Sbirka_digiuloh

hybridní

SBÍRKA DIGIÚLOH PRO KAŽDÉHO VYUŽÍVÁME POČÍTAČ V MATEMATICE A INFORMATICE VHODNÉ PRO ŽÁKY 6. AŽ 9. TŘÍD Eduard Fuchs Eva Zelendová

digitální kompetence

Tabulka ti pomůže s výpočty Kdybychom měli sečíst čísla 8 a 15, určitě bychom počítali zpaměti. Kdybychom měli sečíst 128 a 2 694, někteří z nás by si vzali na pomoc tužku a papír. A kdybychom tato čísla měli vynásobit, neváhali bychom ani chvilku a použili bychom kalkulačku. Problém by mohl nastat, kdybychom neměli sčítat jen dvě čísla, ale třeba několik desítek nebo stovek čísel. Nebo bychom měli určité výpočty provádět několikrát s různými čísly – třeba dvanáctkrát sčítat pětice různých čísel.

Z minulé kapitoly víme, že velkým pomocníkem nám v takových situacích bude tabulkový procesor, do kterého si přehledně můžeme uspořádat velké množství údajů a provádět s nimi i velmi složité výpočty. Stačí jen najít ten správný vztah, pomocí kterého se daný problém lehce vyřeší!

V této kapitole se v Excelu naučíte upravovat šířku sloupce a výšku řádku v tabulce, slučovat buňky a zalamovat v nich text, sčítat hodnoty v libovolně rozmístěných buňkách, zapisovat logickou funkci a kopírovat tabulku.

V připravených úlohách si procvičíte výpočet obsahu obdélníku ve čtvercové síti dvěma způsoby, úpravy algebraických výrazů a hledání obecných vztahů závislých na jedné proměnné. Dozvíte se, co jsou magické čtverce a jaký zajímavý čtverec vymyslel matematik L. Euler.

9. Magické čtverce – komentovaná úloha 10. Bazénové čtverečky 11. Bazénové čtverečky podruhé 12. Kamínkový labyrint

22

www.skolasnadhledem.cz

9

MAGICKÉ ČTVERCE | KOMENTOVANÁ ÚLOHA

ZADÁNÍ

Šárka se z internetu dozvěděla, že magický čtverec je čtvercová tabulka, do které jsou vepsána čísla 1, 2, 3, …, tak, že součet čísel v každém řádku, v každém sloupci a na obou úhlopříčkách je stejný. Jako příklad zde byl uveden čtverec s čísly 1 až 25. V dalším článku se dozvěděla, že slavný matematik Euler zapsal do čtverce 8 × 8 řešení šachové úlohy, zda jezdec může na šachovnici skákat tak, aby na každé pole doskočil právě jednou (jezdec stojící na poli 1 skočí na pole 2, pak na pole 3 atd., až skončí na poli 64). Šárka si chtěla zkontrolovat, že čtverec 5 × 5 je opravdu magický, a zajímalo ji, zda Eulerův čtverec náhodou také není magický. Protože by musela vypočítat 30 součtů, rozhodla se, že si oba čtverce zapíše do tabulkového procesoru. Do zeleně vyznačených polí zapsala vzorce pro součet čísel ve sloupcích, do žlutě vyznačených polí zapsala vzorce pro součet čísel v řádcích, do oranžově a modře vyznačených polí zapsala vzorce pro součet čísel na diagonálách.

ÚKOL

Vytvořte v tabulkovém procesoru Šárčiny čtverce, pomocí vzorců zjistěte součty v řádcích, sloupcích a na diagonálách. Rozhodněte, zda jsou dané čtverce magické.

KOMENTOVANÉ ŘEŠENÍ

Řešení úkolu si rozdělíme do čtyř kroků: 1. Zakreslení čtverců 8 × 8 a 5 × 5 podle zadání a jejich vyplnění danými čísly.

2. Doplnění tabulky orámovanými a vybarvenými buňkami pro součet hodnot v řádcích, ve sloupcích a na úhlopříčkách.

3. Zapsání a zkopírování potřebných vzorců.

4. Zdůvodnění, zda jsou uvedené čtverce magické.

23

Soubory k úloze najdete na www.skolasnadhledem.cz.

Naskenujte QR kód nebo zadejte 245 023.

