Mathema 2 sample

Marina Ferreri

MÀthema Esercizi di Matematica

{} = → √‾

+ : 2

Trevisini Editore

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Indice

Indice 1. Disequazioni di primo grado ������������������ 5

Esercizi svolgere ����������������������������������������������������� 51

1. Principi di equivalenza delle disequazioni ����������������������������������������������������� 6 2.

Risoluzione di una disequazione lineare numerica intera ���������������������������������������� 7 3.

Lo schema dei segni: risoluzione di disequazioni lineari fratte e di grado superiore fattorizzabili ���������������� 7 4.

Risoluzione di una disequazione lineare letterale ����������������������������������������������������������� 9 5.

Sistemi di disequazioni �������������������������������������� 10 Esercizi da completare �������������������������������������� 11 Mappa concettuale ����������������������������������������������� 12 Esercizi svolti ������������������������������������������������������������ 13 Esercizi da svolgere ��������������������������������������������� 15 Scheda di verifica �������������������������������������������������� 17

Scheda di verifica �������������������������������������������������� 53

2. I radicali ������������������������������������������������������������������������������ 21 1. Proprietà e algebra dei radicali �������������������� 22 2. Operazioni con i radicali ���������������������������������� 23 Mappa concettuale ����������������������������������������������� 24 Esercizi svolti ������������������������������������������������������������ 25 Esercizi da svolgere ��������������������������������������������� 26 3. Razionalizzazione ��������������������������������������������������� 27 4. Radicali doppi ����������������������������������������������������������� 28 Esercizi svolti ������������������������������������������������������������ 28 Esercizi da svolgere ��������������������������������������������� 29 5. Potenze con esponente razionale ��������������� 30 Esercizi svolti ������������������������������������������������������������ 30 Esercizi da completare �������������������������������������� 31 Esercizi da svolgere ��������������������������������������������� 31 Scheda di verifica �������������������������������������������������� 33

Esercizi di approfondimento ���������������������� 55

4. Il piano cartesiano ����������������������������������������������� 56 1. Generalità sul piano cartesiano ������������������� 56 2. Funzione lineare ������������������������������������������������������ 57 3. Richiami alle principali formule relative alla retta ������������������������������������������������������ 59 Esercizi svolti ������������������������������������������������������������ 60 4. Applicazioni ���������������������������������������������������������������� 60 Esercizi svolti ������������������������������������������������������������ 61 Esercizi da completare �������������������������������������� 63 Esercizi da svolgere ��������������������������������������������� 64 Scheda di verifica 1 ���������������������������������������������� 65 5. Risoluzione grafica di un sistema lineare in due incognite ������������������������������������ 69 Esercizi da svolgere �������������������������������������������� 70 Scheda di verifica 2 ���������������������������������������������� 71

5. Equazioni di secondo grado ���������������� 72 1. Equazioni frazionarie e letterali ������������������ 73 Esercizi svolti ������������������������������������������������������������ 74 Esercizi da completare �������������������������������������� 74 2. Relazioni tra i coefficienti e le soluzioni di un’equazione ���������������������� 75 Esercizi svolti ������������������������������������������������������������ 75 Mappa concettuale ����������������������������������������������� 76 Esercizi da svolgere ��������������������������������������������� 77 Scheda di verifica 1 ���������������������������������������������� 79

3. Sistemi lineari ������������������������������������������������������������ 43

3. La parabola ������������������������������������������������������������������ 83

1. Soluzioni di un sistema lineare �������������������� 43

Esercizi da completare �������������������������������������� 84

2. Metodi di risoluzione di un sistema lineare numerico ����������������������������������������������������� 44

Esercizi da svolgere ��������������������������������������������� 85

3 Sistemi lineari letterali ���������������������������������������� 47 Mappa concettuale ����������������������������������������������� 48

4. Equazioni di grado superiore al secondo ��������������������������������������������������������������������� 88 Esercizi svolti ������������������������������������������������������������ 88

Esercizi svolti ������������������������������������������������������������ 49

Esercizi da svolgere ��������������������������������������������� 89

Esercizi da completare �������������������������������������� 50

Esercizi di approfondimento ���������������������� 90

4 Sistemi frazionari ���������������������������������������������������� 47

Scheda di verifica 2 ���������������������������������������������� 86

3

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Indice

6. Disequazioni di secondo grado ������ 91

8. Geometria euclidea ��������������������������������������� 124

1. Disequazioni intere di secondo grado numeriche �������������������������������������������������������������������� 91 2. Disequazioni intere di secondo grado letterali ���������������������������������������������������������������������������� 93 3. Disequazioni intere di grado superiore al secondo �������������������������������������������������������������������� 93 4. Disequazioni fratte e sistemi di disequazioni ��������������������������������������������������������� 94 Esercizi da completare ������������������������������������� 96 Mappa concettuale ���������������������������������������������� 97 Esercizi svolti ����������������������������������������������������������� 97 Esercizi da svolgere �������������������������������������������� 99 Esercizi di approfondimento ������������������ 101 Scheda di verifica ���������������������������������������������� 102

1. La circonferenza e il cerchio ���������������������� 124

7. Equazioni e disequazioni irrazionali e modulari ���������������������������������� 108 1. Equazioni irrazionali ��������������������������������������� 108 2. Disequazioni irrazionali �������������������������������� 109 3. Equazioni modulari ������������������������������������������ 111 4. Disequazioni modulari ����������������������������������� 111 Esercizi da completare ���������������������������������� 113 Mappa concettuale ������������������������������������������� 114 Esercizi svolti �������������������������������������������������������� 114 Esercizi da svolgere ����������������������������������������� 117 Esercizi di approfondimento ������������������ 118 Scheda di verifica ���������������������������������������������� 119

2. Poligoni inscritti e circoscritti ������������������ 126 Mappa concettuale ������������������������������������������� 126 Esercizi da completare ���������������������������������� 127 Esercizi svolti �������������������������������������������������������� 128 Esercizi da svolgere ����������������������������������������� 129 Scheda di verifica 1 ������������������������������������������ 130 3. Equivalenza ������������������������������������������������������������� 136 Mappa concettuale ������������������������������������������� 137 4. Teoremi di Pitagora ed Euclide ��������������� 138 Esercizi da completare ���������������������������������� 139 Esercizi svolti �������������������������������������������������������� 140 Esercizi da svolgere ����������������������������������������� 141 Scheda di verifica 2 ������������������������������������������ 142 5. Le similitudini ������������������������������������������������������� 146 Esercizi da completare ���������������������������������� 148 Esercizi svolti �������������������������������������������������������� 149 Esercizi da svolgere ����������������������������������������� 150 Scheda di verifica 3 ������������������������������������������ 151 6. Problemi di secondo grado ������������������������� 155 Esercizi svolti �������������������������������������������������������� 155 Esercizi da svolgere ����������������������������������������� 156 Scheda di verifica 4 ������������������������������������������ 157

4

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CAPITOLO

Disequazioni di primo grado

1

1. Principi di equivalenza delle disequazioni

3. Lo schema dei segni: risoluzione di disequazioni lineari fratte e di grado superiore fattorizzabili

2. Risoluzione di una disequazione lineare numerica intera

4. Risoluzione di una disequazione lineare letterale 5. Sistemi di disequazioni

TEORIA IN SINTESI Una disequazione nella variabile x è una disuguaglianza del tipo a( x ) > b( x ) ,

a( x ) ≥ b( x ) ,

a( x ) < b( x ) ,

a( x ) ≤ b( x ) ,

dove a( x ) e b ( x ) sono espressioni algebriche nell’incognita x , dette rispettivamente primo e secondo membro della disequazione. Ci si riferisce ai simboli > (maggiore), < (minore), ≥ (maggiore o uguale), ≤ (minore o uguale) come al verso della disequazione. I valori di x che soddisfano le C.E. di a( x ) e b ( x ) e che rendono vera la disuguaglianza si dicono soluzioni della disequazione.

Come hai già visto per le equazioni, anche le disequazioni possono essere dei seguenti tipi:

• intere, se l’incognita x compare solo a numeratore in a( x ) e b( x ); • fratte, se l’incognita x compare anche a denominatore in a( x ) e b( x ); • numeriche, se oltre all’incognita x l’equazione contiene solo numeri; • letterali, se oltre all’incognita x , l’equazione contiene numeri e altre lettere, dette parametri.

Le soluzioni delle disequazioni, nella maggior parte dei casi, sono infinite e costituiscono intervalli o unioni di intervalli. Classifichiamo i diversi tipi di intervalli, rappresentandoli anche graficamente sulla retta reale:

Intervalli limitati

aperto

( a; b )

a< x <b

a

b

aperto a sinistra, chiuso a destra

( a; b ]

a< x ≤b

a

b

chiuso a sinistra, aperto a destra

[ a; b )

a≤ x <b

a

b

chiuso

[ a; b ]

a≤ x ≤b

a

b

5

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

illimitato superiormente Intervalli illimitati

illimitato inferiormente

aperto

(a; +∞ )

x >a

a

chiuso

[a; +∞ )

x ≥a

a

aperto

( −∞; a )

x <a

a

chiuso

( −∞; a ]

x ≤a

a

( −∞; +∞ )

∀x ∈

superiormente e inferiormente

Osserviamo sin da ora che vi sono anche disequazioni che hanno come soluzione un solo valore numerico e disequazioni che non ammettono alcuna soluzione.

