ani jiným způsobem bez předchozího písemného souhlasu vydavatele.
Lektoroval: Ing. Jan Chlebný
© Ing. Oldřich Šámal, 2021 © Informatorium, spol. s r. o., 2021 ISBN 978-80-7333-141-2
5
Obsah
Obsah
Přehled veličin a jejich jednotek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Předmluva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
9
Předmět mechaniky tekutiny . . . . . . . . . . . . . 10
2 Fyzikální vlastnosti kapalin . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4
Stavové veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vlastnosti skutečných kapalin . . . . . . . . . . . . . Tření v kapalině – viskozita . . . . . . . . . . . . . . . Stlačitelnost kapaliny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objemová roztažnost kapaliny . . . . . . . . . . . . . Povrchové napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 13 13 14 14 15 18
3 Hydrostatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1 Tlak v kapalině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Tlak hydrostatický . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Tlak barometrický, tlak absolutní, přetlak, podtlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Zákon spojených nádob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Tlak v kapalině v uzavřené nádobě, Pascalův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Měření tlaku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Tlak kapaliny na různé tvary stěn . . . . . . . . . . 3.2.1 Tlak kapaliny na vodorovné dno nádoby, hydrostatické paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Tlak kapaliny na šikmou stěnu . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Tlak kapaliny na svislou stěnu . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Tlak kapaliny na zakřivenou stěnu . . . . . . . . . . 3.3 Vztlaková síla, Archimédův zákon, plavání těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Archimédův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Plavání a stabilita lodí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Zjišťování hustoty tělesa pomocí vztlaku . . . . . 3.3.4 Určování hustoty kapaliny hustoměry . . . . . . . Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Relativní rovnováha kapalin vzhledem k pohybující se nádobě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Nádoba se pohybuje přímočaře rovnoměrně zrychleně (zpomaleně) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Nádoba rotuje konstantní úhlovou rychlostí ω kolem svislé osy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 19 19 20 21 22 24 24
4 Hydrodynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1 4.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.4 4.4.1 4.4.2 4.5 4.5.1 4.5.2 4.6 4.6.1 4.6.2 4.7 4.7.1 4.7.2
24 24 25 26
4.7.3 4.7.4
27 27 29 30 30 31
5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4
32 32 32 34
Průtokové množství kapaliny . . . . . . . . . . . . . . Castelliho teorém, rovnice kontinuity v ustáleném proudění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bernoulliho rovnice pro ustálené proudění nestlačitelné kapaliny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bernoulliho rovnice pro ideální kapalinu . . . . . Bernoulliho rovnice pro skutečné kapaliny . . . Proudění skutečné kapaliny . . . . . . . . . . . . . . . Hydraulické ztráty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Výtok kapaliny z nádob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Výtok kapaliny otvorem ve dně nádoby . . . . . . Výtok kapaliny bočním otvorem ve stěně nádoby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamické účinky proudící kapaliny na těleso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Věta o změně hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Síly působící na desku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Výtok kapaliny z pohybující se nádoby, základní principy pohybu raket a proudových letadel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Výtok kapaliny z pohybující se nádoby . . . . . . Proudový motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lopatkové stroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Průtok zakřiveným kanálem . . . . . . . . . . . . . . . Základní Eulerova rovnice lopatkových strojů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radiální odstředivá čerpadla . . . . . . . . . . . . . . Vodní turbíny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36 36 37 37 41 41 42 49 50 50 51 53 54 54 56 60 60 60 61 61 61 61 64 68 72
5 Aeromechanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5
Aerostatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Boyleův-Mariottův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . Avogadrův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Daltonův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Závislost barometrického tlaku na nadmořské výšce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aerodynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obtékání těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vztlak při obtékání těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polára . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nadzvukové proudění, Machovo číslo . . . . . . . Zajímavé aerodynamické jevy . . . . . . . . . . . . . Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73 73 73 74 74 75 75 79 80 82 83 84
Použitá literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6
Přehled veličin a jejich jednotek
Přehled veličin a jejich jednotek
Název veličiny
Značka
Jednotka
čas
t
s
číslo Machovo
M
1
číslo Reynoldsovo
Re
1
délka
l
m
dráha
s
m
energie měrná čerpadla, turbíny
Y
J.kg–1
energie kinetická
Ek
J, kJ
energie potenciální
Ep
J, kJ
energie tlaková
Etl
J, kJ
exponent adiabatický
κ
1
hloubka profilu křídla
b
m
hmotnost
m
kg
hustota
ρ
kg.m–3
hustota kapaliny
ρk
kg.m–3
hustota tělesa
ρt
kg.m–3
hybnost
H
kg.m.s –1
měrné otáčky
nq
