Marina Ferreri
MÀthema
Esercizi di Matematica
{ } →
√‾ + =
Trevisini Editore
Indice
0. Prerequisiti
1. Sistemi di numerazione e insieme dei numeri interi e razionali assoluti 5
2. Espressioni aritmetiche 7
3. Le potenze 7
4. Notazione esponenziale 8
5. Insieme dei numeri razionali assoluti: Q 8
1. Numeri interi e razionali relativi 10
1. I numeri relativi
2. Operazioni fra numeri relativi
3. Potenza di un numero relativo
2. Calcolo letterale:
3. Scomposizioni
1. Raccoglimento a fattor comune totale ��� 43
2. Raccoglimento a fattor comune parziale 44
3. Differenza di due quadrati 44
4. Quadrato di un binomio o trinomio 44
5. Trinomio caratteristico 45 6.
di applicazione della regola di Ruffini
Esercizi da svolgere
Esercizi di approfondimento 50 10. Calcolo M C D e m c m di polinomi 51 Mappa concettuale 51
Esercizi da svolgere ��������������������������������������������
Scheda di verifica
Esercizi di approfondimento 56
4. Frazioni algebriche 57
1. Frazioni equivalenti e semplificazione di una frazione 57
2. Operazioni tra frazioni algebriche 58
Esercizi da completare 60 Mappa concettuale 60
Esercizi svolti 61 Esercizi da svolgere 62 Esercizi di approfondimento 64 Scheda di verifica 65
5. Equazioni lineari 70
1. Classificazione delle equazioni 70
2. Principi di equivalenza delle equazioni 71
3. Risoluzione di un’equazione lineare numerica intera 72
4. Risoluzione di un’equazione lineare numerica fratta 73
5. Risoluzione di un’equazione numerica di grado superiore al primo fattorizzabile 74
6. Risoluzione di un’equazione lineare letterale 74
Esercizi da completare 76 Mappa concettuale 77 Esercizi svolti 78 Esercizi da svolgere �������������������������������������������� 80
Esercizi di approfondimento 82 Scheda di verifica 83
6. Disequazioni lineari 88
1. Principi di equivalenza delle disequazioni 89
2. Risoluzione di una disequazione lineare numerica intera 90
3. Lo schema dei segni: risoluzione di disequazioni lineari fratte e di grado superiore fattorizzabili 90
4. Risoluzione di una disequazione lineare letterale 92
5. Sistemi di disequazioni 93
Esercizi da completare 94
svolti 96
da svolgere 98
di verifica 100
7. Sistemi lineari 104
1.1 Soluzioni di un sistema lineare 104
1.2 Metodi di risoluzione di un sistema lineare numerico 105
1.3 Sistemi lineari letterali 108
1.4 Sistemi frazionari 108
concettuale 109 Esercizi svolti 110 Esercizi da completare 111 Esercizi da svolgere 112
Scheda di verifica 1 114
Esercizi di approfondimento 116
2.1 Generalità sul piano cartesiano e la retta 117
2.2 Risoluzione grafica di un sistema lineare in due incognite 118
Esercizi da svolgere 119
Scheda di verifica 2 120
8. Geometria euclidea 121
1.1 Prime definizioni
1.2 Richiami su proprietà geometriche
svolti
da svolgere
2.1 Punti notevoli dei triangoli
2.2 Criteri di congruenza
2.3 Classificazione dei triangoli rispetto ai lati e agli angoli 128 Esercizi svolti 129 Esercizi da svolgere 130 Scheda di verifica 1 131
3.1 Definizioni, proprietà e teoremi relativi a rette parallele e perpendicolari
Esercizi da svolgere 135 Esercizi da completare 136
4.1 Parallelogrammi
4.2 Parallelogrammi notevoli
Mappa concettuale
Esercizi da completare
da svolgere
5.1 Enunciato del teorema 142
5.2 Applicazioni del piccolo teorema di Talete 142 Esercizi da svolgere 143 Scheda di verifica 2
Esercizi svolti
Esercizi da svolgere
Esercizi di approfondimento
Scheda di verifica 3 149
9. Giochi matematici
CAPITOLO
2
1.1 I monomi
Calcolo letterale: monomi e polinomi
1.2 Operazioni tra monomi
1.3 M.C.D. e m.c.m. tra monomi
1. TEORIA IN SINTESI
2.1 I polinomi
2.2 Operazioni tra polinomi
Confrontiamo le due scritture () =π ⋅⋅ V 4 cm 3 cm 2 e =π Vrh 2 : se la prima consente di calcolare il volume di un particolare cilindro avente raggio di base 4 cm e altezza 3 cm, la seconda permette di esprimere il volume di un qualsiasi cilindro, note le misure del raggio della sua base r e della sua altezza h . Questa virtù di generalità è ciò che rende interessante studiare le proprietà delle espressioni algebriche contenenti lettere.
1.1 I monomi
L’espressione rhπ 2 è l’esempio di un monomio, ossia di un’espressione algebrica in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione ed elevamento a potenza (con esponente naturale).
Esempi: 1 2 25 9 xyz 4 32 7 abac 5 23xyπ 7 28ayb +
è un monomioè un monomio
non è un monomio, perché l’esponente di y è negativo
non è un monomio, perché l’espressione contiene anche somme
Mentre il primo monomio è già ridotto a forma normale, il secondo non lo è. La sua forma normale è infatti abc 4 57 (ciascuna lettera compare una sola volta) ed è costituita da:
• un coefficiente, ossia il fattore numerico 4 ;
• una parte letterale, ossia il prodotto dei fattori letterali abc 57
Si dice grado di un monomio rispetto a una lettera l’esponente con cui tale lettera figura nel monomio: il grado di abc 4 57 rispetto alla lettera c è 7. Si dice grado (complessivo) del monomio la somma dei gradi rispetto a ciascuna lettera: il grado del monomio abc 4 57 è 13 (somma di 5, 1 e 7).
Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale. In particolare, due monomi simili sono uguali se condividono anche lo stesso coefficiente, mentre si dicono opposti se hanno i coefficienti opposti.
Esempi:
2
ay e
3 az sono monomi simili sono monomi oppostinon sono monomi simili
Calcolo letterale: monomi e polinomi
1.2 Operazioni tra monomi
1. Somma algebrica. L’addizione e la sottrazione di due o più monomi dà per risultato un monomio solo nel caso in cui tutti i monomi siano simili. In questo caso, il risultato è un monomio avente:
• per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti dei monomi addendi;
• la stessa parte letterale dei monomi addendi.
Esempio: 1 4 26 1 4 26 17 4 33 33 3 xyxyxyxyxy () −+ −= −+ −=
Nel caso in cui i monomi addendi non siano tuttisimili, il risultato della somma non è un monomio, ma un polinomio. Si procede in questo caso come nell’esempio seguente, lasciando indicati i monomi non simili.
