MATEsfera 2 - Selezione di pagine

RITA POLETTI

MATE sfera MATEMATICA e SCIENZE per le VACANZE

Mappa Tocca a te In gioco con l’Invalsi Fai una sosta nelle scienze Memo

2 Il piacere di apprendere

Gruppo Editoriale ELi

RITA POLETTI

MATE sfera MATEMATICA e SCIENZE per le VACANZE

Il piacere di apprendere

2

Gruppo Editoriale ELi

Coordinamento redazionale: Marco Mauri Redazione e ricerca iconografica: Martina Mirabella, Edistudio Progetto grafico e impaginazione: Edistudio Copertina: Edistudio Referenze iconografiche: Shutterstock Tutte le altre immagini provengono dall’Archivio Principato.

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ISBN 978-88-416-5153-7 MATEsfera 2 ISBN 978-88-6706-518-9 MATEsfera 2 • Sola versione digitale

Prima edizione: marzo 2022 Printed in Italy © 2022 - Proprietà letteraria riservata.

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© Casa Editrice G. Principato

presentazione MATE sfera

è il testo di matematica e scienze che viene in vacanza con te e ti aiuta a ripassare le conoscenze acquisite durante l’anno scolastico. È suddiviso in sette settimane, ognuna contrassegnata da un ambiente naturale nel quale potresti passare l’estate e che diventa argomento delle pagine di scienze.

LA STRUTTURA DELLE SETTIMANE Il ripasso della teoria è affidato a una mappa, strutturata con domande guida e relativa che permettono risposta, che ti aiuta nel ripasso. Alla mappa si affiancano esercizi l’applicazione immediata dei contenuti. è il momento dedicato agli esercizi. Ogni pagina operativa propone quesiti di difficoltà progressiva, contrassegnati da una ✱ ✱ ✱ , due ✱ ✱ ✱ o tre ✱ ✱ ✱ stelline.

In GIOCO con...

l’Invalsi Fai una sosta... nelle

SCIENZE

è una pagina di giochi, indovinelli, curiosità che ha lo scopo di mettere in campo competenze di vario genere e ti permette di coinvolgere chi ti sta vicino. completa ogni settimana. È una pagina in cui è approfondito un aspetto dell’ambiente naturale che ha contraddistinto la settimana di ripasso.

Nel volume 1 ogni pagina di scienze è analizzata secondo uno degli obiettivi dell’ ; nel volume 2, invece, si fa riferimento a tematiche di educazione sanitaria. Sono sempre esplicitati gli obiettivi dell’Agenda 2030, che ti aiutano a focalizzare l’attenzione sull’importanza della salvaguardia del nostro pianeta.

Per te apprendere è sempre un piacere, lo sappiamo:

buone vacanze! © Casa Editrice G. Principato

3

PRESENTAZIONE

MEMO

L’inserto è uno strumento da tenere sempre a portata di mano: raccoglie i concetti irrinunciabili appresi durante l’anno scolastico ed esercizi per lo sviluppo delle competenze che ti aiutano a memorizzarli.

INDICE SETTIMANA 1

LE FRAZIONI

.................................................................................................................................................................................................................................

TOCCA A TE!

................................................................................................................................................................................................................

in gioco con... l’invalsi scienze

SETTIMANA 2

..................................................................................................................................................

mal di montagna

................................................................................................................................................................................................................

16 18

.........................................................................................................................................................................................................................

20

................................................................................................................................................................................................................

TOCCA A TE!

24

................................................................................................................................................................................................................

26

in gioco con... l’invalsi

............................................................

34

................................................................................................................................................................................................................

36

...........................................................................................................................................................................................................................................

38

IL TRAPEZIO

.......................................................................................................................................................................................................................

40

..................................................................................................................................................................................................................................

42

TOCCA A TE!

................................................................................................................................................................................................................

in gioco con... l’invalsi Sport in acqua

I RAPPORTI

..................................................................................................................................................

................................................................

48

50

............................................................................................................................................................................................................

52

................................................................................................................................................................................................................

54

le proporzioni

IL TEOREMA DI PITAGORA

......................................................................................................................................................................

58

....................................................

60

................................................................................................................................................................................................................

62

IL TEOREMA DI PITAGORA applicato ai triangoli TOCCA A TE!

44

49

......................................................................................................................................................................................................................................

TOCCA A TE!

4

32

.......................................................................................................................................

IL TRIANGOLO

scienze

30

31

..................................................................................................................................................................................................

Trasformazione dei decimali TOCCA A TE!

SETTIMANA 4

..................................................................................................................................................

RITMI CIRCADIANI

I NUMERI DECIMALI

IL ROMBO

22

.................................................................................................................................................................................

IL PARALLELOGRAMMA

SETTIMANA 3

13

...............................................................................................................................................

IL RETTANGOLO

scienze

12

14

equivalenze di figure piane IL QUADRATO

8

....................................................................................................................................................................................

LA RADICE QUADRATA TOCCA A TE!

.......................................................

6

© Casa Editrice G. Principato

...................................

64

................................................................

66

................................................................................................................................................................................................................

68

IL TEOREMA DI PITAGORA applicato ai quadrilateri IL TEOREMA DI PITAGORA applicato ai TRAPEZI in gioco con... l’invalsi scienze

SETTIMANA 5

..................................................................................................................................................

Attenzione zanzare!

74

................................................................................................................................................................................................................

76

.............................................................................................................

78

................................................................................................................................................................................................................

