MATEMATIKA
9
ISBN 978-80-7230-453-0
J o s e f M o l n á r L i b o r L e p í k H a n a L i k o v á J a n S l o u k a B r o n i s l a v a R ù i è k o v á
M A T E M A T I K A 9
P R O D O S
S c h v á l i l o M ŠM T č. j . : M S M T –3 6 5 6 3 / 2 0 1 8 d n e 1 2 . p r o s i n c e 2 0 1 8 k z a ø a z e n í d o s e z n a m u u è e b n i c p r o z á k l a d n í v z d ěl á v á n í j a k o s o u è á s t u c e l e n é ø a d y u è e b n i c p r o v z d ěl á v a c í o b o r M a t e m a t i k a a j e j í a p l i k a c e s d o b o u p l a t n o s t i e s t l e t . R e c e n z o v a l i : R N D r . R ù e n a B l a k o v á , d o c . P h D r . B o h u m i l N o v á k , C S c . , M g r . J a n a V a ò k o v á © P R O D O S , 2 0 0 1 , 2 0 2 1 I S B N 9 7 8 8 0 7 2 3 0 1 0 9 6 4 5 3 0
O b s a h I . S H R N U T Í A O P A K O V Á N Í U È I V A 8 . R O È N Í K U 1 . V ý r a z y 2 . L i n e á r n í r o v n i c e 3 . D r u h á m o c n i n a a o d m o c n i n a 4 . P y t h a g o r o v a v ì t a 5 . M n o i n y 6 . K r u h a k r u n i c e 7 . M o c n i n y s p ø i r o z e n ý m m o c n i t e l e m 8 . M n o i n y b o d ù d a n é v l a s t n o s t i a k o n s t r u k è n í ú l o h y 9 . S t a t i s t i k a 1 0 . V á l e c
5 5 7 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 5 1 5 1 6
I I . L O M E N É V Ý R A Z Y 1 . L o m e n ý v ý r a z 2 . S è í t á n í a o d è í t á n í l o m e n ý c h v ý r a z ù 3 . N á s o b e n í a d ì l e n í l o m e n ý c h v ý r a z ù 4 . U m o c ò o v á n í l o m e n ý c h v ý r a z ù
1 7 1 7 1 9 2 0 2 1
I I I . R O V N I C E ( N E J E N ) S N E Z N Á M O U V E J M E N O V A T E L I 1 . R o v n i c e 2 . R o v n i c e s n e z n á m o u v e j m e n o v a t e l i 3 . S l o v n í ú l o h y o s p o l e è n é p r á c i 4 . N e r o v n i c e 5 . S o u h r n n á c v i è e n í
2 2 2 2 2 3 2 5 2 7 2 8
I V . S O U S T A V Y L I N E Á R N Í C H R O V N I C 1 . Z á k l a d n í p o j m y a m e t o d y ø e e n í 2 . G r a f i c k é ø e e n í s o u s t a v y l i n e á r n í c h r o v n i c 3 . S l o v n í ú l o h y 4 . S o u h r n n á c v i è e n í
2 9 2 9 3 4 3 7 3 9
V . P O D O B N O S T 1 . P o d o b n o s t g e o m e t r i c k ý c h ú t v a r ù 2 . P o d o b n o s t t r o j ú h e l n í k ù 3 . S o u h r n n á c v i è e n í 4 . S t e j n o l e h l é ú t v a r y
4 1 4 1 4 5 4 9 5 3
V I . F U N K C E 1 . H i s t o r i e p o j m u f u n k c e 2 . P o j e m f u n k c e 3 . F u n k c e r o s t o u c í , k l e s a j í c í , k o n s t a n t n í 4 . L i n e á r n í f u n k c e 5 . G r a f l i n e á r n í f u n k c e
5 6 5 6 5 6 5 8 5 9 6 0
3
6 . P ø í m á ú m ì r n o s t 7 . N e p ø í m á ú m ì r n o s t 8 . K v a d r a t i c k á f u n k c e
6 2 6 3 6 5
V I I . G O N I O M E T R I C K É F U N K C E O S T R É H O Ú H L U 1 . P o m ì r y d é l e k s t r a n p r a v o ú h l é h o t r o j ú h e l n í k u 2 . F u n k c e y = s i n x 3 . F u n k c e y = c o s x 4 . F u n k c e y = t g x 5 . Ø e e n í p r a v o ú h l é h o t r o j ú h e l n í k u 6 . S l o v n í ú l o h y
6 8 6 8 6 9 7 1 7 2 7 4 7 7
