Sbirka prikladu z mechaniky tekutin i klimko zitek sedlak

Marek Klimko, Pavel Žitek, Kamil Sedlák

Sbírka příkladů z mechaniky tekutin I.

Marek Klimko, Pavel Žitek, Kamil Sedlák

Sbírka příkladů z mechaniky tekutin I.

https://doi.org/10. 24132/ZCU.2017.07460

Sbírka příkladů z mechaniky tekutin I. (elektronické vydání) Ing. Marek Klimko Ing. Pavel Žitek Ing. Kamil Sedlák, Ph.D. Grafický návrh obálky: Tereza Saitzová Vydala: Západočeská univerzita v Plzni P.O.Box 314, Univerzitní 8, 306 14 Plzeň 1. vydání, 168 stran Pořadové číslo: 2277, ediční číslo: 55-068-17 Plzeň 2017 ISBN 978-80-261-0746-0 ISBN 978-80-261-0745-3 (tištěné vydání) © Ing. Marek Klimko; Ing. Pavel Žitek; Ing. Kamil Sedlák, Ph.D. © Západočeská univerzita v Plzni https://doi.org/10. 24132/ZCU.2017.07460 2

Předmluva Tato sbírka příkladů je určena studentům vysokých škol s technickým zaměřením a má sloužit jako podpůrný materiál pro cvičení z předmětu Mechanika tekutin I. Na úvod byl zařazen velmi stručný teoretický přehled základních pojmů a výchozích matematických vztahů, po kterých následují řešené příklady podle jednotlivých kapitol. Věříme, že tato publikace bude přínosná a najde své uplatnění mezi studenty.

3

Obsah ÚVOD ................................................................................................................................................ 5 1.

MATEMATICKÝ A FYZIKÁLNÍ APARÁT........................................................................................ 7

1.1

Parciální a totální derivace .................................................................................................... 7

1.2

Gradient, divergence, rotace................................................................................................. 7

1.3

Integrální věty ....................................................................................................................... 8

1.4

Základní vlastnosti tekutin .................................................................................................... 9

1.5

Základní rovnice využívané v MT I....................................................................................... 11

2.

ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI ........................................................................................................... 16

3.

TLAK V TEKUTINĚ .................................................................................................................... 29

4.

MANOMETRY .......................................................................................................................... 38

5.

RELATIVNÍ ROVNOVÁHA ......................................................................................................... 46

6.

SÍLY NA STĚNY ......................................................................................................................... 70

7.

STABILITA ................................................................................................................................ 84

8.

DOKONALÉ TEKUTINY ............................................................................................................. 92

9.

ZTRÁTY ..................................................................................................................................104

10. VÝTOKY ..................................................................................................................................121 11. VĚTA O ZMĚNĚ TOKU HYBNOSTI ..........................................................................................135 12. PROFILY .................................................................................................................................149

4

Seznam hlavních symbolů Symbol a c D F f g J m ṁ MK n P p Q R Re S u V̇ w α β ε ζ η κ ν ρ ω

Název zrychlení absolutní rychlost průměr síla součinitel tření tíhové zrychlení kvadratický moment plochy hmotnost hmotnostní průtok krouticí moment otáčky výkon tlak teplo poloměr Reynoldsovo číslo plocha obvodová rychlost objemový průtok relativní rychlost izobarický součinitel objemové roztažnosti izochorický součinitel tlakové rozpínavosti izotermický součinitel objemové stlačitelnosti ztrátový koeficient dynamická viskozita adiabatický exponent kinematická viskozita hustota úhlová rychlost

5

Jednotky [m∙s-2] [m∙s-1] [m] [N] [-] [m∙s-2] [m4] [kg] [kg∙s-1] [N∙m] [s-1] [W] [Pa] [J] [m] [-] [m2] [m∙s-1] [m3∙s-1] [m∙s-1] [-] [-] [-] [-] [Pa∙s] [-] [m2∙s-1] [kg∙m-3] [rad∙s-1]

Úvod Mechanika tekutin (dále jen MT) je část mechaniky, zabývající se rovnováhou sil za klidu a pohybu kapalin, resp. plynů.

MT můžeme rozdělit: -

podle druhu tekutiny: a) Mechaniku kapalin (hydromechaniku) b) Mechaniku plynů (aeromechaniku)

-

podle stavu tekutiny: a) Statiku (všechny částice tekutiny mají nulovou rychlost, každá částice je v rovnováze) b) Dynamiku (částice tekutiny se pohybují)

Při řešení úloh v rámci MT se častokrát setkáme s pojmem ‚‚elementární objem‛‛, který v podstatě plní obdobnou funkci jako ‚‚hmotní bod‛‛ v klasické mechanice tuhých těles. Pro elementární objem se odvozují podmínky rovnováhy sil za klidu a pohybu tekutin a definují základní zákony (např. zákon zachování hmoty, resp. energie). Pro jejich odvození se předpokládá, že tekutina je spojité a izotropní (stejnorodé) prostředí. Výsledkem jsou diferenciální rovnice, které se integrují na základě znalostí okrajových, případně počátečních podmínek. Právě předpoklad izotropního a spojitého prostředí umožňuje výhodně řešit úlohy MT na zvoleném, velmi malém (elementárním) objemu a odvozené zákonitosti pak aplikovat na celý objem. [5]

6

1. Matematický a fyzikålní aparåt Studium mechaniky tekutin se neobejde bez zåkladních matematických znalostí, jakými jsou např. integrålní věty, vlastnosti funkcí s více proměnnými a pod. Proudění je vŞdy prostorovÊ, obecně nestacionårní a je popisovanÊ parciålními diferenciålními rovnicemi.

