Issuu

I en hverdag med mange informasjonskanaler er dette boken som trygt samler formlene du trenger, på ett sted. Boken er velegnet som oppslagsverk, og ikke minst er den et nyttig hjelpemiddel til eksamen. La denne være din følgesvenn gjennom studietiden!

ISBN 978-82-450-3292-5

,!7II2E5-adcjcf!

FORMLER OG TABELLER FOR ØKONOMISTUDENTER MATEMATIKK

FORMLER OG TABELLER FOR ØKONOMISTUDENTER

Forfatterne har lagt stor vekt på pedagogisk presentasjon, blant annet ved bruk av farger. Symboler og begreper er grundig forklart, og mange av formlene er supplert med illustrasjoner. Uttrykksformen er mindre matematisk tung enn i sammenlignbare formelsamlinger, uten at dette går på bekostning av det faglige innholdet. Til flere av formlene vil du finne både tolkninger og tommelfingerregler, slik at bruken av formelsamlingen skal være så enkel som mulig.

ØRJAN KRISTENSEN THOMAS GRESSNES ROGER TRØITE

Som økonomistudent møter du mange formler, spesielt innenfor metodefagene matematikk og statistikk, men også i de fleste fagene som sorteres inn under bedriftsog samfunnsøkonomi. I denne boken har forfatterne systematisert det formelverket du trenger de to første årene av utdannelsen, enten du er på et bachelor- eller masterløp. Bokens omfang gjør at du sannsynligvis vil finne den nyttig også etter disse årene. Bakerst i boken er de viktigste rentetabellene ført opp, sammen med et rikt utvalg av tabeller til bruk i sannsynlighetsregning og statistikk.

ØRJAN KRISTENSEN | THOMAS GRESSNES | ROGER TRØITE

STATISTIKK

BEDRIFTSØKONOMI

SAMFUNNSØKONOMI

Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Layout, sideombrekking og figurarbeid er utført av Gamma grafisk AS (Vegard Brekke) Omslagsdesign ved forlaget

Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no

Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarframstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.

Forord I en digital hverdag med stadig nye informasjonskanaler kan det fort bli overveldende og kaotisk å finne formler og tabeller på egen hånd. Denne boken vil forhåpentligvis minske arbeidet for studenter i økonomi. Innenfor fagområdene metode (matematikk og statistikk), bedriftsøkonomi og samfunnsøkonomi dekker innholdet minimumskravene for økonomi og administrasjon, vedtatt av Universitetsog høgskolerådet. De viktigste formlene og tabellene i dagens lærebøker for økonomiutdannelse skal være å finne i denne samlingen. Boken egner seg godt som oppslagsverk gjennom studietiden, og ikke minst som hjelpemiddel til eksamen. Formler og symboler er grundig forklart, og flere steder er innholdet illustrert med figurer. Boken kan være nyttig for ansatte i økonomirelaterte stillinger, og omfanget er av en slik art at mange formler kan være aktuelle innenfor andre fagområder. I lærebøkene varierer terminologien, så der det er hensiktsmessig vil du finne referanser til andre vanlige symboler og begreper. Noen formler er skrevet på flere ulike måter, spesielt gjelder dette for matematikk og statistikk. Du bør derfor markere den varianten som brukes på ditt lærested, og du må gjerne supplere formler med egne kommentarer. I boken vil du se at formler går igjen på de ulike fagområdene. Årsaken er at vi ønsker å gjøre hvert fagområde fullstendig, og i tillegg er disse formlene skrevet på fagtypisk form. I arbeidet med formlene har vi fått uvurderlige tilbakemeldinger fra kollegaer, nåværende studenter og tidligere studenter, og det blir for omfattende å nevne alle med navn. Tusen takk til dere alle! En stor takk rettes også til los og forlagsredaktør Sven Barlinn. Vi setter stor pris på at dere tar kontakt dersom dere finner feil, rusk eller mangler, eller har ønsker om endringer i kommende utgaver. En oppdatert retteliste vil dere alltid finne på bokens nettressurs www.fagbokforlaget.no/formlerogtabeller Kontaktinformasjon: Matematikk, statistikk og finans: Ørjan Kristensen, orjan.f.kristensen@uit.no Bedriftsøkonomi: Roger Trøite, roger.troite@uit.no Samfunnsøkonomi: Thomas Gressnes, thomas.gressnes@uit.no Harstad, mai 2020 Ørjan, Thomas og Roger

Innhold 1 Matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Grunnleggende matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rekker og finansmatematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjoner med én variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av funksjoner med én variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drøfting av funksjoner med én variabel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjoner med to variabler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av funksjoner med to variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drøfting av funksjoner med to variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrasjon av funksjoner med én variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineær algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 14 18 21 23 29 30 31 33 36

2 Statistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Beskrivende statistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diskret variabel og fordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuerlig variabel og fordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estimering og konfidensintervaller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypotesetesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineær regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flerdimensjonale fordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42 46 50 54 60 64 70 75

3 Bedriftsøkonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Bedriftsøkonomisk analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bidragsanalyse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Standardkostmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lønnsomhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likviditet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Finansiering og soliditet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Investoranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Investering og finansiering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Finansiell risiko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Finansielle instrumenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80 91 93 94 97 102 105 106 114 117

4 Samfunnsøkonomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Konsumentteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produsentteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Markedsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rente og valuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nasjonalregnskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122 126 131 134 136