Esempio: abacbacbabacabac () −+ ++ −= +− ++ =+ + 2 3 41 8 4 23 81 2 5 1 22 2
In questo esempio hai visto anche che lasommadiduemonomiopposti ( + b4 e b4 ) ènulla
2. Moltiplicazione e potenza. La moltiplicazione tra due o più monomi è sempre possibile e restituisce un monomio avente:
• per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei monomi fattori;
• per parte letterale il prodotto delle parti letterali dei monomi fattori, in cui si fa uso della proprietà del “prodotto di potenze aventi la stessa base”.
Esempio:
Per elevare a potenza un monomio, si elevano a potenza sia il suo coefficiente sia la sua parte letterale. In questa seconda parte si fa uso della “proprietà della potenza di potenza”.
Esempio:
3. Divisione. La divisione di due monomi, di cui il secondo non nullo, si può eseguire solo se:
a. la parte letterale del monomio dividendo contiene tutte le lettere del monomio divisore; b. il grado rispetto a ciascuna lettera del monomio dividendo è maggiore o uguale del grado rispetto alla stessa lettera del monomio divisore.
Esempi: 5: 2 45 3 xycxyc() () 8: 2 2 5 3 7 xzcxz () () 4: 2 22 xyxw() () si può svolgere non si può svolgere non si può svolgere
Il quoziente di due monomi che soddisfano le due condizioni a. e b. è un monomio avente:
• per coefficiente il quoziente dei coefficienti dei due monomi;
• per parte letterale il quoziente delle parti letterali dei due monomi, in cui si fa uso della proprietà del “quoziente di potenze aventi la stessa base”.
Esempio:
1.3 M.C.D. e m.c.m. tra monomi
Si definisce M.C.D. (Massimo Comune Divisore) di due o più monomi il monomio di grado massimo che risulta essere divisore di tutti e m.c.m. (minimo comune multiplo) il monomio di grado minimo che risulta essere multiplo di tutti.
Se anche uno solo dei monomi dati ha coefficiente non intero, si assume pari a 1 il coefficiente del M.C.D. e del m.c.m. del gruppo di monomi. Se invece tutti i coefficienti sono interi, si scrive la loro fattorizzazione in potenze di numeri primi e si procede nel modo seguente:
• per il M.C.D. si considerano solo i fattori (numerici e letterali) comuni con il minimo esponente;
• per l’m.c.m. si considerano tutti i fattori (numerici e letterali) comuni e non comuni con il massimo esponente.
Se anche uno solo dei monomi dati abbia coefficiente negativo, si assume positivo il coefficiente del M.C.D. e del m.c.m. del gruppo di monomi. Vediamo un paio di esempi.
Esempio: 6; 4; 20 22 23 xyxwxyz
Anzitutto riscriviamo i monomi fattorizzando i coefficienti in potenze di primi: 23 ; 2; 222225 23 xyxwxyz ⋅⋅ −⋅ ⋅⋅
Il M.C.D. è 2 2 x e il m.c.m è 232256032 3 xywzxywz = .
Esempio: 1 3 ; 5 39 6 xyzxy
Essendo che il primo monomio ha coefficiente non intero, i coefficienti del M.C.D. e del m.c.m. sono pari a 1.
Il M.C.D. è 3 xy e il m.c.m. è 69xyz
letterale: monomi e polinomi
Esercizi da completare
1 a. La forma normale del monomio () xyx43 24 è 12
b. Il coefficiente del monomio è 12 e la parte letterale è .
c. Il suo grado rispetto a x è mentre il suo grado rispetto a y è
d. Qual è il grado del monomio? .
e. In generale, il grado di un monomio si ottiene i gradi rispetto a ciascuna lettera.
f. Il monomio opposto al monomio dato è .................................................................................................................................................
g. Un monomio simile al monomio dato è
2 Considera i due monomi =− Axyz 3 4 25 6 e = Bxyz 8 28 .
a. La somma algebrica + AB non si può svolgere perché i due monomi non sono , infatti .
b. Esegui il prodotto () ⋅= = ABxyzxyz 3 4 8 25 62 8
c. La potenza A2 vale () () () () −= xyz 3 4 9 16 2 2 2 5 2 6 2 ................................................................................................................................
d. La divisione AB : non si può svolgere perché il grado della lettera nel monomio A è del grado della stessa lettera nel monomio B
e. È possibile svolgere la divisione BA : ?
2
3 Considera la seguente espressione: 2:
42 abyabayby () () () +⋅
3
a. Svolgi anzitutto le potenze: 2 2 3 aby ()−= 2 22abab()−= + .
b. Dai la precedenza a divisioni e moltiplicazioni: 2: 2 3 2 abyab () () = ; 4 3 3 2 42 ayby() ⋅=
c. Il risultato dell’espressione è quindi: 2: 4 3 3 2 2 3 2 42 abyabayby () () () +⋅ = + =
4 Considera i monomi abcdabcabd 16 , 10 , 20 57 32 62 43 .
a. Fattorizzando i loro coefficienti come potenze di primi, si ha: abcdabcabd2, , 45 73 26 24 3
b. L’M.C.D. dei tre monomi è quindi ab2 , mentre l’m.c.m. è abcd 4 3 = . Eseguendo la divisione tra ciascuno dei tre monomi e il loro M.C.D. si ottiene:
c. () () = abcdab 16 :2 57
d. () () = abcab10 :2 32 6
e. () () = abdab20 :2 24 3 .
Mappa concettuale
23 ab
coeff. 3 parteletterale
Grado monomio: 4
Grado rispetto ad a : 1
Grado rispetto a b: 3
Somma algebrica
(solo tra monomi simili)
53 2 xyxyxy −=
Prodotti e potenze
32 6 22 73 37 xy xyzx yz () =−
28 2 3 63xzxz()−=
Divisione
(solo se il grado di ciascuna lettera del monomio dividendo è ≥ del grado della stessa lettera del monomio divisore)
42 2 34 32 xy :xyx y ()−=
M.C.D.: solo fattori comuni con il minimo esponente
m.c.m.: fattori comuni e non comuni con il massimo esponente
Monomi
Calcolo letterale: monomi e polinomi
Esercizi svolti
5 Calcoliamo il grado complessivo del monomio 35 : 2323 4 88 abcabcabc () () −+ e il suo grado rispetto alle lettere , ab e c . 35 :2 :16: 16 2323 4 8823 4 88 84 12 88 34 abcabcabcabcabcabcabcbc () () () () () () −+ == =
Il grado del monomio è 7; il grado rispetto ad a è 0, il grado rispetto a b è 3, il grado rispetto a c è 4.
6 2 3 32 2 3 92 62 4 23 4 2 10 32 23 82 10 32 10 32 10 32 10 32xyxzxyzxyxzxyzxyzxyzxyz () −= =− =
7 4: 16 464: 16 44 40 43 3 65 64 3129 36 56 43 64 36 43xycxyxycxycxyxycxycxyc() () () −+ =− += −+ =
8 4 5 3 2 2 3 1 3 3 16 25 2 4 2 53 32 28 42 28 42 2mnmnmnmnmnmnmnmnmn () () ()
Calcoliamo il
• Prima di tutto, essendo tutti i coefficienti interi, fattorizziamoli come potenze di primi: 23 , 23 , 23 22 43 28 22 10 xyxyzyz
• Anche se il primo monomio ha coefficiente negativo, il M.C.D. e il m.c.m. avranno coefficienti positivi.
