60.6. Problema. Fractales. Triángulo de Sierpinski

Problema: Se deja caer una pelota desde 16 m de altura y, cada vez que rebota, sube la mitad de la altura. ¿Qué distancia vertical recorre la pelota en total hasta el 4º bote? ¿Y hasta el 5º bote? Ayúdate de un dibujo. ¿Y con infinitos rebotes?

Problema: Cuánto suman los 10 primeros números naturales? ¿Y los 10 primeros impares?. Vamos a complicarlo, pero no mucho. ¿Cuánto suman los 100 primeros números naturales? ¿Y los 100 primeros impares?. Por cierto, si consideramos los naturales, que hay más ¿números naturales o números naturales impares?

Problema. ¿En qué cifra acaba 390? ¿Y el producto de 390·550?

Problema. Consideremos la siguiente sucesión de triángulos equiláteros, en el que el primero tiene de lado 1 m, y donde en cada iteración, el triángulo se forma uniendo los puntos medios del anterior. Así, obtenemos la siguiente sucesión:

¿Cuál sería la suma de estas 4 áreas? ¿Y la suma de los 10 primeras iteraciones? ¿Y la de las 30 primeras iteraciones?

60.6. Problema. Fractales. Triángulo de Sierpinski.

El triángulo de Sierpinski es lo que se llama un “fractal”. Un fractal es un “ente geométrico” en el que existe un patrón, el cual se va repitiendo a distintas escalas. Por decirlo de una manera sencilla, si lo miramos desde lejos vemos un patrón y, conforme vamos haciendo sucesivos zoom, va apareciendo una y otra vez ese patrón. Por ello, debe tener una forma algorítmica (¿sencilla?) de construirse.

El término “fractal” fué propuesto por Mandelbrot, que deriva del latín “fractus” y significa roto. Por ejemplo, el conjunto de Mandelbrot a la derecha (pixabay). En la naturaleza aparece, por ejemplo, en los helechos, en los girasoles, el crecimiento de cristales, ….

Ejercicio. Busca en Internet distintos fractales que aparezcan en la naturaleza.

Supongamos que el triángulo equilátero primero de la figura es 1 u 2. En la 1ª iteración, se divide en 4 triángulos equiláteros iguales, uniendo los puntos medios de cada lado (y, por favor, os aseguro que todos los triángulos en los que voy dividiendo el triángulo anterior son equiláteros e iguales, aunque parezca lo contrario).

Y si repito este proceso infinitas veces, obtengo el triángulo de Sierpinski. Este dibujo si es tá mejor, no es como el mío. Es de pixabay.

Volvamos a mis dibujos:

¿Cuál es el área de cada uno de los triángulos coloreados y blancos en cada iteración dibujada?

¿Cuál es la suma de las áreas de los triángulos coloreados y blancos, considerando las iteraciones dibujadas? ¿Cuál es la suma de estos triángulos coloreados y blancos en la iteración 10? ¿Cuál es la suma de los triángulos coloreados y blancos en infinitas iteraciones?

Problema. La descomposición del isótopo estroncio 90 viene dada por: N(t) = N0·e-0.024·t donde t está expresado en años, N0 es el número de núcleos inicial del isótopo, N(t) el de isótopos radiactivos transcurridos un número t de años y “e”, es un número irracional llamado constante de Euler, de valor aproximado 2,718, y que más adelante lo trataremos más profundamente.

Supongamos que la cantidad inicial de estroncio es de 100 gr. ¿Cuál será la cantidad que quedará cuando pasen 10 años? ¿Y cuando pasen 100 años? ¿cuándo quedarán 5 gr? Representa la función con geogebra y observa como funciona la descomposición de dicho isótopo.