V I I I . J E H L A N , K U E L , K O U L E 1 . O p a k o v á n í 2 . J e h l a n 3 . S í j e h l a n u 4 . O b j e m a p o v r c h j e h l a n u 5 . K u e l , s í k u e l e 6 . O b j e m a p o v r c h k u e l e 7 . K o u l e , o b j e m a p o v r c h 8 . M n o h o s t ì n y a P l a t o n o v a t ì l e s a
7 9 7 9 8 1 8 2 8 2 8 5 8 5 8 8 8 9
I X . F I N A N È N Í M A T E M A T I K A 1 . P e n í z e a i n f l a c e 2 . J e d n o d u c h é ú r o k o v á n í 3 . U r è o v á n í p o è t u d n í ú r o k o v é d o b y 4 . S l o e n é ú r o k o v á n í 5 . M i n c e , b a n k o v k y a p l a t e b n í k a r t y
9 1 9 1 9 2 9 6 9 8 1 0 0
X . Z Á K L A D Y R Ý S O V Á N Í 1 . D r u h y è a r , t e c h n i c k é p í s m o 2 . K ó t o v á n í 3 . P r a v o ú h l é p r o m í t á n í n a d v ì v z á j e m n ì k o l m é p r ù m ì t n y 4 . B o k o r y s
1 0 2 1 0 2 1 0 5 1 1 0 1 1 6
X I . Z Á V Ì R E È N É O P A K O V Á N Í
1 1 9
P ø e h l e d è a s t o p o u í v a n ý c h z n a è e k
1 2 6
4
I . S h r n u t í a o p a k o v á n í u è i v a 8 . r o è n í k u 1 V ý r a z y
K t e r á z d í v e k m á p ø í j e m n ì j í v ý r a z ?
V y p o è í t e j t e h o d n o t u v ý r a z ù . 1 . a ) 4 ( 3 + 5 ) = . b ) ( 4 –3 ) 4 = . c ) ( 2 + 6 ) ( 4 –6 ) = d ) ( 6 –2 ) : ( 4 –2 ) =
e ) 3 0 : ( 1 5 –1 0 ) = f ) ( 8 –3 ) –( 6 –9 ) = . g ) ( 4 : 6 ) 6 = h ) ( 1 2 –4 ) : ( 1 4 –1 0 ) =
V y p o è í t e j t e . 2 . . a ) { ( 1 6 –2 7 ) + 8 } : ( –5 ) = c ) { [ 1 5 : ( 8 –5 ) ] 2 } –( 3 –1 2 ) = . b ) 1 0 0 : { 8 + [ 5 –( 4 –2 ) –1 ] } = d ) ( 2 6 : 2 –1 4 ) –( –1 ) 2 = U m í t e z a p s a t ? V y p o è í t e j t e . 3 e ) r o z d í l t r o j n á s o b k u è í s l a 7 a 1 5 f ) d v o j n á s o b e k è í s l a 3 5 g ) p o d í l s o u è t u è í s e l 1 0 a 5 a è í s l a 3
a ) s o u è i n è í s e l 4 , 1 7 , –1 b ) p o d í l è í s e l 9 0 a 9 c ) s o u è i n è í s e l 1 3 a 5 d ) s o u è e t è í s e l 4 a 1 4
5 3
a ) V y p o è í t e j t e a u p r a v t e n a z á k l a d n í t v a r :– 4 6 4 5 9 b ) V y p o è í t e j t e a u p r a v t e n a z á k l a d n í t v a r : :
2 7 4 5
c ) V y p o è í t e j t e t ø i è v r t i n y z e e s t i . d ) V y p o è í t e j t e d v ì p ì t i n y z e t ø í è t v r t i n . e ) R o z d ì l t e 6 4 h r u e k v p o m ì r u 3 : 5 . f ) K o l i k p r o c e n t j e 7 K è z 5 6 K è ? g ) R o z l o t e n a s o u è i n p r v o è í s e l è í s l o 1 7 6 . h ) V y p o è í t e j t e n e j v ì t í h o s p o l e è n é h o d ì l i t e l e è í s e l 6 0 a 1 0 8 . Z a p i t e a v y p o è t ì t e : 5 a ) r o z d í l p o d í l u è í s e l 3 a 7 a p o d í l u è í s e l k n i m o p a è n ý c h , b ) r o z d í l p o d í l u è í s e l 3 a 5 a p o d í l u è í s e l k n i m p ø e v r á c e n ý c h , c ) k r o z d í l u è í s e l 5 a –7 p ø i è t ì t e è í s l o o p a è n é k j e j i c h s o u è t u . V e d v o u ø a d á c h p o d s e b o u j s o u n a p s á n a è í s l a . K a d á ø a d a m á t ø i è í s l a , v e s p o d n í 6 ø a d ì t ø e t í è í s l o c h y b í . O d h a l t e s y s t é m a d o p l ò t e t o t o è í s l o . a ) 4 6 1 6 8 ?
