Boken er lagt opp slik at den kan brukes på kurs på bachelor- og masternivå, hvor relevante tema kan velges ut. Boken kan også være nyttig som oppslagsverk for praktiserende ingeniører og arkitekter som har behov for dimensjoneringskunnskap. Geir Terjesen er førsteamanuensis ved Institutt for maskinteknikk og teknologiledelse ved Norges miljø- og biovitenskapelige universitet (NMBU). Han har over tretti års erfaring med å undervise maskinfag fra Forsvaret, aluminiumsindustrien, bilbransjen, høgskoler og universiteter. Terjesen har undervist tekniker-, ingeniør- og sivilingeniørstudenter i dimensjoneringsteknikk, og han har publisert flere fagartikler.
ISBN 978-82-450-3519-3
DIMENSJONERINGSTEKNIKK FOR INGENIØRER
Boken kopler fasthetslæren til dimensjoneringsteknikken og har en rekke beregningseksempler for å illustrere teorien. Relevante tabeller er tatt med i boken slik at behovet for tilleggslitteratur reduseres. Boken forutsetter forkunnskaper i mekanikk og konstruksjons-teknikk. Det er likevel tatt med noen repetisjonstema for å lette innlæring av nytt fagstoff. Utledninger er i stor grad skilt ut i egne delkapitler for å gi leseren bedre oversikt over beregningsgangen.
GE I R T E R JE SE N
Dimensjoneringsteknikk for ingeniører er skrevet for å dekke en del av pensum i maskindesign ved NMBU. Boken tar utgangspunkt i forskjellige tema som skal gi ingeniøren relevant dimensjoneringskunnskap. I praksis viser det seg at mange studenter også får behov for kunnskap om dimensjoneringsstandarder. Det er derfor gitt en innføring i Eurokode 3 (stålkonstruksjoner), som benyttes ved løsning av noen kjente maskintekniske dimensjoneringsoppgaver.
G E I R TE RJ E S E N
DIMENSJONERINGSTEKNIKK FOR INGENIØRER
G EIR TERJE SE N
DIMENSJONERINGSTEKNIKK FOR INGENIØRER
Copyright © 2021 by Vigmostad & Bjørke AS All Rights Reserved 1. utgave 2021 / 1. opplag 2021 ISBN: 978-82-450-3519-3 Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Omslagsdesign ved forlaget Sats ved forfatteren Boken er utgitt med støtte fra Lærebokutvalget for høyere utdanning.
Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.
Forord Denne boken er skrevet for å dekke en del av hovedfaget i maskindesign ved NMBU. Den resterende delen av hovedfaget består av utmatting og bruddmekanikk og vil bli dekket av en annen bok som er under utarbeidelse. Boken i dimensjoneringsteknikk tar utgangspunkt i forskjellige temaer som skal gi maskiningeniøren relevant dimensjoneringskunnskap. I praksis viser det seg at mange studenter også får behov for kunnskap om dimensjoneringsstandarder. Det er derfor gitt en innføring i Eurokode 3 (stålkonstruksjoner), som noen kjente maskintekniske konstruksjonsoppgaver blir løst med. Studentenes forkunnskaper varierer. Noen emner er derfor repetert for å lette innlæring av nytt fagstoff. Utledninger er i stor grad skilt ut i egne delkapitler for å gjøre beregningsgangen mer oversiktlig. Boken har også en rekke beregningseksempler for å illustrere teorien. Relevante tabeller over bjelkedata, bjelketabeller, pasninger og normalfordelingen er tatt med i boken slik at behovet for andre oppslagsverk reduseres. I dag benytter de fleste ingeniører ett elementmetodeprogram (FEM-program) som hjelp ved dimensjonering. Håndberegningsmetodene blir i stor grad brukt for å verifisere om FEMberegningene er fornuftige. Det er flere typer FEM-programmer, i denne boken er noen verifiseringer gjort med programvare fra Ansys. Her benyttes:
Ansys® Academic Research Mechanical APDL, Release 2021 R1.
Ansys® Academic Research Mechanical, Release 2021 R1.
Boken er lagt opp slik at den kan brukes på spesialiserte bachelor-kurs og på masternivå, hvor relevant fagstoff kan velges ut. Boken kan også være nyttig som oppslagsverk for praktiserende ingeniører. Jeg vil rette en stor takk til ingeniør Tore Ensby, som har laget de fleste tegningene. Videre vil jeg takke Prof. Arkadi Ponossov, som har bidratt med matematiske utledninger, og Prof. Fridtjov Irgens for faglig inspirasjon og for faglig støtte gjennom mange år. Fra industrien vil jeg takke ingeniørene Arnt-Henning Andersson fra HBM Norge AS og Carl Odvar Hoel fra Coba Måleteknikk AS for korrektur av kapitlet om strekklapper. Sist, men ikke minst vil jeg takke kolleger og studenter på hovedkurset som gjennom årene har kommet med innspill til fagstoffet. Oslo, juli 2021 Geir Terjesen
5
INNHOLD Innholdsfortegnelse
7
Symboler
15
1. Repetisjon og spenningsanalyse 1.1 Hensikt og introduksjon
19
1.1.1 Strekkspenning
19
1.1.2 Trykkspenning
21
1.1.3 Spenningskonsentrasjonsfaktorer, Kt
22
1.1.4 Bøyespenning
23
1.1.5 Skjærspenning ved avskjæring
25
1.1.6 Vridespenning (torsjonsspenning)
25
1.1.7 Kombinerte spenninger
26
1.1.8 Normalspenning kombinert med skjær eller vridespenning
26
1.1.9 Tillatt spenning og materialdata
26
1.2 Spenningsanalyse 1.2.1
30
En-akset spenning
31
1.2.2 Koordinatspenninger og to-akset spenning (plan spenning)
32
1.2.3 Mohrs spenningssirkel med hovedvekt på plan spenning
37
1.2.4 Brudd- og flytehypoteser
44
1.2.5 Eksempler med Mohrs sirkel, brudd- og flytehypoteser
52
1.2.6 Introduksjon av tre-akset spenning
60
1.3 Tabeller
64
1.3.1 Varmvalsede HE-A bjelker
64
1.3.2 Varmvalsede HE-B bjelker
65
1.3.3 Varmvalsede IPE-bjelker
66
1.3.4 Varmformede kvadratiske hulprofil
67
1.3.5 Varmformede rektangulære hulprofil
68
1.3.6 Kaldformede kvadratiske hulprofil
69
1.3.7 Kaldformede rektangulære hulprofil
70
1.3.8 Varmformede likebente vinkelprofil
71
1.3.9 Varmformede ulikebente vinkelprofil
72
1.3.10 Varmvalsede kanalstål, UNP
73
1.3.11 Standard kumulativ normalfordeling
74
7
1.4 Referanser
76
2. Trykkbeholdere og estimeringsteknikker 2.1 Hensikt og introduksjon
77
2.2 Tynnvegget sylindrisk beholder
78
2.3 Tykkvegget sylindrisk beholder
80
2.3.1 Noen utledninger og delvis plastifisert tykkvegget beholder
83
2.4 Tynnvegget kuleskall (kuleformet beholder)
88
2.5 Tykkvegget kuleskall (kuleformet beholder)
88
2.6 Generelle formler for tøyning og spenning
89
2.7 Tøyning av beholdere
89
2.7.1 Kompressibilitetsmodul
92
2.8 Estimering av bøyespenningen i lokk, flenser og stempel
96
2.8.1 Estimering av bøyespenningen i rund flatt lokk
96
2.8.2 Estimering av bøyespenning i firkantet flatt lokk
98
2.8.3 Estimering av bøyespenning i løse flenser eller flenser med gjenger
100
2.8.4 Flenser sveist/støpt til tykke rørdeler eller aksler
101
2.8.5 Estimering av bøyespenning i stempel
103
2.9 Referanser
104
3. Press- og krympeforbindelser 3.1 Hensikt og introduksjon
105
3.2 Noen fordeler og ulemper med press- og krympeforbindelser
106
3.3 ISO-toleranser
108
3.4 Pasninger
111
3.5 Fremgangsmåte for å dimensjonere påkympet nav på massiv aksel
115
3.6 Beregning av påkrympet nav på hul aksel
120
3.7 Bakgrunn for formelverk for krympeforbindelser
122
3.7.1 Formelverk for forbindelser uten rotasjon
123
3.7.2 Formelverk for forbindelser med rotasjon
125
3.8 Noen utdrag av ISO-toleranser for ytre mål (for eksempel akslinger)
131
3.9 Noen utdrag av ISO-toleranser for innvendige mål (boringer)
145
3.10 Referanser
157 8
4. Strekklapper 4.1 Hensikt og spenningsberegninger
158
4.2 Bruksprinsipp, begrensninger og kunnskapskilder
158
4.3 Historikk
159
4.4 Fordeler med strekklapper
160
4.5 Aksial tøyninger
162
4.6 Strekklappteori
164
4.7 Noen vanlige oppkoplinger med strekklapper
171
4.8 Øvingsoppgaver
175
4.9 Torsjon (vridning)
176
4.10 Tabell: «Tilfeller med strekklapper»
178
4.11 Eksempler
180
4.12 Bestemmelse av spenningen på en materialoverflate
182
4.13 Generelt om praktiske forhold ved strekklappmålinger
186
4.14 Noen utledninger
191
4.14.1 Utledning av forenklet bruformel
191
4.14.2 Sammenheng mellom skjærtøyning (γ) og diagonaltøyning (ε45˚)
193
4.14.3 Sammenhengen mellom skjærmodulen (G) og elastisitetsmodulen (E)
194
4.14.4 Sammenhengen mellom spenning og tøyning for lineært isotropt materiale 4.14.5 Utledning av formel for retningsbestemt tøyning 4.15 Referanser
195 198 199
5. Generelt om deformasjon og differensiallikningen for den elastiske linjen. «Den elastiske linjens likning» 5.1 Hensikt og repetisjon av viktige sammenhenger ved bøying
200
5.2 Generelt om deformasjon og FEM-verifikasjon
204
5.3 Den elastiske linjens likning
206
5.4 Den elastiske linjen med Macaulay-funksjoner
213
5.5 Store deformasjoner og andre ordens effekt
219
5.6 Noen bjelkeformler
224
5.7 Referanser
228 9
6. Krumningsflatemetoden 6.1 Hensikt og introduksjon
229
6.2 Krumningsflatemetoden for utkragerbjelker
229
6.3 Krumningsflatemetoden for fritt opplagt bjelke
235
6.4 Aksler med lastoverheng
239
6.5 Referanser
241
7. Energimetoder 7.1 Hensikt og introduksjon
242
7.2 Castiglianos sats
242
7.2.1 Generelt og Castiglianos sats ved strekkpåkjenning
243
7.2.2 Castiglianos sats ved bøyepåkjenning
244
7.2.3 Utledning av Castiglianos teoremer
261
7.2.4 Castiglianos sats med kombinerte belastningstyper
264
7.3 Arbeidsbetraktninger, virtuelt arbeid og enhetslastmetoden
270
7.4 Gjensidige teoremer
285
7.5 Referanser
290
8. Komposittbjelker, krumme bjelker og rektangulære plater 8.1 Hensikt
291
8.2 Repetisjon, skjærspenning ved bøying
291
8.3 Komposittbjelker
302
8.3.1 Utledning av formelverk for komposittbjelker 8.4 Krumme bjelker
307 313
8.4.1 Utledning av formelverk for krumme bjelker
320
8.5 Bøying av rektangulær plate
323
8.6 Platestripemetoden
327
8.7 Referanser
330
9. Statisk ubestemte bjelker, skrå- og usymmetrisk bøying 9.1 Hensikt
331
9.2 Statisk ubestemte bjelker
331
9.2.1 Superposisjonsmetoden
332
9.2.2 Deformasjonsmetoder
334
9.2.3 Sammenlikning mellom håndberegninger og Ansys
335
10
9.2.4 Vinkelendringsmetoden
337
9.3 Tremomentmetoden
343
9.4 Skrå- og usymmetrisk bøying
356
9.5 Referanser
364
10. Plastisitetsteori og bøyepåkjente konstruksjoner 10.1 Hensikt og introduksjon
365
10.2 Plastisk momentkapasitet
365
10.2.1 Viktige momenter ved dimensjonering 10.3 Flyteledd og bruddmekanismer
369 370
10.3.1 Antagelser ved flyteleddsberegninger
371
10.3.2 Beregning av plastisk last for en mekanisme
372
10.3.3 Spesielle forhold
374
10.3.4 Grenseteoremene
376
10.3.5 Oppsummering av fremgangsmåten
379
10.4 Rammer
380
10.5 Effekten av aksiallast på plastisk bøyning
392
10.5.1 Plastisk nøytralakse for noen belastede I-profiler
398
10.6 Effekten av skjærkraft på plastisk bøyning
404
10.7 Plastisk motstandsmoment mot torsjon
406
10.8 Referanser
407
11. Introduksjon til Eurokode 3 (Stålkonstruksjoner) 11.1 Introduksjon
408
11.2 Generelt om Eurokode 3 og materialer
408
11.3 Dimensjonering i grensetilstander
415
11.4 Plastiske beregninger og klassifisering av tverrsnitt
421
11.5 Partialkoeffisientmetoden, andre standarder og internettressurser
447
11.6 Referanser
448
12. Skrueforbindelser og Eurokode 3 12.1 Introduksjon, klassifisering og bruddformer
449
12.2 Avskjæringsforbindelser
450
12.2.1 Kapasitet mot avskjæring i skruen
450
12.2.2 Kapasitet mot hullkanttrykk
452
11
12.2.3 Blokkutrivning av skruegruppe
454
12.2.4 Brudd i grunnmaterialet
455
12.2.5 Injeksjonsskruer
459
12.2.6 Symmetrisk knuteplate
460
12.2.7 Innfesting av vinkelprofil i ett bein
461
12.3 Momentbelastet grunnmateriale
462
12.4 Skruegrupper og plastisk beregning
462
12.5 Skruer belastet i strekk
464
12.6 Skruer belastet i strekk og avskjæring
465
12.7 Hevarmvirkning i T-forbindelser
467
12.8 Bolteleddforbindelser
472
12.9 Friksjonsforbindelser
473
12.10 Praktiske tips
476
12.11 Referanser
476
13. Sveiste forbindelser med Eurokode 3 13.1 Generelt om lastbærende sveiser
477
13.2 Kapasiteten til buttsveiser
479
13.3 Kapasiteten til kilsveiser
480
13.3.1 Bøyepåkjente sveiseforbindelser
490
13.3.2 Vridepåkjente sveiseforbindelser
496
13.3.3 Sveis behandlet som en linje
496
13.4 Utrivningsbrudd (delaminering)
502
13.5 Sveising i kalddeformerte områder
503
13.6 Forbindelser til uavstivet flens
504
13.7 Plastisk beregning
506
13.8 Noen utledninger
511
13.8.1 Utledning av formel for skrå sveis
511
13.8.2 Utledning av formel for sveis på plate med helning
512
13.8.3 Sammenlikning, fastboltet brakett og sveist brakett
513
13.9 Referanser
515
12
14. Globale knekkeberegninger uten standard 14.1 Hensikt og typer av stabilitetsproblemer
516
14.2 Repetisjon om knekking
517
14.3 Knekking av bjelke-søyler
526
14.3.1 Metode 1: Forenklet interaksjonsregel
526
14.3.2 Metode 2: Tillatt spenning
530
14.4 Knekkformer
534
14.5 Ansys knekking
535
14.6 Knekkurver for noen stål- og aluminiumlegeringer
537
14.7 Utledning av noen knekketilfeller
539
14.8 Utledning av forsterkningsfaktor for sinusformet stav
544
14.9 Noen statisk ubestemte rammer
545
14.10 Referanser
549
15. Knekking av torsjonsstive staver med Eurokode 3 15.1 Hensikt og introduksjon
550
15.2 Utvikling av knekkurver
550
15.3 Valg av knekkurve
551
15.4 Knekking ved ren aksiallast
553
15.5 Knekking av bjelke-søyler
554
15.6 Utledning av formel for ekvivalent formfeil
562
15.7 Utledning av knekkeformel for torsjonsstiv bjelkesøyle
565
15.8 Tilnærmet utregning av kritisk knekklast
567
15.9 Referanser
568
16. Torsjon og vipping uten standard 16.1 Hensikt og repetisjon om torsjon
569
16.2 Statisk ubestemt torsjonsberegning
571
16.3 Forskjellige tverrsnittsformer
574
16.4 Kombinert spenning med bøying, skjær og torsjon
581
16.5 Sammensatte tverrsnitt
581
16.6 Bi-moment metoden
585
16.7 Skjærsenter
586
16.8 Vipping
589 13
Symboler Det er en stor mengde symboler i dimensjoneringsteknikken. Symbolene som benyttes i forbindelse med dimensjonering uten standard er nok kjent for de fleste. Symbolverket til Eurokode 3 er omfattende. Det anbefales å studere anbefalte linker og referanser i kap.11.5 for å bli bedre kjent med Eurokode 3-symbolene. Symbolene blir forklart når de først forekommer i teksten. De fleste symbolene er likevel tatt med her. Uansett om man dimensjonerer med eller uten standard oppdager man at ett symbol kan ha flere betydninger og at en bestemt størrelse kan benevnes på flere måter. Dette vil man også kunne se av listen med symboler. A Ab A(%) Aeff Aeff,st Af Am Anet As Ast AV Aw Cm Cw D E Ed ES, EI F, Fp FE FEd Fk Fb,Rd Fp,C Fs,Rd Ft,Rd Fv,Rd Fw,Rd FT G Gk GT Ii, Iij Ip, It, IT Iw K Kt Kv, Kg Kb, Kv*, KR KV