s –1
moment hybnosti kapaliny
MH
N.m
objem
V
m3
plocha
S
m2
podtlak
pv
Pa, N.m –2
poloměr
r, R
m
A
J, kJ
d, D
m
průtok hmotnostní
mτ
kg.s –1
průtok objemový
Vτ
m3.s –1
práce průměr
7
Přehled veličin a jejich jednotek
Název veličiny
Značka
Jednotka
přetlak
pp
Pa, N.m –2
rychlost
w
m.s –1
∆t, ∆T
°C, K
c
m.s –1
wmezní
m.s –1
rychlost relativní
w
m.s –1
rychlost unášivá
u
m.s –1
rychlost zvuku
wzv
m.s –1
síla
F
N
síla hybnostní
Fh
N
síla na náhradní rovinu
Fn
N
síla tlaková
Fp
N
síla odporová
Fx
N
síla vztlaková
Fy
N
součinitel klopného momentu na křídle
cm
1
součinitel odporu
cx
1
součinitel vztlaku
cy
1
součinitel ztrátový pro místní ztráty
ξ
1
součinitel ztrátový pro potrubí
λ
1
tloušťka mezní vrstvy
δ
mm
teplota
t
°C
teplota absolutní
T
K
tíha
G
N
tlak
p
Pa, N.m–2
tlak barometrický
pb
Pa, N.m –2
tlak celkový
pc
Pa, N.m –2
rozdíl teplot rychlost absolutní rychlost mezní
8
Přehled veličin a jejich jednotek
Název veličiny
Značka
Jednotka
tlak dynamický
pd
Pa, N.m –2
tlak hydrostatický
ph
Pa, N.m –2
tlak statický
ps
Pa, N.m –2
účinnost
η
1, %
účinnost elektromotoru
ηe
1, %
účinnost hydraulická
ηh
1, %
účinnost mechanická
ηm
1, %
účinnost spojky
ηs
1, %
úhel klouzání
β
°
úhel vrcholový Machova kužele
φ
°
viskozita dynamická
η
Pa.s
viskozita kinematická
v
m 2.s –1
výkon
P
W, kW
výkon přivedený (příkon)
Pp
W, kW
výška
h
m
výška dopravní
H
m
výška geodetická
Hg
m
výška manometrická
Hm
m
výška manometrická sací
Hsm
m
výška manometrická výtlačná
Hvm
m
výška ztrátová
hz
m
zrychlení
a
m.s –2
zrychlení dostředivé
an
m.s –2
zrychlení tíhové
g
m.s –2
Předmluva
9
Předmluva
Tato učebnice je čtvrtým dílem řady technické mechaniky pro střední průmyslové školy strojnické. Studenti se v ní seznámí s vlastnostmi tekutých látek a jejich prouděním. Poznatky z hydromechaniky a aeromechaniky jsou základem mnoha významných oborů našeho strojírenství. Jmenujme alespoň výrobu pístových a odstředivých čerpadel, výrobu hydraulických prvků, výrobu a montáž vodních turbín, výrobu letadel atd. Ve všech těchto odvětvích jsme dosáhli řady mezinárodních ocenění a uznání. Studenti středních škol se strojírenským zaměřením se proto musí nutně se základní problematikou tohoto oboru seznámit. I když přímo nebudou pracovat jako konstruktéři uvedených strojů a zařízení, mohou se například stát projektanty vodohospodářských zařízení anebo potrubních sítí v potravinářském, zpracovatelském nebo v chemickém průmyslu. Učebnice si klade za cíl seznámit žáky se středoškolskou úrovní mechaniky tekutin. Pokud na to stačí matematický aparát, jsou základní vztahy odvozovány. Po teoretickém úvodu je vždy uvedeno metodicky správné obecně platné řešení úlohy. Aby učení žáků bylo dostatečně účinné, musí student souběžně studovat teorii a řešit praktické úlohy. Tento způsob studia je nejefektivnější. V celé učebnici je důsledně používána soustava SI, i když jsou uvedeny také jednotky fyzikálních veličin ve starších soustavách. Vznik mechaniky tekutin sahá až do starého Řecka. Nejprve Aristoteles přinesl myšlenky o proudění tekutin. Slavný Archimédes (287–212 př. Kr.) popsal svůj zákon o plování těles. Mechanika pak dlouhá léta stagnovala. K dalšímu rozmachu přispěl až geniální renesanční italský umělec a polyhistor Leonardo da Vinci. Navrhl vodní kolo k pohonu mlýna, propustě na jezu k proplouvání lodí a je autorem dalších vynálezů. V 17. století italský matematik Torricelli proslul důkazem, že čerpadla nemohou čerpat vodu při atmosférickém tlaku z větší hloubky než 10 m. Odvodil také vztah pro výpočet rychlosti kapaliny vytékající z nádoby. V roce 1650 francouzský náboženský filosof, fyzik a matematik Pascal (1623–1662) odvodil svůj zákon o šíření tlaku v tekutině.
Jeden z největších fyziků všech dob Isaac Newton (1642–1727) vedle svých tří zákonů v dynamice popsal vnitřní tření v kapalině, zavedl pojem dynamické viskozity jako konstantu úměrnosti při výpočtu tečného napětí mezi dvěma vrstvami pohybující se kapaliny. Odvodil také kvadratický zákon při obtékání těles většími rychlostmi. Nejvýznamnější místo v hydrodynamice zaujímá Švýcar Leonard Euler, který působil v Petrohradě. Vybudoval matematickou základnu hydrodynamiky, zavedl pojem hustoty kapaliny a v roce 1754 odvodil energetické rovnice při průtoku zakřiveným kanálem u odstředivých čerpadel a vodních turbín. Švýcar Daniel Bernoulli z rozvětvené vědecké rodiny fyziků a matematiků popsal v roce 1738 jeden ze základních zákonů proudění tekutin, Bernoulliho rovnici, zákon o zachování energie proudící tekutiny v potrubí. Italský fyzik G. B. Venturi (1746–1822) navrhl trubici pro měření průtočného množství kapaliny v potrubí. Německý profesor J. Weisbach (1832–1871) zavedl základní rovnici pro výpočet tlakové ztráty v potrubí. Britský fyzik Osborne Reynolds se zapsal do historie jako objevitel laminárního a turbulentního proudění. Zkoumal změny uvnitř potrubí při laminárním a turbulentním proudění. V roce 1859 Američan J. B. Francis zkonstruoval svojí přetlakovou vodní turbínu pro střední spády. Doposud je to nejrozšířenější vodní turbína. V roce 1880 Američan L. A. Pelton uvedl do provozu svoji rovnotlakou turbínu pro velmi vysoké spády. Používá se zejména na horních tocích řek. Otec ruského letectví N. J. Žukovskij (1847–1921) v roce 1906 vypočítal vztlakovou sílu na pevné křídlo letadla a řešil také hydraulický ráz v potrubí. Ve 20. století se ještě o rozvoj hydromechaniky zasloužil německý fyzik L. Prandl (1875–1953). Velmi známá je např. jeho trubice pro měření rychlosti proudu tekutiny. Významné jsou také jeho práce v teorii mezní vrstvy. Z našich vědců a vynálezců lze jmenovat chrudimského rodáka Josefa Ressla (1793–1857), který poprvé použil Archimédova šroubu k pohonu lodí. Rakouský profesor brněnské techniky Viktor Kaplan (1875–1934) vynalezl přetlakovou turbínu s natáčivými lopatkami. Turbína je vhodná pro nízké spády. Z dalších našich význačných vědců lze uvést profesory Krouzu, Maštovského a Nechlebu.