b ) 2 4 8 5 1 0 ?
c ) 1 5 1 0 2 0 3 2 ?
5
U r è e t e h o d n o t u v ý r a z ù 3 a + 4 , 9 b –6 a t d . U è i t e l n a p í e n a t a b u l i l i b o v o l n é v ý r a z y . S l o v y z a d á v á h o d n o t y p r o m ì n n é , á c i t y t o h o d n o t y d o s a z u j í d o v ý r a z ù a p o è í t a j í .
v ý r a z y j s o u U r è e t e , k t e r é v ý r a z y j s o u v ý r a z y s p r o m ì n n o u a k t e r é è í s e l n é . 7 a ) y + 6 . b ) 3 6 + 8 c ) 2 –v
d ) 3 , 5 : 7 e ) 1 + 2 –c f ) –x + 6
g ) v · t . h ) 3 ( x + 3 ) . i ) 6 x + 1 4
v d a n ý c h è a s o v ý c h i n t e r v a l e c h k o l e m T a b u l k a u k a z u j e p o è e t a u t , k t e r á p r o j e l a 8
| || || || |||||||| ||| |||| |
T o m á e p o z o r o v a t e l e . K o l i k a u t T o m á v j e d n o t l i v ý c h è a s o v ý c h i n t e r v a l e c h z a z n a m e n a l ? Z a p i t e p o è e t a u t v h o d i n o v ý c h i n t e r v a l e c h , j e s t p o è e t a u t è a s l i e o d 8 . 0 0 h d o 9 . 0 0 h v i d ì l T o m á n a u t . 8 . 0 0 9 . 0 0 | | | | | | | | | | | | | | | 9 . 0 0 1 0 . 0 0 | | | | | | | | | | | | | 1 0 . 0 0 1 1 . 0 0 | | | | | | | | | | 1 1 . 0 0 1 2 . 0 0 | | | | | | | | | | | | 1 2 . 0 0 1 3 . 0 0 | | | | | | | | | | | | 1 3 . 0 0 1 4 . 0 0 | | | | | | | | 1 4 . 0 0 1 5 . 0 0 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 5 . 0 0 1 6 . 0 0 | | | | | | | | | | | | | | | P ø e k r e s l e t e s i 9
x + 21 0
n á s l e d u j í c í t a b u l k u a d o p l ò t e j i .
1 2
–1–2
1 x
–x 2 x + 1 P o m o c í è í s l a k n a p i t e : 1 0 a ) è í s l o , k t e r é j e o 5 v ì t í n e k , b ) è í s l o , k t e r é j e o 3 v ì t í n e k z v ì t e n é o 3 , c ) è í s l o , k t e r é j e d v a k r á t m e n í n e t r o j n á s o b e k k , d ) è í s l o , k t e r é j e o t ø i m e n í n e k , e ) è í s l o , k t e r é j e o p ì t m e n í n e t r o j n á s o b e k k , f ) è í s l o , k t e r é j e o 4 m e n í n e p ì t i n á s o b e k k z m e n e n ý o 3 . U r è e t e p o è e t è l e n ù u v e d e n ý c h m n o h o è l e n ù . 1 1 a ) 2 x + 3 y –3
b ) 6 x y + 3 x z + 2 x + 2 yc ) 6 x y + 2
S e è t ì t e ( z j e d n o d u t e ) . 1 2 a ) 2 x + 4 x b ) 6 a + 8 a c ) 5 y –2 y
d ) 7 z –9 z e ) 4 t + 3 r + 5 t f ) 1 2 s –2 r –9 s
6
g ) 1 5 m + 7 + 9 h ) x + y + 1 –y –x i ) u –5 u –1 + 2 u
J s o u d á n y v ý r a z y A = 2 x – 1 ; B = 2 – x ; C = –3 x – 5 . S e s t a v t e a z j e d n o d u t e 1 3 n á s l e d u j í c í v ý r a z y .
