M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A 8
8
U P O Z O R N Ì N Í A u t o ø i b y l i p ø i t v o r b ì u è e b n i c e v e d e n i s n a h o u p o s k y t n o u t u è i t e l i n a k t e r é m k o l i t y p u k o l y , p r o k t e r ý j e u è e b n i c e u r è e n a ( Z , v í c e l e t á g y m n á z i a ) , c o n e j v í c e p ø í k l a d ù , ú l o h , c v i è e n í a p o d . V á d n é m p ø í p a d ì n e n í t e d y c í l e m , a b y v i c h n i á c i p r o b r a l i a v y p o è í t a l i v e c h n o . V ì ø í m e , e u è i t e l é s n a h u a u t o r ù o c e n í a s u è e b n i c í i p r a c o v n í m s e i t e m b u d o u p r a c o v a t k r e a t i v n ì .
Ú N O R
B Ø E Z E N
N á v r h è a s o v é h o a t e m a t i c k é h o p l á n u
M Ì S Í C
T É M A
Z Á Ø Í
O p a k o v á n í u è i v a 7 . r . A R I T M E T I K A z l o m k y c e l á è í s l a r a c i o n á l n í è í s l a p r o c e n t a
G E O M E T R I E s h o d n á z o b r a z e n í t r o j ú h e l n í k y è t y ø ú h e l n í k y
F U N K C E p ø í m á a n e p ø í m á ú m ì r n o s t
V Z D Ì L Á V A C Í C Í L
R O Z I Ø U J Í C Í U È I V O
V r á m c i o p a k o v á n í p r o c v i è u j e m e p a m ì t n é p o è í t á n í a o d h a d .
A k t i v n í v y u í v á n í p r o c e n t o v é h o p o è t u p ø i ø e e n í ú l o h v è e t n ì ú l o h z p r a k t i c k é h o i v o t a .
V r á m c i o p a k o v á n í z a ø a z u j e m e j e d n o d u c h é ú l o h y v e d o u c í k z a u t o m a t i z o v á n í p r o c e n t o v é h o p o è t u a k e s p r á v n é m u o d h a d u .
O p a k o v á n í a u i t í v l a s t n o s t í o s o v é a s t ø e d o v é s o u m ì r n o s t i . Z d o k o n a l e n í r ý s o v á n í a u i t í v ì t o s h o d n o s t i t r o j ú h e l n í k ù . O s v o j e n í s i s p r á v n ý c h p o j m ù a d o k o n a l é r o z l i o v á n í z á k l a d n í c h r o v i n n ý c h ú t v a r ù . Z n a l o s t a v y u i t í v l a s t n o s t í r o v i n n ý c h ú t v a r ù a v ý p o è t ù j e j i c h o b v o d ù a o b s a h ù .
D b á m e n a s p r á v n é r o z l i e n í s h o d n ý c h z o b r a z e n í . D b á m e n a p ø e s n o s t r ý s o v á n í . D b á m e n a p ø e s n é r o z l i e n í p o j m ù : è t v e r e c × k o s o è t v e r e c , o b d é l n í k × k o s o d é l n í k , r o v n o b ì n í k × l i c h o b ì n í k , a p o d . S o u s t a v n ì p r o c v i è u j e m e p ø e v o d y j e d n o t e k .
P o z o r n a s p r á v n é r o z l i o v á n í p ø í m é a n e p ø í m é ú m ì r n o s t i . Z a ø a z u j e m e p r á c i s g r a f y a k l a d e m e d ù r a z n a p o c h o p e n í v z t a h ù v n i c h . V e d e m e á k y k s p r á v n é m u p o c h o p e n í t e x t u ú l o h , r o z v í j í m e j e j i c h f u n k è n í m y l e n í . r o m ì n n o u z a v á d í m e t a k , V Ý R A Z Y Ø Í J E N Z a v e d e n í è í s e l n ý c h v ý r a z ù a j e j i c h D ì l e n í m n o h o è l e n u P a b y j i á c i v n í m a l i j a k o z j e d z o b e c n ì n í v e f o r m ì v ý r a z ù s p r o m ì n n o u . j e d n o è l e n e m . n o d u e n í m a t e m a t i c k ý c h z á Z v l á d n u t í z á k l a d n í c h o p e r a c í s v ý r a z y p i s ù ( a n e n a o p a k !) . a j e j i c h v y u i t í p ø i z á p i s u s l o v n í h o t e x t u . P o z o r n a f o r m á l n í z n a l o s t i ! D ù r a z k l a d e m e n a s p r á v n é I N E Á R N Í R O V N I C E Z L I S T O P A D L a v e d e n í r o v n i c j a k o r o v n o s t i d v o u v ý r a h á p á n í t e x t ù ú l o h , s e s t a v e n í z ù . Z a v e d e n í e k v i v a l e n t n í c h ú p r a v a j e Ø e e n í n á r o è n ý c h c o d p o v í d a j í c í r o v n i c e v è e t n ì j i c h v y u i t í p ø i ø e e n í l i n e á r n í c h r o v n i c . s l o v n í c h ú l o h . e j í h o ø e e n í . L i n e á r n í n e r o v n i c e j e z a p o m í n e j m e n a d i s k u z i P R O S I N E C s j e d n o u n e z n á m o u . N ø e e n í s l o v n í c h ú l o h . U p o z