8 INNHOLD

A Fordelingstabeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Kort forklaring av fordelingstabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1 Kumulativ binomisk fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Kumulativ Poisson-fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Kumulativ standardnormalfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Kvantiler Z-fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5 Kvantiler T-fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6 Kvantiler 2 -fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.7 Kvantiler F-fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.8 Wilcoxons ettutvalg-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9 Wilcoxon–Mann–Whitneys rangsum-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140 143 149 153 155 156 158 160 176 177

B Rentetabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Kort forklaring av rentetabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1 Sluttverdifaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Nåverdifaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Sluttverdifaktor ved annuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4 Invers sluttverdifaktor ved annuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5 Annuitetsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.6 Invers annuitetsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184 185 189 193 197 201 205

C Oversikt over alle formlene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 1 2 3 4

Matematikk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bedriftsøkonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samfunnsøkonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

210 211 214 216

D Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

1 Matematikk Grunnleggende matematikk 10 Rekker og finansmatematikk 14 Funksjoner med én variabel 18 Derivasjon av funksjoner med én variabel 21 Drøfting av funksjoner med én variabel 23 Funksjoner med to variabler 29 Derivasjon av funksjoner med to variabler 30 Drøfting av funksjoner med to variabler 31 Integrasjon av funksjoner med én variabel 33 Lineær algebra 36

1 MATEMATIKK

10 GRUNNLEGGENDE MATEMATIKK

Grunnleggende matematikk 1. Multiplikasjon og divisjon

3. Generelt om likninger

Generelle regneregler:

For en konstant c (ulik null) gjelder følgende:

ab ¼ a b ¼ b a ¼ ba aðb þ cÞ ¼ ab þ ac aðb cÞ ¼ ab ac ða þ bÞðc þ dÞ ¼ ac þ bc þ ad þ bd ða bÞðc dÞ ¼ ac bc ad þ bd a b aþb þ ¼ c c c a b a b ¼ c c c a ac c¼ b b a c ac ¼ b d bd a=b a d ad ¼ ¼ c=d b c bc Det er vanlig å utelate gangetegnet hvis dette er å anse som overflødig, altså ab ¼ a b, aðb þ cÞ ¼ a ðb þ cÞ og så videre. Innholdet på oversiden av brøkstreken kalles for teller, mens innholdet på undersiden kalles for nevner. Ved addisjon og subtraksjon av brøker må du finne (minste) felles nevner for brøkene.

a¼b , a c¼b c a¼b , a c¼b c a b ¼ c c I en likning kan du altså addere, subtrahere, multiplisere og dividere med samme tall på begge sider av likhetstegnet. Pilen , betyr at reglene gjelder begge veier. a¼b ,

4. Generelt om ulikheter For en positiv konstant c gjelder følgende: a>b , a c>b c a > b , a ð cÞ < b ð cÞ a b > c c a b < a>b , c c I hovedsak løses ulikheter som likninger. Hvis du multipliserer eller dividerer begge sider av ulikheten med et negativt tall, så må du snu ulikheten. a>b ,

5. Intervaller 2. Mer om parenteser Løse opp parenteser med forskjellige fortegn:

To ulike formuleringer av intervaller: x 2 ½a, b

eller a x b

a þ ðb þ c dÞ ¼ a þ b þ c d

x 2 ½a, bi

a ðb þ c dÞ ¼ a b c þ d

eller a x < b

x 2 ha, b

eller a < x b

x 2 ha, bi

eller a < x < b

Når det er minus foran en parentes, skal du altså skifte fortegn på alle leddene inni parentesen når parentesen fjernes.

x 2 h 1, b

eller x b

x 2 ½a, 1i

eller x a

x 2 h 1, bi

eller x < b

x 2 ha, 1i

eller x > a

1 MATEMATIKK

8. Kvadratrøtter

6. Absoluttverdi

Generelle regneregler: pffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi a b¼ a b rffiffiffi pffiffiffi a a ¼ pffiffiffi b b pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a b ¼ a2 b

Definisjon på absoluttverdi jaj: a hvis a < 0 jaj ¼ a hvis a 0 Noen sammenhenger: j aj ¼ jaj

For a 0 defineres kvadratrot som pffiffiffi 2 pffiffiffi pffiffiffi a ¼ a a¼a Kvadratroten er alltid positiv (eller null hvis a ¼ 0). Flere skrivemåter for kvadratrot: pffiffiffi p ffiffiffi 1 a ¼ 2 a ¼ a =2

Du kan altså ikke ta kvadratrot av et negativt tall, og kvadratroten kan heller ikke være negativ. Det eksisterer ingen enkle regnepffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi regler for a þ b og a b.

ja bj ¼ jaj jbj a jaj ¼ b jbj jaj < b , b < a < b Størrelsen jaj leser du som «absoluttverdien til a». Absoluttverdien til et tall er alltid positiv, og verdien finner du ved å «fjerne fortegnet» til tallet.

