equacions de segon grau

3

Equacions i sistemes de segon grau

1. Equacions de segon grau.

Resolució 2. Suma i producte de les solucions 3. Sistemes d’equacions de segon grau 4. Equacions biquadrades 5. Equacions irracionals 6. Altres tipus d’equacions 7. Resolució de problemes

El primer tractat que fa referència a qüestions d’àlgebra es deu al matemàtic grec Diofant d’Alexandria, del segle III de la nostra era. Tot i les poques dades que es coneixen de la vida de Diofant, és possible reconstruir-ne algunes fites resolent un senzill problema algèbric que apareix en forma d’epigrama a l’Antologia Palatina, que és una col·lecció de problemes datada al segle VI o VII, en la qual es pot llegir: “Aquesta tomba conté Diofant. Oh, quina meravella! I la tomba diu amb art la mesura de la seva vida, Déu va fer que fos infant durant la sisena part de la vida, i afegint una dotzena part a l’anterior, les galtes se li ompliren de pèl moixí. S’encengué per a ell el foc nupcial després d’una setena part, i al cap de cinc anys de les noces Déu li concedí un fill. Però, ai las!, infant tardaner i malaurat, després d’arribar a la meitat de la mesura de la vida del pare, li fou arravatat per la tomba silent. Després de consolar la seva pena amb la ciència dels nombres, durant quatre anys, arribà al termini de la seva vida.”

A partir d’aquest text, es pot descobrir els anys que va viure Diofant, l’edat en què acaba la infància i l’adolescència, quants anys tenia quan es va casar, a quina edat va tenir l’únic fill i quants anys tenia quan se li va morir.

ACTIVITATS PRÈVIES v Expressa en llenguatge algèbric: a) El producte de dos nombres ente rs consecutius és 132. b) Si a la suma dels quadrats de dos nombres li restem una unitat, el resultat és igual al doble del producte d’aquests dos nombres. c) La diferència entre un nombre i el doble de la seva arrel quadrada és 8. v Troba el valor numèric de les exp ressions algèbriques següents: 2 1 a) 2x – 8x per a x = – 2 b) 5a2 – 2b2 per a a = –1 i b = 2 v Donada l’equació de segon grau 2 x – 5x + 6 = 0, determina quins dels nombres següents són solució de l’equ ació: x = 2, x = –2, x = –3 i x = 3. v Desenvolupa les identitats notables següents: 2 a) (x + 3) b) (2 + 4x)2 c) (3x 2 – 5)2

OBJECTIUS DE LA UNITAT . v Identificar equacions de segon grau en casos particulars i emprant v Resoldre equacions de segon grau la fórmula general. segon grau. v Resoldre sistemes d’equacions de lemes d’equacions i de sistev Identificar, plantejar i resoldre prob cificar-ne les solucions. espe i , mes d’equacions de segon grau adrades i irracionals. v Identificar i resoldre equacions biqu ació de segon grau, biquadrav Expressar les solucions d’una equ manera exacta. de s, da, irracional, o d’un altre tipu

3

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

1.

Equacions de segon grau. Resolució

En aquest apartat recordarem què és una equació de segon grau i com resoldre-la.

Una equació de segon grau és una expressió del tipus ax 2 bx c 0 en què a, b i c són nombres reals i a x 0 en tots els casos.

Ja saps que resoldre una equació de segon grau consisteix a buscar el valor o valors numèrics de la incògnita que verifiquen la igualtat, és a dir, trobar-ne les solucions, si n’hi ha. b p b 2 4 ac El curs passat vam demostrar que l’expressió x ens dóna di2a rectament les dues solucions de l’equació de segon grau. Per utilitzar-la cal tenir l’equació de segon grau en la forma ax 2 bx c 0, i observar els valors dels coeficients a, b i c de l’equació que cal resoldre, substituir-los en l’expressió i efectuar les operacions indicades, simplificant, si escau, els resultats que se n’obtinguin.

A continuació, resolem algunes equacions de segon grau, començant per casos particulars, és a dir, quan b 0 o c 0 , o donada l’expressió de l’equació no cal utilitzar la fórmula indicada. v Resolem primer l’equació 9 x 2 16 0. ax2 + c = 0 m x = ± de manera que:

√

–

c a

c > 0 té dues solucions. a Si c = 0 la solució és x = 0. c Si – < 0 no hi ha cap noma bre real el quadrat del qual sigui negatiu. Podem dir que aquesta equació no té solució.

Si –

Observa que en aquesta equació de segon grau el coeficient b és zero. En aquest cas el que fem és aïllar x2 i extreure l’arrel quadrada en els dos membres de la igualtat. Així: 44 xx1 1 Z 16 16 4 33 9 x 2 16 0 m 9 x 2 16 m x 2 mx p p 4 9 9 3] x2 3 Les solucions de l’equació són: x 1

4 4 i x2 3 3

v A continuació, resolem 5 x 2 3 x 0 .

En aquesta equació de segon grau tenim que c = 0. Per resoldre-la traiem x com a factor comú: 5 x 2 3 x 0 m x (5 x 3) 0 Tenim un producte de dos factors, x i 5 x 3, que és igual a zero. Cal que un d’ells sigui zero perquè sigui certa la igualtat. Així: x1 0 x 0 Z 1 x (5 x 3) 0 3 ]5 x 3 0 m 5 x 3 m x 2 5

ax2 + bx = 0 en què b x 0 x(ax + b) = 0 d’on x1 = 0 b ax + b = 0 m x2 = – a

3 Les solucions de l’equació són x 1 0 i x 2 .

5 1 v Resolem ara l’equació (2 x 1)2 .

25 Per resoldre aquesta equació no és necessari desenvolupar el membre de la part esquerra de l’equació, ja que si extraiem l’arrel quadrada en els dos membres de la igualtat obtenim:

58

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

11 66 33 m22xx m mxx1 1 22xx 11 m 55 55 55 1 4 2 2 x 1 m 2 x m x 2 5 5 5 3 2 Les solucions de l’equació són x 1 i x 2 .

5 5 1 1Z 2 x 1 p m 2 x 1 p 25 5]

2

v Finalment, resolem 2 x 5 x 3 0 . És una equació de segon grau completa, ja que està expressada de la forma: ax 2 bx c 0 , amb b x 0 i c x 0.

En aquest cas, per trobar les solucions de l’equació apliquem l’expressió general, i hi substituïm els coeficients per a = 2, b = 5 i c = –3: b p b 2 4ac 5 p 52 4 2 ( 3) 5 p 25 24 5 p 49 5 p 7

2a 2 2 4 4 4 D’aquí obtenim: 5 7 2 1 5 7 12 x1

x2

3 4 4 2 4 4 1 Les solucions de l’equació són x 1 i x 2 3.

2 b p b 2 4 ac Si utilitzem l’expressió general x , per resoldre una equació de 2a 2 segon grau del tipus ax bx c 0, ens podem trobar que l’equació tingui una, dues o bé cap solució. Ja que:

3

— (rx + p)2 = q m rx + p = ± √ q — –p ± √ q

m x = r Si q > 0 té dues solucions diferents.

Si q = 0 té una solució doble.

Si q < 0 no té solució, ja que no hi ha cap nombre real el quadrat del qual sigui negatiu.

x

Recorda

?

!

Una equació del tipus x 2 = k té per solucions — — x1 = √ k i x2 = –√ k per a k > 0.

El nombre de solucions d’una equació de segon grau depèn del signe del radicand b2 – 4ac. Aquesta expressió s’anomena discriminant de l’equació i es representa per la lletra grega delta majúscula $.

El valor numèric de $ determina si l’equació de segon grau té dues solucions diferents, una solució o bé no en té cap. v Si el discriminant és positiu, $ > 0, l’equació té dues solucions diferents: b $ b $ i x2 . x1 2a 2a v Si el discriminant és zero, $ = 0, només té una solució, ja que les dues possibles solucions són iguals: b p $ b p 0 b x

2a 2a 2a En aquest cas, direm que l’equació té una única solució o que té una solució doble.

Per saber-ne més $ = b2 – 4ac

v Si el discriminant és negatiu, $ < 0, l’equació no té solució, ja que no hi ha cap nombre real que elevat al quadrat doni com a resultat un nombre negatiu.

L’estudi del signe del discriminant només ens serveix per saber el nombre de solucions que té l’equació de segon grau. Si volem saber quines són les solucions, és necessari resoldre l’equació per mètodes coneguts.