Z tohoto dĹŻvodu budou v tĂŠto Ä?ĂĄsti uvedenĂŠ zĂĄkladnĂ­ matematickĂŠ operace pouŞívanĂŠ v teorii mechaniky tekutin, samozĹ™ejmÄ› bez hlubĹĄĂ­ho vĂ˝kladu.

1.1 ParciĂĄlnĂ­ a totĂĄlnĂ­ derivace Jednou z velmi Ä?asto pouŞívanĂ˝ch veliÄ?in je rychlost w. Rychlost je funkcĂ­ prostorovĂ˝ch souĹ™adnic x, y, z a Ä?asu t. ParciĂĄlnĂ­ derivaci (napĹ™. ∂w/∂x) dostaneme tak, Ĺže w derivujeme podle souĹ™adnice x, pĹ™iÄ?emĹž y, z a t povaĹžujeme za konstanty. ObdobnÄ› se dokĂĄĹžeme dopracovat k parciĂĄlnĂ­m derivacĂ­m rychlosti podle zbylĂ˝ch promÄ›nnĂ˝ch. [2] đ?‘¤ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘Ą) đ?‘¤ = đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘Ą − đ?‘§ 2 đ?œ•đ?‘¤ = 3đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Śđ?‘Ą, đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘¤ = 2đ?‘Ľđ?‘Ą, đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘¤ = −2đ?‘§, đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘¤ = 2đ?‘Ľđ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ą

TotĂĄlnĂ­ (resp. ĂşplnĂ˝) diferenciĂĄl zĂ­skĂĄme souÄ?tem vĹĄech parciĂĄlnĂ­ch derivacĂ­. PodÄ›lenĂ­m levĂŠ a pravĂŠ strany Ä?asem dt dostaneme totĂĄlnĂ­ derivaci (v tomto případÄ› zrychlenĂ­). đ?‘‘đ?‘¤ =

đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘‘đ?‘Ś + đ?‘‘đ?‘§ + đ?‘‘đ?‘Ą |: đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ = ∙ đ?‘¤đ?‘Ľ + ∙ đ?‘¤đ?‘Ś + ∙ đ?‘¤đ?‘§ + đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ą TenzorovĂ˝ zĂĄpis zrychlenĂ­: đ?‘‘đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ đ?œ•đ?‘¤ = ∙ đ?‘¤đ?‘˜ + đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ą

, kde đ??¤ je sÄ?Ă­tacĂ­ index

1.2 Gradient, divergence, rotace Gradient obecnĂŠho skalĂĄru φ mĹŻĹžeme zapsat buÄ? jako souÄ?et jednotlivĂ˝ch parciĂĄlnĂ­ch derivacĂ­ nebo pomocĂ­ operĂĄtoru nabla ∇ (Hamiltonov operĂĄtor). [2] đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ đ?œ‘ = đ?‘–⃗ ∙

đ?œ•đ?œ‘ đ?œ•đ?œ‘ đ?œ•đ?œ‘ đ?œ• đ?œ• đ?œ• ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ ) ∙ đ?œ‘ = đ?›ťâƒ—⃗đ?œ‘ + đ?‘—⃗ ∙ +đ?‘˜ = (đ?‘–⃗ + đ?‘—⃗ + đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

7

SkalĂĄrnĂ­ souÄ?in dvou operĂĄtorĹŻ ⃗∇⃗ je Laplaceov operĂĄtor Δ (vĂ˝sledkem je samozĹ™ejmÄ› skalĂĄr). ∆= đ?›ťâƒ—⃗ ∙ đ?›ťâƒ—⃗ = (đ?‘–⃗

đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?œ•2 đ?œ•2 đ?œ•2 đ?œ•2 ⃗⃗ ) ∙ (đ?‘–⃗ + đ?‘—⃗ + đ?‘˜ ⃗⃗ ) = + đ?‘—⃗ + đ?‘˜ + + = đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ 2 đ?œ•đ?‘Ś 2 đ?œ•đ?‘§ 2 đ?œ•đ?‘˜ 2

V dalĹĄĂ­ Ä?ĂĄsti si ukĂĄĹžeme zĂĄpis divergence souÄ?inu skalĂĄru a vektoru. Rotor obecnĂŠho vektoru đ?‘Žâƒ— je opÄ›t vektor, kterĂ˝ udĂĄvĂĄ dvounĂĄsobek ĂşhlovĂŠ rychlosti otĂĄÄ?enĂ­ vektorovĂŠho pole. [2] đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ł(đ?œ‘đ?‘Žâƒ—) =

đ?œ•(đ?œ‘ ∙ đ?‘Žđ?‘Ľ ) đ?œ•(đ?œ‘ ∙ đ?‘Žđ?‘Ś ) đ?œ•(đ?œ‘ ∙ đ?‘Žđ?‘§ ) đ?œ•đ?œ‘ đ?œ•đ?œ‘ đ?œ•đ?œ‘ + + = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘Ś + đ?‘Ž + đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘§