10
1
1 Předmět mechaniky tekutiny
Předmět mechaniky tekutin
Mechanika tekutin – zkoumá zákonitosti, kterými se řídí látky tekuté, které snadno tečou, proudí. Název „tekutina“ obecně zahrnuje kapaliny a vzdušiny (plyny a páry), které jsou charakteristické snadnou přemístitelností svých molekul. Jejich soudržnost je malá, jejich částice jsou velice pohyblivé. Pohyb tekutiny nazýváme prouděním. Kapaliny vlivem gravitace vyplňují spodní část nádoby s volnou hladinou. Hladina kapaliny je vždy kolmá k výsledné působící síle. Plyny vyplňují celý prostor, ve kterém se vyskytují. Jsou rozpínavé a stlačitelné. Při stlačování se značně zahřívají. Hydromechanika – zkoumá zákony, jimiž se kapalina řídí v klidu (hydrostatika) nebo v pohybu (hydrodynamika). Kapaliny jsou na rozdíl od plynů jen velmi málo stlačitelné a při stlačování i na nejvyšší tlaky se neohřívají. Kapaliny se používají jako pracovní médium hydraulických mechanismů, čerpadel a vodních turbín. Jsou nositelem hydraulické energie. V hydraulických řídicích systémech kapalina slouží k přenášení informací. Kapalina je značně namáhána, mechanicky, tepelně i chemicky. Požadavky na kapaliny jsou vysoké a často protichůdné. Proto je třeba se dívat na kapalinu jako na důležitý konstrukční prvek.
Zákony hydrodynamiky jsou pro skutečné kapaliny značně složité a pro zjednodušení zavádíme pojem ideální kapaliny – je nevazká, bez vnitřního tření, nestlačitelná, s neměnným objemem při změně teploty, bez rozpuštěných plynů, neodpařuje se. Aeromechanika – nauka o vzdušinách. Má značný význam v letectví, také při konstrukci turbokompresorů, turbodmychadel, parních a plynových turbín. Aerostatika – zabývá se vzdušinami v klidu. Aerodynamika – zkoumá stavy proudící vzdušiny. Plyny a páry jsou látky složitých termodynamických vlastností. Vyjádřit jejich chování v plném rozsahu teplot a tlaků je jednoduchými rovnicemi nemožné. Na začátku vývoje aeromechaniky byly jednoduchými pokusy stanoveny základní zákony, které, jak se později ukázalo, nemají všeobecnou platnost. Plyny, které přesně vyhovují těmto základním zákonům, nazýváme ideálními plyny. Nedají se zkapalnit, nemají vnitřní tření. Důležitou vlastností ideálních plynů je jejich stálost měrných kapacit.
11
2 Fyzikální vlastnosti tekutin
2
Fyzikální vlastnosti kapalin
2.1 Stavové veličiny
Teplota – měření teploty
Stavové veličiny, které určují stav kapaliny, jsou hustota ρ, teplota t (T) a tlak p. Hustota Hustota je hmotnost jednotky objemu homogenní látky: m ρ= V
(kg.m–3).
(2.1)
Hustotu kapaliny můžeme ve většině případů v technické praxi považovat za konstantu. Ve skutečnosti hustota částečně závisí na teplotě a tlaku. S rostoucí teplotou se zvětšuje objem a hustota proto klesá. S rostoucím tlakem se naopak objem zmenšuje a hustota kapaliny roste. Některé kapaliny se v určitém teplotním rozmezí chovají anomálně. To platí např. pro vodu, která má maximální hustotu při 3,99 °C a k hodnotě 0 °C její hustota klesá. V důsledku toho voda v rybnících a v řekách ani při největších mrazech nepromrzá až ke dnu, protože u dna je nejtěžší voda o teplotě 3,99 °C. Tabulka 2.1. Hustota vybraných kapalin při 20 °C
Hustota ρ (kg . m –3)
Kapalina
Hustota ρ (kg . m –3)
Voda
998
Petrolej
775 – 800
Olej transformátorový
866
Etylalkohol
789
Benzín natural 95
710
Rtuť
13 546
810 – 880
Metanol
792
877
Toluen
867
Kapalina
Nafta Benzen
Někdy se v literatuře místo s hustotou počítá s měrným objemem v. Mezi hustotou a měrným objemem platí vztah: 1 1 v = (m3.kg–1), ρ = ρ v
(kg.m–3).
(2.2)
S měrným objemem počítáme častěji v aeromechanice.
Teplota je jednou ze základních veličin soustavy SI. Teplota udává kvalitativní stránku měřeného tepelného děje, který se uskutečňuje mezi tělesy. Člověk různě reaguje na teplo, horko nebo chlad či zimu. A právě teplota je mírou rozličných pocitů člověka. Lidské pocity jsou však subjektivní, nespolehlivé. A proto musíme najít způsob, jak objektivně teplotu změřit. Využíváme přitom poznatku, že s teplotou se mění některé fyzikální vlastnosti těles. Se změnou teploty se mění délka kovového tělesa, objem kapaliny, odpor elektrického vodiče apod. Všech těchto změn fyzikálních veličin látek využíváme ke konstrukci přístrojů na měření teploty, teploměrů. Máme-li správně změřit teplotu prostředí, musí být ale kontaktní teploměr zahřátý na stejnou teplotu, jakou má měřené prostředí. Mezi teplotou teploměru a prostředím musí nastat tepelná rovnováha. Při měření teploty v technické praxi používáme různé druhy teploměrů podle funkce a rozsahu měřených teplot. K tomu, abychom mohli začít měřit teplotu, potřebujeme zavést stupnici teploty. Teplotu t v našich zemích měříme v Celsiových stupních (°C) (Anders Celsius, 1701–1744, švédský astronom) nebo jako absolutní teplotu T v kelvinech (K) (William Thomson – lord Kelvin, 1824–1907, skotský fyzik). Mezi oběma stupnicemi teplot platí vztah: T (K) = t (°C) + 273,15,
(2.3)
přičemž jeden stupeň Celsiův je velikostí roven jednomu kelvinu (1 °C = 1 K) Jeden stupeň Celsiův je definován jako stý díl sloupce teploměrné látky mezi základními body, tj. teplotou tání ledu (0°C) teplotou bodu varu vody (100 °C) při normálním tlaku 760 torrů. Pro rozdíly teplot platí vztah: T1 – T2 = t2 – t1, pro podíly 𝑇𝑇 𝑡𝑡 teplot rovnost neplatí: 𝑇𝑇12 ≠ 𝑡𝑡12 . Hodnota 273,16 K je teplotní rozdíl mezi tzv. absolutní nulou a trojným bodem vody (bude vysvětlen v termomechanice). Absolutní teplota v kelvinech má jenom kladnou hodnotu. Absolutní nula nemůže být nikdy dosažena. Při absolutní nule by ustal veškerý pohyb molekul. V anglosaských zemích se užívá Fahrenheitova stupnice (David Gabriel Fahrenheit, německý fyzik, 1686–1736) jejíž základní body jsou: 0 °F – teplota směsi tajícího ledu a salmiaku, dále teplota tajícího ledu 0 °C = 32 °F. Teplota
12
2 Fyzikální vlastnosti tekutin
zdravého lidského těla je 96 °F a 100 °C = 212 °F. Pro 5 9 přepočet se používá vztahů: 𝑡𝑡F = 5 𝑡𝑡C + 32 nebo 𝑡𝑡C = 9 (𝑡𝑡F − 32).