a ) A + B + C b ) A –B + C
c ) A –B –C d ) A + ( B –C )
R o z n á s o b t e z p a m ì t i . 1 4 . a ) 4 ( a + 2 ) = . b ) 3 ( 2 b + 4 ) =
. c ) –5 ( 4 c –3 d ) = . d ) ( 3 –p ) 3 =
V s á è k u j e n j a b l e k . T ø i z n i c h j s o u z r a l á . K o l i k j a b l e k j e n e z r a l ý c h ?
R o z n á s o b t e a z j e d n o d u t e . 1 5
V í t e , e v a í m . . . a ) 3 x + 6 ( 2 x + 1 ) =c ) 7 ( x –0 , 2 y ) + 2 y = e ) 2 ( 5 –x ) –2 x = i d e n t i f i k a è n í m . . n a k e m j e r o d n é b ) 4 a –2 ( x + a ) = d ) a ( b + 2 c + 1 ) =f ) a b –( 2 a –3 a b ) + 4 a =z
R o z n á s o b t e . 1 6
. . a ) ( x + 4 ) ( y + 2 ) = c ) ( 5 –x ) ( 1 + y ) =e ) ( x –2 ) · ( y –2 z + 4 ) = . . b ) ( a –3 ) ( 3 –b ) = d ) ( 3 + 2 x ) ( 4 y –5 ) = f ) ( c + 4 –2 b ) · ( a –3 ) =
V y d ì l t e m n o h o è l e n y . 1 7 a ) 4 8 k : 4 = b ) 2 0 a : 0 , 5 =
c ) ( 5 x + 2 0 y ) : 5 = d ) ( 6 r + 2 7 s –3 0 ) : 3 =
D ì l t e a z a p i t e p o d m í n k y , k t e r é m u s í p l a t i t p r o j m e n o v a t e l e . 1 8 ! R O Z a ) 2 x y : x = O P U . O T LÌ I L U N b ) 2 1 i j : 3 i = D E Z L E N
c ) ( 2 5 a b –1 5 a ) : 5 a = d ) ( 2 1 x y + 7 0 x z –2 1 x u ) : 7 x =
2 L i n e á r n í r o v n i c e R o z h o d n ì t e , k d y s e j e d n á o r o v n o s t a k d y o r o v n i c i . 1 . a ) 5 + ( 4 + 3 ) = 3 4 c ) 1 2 y = 2 4 e ) z ( 1 –3 ) = 1 2 –( 4 + 3 ) . . b ) x –3 = 6 d ) 2 2 5 4 = 1 0 0 + 1 0 0 f ) a –a = 0 Ø e t e r o v n i c e a p r o v e ï t e z k o u k y . 2 a ) x + 2 = 4 b ) y –4 = 2 c ) 2 z = 1 1 1 d ) k = 9 3
e ) 2 x + 1 = 3 x + 4 f ) 5 –4 a = a g ) r –4 = 2 r –4 . h ) 1 , 5 u + 2 , 5 = 0 , 5 ( 3 u + 5 )
7
è í s l o ? P r v n í d v ì m í s t a o d p o v í d a j í p o s l e d n í m u d v o j è í s l í r o k u n a r o z e n í , d r u h á d v ì m í s t a m ì s í c i ( u e n s e k è í s l u m ì s í c e p ø i p o è í t á v á 5 0 ) a t ø e t í d v ì m í s t a d n i n a r o z e n í . P o l o m í t k u n á s l e d u j e è t y ø m í s t n é ( u s t a r í c h o b è a n ù t ø í m í s t n é ) è í s l o o z n a è u j í c í p o ø a d í c h l a p c ù a d ì v è a t n a r o z e n ý c h v j e d n o m d n i . K a d é è í s l o j e d ì l i t e l n é 1 1 b e z e z b y t k u . O v ì ø t e : R o d n é è í s l o 8 4 0 3 2 6 / 5 3 4 8 p a t ø í c h l a p c i , k t e r ý s e n a r o d i l 2 6 . b ø e z n a 1 9 8 4 . R o d n é è í s l o 9 6 5 4 1 2 / 1 2 4 6 p a t ø í d í v c e , k t e r á s e n a r o d i l a 1 2 . d u b n a 1 9 9 6 . R o d n é è í s l o 9 6 6 2 1 5 / 1 2 4 6 p a t ø í d í v c e , k t e r á s e n a r o d i l a 1 5 . p r o s i n c e 1 9 9 6 .