80

Problemi con la proporzionalità TOCCA A TE!

in gioco con... l’invalsi

..................................................................................................................................................

la CIRCONFERENZA

84

..............................................................................................................................................................................................

86

......................................................................................................................

88

................................................................................................................................................................................................................

90

poligoni inscritti e circoscritti in gioco con... l’invalsi scienze

SETTIMANA 6

..................................................................................................................................................

Sole amico o nemico?

LA STATISTICA L’isometria

...............................

................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................

SETTIMANA 7

98 100 102

...........................................................................................................................................................................................................

104

in gioco con... l’invalsi

.............................................................................................................................................

i vaccini

109

scienze

96

...............................................................................................

Le trasformazioni non isometriche TOCCA A TE!

94

95

.......................................................................................................................................................................................................................

TOCCA A TE!

83

...............................................................................................................

la proporzionalità nelle scienze

TOCCA A TE!

73

....................................................................................................................................................................................

LA PROPORZIONALITà TOCCA A TE!

......................................

72

.................................................................................................

108

LA PROBABILITà

..........................................................................................................................................................................................................

110

TOCCA A TE!

...........................................................................................................................................................................................................

112

..................................................................................................................................................................................

114

...........................................................................................................................................................................................................

116

I TEOREMI DI EUCLIDE TOCCA A TE!

in gioco con... l’invalsi scienze

.............................................................................................................................................

Inquinamento vecchio e nuovo

...................................................

Soluzioni di in gioco con... l’invalsi

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118

119

.......................................................................................

120

5

INDICE

TOCCA A TE!

SETTIMANA 3

I NUMERI DECIMALI Sono numeri che nella loro scrittura presentano una virgola, che distingue la parte intera da quella decimale.

12 parte intera 57 parte decimale

Quando il numero di cifre dopo la virgola è finito e ciò accade quando il divisore o il denominatore della frazione ridotta ai minimi termini contiene solo 2 e/o 5 e le loro potenze.

Che cosa sono?

Quando sono limitati?

12,57

I NUMERI DECIMALI

32

Come si ottengono?

Quando sono illimitati?

Come quoziente di una divisione non esatta tra due numeri o tra numeratore e denominatore di una frazione.

35 : 2 = 17,5 38 19 = = 1,9 20 10

Quando dopo la virgola si presentano cifre che si ripetono e ciò accade quando il divisore o il denominatore della frazione contiene anche fattori diversi da 2 e/o 5 e loro potenze.

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1

L a FRAZIONE

102 determina: 17

A un numero decimale limitato

Considerando il denominatore delle seguenti frazioni, dopo averle ridotte ai minimi termini, individua quale di esse determina un numero decimale limitato.

35 51 A C 15 18 B

510 340

D

100 300

B un numero periodico semplice C un numero periodico misto D un numero naturale

2

La frazione

56 corrisponde a: 12

A 4,6 B 6,4 C 4,6 D 6,4

3 Quale tra i seguenti numeri decimali ha 6 come cifra periodica?

A 4,6 B 4,06 C 4,666666666666666

Se i fattori contengono 2 e/o 5 e altri numeri, si ha un numero periodico misto.

D 666,4

4 Quale tra le seguenti frazioni

determina un numero periodico misto?

A

4 30

B

3 15

C

6 18

D

24 6

3

Se i fattori contenuti sono diversi da 2 e/o 5, si ha un numero periodico semplice.

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33

SETTIMANA

Attenzione: le cifre periodiche sono sempre sopralineate.

Le cifre tra la virgola e quelle periodiche non hanno identificazione e costituiscono l’antiperiodo.

SETTIMANA 3

Trasformazione dei decimali Si scrive a numeratore il numero privato della virgola e a denominatore 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre decimali. Se possibile si riduce la frazione ai minimi termini.

856 214 8,56 = 856 : 100 = = 100 25

Se il numero è limitato COME SI TRASFORMA UN DECIMALE NELLA FRAZIONE GENERATRICE

Se il numero è periodico misto Si scrive a numeratore la differenza tra il numero privato di segni e virgola e tutto ciò che non è periodico, e a denominatore tanti 9 quante sono le cifre periodiche.

14,6 =

146 − 14 132 44 = = 9 9 3

2,851 =

2851 − 2 2849 77 = = 999 999 27

Qual è la frazione generatrice di 0,72?

A

34

36 5

B

18 25

C

8 11

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D

4 5

Se il numero è periodico semplice

Qual è la trasformazione corretta di 2,25?

9 5 A C 4 2 5 45 D B 4 2

Si scrive a numeratore la differenza tra il numero privato di segni e virgola e tutto ciò che non è periodico, e a denominatore tanti 9 quante sono le cifre periodiche e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.

4,16 =

416 − 41 375 25 = = 90 90 6

3,83 =

383 − 38 345 23 = = 90 90 6

1 Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono verE o falsE.

a. 0,24 =

24 6 = 100 25

b. 12,32 =

1232 77 = 10000 625

V

F

V

F

c. 1,25 =

125 25 = 10 2

V

F

d. 5,04 =

54 27 = 100 25

V

F

2 Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono verE o falsE.

4 3 50 b. 5,4 = 9 20 c. 2,6 = 9 40 d. 3,63 = 11 a. 1,3 =

V

F

V

F

V

F

V

F

3 Qual è il corretto ordinamento

decrescente dei seguenti numeri?