tverrsnittsareal brutto tverrsnittsareal bruddforlengelse i prosent effektivt tverrsnittsareal effektivt tverrsnittsareal for stivere flensareal areal omsluttet av tverrsnittets senterlinje netto tverrsnittsareal spenningsareal av skruer bruttotverrsnitt av én tverrstiver skjærareal stegareal ekvivalent momentfaktor hvelvningskonstant platestivhet elastisitetsmodul dimensjonerende lastvirkning (kraft eller moment) øvre og nedre avvik for boring (innvendige mål) kraft eller ytre last, bruddkraft (plastisk) verdi av kraft Eulers knekklast dimensjonerende lastvirkning karakteristisk verdi av variabel last dimensjonerende hullkantkapasitet per skrue forspenningskraft i skrue dimensjonerende friksjonskapasitet per skrue dimensjonerende strekkapasitet per skrue dimensjonerende avskjæringskapasitet per skrue akseparallell skjærkraft i kilsveis kraft i T-stykke skjærmodul karakteristisk verdi av permanent last grunntoleranse annet arealmoment og sentrifugalmoment avhengig av akser polart annet arealmoment, St. Venants torsjonskonstant (torsjonstreghetsmomentet) hvelvningskonstant kraft eller akseparallell skjærkraft spenningskonsentrasjonsfaktor kompressibilitetsmodul for væske og gass kompressibilitetsmodulen for beholder, væske med innblandet gass og resulterende kompressibilitetsmodul slagseighet
15
Rm Rp0,2 S Si
lengde utgangslengde målelengden etter brudd. absolutt forlengelse kritisk knekklengde moment bøyemoment dimensjonerende moment. dimensjonerende vippekapasitet kritisk moment for vipping elastisk momentkapasitet plastisk momentkapasitet dimensjonerende plastisk momentkapasitet dimensjonerende momentkapasitet dimensjonerende momentkapasitet redusert av aksialkraft N dimensjonerende momentkapasitet redusert av skjærkraft V torsjonsmoment (vridemoment) momenter om x-,y- og z-akse tilleggsmoment på grunn av forskyvning av arealsenter kraft total aksialkraft i stiver ekvivalent aksialkraft i stiver pga formavvik aksialkraft pga strekkfeltvirkningen i steget flenskraft dimensjonerende aksialkraft dimensjonerende kapasitet i bøyeknekking dimensjonerende aksialkraftkapasitet i trykk kritisk kraft for bøyningsknekking (Eulerlast) avhengig av akse dimensjonerende aksialkraftkapasitet i strekk dimensjonerende aksialkraftkapasitet i nettotverrsnitt last (kraft) karakteristisk verdi av variabel last radius eller resistans nummer på resistanser, brukes også i krumningsflatemetoden endring i resistans midlere profilhøyde for overflateruheten øvre flytegrense, benevnes i dimensjoneringssammenheng vanligvis bare for flytegrensen, Re. Strekkfasthet, bruddspenning flytegrense for materialer uten flyteplatå skjærsenter statisk moment (første arealmoment) om aktuell akse
U0, UE V Vb,Rd Vbw,Rd Vbf,Rd Vc,Rd VEd Vpl,Rd VT,Rd Vy,Ed, Vz,Ed
utgangs- og matespenning skjærkraft, volum platebærers totale skjærkapasitet stegets skjærkapasitet flensens bidrag til skjærkapasiteten dimensjonerende kapasitet i skjær dimensjonerende skjærkraft (snittkraft) plastisk kapasitet i skjær dimensjonerende skjærkraftkapasitet redusert pga samtidig torsjonsmoment dimensjonerende skjærkraft i y- og z-retning
L L0 Lu ΔL Lk, Lcr M Mb MEd Mb,Rd Mcr Mel Mp Mpl Mc,Rd MN,Rd MV,Rd Mt Mx, My, Mz ∆M N Nst ΔNst Nst,ten Nf NEd Nb,Rd Nc,Rd Ncr,i Nt,Rd Nu,Rd P Pk R R1, R2… ΔR Ra ReH
Ta, Tb U
toleranseområde for aksel og boring tøyningsenergi
16
Wel,i, Wpl,i Wi, Wy, a b bf beff d Δd da,maks da,min da,nom db,maks db,min db,nom d0 e e1 e2 ei,j es, ei fk fRd fy fyf fyw fu h,hw hf i, iy, iz k kyy, kyz, kzy, kzz kw kx, kφ kσ, kb, kτ, kF l, ly, le leff m1, m2 p pi, py q s so r ri, ry, rm rn ro t tf tw u w0 Δw x, y, z y
elastisk og plastisk tverrsnittsmodul (motstandsmoment) om aktuell akse indre arbeid, ytre arbeid lengde mål bredde mål flensbredde effektiv bredde diameter og skrueskaftdiameter økning av diameter eller diagonalmål øvre grensemål for aksel nedre grensemål for aksel nominelt mål (kalles også basismål) for aksel øvre grensemål for boring nedre grensemål for boring nominelt mål (kalles også basismål) for boring diameter for hull til skrue eksentrisitet, avstander endeavstand i kraftretning, målt fra skruehullets senter til stavende kantavstand normalt på kraftretningen målt fra skruehullets senter forskjellige typer utbøyningsamplituder avhengig av indekser øvre og nedre avvik for aksel (utvendige mål) knekkspenning, karakteristisk fasthet dimensjonerende fasthet eller kapasitet flytespenning, flytegrense flensens flytegrense stegets flytegrense bruddspenning, strekkfasthet tverrsnittshøyde, avstand, steghøyde mellom flensene avstanden mellom flensenes arealsentere arealtreghetsradius, arealtreghetsradius om y- og z-aksen knekklengdefaktor eller strekklappfaktor interaksjonsfaktorer for bjelke-søyler interaksjonsfaktor for bjelke-søyler stivhet av elastisk underlag translasjonsstivhet, rotasjonsstivhet knekkingskoeffisienter lengde og spennvidde, effektiv lastlengde for punktlast, parameter for punktlast effektiv lengde (av T-stykke) hjelpestørrelser (punktlast på bjelker) trykkspenning, hullavstand indre og ytre trykk fordelt last, skjærspenningsstrøm hullavstand ved forskjøvet hullplassering tykkelse ubelastet radius indre-, ytre- og midlere radius radius til nøytralakse (krumme bjelker) ytre radius (krumme bjelker) tykkelse, tid flenstykkelse stegtykkelse deformasjon initialutbøying tilleggsdeformasjon koordinater deformasjon
17
α αb, αd αa, αn β βw γ γF γM0, γM1, γM2 δ δeff, δmid δt,maks, δt,min ε εb, εF εx, εy, εx εy εu ζ η θ θt κ λ λ1 ͞λ ͞λT ͞λLT ͞λp, λp ͞λw μ ν ρ, ρc σ σa σb σe, σjf σk σr σt σx, σy, σz σ1, σ2, σ3 τ φ χ, χw, χLT ψ ω
temperaturutvidelseskoeffisient, knekkurveparameter, lengdeforhold i plate, vinkel, faktor for å finne plastisk nøytralakse, plastisitetsfaktor. koeffisienter for bestemmelse av skruekapasitet influenskoeffisienter knekklengdefaktor, skjærfaktor, reduksjonsfaktor korrelasjonsfaktor for sveis skjærtøyning lastkoeffisient materialfaktorer deformasjon, pressmonn effektivt og midlere pressmonn største og minste teoretiske pressmonn relativ forlengelse, tøyning eller faktor som avhenger av fy tøyning fra bøying, tøyning fra normalkraft, F tøyning i respektive retninger flytetøyning eller tøyning i y-retning bruddtøyning hovedakse hovedakse eller korreksjonsfaktor vinkel torsjonsvinkel krumning slankhet flyteslankhet relativ slankhet for bøyningsknekking relativ slankhet for torsjons- eller bøyetorsjonsknekking relativ slankhet for vipping relativ plateslankhet, plateslankhet stegets relative slankhet friksjonskoeffisient eller Jouravskifaktoren (skjærpåkjent bjelke) Poissons tall (tverrkontraksjonstall) massetetthet, reduksjonsfaktor for plateknekking, og for platefeltknekking normalspenning aksial spenning bøyespenning ekvivalent eller jevnførende spenning (betyr det samme) knekkspenning radial spenning tangential spenning normalspenning i x- , y- og z-retning første, andre og tredje hovedspenning skjærspenning vinkel reduksjonsfaktor for bøyeknekking, skjærknekking og vipping spenningsforhold eller forhold mellom endemomenter vinkelhastighet
18
1. REPETISJON OG SPENNINGSANALYSE 1.1 Hensikt og introduksjon Hensikten med dette kapittelet er å:
repetere noen vanlige spenningstyper med tilhørende materialdata
kunne benytte Mohrs spenningssirkel for å fastlegge hovedspenninger og tilhørende hovedspenningsretninger i en maskindel
kunne bruke noen vanlige brudd- og flytehypoteser ved dimensjonering
Hovedfokuset i denne boken er stålkonstruksjoner. Stålkonstruksjoner kan dimensjoneres mot flyting, brudd, instabilitet, elastiske deformasjoner, utmatting, korrosjon, egenfrekvenser og siging. Egenfrekvenser og siging blir ikke omtalt i denne boken. For å kunne dimensjonere en konstruksjon må vi kunne finne belastningene og spenningene konstruksjonen blir utsatt for. Videre må vi vite hvor store spenningene kan være (dimensjoneringskriteriene). Vi skal repetere noen sentrale temaer fra fasthetslæren, før nytt stoff presenteres. Vi starter med å repetere noen vanlige spenningstyper, deretter skal vi få en oversikt over de vanligste dimensjoneringskriteriene og materialdata. 1.1.1 Strekkspenning En prøvestav med tverrsnitt A(mm2) er belastet med en sentrisk kraft F(N). Strekkspenningen er kraft (N) per kvadrat millimeter (mm2). Strekkspenningen i staven er: σ = F/A, ( N/mm2 = MPa)
[MPa]
Rm ReH
1
E
ε Figur 1.1
Figur 1.2
19
I et strekkprøveapparat måler vi forlengelsen av en standard prøvestav etter hvert som strekkraften øker. Figur 1.1 viser prinsippet, og figur 1.2 viser spennings-tøyningskurven til et typisk konstruksjonsstål. Her er: ΔL (mm): stavens forlengelse i måleområdet ε: relativ forlengelse (kalles også nominell tøyning), ε = ΔL/L0, L0: Utgangslengde I det rettlinjede område på kurven gjelder Hookes lov, σ = E·ε (MPa) Rm: Strekkfasthet (MPa), benevnes også σB og fu ReH: Øvre flytegrense (MPa), benevnes i dimensjoneringssammenheng vanligvis bare for flytegrensen, Re. σF, Rp0,2 og fy er andre benevnelser på flytegrensen. E: Elastisitetsmodul (MPa), stigningstallet til spenningen i spennings-tøyningskurven. Fra materiallæren vet vi at fasthetsverdiene for et gitt konstruksjonsstål avhenger av temperaturen, belastningshastigheten og tykkelsen. Duktile materialer deformeres når de belastes til brudd. Prøvestaven forlenges (bruddforlengelse), og staven vil også få en redusert diameter (kontraksjon) ved brudd. Dette er generelt fordelaktige egenskaper fordi vi ønsker å få et forvarsel på brudd. Målet Lo, er vanligvis 5 ganger utgangsdiameteren for sylindriske staver, og denne lengden merkes på staven. Etter brudd legges bitene sammen og man måler den prosentvise bruddforlengelsen. Dimensjoneringsstandardene kan stille krav til minimum bruddforlengelse. a)
b) Figur 1.3 a) Prøvestav før belastning b) Prøvestav etter brudd
Lu, er altså målelengden etter brudd. Bruddforlengelsen er målestavens prosentvise forlengelse etter brudd. Bruddforlengelsen, A(%), er gitt av formelen: A%
Lu Lo 100 Lo
Regelverket for strekkprøving finner du i standarden NS–EN ISO 6892-1: 2019.
20
Noen stållegeringer og andre materialer (for eksempel aluminium) har ikke noen karakteristisk flytegrense som vist på figur 1.4. I slike tilfeller benyttes 0,2 %-metoden for å finne flytegrensen.
[MPa]
[MPa]
R p 0, 2
Rm
[%]
0,2
Figur 1.4
Figur 1.5
Ved 0,2 % tøyning på - aksen, trekkes en linje parallell med spennings-tøyningskurven. Punktet hvor denne linjen krysser spennings-tøyningskurven defineres som flytegrensen. Se figur 1.4. Materialer som viser liten eller ingen deformasjon før brudd, blir omtalt som sprø materialer, f.eks. noen herdede stållegeringer og grått støpejern. Sprø materialer har ingen karakteristisk flytegrense. Se figur 1.5. 1.1.2 Trykkspenning Konstruksjonsstål har relativt like fasthetsegenskaper ved trykk som i strekk frem til flytegrensen, se figur 1.6. Når det gjelder grått støpejern, har heller ikke dette materialet noen karakteristisk flytegrense. Elastisitetsmodulen er gitt som tangenten som berører kurven gjennom origo. Grått støpejern er sterkere ved sammentrykning fordi den laminerte grafitten fungerer som støtdemper ved sammentrykning. Se figur 1.7.
Re
Rm
F -ε
+ε Re,t
p Figur 1.6
Figur 1.7
21
Figur 1.8
Trykkspenningen kan skrives: p = F/A (MPa), A: Tverrsnittsarealet til delen. Når lengden (slankheten) til den trykkpåkjente delen blir stor nok, må vi også dimensjonere mot knekking. Dette kommer vi tilbake til i senere kapitler. 1.1.3 Spenningskonsentrasjonsfaktorer, Kt Forholdet mellom maksimalspenning og nominell nettospenning i en komponent benevnes spenningskonsentrasjonsfaktoren, Kt. Noen viktige momenter om Kt: - Kt er uavhengig av materialtypen, og avhenger bare av geometrien (kjervens utforming). - Ved statisk dimensjonering må Kt brukes på sprø* materialer. For duktile materialer er det ikke nødvendig å bruke Kt ved statisk dimensjonering. - Ved utmattingsberegninger bør Kt brukes på alle typer materialer.
Figur 1.9
Kt
maks netto
netto
F Anetto
maks K t netto
*For noen sprø materialer i strekk vil tilstedeværelse av materialfeil, urenheter eller grafittflak (for eksempel støpejern) forårsake indre spenningskonsentrasjoner. Denne spenningsøkningen kan være større enn hva andre spenningskonsentrasjoner kan forårsake, for eksempel ved et boret hull. Et boret hull i en strekkpåkjent komponent av støpejern kan altså få brudd et annet sted enn ved hullet. Fagfeltet som omfatter bruddfarer for indre eller ytre sprekkliknende defekter, benevnes bruddmekanikk.
22
1.1.4 Bøyespenning En rektangulær bjelke med tverrsnitt som angitt på figur 1.10 er belastet med en kraft F på midten. Bøyemomentet skaper trykkspenning i øvre del av bjelken og strekkspenning i nedre del av bjelken. Se figur 1.10.
F
b h
Figur 1.10
Bøyespenningen kan skrives:
b
Mb M y b Wb I
σb: Bøyespenning (MPa) Mb: Bøyemoment (Nmm) Wb: Elastisk tverrsnittsmodul (benevnes også motstandsmoment) [mm3] I: Annet arealmoment for tverrsnittsflaten [mm4] y: Avstand fra nøytralaksen til det punkt hvor vi ønsker å fastlegge spenningen [mm]. For dobbeltsymmetriske bjelker utsatt for bøying er maksimal trykkspenning og maksimal strekkspenning like store, dette er underforstått når ±-symbolet utelates. Tabell 1.1 viser formler for tverrsnittsmoduler og annet arealmoment for noen vanlige tverrsnitt. Her er også formelen som angir Steiners sats presentert. Når vi ikke har dobbelsymmetriske tverrsnitt må vi først finne tverrsnittets tyngdepunkt og deretter finne annet arealmoment med Steiners sats (vanlig fasthetslære). I kapittel 1.3 vises tabeller for annet arealmoment, tverrsnittsmoduler og andre tverrsnittsstørrelser for noen bjelketyper.
23
Annet arealmoment
Ix Iy
Ix Iy
d4
Wx Wy
64
D4 d 4 64
BH3 bh3 12
b H 3 h3 12
I x I x' I y
Wx
Wx
R 4
8 8 I y' R 4 8 9
c: flatens tyngdepunkt Steiners sats: I x I1 A y0
2
Tabell 1.1 Annet arealmoment og tverrsnittsmodul for noen tverrsnitt
24
D4 d 4 32 D
BH 3 bh3 6H
BH 3 bh3 Wx 6H
c
32
Wx
BH 3 bh3 Ix 12
Ix
Wx Wy
d3
BH 2 6 HB 2 Wy 6
BH 3 12 HB 3 Iy 12 Ix
Ix
Tverrsnittsmodul
b H 3 h3 6H
1.1.5 Skjærspenning ved avskjæring Et nagletverrsnitt med diameter d (mm) er belastet med en tverrkraft F (N), se figur 1.11. Skjærspenningen i tverrsnittet er:
F 4 F ( MPa ) A d2
Bøying kan også skape skjærspenning, dette kommer vi tilbake til i et senere kapitel.
Figur 1.11
1.1.6 Vridespenning (torsjonsspenning) En sirkulær stav med diameter d (mm) er belastet med et vrimoment (torsjonsmoment) Mt (Nmm). Vridningsspenningen i staven er:
Mt Mt r MPa) Wp Ip
τ:
Vridespenning (MPa)
d Mt
maks
Figur 1.12
Mt: Torsjonsmoment (Nmm) Wp: Polar tverrsnittsmodul (mm3). Benevnes også ” Motstandsmoment mot vridning, Wv”. Ip: Polart annet arealmoment for tverrsnittsflaten (mm4) r:
Avstand fra senter til det punkt hvor vi ønsker å fastlegge spenningen (mm).