Esempi:

• La disequazione ( x − 1)2 ≤ 0 ammette come soluzioni quei valori di x tali che il quadrato della quan-

tità x −1 sia negativo o nullo: poiché il quadrato di un numero reale non può essere negativo, l’unica 2 possibilità è che sia nullo. Allora l’insieme delle soluzioni della disequazione ( x − 1) ≤ 0 coincide con 2 quello dell’equazione ( x − 1) = 0 e quindi si riduce al valore x = 1.

• La disequazione ( x − 1)2 < 0 non ammette invece alcuna soluzione: S = ∅ insieme vuoto.

1. Principi di equivalenza delle disequazioni

Come per le equazioni, anche la risoluzione delle disequazioni prevede l’utilizzo di due principi di equivalenza e di alcune regole operative che ne conseguono al fine di scrivere disequazioni progressivamente “più semplici”, tutte equivalenti a quella di partenza, ossia aventi lo stesso insieme di soluzioni.

Tali principi sono mutuati dalle proprietà che valgono per le disuguaglianze numeriche.

1

Primo principio di equivalenza. Sommando o sottraendo a entrambi i membri di una disequazione una stessa espressione algebrica, si ottiene una disequazione equivalente a quella data: a( x ) ≥ b( x ) ⇔ a( x ) ± f ( x ) ≥ b( x ) ± f ( x )

In particolare, valgono anche per le disequazioni le seguenti regole operative:

• trasporto → si può spostare un termine da un membro all’altro di una disequazione cambiandone il segno;

• cancellazione → due termini uguali che compaiono uno nel 1o membro e uno nel 2 o membro di una disequazione possono essere soppressi.

Il primo principio consente sempre di riportare una disequazione nella sua forma normale, ossia una delle seguenti: P ( x ) > 0, P ( x ) ≥ 0, P ( x ) < 0, P ( x ) ≤ 0 , con P ( x ) polinomio.

2

Secondo principio di equivalenza. Si ottiene una disequazione equivalente a quella data moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per:

• una stessa espressione algebrica sempre positiva MANTENENDO il verso della disequazione;

• una stessa espressione algebrica sempre negativa INVERTENDO il verso della disequazione.

In particolare, il secondo principio vale se si moltiplicano entrambi i membri per un numero positivo o negativo.

6

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

Esempi: 3x 6 < ⇔ x < 2: avendo diviso per 3, quantità positiva, abbiamo mantenuto il verso 3 3 della disequazione;

3 <6⇔ a. x

−2 x 8 ≥ ⇔ x ≥ −4: avendo diviso per −2 , quantità negativa, abbiamo invertito il −2 −2 verso della disequazione (da ≤ a ≥);

b. −2 x ≤ 8 ⇔

c. − x − 1 > 4 x − 3 ⇔ ( − x − 1) ⋅( −1) < ( 4 x − 3) ⋅( −1) ⇔ x + 1 < −4 x + 3 Come si vede dall’esempio c., vale la seguente regola operativa: si può cambiare il segno a tutti i termini di entrambi i membri di una disequazione, a patto di cambiarne anche il verso.

2. Risoluzione di una disequazione lineare numerica intera Applicando i principi di equivalenza delle disequazioni e le conseguenti regole operative, vediamo come risolvere le disequazioni lineari intere attraverso alcuni esempi. x 2− x ≤1− 3 12 28 −24 + x 12 − 4 ( 2 − x ) −3x 28 ≥ ⇔x ≥− ≤ ⇔ −24 + x ≤ 12 − 8 + 4 x ⇔ −3x ≤ 28 ⇔ 3 12 12 −3 −3

Esempio: −2 +

La disequazione ammette quindi come soluzione il seguente intervallo illimitato superiormente e chiuso: 28 S = − ; + ∞  3

) oppure S = {x ≥ − 283}

Esempio: x 2 + 4 ( 2 x − 3) < ( x + 4 ) ⇔ x 2 + 8 x − 12 < x 2 + 8 x + 16 ⇔ 0 x < 28 ⇔ ∀x ∈ 2

Essendo 0 minore di 28, qualsiasi numero reale sostituito alla variabile x rende vera la disuguaglianza, quindi l’insieme delle soluzioni è S = ( −∞ ; +∞ ) = .

3. Lo schema dei segni: risoluzione di disequazioni lineari fratte e di grado superiore fattorizzabili In questo paragrafo impariamo una tecnica risolutiva che permette di risolvere sia le disequazioni fratte sia quelle disequazioni che, ridotte nella forma normale, presentano al primo membro un polinomio P ( x ) di grado superiore al primo che può essere scomposto nel prodotto di più fattori lineari.

Questa tecnica prevede la costruzione di uno schema dei segni e, come vedrai, si basa unicamente sulla nota regola dei segni sul prodotto e sul quoziente di numeri relativi, che qui richiamiamo: il prodotto/ quoziente di due numeri relativi è positivo se e solo se i numeri sono concordi, negativo se e solo se sono discordi.

1. Risoluzione di una disequazione lineare numerica fratta x−2 ≤0 4−x Risolvere questa disequazione significa determinare quali sono i numeri reali x tali che il quoziente tra le quantità N ( x ) = x − 2 e D ( x ) = 4 − x sia negativo o nullo.

Per la regola dei segni ricordata sopra, questo accade se numeratore e denominatore sono discordi o quando il numeratore si annulla (ricordiamo che se invece il denominatore si annulla la frazione – e quindi la disequazione – perde di significato).

Esempio:

7

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

Indipendentemente dal verso che compare nella disequazione una volta ridotta in forma normale, studiamo per quali x il numeratore N ( x ) è ≥ 0 e per quali x il denominatore D ( x ) è > 0 (non potendo mai essere = 0) e di rappresentare le soluzioni di queste due disequazioni in forma grafica su due rette una sotto l’altra.

4 2 N ≥0⇔ x−2≥0⇔ x ≥2

N

D > 0 ⇔ 4 − x > 0 ⇔ − x > −4 ⇔ x < 4

D

−

+

−

Nello schema a lato abbiamo rappresentato con una linea continua gli intervalli in cui le espressioni a numeratore e a denominatore sono positive e con una linea tratteggiata gli intervalli in cui tali espressioni sono negative. Osserviamo che, in accordo a quanto visto sopra per la rappresentazione grafica degli intervalli, il pallino pieno indica che il valore ( x = 2) è incluso, mentre il pallino vuoto indica che il valore ( x = 4 ) è escluso.

N Nella parte bassa dello schema abbiamo poi riportato il segno complessivo della quantità applicando la D regola dei segni. Poiché il verso della disequazione iniziale, già ridotta in forma normale, è ≤ 0, la soluzione è data da quegli intervalli nello schema in cui è riportato il segno −, ossia x ≤ 2 ∨ x > 4 . L’insieme soluzione della disequazione è quindi S = ( −∞ ; 2 ] ∪ ( 4; + ∞ ), unione di un intervallo inferiormente illimitato chiuso e un intervallo superiormente illimitato aperto.

N.B. Nello schema dei segni, la linea continua può essere sostituita dal simbolo + e la linea tratteggiata dal simbolo − ; si procede poi come sopra allo studio del segno complessivo.

! Attenzione a. Anche se la disequazione è fratta, non abbiamo svolto “esplicitamente” le C.E. a inizio esercizio.

Non sarebbe stato scorretto svolgerle ma, pensandoci bene, avendo studiato il denominatore D > 0 (e non D ≥ 0 ), in automatico abbiamo escluso quei valori che annullano il denominatore e che quindi sarebbero stati esclusi proprio dalle C.E.: nello schema dei segni tali valori di x riportano sempre un pallino vuoto. b. Perché, nonostante nella disequazione iniziale il verso fosse ≤ 0, abbiamo studiato N ≥ 0 e D > 0 ?

Il punto è che se conosciamo quali sono gli intervalli nei quali il numeratore e il denominatore sono positivi, automaticamente conosciamo anche quelli in cui essi sono negativi. Nell’esempio sopra, la risoluzione della disequazione N ≥ 0 ci ha consentito di tracciare una linea continua per tutti i valori x a destra di 2 e una linea tratteggiata per tutti i valori x a sinistra di 2. Analogamente per il denominatore. c. Poiché una frazione si annulla se e solo se il suo numeratore è nullo, se il verso della disequazione è ≤ 0 oppure ≥ 0, allora si studia N ≥ 0 ; se invece il verso è < 0 oppure > 0, allora si studia N > 0 .

