Boka er satt sammen av kapitler som setter søkelyset på ulike sider ved samtaleorientert matematikkundervisning ut fra Brousseaus (1997) teori om didaktiske situasjoner. Kapitlene bygger på forskningsresultater fra LaUDiM-prosjektet. Boka er skrevet for lærere og lærerstudenter, primært på masternivå. Oda Tingstad Burheim, Heidi Dahl, Torunn Klemp, Frode Rønning og Heidi Strømskag er bidragsytere i boka, sammen med Vivi Nilssen og Siri-Malén Høynes som er bokas redaktører.
www.fagbokforlaget.no ISBN 978-82-450-3195-9
,!7II2E5-adbjfj!
– et samspill mellom didaktiske og adidaktiske situasjoner
Siri-Malén Høynes er førsteamanuensis i matematikk ved NTNU, Institutt for lærerutdanning. Hun har publisert forskning nasjonalt og internasjonalt på området lærerstudenters undervisning i matematikk.
SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
Vivi Nilssen er professor i pedagogikk ved NTNU, Institutt for lærerutdanning. Hun har lang erfaring som lærer og lærerutdanner. Mange års forskning på begynneropplæring og veiledning av lærerstudenters undervisning i matematikk er publisert nasjonalt og internasjonalt.
Et hovedpoeng i denne boka er didaktiske og adidaktiske undervisningssituasjoner. De første er situasjoner der læreren gir elevene mye støtte, mens de andre er situasjoner der elevene konstruerer kunnskapen selv. Når vi modellerer for elevene, tar vi fra dem deres kreative evner? Når vi viser dem løsningsmetoder, gir vi dem begrensninger og ikke muligheter? Hva skjer dersom vi lar elevene selv i mye større grad få samtale og diskutere seg fram til løsninger, med lærerens tilrettelegging, men uten lærerens hjelp?
Vivi Nilssen og Siri-Malén Høynes (red.)
Mange elever tror at matematikk er å imitere det læreren viser på tavla. Men hva skjer med den matematiske samtalen når elevene selv må finne ut hvordan de skal løse oppgavene?
Vivi Nilssen og Siri-Malén Høynes (red.)
SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK – et samspill mellom didaktiske og adidaktiske situasjoner
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 2
2020-10-09 12:45:13
Vivi Nilssen og Siri-Malén Høynes (red.)
SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK – et samspill mellom didaktiske og adidaktiske situasjoner
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 3
2020-10-09 12:45:13
Copyright © 2020 by Vigmostad & Bjørke AS All Rights Reserved 1. utgave / 1. opplag 2020 ISBN: 978-82-450-3195-9 Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Omslagsdesign ved forlaget
Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no
Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 4
2020-10-09 12:45:13
5
FORORD
Tittelen på boka, Samtaleorientert matematikk – et samspill mellom didaktiske og adidaktiske situasjoner, setter søkelyset på de to mest sentrale områdene vi som forfattere har utforsket i intervensjonsprosjektet Language use and development in the mathematics classroom (LaUDiM). Første del henspiller på kjernen prosjektet ble bygd opp rundt: betydningen av språk og dialog i undervisning og læring av matematikk. Andre del knytter seg til rammeverket vi valgte i prosjektet, Teorien for didaktiske situasjoner (TDS) som hjalp oss til å utvikle slik undervisning. Didaktiske og adidaktiske situasjoner er ulike når det gjelder grad av direkte lærerinvolvering. Gjennom kapitlene i boka viser vi, teoretisk og empirisk, hvordan læring skjer gjennom samspill mellom disse situasjonene. Vi som har skrevet boka, har vært så heldige å få følge to elevgrupper gjennom flere skoleår fra 2. klasse. Vi skylder disse elevene en stor takk for at de lot oss få innblikk i hvordan de tenkte og samarbeidet når de løste matematiske problemer. Takk også til lærerne Oda Tingstad Burheim og Karoline Gillebo Dragvoll. De lot oss komme tett på den travle hverdagen deres og delte villig tanker om matematikkundervisningen. Vi anerkjenner at det er utfordrende å bli fotfulgt av kameraer. Som likeverdige deltakere i prosjektgruppa har de også vært viktige bidragsytere i tankeutviklingen i prosjektet og i analyse av datamaterialet. Raymond Bjuland, Hilda Borko, Martin Carlsen, Barbara Jaworski, Jeppe Skott og Kjersti Wæge, nasjonale og internasjonale kapasiteter innenfor matematikkdidaktikk og skoleutvikling, har vært solide støttespillere for oss gjennom aktiv deltakelse i prosjektets referansegruppe. Tusen takk for at dere lyttet til oss og kom med konstruktive innspill underveis. Konstruktive innspill fikk vi også fra den anonyme
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 5
2020-10-09 12:45:13
6 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
fagfellen – tusen takk. En takk også til Norges forskningsråd som har støttet prosjektet gjennom FINNUT-programmet, og til vår egen institusjon, NTNU. Så til Hallvard Aamlid som så for seg ei bok fra første dag da støtten ble innvilget – dine konstruktive tilbakemeldinger og åpenhet har vært avgjørende. Vi setter stor pris på din tålmodighet med oss forfattere som ikke alltid har kunnet prioritere skrivearbeidet. Når boka nå er ferdig, skylder vi deg en stor takk. Trondheim, oktober 2020 Vivi Nilssen og Siri-Malén Høynes Redaktører
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 6
2020-10-09 12:45:13
7
INNHOLD
INNLEDNING ........................................................................................................ 13 Mål og målgruppe .................................................................................................. 17 Hva handler boka om? ............................................................................................ 17 Noen avklaringer til leseren .................................................................................... 20 Referanser ............................................................................................................... 20
DEL 1 TEORETISK GRUNNLAG ............................................................................................. 23 KAPITTEL 1 TEORIEN FOR DIDAKTISKE SITUASJONER I MATEMATIKK .................................... 25 Heidi Strømskag
Innledning............................................................................................................... 25 Preludium til begrepet didaktisk situasjon............................................................. 28 Et didaktisk scenario – en skisse av en didaktisk situasjon ........................... 29 Overlevering ......................................................................................... 31 Elementer for å løse problemet ............................................................ 33 Forpliktelser i situasjonen ..................................................................... 34 Problemløsning uten lærerintervensjon .............................................. 34 Dekontekstualisering av den oppnådde kunnskapen ......................... 35 Løsningen på problemet: en manifestasjon av det søkte teoremet ..... 35 Noen sentrale begreper i TDS ................................................................................ 36 Miljø................................................................................................................ 36 Adidaktisk situasjon og fundamental situasjon............................................. 37 En fundamental situasjon for et bestemt teorem og dets system av matematiske forutsetninger ......................................................... 38 En fundamental situasjon for proporsjonalitet ..................................... 39
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 7
2020-10-09 12:45:13
8 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
Nødvendigheten av adidaktiske situasjoner ........................................ 43 Et miljø med adidaktisk potensial for klassifikasjon av polygoner (mangekanter) .................................................................................. 45 Didaktiske variabler ....................................................................................... 48 Didaktisk kontrakt .......................................................................................... 49 En didaktisk situasjon og dens faser ...................................................................... 49 Fasene i en didaktisk situasjon ...................................................................... 50 Devolusjon ..................................................................................................... 50 Aksjon, formulering og validering ................................................................. 50 Regulering ............................................................................................. 51 Institusjonalisering ........................................................................................ 52 Didaktisk situasjon ......................................................................................... 53 Didaktiske fenomener ............................................................................................ 55 Topaze-effekt.................................................................................................. 56 Jourdain-effekt ............................................................................................... 57 Implisitt antydning om analogi...................................................................... 57 Metakognitivt skift ......................................................................................... 58 Metamatematisk skift .................................................................................... 58 Dienes-effekt .................................................................................................. 59 En teoretisk zoom på læring i TDS.......................................................................... 60 To typer læring: tilpasning og akkulturasjon ................................................. 61 Begynnelsen: i overensstemmelse med konstruktivistisk teori .................... 62 Utvidelse av teorirammen: analyse av relasjonen mellom design og matematisk kunnskap ................................................................................ 63 Et sosiokulturelt perspektiv: matematisk kunnskap mediert av en didaktisk situasjon................................................................................. 64 Læring som en situert aktivitet: med mål om kulturell kunnskap................. 66 Undervisning av brøk gjennom en familie av didaktiske situasjoner ......................................................................................... 67 Metodologi ............................................................................................................. 69 Didaktisk ingeniørvirksomhet ....................................................................... 70 Forberedende analyser av målkunnskapen ......................................... 70 Design og a priori -analyse .................................................................... 72 Realisering, observasjon, datainnsamling og in vivo -analyse ............. 73 A posteriori -analyse og validitetsvurdering ......................................... 73 Postludium .............................................................................................................. 74 Referanser ............................................................................................................... 76
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 8
2020-10-09 12:45:13
9 INNHOLD
KAPITTEL 2 DIDAKTISK INGENIØRVIRKSOMHET I MATEMATIKK .............................................. 81 Heidi Strømskag
