Matematika_6_Prodos

matematika

6

M A T E M A T I K A 6

Josef Molnár Milan Kopecký Hana Lišková Bohumil Novák Jan Slouka

P R O D O S

Recenzovali: RNDr. Růžena Blažková, CSc.; prof. RNDr. Jiří Cihlář, CSc.; Mgr. Jana Vaňková Schválilo MŠMT čj.: MSMT-5923/2016 dne 3. března 2016 k zařazení do seznamu učebnic pro základní vzdělávání jako součást ucelené řady učebnic pro vzdělávací obor Matematika a její aplikace s dobou platnosti šest let. © Prodos, 1998, 2021 ISBN 978-80-7230-375-5

O b s a h .............................

7

1. Přirozená čísla, početní výkony s přirozenými čísly .............................

2. Zlomky a desetinná čísla .......................................................................

3. Geometrie .............................................................................................

7 13 16

2. Osová souměrnost .......................................................................

19

1. Shrnutí a opakování učiva z 1.–5. ročníku

Shodné útvary ........................................................................................

Osová souměrnost .................................................................................

Geometrické útvary osově souměrné .................................................... Útvary v osové souměrnosti .................................................................

Souhrnná cvičení ..................................................................................

19 21 25 28 33

3. Desetinná čísla .............................................................................

35

1.

2.

3.

4.

5.

Desetinné číslo ......................................................................................

Porovnávání desetinných čísel ..............................................................

Zaokrouhlování desetinných čísel ........................................................

Sčítání a odčítání desetinných čísel ......................................................

Násobení a dělení desetinných čísel 10, 100, 1 000 ..............................

Násobení desetinných čísel ..................................................................

Dělení desetinných čísel .......................................................................

Souhrnná cvičení ..................................................................................

35 37 39 40 43 46 49 52

4. Úhel ..............................................................................................

55

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Polopřímka ............................................................................................

Polorovina .............................................................................................

Základní poznatky o úhlu .....................................................................

Přenášení úhlů .......................................................................................

Porovnávání úhlů ..................................................................................

Shodné úhly ..........................................................................................

Pravý úhel .............................................................................................

Přímý úhel .............................................................................................

Ostrý a tupý úhel ..................................................................................

Osa úhlu ................................................................................................

Velikost úhlu .........................................................................................

Sčítání a odčítání úhlů a jejich velikostí ............................................... Úhly vedlejší a vrcholové .....................................................................

Souhlasné úhly a střídavé úhly ..............................................................

Souhrnná cvičení ..................................................................................

55 56 58 60 62 64 65 66 67 68 69 72 73 75 76

5. Dělitelnost ....................................................................................

79

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Násobek a dělitel ................................................................................... Čísla sudá a lichá ...................................................................................

Prvočísla a čísla složená ........................................................................

Znaky dělitelnosti ..................................................................................

Největší společný dělitel ....................................................................... Čísla soudělná a nesoudělná .................................................................

79 81 83 85 88 91

7. Nejmenší společný násobek .................................................................

8. Souhrnná cvičení .................................................................................

92 95

6. Trojúhelník .................................................................................

97

Základní poznatky ...............................................................................

Trojúhelníková nerovnost ...................................................................

Ostroúhlý, pravoúhlý a tupoúhlý trojúhelník ......................................

Součet velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku .......................................

Konstrukce trojúhelníků ......................................................................

Vnější úhly trojúhelníku ......................................................................

Střední příčky trojúhelníku .................................................................

Těžnice trojúhelníku ............................................................................

Výšky trojúhelníku ..............................................................................

Kružnice trojúhelníku opsaná ..............................................................

Kružnice trojúhelníku vepsaná ............................................................

Souhrnná cvičení .................................................................................