S mapou se neztratíš

Abychom si trochu odpočinuli od vzorců v tabulkovém procesoru, uděláme si několik výletů, jak se říká „prstem po mapě“. Plánování výletů v aplikaci Mapy.cz je uživatelsky velmi příjemné a přináší řadu číselných odpovědí na otázky: Jak je daleko od babičky k nám domů? Jak je dlouhá nejkratší cesta, když nechci chodit po silnici? Jaké mne čeká převýšení? Když si budete mapu pozorně prohlížet, uvidíte spoustu matematických zajímavostí, například geometrické obrazce nebo shodné a podobné útvary.

V této kapitole se v aplikaci Mapy.cz naučíte vyhledávat lokality, měřit délku úsečky a uzavřené čáry, určit plochu obrazce. V tabulkovém procesoru se naučíte zapisovat druhou odmocninu a číslo π, kopírovat tabulku do textového editoru, ve kterém budete umět zapsat matematické vzorce.

V připravených úlohách si procvičíte výpočet strany z obsahu čtverce, výpočet průměru z obvodu kružnice, počítání s procenty, Pythagorovu větu a podobnost trojúhelníků. Naučíte se zpřesňovat svůj odhad..

13. Není Čtverec jako čtverec – komentovaná úloha 14. Náměšť na Hané 15. Podzámecký trojúhelník 16. Černé jezero

32

www.skolasnadhledem.cz

13

NENÍ ČTVEREC JAKO ČTVEREC | KOMENTOVANÁ ÚLOHA

ZADÁNÍ

Hodina geometrie Bětce připomněla, že o prázdninách jela na kole blízko štěrkového jezera, které se jmenovalo Čtverec. Nemohla si vzpomenout, kde přesně jezero leželo. Doma si na počítači otevřela aplikaci Mapy.cz a název Čtverec napsala do vyhledávání.

ÚKOLY

1. Kolik vodních ploch s názvem Čtverec aplikace Mapy.cz nabízí?

2. Jak byste některé z těchto vodních ploch přejmenovali, aby jejich názvy byly výstižnější?

3. V aplikaci Mapy.cz zjistěte přibližnou velikost plochy všech nalezených Čtverců.

4. V tabulkovém procesoru určete velikosti strany čtverců, které mají obsah stejný, jako je plocha Čtverců.

5. V aplikaci Mapy.cz ke každému Čtverci přibližně zakreslete „čtverec se stejným obsahem“.

KOMENTOVANÉ ŘEŠENÍ

1. Aplikace Mapy.cz vám po zadání názvu Čtverec do vyhledávání nabídne řadu objektů, z toho tři vodní plochy: vodní nádrž u Chrastavy, rybník u Mutěnic a štěrkové jezero u Ostrožské Nové Vsi. 2. Vodní nádrž u Chrastavy připomíná svým tvarem spíše rovnoběžník, rybník u Mutěnic by se měl jmenovat Obdélník. Větší část štěrkového jezera u Ostrožské Nové Vsi opravdu připomíná čtverec.

3. V aplikaci Mapy.cz můžeme provádět měření obsahu rovinných útvarů velmi snadno.

Stačí kliknout v pravém dolním rohu na nabídku Nástroje a vybrat Měření vzdálenosti a plochy.

Postupným klikáním po obvodu zvoleného útvaru měříme vzdálenosti mezi dvěma sousedními body. Vyznačená čára nemusí být uzavřená, první a poslední bod se automaticky propojí a zapíše se obsah obrazce. Vyznačování bodů ukončíme protažením čáry na nabídku Ukončit měření. Jestliže se nám některý vyznačený bod nehodí, klikneme na něj pravým tlačítkem a vybereme Odebrat značku.

V připraveném souboru Úloha 13 – Pracovní list najdete naměřené údaje pro uvedené tři vodní plochy. Vaše hodnoty by se neměly od uvedených hodnot příliš lišit.

33

Soubory k úloze najdete na www.skolasnadhledem.cz.

Naskenujte QR kód nebo zadejte 245 033.