Ja hem vist que per resoldre una equació de segon grau no sempre cal aplicar la fórmula general. Hi ha equacions de segon grau que es poden resoldre fàcilment mitjançant diferents procediments molt més senzills. Sempre que sigui possible, utilitza’ls; quan no, fes servir l’expressió. I ara, que ja coneixes diferents estratègies per resoldre equacions de segon grau, cal que et fixis en l’equació que has de resoldre i que triïs la manera més idònia per fer-ho.

59

3

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

activitats resoltes 1. Resol les equacions següents: a) 6x2 – 7x + 2 = 0

b) 2 +

15 =x+3 x–3

a) 6x2 – 7x + 2 = 0 Apliquem la fórmula general: b p b 2 4ac 7 p ( 7)2 4 6 2 7 p 49 48 7 p 1Z x

2a 2 6 12 12 ] Les solucions són: x 1

2 1 i x2 .

2 3

7 1 8 2

12 12 3 7 1 6 1 x2

12 12 2 x1

15 x 3 x 3 15 Transposem el nombre 2 al segon membre de la igualtat: x 1. x 3 Podem treure’n el denominador multiplicant els dos membres de la igualtat per x 3 : 15 ( x 1)( x 3) m 15 x 2 2 x 3 m x 2 2 x 18 0

b) 2

Per tal de facilitar-ne el càlcul i evitar errors, és preferible que el coeficient de x2 sigui positiu. Per la qual cosa, només cal multiplicar els dos membres de la igualtat per –1: x 2 2 x 18 0 Ara ja podem aplicar la fórmula general per resoldre l’equació: x

b p b 2 4 ac 2 p ( 2)2 4( 18) 2 p 4 72 2 p 76 2 p 2 19 2(1p 19 )

1p 19 2a 2 2 2 2 2

Les solucions de l’equació són: x 1 1 19 i x 2 1 19 .

S’observa que les dues solucions són nombres irracionals.

2. Resol les equacions, indicant el nombre i el tipus de solucions: a) 9x2 – 49 = 0 0

b) (x – 5)2 = 3

(

c) – 2x +

1 3

)(

6+

)

3 x = 0 d) 4x2 + 4x + 1 = 4

a) 9x2 – 49 = 0 Aïllem x2 de l’equació i, a continuació, en fem l’arrel quadrada: 49 49 7 9 x 2 49 0 m x 2 mx p p 9 9 3 7 7 Té dues solucions racionals: x 1 i x 2 .

3 3 b) ( x 5)2 3 Extraient l’arrel quadrada a cada membre de la igualtat i aïllant la x: ( x 5)2 3 m x 5 p 3 m x 5 p 3 Té dues solucions irracionals: x 1 5 3 i x 2 5 3 .

1 ´¥ 3 ´ ¥ c) ¦ 2 x µ¦ 6 x µ = 0 3 ¶§ 4 ¶ § Tenim un producte de dos factors igual a zero, això vol dir que ha de ser zero un dels dos factors: 1 1 1 2 x 0 m 2 x m x 1 Z 1 3 ¥ ´¥ ´ 3 3 6 ¦ 2 x µ ¦ 6 x µ 0 3 3 3¶§ 4 ¶ ] § 6 x 0 m x 6 m x 2 8 4 4

60

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

3

1 Dues solucions, una de racional, x 1 , i l’altra, entera x 2 8.

6 d) 4 x 2 4 x 1 0

Observa l’equació, tot i ser una equació de segon grau completa, no la resoldrem per la fórmula general, ja que el primer membre de la igualtat correspon al desenvolupament d’una identitat notable: el quadrat d’un binomi.

Així, podem escriure l’equació d’aquesta altra manera: 1 4 x 2 4 x 1 0 m (2 x 1)2 0 m 2 x 1 0 m x 2 1 Només té una solució, i és racional: x .

2 En aquest cas, hem vist com per resoldre una equació de segon grau completa, no sempre cal aplicar-hi la fórmula general. Si aquesta darrera equació la resolguessis utilitzant la fórmula general, arribaries al mateix resultat.

3. Sense resoldre l’equació, determina el nombre d’equacions de cadascuna de les equacions de segon grau següents: a) x2 + 2,4x + 0,8 = 0

b) 25x2 – 10x + 1 = 0

c) 2x2 – x + 3 = 0

Per determinar el nombre de solucions que tindrà cada equació, n’hi ha prou que n’esbrinem el signe del discriminant. a) x 2 2,4 x 0,8 0 $ b 2 4 ac 2,4 2 4 0,8 5,76 3,2 2,56 m Δ > 0 Aquesta equació té dues solucions diferents, ja que el seu discriminant és positiu. b) 25 x 2 10 x 1 0 $ b 2 4 ac ( 10)2 4 25 100 100 0 m Δ = 0 En aquest cas, com que el discriminant és zero, l’equació només té una solució. c) 2 x 2 x 3 0 $ b 2 4 ac ( 1)2 4 2 3 1 24 23 m Δ < 0 Atès que el discriminant d’aquesta equació és negatiu, l’equació no té solució.

4. Determina per a quins valors de m l’equació x2 + 2x + m = 0 té: a) Una solució.

b) Dues solucions.

c) No té solució.

Primer trobarem l’expressió del discriminant d’aquesta equació: x 2 2 x m 0 m $ b 2 4 ac 4 4 m

a) Perquè l’equació tingui només una solució, cal que el discriminant sigui zero.

Així: $ 0 m 4 4 m 0 m m 1.

Si m = 1, aleshores l’equació té una única solució. b) Perquè aquesta equació tingui dues solucions, el discriminant ha de ser positiu. És a dir: Δ > 0 m 4 – 4m > 0 m m < 1.

L’equació tindrà dues solucions si m pren valors més petits que 1. c) L’equació no tindrà solució, si el discriminant és negatiu, és a dir: Δ < 0 m 4 – 4m < 0 m m > 1.

Podem dir que per a valors de m més grans que 1, l’equació no té solució.

61

3

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

2.

Suma i producte de les solucions

La suma i el producte de les solucions d’una equació de segon grau estan relacionats, de manera molt senzilla, amb els seus coeficients. Tot seguit veurem quina és aquesta relació.

Per la qual cosa, resolem per exemple l’equació 2 x 2 7 x 3 0 .

77 55 33 b p b 4ac 7 p 49 24 7 p 25 7 p 5 Z 44 x

7 5 1 2a 4 4 4 ] x2

4 2 2

xx11

1 7 Si sumem les dues solucions, obtenim com a resultat: x 1 x 2 3 .

2 2 7 Fixa’t que el resultat de la suma de les solucions és igual al quocient entre l’opo2 sat del coeficient de x, que és –7, i el coeficient de x2, que és 2.

Però això succeeix en qualsevol equació de segon grau? Vegem-ho amb un altre exemple: Si procedim de la mateixa manera per a les solucions de l’equació x 2 5 x 6 0, que són x 1 3 i x 2 2 , veiem que també es compleix la relació anterior.

Així doncs, aquesta propietat es compleix per a qualsevol equació de segon grau.

En general, donada l’equació ax 2 bx c 0, la suma de les seves solucions és: s x1 x 2

b b 2 4 ac b b 2 4 ac b b 2 4 ac b b 2 4 ac 2b b

a 2a 2a 2a 2a

Per tant, podem enunciar que: La suma s de les dues solucions d’una equació de segon grau és igual al quocient entre l’oposat del coeficient de x i el coeficient de x2. Ho expresb sem: s = – . a

Vegem què succeeix si en lloc de sumar les solucions, les multipliquem. Ho farem a partir de les solucions de l’equació anterior 2 x 2 7 x 3 0.

1 Sabem que les solucions són x 1 3 i x 2 , si les multipliquem obtenim: 2 1 3 x1 x 2 3 2 2 3 El producte de les solucions és igual al quocient entre el terme independent 2 de l’equació i el coeficient de x2.

Què passa en altres equacions?

Observa-ho amb l’equació x 2 5 x 6 0 , les solucions de la qual són x 1 3 i x 2 2.

Si les multipliquem x 1 x 2 3 2 6, també es compleix la relació anterior.