• Il M.C.D. ha solo i fattori comuni con il minimo esponente, quindi è 23 6 22yy ⋅⋅ = .
Esempi particolari
• Il m.c.m. ha tutti i fattori, comuni e non comuni, con il massimo esponente, quindi è 23 108 23 24 10 24 10 xyzxyz = 3422 13 21 3 xyxyxyxyxy nnnnn
Esercizi da svolgere
10 Riduci a forma normale e determina il grado complessivo dei seguenti monomi: 1 4 , 32 , 5 36 22 48 88 2 abcaxyzwzzwzwk () [11; 10; 27]
Esegui, dove possibile, le seguenti divisioni tra monomi.
11 4: 2 3 43 22xyzxyz () ()
3 5 :3 78 65 xyxyz() () [non si può eseguire]
418: 7 3232 2abcabcab() ()
Semplifica le seguenti espressioni contenenti operazioni tra monomi.
Esegui il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di monomi. 25 14 ; 7 35 25 3abcabc
7 ;m.c.m.14 32 55 3 abcabc [] == 26 1 2 ; ; 1 3 43 67 52 34xyzxyzxy
27 80 ; 20 ; 30 45 42 49 xabxyaxyab M.C.D. 10; m.c.m. 240 44 25 9xaxyab [] ==
28 1 2 ; 6; 30 32 32 35 2 aczacyzaz
29 64 ; 48 ; 16 64 32 4 xyzxyxy
M.C.D. ; m.c.m. 32 52 3 azacyz [] ==
16 ;m.c .m 192 36 4 xyxyz [] ==
30 Scrivi due monomi aventi M.C.D. pari a 2 ab e aventi m.c.m. pari a 43abc . , 23 4 abcab [] 31 Scrivi tre monomi con coefficienti diversi aventi M.C.D. pari a 2 4 xy e m.c.m. pari a 48 26 2 xyz . 2, 16, 6 24 26 4 xyzxyzxy [] Esercizi di approfondimento
Calcolo letterale: monomi e polinomi
Nome Cognome Classe
Scheda di verifica 1
1 Dati i monomi xy 5 23 e xy 3 23 , calcola:
a. la somma tra il primo monomio e l’opposto del secondo
b. la somma tra il quadrato del primo monomio e il quadrato del secondo
c. il quadrato della somma dei due monomi
d. il doppio prodotto dei due monomi
e. il cubo del primo monomio per il secondo monomio
f. il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo monomio
g. il prodotto tra la somma dei due monomi e la differenza dei due monomi
2 Per ciascuno dei seguenti monomi scrivine uno simile, il suo opposto e uno dello stesso grado.
a. 2 xy
b. 1 2 4 ac
c. 56 2 xyz
3 Individua l’unica divisione che è possibile eseguire e determina il quoziente dei due polinomi.
a. 3: 3 5254 abcab() ()−=
b. 1 6 : 3 10 46 26xyzxyz () () −=
c. 4: 1 4 abcabd () () =
Semplifica le seguenti espressioni contenenti operazioni tra monomi. 4
6 2222 43 aaxaxax() ()
8 3: 18 23 2 22 abcabc () ()
9 28 :2 210183 2 3 xyxyxy() () ()
10 1 2 1 2 :3 1 6 3 22 2 23 xyxyxyxxy() () () () () −+
Calcola il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di monomi.
14 12 ; 6; 30 52 2 xyxyy 15 2 3 ; 4 5 ; 42 52 73 52abzabzabw
Calcolo letterale: monomi e polinomi
2. TEORIA IN SINTESI
Riprendiamo l’esempio di inizio capitolo relativo al cilindro. Se r è il suo raggio di base e h la sua altezza, la superficie laterale del cilindro si calcola come π 2 rh e l’area di ciascuna base come π 2 r : come sappiamo, sia π 2 rh sia π 2 r sono dei monomi. La superficie totale del cilindro, che si esprime come π+ π 22 2 rhr , essendo la somma di due monomi non simili, non è un monomio ma un polinomio.
2.1 I polinomi
Si chiama polinomio una somma algebrica di due o più monomi non simili, detti terminidelpolinomio Osserviamo che, se i termini del polinomio sono tutti monomi simili, allora la loro somma è ancora un monomio: unmonomioèuncasoparticolaredipolinomio. Se alcuni termini del polinomio sono simili, si procede a sommarli e così il polinomio è ridotto a forma normale. Facciamo qualche esempio di polinomio.
Esempi:
xy x + 32 ab c +−22 2 ab bc cd ad ++44 ab cd xy ++ 2323 3 binomiotrinomio quadrinomio polinomio a 5 termini
Si dice grado di un polinomio, il massimo tra i gradi dei suoi termini. Analogamente, il grado di un polinomio rispetto a una data lettera, è il massimo tra i gradi dei suoi termini rispetto a quella lettera. Se tutti i termini di un polinomio hanno lo stesso grado, il polinomio si dice omogeneo. Infine, il termine di grado zero – se presente nel polinomio – si dice termine noto, coincidendo con un numero reale.
Esempi:
a. Il trinomio 32 1 24 2 xyxy+− è costituito rispettivamente da termini di grado 3, 6 e 0: il grado del trinomio è quindi 6 e non si tratta di un polinomio omogeneo. Il grado del polinomio rispetto alla lettera x è 4, rispetto alla lettera y è 2. Il termine noto del trinomio è 1
b. Il quadrinomio 3233 23 xxyxyy ++ + è omogeneo (di grado 3).
Il polinomio dell’esempio b. è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera x e secondo le potenze crescenti della lettera y ed è completo sia rispetto a x sia rispetto a y perché in esso compaiono tutte le potenze delle due lettere da 0 x a 3 x e da 0 y a 3 y Il polinomio dell’esempio a., invece, non è né ordinato né completo sia rispetto a x sia rispetto a y
2.2 Operazioni tra polinomi
1. Somma algebrica. Dati due o più polinomi, la loro somma è il polinomio che ha per termini tutti i termini dei polinomi addendi: tipicamente esso non è già ridotto in forma normale e quindi si procede a ridurlo. Per sottrarre due polinomi, si procede invece a sommare al primo l’opposto del secondo.
Esempio: 23 43 82 68 22 2 xyxxyxyxyxy() () −+ += + 23 43 8 23 43 8 68 2 2 2 2 2 xyxxyxyxyxxyxyxyy () () () () −+ =− ++ =−
2. Moltiplicazione e potenza. Il prodotto di un monomio per un polinomio è quel polinomio che ha per termini i prodotti del monomio per ciascun termine del polinomio.
Esempio:
Il prodotto tra due polinomi è il polinomio che si ottiene sommando i prodotti di ciascun termine del primo polinomio per il secondo polinomio (proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma).
Esempio: 4 3 2 4 2 3 2 2 22 2 2 abbaababba() ()()() =⋅ = 84 46 33 84 63 22 24 22 22 4 aababbabaababb =− ++ =− +
Vi sono alcuni prodotti tra polinomi e, in particolare, alcune potenze di polinomi che meritano di essere evidenziati.