1,5 11 3 0,2 1 5 4 10

714 285 − 3 A 900000

A

11 3 1 1,5 0,2 5 4 10

B

11 1,5 3 0,2 1 5 4 10

C 0,2

3 714 285 − 714 285 B 9 3 714 285 − 3 C 999 999

D

3 714 285 − 714 285 D 999 999

A

1 1,5 3 11 10 4 5

11 3 1,5 1 0,2 5 4 10

4 Qual è la frazione generatrice di 0,318?

159 200

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B

35 11

C

7 2

D

35

7 22

3 SETTIMANA

Qual è il procedimento corretto per calcolare la frazione generatrice di 3,714285?

SETTIMANA 3

1 ✱ ✱ ✱ Scrivi i numeri decimali corrispondenti alle seguenti frazioni. a.

9 = 100

b.

22 = 10

....................

....................

c.

36 = 100

....................

e.

18 = 1000

....................

g.

359 = 100

d.

241 = 100

....................

f.

1238 = 10

....................

h.

300 = ....................

0,03 1000

....................

2 ✱ ✱ ✱ Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o false. a.

7 = 0,7 10

V

F

c.

29 = 0,29 1000

V

F

e.

353 = 0,353 100

V

F

b.

23 = 2,3 100

V

F

d.

1350 = 13,5 1000

V

F

f.

300 =3 10

V

F

3 ✱ ✱ ✱ Completa lo svolgimento della seguente espressione.

{

(

}

)

5,6 ⋅ 2,5 : 4,8 ⋅ ⎡⎣1,8 − 0,2 ⋅ 3 − 0,4 ⎤⎦ : 2 + 0,08 = =

⎧ .........

56 25 ⋅ :⎨ 10 1 ......... ⎩ 10

=

28 ......... ⎧ 24 ⋅ :⎨ 5 2 ⎩ .........

⎡ ......... ⎛ 2 ⎞ 8 ⎫ 4 ⎤ ⋅⎢ −⎜ ⋅ 3⎟ − ⎬= ⎥:2 + ⎝ 10 ⎠ ......... ⎦ 1 ......... ⎭ ⎣ 10

⎡ 9 3 ⎤ ......... ⎫ ⋅⎢ − ⎥− ⎬ : .........

5 ⎭ ⎣5 5 ⎦

4 ✱ ✱ ✱ Stabilisci se le seguenti trasformazioni in frazione dei seguenti numeri periodici sono vere o false.

a. 1,6 =

16 − 6 10 = 9 9

V

F

d. 5,3 =

53 − 5 16 = 9 3

V

F

b. 3,07 =

307 − 30 277 = 99 99

V

F

e. 0,16 =

16 − 1 5 = 9 3

V

F

c. 2,46 =

246 − 46 200 20 = = 90 90 9

V

F

f. 6,08 =

152 25

V

F

5 ✱ ✱ ✱ Completa lo svolgimento della seguente espressione.

(0,7 + 0,16 : 0,75) : (0,07 + 0,23 − 0,17) = ⎛ 7 16 − ......... ......... ⎞ ⎛ 7 − ......... ......... 17 − 1 ⎞ = ⎜ + : + − : ⎟ = ⎝9 100 ⎟⎠ ⎜⎝ 9 .........

90 ......... ⎠ ......... ⎛ 7 15 4 ⎞ ⎛ 7 .........

16 ⎞ = ⎜ + ⋅ ⎟ :⎜ + − ⎟ = ⎝ ......... ......... 3 ⎠ ⎝ 9 30 ......... ⎠

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Esegui i calcoli, dopo aver trasformato in frazione i numeri decimali.

(

6 ✱ ✱ ✱ 0,6 ⋅ 1 + 0,5

(

13 6

)

) (

7 ✱ ✱ ✱ 1,5 + 0,25 ⋅ 0,5 − 0,4

7 40

)

( ) ( ) (0,25 + 0,5) : 5 + (0,13 + 0,8) : 7

8 ✱ ✱ ✱ 1,5 + 0,6 : 0,83 − 0,4 ⋅ 0,2

[1]

9 ✱✱✱

17 60

Risolvi le espressioni dopo aver trasformato in frazione i numeri decimali in esse contenute.

(

1 2

)

10 ✱ ✱ ✱ ⎡⎣1,7 + 3,25 + 1,75 : 2,5 + 8,25 ⎤⎦ : 23,9 ⎡ ⎛ ⎤ 5⎞ 11 ✱ ✱ ✱ ⎢ 0,75 + 0,5 ⋅ ⎜ 2 − ⎟ + 0,4 : 1 − 0,52 ⎥ ⋅ 2,5 − 1 + 0,125 ⎝ 3⎠ ⎣ ⎦

(

)

(

)

(

)

[2]

⎡1 ⎤ 3 12 ✱ ✱ ✱ ⎢ + 1,5 : 2 + 0,5 ⎥ : ⎡⎣11,2 − 51 ⋅ 1 − 0,8 ⎤⎦ − 5 ⎣2 ⎦

(

)

(

{

1 2

)

(

}

)

13 ✱ ✱ ✱ 1,5 + 4,2 ⋅ ⎡⎣1,6 + 0,5 : 1 + 0,5 + 0,75 : 1,25 − 0,6 ⋅ 1,25 ⎤⎦ : 1,5 + 1 ⋅ 0,5 14 ✱ ✱ ✱

11 4 1 3

{(1,3 + 1,02 − 0,5) : 0,9 − ⎡⎣2,3 + (0,5 + 2,3) : 1,3⎤⎦ : 4,5} ⋅ 0,1

Risolvi le seguenti espressioni dopo aver trasformato in frazione i numeri decimali.