Aquesta propietat es compleix per a qualsevol equació de segon grau, ja que: 62

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

3

b b 2 4ac b b 2 4ac b b 2 4ac b b 2 4ac p x1 x 2

2a 2a 4a 2

( b )2

2

b 4ac b b 4ac b b 4ac 4ac c 2

2

4a 2

2

4a 2

2

2

4a 2

4a 2

a

Tenim, doncs, que: El producte p de les dues solucions d’una equació de segon grau és igual al quocient entre el terme independent i el coeficient de x2. Ho expressem: c p= . a

A partir d’aquestes dues propietats podem deduir l’expressió d’una equació de segon grau, si en coneixem les solucions i, per tant, la suma i el producte corresponents. En efecte: Donada l’equació ax 2 bx c 0, si dividim per a els dos membres de l’equació obtenim: 2

2

ax bx c ax bx c b c c ¥ b´ 0m 0 m x 2 x 0 m x 2 ¦ µ x 0 a a a a a a a § a¶ b c 2 Com que s i p , podem escriure: x sx p 0, en què s és la suma de a a les solucions i p, n’és el producte.

Podem dividir els dos membres de l’equació de segon grau per a, perquè a x 0.

Vegem-ho amb un exemple: Deduïm una equació de segon grau que tingui com a solucions x 1 4 i x 2 3.

Calculem, prèviament, la suma i el producte de les solucions:

s x1 x 2 4 3 7

p x 1 x 2 4 3 12

En substituir s = 7 i p = 12 en l’expressió x 2 sx p 0, obtenim: x 2 7 x 12 0.

Tenim, doncs, que una equació de segon grau que tingui per solucions x 1 4 i x 2 3 és x 2 7 x 12 0.

Però aquesta no és l’única equació de segon grau que té per solucions x 1 4 i x 2 3. Si multipliquem els dos membres de l’equació x 2 7 x 12 0 per un nombre qualsevol diferent de zero, obtindrem altres equacions equivalents a aquesta i, per tant, amb les mateixes solucions.

Per saber-ne més De x 2 – 7x + 12 = 0 m x1 = 4 i x2 = 3 es dedueix: (x – 4)(x – 3) = x2 – 7x + 12

Així, per exemple, les equacions 2 x 2 14 x 24 0 i 3 x 2 21x 36 0 també tenen com a solucions x 1 4 i x 2 3.

L’aplicació de les propietats entre la suma i el producte de les solucions d’una equació de segon grau, també ens permet trobar les dues solucions d’algunes equacions de segon grau de manera ràpida, sense necessitat d’aplicar-hi l’expressió general de la resolució; per exemple, per saber les solucions de l’equació x 2 9 x 14 0 n’hi ha prou que trobem dos nombres que sumin 9 i el seu producte sigui 14. Evidentment, aquests dos nombres són el 7 i el 2; tenim doncs, que les solucions de l’equació x 2 9 x 14 0 són x 1 7 i x 2 2.

Aquest mètode ràpid de resolució només és recomanable per a equacions de segon grau en les quals sigui fàcil determinar els dos nombres a partir de la seva suma i del seu producte. En aquests casos, com a condició prèvia, cal que a = 1.

63

3

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

activitats resoltes 5. Troba dos nombres tals que la seva suma sigui –1 i el seu producte –12.

Tenim que s = –1 i p = –12. I per tant: x 2 sx p 0 m x 2 ( 1) x ( 12) 0 m m x 2 x 12 0 Resolent l’equació x 2 x 12 0 , trobarem els dos nombres: 2

x

b p b 4ac 1p 1 48 1p 49

= 2a 2 2 1 7 3 1p 7 Z 2

1 7 2 ] x2 4 2 x1

Els dos nombres són 3 i –4.

6. Troba les dues solucions i el valor de k de l’equació

3x 2 + 8x + k = 0, sabent que una solució és el triple de l’altra.

Dividim els dos membres de l’equació per a = 3 per tal que el coeficient de x2 sigui 1: k 8 x x 0 3 3

Si en coneixem les dues solucions, podem trobar k fàcilment el valor de k, si tenim en compte que p 3 és el producte de les dues solucions de l’equació.

Així: k k 4 2 4 x 1 x 2 ( 2) m m k 4 3 3 3 3 3

7. Resol mentalment les equacions de segon grau següents:

a) x2 – 6x + 5 = 0 b) x2 + 11x + 24 = 0 c) x2 – x – 12 = 0 d) x2 + 5x – 14 = 0 Per trobar les solucions ho farem a partir dels valors de s i de p de cada equació: a) x 2 6 x 5 0 m s 6 i p = 5 Dos nombres la suma dels quals sigui 6 i el seu producte 5, són el 5 i l’1, per tant:

x 1 5 i x 2 1.

2

D’aquesta expressió deduïm que la suma de les solu8 8 cions és s , per tant, tenim que x 1 x 2 .

3 3 D’altra banda, com que sabem que una de les solucions és el triple de l’altra, podem escriure l’equació x 1 3 x 2.

Resolem el sistema d’equacions: 8 « ® x1 x 2 3 ®­ x 1 3 x 2

Substituint la segona expressió en la primera obtenim: 8 8 2 3x2 x2 m 4 x2 m x2 .

3 3 3 ¥ 2´ D’aquí s’obté: x 1 3 x 2 3 ¦ µ 2 m x 1 2. § 3¶

2 Les solucions de l’equació són x 1 2 i x 2 .

3

64

b) x 2 11x 24 0 m s 11 i p = 24 Dos nombres que sumin –11 i el producte dels quals sigui 24 són el –3 i el –8, per tant:

x 1 3 i x 2 8 . c) x 2 x 12 0 m s 1 i p = –12 Dos nombres la suma dels quals sigui 1 i el seu producte –12 són el 4 i el –3, per tant:

x 1 4 i x 2 3. d) x 2 5 x 14 0 m s 5 i p = –14 Dos nombres que sumin –5 i el producte dels quals sigui –14, són el 2 i el –7, per tant:

x 1 2 i x 2 7 .

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

3.

Sistemes d’equacions de segon grau

En cursos anteriors vas resoldre sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites. Ara veurem com es resolen sistemes també amb dues equacions i dues incògnites, però quan alguna o les dues equacions són de segon grau.

Un sistema és de segon grau quan, en aplicar un dels mètodes algèbrics coneguts, ens porta a resoldre una equació de segon grau.

Recorda

?

3

!

Mètodes de resolució de sistemes d’equacions de primer grau: gràfic algèbric

reducció substitució igualació

En general, el millor mètode algèbric per resoldre els sistemes d’equacions de segon grau és el de substitució, encara que podem trobar-nos davant situacions particulars en què resulta més ràpid utilitzar un dels altres dos mètodes.

« x y 2 º v Comencem resolent el sistema ¬ 2 2 ­ x y 74 ¼ Fixa’t que en aquest cas el millor és aïllar una de les incògnites de la primera equació, que és de primer grau, per exemple la x, i substituir l’expressió obtinguda en la segona equació, que és de segon grau. Així: x y 2

º «x 2 y »m2 2 x y 74 ¼ ­(2 y )2 y 2 74 m 2 y 2 4 y 70 0 m y 2 2 y 35 0

Recorda

?

!

(a p b)2 = a2 p 2ab + b2

En fer la substitució, obtenim una equació de segon grau amb una única incògnita, la y: y 2 2 y 35 0 Equació que ja sabem resoldre, per fer-ho hi apliquem l’expressió general: 12 22 12 yy1 1 55 2 Z b p b 4ac 2 p 4 140 2 p 144 2 p 12 22 y

2 12 2a 2 2 2 ] y2 7 2 Les dues solucions de l’equació de segon grau amb la incògnita y són: y 1 5 i y 2 7.

Si substituïm cada valor de y en la primera equació del sistema, obtenim els valors de x corresponents:

x1 2 y1 2 5 7 m x1 7 x 2 2 y 2 2 ( 7) 5 m x 2 5 Tenim, per tant, que el sistema que acabem de resoldre té dues solucions:

x 1 7, y 1 5 i x 2 5, y 2 7 .

Si substitueixes cadascun d’aquests parells de valors en les equacions inicials del sistema, comprovaràs que es verifiquen les dues igualtats. «® x 2 y 2 24 v Resolem ara el sistema: ¬ 2 2 ®­2 x y 51

Així com en el sistema anterior ens ha resultat més fàcil utilitzar el mètode de substitució, en aquest, atesa l’estructura del sistema, ens resulta més fàcil i ràpid utilitzar el mètode de reducció, de manera que, si sumem membre a membre les dues equacions, obtenim: 65

3

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

x 2 y 2 24 2 x 2 y 2 51 3x 2

75 m x 2 25 m x p5

Els valors de la incògnita x són: x 1 5 i x 2 5.