D ì l i t e l n o s t 1 1 È í s l o j e d ì l i t e l n é 1 1 , j e s t l i e c i f e r n ý s o u è e t è í s e l n a l i c h ý c h m í s t e c h d a n é h o è í s l a j e r o v e n c i f e r n é m u s o u è t u è í s e l n a s u d ý c h m í s t e c h , n e b o j e l i r o z d í l t ì c h t o d v o u c i f e r n ý c h s o u è t ù d ì l i t e l n ý 1 1 . P ø í k l a d :
Ø e t e r o v n i c e . 3
( x + 2 ) x + 2 c ) = 36
m 5 f )= 4 1 2 3 –2 k g )= 4 ( 3 s –2 ) s 1 + h ) = 24 4
. d ) 6 y –4 = 2 ( 3 y + 1 )
. . i ) 5 a –2 ( a + 2 ) = 9 a –2 ( 2 + 3 a )
. e ) 1 2 x –1 5 = 3 ( 4 x –5 )
x 2 x 2 =+ 1 j )– 1 3 67
a ) | 3 –7 | = 2 x + 1 . b ) 2 | –4 –1 | = 5 x –5
6 4 0 4 2 2 0 8 8 9 s = 6 + 0 + 2 + 0 + 8 = 1 6 1 s = 4 + 4 + 2 + 8 + 9 = 2 7 2 s – s = 2 7 – 1 6 = 1 1 2 1 1 1 j e d ì l i t e l n é j e d e n á c t i , a t e d y i è í s l o 6 4 0 4 2 2 0 8 8 9 j e d ì l i t e l n é 1 1 . Z n á t e J á r u C i m r m a n a ? J i v s e d m i l e t e c h ø e i l r o v n i c e o d v o u n e z n á m ý c h . Z d e j e z á p i s j e h o ø e e n í :
. . a ) Z e v z o r c e V = a b c v y j á d ø e t e a . 4
. b ) Z e v z o r c e o = 2 ( a + b ) v y j á d ø e t e b . . . c ) Z e v z o r c e p = h q g v y j á d ø e t e h .
J o s e f j e o 5 c m v y í n e J a n a a o 4 c m m e n í n e M a r k é t a . M i r e k j e o 2 c m m e n í 5 n e J o s e f . S e ø a ï t e á k y o d n e j m e n í h o k n e j v ì t í m u .
S o u è e t t ø í p o s o b ì j d o u c í c h p ø i r o z e n ý c h è í s e l j e 7 2 . U r è e t e t a t o è í s l a . 6
9 + 3 x = 9 y + 3 y + x = 9 + 3 + 9 + 3 P ø i è t e m e l i k m y l e n é m u è í s l u 1 2 0 , d o s t a n e m e o 3 6 v í c e , n e k d y m y šl e n é 7 y + x = 2 4 čí s l o n á s o b í m e 5 . U r è e t e m y l e n é è í s l o . y = 2 x = 4
V e d v o u p o l i c í c h j e 4 2 0 k n i h . V e v ì t í p o l i c i j e o 1 0 4 k n i h v í c e n e v m e n í 8 J e t o t o ø e e n í s p r á v n é ? J e s p r á v n ý p o s t u p p ø i ø e e n í ? J a k é c h y b y C i m r m a n p ø i ø e e n í u d ì l a l ?
p o l i c i . U r è e t e p o è e t k n i h v p o l i c í c h .
V o j t a u e l p r v n í d e n p o l o v i n u c e s t y , d r u h ý d e n t ø e t i n u c e s t y a p o s l e d n í d e n 9 1 2 k m . J a k d l o u h á b y l a c e s t a ?