Vizualizace dat pomáhá porozumět Jistě jste se již setkali s tím, že znáte řadu informací, ale jejich shrnutí do jedné věty je obtížně srozumitelné. Nebo znáte spoustu dat, ale tabulka, která je všechna obsahuje, je velmi nepřehledná. V takových případech nám pomůže vizualizace dat např. v GeoGebře nebo v Excelu. Údaje z tabulky převedeme do vhodného grafu, text přehledně zobrazíme náčrtkem nebo pomocí zavedených schémat (např. rodokmeny, vývojové diagramy). Ke zvýraznění je dobré použít barvy, šipky, orámování apod. Ale pozor – při vizualizaci platí, že méně je někdy více!

V této kapitole se v Excelu naučíte vkládat řádky do tabulky, zakreslit skládaný pruhový graf a používat schémata ve SmartArt pro kreslení rodokmenu.

V připravených úlohách si procvičíte výpočet číselné hodnoty algebraických výrazů a logické uvažování při hledání skrytých pravidel.

17. Chladicí věže – komentovaná úloha 18. Rodinné vztahy 19. Sčítací hokejky 20. Tři barvy v obdélníku

40

www.skolasnadhledem.cz

17 X

CHLADICÍ VĚŽE | KOMENTOVANÁ ÚLOHA

ZADÁNÍ

Pan Blažek, který pracoval na stavbě 155 metrů vysoké chladicí věže elektrárny, vyprávěl, že vždy, když se během stavby díval z jeřábu dolů, viděl kruhový obvod věže. Jen průměr kruhu se během stavby měnil. Když potřeboval vědět, jaká je velikost průměru v určité výšce nad zemí, stačilo dosadit výšku za v do výrazu 0,0038 ∙ v 2 – 0,9 ∙ v + 131. ÚKOLY

1. Otevřete si připravený soubor Úloha 17 – Pracovní list. Do buněk B2, C2 a D2 zapište odpovídající vzorce, které následně zkopírujte do celé tabulky. Čísla zobrazte na dvě desetinná místa.

2. Číselné hodnoty ve sloupcích C a D využijte pro vložení skládaného pruhového grafu.

Co vám graf připomíná?

3. Pomocí tabulky a grafu odhadněte, v jaké celočíselné výšce má chladicí věž minimální průměr kruhového průřezu.

KOMENTOVANÉ ŘEŠENÍ

1. Do připravené tabulky zapíšeme do buňky B2 vzorec =(0,0038*A2*A2-0,9*A2+131). Do buňky C2 zapíšeme =-B2/2, do buňky D2 zapíšeme vzorec =B2/2. Připravené vzorce zkopírujeme do prázdných buněk, adresy se díky relativnímu adresování změní a vypočítají se odpovídající číselné hodnoty.

Nastavíme Formát buněk jako Číslo a zadáme dvě desetinná místa.

2. Myší vyznačíme číselné hodnoty ve sloupcích C a D. Na kartě Vložení vybereme Doporučené grafy.

Z nabídky vybereme skládaný pruhový graf. Můžeme upravit jeho rozměry, zadat název grafu, upravit barvu pruhů nebo číselné hodnoty na osách.

Graf svým tvarem připomíná chladicí věž jaderné elektrárny.

41

Soubory k úloze najdete na www.skolasnadhledem.cz.

Naskenujte QR kód nebo zadejte 245 041.

17 X

CHLADICÍ VĚŽE | KOMENTOVANÁ ÚLOHA

3. Z tabulky a grafu lze vypozorovat, že minimální průměr kruhového průřezu se bude vyskytovat mezi výškami 115 a 120 metrů nad zemí. V tabulce provedeme vložení nových řádků. Zvýrazníme libovolnou buňku v řádku s hodnotou 120. Po stisknutí pravého tlačítka vybereme z nabídky Vložit buňky a Celý řádek. Nový řádek se objeví nad zvýrazněnou buňkou.

Tento postup zopakujeme a do nových řádků zapíšeme výšky 116, 117, 118 a 119. Stejné nejmenší hodnoty jsou ve výšce 118 a 119 metrů nad zemí. Kdybychom pro další upřesnění zvolili zobrazení hodnoty průměru na tři desetinná místa, zjistili bychom, že nejmenší průměr se nachází ve výšce 118 metrů.

Vzorové řešení je připravené v souboru Úloha 17 – Řešení.