Per trobar els valors de la incògnita y, només cal substituir en una de les dues equacions dels sistema, per exemple en la primera: 52 y 2 24 m 25 y 2 24 m y 2 1m y 2 1m y p1 ( 5)2 y 2 24 m 25 y 2 24 m y 2 1m y 2 1m y p1 Fixa’t que aquest sistema té quatre solucions:

x 1 5, y 1 1; x 1 5, y 1 ' 1 ; x 2 5, y 2 1 i x 2 5, y 2 ' 1. activitats resoltes 8. Resol els sistemes següents: a) a)

x+y=2 xy = –15

b)

x + 2y = 5 x2 + 4xy = 9

x+y=2 xy = –15 Tot i que el més habitual seria resoldre’l pel mètode de substitució, el resoldrem pel mètode d’igualació, per tant, prèviament cal aïllar la mateixa incògnita de cadascuna de les dues equacions, per exemple la y:

y 2 xº 15 ® 2 2 2 15 » m 2 x m 2 x x 15 m x 2 x 15 0 m x 2 x 15 0 x y ® x ¼

Arribem a l’equació x 2 2 x 15 0 , les solucions de la qual són immediates, ja que han de sumar 2 i multiplicar –15, és a dir: x 1 5 i x 2 3 .

Tot seguit trobarem els dos valors de y substituint els valors de x; ho farem a partir de qualsevol de les dues expressions en les quals hem aïllat la incògnita y : 15 15 15 15 y 1 3 y2 5 x1 5 x2 3 El sistema té dues solucions: x 1 5, y 1 3 i x 2 3 , y 2 5.

«x 2y 5 b) ¬ 2 ­ x 4 xy 9 El resoldrem per substitució, per la qual cosa aïllem la incògnita x de la primera equació: x 2y 5 º «x 5 2y »mx 2 4 xy 9 ¼ ­(5 2 y )2 4(5 2 y ) y 9 m 25 20 y 4 y 2 20 y 8 y 2 9 Transposant tots els termes al membre de l’esquerra de l’equació i sumant els termes semblants, obtenim: 4 y 2 16 0 m y 2 4 m y p2 m y1 2, y 2 2 Substituint trobem els valors de x: x1 5 2 y1 5 2 2 5 4 1 m x1 1 x 2 5 2 y 2 5 2( 2) 5 4 9 m x 2 9 Aquest sistema també té dues solucions: x 1 1, y 1 2 i x 2 9 , y 2 2.

66

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

4.

3

Equacions biquadrades

Observa l’equació x 4 5 x 2 4 0.

Es tracta d’una equació de quart grau que no té termes de grau senar. Aquest tipus d’equacions s’anomenen biquadrades.

En general, es coneixen amb aquest nom les equacions de quart grau amb una incògnita que són del tipus ax 4 bx 2 c 0 , en què x és la incògnita de l’equació i a, b i c són nombres reals amb a x 0 .

Una equació biquadrada es pot transformar fàcilment en una equació de segon grau fent un senzill canvi d’incògnita: x2 = t. D’aquesta manera, podem substituir en l’equació donada la incògnita x per la nova incògnita t i obtenim una equació de segon grau amb incògnita t que ja sabem resoldre. v Fixa’t en la resolució de l’equació x 4 5 x 2 4 0 .

2

Si substituïm x 2 = t, aleshores x 4 = (x 2) = t 2, de manera que s’obté l’equació de segon grau: t 2 5t 4 0 .

Comparant aquesta equació amb t 2 st p 0, es dedueix que la suma de les dues solucions ha de ser s 5 i el seu producte p 4. Per tant, hem de trobar dos nombres que sumin 5 i el producte dels quals sigui 4; evidentment aquests dos nombres són:

t1 4 i t 2 1, que són les solucions de l’equació t 2 5t 4 0 .

Ara cal tenir en compte el canvi efectuat, és a dir, per a cadascun dels valors de t, caldrà trobar els valors de x corresponents. Així obtindrem, en cas que existeixin, les solucions de l’equació biquadrada original.

ax 4 + bx 2 + c = 0 m 2

m a(x 2) + bx 2 + c = 0 m x =t 2 + bt + c = 0 ——m at 2

t1 4 m x 2 4 m x p 4 p2

t 2 1m x 2 1m x p1 De manera que l’equació biquadrada x 4 5 x 2 4 0 té quatre solucions:

x 1 2 , x 2 2 , x 3 1 i x 4 1. v En resoldre una equació biquadrada podem obtenir quatre solucions reals, però també és possible que en tingui menys de quatre i fins i tot que no en tingui cap, fet que succeeix en l’equació següent: 2 x 4 7 x 2 3 0.

Si fem el canvi d’incògnita x2 = t, obtenim l’equació de segon grau 2t 2 7t 3 0 .

La resolem a partir de l’expressió general:

b p b 4ac 7 p 49 24 7 p 25 7 p 5 Z t

2a 4 4 4 ] 2

1 1 t1 m x 2 2 2

7 5 1

4 2 7 5 t2 3 4

t1

Aquesta equació no té solució, ja que no hi ha cap nombre real el quadrat del qual sigui negatiu. t 2 3 m x 2 3 Per la mateixa raó que en el cas anterior, aquesta equació tampoc no té solució.

67

3

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

Així doncs, no hi ha cap nombre real que sigui solució de l’equació biquadrada: 2x 4 7x 2 3 0

Hem resolt a tall d’exemple dues equacions biquadrades i hem observat que el nombre de solucions possible és de quatre, com a màxim; a continuació, resoldrem altres equacions biquadrades, és important que et fixis bé en el nombre de solucions.

activitats resoltes 9. Resol les equacions següents:

Aquesta equació no té solució real, perquè no hi ha cap nombre real que elevat al quadrat doni –1.

a) x4 – 3x2 = 0 Tenim, doncs, que en aquest cas l’equació biquadrada x 4 3 x 2 4 0 només té dues solucions:

b) x4 – 3x2 – 4 = 0 c) x4 + 5x2 = 0

x 1 2 i x 2 2 .

d) 9x4 – 16 = 0

c) x 4 5 x 2 0 Tal com hem fet en l’apartat a) traiem x2 com a factor comú:

a) x4 – 3x2 = 0 Atès que aquesta equació biquadrada no té terme independent, podem extreure’n x2 de factor comú.

x 2 20 m x 0 Z x 0m x 0 x 4 5 x 2 0 m x 2 ( x 2 5) 0 2 ] x 5 0 m x 2 5

Així obtenim: x 4 3x 2 0 m x 2 0 m 2x 0 x 0m x 0 Z m x ( x 3) 0 2 ]x 3 0 m x2 3 m x p 3 2

2

La segona equació no té solució, ja que no hi ha cap nombre real que elevat al quadrat doni –5.

Així, l’equació x 4 5 x 2 0 només té una solució x 0. d) 9 x 4 16 0

Les solucions de l’equació són:

x1 0, x 2 3 i x 3 3 .

En aquest cas, l’equació biquadrada té tres solucions.

4

La resolem:

9t 2 16 0 m 9t 2 16 m t 2

2

b) x 3 x 4 0 Primer, hi substituïm x2 per t i resolem l’equació de segon grau obtinguda: t 2 3t 4 0.

Per resoldre-la, no utilitzarem l’expressió general, ja que es dedueix fàcilment que les solucions són: t1 4 i t 2 1 , ja que en l’equació s’observa que la suma de les dues solucions ha de ser 3 i el producte –4, de manera que els dos nombres que verifiquen ambdues condicions són el 4 i el –1.

Atès que x 2 = t, aleshores: t1 4 m x 2 4 m x p 4 p2

t 2 1 m x 2 1

68

Hi substituïm x2 = t, obtenim l’equació de segon grau 9t 2 16 0 .

16 16 4 mt p p 9 9 3

Trobem els valors de x, a partir dels valors de t : t1

4 4 4 2 2 3 m x2 m x p p p 3 3 3 3 3 4 4 2 t2 m x 3 3

Aquesta segona equació no té solució. Per tant, l’equació de quart grau original té dues solucions, que són irracionals: x1

2 3 2 3 i x2 .

3 3

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

5.

3

Equacions irracionals

En aquest apartat veurem què és una equació irracional i com resoldre-la.

Les equacions irracionals són aquelles que tenen la incògnita sota el signe radical.

Així l’equació 1 25 x 2 x és una equació irracional.

Nosaltres només tractarem de les equacions irracionals amb arrel quadrada.

El nostre objectiu és eliminar les arrels quadrades i, per aquest motiu, elevem al quadrat els dos membres de la igualtat les vegades que sigui necessari.