đ?œ•đ?‘Žđ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Žđ?‘Ś đ?œ•đ?‘Žđ?‘§ đ?œ•(đ?œ‘đ?‘Žđ?‘˜ ) +đ?œ‘ ∙ ( + + ) = đ?›ťâƒ—⃗đ?œ‘đ?‘Žâƒ— + đ?œ‘đ?›ťâƒ—⃗ đ?‘Žâƒ— = đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?œ‘ ∙ đ?‘Žâƒ— + đ?œ‘ ∙ đ?‘‘đ?‘–đ?‘Łđ?‘Žâƒ— = đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ž đ?œ•đ?‘Žđ?‘§ đ?œ•đ?‘Žđ?‘Ś đ?œ•đ?‘Žđ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Žđ?‘§ đ?œ•đ?‘Ž ⃗⃗ ( đ?‘Ś − đ?‘Ľ ) = đ?›ťâƒ—⃗ Ă— đ?‘Žâƒ— = đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žâƒ— = đ?‘–⃗ ( − ) + đ?‘—⃗ ( − )+đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?‘–⃗ đ?œ• = || đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘Ľ

đ?‘—⃗ đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś đ?‘Žđ?‘Ś

⃗⃗ đ?‘˜ đ?œ•| | đ?œ•đ?‘§ đ?‘Žđ?‘§

1.3 IntegrĂĄlnĂ­ vÄ›ty ⃗⃗⃗⃗, kde ⃗⃗⃗⃗ Stokesova vÄ›ta pĹ™evĂĄdĂ­ kĹ™ivkovĂ˝ integrĂĄl ze skalĂĄrnĂ­ho souÄ?inu đ?‘Žâƒ—đ?‘‘đ?‘™ đ?‘‘đ?‘™ je diferenciĂĄlnĂ­ Ăşsek kĹ™ivky, na ploĹĄnĂ˝ integrĂĄl, v kterĂŠm se rotđ?‘Žâƒ— skalĂĄrnÄ› nĂĄsobĂ­ diferenciĂĄlem plochy đ?‘‘đ?‘†âƒ— a tyto souÄ?iny se integrujĂ­ po ploĹĄe uzavĹ™enou kĹ™ivkou. [2] ⃗⃗⃗⃗ = âˆŤ đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žâƒ—đ?‘‘đ?‘†âƒ— ∎ đ?‘Žâƒ—đ?‘‘đ?‘™ đ?‘†

Greenova vÄ›ta pĹ™evĂĄdĂ­ ploĹĄnĂ˝ integrĂĄl z đ?œ‘đ?‘‘đ?‘†âƒ—, kde đ?‘‘đ?‘†âƒ— je elementĂĄrnĂ­ plocha povrchu uzavĹ™enĂŠho objemu V, na objemovĂ˝ integrĂĄl z gradđ?œ‘đ?‘‘đ?‘‰. PĹ™iÄ?emĹž dV je element objemu. [2] âˆŤ đ?œ‘đ?‘‘đ?‘†âƒ— = âˆŤ đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?œ‘đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘†

�

Gaussova – OstrogradskĂŠho vÄ›ta pĹ™evĂĄdĂ­ rovněŞ ploĹĄnĂ˝ integrĂĄl na objemovĂ˝, kde integrand na jednĂŠ stranÄ› je skalĂĄrnĂ­ souÄ?in đ?‘Žâƒ—đ?‘‘đ?‘†âƒ— a na druhĂŠ stranÄ› đ?‘‘đ?‘–đ?‘Łđ?‘Žâƒ— đ?‘‘đ?‘‰. [2] âˆŤ đ?‘Žâƒ—đ?‘‘đ?‘†âƒ— = âˆŤ đ?‘‘đ?‘–đ?‘Łđ?‘Žâƒ— đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘†

�

8

1.4 ZĂĄkladnĂ­ vlastnosti tekutin StavovĂŠ parametry v neproudĂ­cĂ­ tekutinÄ› jsou hustota Ď , tlak p a teplota T. V proudĂ­cĂ­ tekutinÄ› k tÄ›mto tĹ™em parametrĹŻm patří navĂ­c rychlost w. K urÄ?enĂ­ stavovĂ˝ch parametrĹŻ musĂ­me mĂ­t k dispozici samozĹ™ejmÄ› stejnĂ˝ poÄ?et rovnic. V prvnĂ­m případÄ› 3 a v druhĂŠm 4 rovnice, kterĂŠ se Ĺ™eĹĄĂ­ jako soustava. [2] StavovĂĄ rovnice udĂĄvĂĄ vazbu mezi p, Ď , T a mĂĄ nĂĄsledujĂ­cĂ­ tvary: đ?‘?

-

IdeĂĄlnĂ­ plyn: đ?œŒ = đ?‘&#x; ∙ đ?‘‡, kde r je plynovĂĄ konstanta, napĹ™. rvzduch = 287,04 J.kg-1.K-1,

-

ReĂĄlnĂ˝ plyn: = đ?‘&#x; ∙ đ?‘‡ ∙ [1 + đ?œŒ ∙ đ?‘Ž1 (đ?‘‡) + đ?œŒ2 ∙ đ?‘Ž2 (đ?‘‡) + â‹Ż ], kde a1 a a2 sĂş konstanty

đ?‘?