1
z a n í m C y k l i s t a v y j e l z m ì s t a r y c h l o s t í 1 8 k m / h . Z a 1 h o d i n y v y j e l m o t o c y k l i s t a 1 0 2 t ý m s m ì r e m a d o h o n i l h o z a 5 0 m i n u t . U r è e t e r y c h l o s t m o t o c y k l u . v y j e d e Z m í s Z F r ý d k u M í s t k u v 8 h o d i n m o t o c y k l p r ù m ì r n o u r y c h l o s t í 5 0 k m / h . 1 1 t a v z d á l e n é h o 8 0 k m v y j e d e p r o t i n ì m u v 8 h o d i n 3 0 m i n u t a u t o p r ù m ì r n o u r y c h l o s t í 6 0 k m / h . V k o l i k h o d i n a v j a k é v z d á l e n o s t i o d F r ý d k u M í s t k u s e p o t k a j í ?
° J a k o u t e p l o t u b u d e m í t v o d a p o s m í c h á n í 5 5 0 g v o d y o t e p l o t ì 8 2 C a 2 5 0 g v o d y 1 2 ° o t e p l o t ì 1 8 C ?
Ø e t e n e r o v n i c e : 1 3 a ) 3 ( x + 4 ) > 1 2 b ) 5 ( x –7 ) < 3 5
c ) –x > 9 d ) –a > –1 5
8
e ) 3 –y < 1 0 f ) 4 z –3 > 7
Z a p i t e p o m o c í n e r o v n i c : 1 4
a ) T o m á u b ì h n e 1 0 0 m n e j r y c h l e j i z a 1 1 , 2 s , n e j p o m a l e j i z a 1 4 , 1 s . b ) M a r k é t a m ì ø í v í c e n e 1 7 0 c m , a l e m a x i m á l n ì 1 7 5 c m .
3 D r u h á m o c n i n a a o d m o c n i n a V y p o è í t e j t e . 1
( ( 2
2
2
a ) 5 =
b ) ( –4 ) =
1 c )= 4
2
d ) 0 =
2 K o l i k m k o b e r c e j e t ø e b a d o è t v e r c o v é m í s t n o s t i , k t e r á m á d é l k u 4 , 8 m ? 2
V y p o è í t e j t e . 3
( (
2
3 a ) 1 = 4
( (
2
4 2 2 2 . = b ) = c ) ( –0 , 1 2 ) =d ) 1 5 7 7
V y p o è í t e j t e . 4 a ) 6 4 = Ö
. b ) 1 , 4 4 = c ) 3 6 0 0 =d ) 0 , 8 1 = Ö Ö Ö
V y p o è í t e j t e . 5
Ö
22
a ) 2 + 3 = b ) 9 + 4 = c ) 9 + 1 6 =d ) 8 1 + 2 5 6 = Ö Ö Ö Ö 2
2
2
B
AB
A
A
AB
A
B
2
2
B
2 ( A + B ) = 2 2 = A + 2 A B + B
2
a ) x + 3 y –4 x + 2 y + 4 y –2 x = U p r a v t e v ý r a z y : 6 2 2 2 b ) a –2 a + a –4 a + 3 a = 2 2 c ) c + b –c + 2 c –3 b + 2 c =
2 U r è e t e d é l k u s t r a n y è t v e r c o v é h o p í s k o v i t ì p r o d ì t i , j e s t l i e z a b í r á p l o c h u 2 0 m . 7
U m o c n ì t e . 8 2
c ) ( 2 c –3 d ) =
2
2
d ) ( 5 + 7 t ) =
a ) ( a –2 ) =
2
b ) ( 5 + b ) =
2
e ) ( x –1 ) = 1 2 f ) ( y + ) = 2
U p r a v t e n a s o u è i n . 9 2 a ) 1 6 –a = 2 b ) 8 1 –1 8 b + b = 2 c ) 3 6 –4 c =
2 d ) 1 2 1 + 2 2 d + d = e ) 3 5 x y + 2 1 x + 1 4 y = 2 f ) 8 0 r s + 1 6 r s + 2 4 r =
2 2 7 –3 x = 4 1 2 x –7 5 =
K d o d o k á e v y p o è í t a t ? 1 0
Ö
R o z l o t e n a s o u è i n :
Ö
Ö
Ö
a ) = b ) =c ) =d ) = 8 1 6 2 5 1 0 0 0 0 4 0 9 6 Ö Ö Ö Ö
9
4 P y t h a g o r o v a v ì t a R o z h o d n ì t e , z d a j e t r o j ú h e l n í k A B C p r a v o ú h l ý . 1
a ) a = 5 m , b = 6 m , c = 7 m b ) a = 3 0 m m , b = 4 0 m m , c = 5 0 m m c ) a = 1 2 c m , b = 5 c m , c = 9 c m J e l i t r o j ú h e l n í k p r a v o ú h l ý , p a k r o z h o d n ì t e , u k t e r é h o v r c h o l u j e p r a v ý ú h e l .