T i n g u e s p re s e n t q u e — (√ a)2 = a.

v En el cas de l’equació anterior 1 25 x 2 x , atès que hi ha una sola arrel, l’aïllem en el primer membre i elevem al quadrat els dos membres de la igualtat.

Observa:

1 25 x 2 x m 25 x 2 x 1m

2

25 x ( x 1) m 25 x 2

2

2

x 2 2x 1

De la qual s’obté l’equació de segon grau: 2 x 2 2 x 24 0.

Dividint per 2 els dos membres de la igualtat obtenim: x 2 x 12 0.

Observant l’equació es dedueix que la suma de les solucions ha de ser 1 i el seu producte –12, per tant, les solucions són x 1 4 i x 2 3 .

Hem d’esbrinar si les dues solucions obtingudes són solució de l’equació irracional original, ja que, de vegades, en elevar al quadrat els dos membres d’una igualtat, s’hi pot introduir alguna solució fictícia.

Vegem si els valors obtinguts en resoldre l’equació irracional 1 25 x 2 x són la seva solució:

?

Recorda

!

— Escrivim √ x quan volem designar l’arrel quadrada positiva de x.

— — Així, √ 4 = 2 i – √ 4 = –2.

x 4 m 1 25 16 1 3 4. Per tant, x = 4 és solució de l’equació. x 3 m 1 25 9 1 4 5 x 3. La igualtat no es compleix per a x 3, és una solució fictícia. No és solució de l’equació inicial.

L’equació irracional 1

25 x 2 x té una única solució: x = 4.

v A continuació, resolem l’equació irracional

2 x 6 x 4 1.

Per eliminar els dos radicals haurem de repetir dues vegades el procés que hem seguit en l’exemple anterior.

Per començar, situarem els radicals de manera que cada membre de la igualtat en tingui només un:

2 x 6 1 x 4

Atenció!

— — (√ a – √ b)2 x a – b sinó que: — — —— (√ a – √ b)2 = a – 2 √ a b + b.

A continuació, elevem al quadrat els dos membres de la igualtat: 2

2 x 6 1

x 4

2

m 2x 6 1 2

x 4 x 4 m x 1 2 x 4

Fixa’t que, en el segon membre, hi apareix el quadrat d’una suma. Es tracta d’una identitat notable.

Ara tornem a elevar al quadrat com hem fet en la resolució de l’equació anterior:

( x 1)2 2 x 4

2

mx

2

Recorda

?

!

— — (a + √ b)2 = a2 + 2a√ b + b

2 x 1 4( x 4) m x 2 2 x 1 4 x 16 m x 2 2 x 15 0

69

3

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

Resolent l’equació de segon grau s’obtenen les solucions: x 1 5 i x 2 3.

Ara cal comprovar si aquestes dues solucions ho són també de l’equació irracional, o si n’hi ha alguna de fictícia. Comprovem-ho: x 5 m 10 6 5 4 4 3 1. Com que es verifica la igualtat, x = 5 és solució de l’equació. x 3 m 6 6 3 4 0 1 1 x 1. Tenim que x 3 no és solució de l’equació irracional original, n’és una solució fictícia.

2 x 6 x 4 1 només té una solució x = 5.

Per tant, l’equació

És molt important que quan acabis de resoldre una equació irracional comprovis les solucions en l’equació original tal com s’ha fet en els dos exemples, ja que sovint apareixen solucions que no verifiquen l’equació; són aquelles solucions anomenades fictícies, i que, per tant, no s’accepten com a solució de l’equació irracional.

activitats resoltes 10. Resol les equacions irracionals següents, comprova’n les solucions obtingudes i indica’n el nombre. a) √x – 1 + 3 = x

b) √8 + 2x + √2x –1= 7

a) √x – 1 + 3 = x m √x – 1= x – 3 m (√x – 1)2 = (x – 3)2 m x – 1= x2 – 6x + 9 D’aquí s’obté: x 2 7 x 10 0 .

Les solucions de la qual són x 1 5 i x 2 2 , ja que a partir de l’equació de segon grau s’observa que les dues solucions han de sumar 7 i multiplicar 10.

Comprovem en l’equació irracional original la validesa de les solucions obtingudes: x 5 m 5 1 3 2 3 5.

La solució x 5 verifica l’equació original; per tant, n’és una solució.

x 2 m 2 1 3 1 3 4 x 2

.

Per a x 2 no es verifica la igualtat que expressa l’equació; tenim, doncs, que x 2 és una solució fictícia, i que, per tant, no és solució de l’equació irracional.

L’equació b)

x 1 3 x té una única solució x 5.

8 2x 2x 1 7 m 8 2x 7 2x 1 m

2

8 2 x 7

2

2x 1 m

m 8 2 x 49 14 2 x 1 2 x 1 m 14 2 x 1 40 m 7 2 x 1 20 m 449 m 49(2 x 1) 400 m 98 x 49 400 m 98 x 449 m x 98 Fem-ne la comprovació:

x

449 449 449 841 400 29 20 49 m 8

1

7 98 49 49 49 49 7 7 7

Efectivament, és solució de l’equació, per tant, l’equació irracional té una 449 solució, que és un nombre racional, x .

98

70

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

6.

3

Altres tipus d’equacions

Hi ha equacions que no són ni de primer ni de segon grau, però que es poden resoldre de forma força senzilla. Observa com les resolem utilitzant procediments que ja coneixes. v Comencem per l’equació: x 3 8 0 .

Aquesta equació és de tercer grau, ja que l’exponent de la incògnita que apareix és 3. Per resoldre-la, hi aïllem la x: x 3 8 La solució de l’equació s’obté buscant un nombre que elevat al cub doni –8. És a dir, es tracta de resoldre l’arrel cúbica de –8:

Per saber-ne més

3

x 8 2 El resultat és – 2, ja que ( 2)3 8.

Així, l’equació x 3 8 0 té una única solució: x = –2.

L’arrel cúbica d’un nombre positiu és positiva, mentre que l’arrel cúbica d’un nombre negatiu és negativa.

v Resolem ara: x 3 5 x 0 .

Aquesta també és una equació de tercer grau. Per resoldre-la en podem extreure x com a factor comú, de la mateixa manera que fèiem amb algunes equacions de segon grau incompletes: x 0 x 0 Z 3 2 x 5 x 0 m x ( x 5) 0 2 ]x 5 0 m x2 5m x p 5 Aquesta equació té tres solucions: x 1 0, x 2 5 i x 3 5 . v Continuem amb l’equació: ( x 4 81)(4 x 2 25) 0 .

En aquest cas, es tracta d’un producte de dos factors iguals a zero. Procedirem de la mateixa manera que en casos anteriors. Observa: 4 x 4 81 x 04 m81x 4 0 81 81 x 4 x 81pm x p 34 81 p3 mm

Z ] 4 x 2 25 0 m 4 x 2 25 m x 2 25 m x p 25 p 5 4 4 2 5 L’equació ( x 4 81)(4 x 2 25) 0 té quatre solucions: x 1 3, x 2 3, x 3 i 2 5 x4 .

2 1 v Finalment, resolem l’equació: 2 x 4 0 .

2 En aquesta equació aïllem primer x4, i després resolem: ( x 4 81)(4 x 2 25) 0

2x 4

Sabies que...

L’arrel quarta d’un nombre positiu té dues solucions, una de positiva i una de negativa; és com l’arrel quadrada.

1 1 1 0 m 2x 4 m x 4 2 2 8

No hi ha cap nombre real tal que elevat a 4 doni un nombre negatiu, ja que el resultat d’una potència d’exponent 4 sempre és positiu. Per tant, l’equació 1 2 x 4 0 no té cap solució.

2 71

3

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

activitats resoltes 11. Resol les equacions següents: a) (x + 5)(1 – 8x3)(3x – 1) = 0

b) 2x5 – 12x4 + 18x3 = 0

c) (x + 1)4 = 16

a) (x + 5)(1 – 8x3)(3x –1) = 0 En aquest cas, tornem a tenim un producte de factors iguals a zero. No importa el nombre de factors que hi hagi ni el grau de cadascun d’ells. Així: Z x 5 0 m x 1 5 m 1 1 1 ( x 5)(1 8 x )(3 x 1) 0 m m1 8 x 3 0 m 8 x 3 1 m x 3 m x 2 3 8 8 2 ] 3 x 1 0 m 3 x 1m x 1 3 3 1 1 Les solucions de l’equació són: x 1 5, x 2 i x 3 .