đ?œŒ

zĂĄvislĂŠ na teplotÄ› a upravujĂ­ rovnici ideĂĄlnĂ­ho plynu v souladu se skuteÄ?nostĂ­, -

IdeĂĄlnĂ­ kapalina: Ď = konst.,

-

ReĂĄlnĂĄ kapalina:

đ?œ€âˆ™đ?›˝âˆ™đ?‘? đ?›ź

= 1.

kde: Îľ – izotermickĂ˝ souÄ?initel objemovĂŠ stlaÄ?itelnosti, β – izochorickĂ˝ souÄ?initel tlakovĂŠ rozpĂ­navosti, Îą – izobarickĂ˝ souÄ?initel objemovĂŠ roztaĹžnosti, p – referenÄ?nĂ­ tlak (pĹ™ibliĹžnÄ› 101 325 Pa).

1.4.1 IzotermickĂ˝ souÄ?initel objemovĂŠ stlaÄ?itelnosti StlaÄ?itelnost tekutin je schopnost tekutin mÄ›nit svĹŻj objem pĹ™i zmÄ›nÄ› tlaku, pĹ™iÄ?emĹž se teplota nemÄ›nĂ­. Proces diferenciĂĄlnĂ­ho stlaÄ?ovĂĄnĂ­ reĂĄlnĂŠ tekutiny pĹ™i konstantnĂ­ teplotÄ› popĂ­ĹĄeme na zĂĄkladÄ› ĂşplnĂŠho diferenciĂĄlu stavovĂŠ veliÄ?iny mÄ›rnĂŠho objemu, jako funkci tlaku a teploty. đ?‘Ł = đ?‘“(đ?‘?, đ?‘Ą)

→ �� = (

đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ł ) đ?‘‘đ?‘? + ( ) đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘? đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘?

đ?‘‘đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ł đ?‘Ł − đ?‘Ł0 =( ) = = −đ?œ€ ∙ đ?‘Ł0 đ?‘‘đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?‘Ą ∆đ?‘?

→

đ?œ•đ?‘Ł 1 đ?œş = −( ) ∙ đ?œ•đ?‘? đ?‘Ą đ?‘Ł0

Îľ je izotermickĂ˝ souÄ?initel objemovĂŠ stlaÄ?itelnosti. ReciprokĂĄ hodnota tohoto souÄ?initele je modul objemovĂŠ pruĹžnosti k.

1.4.2 IzochorickĂ˝ souÄ?initel tlakovĂŠ rozpĂ­navosti KdyĹž pĹ™ivedeme teplo dQ do reĂĄlnĂŠ tekutiny s objemem V, kterĂĄ je v pevnĂŠ nĂĄdobÄ›, zvýťí se jednak teplota mĂŠdia o dT a rovněŞ tlak o dp. JelikoĹž se v tomto případÄ› jednĂĄ o tlakovou rozpĂ­navost, budeme vychĂĄzet z ĂşplnĂŠho diferenciĂĄlu tlaku, kterĂ˝ je funkcĂ­ teploty a objemu.

9

đ?‘? = đ?‘“(đ?‘Ł, đ?‘Ą)

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? → đ?‘‘đ?‘? = ( ) đ?‘‘đ?‘Ł + ( ) đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ł đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘Ł

đ?‘‘đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?‘? − đ?‘?0 đ?‘? − đ?‘?0 1 =( ) = = đ?›˝ ∙ đ?‘?0 (đ?‘Ą0 = 0°đ??ś) → đ?œˇ = ∙ đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘Ł đ?‘Ą − đ?‘Ą0 đ?‘Ą đ?‘?0 β je izochorickĂ˝ souÄ?initel tlakovĂŠ rozpĂ­navosti.

1.4.3 IzobarickĂ˝ souÄ?initel objemovĂŠ roztaĹžnosti VytknutĂŠmu objemu reĂĄlnĂŠ kapaliny V dodĂĄme teplo dQ, kterĂŠ zpĹŻsobĂ­ nĂĄrĹŻst teploty o dT a objemu o dV pĹ™i konstantnĂ­m tlaku. đ?‘Ł = đ?‘“(đ?‘?, đ?‘Ą)

→ �� = (

đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ł ) đ?‘‘đ?‘? + ( ) đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘? đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘?

đ?‘‘đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ł đ?‘Ł − đ?‘Ł0 đ?‘Ł − đ?‘Ł0 1 =( ) = = đ?›ź ∙ đ?‘Ł0 (đ?‘Ą0 = 0°đ??ś) → đ?œś = ∙ đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘? đ?‘Ą − đ?‘Ą0 đ?‘Ą đ?‘Ł0 Îą je izobarickĂ˝ souÄ?initel objemovĂŠ roztaĹžnosti.

