vectores y escalares

VECTORES Y ESCALARES

PROFESOR: LIC. EMILIANO MURILLO

¿QUÉ ES UNA MAGNITUD FÍSICA? UNA MAGNITUD FÍSICA ES AQUELLA DONDE SE PUEDE ENCONTRAR UN NÚMERO, UNA UNIDAD DE MEDICIÓN Y EN ALGUNOS CASOS UNA DIRECCIÓN.

LAS MAGNITUDES FÍSICAS SE CLASIFICAN EN :  BÁSICAS  DERIVADAS

MAGNITUDES FÍSICAS BÁSICAS Magnitud

Nombre

Símbolo

Tiempo

segundo

s

Longitud

metro

m

Masa

Kilogramo

kg

Temperatura

Kelvin

K

Intensidad de la luz

Candela

cd

Cantidad de sustancia

Mole

mol

MAGNITUDES FÍSICAS DERIVADAS Magnitud

Nombre

Símbolo

Área

metro cuadrado

m2

Fuerza

Newton

N

Velocidad

Metros entre segundos

m/s

Aceleración

metros sobre segundos al cuadrado

m/s2

Potencia

Watt

W

Trabajo Densidad

Joule kilogramo entre metros cúbicos

J kg/m3

MAGNITUDES FÍSICAS ESCALAR

VECTOR

FORMADO POR UN NÚMERO Y FORMADO POR UN NÚMERO, UNA UNIDAD.

UNA UNIDAD Y UNA DIRECCIÓN.

Ejemplos: Trabajo: 30 J Distancia : 200 m Tiempo: 5 h Potencia: 65 W Masa: 49 kg

Ejemplos: Desplazamiento: 100 m al sur Aceleración: 72m/s2, 62° Velocidad: 25 m/s; N-16°- E

Fuerza: 210 N hacia arriba

MÉTODO GRÁFICO Y ANALÍTICO DE VECTORES. PROFESOR: LIC. EMILIANO MURILLO

¿QUÉ ES VECTOR? SE LLAMA VECTOR A UN SEGMENTO DE RECTA EN EL ESPACIO QUE PARTE DE UN PUNTO HACIA OTRO, ES DECIR, QUE TIENE DIRECCIÓN Y SENTIDO.

LOS VECTORES SE REPRESENTAN GRÁFICAMENTE CON UNA FLECHA. ASIMISMO, CUANDO DEBEN SER EXPRESADOS EN UNA FÓRMULA, SE REPRESENTAN CON UNA LETRA CORONADA POR UNA FLECHA.

MAGNITUDES VECTORIALES

EJEMPLOS  VELOCIDAD

 DESPLAZAMIENTO SON AQUELLAS MAGNITUDES QUE, ADEMÁS

 ACELERACIÓN

DE REPRESENTARSE CON UN NÚMERO Y UNA

 IMPULSO

UNIDAD,

SER

 FUERZA

UNA

 PESO

REQUIEREN

EXPRESADAS

EN

EL

TAMBIÉN ESPACIO

CON

DIRECCIÓN Y UN SENTIDO, ES DECIR, CON UN

 POTENCIA

VECTOR.

 CAMPO ELÉCTRICO  CAMPO MAGNÉTICO  CAMPO GRAVITATORIO  ENERGÍA TÉRMICA  TORQUE  MOMENTUM

CARACTERÍSTICAS DE LOS VECTORES

REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR

 Módulo o magnitud o valor de un vector: se refiere a la longitud o amplitud del vector o segmento de recta. (Es el tamaño o valor numérico del vector).  Dirección: se refiere a la inclinación que posee el vector con respecto a un eje horizontal imaginario, con el cual forma un ángulo (cuantos grados gira el vector)

 Sentido: se refiere a la orientación del vector, indicado por la cabeza de la flecha del vector ( norte, sur, arriba, abajo, derecha).  Punto de origen o punto de aplicación: Es el punto del vector. https://phet.colorado.edu/sims/html/vectoraddition/latest/vector-addition_es.html

EJEMPLO CUANDO PRIMERO

UN

AVIÓN

DEBE

VA

A

DESPEGAR

RECORRER

CIERTA

DISTANCIA PARA ALCANZAR UN IMPULSO,

PARA LO QUE DEBE LLEVAR BIEN CLARA LA DIRECCIÓN DE ELEVACIÓN Y SU SENTIDO PARA UNA VELOCIDAD CORRECTA, SIN QUE OCURRA ALGÚN INCIDENTE.

Magnitud: 40 m/s Sentido: este Dirección: 56º

VIDEO

TIPOS DE VECTORES  Vectores paralelos: Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas, en un mismo sentido.

Vectores iguales o equivalentes: Son aquellos vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido aunque no tengan el mismo punto de aplicación (θ).