42

www.skolasnadhledem.cz

18 X

RODINNÉ VZTAHY

ZADÁNÍ

Břetislav rád mluví v hádankách. Jednou řekl Anežce: „Mluvil jsem s dcerou manžela sestry matky tvojí sestry.“ ÚKOL

Zakreslením rodinných vztahů v textovém editoru pomozte Anežce zjistit, s kým z její rodiny vlastně Břetislav mluvil.

BUDETE POTŘEBOVAT VYUŽITÍ PŘIPRAVENÝCH SCHÉMAT VE SMARTART

Pro zakreslení rodinných vztahů můžeme využít ve vyšších verzích textových editorů volbu připravených schémat v nabídce SmartArt na kartě Vložení.

Pro zobrazení vztahů v rodině využijeme první diagram z nabídky Hierarchie. Klikneme na něj myší a potvrdíme OK. Místo kurzoru se nám do dokumentu vloží schéma a zobrazí se nabídka na kartě Nástroje obrázku SmartArt. Nebojte se a vyzkoušejte si práci ve SmartArt!

Poznámka: Jestliže nemáte přístup k obrázkům SmartArt, vytvořte si schéma pomocí vložení obrazců a textových polí.

43

N 1 ▶ s. 61

N 2 ▶ s. 64

Ř ▶ s. 68

Soubory k úloze najdete na www.skolasnadhledem.cz.

Naskenujte QR kód nebo zadejte 245 043.

19 X

SČÍTACÍ HOKEJKY

ZADÁNÍ

Tomík je nadšeným hráčem hokeje. Doma má potřebné hokejové vybavení a dokonce pět hokejek! Ne každá hokejka je v bezvadném stavu. U modré se mu nalomila hůl a červená má zase naštípnutou čepel.

Tomík má rád i matematiku. Když se v matematickém kroužku dozvěděl, že v Pascalově trojúhelníku existují sčítací hokejky, měl velikou radost. Běžel domů, zapnul si počítač a na několika sčítacích hokejkách si získanou informaci ověřil.

hůl čepel

ÚKOLY

1. Odhalte pravidlo, které platí pro tři vyznačené hokejky v Pascalově trojúhelníku na obrázku.

2. Otevřete si připravený soubor Úloha 19 – Pracovní list. Do tabulky vpravo nahoře zapište pro pět barevně vyznačených hokejek vzorce, které ověří objevené pravidlo. Do sloupce Rovnají se vložte logickou funkci, která zapíše Ano, jestliže výpočty ověřily, že pravidlo platí, v ostatních případech logická funkce napíše Pozor!! Navrhněte, proč u modré hokejky pravidlo neplatí.

44

N 1 ▶ s. 61

Ř ▶ s. 68

Soubory k úloze najdete na www.skolasnadhledem.cz.

Naskenujte QR kód nebo zadejte 245 044.

20 X TŘI BARVY V OBDÉLNÍKU ZADÁNÍ

V Pascalově trojúhelníku můžeme kromě sčítacích hokejek najít mnoho dalších zajímavostí.

Jedné z nich si všimla Míša, když si na počítači prohlížela tabulku s Pascalovým trojúhelníkem.

Vybarvila si zeleně buňku s číslem 35. Vyznačila si v tabulce dva shodné obdélníky se společnou zelenou buňkou a vybarvila si zbývající rohové buňky v obdélnících oranžovou nebo modrou barvou (obr. 1). Protože Míša ráda řeší matematické hádanky, všimla si zajímavého vztahu mezi trojicí oranžových a trojicí modrých čísel. Ověřila si, že tento vztah platí i pro podobnou dvojici shodných obdélníků se stejnou zelenou buňkou, které mají rohové buňky vybarveny oranžově nebo modře podle stejných pravidel (obr. 2).

Obr. 1

Obr. 2

ÚKOLY

1. Otevřete si soubor Úloha 20 – Pracovní list. Pomocí připravené tabulky odhalte vztah mezi trojicí oranžových a trojicí modrých čísel z obr. 1 a 2. Doplňte text do oranžově a modře vyznačeného záhlaví tabulky.

2. Vyznačte dvojici obdélníků prostřední velikosti (obr. 3). Rohové buňky vybarvěte oranžově nebo modře podle stejných pravidel jako na obrázcích 1 a 2. Doplňte odpovídající řádek tabulky.