Innledning............................................................................................................... 81 Metodologi ............................................................................................................. 82 Didaktisk ingeniørvirksomhet ....................................................................... 83 Forberedende analyser ......................................................................... 83 Design og a priori -analyse av en undervisningssituasjon .................... 84 Realisering, observasjon, datainnsamling og in vivo -analyse ............. 84 A posteriori -analyse og validitetsvurdering ......................................... 84 En teoretisk zoom på multiplikative strukturer ...................................................... 85 Tre undertyper av multiplikative strukturer ................................................... 86 Multiplikasjon for å modellere situasjoner med positive, hele tall ................ 87 Preanalyse ............................................................................................................... 89 Design og a priori -analyse av en undervisningssekvens ....................................... 90 Ulike typer kunnskap i matematikk: et faglig intermesso ............................. 90 Teamets diskusjon av en konvensjon: faktorenes orden i et produkt ........... 91 Didaktisk intensjon og matematikkoppgaver ............................................... 94 Realisering i klasserommet – økt 1 ......................................................................... 95 Elevenes løsninger på oppgave 1: aksjon og formulering ............................ 95 Elevenes løsninger: et analytisk intermesso ................................................. 99 Presentasjon for klassen: validering av metodene ...................................... 101 Illustrasjon av like grupper .................................................................. 101 Matematisk notasjon: å skrive oppgaven som et regnestykke .......... 102 Refleksjonsmøte etter økt 1 – in vivo-analyse ...................................................... 105 Realisering i klasserommet – økt 2 ....................................................................... 105 Institusjonalisering av produktnotasjon...................................................... 105 Motivasjon for produktnotasjon ......................................................... 108 A posteriori -analyse av undervisningssekvensen ................................................ 109 Devolusjon, aksjon, didaktisk kontrakt og informasjonssprang ................. 110 Miljø og didaktiske variabler ........................................................................ 110 Formulering ................................................................................................. 110 Validering ..................................................................................................... 111 Institusjonalisering ...................................................................................... 111 Diskusjon og gyldighet ......................................................................................... 112 Et TDS-glossar for studien .................................................................................... 115 Referanser ............................................................................................................. 118
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 9
2020-10-09 12:45:13
10 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
KAPITTEL 3 BETYDNINGEN AV EN FAGLIG OG FAGDIDAKTISK FØRANALYSE I UTVIKLINGEN AV ET UNDERVISNINGSFORLØP ......................................................................... 121 Frode Rønning og Oda Tingstad Burheim
Innledning............................................................................................................. 121 Preanalysens rolle i LaUDiM-prosjektet................................................................ 123 Noen teoretiske modeller for multiplikasjon og divisjon ..................................... 125 Hva menes egentlig med en multiplikativ situasjon? ................................. 126 Vergnauds teori om begrepsfelt .................................................................. 127 Delingsdivisjon og målingsdivisjon ............................................................. 130 Ulike måter å innføre multiplikasjon og divisjon på ............................................. 132 Eksempler fra lærebøker.............................................................................. 132 Eksempler fra LaUDiM-prosjektet ............................................................... 134 Eksempler på elevers arbeid med multiplikative situasjoner .............................. 138 Multiplikativ sammenligning ....................................................................... 138 Like grupper (like mål) ................................................................................. 139 Rektangulært mønster................................................................................. 142 Kartesisk produkt (antall kombinasjoner) ................................................... 144 Multiplikativ endring (proporsjonalitet) ...................................................... 149 Avslutning ............................................................................................................. 155 Referanser ............................................................................................................. 156
DEL 2 BRUK AV SPRÅK I KLASSEROMMET ........................................................................ 159 KAPITTEL 4 SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID ................................................................................................ 161 Heidi Dahl, Torunn Klemp og Vivi Nilssen
Å snakke for å lære ................................................................................................ 163 Barns samarbeid i matematikk – hva vet vi? ........................................................ 166 Valg og analyse av datamaterialet ........................................................................ 169 Jentedialogen........................................................................................................ 170 Åpen deling av ideer for å utforske problemet ............................................ 170 Sikrer felles forståelse og felles eierskap til løsningen ................................ 173 Oppsummering av jentedialogen ............................................................... 176 Guttedialogen ....................................................................................................... 177 Konkurrerende ideer .................................................................................... 177 Individualisert prosjekt ................................................................................ 179 Oppsummering av guttedialogen ............................................................... 182 Hvilke faktorer virker inn på faglig framgang i elevdialogene?............................ 183
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 10
2020-10-09 12:45:13
11 INNHOLD
Elever trenger en språklig verktøykasse .............................................................. 187 Referanser ............................................................................................................. 188
KAPITTEL 5 TEGNING SOM VERKTØY FOR Å UTFORSKE MULTIPLIKATIVE SITUASJONER ........ 193 Heidi Dahl
Representasjoner i matematikk............................................................................ 195 Tegning som medierende verktøy ............................................................... 197 Barns bruk av tegninger – hva vet vi? .......................................................... 198 En studie av tredjeklassingers bruk av tegninger ................................................ 200 Analyse av elevenes skriftlige arbeider........................................................ 201 Analyse av videomaterialet .......................................................................... 202 Elevens bruk av tegning i denne studien ............................................................. 202 Kvaliteter ved tegningene............................................................................ 203 Ikoniske og piktografiske tegninger ................................................... 203 Symbolenes rolle i tegningen ............................................................. 205 Matematisk samsvar i tegningene ...................................................... 205 Tegning som problemløsningsverktøy ........................................................ 207 Tegning som utforskningsverktøy ...................................................... 207 Tegning som informasjonsholder og telleverktøy .............................. 208 Tegning som støtte for å utvikle regnestrategi ................................... 210 Tegning som representasjon av svaret ............................................... 213 Diskusjon .............................................................................................................. 215 Elevenes tegneaktivitet og kontekstens struktur ........................................ 215 Elevenes tegninger som grunnlag for å videreutvikle multiplikativ kunnskap .................................................................................................. 216 Studiens implikasjoner ......................................................................................... 217 Referanser ............................................................................................................. 219
KAPITTEL 6 «OKEI?» – LÆREREN SOM RESPONDERENDE GUIDE I ELEVENES TANKEUTVIKLING ............................................................................................... 223 Torunn Klemp
Fra formidler til støtte og guide ............................................................................ 225 Å forstå hva eleven forstår............................................................................ 226 Læring gjennom undersøkelser .................................................................. 227 Å konstruere mening i et sosialt samspill .................................................... 228 Dialogen i matematikk-klasserommet – hva vet vi? ............................................. 229 Studien av Pias kommunikasjon ........................................................................... 232 Støtter progresjon og fokuserer .................................................................. 235 Elevenes tenkning og forståelse i sentrum.................................................. 238 Støttende stillas i sammenligningsprosesser .............................................. 239
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 11
2020-10-09 12:45:13
12 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
Stiller spørsmål som klargjør tanker ............................................................ 241 Støtte som kan holde motivasjonen oppe ................................................... 245 Å være på og å støtte – uten å ta over ................................................................... 245 Hva kan matematikklærere lære av studien av Pia?............................................. 248 Referanser ............................................................................................................. 249
KAPITTEL 7 BRUK AV ELEVARBEID I HELKLASSESAMTALEN ................................................... 253 Siri-Malén Høynes og Vivi Nilssen
Helklassesamtaler i matematikk – hva vet vi? ...................................................... 254 Teoretiske perspektiver på helklassesamtalen ..................................................... 257 Undervisningssamtalen ............................................................................... 258 Helklassesamtalen som institusjonalisering ............................................... 260 En studie av hva lærerne gjør i institusjonaliseringsfasen ................................... 261 Illustrasjon 1: Knytter sammen ulike representasjoner ............................... 262 Kontekst 1: Pepperkaker.............................................................................. 263 Kontekst 2: Antrekk...................................................................................... 267 Illustrasjon 2: Knytter sammen hverdagsbegreper og vitenskapelige begreper................................................................................................... 270 Diskusjon .............................................................................................................. 278 Valg og bruk av elevarbeid i et faglig perspektiv ................................ 278 Elevperspektivet – å involvere alle ...................................................... 280 Institusjonalisering og dekontekstualisert kunnskap ........................ 282 Å veve sammen ................................................................................... 283 Hva betyr dette for lærerutdanningen? ............................................................... 284 Referanser ............................................................................................................. 285
LAUDIM-PROSJEKTET – NOEN ERFARINGER OG IMPLIKASJONER ....................... 289 Betydningen av preanalyse av matematisk innhold ............................................ 289 Betydningen av å øve kommunikative ferdigheter .............................................. 291 Og helt til slutt....................................................................................................... 292
VEDLEGG 1 LAUDIM-PROSJEKTET – NOEN METODISKE SPØRSMÅL ...................................... 293 Gjennomføring av prosjektet ............................................................................... 293 Samarbeid i prosjektet.......................................................................................... 295 Datainnsamling .................................................................................................... 296 Etiske betraktninger ............................................................................................. 297
FORFATTERPRESENTASJONER ........................................................................... 299
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 12
2020-10-09 12:45:13
161
KAPITTEL 4
SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID Heidi Dahl, Torunn Klemp og Vivi Nilssen