Tipo di disequazione

Impostazione

N (x ) ≥0 D( x )

N (x ) ≥ 0

N (x ) >0 D( x ) N (x ) ≤0 D( x ) N (x ) <0 D( x )

D(x ) > 0 N (x ) > 0 D(x ) > 0 N (x ) ≥ 0 D(x ) > 0 N (x ) > 0 D(x ) > 0

Alla fine dello schema, si considerano i segni + + − −

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

2. Risoluzione di una disequazione numerica di grado superiore al primo fattorizzabile Poiché la regola dei segni gestisce i quozienti e i prodotti allo stesso modo, la tecnica imparata nello scorso paragrafo si può applicare anche per risolvere disequazioni di grado superiore al primo, che possono essere riscritte in modo che al primo membro compaia il prodotto di più fattori lineari.

Esempio: 9 x − x 3 < 0 ⇔ x 3 − 9 x > 0 ⇔ x ( x 2 − 9 ) > 0 ⇔ x ( x + 3)( x − 3) > 0 .

Per determinare in quali intervalli il prodotto di questi tre fattori è positivo, studiamo il segno di ciascuno di essi e riportiamo i risultati in uno schema dei segni: −3

F1 > 0 ⇔ x > 0

0

3

F1

F2 > 0 ⇔ x + 3 > 0 ⇔ x > −3

F2

F3 > 0 ⇔ x − 3 > 0 ⇔ x > 3

F3

−

+

−

+

Consideriamo ora il verso della disequazione nell’ultimo passaggio prima di avviare lo studio del segno di ciascun fattore: dovendo risolvere x ( x + 3)( x − 3) > 0, consideriamo gli intervalli in cui è indicato il +.

Le soluzioni sono date quindi da −3 < x < 0 ∨ x > 3 e l’insieme soluzione è S = ( −3; 0 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

Nella fattorizzazione del polinomio P ( x ) al primo membro possono comparire anche potenze di fattori 4 lineari. Per esempio, P ( x ) potrebbe essere scomposto come x 3 ( x − 2 ) . Come regolarsi in questi casi?

I fatti essenziali da ricordare sono due:

• una potenza a esponente dispari ha lo stesso segno della sua base (ed è nulla solo se la base è nulla): x3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

( x − 5)9 > 0 ⇔ x − 5 > 0 ⇔ x > 5

• una potenza a esponente pari ha sempre segno positivo indipendentemente dal segno della sua base ed è nulla solo se la base è nulla, quindi per esempio:

( x − 2)4 ≥ 0 ∀x ∈

( x + 1)2 > 0 ⇔ x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1

Spesso accade di dover risolvere disequazioni fratte in cui al numeratore e/o al denominatore vi sono polinomi fattorizzabili in (potenze di) fattori lineari. Poiché, come abbiamo visto, la tecnica risolutiva è la stessa (perché la regola dei segni vale sia per i quozienti sia per i prodotti), si può anche costruire un unico schema dei segni con tanti “livelli” quanti sono i fattori nel numeratore e del denominatore, stabilendo così direttamente, con un unico schema, il segno complessivo della frazione.

4. Risoluzione di una disequazione lineare letterale Come per le equazioni, anche la risoluzione delle disequazioni lineari letterali prevede una discussione al variare del parametro. In particolare, occorre prestare attenzione se, ridotta la disequazione in forma normale, bisogna dividere entrambi i membri della disequazione per una quantità contenente il parametro: a seconda che essa sia positiva o negativa, infatti, il secondo principio di equivalenza delle disequazioni ci dice come comportarci con il verso della disequazione.

9

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

Esempio: x − 3 < a( x + 1) ⇔ x − 3 < ax + a ⇔ x − ax < a + 3 ⇔ x (1 − a ) < a + 3 Ora occorre dividere entrambi i membri per la quantità (1 − a ), che dipende dal parametro a, quindi: • se 1 − a > 0, ossia a < 1, manteniamo il verso della disequazione e la soluzione è x < 1a −+ a3; • se 1 − a = 0, ossia a = 1, la disequazione diventa 0x < 4 ed è risolta per ogni x ∈ ; • se 1 − a < 0, ossia a > 1, invertiamo il verso della disequazione e la soluzione è x > 1a −+ a3.

Talvolta il parametro compare a denominatore e quindi, nel ridurre la disequazione a forma normale, la discussione va avviata prima. Vedremo più avanti un esempio di questo tipo.

5. Sistemi di disequazioni

 D1  Un sistema di disequazioni è un oggetto del tipo:  D 2 … 

dove D1 , D 2 , … sono disequazioni.

Risolvere il sistema identificato dal simbolo di graffa significa determinare le soluzioni comuni a tutte le disequazioni di cui il sistema è costituito. Per questa ragione, come vedrai nel prossimo esempio, occorre anzitutto risolvere ciascuna disequazione e determinare così gli insiemi soluzione S1 , S 2 , … e, solo alla fine, costruire uno schema che permetta di identificare la soluzione comune a tutte quelle determinate, ossia S = S1 ∩ S 2 ∩… .  x−2  ≤0 Esempio: risolviamo il seguente sistema:  4 − x  9 x − x 3 < 0 Le disequazioni che costituiscono il sistema sono state già risolte nei paragrafi precedenti; entrambe hanno necessitato di uno schema dei segni e si è già trovato che:

• la prima disequazione ha soluzione x ≤ 2 ∨ x > 4, ossia S1 = ( −∞; 2] ∪ ( 4; +∞ ); • la seconda disequazione ha soluzione −3 < x < 0 ∨ x > 3, ossia S2 = ( −3; 0) ∪ (3; +∞ ).

Per determinare la soluzione del sistema, ossia S = S1 ∩ S2 , costruiamo lo schema del sistema, che riporta su due livelli differenti le soluzioni S1 e S2 di ciascuna disequazione utilizzando una linea continua: −3

0

2

3

4

S1 S2

Come puoi notare, nello schema del sistema non mettiamo le linee tratteggiate: qui, infatti, ciò che importa non è il segno, ma le soluzioni comuni alle due disequazioni. In quali intervalli sono presenti entrambe le linee? Dallo schema si vede bene che la risposta è −3 < x < 0 ∨ x > 4, ossia S = ( −3; 0 ) ∪ ( 4; +∞ ) .

Osserviamo infine che nello schema del sistema (così come anche nello schema dei segni), nel riportare i valori sulla retta reale in alto, non è necessario rispettare le effettive distanze tra l’uno e l’altro; l’unico aspetto davvero rilevante è che i valori siano scritti in ordine crescente da sinistra verso destra.

10

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

Esercizi da completare Accanto a ciascuno schema dei segni, scrivi una disequazione che può essere a esso associata e risolvi.

1

3

−2

2

5

−1

3

4

a. Disequazione: ��������������������������������������������������������������������

a. Disequazione: ������������������������������������������������������������������

b. Soluzione: ����������������������������������������������������������������������������

b. Soluzione: ����������������������������������������������������������������������������

{

Esegui lo schema relativo al seguente sistema e risolvi: −2 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 3 x < −1 ∨ 1 < x ≤ 6 −2

−1

0

1

3

6 ..................................................................................................................... .....................................................................................................................

4

Scrivi un sistema di disequazioni che possa avere il seguente schema associato e risolvi. −4

0

2 .................................................................................................................... .................................................................................................................... ....................................................................................................................

Soluzione: �������������������������������������������������������������������������������������������

5 Stabilisci quale dei seguenti schemi bisogna associare alla disequazione

restanti due non sono corretti.

0

0

1

x −1 ≤ 0 e spiega perché i x 0

1

1

a.

b.

c.

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

..........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

11

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

Mappa concettuale

Disequazioni

Primo principio di equivalenza

• Cancellazione dei termini uguali

nei due membri Trasporto da un membro all’altro cambiando segno

•

Secondo principio di equivalenza Posso moltiplicare/dividere ambo i membri per:

• quantità positive → mantenendo lo stesso verso

• quantità negative → invertendo il verso

SCHEMA DEI SEGNI

• Disequazioni fratte • Disequazioni di grado

SCHEMA DEL SISTEMA

• Sistemi di disequazioni

superiore al primo fattorizzabili

12

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

Esercizi svolti 6 Risolviamo la seguente disequazione lineare:

Eseguiamo il denominatore comune:

x + 4 x + 2 5( x − 1) x − 1 x − 6 − + > − 12 8 24 4 24

2( x + 4 ) − 3( x + 2 ) + 5( x − 1) 6( x − 1) − ( x − 6 ) > 24 24

Elidiamo i denominatori (moltiplicando per 24 entrambi i membri): 2 x + 8 − 3x − 6 + 5 x − 5 > 6 x − 6 − x + 6 ⇔ 4 x − 3 > 5 x ⇔ 4 x − 5 x > 3 ⇔ − x > 3 Cambiamo tutti i segni e invertiamo il verso della disequazione: − x > 3 ⇔ x < −3 La soluzione è quindi S = ( −∞ ; − 3).