Obr. 3

3. Vyznačte tři dvojice stejně velkých obdélníků (jako v úkolech 1 a 2) se společnou zelenou buňkou 5 005. Rohové buňky vybarvěte oranžově nebo modře podle stejných pravidel jako na obrázcích 1 a 2. Vyplněním tabulky zjistěte, zda uvedený vztah mezi trojicemi oranžových a trojicemi modrých čísel platí i v těchto případech.

45

N 1 ▶ s. 61

Ř ▶ s. 68

Soubory k úloze najdete na www.skolasnadhledem.cz.

Naskenujte QR kód nebo zadejte 245 045.

Matematické modelování nemusí být těžké Představte si, že na tabuli zapisujete výpočet objemu „složitého“ tělesa. Na konci výpočtu si všimnete, že jeden rozměr, označený např. a, nemá mít délku 5 cm, ale 6 cm. Co uděláte? Všude, kde jste dosazovali za a číselné hodnoty, smažete pětku, napíšete šestku a vše přepočítáte. Když budete při řešení matematických úloh používat tabulkový procesor a správně si zapíšete výpočty pomocí vzorců, po zadání jiných vstupních údajů se vše samo přepočítá! Této vlastnosti můžeme s výhodou využít při matematickém modelování, kdy sledujeme změnu výsledků řešení daného problému na základě změn vstupních údajů.

V této kapitole se v Excelu naučíte zaokrouhlovat čísla a využívat funkci USEKNOUT a funkci SIGN, vyplnit sloupec tabulky posloupností čísel a pro lepší orientaci v tabulce využívat podmíněné formátování.

V připravených úlohách si procvičíte finanční matematiku, výpočet obvodu půlkružnice, určení objemu a hmotnosti tělesa, aproximaci čísla π i logické uvažování.

21. Půlnoční jezdec – komentovaná úloha 22. Dalekohled 23. Nilakantha a číslo π 24. Kamínkový labyrint podruhé

46

www.skolasnadhledem.cz

21

PŮLNOČNÍ JEZDEC | KOMENTOVANÁ ÚLOHA

ZADÁNÍ

Honza si na Autoforum.cz přečetl zajímavý článek o největší limuzíně na světě, která se jmenuje Půlnoční jezdec. Dozvěděl se, že váží 30 tun, je dlouhá 21 metrů a vysoká 4 metry.

V limuzíně se nachází tři salonky, bar a vířivka. V New Yorku si můžete limuzínu pronajmout za 900 dolarů na hodinu, objednat si však musíte tříhodinovou jízdu. O limuzínu a maximálně 40 hostů, kteří mají na baru otevřený účet, se během jízdy stará řidič, dvě hostesky, barman a operátor řídicího centra.

Honzu zajímalo, jaké by byly náklady na pronájem limuzíny při současném kurzu dolaru a jak by se náklady na pronájem měnily při změně kurzu a výšky pronájmu za jednu hodinu.

Napadlo ho, zda by existoval počet hostů, při kterém by náklady na jednoho hosta byly v korunách celočíselné. Sedl si k počítači a připravil si tabulku. ÚKOLY

1. Otevřete si soubor Úloha 21 – Pracovní list. Do menší tabulky vyplňte údaje ze zadání úlohy za předpokladu, že za jednu českou korunu dostanete 0,045 amerického dolaru, a doplňte odpovídající vzorce do buněk J5 a J7. Do buňky B2 ve větší tabulce zapište odpovídající vzorec, v buňce C2 využijte funkci USEKNOUT, která změní číslo z buňky B2 na celé číslo. Do buňky D2 zadejte logickou funkci, která zapíše 1 v případě, že se B2 rovná C2. Vzorce zkopírujte do připravených řádků tabulky.

2. Využijte Podmíněné formátování pro vybarvení buněk v sloupcích A a B v případě, že náklady na jednoho hosta jsou celočíselné. Z vybarvené tabulky snadno určíte, kolik různých počtů hostů splňuje podmínku, že náklady na jednoho hosta jsou celočíselné a zároveň menší než 3 001 Kč. Jak vysoké jsou v nalezených případech náklady na jednoho hosta? Zjištěné údaje přehledně zapište.

47

Soubory k úloze najdete na www.skolasnadhledem.cz.

Naskenujte QR kód nebo zadejte 245 047.