3⎫ 2 3 ⎧ 15 ✱ ✱ ✱ + ⋅ ⎨ ⎡⎣ 1 + 0,25 ⋅ 0,6 + 5 ⋅ 0,13 − 0,4 ⋅ 3 + 0,3 ⎤⎦ : ⎡⎣0,1 + 0,75 + 0,416 : 2 + 0,3 ⎤⎦ + ⎬ [1] 11 ⎭ 11 2 ⎩

(

)

(

)

(

) (

)

7 2

⎧ 17 ✱ ✱ ✱ ⎨ ⎡3 ⋅ 1 − 0,5 ⎢ ⎩⎣

7 6

{

(

(

{

}

)

(

(

)

2

⎫

) + (2,5 − 2) : (1 + 0,5)⎤⎥⎦ : (0,3 + 0,5) − (1,3 − 1) ⎬ : 4,3 + 1 2

3

2

⎭

) (

) (

}(

)

)

2 2 4 18 ✱ ✱ ✱ 1 − 1,5 ⋅ 0,6 + 1 − 0,5 ⋅ ⎡⎢ 0,83 + 0,4 + 0,1 ⋅ 1 − 0,5 + 0,3⎤⎥ ⋅ 3 − 1,75 + 0,5 : 3,5 + 0,52 ⎣ ⎦

( (

)

(

) )

2,3 − 1,083 ⋅ 0,6 0,16 − 0,06 : 0,2 0,8 : 2,6 ⋅ 1,1 + 3 + 0,6 + + 19 ✱ ✱ ✱ 7 1,75 + 0,3 : 0,5 1,7 − 0,45 : 1,5 : 0,83 + 4 + 0,3 0,6 ⋅ 8

)

© Casa Editrice G. Principato

(

37

2 3

3

9 5

SETTIMANA

3 16 ✱ ✱ ✱ ⎡⎣4 + 0,3 : 1,5 ⋅ 0,1 + 0,3 ⎤⎦ : 7 + 1,6 : ⎡5 ⋅ 1 − 0,5 − 0,375 : 0,625 + 0,53 ⎤ ⋅ 0,225 ⎢⎣ ⎦⎥

SETTIMANA 3

IL ROMBO È un particolare parallelogramma. È equivalente alla metà di un rettangolo.

E

D d

A

F

Moltiplicando per 4 la misura del lato: 2p = ℓ 4

L D

B

•

Se ℓ = 32 cm,

C

2p = 32 • 4 = 128 cm.

G

Come si calcola il suo perimetro?

Che cos’è?

IL ROMBO

Quali sono le sue caratteristiche?

I lati sono tutti congruenti e paralleli a due a due.

Gli angoli opposti sono congruenti, gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari.

Le diagonali sono perpendicolari tra loro, si tagliano scambievolmente a metà e sono bisettrici degli angoli. diagonale minore d

lato ℓ

diagonale maggiore D

38

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Come si calcola la sua area?

Se devi calcolare il lato dato il perimetro:

ℓ = 2p : 4

Il perimetro di un rombo misura 144 cm.

Il lato è lungo:

1 Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

a. I lati sono congruenti a due a due.

V

F

b. I lati sono paralleli a due a due.

V

F

c. Gli angoli opposti sono congruenti.

V

F

d. Le diagonali sono congruenti.

V

F

e. Le diagonali sono perpendicolari.

V

F

2 Considera un quadrilatero che ha:

A 12 cm

C 36 cm

a. i lati tutti congruenti;

B 24 cm

D 48 cm

b. le diagonali che si tagliano scambievolmente a metà; c. le diagonali perpendicolari e bisettrici degli angoli. È un quadrato se .................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

È un rombo se

..............................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

Dividendo a metà il prodotto delle diagonali: D⋅d A= 2 Se D = 26 cm e d =10 cm, 26 ⋅ 10 A= = 130 cm2 .

2 Moltiplicando la misura del lato per quella dell’altezza ad esso relativa: A=ℓ h

3

Rispondi alle domande.

a. L e diagonali di un rombo sono congruenti alle dimensioni di un rettangolo. Qual è la relazione tra le aree delle due figure? ..............................................................................................................................................................

b. Se raddoppi le misure delle diagonali del rombo, le due figure diventano equivalenti? ...........................................................................................................

Motiva la risposta con un esempio numerico a tua scelta. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

•

A = 25 • 11 = 275 cm2.

4

n rombo ha le diagonali lunghe U rispettivamente 32 cm e 24 cm e il lato misura 20 cm. Quale coppia di misure rappresenta perimetro e area del poligono?

A 80 cm e 320 cm2

C 112 cm e 768 cm2

B 40 cm e 384 cm2

D 80 cm e 384 cm2

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39

3 SETTIMANA

Se ℓ = 25 cm e h = 11 cm,

SETTIMANA 3

IL TRIANGOLO È la figura piana delimitata da una spezzata chiusa di tre lati. È equivalente alla metà di un parallelogramma.

Sommando le misure dei lati: 2p = (a + b + c) b

c a

Come si calcola il suo perimetro?

Che cos’è?

IL TRIANGOLO

Come si calcola la sua area?

Quali sono le sue proprietà?

In relazione ai lati può essere scaleno, isoscele, equilatero.

In relazione agli angoli può essere acutangolo, rettangolo, ottusangolo.