26 x 3 ≥ − x2 − 4 x − 2 x + 2 Anzitutto portiamo tutti i termini al primo membro e, dopo aver scomposto i denominatori, eseguiamo il denominatore comune:

7 Risolviamo la seguente disequazione fratta:

26 − x ( x + 2 ) + 3( x − 2 ) 26 3 − x 2 + x + 20 x ≥0 − + ≥0⇔ ≥0⇔ ( x + 2 )( x − 2 ) x − 2 x + 2 ( x + 2 )( x − 2 ) ( x + 2 )( x − 2 ) La disequazione è ora ridotta in forma normale: possiamo osservare che, pur non essendo lineare, sia il numeratore sia il denominatore sono fattorizzabili. Procediamo allo studio del segno del numeratore e del denominatore; essendo il verso della disequazione ≥ 0, risolviamo N ≥ 0 e D > 0: N ≥ 0 ⇔ − x 2 + x + 20 ≥ 0 ⇔ x 2 − x − 20 ≤ 0 ⇔ ( x − 5 )( x + 4 ) ≤ 0

−4

• F1 ≥ 0 ⇔ x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5

5

F1

• F2 ≥ 0 ⇔ x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ −4

F2

Dallo schema dei segni affianco deduciamo che:

F1 ⋅ F2

+

N ≥ 0 ⇔ −4 ≤ x ≤ 5

−2

D > 0 ⇔ ( x + 2 )( x − 2 ) > 0

+

− 2

F3

• F3 > 0 ⇔ x + 2 > 0 ⇔ x > −2

F4

• F4 > 0 ⇔ x − 2 > 0 ⇔ x > 2

F3 ⋅ F4

+

−

+

Dallo schema dei segni affianco deduciamo che: D > 0 ⇔ x < −2 ∨ x > 2 Costruiamo infine lo schema dei segni tra numeratore e denominatore e, poiché il verso della disequazione fratta appena prima di studiare separatamente il segno del numeratore N e del denominatore D era ≥ 0, consideriamo i segni +. −4

−2

2

5

N D

−

+

−

+

−

La soluzione è quindi − 4 ≤ x < −2 ∨ 2 < x ≤ 5 , ossia S = [ − 4; − 2 ) ∪ ( 2; 5 ] N.B. È possibile anche studiare il segno di ciascun fattore che compare nella frazione, indipendentemente se a numeratore o a denominatore, per poi effettuare uno studio del segno complessivo.

13

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

 x 8 − 3x 7 − 4 x 6 > 0 4 9  ( x − 2 ) ( − x − 1) ≤ 0

8 Risolviamo il seguente sistema di disequazioni: 

Iniziamo a risolvere la prima disequazione, scomponendo il polinomio al primo membro: x 8 − 3x 7 − 4 x 6 > 0 ⇔ x 6 ( x 2 − 3x − 4 ) > 0 ⇔ x 6 ( x − 4 )( x + 1) > 0 Visto che la disequazione è “stretta”, studiamo ciascun fattore > 0:

• F1 > 0 ⇔ x 6 > 0 ⇔ ∀x ≠ 0

• F2 > 0 ⇔ x − 4 > 0 ⇔ x > 4

• F3 > 0 ⇔ x + 1 > 0 ⇔ x > −1 −1

0

4

F1 F2 F3

+

−

−

−

+

Il verso della disequazione è > 0, perciò la soluzione è data dagli intervalli contrassegnati col + nello schema dei segni: x < −1 ∨ x > 4 → S1 = ( −∞ ; −1) ∪ ( 4; +∞ ).

Ora risolviamo la seconda disequazione (qui il polinomio al primo membro è già scomposto). Visto che la disequazione è “larga”, studiamo ciascun fattore ≥ 0:

• F1 ≥ 0 ⇔ ( x − 2) ≥ 0 ⇔ ∀x ∈ 4 Occorre notare che vale l’uguaglianza ( x − 2 ) = 0 ⇔ x = 2: per questa ragione nello schema dei segni poniamo anche un pallino pieno in corrispondenza del valore x = 2.

4

• F2 ≥ 0 ⇔ ( − x − 1) ≥ 0 ⇔ − x − 1 ≥ 0 ⇔ − x ≥ 1 ⇔ x ≤ −1 9

−1

2

F1 F2

+

−

−

Il verso della disequazione è ≤ 0, perciò la soluzione è costituita dagli intervalli contrassegnati col − nello schema dei segni: x ≥ −1 → S 2 = [ −1; +∞ ) In conclusione, costruiamo lo schema del sistema: −1

4

S1 S2

L’intersezione delle soluzioni S1 e S 2 è x > 4, cioè S = S1 ∩ S2 = ( 4; +∞ ).

Osserviamo che x = −1 non appartiene alla soluzione S, non essendo contenuto in S1 (pallino vuoto).

14

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

x x −1 x − 2 + < 3 3k − 6 k−2 Osserviamo da subito che per k = 2 la disequazione perde di significato.

Portiamo tutti i termini al primo membro:

9 Risolviamo la seguente disequazione intera letterale:

3x + ( x − 1)( k − 2 ) − ( x − 2 ) 3x + kx − 2 x − k + 2 − x + 2 x x −1 x − 2 kx − k + 4 <0 <0⇔ <0⇔ <0⇔ + − 3( k − 2 ) 3( k − 2 ) 3 3( k − 2 ) 3( k − 2 ) k−2 Per elidere il denominatore, per II principio di equivalenza, dobbiamo distinguere i due casi seguenti: a. 3( k − 2 ) > 0 ⇔ k > 2 → posso elidere il denominatore mantenendo il verso della disequazione: kx − k + 4 < 0 ⇔ kx < k − 4 Vorrei dividere per k entrambi i membri: osserviamo che, essendo nel caso k > 2, in particolare vale k−4 k > 0 e perciò posso dividere per k mantenendo invariato il verso della disequazione: x < k b. 3( k − 2 ) < 0 ⇔ k < 2 → posso elidere il denominatore cambiando il verso della disequazione: kx − k + 4 > 0 ⇔ kx > k − 4 Ora siamo nel caso k < 2, quindi per dividere per k dobbiamo distinguere i tre casi seguenti: • 0 < k < 2: si ottiene x > k −k 4 ; • k = 0: si ottiene 0x > −4, disuguaglianza sempre vera per ogni x ∈ ; • k < 0: si ottiene x < k −k 4 .

Riassumendo, questa è la discussione della disequazione letterale: • se k < 0 ∨ k > 2, la soluzione è x < k −k 4 ; • se k = 0, la soluzione è ∀x ∈ ; • se k = 2, la disequazione perde di significato; • se 0 < k < 2, la soluzione è x > k −k 4 .

Esercizi da svolgere Risolvi le seguenti disequazioni intere. x > 3   2  x ≤ − 5   2 

10 7 x − 3 + 5( −2 x + 1) < 3x − 7

( 2) 2 2

11

( x + 2)( x − 2) − x + 1 ≥ 1 ( x − 1)

12

x −1 x − 23 x −7< −1− 5 4 7

13 14

[ x < 8]

( 3 − x )2 − 3( 2x − 1) < 3( x − 1)2 − 2[( x − 2)( x + 2) − 2 x ]

( x + 14 ) − 12( x + 3) − 2(154 + 3x ) > ( x − 3) 2

2

x > 1   10 

[impossibile ]

Risolvi le seguenti disequazioni letterali.

15 ax + a2 > 2 x + 4

[Se a = 2, imposs.; se a > 2, x > −a − 2; se a < 2, x < −a − 2]

16

x 1− x −1 ≤

a +1 3a + 3

Se a = −1, perde significato; se a > −1, x ≤ 1 + 3 a; se a < −1, x ≥ 1 + 3 a  4 4  

17

2kx − 1 x − 3 − >0 k 2k

Se k = 0, perde significato; se k = 1 , ∀x ∈ ; se k < 0 ∨ k > 1 , x > 1 ; se 0 < k < 1 , x < 1  4 4 1 − 4k 4 1 − 4 k  

15

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

Risolvi le seguenti disequazioni frazionarie e di grado superiore al primo fattorizzabili.