7. Potenser Definisjon på potensen an (der a 6¼ 0): affl {zfflfflfflfflfflfflffl . . . ffla} an ¼ a|fflfflfflfflfflfflffl n faktorer n

Potensen a leser du som «a opphøyd i n-te», der a er grunntallet og n er eksponenten. Generelle regneregler for potenser: a a ¼ a n

nþm

a0 ¼ 1 a n an ¼ n b b 1 a 1 ¼ a

an ¼ an m am ða bÞn ¼ an bn ðan Þm ¼ an m a n ¼

1 an

9. Røtter på generell form Generelle regneregler: p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffi ffiffiffiffiffiffi p p ffiffiffi m pffiffiffi p m n n n m a ¼ n a ¼ a =n a b ¼ na b rffiffiffi p ffiffiffi na p p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffi n a n n n ffiffi ffi ¼ p ¼ a b a b n b b pffiffiffiffiffiffi Størrelsen n am leser du som «n-te roten av a opphøyd i m-te».

10. Kvadratsetningene Første kvadratsetning: ða þ bÞ2 ¼ a2 þ 2ab þ b2 Andre kvadratsetning: ða bÞ2 ¼ a2 2ab þ b2 Tredje kvadratsetning (konjugatsetningen): ða þ bÞða bÞ ¼ a2 b2 I forbindelse med faktorisering er spesielt tredje kvadratsetning vanlig å bruke motsatt vei.

1 MATEMATIKK

Symbolet 1 betyr uendelig. Intervaller på formen ½a, b kalles lukkede intervaller (a og b er med i intervallet), de på formen ha, bi kalles åpne intervaller (a og b er ikke med i intervallet), mens ½a, bi og ha, b kalles halvåpne intervaller. De fire siste intervallene ovenfor kan du også skrive som henholdsvis h , b , ½a; !i, h , bi og ha, !i.

1 MATEMATIKK

12 GRUNNLEGGENDE MATEMATIKK

11. Prosentregning og vekstfaktor

13. ABC-formel

Prosentvis endring:

En andregradslikning er gitt på følgende form:

Sluttverdi Startverdi Startverdi Sluttverdi når a endres med p %: p Sluttverdi ¼ a 1 þ 100 Sluttverdi når a endres med p % n ganger: p n Sluttverdi ¼ a 1 þ 100 p Størrelsen ð1 þ =100 Þ kalles vekstfaktor. Når n blir stor vil sluttverdien «implodere» hvis p er negativ, mens den vil «eksplodere» hvis p er positiv. Figuren viser begge disse tilfellene.

ax2 þ bx þ c ¼ 0 Løsning på likningen (ABC-formel): pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b b2 4ac x¼ 2a Kriterier for antall løsninger: b2 < 4ac: Ingen reelle løsninger b2 ¼ 4ac: 1 reell løsning b2 > 4ac: 2 reelle løsninger Faktorisering av et andregradsuttrykk, der x1 og x2 finnes av ABC-formelen: ax2 þ bx þ c ¼ a ðx x1 Þ ðx x2 Þ Hvis det ved bruk av ABC-formelen bare er én løsning, så skal du ved faktorisering ta løsningen med to ganger. Hvis likningen ikke har reelle løsninger, så kan du ikke faktorisere andregradsuttrykket.

14. Tall på standardform Skrivemåte for et tall a på standardform: a ¼ b 10n Her er b et tall i intervallet 1 b < 10 og n er et heltall. Dette er en vanlig skrivemåte for svært små og svært store tall. For tilfellet þb er a > 1 hvis n > 0, og a < 1 hvis n < 0.

12. Produktsetningen Følgende likning er gitt, der x1 og x2 er tilfeldige tall: ðx x1 Þ ðx x2 Þ ¼ 0

Følgende grenseverdi er gitt: lim f ðxÞ ¼ b

x!a

Løsning på likningen: x x1 ¼ 0

x x2 ¼ 0

x ¼ x1

x ¼ x2

Tegnet _ betyr «eller».

15. Enkel definisjon av grenseverdi

Dette betyr: f ðxÞ ! b

når x ! a

Grenseverdien forteller at f ðxÞ kan komme så nær b du vil, bare du velger x tilstrekkelig nær a. Uttrykket lim f ðxÞ ¼ b leser du som x!a

«grenseverdien for f(x) når x går mot a er lik b», eventuelt «f(x) går mot b når x går mot a».

1 MATEMATIKK

19. Logaritmer

Generelle regneregler:

Naturlige logaritmer (e som grunntall):

lim k f ðxÞ ¼ k lim f ðxÞ x!a lim f ðxÞ gðxÞ ¼ lim f ðxÞ lim gðxÞ x!a x!a x!a lim f ðxÞ gðxÞ ¼ lim f ðxÞ lim gðxÞ x!a

x!a

f ðxÞ x ! a ¼ x ! a gðxÞ lim gðxÞ lim

x!a

Du kan også bruke disse reglene hvis a erstattes med 1 (pluss eller minus uendelig).

Hvis grenseverdien til teller og nevner begge går mot null, eller begge går mot 1, altså eller

Regneregler for naturlige logaritmer: ln ab ¼ b ln a lnða bÞ ¼ ln a þ ln b a ln ¼ ln a ln b b Briggske logaritmer (10 som grunntall): logðaÞ ¼ b , 10b ¼ a

17. L'Hôpitals regel

f ðxÞ 0 ¼ x ! a gðxÞ 0

eln a ¼ lnðea Þ ¼ a

x!a

lim f ðxÞ

lim

lnðaÞ ¼ b , eb ¼ a

f ðxÞ 1 ¼ x ! a gðxÞ 1 lim

Da kan du finne grenseverdien til brøken som: f ðxÞ f 0 ðxÞ ¼ lim 0 x ! a gðxÞ x ! a g ðxÞ lim

forutsatt at den siste grensen eksisterer (den kan også være 1). L'Hôpitals regel kan du også bruke hvis a ¼ 1. Regelen finner ikke grenseverdien, men gir deg en annen grenseverdi som kan være enklere å regne ut.