1.4.4 Viskozita tekutin, smykovĂŠ napÄ›tĂ­ Tato vlastnost se projevuje za pohybu skuteÄ?nĂ˝ch kapalin. Pokud se pohybujĂ­ sousednĂ­ vrstvy kapaliny rĹŻznĂ˝mi rychlostmi, vznikĂĄ na jejich rozhranĂ­ smykovĂŠ napÄ›tĂ­, kterĂŠ brĂĄni pohybu. PomalejĹĄĂ­ vrstva je urychlovĂĄna a naopak zase rychlejĹĄĂ­ zpomalovĂĄna. SmykovĂŠ napÄ›tĂ­ je vyvolanĂŠ vnitĹ™nĂ­m tĹ™enĂ­m, resp. viskozitou tekutin, kterĂĄ je ĂşmÄ›rnĂĄ zmÄ›nÄ› rychlosti ve smÄ›ru kolmĂŠm na smÄ›r pohybu podle Newtonova vztahu: đ?œ?=đ?œ‚∙

đ?‘‘đ?‘¤ [đ?‘ƒđ?‘Ž] đ?‘‘đ?‘Ś

Ĺ˜eckĂ˝ symbol đ?œ‚ je dynamickĂĄ viskozita a dw/dy je gradient rychlosti ve smÄ›ru kolmĂŠm na smÄ›r pohybu. Uvedenou formulaci uvedl v r. 1687 anglickĂ˝ fyzik Isaac Newton pro laminĂĄrnĂ­ proudÄ›nĂ­. UvedenĂ˝ vztah platĂ­ pouze pro tzv. NewtonskĂŠ tekutiny. ExistujĂ­ taky tekutiny NenewtonskĂŠ, kterĂ˝m se v rĂĄmci problematiky MT I. nebudeme vÄ›novat. [5]

10

1.5 Zåkladní rovnice vyuŞívanÊ v MT I. Tåto kapitola slouŞí jako přehled nejdůleŞitějťích rovnic, kterÊ se později budou objevovat v řeťených úlohåch. Cílem tedy nebude detailně objasnit matematickou, resp. fyzikålní podstatu jednotlivých vztahů. Matematickå odvození naleznete např. v [1], [2].

1.5.1 Navier – Stokesova pohybovå rovnice Jednå se o jednu z nejdůleŞitějťích parciålních diferenciålních rovnic proudění. Rovnici odvodil francouzský matematik Claude Louis Marie Henri Navier (1827) a takÊ nezåvisle na něm jiným způsobem anglický matematik a fyzik George Gabriel Stokes (1845).

N-S rovnice ve svĂŠ podstatÄ› vyjadĹ™uje rovnovĂĄhu sil pĹŻsobĂ­cĂ­ch na element proudĂ­cĂ­ viskĂłznĂ­ tekutiny (uvaĹžujeme tedy i vliv tĹ™ecĂ­ch sil). JejĂ­ odvozenĂ­ vychĂĄzĂ­ z II. Newtonovho pohybovĂŠho zĂĄkona. [2] đ?‘

đ?‘‘đ?‘¤ ⃗⃗⃗ đ?‘š = ∑ đ??šâƒ—đ?‘– đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘–

KompletnĂ­ odvozenĂ­ N-S rovnice, kterĂŠ je pomÄ›rnÄ› rozsĂĄhlĂŠ, je moĹžnĂŠ v případÄ› zĂĄjmu dohledat v [6]. UkĂĄĹžeme si pouze vĂ˝slednĂ˝ tvar rovnice a popĂ­ĹĄeme jednotlivĂŠ Ä?leny. đ?œ•đ?‘¤đ?‘– đ?œ•đ?‘¤đ?‘– 1 đ?œ•đ?‘? đ?œ• 2 đ?‘¤đ?‘– 1 đ?œ• đ?œ•đ?‘¤đ?‘˜ + đ?‘¤đ?‘˜ = đ?‘…đ?‘– − +đ?œˆ + đ?œˆ ( ) đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘˜ đ?œŒ đ?œ•đ?‘– đ?œ•đ?‘˜ 2 3 đ?œ•đ?‘– đ?œ•đ?‘˜ 1. ÄŒlen

đ?œ•đ?‘¤đ?‘–

je mĂ­stnĂ­ (lokĂĄlnĂ­) zrychlenĂ­, kterĂŠ zaznamenĂĄme pĹ™i sledovĂĄnĂ­ urÄ?itĂŠho bodu

đ?œ•đ?‘Ą

proudovĂŠho pole v prĹŻbÄ›hu Ä?asu.

2. ÄŒlen đ?‘¤đ?‘˜

đ?œ•đ?‘¤đ?‘– đ?œ•đ?‘˜

je vnitĹ™nĂ­ setrvaÄ?nĂŠ zrychlenĂ­, kterĂŠ zaznamenĂĄme, kdyĹž se posuneme do

sousednĂ­ho bodu prostoru, kde je jinĂĄ rychlost.

3. ÄŒlen đ?‘…đ?‘– je vnÄ›jĹĄĂ­ setrvaÄ?nĂŠ zrychlenĂ­, danĂŠ vnÄ›jĹĄĂ­mi ĂşÄ?inky na proudovĂŠ pole (gravitaÄ?nĂ­ zrychlenĂ­, odstĹ™edivĂŠ zrychlenĂ­, danĂŠ rotacĂ­ kanĂĄlu, v kterĂŠm probĂ­hĂĄ proudÄ›nĂ­ apod.).

1 đ?œ•đ?‘?

4. ÄŒlen đ?œŒ đ?œ•đ?‘– je zrychlenĂ­ od tlakovĂ˝ch sil od rozloĹženĂ­ tlaku v proudovĂŠm poli.