Tri ottu Triangolo scaleno Triangolo Triangolo Triangolo scaleno Triangolo isoscele Triangolo equilatero isoscele equilatero Triangolo scaleno Triangolo Triangolo isoscele equilatero

Il triangolo equilatero è un poligonoTriangolo regolare. acutangolo

40

Triangolo acutangolo

Triangolo rettangolo

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Triangolo rettangolo Triangolo ottusangolo

• Dividendo a metà

il prodotto delle misure di base e altezza: A=

b⋅h 2

Se b = 24 cm e h = 15 cm, 24 ⋅ 15 A= = 180 cm2.

2 • Se il triangolo è rettangolo:

c1 ⋅ c2 2 oppure

A=

A=

cateto 2

i⋅h 2 ipotenusa i

altezza h cateto 1

È possibile usare anche la formula di Erone: p ( p − a) ( p − b ) ( p − c )

dove p rappresenta il semiperimetro.

n lato di un triangolo misura 26 cm U e l’altezza a esso relativa misura 20 cm. L’area del triangolo:

A non si può calcolare perché

non si conoscono base e altezza

B misura 260 cm2 C misura 520 cm2 D misura 130 cm2

2

i cateti di un triangolo rettangolo misurano 15 cm e 20 cm. Sapendo che il perimetro misura 60 cm, l’altezza relativa all’ipotenusa:

A misura 12 cm B misura 37,5 cm C misura 32,2 cm D non si può calcolare

3 L a base e l’altezza di un triangolo misurano 34 cm e 22 cm. L’area è:

A 748 cm2

C 374 cm2

B 28 cm2

D 112 cm2

4 I lati di un triangolo misurano 32 cm, 60 cm, 68 cm. L’altezza relativa al lato maggiore è:

A 36,2 cm B 28,2 cm C 1217,5 cm D Non si può calcolare

5 In un triangolo isoscele il perimetro Per calcolare la base: A⋅2 b= h Per calcolare l’altezza: h=

A⋅2 b

misura 128 cm, la base misura 48 cm e l’altezza ad essa relativa 32 cm.

L’altezza relativa al lato misura:

A 40 cm B 30 cm C 19,2 cm D 13,2 cm

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41

3 SETTIMANA

A=

1

SETTIMANA 3

IL TRAPEZIO b

È un quadrilatero equivalente alla metà di un parallelogramma.

B

Sommando i lati.

B

b

Come si calcola il suo perimetro?

Che cos’è?

IL TRAPEZIO

Come si calcola la sua area?

Quali sono le sue proprietà?

Ha due lati paralleli, detti comunemente base maggiore e base minore.

Se uno degli altri due lati è perpendicolare alle basi il trapezio è rettangolo.

Se i due lati obliqui sono congruenti, il trapezio è isoscele.

D

A

42

C

Trapezio rettangolo

D

B

A

C

Trapezio isoscele

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B

Con la formula A=

1

( B + b) ⋅ h 2

Se B = 28 cm, b = 16 cm, h = 8 cm, A=

(28 + 16) ⋅ 8 2

A

A⋅2 −B = b h

C

A = h B+b

B

A⋅2 = h B+b

D

A⋅2 − B = b h

= 176 cm2.

2

Per calcolare l’altezza: h = (A 2) : (B + b)

uali delle seguenti formule relative Q a trapezi sono corrette?

’area di un trapezio rettangolo L misura 900 cm2 e l’altezza è di 36 cm.

Quale coppia di misure non può rappresentare la lunghezza delle basi del trapezio?

A 20 cm e 30 cm

•

B 26 cm e 24 cm

B+b=A 2:h Per calcolare la misura di una delle basi devi avere ulteriori dati.

•

C 30 cm e 40 cm D 12 cm e 38 cm

3 Due trapezi sono equivalenti Nel piano cartesiano, con unità di misura il centimetro, sono rappresentati tre vertici di un trapezio.

Quali devono essere le coordinate del quarto vertice affinché il trapezio sia: ............................................................

b. isoscele?

......................................................................

c. scaleno?

.......................................................................

y

7 C(10, 6)

4

C Le due misure sono uguali.

D Le basi sono rispettivamente

26 cm e 46 cm e l’altezza è 24 cm.

Se il lato obliquo è congruente alla base minore, quale coppia di misure rappresenta perimetro e area del trapezio?

3

B 124 cm e 936 cm2

3 2

-2 -1 O

di quella del secondo.

A 96 cm e 1728 cm2

5

1

B Quella del primo è metà

4 Le basi di un trapezio misurano

8 6

di quella del secondo.

congruenti.

1 cm

9

A Quella del primo è doppia

C 124 cm e 864 cm2 A(2, 1) 1

2

3

B(14, 1) 4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 x

D 122 cm e 910 cm2

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43

SETTIMANA

a. rettangolo?

e le loro altezze misurano 15 cm e 30 cm. Qual è la relazione tra la somma delle basi dei due trapezi?

SETTIMANA 3

alcola l’area di un rombo con le diagonali di 24 cm e 18 cm.

1 ✱✱✱ C

[216 cm2]

’area di un rombo è 588 cm2 e una delle diagonali misura 28 cm.

2 ✱✱✱ L

a. Determina la lunghezza dell’altra diagonale. b. Specifica se quella trovata è la diagonale maggiore o la minore.

alcola l’area di un rombo con il lato di 21 cm e l’altezza di 12 cm.

3 ✱✱✱ C [252 cm2]

4 ✱ ✱ ✱ I l perimetro di un rombo misura 160 cm e l’altezza è di 24 cm. Calcola l’area del rombo.

[960 cm2] n triangolo ha la base di 36 cm e l’altezza di 19 cm. Calcola la sua area.