2 3 b) Per resoldre l’equació 2 x 5 12 x 4 18 x 3 0 , n’extraiem 2x 3 com a factor comú: 3

2 x 5 12 x 4 18 x 3 0 m 2 x 3 x 2 6 x 9 0 m 2 x 3 ( x 3)2 0 Observa que a l’interior del parèntesis hi ha el desenvolupament d’una identitat notable, així: 2 x 3 30 m x 3 30 m x 1 0 Z 2 x 0 m x 0 m x1 0 2 x 3 ( x 3)2 0 ] ( x 3)2 0 m x 3 0 m x 2 3 Hem procedit com en l’apartat anterior, és a dir, busquem quins valors de x anul·len els respectius factors. D’aquesta manera, les solucions de l’equació 2 x 5 12 x 4 18 x 3 0 són: x 1 0 i x 2 3 . c) ( x 1)4 16 Primer extraiem l’arrel quarta de cada membre de l’equació, per aconseguir una equació de primer grau: x 1 2 m x1 1 Z 4 ( x 1)4 16 m x 1 p 16 m x 1 p2 ] x 1 2 m x 2 3 Per tant, l’equació ( x 1)4 16 té dues solucions: x 1 1 i x 2 3 .

7.

Resolució de problemes

Molt sovint hem resolt problemes mitjançant el plantejament i la resolució d’equacions i sistemes de primer grau. De vegades, les condicions que imposa l’enunciat del problema ens porten a plantejar una equació de segon grau, un sistema de segon grau o bé altres tipus d’equacions.

2x cm

Vegem-ho en un parell d’exemples: v Troba l’àrea d’un rombe de 3 cm de costat sabent que una de les diagonals mesura el doble que l’altra.

Per resoldre aquest problema geomètric dibuixem primer un rombe que inclogui la informació que ens proporciona l’enunciat.

x cm

72

Si anomenem x la longitud de la diagonal petita del rombe, llavors la longitud de la diagonal gran serà 2x, per la qual cosa les semidiagonals mesuraran x 2x i x , respectivament.

2 2

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

3

Com que les semidiagonals i el costat del rombe formen un triangle rectangle hi podem aplicar el teorema de Pitàgores: 2

x2 36 ¥x´ x2 ¦ µ 9 m x2 9 m 4 x 2 x 2 36 m 5 x 2 36 m x 2 4 5 §2¶ 36 6 6 5 x p p p 5 5 5 Fixa’t que, en desenvolupar les operacions indicades i agrupar els termes semblants, hem obtingut una equació de segon grau incompleta. Les solucions d’aquesta equació són dos nombres irracionals. Com que 36 és un quadrat perfecte, podem extreure’l fora de l’arrel, i racionalitzant obtenim les solucions: 6 5 6 5 x1 i x2 5 5 Atès que x representa una longitud, la solució negativa no té cap sentit. Per tant, 6 5 només considerarem la solució positiva, és a dir: x .

5 De manera que les dues diagonals mesuren, respectivament: 6 5 6 5 12 5 cm i D 2d 2 cm cm .

5 5 5 Sabent la longitud de les diagonals, podem calcular l’àrea del rombe: d

Dd

A 2

12 5 6 5 72 5 72 cm cm 2 72 36 5 5 5 cm2 5 cm2 cm2 cm2 2 2 2 2 5 5

Fixa’t que, en aquest problema, les diagonals del rombe s’han expressat mitjançant nombres irracionals i, en canvi, l’àrea dóna una expressió racional. v La suma dels quadrats de dos nombres enters consecutius és 265. Troba aquests nombres.

Si anomenem x un dels nombres, el seu consecutiu serà x + 1.

Segons la condició que estableix l’enunciat del problema plantegem l’equació: x 2 ( x 1)2 265 Desenvolupem la identitat notable: x 2 ( x 1)2 265 m x 2 x 2 2 x 1 265 m 2 x 2 2 x 264 0 Dividint els dos membres de l’última igualtat per 2, obtenim: x 2 x 132 0.

Finalment, resolent aquesta equació de segon grau, s’obtenen les solucions: x 1 11 i x 2 12 .

Si x = 11, el seu consecutiu x + 1 = 12. Si x = –12, llavors el seu consecutiu és –11, ja que: x + 1 = –12 + 1 = –11.

Aquest problema, per tant, té dues solucions: els dos nombres enters són 11 i 12, però també poden ser –12 i –11.

Comprova que, efectivament, aquests dos parells de nombres enters verifiquen les condicions de l’enunciat del problema. És molt important que, en la resolució de problemes, comprovis sempre les solucions obtingudes, per tal de valorar si s’accepten totes, com en el segon problema, o cal bandejar-ne alguna, tal com ha succeït en el cas del primer problema que hem resolt.

73

3

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

activitats resoltes 12. El perímetre d’un rectangle mesura 42 cm i la diagonal, 15 cm. Troba l’àrea del rectangle.

Primer fem un dibuix de la situació geomètrica que ens planteja el problema.

15 cm a cm

b cm

Per calcular l’àrea del rectangle, cal conèixer-ne la longitud de la base i de l’altura.

La longitud de la base expressada en centímetres, l’anomenem b. La longitud de l’altura també en centímetres, l’anomenem a.

La primera condició que estableix l’enunciat és que el perímetre del rectangle ha de mesurar 42 cm. Atès que el perímetre és la suma de les longituds dels quatre costats del rectangle, podem plantejar l’equació:

2a 2b 42 m a b 21 Si et fixes en la figura, pots veure que la base, l’altura i la diagonal del rectangle formen un triangle rectangle, per tant, aquestes tres longituds han de verificar la relació pitagòrica: a 2 b 2 152

Les dues equacions amb dues incògnites que hem plantejat han de verificar-se alhora. Per trobar-ne la solució hem de resoldre el sistema següent:

«a b 21 ¬ 2 2 ­a b 225 Resolem el sistema per substitució:

«b 21 a ¬ 2 2 2 2 2 ­a (21 a ) 225 m a 441 42a a 225 m 2a 42a 216 0 Dividint per 2 els dos membres de l’equació de segon grau, obtenim: a 2 21a 108 0

Resolent aquesta última equació de segon grau s’obté: a1 12 i a2 9 .

Per a cadascuna de les dues solucions obtenim el valor corresponent de b:

a1 12 m b1 21 12 9 a2 9 m b2 21 9 12 Les solucions del sistema són: a1 12 , b1 9 i a2 9 , b2 12 .

En cada cas s’arriba a la mateixa conclusió, que és que les dimensions del rectangle són 12 cm i 9 cm, respectivament.

Comprovem que, efectivament, les dimensions verifiquen les condicions de l’enunciat del problema:

74

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

3

El perímetre del rectangle és: P 2 12cm 2 9cm 24 cm 18cm 42cm .

I la seva diagonal és: d (9 cm)2 (12 cm)2 81 cm2 144 cm2 225 cm2 15cm

13. Un grup d’amics paga 78 € per una entrada col·lectiva per veure una obra de teatre. A l’hora de la representació, dos nois no hi poden anar i cadascun dels altres ha de pagar 6,5 € més del que havien comptat. Quants amics formen el grup inicial? Què hauria pagat cadascun?

El nombre d’amics que formen el grup inicialment l’anomenem x i anomenem y l’import que ha de pagar cadascun, expressat en euros.

Segons la primera condició de l’enunciat, si multipliquem el nombre d’amics que van al teatre per l’import que paga cadascun, obtindrem un import final de 78 €.

Això ens porta a plantejar l’equació: xy 78 .

Segons la segona condició de l’enunciat, si el nombre d’amics disminueix en 2, hi haurà x – 2 amics, llavors l’import que ha de pagar cadascun augmenta en 6,5 €, és a dir, l’import serà y + 6,5. Com que l’import que han de pagar collectivament no ha variat, podem plantejar l’equació: ( x 2)( y 6,5) 78

Les dues condicions de l’enunciat s’han de complir alhora, per tant, ens cal resoldre el sistema: « xy 78 ­( x 2)( y 6,5) 78 m xy 6,5 x 2 y 13 78 m 78 6,5 x 2 y 13 78 Fixa’t que, com que la primera equació és xy 78 , hem substituït el terme xy de la segona equació per 78. Així, arribem a l’equació: 6,5 x 2 y 13.

Podem aïllar la incògnita y de la segona equació i substituir l’expressió obtinguda en la primera de les equacions del sistema: « xy 78 ® 6,5 x 13 ®­6,5 x 2 y 13 m y 2

x

6,5 x 13 6,5 x 2 13 x 78 m 78 m 6,5 x 2 13 x 156 m 6,5 x 2 13 x 156 0 2 2

Dividint els dos membres de l’equació per 6,5 obtenim: x 2 2 x 24 0 .