I do not think that merely increasing the amount of pupil talk in mathematics classes should be seen as an end itself. It is essential that the conversations be task-focused and the style and level of explicitness of the talk are both important. The pupils need to have some idea of why they are being encouraged to talk, for among other things, without knowledge of the purpose, criteria cannot be brought into play about adequacy and explicitness of the account. (Pimm, 2017, s. 48)
Pimms vektlegging av den faglige hensikten med at elevene samtaler i matematikktimene, samsvarer med tenkninga bak de TDS-inspirerte undervisningsøktene vi har jobbet med i LaUDiM. Vi har i stor grad gjort bruk av elevsamarbeid, og vi har lagt vekt på at elevene skulle få god informasjon om hva de skulle gjøre og hva de i fellesskap skulle komme fram til. En studie fra prosjektet (Nilssen & Klemp, 2020) viser at læreren blant annet modellerte for å støtte det faglige samspillet mellom elevene. «Å arbeide som matematikere» stod fram som det overordna målet for arbeidet, elevene skulle tilegne seg en måte å kommunisere på der blant annet det å argumentere for egne valg og å bli enige er sentralt. I dette kapitlet setter vi søkelyset på hva som skjer når elever får denne typen samarbeidsoppgaver, og hvordan samarbeidet virker inn på faglig framgang. Både teori (Vygotsky, 1987) og forskning (f.eks. Mercer & Sams, 2006) peker på betydningen av språk og sosial interaksjon i læring av matematikk.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 161
2020-10-09 12:45:29
162 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
Å lære matematikk innebærer mer enn å følge innlærte prosedyrer og løse isolerte problemer uten feil. Matematisk literacy inneholder også en refleksiv diskurs, en sosial aktivitet som er umulig uten kommunikasjon (Pimm, 2017). Dette er også vektlagt i den norske læreplanen, hvor Resonnering og argumentasjon og Representasjon og kommunikasjon er to av seks kjerneelementer i matematikk. I beskrivelsen av kjerneelementene står det blant annet: Kommunikasjon i matematikk handlar om at elevane bruker matematisk språk i samtalar, argumentasjon og resonnement. Elevane må få høve til å bruke matematiske representasjonar i ulike samanhengar gjennom eigne erfaringar og matematiske samtalar. Elevane må få høve til å forklare og grunngi val av representasjonsform. Elevane må kunne omsetje mellom det matematiske symbolspråket og daglegspråket og veksle mellom ulike representasjonar. (Utdanningsdirektoratet, 2020)
Matematisk tenkning innebærer å kommunisere både med seg selv og med andre om matematiske objekter og sammenhenger mellom disse. Til tross for dette advarer noen forskere mot sterk vektlegging av elevsamarbeid. Forskningsstudier viser at gruppesamtaler ofte både er lite samarbeidsorientert, gjenspeiler liten grad av likeverdighet mellom partene, er lite produktive og har annet fokus enn oppgaven (Mercer & Sams, 2006). Sfard og Kieran (2001) peker på at interaksjon med andre, der elevenes oppmerksomhet ofte trekkes i mange retninger, tvert imot kan være direkte kontraproduktivt. Det er svært krevende å holde en velfokusert samtale gående som samtidig er problemløsende og kreativ, og de argumenterer for at sterk motivasjon er nødvendig for å bli engasjert i slike matematiske samtaler. Studien konkluderer med at utbyttet av den matematiske samtalen har nær sammenheng med hvor effektiv kommunikasjonen mellom elevene er. Mercer, Wegerif og Dawes (1999) hevder at balanse mellom lærerledet undervisning, gruppearbeid og individuelt arbeid gir den beste utdanninga. Vi trenger imidlertid fortsatt å finne ut mer om innholdet i produktive dialoger som støtter matematisk tenkning og læring (van Oers, 2013). I denne nærstudien utforsker vi hva som skjer når to elevpar i LaUDiM-prosjektet tilsynelatende har svært ulikt utbytte av samarbeid om matematikkoppgaver innenfor multiplikasjon. I dette kapitlet belyser vi hvilke faktorer det er som virker inn på faglig framgang i elevdialogene.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 162
2020-10-09 12:45:29
163 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
Å SNAKKE FOR Å LÆRE To trekk ved sosiokulturell teori er spesielt relevant for vår studie. Det første er at høyere mentale funksjoner, som for eksempel resonnering og problemløsning, starter i det sosiale. Som mennesker tilegner vi oss måter å tenke og handle på i kulturen vi er en del av, og gjør dem til våre egne. Det andre er at høyere mentale funksjoner som for eksempel resonnering og andre menneskelige handlinger er mediert av redskaper, der språket er det viktigste. Medieringa er i dette perspektivet brua som forbinder det ytre og det indre, og dermed det sosiale med det individuelle (Wertsch & Stone, 1985). Med dette utgangspunktet studerer vi elever som er del av en klasseromskultur der de lærer sammen med andre gjennom å bruke de kulturelle redskapene som er tilgjengelige for dem. Slike redskaper kan være begreper, tegninger og konkretiseringsmateriell. Vi forstår hver læringssituasjon som en sosialt konstruert situasjon som er basert på hva som har skjedd tidligere, og de kunnskapene, holdningene og verdiene lærere og elever bringer med seg til disse møtene. Språket, inkludert matematiske tegn og symboler, er ifølge Vygotskij (1978) det viktigste medierende redskapet, både for utvikling og deling av kunnskap mellom mennesker og for den enkeltes tankeutvikling. Med dette teoretiske utgangspunktet kan vi ikke avgrense oss til å studere språkets betydning for det intramentale, det som skjer i elevens individuelle tenkning og for overføring av kunnskaper fra et individ til et annet. Dette må ses i sammenheng med språkets intermentale funksjon når det gjelder å omdanne individets forståelse gjennom kollektiv tenkning og utvikling av felles forståelse i gruppa (intersubjektivitet). Slik vi har beskrevet i denne boka, bygger vår TDS-inspirerte undervisningsform på dialog mellom elever og mellom lærer og elev(er). Alexander er en britisk utdanningsforsker som har utviklet et pedagogisk program for dialogisk undervisning. Det epistemologiske grunnlaget for programmet som beskrives under overskriften «Learning to talk, talking to learn» (Alexander, 2017, s. 10), er basert på arbeidene til Vygotskij og Bakhtin. Alexander presenterer fem nøkkelprinsipper som han mener utnytter kraften dialogen har til å stimulere og utvikle elevers tenkning, læring og forståelse. Dialogisk undervisning er:
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 163
2020-10-09 12:45:29
164 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
Kollektiv (foregår i klasse eller gruppe, et sted for felles læring og undersøkelse) Gjensidig (deltakerne lytter til hverandre, deler og tar alternative ideer i betraktning) Støttende (deltakerne føler seg i stand til å uttrykke ideer fritt, uten risiko for å føle seg brydd over «feile svar», og de hjelper hverandre til å nå delt forståelse) Kumulativ (deltakerne bygger på sine egne og hverandres ideer og knytter dem inn i en sammenhengende argumentasjon) Målrettet (samtalen er planlagt og styrt med spesifikke læringsmål i sikte)
De tre første punktene beskriver dialogens form, mens de to siste punktene beskriver innholdet i dialogen. Alexander beskriver også ulike talehandlinger som kan styrke og støtte interaksjon. Elevene skal settes i stand til å kunne
fortelle forklare instruere stille ulike typer spørsmål motta, handle og bygge på grunnlag av svar analysere og løse problemer spekulere og forestille seg undersøke og vurdere ideer diskutere argumentere, resonnere og begrunne forhandle
For å kunne utføre disse talehandlingene effektivt med andre understreker Alexander imidlertid at elevene også må kunne lytte, være åpne for alternative synspunkt, kunne tenke igjennom hva de hører, og kunne gi andre tid til å tenke (s. 40). Dette er ferdigheter som Alexander selv (2018) mener å finne innenfor normer for diskusjon, slik de er foreslått av andre forskere (Mercer & Littleton, 2007; Michaels & O’Connor, 2015). Utforskende samtaler (exploratory talk) er en type samtaler der språket brukes på en måte som er effektivt for eksplisitt resonnering
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 164
2020-10-09 12:45:29
165 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
i samarbeidssituasjoner (Barnes & Todd, 1977; Littleton & Mercer, 2010). I slike samtaler har partene et gjensidig ansvar for å synliggjøre kunnskapen som ligger til grunn i resonnement og argumentasjon. De deler kunnskap, utfordrer ideer, vurderer bevis og sammenligner muligheter før de tar en felles avgjørelse på grunnlag som er troverdig for partene. En atmosfære preget av åpenhet for nye ideer og gode argumenter er avgjørende: «It is a speech situation in which everyone is free to express their views and in which the most reasonable views gain acceptance» (Littleton & Mercer, 2010, s. 279). Ifølge Barnes og Todd (1977) er utforskende samtaler også avhengig av at elevene deler oppfatninger om hva som er relevant for diskusjonen, og hva de prøver å oppnå gjennom den. Littleton og Mercer (2010) beskriver også to andre typer samtaler som kan gjenfinnes i klasseromsdiskusjoner. I kumulative samtaler (cumulative talk) bygger den talende på en positiv, men ukritisk måte på hva den andre har sagt. Deltakerne i samtalen er konsensussøkende. Også denne samtaletypen innebærer deling av informasjon, felles avgjørelser, repetisjoner, bekreftelser og utdypninger, men det er altså ingen kritisk vurdering av ideene som legges fram. Den tredje samtaletypen, disputtpregede samtaler (disputational talk), karakteriseres gjennom konkurranse, uenighet og individuelle beslutninger med få forsøk på å kombinere ressursene til samtalepartnerne, mangel på konstruktiv kritikk og mangel på forslag til løsninger. Ifølge Littleton og Mercer kan klasseromsdiskusjoner veksle mellom disse tre samtaletypene. I matematiske samtaler der vi skal utforske og kommunisere matematiske ideer, er ulike representasjoner uunnværlige medierende redskaper. Dette henger sammen med de matematiske objektenes abstrakte natur. Duval (2006) hevder at all matematisk aktivitet innebærer at en semiotisk representasjon byttes med en annen. Eksempelvis kan en tegning byttes med et regnestykke, eller et stykke med gjentatt addisjon kan skrives som et multiplikasjonsstykke. Duval deler de semiotiske representasjonene inn i fire registre basert på mulighetene hvert av dem har når det gjelder å gjennomføre matematiske prosesser: naturlig språk, symbolsk system, ikoniske og ikke-ikoniske tegninger, og diagrammer og grafer. Bytte av, eller det Duval kaller transformasjoner mellom representasjoner innenfor samme register, betegnes av Duval som behandlinger (treatments), mens transformasjoner mellom forskjellige registre betegnes som omdanninger (conversions). Et bytte mellom addisjonsstykke og multiplikasjonsstykke er dermed en
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 165
2020-10-09 12:45:29
166 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
behandling, mens byttet mellom tegninga og regnestykket er et eksempel på en omdanning. Duval hevder at omdanninger er mer komplekse transformasjoner enn behandlinger, og begrunner det slik: «[B]ecause any change of register first requires recognition of the same represented object between two representations whose content have very often nothing in common» (s. 112). Ferdigheter når det gjelder å gjennomføre vellykkede omdanninger blir derfor sett på som en kritisk terskel i utvikling av problemløsningskompetanse. Som Vygotskij mener også Duval at naturlig språk har en spesiell posisjon i og med at det ikke bare kan brukes til å arbeide med matematiske objekter, men også til å kommunisere, bevisstgjøre, forestille seg osv.
BARNS SAMARBEID I MATEMATIKK – HVA VET VI? I 1980-årene fikk Johnson og Johnsons tanker om samarbeid mellom elever som didaktisk prinsipp stor oppmerksomhet. Samarbeidslæring som didaktisk prinsipp bygger på Vygotskijs sosialkonstruktiviske teori om at elever lærer gjennom interaksjon der bruk av språk som medierende redskap er nødvendig for at læring skal skje (Johnsen & Johnsen, 1984). Studier fra 1990-årene i USA og England viser at mellom 80 og 90 % av lærere på småskoletrinnet rapporterer om daglig bruk av samarbeid mellom elever (Fujita, Doney, Flanagan & Wegerif, 2019). At elevene sitter i grupper eller samarbeider, betyr imidlertid ikke nødvendigvis at alt samarbeid er effektivt på alle områder. Vi skal se nærmere på noen studier som fokuserer på matematikkfaget. Byrne og Prendeville (2019) viser at samarbeid mellom elever har en positiv effekt for utvikling av matematisk språk. Andre studier viser at slikt samarbeid bidro til en mer positiv holdning til matematikk (Smith, McKenna & Hines, 2014). En metaanalyse av 26 studier gjennomført av Capar og Tarim (2015) konkluderer med at samarbeid mellom elever har en signifikant positiv effekt på barns matematiske resultater. Som vi har vist innledningsvis, advarer forskere imidlertid mot den sterke troen på at samarbeid alltid fører til læring av matematikk. Eksempelvis minner Sfard og Kieran (2001) om at samarbeid er krevende, og at alle samtaler derfor ikke er like produktive eller utbytterike. Ineffektive samtaler kan skyldes at læreres sammensetning av grupper sjelden er knyttet til faglig hensikt, men mer til organisering og kontroll (Baines, Blatchford & Chrown, 2007). Baines og kolleger hevder videre at lærere ofte mangler en klar forståelse
