9
M A T E M A T I K A s b í r k a ú l o h s i n
l
( p r a c o v n í s e i t )
c o s x
0 , 8 7 0 , 7 7
0 , 6 4
V
0 , 5 0
0 , 3 4 0 , 1 7
C
23 z + 2 z 1 k 3 1 k 4 2 k 4
° 01 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0x
Z SY A X
å
1 , 0 0
B
y
x
| B C || B C || B C || B C | 1 1 2 2 3 3 = = = A C || A C || A C | | A C || 1 2 3
y
= 1 8 0
1 2 0
| B C | s i n a= | A B |
9 0
É Ï a @
B 3 B 2 B 1 B c a a . A b C C C C 1 2 3
<
6 0 4 5 3 6
0 12345 x
22 3 r + 3 s r s r 1 + r3
<
m e ø á e t l n e e t i m è o u k o s r p
M A T E M A T I K A 9 s b í r k a ú l o h ( p r a c o v n í s e i t )
s k o m e n t á ø e m p r o u è i t e l e
J o s e f M o l n á r L i b o r L e p í k H a n a L i k o v á B r o n i s l a v a R ù i è k o v á J a n S l o u k a
O b s a h X I . S h r n u t í a o p a k o v á n í u è i v a 8 . r o è n í k u3V I . F u n k c e 1 . V ý r a z y 3 V I I . G o n i o m e t r i c k é f u n k c e 2 . L i n e á r n í r o v n i c e 5 V I I I . J e h l a n , k u e l , k o u l e 3 . D r u h á m o c n i n a a o d m o c n i n a 7 . P ø e v o d y j e d n o t e k 4 . P y t h a g o r o v a v ì t a 8 1 . P o v r c h a o b j e m j e h l a n u 5 . M n o i n y 9 2 . P o v r c h a o b j e m k u e l e 6 . K r u h a k r u n i c e 1 0 3 . P o v r c h a o b j e m k o u l e 7 . M o c n i n y s p ø i r o z e n ý m m o c n i t e l e m 1 1 4 8 . M n o i n y b o d ù d a n é v l a s t n o s t i I X . F i n a n è n í m a t e m a t i k a a k o n s t r u k è n í ú l o h y 1 3 1 . P e n í z e a i n f l a c e 9 . S t a t i s t i k a 1 3 2 . J e d n o d u c h é ú r o k o v á n í 1 0 . V á l e c 1 4 3 . U r è o v á n í p o è t u d n í ú r o k o v é d o b y I I . L o m e n é v ý r a z y 1 5 1 . L o m e n ý v ý r a z 1 5 2 . S è í t á n í a o d è í t á n í l o m e n ý c h v ý r a z ù 1 6 3 . N á s o b e n í a d ì l e n í l o m e n ý c h v ý r a z ù1 7
4 . S l o e n é ú r o k o v á n í 5 . M i n c e , b a n k o v k y , p l a t e b n í k a r t y N ì c o n a v í c B u r z a , t ø í d n í m ì s t e è k o a b u r z a v e
3 3 3 6 3 9 3 9 4 0 4 1 4 2 4 3 4 3 4 3 4 6 4 7 4 7 4 8 5 0
I I I . R o v n i c e ( n e j e n ) s n e z n á m o u v e j m e n o v a t e l i 1 . R o v n i c e 2 . R o v n i c e s n e z n á m o u v e j m e n o v a t e l i 3 . S l o v n í ú l o h y o s p o l e è n é p r á c i 4 . N e r o v n i c e D i o f a n t o v s k é r o v n i c e
X . Z á k l a d y r ý s o v á n í 1 9 X I . Z á v ì r e è n é o p a k o v á n í 1 9 Ú l o h y z p ø i j í m a c í c h z k o u e k 2 0 n a è t y ø l e t á g y m n á z i a 2 1 2 2 Ú l o h y z M a t e m a t i c k é h o k l o k a n a k a t e g o r i e K a d e t 2 2
5 3
I V . S o u s t a v y l i n e á r n í c h r o v n i c 1 . Z á k l a d n í p o j m y a m e t o d y ø e e n í 3 . S l o v n í ú l o h y
2 3X I . V ý s l e d k y v y b r a n ý c h c v i è e n í 2 3 2 5
6 6