97 99 100 101 102 103 105 106 108 109 111 113

7. Kvádr a krychle .........................................................................

115

1. Zobrazení kvádru a krychle ve volném rovnoběžném promítání .......

2. Objem tělesa ........................................................................................

3. Objemové jednotky ..............................................................................

4. Objem kvádru a krychle ......................................................................

5. Síť kvádru a krychle .............................................................................

6. Povrch kvádru .....................................................................................

7. Povrch krychle ....................................................................................

8. Nárys a půdorys kvádru a krychle .......................................................

9. Souhrnná cvičení ..................................................................................

115 118 119 122 123 124 126 127 131

8. Úlohy k opakování a procvičování učiva .................................

133

Řecká abeceda ...........................................................................

Přehled často užívaných symbolů ............................................

141 141

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Ú v o d e m Učebnice, kterou právě otvíráte, zahajuje novou řadu učebních textů pro matematiku v 6.–9. ročníku. Navazuje na učebnice matematiky pro 1.–5. ročník, které si již získaly značný okruh uživatelů. Autorský kolektiv se při zpracování pokusil využít dosavadních zkušeností a vytvořit soubor učebnic a pracovních sešitů (pro každý ročník jedna učebnice a jeden pracovní sešit), které budou srozumitelně rozvíjet matematické schopnosti žáků.

Věříme, že se nám to podařilo.

Zpracování učebnice i pracovního sešitu bylo náročné na grafickou úpravu. Všem, kteří se na celkové podobě publikací podíleli, patří náš dík.

Autoři

1 .

S h r n u t í a o p a k o v á n í u či v a z 1 .

5 . r o čn í k u

P ři r o z e n á čí s l a , p o če t n í v ý k o n y s p ři r o z e n ý m i čí s l y 1

1 Přečtěte čísla. Jedna číslice v zápisu čísel je červená. Jaké číslo tato červená číslice vyjadřuje ? (Příklad : 35 263, odpověď: 5 000 ) 82 243 513 200 622 317 983 741

234 276 2 630 799 306 001 200 700

123 456 407 600 18 901 802 37 298 476

55 555 005 4 368 728 20 036 901 3 070 444

2 Zapište: a) nejmenší a největší pěticiferné číslo, b) pěticiferné číslo, které je o 5 000 větší než číslo 83 601, c) pěticiferné číslo, které je o 5 000 menší než číslo 83 601, d) nejmenší a největší pěticiferné číslo, které lze vytvořit z číslic 0, 2, 4, 6, 8.

3 Zapište číslo, které má: a) 8 tisíc, 9 stovek, 8 desítek, 9 jednotek, b) 33 tisíc, 33 desítek, 3 jednotky, c) 72 tisíc, 22 stovek, 72 jednotek, d) 40 tisíc, 40 stovek, 40 desítek, 40 jednotek.

Zapsaná čísla nejprve uspořádejte podle velikosti (od nejmenšího k největšímu), potom zaokrouhlete – na desítky, na stovky, na tisíce.

4 Vypočítejte: 874 + 69 1 698 + 1 020 837 − 318 5 008 + 239 + 876

807 − (283 + 119) (652 + 331) − (406 + 347) (82 + 8) : (36 − 6) (9 − 5) + (80 : 4)

5 Pavel dosáhl ve třech basketbalových zápasech různého počtu bodů. V prvním zápase 13 bodů, ve druhém 8 bodů a ve třetím 12 bodů. Kolika bodů dosáhl Pavel průměrně v jednom zápase?

7

6 Vypočítejte zpaměti (zopakujte si pořadí početních výkonů a užijte početních výhod): 24 : 4 ∙ 12 : 9 ∙ 10 16 + 47 + 14 + 23 96 − 6 + 10 + 50 − 150 47 ∙ 2 ∙ 15 ∙ 0 20 ∙ 15 : 3 : 5 ∙ 6 15 ∙ 3 − 6 ∙ 7 7 ∙ 10 ∙ 7 − 4 ∙ 100 240 : 60 ∙ 12 : 8 7 Zapište tato čísla správně pod sebe a sečtěte: 47 609 + 6 548 + 365 048 + 840 854 75 491 + 375 + 70 400 + 96 385 246 500 + 805 + 123 004 + 7 848 24 705 + 489 333 + 608 + 7 216 8 Sečtěte libovolné: a) dva sčítance, aby vznikl součet 5 783, 60 054, 13 646, 157 882, 303 303, b) tři sčítance, aby vznikl součet 9 381, 30 680, 19 428, 7 090, 42 308, c) dva trojciferné sčítance, aby vznikl součet 427, 632, 1 100, 1 357, 1 648. d) Ve kterých případech v úlohách a, c nemohou být sčítanci stejní? Proč?