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 166
2020-10-09 12:45:29
167 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
av hensikten med samtalen de vil at elevene skal engasjere seg i. I sitatet vi innledet kapitlet med, viser Pimm (2017) nettopp til elevenes behov for å vite hensikten med samarbeidet. Chinn, O’Donnell og Jinks (2000) viser at elever ikke engasjerer seg i det de kaller diskusjoner på høyt nivå, hvis det ikke eksplisitt blir krevd at de skal grunngi sine konklusjoner. Flere forskere knytter negative funn når det gjelder nytten av samarbeid, til liten effektivitet i elevenes kommunikasjon (Mercer, Dawes, Wegerif & Sams, 2004; Sfard & Kieran, 2001). Ifølge Mercer og kolleger trenger elevene ikke bare en klar oppfatning av hva det er de skal gjøre, men også hvordan de skal kommunisere for å utvikle felles forståelse. Flere studier indikerer at samarbeid og diskurs av høy kvalitet har sterk sammenheng med positiv faglig læring når samtalen har karakter av å være det vi tidligere har omtalt som utforskende (Mercer & Littleton, 2007). For å kunne snakke og resonnere sammen må elevene lære hvordan de kan engasjere seg kritisk og konstruktivt, slik at de kan utfordre alternative perspektiver og diskutere alternative forslag (Rojas-Drummond & Mercer, 2003). Ved å bygge på egen og andres forskning utviklet Mercer og kolleger prinsipielle grunnregler for kommunikasjon i klasserommet (Mercer et al., 2004). Samtidig argumenterer de for at den enkelte klasse må utforme egne regler, slik at elevene utvikler eierskap til reglene. Reglene skal sikre at all relevant informasjon blir delt, at alle i gruppa er enige, og at de tar felles ansvar for avgjørelser etter at ulike alternativer er diskutert. Gruppa må videre være åpen for utfordringer, og alle må begrunne ideene sine. Gruppa har også et felles ansvar for at alle bidrar, og at deltakerne lytter til og respekterer hverandres argumenter. Flere intervensjonsprosjekter viser til positive resultater der lærerne har hatt opplæring i grunnregler for utforskende samtaler og deretter eksplisitt har undervist elevene i slike (Mercer & Sams, 2006; Mercer, Wegerif & Dawes, 1999; Rojas-Drummond & Zapata, 2004). Slik undervisning innebærer å øke elevenes oppmerksomhet om hvordan de snakker sammen, og å veilede elevene i samtalestrukturer som kjennetegner utforskende samtaler. Rojas-Drummond og Zapata (2004) viser hvordan implementering av grunnregler førte til en mer aktiv deltakelse i problemløsning, at elevene så problemene fra ulike perspektiver og gjorde elevene i stand til å presentere sine argumenter på en mer eksplisitt måte. Eksplisitt undervisning i språkbruk i utforskende samtaler hjelper også elevene til å utvikle individuelle ferdigheter når det gjelder å resonnere
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 167
2020-10-09 12:45:30
168 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
(Mercer et al., 1999). Dette er et funn forskerne mener støtter sosiokulturell teori. Slik vi tidligere har beskrevet, hevdes det i denne teorien at utviklinga av mentale ferdigheter er avhengig av at det knyttes en forbindelse mellom det intermentale og intramentale, og at denne forbindelsen medieres gjennom språket. Utforskende samtale slik det er beskrevet hos Mercer og kolleger, legger stor vekt på verbal språkbruk. Patterson (2018) som har studert utforskende samtaler blant yngre barn (4–8 år), viser at også det nonverbale har stor betydning i slike samtaler blant de yngste barna. Hun fant også at utforskende samtaler bare foregikk i aktiviteter som ble satt inn i en kreativ historie eller en problemløsende kontekst eller fant sted i frilek. Vi har tidligere beskrevet Alexanders arbeid med dialogisk undervisning. Bygd på og styrt av prinsippene for slik undervisning ble det gjennomført en stor intervensjonsstudie der 208 lærere gjennomgikk et program om hvordan de skulle, «energise their own and their students’ talk», det vil si forbedre dialogen (Alexander, 2018, s. 1). Studien hadde også en kontrollgruppe og involverte totalt 5000 elever på slutten av småskoletrinnet. En kvalitativ studie basert på videomateriale viste at både lærer- og elevsamtaler beveget seg i retning av mer dialogisk undervisning slik hensikten var med programmet. En større kvantitativ evaluering viser at elevene i intervensjonsgruppa etter relativt kort tid viste signifikant bedre faglige resultater enn kontrollgruppa. I tillegg til å lære elevene strategier for samarbeid og kommunikasjon må lærerne være aktive mens elevene jobber i par eller grupper, hevder Gillies (2006). De må modellere nøkkelstrategier gjennom det hun kaller mediert læringsatferd. Det innebærer å utfordre elevenes svar, vektlegge både kognitive og metakognitive resonnementer, konfrontere forskjeller, oppmuntre, sikre faglig fokus, stille åpne spørsmål og gi tilpasset informasjon. Lærerens rolle i samtalebasert undervisning kommer Klemp tilbake til i kapittel 6 og Høynes og Nilssen i kapittel 7 i denne boka. Måten oppgaven er formulert på, har også betydning for hvordan elevene blir stimulert til diskusjon og læring. Cohen og kolleger konkluderer i sin studie med at typen oppgave er med på å bestemme nivået på diskusjonen i gruppa (Cohen, Lotan, Percy, Scarloss & Schultz, 2002). Det er liten grunn til å være i interaksjon hvis svaret kan oppnås på en velstrukturert måte, for eksempel gjennom bruk av en kjent algoritme. Åpne og undersøkelsesorienterte spørsmål hvor det ikke er et gitt svar, krever at
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 168
2020-10-09 12:45:30
169 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
elevene må dele ideer og informasjon hvis de skal klare å løse oppgaven. Våre TDS-inspirerte oppgaver er konstruert med tanke på at elevene har et slikt behov, enten fordi spørsmålet er åpent, eller fordi det ikke bare er svaret, men også løsningsstrategiene som er etterspurt i oppgaven.
VALG OG ANALYSE AV DATAMATERIALET Dialogene vi presenterer, analyserer og diskuterer i dette kapitlet, er fra 3. trinn der elevene arbeidet med temaet multiplikasjon. Da læreren introduserte dem for oppgaven, vektla hun at de etter å ha løst oppgaven skulle presentere strategiene sine for et annet elevpar. De empiriske dataene for analysen består av to videoopptak som er transkribert. De er valgt ut blant videoopptak av seks samarbeidende par. Valget av dialogene var et resultat av det første steget i analysen der lærerne og forskerne sammen diskuterte og identifiserte interessante sekvenser. Gjennom dette arbeidet ble vi oppmerksom på to svært kontrasterende dialoger, som vi valgte å se nærmere på. Den første ble valgt på grunn av faglig fokusert innhold i dialogen og det sterke engasjementet vi observerte i samspillet mellom deltakerne, to jenter. I tillegg endte diskusjonen med utsagnet «ja, vi klarte det», noe vi oppfattet som en indikasjon på en suksessfull samarbeidsdialog. I den andre dialogen som er mellom to gutter, observerte vi mangel på entusiasme og sterk uvilje mot å lytte til hverandre.43 For å belyse hvilke faktorer som virker inn på faglig framgang i elevdialogen, analyserte vi kommunikasjonen i hver av de to dialogene. I denne prosessen brukte vi nøkkelord fra Alexanders prinsipper for dialogisk undervisning (2017) og Littleton og Mercers (2010) karakteristikker av ulike samtaletyper som strukturerende verktøy. Eksempler på spørsmål vi stilte til datamaterialet, var: Hvordan deler elevene informasjon og ideer? Hvilke begrunnelser gir de for ideer og handlinger? I hvilken grad argumenterer de for valg? Hvordan responderer elevene på hverandres innspill? Hvordan bygger de på hverandres ideer? Videoopptakene gjorde at vi kunne identifisere ikke bare verbalspråk, men også bruk av nonverbalt språk som gester, tegninger og andre semiotiske ressurser. For å identifisere mulige utforskende samtaler så vi også etter termer og fraser 43 Elevene jobbet med to ulike multiplikative situasjoner, henholdsvis like grupper og rektangulært mønster. Se kapittel 3 for mer om multiplikative strukturer.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 169
2020-10-09 12:45:30
170 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
som «jeg tror», «fordi», «hvis – så», «enig» og lignende som er typiske i utforskende samtaler (Knight & Mercer, 2015). Neste steg i analysen var å identifisere skifter i dialogene når det gjelder hva elevene snakket om, og hvilke redskaper de brukte. Dette hjalp oss med å dele dialogene inn i sekvenser. Hver sekvens ble videre analysert ut fra det matematiske innholdet. I denne prosessen ble bruk av og skifter av representasjoner synlig. Det gjorde at vi rettet blikket mot Duvals (2006) arbeid om dette temaet. Til slutt analyserte og tolket vi hver sekvens gjennom å kombinere de kommunikative og matematiske perspektivene. Vi har analysert dialogene hver for oss og sammenlignet før vi kom fram til et felles analyse- og tolkningsresultat. Vi finner det viktig å vise hvordan parene bygger, eller ikke bygger, på hverandre. I fortsettelsen presenterer vi derfor dialogene slik de utfolder seg, men utelater noen ytringer vi finner unødvendige for å forstå helheten.
JENTEDIALOGEN Jentenes dialog er hentet fra arbeidet med denne oppgaven: 3. klassetrinn skal arrangere klassefest i Bydelslokalet. Dagen før festen baker de muffins til festen på skolen. Brit skal gå på butikken og kjøpe inn egg til muffinsene. I oppskriften står det at det skal være fire egg i en porsjon. Barna har bestemt at de skal bake tolv porsjoner med muffins. Hvor mange egg må Brit kjøpe?
Åpen deling av ideer for å utforske problemet Dialogen starter med at Katrine leser oppgaven høyt, til Berit avbryter henne:44 (J1) B: Jeg tegner fire egg? (J2) K: Vent, vent (fortsetter å lese oppgaven høyt). (…) 44 Vi har nummerert både jentenes og guttenes ytringer fortløpende fra 1 og oppover. Jentenes ytringer er markert med J, og guttenes ytringer er markert med G.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 170
2020-10-09 12:45:30
171 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
(J7) B: Jeg bare tegner noen rundinger (begynner å tegne noen små rundinger på rekke). (J8) K: Tegn fire rundinger. Sånn ja. Bra. Og så har vi tolv, bare skriv tolv, nei, glem det.
Mens Katrine fremdeles leser oppgaven, foreslår Berit en omdanning av problemet slik det er beskrevet i naturlig språk, til en ikonisk representasjon (J1, J7). Katrine støtter denne transformasjonen ved å overvåke og evaluere Berits handling (J8). Jentene er usikre på rollen til tallet 12, og det er lite trolig at de gjenkjenner problemet som multiplikasjon. Katrine går deretter tilbake til oppgavearket, og etter at de har tenkt litt, fortsetter samtalen. (J13) B: (J14) K: (J15) B: (J16) K: (J17) B: (J18) K:
Da er det et plusstykke. Nei, (hvisker) det er tolv ganger fire. Åh, ja. Nei, det er fire ganger tolv. (Ler) Ja, det er det samme. Okei. Nei, det er fire ganger tolv. Hvis vi tar tolv ganger fire, så skal vi ta tolv fire ganger.45 (J19) B: Åh, ja. (J20) K: Og det går ikke?
På dette punktet i samtalen synes det som om jentene har gitt opp å fullføre den ikoniske representasjonen. I stedet prøver de å lage et regnestykke som passer til oppgaveteksten, en indikasjon på en omdanning fra naturlig språk til matematiske symboler. Fordi Berit ikke forklarer hvorfor hun mener dette er et plusstykke (J13), er det uklart om dette utsagnet er et resultat av en omdanning, eller om det bare er en gjetning. Hos Katrine er omdanningen imidlertid tydelig. Når Katrine (J18) gjenkjenner situasjonen som en multiplikativ situasjon, får hun nye ideer til hvordan problemet i oppgaven kan representeres ved tegning. Vi tolker Katrines iver etter å forklare forskjellen mellom 12 ∙ 4 og 4 ∙ 12 (J18) som et tegn 45 Katrine er klar over forskjellen mellom 4 ∙ 12 og 12 ∙ 4, men hennes tolkning følger ikke den konvensjonelle måten å uttrykke de to multiplikasjonsstykkene på. Se kapittel 3, s. 130.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 171
2020-10-09 12:45:30
172 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
på at det er viktig for Katrine at Berit følger hennes tankegang. Deretter fortsetter arbeidet med oppgaveløsningen: (J22) K: (Peker på de fire eggene) Så det vil si fire, vi skal komme til, vi skal ha tolv (tar arket fra Berit). Hvis jeg tegner tolv? (…) (J25) B: Bare ta det der (peker rett under de fire første eggene). (J26) K: Jeg vil tegne tolv muffinser46 (begynner å tegne større sirkler, stopper og teller over). (J27) B: Det er rare muffins. (J28) K: Jeg vet, vi kan se, vi kan se at det er det (fullfører tegninga av tolv muffinser: to rekker med seks sirkler i hver rad). (J29) B: Der har du tolv. (J30) K: Her har vi tolv muffinser, så skal det være fire i hver muffins (peker på de fire eggene Berit tegnet øverst på arket). (J31) B: (Peker på de fire eggene) Da legger vi ned dem, de fire på én. Da må vi ha (peker fra de fire eggene Berit har tegnet på toppen av arket, og ned til de tolv store sirklene som representerer de tolv muffinsene).