Na obr. 2.4 je znázorněna sonda pro měření teploty ve vysoké peci.
Příklad 1. Vypočítejte absolutní teplotu v kelvinech, jestliže teplota t = 37,5 °C. Řešení T = (37,5 + 273,15) K = 310,65 K. Příklad 2. Vypočítejte teplotu ve stupních Fahrenheita, jestliže teplota t = 37,5 °C. Řešení 9 9 𝑡𝑡F = 𝑡𝑡C + 32 = ( ∙ 37,5 + 32) ℉ = 99,5 ℉ . 5 5
Mezi nejčetnější patří tzv. teploměry dilatační, které využívají změnu objemu kapaliny se změnou teploty. Nejdůležitější z nich jsou teploměry rtuťové pro výhodné fyzikální vlastnosti rtuti (velká tepelná roztažnost a dobrá tepelná vodivost). Používají se od teploty –39 °C (teplota tání rtuti) do teploty 357 °C (teplota varu rtuti). Pro nižší teploty se používají např. teploměry plněné obarveným etylalkoholem (rozsah teplot –100 °C až 70 °C). Tyčinkový teploměr je tvořen tlustostěnnou skleněnou kapilárou (obr. 2.1), která je dole rozšířená a v horní části zatavená. Teploměry využívající roztažnosti pevných látek jsou např. teploměry bimetalické. Nejsou však příliš přesné. Bimetalický pásek je zpravidla svinutý do spirály (obr. 2.2). Bimetalická pružina v teploměru se roztahuje a její pohyb se přenáší na ručičku. Stupnice je již cejchována ve stupních.
Obr. 2.1
Obr. 2.3
Obr. 2.4
Odporovými teploměry měříme teplotu v rozmezí –200 °C až 1 000 °C. Využíváme přitom poznatku, že elektrický odpor vodiče se zvětšuje se stoupající teplotou. Při malém teplotním intervalu je závislost odporu na teplotě přímková podle vztahu: R = R0 (1 + α · ∆t), kde R R0 α ∆t
je – – –
(2.4)
odpor při měřené teplotě (Ω), odpor při 0 °C (Ω), teplotní součinitel odporu (°C–1), teplotní rozdíl (°C).
Čisté kovy mají teplotní součinitel kolem hodnoty 0,004 °C–1. Nejčastější používaný odporový materiál je platina (α = 0,003 9 °C–1). V poslední době se místo maximálního rtuťového lékařského teploměru používají teploměry polovodičové, a to buď odporové (termistory), nebo s PN přechodem, jehož napětí je funkcí teploty. Pro měření značně vysokých teplot se používá bezkontaktní optický pyrometr (obr. 2.5). Je založen na poznatku, že dvě tělesa zahřátá na stejnou teplotu vydávají záření stejné barvy. Barvu zářícího měřeného tělesa srovnáváme s barvou vlákna žárovky umístěné v dalekohledu. Předřazeným odporem R měníme proud, a tím i teplotu a barvu vlákna žárovky, až jeho barva splyne s barvou žhnoucího zdroje. Na připojeném miliampérmetru, který je cejchován přímo ve stupních, odečítáme teplotu.
Obr. 2.2
Pro měření teplot v rozmezí –200 °C až 1 600 °C se používají termočlánky, jejichž funkce je založena na vzniku termoelektrického napětí ve styku dvou kovů. Pokud vytvoříme spojením dvou různých vodičů uzavřený obvod (obr. 2.3), potom napětí voltmetru V bude funkcí rozdílu těchto teplot. Pro vlastní měření je proto nutné teplotu jednoho konce fixovat, např. vložením tohoto konce do termostatu.
Obr. 2.5
Novější provedení obsahují tepelná čidla, jejichž signály se vyhodnocují elektronicky.
13
2 Fyzikální vlastnosti tekutin
Tlak Tlak má význam síly připadající na jednotku plochy myšleného řezu kapalinou. Tlak je síla působící na plochu ve směru normály. Tlak je skalár. Jednotkou tlaku je z definice N.m–2. Tato jednotka má v soustavě SI název pascal a značku Pa. Dalšími jednotkami jsou 1 bar = 105 Pa.V dříve používané technické soustavě byla jednotkou technická atmosféra, 1 at = 1 kp.cm–2 = = 10 m sloupce H2O = 98 066,5 Pa. Dále fyzikální atmosféra, 1 atm = 101 325 Pa = 760 mm rtuťového sloupce a konečně 1 milimetr rtuťového sloupce neboli jeden torr, 1 torr = 133,322 Pa.Tato jednotka se stále používá při měření krevního tlaku. V anglosaských zemích se počítá s jednotkou váhová libra na čtverečný palec, pound square inch, 1 P.S.I. = 1 lb.in–2 ≈ 6 895 Pa. Definice tlaku: 𝑝𝑝 =
𝐹𝐹⃗ 𝐹𝐹 , číselně 𝑝𝑝 = ⃗ 𝑆𝑆 𝑆𝑆
(Pa, N, m2 ).
(2.5)
Měření tlaku bude popsáno v odst. 3.1.5.