18. Tallet e Definisjon på tallet e:

1 n e ¼ lim 1 þ n!1 n ¼ 2:7182818284590452353602874 . . . Tallet e er viktig i økonomi, for eksempel ved beregning av kontinuerlig rente. Det er også vanlig å omtale e som Eulers konstant.

10log a ¼ logð10a Þ ¼ a Regneregler for briggske logaritmer: log ab ¼ b log a logða bÞ ¼ log a þ log b a log ¼ log a log b b Det er ingen enkle regneregler for lnða þ bÞ, logða þ bÞ, lnða bÞ eller logða bÞ.

20. Summetegnet Definisjon på summetegnet n X

P :

ai ¼ a1 þ a2 þ a3 þ . . . þ an

i¼1

Generelle regneregler: n n n X X X ðai bi Þ ¼ ai bi i¼1

i¼1 n X

c ai ¼ c

i¼1

n X

i¼1

i¼1 n X i¼1

c¼n c

P Uttrykket ni¼1 ai leser du som «summen av ai for i lik 1 til n». Størrelsen i kalles for summeindeksen. Summetegnet gjør at du kan skrive summer på en kompakt måte.

1 MATEMATIKK

16. Regneregler for grenseverdi

1 MATEMATIKK

14 REKKER OG FINANSMATEMATIKK

Rekker og finansmatematikk 21. Følger og rekker En generell tallfølge er gitt som: a 1 , a2 , . . . , ai , . . . En generell tallrekke er gitt som: a1 þ a2 þ . . . þ ai þ . . . Endelig tallrekke: n X ai ¼ a1 þ a 2 þ . . . þ a n i¼1

Uendelig tallrekke: 1 X ai ¼ a1 þ a 2 þ . . . i¼1

En tallfølge framkommer ved at det til hvert tall i er tilordnet et ledd ai . Tallrekken får du deretter ved å sette addisjonstegn mellom disse leddene.

22. Konvergens og divergens av rekker Hvis en uendelig rekke skal kunne konvergere (summen går mot en gitt verdi), så må lim an ¼ 0

n!1

Rekken divergerer (summen går ikke mot en gitt verdi) hvis lim an 6¼ 0

n!1

eller at grenseverdien ikke eksisterer. For å bestemme om rekken konvergerer må du bruke metoder som ikke er beskrevet her.

23. Aritmetiske rekker Definisjon på aritmetisk rekke: a1 þ a2 þ a3 þ . . . þ an ¼ a1 þ ða1 þ dÞ þ . . . þ a1 þ ðn 1Þd Differensen d finnes som: d ¼ aj aj 1

Et bestemt ledd i rekken finnes som: aj ¼ a1 þ ðj 1Þd ¼ ai þ ðj iÞd Sum av en aritmetisk rekke: n X

a1 þ an n 2 i¼1

ðn 1Þd ¼ n a1 þ 2

Sn ¼

ai ¼

I en aritmetisk rekke er differensen d mellom to påfølgende ledd konstant (det adderes eller subtraheres med samme tall hver gang).

24. Geometriske rekker Definisjon på geometrisk rekke: a1 þ a2 þ a3 þ . . . þ an ¼ a1 þ a1 k þ a1 k 2 þ . . . þ a1 k n 1 Kvotienten k finnes som: aj k¼ aj 1 Et bestemt ledd i rekken finnes som: aj ¼ a1 k j 1 ¼ ai k j i Sum av en endelig geometrisk rekke: Sn ¼

n X

ai ¼ a1

i¼1

kn 1 k 1

Sum av en uendelig geometrisk rekke ( 1 < k < 1): S¼

1 X i¼1

ai ¼

a1 1 k

I en geometrisk rekke er kvotienten k mellom to påfølgende ledd konstant (det multipliseres eller divideres med samme tall hver gang). Rekken konvergerer (summen går mot en gitt verdi) når 1 < k < 1. I motsatt tilfelle divergerer rekken.

1 MATEMATIKK

Sluttverdi av beløpet K0 med diskret (periodevis) rente r: Kn ¼ K0 ð1 þ rÞn Sluttverdi av beløpet K0 med kontinuerlig rente r: Kn ¼ K0 er n Det kan vises at K0 ð1 þ rÞn < K0 er n .

26. Sluttverdi av flere like beløp på etterskudd Finne sluttverdien Kn : Kn ¼ K ð1 þ rÞ

n 1

þ ... þ K

ð1 þ rÞ 1 r Finne det like beløpet K: r K ¼ Kn ð1 þ rÞn 1 ¼K

27. Sluttverdi av flere like beløp på forskudd Finne sluttverdien Kn : Kn ¼ K ð1 þ rÞn þ . . . þ K ð1 þ rÞ ð1 þ rÞn 1 ¼ K ð1 þ rÞ r Finne det like beløpet K: Kn r K¼ ð1 þ rÞ ð1 þ rÞn 1

28. Nåverdi av ett beløp Nåverdi av beløpet Kn med diskret (periodevis) rente r: Kn K0 ¼ ð1 þ rÞn Nåverdi av beløpet Kn med kontinuerlig rente r: K0 ¼ Kn e r n Det kan vises at Kn ð1 þ rÞ n > Kn e r n .