TIPOS DE VECTORES  Vectores fijos: Son aquellos vectores que no deben deslizarse sobre su línea de acción porque lo que interesa es que el origen coincida con un punto de aplicación del sistema como la intensidad del campo gravitatorio.

Vectores consecutivos: Son aquellos vectores donde el término de uno coincide con el origen del siguiente y así sucesivamente.

TIPOS DE VECTORES Vectores deslizantes o coloniales: Son aquellos vectores que pueden moverse sobre su línea de acción sin cambiar su magnitud y dirección (fuerza sobre una caja).  Vectores opuestos: Se define como aquel que tiene la misma magnitud del vector y se representa como el negativo del vector, por lo cual se les llama vectores iguales y opuestos o antiparalelos. Un vector puede ser opuesto a otro si solo tiene sentido contrario

TIPOS DE VECTORES  Vectores libres: Son aquellos vectores que pueden moverse libremente en el espacio con sus líneas de acción paralelas, como la velocidad de la luz en el vacío.

 Vectores concurrentes o angulares: Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se intersecan en un punto.

Vectores coplanarios: son aquellos que están en un mismo plano.

TIPOS DE VECTORES Vectores nulos: son aquellos donde origen y extremo coinciden y, por lo tanto, el módulo o magnitud es igual a 0.

Vectores unitarios: son aquellos cuyo módulo es igual a 1.

Vectores axiales o pseudovectores: son los que están ligados a efectos de giro. La dirección señala el eje de rotación del segmento.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN VECTOR Es una gráfica, se representa con una flecha ubicada en un eje de coordenadas. A través de la flecha se puede identificar cada uno de los elementos que lo conforman.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN VECTOR

VIDEO GRÁFICA DE UN VECTOR

MAGNITUD, MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN VECTOR. La magnitud del vector se representa de dos formas, sea con valor numérico │𝑏│o solamente como b. Para poder medir el tamaño de la recta del vector es necesario utilizar: a) Par ordenado o una gráfica (x, y). b) Teorema de Pitágoras │𝑏│ = (x2 +y2 ).

│𝒃│= 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

MAGNITUD, MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN VECTOR.

MAGNITUD, MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN VECTOR.

MAGNITUD, MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN VECTOR.

VIDEO: MAGNITUD, MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN VECTOR.

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Las componentes de un vector o también llamadas componentes

vectoriales permiten calcular los valores del par ordenado (x,y) que conforman un vector. Se utiliza:

Para los componentes “X”, calcula con la fórmula: X cos Ɵ

se

Para calcular los componentes “Y”, se calcula con la fórmula: Y sen Ɵ

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Las componentes de un vector o también llamadas componentes

vectoriales permiten calcular los valores del par ordenado (x,y) que conforman un vector. Se utiliza:

Para los componentes “X”, calcula con la fórmula: X cos Ɵ

se

Para calcular los componentes “Y”, se calcula con la fórmula: Y sen Ɵ

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

VIDEO: COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

DIRECCIÓN DE UN VECTOR Existen dos formas de dar la dirección de un vector:  Puntos cardinales: Se toma como punto de referencia los cuatro puntos cardinales y los grados de una circunferencia.

PASOS: Primero se anota el punto cardinal: SIEMPRE sale del ESTE Se escribe el ángulo que se forma. Por último el otro punto cardinal.

DIRECCIÓN DE UN VECTOR

DIRECCIÓN DE UN VECTOR

 Coordenadas polares: La magnitud del vector más la medida del ángulo forman una coordenada polar, y se necesita saber las componentes del vector, es decir, una gráfica o un par ordenado.

VIDEO: DIRECCIÓN DE UN VECTOR

CALCULOS MATEMÁTICOS PARA VECTORES Para calcular las componentes de un vector, necesitamos conocer previamente las coordenadas de su origen y de las coordenadas de su extremo, ya que se calcularan a partir de éstas.

Es necesario aplicar métodos gráficos o analíticos, donde es importante el módulo, la dirección y el sentido de los vectores.

A. Método analítico: Se requiere de los pares ordenados de dos o más vectores, los cuales emplearán un método o teorema específico para cada caso: ejemplo: teorema de Pitágoras y método de teoremas (caso del paralelogramo)

CALCULOS MATEMÁTICOS PARA VECTORES

I. Teorema de Pitágoras: cuando se forma un ángulo de 90° o recto se usa este procedimiento para obtener el vector resultante : 𝐑 Magnitud del vector resultante: 𝐑 =

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

►Ejemplo 1: Cuando nos dan las magnitudes de cada vector, sea

en dibujo o en problema.