Katrine oppdager at muffinsene er den essensielle enheten å starte med når de skal lage den ikoniske representasjonen, og hun viser den avgjørende sammenhengen mellom muffinsene og eggene ved å peke på Berits tegning av de fire små sirklene øverst på arket (J30). Dette viser at hun har oppfattet problemets multiplikative struktur, der en enhet er distribuert over en annen (se Rønning & Burheim, kapittel 3, denne boka). Dette tolker vi som et matematisk gjennombrudd. Katrines peking fungerer også som en anerkjennelse av Berits bidrag. Berit er aktiv i situasjonen og overvåker det som skjer når Katrine tegner muffinsene som store sirkler (J29), og ved å foreslå å «legge ned» eggene (J31) forteller hun til Katrine at hun både forstår problemets struktur, og at hun er enig i hvordan det representeres i Katrines tegning. Jentene er dermed klare til å fortsette arbeidet.
46 Det er her noe forvirring om forholdet mellom antall muffins og antall porsjoner, men det er ikke viktig for løsningen av oppgaven.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 172
2020-10-09 12:45:30
173 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
Sikrer felles forståelse og felles eierskap til løsningen (J34) K: Fordi den her, hvis vi legger sammen de, så blir det åtte (peker på de første muffinsene i hver rekke, skriver tallet 8). Fordi i hver blir det åtte. (J35) B: Her, bare les herfra igjen. Sakte. (…) (J39) B: Stopp. Vi skal ha fire egg i hver porsjon, ikke sant? (J40) K: Ja, for en porsjon, det er en muffins til oss da (peker på seg selv). Så, det vil si at fordi at i den der er det fire (peker på den første av muffinsene). (J41) B: (Peker på de fire første eggene) Alle de rundingene her, ta en strek til (peker på den første av muffinsene). (J42) K: I den er det fire, og i den er det fire, så hvis vi legger sammen de, så får vi åtte. (J43) B: Så tar jeg fire stykker oppi her (tegner fire små sirkler inni den første muffinsen). (J44) K: Nei, bare, jeg skal (tar blyanten fra Berit). Fire og fire er lik åtte, sant? Åtte pluss fire, vi gjør sånn, fire, fire, fire (skriver fire over hver muffins). (J45) B: Kan jeg få lage den siste? (J46) K: Okei, du får ta de fire [eggene]. (J47) B: Åh, nei (tegner et stygt firetall). (J48) K: Det går bra, det går bra, vi ser det uansett.
Katrine synes å være klar til å bruke representasjonen av de tolv muffinsene (de 12 store sirklene) til å regne ut svaret, samtidig som hun har antallet egg i hver muffins med seg som et mentalt bilde (J34). Berit, derimot, trenger en mer konkret representasjon av eggene (J41, J43). De inngår derfor et kompromiss ved å skrive 4 over/under hver muffins (J44), se figur 4.1. Etter at de at de er blitt enige om at de forstår den nye representasjonen likt, er begge klare til å forsøke å regne ut hvor mange egg Brit måtte kjøpe.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 173
2020-10-09 12:45:30
174 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
Figur 4.1
Berit og Katrines representasjon av 12 muffins som hver inneholder 4 egg
(J52) K: Nei, se nå, vet du hva, vent, vi må gjøre det på nytt nå, fordi, hvis vi tar (peker på og teller sirklene i den første raden), det her blir seks, ikke sant (skriver 4 4 4 på ei linje under tegninga av muffinsene). Nå har jeg tatt disse tre (setter et merke etter de tre første muffinsene, teller mens hun skriver flere 4). Ento-tre-fire-fem-seks-sju-åtte. (J53) B: (Teller muffinsene stille) Bare ta tolv sånne. Okei, jeg bare leser (tar oppgavearket og leser gjennom for seg selv mens hun følger teksten med fingeren). (J54) K: (Teller høyt mens hun skriver de siste 4) Ni-ti-elleve-tolv. Okei, her så har jeg laget et plusstykke med alle disse (peker på muffinsene). Da har vi tolv firere, bare det at, her har vi svaret (skriver ___ under raden med 4).
Begge jentene er i stand til å bruke tegninga av muffinsene, kombinert med raden av firetall, til å starte prosessen med gjentatt addisjon, men får noen vansker med å holde seg på sporet av hvordan de har tenkt når de lagde representasjonen. Katrine tar ledelsen i arbeidet med å omdanne tegninga og firetallene til en mer strukturert symbolsk representasjon (J52). Ved å tenke høyt forsikrer hun seg om at de er enige. Berit er ikke passiv i denne prosessen, hun overvåker Katrines arbeid og sjekker enda en gang at representasjonen de har lagd, er i tråd med oppgaven (J53). Etter noe diskusjon om notasjonen er de klare til å gjennomføre utregninga.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 174
2020-10-09 12:45:30
175 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
(J63) B: (…) (J66) K:
Det blir seksten (peker).
Okei, jeg tror deg. Pluss fire, seksten (trekker vertikale linjer mellom tallene og skriver 16), også her har vi fire. (J67) B: Seksten. (J68) K/B: (Begge teller på fingrene) Søtten-atten-nitten-tjue (Katrine skriver 20). (J69) B: Tjuefire (Katrine skriver 24), tjueåtte (Katrine skriver 28). (J70) K: (Teller på fingrene) Tjueni-tretti-trettien-trettito (Katrine skriver 32). (J71) B: (Teller på fingrene) Trettitre-trettifire-trettifem-trettiseks (Katrine skriver 36). (J72) K/B: (Begge teller på fingrene) Trettisju-trettiåtte-trettini-førti (Katrine skriver 40), førtien-førtito-førtitre-førtifire (Katrine skriver 44). (J73) K: Åh, den kunne vi gjort med en gang, da. (J74) B: Førtiåtte, tror jeg. (J75) K: Ja, det er førtiåtte. (J76) B: Ja, det er førtiåtte, der (Katrine skriver 48 bak ). Så, vi må kjøpe førtiåtte. «Yes», vi klarte det!
Den nye representasjonen fungerer som støtte for å kunne gjøre utregningene, og jentene deler strategien «å telle med fire». De bruker fingertelling som støtte, men tellinga er rytmisk, så det er mulig at de kan være i stand til å bruke indre telling. Katrine holder kontroll med antallet firere ved å sette vertikale streker mens de regner, se figur 4.2.
Figur 4.2 Representasjonene Berit og Katrine bruker i den gjentatte addisjonen med fire
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 175
2020-10-09 12:45:30
176 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
Når de har noen få firere igjen å legge til, går de over til å telle i kor. Dette indikerer at de blir mer entusiastiske etter hvert som de nærmer seg svaret. Berits «‘Yes’, vi klarte det!» viser stolthet over å ha fullført oppgaven i fellesskap.
Oppsummering av jentedialogen Dialogen mellom Katrine og Berit er karakterisert av vilje til å involvere seg og til å involvere den andre. Nye ideer blir alltid uttalt høyt, tegningene har alltid en medfølgende begrunnelse, og når en av dem skriver, er den andre aktiv overvåker av arbeidet. I den presenterte dialogen er det en rekke eksempler på termer og fraser som kan knyttes til argumentasjon, sånn som «jeg tror», «fordi», «hvis» og «så» (J18, J22, J34, J40, J42, J52, J74, J76). Dette viser at resonnementet er åpent delt. Det synes å være en atmosfære av tillit og anerkjennelse mellom jentene, som for eksempel blir synlig når Katrine gir Berit positiv respons på tegninga hennes (J8), når jentene uttrykker at de ikke bryr seg om at tegningene deres ikke er perfekte (J28, J48), og når Katrine stoler på Berits utregning (J66). Katrine er tilsynelatende trygg nok i situasjonen til at hun åpent korrigerer egen tenkning og sier at de skal ha fire tolv ganger, og at 12 ∙ 4 derfor må være feil. Jentene viser også at de er i stand til å utfordre hverandres tenkning, som når Katrine protesterer på Berits forslag om at dette er addisjon (J14), og når Berit stopper Katrine i hennes resonnement for å være sikker på at hun har forstått at det skal være «fire i hver» (J39). Den videre dialogen er et eksempel på hvor nært samarbeidet mellom dem er, og hvordan de bygger resonnementet og representasjonene i et vekselspill (J39–J46). Den gjentatte bruken av «vi» i stedet for «jeg» indikerer at jentene føler et felles ansvar for å løse oppgaven. Den utstrakte bruken av verktøy i form av tegninger og andre semiotiske representasjoner er et annet fremtredende trekk ved jentedialogen. De forskjellige representasjonene er brukt både til å kommunisere ideer til hverandre og som et verktøy for tenkning. Når de sitter fast, tar en av dem initiativ til å gjøre en endring i representasjonen, og slik kommer de gradvis nærmere løsningen på oppgaven.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 176
2020-10-09 12:45:30
177 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
GUTTEDIALOGEN Guttenes dialog er hentet fra arbeidet med følgende oppgave: Muffinsene settes på steikebrett når de skal steikes i ovnen. På et steikebrett er det plass til fem rader med muffins. Det er plass til sju muffins i hver rad. Hvor mange muffins blir det plass til på ett steikebrett?
Konkurrerende ideer Etter å ha lest deler av oppgaven høyt trekker Frode seg tilbake, og Nils fortsetter lesningen: (G1) N: Muffinsene settes på steikebrett. Hvor mange muffins er det plass til på ett steikebrett? (G2) F: (Hvisker mens Nils leser oppgaven om igjen inni seg) Eh, fem ganger sju? Går ikke det da? (G3) N: Jo. Da må vi bare finne sju pluss sju er fjorten. Og fjorten pluss fjorten. (G4) F: (Hvisker ut i lufta) Vi kunne tatt fem-gangen da? (G5) N: Nei, vi tar fjorten, fordi at det blir, nei, nei, det blir mye enklere med fem-gangen, ja. (G6) F: Ja.
Etter å ha akseptert Frodes forslag begynner Nils å skrive ned fem-gangen. Han skriver 5–10–20, men har problemer fordi han har glemt 15. Uten å se på Nils sier Frode høyt: (G9) F: (G10) N: (G11) F: (G12) N:
Vi skulle ha trettifem, nei, førtifem, tjuefem. Har ikke peiling! Hva? (Fyller ut i tallserien sånn at han får 5–10–15–20) (Ser fremdeles ut i lufta) Tretti. (Stopper å skrive) Det blir tretti, ja.
Frode og Nils forstår den multiplikative strukturen i situasjonen. Nils holder seg til regnestykket 5 ∙ 7 som beskriver situasjonen i oppgaven, og foreslår dobling som strategi for utregninga (G3). Han blir avbrutt av Frode som foreslår at de heller bør bruke regnestykket 7 ∙ 5 (G4).