Tabell 1.2 viser formler for den polare tverrsnittsmodulen og polart annet arealmoment for sirkulære tverrsnitt. Her er x-aksen horisontal og y-aksen er vertikal gjennom sirkelsenter. Polart annet arealmoment
I p, x I p, y
I p, x I p, y
d4 32
D4 d 4 32
Polar tverrsnittsmodul
Wp, x Wp, y
Wp, x Wp, y
d3 16
D4 d 4 16 D
Sammenheng mellom annet arealmoment ved vridning og bøying: Ip = Ix + Iy Tabell 1.2 Polart annet arealmoment og polar tverrsnittsmodul mot vridning
25
1.1.7 Kombinerte spenninger Summering av normalspenninger, for eksempel strekk- og bøyespenning: Figur 1.13 viser en bjelke utsatt for to krefter som er fast innspent i den ene enden. De samlede normalspenninger på tverrsnittet blir den algebraiske sum av spenninger. Vi må definere en positiv retning. Strekkspenningsretningen velges som positiv, og formel for motstandmomentet finner vi i tabell 1.1.
s b Oversiden :
F M b F1 F2 L 2 A W A bh / 6
o,tot s bs Undersiden :
Figur 1.13
u , tot s bt
1.1.8 Normalspenning kombinert med skjær eller vridespenning Det er mest vanlig å sette sammen spenningene etter von Mises eller Trescas hypoteser. Von Mises hypotese gir best resultater på duktile materialer (for eksempel aluminium og konstruksjonsstål). Trescas hypotese blir brukt på mer sprø materialer (for eksempel støpejern). Spenningen man får (σe) kalles den ekvivalente spenningen eller jevnføringsspenning (σjf). [MPa ]
e jf 2 3 2 (von Mises)
Rm
e jf 2 4 2 Tresca
Re σtill
1.1.9 Tillatt spenning og materialdata
σopptr
Tillatt spenning er definert som:
till
R R e eller till m nF nB
Figur 1.14
Her er nF og nB sikkerhetsfaktor mot henholdsvis flyting og brudd. Vanligvis blir sikkerhetsfaktor mot flyting brukt på duktile materialer, for eksempel konstruksjonsstål. Sikkerhetsfaktor mot brudd er blitt brukt på materialer som ikke har noen utpreget flytegrense, for eksempel noen høyfaste stål. Dimensjoneringskravet er at opptredende spenning (σopptr) må være mindre eller lik tillatt spenning (σtill): σopptr ≤ σtill. Sikkerhetsfaktorene avhenger av usikkerhetsmomenter som: materialdatavariasjoner, dimensjonsfeil, konsekvenser ved brudd, feil i lastantagelser, tilnærmede dimensjoneringshypoteser og miljøet konstruksjonen opererer i. Sikkerhetsfaktorene er i et stort spenn, men verdier kan 26
ligge i intervallene: nF = 1,5 til 3,0 og nB = 2,0 til 10. I mange tilfeller dimensjonerer vi etter standarder hvor sikkerhetsfaktorene er gitt. Sikkerhetsfaktorene skal ivareta: materialfeil og variasjon i materialdata, bruddkonsekvenser, feil i belastningsantagelser, feil i beregningshypoteser. Det defineres også en tillatt skjærspenning. Tillatt skjærspenning kan finnes ved enten å bruke von Mises hypotese eller Trescas hypotese. Von Mises blir vanligvis brukt på relativt duktile materialer og Trescas hypotese på mer sprø materialer. Vi setter den jevnførende spenningen lik den tillatte spenningen i hypotesene. 2
von Mises : till 2 3 till till 2
Tresca : till 2 4 till till
till
till 2
3
0,6 till
0,5 till
Tabell 1.3 viser strekkfasthet og flytegrense til noen sveisbare konstruksjonsstål. NS-EN 10025-2 S185 S235JR S235 JO S235J2+N S275JR S275JO S275J2+N S355J0 S355J2+N
Tyskland Strekkfasthet Flytegrense Kommentarer DIN 17100 Rm [MPa] Re [MPa] St 33-1 323 185 Utettet RSt 37-2 360 235 Delvis tettet St37-3U 360 235 Delvis tettet St 37-3N 360 235 Tettet og normalisert St 44-2 430 275 Delvis tettet St 44-3U 430 275 Delvis tettet St 44-3N 430 275 Tettet og normalisert St 52-3U 510 355 Varmformet St 52-3N 510 355 Tettet og normalisert Tabell 1.3
I dag skal en benytte Europeisk standard NS EN 10025-2 (kolonnen til venstre). Standarden kommer fra tid til annen med reviderte versjoner, sørg for at du har den gjeldende standarden, se [1.1]. S-en betyr konstruksjonsstål (Structural steel), de tre neste tallene angir flytegrensen, de to neste bokstavene angir krav til slagseighet, og den siste bokstaven angir leveringstilstand avhengig av produkt. NS-EN 10025-2 E295 E335 E360
Tyskland DIN17100 St 50-2 St 60-2 St 70-2
Strekkfasthet, Flytegrense, Rm [MPa] Re [MPa] 490 295 588 335 686 360
Tabell 1.4
Tabell 1.4 vises fasthetsverdiene til noen stål som ikke er beregnet på sveising. E-en betyr teknologiske stål (Engineering steels), de tre neste tallene angir flytegrensen. 27
De tyske betegnelsene er basert på strekkfasthet i kp/mm2 (1 kp = 9,81 N, utgått). Dette var tidligere vanlige betegnelser i Norge også. Husk at flytegrensen også er avhengig av belastningshastighet, temperatur og tykkelse. Dersom tykkelsen overskrider 40 mm må flytegrensen reduseres ytterligere i henhold til Eurokode 3. NS EN 10025-2 [1.1] angir også flytegrense og strekkfasthet i bestemte intervaller avhengig av tykkelse. For å kunne gjøre fornuftige materialvalg kreves det materialkunnskap utover kjennskap til flytegrense og strekkfasthet. Den grunnleggende materialkunnskapen er gitt i faget materiallære, hvor blant annet bruddforlengelse, slagseighet og leveringsformer blir gjennomgått. I tabellene 1.3 og 1.4 kan vi likevel si at ”materialkvaliteten” øker jo lenger nedover vi kommer i tabellene. Stål Håndbok DEL2:2018 [1.2] anbefales for de som ønsker utdypende informasjon om stållegeringer brukt i stålprodukter til lands (onshore) og til havs (offshore). I kapitlene om Eurokode 3 i denne boken blir noen relevante temaer fra materiallæren repetert. I praksis så varierer både strekkfasthet og flytegrense innenfor et visst intervall. I bruddgrensetilstanden (eng. Ultimate Limit State) er materialdata for strekkfasthet og flytegrense sentrale størrelser. Ved testing av prøvestaver oppdager vi at det er en variasjon i testresultatene. For å kunne angi en verdi som med stor sannsynlighet vil ligge på konservativ (trygg) side benyttes statistikk. Vi begynner med å repetere litt om normalfordelingen før vi ser på et eksempel der vi blant annet fastlegger flytegrense ut fra statistiske data. Normalfordelingen Dersom en tilfeldig variabel, ”x”, tilhører en normalfordeling med middelverdi μx og standardavvik, σx, blir den benevnt som* N ( x , x ). f(x) angir y-verdien til funksjonen ved ”x”. f(x)·dx er sannsynligheten for at et utfall skjer fra ”x” til ”x+dx” (det skraverte arealet). Det totale arealet under kurven må være 1, et krav for å være en sannsynlighetsfordeling. Sannsynlighets- tetthetsfunksjonen: f ( x)
e
1 x x 2 x
2
Figur 1.15
x 2
*Selve skrivemåten og symboler kan variere, avhengig av hvilken litteratur du benytter. 28
Standard kumulativ normalfordeling: Fordelingen blir ofte standardisert med transformasjonen: u
x x
x
, u 0 og u 1 f (u )
e
u2 2
2 ɸ: Kumulativ fordelingsfunksjon til standardnormalfordelingen.
ɸ(u) : Sannsynligheten for at et utfall skal skje mellom -∞ og u.
Figur 1.16
Verdier av ɸ(u) finner vi i tabellen i kap. 1.3.11. Et par spesielle verdier: ɸ(+∞) = 1 og ɸ(0) = 0,5 Figur 1.17 gir oss en grei oversikt over sannsynligheten (P) for å ligge i et intervall lik 0,682
middelverdi pluss/minus et antall standardavvik. P når x ϵ (μ ±σ) = 0,682
0,954
P når x ϵ (μ ±2σ) = 0,954
0,996
P når x ϵ (μ ±3σ) = 0,996
-3σ
-2σ
-σ
μ
σ
Figur 1.17
Eksempel 1.1 Flytegrensen til et parti prøvestaver er normalfordelt N(500 MPa, 30 MPa). a) Bestem den største spenningen en prøvestav kan utsettes for dersom sannsynligheten for flyting ikke skal overstige 5 %.
u
x x
x
x 500 30
Fra tabellen i kap. 1.3.11 har vi at likningen er oppfylt om u = ̶ 1,645 (ligger mellom ̶ 1,64 og ̶ 1,65) For å finne verdien av x, altså hva flytegrensen må være, benytter vi formelen: 1,645
x 500 x 1,645 30 500 451 MPa 30
Figur 1.18
Denne verdien benyttes også i Eurokode 3 (stålstandarden). I Eurokode 3 blir denne flytegrensen benevnt den karakteristiske verdi av flytegrensen.
29
2σ
3σ
b) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig prøvestav har en flytegrense større eller lik 420 MPa?
u
x x
x
420 500 2,67 30
P(x ≥ 420) = 1- ɸ(-2,67) = 1 - 0,00379 = 0,996 => 99,6 % c) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig prøvestav har en flytegrense større eller lik 560 MPa?
u
x x
x
560 500 2,0 30
P(x ≥ 560) = 1 ̶ ɸ(2) = 1 ̶ 0,97725 ≈ 0,023 => 2,3 % Fabrikantene kan angi strekkfastheten i et intervall. Vi velger da den nedre verdien i dette intervallet ved dimensjonering. Dersom vi tester strekkfastheten for en del prøvestaver vil altså denne også variere. Dette kan ivaretas som vist for flytegrensen. Materialstandardene benytter symbolene ReH og Rm for henholdsvis flytegrense og strekkfasthet. 1.2 Spenningsanalyse Spenningsanalyse er et viktig verktøy for å få forståelse for hovedspenninger og hovedspenningsretninger. Hovedspenningene forekommer i retninger hvor det normalt på hovedspenningen ikke opptrer skjærspenninger. Hovedspenningene er viktige både ved statiske beregninger og ved utmattingsberegninger. Ved statiske beregninger gir hovedspenningene oss forståelse for brudd- og flytehypoteser. Videre vil vanligvis utmattingssprekker utvikle seg normalt på største hovedspenning. Spenningsanalyse forutsetter forståelse for Mohrs sirkel. Mohrs sirkel kan virke komplisert. Et godt tips er først å lære seg anvendelsen, deretter kan man studere sirkelen mer inngående for å øke forståelsen for denne.
30
1.2.1 En-akset spenning Hvis spenningene opptrer i bare én retning, kaller vi det en-akset eller lineær spenning. Figur 1.19a viser en prøvestav utsatt for ren strekkbelastning. Hovedspenninger er som tidligere nevnt normalspenningene i vilkårlig snitt C–D hvor skjærspenningen er null. I en strekkstav er normalspenningen i et snitt C–D forårsaket av kraften F·cosα. Spenningen er gitt av formelen:
CD
F cos cos 2 A cos
C
F cos
)
Skjærspenningen i snitt C–D er
)
A cos
forårsaket av kraften F·sinα.
F
σ
F A
D
Skjærspenningen er gitt av formelen:
CD
F sin
Figur 1.19a
F sin sin cos sin 2 A 2 cos
Normal- og skjærspenningen i snitt C–D kan altså skrives: CD cos 2 og CD
2
sin 2
Husk at når skjærspenningen er null, har vi et hovedspenningsplan. Vi benevner hovedspenningene σ1 og σ2, hvor σ1 > σ2. Se figur 1.19b.
450
maks
Når 90 er 2 0 og 0 .
Når 45 er CD
2
og maks
C
)
F Når 0 er 1 og 0. A
2
.
σ2=0 σCD=σ1/2
σ1
F
D
Figur 1.19b
Her ser vi at det opptrer skjærspenninger også ved rene strekkbelastninger. Dersom prøvestaven er laget av et duktilt (seigt) materiale vil vi se skjærlepper som går i ca. 45˚ i bruddflaten. Det betyr at skjærspenningen forårsaker atomplanglidning og deformasjon der skjærspenningen er størst. Konstruksjonsstål (temperaturavhengig) og de fleste aluminiumlegeringer er duktile. Dersom materialet er sprøtt (for eksempel herdet stål og grått støpejern) skjer det ingen glidning av betydning, og skjærspenningen har liten virkning. Når strekkspenningen σ1 overstiger materialets kohesjon (kløyvningsmotstand), vil staven rives av med bruddflaten i 90˚ på strekkretningen. Hva som er grensen for å være definert som sprøtt materiale kan variere noe i forhold til hva vi finner i litteraturen. Boken til Aspen [1.3] angir 31
på side 45 at dersom bruddforlengelsen er større enn 5 %, kan materialet antas å være duktilt. Stålstandarden (Eurokode 3) og aluminiumstandarden (Eurokode 9) angir hvilke materialer standarden gjelder for og krav til duktilitet.
Figur 1.20
Figur 1.21
Bruddflaten til en strekkstav
Bruddflaten til en strekkstav
for et duktilt materiale.
for et sprøtt materiale.
1.2.2 Koordinatspenninger og to-akset spenning (plan spenning) Figur 1.22a skal forestille et terningformet utsnitt av materialet. Spenningskomponentene på terningens sider kalles koordinatspenninger. Figur 1.22a viser de positive koordinatspenningene. De positive koordinatspenninger: x, σy og σz er normalspenninger som forårsaker strekkspenning i terningen. Skjærspenningene xy osv. er skjærspenninger som virker på terningens flater. Første indeks for skjærspenningen angir orienteringen av den flaten spenningen virker på og den andre indeksen angir retningen på spenningen. Positiv koordinatspenning virker i positiv akseretning på den sideflaten på kuben som vender mot positiv akse. Vi kan forestille oss at hver sideflate har areal lik en flateenhet. Resultantkraft og kraft pr. lengdeenhet (spenning) får da samme tallverdier. Spenningene på baksiden av terningen blir like stor som på forsiden, med motsatt pilretning. Summen av krefter blir derfor null i alle retninger. Terningen må også være i momentbalanse. Skjærspenningene på vis-avis-liggende flater utgjør kraftpar, som har dreievirkning. Skal det være momentbalanse må disse dreievirkningene også oppheve hverandre. Studerer vi momentet om den vertikale zaksen, ser vi av figuren at skjærspenningene xy og yx har moment om aksen. Disse skjærspenningene må være like på alle sideflater for at momentet sammenlagt skal bli null. Tilsvarende likhet finner vi for skjærspenningene yz og for skjærspenningene zx. 32
For snittflater som danner 90 med hverandre, er skjærspenningene i retning tvers på skjæringslinjen like store. Figur 1.22b viser positive koordinatspenninger i xy-planet.
a)
b) Figur 1.22 a) Tre-akset spenningssystem med positive koordinatspenninger. b) To-akset spenningssystem med positive koordinatspenninger.
En maskindel er vanligvis mest belastet ved overflaten av delen. Det er derfor viktig å studere påkjenningene i nærheten av konstruksjonsdelens overflate. Vi se på et terningformet utsnitt av materialet like ved overflaten, og lar terningens ene overflate falle sammen med overflaten. Overflaten av konstruksjonsdelen er på de fleste steder uten kontakt med nabomateriale og altså uten spenning. På figur 1.22a faller dermed spenningene z, zy og zx bort, og tilbake blir normalspenningene x og y og skjærspenningene xy og τyx. Vi sier at det foreligger en to-akset spenningstilstand (figur 1.22b). Noen praktiske eksempler på elementer med plan spenningstilstand med tilhørende formeler er gitt i figur 1.23. For tynnvegget beholder kan trykket p vanligvis neglisjeres som spenning sammenliknet med spenningene trykket medfører i x og y-retning. I formlene er middelradien benevnt rm og beholdertykkelsen er so. Merk deg at vrimomentet (kalles også torsjonsmomentet) betegnes med to piler på hver side av røret. Dette er et fornuftig symbol blant annet for å unngå å forveksle vrimoment og bøyemoment. Høyrehåndsregelen forteller oss i hvilken retning vrimomentet virker.
33
Regelen lyder slik: «Lar vi tommelen på høyre hånd følge pilene, vil våre kurvede fingre på høyre hånd vise hvilken vei momentet virker».
Figur 1.23 [1.4] Eksempler på plan spenningstilstand: stav med aksialkraft F, rør med vrimoment M v, kuleskall med indre trykk pi og sylinderskall med indre trykk pi.