9 Řidič kamionu ujel v pondělí 687 km, v úterý 746 km a ve středu 598 km. Jakou vzdálenost urazil za tyto tři dny? Kolik km ujel průměrně denně? Který den „byl pod průměrem“?

10 V každém roce je 7 měsíců, které mají 31 dnů (Umíte je vyjmenovat?) .Kolik má těchto 7 měsíců celkem dnů? Kolik je to týdnů?

11 Průměr Země je 12 756 km, průměr Měsíce 3 476 km. O kolik kilometrů je větší průměr Země? O kolik kilometrů je větší poloměr Země než poloměr Měsíce?

12 Stroj vyrobí každých 8 minut jeden výrobek. Kolik výrobků vyrobí za 7 hodin a 4 minuty?

13 Pan Vávra spotřeboval ve svém novém voze 9 litrů benzinu na ujetí vzdálenosti 135 km. Na kolik kilometrů mu stačil 1 litr benzínu?

8

14 V naší ulici je 12 stromů. Vzdálenost mezi každými dvěma stromy je 5 metrů. Jaká je délka celé aleje? (Nakreslete si obrázek.)

15 Vypočítejte zpaměti: 94 54 90 470 630 120

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

5 7 30 1 0 3

4 9 8 6 0 1

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

44 11 15 28 39 39

65 72 96 84 105 57

: : : : : :

5 4 6 7 5 3

642 270 342 575 504 172

: : : : : :

2 1 6 5 8 4

16 Proveďte odhad výsledku a vypočítejte písemně. Kontrolu proveďte pomocí kalkulačky. Výsledky zaokrouhlete: a) na tisíce

b) na stovky

c) na desítky

198 ∙ 3

65 ∙ 11

19 ∙ 69

207 ∙ 51

2 538 ∙ 39

6 951 ∙ 189

516 7

31 ∙ 29

82 ∙ 89

318 ∙ 44

3 999 ∙ 78

5 706 ∙ 327

356 ∙ 9

98 ∙ 21

41 ∙ 51

469 ∙ 34

9 318 ∙ 45

2 479 ∙ 686

∙

17 VĚDA V DATECH a) Americký vynálezce Thomas Alva Edison se narodil roku 1847, zemřel roku 1931. Jakého věku se dožil? b) Edison vynalezl žárovku v roce 1879. Kolik mu bylo let? c) Albert Einstein se narodil roku 1879, zemřel v 76 letech. Ve kterém roce to bylo? d) První jaderná elektrárna začala vyrábět elektrickou energii v roce 1951. Kolik bylo tehdy Einsteinovi let? e) První umělý satelit (družici Země) navrhl anglický vědec Isaac Newton v roce 1689. První kosmický let s lidskou posádkou (Jurij Gagarin) se uskutečnil v roce 1961. O kolik let později to bylo? f) První počítací stroj sestrojil francouzský matematik Blaise Pascal roku 1642.

Před kolika lety to bylo? g) Podstatu očkování (vakcinace) objevil francouzský vědec Louis Pasteur roku 1881. Vakcína proti obrně byla objevena roku 1953. O kolik let později to bylo?

9

h) Lékař a humanista Albert Schweitzer, zakladatel nemocnice v africkém Lambaréné, se narodil roku 1875. Nobelovu cenu obdržel roku 1952. Kolik mu bylo tehdy let?

Zjistěte o těchto i jiných slavných osobnostech světové vědy další zajímavé informace.