5 ✱✱✱ U

[342 cm2]

6 ✱ ✱ ✱ I cateti di un triangolo rettangolo misurano 16 cm e 30 cm. Sapendo che l’ipotenusa misura 34 cm, calcola la misura del perimetro e l’area del triangolo.

[80 cm, 240 cm2] a base e l’altezza di un triangolo isoscele misurano rispettivamente 20 cm 7 ✱✱✱ L e 24 cm. Sapendo che il lato supera la base di 6 cm, calcola il perimetro e l’area del triangolo.

[72 cm, 240 cm2] alcola l’area di un trapezio, sapendo che la base maggiore misura 24 cm, la 8 ✱✱✱ C base minore 10 cm e l’altezza 15 cm.

[255 cm2]

9 ✱ ✱ ✱ I n un trapezio rettangolo la base maggiore misura 34 cm, la minore 22 cm e l’altezza è congruente alla metà della base maggiore. Calcola l’area del trapezio rettangolo.

[476 cm2] 10 ✱ ✱ ✱ I n un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura il centimetro, i punti A(0, 2), B(0, 8), C(4, 8), D(4, 5) sono vertici di un trapezio rettangolo.

Ricava dal grafico le misure necessarie e calcola l’area.

[12 cm2] 12 7 [672 cm2]

a diagonale maggiore di un rombo misura 48 cm ed è congruente a 11 ✱ ✱ ✱ L

della diagonale minore. Calcola l’area del rombo.

11 a diagonale maggiore di un rombo misura 44 cm ed è della minore.

12 ✱ ✱ ✱ L 7 Calcola l’area del rombo.

[616 cm2] a somma delle diagonali di un rombo misura 108 cm e la loro differenza è 13 ✱ ✱ ✱ L di 28 cm. Calcola l’area del rombo.

[1360 cm2]

44

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icava dal grafico le misure della base e dell’altezza dei triangoli rappresentati 14 ✱ ✱ ✱ R sul piano cartesiano e calcola la loro area. L’unità di misura utilizzata è il centimetro.

a.

b.

y

y

1 cm

8

8

7

7

6

6 5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1 cm

9

9

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 x

15 ✱ ✱ ✱ I n un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con unità di misura il centimetro, disegna i triangoli che hanno per vertici i punti dati e, ricavando le misure di base e altezza, calcola l’area di ciascun triangolo. a. A(3, 1), B(12, 1), C(7, 7)

c. A(1, 1), B(1, 8), C(−4, 4)

b. A(−1, −2), B(6, −2), C(0, 6)

d. A(1, 3), B(1, 9), C(8, 9).

alcola l’area di un triangolo che ha la base di 33 cm e l’altezza congruente 16 ✱ ✱ ✱ C 8 a della base.

[396 cm2] 11

3 ’altezza di un triangolo è della base e la loro somma misura 128 cm. Cal17 ✱ ✱ ✱ L cola l’area del triangolo. 5 [1920 cm2] a somma della base e dell’altezza di un triangolo misura 64 cm e la loro 18 ✱ ✱ ✱ L differenza 24 cm. Calcola l’area del triangolo.

[440 cm2]

19 ✱ ✱ ✱ I n un triangolo isoscele l’area è di 432 cm2 e l’altezza misura 18 cm. Sapendo 9 che il lato è della base, calcola il perimetro del triangolo.

[156 cm] 8

base maggiore. Calcola la misura dell’altezza.

5 della 7 [36 cm]

15 a base maggiore di un trapezio è della minore e la loro differenza è 32 cm.

21 ✱ ✱ ✱ L 7 5 della base maggiore, calcola l’area del trapezio.

Sapendo che l’altezza è 12

[110 cm2]

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45

3 SETTIMANA

20 ✱ ✱ ✱ I n un trapezio di area 1728 cm2, la base minore misura 40 cm ed è

SETTIMANA 3

7 dell’altra e l’altezza misura 25 cm. Sapen5 do che l’area è di 600 cm2, calcola la lunghezza di ciascuna base.

[28 cm, 20 cm]

e basi di un trapezio sono una i 22 ✱ ✱ ✱ L

icava dal grafico le misure delle basi e delle altezze dei trapezi rappresentati 23 ✱ ✱ ✱ R in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, con unità di misura il centimetro, e calcola l’area di ciascun trapezio. y

y 8 7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

a.

1 cm

8

1 cm

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 x

b.

3 della differenza delle basi e la base 4 minore è metà della base maggiore. Sapendo che l’altezza misura 24 cm,

24 ✱ ✱ ✱ I n un trapezio rettangolo l’altezza è calcola l’area del trapezio.

[1152 cm2]

9 e diagonali di un rombo sono una i dell’altra e la loro somma è 88 cm.

25 ✱ ✱ ✱ L 13 Calcola l’area del rombo.

[936 cm2] 8 dell’altra e la loro 26 ✱ ✱ ✱ I n un rombo di perimetro 272 cm le diagonali sono una 15 somma misura 184 cm. Calcola la misura dell’altezza.

[56,5 cm] 4 a diagonale maggiore di un rombo è della minore e differisce da essa di 27 ✱ ✱ ✱ L 3 8 cm. Calcola l’area del quadrilatero.

[384 cm2]

i un triangolo si sa che 2p = 108 cm, BC = 52 cm, AC= BC – 11 cm. Calcola 28 ✱ ✱ ✱ D l’area del triangolo.