Vi tenker oss et vilkårlig belastet element som angitt på figur 1.24a. På figur 1.24a skjærer vi ut et trekantet element som angitt på figuren. Vi setter elementet inn i et koordinatsystem som angitt på figur 1.24b. På hypotenusen i dette elementet virker det en normalspenning () og en skjærspenning (). Andre spenninger kan vi ikke ha fordi vi har et to-akset spenningssystem. Elementet må være i likevekt med spenningene som er tegnet inn på figur 1.24b.
a)
b)
Figur 1.24
34
Siden vi har to ukjente størrelser, må vi stille opp to likevektslikninger. Vi krever at summen av krefter i () og ()-retningene er null. Husk at xy = yx samt at kraften er avhengig av arealet. I utledningen nedenfor er arealet av hypotenusen satt lik 1. () - xy sincos - xy sincos - x cos2 - y sin2 = 0
(1.1)
() - xy cos2 + xy sin2 + x sincos - y sincos = 0
(1.2)
Vi utnytter at: cos 2 1 cos 2 , sin 2 1 cos 2 , og sin cos 1 sin 2 2 2 2 Dermed kan vi skrive (1.1) og (1.2) som:
x y
2 x y 2
x y 2
cos 2 xy sin 2
sin 2 xy cos 2
(1.3) (1.4)
Ved hjelp av likning 1.4 innser man at det finnes to retninger der man bare har en normalspenning og ingen skjærspenning. Retningene hvor dette inntreffer, kalles hovedspenningsretninger og spenningene kalles hovedspenninger. Hovedspenningene benevnes σ1 og σ2. Settes () = 0 inn i likning 1.4, får vi hovedspenningsretningene (i forhold til x-aksen): tan 2
2 xy
(1.5)
x y
Likningene 1.3, 1.4 og 1.5 er utledet fra figur 1.24b. Figur 1.24b viser når τ er positiv. For skjærspenningen medfører dette en spesiell fortegnsregel: «Et skjærspenningspar som prøver å dreie elementet mot klokken defineres som positiv skjærspenning. Et skjærspenningspar som prøver å dreie elementet med klokken defineres som negativ skjærspenning». Se figur 1.25. I likning 1.6 definererte vi skjærspenningen (xy) som positiv når den virket oppover på elementets høyre side. Dersom skjærspenningen (xy) virker nedover på høyre side av elementet, defineres spenningen som negativ. Se figur 1.25. 35
xy Positiv skjærspenning
xy Negativ skjærspenning
Figur 1.25
Denne fortegnsregelen har bare med figur 1.24b og de nevnte likningene å gjøre. Regelen benyttes også når Mohrs sirkel skal konstrueres fordi likning 1.3 og 1.4 benyttes. Fra likning 1.5 vet vi at tangens til vinkelen 2 gjentar seg etter 180. Derfor vil normal spenningsretningene (1 og 2) stå i 90 på hverandre.Ulempen med likning 1.5 er at den ikke entydig sier hvilken vinkel som er første og andre hovedspenningsretning. Derfor anbefales likning 1.6 som utledes senere i kapittelet.
tan 1
1 x xy
hvor 2 1 900
(1.6)
Husk å sette inn skjærspenningen med fortegn etter reglene for positive/negative koordinatspenninger i likning 1.6. Har man et element orientert i et xy-koordinatsystem og hovedspenningsretningen 1 er positiv, må elementet dreies vinkelen 1 mot klokken for å orientere elementet i hovedspenningsretningen. Er vinkelen negativ må elementet dreies med klokken.
a)
b) Figur 1.26
a) Opprinnelig element i et xy-koordinatsystem. b) Elementet dreid med positiv vinkel 1 for å bli orientert i hovedspenningsretningene.
36
1.2.3 Mohrs spenningssirkel med hovedvekt på plan spenning Mohrs sirkel er et grafisk/pedagogisk verktøy for å få forståelse for, og fastlegge: hovedspenninger, normalspenninger, skjærspenninger og tilhørende retninger. Mohrs spenningssirkel finner vi dersom vi flytter det første leddet i likning 1.3 over på venstre side og kvadrerer på begge sider av likhetstegnet. Til slutt adderes likningen sammen med likning 1.4 kvadrert. Dette gir:
y x 2
2
y 2 x 2
2
xy 2
(1.7)
Sammenlign likning 1.7 med likningen for en sirkel i et xy-koordinatsystem:
x xc 2 y 2 R 2
(1.8)
Her er xc sirkelsentrums x-koordinat og R er sirkelradien. Likning 1.7 gir altså en sirkel i et koordinatsystem med på x-aksen og på y-aksen. Likning 1.7 angir at alle mulige kombinasjoner av spenninger (() og ()) som ligger på en sirkel med sentrum på x-aksen i punktet:
c
x y 2
x y , og med radie : R 2
2
xy 2
(1.9a, 1.9b)
Konstruksjon av Mohrs sirkel 1. Tegn koordinatsystem, den horisontale aksen representerer normalspenning σ, med positiv retning til høyre, vertikale akse representerer skjærspenningen τ, med positiv retning nedover. Husk at vi ser på elementets høyre side. Se figur 1.27a og 1.27b. 2. Bruk fortegnsreglene for positive spenninger σx og σy, gitt på figur 1.27b. Husk at skjærspenning (τxy) som dreier elementet mot klokken defineres som positivt. som Marker senterpunktet av sirkelen (C), som er lokalisert på σ-aksen i en avstand σc = (σx+σy)/2 fra origo. Se figur 1.27a. 3. Marker referansepunktet A med koordinater A (σx, τxy). Dette punktet representerer normal og skjærspenningskomponentene på høyre siden av elementets vertikale side. Se figur 1.27b. Punkt G angir spenningen på toppflaten av elementet. 4. Forbind punkt A med senter av sirkelen (C) og bestem CA ved hjelp av trigonometri. Avstanden er radius R i sirkelen. Når R er fastlagt så tegn sirkelen. Se figur 1.27a.
37
σy
xy
σx
Figur 1.27a
Figur 1.27b
Hovedspenninger 1. Hovedspenningene σ1 og σ2 (σ1 ≥ σ2) er representert med punktene B og D hvor sirkelen treffer den horisontale σ-aksen, altså hvor τ = 0. Se figur 1.27c. 2. Disse spenningene virker i plan definert ved vinklene α1 og α2 i forhold til elementets opprinnelige x-retning. I Mohrs sirkel kan de doble vinklene 2α1 og 2α2 angis som vist i figur 1.27c. Vinklene blir målt fra linja CA til linjene CB og CD. 3. Vi trenger bare å finne en av vinklene da α1 og α2 er 90˚ fra hverandre. Husk at rotasjonsretningen 2α1 på sirkelen (her mot klokka) representerer den samme rotasjonsretningen av α1 fra referanseaksen (x-aksen i figur 1.27b) til hovedspenningsplanet for elementet. Se figur 1.27d.
Figur 1.27c
Figur 1.27d
Den vinkelen vi leser av i Mohrs spenningssirkel, er altså den dobbelte av vinkelen vi søker for å finne retningene til hovedspenningene. Den største og minste skjærspenningen i xyplanet er gitt av punktene E og F. Som det går frem av neste avsnitt er ikke dette den største skjærspenningen i elementet. Den største skjærspenningen i Mohrs sirkel er bare den maksimale skjærspenningen i elementet når σ1 og σ2 har ulike fortegn eller når σ2 = 0. 38
Mohrs sirkel ved plan spenning og maksimal skjærspenning Figur 1.28a viser et terningelement med hovedspenningene σ1, σ2 og σ3 = 0. Figur 1.28b, c og d viser spenningene på tre diagonalplan i elementet. Skjærspenningen på disse planene representerer ekstremalverdier for skjærspenningene. Den største av disse skjærspenningene er τmaks.
a)
b)
c)
d)
Figur 1.28
Figur 1.29 viser hvordan Mohrs sirkel kan brukes for å visualisere de tre ekstremalverdiene for skjærspenningene ved å sette inn en ”ekstra” sirkel i diagrammet. Husk at ved plan spenning er den tredje hovedspenningen null. Se likning 1.11 opp mot likningene på figur 1.29.
σ2
σ3=σmin
σ1=σmaks σ
2,3 1, 2 maks 1, 3
1, 2
1 2 2
, 2,3
2
Figur 1.29
39
2
, maks
1 2
Likninger for hovedspenninger og maksimal skjærspenning Fra figur 1.27a ser vi at hovedspenningene kan skrives som: σ1,2 = σc ± R, setter vi inn for σc og R får vi:
1, 2
x y 2
x y 2
2
xy 2
(1.10a, 1.10b)
Fremgangsmåte for å beregne retningen og størrelsen på hovedspenningene på et element (punkt) på maskindelen/konstruksjonen samt største skjærspenning. 1. Fastlegg spenningen σx. Husk at strekkspenning er definert som positivt. Dersom elementet for eksempel er utsatt for både en strekkraft og et bøyemoment, må vi addere virkningen fra disse. Husk strekk er (+) og trykk er minus (–). 2. Fastlegg spenningen σy. Her gjelder de samme regler som for σx. 3. Fastlegg skjærspenningen τxy. Skjærspenningen kan komme fra et vrimoment, en tverrkraft eller som skjærkraft fra bøying. 4. Bruk likning 1.10a for å fastlegge den største hovedspenningen, σ 1. Bruk likning 1.10b for å beregne den andre hovedspenningen, σ2. Husk at ved plan spenning er den tredje hovedspenningen, σ3 = 0. 5. Bruk likning 1.6 for å beregne hovedspenningsretningene til σ 1 og σ2. Husk at dersom vinkelen er positiv, skal elementet roteres mot klokka med vinkelen α1 for å være orientert i hovedspenningsretningene. Er vinkelen negativ skal elementet roteres med klokka. 6. Deretter gir du hovedspenningene benevnelser etter hvor store de er σ 1 > σ2> σ3. I likning 1.11 skal du sette inn den største og minste hovedspenningen for å finne maksimal skjærspenning. Roteres elementet 45 grader i forhold til hovedspenningsplanene, vil en få den største skjærspenning maks. Se figur 1.29.
maks
maks , hovedspenn ing min, hovedspenn ing 2
40
(1.11)
Noen spenningstilstander med hovedspenninger Figur 1.30 viser elementer med hovedspenninger tegnet inn. En skisse av Mohrs sirkel er også gitt. Husk at det ikke er skjærspenninger i hovedspenningsretningene. Som tidligere nevnt benevnes vanligvis den største hovedspenningen σ1, nest største σ2 og den minste σ3. Mohrs sirkel er tilført ekstra sirkler for å visualisere de tre ekstremalverdiene for skjærspenningene der de fremkommer.
a) En-akset strekkspenning.
b) En-akset trykkspenning.
c) To-akset spenning
d) Plan tøyning, σ2 forhindrer at
(plan spenning).
elementet kan trekke seg sammen i denne retningen.
e) Likt bi-aksialt strekk.
f) Likt tre-aksielt strekk.
g) Hydrostatisk trykk.
h) Tallmessig likt strekk/trykk, utgjør hovedspenningene ved ren skjærspenning. Figur 1.30
41
Polpunktsteknikken Hensikten med denne grafiske teknikken er å finne spenningen på elementets sider når elementet dreies en vilkårlig vinkel i positiv eller negativ retning. Vi tenker oss at vi har et element belastet som vist i figur 1.31a, og Mohrs sirkel tegnes på vanlig måte som vist i figur 1.31b. Polen bestemmes slik. Trekk en horisontal linje fra punkt A og en vertikal linje fra punkt G. Der linjene krysser hverandre har vi polpunktet P. Geometrien til Mohrs sirkel medfører at krysningspunktet faller på sirkelen. Trekker vi en linje fra polpunktet i en ønsket vinkel til et vilkårlig punkt på sirkelen, kan vi grafisk avlese normalspenning og skjærspenning på den flaten som opprinnelig var i xretning. På figur 1.31b er det trukket en rett linje fra P til B. Vinkelen α1 finner vi da som angitt på figuren, og normalspenningen er første hovedspenning hvor skjærspenningen er null. Trekker vi en rett linje fra P til D finner vi den andre hovedspenningen, som er 90 grader forskjøvet i forhold til første hovedspenningen. Trekker vi rette linjer fra P til de punkter hvor skjærspenningen er størst (absolutt verdier) finner vi at den største skjærspenningen er 45º forskjøvet i forhold til første hovedspenningsretning. Se figur 1.31b). Dersom polpunktet P ligger til høyre for sirkelsenter C, forlenger vi bare linjen mellom A og P til høyre for sirkelen og dreier høyre del av linjen til ønsket posisjon.
Figur 1.31
42
Utledning av likning 1.6, for å finne hovedspenningsretningene Vi velger oss et vilkårlig punkt ”A” på Mohrs sirkel og strekker linjer som vist på figur 1.32. Vi får en likesidet trekant, og fra figur 1.32 ser vi at: 2 2 1800 90
(1)
For rettvinklet trekant : 90 x 180 ( 2) Setter (1) inn i ( 2) : 90 90 x 180 x Dermed blir : x tan 1 1 (1.6)
xt
Figur 1.32
Tips og litteratur Ved utledning av Mohrs sirkel har vi brukt samme typer definisjoner og valg som er gjort i bøkene til Geere & Timoshenko [1.5] og Hibbeler [1.6]. Figur 1.24b blir altså på samme måte. Disse bøkene foreslår å tegne positiv skjærspenningsakse nedover når Mohrs sirkel skal tegnes. Hensikten med det er at man ønsker at en dreining av det fysiske planet skal stemme med dreiningen i Mohr-diagrammet. Det er mange bøker som bruker andre fortegnsdefinisjoner og valg som kan være forvirrende. I noen bøker defineres andre positive retninger enn de vi har valgt på figur 1.22b. Årsaken til alle «variantene» er vanligvis at noen forfattere ønsker at positiv skjærspenningsakse skal peke oppover. Dette kan gi problemer med å få en dreining i Mohrs sirkel til å stemme med en dreining av det fysiske planet. For å unngå dette innfører noen forfattere spesielle regler for hva som er positiv skjærspenning i Mohrs sirkel, som ikke stemmer med det som vi oppfatter som positiv koordinatspenning. Videre definerte vi koordinatspenningene til skjærspenningene på figur 1.22 slik: «Første indeks for skjærspenningen angir orienteringen av den flaten spenningen virker på og den andre indeksen angir retningen på spenningen». Noen lærebøker definerer indeksene slik: «Første indeks for skjærspenningen angir retningen på spenningen og den andre indeksen angir orienteringen av den flaten spenningen virker på». Her er det altså lett å bli forvirret. Trøsten får være at uansett hvilken bok vi bruker, skal vi likevel komme ut med de samme resultatene. I praksis så lønner det seg å bli fortrolig med ett system. Husk å skille mellom positive koordinatspenninger for skjær og de definisjonene vi kan finne for positivt skjær i litteraturen når Mohrs sirkel skal tegnes.
43
1.2.4 Brudd- og flytehypoteser [1.7] Innledningsvis så vi på hvordan duktile og sprø materialer oppfører seg når de blir utsatt for ren strekk- eller trykkpåkjenning. Ved fler-akset spenningstilstand, anta for eksempel at en plate blir utsatt for normalspenninger i flere retninger og at platen i tillegg blir utsatt for skjær. I slike tilfeller blir virkningen på materialet mer komplisert. og vi må arbeide med brudd- eller flytehypoteser. Siden vi ikke med sikkerhet kan si hva slags påkjenning som fører til brudd eller flyting, forenkler vi beregningen ved å innføre en såkalt jevnføringsspenning, σjf (kalles også ekvivalentspenning, σe). Vi tenker oss den sammensatte spenningen overført til en enakset normalspenning som påkjenner materialet like sterkt. Jevnføringsspenningen, σjf, kan fastlegges etter flere hypoteser. Prinsippet er at materialet ødelegges i det jevnføringsspenningen når strekkfastheten Rm eller flytegrensen Re. Hvorvidt et materiale er sprøtt eller duktilt avhenger av temperatur, tøyningsnivå og andre miljøforhold. Som tidligere nevnt er et skille ved en bruddforlengelse på 5 % ved brudd mye brukt. Materialer med større forlengelse betraktes som duktile og de med en lavere verdi er sprø. Vi skal se på seks hypoteser. Bruddhypoteser Hovedspenningshypotesen har som utgangspunkt at materialet ødelegges når absoluttverdien til den største hovedspenningen når strekkfastheten Rm. Denne hypotesen passer bra for en del sprø materialer, som har relativt like egenskaper ved strekk og trykk. For eksempel noen smidde herdede verktøystål. Vi bruker likningen fra Mohrs sirkel når vi beregner hovedspenninger men vi velger å bruke ”A” og ”B” som indekser i likningen ved plan spenning. Deretter ordner vi hovedspenningene etter størrelse, hvor: σ1≥ σ2≥σ3. For plan spenning får vi: jf A , B
x y 2
y x 2
2
2 xy
Vi har tre mulige spenningssitasjoner av interesse, se figur 1.33a. Når den jevnførende spenningen holder seg innenfor firkanten på figur 1.33b, vil vi ikke få brudd. σB
Rm
(2) B
B A
a)
B A
A
b) Figur 1.33
44
o
-Rm (3)
(1)
(4) -Rm
a
a’ Rm
σA
Trekker vi diagonalen gjennom kvadrant (1) og (3), ser vi at området over diagonalen er uten interesse slik vi har definert σA og σB. I noen lærebøker defineres hovedspenningene på aksene annerledes slik at alle kvadranter gir mening. Området over diagonalen er derfor tatt med i de fleste hypotesene som blir presentert i dette kapitelet selv om vi ikke bruker det. Vi ser de forskjellige spenningssirklene opp mot grenselinjene i figur 1.33b. Kvadrant (1), prikket spenningssirkel: Her er: σA ≥ σB ≥ 0. I dette tilfellet er σ1 = σA, σ2 = σB og σ3 = 0. Vi får brudd når σA ≥ Rm. Sikkerhetsfaktoren mot brudd blir: nB
oa' Rm oa A
Anta spenningstilstanden i punkt a. Økes spenningen til grensekurven ved a’ får vi brudd. Forholdet mellom lengdene oa’/oa angir da sikkerhetsfaktoren mot brudd. Dette forholdet blir det samme som forholdet Rm/σA. Slike stråler kan også tegnes ut i de andre kvadrantene. Kvadrant (4), stiplet spenningssirkel: Hvor: σA ≥ 0 ≥ σB . I dette tilfellet er σ1 = σA, σ2 = 0 og σ3 = σB. Vi får brudd når σA ≥ Rm. Sikkerhetsfaktoren mot brudd blir: nB
Rm
A
Kvadrant (3), strek- prikk spenningssirkel: Hvor: 0 ≥ σA ≥ σB. I dette tilfellet er σ1 = 0, σ2 = σA og σ3 = σB. Vi får brudd når σB ≤ -Rm. Sikkerhetsfaktoren mot brudd blir: nB
Rm
B
Coulomb-Mohr hypotesen for sprø materialer Denne hypotesen benyttes når trykkfastheten er betydelig større enn strekkfastheten, for eksempel for støpejern. Fra figur 1.34b ser vi at i andre (2) og fjerde kvadrant (4) så vil forskjellige fortegn på hovedspenningene virke negativt på bruddstyrken.