PRODOTTI NOTEVOLI
a. Quadrato di binomio 2 2 22ABAABB ()+= ++
b. Quadrato di trinomio 22 2 2 22 2 ABCABCABACBC () ++ =+ ++ ++
c. Cubo di binomio 33 3 32 23 ABAABABB ()+= ++ +
d. Prodotto tra la somma di due termini e la loro differenza 22ABABAB ()() +⋅ −=
Esempi:
a. 23 2 , 3 2 2 2 xyAxBy()−→ == 23 22 34 912 2 2 2 22 42 xyxyxyxy ()() () +− +⋅ ⋅− =+
b.
c.
()−→ ==
d.
Esiste un metodo semplice per eseguire lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio: AB n() + .
Anzitutto bisogna costruire il triangolo di Tartaglia fino alla riga n-esima: si tratta di un triangolo che ha sui “lati obliqui” il numero 1 e, in ogni posizione interna, la somma dei due numeri collocati sopra di esso nella riga precedente del triangolo. Puoi osservarlo qui sotto: 1 prima riga 1 + 1 seconda riga 1 + 2 + 1
Calcolo letterale: monomi e polinomi
Vediamo come utilizzare il triangolo di Tartaglia: i numeri che compaiono sulla n-esima riga sono i coefficienti dello sviluppo della potenza n-esima del binomio AB () + , ordinato secondo le potenze decrescenti di A e crescenti di B . Per esempio, i numeri della quarta riga sono 1, 4, 6, 4, 1, perciò si ha che:
Esempio: per determinare lo sviluppo di 2 2 5 xy () −+ , osserviamo che sulla quinta riga del triangolo di Tartaglia si leggono i numeri 1, 5, 10, 10, 5 e 1. Allora si ha:
3. Divisione. La divisione di un polinomio per un monomio è possibile solo se ogni termine del polinomio è divisibile per il monomio: in questo caso, il quoziente è dato da quel polinomio che, moltiplicato per il monomio divisore, dà il polinomio dividendo.
Esempi:
• 47226: 3 xyxyxy () () non può essere svolta perché il termine 6 22xy non è divisibile per 3 xy
Passiamo ora alla divisione tra due polinomi Ax() e Bx() , ricordando anzitutto che – se il grado di Bx() è minore o uguale al grado di Ax() – esistono sempre due polinomi Qx() (quoziente) e Rx() (resto) tali che: ()()()() ()() =⋅ +< con grado grado AxBxQxRxRxBx
Partiamo dal caso particolare in cui il divisore è di primo grado , del tipo Bxxc () =− . In questo caso, il resto Rx() ha grado zero, ossia è un numero reale R , e la scrittura precedente diviene: AxxcQxR () () () =− ⋅+
Sostituendo al posto di x il valore c , si ottiene che 0 AcQcRR ()() =⋅ += , ossia il resto della divisione del polinomio Ax() per xc () è RAc() = (teorema del resto). Deduciamo, in particolare, il noto teorema di Ruffini
Teorema di Ruffini: il polinomio A(x) è divisibile per (xc) se e solo se A(c) = 0.
Esempio: il polinomio
34 21 54 2 Axxxx () =+ −+
• non è divisibile per il binomio 2 x () , infatti il resto della divisione è:
23 24 22 21 153 0, 54 2 A () =⋅ +⋅ += ≠ quindi si ha che:
34 21 2 153; 54 2 xxxxQx () () +− += +
• è divisibile per il binomio 1 x () + , infatti 13 14 12 11 0 54 2 A ()()()() −= +⋅ += ; quindi si ha che:
34 21 1 54 2 xxxxQx () () +− += +⋅
Se il divisore è di primo grado, per determinare il quoziente Qx() possiamo utilizzare la regola di Ruffini Anzitutto, si riscrive il polinomio dividendo Ax() secondo le potenze decrescenti della lettera x e si crea una griglia come quella in figura. Descriviamo la procedura per passi, portando avanti l’ultimo esempio.
Nella parte alta tra le due linee verticali si scrivono nell’ordine i coefficienti del polinomio Ax(): se non è completo, si scrive 0 in corrispondenza dei “termini mancanti”.
A destra della seconda linea verticale si scrive il termine noto.
A sinistra della prima linea verticale si scrive il valore di x che annulla il binomio divisore Bx() : essendo qui 1 Bxx () =+ , scriviamo 1
Ricopiamo poi sotto la linea orizzontale il primo coefficiente in alto.
Moltiplichiamo il valore sotto la linea orizzontale ( 3 ) per 1 e scriviamo il risultato 3 nella colonna accanto sopralalinea
Sommiamo in colonna e scriviamo il risultato (43−= 1 ) sottolalinea.
Ripetiamo quanto svolto al punto precedente fino ad arrivare alla colonna del termine noto e quindi a completare la tabella.
L’ultimo valore scritto in basso a destra corrisponde al resto della divisione 1 A (), precedentemente calcolato. In questo caso sapevamo già che Ax() fosse divisibile per Bx() e quindi ci aspettavamo resto 0.
Il quoziente Qx() è un polinomio di grado pari a quello del polinomio dividendo Ax() diminuitodi uno: nel nostro caso Ax() è di V grado, quindi Qx() è di IV grado. I coefficienti di Qx() , secondo le potenze decrescenti della lettera x , sono i valori che si leggono nella tabella scritti al di sotto della linea orizzontale: nel nostro caso essi sono 3, 1, 1, 1, 1; quindi il polinomio quoziente è 31 11 1 43 2 Qxxxxx () =+ + , ossia 31 43 2 Qxxxxx () =+ +
Calcolo letterale: monomi e polinomi
Più in generale, anche nel caso in cui il divisore ()Bx abbia grado superiore al primo, per determinare il quoziente Qx() e il resto Rx() di una divisione polinomiale possiamo seguire un altro metodo.
Anzitutto, si riscrive il polinomio dividendo Ax() secondo le potenze decrescenti della lettera x e si crea una tabella come quella indicata a destra.
Descriviamo la procedura per passi, portando avanti il seguente esempio:
43 25 :1 43 2 xxxxx() () −+ +
In alto, a sinistra della riga verticale, scriviamo tutti i termini del polinomio ordinato Ax() : se non è completo, si scrive 0 in corrispondenza dei “termini mancanti”.
In alto, a destra della riga verticale e sopra la riga orizzontale, scriviamo il polinomio ordinato Bx() . In questo caso, non è necessario introdurre zeri se Bx() non è completo.
Dividiamo il primo termine del polinomio Ax() per il primo termine del polinomio Bx() e scriviamo il risultato sotto la riga orizzontale.
Moltiplichiamo 4 2 x per ciascun termine di Bx() e scriviamo il risultato sotto il termine di Ax() avente lo stesso grado.
Poi eseguiamo la sottrazione in colonna e scriviamo il risultato sotto una riga orizzontale. Osserviamo che il polinomio così ottenuto hagradomaggioreouguale a quello di Bx() .
Iteriamo lo stesso procedimento, considerando il polinomio appena scritto in luogo del polinomio Ax() , finché il polinomio che si ottiene per differenza ha grado maggiore o uguale a quello di Bx() .