o r n ì n í n a 2 . M O C N I N A Z a v e d e n í d ù l e i t ý c h p o è e t n í c h o p e r a c í : e x i s t e n c i A k t i v n ì p o u í v á m e k a l k u l a è k u . A O D M O C N I N A u m o c ò o v á n í a o d m o c ò o v á n í . O s v o j e n í i r a c i o n á l n í c h è í s e l . P ø i ø e e n í ú l o h z p r a k t i c k é h o s i n o v ý c h p o j m ù a s y m b o l ù . I n t u i t i v n í z a v e d e n í i v o t a v y u í v á m e o d h a d . r e á l n é o s y . P y t h a g o r o v u v ì t u z a v á d í m e v a l g e b P Y T H A G O R O V A V Ì T AZ L E D E N n a l o s t z á k l a d n í m a t e m a t i c k é v ì t y r a i c k é i g e o m e t r i c k é p o d o b ì . V e d e a j e j í a p l i k a c e p ø i ø e e n í ú l o h z p r a x e . m e á k y k o v ì ø e n í p l a t n o s t i P y t h a g o r o v y v ì t y . M N O I N Y Z a v e d e n í z á k l a d n í c h m n o i n o v ý c h K a p i t o l a j e r o z i ø u j í y u í v á m e i n t u i t i v n í c h z n a l o s t í p o j m ù a s y m b o l ù . c í m u è i v e m , d ù l e i - V á k ù . t ý m v a k p r o p o c h o - p e n í u è i v a k a p i t o l y M n o i n y b o d ù d a n é v l a s t n o s t i . U p e v n ì n í p o z n a t k ù o ú m ì r n o s t e c h , z n a l o s t t r o j è l e n k y a j e j í v y u i t í p ø i ø e e n í s l o v n í c h ú l o h .
M O C N I N Y S P Ø I R O Z E N Ý M E X P O N E N T E M A V Ý R A Z Y
Z a v e d e n í i r a c i o n á l n í h o è í s l a p í . R o z í ø e n í z n a l o s t í o k r u h u a k r u n i c i , z a v e d e n í p o j m ù : t e è n a , b o d d o t y k u , a p o d . R o z í ø e n í k a l k u l a t i v n í c h d o v e d n o s t í á k ù o v ý p o è e t o b s a h u a o b v o d u k r u h u , p o p ø . j e h o è á s t í . D o k o n a l é o s v o j e n í s i d r u h é m o c n i n y a z o b e c n ì n í n a m o c n i n y s p ø i r o z e n ý m e x p o n e n t e m . R o z í ø e n í a o s v o j e n í s i o p e r a c í s m o c n i n a m i . V y u i t í m o c n i n è í s l a 1 0 p ø i z k r á c e n é m z á p i s u è í s e l . Z a v e d e n í m o c n i n y d v o j è l e n u .
Z a v e d e n í p o j m ù : k r u h o v á v ý s e è , ú s e è , o b l o u k . G e o m e t r i c k é z n á z o r n ì n í ú p r a v v ý r a z ù . P o v a u j e m e j e p r o p o c h o p e n í z á k l a d n í c h v z o r c ù z a z á s a d n í !
D U B E N
Z d o k o n a l e n í k o n s t r u k è n í c h d o v e d n o s t í . M N O I N Y B O D Ù V y u i t í T h a l e t o v y v ì t y p ø i k o n s t r u k c í c h . D A N É V L A S T N O S T I
K V Ì T E N
S T A T I S T I K A
Z a v e d e n í z á k l a d n í c h s t a t i s t i c k ý c h p o j m ù a j e j i c h s p r á v n é p o c h o p e n í . V y u í v á n í t a b u l e k a d i a g r a m ù p ø i z p r a c o v á n í s t a t i s t i c k ý c h d a t .
V Á L E C
R o z í ø e n í p o z n a t k ù o v á l c i v è e t n ì v ý p o è t u j e h o o b j e m u a p o v r c h u . Z d o k o n a l e n í p o è e t n í c h o p e r a c í s r e á l n ý m i è í s l y , m o c n i n a m i a v ý r a z y . U i t í P y t h a g o r o v y v ì t y a T h a l e t o v y v ì t y p ø i ø e e n í ú l o h . Z d o k o n a l e n í k o n s t r u k è n í c h d o v e d n o s t í .
M E T O D I C K É P O Z N Á M K Y
Z d o k o n a l e n í p o è e t n í c h o p e r a c í s c e l ý m i a s r a c i o n á l n í m i è í s l y .
K R U H , K R U N I C E
È E R V E N
S O U H R N N Á C V I È E N Í
Z á p i s p o s t u p u s y m b o l i c k y , d i s k u s e p o è t u ø e e n í . V y e t ø o v á n í v í c e p o è e t n ý c h s t a t i s t i c k ý c h s o u b o r ù .
D b á m e n a p ø e s n é r ý s o v á n í . P r ù b ì n ì h o d n o t í m e v z á j e m n o u p o l o h u g e o m e t r i c k ý c h ú t v a r ù v r o v i n ì . M o c n i n u d v o j è l e n u z a v á d í m e s v y u i t í m g r a f i c k é h o z n á z o r n ì n í . P o z o r n a f o r m á l n í p o u í v á n í v z o r c ù . T y v y v o z u j e m e p o s t u p n o u ú p r a v o u v ý r a z ù .