29. Nåverdi av flere like beløp på etterskudd Finne nåverdien K0 : K0 ¼

K K K þ ... þ þ ð1 þ rÞ ð1 þ rÞ2 ð1 þ rÞn

¼K

ð1 þ rÞn 1 1 ð1 þ rÞ n ¼ K r r ð1 þ rÞn

Finne det like beløpet K: K ¼ K0

r ð1 þ rÞn r ¼ K0 ð1 þ rÞn 1 1 ð1 þ rÞ n

Sammenheng ved uendelig antall terminer n (altså n ! 1): K0 ¼

K r

30. Nåverdi av flere like beløp på forskudd Finne nåverdien K0 : K0 ¼ K þ

K K þ ... þ ð1 þ rÞ ð1 þ rÞn 1

¼ K ð1 þ rÞ

ð1 þ rÞn 1 r ð1 þ rÞn

1 ð1 þ rÞ n r Finne det like beløpet K: ¼ K ð1 þ rÞ

K¼ ¼

K0 r ð1 þ rÞn 1 þ r ð1 þ rÞn 1 K0 r 1 þ r 1 ð1 þ rÞ n

Sammenheng ved uendelig antall terminer n (altså n ! 1): K0 ¼

K ð1 þ rÞ r

1 MATEMATIKK

25. Sluttverdi av ett beløp

1 MATEMATIKK

16 REKKER OG FINANSMATEMATIKK

31. Saldo ved sparing av like beløp hver termin Finne saldoen S: ð1 þ rÞn 1 r K ð1 þ rÞn 1 ¼ r Finne det like sparebeløpet K: S¼K

K¼

Flere av formlene er utledet fra aritmetiske rekker (se formel 23). Terminbeløpet TB hver termin er uten gebyrer (altså A þ R). Et serielån kjennetegnes ved at avdragene er like hver termin, slik at terminbeløpene synker for hver termin. Figuren viser utviklingen for et serielån med løpetid på 5 år.

S r ð1 þ rÞn 1

Formlene er utledet fra geometriske rekker (se formel 24). Her er S saldoen på konto etter n terminer (rett etter at det siste beløpet er satt inn på konto). Det første beløpet settes inn i dag. Ved å gange S med ð1 þ rÞ finner du saldoen én termin (for eksempel år) etter at siste beløp er satt inn.

32. Serielån (etterskuddsvis) Avdrag A hver termin:

33. Annuitetslån (etterskuddsvis)

Lånebeløp L ¼ Antall terminer n Renter R som skal betales etter termin t:

Konstant terminbeløp TB hver termin:

A¼

Rt ¼ Restlån før termin t Rentesats ¼ L ðt 1Þ A r Restlån RL rett etter termin t: RLt ¼ Lånebeløp t Avdrag ¼L t A Sum av betalte terminbeløp TB etter t terminer: Sum TBt ¼ Betalte avdrag þ Betalte renter Ar ¼ t A þ t ð2n t þ 1Þ 2 Sum av betalte terminbeløp TB etter alle n terminer: Sum TB ¼ Lånebeløp þ Betalte renter nþ1 ¼Lþ Lr 2

TB ¼ L

r ð1 þ rÞn ð1 þ rÞn 1

Finne lånebeløp L for gitt terminbeløp: L ¼ TB

ð1 þ rÞn 1 r ð1 þ rÞn

Restlån RL rett etter termin t: RLt ¼ TB

ð1 þ rÞn t 1 r ð1 þ rÞn t

1 MATEMATIKK

Formlene er utledet fra geometriske rekker (se formel 24). Et annuitetslån kjennetegnes ved at summen av avdrag og renter er lik hver termin. Restlånet finner du som nåverdien av de framtidige terminbeløpene. Figuren viser sammensetningen av avdrag og renter for et annuitetslån med løpetid på 5 år.

1 MATEMATIKK

18 FUNKSJONER MED ÉN VARIABEL

Funksjoner med én variabel 34. Definisjon av funksjon f er en funksjon hvis: Hver tillatte x gir bare én y-verdi f ðxÞ Det sentrale i denne definisjonen er at det eksisterer bare én y-verdi for en gitt x-verdi (en funksjon kan derimot ha flere x-verdier for en gitt y-verdi). En vertikal linje kan med andre ord ikke skjære grafen flere steder.

Koeffisienten a kalles stigningstallet, og forteller deg hvor mye funksjonsverdien endres når x øker med 1. Koeffisienten b forteller hvor grafen skjærer andreaksen. b ¼ 0 gir y ¼ ax, og x og y sies da å være proporsjonale med a som proporsjonalitetsfaktor. a ¼ 0 gir den horisontale linjen y ¼ b. Figuren viser grafen til en lineær funksjon med positiv a og b.

35. Definisjonsmengde og verdimengde Sammenhenger: Definisjonsmengde til f : Df ¼ A Verdimengde til f : Vf ¼ f ðAÞ For funksjoner med én variabel er definisjonsmengden alle tillatte verdier for x, mens verdimengden er de tilhørende verdiene f ðxÞ.

36. Grafen til en funksjon Grafen til f : De punkter ðx, yÞ der x 2 Df og y ¼ f ðxÞ Når du tegner en graf så lager du først en verditabell (samhørende x- og y-verdier). Ved rette linjer holder det med 2 punkter (ta gjerne med 3 for sikkerhets skyld), mens du ved tegning av krumme grafer bør ha med så mange punkter at du får fram det vesentlige innholdet (som nullpunkter, bunnpunkter, topppunkter, og så videre).