Příklad 3. Lékař naměřil pacientovi tlak 130/80 torrů. Vypočítejte tlak v kPa. Řešení 130 torr = 130 · 133,322 Pa = 17 331,86 Pa ≈ 17,3 kPa, 80 torr = 80 · 133,322 Pa = 10 665,76 Pa ≈ 10,7 kPa. Lékař naměřil pacientovi tlak 17,3/10,7 kPa.
2.2 Vlastnosti skutečných kapalin 2.2.1 Tření v kapalině – viskozita Viskozita je vlastnost kapaliny, jejíž příčinou je odpor, který klade proudící kapalina proti vzájemnému posouvání soumezných vrstev. Na obr. 2.6 je síla Ft potřebná k udržení desky v pohybu konstantní rychlostí w. Jestliže je deska rovinná, rychlostní profil má průběh přímkový v závislosti na odlehlosti y. Kapalina ulpívá na povrchu obou desek. Na deskách je tedy relativní rychlost kapaliny nulová. Pokusy bylo zjištěno, že síla Ft je úměrná ploše desky S (to je změna oproti smykovému tření u tuhých těles) a gradientu rychlosti w. Na stykové ploše dvou vrstev s různou rychlostí vzniká nutně tečné napětí τ, které je úměrné gradientu rychlosti ve směru kolmému k rychlosti.
Obr. 2.6
𝜏𝜏 =
𝐹𝐹t ∆𝑤𝑤 = 𝜂𝜂 ∙ = konst. 𝑆𝑆 ∆𝑦𝑦
𝜈𝜈 =
𝜂𝜂 𝜍𝜍
(2.6)
V souladu s poslední rovnicí je jednotkou viskozity viskozita takové kapaliny, ve které síla 1 N posunuje dvě vrstvy o povrchu 1 m2 vzdálené od sebe 1 m relativní rychlostí 1 m.s–1. Vztah (2.6) poprvé uvedl I. Newton v roce 1687. Konstantu úměrnosti η nazýváme dynamickou viskozitou. U newtonských kapalin (např. voda, líh) je dynamická viskozita konstantou, částečně je závislá na teplotě, méně na tlaku. Její rozměr je (N.s.m–2). Po úpravě získáme roz∆𝑤𝑤 měr (Pa.s). Jestliže je dynamická viskozita 𝜂𝜂 = f (𝜏𝜏, ∆𝑦𝑦 ) potom jde o nenewtonské kapaliny (krev, zubní pasta, nátěrové hmoty apod.). Ve starších soustavách se dynamická viskozita nejčastěji vyjadřovala v jednotkách 1 poise – 1 P = 0,1 Pa.s. Při proudění kapalin má větší význam kinematická viskozita v (m2.s–1), která je definována: (m2 . s −1 , Pa. s, kg. m−3 ).
(2.7)
Ve starších soustavách jednotek je jednotkou kinematické viskozity jeden stokes (st), což je 1 cm2.s-1. Platí přepočet: 1 st = 10–4 m2.s–1. Tabulka. 2.2. Závislost kinematické viskozity vody na teplotě
t (°C) v (10 –6 m2.s –1)
0
10
20
30
1,791
1,308
1,010
0,804
Tečné napětí τ lze u kapalin vysvětlit přímým působením mezimolekulárních sil, zatímco u plynů je dáno výměnou impulsů při srážkách molekul. Proto u kapalin viskozita se zvyšující teplotou klesá, zatímco u plynů vzrůstá. U kapalin kinematická viskozita závisí na teplotě podle závislosti dynamické viskozity na teplotě, protože hustota kapalin se s hustotou prakticky nemění. U plynů při vysokých tlacích hustota plynu značně vzrůstá, potom kinematická viskozita klesá. Silně stlačené plyny mají tedy malou kinematickou viskozitu.
14
2 Fyzikální vlastnosti tekutin
2.2.2 Stlačitelnost kapaliny Skutečné kapaliny mění částečně svůj objem při změně tlaku. Stlačitelnost definujeme jako relativní zmenšení objemu kapaliny při zvýšení tlaku Δp: 𝛿𝛿 =
−∆𝑉𝑉 1 , ∙ 𝑉𝑉 ∆𝑝𝑝
kde δ –∆V V ∆p
je – – –
(2.8)
stlačitelnost kapaliny (Pa–1), zmenšení objemu kapaliny (m3), původní objem kapaliny (m3), přírůstek tlaku (Pa).
Stlačitelnost kapaliny má v technických zařízeních protichůdné důsledky. Pozitivní vliv – tlumí rázy, snižuje hlučnost. Negativní vliv – způsobuje rozkmitání hydraulického systému, snižuje jeho stabilitu. Tabulka. 2.3. Orientační hodnoty stlačitelnosti δ Kapalina
Stlačitelnost δ (Pa–1)
voda
5,1 · 10 –10
olej
6 · 10 –10
rtuť
0,4 · 10 –10
líh
11,6 · 10
–10
Stlačitelnost kapalin je velmi malá. K nepatrnému zmenšení objemu je třeba velkého tlaku (viz příklad 4). Změna objemu kapaliny v důsledku teplotní roztažnosti je podstatně větší než změna způsobená tlakem. Stlačitelnost kapaliny výrazně ovlivňuje objem rozptýlených vzduchových bublinek. Jestliže např. do uzavřeného dřevěného sudu naplněného vodou střelíme malou střelu, sud v důsledku i nepatrné změny objemu kapaliny praskne. Příklad 4. Hydraulický akumulátor (obr. 2.7) zcela naplněný vodou má objem V = 15 l. O kolik stoupne tlak p v akumulátoru po 10 otáčkách šroubu M 42, jehož střední průměr ds = 39,08 mm a rozteč P = 4,5 mm. Na počátku stlačování je v nádobě atmosférický tlak. Deformaci stěn akumulátoru zanedbejte.
Obr. 2.7
Řešení Zmenšení objemu ∆V kapaliny vlivem zašroubování šroubu: ∆𝑉𝑉 = −
π ∙ 𝑑𝑑s2 π ∙ 39,082 ∙ 𝑃𝑃 ∙ 10 = − ( ∙ 4,5 ∙ 10) mm3 = 4 4
= –53,9 · 103 mm3 = –53,9· 10–6 m3.