Il primo polinomio ottenuto per differenza avente grado inferiore a quello di Bx() è il resto Rx() . Il polinomio scritto a destra della riga verticale e sotto la riga orizzontale è il quoziente Qx()
La divisione 43 25 :1 43 2 xxxxx() () −+ + ha come quoziente 43 2 Qxxx () =+ e come resto 22Rxx () =− . Questa procedura si può applicare anche nel caso in cui il polinomio divisore Bx() abbia grado 1.
Ax() ()Bx
Esercizi da completare
35 a. Il polinomio 10 32 4 62 3 xyxyy−+ 3 , avendo quattro termini, è un ed è ordinato e completo rispetto alla lettera . Ha grado 3 rispetto alla lettera y e grado rispetto alla lettera x . Il grado complessivo del polinomio è invece e il suo è 10
b. In generale, il grado complessivo di un polinomio è della somma dei gradi del polinomio rispetto a ciascuna sua lettera.
36 a. La divisione 33 : 23 2 xyxyxyxy() () −+ 4 può essere svolta perché e il quoziente è 2 xy
b. La divisione 33 : 4346 42 2 xyxyxyxy() () −+ non può essere svolta perché .
37 Individua gli errori commessi in ciascuno dei seguenti prodotti notevoli e correggi.
a. 2323 49 22 22yxyxyx()() −+ =−
b. 44 16 3 2 23 6 xyxxyy ()−= −+
c. 28 2 3 33xyxy()−=
d. 23 49 46 6 2 2 22 42 2 xyzxyzxyxzyz () −+ =− +− +−
38 a. Il polinomio 48 3 Pyyy () =− + non è divisibile per 2 y () + perché 2 P ()−=
b. Per il teorema del resto, infatti, Py() sarebbe stato divisibile per 2 y () + se e solo se 2 P ()−=
c. Il polinomio 43 2 Qxxx () =− + è divisibile per 1 x () infatti () = Q
39 Confrontiamo i due metodi studiati per eseguire divisioni, nel caso in cui il divisore sia di I grado. Esegui la divisione 53 :2 42 yyy() () −+ in entrambi i modi. Quale è preferibile?
Mappa concettuale
Binomio ab +
Trinomio ab c ++
Quadrinomio ab cd ++ +
Polinomi
2x bxybyb +− 24 43 3
Ordinato rispetto a x , non a y e b
Completo rispetto a x , non a y e b
Polinomio omogeneo (di 6° grado)
3732ab ab +−
Grado polinomio: 8
Grado rispetto ad a : 7
Grado rispetto a b: 3
Prodotti notevoli
Divisioni Se il divisore è di I grado, si possono usare il teorema del resto e la regola di Ruffini.
Esercizi svolti
40 Semplifichiamo la seguente espressione: 24 6 :2 23 1 32 2 2 3 22 5 xxyyxyxyxxyx () () () () () () +−
28 6 :2 22 33 44 63 23 52 5 xyxyxyxyxxxyxy () () () () =−
+− −=
−+
28 6: 22 23 3 44 63 23 52 5 xyxyxyxyxxxyxy[] () =− +− ++ = 43 22 33 34 23 33 53 23 52 53 22 5 xxyxxxyxyxxxy =− +− ++ =− +− +
Il risultato dell’espressione è un quadrinomio non omogeneo di settimo grado, di grado 3 rispetto a x e di grado 5 rispetto a y . Il termine noto del quadrinomio è 4.
41 Semplifichiamo la seguente espressione, riconoscendo i prodotti notevoli:
xxxxx ()() () +
42 Semplifichiamo la seguente espressioni, riconoscendo i prodotti notevoli: 22 2 22 2 2 abcabcabc ()() () +−−+ +
Osserviamo che il primo prodotto è della forma XYXY ()() +− , dove 2Xa = e 2 Ybc =− , quindi si sviluppa come 22XY e si ha: () () ++ +− −+ = 24 24 4 2 2 2 42 22 2 abcabcabacbc 44 42 44 42 24 22 22 abbccabcabacbc () =− −+ ++ +− −+ = 44 42 44 28 24 42 24 22 22 42 2 abbccabcabacbcabcabac =− +− ++ +− −+ =+
43 Il polinomio 10 45 2 23 Axxxx () =− −+ è divisibile per 2 x () ; infatti, per il teorema di Ruffini, vale 2104 45 22 80 A () =− ⋅+ ⋅= . Il quoziente è determinabile con la regola di Ruffini, dopo aver riscritto il polinomio 24 510 32 Axxxx () =− −+ ordinato le potenze decrescenti di x : 24 510
2 40 10 20 50 Il quoziente della divisione è 25 2 x .
44 Il polinomio 2168 1 32 Ayyyy () =+ ++ è divisibile per 2 1 y () + ?
Per poter sfruttare il teorema di Ruffini, dobbiamo riscrivere il divisore nella forma yc (): a tal fine, possiamo dividere per 2 il polinomio dividendo e il polinomio divisore e, anziché eseguire la divisione 2168 1: 2 1 32 yyyy() () ++ ++ , eseguire la divisione 84 1 2 : 1 2 32 yyyy () () ++ ++ In generale, infatti, osserviamo che: : AxBxQx ()()() = con resto RxAxBxQxRx Ax k Bx kQx Rx k ()()()()() ()() () () ⇔= ⋅+ ⇔= ⋅+ quindi la divisione : Ax k Bx k ()() ha lo stesso quoziente Qx() della divisione : AxBx()() e il resto è Rx k ()
Calcolo letterale: monomi e polinomi
Il resto della divisione 84 1 2 : 1 2 32 yyyy () () ++ ++ è 1 2 8 1 2 4 1 2 1 2 3 8 32 ()()() −+ +⋅ −+ = , quindi il resto
della divisione 2168 1: 2 1 32 yyyy() () ++ ++ è 2 3 8 3 4 ⋅= e perciò il polinomio Ay() non è divisibile per 21 y () + Il quoziente di 84 1 2 : 1 2 32 yyyy () () ++ ++ è lo stesso di 2168 1: 2 1 32 yyyy() () ++ ++ 18 4 1 2 1 2 1 2 15 4
quindi è 15 2 1 4 2 Qyyy () =+ + .
45 Eseguiamo la divisione 3: 2 43 2 xxx() () . Non essendo il divisore un polinomio di primo grado, non possiamo usare la regola di Ruffini, ma dobbiamo procedere con la tecnica generale.
30 00 2 43 22 xxxxx −+ ++ 3642 xx 36 2 xx−+ Quoziente 36 2 Qxxx () =− +
62 0 2 xx−+ 612 2 x 212 x −+ Resto 212Rxx () =− +
Esempi particolari
Eseguiamo la divisione 27 +1816: 23 32 23 xbxbxbxb() () considerando x come variabile e b ∈ come parametro. Essendo il divisore di primo grado, possiamo procedere in entrambi i modi.