5. ÄŒlen đ?œˆ 1

đ?œ•2 đ?‘¤đ?‘– đ?œ•đ?‘˜ 2 đ?œ•

je zrychlenĂ­ od tĹ™ecĂ­ch sil bez ohledu na stlaÄ?itelnost proudÄ›nĂ­. đ?œ•đ?‘¤

6. ÄŒlen 3 đ?œˆ đ?œ•đ?‘– ( đ?œ•đ?‘˜đ?‘˜) je zrychlenĂ­ od tĹ™ecĂ­ch sil s ohledem na stlaÄ?itelnost proudÄ›nĂ­. [2]

11

Z matematickĂŠho hlediska je N-S rovnice parciĂĄlnĂ­ diferenciĂĄlnĂ­ rovnicĂ­ druhĂŠho řådu, obecnÄ› eliptickĂŠho typu a obecnÄ› nelineĂĄrnĂ­. Nelinearitu zpĹŻsobuje 2. Ä?len, kterĂ˝ mĂĄ za nĂĄsledek nĂĄroÄ?nĂŠ Ĺ™eĹĄenĂ­ a hysterezi vĂ˝sledkĹŻ, pĹ™edevĹĄĂ­m rychlosti w. AnalytickĂŠ Ĺ™eĹĄenĂ­ je moĹžnĂŠ pouze u zjednoduĹĄenĂ˝ch případĹŻ, napĹ™. kdyĹž mĂĄme moĹžnost nÄ›kterĂŠ Ä?leny (nelineĂĄrnĂ­) vynechat, a pokud je geometrie Ĺ™eĹĄenĂŠho Ăştvaru prostĂĄ. NumerickĂŠ Ĺ™eĹĄenĂ­ je reĂĄlnĂŠ a běŞnÄ› se realizuje pomocĂ­ komerÄ?nĂ­ch programĹŻ. [2] Je dĹŻleĹžitĂŠ poznamenat, Ĺže tato rovnice platĂ­ jak pro laminĂĄrnĂ­, tak pro turbulentnĂ­ proudÄ›nĂ­. NumerickĂŠ Ĺ™eĹĄenĂ­ u turbulentnĂ­ch Ăşloh, kdy se vĹĄechny parametry (w, p, Ď ) stochasticky mÄ›nĂ­, si vyĹžaduje urÄ?itou Ăşpravu N-S rovnice (ustĹ™edÄ›nĂ­ v Ä?ase).

1.5.2 Eulerova rovnice Eulerova rovnice vnikne prostĂ˝m zjednoduĹĄenĂ­m N-S rovnice, a to konkrĂŠtnÄ› zanedbĂĄnĂ­m vlivu kinematickĂŠ viskozity (đ?œˆ = 0). Je to tedy pohybovĂĄ rovnice proudÄ›nĂ­ nevazkĂŠ tekutiny. đ?œ•đ?‘¤đ?‘– đ?œ•đ?‘¤đ?‘– 1 đ?œ•đ?‘? + đ?‘¤đ?‘˜ = đ?‘…đ?‘– − đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘˜ đ?œŒ đ?œ•đ?‘– Ve statice tekutin se pouŞívĂĄ obdoba obecnĂŠ Eulerovy rovnice, tzv. Eulerova rovnice hydrostatiky, kterĂĄ vznikne odstranÄ›nĂ­m rozvedenĂŠ substanciĂĄlnĂ­ derivace na levĂŠ stranÄ›.

Dostaneme tedy: −

đ?œ•đ?‘? + đ?œŒđ?‘…đ?‘– = 0 đ?œ•đ?‘–

Pro praktickĂŠ pouĹžitĂ­ se pĹ™evĂĄdĂ­ uvedenĂĄ rovnice na tzv. tlakovou rovnici, ke kterĂŠ se dostaneme nĂĄsledujĂ­cĂ­mi Ăşpravami. − (đ?‘–⃗

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? ⃗⃗ ) = −đ?œŒ(đ?‘–⃗đ?‘…đ?‘Ľ + đ?‘—⃗đ?‘…đ?‘Ś + đ?‘˜ ⃗⃗ đ?‘…đ?‘§ ) + đ?‘—⃗ + đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘? = đ?œŒđ?‘…đ?‘Ľ |∙ đ?‘‘đ?‘Ľ , đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘? = đ?œŒđ?‘…đ?‘Ś |∙ đ?‘‘đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘? = đ?œŒđ?‘…đ?‘§ |∙ đ?‘‘đ?‘§ đ?œ•đ?‘§

,

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘‘đ?‘Ś + đ?‘‘đ?‘§ = đ?œŒ(đ?‘…đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘…đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś + đ?‘…đ?‘§ đ?‘‘đ?‘§) đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?‘‘đ?‘? = đ?œŒ(đ?‘…đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘…đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś + đ?‘…đ?‘§ đ?‘‘đ?‘§)

12

→

→

đ?œ•đ?‘? đ?‘‘đ?‘˜ = đ?œŒđ?‘…đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜ đ?œ•đ?‘˜

đ?‘‘đ?‘? = đ?œŒđ?‘…đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜

Tlakovou rovnici pouŞívĂĄme k vĂ˝poÄ?tu tlaku v libovolnĂŠm mĂ­stÄ› tekutiny, kterĂĄ je v relativnĂ­m klidu. V takovĂŠ tekutinÄ› existujĂ­ plochy s rĹŻznĂ˝m konstantnĂ­m tlakem, tzv. tlakovĂŠ hladiny. ProtoĹže v kaĹždĂŠm bodu prostoru vyplnÄ›nĂŠho tekutinou je jedinĂ˝ tlak, pĹ™echĂĄzĂ­ nĂ­m jedinĂĄ tlakovĂĄ hladina. HladinovĂŠ plochy majĂ­ v ĂşlohĂĄch hydrostatiky velkĂ˝ vĂ˝znam, pĹ™edevĹĄĂ­m vytvĂĄĹ™ejĂ­ rozhranĂ­ mezi okolitĂ˝m vzduchem a kapalinou. Rovnici tlakovĂŠ hladiny dostaneme, kdyĹž poloŞíme p = konst. tedy dp = 0. [2] đ?‘…đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘…đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś + đ?‘…đ?‘§ đ?‘‘đ?‘§ = 0 →

