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Distribución Binomial Negativa y Geométrica
Ejercicios
EJEMPLO 1: Supongamos la extracción aleatoria de 8 elementos de un conjunto formado por 40 elementos totales (cartas baraja española) de los cuales 10 son del tipo A (salir oro) y 30 son del tipo complementario (no salir oro). Si realizamos las extracciones sin devolver los elementos extraídos y llamamos X al número de elementos del tipo A (oros obtenidos) que extraemos en las 8 cartas; X seguirá una distribución hipergeométrica de parámetros 40 , 8 , 10/40.H(40,8,0,25). Para calcular la probabilidad de obtener 4 oros:
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EJEMPLO 2: De cada 20 piezas fabricadas por una máquina, hay 2 que son defectuosas. Para realizar un control de calidad, se observan 15 elementos y se rechaza el lote si hay alguna que sea defectuoso. Vamos a calcular la probabilidad de que el lote sea rechazado.
Distribución Binomial Negativa y Geométrica
En estadística la distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal. El número de experimentos de Bernoulli de parámetro θ independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y θ. La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.
PROPIEDADES
Su función de Probabilidad es
para enteros x mayores o iguales que k, donde
Fórmula Binomial Enteros mayores o iguales que k
Su media es:
μ= k(1-θ) /θ Si se piensa en el número de fracasos únicamente y μ= k/θ Si se cuentan también los k-1 éxitos su varianza es
en ambos casos. σ2=(k(1-θ)) /θ2
Ejemplo: Si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40, ¿Cuál es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? En este caso, X es el número de niños expuestos la enfermedad y x=10, k=1, θ=0.40
La solución es: b*(10;1,0.4) = (10 3
1 1)0.43(1-0.4)10-3= (9 2)0.43(0.6)7=0.0645 En un proceso de manufactura se sabe que un promedio de 1 en cada 10 productos es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad que el quinto (5) artículo examinado sea el primero (1) en estar defectuoso? La solución es: X= artículos defectuosos P= 1/10 = 0,1 q= 1- 0,1 = 0,9 x= 5 ensayos K= 1 b*(5;1,0.1) = (5-1\1-1) (0.1) ^1*(0.9) ^5-1= b*(5;1,0.1) = 6.6% de probabilidad que el quinto elemento extraído sea el primero en estar defectuoso.
Ejercicios
Ejercicio 1: Distribución hipergeométrica:
El dueño de una casa planta 6 bulbos seleccionados al azar de una caja que contiene 5 bulbos de tulipán y 4 de narciso. ¿Cuál es la probabilidad de que plante 2 bulbos de narciso y 4 de tulipán?