3x + 7 x ≤ − 7 ∨ x > 9  18 ≥ 0  3 2  2x − 9

[−3 < x < 0]

19 x 2 + 3x < 0 20

4 ( x + 1) 4 ( x − 1) ≤

x+4 x +1

21

x 3 ( 7 x − 1) < 0 2− x

0 < x < 1 ∨ x > 2  7  

22

( x + 9)2 ≤ 0 x 6 ( 2x − 5)

x < 5 ∧ x ≠ 0 2  

23

x + 2 2x − 3 2x − 3 − ≥

3 6 x −3

[−4 < x < −1 ∨ x ≥ 5]

 − 3 ≤ x < 3  5 

24 x ( x − 8 )( x − 2 ) < 0

[0 < x < 8 ∧ x ≠ 2 ]

25

− x 3 + 4 x 2 − 3x ≥ 0 ( x − 2 )5

[0 ≤ x ≤ 1 ∨ 2 < x ≤ 3]

26

x−4 3 1 − > x 3 x−4 3

7 < x < 4  4 

27

1 x −3 2− x ≤1+ − x2 + x x + 1 x

4

 − 4 ≤ x < −1 ∨ x > 0   3 

Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.  x 2 + 6 x − 3 < 2 x ( x + 2 ) − x 2 2 2  ( x − 2 ) + 3x − 3 > −2 x + 1 + x

28 

0 < x < 3   2 

 x ( x 2 − 16 ) ≤ 0  29  x − 2 2 x − 1 1  4 + 3 <x−3   2( −3x − 1) − {7 − [ −8 x + 2( 3 − x ) − 7 ]} > −5 x + 1  30  − x 2 + x + 2  x 9 − 3x 8 ≤ 0 

[−6 < x ≤ −4 ∨ 0 ≤ x ≤ 4 ]

[impossibile ]

16

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

Nome ........................................................................... Cognome ........................................................................... Classe ....................

Scheda di verifica Risolvi le seguenti disequazioni e i sistemi di disequazioni di tutti i tipi studiati (intere, fratte, numeriche e letterali). Per le disequazioni letterali è richiesta la discussione.

1

2( 3 − x ) + ( x − 2 )( x − 3) ≥ ( x + 2 )( x + 3)

2

1 1  1 1 6 1 x + 1 − x −   > −1 1 + x −   12 2 5 3 3 4

3

x

(

)

✄

(14 x + 1) + 13 x > − 14(4x − 3)(4x + 3) − 14(3 − x )(3 + x ) + 4x ( x + 13) − 1

17

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

( − x − 2)( x + 1)6 ( 3x − 2)7 > 0

5

2x + 5 ≤0 x2 + 4x

6

x 7 + 9x 6 ≤0 x2 − 4x + 3

7

1 x x −1 x −1 + > − 6 x −6 6 6− x

✄

4

18

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

8

18 x + 3 −x − 2 < + x 2 − 2x − 3 3 − x x + 1

9

a( x + 1) − a( a − x ) > 0

10

2 + kx 1 ≤x+ k +1 3

✄

✄

 (1 − x )(1 + x )2 1 − 2 x 3 1 2 − > 3x − ( x − 2 )  3 3 6 11  2  x − 2x ≥ 0  −2 − x

19

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Capitolo

1

Disequazioni di primo grado

 x − 2 )3 − 3x ( 2 − x ) ≥ ( x − 1)3 + 2 4 3 2  x − 2 x − x + 2 x ≤ 0

12  ( 5

✄

  5( 2 x + 7 ) − 7 ≤ 58  3 13  ( 4 − x 2 ) ⋅ ( x 2 + 4 x + 4 ) > 0  1 1 1  2x + 2 − 1 − x 2 + 3 > 0 

20

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CAPITOLO

I radicali

2

1. Proprietà e algebra dei radicali

4. Radicali doppi 5. Potenze con esponente razionale

2. Operazioni con i radicali 3. Razionalizzazione

TEORIA IN SINTESI Abbiamo visto nei precedenti capitoli che ogni numero relativo rappresentabile mediante frazione è un numero razionale. Non tutti i numeri, però, possono essere espressi attraverso una frazione.

Per esempio, 5 indica un numero che ha un numero di cifre decimali illimitate e non periodiche. Se proviamo a calcolarlo, infatti, otterremmo: 5 = 2.236067977……

Questi numeri vengono definiti irrazionali. L’insieme dei numeri razionali e irrazionali viene chiamato insieme dei numeri reali R. Reali R Razionali Q Irrazionali I

Interi relativi Z

Il simbolo n a (con n = numero naturale diverso da zero) indica un radicale in cui:

• n = indice di radice • a = radicando

indice di radice

n

a =b

bn = a

radicando

È necessario, però, porre alcune condizioni:

• se n = pari

• se n = dispari

C.E.: a ≥ 0 , b ≥ 0

bn = a

∀a

Casi particolari:

• n 0 = 0 (con n > 0) • 2 a = a si omette l’indice 2

(equivale a radice quadrata)

• 1 a=a • 0a

si omette indice e radice non ha significato

Definiamo anche radicale un’espressione in cui a non è un numero ma un polinomio o una frazione algebrica.

Esempi:

3

x − 2 ( ∀x )

4

x +1 x

( x x+ 1 ≥ 0)

x 2 − 4 ( x 2 − ≥ 0) 21

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Capitolo

2

I radicali

1. Proprietà e algebra dei radicali 1. Proprietà invariantiva Consideriamo il radicale: nm am Se a > 0, è possibile semplificare l’indice di radice e l’esponente del radicando qualora i due numeri abbiano divisori in comune: nm m a =na Questa proprietà potrà essere applicata anche in senso contrario qualora ce ne sia la necessità.

Esempio: 3 22 = 6 24 2. Riduzione di radicali allo stesso indice Consideriamo i seguenti radicali: 6 34 , 2, 4 33 Vogliamo riscrivere i radicali in modo tale che abbiano lo stesso indice di radice; per fare questo consideriamo il m.c.m. degli indici di radice (nel nostro caso 12). Ogni radicale avrà quindi indice 12 e il radicando verrà elevato al quoziente fra l’m.c.m. e il proprio indice: 6

34 = 12 38

2 = 12 26

4

33 = 12 39

3. Trasporto di un fattore sotto il segno di radice Consideriamo il radicale: 3 3 2 Poiché 3 3 2 = 3 33 3 2 = 3 33 ⋅ 2 , il fattore 3 che moltiplica il radicale può essere portato sotto la radice.

In pratica: • se un radicale è moltiplicato per un numero non negativo, tale numero si può trasportare sotto il segno di radice come ulteriore fattore del radicando, elevandolo a un esponente pari all’indice di radice;

• se il fattore che moltiplica il radicale è negativo, porto sotto il segno di radice il suo valore assoluto lasciando davanti al radicale il segno negativo.

Esempi: −3 3 2 = − 3 33 ⋅ 2 a b = a2 ⋅ b se a > 0 Se non si conosce il segno del fattore moltiplicativo esterno, occorre distinguere due casi.

22 x 2 ⋅ 3 Esempio: 2 x 3 = − 22 x 2 ⋅ 3

se x > 0 se x < 0

4. Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice La proprietà precedente può essere applicata in senso contrario permettendo, quindi, di portare fuori dalla radice alcuni fattori (a condizione che non siano negativi). Precisamente, si possono portar fuori quei fattori che sono elevati a un esponente che è maggiore o uguale all’indice di radice.

Ci sono due possibili situazioni: 1. Il fattore ha un esponente che è un multiplo dell’indice di radice In questo caso si porta fuori il numero con esponente uguale al quoziente tra l’esponente di prima e l’indice di radice.

Esempi: 3 a9b = a3 3 b 4

24 b8c = 2b2 4 c

2. Il fattore ha un esponente maggiore dell’indice di radice ma non multiplo In questo caso si porta fuori il numero con esponente uguale al quoziente fra l’esponente di prima e l’indice di radice e sotto al radicale rimane il numero elevato al resto di questa divisione.

Esempi: 3 25 ⋅ 32 = 2 3 22 ⋅ 32 32 x 4 y = 22 x 2 y 22

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Capitolo

2

I radicali

5. Relazione fra radicale e valore assoluto A questo punto è opportuno chiarire alcune importanti considerazioni sui radicali di indice pari e di indice dispari.

Radicali quadratici Sapendo che x 2 = x , dobbiamo garantire che x sia positivo in quanto il radicale di indice pari è per definizione positivo → x 2 = x (il valore assoluto garantisce la positività del fattore moltiplicativo) Radicali cubici Prendiamo in considerazione 3 x 3 = x In questo caso l’uguaglianza è vera sia che x > 0 sia che x < 0, pertanto non si introduce il valore assoluto.

In generale: n x n = x se n è dispari x

se n è pari

6. Radicali simili Due radicali vengono definiti simili se hanno sia lo stesso indice di radice sia il radicando; per i radicali simili vedremo che è possibile eseguire una somma algebrica esattamente come si fa con i monomi, tenendo conto del fattore moltiplicativo.

Esempio: 2 3 a2b ,

13 2 a b , − 4 3 a2b 3

Questi tre radicali risultano simili.