Les solucions d’aquesta darrera equació són: x 1 6 i x 2 4 .

Atès que hem anomenat x el nombre d’amics que formaven el grup, no podem considerar la solució negativa. Així, l’única solució és x 6 , de la qual s’obté el valor de y: 78 78

13 x 6 Per tant, arribem a la conclusió que el grup inicial el formaven 6 amics i cadascun havia de pagar 13 €. xy 78 m y

75

3

Activitats

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

Proposades 1.

Resol les equacions següents: 1 ´¥ 1 ¥ ´ a) ¦ x µ¦ x µ 0 3 ¶§ 3 § ¶

8. Per a quins valors de c no pots trobar cap nombre real que sigui solució de l’equació x 2 8 x c 0 ?

9. Calcula la suma i el producte de les solucions de l’equació 2 x 2 9 x 5 0 , sense resoldre-la.

3x 2 3x

0 b) 4 8 x2 6 c) 0 2 5 1 d) x 2 5 x 0 2

10. Esbrina el signe de les solucions de l’equació x 2 3 x 1 0 , sense resoldre-la.

11. Escriu una equació de segon grau sabent que la suma de les solucions és –3 i el producte –70. Troba aquestes solucions.

2. Resol: a) ( 4 x 5)2 0

b) 3 x 2 15 0

x 2 1 7 c) 5

d) 2 x (1 x ) 2 x 2

e) ( x 1)2 x 2 x 9

f) (8 x 1)( x 7) 0

3. Resol les equacions següents: 1 a) x 2 2 x 6 0 b) 3 x 2 2 x 1 0 2 c) x (2 x 3) 6 x 2 9 x 1 d) x (1 3 x ) (3 2 x )2 4. Resol: x 1 2x

2 3 3 2 x 1 5( x 1) b)

x 1 x 1 7x c) ( x 3)( x 3) 4

1 12. Busca dos nombres que sumin i que el pro2 ducte dels quals sigui –3.

13. Escriu una equació de segon grau les solucions 1 de la qual siguin 5 i .

2 14. Resol els sistemes d’equacions següents: a)

x2 + y2 = 625 x–y=1

b)

x2 + y2 = 58 x2 – y2 = 40

c)

x–y=2 x2 – y2 = 36

d)

x–y=2 x2 – xy = –6

e)

x + y = 14 (x – 2)(y – 7) = 4

a) x 2

d) (3 x 2)2 ( x 5)2 4 x (2 x 1) 5. Determina el valor de m perquè x 2 sigui solució de l’equació 6 x 2 mx 12 0 .

6. Classifica les equacions següents segons tinguin dues solucions, una solució o no en tinguin cap.

Resol les que tenen solució.

a) x 4 13 x 2 36 0 b) 9 x 4 10 x 2 1 0 c) 3 x 4 x 2 2 0

a) 2 x 2 3 x 1 0

b) 4 x 2 12 x 9 0

d) 25 x 4 x 2 0

c) 3 x 2 6 x 1 0

d) x 2 14 x 49 0

e) 3 x 4 19 x 2 0

e) 15 x 2 x 6 0

f) x 2 x 1 0

f) x 4 x 2 3 0

7. Determina per a quins valors de k l’equació kx 2 6 x 9 0 té una solució doble.

76

15. Resol les equacions següents:

16. Resol les equacions irracionals x 2 x 4 i x 2 x 4 . Què hi observes?

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

Act ivit ats

17. Resol les equacions següents: a) x x 3 x x x 2x 2

c)

3x 4 2x 1 1 26. El perímetre d’un triangle rectangle és de 60 cm.

Troba la longitud dels seus catets si la hipotenusa mesura 26 cm.

d) x x 1 7 x 9 1 x 2

18. Resol les equacions següents: a) 4 x 3 108 0 b) 9 x 3 x 0 c) (3 x 1)( x 4 16) 0 d) ( x 1)( x 3)(2 x 5) 0 e) x 3 5 x 2 0 f) (49 x 2 9)( x 2 4) 0 19. El dividend d’una divisió entera és 1 900. El quocient i el residu són iguals, i el divisor és el triple que el quocient. Quin n’és el divisor?

20. Una parcel·la rectangular té una superfície de 37 500 m2. Si la base mesura 100 m més que l’altura, quines són les dimensions de la parcel·la?

21. Troba el radi de la base d’un con, sabent que l’altura mesura 12 cm i la generatriu 13 cm. Quin és el volum d’aquest con?

22. Troba dos nombres racionals tals que la seva suma sigui 8 i el seu producte, 10.

23. Determina els valors de m i n en els sistemes d’equacions següents, perquè siguin certes les solucions donades: a)

2x – 12 = my xy – 2y = ny2 2

b)

27. La base d’un rectangle mesura 2 cm més que l’altura. Determina’n les dimensions sabent que si augmentem la longitud de la base en 3 cm i disminuïm l’altura en 1 cm, l’àrea del rectangle augmenta en 5 cm2.

28. Troba el radi d’un cercle sabent que el nombre que expressa la seva àrea en centímetres quadrats és igual al nombre que expressa la longitud de la seva circumferència expressada en centímetres.

29. Un comerciant vol vendre una partida de copes de cava per un import de 500 €. En el transport se li trenquen 20 copes, i per compensar la pèrdua ha de vendre cadascuna de les copes que li resten 1,25 € més cara. Quantes copes de cava tenia inicialment?

2 . Si sumem 6 unitats 5 al numerador i restem 4 unitats al denominador, 5 obtenim una nova fracció equivalent a . Deter3 mina la fracció original.

30. Una fracció és equivalent a

31. Un nombre consta de dues xifres que sumen 8.

Quin és aquest nombre si sabem que el producte de les seves xifres és 15?

32. Un dipòsit d’aigua té forma de prisma quadrangular regular amb una capacitat de 4 ·106 l i una altura de 10 m. Troba la longitud del costat del quadrat que fa de base.

si x = 8 i y = 2

2

x + my = 25 x – ny = 0

més. Quantes llaminadures ha comprat? Quin és el preu de cada llaminadura?

25. Troba dos nombres naturals el producte dels quals sigui 168 i la diferència dels seus quadrats, 52.

b)

e)

3

si x = –3 i y = –4

24. Un avi compra llaminadures per als seus néts per valor de 2 €. Si cada llaminadura hagués costat 5 cèntims menys, n’hauria pogut comprar dues

33. Troba les dimensions d’un rectangle sabent que la seva diagonal mesura 17 cm i l’àrea, 120 cm2.

34. Els termes d’una fracció sumen 5. Si sumem aquesta fracció amb el seu numerador el resultat 9 és . De quina fracció es tracta?

2 77

3

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

Act ivit ats

Reforç 1.

Resol les equacions següents: a)

2 2 x 5 x 5( x 2 1) 3

b) 9 x 2 12 x 4 0 c) (2 x 7)(2 x ) 0 2

1´ ¥1 d) ¦ x µ 1 4¶ §2 e) 3 x (2 x ) 2 x ( x 5) f) (2 x 3)2 x ( x 2) 2. Resol: a) 49 x 2 28 x 4 0 2x x 2 b) 2 x 2 2x c) ( x 3)( x 2) 2 x 9 x 1 x

1 x x 1 3x 1 x 2

( x 2)( x 1) e) 2 3

5. Busca el valor de c perquè l’equació: x 2 12 x c 0 tingui dues solucions de manera que una sigui la meitat que l’altra.

6. Sabem que una de les solucions de l’equació 2 2 x 2 x m 0 és x . Troba el valor de m i 3 l’altra solució.

7. La suma dels quadrats de dos nombres naturals senars consecutius és 394. Quins són aquests nombres?

8. Busca dos nombres enters tals que la seva suma sigui –8 i el seu producte –33.

9. Troba una equació de segon grau que tingui com a solucions 6 i –2.

10. Donada l’equació x 2 kx 28 0 , troba el valor de k, sabent que una de les solucions és –7.

d)

f) x 4 25 x 2 0

a) 3 x 2 7 x 2 0

g) 3 x 4 x 2 2 0

b) 2 x 2 3 x 5 0

h) x 4 17 x 2 16 0

c) 4 x 2 4 x 4 0

3. Digues si les afirmacions següents són vertaderes o falses: a) No totes les equacions irracionals tenen una solució fictícia. b) No hi ha cap nombre real que sigui solució de l’equació ( x 2)2 1 . c) Una equació biquadrada pot tenir com a màxim fins a quatre solucions. d) L’equació x 2 3 0 té dues solucions irracionals.