A, B
x y 2
y x 2
σB
2
2 xy
Rm,strekk (2) Rm,trykk
B
a)
B A
B A
A
o
(1) a
a’ σA Rm,strekk
b b’ (3)
b)
Figur 1.34
45
(4)
Rm,trykk
Vi ser igjen på de tre tilfellene av interesse: Kvadrant (1), prikket spenningssirkel: Her er: σA ≥ σB ≥ 0. I dette tilfellet er σ1 = σA og σ3 = 0. Vi får brudd når σA ≥ Rm,strekk. Sikkerhetsfaktoren mot brudd blir: nB
oa' Rm, strekk A oa
I kvadrant (1) sammenfaller altså Coulumb-Mohr-hypotesen med hovedspenningshypotesen. Kvadrant (4), stiplet spenningssirkel: Her er: σA ≥ 0 ≥ σB . I dette tilfellet er σ1 = σA og σ3 = σB. Vi får brudd når:
A
Rm , strekk
B
Rm, trykk
1
Sikkerhetsfaktoren mot brudd blir: nB
Rm , strekk Rm ,trykk ob' ob A Rm, trykk B Rm, strekk
I håndbøker finner vi trykkfastheten med positivt fortegn. Formelen er derfor angitt slik at Rm,trykk settes inn med positivt fortegn. Dette gjelder også i de følgende hypoteser. Kvadrant (3), strek-prikk spenningssirkel: Her er:0 ≥ σA ≥ σB. I dette tilfellet er σ1 = 0 og σ3 = σB. Vi får brudd når σB ≤ –Rm,trykk. Sikkerhetsfaktoren mot brudd blir: n B
R m , trykk
B
Denne hypotesen har vist seg å være konservativ i kvadrant (4), derfor ble hypotesen Modifisert Mohr lansert. Modifisert Mohr-hypotese for sprø materialer
σB
Vi ser på de samme spenningstilfellene som i forrige hypotese. Rm,trykk
B
a)
B A
B A
A
Rm,strekk (2)
o
(1)
b
-Rm,strekk (3)
(4)
b) Figur 1.35
46
Rm,strekk σA
b’
Rm,trykk
Kvadrant (1), prikket spenningssirkel: Her er: σA ≥ σB ≥ 0. I dette tilfellet er σ1 = σA, σ2 = σB og σ3 = 0. Vi får brudd når σA ≥ Rm,strekk. Sikkerhetsfaktoren mot brudd blir: nB
Rm , strekk
A
Kvadrant (4), stiplet spenningssirkel: Her er: σA ≥ 0 ≥ σB . I dette tilfellet er σ1 = σA og σ3 = σB.
Når A 0 B og
B 1, brudd når A Rm , strekk A
Sikkerhetsfaktoren mot brudd blir: nB
Når A 0 B og
Rm , strekk
A
Rm ,trykk Rm , strekk B 1, brudd når : Rm,trykk Rm,strekk A Rm,strekk B 1 A
Sikkerhetsfaktoren mot brudd: nB
Rm ,trykk Rm , strekk ob ' ob Rm , trykk Rm , strekk A Rm , strekk B
I formlene må Rm,trykk settes inn med positivt fortegn. Kvadrant (3), strek-prikk spenningssirkel: Her er:0 ≥ σA ≥ σB. I dette tilfellet er σ1 = 0, σ2 = σA og σ3 = σB. Vi får brudd når B Rm,trykk Sikkerhetsfaktoren mot brudd blir: n B
R m , trykk
B
Flytehypoteser Skjærspenningshypotesen (Trescas hypotese) sier at maksimal skjærspenning i et materiale er et mål på materialpåkjenningen. En tenker seg at flyting vil inntreffe i en konstruksjon når den største skjærspenningen er lik maksimum skjærspenning i en strekkstav som begynner å flyte. Hypotesen ble tidligere brukt på en del duktile materialer. Forskning har vist at hypotesen er konservativ. Hypotesen er altså basert på at jevnføringsspenningen er lik forskjellen mellom største og minste hovedspenning. Dette kan presenters slik:
jf maks ( hovedspenn ing ) min( hovedspenn ing )
(1.12)
Trescas hypotese krever at man kjenner alle de tre hovedspenningene. Her må man være klar over at hovedspenningen i z-retning er null ved plan spenning. Mohr-sirkelen i figur 1.29 viser at 2 er større enn null. I dette tilfellet blir jf = 1 – 3, hvor 3 = 0 (z-retning). 47
Ved to-akset spenningstilstand hvor σz = 0, blir formelen:
jf 2 maks maks ( hovedsp.) min( hovedsp.)
x
y 4 xy 2
(1.13)
2
Ved en-akset spenningstilstand er σ1 = 2τxy, og denne spenningen blir da brukt som jevnføringsspenning. Dersom σy = 0 blir formelen:
(1.14)
jf x 2 4 xy 2
Denne hypotesen kan også illustreres i et koordinatsystem med σA- og σB- akser. σB
Re
(2) B
B A
B A
A
-Re
(3)
(1) (4)
Re
σA
a)
b)
-Re
Figur 1.36
Kvadrant (1), prikket spenningssirkel: Her er: σA ≥ σB ≥ 0. I dette tilfellet er σ1 = σA, σB = σ2 og σ3 = 0. Vi får flyting når σA ≥ Re. Sikkerhetsfaktoren mot flyting blir: nF
Re
A
Kvadrant (4), stiplet spenningssirkel: Her er: σA ≥ 0 ≥ σB . I dette tilfellet er σ1 = σA og σ3 = σB. Vi får flyting når: A B Re Sikkerhetsfaktoren mot flyting blir: nF
Re A B
Kvadrant (3), strek-prikk spenningssirkel: Her er:0 ≥ σA ≥ σB. I dette tilfellet er σ1 = 0 og σ2 = σA og σ3 = σB. Vi får flyting når σB ≤ –Re.
Sikkerhetsfaktoren mot flyting blir: nF
48
Re
B
Coulumb-Mohr-hypotesen for duktile materialer Denne hypotesen benyttes kan benyttes når flytegrensen i trykk er større enn flytegrensen i strekk for duktile materialer.
A, B
B
x y 2
B A
a)
y x 2
B A
A
2
2 xy
σB
(2) (1) a a’ Re,strekk o σA b b’ (3) (4)
Re,trykk
b)
Re,strekk
Re,trykk
Figur 1.37
Vi ser igjen på de tre tilfellene av interesse: Kvadrant (1), prikket spenningssirkel: Her er: σA ≥ σB ≥ 0. I dette tilfellet er σ1 = σA og σ3 = 0. Vi får flyting når σA ≥ Re,strekk. Sikkerhetsfaktoren mot flyting blir: nF
oa' Re, strekk A oa
Kvadrant (4), stiplet spenningssirkel: Her er: σA ≥ 0 ≥ σB . I dette tilfellet er σ1 = σA og σ3 = σB. Vi får flyting når:
A
Re , strekk
B
Re ,trykk
1
Sikkerhetsfaktoren mot flyting blir: nF
Re, strekk Re,trykk ob' ob A Re,trykk B Re, strekk
I formlene må Re,trykk settes inn med positivt fortegn. Kvadrant (3), strek-prikk spenningssirkel: Her er:0 ≥ σA ≥ σB. I dette tilfellet er σ1 = 0 og σ3 = σB. Vi får flyting når σB ≤ -Re,trykk.
Sikkerhetsfaktoren mot flyting blir: nF
Re , trykk
B
49
Von Mises hypotese (kalles også Deviasjonshypotesen eller Invarianthypotesen) er den teori som stemmer best med virkeligheten når det gjelder duktile materialer som for eksempel konstruksjonsstål, aluminium og kopper [1.8]. Den angir at formendringsarbeidet på grunn av skjærspenningene (deviasjonsarbeidet) må holdes under det arbeid som tilføres strekkstaven ved flyting eller brudd. Ifølge von Mises gjelder:
jf x 2 y 2 x y 3 xy 2 Vi får flyting når:
2
2
1 2 1 2
(1.15)
jf 12 2 2 1 2 Re 2
2
Dersom y 0 : jf x 3 xy Re
Sikkerhetsfaktoren mot flyting kan skrives: nF
Re
jf
For plan spenning kan denne hypotesen også illustreres i et koordinatsystem med σA og σB akser. Vi setter:
A, B
x y 2
y x 2
jf A 2 B 2 A B
2
2 xy
σB Re
(1.16)
Vi får en elliptisk kurve. Så lenge jevnførings-
-Re
Re
spenningen holder seg innenfor ellipsen så vil materialet holde. I figur 1.38 er også den sekskantede
σA
-Re
Tresca-hypotesen tegnet inn. Vi ser at den elliptiske von Mises-hypotesen gir et større innesluttet område og
Figur 1.38
og er dermed mer liberal enn hypotesen til Tresca. I tre dimensjoner blir von Mises hypotese:
jf x 2 y 2 z 2 x y y z z x 3 xy 2 yz 2 zx 2
jf 12 2 2 3 2 1 2 2 3 3 1
(1.17) (1.18)
Trescas og von Mises hypoteser gir som vi ser på figur 1.38 samme ekvivalente spenning i noen tilfeller (f.eks ved ren strekkspenning). Ved flerakset spenningstilstand får vi vanligvis forskjellige resultater, men den største forskjellen på hypotesene er ca. 15 %. 50
Figur 1.39 viser Trescas og von Mises flytekriterier i tre dimensjoner. Tresca-kriteriet er sekskantet og von Mises kriteriet er sirkulært. Punkter innenfor grenseflatene er uten flyting.
Figur 1.39 Flytegrenseflater for treakset spenningstilstand.
Utledning av von Mises-hypotesen (Deviasjonsarbeidshypotesen) [1.8] Når et elastisk materiale belastes opptar det pr. volumenhet en gitt energimengde. Dette blir også benevnt deformasjonsarbeidet. Deformasjonsarbeidet kan utrykkes som: W
1 x x y y z z xy xy yz yz zx zx 2
Her betegner σ og τ spenningskomponentene (se figuren), og ε og γ er de tilhørende tøyningskomponentene. En del av deformasjonsarbeidet
Figur 1.40
skyldes volumendring og kan beregnes som om materialet ble utsatt for en midlere spenning i alle retninger lik: m
x y z 3
Terningen får dermed en midlere tøyning i alle retninger lik: m Dette volumendringsarbeidet blir:
Wv
x y z 3
1 3 m m 2
Det totale deformasjonsarbeidet minus volumendringsarbeidet blir deviasjonsarbeidet: Wd = W – Wv. Setter man inn Hook’s lov kan deviasjonsarbeidet (etter litt mellomregning) utrykkes med: Wd
1 x 2 y 2 z 2 x y y z z x 3 xy 2 yz 2 zx 2 3E
51
Von Mises hypotese hevder at flyting inntreffer når en en-akset spenning når flytegrensen, dvs.:
W d ,krit
1 2 Re 3E
Flyting inntreffer altså når hakeparentesen i likningen for deviasjonsarbeidet blir lik Re2.
Dette kan skrives: 2 2 2 3 2 2 2 jf x y z x y y z z x xy yz zx
1.2.5 Eksempler med Mohrs sirkel, brudd- og flytehypoteser Eksempel 1.2
y 40MPa
a) Tegn Mohrs sirkel for elementet på figur 1.41 og
xy 30MPa
bestem hovedspenningene.
x 60 MPa Vi begynner med å fastlegge sirkelsentrum, C:
c
x y 2
Figur 1.41
60 40 10 MPa 2
Deretter markeres punktet A(60,30).
-60 -50
Vi setter passerspissen i C og blyanten i punkt A og lager sirkelen. Merk deg at spenningen på
-40
G
-20
toppen av elementet havner i punkt G. Det betyr o
o
at 90 i det virkelige fysiske planet utgjør 180 i Mohrs sirkel. Tegner vi sirkelen nøyaktig
-30
2 D
-10
-50 -40 -30 -20 -10 10 20
nok kan vi avlese hovedspenningene som:
30
σ1= 68,3 MPa og σ2 = –48,3 MPa.
50
40 60
Hovedspenningene kan også beregnes med formelen:
1, 2 c R
x y 2 2
x y 2
[MPa]
2
xy 2
60 40 2 30 10 58,3 2 1 68,3 MPa og 2 48,3 MPa
1, 2 10
2 2
B 1 C 10 20 30 40 50 60 70
Figur 1.42
MPa
52
[MPa]
21 A
b) Beregn vinkelen elementet må dreis i for å være orientert i hovedspenningsretningene. -60
Bruker vi en vinkelmåler i figur 1.43, så kan vi avlese de
-50
doble vinklene 2α1 og 2α2. Vi får: α1=15,5o og α2=105,5o. Alternativt kan vi finne polpunktet som vist på figur 1.43 og dreie linjen ”P–A” slik at den går gjennom punkt B og punkt D. Da kan vi avlese til: α1=15,5o og α2=105,5o.
-40 -30
-50 -40 -30 -20 -10 10
2
p
x 68,3 60 1 15,5o tan 1 1 xy 30 2 1 90 15,5 90 105,5
-10
D
Alternativt kan vi benytte formelen:
o
-20
2
v
B C 10 20 30 40 50 60 70
20
1
30
A
40
maks
60
[MPa]
Figur 1.43
Elementet må altså dreies 15,5o mot klokken for å være
σ2
orientert i hovedspenningsretningene. Se figur 1.44.
2 )
1
σ1
x
c) Beregn maksimal skjærspenning og hvilken vinkel (v) opprinnelig element må dreies for at skjærspenningen
Figur 1.44
skal være maksimal. Når hovedspenningene har forskjellig fortegn kan vi benytte formelen:
maks
1 2 2
68,3 (48,3) 58,3 MPa 2
Største skjærspenning står i 45o på hovedspenningen. v 1 45o 15,5 45o
v1 60,5o
og
v2 29,5o
Vi ser fra figur 1.43 at vinkelen v = v2 = –29,5o. Vinkelen v1 er vinkelen fra polpunktet til den største negative skjærspenningen (–58,3MPa). Alternativt kan vi finne normalspenning og skjærspenning fra formlene 1.3 og 1.4.
x y
x y
cos 2 xy sin 2 2 2 60 40 60 40 cos( 2 (29,5)) 30 sin(2 (29,5)) 10 MPa 29,5 2 2
x y sin2 xy cos2
2 60 40 29,5 sin(2 (29,5))30 cos(2 (29,5)) 58,3 MPa 2
53
[MPa]
50
o
1
d) Beregn sikkerhetsfaktoren mot flyting når flytegrensen er Re = 200 MPa med von Mises og Tresca’s hypoteser. 2
2
2 2 von Mises: jf 1 2 1 2 68,3 (48,3) 68,3 48,3 101,5 MPa 200 nF 2,0 101,5
jf 1 2 68,3 48,3 116,6 MPa
Tresca:
nF
200 1,7 116,6
Eksempel 1.3
y 180MPa xy 80MPa
a) Tegn Mohrs sirkel for elementet på figur 1.45 og bestem hovedspenningene.
x 120 MPa
Vi begynner med å tegne Mohrs sirkelen med polpunkt.
c
x y 2
Figur 1.45
120 80 30 MPa 2
-160
Tegner vi sirkelen nøyaktig nok kan vi avlese
-120
hovedspenningene som: σ1= 200 MPa og σ2 = –140 MPa.
-80
σ2
b) Bruk likning 1.6 og beregn vinkelen elementet må
G
D -120 -80
C -40
40 40
dreis i for å være orientert i hovedspenningsretningene.
A
80 120
tan 1
1 x 200 (120) 1 76,0o xy 80
160
Figur 1.46
2 1 90o 76 90 166,0o Elementet må altså dreies 76o mot klokken for å være orientert i hovedspenningsretningene. Se figur 1.46 og 1.47.
2
σ1
σ2
1 x
Figur 1.47
54
σ1
-40 80
120
160
2
B 200
1 P
c) Bruk likning 1.5 og beregn vinkelen elementet må dreies i for å være orientert i hovedspenningsretningene. tan 2
2 xy
x y
2 80 1 14,0 o 120 180
2 1 90 o 14,0 o 90 o 76 o
Her blir altså hovedspenningsretningene byttet om,
-160
det blir feil. Likning 1.5 kan altså ikke entydig si hvilken
-120
hovedspenning som hører til hovedspenningsretningene, α. Bruk derfor heller likning 1.6.
-80
σ2
-40
σx
C
-120 -80 v
d) Bruk Mohr-sirkelen i dette eksempelet og utled likning 1.6. A
40
2
80 120
Vi lager en likesidet trekant mellom punktene A, B og C.