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 177
2020-10-09 12:45:31
178 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
Nils aksepterer at Frode har funnet en enklere strategi, og starter å skrive ned fem-gangen. Når han får problemer med fem-gangen, får han imidlertid ingen hjelp fra Frode som helt fra starten har inntatt rollen som en hviskende sidekommentator (G2, G4, G9). Når Nils på egen hånd er på vei til å få fem-gangen korrekt ned på arket, blir han igjen avbrutt av Frode som nå foreslår at 30 er det rette svaret (G11). At Frode foreslår i alt fire ulike svar (G9, G12), viser at han åpenbart er svært usikker. Likevel gjør han ingen forsøk på å forklare de ulike svarene, og Nils aksepterer Frodes siste forslag, 30, uten ytterligere spørsmål (G12). Nils og Frode fortsetter med neste oppgave (sju minutter, ytring G13–G59 utelatt i denne presentasjonen). En påminnelse fra en av de observerende forskerne (OF) bringer dem tilbake til steikebrettoppgaven; husk, læreren ville at de skulle tegne noe som de kunne bruke når de skulle forklare sin strategi til et annet elevpar. Dialogen om steikebrettoppgaven fortsetter slik: (G60) N: (G61) F: (G62) N:
(Starter å tegne) Da må vi ha fem rader med muffins. (Hvisker) Fem ganger sju. Sånn og sånn (tegner et rektangel med fem kolonner, som vist i figur 4.3). (G63) F: (Lener seg over tegninga) Vent litt! (G64) N/F: (Begge teller kolonnene høyt, den ene fra venstre og den andre fra høyre) En-to-tre-fire-fem! (G65) N: Vi telte hver vår vei! (G66) N: (Tegner to horisontale linjer i rektangelet, stopper for å kontrolltelle antallet småruter i den første raden) En-to-tre-firefem. Nei, det blir jo helt feil! (Klusser over tegninga av rutenettet)
Her overvåker Frode arbeidet til Nils; minner han på hvor mange muffins han skal tegne i de fem radene (G61), og teller antallet kolonner høyt sammen med han (G64). Begge blander sammen rader og kolonner.47 Når Nils kontrollteller rutene i den første raden (G66), synes det som at han forventer at det skal være sju. Når han bare finner fem, forkaster han 47 Ettersom guttene synes å være enige, har vi valgt å ikke problematisere at Nils bryter konvensjonen med horisontale rader.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 178
2020-10-09 12:45:31
179 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
tegninga. Frode trekker seg deretter tilbake. Nils’ andre forsøk på å lage en passende illustrasjon gjennomføres uten involvering fra Frode. Som vist i figur 4.3 gir Nils raskt opp i dette andre forsøket.
Figur 4.3 Nils’ første og andre forsøk på å illustrere 35 muffins distribuert i 5 rader med sju i hver
Individualisert prosjekt Frode nummererer de ulike oppgavene på arket hvor Nils så langt har gjort alt skrive- og tegnearbeidet. Dialogen fortsetter deretter slik: (G71) N: Hva gjør du? (G72) F: Skriver hvilken oppgave det er (tegner piler fra oppgavenummeret han har skrevet til løsningen). (G73) N: Hva gjør du? (G74) F: Den, den og den (peker med blyanten sin). (G75) F: (Nils stryker over Frodes nummerering av den tredje oppgaven) Takk Nils, for at du streket over det! (G76) N: Jeg skal gjøre sånn, jeg (skriver «oppgave 3» nedenfor Frodes tidligere nummerering). (G77) F: Du skriver oppgaven. Lykke til, gjør det selv! (…) (G80) F: De der to henger sammen (starter å tegne linjer igjen). (G81) N: Åh, ja. Nei du, du, du, ikke strek så veldig mye på prosjektet mitt! (G82) F: (Ler) Det er jo ikke bare ditt prosjekt! (G83) N: Nei, det er ditt og.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 179
2020-10-09 12:45:31
180 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
I denne sekvensen ser vi en disputt mellom de to guttene angående eierskapet til svararket. De bruker typisk pronomen som «jeg», «min», «du», «din» og «selv». Enda en gang minner observerende forsker dem på at de skulle illustrere løsningsstrategien sin, og hun motiverer Frode til å hjelpe Nils. Påminningen fører til at Frode griper blyanten, samtidig som han hevder at han greier å tegne steikebrettet (G91). Nils dytter han imidlertid unna, og denne avvisninga fører til at Frode igjen trekker seg tilbake og kommer med sidekommentarer som «en, to, tre, fire, fem, seks, sju» (G94) og to ganger «fem ganger sju» (G103, G105), kommentarer som kan støtte Nils’ tegning. Men han kommer også med vurderende utsagn. I dette eksemplet blir vurderingen gitt i en spørrende tone: «Du har ikke peiling [, har du]?» (G101). Nils spør aldri om hjelp eller tar noe initiativ til å involvere Frode. Han fortsetter å arbeide individuelt, leser oppgaven om igjen, undrer seg høylytt over antallet vertikale og horisontale linjer, og viser tegn på en stigende frustrasjon over ikke å være i stand til å lage tegningen. Etter en stund sier Frode: (G110) F: Du skal ha fem rader med sju i hver. Tegn det! Tegn fem, fire streker. Har du fem rader? (G111) N: (Tegner fire vertikale linjer i rektangelet) Ja, fem rader. (G112) F: Og så tegner du sju i hver. (G113) N: Det er sånn, sju nedover her (tegner 6 horisontale linjer i rektangelet, fullfører et 7 ∙ 5 rutenett). (G114) F: I alle. (G115) N: Nei, det skal være seks nedover her. For da blir det en-totre-fire-fem (teller ruter horisontalt). Nei, nei, det blir bare fem (tegner ei vertikal linje til i rutenettet). En-to-tre-firefem-seks. Æsj! (Tegner en sjette vertikal linje og ender opp med et 7 ∙ 7 rutenett. Frode ser på og ler, og Nils klusser over sitt tredje forsøk) (…) (G117) F: Du mislykkes hver gang, Nils!
Dermed er også Nils’ tredje forsøk på å tegne et 5 ∙ 7 rutenett mislykket, han ender opp med det første av to 7 ∙ 7 rutenett (se figur 4.4).
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 180
2020-10-09 12:45:31
181 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
I denne sekvensen gjør Frode et andre forsøk på å bli mer direkte involvert i tegninga. Han bokstavelig talt instruerer Nils i hvordan tegne et 5 ∙ 7 rutenett. Men da Nils enda en gang blander sammen rader og kolonner og feilaktig tegner inn ytterligere to vertikale linjer (G115), stopper ikke Frode han. Han argumenterer heller ikke for at rutenettet er korrekt, eller prøver å hjelpe Nils til å forstå hvordan han skal telle for å sjekke om det er korrekt. I stedet gir han enda en vurderende kommentar som viser at han selv ikke påtar seg noe ansvar for resultatet: «Du mislykkes hver gang, Nils!» (B117). Det som skjer deretter, er at Nils strever videre med tegninga. Han arbeider aleine og leser oppgaven om igjen flere ganger. Frode går tilbake til å overvåke Nils’ arbeid mens han avleverer ubesvarte sidekommentarer: «sju ganger sju?» (G125), «På den ene kanten skal det være sju og på den andre skal det være fem antakeligvis?» (G134) og «Tror du må ta litt større mellomrom» (G154). Dette viser at han nesten konstant overvåker det Nils gjør.
Figur 4.4 Nils’ tredje, fjerde og femte forsøk på å illustrere 35 muffins distribuert i 5 rader med 7 i hver
Som vist i figur 4.4 må Nils ha både et fjerde og et femte forsøk før han endelig klarer å lage en korrekt tegning som Frode aksepterer. Når han har den ikoniske representasjonen på plass (se figur 4.4), starter Nils å telle alle rutene i rutenettet: (G169) N: En-to-tre-fire … tjueen, (teller stille). Eller, det er tretti for da tar man bare fem ganger sju (skriver 30 bak rutenettet). (G170) F: Hm, eller sju ganger fem. (G171) OF: Hvordan fant du ut at fem ganger sju er tretti? (G172) F: Tretti.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 181
2020-10-09 12:45:31
182 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
(G173) N: Fordi at jeg har tenkt at hvis du tar sju fem ganger så blir det tretti. (G174) F: Fem. Trettifem? (Teller femmere, bruker fingrene til å holde styr på antall femmere) Trettifem! (G175) N: Trettifem? (G176) F: Ja. (G177) N: Frode! (Uttrykt i en anklagende tone. Begge guttene smiler.)
I denne sekvensen ser vi at Nils starter å telle alle rutene i den korrekte representasjonen. Når han er nesten ferdig, stopper han å telle og går tilbake til svaret de opprinnelig var enige om, «det er tretti fordi du bare tar fem ganger sju» (G169). Vår tolkning er at konkurranseklimaet gjør det vanskelig for Nils å bruke redskapene som er tilgjengelige for han. Han stoler ikke nok på sin egen telling eller representasjonen han har lagd, til å opponere mot Frode. Frode på sin side overvåker Nils’ arbeid, men tilbyr ingen hjelp til å forstå tegninga som en representasjon av fem ganger sju. Tvert imot fortsetter han å forvirre Nils med å påpeke at tegninga like godt kan representere «sju ganger fem» (G170). Det er først seinere, enten motivert gjennom observerende forskers spørsmål (G171) eller kanskje tegninga selv, at Frode tenker gjennom regnestykket en gang til og korrigerer svaret sitt (G174). Han holder seg fortsatt til hoderegning med støtte i fingertelling og unnlater å involvere Nils i tenkninga si.
Oppsummering av guttedialogen Mangelen på resonnering er slående i guttenes dialog, verken Nils eller Frode argumenterer for sine egne ideer eller etterspør argumenter fra den andre. Utenom noen få eksempler på «fordi» (G5, G115, G169, G173) finner vi ingen av de vanlige termene eller frasene i argumentasjon som «jeg tror», «hvis» og «så». Det er også få tegn på anerkjennelse av hverandres bidrag eller vilje til å bygge på hverandre. Selv om Nils i G5 aksepterer at Frodes forslag er bedre enn hans, så følger de ikke opp dette i fellesskap. Nils er motvillig til å ta imot hjelp og stopper initiativ Frode tar til å delta aktivt i tegninga av rutenettet (G91). Han er også svært motvillig når han innrømmer at Frode har del i det skriftlige produktet (G83). Frode på sin side tar ingen initiativ til å hjelpe Nils med å skrive ned femgangen. Når han tilbyr sin hjelp gjennom de indirekte «sidekommentarene»
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 182
2020-10-09 12:45:31
183 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
(f.eks. G61, G94, G103, G105), ved å foreslå svar (G11, G174) eller ved å instruere Nils i hvordan han skal tegne (G110–G114), er initiativene nokså svake; han «hvisker ut i lufta» (G2, G4, G61), og han trekker seg fort tilbake når Nils ikke umiddelbart responderer. Når de kommer fram til det første svaret, 30, bruker både Nils og Frode pronomenet «vi». Videre valg av pronomen, der «jeg», «min», «du» og «din» dominerer, indikerer at Nils og Frode ikke har noe felles prosjekt (f.eks. G73–G82). Nils som tar eierskapet til svararket, tar også en rekke individuelle beslutninger. Dette skjer for eksempel i G115 når han slutter å følge Frodes instruksjoner, feilaktig tegner inn to ekstra vertikale linjer i rutenettet og til slutt klusser over tegninga uten å diskutere dette med Frode. Mangelen på fellesprosjekt blir særlig tydelig når Frode understreker Nils’ mangel på kompetanse (G101) og mislykkethet (G117) og gjennom Nils’ reaksjon på Frodes forsøk på å skrive på svararket: «Nei du, du, du, ikke strek så veldig mye på prosjektet mitt!» (G81).