Zvětšení tlaku ∆p: ∆𝑝𝑝 =
−∆𝑉𝑉 1 −(−53,9 ∙ 10−6 m3 ) 1 ∙ = ∙ = −3 3 −10 𝑉𝑉 𝛿𝛿 15 ∙ 10 m 5,1 ∙ 10 Pa −1
= 7,05 · 106 Pa = 7,05 MPa.
Poznámka: Vlivem deformace stěn akumulátoru bude zvýšení tlaku menší než vypočítané.
2.2.3 Objemová roztažnost kapaliny Při změně teploty se mění částečně i objem kapaliny. Většinou s teplotou objem vzrůstá, výjimkou je anomálie vody (od 0 °C do 3,99 °C) a některých dalších kapalin. Závislost objemu na teplotě se určí podle vztahu: V = V0 (1 + β · ∆τ), kde V je V0 – β – ∆τ –
(2.9)
objem po zahřátí, resp. ochlazení kapaliny (m3), objem kapaliny obvykle při 20 °C (m3), teplotní součinitel objemové roztažnosti (°C–1), rozdíl mezi teplotou kapaliny a hodnotou 20 °C.
Objemová roztažnost kapalin je řádově asi 10krát až 100krát větší než je objemová roztažnost tuhých látek. Například pro vodu je β20°C = 18 · 10–5 °C–1, pro ocel je β20°C = 3,6 · 10–5 °C–1. Objemová roztažnost vody je tedy 5krát větší než objemová roztažnost oceli. S teplotou se také mění hustota kapalin ρ. Označme ρ hustotu kapaliny při teplotě t °C, potom platí: 𝜌𝜌 =
=
𝑚𝑚 𝑚𝑚 1 1 − 𝛽𝛽 ∙ ∆𝑡𝑡 = = 𝜌𝜌0 ∙ ∙ = 𝑉𝑉 𝑉𝑉0 (1 + 𝛽𝛽 ∙ ∆𝑡𝑡) 1 + 𝛽𝛽 ∙ ∆𝑡𝑡 1 − 𝛽𝛽 ∙ ∆𝑡𝑡
𝜌𝜌0 (1 − 𝛽𝛽 ∙ ∆𝑡𝑡) ≈ 𝜌𝜌0 (1 − 𝛽𝛽 ∙ ∆𝑡𝑡), 1 − 𝛽𝛽 2 ∙ ∆𝑡𝑡 2
kde ρ je ρ0 – β – ∆t –
(2.10)
hustota kapaliny při teplotě t °C (kg.m–3), hustota kapaliny při 20 °C (kg.m–3), teplotní součinitel objemové roztažnosti (°C–1), rozdíl mezi teplotou kapaliny a hodnotou 20 °C.
Příklad 5. Teplota vody se sníží z 20 na 19 °C. Přitom se zmenší objem vody. Zjistěte, při jakém zvětšení tlaku dojde ke stejné změně objemu. Stlačitelnost vody δ = 5,1 · 10–10 Pa–1, součinitel objemové roztažnosti vody β = 0,18 · 10–3 °C–1.
15
2 Fyzikální vlastnosti tekutin
Řešení Pro zmenšení objemu vlivem objemové roztažnosti platí vztah: V = V0(1 – β · ∆t). Relativní změna objemu: 𝑉𝑉 = 1 − 𝛽𝛽 ∙ ∆𝑡𝑡 = 1 − 0,18 ∙ 10−3 °C−1 ∙ 1 °C = 0,999 82. 𝑉𝑉0
Pro relativní změnu objemu vlivem zvýšení tlaku platí rovnice (2.8): 𝛿𝛿 = =
−∆𝑉𝑉 1 ∙ 𝑉𝑉0 ∆𝑝𝑝
1−
𝛿𝛿
𝑉𝑉 𝑉𝑉0
=
⇒ ∆𝑝𝑝 =
−∆𝑉𝑉 −(𝑉𝑉 − 𝑉𝑉0 ) = = 𝑉𝑉0 ∙ 𝛿𝛿 𝑉𝑉0 ∙ 𝛿𝛿
Povrchové napětí σ vzniká vždy na rozhraní látek a je definováno takto:
•• jako energie vrstvy molekul Evm na rozhraní s jinou látkou vztaženou na jednotku plochy rozhraní: 𝜎𝜎 =
𝐸𝐸vm (N. m−1), 𝑆𝑆
𝜎𝜎 =
𝐹𝐹t (N. m−1 ) . 𝑙𝑙
(2.11)
•• jako síla, která působí kolmo na jednotku délky myšleného řezu a leží v tečné rovině k povrchu ve vyšetřovaném místě (obr. 2.9 a 2.10): (2.12)
1 − 0,999 82 = 352 941 Pa = 0,35 MPa . 5,1 ∙ 10−10 Pa−1
2.2.4 Povrchové napětí Molekuly kapaliny, které jsou uvnitř objemu, se vzájemně přitahují mezimolekulárními kohezními silami (silami soudržnosti) rovnoměrně na všechny strany, takže výsledná síla na ně působící je nulová. Jinak je tomu však v těsné blízkosti u hladiny na rozhraní např. se vzduchem. Molekuly kapaliny jsou více přitahovány do kapaliny než do vzduchu (obr. 2.8). Na povrchu kapaliny dávají přitažlivé síly výslednici kolmou k povrchu. Kapaliny se chovají tak, jako by jejich povrch byl pokryt velmi tenkou pružnou blánou. Tuto představu povrchového napětí vytvořil roku 1751 J. A. Segner. Na rozhraní jsou molekuly kapaliny obklopeny ze shora molekulami vzduchu, to znamená, že mezimolekulární síly nejsou vyrovnány. Povrchová molekula je vtahována dovnitř a kapalina jako celek má snahu zaujmout co nejmenší povrch při daném objemu. To se zcela projeví např. v beztížném stavu, kde kapalina zaujme spontánně kulový tvar.
Obr. 2.9
Obr. 2.10
Veličiny Ft a l jsou navzájem kolmé a leží v rovině povrchu kapaliny. Voda má při 20 °C velikost povrchového napětí σ = 0,072 97 N.m–1. Jestliže na hladinu vody velmi opatrně položíme vodorovně tenkou minci, potom na každý cm obvodu mince působí síla 7,297.10–4 N a mince se působením povrchového napětí nepotopí. Povrchová blána se působením tíhy mince sice deformuje, ale neporuší se. Povrchové napětí lze také měřit velice citlivými vahami. Tenký drátěný kroužek ze smáčivého materiálu smočíme do kapaliny (obr. 2.11).