160
Vinkelsummen i trekanten må være 180o. Merk deg at vertikalkomponenten til punktet A er xy . Se figur 1.48. 2 2 180o 90
-40
Figur 1.48
(1)
For den rettvinklede trekanten : 90 v 180o
tan
Setter vi (1) inn i (2) blir: v = α, dermed blir:
(2)
1 x xy
e) Beregn sikkerhetsfaktoren mot flyting med von Mises og Trescas hypoteser når flytegrensen er Re=500 MPa. Von Mises: 2 2 200 2 (140) 2 200 140 296 MPa jf 1 2 1 2 nF
Tresca:
Re
jf
500 1,7 296
jf 1 2 200 ( 140) 340 MPa nF
Re
jf
500 1,5 340
55
80
160
B σ1 200
Eksempel 1.4
Figur 1.49
Figur 1.49 viser to tynnveggede lagertanker beregnet for å lagre gass under høyt trykk. Tankene er tilsynelatende helt like, men de er konstruert på forskjellige måter. Tanken til venstre består av en sirkulærsylindrisk hoveddel, som er sveiset sammen etter å ha bøyd en stor stålplate til en sylinder. Tanken til høyre er konstruert ved å vikle ut en lang og smal stålplate i en spiral og så sveise denne sammen til en sylinder. Sveisesømmen i dette tilfellet danner en vinkel på 30o med tverrsnittet til sylinderen. Beholderne har et indre overtrykk på pi = 1,5 MPa, midlere radius er rm = 1,1 m og tykkelsen til tankveggen er so = 15 mm. a) Hva blir normalspenningen σ, normalt på sveisesømmene og skjærspenningene τ, parallelt med sveisesømmene i lagertanken til venstre? Tegn inn disse spenningene på et lite kvadratisk element på sylinderveggen. Tegn Mohrs sirkel. Aksialspenningen (σa) og tangentialspenningen (σt) er gitt av formlene:
a x
p i rm 1,5 1100 55 MPa 2 so 2 15
t y 2 x 110 MPa
Normalspenningen på vertikal sveisesøm er 55 MPa, som også er hovedspenningen, σ2. Normalspenningen på horisontal sveisesøm er 110 MPa, som også er hovedspenningen, σ1. Elementet må altså dreies 90o i forhold til opprinnelig plassering for at flaten som står i x-retning skal stå normalt på hovedspenningsretningen. Så lenge tanken ikke blir vridd er det altså ingen skjærspenning på elementets loddrette eller horisontale flater. Vi kan altså skrive: 1 t y
og 2 a x
Figur 1.50
Vi bruker likning 1.6 til å finne hovedspenningsretningene: tan 1
1 x 110 55 1 90 o xy 0 56
og 2 1 90 o 90 o 90 o 180 o
Vi begynner med å tegne Mohrs sirkelen med senterpunkt:
c
x y 2
55 110 82,5MPa 2
Vi markerer punktet ”A” og tegner sirkelen nøyaktig nok til at vi kan avlese hovedspenningene (som vi allerede kjenner): σ1= 110 MPa og σ2 = 55 MPa. Figur 1.51
b) Hva blir normalspenningen σ, normalt på sveisesømmene og skjærspenningene τ, parallelt med sveisesømmene i lagertanken til høyre? Tegn inn disse spenningene på et lite kvadratisk element på sylinderveggen. Tegn Mohrs sirkel og finn den største skjærspenningen i tanken. 23 ,8 MPa
Vi begynner med å benytte likning 1.3 og 1.4
) -30o 68,8 MPa
for å finne de etterspurte spenninger:
x y 2
x y 2
cos 2 xy sin 2
Figur 1.52
55 110 55 110 2 cos2 ( 30) 0 sin 2 ( 30) 68,8MPa 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
30
55 110 sin 2 ( 30) 0 cos2 ( 30) 23,8 MPa 2
30
Normalspenningen på den skrå sveisen er altså 68,8 MPa og skjærspenningen langs sveisen er –23,8 MPa. Den negative skjærspenningen betyr at skjærspenningsparet dreier elementet med klokken. Den største skjærspenningen finner vi ved å lage en ekstra Mohr-sirkel i diagrammet.
1 3 2
-40 -20
Se figur 1.53. Maksimal skjærspenning blir:
maks
-60
σ3=0
110 0 55MPa 2
20
σ2 A 60 40
2 2 80
C
G σ1 100 120 [MPa ]
20 40 60
[MPa]
57
maks Figur 1.53
Figur 1.28 og 1.29 gir oss en god oversikt over skjærspenningene på de forskjellige plan. Maksimal skjærspenning i tankveggen (elementet) er vist på figur 1.54.
maks
Figur 1.54
so c) Beregn sikkerhetsfaktoren mot flyting med von Mises og Trescas hypoteser når flytegrensen er Re=260 MPa. Von Mises: jf 12 2 2 1 2 110 2 55 2 110 55 95,3 MPa nF
Tresca:
Re
jf
260 2,7 95,3
jf 1 3 110 0 110 MPa
nF
Re
jf
260 2,4 110
Eksempel 1.5 En aksel av støpejern har utsettes for aksialspenning og torsjon. Støpejernet har fasthetsverdiene Rm,strekk = 210 MPa og Rm,trykk = 750 MPa. a) Beregn sikkerhetsfaktoren mot brudd med hypotesene Coulumb-Mohr og Modifisert Mohr for sprøtt materiale når σx = 100 MPa, σy = 0, τxy = 50 MPa, Coulumb-Mohr (CM):
x y
2
y 100 0 2 xy x 2 2 2 A 120 ,71 MPa og B 20,71 MPa ( kvadrant
A , B
2
100 0 2 50 2 4)
σB Rm,strekk
Sikkerhetsfaktoren mot brudd blir: nB
nB
(1) (2)
Rm , strekk Rm ,trykk
Rm,trykk
A Rm ,trykk B Rm , strekk
o
σA Rm,strekk
b b’
210 750 1,66 120 ,71 750 20,71 210
(3)
(4)
Rm,trykk
Figur 1.55
58
σB
Modifisert Mohr (MM), skjematisk vist på figuren.
Når A 0 B og
B 1 ( kvadrant 4) A
Rm,strekk (2)
Rm,trykk
(1)
o -Rm,strekk
nB
b
(3)
Sikkerhetsfaktoren mot brudd blir:
b’
(4)
210 ob' Rm, strekk 1,74 120,71 A ob
Rm,strekk σA
Rm,trykk
Figur 1.56
b) Beregn sikkerhetsfaktoren mot brudd med hypotesene Coulumb-Mohr og Modifisert Mohr for sprøtt materiale når σx = –50 MPa, σy = 0, τxy = 120 MPa, Coulumb-Mohr:
A, B nB
2
50 0 50 0 2 120 A 97 ,58 MPa og B 122,33 MPa 2 2
210 750 1,6 97 ,58 750 122 ,33 210
σB Rm,strekk
Modifisert Mohr:
A 0 B og
Rm,trykk
B 1 A
(1)
o -Rm,strekk
750 210
750 210 97 ,58 210 ( 122 ,33)
59
2, 0
Rm,strekk σA
b
(3)
Rm , trykk Rm , strekk ob ' nB ob Rm , trykk Rm , strekk A Rm , strekk B nB
(2)
(4)
b’
Rm,trykk
Figur 1.57
Eksempel 1.6 Et duktilt materiale har fasthetsdata, Re,strekk = 330 MPa og Re,trykk = 360 MPa. En maskindel av dette materialet utsettes for spenningene: σx = 100 MPa, σy = 0, τxy = 50 MPa Beregn sikkerhetsfaktoren mot brudd etter Coulumb-Mohr-hypotesen for duktile materialer. 2
100 0 100 0 2 50 2 2 A 120,7 MPa og B 20,7 MPa
A, B
σB
Vi er altså i kvadrant (4). Skjematisk vist på figur 1.58.
a’ (2) (1) a R e,strekk o σA b b’ (3) (4)
Re,trykk
Her er: σA ≥ 0 ≥ σB . I dette tilfellet er σ1 = σA og σ3 = σB.
Re,trykk
Sikkerhetsfaktoren mot flyting blir: nF
Re , strekk Re ,trykk ob ' ob A Re , trykk B Re , strekk
nF
330 360 2, 4 120 ,7 360 20,7 330
Re,strekk
Figur 1.58
1.2.6 Introduksjon av tre-akset spenning For å holde orden på matematikken innføres det vektor og matriseregning. Dypere presentasjon av teorien finner vi blant annet i boken til Dahlberg [1.9]. Vi ser på formlene som benyttes. Spenningsmatrisen (S) i et punkt (terning) introduseres som: z’
x S ij yx zx
xy y zy
xz yz z
1 2 3
(1.19) x’
Denne matrisen kalles også
y’
spenningstensor. Figur 1.59
Ved tre-akset spenning vil det alltid være tre retninger vinkelrett på hverandre hvor det bare virker normalspenning (fig.1.59). Spenningene benevnes på samme måte som for plan spenning for hovedspenninger.
60
Hovedspenningene finner vi som røttene i følgende likning:
3 I1 2 I 2 I 3 0 (1.20) hvor:
I1 x y z 2
2
I 2 x y x z y z xy xz yz 2
2
2
I 3 x y z 2 xy xz yz x yz y xz z xy
2
I1, I2, og I3 er kjent som spenningsinvariantene (spenningskonstantene) fordi de ikke endrer verdi når aksene roteres til nye posisjoner. I litteraturen angis også fremgangsmåten for å fastlegge retningene til hovedspenningene. Eksempel 1.7 En maskindel utsettes for tre-akset spenning med spenningstensoren: x xy xz 60 40 25 30 MPa S ij yx y yz 40 50 25 30 40 zx zy z
a) Beregn hovedspenningene og sikkerhetsfaktoren mot flyting med Tresca- og von Mises-hypotesene når flytegrensen, Re = 300 MPa.
3 I1 2 I 2 I 3 0 I1 x y z 60 50 40 70 2
2
I 2 x y x z y z xy xz yz
2
60 50 60 40 50 40 40 2 25 30 2 4525 2
2
2
I 3 x y z 2 xy xz yz x yz y xz z xy
2
60 50 40 2 40 25 30 60 30 2 50 ( 25) 2 40 40 2 201250
3 70 2 4525 201250 0 Den grafiske løsningen av likning 1.20 er vist på figur 1.60. 500000 400000
Figur 1.60
300000 200000
σ3=-60,3
σ1=95,3
100000 0
-100
-50
0 -100000 -200000
50
σ2=35,0
61
100
MPa
150
Hovedspenningene er altså: σ1 = 95,3 MPa, σ2 = 35,0 MPa, σ3 = –60,3 MPa og -100
kan illustreres i Mohr-diagrammet, vist på figur 1.61.
-60 σ3=-60,3
Tresca:
jf 1 3 95,3 (60,3) 155,6 nF
Re
jf
-80
300 1,9 155,6
σ1=95,3
-20 -40
20 40 60
20 40 60
80 100
σ2=35,0
80 100
von Mises:
jf 12 2 2 3 2 1 2 2 3 3 1
MPa
Figur 1.61
jf 95,32 35,0 2 ( 60,3) 2 95,3 35 35 ( 60,3) ( 60,3) 95,3 135,9 MPa nF
Re
jf
300 2, 2 135,9
b) Beregn retningen til 1. hovedspenning. Vi benytter følgende likningssystem [1.9] med spenninger og enhetsvektor komponenter (ni,j) for å finne hovedspenningsretningen:
x 1 n1x xy n1 y xz n1z 0
yx n1x y 1 n1 y yz n1z 0
zx n1x zy n1 y z 1 n1z 0 Setter inn:
(1.21) (1.22) (1.23)
60 95,3n1x 40n1 y 25n1z 0 40 n1x 50 95,3n1 y 30 n1z 0 25n1x 30 n1 y 40 95,3n1z 0
Setter n1z=1 i likning 1.22 og 1.23, dermed blir: n1x = 78,432 og n1y = 69,870. Disse verdiene angir bare forholdet mellom komponentene. I tillegg skal enhetsvektoren ha lengde lik 1.
2
2
2
n1x n1 y n1z 1
2 2 2 Komponentene må deles på nevneren «N»: N 78,432 69,87 1 105,045
62
σ [MPa]
Retningscosinusene til første hovedspenningsretning blir dermed:
n1x
78,432 69,87 1 0,747 n1 y 0,665 n1z 0,01 105,045 105,045 105,045
n1x 0,747 Retningscosinusene kan skrives: n n 0,665 1 1y n 0,010 1z
Retningscosinusene angir altså retningene mellom de respektive akser og enhetsvektoren. Figur 1.62a viser en generell illustrasjon av vinklene mellom aksene og enhetsvektoren til første hovedspenning. Vi kunne funnet retningene til andre og tredje hovedspenning ved å gå frem på samme måte som vist i eksempelet. Vi må bare bytte ut σ1 med den hovedspenningen vi ønsker å finne retningen til. Enhetsvektoren har lengde 1, dermed blir retningscosinusene også koordinatene i det tredimensjonale aksesystemet, se figur 1.62b.
z
z
x
0,665
n
y
y
n1
0,747 0,01
x
a)
b) Figur 1.62
63
1.3 Tabeller Noen utdrag fra angitte standarder. 1.3.1 Varmvalsede HE-A bjelker Dimensjoner: EURONORM 53 Toleranser: NS-EN 10034
HEA
100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 400 450 500 550 600 650 700 800 900 1000
h 90 114 133 152 171 190 210 230 250 270 290 310 330 350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990
Dimensjoner [mm] B s t 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300
5 5 5,5 6 6 6,5 7 7,5 7,5 8 8,5 9 9,5 10 11 11,5 12 12,5 13 13,5 14,5 15 16 16,5
8 8 8,5 9 9,5 10 11 12 12,5 13 14 15,5 16,5 17,5 19 21 23 24 25 26 27 28 30 31
r 12 12 12 15 15 18 18 21 24 24 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 30 30 30
Masse [kg/m] 16,7 19,9 24,7 30,4 35,5 42,3 50,5 60,3 68,2 76,4 88,3 97,6 105 112 125 140 155 166 178 190 204 224 252 272
A· 10-3 [mm2] 2,12 2,53 3,14 3,88 4,53 5,38 6,43 7,68 8,68 9,73 11,2 12,4 13,3 14,3 15,9 17,8 19,8 21,2 22,6 24,2 26,0 28,6 32,0 34,7
I· 10-6 [mm4] 3,49 6,06 10,3 16,7 25,1 39,9 54,1 77,6 104,5 136,7 182,6 229,3 276,9 330,9 450,7 637,2 869,7 1119 1412 1752 2153 3034 4221 5538
y–y W· ·10-3 [mm3] 72,8 106 155 220 294 389 515 675 836 1010 1260 1480 1680 1890 2310 2900 3550 4150 4790 5470 6240 7680 9480 11190
64
i [mm] 40,6 48,9 57,3 65,7 74,5 82,8 91,7 101 110 119 127 136 144 152 168 189 210 230 250 269 288 326 363 400
I· ·10-6 [mm4] 1,34 2,31 3,89 6,16 9,25 13,4 19,5 27,7 36,7 47,6 63,1 69,9 74,4 78,9 85,6 94,7 103,7 108,2 112,7 117,2 121,8 126,4 135,5 140,0
z–z W· ·10-3 [mm3] 26,8 38,5 55,6 76,9 103 134 178 231 282 340 421 466 496 526 571 631 691 721 751 782 812 843 903 934
i [mm] 25,1 30,2 35,2 39,8 45,2 49,8 55,1 60,0 65,0 70,0 74,9 74,9 74,6 74,3 73,4 72,9 72,4 71,5 70,5 69,7 68,4 66,5 65,0 63,5
IT· 10-3 [mm4] 52,6 60,2 81,6 123 149 211 286 417 526 624 856 1080 1280 1490 1900 2450 3100 3530 3990 4500 5150 5990 7390 8250
Sy· 10-3 [mm3] 41,5 59,7 86,7 123 162 215 284 372 460 556 692 814 925 1040 1280 1610 1970 2310 2680 3070 3520 4350 5410 6410
IW· 10-9 [mm6] 2,581 6,472 15,06 31,41 60,21 108,0 193,3 328,5 516,4 785,4 1200 1512 1824 2177 2942 4148 5643 7189 8978 11027 13352 18290 24962 32074
1.3.2 Varmvalsede HE-B bjelker
Dimensjoner: EURONORM 53, toleranser: NS-EN 10034
HEB
h
100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 400 450 500 550 600 650 700 800 900 1000
100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 400 450 500 550 600 650 700 800 900 1000
Dimensjoner [mm] B s t 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300
6 6,5 7 8 8,5 9 9,5 10 10 10,5 11 11,5 12 12,5 13,5 14 14,5 15 15,5 16 17 17,5 18,5 19
10 11 12 13 14 15 16 17 17,5 18 19 20,5 21,5 22,5 24 26 28 29 30 31 32 33 35 36
r 12 12 12 15 15 18 18 21 24 24 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 30 30 30
Masse [kg/m] 20,4 26,7 33,7 42,6 51,2 61,3 71,5 83,2 93,0 103 117 127 134 142 155 171 187 199 212 225 241 262 291 314
A· 10-3 [mm2] 2,60 3,40 4,30 5,43 6,53 7,81 9,10 10,6 11,8 13,1 14,9 16,1 17,1 18,1 19,8 21,8 23,9 25,4 27,0 28,6 30,6 33,4 37,1 40,0
I· 10-6 [mm4] 4,50 8,64 15,1 24,9 38,3 57,0 80,9 112,6 149,2 192,7 251,7 308,2 366,6 431,9 576,8 798,9 1072 1367 1710 2106 2569 3591 4941 6447
y–y W· ·10-3 [mm3] 89,9 144 216 311 426 570 736 938 1150 1380 1680 1930 2160 2400 2880 3550 4290 4970 5700 6480 7340 8980 10980 12890
65
i [mm] 41,6 50,4 59,3 67,8 76,6 85,4 94,3 103 112 122 130 138 146 155 171 191 212 232 252 271 290 328 365 401
I· ·10-6 [mm4] 1,67 3,18 5,50 8,89 13,6 20,0 28,4 39,2 51,3 65,9 85,6 92,4 96,9 101,4 108,2 117,2 126,2 130,8 135,3 139,8 144,4 149,0 158,2 162,8
z–z W· ·10-3 [mm3] 33,5 52,9 78,5 111 151 200 258 327 395 471 571 616 646 676 721 781 842 872 902 932 963 994 1050 1090
i [mm] 25,3 30,6 35,8 40,5 45,7 50,7 55,9 60,8 65,8 70,9 75,8 75,7 75,3 74,9 74,0 73,3 72,7 71,7 70,8 69,9 68,7 66,8 65,3 63,8
I T· 10-3 [mm4] 92,9 139 201 314 423 595 768 1030 1240 1440 1860 2260 2580 2930 3570 4420 5400 6020 6690 7410 8330 9490 11400 12600
Sy· 10-3 [mm3] 52,1 82,6 123 177 241 321 414 527 641 767 934 1070 1200 1340 1620 1990 2410 2800 3210 3660 4160 5110 6290 7430
IW· 10-9 [mm6] 3,375 9,410 22,48 47,94 93,75 171,1 295,4 486,9 753,7 1130 1688 2069 2454 2883 3817 5258 7018 8856 10965 13363 16064 21840 29461 37637
1.3.3 Varmvalsede IPE-bjelker
Dimensjoner: EURONORM 19, toleranser: NS-EN 10034 IPE
80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600
h 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600
Dimensjoner [mm] b s t 46 55 64 73 82 91 100 110 120 135 150 160 170 180 190 200 210 220
3,8 4,1 4,4 4,7 5,0 5,3 5,6 5,9 6,2 6,6 7,1 7,5 8,0 8,6 9,4 10,2 11,1 12,0
5,2 5,7 6,3 6,9 7,4 8,0 8,5 9,2 9,8 10,2 10,7 11,5 12,7 13,5 14,6 16,0 17,2 19,0
r 5 7 7 7 9 9 12 12 15 15 15 18 18 21 21 21 24 24
Masse [kg/m] 6,00 8,10 10,4 12,9 15,8 18,8 22,4 26,2 30,7 36,1 42,2 49,1 57,1 66,3 77,6 90,7 106 122
A· 10-3 [mm2] 0,764 1,03 1,32 1,64 2,01 2,39 2,85 3,34 3,91 4,59 5,38 6,26 7,27 8,45 9,88 11,6 13,4 15,6
I· 10-6 [mm4] 0,801 1,71 3,18 5,41 8,69 13,20 19,4 27,7 38,9 57,9 83,6 117,7 162,7 231,3 337,4 482,0 671,2 920,8
y–y W· ·10-3 [mm3] 20,0 34,2 53,0 77,3 109 146 194 252 324 429 557 713 904 1160 1500 1930 2440 3070
66
i [mm] 32,4 40,7 49,0 57,4 65,8 74,2 82,6 91,1 99,7 112 125 137 150 165 185 204 223 243
I· ·10-6 [mm4] 0,085 0,159 0,277 0,449 0,683 1,01 1,42 2,05 2,84 4,20 6,04 7,88 10,4 13,2 16,8 21,4 26,7 33,9
z–z W· ·10-3 [mm3] 3,69 5,79 8,65 12,3 16,7 22,2 28,5 37,3 47,3 62,2 80,5 98,5 123 146 176 214 254 308
i [mm] 10,5 12,4 14,5 16,5 18,4 20,5 22,4 24,8 26,9 30,2 33,5 35,5 37,9 39,5 41,2 43,1 44,5 46,6
IT· 10-3 [mm4] 7,00 12,1 17,4 24,5 36,2 48,0 70,2 91,0 129 160 202 283 375 514 671 897 1240 1660
Sy· 10-3 [mm3] 11,6 19,7 30,4 44,2 61,9 83,2 110 143 183 242 314 402 510 654 851 1100 1390 1760
IW· 10-9 [mm6] 0,118 0,351 0,890 1,981 3,959 7,431 12,99 22,67 37,39 70,58 125,9 199,1 313,6 490,0 791,0 1249 1884 2846
1.3.4 Varmformede kvadratiske hulprofil Dimensjoner og toleranser: NS-EN 10210-2 Noen andre tilgjengelige dimensjoner er også tatt med.