Solución: a) Dunia es una atleta muy esforzada. Buscando siempre mejorar sus tiempos realiza todas las mañanas una rutina de calentamiento que consiste en recorrer 120 m al este y 200 m al sur de su casa para disminuir su tiempo 1. Magnitud del vector resultante: 𝐑 = 𝐠 𝟐 + 𝒅𝟐 Magnitud del vector resultante: 𝐑 =

(𝟏𝟐𝟎)𝟐 +(𝟐𝟎𝟎)𝟐

CALCULOS MATEMÁTICOS PARA VECTORES Magnitud del vector resultante: 𝐑 =

𝐑=

(𝟏𝟐𝟎)𝟐 +(𝟐𝟎𝟎)𝟐

𝐑=

(𝟏𝟒𝟒𝟎) +(𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎)

𝐑 = 𝟒𝟎 𝟑𝟒

𝐠 𝟐 + 𝒅𝟐

𝐑 = 𝟐𝟑𝟑𝐦

2. Ángulo del vector resultante: θ= 𝒕𝒂𝒏−𝟏

θ = 𝒕𝒂𝒏−𝟏

(𝐝) 𝐠

θ = 𝒕𝒂𝒏−𝟏

(𝟐𝟎𝟎) 𝟏𝟐𝟎

(𝐲) 𝐱

= 𝟓𝟗°

R/ La magnitud del vector 𝐑 es de 233 m, 59° ó 233m. E- 59°-S

CALCULOS MATEMÁTICOS PARA VECTORES Ejemplo 2: Cuando nos dan las componentes vectoriales o perpendiculares 𝒏 = 𝟎, 𝟑

𝒒 = ˗𝟒, ˗𝟑

𝒐 = 𝟏, 𝟓

Solución: Realice el cálculo para la resultante X y la resultante Y

CALCULOS MATEMÁTICOS PARA VECTORES 1. Magnitud del vector resultante: 𝐑 = 𝐑=

(˗𝟑𝒎)𝟐 + (𝟐𝒎)𝟐

𝐑=

(𝑹𝒙 )𝟐 + (𝑹𝒚 )𝟐

2. Ángulo del vector resultante: θ = 𝒕𝒂𝒏−𝟏

θ=

−𝟏 (𝟐) 𝒕𝒂𝒏 ˗𝟑

𝐑 = 𝟏𝟑𝒎

(𝟗𝒎) + (𝟒𝒎) (𝐲) 𝐱

θ=

−𝟏 (𝑹𝒚 ) 𝒕𝒂𝒏 𝑹 𝒙

= −𝟑𝟒° 𝐨 𝟏𝟒𝟔°

3. Gráfica del vector resultante: Se toman las componentes del vector resultante. En este ejemplo son Rx = -3 Ry = 2 𝐑=

(˗𝟑𝒎)𝟐 + (𝟐𝒎)𝟐

𝐑 = 3,6 m ≈ 4 m

R/ la magnitud del vector 𝐑 𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝟒 𝐦, 𝐎 𝟑𝟒°𝐍 𝐨 𝟏𝟒𝟔°

𝐑 = 3,6 m ≈ 4 m

CALCULOS MATEMÁTICOS PARA VECTORES II. Método de teoremas (caso del paralelogramo): Se busca el vector resultante, para vectores que formen ángulos de cualquier tamaño:

Vector resultante: Teorema de cosenos 𝐑=

𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃𝒄𝒐𝒔 θ

Medida del ángulo: Teorema de seno

β = 𝒔𝒊𝒏−𝟏

𝒃𝒔𝒊𝒏 θ 𝑹

CALCULOS MATEMÁTICOS PARA VECTORES Vector resultante: Teorema de cosenos 𝐑=

Medida del ángulo: Teorema de seno

𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃𝒄𝒐𝒔 θ

β = 𝒔𝒊𝒏−𝟏 𝐑=

𝟏𝟓𝟐

+

𝟑𝟓𝟐

− 𝟐 × 𝟏𝟓 × 𝟑𝟓 × 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟎𝟎

𝐑 = 40,40 m = 40 m

β=

𝒃𝒔𝒊𝒏 θ

𝑹

𝟑𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟎𝟎 −𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟒𝟎

β = 59,51° = 60°

R/ La magnitud del vector 𝐑 𝐞𝐬 𝐝𝐞 40 m, 60°

CALCULOS MATEMÁTICOS PARA VECTORES B. Método gráfico: Se suman o restan las magnitudes de los vectores respectivos de dos formas: I. Método paralelogramo: Se realiza una proyección de los lados paralelos de los vectores ubicados en forma concurrente. El vector resultante es la recta que se forma entre el punto de origen y el punto final de la proyección.

CALCULOS MATEMÁTICOS PARA VECTORES

CALCULOS MATEMÁTICOS PARA VECTORES

II. Método del polígono: Se usa cuando se suman de forma sencilla más de dos vectores, los cuales deben colocarse de forma consecutiva (uno después del otro).

GRACIAS