Tecnica generale
2x3 7bx2 + 18b2x 16b3 2x 3b
2x3 3bx2 x2 2bx + 6b2
2x3 4bx2 + 18b2x 16b3
2x3 4bx2 + 6b2x
2x3 4bx2 + 12b2x 16b3
2x3 4bx2 + 12b2x 18b3
2x3 4bx2 + 12b2x 12b3
Esercizi da svolgere
Svolgi i seguenti prodotti notevoli.
46 23 2 3 ab ()
47 22 4 224 22xykxykxyk ()() () −+
48 1 3 6 2 2 ab ()
Regola di Ruffini
Non essendo il divisore nella forma xc, dividiamo per 2 il dividendo e il divisore: () () −+ 7 2 98 : 3 2 32 23 xbxbxbxb 1 7 2 b +9b2 8b3 3 2 b + 3 2 b 3b2 +9b3 1 2b +6b2 b3
Quoziente () −+26 22xbxb ; resto 2 b3
49 2 3 2 abc () −+
50 2323 2222 xyzxyz ()−++−()
51 22 4 2 4 2 ayxayx ()()
Utilizzando il triangolo di Tartaglia, sviluppa le seguenti potenze di binomio.
52 2 3 4 xz () 53 1 2 3 5 ab ()
54 42 3 6 xy () +
Semplifica le seguenti espressioni con i polinomi, riconoscendo i prodotti notevoli.
55
Dopo aver calcolato il resto delle seguenti divisioni, determina il quoziente con la regola di Ruffini. 67 63 10 :1 32 xxxx ()
22 :2 32 yyyy ()+−() 0; 1 2 RQyy () ==
69 24 :2 3 aaa () () −+ 8; 22 2 RQaaa [] () == ++
70 32 5: 2 53 xxxx () () −+ −+ 17 ;2 26 43 2 RQxxxxx [] () =− =− +− +
71 62 33 :3 1 43 xxxx() () −+ +− 4; 21 3 RQxx [] () == +
Esegui le seguenti divisioni polinomiali.
72 42 41 :2 21 32 2 xxxxx() () +−
6145 58 :3 64 32 2 yyyyyy () () ++ +− 35 1; 2 42 QyyyyRyy () () =− +−
Esercizi di approfondimento
Nome Cognome
Scheda di verifica 2
Classe
1 Determina per quale valore del parametro k ∈ il polinomio 2 25 2 xyxyy kk −+ −+ 1 ha:
a. grado 6 rispetto a x
b. grado 1 rispetto a y
c. grado complessivo 10
d. Posto poi 3 k = , stabilisci il grado del polinomio e scrivilo in modo ordinato secondo le potenze decrescenti di x . Si tratta di un polinomio completo rispetto a x ?
Esegui le seguenti somme algebriche di polinomi.
2 83 33 xyzxyxyxy () () +− ++ +−
3 1 2 2 1 3 1 6 1 4 2 3 abcbabca() () ++ −+−−
4 1 2 2 1 6 32 abyaby() () ++ +
Esegui le seguenti moltiplicazioni di polinomi.
7 12 1 2 xyxxy () () +− +− +
Esegui i seguenti prodotti notevoli servendoti, se necessario, del triangolo di Tartaglia. 8 1 2 4 3 3 ab () 9 5 1 5 22 2 xy ()
Semplifica le seguenti espressioni, riconoscendo i prodotti notevoli. 14 13 22 3 abababababab ()() ()() ++ ++ −+
Esegui, se possibile, le seguenti divisioni di un polinomio per un monomio.
Esegui le seguenti divisioni tra polinomi utilizzando, laddove possibile, la regola di Ruffini.
12 6: 2 4 aaa() () ++ +
43 28 :3 43 23 yyyyy() () −+ + 31 32 :1 35 2 xxxx()−+() + 32 44 21 :2 1 43 2 xxxx() () −+
Applicando il teorema di Ruffini, stabilisci se i seguenti polinomi sono divisibili per il binomio indicato. 33 45 1 1 3 xxx() () −+ 34 632 7 3 53 yyyy() () −+ ++ 35 46 7 41 23 xxx() () −+ + 36 1219 12 31 32 yyyy() () +− ++
CAPITOLO
Scomposizioni 3
1. Raccoglimento a fattor comune totale
2. Raccoglimento a fattor comune parziale
3. Differenza di due quadrati
4. Quadrato di un binomio o trinomio
5. Trinomio caratteristico
TEORIA IN SINTESI
6. Casi particolari
7. Cubo di un binomio/trinomio
8. Somma e differenza di cubi
9. Regola di Ruffini
10. Calcolo M.C.D. e m.c.m. di polinomi
Scomporre un polinomio vuol dire riscriverlo sotto forma di prodotto di fattori di grado inferiore e non ulteriormente fattorizzabili. Questo procedimento potrebbe presentare qualche difficoltà, ma cercheremo di fornire un metodo che possa rendere il processo più semplice, fornendo una casistica delle situazioni più comuni.
1. Raccoglimento a fattor comune totale
Riprendiamo il concetto di M.C.D. fra monomi e valutiamo se per il polinomio dato questo è diverso da 1 tra tutti i termini che lo compongono. In caso affermativo possiamo raccoglierlo, cioè riscrivere il polinomio come prodotto tra quest’ultimo e il quoziente tra il polinomio e il M.C.D.
Esempio: dato 24 6 22 2 aabab−+ → 2 M.C.D. = 22 23 abababab →−() +
N.B. Si potrebbe anche raccogliere 22 3 ababab () +− , ma si tende a raccogliere il termine positivo tranne in qualche caso che vedremo più avanti.
Se è possibile effettuare il raccoglimento a fattor comune è sempre buona norma farlo come primo passaggio.
Esempio: dato 32 1 3 1 2 22 32xyaxbxxyxy ++ +−
M.C.D. x = → 32 1 3 1 2 22 xxyabxyxy () ++ +−
N.B. Quando i coefficienti sono frazionari si tende a raccogliere solo la parte letterale, a meno che non sia evidente il coefficiente razionale comune.
2. Raccoglimento a fattor comune parziale
Questo procedimento è utile quando non è possibile effettuare il raccoglimento totale. Esso consiste nell’effettuare un raccoglimento a fattor comune su gruppi di termini anziché su tutti. Questo procedimento ha senso solo se in un secondo momento consente un raccoglimento totale che possa condurre poi a una fattorizzazione del polinomio.
Esempio: dato 44xbayybax + si può pensare di raccogliere 4b tra il primo e il terzo termine e a tra il secondo e il quarto. In questo modo si ottiene: 4bxyaxy ()() −+ ; il fattore (xy) è in comune e si può raccogliere ottenendo (xy) (4b + a).
Non è l’unico modo per procedere: si sarebbe potuto anche raccogliere x tra il primo e il quarto e y tra il secondo e il terzo e si sarebbe pervenuti allo stesso risultato.
In linea di massima, se il polinomio è costituito da un numero pari di monomi, il raccoglimento a fattor parziale può essere un buon metodo, ma vedremo più avanti che, anche nel caso di un numero dispari di monomi, può essere possibile procedere raccogliendo per gruppi separati.