Obr. 2.11
Kapilární síly mají velikost: 𝐹𝐹 = 2 𝜎𝜎 ∙ 𝑙𝑙 = 2𝜎𝜎 ∙ 2 ∙ π ∙ 𝑟𝑟 ⇒ 𝜎𝜎 =
Obr. 2.8
Abychom přesunuli molekulu kapaliny zvnitřku na povrch, musíme překonat přitažlivé síly a vykonat určitou práci. Molekuly na povrchu budou mít proto jistou potenciální energii. Kapaliny vytvářejí vždy takový povrch, který má v daných podmínkách co nejmenší potenciální energii.
𝐹𝐹 (N. m−1 ) .. 4 ∙ π ∙ 𝑟𝑟
(2.13)
Tabulka 2.4. Povrchové napětí některých případů na rozhraní dvou látek při 20 °C Rozhraní
vodavzduch
rtuťvzduch
rtuťvoda
olejvoda
olejvzduch
σ (N.m–1)
0,073
0,046
0,427
0,020
0,030
16
2 Fyzikální vlastnosti tekutin
Tabulka 2.5. Závislost povrchového napětí pro rozhraní voda-vzduch na teplotě t (°C) σ (N.m–1)
10
20
40
60
80
0,0745
0,073
0,070
0,669
0,060
Příklad 6. Vypočítejte, kolikrát se zvětší celková potenciální energie E, rozprášíme-li vodní kapku o poloměru R = 3 mm a teplotě 20 °C na drobné kapičky o poloměru r = 0,1 mm. Povrchové napětí vody při 20 °C je σ = 0,073N.m–1. Jaká bude celková potenciální energie kapek po rozprášení, kolikrát se zvětší oproti energii původní kapky? Řešení Počet drobných kapek po rozprášení: 4 4 π ∙ 𝑅𝑅 3 = 𝑛𝑛 ∙ π ∙ 𝑟𝑟 3 3 3
=(
⇒
3 mm 3 ) = 2,7 ∙ 1044. . 0,1 mm
4 π ∙ 𝑅𝑅 3 𝑅𝑅 3 𝑛𝑛 = 3 =( ) = 4 𝑟𝑟 π ∙ 𝑟𝑟 3 3
Potenciální energie původní kapky: E1 = S1 · σ = 4π · R2 · σ = = 4π (3 · 10–3m)2 · 0,073 N.m–1 = 8,2 · 10–6 J. Potenciální energie všech rozprášených kapek: E2 = n · S2 · σ = n · 4π · r2 · σ = = 2,7 · 104 ·4π (0,1 · 10–3m)2 · 0,073 N.m–1 =
a)
b)
Obr. 2.12
Zvolíme-li pro jednoduchost za část I plochu polokoule, jsou okrajové síly rovnoběžné (obr. 2.12b). Proti jejich výslednici F = 2π · r · σ působí vlivem protitlaku p vzduch v druhé polokouli celkovou silou F1 = π · r2 · p. Pro protitlak platí: 2π ∙ 𝑟𝑟 ∙ 𝜎𝜎 = π ∙ 𝑟𝑟 2 ∙ 𝑝𝑝
⇒ 𝑝𝑝 =
2𝜎𝜎 , (Pa), 𝑟𝑟
(2.14)
kde σ (N.m–1) je povrchové napětí kapaliny a r je poloměr kapky (m). Poznámka: U mýdlové bubliny jsou dva povrchy, vnitřní 4𝜎𝜎 a vnější, a proto tlak 𝑝𝑝 = .
Kapilární jevy
𝑟𝑟
Jestliže má trubice průměr menší než 5 mm, pozorujeme u spojených nádob, u kterých jedno rameno tvoří kapilární trubice, nestejnou výšku hladin. To je způsobeno povrchovým napětím. Kdy dojde k elevaci (zvýšení hladiny), nebo k depresi (snížení hladiny), záleží na druhu materiálu trubice a kapaliny. Při elevaci kapalina smáčí stěny trubice, při depresi kapalina povrch trubice nesmáčí. Smáčená kapalina (obr. 2.13), např. voda na skle, vystoupí v kapiláře mnohem výš než v širokém rameni. Jestliže kapalinou je rtuť, bude hladina v trubici níže než v široké části (obr. 2.14). Rtuť je nesmáčívá.
= 0,2476 · 10–3 J. Poměr mezi potenciálními energiemi: 𝐸𝐸2 𝑛𝑛 ∙ 4π ∙ 𝑟𝑟 2 ∙ 𝜎𝜎 𝑅𝑅 3 𝑟𝑟 2 𝑅𝑅 3 mm = = ( ) ( ) = = = 30. 2 𝐸𝐸1 4π ∙ 𝑅𝑅 ∙ 𝜎𝜎 𝑟𝑟 𝑅𝑅 𝑟𝑟 0,1 mm
Drobné kapky mají 30krát větší potenciální energii. Tlak pod zakřiveným povrchem kapaliny Protože se povrch kapaliny chová jako napjatá pružná blána, vzniká uvnitř kapaliny se zakřiveným povrchem přetlak podobně jako při zmáčknutí gumového míčku. Velikost přetlaku vypočítáme z následující úvahy. Po okraji malého kulového vrchlíku I (obr. 2.12a) působí zbývající část II povrchu koule okrajovými silami, které se povrchu dotýkají. Výslednice F těchto sil prochází středem koule. Dovnitř koule působí tedy každé místo povrchu určitým tlakem p, který se nazývá kapilární tlak. Uvnitř kapaliny vznikne současně stejně velký přetlak.
Obr. 2.13
Obr. 2.14
Kapilarita je tedy schopnost kapaliny zvedat se či klesat v úzké trubici – kapiláře. Smáčivost závisí na vztahu sil mezi molekulami samotné kapaliny (koheze, soudržnost) a molekulami stěny a molekulami kapaliny (adheze, přilnavost). Jsou-li adhezní síly větší než kohezní, dochází ke smáčení. V opačném případě kapalina stěnu nesmáčí. Jestliže kapalina stěnu smáčí, snadno na ní ulpívá a její povrch je u stěny pak zakřivený vzhůru. U kapaliny je pak povrch vydutý (dutý meniskus). Když kapalina povrch nesmáčí, její povrch v kapiláře má vypouklý meniskus.