V . P o d o b n o s t 1 . P o d o b n o s t g e o m e t r i c k ý c h ú t v a r ù 2 . P o d o b n o s t t r o j ú h e l n í k ù 3 . S o u h r n n á c v i è e n í
5 5 6 2 6 4
2 8 2 8 2 9 3 0
R e c e n z o v a l i : R N D r . R ů e n a B l a k o v á , C S c . , D o c . P h D r . B o h u m i l N o v á k , C S c . , M g r . J a n a V a ňk o v á S c h v á l i l o M M T è j . M S M T 1 2 0 5 / 2 0 1 3 2 1 0 d n e 1 5 . 2 . 2 0 1 3 k z a ø a z e n í d o s e z n a m u u è e b n i c p r o z á k l a d n í v z d ěl á v á n í j a k o s o u è á s t u c e l e n é ø a d y u è e b n i c p r o v z d ěl á v a c í o b o r M a t e m a t i k a a j e j í a p l i k a c e s d o b o u p l a t n o s t i e s t l e t . © P R O D O S , 2 0 0 1 I S B N 9 7 8 8 0 7 2 3 0 4 5 5 4
I . S h r n u t í a o p a k o v á n í u è i v a 8 . r o è n í k u 1 V ý r a z y 1 V y p o è í t e j h o d n o t u v ý r a z ù . . 5 ( 4 + 5 ) = 4 a ) 5 . ( 3 8 ) 3 = b ) 1 5 . ( 3 + 7 ) ( 5 6 ) = c ) 1 0 d ) ( 6 8 ) : ( 4 6 ) = 1
e ) 4 0 : ( 2 5 2 0 ) = 8 f ) ( 1 8 1 3 ) ( 7 9 ) = 7 . g ) ( 5 : 8 0 ) 8 0 = 5 h ) ( 1 9 5 ) : ( 1 4 7 ) =2
2 V y p o è í t e j . . { ( 1 5 2 8 ) + 1 1 } : ( 5 ) =a ) 2 b ) 1 0 0 : { 9 + [ 5 ( 1 0 2 ) 1 ] } = 2 0 . { [ 1 8 : ( 9 6 ) 2 ] } ( 0 1 2 ) = c ) 2 4
3 U m í z a p s a t ? V y p o è í t e j : . . 5 1 2 0 = 0 a ) s o u è i n è í s e l 5 , 1 2 , 0 8 0 : 5 = 1 6 b ) p o d í l è í s e l 8 0 a 5 . 1 4 4 = 5 6 c ) s o u è i n è í s e l 1 4 a 4 7 + 8 7 = 9 4 d ) s o u è e t è í s e l 7 a 8 7 . 5 6 1 7 = 1 3 e ) r o z d í l p ì t i n á s o b k u è í s l a 6 a è í s l a 1 7 . f ) t r o j n á s o b e k è í s l a 1 9 3 1 9 = 5 7 ( 4 0 + 8 ) : 6 = 8 g ) p o d í l s o u è t u è í s e l 4 0 a 8 a è í s l a 6
4 1 4 a ) V y p o è í t e j a u p r a v n a z á k l a d n í t v a r : -
9
2 8 7 4 3 3 6 1 b ) V y p o è í t e j a u p r a v n a z á k l a d n í t v a r :: 8 2 0 5 5 3 1 . 7 = 4 c ) V y p o è í t e j t ø i p ì t i n y z e s e d m i . 5 5 3 2 2 . = d ) V y p o è í t e j d v ì t ø e t i n y z e t ø í p ì t i n . 5 5 3 1 5 a 3 5 e ) R o z d ì l 5 0 o ø e c h ù v p o m ì r u 3 : 7 . 2 % f ) K o l i k p r o c e n t j e 8 K è z 4 0 0 K è ? . . . 1 5 0 = 2 3 5 5 g ) R o z l o n a s o u è i n p r v o è í s e l è í s l o 1 5 0 . . . . . . . 3 5 0 = 2 5 5 7 , 1 4 0 = 2 2 5 7 , h ) V y p o è í t e j n e j v ì t í h o s p o l e è n é h o d ì l i t e l e è í s e l 3 5 0 a 1 4 0 . D ( 3 5 0 , 1 4 0 ) = 7 0
5 Z a p i a v y p o è í t e j : a ) s o u è e t p o d í l u è í s e l 4 a 8 a p o d í l u è í s e l k n i m o p a è n ý c h , 1 b ) r o z d í l p o d í l u è í s e l 4 a 4 a p o d í l u è í s e l k n i m p ø e v r á c e n ý c h , 0 c ) k r o z d í l u è í s e l 7 a 5 p ø i è t i è í s l o o p a è n é k j e j i c h s o u è t u . 1 0
6 V e d v o u ø a d á c h p o d s e b o u j s o u n a p s á n a è í s l a . K a d á ø a d a m á t ø i è í s l a , v e s p o d n í ø a d ì t ø e t í è í s l o c h y b í . O d h a l s y s t é m a t ø e t í è í s l o d o p l ò . a ) 6 5 4 7 9 8 ?