P ø i r o z b o r u a k o n s t r u k c i r o z v í j í m e a n a l y t i c k o s y n t e t i c k é m y l e n í á k ù . P o z o r n a f o r m á l n í p o u í v á n í s y m b o l i k y ! Z a p o j u j e m e á k y d o a k t i v n í s p o l u ú è a s t i n a s t a t i s t i c k é m e t ø e n í d a t z j e j i c h b ì n é h o i v o t a . V e d e m e j e k e s p r á v n é m u r e p r o d u k o v á n í g r a f i c k y z p r a c o v a n ý c h ú d a j ù . Ø e í m e ú l o h y z p r a x e . D b á m e n a d o k o n a l é z v l á d n u t í z á k l a d n í c h p o è e t n í c h o p e r a c í v è e t n ì p a m ì t n é h o p o è í t á n í . V e d e m e á k y k p ø e s n é m u r ý s o v á n í .
J o s e f M o l n á r L i b o r L e p í k H a n a L i k o v á J a n S l o u k a P e t r E m a n o v s k ý
M A T E M A T I K A 8
P R O D O S
R e c e n z o v a l a : R N D r . E v a Z e l e n d o v á S c h v á l i l o M M T è j . : M S M T 5 3 8 7 / 2 0 1 7 d n e 4 . 4 . 2 0 1 7 k z a ø a z e n í d o s e z n a m u u è e b n i c p r o z á k l a d n í v z d ěl á v á n í j a k o s o u è á s t u c e l e n é ø a d y u è e b n i c p r o v z d ěl á v a c í o b o r M a t e m a t i k a a j e j í a p l i k a c e s d o b o u p l a t n o s t i e s t l e t . © P r o d o s , 2 0 0 0 , 2 0 2 1 I S B N 9 7 8 8 0 7 2 3 0 3 9 7 7
O b s a h I . S H R N U T Í A O P A K O V Á N Í U È I V A 7 . R O È N Í K U 1 . Z l o m k y 2 . C e l á a r a c i o n á l n í è í s l a 3 . P o m ì r , p ø í m á a n e p ø í m á ú m ì r n o s t 4 . S h o d n o s t t r o j ú h e l n í k ù 5 . S h o d n á z o b r a z e n í 6 . È t y ø ú h e l n í k y 7 . P r o c e n t a 8 . H r a n o l y
5 5 7 9 1 1 1 2 1 4 1 6 1 7
I I . V Ý R A Z Y 1 . È í s e l n é v ý r a z y 2 . V ý r a z y s p r o m ì n n ý m i 3 . M n o h o è l e n y 4 . S è í t á n í a o d è í t á n í m n o h o è l e n ù 5 . N á s o b e n í m n o h o è l e n ù 6 . D ì l e n í m n o h o è l e n u j e d n o è l e n e m 7 . S o u h r n n á c v i è e n í
1 9 1 9 2 1 2 2 2 3 2 4 2 7 2 8
I I I . L I N E Á R N Í R O V N I C E 1 . R o v n o s t i 2 . E k v i v a l e n t n í ú p r a v y r o v n i c 3 . S l o v n í ú l o h y 4 . L i n e á r n í n e r o v n i c e s j e d n o u n e z n á m o u 5 . S o u h r n n á c v i è e n í
3 0 3 0 3 1 3 4 4 3 4 5
I V . D R U H Á M O C N I N A A O D M O C N I N A 1 . D r u h á m o c n i n a 2 . U r è e n í d r u h é m o c n i n y p o m o c í t a b u l e k a p o è í t a è k o u 3 . D r u h á o d m o c n i n a 4 . U r è o v á n í d r u h é o d m o c n i n y p o m o c í t a b u l e k a p o è í t a è k o u 5 . V ý r a z y s d r u h o u m o c n i n o u a o d m o c n i n o u
4 7 4 7 5 0 5 3 5 5 5 6
V . P Y T H A G O R O V A V Ì T A A J E J Í U I T Í 1 . P y t h a g o r o v a v ì t a 2 . U i t í P y t h a g o r o v y v ì t y
5 9 5 9 6 7
V I . M N O I N Y 1 . M n o i n y a p o d m n o i n y 2 . P r ù n i k a s j e d n o c e n í m n o i n 3 . S o u h r n n á c v i è e n í
7 2 7 2 7 5 7 8
3
V I I . K R U H A K R U N I C E 1 . Z á k l a d n í p o j m y 2 . V z á j e m n á p o l o h a k r u n i c e a p ø í m k y 3 . V z á j e m n á p o l o h a d v o u k r u n i c 4 . T h a l e t o v a v ì t a 5 . D é l k a k r u n i c e 6 . O b s a h k r u h u 7 . S o u h r n n á c v i è e n í
7 9 7 9 8 1 8 5 8 8 9 0 9 3 9 5
V I I I . M O C N I N Y S P Ø I R O Z E N Ý M M O C N I T E L E M 1 . M o c n i n y s p ø i r o z e n ý m m o c n i t e l e m 2 . O p e r a c e s m o c n i n a m i 3 . S o u h r n n á c v i è e n í
9 7 9 7 1 0 0 1 0 2
I X . M N O I N Y B O D Ù D A N É V L A S T N O S T I
1 0 4