18 Vyhledejte taková a, pro která platí: a) (a ∙ a) + 14 = 30 (řešení: a = 4) (a ∙ a) + 20 = 24 (a ∙ a) + 35 = 60 (a ∙ a) + 38 = 138 (a ∙ a) + 40 = 49 b) (a ∙ a) + 10 = 7 ∙ a

(řešení: a = 2 nebo a = 5)

(a ∙ a) + 12 = 7 ∙ a (a ∙ a) + 21 = 10 ∙ a (a ∙ a) + 35 = 12 ∙ a (a ∙ a) + 54 = 15 ∙ a 19 Vypočítejte písemně a proveďte zkoušku.

252 : 3 891 : 9 3 616 : 8

335 : 5 483 : 7 4 536 : 7

522 : 6 546 : 7 3 948 : 3

492 : 4 852 : 3 3 282 : 6

20 Určete zpaměti neúplný podíl a zbytek. Proveďte zkoušku.

34 : 4 47 : 5 85 : 7

58 : 9 73 : 6 76 : 8

261 : 2 174 : 4 428 : 5

496 : 7 703 : 8 370 : 6

21 Vypočítejte a proveďte zkoušku.

5 706 : 8 2 131 : 5 7 423 : 9

2 080 : 7 6 003 : 4 1 296 : 7

39 505 : 4 83 582 : 6 25 779 : 8

22 Dělte (písemně) a proveďte zkoušku.

182 : 26 684 : 76 2 720 : 34

8 050 : 35 9 400 : 47 8 790 : 10

5 320 : 10 6 996 : 11 7 866 : 23

23 Jeden okruh na atletické dráze měří 400 metrů. Kolik metrů uběhli závodníci, kteří proběhli okruh pětadvacetkrát? Kolik je to kilometrů?

1 0

24 Martin má 221 starých mincí. Na každou stránku jeho alba se vejde 12 mincí. Kolik stránek má zaplněných? Kolik mincí je na poslední stránce alba?

25 Romana o prázdninách na starý dědečkův fotoaparát vyfotografovala 2 filmy po 36 snímcích. Kolik stránek alba fotografiemi zaplní, vejdou-li se na každou stránku 4 fotografie? Bude jí stačit album s 20 stránkami?

26 Kostra člověka je tvořena 206 kostmi. Na hlavě máme 29 kostí, kostru trupu tvoří o 28 kostí více. Každá ruka má 30 kostí. Kolik kostí máme na každé noze?

27 ČAS Víme, že 1 den má 24 hodin, 1 hodina má 60 minut, 1 minuta má 60 sekund. a) Kolik hodin má jeden týden? Kolik je to minut? Kolik je to sekund? b) Eva má vyučování od 8 hodin do 13.30 hodin. Kolik je to hodin? Kolik je to minut? c) Jitka šla spát ve 22 hodin večer, vstávala v 7 hodin ráno. Kolik hodin spala? Kolik je to minut? d) Kolik hodin má nejkratší měsíc v roce? Kolik je to minut? Kolik je to sekund?

28 Určete čísla a, b, víte-li, že: a) a + b = 9 , a ∙ b = 18 b) a + b = 10, a ∙ b = 25 c) a + b = 13, a ∙ b = 12 d) a + b = 17, a ∙ b = 0 29 Ve dvou koších je 120 jablek. Když odebereme z jednoho koše 28 jablek, bude v obou koších stejně. Kolik jablek je v každém koši?

30 Pan Vaněk rozřezal trámek o délce 1 m 40 cm na dva díly. Jeden díl byl o 20 cm delší než druhý. Jaká byla délka obou dílů?

31 Myslím si dvě čísla. Jejich součet se rovná 26, jejich rozdíl 6. Která jsou to čísla?

32 Marek cestoval autobusem a vlakem. Za jízdenku na autobus zaplatil 24 Kč, za jízdenku na vlak třikrát více. Kolik Kč Marek zaplatil za obě jízdenky celkem?