Esempio: 32 32 2 xyxyy ++ +
Se raccogliessimo y tra il 2° e il 3° termine si avrebbe: 32 23 2 xyyx() ++ + e a questo punto non sarebbe più possibile procedere ulteriormente e la scomposizione non andrebbe a buon fine; se invece raccogliessimo y tra il 3° e 4° termine si otterrebbe 3232 xyyxy() ++ + e si avrebbe il fattore 3x + 2y in comune da poter raccogliere ottenendo alla fine una scomposizione del polinomio 32 1 xyy()++()
Esempio: dato 24 24 22 2 xyxymxymy ++ + , raccogliamo prima a fattor comune totale 22 2 2 yxxymxmy () ++ + , poi fattorizziamo il polinomio all’interno della parentesi raccogliendo a fattor parziale 22 22 2 yxxymxyyxyxm ()()()() ++ +
3. Differenza di due quadrati
Riprendiamo il prodotto notevole (a + b) (ab), che sappiamo dare luogo a una differenza di quadrati 22ab e invertiamo il procedimento, cioè, nel momento in cui ci troviamo una differenza di quadrati, la riscriviamo come prodotto della somma delle basi per la loro differenza, ottenendo così una scomposizione del polinomio.
Esempio: 25 95 35 35 3 22 2 2 xyxyxyxy () ()() () −= −= −+
Esempio: xyxyxyxy () ()() () −= −= +− 44 2 2 2 2 2222
Si nota che il secondo fattore è ancora una differenza di quadrati, per cui si può procedere ulteriormente con la scomposizione ottenendo: 22 xyxyxy()++()()
Esempio: in alcuni casi il polinomio è una differenza di quadrati che però è meno evidente, come in questo caso 22 22 22 22 2 2 abxabababxabxabxabx() () ()() +− += ++ −= +− =+ ++
4. Quadrato di un binomio o trinomio
Ricordiamo la regola del calcolo del quadrato di un binomio e trinomio in cui 2 2 22 ababab()±= +± e per il trinomio 22 2 2 22 2 abcabcabacbc () ++ =+ ++ ++ e anche in questo caso si procederà al contrario. Dato un trinomio, si dovranno avere i due quadrati e il relativo doppio prodotto tra le basi, mentre per un polinomio di sei termini dovrò avere i tre quadrati e i tre rispettivi doppi prodotti (attenzione ai segni!).
Esempio: 428162 26 2 2 23 3 2 23 2 xxyyxxyyxy () () () ++ =+ += + Il secondo passaggio è esemplificativo e può essere omesso.
Esempio: 1 4 1 2 22 34 2 2 xyxyyyxy() ++ =+ dopo aver fatto il raccoglimento a fattor comune, si è potuto visualizzare il quadrato.
Esempio: ()() () () () ()()()() () ++ −+ −= +−+− ++ −+ + 12 22 222 12 11 46 23 23 2 2 2323 23 2 abababaababab
Come appare evidente, bisogna allenare l’occhio per riconoscere queste situazioni e l’esercizio intenso consente di farlo.
5. Trinomio caratteristico
Consideriamo: ()() ++ =+ + 23 56 2 xxxx . Si nota che +6 corrisponde al prodotto di (+2) (+3) e +5, coefficiente di x, è la somma di +2 e +3. Il procedimento, quindi, può essere invertito.
Esempio: −+56 2 xx
Cerchiamo la coppia di valori che dà per prodotto +6 e per somma 5. Si capisce facilmente che i numeri sono 2 e 3, quindi il trinomio si scompone in (x 2) (x 3)
Esempio: ++1130 2 yyp = +30 e s = +11 → ()++() 56yy
Esempio: −+ 421021xx
Il trinomio è di quarto grado, ma se facciamo una sostituzione ponendo = 2 xy , lo riscriviamo come () () −+ =− 1021 37 2 yyyy e sostituendo nuovamente otteniamo: () ()2237xx .
6. Casi particolari
Ci sono trinomi che si presentano con il coefficiente del termine di secondo grado diverso da 1.
Esempio: 67 3 2 xx
In questo caso cerchiamo due numeri che danno come prodotto 18 ((+6) (−3)) e per somma 7. I numeri saranno 9 e +2; riscriviamo allora il trinomio nel modo seguente −+69 23 2 xxx in cui abbiamo sostituito al termine di primo grado la somma di due monomi. Procediamo con l’effettuare un raccoglimento a fattor comune parziale: ()()() −+ −= −+ 32 32 32 33 1 xxxxx
7. Cubo di un binomio o trinomio
Come nel caso del quadrato, riprendiamo la regola del cubo di un binomio: ()+= ++ + 33 3 33 22 abababab Regola generalizzabile al cubo di un trinomio: () ++ =+ ++ ++ ++ + 33 33 33 3 33 32 22 22 2 abcabcababacacbcbc
Esempio: () () () () ()() () ++ += ++ ++ ++ =+ 27 1279 31 33 13 31 31 32 33 22 3 xxxxxxx
Esempio: ()()() () =−()()() +− +− −+ =− 1 8 3
8. Somma e differenza di cubi
Osserviamo il seguente prodotto: 22 32 22 23 33 abaabbaababababbab ()() +− += −++− += + , da cui la regola generale ∓ 33 22ababaabb () ()() ±= ±+ . Il trinomio è irriducibile.
È quindi possibile scomporre una somma o differenza di cubi fattorizzando il binomio.
Esempio: 27 83 29 64 33 22ababaabb ()() −= −+ +
Esempio: 1 64
È preferibile prima raccogliere a fattor comune e poi scomporre la somma di cubi.
Esempio: aa aa aa a 33 11 11 1 32 23 32 bbbbbbb{} () () ()() ++ +− =+ −= +−
9. Regola di Ruffini
Alcuni polinomi non sono scomponibili seguendo gli esempi precedenti, rimane quindi una sola possibilità: l’applicazione della regola di Ruffini. Si possono presentare due casi:
Caso 1 Il coefficiente del termine di grado massimo è 1
Esempio: 25 6 32 xxx +
È un quadrinomio in cui non si può raccogliere a fattor comune né a fattor parziale; inoltre non è neanche il cubo di un binomio. In questo caso vado a cercare gli zeri del polinomio fra i possibili divisori del termine noto. Risultano essere 1, 2, 3, 6 ±± ±± . Il teorema di Ruffini stabilisce che P(x) è divisibile per il binomio (xa) se e solo se P(a) = 0
P(1) = 1 2 5 + 6 = 0
P(−1) = 1 2 + 5 + 6 ≠ 0
P(2) = 8 8 10 + 6 ≠ 0
(−2) = 8 8 + 10 + 6 = 0 e così via.
Abbiamo già trovato due zeri, procediamo con la divisione:
+1 2 5 +6
+1 +1 1 6 +1 1 6 0
dalla prima divisione otteniamo che:
25 61 6 32 2 xxxxxx()() +=
proseguiamo:
+1 1 6 2 2 +6
+1 3 0
dalla seconda divisione:
P(−2) = 0
62 3 2 xxxx=+()()
Complessivamente la scomposizione del polinomio sarà:
25 61 23 32 xxxxxx()()() += −+
N.B. Il secondo trinomio poteva essere scomposto come trinomio speciale.