37. Lineære funksjoner (rette linjer) Generelt funksjonsuttrykk: f ðxÞ ¼ ax þ b

ðeller y ¼ ax þ b)

Ettpunktsformel for å finne funksjonsuttrykket: y y1 ¼ a ðx x1 Þ Topunktsformel for å finne funksjonsuttrykket: y y1 ¼

y y2 y1 ðx x1 Þ ðx x1 Þ ¼ x2 x1 x

38. Kvadratiske funksjoner (andregradsfunksjoner) Generelt funksjonsuttrykk (a 6¼ 0): f ðxÞ ¼ ax2 þ bx þ c Symmetrilinje: b 2a Toppunkt og bunnpunkt: x¼

Toppunkt når a < 0: Grafen er \-formet Bunnpunkt når a > 0: Grafen er [-formet

1 MATEMATIKK

Grafen til en rasjonal funksjon er ofte flerdelt, og går mot rette linjer som kalles asymptoter (for mer detaljer, se formel 66), slik figuren viser.

41. Potensfunksjoner Generelt funksjonsuttrykk: f ðxÞ ¼ xa

39. Polynomfunksjoner Generelt funksjonsuttrykk (an 6¼ 0): n 1

f ðxÞ ¼ an x þ an 1 x n

þ . . . þ a1 x þ a0

Deleregel: f ðxÞ delelig med ðx x1 Þ , f ðx1 Þ ¼ 0 ) f ðxÞ ¼ gðxÞðx x1 Þ Deleregelen kan du bruke til å faktorisere et tredjegradspolynom, der den ene faktoren blir et andregradspolynom som du faktoriserer videre ved bruk av ABC-formelen (se formel 13).

Noen spesielle sammenhenger: pffiffiffi pffiffiffi 1 1 x =n ¼ n x x =2 ¼ x, pffiffiffiffiffi pffiffiffi m m x =n ¼ n xm ¼ n x

42. Eksponentialfunksjoner Generelt funksjonsuttrykk for a > 0: f ðxÞ ¼ ax Med e som grunntall: f ðxÞ ¼ ex Egenskaper:

40. Rasjonale funksjoner Generelt funksjonsuttrykk: gðxÞ f ðxÞ ¼ hðxÞ Polynomdivisjon hvis grad gðxÞ grad hðxÞ: gðxÞ rðxÞ ¼ qðxÞ þ hðxÞ hðxÞ

f ðxÞ ¼ ax > 0 f ðx0 þ kÞ ¼ f ðx0 Þ ak Grenseverdier hvis a < 1: lim ax ¼ 0

x!1

lim ax ¼ 1

x ! 1

Grenseverdier hvis a > 1: lim ax ¼ 1

x!1

lim ax ¼ 0

x ! 1

1 MATEMATIKK

Grafen til en andregradsfunksjon kalles en parabel. Figuren viser tilfellet både for positiv a (smilemunn) og negativ a (surmunn), sammen med de tilhørende symmetrilinjene (som deler grafen på midten slik at delene er speilbilder av hverandre).

1 MATEMATIKK

20 FUNKSJONER MED ÉN VARIABEL

Figuren viser grafen til eksponentialfunksjonen for a > 1 (voksende) og a < 1 (avtakende).

44. Vekstmodeller Eksponentiell vekst:

p x f ðxÞ ¼ a bx ¼ a 1 þ 100 p der ð1 þ =100 Þ ble omtalt som vekstfaktor i formel 11. Begrenset vekst: f ðxÞ ¼ a b e cx Logistisk vekst: a f ðxÞ ¼ 1 þ b e cx Egenskap for både begrenset og logistisk vekst: lim f ðxÞ ¼ a

43. Logaritmefunksjoner Naturlig logaritme (e som grunntall): f ðxÞ ¼ ln x, x > 0 Briggsk logaritme (10 som grunntall): f ðxÞ ¼ log x, x > 0 Figuren viser grafen til både den naturlige og briggske logaritmen. Når x er lik grunntallet vil funksjonsverdien bli 1.

x!1

45. Likningen for en sirkel Sirkel med sentrum i origo ð0, 0Þ: x2 þ y2 ¼ r2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ r2 x2

Sirkel med sentrum i ðx0 , y0 Þ: ðx x0 Þ2 þ ðy y0 Þ2 ¼ r2 Radius i sirkelen er r. Figuren viser en sirkel med sentrum i origo, og en annen med sentrum i ðx0 , y0 Þ.

1 MATEMATIKK

46. Gjennomsnittlig veksthastighet Definisjon på gjennomsnittlig vekstfart: a¼

y f ðx1 Þ f ðx0 Þ ¼ x x1 x0

f ðx0 þ xÞ f ðx0 Þ x Veksthastigheten a forteller deg hvor mye funksjonen i gjennomsnitt stiger/avtar for hver enhet av x mellom x ¼ x0 og x ¼ x1 , slik figuren viser.

Størrelsen f 0 ðxÞ leser du som «f derivert av x». Den deriverte f 0 ðx0 Þ er det samme som stigningstallet til tangenten i x0 , og kalles også den momentane veksthastigheten i x0 . Dette er også illustrert i figuren.