33 Tři stejné sklenice kompotu jsou za 54 Kč. Kolik korun zaplatíme za 5 takových sklenic?

34 Vagón naložený uhlím má hmotnost 24 t. Prázdný vagón je čtyřikrát lehčí. Jaká je hmotnost naloženého uhlí?

35 Hmotnost bedny se zbožím je 35 kg. Kolikrát je bedna lehčí než zboží, je-li hmotnost bedny 5 kg?

1 1

36 Z místa A do místa B je to po dálnici 250 km. Kolik kilometrů zbývá do cíle řidiči po 2 hodinách jízdy, jede-li průměrnou rychlostí 80 km/h?

37 Ze dvou měst, vzdálených od sebe 66 km, vyjeli proti sobě dva cyklisté. Jeden jede průměrnou rychlostí 18 km/h, druhý 15 km/h. Za kolik hodin se setkají?

38 Topol je vysoký 20 metrů. To je pětkrát více, než je výška jabloně. Jaká je výška jabloně? O kolik metrů je jabloň nižší než topol?

39 Na jedné straně ulice Zahradní je postaveno 35 domů, což je o 5 domů více než na druhé straně. Kolik domů je postaveno na druhé straně ulice? Kolik domů je na obou stranách?

40 Po obou stranách ulice Lipové stojí 46 domů. Na jedné straně je o 8 domů více než na druhé straně ulice. Kolik domů stojí na každé straně ulice?

41 Na turistický výlet šlo 14 chlapců a 9 děvčat. Dopoledne ušli 12 km, odpoledne o polovinu km méně. Kolik km urazili za celý den?

42 V uzavřené nádobě je 10 bílých a 10 černých kuliček. Kolik kuliček musíme nejméně vytáhnout, abychom měli jistotu, že budeme mít aspoň dvě kuličky téže barvy?

43 Doplňte znaky početních operací a závorky tak, aby byla splněna rovnost. a) 15 15 15 15 15

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

= 10 = 20 = 27 = 39 =3

b) 20 20 20 20 20

2 2 2 2 2

5 5 5 5 5

= 50 = 15 = 17 = 45 = 90

c) 15 d) 20

1 2

2 2

3= 5=

Z l o m k y a d e s e t i n n á čí s l a 2 1 Přečtěte zlomky: 1 , 2

1 , 3

1 , 5

2 , 5

3 , 4

8 , 10

12 , 15

7 , 9

6 , 12

10 .

20

Podtržené zlomky porovnejte. Zopakujte si pojmy čitatel, zlomková čára, jmenovatel.

2 Zapište ve tvaru zlomku: jedna čtvrtina, dvě třetiny, tři pětiny, šest desetin, sedm třináctin, pět sedmin, deset dvacetin, patnáct šestnáctin, čtyři devítiny, dvě setiny, deset setin.

3 Určete, kolik minut trvají dvě třetiny hokejového utkání, poločas basketbalového utkání, jedna vyučovací hodina, jedna šedesátina hodiny, fotbalový zápas. Údaje zapište jako zlomek hodiny.

4 Katka, Petr a Libor si rozdělili 150 Kč. Vyjádřete zlomkem, kolik dostal každý z nich, jestliže dostali stejně. Kolik je to korun?

5 Ondra psal domácí úkol 20 minut a potom se půl hodiny díval na televizi. Která činnost trvala déle? O kolik minut? (Vyjádřete oba časové údaje zlomkem.)

6 Sečtěte: 1 1 + 2 2

1 1 1 + + 3 3 3

4 1 2 ++ 10 10 10

1 1 + 3 3

1 3 + 5 5

10 30 40 ++ 100 100 100

1 4 7 Lenka snědla 6 pizzy, Dušan s Honzou snědli dohromady 6 pizzy. Jaký díl pizzy snědl každý chlapec, jestliže snědli stejně? Jaký díl pizzy zůstal?

5 2 8 Tomáš cestoval k babičce. 8 cesty jel vlakem, 8 cesty autobusem, zbytek cesty šel pěšky. Jaký díl cesty šel pěšky? Jak daleko má Tomáš babičku, když pěšky ušel 3 km?

1 3