HVILKE FAKTORER VIRKER INN PÅ FAGLIG FRAMGANG I ELEVDIALOGENE? For å diskutere spørsmålet i overskrifta ser vi først på hva som utgjør faglig framgang i dialogene. Deretter viser vi hvordan en kombinasjon av våre to analytiske perspektiver bidrar til å belyse spørsmålet. Parallelt diskuterer vi våre funn opp mot tidligere forskning. Ifølge Blum og Niss (1991) er et matematisk problem en situasjon som utfordrer noen intellektuelt, og der de ikke umiddelbart har prosedyrer til å løse problemet. Dette er tilfelle for jentene, ingen av dem har det umiddelbart klart for seg at dette er en multiplikativ situasjon. Anghileri (1989) viser hvordan multiplikasjon er signifikant forskjellig fra addisjon i kompleksitet fordi det er tre typer informasjon som må koordineres: antallet mengder, antallet elementer i hver mengde og prosedyren for å finne produktet. Den matematiske framgangen i jentedialogen kan beskrives i to steg. Det første steget er det matematiske gjennombruddet som skjer når jentene identifiserer den multiplikative strukturen i situasjonen (J30, J40–J43). De forstår at mengden av egg utgjør en sammensatt enhet som skal distribueres over muffinsene. Oppgaven kan dermed bli løst gjennom gjentatt addisjon av firere. Jentenes utregning utgjør det andre steget i den matematiske framgangen. Det er først da de
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 183
2020-10-09 12:45:31
184 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
løser oppgaven og finner svaret, men dette var bare mulig fordi de først hadde klart å identifisere den multiplikative strukturen. Analysen viser at når jentene står fast i problemløsningsarbeidet, bruker de to strategier for å komme videre: Enten leser de oppgaven om igjen, eller de utvikler en ny representasjon. Den gjentatte lesninga av oppgaven støtter at jentene får sjekket at de virkelig har en felles forståelse av hva som er målet med samarbeidet. Skiftet av representasjoner fungerer som et redskap som hjelper dem til å forstå hva som er viktig i oppgaven, til å strukturere tankene og til å forklare tenkninga si til den andre. Dette er det Alexander (2017) omtaler som å utforske, å analysere og å forklare. Nils og Frode viser at de forstår oppgavens multiplikative struktur allerede første gang de leser oppgaven. De viser også at de har relevante utregningsstrategier som dobling (G3) og fem-gangen (G5, G10). Frodes utregning av 5 ∙ 7, som Nils støtter, er feil (G11). Når vi ser bort fra denne feilen, synes det ikke å være noe intellektuelt utfordrende for noen av dem å løse problemet. Vår tolkning er at det heller ikke er noe intellektuelt problem for noen av dem å lage en relevant representasjon. Selv om Nils roter med tegninga, viser analysen at de begge vet hvordan de skal lage ikoniske representasjoner og tallrekker som kan støtte utregningene deres. De tror at de har svaret, og viser at de er lite motivert for å lage en representasjon. Det synes som at de fortsetter å tegne bare fordi observerende forsker gjentatte ganger ber dem om å gjøre det. Mangel på motivasjon kan også forklare hvorfor de ikke bruker de tilgjengelige representasjonene på en mer effektiv måte, for eksempel for å kontrollere sin egen utregning eller som støtte i argumentasjonen for egen løsning. De ser i det hele tatt ut til å mangle den sterke motivasjonen som er nødvendig for å holde slike samtaler gående. Nils ser ut til å være fornøyd med å finne svaret på en rask måte og utfordrer ikke Frodes hoderegning. Når det er sagt, det at Frode etter hvert velger å korrigere svaret sitt (G174), kan ha sammenheng med det han ser når han overvåker Nils’ tegning og telling av enkeltruter i det korrekte rutenettet. Det som først og fremst synes å stimulere jentenes matematiske framgang, er at de ser oppgaveløsninga som ei felles målsetting. Den gjentatte bruken av «vi» i stedet for «jeg» indikerer at de deler ansvaret for prosjektet. Jentene skaper et positivt samarbeidsklima ved å gi hverandre positiv respons og ved å anerkjenne hverandres bidrag (f.eks. J8, J30, J31).
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 184
2020-10-09 12:45:31
185 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
Denne gjensidigheten er en nødvendig betingelse for ekte dialogisk samarbeid, fordi det skaper et rom der jentene tør å dele ideer. To karakteristiske trekk ved jentenes kommunikasjon ser ut til å være spesielt viktige for å stimulere matematisk framgang: at jentene tenker høyt, og at de er ivrige etter aktivt å involvere seg i hverandres tenkning. De verbale ytringene og gestene som følger skrivearbeidet, synliggjør tenkninga for den andre. Dette gjør det mulig å følge utviklinga i oppgavearbeidet og å vurdere tenkninga og bygge videre på den. Et eksempel på dette er når Berit tegner fire egg og gir Katrine muligheten til å følge tenkninga hennes ved å snakke høyt samtidig som hun tegner. Katrine prøver å bygge på Berits arbeid, men er usikker på rollen til tallet 12 (J1–J8). Dette viser at omdanninga av problemet fra skreven tekst til tegning er utfordrende, slik Duval (2006) peker på. Likevel er dette skiftet av representasjoner det første steget mot å forstå problemets struktur. Det er slående at hver gang det skjer et skifte av representasjon, forklarer jentene veldig nøye hva de gjør. Vi ser dette også når Katrine tegner de tolv muffinsene (J22–J30), og igjen når hun snur problemet til å bli et problem med gjentatt addisjon (J52–J54). I og med at bruk og skifte av representasjoner er det viktigste redskapet deres, er den delte forståelsen avgjørende for at løsningsprosessen skal være et fellesprosjekt, der de er i stand til å støtte hverandre og fortsette å tenke sammen. Høyttenkning hjelper ikke bare lytteren, det hjelper også den som deler ideen, til å klarne tanken og til å utvikle dypere forståelse (Vygotsky, 1987). Et eksempel på dette er når Katrine forklarer forskjellen mellom 4 ∙ 12 og 12 ∙ 4 (J18). Nesten umiddelbart ser det ut til at hun knytter forbindelsen mellom de to tallene og en ikonisk representasjon av problemet. Tegninga skal, som multiplikasjonsstykket, vise tolv grupper med fire i hver (J22–J30). Dette representerer et avgjørende skifte i problemløsningsprosessen i og med at oppgavens multiplikative struktur dermed blir synlig. Jentenes behov for en modell for situasjonen som tankeredskap er i tråd med tidligere forskning på multiplikative strukturer hos barn som ennå ikke har fått undervisning i slike (Kouba, 1989). Vi tolker jentenes bruk av høyttenkning som skaper felles mål og mening i dialogen, som et eksempel på «interthinking», situasjoner der mennesker bruker språk kollektivt og kreativt for å løse problemer og skape felles mening (Littleton & Mercer, 2013). Involvering i hverandres tenkning er viktig for matematisk framgang fordi det sikrer at tenkninga
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 185
2020-10-09 12:45:31
186 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
er støttet og forstått av begge deltakerne og dermed fungerer som et grønt lys for å fortsette. Analysen viser at jentene hele tida involverer seg enten ved å overvåke hverandres handlinger, som når Berit bekrefter at Katrine har tegnet nøyaktig 12 muffins (J29), eller gjennom å delta aktivt i den andres konstruksjon av en ny representasjon (J45). I «ekte» utforskende samtaler blir ideer ofte utfordret eller imøtegått. Dette skjer ikke ofte i dialogen mellom Katrine og Berit. Vi finner bare ett klart eksempel, når Katrine imøtegår Berits forslag om at situasjonen er additiv med å si at hun oppfatter dette som multiplikasjon (J13–J14). Dette betyr ikke, som vist, at de passivt aksepterer hverandres ideer. Jentene griper inn i hverandres resonnementer og leder hverandre på rett vei. Slik bruker jentene språket effektivt i felles, eksplisitt samarbeidende tenkning og resonnering. Vi mener derfor at jentedialogen har trekk vi forbinder med utforskende samtaler (Littleton & Mercer, 2010). Guttenes arbeidsklima er motsatt av jentenes. Den gjentatte bruken av «jeg», «min/mitt» og «du» og «din/ditt/dine» og «selv» indikerer at de ikke tar felles ansvar for oppgavearbeidet, slik jentene gjør. Det er et konkurranseklima med uvilje til å diskutere felles løsninger. Etter en positiv start, der de snakker om antall rader og antall muffins i hver rad, og der de teller høyt sammen for å kontrollere antallet rader (G60–G65), bryter samarbeidet sammen. Uten å diskutere med Frode klusser Nils over det de har produsert sammen. Selv om Nils har tydelige problemer over lang tid, stenger han Frode ute fra å skrive på svararket (G81, G91), og han bruker partnerens påfølgende passivitet til å følge sine egne ideer uten å argumentere eller begrunne det han gjør (f.eks. G71–G76, G115). Det er noen eksempler på at Nils forklarer sin utregningsstrategi, dobling (G3), og tenker høyt mens han tegner (G60, G113). Men for det meste unnlater han å dele tankene sine. Frodes initiativ til å hjelpe er svake. Han overvåker Nils’ arbeid og deler tankene sine høyt, men uten begrunnelser. Hans instruksjoner og kommentarer viser seg å være utilstrekkelige (f.eks. G61, G94, G103, G105). Dersom han hadde argumentert for det som han helt fra starten av synes å ha vært overbevist om var den rette ikoniske representasjonen, kunne de ha kommet fram til en riktig utregning mye tidligere. To ganger har de det riktige rutenettet (7 ∙ 5) på plass, det første forsøket (figur 4.3) og det tredje forsøket (figur 4.4). Når Nils roter det til ved å blande rader og kolonner, trekker Frode seg tilbake og lar Nils forkaste
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 186
2020-10-09 12:45:31
187 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
representasjonen i stedet for å argumentere for den riktige representasjonen de allerede har (G66, G115). Frodes kommunikasjon er et direkte hinder for at Nils skal kunne fullføre utregninga basert på doblingsstrategien han starter på (G3–G4) og på den skriftlige representasjonen som kunne ha ledet han til det korrekte svaret. Dette hender første gang da Frode basert på hoderegning (eller gjetting) kaster ut svaret tretti og Nils responderer med å avslutte arbeidet med tallrekka (5–10–15–20), som han er godt i gang med, og som sannsynligvis ville ført han fram til det rette svaret (G11). Den andre gangen det skjer, skjer det indirekte når Nils kommer på Frodes tidlige forslag om at 5 ∙ 7 er 30. Det gjør at han stopper på 21 når han snart er i mål med å telle alle rutene i det riktige rutenettet (G169). Vi hevder at analysen av guttedialogen kan kategoriseres som disputtpreget samtale (Littleton & Mercer, 2010). Denne typen samtale er karakterisert gjennom uenighet og individuelle avgjørelser med få forsøk på å kombinere deltakernes ressurser, lite konstruktiv kritikk og få løsningsforslag. Frodes kommentarer om at Nils mangler kompetanse (G101) og er mislykket (G117), gjør at konkurransen eskalerer. Vi har vist at evnen til høyttenkning og iveren etter å involvere seg i hverandres tenkning var produktiv i jentedialogen. Disse trekkene ved jentedialogen er så å si fraværende i guttedialogen. Redskapene som hjalp jentene til å lykkes faglig, er også tilgjengelige for guttene. Nils leser oppgaven gjentatte ganger når han strever med den ikoniske representasjonen. Han er også i stand til å skifte mellom representasjoner mens han holder på med utregninga (G1–G10). Men det er aldri en felles aktivitet som sikrer at de har den samme ideen om hva som er relevant for diskusjonen, eller har en felles forståelse av hva de skal prøve å oppnå gjennom samarbeider, slik Pimm (2017) hevder er viktig i faglig samarbeid.