X . K O N S T R U K È N Í Ú L O H Y 1 . O p a k o v á n í z á k l a d n í c h k o n s t r u k c í 2 . Ø e e n í k o n s t r u k è n í c h ú l o h , k o n s t r u k c e t r o j ú h e l n í k ù a è t y ø ú h e l n í k ù 3 . D a l í k o n s t r u k è n í ú l o h y 4 . S o u h r n n á c v i è e n í
1 0 9 1 0 9 1 1 1 1 1 5 1 1 8
X I . S T A T I S T I K A 1 . S t a t i s t i c k é e t ø e n í , è e t n o s t 2 . A r i t m e t i c k ý p r ù m ì r , m o d u s , m e d i á n 3 . D i a g r a m y 4 . S o u h r n n á c v i è e n í
1 1 9 1 1 9 1 2 4 1 2 9 1 3 6
X I I . V Á L E C 1 . V á l e c 2 . S í v á l c e 3 . P ø e v o d y j e d n o t e k 4 . O b j e m v á l c e 5 . P o v r c h v á l c e 6 . Z o b r a z e n í v á l c e n a d v ì k o l m é p r ù m ì t n y 7 . S o u h r n n á c v i è e n í
1 3 7 1 3 7 1 3 8 1 3 8 1 3 9 1 4 0 1 4 2 1 4 3
X I I I . Z Á V Ì R E È N É O P A K O V Á N Í
1 4 5
P ø e h l e d è a s t o p o u í v a n ý c h z n a è e k
1 5 9
4
I . S h r n u t í a o p a k o v á n í u è i v a 7 . r o è n í k u 1 Z l o m k y J a k á è á s t ú t v a r u j e v y r a f o v á n a ? Z a p i t e z l o m k e m . 1
V y p o è t ì t e . 2 13 a ) += 24 31 b ) += 43 31 = c ) – 42
51 d ) += 63 21 = e ) – 34 81 = f ) – 93
41 = g ) – 52 31 h ) += 54 21 = i ) – 92
Z a p i t e z l o m k e m , j a k á è á s t ú t v a r u j e v y b a r v e n a .
V y p o è t ì t e a u p r a v t e n a z l o m e k v z á k l a d n í m t v a r u . 3 27 a ) . = 58 1 + 3 b ) = 6
43 c ) . = 98 5 –2 d ) = 9
5 81 e ) . = 94 2 –7 f ) = 7 + 8
1 N á s l e d u j í c í z l o m k y v y d ì l t e z l o m k e m . 4 1 1 ,5 ,3 ,1 ,9 ,7 , 22 3 6 8 4 1 0 8 1 2
5 Z l o m e k v y n á s o b t e t a k , a b y b y l v ý s l e d e k r o v e n : 5 7 a ) 1
c ) 0
b ) –1
d ) 5
1 e ) 7
V o b d o b í l e t n í h o s l u n o v r a t u ( 2 1 . 6 . ) j e n o c 6
j e d n o u t ø e t i n o u z c e l é h o d n e . K o l i k h o d i n t r v á s v ì t l á è á s t d n e a k o l i k h o d i n t r v á n o c ?
S e ø a ï t e z l o m k y v z e s t u p n ì : 7 1 ,2 ,5 ,7 ,4 ,5 6 3 6 9 3 9 S e è t ì t e z l o m k y z p ře d c h o z í ú l o h y ( p o u s p o 8
řá d á n í ) n a s u d ý c h m í s t e c h , p o t o m s e čt ět e z l o m k y n a l i c h ý c h m í s t e c h a v ý s l e d k y p o r o v n e j t e .
5
7 f ) 5
Z l o m k o v o u è á r u z a v e d l v e s v é m d í l e L e o n a r d o P i s a n s k ý F i b o n a c c i , m a t e m a t i k 1 3 . s t o l e t í .
S e ø a ï t e z l o m k y s e s t u p n ì : 9 3 ,4 ,8 ,2 ,5 ,3 4 7 9 3 1 1 5 N e j m e n í a n e j v ì t í z l o m e k z p ø e d c h á z e j í c í ú l o h y a ) s e è t ì t e , b ) o d e è t ì t e . 1 0 M a r e k o v ý s l e d k u ú l o h y è . 9 t v r d í : O d e è t u l i o d è t v r t é h o z l o m k u r o z d í l p r v n í h o 1 1 a t ø e t í h o z l o m k u , d o s t a n u è í s l o m e n í n e j e d n a . M á p r a v d u ?
U p r a v t e s l o e n é z l o m k y . 1 2 4 6 3 1 –1 3 5 5 7 2 a ) b ) c ) d ) e )2 1 2 1 2 1 4 3 7 1 5 7 3 5 V y p o è t ì t e a u p r a v t e v ý s l e d k y n a z l o m k y v z á k l a d n í m t v a r u . 1 3 3 –1 4 –1 1 –2 1 –3 . | –4 | 2 2d 1 – 4c a ) b ) ) )3 e )4 2 6 3 –5 –1 1 7 5 | –9 | –5 4 Z a p i t e v m i n u t á c h . 3 h 4 1 h 4 1 h 6 5 h 6 2 h 4 2 h 3 1 h 5 3 h 5
Z a p i t e è í s l o : 1 4 2 a ) o v ì t í n e 1 5 1 b ) o m e n í n e 3 3
3 c ) o è t v r t i n u v ì t í n e 4 1 3 d ) v ì t í n e a m e n í n e 2 4
K o l i k j e : 1 5
a ) è t v r t i n a d v o j n á s o b k u è í s l a 1 6 , b ) p o l o v i n a è t y ø n á s o b k u è í s l a 4 , c ) p o l o v i n a d v o j n á s o b k u è t v r t i n y è í s l a 3 2 ?