[234 cm2] ’area di un triangolo isoscele misura 576 cm2 e l’altezza relativa alla base è 29 ✱ ✱ ✱ L 9 18 cm. Sapendo che il lato è della base, calcola il perimetro del triangolo.

8

[208 cm]

3 dell’al4 tro. Sapendo che l’ipotenusa misura 40 cm, calcola il perimetro del triangolo e la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa.

[96 cm, 19,2 cm]

30 ✱ ✱ ✱ I cateti di un triangolo rettangolo differiscono di 8 cm e sono uno i

tilizzando la formula di Erone, calcola l’area di un triangolo i cui lati misu31 ✱ ✱ ✱ U rano 26 cm, 40 cm, 42 cm.

[504 cm2]

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7 dell’altezza e la somma dei due seg4 menti misura 25 cm. Determina il perimetro e l’area del quadrilatero.

[68 cm, 136 cm2]

32 ✱ ✱ ✱ I l lato di un rombo supera di 3 cm i

33 ✱ ✱ ✱ I l perimetro di un triangolo misura 300 cm e un lato è 132 cm. Sapendo che 3 gli altri due lati sono uno i dell’altro, calcola l’area del triangolo e la misura 4 delle sue tre altezze.

[372,3 cm2, 51 cm, 93,7 cm, 70,3 cm] alcola l’area di un trapezio isoscele, sapendo che il perimetro è 300 cm, 34 ✱ ✱ ✱ C 1 3 ciascuno dei lati obliqui è del perimetro e l’altezza è del lato obliquo.

5 5

[3240 cm2] n trapezio isoscele ha l’area di 435 cm2, la base maggiore misura 38 cm e la 35 ✱ ✱ ✱ U 10 della maggiore. Da un estremo della base minore traccia base minore è 19 la parallela al lato obliquo non consecutivo e calcola l’area del parallelogram-

ma che si forma.

[570 cm2]

3 a diagonale maggiore di un rombo è congruente a della maggiore e la 36 ✱ ✱ ✱ L 4 loro somma è 168 cm. Calcola: a. l’area del rombo;

[456 cm2] 5 b. il perimetro del rombo, sapendo che il lato è della diagonale minore; 3

[480 cm] c. l’area di un quadrato isoperimetrico al rombo.

[14 400 cm2]

a somma delle misure della base e dell’altezza di un triangolo è 138 cm 37 ✱ ✱ ✱ L 15 dell’altezza. Calcola l’area del triangolo e il perimetro di un e la base è 8 3 del triangolo.

[2160 cm2, 144 cm] quadrato equivalente a 5

38 ✱ ✱ ✱ I l perimetro di un rettangolo ABCD misura 128 cm e la base AB supera l’altezza di 4 cm. Considera il punto medio M di AB e un punto N su AD tale 1 di AD e congiungili con il vertice C. Calcola l’area di ciascun che DN sia 3 triangolo in cui è diviso il rettangolo.

[170 cm2, 170 cm2, 255 cm2, 425 cm2]

delle basi. Un triangolo rettangolo, equivalente al trapezio, ha i cateti che 2 dell’altro. Calcola la loro lunghezza. [972 cm2, 36 cm, 54 cm] sono uno i 3

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47

3 SETTIMANA

7 della minore e la loro differenza è di 5 9 della differenza 12 cm. Calcola l’area del trapezio, sapendo che l’altezza è 4

a base maggiore di un trapezio è 39 ✱ ✱ ✱ L

In GIOCO con...

l’invalsi Giochiamo con la geometria Scopriamo l’origami L’origami è l’antica arte giapponese di piegare la carta per ricavare forme geometriche, soprattutto animali, uccelli, pesci, senza tagliare né incollare né decorare, anche se nell’origami moderno alcune di queste regole sono state aggirate per ottenere forme ancora più verosimili.

Facciamo un po’ di pratica!

• Procurati della carta bianca e taglia una striscia alta 3 cm, forma un nodo e schiaccialo su un piano.

Hai ottenuto un pentagono.

• Questa costruzione cela un’ulteriore magia: se ripieghi una delle estremità del nodo sul davanti e lo metti di fronte a una sorgente luminosa, in trasparenza appare la stella a cinque punte.

Prova a eseguire la costruzione seguente.

• Prendi un foglio, taglia da esso un quadrato delle dimensioni che vuoi e dipingilo da una parte.

• Lascia asciugare il colore.

• Piega in quattro il foglio, quindi ripiega ogni angolo verso il centro dalla parte colorata.

• Riapri il foglio in modo che la parte bianca sia verso l’alto e piega ogni angolo a partire dal centro fino a sovrapporre il bordo alla piega diagonale. Ripeti il procedimento con gli altri angoli procedendo prima in senso orario poi in senso antiorario.

• Ripiega ora le punte colorate verso l’interno lungo la diagonale e la tua stella è pronta.

1

3

5

2

4

6

I disegni a fianco illustrano la sequenza delle mosse che devi effettuare.

I più noti origami di animali sono la rana e la gru.

Forse hai letto un noto testo di narrativa per ragazzi, Il gran sole di Hiroshima, e conosci la storia della protagonista e delle sue mille gru.

In commercio esistono cartoncini già pronti per realizzare gli origami e in rete trovi moltissimi esempi di realizzazioni con questa tecnica.

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Fai una sosta... nelle SCIENZE

OBIETTIVO 3 Garantire la salute e il benessere a tutti e a tutte le età è uno dei traguardi fondamentali per uno sviluppo sostenibile.