c ) 2 4 8 e ) 2 5 1 5 1 0 2 ø e e n í : 1 2 ( p ø í p . 1 1 ) 5 2 3 6 ? 3 ?
b ) 6 8 1 2 6 3 4 ?
d ) 5 7 8 1 4 2 ?
3
f ) 4 0 3 0 1 0 0 5 0 2 0 1 5 ?
S h r n u t í a o p a k o v á n í u è i v a 8 . r o è n í k u
7 U r è i , k t e r é v ý r a z y j s o u v ý r a z y s p r o m ì n n o u a k t e r é j s o u v ý r a z y è í s e l n é . . a ) z + 8 6 . b ) 3 , 4 7 + 2 c ) 4 m
.. g ) a b c . h ) 6 ( 2 a + b ) . i ) 2 q + 1 7 è í s e l n é v ý r a z y b ) , d )
d ) 8 , 5 : 5 e ) 1 0 + 1 , 1 r . f ) 2 y + 6
8 T a b u l k a u k a z u j e p o è e t n a n u k ù , k t e r é p r o d a l a M a r k é t a n a k o u p a l i t i v p r ù b ì h u t ý d e n n í b r i g á d y . K o l i k n a n u k ù p r o d a l a v j e d n o t l i v ý c h d n e c h ? ( D á s e o è e t n a n u k ù d e np z t é t o t a b u l k y z j i s t i t n ì c o z a j í m a v é h o ? ) Z a p i p o è e t n a p o n d ì l í 4 8 n 1 0 n u k ù v j e d n o t l i v ý c h d n e c h , j e s t l i e v e s t ø e d u p r o d a l a ú t e r ý 3 6 n 2 2n n a n u k ù . s t ø e d a 5 8 n è t v r t e k
7 3 n + 1 5
p á t e k
6 n 5 2
s o b o t a
5 n 5 3
n e d ì l e
7 2 n + 1 4
9 P ø e k r e s l i s i n á s l e d u j í c í t a b u l k u a d o p l ò j i . 1 x4 2 0 1 4 2
2 1 / 21 42 1 / 2 x
x44 20 1 / 2 + 1+ 11 1 5751 7 4 x 1
1 0 P o m o c í è í s l a x z a p i : a ) x + 1 6 è í s l o , k t e r é j e o 1 6 v ì t í n e x , b ) x + 5 + 2 è í s l o , k t e r é j e o 2 v ì t í n e x z v ì t e n é o 5 , c ) 5 x / 2 è í s l o , k t e r é j e 2 k r á t m e n í n e p ì t i n á s o b e k x , d ) x 7 è í s l o , k t e r é j e o 7 m e n í n e x , e ) 4 x 3 è í s l o , k t e r é j e o 3 m e n í n e è t y ø n á s o b e k x , f ) x 2 5 è í s l o , k t e r é j e o 5 m e n í n e p ì t i n á s o b e k x z m e n e n ý o 2 .5
1 1 U r è i p o è e t è l e n ù u v e d e n ý c h m n o h o è l e n ù . a ) 2 3 x + ( 3 ) b ) 5 7 x + 4 x y + 2 z + 2 t + 1
c ) 1 2 y + 2 + 3 x3 . . d ) 2 ( 4 a 5 ) 2 r s
1 2 S e è t i ( z j e d n o d u ) . a ) 1 4 x 7 x + 7 x b ) 9 a 3 a + 6 a c ) 4 y 6 y 2 y
d ) 2 z 5 z 7 ze ) t 2 r 6 t 2 r t5 f ) 2 a 3 b 4 a 2 a 3 b
4
g ) 0 x + 4 4 0 x 2 + 6 4 . h ) 0 t + 2 u + 0 5 t 2 u i ) b 3 b 6 b 3 + 4 b-
S h r n u t í a o p a k o v á n í u è i v a 8 . r o è n í k u