V y p o è í t e j t e t ø e t í s t r a n u v p r a v o ú h l é m t r o j ú h e l n í k u K L M s p r a v ý m ú h l e m p ø i 2 v r c h o l u M . N a è r t n ì t e s i t r o j ú h e l n í k . a ) k = 4 , 4 d m ; l = 6 , 5 d m ; m = ? b ) k = ? ; l = 1 2 m m ; m = 2 8 m m
V y p o è í t e j t e o b s a h r o v n o r a m e n n é h o t r o j ú h e l n í k u R S T s e z á k l a d n o u R S , j e s t l i e 3 | R S | = 8 m , s = 6 m . T r o j ú h e l n í k s i n a è r t n ì t e .
V y p o è í t e j t e o b s a h y a o b v o d y v y b a r v e n ý c h o b r a z c ù . Ú d a j e n a o b r á z c í c h j s o u v m e t r e c h . 3
1 .
S e s t r o j t e ú s e è k u A B , k t e r á m á d é l k u : 4 a ) | A B | = Ö2 b ) | A B | = Ö5 c ) | A B | = Ö1 0 ( P o u i j t e P y t h a g o r o v u v ì t u . )
Ö1 d ) | A B | = 7 e ) | A B | = Ö2 6
U r è e t e o b v o d k o s o è t v e r c e s ú h l o p ø í è k a m i e = 1 1 c m , f = 1 4 c m . 5 V y p o è t ì t e d é l k u ú h l o p ø í è k y o b d é l n í k u A B C D o s t r a n á c h a = 7 , 2 c m , b = 4 , 5 c m . 6
T e r e z a p o u t í n a m o t o u z u d l o u h é m 2 0 0 m d r a k a , k t e r ý s e v z n á í p ø í m o n a d j e j í m 7 42
o t c e m . S t a n o v i t ì T e r e z y a o t c e j s o u v z d á l e n a 7 5 m . J a k v y s o k o j e d r a k n a d v o d o r o v n ý m t e r é n e m ? N a è r t n ì t e s i p o m o c n ý o b r á z e k ( m o t o u z n e n í p r o v ì e n ) .
V y p o è t ì t e v ý k u r o v n o s t r a n n é h o t r o j ú h e l n í k u o s t r a n ì a = 9 c m . 8 J a k v e l k ý o b s a h m á p r a v i d e l n ý e s t i ú h e l n í k v e p s a n ý d o k r u n i c e o p r ù m ì r u 9 1 0 c m ?
Z j i s t ì t e , z d a b u d e z á b r a d l í u s c h o d i t ì s 2 0 s c h o d y d e l í n e 7 m , j e l i s c h o d 3 2 c m 1 0 i r o k ý a 1 5 c m v y s o k ý .
P r ù m ì r k m e n e n a n e j u í m m í s t ì j e 2 7 c m . L z e z n ì h o v y ø í z n o u t h r a n o l e k s e 1 1 è t v e r c o v ý m p r ù ø e z e m o s t r a n ì 2 0 c m ?
2 K r a b i c e t v a r u k r y c h l e m á o b s a h d o l n í p o d s t a v y 1 0 0 c m . U r è e t e d é l k u j e j í h r a n y 1 2
a d é l k u t ì l e s o v é i s t ì n o v é ú h l o p ø í è k y .