1 h 1 2 1 h 1 4 5 h 1 1 2 1 h 1 3
6
2 C e l á a r a c i o n á l n í è í s l a –1
1
N á s l e d u j í c í s c h é m a s i p ø e k r e s l e t e d o s e i t u a z a p i t e d o n ì j è í s l a : ; 0 , 7 ; 3 ; –5 ;; 1 5 2 0 , 3 3 ; 1 .
p ø i r o z e n á N è í s l a
3 4
–3
P ø e k r e s l e t e s i z a d á n í a d o p l ò t e n e j m e n í s p o l e è n ý n á s o b e k ( n ) a n e j v ì t í s p o l e è n ý d ì l i t e l ( D ) è í s e l . n
N 0 72 Z –1 0
Z
–4 –1 , 5 5
Q
c e l á è í s l a
r a c i o n á l n í Q è í s l a
1 2 1 5 D
7 1 5 2 1 5 0
È í s l a z p ø e d c h o z í h o c v i è e n í v y z n a è t e n a è í s e l n é o s e . K z a k r e s l e n ý m è í s l ù m h l e d e j t e 2 è í s l a o p a è n á .
1 6 6 2 0 9
. J a h o d y p ø i p r a v e n é n a z m r a z e n í m ì l y t e p l o t u 1 6 °C 3 O k o l i k s t u p ò ù s e p o z m r a z e n í z c h l a d i l y , j e l i m r a z n i è k a v y c h l a z e n á n a –1 5 °C ?
1 4 3 0 3 5 1 8
V y p i t e v e c h n a c e l á è í s l a x , k t e r á v y h o v u j í n e r o v 4 n i c í m . a ) –3 < x £2 c ) –7 < x < –3 b ) –1 £x £1 d ) –1 0 < x £ –9
T a b u l k u s i p ø e k r e s l e t e d o s e i t u a d o p l ò t e j i . 5 a
7
–3
0
2
–4 –1
5
–a V y p o è í t e j t e z p a m ì t i .
| a | S e è t ì t e v e c h n a è í s l a v j e d n o t l i v ý c h ø á d c í c h t a b u l k y 5 . c v i è e n í . 6 D i v o k ý v e l b l o u d i j í c í v p o u t i G o b i o d o l á v á t e 7
p l o t á m v r o z m e z í 8 0 °C . M i n i m á l n í t e p l o t a , k t e r o u j e t ì s n á í , j e –4 0 . J a k o u m a x i m á l n í t e p l o t u v e l °C b l o u d s n e s e ?
V y p o è t ì t e . 8
a ) –5 + 7 –4 = b ) 5 –7 + 4 = c ) 8 –1 2 –7 =
d ) –8 + 1 2 –7 = e ) 1 1 –1 2 –6 = f ) 1 1 –1 2 + 6 =
7
+ 3 2 = –7 – 1 – 7 = 9 – 5 – 4 = 5 – 9 + 7 3 = 1 4 – 1 + 0 2 = 4 – 1 + 0 4 = 1 3 – 3 –1 4 = 2 2 – 5 + 6 3 = 1 4 – 2 + 3 9 = 1 1 – 1 + 9 7 = –2 – 1 – 2 7 = 6 – 1 – 2 5 = –3 – 1 – 8 2 = –6 – 1 + 7 4 = 5 – 2 + 5 8 = 1 3 – 1
V y p o è í t e j t e . 9
V y p o è í t e j t e z p a m ì t i . | –8 + 3 | = | –1 1 –7 | = | 2 –1 4 | = | 7 –1 5 | = | 1 7 –5 | = | 3 –8 | = | 5 –1 2 + 3 | = | 1 5 –3 –8 | = –| 3 –5 | = 2 –| 5 | = 2 –| –5 | = | 2 –5 | = | 3 –8 –8 | =
P r o c v i è t e s i . –7 –( –5 ) = –6 + ( –3 ) = . –6 ( –3 ) = 1 5 : ( –3 ) = 8 –( –7 ) = . 8 ( –7 ) = –1 8 : ( –9 ) =
. a ) 8 –( 3 –5 ) = d ) 8 –( 1 0 + 5 ) = g ) –5 ( 3 –8 ) = . . b ) 8 –( 3 + 5 ) = e ) 8 ( 3 –5 ) = h ) 5 ( 8 –3 ) = . . c ) ( 8 –1 0 ) + 5 = f ) 3 ( 8 –8 ) = i ) 3 ( 5 –8 ) =
V y p o è í t e j t e . 1 0
. a ) | –5 + 3 | –2 = d ) 3 | 3 –4 | + ( –5 ) = . . b ) 3 –| 5 –2 3 | =e ) | 4 –7 |( 3 –4 ) = c ) 8 + | 5 –7 | –1 2 = f ) | | 4 –5 | + 1 | =
V y p o è í t e j t e . 1 1
a ) –3 , 8 –2 , 2 = b ) 5 , 5 –6 , 2 = c ) 8 , 3 –1 0 , 5 =
d ) 4 , 7 –5 = e ) –1 –3 , 8 = f ) –7 + 1 0 , 3 =
g ) 5 , 1 –6 , 2 = h ) 7 , 7 –1 0 , 3 = i ) 8 , 2 –6 , 8 =
B u d e a l e s p o ò j e d e n v ý s l e d e k c e l é è í s l o ? 1 2
( ( (
26 = a ).– 37 3 : b ) – 1 , 5 = 5
5 1 5 c ): = 1 4 7 4 2 :– = d ) 53
( (
( (
3 6 . = – – e ) 41 5 8 1 : = f ) 9 3
S e è t ì t e s v ý h o d o u è í s l a v m e z i k r u í . 1 3 –1 , 4 –2 , 8
Z á p o r n á r a c i o n á l n í è í s l a z a o k r o u h l u j e m e p o d o b n ì j a k o k l a d n á r a c i o n á l n í è í s l a .