48. Likningen for tangenten i et punkt Finne likningen for tangenten: y f ðx0 Þ ¼ f 0 ðx0 Þðx x0 Þ y ¼ f 0 ðx0 Þðx x0 Þ þ f ðx0 Þ

47. Definisjon av den deriverte Definisjon for et punkt x0 : f ðx0 þ xÞ f ðx0 Þ f ðx0 Þ ¼ lim x!0 x Definisjon for en funksjon: 0

dy y ¼ lim dx x ! 0 x f ðx þ xÞ f ðxÞ ¼ lim x!0 x

f 0 ðxÞ ¼

Denne likningen er et spesialtilfelle av ettpunktsformelen i formel 37.

49. Tilvekstformelen For en liten x gjelder følgende: f ðx0 þ xÞ f ðx0 Þ þ f 0 ðx0 Þ x For x ¼ 1 sier regelen at funksjonsverdien endres med (omtrent) f 0 ðx0 Þ når du øker x med 1, altså at f ðx0 þ 1Þ f ðx0 Þ þ f 0 ðx0 Þ.

1 MATEMATIKK

Derivasjon av funksjoner med én variabel

1 MATEMATIKK

22 DERIVASJON AV FUNKSJONER MED ÉN VARIABEL

50. Egenskaper ved derivasjon

52. Noen sentrale deriverte

Hvis en konstant k er faktor i funksjonen:

De vanligste derivasjonsreglene:

f ðxÞ ¼ k gðxÞ

f ðxÞ ¼ k

f 0 ðxÞ ¼ 0

f 0 ðxÞ ¼ k g 0 ðxÞ

f ðxÞ ¼ x

f 0 ðxÞ ¼ 1

f ðxÞ ¼ kx

f 0 ðxÞ ¼ k

f ðxÞ ¼ xk pffiffiffi f ðxÞ ¼ x

f 0 ðxÞ ¼ k xk 1

Hvis funksjonen består av to ledd: f ðxÞ ¼ gðxÞ hðxÞ f 0 ðxÞ ¼ g 0 ðxÞ h 0 ðxÞ Den siste egenskapen gjelder også hvis funksjonen består av flere enn to ledd.

f ðxÞ ¼

1 x

51. Generelle derivasjonsregler

f ðxÞ ¼

1 xþk

Produktregelen: f ðxÞ ¼ gðxÞ hðxÞ f 0 ðxÞ ¼ g 0 ðxÞ hðxÞ þ gðxÞ h 0 ðxÞ Produktregelen på kortform: f ðxÞ ¼ u v

)

f 0 ðxÞ ¼ u 0 v þ u v 0

g 0 ðxÞ hðxÞ gðxÞ h 0 ðxÞ f 0 ðxÞ ¼ 2 hðxÞ Brøkregelen på kortform: u u0 v u v 0 ) f 0 ðxÞ ¼ v2 v Kjerneregelen: f ðxÞ ¼ g hðxÞ f 0 ðxÞ ¼ g 0 hðxÞ h 0 ðxÞ f ðxÞ ¼

Kjerneregelen på kortform: f ðxÞ ¼ gðuÞ

)

f 0 ðxÞ ¼ g 0 ðuÞ u 0

Ved implisitt derivasjon av f ðx, yÞ ¼ 0 deriveres alle uttrykk med y ved bruk av kjerneregelen. Deretter løser du ut for y 0.

1 ðx þ kÞ2

f 0 ðxÞ ¼ k x ln k

f ðxÞ ¼ ex

f 0 ðxÞ ¼ ex

f ðxÞ ¼ ekx

f 0 ðxÞ ¼ k ekx

f ðxÞ ¼ ln x

1 x 1 f 0 ðxÞ ¼ x

f ðxÞ ¼ lnðkxÞ

gðxÞ hðxÞ

f 0 ðxÞ ¼

f ðxÞ ¼ k x

Brøkregelen: f ðxÞ ¼

1 f 0 ðxÞ ¼ pffiffiffi 2 x 1 f 0 ðxÞ ¼ 2 x

f 0 ðxÞ ¼

1 x ln 10 Størrelsen k er en tilfeldig konstant. f ðxÞ ¼ log x

f 0 ðxÞ ¼

1 MATEMATIKK

53. Skjæringspunkter med aksene Skjæring med førsteaksen (nullpunkter):

Figuren viser grafen til f ðxÞ, og tilfellene der den er reflektert om både x- og y-aksen.

f ðxÞ ¼ 0 gir punktene ðx, 0Þ Skjæring med andreaksen: y ¼ f ð0Þ

gir punktet ð0, yÞ

Førsteaksen kalles også for argumentakse eller x-akse, mens andreaksen også omtales som funksjonsakse eller y-akse. Siden f er en funksjon er det bare én skjæring med andreaksen, men du vil ofte finne flere skjæringspunkter med førsteaksen. Figuren viser grafen til en funksjon som skjærer andreaksen og har tre nullpunkter.

55. Voksende og avtakende funksjon Funksjonen f er voksende i et område hvis: x1 < x2 gir f ðx1 Þ f ðx2 Þ for alle x i området Den er strengt voksende hvis f ðx1 Þ < f ðx2 Þ. Funksjonen f er avtakende i et område hvis: x1 < x2 gir f ðx1 Þ f ðx2 Þ for alle x i området Den er strengt avtakende hvis f ðx1 Þ > f ðx2 Þ.