21

PŮLNOČNÍ JEZDEC | KOMENTOVANÁ ÚLOHA

3. Představte si, že by se kurz dolaru mohl změnit z 0,045 na 0,05 a pronájem vzrostl z 900 na 1 200 dolarů za hodinu. Sestavte všechny možné dvojice (kurz; pronájem) s uvedenými hodnotami.

4. Jen změnou hodnot v menší tabulce (větší tabulka se vám přepočítá a odpovídající buňky se samy vybarví) prozkoumejte pro všechny možné dvojice (kurz; pronájem), kolik různých počtů hostů splňuje podmínku, že náklady na jednoho hosta jsou celočíselné a zároveň menší než 3 001 Kč. U každé možnosti určete, jak vysoké jsou náklady rozpočítané na jednoho hosta. Zjištěné údaje přehledně zapište.

KOMENTOVANÉ ŘEŠENÍ

1. Do buňky J5 zapíšeme vzorec =J4*J3/J2, do buňky J7 vzorec =J5/J6. Do buňky B2 zapíšeme vzorec =J$5/A2 (musíme použít absolutní adresování, protože částka, kterou budeme rozpočítávat na jednu osobu, je uložena v buňce J5 a při kopírování se odkaz na ni nesmí změnit). V buňce C2 je nutné zapsat funkci USEKNOUT, která z čísla v buňce B2 ponechá jen celou část před desetinnou čárkou. Zapíšeme =USEKNOUT(B2). Když se číslo v buňce B2 rovná celé části v buňce C2, znamená to, že číslo v buňce B2 je číslo celé. Tuto informaci si potřebujeme zaznamenat do buňky D2 např. jedničkou. V opačném případě je v buňce B2 desetinné číslo, což si potřebujeme zaznamenat do buňky D2 např. nulou. Využijeme logickou funkci a do buňky D2 zapíšeme =KDYŽ(B2=C2;1;0).

2. Při podmíněném formátování nejprve vyznačíme oblast, ve které se formátování má provést. Protože nás zajímá počet hostů a odpovídající celočíselné náklady na jednoho hosta, vybereme oblast A2 až D41. Klikneme na kartě Domů v sekci Styly na Podmíněné formátování.

Vybereme Nové pravidlo a Určit buňky k formátování pomocí vzorce. Do řádku Formátovat hodnoty, pro které platí tento vzorec zapíšeme podmínku, při které se má formátování provést, tedy =$D2=1. Nastavíme formátování (v našem případě vybarvení buněk) a potvrdíme OK. Odpovídající řádky tabulky se samy vybarví. Poznámka: jestliže potřebujete podmíněné formátování odstranit, stačí si z nabídky Podmíněné formátování vybrat Vymazat pravidla.

Z vybarvené tabulky snadno určíme, kolik různých počtů hostů splňuje podmínku, že náklady na jednoho hosta jsou celočíselné a zároveň menší než 3 001 Kč. Jedná se o 20, 24, 25, 30, 32 a 40 hostů. Náklady na jednoho hosta můžeme přehledně zapsat např. do tabulky.

3. Dvě hodnoty kurzu dolaru a dvě hodnoty pronájmu můžeme uspořádat do čtyř dvojic (kurz; pronájem): (0,045; 900), (0,045; 1 200), (0,05; 900) a (0,05; 1 200).

48

www.skolasnadhledem.cz

21

PŮLNOČNÍ JEZDEC | KOMENTOVANÁ ÚLOHA

4. První výše uvedenou dvojici jsme již prozkoumali a přehledně zapsali do tabulky. Nyní zapíšeme do menší tabulky nový údaj. V buňce J2 ponecháme 0,045 a do buňky J3 zapíšeme 1 200. Obě tabulky se automaticky přepočítají a díky podmíněnému formátování se změní i vybarvení buněk. V tomto případě jsou jen dvě možnosti pro splnění podmínky: 32 hostů s náklady pro jednoho 2 500 korun a 40 hostů s náklady 2 000 korun. Třetí a čtvrtou dvojici prozkoumáme obdobně, měníme hodnoty v buňkách J2 a J3 v malé tabulce, údaje se přepočítají, změní se vybarvení buněk.

Ukázkové řešení najdete v souboru Úloha 21 – Řešení.

49

www.skolasnadhledem.cz