–2 , 4 3 , 4
–5 , 6–1 , 2
7 –0 , 7
3 , 7
–6 , 3
–1 , 5 6 , 8 2 , 7 –2 , 3 –1 , 3
N a p ø . : . –3 , 4 = –3 . –7 , 8 5 = –7 , 9
È í s l a z p ø e d c h o z í h o c v i è e n í z a o k r o u h l e t e n a c e l k y a z í s k a n á è í s l a v m e z i k r u í o p ì t 1 4 s e è t ì t e .
Z e s k u p i n y è í s e l 2 , –3 , –4 , 5 , –8 , 7 , –9 v y n á s o b t e m e z i s e b o u k a d á 2 r ù z n á è í s l a . 1 5 K o l i k r ù z n ý c h s o u è i n ù z í s k á t e ?
Z j i s t ì t e a r i t m e t i c k ý p r ù m ì r v ý k y v e c h è l e n ù v a í d o m á c n o s t i . 1 6
8
Z t a b u l k y z j i s t ì t e h u s t o t u o b y v a t e l s t v a u n a i c h s o u s e d ù . V ý s l e d k y z a o k r o u h l e t e . 1 7 o è e t o b y v a t e lh u s t o t a o b y v a t e l r o z l o h a ú z e m í p 2 2 m i l i o n e c h n a k m v k m v 3 1 2 6 9 0
3 9
5 7 0 2 0 N ì m e c k o 3
8 1
R a k o u s k o
8 3 8 7 0
9
S l o v e n s k o
4 9 0 4 0
5 , 5
P o l s k o
a ) P o r o v n e j t e h u s t o t u o b y v a t e l s t v a u n a i c h s o u s e d ù m e z i s e b o u . b ) P o r o v n e j t e z j i t ì n é h u s t o t y o b y v a t e l s t v a s h u s t o t o u o b y v a t e l s t v a v È R . c ) V y p o è t ì t e p r ù m ì r n o u h u s t o t u o b y v a t e l s t v a v e c h t ì c h t o p ì t i s t á t ù . D o p l ò t e s c h é m a t a k , a b y b y l v e v e c h v y z n a è e n ý c h e s t i ú h e l n í c í c h s o u è e t è í s e l 1 8 s t e j n ý .
5 – 3 , 8 –5 , 9 2 , 9 7 , 7 –3 , 6 2 9 –4 , 1 7 , 6 –6 3 , 4 –5 , 7 5 , 3 2 , 9 3 , 2 –1 0 5 –1 , 9 9 , 1 –6 , 2 0 , 9 –3 , 4 4 , 7
–4
–9 , 7 6 , 4 3 , 8
3 P o m ì r , p ø í m á a n e p ø í m á ú m ì r n o s t N a r ý s u j t e ú s e è k u A B o v e l i k o s t i 7 c m a r o z d ì l t e j i v p o m ì r u : 1 a ) 1 : 1 b ) 1 : 6
c ) 2 : 5 d ) 3 : 4
H u r i k á n M i t c h ( 1 9 9 8 ) d o s a h o v a l 2
r y c h l o s t i 3 0 0 k m / h . P ø e p o è t ì t e t u t o r y c h l o s t n a m / s .
R o z d ì l t e 1 5 0 e t o n ù v p o m ì r u : 3 a ) 1 : 2 : 2 b ) 3 : 4 : 3 c ) 2 : 3 : 5
S o u r o z e n c i M a r t i n a L u k á t ì d ø í n a e t ø i l i 1 . 4 0 8 K è , n a ú s p o r á c h s e v a k p o d í l e l i 4 v p o m ì r u 1 : 3 . K o l i k K è j e d n o t l i v ì n a s p o ø i l i ?
9
N a r ý s u j t e d v a r ù z n é t r o j ú h e l n í k y , j e j i c h v n i t ø n í ú h l y j s o u v p o m ì r u : 5 a ) 1 : 2 : 3 b ) 1 : 1 : 4
c ) 1 : 3 : 8 d ) T r o j ú h e l n í k y p o j m e n u j t e .
S e s t r o j t e t r o j ú h e l n í k A B C , j e s t l i e v e l i k o s t i j e h o : a ) v n i t ø n í c h ú h l ù , b ) s t r a n j s o u 6 v p o m ì r u 1 : 2 : 3 .
S e s t r o j t e è t v e r e c A B C D o s t r a n ì a = 5 c m a j e h o ú h l o p ø í è k y . P r ù s e è í k ú h l o p ø í è e k 7 o z n a è t e S . P o r o v n e j t e , v j a k é m p o m ì r u j s o u o b s a h y A S B a A B C .
S e s t r o j t e p r a v o ú h l ý t r o j ú h e l n í k K L M , j e h o o d v ì s n y j s o u v p o m ì r u 2 . : . 3 . K o l i k 8 t a k o v ý c h t r o j ú h e l n í k ù e x i s t u j e ?