2. Operazioni con i radicali 1. Somma algebrica Condizione necessaria affinché si possano sommare algebricamente due radicali è che siano simili; il risultato di tale operazione è un radicale simile a quelli dati avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

Esempio: riprendiamo i radicali simili del precedente esempio e la seguente somma algebrica: 2 3 a2b +

(

)

5 1 13 2 a b − 4 3 a2b = 2 + − 4 3 a2b = − 3 a2b 3 3 3

Proviamo ora a sommare dei radicali numerici: 125 − 45 + 20 = 53 − 32 ⋅ 5 + 22 ⋅ 5 = 5 5 − 3 5 + 2 5 = 4 5 Come si può osservare, prima di eseguire la somma è opportuno scomporre o fattorizzare il radicando.

2. Moltiplicazione di due radicali La condizione necessaria affinché si possano moltiplicare due radicali è che abbiano lo stesso indice di radice. Il prodotto è un radicale avente lo stesso indice di radice e come radicando il prodotto dei radicandi: n a ⋅ n b = n ab Esempi: 3 5 ⋅ 3 6 = 3 30 a ⋅ 3 b = 6 a3 ⋅ 6 b2 = 6 a3b2 3. Quoziente di due radicali Anche in questo caso, la condizione necessaria affinché si possano dividere due radicali è che abbiano lo stesso indice di radice. Il quoziente è un radicale avente lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi: n a na = con b ≠ 0 n b b 54 54 = = 9=3 Esempi: 6 6 3

a5 6 a10 6 a10 6 = = 9 = a a a3 6 a9 23

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Capitolo

2

I radicali

4. Potenza di un radicale Elevare a un certo esponente un radicale equivale a elevare il radicando a quell’esponente lasciando invariato l’indice di radice: m n a = n am

( )

Esempi:

( 7 ) = (7 ) = 7 ( x + y ) = (x + y) = x + y 4

3

2

3 2

4

2

6

4

6

2

6

3

5. Radice di un radicale La radice di un radicale equivale a un radicale avente come indice di radice il prodotto degli indici di radice, lasciando invariato il radicando: m n

Esempi:

3

a = mn a

a=6a a3 = 12 a3 = 4 a

3

Mappa concettuale Radicale n a n = pari C.E.: a ≥ 0

n = dispari C.E.: ∀a ∈

Somma algebrica Hp: radicali simili

Radice di radice

Potenza di un radicale

a=

( a) = a

n m

a n b ± c n b = ( a ± c) n b

nm

a

n

Prodotto Hp: stesso indice di radice n

nm

a

ms

= a n

s

n

c

Quoziente Hp: stesso indice di radice

a ⋅ n b = n ab

n

Semplificazione

c

Trasporto fuori radice n

a≥0 n

a: n b = n

a b

amn b = am n b

Trasporto dentro la radice

se n = pari

c n a = n cn a

a b=a mn

mn

b

se n = dispari

24

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Capitolo

2

I radicali

Esercizi svolti 1 3 3 2 ⋅ 4 = 6 33 ⋅ 6 22 ⋅ 6 46 = 6 33 ⋅ 22 ⋅ 212 = 6 33 ⋅ 212 = 3 ⋅ 24 2

n

a ⋅ a = 2n a2 ⋅ 2n an = 2n an+2 x 2 ( x + 1) x −1 x −1 4 x3 + x2 ⋅4 = = x ( x − 1) ⋅ 3 3 ⋅ 3 2 4 3 x ( x + 1) ( x − 1)3 x +x x − 3x + 3x − 1

x2 − x ⋅ 3

3

= 12 x 6 ( x − 1) ⋅ 12 6

4

5

6 12

( x − 1)4 12 x 6 ( x + 1)3 12 x12 ( x − 1)10 ( x + 1)3 12 x − 1 = 4 9 = 4 ⋅ x +1 x12 ( x + 1) x12 ( x + 1) ( x − 1) ( x − 1)9

x 4 12 x 8 12 7 = 12 = x x x

5 30 5 a ( a + 1) a5 ( a + 1) 30 8a8 a2 + a = = = 6 a+1 a2 + 2a + 1 ( a + 1)6 30 (a + 1) 10 30 3 2a 8a 8a3 5

6

6

4

( a − b )2 ⋅ b2 = 4 ( a − b )2 ⋅ 4 b2 = a − b ⋅ b

7

4

a2 + 2ab + b2 4 ( a + b ) = = 4 2 b2 b

8

(a + b )

9

(a − 2) 5 =

a+b

2

b

(a + b ) (a + b ) 1 a+b = = = a3 + b3 a3 + b3 (a + b )(a2 − ab + b2 ) a2 − ab + b2 2

2

5( a − 2 )

2

se a ≥ 2

− 5( a − 2 )

2

se a < 2

10

4

a4 x − a4 y = 4 a4 ( x − y ) = a 4 x − y

11

3

a7b3 − a5b4 3 a5b3 ( a2 − b ) ab 3 a2 ( a2 − b ) = = 4c3 − 8c4 4c3 (1 − 2c ) c 4 (1 − 2c )

12 3 4 x + 5 4 x − 7 3 y − 4 4 x + 8 3 y = 4 4 x + 3 y

a + b − 4a + 4b +

13

16

) a + b = − 23 a + b

x − 3 = 16 x − 3

14 15

(

1 1 a+b = a + b −2 a + b + a + b = 1 − 2 + 3 3 9

( 3

)

2

x + 5 = 4 ( x + 5) = x + 5 2

a6 ( a + 2 ) − a 3 8( a + 2 ) + 6 a2 + 4a + 4 = 3 a6 ( a + 2 ) − a 3 8( a + 2 ) + 6 ( a + 2 ) = 2

= a2 3 a + 2 − 2a 3 a + 2 + 3 a + 2 = ( a2 − 2a + 1) 3 a + 2 = ( a − 1) 3 a + 2 2

25

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Capitolo

2

I radicali

Esercizi da svolgere 17

3

a b 6a ⋅ ⋅ b a b

18

3

2⋅ 6

19

6

b 6 b2 − 1 6 b2 − ab 3 a ⋅ ⋅ ⋅ a ab − a2 b2 − 1 b

[1]

x 2 − xy xy 2 + y 3 x2 ⋅6 ⋅6 2

2 4 x − 4 y x + xy y

3 x    [1]

Esegui le seguenti operazioni semplificando, dove possibile, i risultati ottenuti.

( ) ( )  ( )

4 3 5 20  3 a ⋅ 4 a  : 6 a



21

a 4 a 

( 15 + 6 − 3) 2

6 

( 10 − 5 − 2 + 4 )

22 3 50 − 5 8 + 7 18 − 32

 22 2 

23 5 3 a2 − 3 b − 7 3 a2 + 4 b

 b − 2 3 a2   

1 1 5 5 5

5

24

16 5 

Trasporta sotto il segno di radice i fattori che moltiplicano i seguenti radicali, immaginando ciascun fattore solo positivo.

25 2 x 4

a 16 x 3

26

x 3 27 y 2 3y x2

27

a a − 2a + 1

( a − 1) 3 2

Porta fuori di radice tutti i fattori possibili, tenendo conto dei possibili segni di tali fattori.

28

x ( x − 2 )( x 3 − 4 x )

29

x 4 + 2x 2

27

 x x − 2 ⋅ x + 2  x 3 

2 2 2 4 ( x + 4 xy + 4 y )

x + 2y 16

x2 + 2  3 

2

30



[se x > −2y : 1; se x < −2y : −1]



x −3

31  9 x 2 − 81 − 4 ( x + 3) + 4 x 2 − 36  : x − 3 x +3  

16 − 16 x 2 − 4 − 4 x 2 − (1 − x )

32 33

34

3

[x + 3]

1+ x : 1+ x 1− x

 1 − x 

x − 2 y − 2 6 x 2 − 4 xy + 4 y 2 + 9 x 3 − 6 x 2 y + 12 xy 2 − 8 y 3

(ax + x 2 )2 ⋅ 3 ax + x 2 :  6 (ax + x 2 )3 ⋅ a2 − ax

 a2 − ax 

35

1 2 x 3 − 12 x 2 + 18 x

x −3 a2

36

500 −

a2 − ax

1 3 2 125 + 80 − 45 3 4 5

6

  (a2 − x 2 )(a − x )  x5

2

[1]  ( a + x )6  6 4   a ( a − x )   1 2x   a  10 5 

26

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Capitolo

2

I radicali

TEORIA IN SINTESI

3. Razionalizzazione Frequentemente si incontrano frazioni che contengono radicali a denominatore. È possibile razionalizzarli moltiplicando numeratore e denominatore per una opportuna quantità. Si procede in modo diverso a seconda delle situazioni; riassumiamo le tecniche in questa tabella: Esempio:

Moltiplico per y x y x n ym

3 5 3 5 = 5 5 5

y x y x ⋅ = y y y Esempio:

Moltiplico per n yn−m

2 3 32 2 3 2 ⋅ = 3 3 3 3 32 3

x n yn−m x n yn−m ⋅ = n y m n y n−m y

(con m < n)

Esempi:

Moltiplico per y ∓ z

(

y∓ z x y∓ z x ⋅ = y−z y± z y∓ z x y± z

A denominatore ritroviamo un prodotto notevole: differenza di quadrati

=−

)

3

( 2 − 5) = − 2 + 5 3

(

)

4 6+3 2 4 6+3 2 ⋅ = = 6 − 18 6−3 2 6+3 2

= Moltiplico per y + z − w y+ z− w x ⋅ = y+ z+ w y+ z− w x y+ z+ w

(

3 2− 5 3 2− 5 = ⋅ = 2−5 2+ 5 2− 5

)

=

( y + z − w) ( y + z) −w

x

Esempio:

( (

Sviluppando il quadrato a denominatore mi rimarrà un radicale; procedo poi a razionalizzarlo

) )

1+ 3 + 2 4 ⋅ = 1+ 3 − 2 1+ 3 + 2 2 ) 4 (1 + 3 + 2 ) ( = = 2−2 3 (1 + 3) − 2 4 (1 + 3 + 2 ) (1 + 3) = ⋅ = (1 + 3) 2 (1 − 3 ) 4(4 + 2 3 + 2 + 6) = =

2

6+3 2 3

4 1+ 3 + 2

−4

Moltiplico per 3 x 2 ∓ 3 xy + 3 y 2

3

z x±3 y

Esempio:

3 2 x ∓ 3 xy + 3 y 2 z ⋅ = 3 x ± 3 y 3 x 2 ∓ 3 xy + 3 y 2

3

( x ∓ xy + y ) =

=

z

3

2

3

3

2

x−y

3 1 9+ 3 6+ 3 4 = ⋅3 3 3− 2 9+ 3 6+ 3 4 3

9+ 36+ 34

( ) ( ) 3

3

3 − 32

3

= 3 9+ 3 6+ 3 4

A denominatore ritroviamo una differenza o somma di cubi

27

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Capitolo

2

I radicali

4. Radicali doppi Un’espressione del tipo a ± b rappresenta un radicale doppio (lo si può incontrare, per esempio, risolvendo alcune equazioni).

Se valgono le ipotesi:

• a, b > 0 • a2 − b > 0 • a2 − b è un quadrato perfetto è possibile trasformare il radicale doppio nella somma o differenza di radicali semplici in questo modo: 1.

a+ b =

a + a2 − b a − a2 − b a+c a−c + = + dove a2 − b = c2 2 2 2 2

2.

a− b =

a + a2 − b a − a2 − b a+c a−c − = − 2 2 2 2

Esercizi svolti 37

38

3

ab ab 3 ab2 ab 3 ab2 ab 3 ab2 3 2 =3 2 3 2= 3 3 3 = = ab 2 ab ab a b ⋅ ab ab

(

)

4 3 5+7 4 3 5+7 = = −3 5 − 7 ⋅ 45 − 49 3 5−7 3 5+7

( 7 + 3) = 10( 7 + 3) = 5( 7 + 3) 2 ( 7 − 3)( 7 + 3) 7 − 3 10

39

10 = 7− 3

40

6  6 + 5 + 3 + 2  6 6+ 5+ 3+ 2 6 = =  2 2 = 6+ 5− 3− 2 6 + 5 + 2 30 − 3 + 2 + 2 6 6+ 5 − 3+ 2

(

(

) ( ) (

) )

(

(

)

)

( 6 + 5 + 3 + 2 ) = 3( 6 + 5 + 3 + 2 )( 30 − 6 − 3) = 6 + 2 30 − 2 6 ( 30 − 6 ) − 3 ( 6 + 5 + 3 + 2 )( 30 − 6 − 3) = ( 6 + 5 + 3 + 2 )( 30 − 6 − 3)(9 + 4 5 ) =

=

6

2

2

81 − 80

9−4 5

4 + 16 − 7 4 − 16 − 7 7 1 14 2 + = + = + 2 2 2 2 2 2

41

4+ 7 =

42

7 − 3 5 = 7 − 45 =

43

(m + n ) 3 m2 − 3 mn + 3 n2 (m + n ) 3 m2 − 3 mn + 3 n2 (m + n ) 3 m2 − 3 mn + 3 n2 m+n = = = 3 3 3 3 m+n m + 3 n 3 m + 3 n 3 m2 − 3 mn + 3 n2 m + 3n

44

(

(

(

) 2

( ( ) ( )

)

7+ 4 7− 4 9 5 3− 5 3− 5 − = − = = 2 2 2 2 2 2

)

)(

)

(

)

2( 2 + 3 + 5 ) 2( 2 + 3 + 5 ) ( 2 + 3 + 5) = = = ( 2 + 3 − 5 )( 2 + 3 + 5 ) ( 2 + 3) − 5 2 + 3 − 5 + 2 6 2( 2 + 3 + 5 ) ( 2 + 3 + 5 ) 6 = = = ( 2 + 3 + 5) 2 = 2+ 3− 5

2 6

2

2

6

6

28

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Capitolo

2

I radicali

Esercizi da svolgere Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni.

7ab2 3ab 4a 45 ; ; 12a 2 6ab 3 a3b 46

6+ 3

6

 2 1 + 2   

47

6 + 12

3

 2 3 + 2 

6x + 4 y

48 5

49

50

51 52 53

 2 5 ( 3x + 2 y )3   

( 3x + 2 y )

2

1+ 3

2 2 − 27

9 + 2 2 + 2 6 + 3 3    −19  

1 x − x2 − x

(

2+4 6

2+ 3− 6 3

3

)

 x x + x2 − x      x    2 2 + 2 3 + 6 

6 6 +

4 +1 3 4 −1

(

)

4 8 3 2 + 3 4 + 4   5 

b

a + b− 3 a

 3 ( a + b )2 + 3 a( a + b ) + 3 a2   

Trasforma i seguenti radicali doppi nella somma o nella differenza di due radicali.

54

10 ± 19

 19 1  2 ± 2  

55

14 ± 2 13

 13 ± 1

56

5 ± 2 6

 3 ± 2 

Risolvi le seguenti equazioni a coefficienti irrazionali.

(

58

)

(

)

21 x − 7 + 6 7 = 21 x + 3

57

[impossibile]

( 3x + 3) ⋅( 5 − x ) + 3 = 15 ( 5 + 1) − 33 x ( x + 2)

 5 − 1

Risolvi i seguenti sistemi a coefficienti irrazionali. y +1 y +1 x −1 x −1 59 =4 2 − =0 + 2 −1 2 +1 2 +1 2 −1 2x − 3y + z = 0

60

3x + 2 y − z = 5

 2 + 2; 2 − 2 

2x + 3y + z = 2 6

 3; 2; 0 

Semplifica le seguenti espressioni.

61

1 3 − 2 +1 3 + 2 − 1 +

2  3 + 2 + 1 3 − 2 − 1  x+ y x − y  x + y x − y +

− :  x + y  x − y x + y   x− y

62 

 3  x+ y    2 xy 

29

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Capitolo

2

I radicali

TEORIA IN SINTESI

5. Potenze con esponente razionale Considerando un numero reale a non negativo, si ha la seguente identità: m

a>0

a n = n am

e

−

m

a n=

1 a

m n

=n

m 1 1 = n m se > 0 m n a a

Di conseguenza, ogni potenza a base positiva ed esponente razionale è equivalente a un radicale e viceversa.

! Attenzione Non sono definite le potenze di base negativa ed esponente razionale.

Nelle espressioni con potenze a esponente razionale posso applicare le proprietà delle potenze viste per i numeri interi:

• amn ⋅ ars = amn+rs = nr amr + ns • amn ⋅ bmn = (ab )mn = n (ab )m m

(b ) (b ) m

• amn : ars = amn−rs = nr amr−sn • amn = a n = n a bn

s r

•  amn  = amn⋅rs = nr ams 

m



Sfruttando queste uguaglianze sarà possibile risolvere esercizi con i radicali operando con gli stessi oppure trasformandoli in potenze a esponente razionale.