17
2 Fyzikální vlastnosti tekutin
Svislá výslednice Fk = π · r2 · p, kde p je kapilární tlak v dutém povrchu, zvedá povrch, a tím i sloupec kapaliny do výše. Proti této síle působí síla Fp způsobená hydrostatickým tlakem. Rovnovážný stav v kapalině nastává tehdy, jestliže síla od hydrostatického tlaku bude v rovnováze se silou kapilární: ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐹k + ⃗⃗⃗ 𝐹𝐹p = 0,
𝜎𝜎 ∙ 2 ∙ π ∙ 𝑟𝑟 = ∆𝑝𝑝 ∙ π ∙ 𝑟𝑟 2 = ℎ ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝜌𝜌 ∙ π ∙ 𝑟𝑟 2 ⇒
⇒ 𝜎𝜎 =
1 ∙ ℎ ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑟𝑟, 2
kde 2 · π · r = l je ∆p = h ·g · ρ –
(2.15)
délka rozhraní při poloměru kapiláry r, změna tlaku z elevace nebo deprese, zjištěné měřením v kapiláře.
Příklad 7. Petrolej o hustotě ρ = 800 kg.m–3 vystupuje knotem lampy. Vzdálenost hladiny petroleje od hořáku je h = 45 mm. Určete největší poloměr pórů v knotu, jestliže povrchové napětí petroleje σ = 0,03 N.m–1. Řešení Velikost maximálního poloměru kapiláry určíme z rovnice (2.15): 𝑟𝑟 =
2𝜎𝜎 2 ∙ 0,03 N. m−1 = = ℎ ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 0,045 m ∙ 800 kg. m−3 ∙ 9,81 m. s −2
= 1,70 · 10–4m = 0,17 mm.
Příklad 8. Do jaké výše vystoupí voda o teplotě 20 °C v kapiláře o poloměru r = 1 mm? Povrchové napětí vody při dané teplotě σ = 0,072 97 N.m–1. Řešení Vycházíme z rovnice (2.15): 2𝜎𝜎 2 ∙ 0,072 97 N. m−1 ℎ= = = 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑟𝑟 1 000 kg. m−3 ∙ 9,81 m. s −2 ∙ 0,001 m
= 0,014 88 ≈ 15 mm.
Poznámka: Využití znalostí o povrchovém napětí v přírodě a v občanském životě. Póry v látkách jsou kapiláry velmi malého průměru. Proto u pórovitých látek nastává kapilární elevace. Tyto látky vsakují do sebe kapaliny. Je tomu tak např. u cukru, papíru, dřeva. Cévami rostlin stoupají také živné látky. Knotem stoupá benzin, petrolej. Vlhkost vystupuje vzhůru zdivem. Kapilárami v půdě stoupá podzemní voda k povrchu. Proto se provádí orba půdy. To, že voda jen nesnadno odstraňuje špínu z prádla, má svou příčinu ve značném povrchovém napětí vody. Voda nemůže dost dobře vniknout pod částečky špíny a odplavit je. Proto musíme povrchové napětí vody snížit. Provádíme to dvěma způsoby,
a to ohřevem vody nebo přidáním aktivních látek, které snižují povrchové napětí vody (mýdlo, saponáty apod.). Odstraňování mastných skvrn ze šatů – když se setkají dvě kapaliny s různým povrchovým napětím, kapalina s menším povrchovým napětím se snaží zabrat co největší plochu. To platí i pro odstraňování skvrn benzinem (má malé povrchové napětí). Kolem skvrny nakapeme benzin, aniž skvrnu navlhčíme. Teprve potom kápneme jednu nebo více kapek na skvrnu. Nyní hadříkem vysušíme střed skvrny. Tam byl mastný benzin s větším povrchovým napětím zatlačen okolním čistým benzinem. Kdybychom kapali nejdříve na skvrnu, byl by mastný benzin vytlačován následnými kapkami na okraj a vznikl by špinavý okraj.
Úlohy B Vypočítejte hustotu rtuti při teplotě 35 °C. Hustota rtuti při 20 °C je 13 546 kg.m-3, objemový součinitel tepelné roztažnosti rtuti β = 0,000 181 °C–1. (ρ35 = 13 509 kg.m–3) C Jaký objem bude mít rtuť zahřátá na 39 °C, jestliže její objem při teplotě 18 °C byl 50 cm3? (50,19 cm3) D O kolik procent se zvětší objem etylalkoholu, zvýší-li se jeho teplota o 25°C. Objemový součinitel tepelné roztažnosti etylalkoholu β = 0,001 1 °C–1. (o 2,75 %) E Vrtaná studna o průměru 200 mm je hluboká 16 m a hladina vody je ve výši 5,8 m. Určete, o kolik se zvýší hladina, jestliže teplota vody stoupne z 5 °C na teplotu 5,8 °C? Objemový součinitel tepelné roztažnosti vody: β = 0,18 · 10–3 °C –1. (hladina se zvýší o 0,8 mm) F Kolik energie se uvolní, jestliže se slijí dvě stejné rtuťové kapky o poloměru r = 1 mm v jednu? Povrchové napětí rtuti σ = 0,5 N.m–1. (∆E = 2,6 · 10–6 J) G Určete přetlak v mýdlové bublině o průměru d = 4 · 10–2 m, je-li povrchové napětí σ = 2,6 · 10–2 N.m–1. (p = 5,2 Pa) H Do vody jsou svisle ponořeny dvě kapiláry s poloměry r1 = 1 mm a r2 = 2 mm. Určete povrchové napětí vody, když rozdíl výšek hladin v kapilárách je ∆h = 7,35 mm. Předpoklad: voda donakonale smáčí stěny kapilár. (𝜎𝜎 = 0,5 ∙ ∆ℎ ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙
𝑟𝑟1 ∙ 𝑟𝑟2 = 0,072 1 N. m−1) 𝑟𝑟2 − 𝑟𝑟1