V j a k é m p o m ì r u j s o u p o è t y a t o m ù 9 p r v k ù o b s a e n ý c h v e s l o u è e n i n á c h ? a ) S O 3 b ) H O 2 2 c ) P O 2 5 d ) H N O 3 e ) H C O 2 3
Z n á t e p ø í k l a d s l o u è e n i n , v e k t e r ý c h j s o u p r v k y v p o m ì r u 2 : 1 a 1 : 2 ? 1 0 Z j i s t ì t e v z d u n é v z d á l e n o s t i :
D o m i n i k z a p l a t i l z a 1 , 5 k g p o m e r a n è ù 3 9 K è . 1 1
a ) K o l i k s t o j í 1 k g p o m e r a n è ù ? b ) K o l i k z a p l a t í M a r t i n a z a 0 , 7 5 k g p o m e r a n è ù a 1 , 5 k g j a b l e k , k t e r á m a j í p o l o v i è n í c e n u p o m e r a n è ù ?
P r a h a P a ø í P r a h a N e w Y o r k P r a h a M o s k v a P r a h a P e k i n g P r a h a H e l s i n k y P o u í v e j t e A t l a s s v ì t a .
H l í d k a o d d í l u í d l a m á p ø i p ø e s p o l n í m z á v o d u d o j í t d o c í l e z a t ø i h o d i n y . C í l j e n a 1 2
m a p ì s m ì ø í t k e m 1 . : .. 7 5 0 0 0 o d s t a r t u v z d á l e n 1 4 , 5 c m . S p l n í h l í d k a è a s o v ý l i m i t , p ù j d e l i r y c h l o s t í 4 k m / h ?
J e d e n ø e z ( b e z o h l e d u n a j e h o d é l k u ) o c e l o v ý m p l á t e m s t o j í 7 , 5 0 K č. K o l i k k o r u n 1 3 s t o j í r o z ø e z á n í o b d é l n í k o v é d e s k y 3 m × 5 m n a è t v e r c e 1 m × 1 m ?
Z n á s l e d u j í c í h o g r a f u v y è t ì t e , j a k ý b y l p r ù b ì h j í z d y s l u e b n í h o a u t o m o b i l u b ì h e m 1 4 p r a c o v n í d o b y . s ( k m ) 3 3 0
1 7 0 8 0 P R O D O S
P R O D O S
0 1 1 , 5 2 , 5
O C L 7 0 0 0
1 0
5 , 5
7 , 5 t ( h )
7 . 3 0 a ) K d y m ì l ø i d i è p ø e s t á v k y , v y j e l l i v r á n o ? b ) J a k o u p r ù m ì r n o u r y c h l o s t í j e l p r v n í h o d i n u j í z d y ? c ) J a k o u j e l p r ù m ì r n o u r y c h l o s t í b ì h e m j í z d y ? d ) Z a p i t e p ø e d p i s e m z á v i s l o s t u j e t é d r á h y n a è a s e . Z a 5 m i n u t s e è e r p a d l e m n a è e r p á 1 . 2 4 0 l v o d y . N a è e r p á s e z a 1 m i n u t u d v ì m a s t e j n ì 1 5 v ý k o n n ý m i è e r p a d l y 5 0 0 l i t r ù v o d y ?
3
T a t í k B ø e t í k u j e d e n a k o l e v z d á l e n o s t 1 5 k m z a h o d i n y . J a k o u v z d á l e n o s t u j e d e z a 1 6 4
1 h o d i n u ? Z a j a k d l o u h o t u t o v z d á l e n o s t u j e d e j e h o s y n T o n í k , k t e r ý j e d e p r ù m ì r n o u r y c h l o s t í 1 5 k m / h ?
T ø i v n o u è a t a d ì d y M a l é h o s k l i d i l a j a h o d y z a 1 , 5 d n e ( è i s t é h o è a s u ) . J a k d l o u h o b y 1 7 j i m p r á c e t r v a l a , k d y b y s i k a d é p ø i v e d l o n a p o m o c j e d n o h o k a m a r á d a ?
T v o ø t e s o u è i n y .
4 S h o d n o s t t r o j ú h e l n í k ù
–1 –7
V p r a v i d e l n é m e s t i ú h e l n í k u v y h l e d e j t e s h o d n é t r o j -F E 1 ú h e l n í k y a s h o d n o s t s p r á v n ì z a p i t e . K A
S
9 4 –6 8 6 –8
D
L
P o è í t e j t e z p a m ì t i .
–2 –5
B
C
P o j m e n u j t e g e o m e t r i c k ý ú t v a r a v y p o è t ì t e j e h o o b s a h , z n á t e l i o b s a h y j e h o è á s t í ( v i z 2 j e d n o t l i v é o b r á z k y ) . a )
b ) 6
d )
c )
3 6
4
3
6
f )
5
6 6
e )3
D o k r u n i c e o p o l o m ì r u r = 4 c m v e p i t e a l e s p o ò t ø i s h o d n é ( n e t o t o n é ) t r o j ú h e l 3 n í k y .
1 1
–4 0 8 6 3 –7
P o j m e n u j t e t r o j ú h e l n í k y v y z n a è e n é v k r y c h l i ( p o z o r v e s k u t e è n o s t i ) a v y h l e d e j t e 4 t r o j ú h e l n í k y s n i m i s h o d n é . S h o d n o s t i s p r á v n ì z a p i t e . D́ Á
D
A H́ É
H
E
Ć B́
Ḱ
C
B Ǵ
T́ Ṕ
G
F
Ĺ
M
N
K
F́
Ḿ
Ń
T
P
L Ś Ŕ
S
R
S e s t r o j t e d v a : 5
2 a ) s h o d n é t r o j ú h e l n í k y s o b s a h e m 1 0 c m , 2 b ) n e s h o d n é t r o j ú h e l n í k y s o b s a h e m 1 0 c m .