đ?‘…đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜ = 0

1.5.3 Bernoulliho rovnice Bernoulliho rovnice je zvlĂĄĹĄtnĂ­m případem N-S rovnice, resp. jejĂ­ nevazkĂŠ formy (tedy Eulerovy rovnice). đ?‘‘đ?‘¤đ?‘– 1 đ?œ•đ?‘? = đ?‘…đ?‘– − đ?‘‘đ?‘Ą đ?œŒ đ?œ•đ?‘–

/∙ đ?‘‘đ?‘–

đ?‘¤đ?‘– đ?‘‘đ?‘¤đ?‘– = đ?‘…đ?‘– đ?‘‘đ?‘– −

1 đ?œ•đ?‘? đ?‘‘đ?‘– đ?œŒ đ?œ•đ?‘–

∑: đ?‘¤ 2 = đ?‘¤đ?‘˜2

→

đ?‘¤đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜ = đ?‘…đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜ −

đ?‘¤đ?‘‘đ?‘¤ = đ?‘¤đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜ , đ?‘‘đ?‘? =

1 đ?œ•đ?‘? đ?‘‘đ?‘˜ đ?œŒ đ?œ•đ?‘˜

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?‘‘đ?‘Ą + đ?‘‘đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘˜

⇒

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? = đ?‘‘đ?‘? − đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ą

1 đ?œ•đ?‘? đ?‘¤đ?‘‘đ?‘¤ = đ?‘…đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜ − (đ?‘‘đ?‘? − đ?‘‘đ?‘Ą) đ?œŒ đ?œ•đ?‘Ą PoslednĂ­ rovnice vyjadĹ™uje obecnou Bernoulliho rovnici, kterou je jeĹĄtÄ› moĹžnĂŠ upravovat na zĂĄkladÄ› nĂĄsledujĂ­cĂ­ch zjednoduĹĄenĂ­.

KdyŞ budeme při řeťení úloh uvaŞovat stacionårní proudění, tedy

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘Ą

= 0, potom

Bernoulliho rovnice nabyde tvar: đ?‘¤đ?‘‘đ?‘¤ = đ?‘…đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘˜ −

đ?‘‘đ?‘? đ?œŒ

Pokud bude na tekutinu pĹŻsobit jenom gravitaÄ?nĂ­ zrychlenĂ­ (Rx = Rz = 0, Ry = -g) a uvaĹžujeme, Ĺže se jednĂĄ o nestlaÄ?itelnĂŠ proudÄ›nĂ­, pak: đ?‘¤đ?‘‘đ?‘¤ = −đ?‘”đ?‘‘đ?‘Ś − 13

đ?‘‘đ?‘? đ?œŒ

|âˆŤ

đ?‘¤2 đ?‘?

1 + đ?‘”đ?‘Ś + = đ??ś /∙ 2 đ?œŒ đ?‘”

→ đ??ľ. đ?‘… đ?‘Łđ?‘’ đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šÄ› đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘”đ?‘–Ă­

đ?‘¤2 đ?‘? +đ?‘Ś+ = đ?‘Śđ?‘? / ∙ đ?œŒđ?‘” 2đ?‘” đ?œŒđ?‘” đ?œŒ

đ?‘¤2 + đ?œŒđ?‘”đ?‘Ś + đ?‘? = đ?‘?đ??ś 2

→ đ??ľ. đ?‘… đ?‘Łđ?‘’ đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šÄ› đ?‘ŁĂ˝ĹĄđ?‘’đ?‘˜

→

đ??ľ. đ?‘…. đ?‘Łđ?‘’ đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šÄ› đ?‘Ąđ?‘™đ?‘Žđ?‘˜ĹŻ

1.5.4 Rovnice spojitosti Rovnice spojitosti (kontinuity) je zĂĄkonem zachovĂĄnĂ­ hmotnosti. JinĂ˝mi slovy, hmotnost tekutiny, kterĂĄ protĂŠkĂĄ kontrolnĂ­m objemem, musĂ­ bĂ˝t konstantnĂ­. U kontrolnĂ­ho objemu mĹŻĹžu vzniknout dvÄ› zmÄ›ny hmotnosti, a to lokĂĄlnĂ­ zmÄ›na v samotnĂŠm kontrolnĂ­m objemu (tekutina se stlĂĄÄ?Ă­ a rozpĂ­nĂĄ) a konvektivnĂ­ zmÄ›na hmotnosti, zpĹŻsobenĂĄ rozdĂ­lem vstupujĂ­cĂ­ a vystupujĂ­cĂ­ hmotnosti z kontrolnĂ­ho objemu. ObÄ› zmÄ›ny musĂ­ dĂĄvat v koneÄ?nĂŠm dĹŻsledku nulovou zmÄ›nu hmotnosti, co je moĹžnĂŠ pouze v případÄ›, kdy jsou obÄ› zmÄ›ny stejnÄ› velkĂŠ, ale s opaÄ?nĂ˝m znamĂ­nkem. Tedy jedna znamenĂĄ zvÄ›tĹĄenĂ­ a druhĂĄ zmenĹĄenĂ­ hmotnosti. [2], [5] Rovnice kontinuity v obecnĂŠm tvaru vypadĂĄ nĂĄsledovnÄ›: đ?œ•(đ?œŒ ∙ đ?‘†âƒ—) đ?œ•(đ?œŒđ?‘†âƒ—đ?‘¤ ⃗⃗⃗) + =0 đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘ ⃗ V případe, Ĺže se prĹŻĹ™ez nebude v Ä?ase mÄ›nit (uvaĹžujeme pouze zmÄ›nu polohy) a parametr hustoty budeme taky popisovat jenom z hlediska zmÄ›ny polohy, dostaneme: 0+