1 0
N a o b r á z k u j s o u V e j d e s e h ù l k a o d é l c e 8 0 c m d o k u f r u o d é l c e 6 0 c m , í ø c e 5 0 c m a v ý c e 2 0 c m ? 1 3 n a r ý s o v á n y
è t v e r c e v e è t v e r c i . D é l k a s t r a n y V y p o è í t e j t e p o v r c h a o b j e m p r a v i d e l n é h o t r o j b o k é h o h r a n o l u s h r a n o u p o d s t a v y n e j m e n í h o a = 1 2 c m a v ý k o u 2 , 4 d m . è t v e r c e a = 1 m . V y p o è í t e j t e o b s a h y v e c h è t v e r c ù n a
1 4
5 M n o i n y D o m n o i n y A p a t ø í v e c h n a d ì v è a t a 1 v a í t ø í d y . M n o i n a B j e m n o i n a v e c h á k ù v e v a í t ø í d ì , k t e ø í u m ì j í p l a v a t . D o m n o i n y C n á l e í v i c h n i á c i , k t e ø í m a j í r á d i m a t e m a t i k u . D o m n o i n y D p a t ø í v i c h n i á c i , k t e ø í v p r ù b ì h u k o l n í d o c h á z k y o b d r e l i a l e s p o ò j e d n u n e d o s t a t e è n o u . U r è e t e p o è e t p r v k ù t ì c h t o m n o i n .
a 1 m
N a j d ì t e p r ù n i k m n o i n L = { 3 , 4 , 5 , 8 , 1 0 } a M = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . Z a k r e s l e t e p o m o c í 2 m n o i n o v é h o d i a g r a m u .
N a j d ì t e s j e d n o c e n í m n o i n L = { 3 , 4 , 5 , 8 , 1 0 } a M = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . Z a k r e s l e t e 3 p o m o c í m n o i n o v é h o d i a g r a m u .
V m n o i n ì S s p o r t ù h l e d e j t e p o d m n o i n u M m í è o v ý c h h e r , p o d m n o i n u A a t l e 4 t i k y , p o d m n o i n u V v o d n í c h s p o r t ù . S = { f o t b a l , m a r a t o n , h o d o t ì p e m , v o l e j b a l , v e s l o v á n í , k o l o v á , s k o k d o d á l k y , b a s k e t b a l , h á z e n á , d e s e t i b o j , v o d n í p ó l o , s k o k y z v ì e , p o z e m n í h o k e j } . J s o u d á n y m n o i n y A v e c h s u d ý c h j e d n o c i f e r n ý c h è í s e l a m n o i n a B = { 3 , 4 , 5 5 , 6 } . N a è r t n ì t e d i a g r a m , o z n a è t e a z a p i t e : a ) A Ç B , b ) A È B .
Z o b r á z k u u r è e t e : 6
p l a v c i a ) d ì t i , k t e r é u m ì j í l y o v a t , J o s e f R e n á t a P a v e l b ) d ì t i , k t e r é u m ì j í j e n l y o v a t , T o m á c ) d ì t i , k t e r é u m ì j í l y o v a t , p l a v a t i b r u s l i t , J a n aT e r e z a M a r t i n d ) d ì t i , k t e r é n e u m ì j í p l a v a t , V ì r a b r u s l a ø i e ) d ì t i , k t e r é u m ì j í l y o v a t , a l e n e u m ì j í b r u s l i t . D o m i n i k T v o ø t e p o d o b n é ú k o l y . V o j t a l y a ø i
d o j e d e b r u j á r ? U r è e t e , k o l i k á k ù c h o d í d o 9 . B : D v a á c i n e c h o d í d o á d n é h o k r o u k u . O s t a t n í K 7 w w w . d e b r u j a r . c z
á c i c h o d í p r a v i d e l n ì d o j e d n o h o z e t ø í k r o u k ù : p ì v e c k é h o ( 1 3 á k ù ) , s p o r t o v n í h o ( 1 2 á k ù ) a d e b r u j á r s k é h o ( 1 6 á k ù ) . O s m á k ù c h o d í s o u è a s n ì d o s p o r t o v n í h o i d e b r u j á r s k é h o k r o u k u , s e d m d o s p o r t o v n í h o i p ì v e c k é h o , p ì t d o d e b r u j á r s k é h o i p ì v e c k é h o . È t y ø i á c i n a v t ì v u j í v e c h n y k r o u k y .
1 1