4. Escriu una equació de segon grau que tingui per 1 2 solucions i .

2 3 78

11. Classifica les equacions següents segons tinguin dues solucions diferents, una solució o no tinguin cap solució. Resol les que tenen solució.

12. Determina per a quins valors de m l’equació 2 x 2 8 x m 0 té: a) Una solució doble. b) Dues solucions diferents. c) No té solució.

13. Resol els sistemes d’equacions següents: xy = –6 a) x–y=5 b)

x = 2y x2 + y2 = 45

c)

x = y2 y–2=x

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

Act ivit ats

d)

4x2 – 3y2 = –8 x2 + 3y2 = 13

14. Troba dos nombres la suma dels quals sigui 14 i la suma dels seus quadrats, 100.

15. Troba un nombre tal que el doble del seu quadrat sigui igual a sis vegades aquest nombre.

16. Resol les equacions següents: a) 4 x 4 5 x 2 1 0 b) 6 x 4 7 x 2 2 0 c) x 4 15 x 2 16 0 4

2

d) 8 x x 7 0 e) x 4 8 x 2 9 0 f) x 6 x g) x 2 x 1 2 17. Resol: a) 27 x 3 x 0 3

2

b) x 36 x 0 c) (25 x 2 10 x 1)(2 x 2 32) 0 d) 36 x 4 25 x 2 0 1´ ¥ e) ( x 2 1)(2 x 3) ¦ x µ 0 2¶ § 5 4 3 f) x 13 x 42 x 0 18. Troba dos nombres, sabent que la suma dels seus quadrats és 58 i la diferència dels seus quadrats, 40.

19. Una piràmide quadrangular regular mesura 30 m d’altura. Determina el costat de la base de la piràmide sabent que per construir-la s’han necessitat 2 000 m3 de pedra.

20. Es distribueixen en parts iguals 400 contes entre uns quants nens. Si hi hagués quatre nens menys, cadascun d’ells rebria 5 contes més. Quants nens hi ha? Quants contes rebrà cadascun?

21. En un triangle rectangle la longitud d’un dels ca3 tets és de la longitud de la hipotenusa, i l’altre 5 catet mesura 5 cm menys que aquesta. Quina és l’àrea d’aquest triangle?

22. Determina dos nombres enters consecutius el producte dels quals sigui 240.

23. L’àrea d’un rectangle és 48 m2 i la seva diagonal mesura 10 m. Quant mesura el perímetre del rectangle?

24. Troba un nombre natural tal que en sumar-hi 3 unitats i multiplicar aquesta suma pel nombre que resulta de restar-hi 4 unitats doni com a producte 44.

25. Per tancar una finca rectangular de 4 200 m2 de superfície s’han utilitzat 260 m de filat. Quines dimensions té la finca?

26. Calcula les longituds dels costats d’un triangle rectangle sabent que un catet mesura 3 mm més que l’altre i que la hipotenusa fa 3 mm més que el catet gran.

27. La diagonal gran d’un rombe mesura 12 cm. Si el costat del rombe té la mateixa longitud que la diagonal petita, quina és la longitud del perímetre del rombe? I la seva àrea?

Ampliació 1.

+

1 2x 2 x 1 x 6x 5 x 2 2 x 2 1 x 7

1 e) 3 4 12 d)

Resol: 2

3´ ¥1 a) ¦ x µ 3 4¶ §2 b)

3

3( x 2)( x 5) 48 ( x 6)( x 4) 7

c) (3 x 2)2 1 ( x 1)2

2. Esbrina per a quins valors de m l’equació 2 x 2 mx 2 0 té per solució dos nombres reals diferents.

79

3

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

3. Té solucions reals una equació de segon grau amb tots els coeficients iguals? Posa’n un exemple.

Act ivit ats

d) x 2 ( x 3 27)( x 2 9) 0 e) ( x 2 4)2 1

4. Escriu una equació de segon grau les solucions de la qual siguin 3 2 i 3 2 .

5. Escriu una equació de segon grau de solucions 1 –7 i i que el coeficient de x2 sigui –3.

2 6. Determina les solucions i el valor de m en l’equació 3 x 2 8 x m 0 , sabent que la diferència entre les solucions és 3.

7. En l’equació mx 2 6 x 5 0 , una de les solucions és cinc vegades l’altra. Quin és el valor de m? Quines són les seves solucions?

8. Resol les equacions literals següents: a) x 2 2bx b 2 0 b) x 2 7ax 12a 2 0 9. Resol els sistemes d’equacions següents: 2

2

a)

(x + 1) + (y + 1) = 52 2(x + 4) + 3(y – 2) = 23

b)

xy = 2 (x + y)2 – (x – y) 2 = 8

« 4( y 2 x 2 ) 3 ® c) 1 ®­ xy 2 «x y d) ¬ 2 2 ­ x y 90 10. Resol les equacions següents: x 2 32 28 2 a) 4 x 8 b) ( x 2 2)2 ( x 3)( x 3) 6x 2 2 4x 2 3 c) x2 80

f) 125 x 7 x 4 0 11. Resol: a)

2x 4 3x 2 2

b)

x x 3 3

c)

1 1 3 x 2

12. Resol l’equació de sisè grau x 6 9 x 3 8 0. Transforma-la en una equació de segon grau utilitzant el canvi d’incògnita x3 = t.

13. Troba una equació biquadrada que tingui per 1 1 solucions: 2, –2, i .

3 3 14. La suma de dos nombres és 34. Troba quins són si la suma del gran i l’arrel quadrada del petit és 22.

15. El resultat de dividir dos nombres és 3. Quins són aquests nombres si sabem que el resultat de dividir la diferència dels seus quadrats entre la suma dels nombres és 6?

16. Si el radi d’un cercle augmenta 2 cm, l’àrea augmenta 20 π cm2. Troba el radi i l’àrea d’aquest cercle.

17. Quina és l’edat d’en Joan sabent que d’aquí a 4 anys serà un quadrat perfecte i que fa 38 anys era exactament l’arrel quadrada d’aquest quadrat?

18. Els perímetres de dos quadrats es diferencien en 8 m i les seves àrees, en 20 m2. Quina és la longitud del costat de cada quadrat?

19. La superfície d’una corona circular és 12 cm2 i la longitud del radi del cercle petit mesura 2 cm.

Quant mesura el radi del cercle gran?

EQUACIONS I SISTEMES DE SEGON GRAU

Act ivit ats

3

Avaluació Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses.

11. Les solucions de l’equació x 4 3 x 0 són x 1 4 i x 2 3

1. Les dues solucions de l’equació x 2 3 x 1 0, tenen el mateix signe.

12. El discriminant de l’equació 15 x 2 x 6 0 és $ 361.

2. Les solucions de l’equació 12 x 2 11x 2 0 són:

13. L’equació 3 x 2 21 0 té dues solucions:

x1

x1 7 i x 2 7 .

2 1 i x2 .

3 4

2

3. Existeix algun valor de c perquè l’equació x 2 4 x c 0 tingui com a solució x 1 3 i x 2 1.

4. Si x1 i x2 són les solucions de l’equació de segon c grau ax 2 bx c 0 , llavors x 1 x 2 . a 5. Una equació biquadrada sempre té 4 solucions reals.

6. 3 x 4 2 3 x 1 m 9 x 4 4 3 x 1.

14. L’equació x 2 k té, per a qualsevol valor de k, alguna solució real.

15. Si el discriminant d’una equació de segon grau és igual a zero, l’equació té una solució doble.

16. Les solucions de l’equació 9 x 4 40 x 2 16 0 són: 2 2 2, –2, i .

3 3 17. L’equació

2x 6 x 1 no té solució real. x 4

7. Totes les equacions irracionals tenen una solució fictícia.

18. Podem afirmar que totes les equacions de segon grau del tipus ax 2 bx c 0 amb a > 0 i c < 0 tenen dues solucions diferents.

8. No hi ha cap nombre real que sigui solució de l’equació ( x 7)2 2 .

19. Les solucions de l’equació ( x 2 3 x 2)( x 2 3) 0 són –1, –2, 3 i 3 .

9. L’equació x 2 12 0 té dues solucions irracionals.

20. Per resoldre l’equació irracional cedim de la manera següent:

10. L’equació x 3 27 0 no té solució real.

x 2 4 3 , pro-

x 2 4 3 m x 2 3 m x 1.

81