Caso 2 Il coefficiente del termine di grado massimo è diverso da 1
Esempio: 25 2 32 xxx ++
In questo caso troviamo i divisori interi del termine noto: 1, 2 p =±{} ± e i divisori interi del coefficiente del termine di grado massimo: 1, 2 q =±{} ± ; allora l’insieme degli zeri del polinomio è dato dai possibili
quozienti: 1, 1 2 ,2 p q =±{} ±±
A questo punto si procede come nel primo caso:
P(−1) = 0 → eseguo la divisione 2 +5 +1 2 1 2 3 +2 2 +3 2 0 per cui : 25 21 23 2 32 2 xxxxxx()() ++ −= ++
Esercizi da completare
1. Se possibile, effettuare il raccoglimento a fattor comune.
2. In alternativa, provare il raccoglimento a fattor parziale.
3. Successivamente procedere secondo la mappa riportata a pag. 48.
4. Se non si riconosce nessuna situazione particolare, procedere applicando la regola di Ruffini.
5. Qualche volta non è immediato rendersi conto di quale metodo usare; in questi casi guardare bene se gruppi di termini all’interno del polinomio possono essere quadrati o cubi di binomi, differenza o somma di cubi o differenza di quadrati; scomporli e controllare se poi sia possibile un raccoglimento con i restanti termini (quasi certamente lo sarà).
Come procedere nella scomposizione di un polinomio
Esercizi di applicazione della regola di Ruffini
15 23 10 43 2 xxxx +− ++ = 16 326116 aaa+++ =
52 8 32 yyy −+ +=
36 8 32 xxx +− −= 19 314136 32 aaa −+ +=
Suggerimento: seiterminisonotuttipositivi,èinutilesostituireunvalorepositivo:ilpolinomiononsi azzereràmai;procederequindinelsostituireidivisorinegativi.
Esempi particolari
Mappa concettuale
La mappa seguente può dare un’idea di come procedere a seconda del numero dei termini del polinomio.
Binomio
Differenza di quadrati
Differenza di cubi
Somma di cubi
Polinomio
Quadrinomio
Trinomio
Quadrato di un binomio
Trinomio speciale Ruffini
Cubo di un binonio
Differenza di quadrati
Sostituiscoaquestotermineladifferenzadiquestidueperottenereunquadrato
Sommadicubi
Esercizi da svolgere
Perquestiesercizinonvengonofornitiirisultatiperindurrelostudentearagionareautonomamente. Perverificarelacorrettezzadellascomposizionesiprocedarimoltiplicandoifattori.
30 22 2 abxabyabx +−
31 55abxaxb ++ +
32 41 4 2 aa ++
33 28 8 22aabb−+
34 6 22xy
35 8126 1 32 xxx −+
36 78 2 aa+−
37 242 4 axbxayby −+
38 2 yyzyayaza++
39 1 3a +
40 54 2 axaxa
41 3692727 3 xxx −+
42 66xy
43 5176 2 xx++
44 97222 3aab
45 7752 3xxb
46 15 17 1 xxx ()()()
47 32 10a +
48 55 5 22aabb++
49 4129 2 42 22 2 aabbxxyy ++
50 2221xxyy++ 51 3222xxx +− 52 98 2 aa++ 53 27 1 8 6 x 54 31512 53 yyy −+ 55 9624 8 xxyy −+ 56 33 33 33 33 32 22 22 2 abcaba
Esercizi di approfondimento
57 91 22 apq
58 16 4271xx++
59 21 22 2 aabab nnnn + +
60 31512 53 yyy −+
61 ()2xyyx
62 21 2 22 2 abaaab nnnnnn ++
63 4122718 43 2 xxxx+−
64 () () 2( ) 33 22 2 abaabbababab −+ −+
65 42 24xxyy ++ (aggiungere e togliere 22xy )
66 44 32 23 22 xxyxyyxy ++
67 Calcolare a mente il valore che l’espressione 3 33 ababab() ++ + assume ponendo a = 0,2743 e b = 0,7257.
68 Calcolare a mente il valore che l’espressione 2 22 2 abcacbcab () ++ −+ , assume ponendo a = 2,75, b = 0,38 e c = 1,13.
69 Scomporre: 2 2 2 2 4 aabbabab() () () ++ −+
10. Calcolo M.C.D. e m.c.m. di polinomi
Si definisce M.C.D. (Massimo Comune Divisore) di due o più polinomi il polinomio di grado massimo che risulta essere divisore di tutti e m.c.m. (minimo comune multiplo) il polinomio di grado minimo che risulta essere multiplo di tutti.
Per determinare il M.C.D. e m.c.m. di un gruppo di polinomi occorre innanzitutto scomporli. Successivamente, per il calcolo del M.C.D. si prendono tutti i fattori comuni con il minimo esponente con cui compaiono nelle scomposizioni; per l’m.c.m. si prendono in considerazione tutti i fattori comuni e non comuni con l’esponente maggiore con cui compaiono nelle fattorizzazioni.
N.B. Se non ci sono fattori comuni M.C.D. = 1
Esempio: dati
M.C.D. = + 4( ) ab m.c.m. = ()() +− 24 2 2 aabab
Mappa concettuale
Polinomi assegnati
Scomponi in fattori
M.C.D. m.c.m.
Moltiplica tutti i fattori comuni con il minimo esponente
Esercizi da svolgere
;; 22 44 ababab
55 56;4 52 43 23 2
;5 55 ;3 3 33 22 22 xyxxyyxy −+ +−
Moltiplica tutti i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente
24 (4 16 2 aaaaa 75 99 ;3;6 6 43 25 4bbbbb ++
40 Calcolare M.C.D. e m.c.m. fra i seguenti polinomi: 712; 56;3 22 xxxxx −+ −+
41 Calcolare M.C.D. e m.c.m. fra i seguenti polinomi: ;; 22aabaxaxx −+ +
42 Calcolare M.C.D. e m.c.m. fra i seguenti polinomi: ;2 ;1 22manamnmmnna −+ ++
43 Scomponi: a (a 2)3 8a
44 Scomponi: x12 y8
45 Calcolare M.C.D. e m.c.m. dei seguenti polinomi: 1 x3
Esercizi di approfondimento
Scomponi in fattori le seguenti espressioni.
76 3 33 3abcabc () ++
77 3 33 3 abcabc ++
78 Provare che se 03 33 3 xyzxyzxyz ++ =→ ++ =
79 4254aa−+
80 6398aa++
81 25 27 23 3 3 3 2 3aaa ()()() +− ++ +−
82 11 331212 3 ababab() ()() +−
83 Al variare del parametro t, scomporre il seguente polinomio: 748863 xxxxtt + ++
84 Dato P(x) = 2x2, scrivi e scomponi il polinomio che si ottiene da: P(2x) P
85 Dato P(x) = x2 + 1, scrivi e scomponi il polinomio che si ottiene da: P(4x) + P(3x) − 6.
86 Scomponi: a4 a2 (a2 1) (5a 6)
87 Scomponi: t4 2t3 8t2 + 18t 9.
88 Calcola il perimetro di un rettangolo sapendo che l’area è 64a4 + b4 +16b2a2 .