54. Flytting av grafen Grafen flyttes opp (k > 0) eller ned (k < 0) med k enheter: Fra f ðxÞ til f ðxÞ þ k Grafen flyttes til venstre (k > 0) eller til høyre (k < 0) med k enheter: Fra f ðxÞ til f ðx þ kÞ Grafen strekkes vertikalt (hvis k < 0 reflekteres den også om x-aksen): Fra f ðxÞ til k f ðxÞ Grafen speilreflekteres om y-aksen: Fra f ðxÞ til f ð xÞ

Figuren viser et område der en funksjon er voksende (til venstre), og et annet område der funksjonen er avtakende (til høyre).

1 MATEMATIKK

Drøfting av funksjoner med én variabel

1 MATEMATIKK

24 DRØFTING AV FUNKSJONER MED ÉN VARIABEL

56. Bestemme om en funksjon er voksende eller avtakende Funksjonen f er voksende i et område hvis: f 0 ðxÞ 0 for alle x i området Den er strengt voksende hvis f 0 ðxÞ > 0. Funksjonen f er avtakende i et område hvis: f 0 ðxÞ 0 for alle x i området 0

Den er strengt avtakende hvis f ðxÞ < 0. Funksjonen f er konstant (grafen er en horisontal linje) hvis f 0 ðxÞ ¼ 0. Å bestemme når en funksjon vokser og avtar kalles også for drøfting av monotoniegenskapene til funksjonen.

Funksjonen f er konkav i et område dersom grafen krummer nedover (den er «sur»), som vil si at en rett linje mellom to tilfeldige punkter alltid vil ligge under kurven. Dette gjelder hvis: f kx1 þ ð1 kÞx2 kf ðx1 Þ þ ð1 kÞf ðx2 Þ for alle x i området, og k 2 h0, 1i Den er strengt konkav hvis du kan erstatte med >. Figuren viser et område der en funksjon er konveks (til venstre), og et annet område der funksjonen er konkav (til høyre).

57. Konveks og konkav funksjon Funksjonen f er konveks i et område dersom grafen krummer oppover (den «smiler»), som igjen vil si at en rett linje mellom to tilfeldige punkter alltid vil ligge over kurven. Dette gjelder hvis: f kx1 þ ð1 kÞx2 kf ðx1 Þ þ ð1 kÞf ðx2 Þ for alle x i området, og k 2 h0, 1i Figuren illustrerer denne sammenhengen. Funksjonen er strengt konveks hvis du kan erstatte med <.

58. Bestemme om en funksjon er konveks eller konkav Funksjonen f er konveks i et område hvis: f 00 ðxÞ 0 for alle x i området Den er strengt konveks hvis f 00 ðxÞ > 0. Funksjonen f er konkav i et område hvis: f 00 ðxÞ 0 for alle x i området Den er strengt konkav hvis f 00 ðxÞ < 0. Funksjonen f er en rett linje (både konveks og konkav) hvis f 00 ðxÞ ¼ 0.

1 MATEMATIKK

61. Vendepunkt og vendetangent

Funksjonen f har et toppunkt i x0 hvis:

Funksjonen f har et vendepunkt i x0 hvis:

f ðx0 Þ f ðxÞ for alle x i nærheten av x0 Funksjonen f har et bunnpunkt i x0 hvis: f ðx0 Þ f ðxÞ for alle x i nærheten av x0 Figuren viser grafen til en funksjon med to toppunkter og to bunnpunkter.

f i x0 går fra å være konkav til konveks eller f i x0 går fra å være konveks til konkav Hvis den andrederiverte eksisterer, så kan du finne vendepunktet der f 00 ðxÞ skifter fortegn. Vendetangent:

Tangenten i vendepunktet x0 , f ðx0 Þ

Figuren viser et vendepunkt med vendetangent til en funksjon f ðxÞ.

60. Bestemme toppunkter og bunnpunkter Funksjonen f har et toppunkt i x0 hvis: f 0 ðx0 Þ ¼ 0 og f 00 ðx0 Þ < 0 Funksjonen f har et bunnpunkt i x0 hvis: f 0 ðx0 Þ ¼ 0 og f 00 ðx0 Þ > 0 Det er ingen avgjørelse i testene hvis f 00 ðx0 Þ ¼ 0. Toppunkter og bunnpunkter kan du også finne ved å sette opp fortegnskjema for f 0 ðxÞ. For å finne alle toppunkter og bunnpunkter må du også undersøke de punktene der f ðxÞ ikke er deriverbar.

62. Maksimum og minimum i et lukket intervall Prosedyre for å finne maksimum og minimum: 1 Finn verdiene i endepunktene f ðaÞ og f ðbÞ og verdiene for f ðxÞ der f 0 ðxÞ ¼ 0 i ha, bi (og i eventuelle punkter der funksjonen ikke er deriverbar). 2 Den største f -verdien er maksimum, og den minste f -verdien er minimum i ½a, b .

1 MATEMATIKK

59. Toppunkter og bunnpunkter

ISBN 978-82-450-3292-5

,!7II2E5-adcjcf!

FORMLER OG TABELLER FOR ØKONOMISTUDENTER MATEMATIKK

FORMLER OG TABELLER FOR ØKONOMISTUDENTER

ØRJAN KRISTENSEN THOMAS GRESSNES ROGER TRØITE

ØRJAN KRISTENSEN | THOMAS GRESSNES | ROGER TRØITE

STATISTIKK

BEDRIFTSØKONOMI

SAMFUNNSØKONOMI