ELEVER TRENGER EN SPRÅKLIG VERKTØYKASSE Som vi har vist, er dialogen mellom jentene produktiv, mens guttenes dialog er kontraproduktiv. Ifølge læreren hadde de to guttene matematisk kompetanse som overgikk jentenes. Vi må derfor prøve å forstå årsaken til at guttene hadde relativt større vanskeligheter enn jentene ut fra andre forklaringer. Vi har allerede pekt mot Sfard og Kierans (2001) studie som viser at sterk motivasjon er nødvendig for å få elever til å engasjere
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 187
2020-10-09 12:45:31
188 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
seg i matematiske samtaler og få dem til å fungere. Det kan synes som at motivasjonen til guttene var å finne det rette svaret fortest mulig. Forestillingen om at det å være flink i matematikk innebærer å være rask i matematikk, er etter vår erfaring utbredt. Oppfatningen om at det er viktig å være rask i matematikk kan, slik vi ser det, drive fram en uheldig konkurranse. Samarbeid som krever tid til forklaring og argumentasjon blir en negativ faktor. Ineffektiv kommunikasjon kan imidlertid også være en årsak til manglende utbytte i elevsamarbeid (Mercer et al., 2004). Mens jentenes kommunikasjon har mange trekk av det som beskrives som effektiv kommunikasjon i faglig samarbeid, så vi få slike elementer i guttenes disputtpregede og lite effektive dialog. Flere intervensjonsstudier viser at innlæring av grunnregler for kommunikasjon kan være et godt tiltak i slike situasjoner (Alexander, 2018; Mercer & Sams, 2006; Mercer et al., 1999; RojasDrummond & Mercer, 2003). Mens disse studiene i første rekke fokuserer på verbalspråket, viser Pattersons studie (2018) at nonverbalt språk også har stor betydning i utforskende samtaler blant yngre barn. Vi har vist at jentene i vår studie var svært dyktige til å bruke varierte semiotiske representasjoner og gester når de samarbeidet, mens guttene viste liten interesse for å slike redskaper. Dette kan også ha innvirket på resultatet. I tillegg til opplæring i effektiv språkbruk kan det derfor ha betydning for utbyttet av samarbeidslæring i matematikk at elevene blir vant til å kommunisere med støtte i en variasjon av semiotiske representasjoner.
REFERANSER Alexander, R. (2017). Towards dialogic teaching. Rethinking classroom talk (5. utg.). Cambridge: Dialogos. Alexander, R. (2018). Developing dialogic teaching. Genesis, process, trial. Research Papers in Education, 33(5), 561–598. Anghileri, J. (1989). An investigation of young children’s understanding of multiplication. Educational Studies in Mathematics, 20(4), 367−385. Baines, E., Blatchford, P. & Chown, A. (2007). The effectiveness of collaborative group work in primary schools: Effects on science attainment. British Educational Research Journal, 33(5), 9–34. Barnes, D. & Todd, F. (1977). Communication and learning in small groups. London: Routledge and Kegan Paul.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 188
2020-10-09 12:45:31
189 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
Blum, W. & Niss, M. (1991). Applied mathematical problem solving, modelling, applications, and links to other subjects. State, trends and issues in mathematics instruction. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 37−68. Byrne, J. & Prendeville, P. (2019, online). Does a child’s mathematical language improve when they engage in cooperative group work in mathematics? Education 3−13. International Journal of Primary, Elementary and Early Years Education, 1–15. Capar, G. & Tarim, K. (2015). Efficacy of the cooperative learning method on mathematics achievement and attitude. A meta-analysis research. Educational Sciences: Theory & Practice, 15(2), 553−559. Chinn, C., O’Donnell, A. & Jinks, T. (2000). The structure of discourse in collaborative learning. The Journal of Experimental Education, 69(1), 77−89. Cohen, E., Lotan, R., Percy, A., Scarloss, B. & Schultz, S.E. (2002). Can groups learn? Teachers’ College Records, 104(6), 1045−1068. Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61(1), 103−131. Fujita, T., Doney, J., Flanagan, R. & Wegwrif, R. (2019, online). Collaborative group work in mathematics in the UK and Japan. Use of group thinking measure tests. Education 3−13. International Journal of Primary, Elementary and Early Years Education, 1–15. Gillies, R. (2006). Teachers’ and students’ verbal behaviours during cooperative and small-group learning. British Journal of Educational Psychology, 76(2), 271−287. Johnsen, D.W. & Johnsen, R.T. (1984). Cooperation in the classroom. New Brighton, MN: Interaction Book Company. Knight, S. & Mercer. N. (2015). The role of exploratory talk in classroom search engine tasks. Technology, Pedagogy and Education, 24(3), 303−319. Kouba, V.L. (1989). Children’s solution strategies for equivalent set multiplication and division word problems. Journal for Research in Mathematics Education, 20(2), 147−158. Littleton, K. & Mercer, N. (2010). The significance of educational dialogs between primary school children. I K. Littleton & C. Howe (red.), Educational dialogs. Understanding and promoting productive interaction (s. 271−288). London: Routledge. Littleton, K. & Mercer, N. (2013). Interthinking. Putting talk to work. London: Routledge. Mercer, N. & Littleton, K. (2007). Dialogue and the development of children’s thinking. A sociocultural approach. London: Routledge.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 189
2020-10-09 12:45:31
190 SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
Mercer, N. & Sams, C. (2006). Teaching children how to use language to solve math problems. Language and Education, 20(6), 507−528. Mercer, N., Wegerif, R. & Dawes, L. (1999). Children’s talk and the development of reasoning in the classroom. British Educational Research Journal, 25(1), 95−111. Mercer, N., Dawes, L., Wegerif, R. & Sams, C. (2004). Reasoning as a scientist. Ways of helping children to use language to learn science. British Educational Research Journal, 30(3), 359−377. Michaels, S. & O’Connor, C. (2015). Conceptualizing talk moves as tools. Professional development approaches for academically productive discussions. I L.B. Resnick, C.S.C. Asterhan & S.N. Clarke (red.), Socializing intelligence through academic talk and dialogue (s. 347−361). Washington, D.C.: AERA. Nilssen, V. & Klemp, T. (2020). Encouraging working and communicating like mathematicians. An illustrative case on dialogic teaching. I M.B. Postholm & K.F. Vennebo (red.), Applying cultural historical activity theory in educational settings. Learning, development and research (s. 73−90). Oxon, UK: Routledge. Patterson, E.W. (2018). Exploratory talk in early years. Analyzing exploratory talk in collaborative group activities involving younger learners. Education 3–13. International Journal of Primary, Elementary and Early Years Education, 46(3), 264–276. Pimm, D. (2017). Speaking mathematically. Communication in mathematics classrooms. New York, NY: Routledge. Rojas-Drummond, S. & Mercer, N. (2003). Scaffolding the development of effective collaboration and learning. International Journal of Educational Research, 39(1–2), 99−111. Rojas-Drummond, S. & Zapata, M.P. (2004). Exploratory talk, argumentation and reasoning in Mexican primary school children. Language and Education, 18(6), 539−557. Sfard, A. & Kieran, C. (2001). Cognition as communication. Rethinking learning-by-talking through multi-faceted analysis of students’ mathematical interactions. Mind, Culture and Activity, 8(1), 42−76. Smith, T.J., McKenna, C.M. & Hines, E. (2014). Association of group learning with mathematics achievement and mathematics attitude among eighth-grade students in the U.S. Learning Environments Research, 17(2), 229−241. Utdanningsdirektoratet (2020). Matematikk 1–10 (MAT01–05) Kjerneelement. Hentet fra https://www.udir.no/lk20/mat01-05/om-faget/kjerneelementer van Oers, B. (2013). Communicating about number. Fostering young children’s mathematical orientation in the world. I L.D. English & J.T. Mulligan (red.), Reconceptualizing early mathematics learning (s. 183−203). Dordrecht: Springer.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 190
2020-10-09 12:45:31
191 KAPITTEL 4: SPRÅKLIGE RESSURSER, EN FORUTSETNING FOR PRODUKTIVT ELEVSAMARBEID
Vygotsky, L.S. (1978). Mind in Society. The development of higher psychological processes. Cambridge, MA: Harvard University Press. Vygotsky, L.S. (1987). Thinking and speech. I R.W. Rieber & A.C. Carton (red.), The collected work of L.S. Vygotsky. Vol. 1: Problems of general psychology (s. 39−285). New York: Plenum. (originalverket utgitt 1934). Wertsch, J.V. & Stone, C.A. (1985). The concept of internalization in Vygotsky’s account of the genesis of higher mental functions. I J.V. Wertsch (red.), Culture, communication and cognition. Vygotskian perspectives (s. 162−179). New York: Cambridge University Press.
_SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK.indb 191
2020-10-09 12:45:31
Boka er satt sammen av kapitler som setter søkelyset på ulike sider ved samtaleorientert matematikkundervisning ut fra Brousseaus (1997) teori om didaktiske situasjoner. Kapitlene bygger på forskningsresultater fra LaUDiM-prosjektet. Boka er skrevet for lærere og lærerstudenter, primært på masternivå. Oda Tingstad Burheim, Heidi Dahl, Torunn Klemp, Frode Rønning og Heidi Strømskag er bidragsytere i boka, sammen med Vivi Nilssen og Siri-Malén Høynes som er bokas redaktører.
www.fagbokforlaget.no ISBN 978-82-450-3195-9
,!7II2E5-adbjfj!
– et samspill mellom didaktiske og adidaktiske situasjoner
Siri-Malén Høynes er førsteamanuensis i matematikk ved NTNU, Institutt for lærerutdanning. Hun har publisert forskning nasjonalt og internasjonalt på området lærerstudenters undervisning i matematikk.
SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK
Vivi Nilssen er professor i pedagogikk ved NTNU, Institutt for lærerutdanning. Hun har lang erfaring som lærer og lærerutdanner. Mange års forskning på begynneropplæring og veiledning av lærerstudenters undervisning i matematikk er publisert nasjonalt og internasjonalt.
Et hovedpoeng i denne boka er didaktiske og adidaktiske undervisningssituasjoner. De første er situasjoner der læreren gir elevene mye støtte, mens de andre er situasjoner der elevene konstruerer kunnskapen selv. Når vi modellerer for elevene, tar vi fra dem deres kreative evner? Når vi viser dem løsningsmetoder, gir vi dem begrensninger og ikke muligheter? Hva skjer dersom vi lar elevene selv i mye større grad få samtale og diskutere seg fram til løsninger, med lærerens tilrettelegging, men uten lærerens hjelp?
Vivi Nilssen og Siri-Malén Høynes (red.)
Mange elever tror at matematikk er å imitere det læreren viser på tavla. Men hva skjer med den matematiske samtalen når elevene selv må finne ut hvordan de skal løse oppgavene?
Vivi Nilssen og Siri-Malén Høynes (red.)
SAMTALEORIENTERT MATEMATIKK – et samspill mellom didaktiske og adidaktiske situasjoner