Esercizi svolti −

2

63 27 3 = 3

1 1 = 272 3 36 4

3

3 3 3 2 2 2 8 1 3 − −2− − 1 1 1 x x x 64  x 3  : x 2  = x −2 : x 3 = x 3 = x 3 = 8 = 3 = 23 2⋅3 = = 3 2 8     x ⋅ x x x x x x 3 x

L’esercizio poteva essere risolto anche così: 4

3

1 1 1  x − 23  : x 12  3 = 1 : 6 x 4 = 1 : 3 x 2 = = =     x2 x2 x2 ⋅ 3 x2 3 x6 ⋅ x2 3 x8 2

3 3 3 65 2 − a2  2 + a2  = 4 − a2  = 4 − a3







 

(

)(

)

3 3 Oppure: 2 − a2  2 + a2  = 2 − a3 2 + a3 = 4 −    1

( a ) = 4−a 3

2

3

1

 a23 ⋅ b12  2  a32 ⋅ b14  3 a31 ⋅ b14 a12 ⋅ b121 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − 66  2  ⋅  ⋅ 1 1 = a3 5 2 3 ⋅ b4 12 9 = 10 a3 ⋅ 9 b2 1  = 1  a5   a ⋅ b3  a5 a3 ⋅ b9 Oppure: 3

a2 ⋅ b 3 4 a6b ⋅ = 5 2 a3 b a

6

6 5 2 12 10 4 a4 ⋅ b3 12 a6 ⋅ b 12 a4b3 12 a6b a b ab a75b30 ⋅ = ⋅ = = = 90 48 10 = 5 2 9 3 10 2 9 3 90 18 30 10 90 48 10 a b a ab a ab a a b a b

= 90 a27b20 = 90 a27 ⋅ 90 b20 = 10 a3 ⋅ 9 b2 30

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Capitolo

2

I radicali

Esercizi da completare −4

−4

−4

1 1  0.................. 32 −4     0.................. 32 0.................. 12  2        a ⋅ a  ⋅  a−2a23  2      3 0 ........................  ⋅ a a  a0  a0                       67 = 4 = 10 4 10 4 = 10  a00.................. 3 ⋅  a00.................. 5  a53 ⋅ a−21  3 ⋅  a23 ⋅ a−21  5  a00.................. 3 ⋅  a00.................. 5             3 2

−1 2

1 3

−4

 a00.................. a00................ ⋅ a00................      = 0 = 0................ ................ 0................ a0 a0 ⋅ a0

−4 0................

=

a0

0................

= a0

7 15

a

=a

................

3

 a23 − 1 + 3a23  a23 − 1 = ( .................... − 1)3 + 3...................( .................... − 1) =    68  = .................... − 1 − 3.................... + 3.................... + 3.................... − 3 3 a2 = a2 − 1 + ....................................... = a2 − 1 + .......................................

69

(a − 1)3 3 (a − 1) a − 1 = 3 3 ................................... a − 1 = 9

3

................................... =

18

................................... =

a −1

1

1

( 2a + 5)2 ( 2a + 1)2 2a + 1 ....................................

70 = − 1 1 = 1 1 − ( 2a + 5)2 − ( 2a + 1)2 ( 2a + 5)2 − ( 2a + 1)2 ........................................... − ............................................ 2a + 5 + 2a + 1 − .................................

2a + 5 2a + 1)) ( 2a + 5 + 2a + 1) − 2a + 1((................................. = − .................................

2a + 5 2a + 1)) 2a + 5 + 2a + 1 ((.................................

....................................

=

=

............................................................................................................... −

( 2a + 5 + 2a + 1) + 2a + 1 = .................................... = 2a + 3 2

........................................................................

2

2  (000000 )4 (3x + 1)..........  1  4 4 71 ( 3x + 1) 4 = = 4 .................................. = =    2 9 − 1 00000000 00000000 x ( )( ) (3x − 1)2    ........................................................  ........................................................................

=

...............................................................

3x − 1

Esercizi da svolgere 72 Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze.

()

()

2

2

33 4

1 5

2

47 5

−

1

−

x 2

3

y 4

73 Calcola i valori aritmetici delle seguenti potenze.

( )

2

27 3 8

( )

1

81 4 16

( )

3

25 2 16

( ) 9 49

−

1 2

( )

2

32 5 243

31

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Capitolo

2

I radicali

Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.

3

1

−

2

74 ab2 c : a2b−1c 3 3

 1 3 2 23  75  22 ⋅ 2− 4 ⋅ 23      

 5 2  2  2

1

2 2 2 1 7 76  22 ⋅ 2− 3  :  2− 3 ⋅ 2− 2 







[2]



−3

2

 13a−12b43   216a16b12  77  2   :  a−13   a13 

[2]

1 1 2 1 1 2 78  x 3 − y 3   x 3 + x 3 y 3 + y 3 





[x − y]



1

1 3  3 3     3 2  (a + b )   79 ( a + b )  1 ( a − b )2   : (a − b )      a − b   a − b        1 1 3 3

( )

 a + b 16     a − b 

Semplifica in due modi diversi le seguenti espressioni verificando l’uguaglianza dei risultati.

1 2a 4 a4

80

3

2a2 3

81

4

a −1 a +1 4 a +1 a −1 : ⋅ ⋅

2a2 a3 2a a

18 23 a5     2( a − 1)   8 a2 a + 1  ( ) 

a + b 3 a + b a + b3 ( a + b ) ⋅ ⋅ a − b a − b a − b ( a − b )2 2

82

 (a + b )  a−b a+b  4 2⋅  ( a − b ) a + b a − b  2

4

a − b   a + b 





1 a−1 + b−1 a−2 − b−2  2 83  1 : 1 (b − a )

 ( a + b )2 

[ab ]

(b2 − a2 )2 

1

1

1 2    x + y − 2 xy 12  2 84 x + y + 2 ( xy )2 ( )     −1

−1 1 85 (1 + x ) 2 + (1 − x )2  : 1 + (1 − x 2 ) 2 

 



(1 − x )12   

✄



[x − y]

32

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Capitolo

2

I radicali

Nome ........................................................................... Cognome ........................................................................... Classe ....................

Scheda di verifica 1

Stabilisci per quali valori di a i seguenti radicali hanno senso. a.

2

a 3a − 1

b.

10

c. 6

3 2a − 5

1+ a 2 − a−2 3

d. 3 ( a − 3)

6

Semplifica i seguenti radicali. a. 8 ( x 2 + 8 x + 16 )

b.

(

1 4a + 9 − 12a 2

)

4

c. 12

(

)

3

4 2 2 4 x y − xyz + z 2 z 6 49 7

✄

3

33

0050_Cap02.indd 33

18/03/25 15:53

Capitolo

2

I radicali

3

Esegui la seguente moltiplicazione semplificando i risultati quando possibile.

( x3 + y3 ) x3 − y3 x 2 + 2 xy + y 2 ⋅ ⋅ 2 2 2 x −y x+y x + xy + y 2 2

4

Esegui le seguenti divisioni semplificando i risultati quando possibile.

34

0050_Cap02.indd 34

18/03/25 15:53

✄

✄

 12 3 3   4 2 6 3  12 7  5 : 10  ⋅  21 : 7  ⋅ 80

Capitolo

2

I radicali

5

6

(ax + x 2 )2 ⋅ 3 ax + x 2 :  6 (ax + x 2 )3 ⋅ a − ax 2

a − ax 2

6

  (a − x )(a − x )  x5

2

2

2

Porta fuori dalla radice tutti i fattori possibili. x6 + x5 y 5 x 2 + 5 xy

b.

9 81 − a2b ab2

c. s

x 2s − x s y 3s − y 2 s

✄

a.

✄

 a − ax  2

35

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Capitolo

2

I radicali

3

x − 2 y − 2 6 x 2 − 4 xy + 4 y 2 + 9 x 3 − 6 x 2 y + 12 xy 2 − 8 y 3

8

5

4 x 2 + 3 4 x − 2 9x − 4 16 x 2 + 6 64 x 3

✄

7

36

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✄

Esegui le seguenti somme algebriche.

Capitolo

2

I radicali

Calcola il valore delle seguenti espressioni.

9

140 −

( 3 − 3 5 + 4 2 )( 3 + 4 2 + 3 5 )( 4 6 + 5)

( 2 − 3 + 6 )( 2 − 3 − 6 )

✄

✄

10 2 6 + 7 + 3 5 ⋅ 7 − 3 5 +

37

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Capitolo

2

I radicali

11

8 3

a2 − 2a12 a + a ⋅ 3 a ⋅ 4 a − 12 a

12 Risolvi.

38

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✄

✄

1 3 1 x ( x − 1) ⋅ x 3 ( x − 1) ⋅ 3 x −1 x x x −1

Capitolo

2

I radicali

13 Razionalizza.

10 a. 3 50

b. 4

6a2bc 27ab2 c3

c.

34 3 2 +1

d.

1 3 3−3 5

e.

3 7− 5

14 Trasforma i seguenti radicali doppi applicando la formula.

a. 3 − 5

b. 4 + 12

c. 30 − 500

Semplifica le seguenti espressioni.

1

1 1 2 15 ( a − 2 ) ⋅ a2 − 22   

✄

✄

1 2

39

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Capitolo

2

I radicali

1

1

1 3 1 4      a2  2  2   1  a6 2 16  1 + 2 ⋅  − ⋅ : 1 a ( )    2 2  a  ( a2 + 1)2     ( a − 1)       

( )

40

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✄

a−2 a−3 a−4 6 a − 3 a − 4 ( a − 2 )2

✄

17

Capitolo

2

I radicali



1



18 ( 3x + 1) ⋅ 4 9x 2 − 1 



19



−3 3 1 1 + − + 4a 2a2 a3 8

(5 − 24 ) ( 75 + 50 ) 75 − 50

✄

✄

20

6

2

41

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