1 3 J s o u d á n y v ý r a z y A = 3 a + 1 ; B = 1 a ; C = 2 a 4 . S e s t a v a z j e d n o d u n á s l e d u j í c í v ý r a z y . a ) A + B + C 2 b ) A B + C 2 a 4
c ) A B C 6 a + 4 d ) A + ( B C ) 4 a + 6
1 4 R o z n á s o b z p a m ì t i . . a ) 2 ( x + 3 ) = 2 x + 6 . 8 y + 2 0 b ) 4 ( 2 y + 5 ) =
. c ) 3 ( 4 t 5 u ) = 1 2 t + 1 5 u . 1 2 + 2 a d ) ( 6 + a ) 2 =
1 5 R o z n á s o b a z j e d n o d u . . a ) 5 x + 3 ( 4 x + 2 ) = 1 7 x + 6 . b ) 5 a 2 ( 3 b + 2 a ) = a 6 b . 8 y 0 , 8 x c ) 4 ( y 0 , 2 x ) + 4 y =
. d ) c ( a 2 b 1 ) = c a 2 b c c . e ) 3 ( 2 z ) 4 z = 7 z + 6 2 c + 4 x y f ) x y ( 2 c 3 y x ) + 4 c =
1 6 R o z n á s o b . . . a b + 2 a + 5 b + 1 0 d 4 t 7 + 6 x t 3 x a ) ( a + 5 ) ( b + 2 ) = ) ( 7 + 3 x ) ( 2 t 1 ) =1 . . b ) ( x 4 ) ( 4 y ) = ) ( r 2 ) ( s + 4 t + 2 ) =r 4 x x y 1 6 + 4 y e s + 4 r t + 2 r 2 s 8 t 4 . . 6 2 a + 3 b a b x 3 u + v x 3 v 2 x + 6 c ) ( 3 a ) ( 2 + b ) = f ) ( u + v 2 ) ( x 3 ) =u
1 7 V y d ì l m n o h o è l e n y . a ) 3 6 x : 4 = 9 x 4 0 x b ) 8 x : 0 , 2 =
c ) ( 4 x + 1 2 y ) : 2 = 2 x + 6 y 2 x + 9 y 5 0 d ) ( 1 6 x + 7 2 y 4 0 0 ) : 8 =
1 8 D ì l a z a p i p o d m í n k y , k t e r é m u s í p l a t i t p r o j m e n o v a t e l e . a ) 2 0 r s : s = 2 0 r ; s ¹ 0 1 0 y ; x ¹ 0 b ) 3 0 x y : 3 x =
c ) ( 2 , 5 m n 1 , 5 m n ) : 5 m = 0 , 2 n ; m ¹ 0 2 x + 9 z 2 u ; y ¹ 0 d ) ( 1 4 x y + 6 3 y z 1 4 u y ) : 7 y =
2 L i n e á r n í r o v n i c e 1 R o z h o d n i , k d y s e j e d n á o r o v n o s t a k d y o r o v n i c i . . a ) 7 ( 4 + 3 ) = 3 ( 4 4 ) r o v n o s t b ) y 6 = 6 r o v n i c e r o v n i c e c ) 3 z = 2 4
. d ) 1 0 0 4 = 1 0 0 + 1 0 0 + 2 0 0 r o v n o s t . . e ) a ( 1 1 a ) = a ( a + 3 ) + 4 r o v n i c e r o v n i c e f ) a a = a a
2 Ø e r o v n i c e a p r o v e ï z k o u k y . a ) y + 5 = 1 2 b ) x 8 = 4 c ) 5 z = 1 4 1 d ) k = 8 4
z = 2 , 8
e ) 2 z + 3 = 3 z + 4 f ) 5 3 u = u g ) t 2 = 3 t 4
k = 3 2
. n e k o n e è n ì m n o h o ø e e n í h ) 4 d + 1 = 0 , 2 ( 2 0 d + 5 )
y = 7 x = 1 2
3 Ø e r o v n i c e . a ) ( 5 8 ) = 3 y 2
P o k u s s e ø e i t r o v n i c e ú l o h y 2 z p a m ì t i .
y = 1 / 3
. x = 3 b ) 4 ( 4 1 ) = 6 x 6
w w c )= 2 1 2 1 4 p d )= 8
5
z = 1 1 u = 1 4 t = 1
w = 0 p = 1 / 3 2