đ?œ•(đ?œŒđ?‘†âƒ—đ?‘¤ ⃗⃗⃗) =0 đ?œ•đ?‘ ⃗

→

đ?œŒđ?‘†âƒ—đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = đ?‘˜đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ą.

Pokud budeme povaĹžovat vĹĄechny parametry obecnĂŠ rovnice kontinuity jako promÄ›nnĂŠ a jen prĹŻĹ™ez bude konstantnĂ­, zĂ­skĂĄme: đ?œ•đ?œŒ đ?œ•(đ?œŒđ?‘¤ ⃗⃗⃗) + =0 đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘ ⃗ Uvedenou rovnici lze zapsat taky pro prostorovĂŠ proudÄ›nĂ­ a rozepsat do jednotlivĂ˝ch sloĹžek. đ?œ•đ?œŒ + ⃗∇⃗(đ?œŒđ?‘¤ ⃗⃗⃗) = 0 đ?œ•đ?‘Ą

→

đ?œ•đ?œŒ đ?œ•(đ?œŒ ∙ đ?‘¤đ?‘Ľ ) đ?œ•(đ?œŒ ∙ đ?‘¤đ?‘Ś ) đ?œ•(đ?œŒ ∙ đ?‘¤đ?‘§ ) + + + =0 đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

14

1.5.5 VÄ›ta o zmÄ›nÄ› toku hybnosti (VZTH) VZTH pĹ™edstavuje vhodnĂ˝ nĂĄstroj slouŞícĂ­ k Ĺ™eĹĄenĂ­ dynamickĂ˝ch ĂşÄ?inkĹŻ proudĂ­cĂ­ tekutiny na tÄ›leso. UplatĹˆuje se pĹ™evĂĄĹžnÄ› u lopatkovĂ˝ch strojĹŻ a celkovÄ› lze tuto metodu zaĹ™adit mezi metody typu black box. AerodynamickĂŠ ĂşÄ?inky tekutiny se totiĹž Ĺ™eĹĄĂ­ jenom na zĂĄkladÄ› znalosti stavu proudÄ›nĂ­ na tzv. kontrolnĂ­ ploĹĄe obklopujĂ­cĂ­ zkoumanĂŠ proudovĂŠ pole, kterĂŠho vlastnosti pĹ™itom nepotĹ™ebujeme znĂĄt. [2] OdvozenĂ­ VZTH vychĂĄzĂ­ z I. impulsovĂŠ vÄ›ty, kterou lze slovnÄ› interpretovat nĂĄsledujĂ­cĂ­ definicĂ­. ÄŒasovĂĄ zmÄ›na celkovĂŠ hybnosti soustavy hmotnĂ˝ch bodĹŻ je rovnĂĄ vnÄ›jĹĄĂ­ sĂ­le.

VnitĹ™nĂ­ sĂ­ly nemajĂ­ vliv na celkovou hybnost soustavy. ⃗⃗ đ?‘‘đ??ť = đ??šâƒ— đ?‘‘đ?‘Ą ⃗⃗ = đ??šâƒ— ∙ đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ??ť 2

đ?‘Ą

âˆŤ đ?‘š ∙ đ?‘‘đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = âˆŤ đ??šâƒ— ∙ đ?‘‘đ?‘Ą 1

→

đ??šâƒ— = đ?‘šĚ‡ ∙ (đ?‘¤ ⃗⃗⃗2 − đ?‘¤ ⃗⃗⃗1 )

0

Postup řeťení touto metodou je moŞnÊ shrnout do tří bodů.

1) Volba souřadnicovÊho systÊmu 2) Volba vhodnÊ kontrolní plochy 3) Zåpis VZTH ve směru souřadnicových os -

LevĂĄ strana rovnice obsahuje sĂ­ly, kterĂ˝mi tekutina uzavĹ™enĂĄ v kontrolnĂ­ ploĹĄe pĹŻsobĂ­ na kontrolnĂ­ plochu a na obtĂŠkanĂŠ tÄ›leso (znamĂ­nka se urÄ?ujĂ­ podle smÄ›ru os).

-

PravĂĄ strana rovnice sestĂĄvĂĄ ze sumy tokĹŻ hybnosti, pĹ™iÄ?emĹž se vstupnĂ­ toky znaÄ?Ă­ kladnÄ›, vĂ˝stupnĂ­ zĂĄpornÄ› a smÄ›ry tokĹŻ opÄ›t korespondujĂ­ se smÄ›ry přísluĹĄnĂ˝ch os. [2]

15