Dimensjoner HxBxt [mm]
Masse
A
[kg/m]
40x40x2,6 40x40x 3,2 40x40x 4,0 50x50x3,2 50x50x4,0 50x50x5,0 60x60x3,2 60x60x 4,0 60x60x5,0 80x80x3,6 80x80x 4,0 80x80x 5,0 80x80x 6,3 100x100x4,0 100x100x 5,0 100x100x 6,3 100x100x 8,0 100x100x 10,0 120x120x5,0 120x120x 6,3 120x120x 8,0 120x120x 10,0 140x140x5,0 140x140x 6,3 140x140x 8,0 150x150x5 150x150x 6,3 150x150x 8 160x160x6,3 160x160x 8,0 160x160x10,0 180x180x6,3 180x180x 8,0 180x180x10,0 200x200x6,3 200x200x 8,0 200x200x10,0 250x250x6,3 250x250x 8,0 250x250x10,0 300x300x10,0
H
t
B
[mm]
Wpl· 10-3 [mm3]
I T· 10-3 [mm4]
4,40 5,11 5,91
15,2 14,9 14,5
5,31 6,28 7,44
140 165 195
8,62 9,99 11,6 12,9 15,1 17,8 26,5 28,6 34,2 40,5 46,4 55,9 67,1 79,9 92,4 83,0 100 121 142 115 141 171 134 163 199 187 229 273 241 296 355 301 371 447 481 596 724 1068
19,1 18,6 18,2 23,1 22,7 22,3 31,1 30,9 30,5 29,9 39,1 38,6 38,0 37,3 36,4 46,8 46,2 45,5 44,6 55,0 54,4 53,6 59,0 58,5 57,7 62,6 61,8 60,9 70,7 70,0 69,1 78,9 78,1 77,2 99,3 98,6 97,7 118
10,4 12,3 14,5 15,3 18,3 21,9 31,1 34,0 41,1 49,7 54,4 66,4 80,9 98,2 116 97,6 120 146 175 135 166 204 156 192 237 220 272 329 281 349 424 350 436 531 556 694 851 1246
338 404 476 601 725 864 1640 1800 2170 2620 3610 4390 5340 6460 7610 7770 9500 11600 13820 12530 15400 18920 15500 19090 23510 23330 28400 34780 33610 41620 50480 46530 57780 70310 92380 115250 141060 248070
[mm2]
I· 10-3 [mm6]
W· 10-3 [mm3]
3,00 3,61 4,39
382 460 559
88 102 118
4,66 5,64 6,85 6,67 6,90 8,42 8,59 9,41 11,6 14,2 11,9 14,7 18,3 22,6 27,4 17,8 22,2 27,6 33,7 21,0 26,1 32,6 22,6 28,1 35,1 30,1 37,6 46,3 34,0 42,7 52,5 38,0 47,7 58,8 47,9 60,3 74,5 90,2
594 719 873 722 879 1070 1090 1200 1470 1810 1520 1870 2320 2880 3490 2270 2820 3520 4290 2670 3330 4160 2870 3580 4480 3830 4800 5890 4330 5440 6690 4840 6080 7490 6100 7680 9490 11500
216 250 289 387 454 533 1060 1140 1370 1620 2320 2790 3360 4000 4620 4980 6030 7260 8520 8070 9840 11950 10020 12230 14910 14990 18310 21860 21680 26610 31930 30110 37090 44710 60140 74550 90550 160260
67
i
1.3.5 Varmformede rektangulære hulprofil H
Dimensjoner og toleranser: NS-EN 10210-2
t
Noen andre tilgjengelige dimensjoner er også tatt med.
B Dimensjoner
y–y
z–z
[mm2]
I· 10-3 [mm6]
W· 10-3 [mm3]
i [mm]
Wpl· 10-3 [mm3]
I· 10-3 [mm4]
382 466 559 594 719 722 879 1070 908 1120 1370 1360 1670 2070 1870 2320 2880 2070 2570 3200 2370 2950 3680 2270 2820 3520 4290 2870 3580 4480 5490 3830 4800 5890 4840 6080 7490 6100 7680 9490
122 145 165 283 328 581 682 803 1160 1400 1670 2490 2990 3580 3650 4400 5250 5340 6460 7760 7390 8960 10870 7440 9030 10910 12840 14950 18290 22340 26640 20650 25290 30260 41430 51110 61740 78290 97170 118190
4,87 5,8 6,60 9,4 10,9 14,5 17,1 20,1 23,2 27,9 33,3 41,5 49,9 59,7 60,9 73,3 87,5 76,3 92,3 111 98,5 120 145 93,0 113 136 161 149 183 223 266 207 253 303 331 409 494 522 648 788
17,9 17,7 17,2 21,8 21,4 28,4 27,9 27,4 35,7 35,3 34,8 42,8 42,3 41,6 44,2 43,6 42,7 50,8 50,1 49,3 55,8 55,2 54,4 57,2 56,6 55,7 54,7 72,1 71,5 70,6 69,6 73,4 72,6 71,7 92,5 91,7 90,8 113 113 112
6,12 7,4 8,59 11,7 13,8 18,3 21,8 26,0 28,9 35,2 42,6 51,9 63,1 76,7 74,6 91,0 111 94,3 115 141 119 147 180 116 142 175 209 185 228 282 341 253 313 379 402 501 611 624 779 956
53,8 63 70,8 148 170 191 222 257 388 462 543 831 988 1160 1930 2300 2730 2210 2650 3140 3920 4740 5690 2490 2990 3560 4110 5050 6130 7390 8690 9290 11280 13370 18740 22980 27550 41930 51840 62780
HxBxt
Masse
A
[mm]
[kg/m]
50x30x2,6 50x30x 3,2 50x30x4,0 60x40x3,2 60x40x4,0 80x40x3,2 80x40x4,0 80x40x5,0 100x50x3,2 100x50x4,0 100x50x5,0 120x60x4,0 120x60x5,0 120x60x6,3 120x80x5,0 120x80x6,3 120x80x8,0 140x80x5,0 140x80x 6,3 140x80x8,0 150x100x5,0 150x100x6,3 150x100x8,0 160x80x5,0 160x80x6,3 160x80x8,0 160x80x10,0 200x100x5,0 200x100x6,3 200x100x8,0 200x100x10,0 200x120x6,3 200x120x8 200x120x10 250x150x6,3 250x150x8,0 250x150x10,0 300x200x6,3 300x200x8,0 300x200x10,0
3,00 3,66 4,39 4,66 5,64 5,67 6,90 8,42 7,13 8,78 10,8 10,7 13,1 16,2 14,7 18,2 22,6 16,3 20,2 25,1 18,6 23,1 28,9 17,8 22,2 27,6 33,7 22,6 28,1 35,1 43,1 30,1 37,6 46,3 38,0 47,7 58,8 47,9 60,3 74,5
68
W· 10-3 [mm3 ] 3,58 4,2 4,72 7,4 8,52 9,6 11,1 12,9 15,5 18,5 21,7 27,7 32,9 38,8 48,2 57,6 68,1 55,3 66,2 78,5 78,5 94,8 114 62,3 74,8 89,0 103 101 123 148 174 155 188 223 250 306 367 419 518 628
i
[mm]
Wpl· 10-3 [mm3]
IT· 10-3 [mm4]
11,9 11,6 11,3 15,8 15,4 16,3 15,9 15,5 20,7 20,3 19,9 24,7 24,3 23,7 32,1 31,5 30,8 32,7 32,1 31,4 40,7 40,1 39,4 33,1 32,6 31,8 31,0 41,9 41,4 40,6 39,8 49,2 48,5 47,6 62,2 61,5 60,6 82,9 82,2 81,3
4,21 5,1 5,88 8,8 10,3 11,1 13,2 15,7 17,7 21,5 25,8 31,7 38,4 46,3 56,1 68,2 82,6 63,6 77,5 94,1 90,1 110 135 71,1 86,8 106 125 114 140 172 206 177 218 263 283 350 426 472 589 721
121 142 166 308 367 461 552 651 934 1130 1350 2010 2420 2900 4010 4870 5870 4990 6070 7330 8070 9860 12030 6000 7300 8830 10410 12040 14750 18040 21560 20280 24950 30010 40540 50210 60900 84760 105620 129080
1.3.6 Kaldformede kvadratiske hulprofil Dimensjoner og toleranser: NS-EN 10219-2 Noen andre tilgjengelige dimensjoner er også tatt med.
Dimensjoner HxBxt [mm] 40x40x3 40x40x4 50x50x3 50x50x4 60x60x3 60x60x4 60x60x5 70x70x3 70x70x4 70x70x5 80x80x4 80x80x5 80x80x6 100x100x4 100x100x5 100x100x6 120x120x3 120x120x4 120x120x5 120x120x6 140x140x5 140x140x6 150x150x4 150x150x5 150x150x6
Masse
A
H
t
B
[kg/m]
[mm2]
Iy=Iz 10-3 [mm4]
3,3 4,20 4,25 5,45 5,19 6,71 8,13 6,13 7,97 9,70 9,22 11,3 13,2 11,7 14,4 17,0 10,8 14,2 17,5 20,7 20,7 24,5 18,0 22,3 26,4
421 535 541 695 661 855 1040 781 1010 1240 1170 1440 1680 1490 1840 2160 1380 1810 2240 2640 2640 3120 2290 2840 3360
93,2 111 195 237 351 436 505 575 721 846 1110 1310 1490 2260 2710 3110 3120 4020 4850 5620 7910 9200 8080 9820 11460
Wy=Wz 10-3 [mm3] 4,66 5,54 7,79 9,49 11,7 14,5 16,8 16,4 20,6 24,2 27,8 32,9 37,3 45,3 54,2 62,3 52,1 67,0 80,9 93,7 113 131 108 131 153
69
iy=iz [mm]
Wpl,y= Wpl,z 10-3 [mm3]
It 10-3 [mm4]
14,9 14,4 19,0 18,5 23,1 22,6 22,1 27,1 26,7 26,2 30,7 30,3 29,8 38,9 38,4 37,9 47,6 47,1 46,6 46,1 54,8 54,3 59,3 58,9 58,4
5,72 7,01 9,39 11,7 14,0 17,6 20,9 19,4 24,8 29,6 33,1 39,7 45,8 53,3 64,6 75,1 60,2 78,3 95,4 112 132 155 125 153 180
158 194 321 404 571 726 864 924 1190 1420 1800 2180 2520 3620 4410 5140 4880 6370 7780 9130 12560 14790 12650 15540 18330
1.3.7 Kaldformede rektangulære hulprofil Dimensjoner og toleranser: NS-EN 10219-2
H t
Noen andre tilgjengelige dimensjoner er også tatt med.