S e s t r o j t e DA B C , j e l i a = 7 , 5 c m ; v = 6 c m a g= 1 1 0 ° . a 6 * 5 S h o d n á z o b r a z e n í P o z n á t e , k t e r é d i s c i p l í n y j e d n o t l i v é z n a k y p ø e d s t a v u j í ?
N a z n a c í c h s p o r t o v n í c h d i s c i p l í n h l e d e j t e s h o d n é ú t v a r y ( ú h l y a j . ) a p o j m e n u j t e 1 s h o d n o s t i , k t e r é l z e n a o b r á z c í c h v i d ì t .
1 2
V d a n é m o b r á z k u : 2
a ) h l e d e j t e s h o d n é ú t v a r y , b ) h l e d e j t e s h o d n é ú h l y . c ) K o l i k p r a v ý c h ú h l ù j e n a k a d é m z o b r á z k ù b , d , f ? d ) K o l i k t u p ý c h ú h l ù j e n a k a d é m z o b r á z k ù a , c , e ? e ) N a j d ì t e r ù z n é s o u m ì r n o s t i .
a )
b )
e )
c )
P ø i ø a ï t e ú h e l , o k t e r ý j e d a n ý o b r á z e k o t o è e n . N a b í d k a : 4 5 ° , 6 0 ° , 1 2 0 ° , 1 3 5 ° , 1 8 0 ° , 2 7 0 ° , 3 6 0 ° , 9 0 °
d )
f )
U r è e t e p o è e t o s ( p o p ø í p a d ì r o v i n ) s o u m ì r n o s t i d a n ý c h g e o m e t r i c k ý c h ú t v a r ù . 3
S e s t r o j t e k r u n i c e v o s o v é s o u m ì r n o s t i s o s o u n a z n a è e n o u n a o b r á z c í c h . 4 o S
So
m k
S o l
1 3
o
q S
S e s t r o j t e l i b o v o l n ý t r o j ú h e l n í k X Y Z a j e h o o b r a z v e s t ø e d o v é s o u m ì r n o s t i , k d e S j e 5 z á r o v e ò s t ø e d z á k l a d n y X Y . J a k ý g e o m e t r i c k ý ú t v a r j s t e z í s k a l i ?
U m í t e z d e v í t i z á p a l e k s e s t a v i t 3 k o s o è t v e r c e ?
6 È t y ø ú h e l n í k y N a o b r á z k u v ú l o z e è . 2 z 5 . k a p i t o l y v y h l e d e j t e l i c h o b ì n í k y , è t y ø ú h e l n í k y , r o v n o 1 b ì n í k y a p o d .
S e s t r o j t e k o s o è t v e r e c , j e h o s t r a n a m á v e l i k o s t a = 5 c m a d é l k a j e h o k r a t í ú h l o 2 p ø í è k y j e k n í v p o m ì r u 6 : 5 .
S e s t r o j t e t ø i r ù z n é k o s o d é l n í k y , j e j i c h s t r a n a a = 7 c m a v ý k a v = 4 , 5 c m . a 3 D i s k u t u j t e o o b s a h u j e d n o t l i v ý c h k o s o d é l n í k ù . S v á t v r z e n í z d ù v o d n ì t e .
S e s t r o j t e k o s o è t v e r e c s ú h l o p ø í è k a m i e = 5 c m a f = 7 , 6 c m . V y p o è t ì t e o b s a h k o s o 4 è t v e r c e .
V k a r t é z s k é s o u s t a v ì s o u ø a d n i c z a k r e s l e t e b o d y : 5
A [ 1 , 0 ] , B [ 5 , 3 ] , C [ –3 , 3 ] , D [ 5 , 7 ] , E [ 1 , 4 ] , F [ –3 , 7 ] . a ) P o j m e n u j t e s p r á v n ì ú t v a r y A B C , A E F C , C B D F , A B E C , C B D . b ) N a j d ì t e o s y s o u m ì r n o s t i t ì c h t o ú t v a r ù ( p o k u d e x i s t u j í ) . c ) V y p o è t ì t e o b s a h a o b v o d o b d é l n í k u , k t e r ý v z n i k l . d ) N a j d ì t e b o d y s o u m ì r n ì s d r u e n é p o d l e o s y x s b o d e m B , A , C a z a p i t e j e j i c h s o u ø a d n i c e .
6 1 2
U v a u j t e è i s t o u s p o t ø e b u m a t e r i á l u .
1 4
a )
K o l i k m a t e r i á l u s p o t ø e b u j e s k l e n á ø n a j e d n o t l i v á z r c a d l a , k t e r á v i d í t e n a o b r á z c í c h ? ( R o z m ì r y v c m . ) 1 6
1 2 0
1 4 0
4 0 1 0 0 4 0
N e j p r v e u v a u j t e , n a k t e r é z r c a d l o b u d e n e j v ì t í s p o t ø e b a m a t e r i á l u . S t o u t o ú l o h o u s e s e t k á t e j e t ì n a s t r . 1 6 .
8 0
c )
b ) 6 0
4 0
1 4