B Dimensjoner HxBxt [mm] 60x40x3,0 60x40x4,0 80x40x3,0 80x40x4,0 80x50x5,0 80x60x5,0 100x50x3,0 100x50x4,0 100x50x5,0 100x80x5,0 120x60x5,0 120x60x6,0 120x80x5,0 140x70x4,0 140x70x6,3 150x50x5,0 180x100x6,0 200x100x4,0 200x100x5,0 200x100x6,0
Masse
A
[kg/m] 4,25 5,45 5,19 6,71 8,75 9,70 6,60 8,59 10,5 12,8 12,8 15,1 14,4 12,4 18,5 14,2 24,5 18,0 22,3 26,4
y–y
[mm2]
I· 10-3 [mm6]
W· 10-3 [mm3]
541 695 661 855 1114 1240 841 1090 1340 1640 1640 1920 1840 1575 2351 1814 3120 2290 2840 3360
254 310 523 648 857 1030 1060 1340 1580 2260 2870 3280 3530 3926 5464 4441 13100 12000 14590 17030
8,46 10,3 13,1 16,2 21,4 25,8 21,3 26,8 31,6 45,2 47,8 54,7 58,9 56,1 78,1 59,2 146 120 146 170
z–z i [mm]
Wpl· 10-3 [mm3]
I· 10-3 [mm4]
W· 10-3 [mm3]
[mm]
i
Wpl· 10-3 [mm3]
21,7 21,1 28,1 27,5 27,7 28,9 35,6 35,0 34,4 37,2 41,9 41,3 43,9 49,9 48,2 49,5 64,8 72,3 71,7 71,2
10,5 13,2 16,5 20,9 30,2 32,2 26,7 34,1 40,8 55,1 60,9 70,6 72,4 71,1 107 83,1 181 148 181 213
134 163 176 215 409 657 361 449 525 1600 960 1090 1880 1332 1835 765 5240 4110 4970 5770
6,72 8,14 8,78 10,7 16,4 21,9 14,4 18,0 21,0 39,9 32,0 36,3 46,9 38,1 52,4 30,6 105 82,2 99,4 115
15,8 15,3 16,3 15,9 19,2 23,1 20,7 20,3 19,8 31,2 24,2 23,8 32,0 29,1 27,9 20,5 41,0 42,3 41,9 41,4
7,94 9,89 10,2 12,8 21,5 26,4 16,4 20,9 25,0 47,2 37,4 43,1 54,7 43,5 64,9 36,8 120 91,7 112 132
70
IT· 10-3 [mm4] 293 367 439 552 971 1360 886 1130 1350 3080 2420 2800 4020 3252 4774 2886 12270 9850 12060 14170
1.3.8 Varmformede likebente vinkelprofil Dimensjoner og toleranser: NS-EN 10056
L 20x3 25x3 25x4 30x3 30x4 35x4 40x4 40x5 45x5 50x5 50x6 50x7 60x6 60x8 70x7 80x8 80x10 100x10 100x12 130x12 150x15 180x18 200x18
a 20 25 25 30 30 35 40 40 45 50 50 50 60 60 70 80 80 100 100 130 150 180 200
Mål i [mm] s r1 3 3 4 3 4 4 4 5 5 5 6 7 6 8 7 8 10 10 12 12 15 18 18
3,5 3,5 3,5 5 5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 10 10 12 12 14 16 18 18
r2 2 2 2 2,5 2,5 2,5 3 3 3,5 3,5 3,5 3,5 4 4 4,5 5 5 6 6 7 8 9 9
Masse [kg/m] 0,88 1,12 1,45 1,36 1,78 2,10 2,42 2,97 3,38 3,77 4,47 5,15 5,42 7,09 7,38 9,66 11,9 15,1 17,8 23,6 33,8 48,6 54,3
A· 10-3 [mm2] 0,112 0,142 0,185 0,174 0,227 0,267 0,308 0,379 0,430 0,480 0,569 0,656 0,691 0,903 0,940 1,230 1,510 1,920 2,270 3,000 4,300 6,190 6,910
Iy=Iz ·10-3 [mm4] 3,9 7,9 10,1 14,1 18,1 29,6 44,8 54,3 78,3 110 128 146 228 291 424 723 875 1770 2070 4720 8980 18700 26000
71
Wy=Wz ·10-3 [mm3] 0,28 0,45 0,58 0,65 0,86 1,18 1,56 1,91 2,43 3,05 3,61 4,15 5,29 6,88 8,43 12,6 15,5 24,7 29,2 50,4 83,5 145 181
iy=iz [mm ] 5,9 7,5 7,4 9,0 8,9 10,5 12,1 12,0 13,5 15,1 15,0 14,9 18,2 18,0 21,2 24,2 24,1 30,4 30,2 39,7 45,7 54,9 61,3 4
Iζ ·10-3 [mm4] 6,2 12,7 16,1 22,4 28,5 46,8 70,9 86,4 124 174 204 231 361 461 671 1150 1390 2800 3280 7500 14300 29700 41500
iζ [mm] 7,4 9,5 9,3 11,4 11,2 13,3 15,2 15,1 17,0 19,0 18,9 18,8 22,9 22,6 26,7 30,6 30,3 38,2 38,0 50,0 57,6 69,3 77,5
Iη ·10-3 [mm4] 1,5 3,1 4,0 5,7 7,6 12,4 18,6 22,2 32,5 45,9 52,4 60,2 94,3 121 176 296 359 733 862 1940 3700 7570 10500
iη
e
[mm] 3,7 4,7 4,7 5,7 5,8 6,8 7,8 7,7 8,7 9,8 9,6 9,6 11,7 11,6 13,7 15,5 15,4 19,5 19,5 25,4 29,3 34,9 39,0
[mm] 6,0 7,3 7,6 8,4 8,9 10,0 11,2 11,6 12,8 14,0 14,5 14,9 16,9 17,7 19,7 22,6 23,4 28,2 29,0 36,4 42,5 51,0 56,0
1.3.9 Varmformede ulikebente vinkelprofil
72
1.3.10 Varmvalsede kanalstål, UNP Dimensjoner etter NS 1911 og toleranser etter NS-EN 10279.
73
1.3.11 Standard kumulativ normalfordeling Verdier fra den kumulative fordelingsfunksjon til standardnormalfordelingen, ɸ(u).
Standard normalfordelingen: Tabell verdiene angir arealet til venstre for u-verdien. u –3,9 –3,8 –3,7 –3,6 –3,5 –3,4 –3,3 –3,2 –3,1 –3,0 –2,9 –2,8 –2,7 –2,6 –2,5 –2,4 –2,3 –2,2 –2,1 –2,0 –1,9 –1,8 –1,7 –1,6 –1,5 –1,4 –1,3 –1,2 –1,1 –1,0 –0,9 –0,8 –0,7 –0,6 –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 –0,0
0,00 0,00005 0,00007 0,00011 0,00016 0,00023 0,00034 0,00048 0,00069 0,00097 0,00135 0,00187 0,00256 0,00347 0,00466 0,00621 0,00820 0,01072 0,01390 0,01786 0,02275 0,02872 0,03593 0,04437 0,05480 0,06681 0,08076 0,09680 0,11507 0,13567 0,15866 0,18406 0,21186 0,24196 0,27425 0,30854 0,34458 0,38209 0,42074 0,46017 0,50000
0,01 0,00005 0,00007 0,00010 0,00015 0,00022 0,00032 0,00047 0,00066 0,00094 0,00131 0,00181 0,00248 0,00336 0,00453 0,00604 0,00798 0,01044 0,01355 0,01743 0,02222 0,02807 0,03515 0,04363 0,05370 0,06552 0,07927 0,09510 0,11314 0,13350 0,15625 0,18141 0,20897 0,23885 0,27093 0,30503 0,34090 0,37828 0,41683 0,45620 0,49601
0,02 0,00004 0,00007 0,00010 0,00015 0,00022 0,00031 0,00045 0,00064 0,00090 0,00126 0,00175 0,00240 0,00326 0,00440 0,00587 0,00776 0,01017 0,01321 0,01700 0,02169 0,02743 0,03438 0,04272 0,05262 0,06426 0,07780 0,09342 0,11123 0,13136 0,15386 0,17879 0,20611 0,23576 0,26763 0,30153 0,33724 0,37448 0,41294 0,45224 0,49202
0,03 0,00004 0,00006 0,00010 0,00014 0,00021 0,00030 0,00043 0,00062 0,00087 0,00122 0,00169 0,00233 0,00317 0,00427 0,00570 0,00755 0,00990 0,01287 0,01659 0,02118 0,02680 0,03362 0,04182 0,05155 0,06301 0,07636 0,09176 0,10935 0,12924 0,15151 0,17619 0,20327 0,23270 0,26435 0,29806 0,33360 0,37070 0,40905 0,44828 0,48803
0,04 0,00004 0,00006 0,00009 0,00014 0,00020 0,00029 0,00042 0,00060 0,00084 0,00118 0,00164 0,00226 0,00307 0,00415 0,00554 0,00734 0,00965 0,01255 0,01618 0,02068 0,02619 0,03288 0,04093 0,05050 0,06178 0,07493 0,09012 0,10749 0,12714 0,14917 0,17361 0,20045 0,22965 0,26109 0,29460 0,32997 0,36693 0,40517 0,44433 0,48405
74
0,05 0,00004 0,00006 0,00009 0,00013 0,00019 0,00028 0,00040 0,00058 0,00082 0,00114 0,00159 0,00219 0,00298 0,00402 0,00539 0,00715 0,00939 0,01222 0,01578 0,02018 0,02559 0,03216 0,04006 0,04947 0,06057 0,07353 0,08851 0,10565 0,12507 0,14686 0,17106 0,19766 0,22663 0,25785 0,29116 0,32636 0,36317 0,40129 0,44038 0,48006
0,06 0,00004 0,00006 0,00008 0,00013 0,00019 0,00027 0,00039 0,00056 0,00079 0,00111 0,00154 0,00212 0,00289 0,00391 0,00523 0,00695 0,00914 0,01191 0,01539 0,01970 0,02500 0,03144 0,03920 0,04846 0,05938 0,07215 0,08691 0,10383 0,12302 0,14457 0,16853 0,19489 0,22363 0,25463 0,28774 0,32276 0,35942 0,39743 0,43664 0,47608
0,07 0,00004 0,00005 0,00008 0,00012 0,00018 0,00026 0,00038 0,00054 0,00076 0,00107 0,00149 0,00205 0,00280 0,00379 0,00508 0,00676 0,00889 0,01160 0,01500 0,01923 0,02442 0,03074 0,03836 0,04746 0,05821 0,07078 0,08534 0,10204 0,12100 0,14231 0,16602 0,19215 0,22065 0,25143 0,28434 0,31918 0,35569 0,39358 0,43251 0,47210
0,08 0,00003– 0,00005 0,00008 0,00012 0,00017 0,00025 0,00036 0,00052 0,00074 0,00104 0,00144 0,00199 0,00272 0,00368 0,00494 0,00657 0,00866 0,01130 0,01463 0,01876 0,02385 0,03005 0,03754 0,04648 0,05705 0,06944 0,08379 0,10027 0,11900 0,14007 0,16354 0,18943 0,21770 0,24825 0,28096 0,31561 0,35197 0,38974 0,42858 0,46812
0,09 0,00003 0,00005 0,00008 0,00011 0,00017 0,00024 0,00035 0,00050 0,00071 0,00100 0,00139 0,00193 0,00264 0,00357 0,00480 0,00639 0,00842 0,01101 0,01426 0,1831 0,02330 0,02938 0,03673 0,04551 0,05592 0,06811 0,08226 0,09853 0,11702 0,13786 0,16109 0,18673 0,21476 0,24510 0,27760 0,31207 0,34827 0,38591 0,42465 0,46414
Standard normalfordelingen: Tabell verdiene angir arealet til venstre for u-verdien. 0,00 0,01 0,02 0, 0 3 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 u 0,50399
0,50798
0,51197
0,51595
0,51994
0,52392
0,5279
0,53188
0, 0 9 0,53586
0
0,5
0,1
0,53983
0,5438
0,54776
0,55172
0,55567
0,55962
0,56336
0,56749
0,57142
0,57535
0,2
0,57926
0,58317
0,58706
0,59095
0,59483
0,59871
0,60257
0,60642
0,61026
0,61409
0,3
0,61791
0,62172
0,62552
0,6293
0,63307
0,63683
0,64058
0,64431
0,64803
0,65173
0,4
0,65542
0,6591
0,66276
0,6664
0,67003
0,67364
0,67724
0,68082
0,68439
0,68793
0,5
0,69146
0,69497
0,69847
0,70194
0,7054
0,70884
0,71226
0,71566
0,71904
0,7224
0,6
0,72575
0,72907
0,73237
0,73565
0,73891
0,74215
0,74537
0,74857
0,75175
0,7549
0,7
0,75804
0,76115
0,76424
0,7673
0,77035
0,77337
0,77637
0,77935
0,7823
0,78524
0,8
0,78814
0,79103
0,79389
0,79673
0,79955
0,80234
0,80511
0,80785
0,81057
0,81327
0,9
0,81594
0,81859
0,82121
0,82381
0,82639
0,82894
0,83147
0,83398
0,83646
0,83891
1
0,84134
0,84375
0,84614
0,84849
0,85083
0,85314
0,85543
0,85769
0,85993
0,86214
1,1
0,86433
0,8665
0,86864
0,87076
0,87286
0,87493
0,87698
0,879
0,881
0,88298
1,2
0,88493
0,88686
0,88877
0,89065
0,89251
0,89435
0,89617
0,89796
0,89973
0,90147
1,3
0,9032
0,9049
0,90658
0,90824
0,90988
0,91149
0,91309
0,91466
0,91621
0,91774
1,4
0,91924
0,92073
0,9222
0,92364
0,92507
0,92647
0,92785
0,92922
0,93056
0,93189
1,5
0,93319
0,93448
0,93574
0,93699
0,93822
0,93943
0,94062
0,94179
0,94295
0,94408
1,6
0,9452
0,9463
0,94738
0,94845
0,9495
0,95053
0,95154
0,95254
0,95352
0,95449
1,7
0,95563
0,95637
0,95728
0,95818
0,95907
0,95994
0,9608
0,96164
0,96246
0,96327
1,8
0,96407
0,96485
0,96562
0,96638
0,96712
0,96784
0,96856
0,96926
0,96995
0,97062
1,9
0,97128
0,97193
0,97257
0,9732
0,97381
0,97441
0,975
0,97558
0,97615
0,9767
2
0,97725
0,97778
0,97831
0,97882
0,97932
0,97982
0,9803
0,98077
0,98124
0,8169
2,1
0,98214
0,98257
0,983
0,98341
0,98382
0,98422
0,98461
0,985
0,98537
0,98574
2,2
0,9861
0,98645
0,98679
0,98713
0,98745
0,98778
0,98809
0,9884
0,9887
0,98899
2,3
0,98928
0,98956
0,98983
0,9901
0,99035
0,99061
0,99086
0,99111
0,99134
0,99158
2,4
0,9918
0,99202
0,99224
0,99245
0,99266
0,99285
0,99305
0,99324
0,99343
0,99361
2,5
0,99379
0,99396
0,99413
0,9943
0,99446
0,99461
0,99477
0,99492
0,99506
0,9952
2,6
0,99534
0,99547
0,9956
0,99573
0,99585
0,99598
0,99609
0,99621
0,99632
0,99643
2,7
0,99653
0,99664
0,99674
0,99683
0,99693
0,99702
0,99711
0,9972
0,99728
0,99736
2,8
0,99744
0,99752
0,9976
0,99767
0,99774
0,99781
0,99788
0,99795
0,99801
0,99807
2,9
0,99813
0,99819
0,99825
0,99831
0,99836
0,99841
0,99846
0,99851
0,99856
0,99861
3
0,99865
0,99869
0,99874
0,99878
0,99882
0,99886
0,99889
0,99893
0,99896
0,999
3,1
0,99903
0,99906
0,9991
0,99913
0,99916
0,99918
0,99921
0,99924
0,99926
0,99929
3,2
0,99931
0,99934
0,99936
0,99938
0,9994
0,99942
0,99944
0,99946
0,99948
0,9995
3,3
0,99952
0,99953
0,99955
0,99957
0,99958
0,9996
0,99961
0,99962
0,99964
0,99965
3,4
0,99966
0,99968
0,99969
0,9997
0,99971
0,99972
0,99973
0,99974
0,99975
0,99976
3,5
0,99977
0,99978
0,99978
0,99979
0,9998
0,99981
0,99981
0,99982
0,99983
0,99983
3,6
0,99984
0,99985
0,99985
0,99986
0,99986
0,99987
0,99987
0,99988
0,99988
0,99989
3,7
0,99989
0,9999
0,9999
0,9999
0,99991
0,99991
0,99992
0,99992
0,99992
0,99992
3,8
0,99993
0,99993
0,99993
0,99994
0,99994
0,99994
0,99994
0,99995
0,99995
0,99995
3,9
0,99995
0,99995
0,99996
0,99996
0,99996
0,99996
0,99996
0,99996
0,99997
0,99997
75
1.4 Referanser [1.1]
NS-EN 10025-2: 2019, Varmvalsede produkter av konstruksjonsstål - Del 2: Tekniske leveringsbetingelser for ulegerte konstruksjonsstål. Standard Norge, 2019.
[1.2]
Arntsen G.R.: Stål Håndbok DEL2:2018, 2.utgave, Norsk Stålforbund, ISBN 978-82-91466-21-7, 2018.
[1.3]
Aspen, J. S.: Maskindeler 1, Universitetsforlaget, ISBN 82-00-24466-0, 1968.
[1.4]
Irgens F.: Fasthetslære, 7.utgave, Tapir, ISBN 82-519-2137-6, 2006.
[1.5]
Gere J.M. & Timoshenko S.P.: Mechanics of materials, Second SI Edition, Van Nostrand Reinhold (international) Co. Ltd. 11 New Fetter Lane, London ECAP 4 EE, ISBN 0 278 00040 1, 1984.
[1.6]
Hibbeler R.C.: Mechanics of materials,7.utgave, Prentice Hall, ISBN 13-978-0-13-220991-5, 2006.
[1.7]
Budynas R.C. & Nisbett J.K.: Shigley’s Mechanical Engineering Design, Ninth Edition. Mc.GRAW-HILL, ISBN 978-0-07-352928-8, 2011.
[1.8]
Waløen, Å.Ø.: Maskindeler, bind 1. Tapir, Trondheim, 3.utgave, ISBN 82-519-0920-1, 1994.
[1.9]
Dahlberg T.: Teknisk hållfasthetslära, Student-litteratur, ISBN: 978-91-44- 01920- 8, 2009.
76
Boken er lagt opp slik at den kan brukes på kurs på bachelor- og masternivå, hvor relevante tema kan velges ut. Boken kan også være nyttig som oppslagsverk for praktiserende ingeniører og arkitekter som har behov for dimensjoneringskunnskap. Geir Terjesen er førsteamanuensis ved Institutt for maskinteknikk og teknologiledelse ved Norges miljø- og biovitenskapelige universitet (NMBU). Han har over tretti års erfaring med å undervise maskinfag fra Forsvaret, aluminiumsindustrien, bilbransjen, høgskoler og universiteter. Terjesen har undervist tekniker-, ingeniør- og sivilingeniørstudenter i dimensjoneringsteknikk, og han har publisert flere fagartikler.
ISBN 978-82-450-3519-3
DIMENSJONERINGSTEKNIKK FOR INGENIØRER
Boken kopler fasthetslæren til dimensjoneringsteknikken og har en rekke beregningseksempler for å illustrere teorien. Relevante tabeller er tatt med i boken slik at behovet for tilleggslitteratur reduseres. Boken forutsetter forkunnskaper i mekanikk og konstruksjons-teknikk. Det er likevel tatt med noen repetisjonstema for å lette innlæring av nytt fagstoff. Utledninger er i stor grad skilt ut i egne delkapitler for å gi leseren bedre oversikt over beregningsgangen.
GE I R T E R JE SE N
Dimensjoneringsteknikk for ingeniører er skrevet for å dekke en del av pensum i maskindesign ved NMBU. Boken tar utgangspunkt i forskjellige tema som skal gi ingeniøren relevant dimensjoneringskunnskap. I praksis viser det seg at mange studenter også får behov for kunnskap om dimensjoneringsstandarder. Det er derfor gitt en innføring i Eurokode 3 (stålkonstruksjoner), som benyttes ved løsning av noen kjente maskintekniske dimensjoneringsoppgaver.
G E I R TE RJ E S E N
DIMENSJONERINGSTEKNIKK FOR INGENIØRER