Sport in acqua

Imparare a nuotare è quasi una necessità; come ben sai, questo sport coinvolge quasi tutti gli apparati del nostro organismo e garantisce uno sviluppo armonico del corpo, soprattutto nella fase del suo sviluppo. Oltra al nuoto, si possono praticare molte altre attività altrettanto benefiche. la ginnastica in acqua

L’acquagym è in pratica una ginnastica svolta in acqua che presenta notevoli benefici rispetto a quella tradizionale. Infatti è meno pesante per le articolazioni e per la schiena, favorisce la funzionalità del sistema cardiovascolare e permette di bruciare meglio i grassi in eccesso a causa della resistenza dell’acqua. stand up paddle

sport... in piedi

Modernissimo è lo Stand up paddle (abbreviato in SUP): significa “remare stando in piedi”.

Si pratica con una tavola simile a quella da surf, ma più grande, sulla quale si sta in piedi e ci si muove usando un remo. Permette di rafforzare l’equilibrio e di esercitare braccia e gambe. Se hai caldo puoi sempre fare un tuffo rinfrescante e poi riprendere. È tra gli sport acquatici su tavola più diffusi all’estero, in particolare nei paesi scandinavi.

kayaking

sport... seduti

ATTIVITà Ricerca in rete informazioni più dettagliate sugli sport acquatici.

Se trascorri le vacanze al lago prendi qualche lezione di canoa o di kayak, di sicuro scoprirai habitat interessantissimi.

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3 SETTIMANA

Il cannottaggio e il kayaking sono sport che non richiedono una grande preparazione atletica, se praticati per svago, ma equilibrio e coordinazione. Molto spesso vengono confusi, ma sono ben diversi.

La canoa è aperta e il remo che si utilizza ha una sola lama. Pagaiare è più comodo, ma è molto facile imbarcare acqua.

Il kayak è chiuso, a parte una piccola apertura (il pozzetto) dove si infilano le gambe.

La pagaia è doppia con lame curve ed è molto più leggero della canoa. Uno dei primi esercizi che vengono insegnati è proprio quello di ribaltarsi e poi raddrizzare l’imbarcazione con un colpo di pagaia.

SETTIMANA 4

I RAPPORTI È il quoziente tra due numeri o grandezze a e b che si chiamano rispettivamente antecedente e conseguente.

Come divisione a : b, a come frazione o come b numero decimale.

7 7 : 2 = = 3,5 2

Che cos’è?

Come si scrive?

IL RAPPORTO

Quali sono le sue proprietà?

Proprietà fondamentale Moltiplicando o dividendo antecedente e conseguente di un rapporto per uno stesso numero (diverso da zero) il valore del rapporto non cambia.

Scambiando antecedente e conseguente si ottiene il rapporto inverso.

4 : 12 = 1 rapporto diretto 3 12 : 4 = 3 rapporto inverso Le scale di ingrandimento n : 1 o di riduzione 1 : n sono particolari rapporti.

50

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Come può essere?

Numerico

Tra grandezze omogenee

Tra grandezze non omogenee

1 Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Quale tra le seguenti coppie di numeri ha lo stesso rapporto di 8 e 12?

A 6 e 10

C 6e4

B 20 e 30

D 4e3

Quando a e b sono numeri.

a.

Il rapporto tra due numeri naturali V F è sempre un numero naturale. b.

Se il rapporto tra due numeri è un’unità frazionaria, il rapporto V F inverso è un numero naturale. c.

Il rapporto inverso si ottiene considerando l’inverso dell’antecedente.

V

F

d.

Se b è multiplo di a il rapporto a : b è un numero naturale.

V

F

e.

Se a e b sono grandezze incommensurabili il loro rapporto V F è un numero irrazionale.

2 Se il rapporto tra due numeri è

Quando a e b sono grandezze espresse con la stessa unità di misura.

Se il rapporto tra due grandezze omogenee è un numero irrazionale, come nel caso della diagonale del quadrato (diagonale : lato =

2 ),

le grandezze si dicono incommensurabili.

come cambia il rapporto se dimezzi entrambi?

a , b

A Si dimezza.

C Rimane invariato.

B Raddoppia.

D Diventa il rapporto inverso.

3 Un tiratore ha sparato 100 colpi

e ha centrato 40 piattelli. Qual è il rapporto tra errori e colpi sparati?

A

2 5

B

3 5

C 60

D

2 3

4 Quale delle seguenti uguaglianze non è corretta?

spazio = velocità tempo massa = densità volume

84 4 = 105 5

C

360 2 = 450 25

B

280 2 = 420 3

D

110 5 = 176 8

5 Qual è l’antecedente del rapporto 5 a = ?

121 22

A 20

C 5

B 10

D Non si può calcolare

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4 SETTIMANA

Quando a e b sono espresse con unità di misura diverse; per esempio:

A

SETTIMANA 4

le proporzioni Sono l’uguaglianza di due rapporti.

3 21 = 4 28

Continue quando i medi o gli estremi sono uguali.

9 : 12 = 12 : 16

Che cosa sono?

Come possono essere?

LE proporzioni

Come si scrivono e leggono?

Quali proprietà hanno?

a:b=c:d 3 : 4 = 21 : 28 e si legge “a sta a b come c sta a d”. a e c sono gli antecedenti, b e d sono i conseguenti, b e c sono i medi, a e d sono gli estremi.

• Teorema fondamentale • Proprietà dell’invertire • Proprietà del permutare • Proprietà dello scomporre • Proprietà del comporre

Per risolvere una proporzione devi osservare se il termine incognito è un medio o un estremo.

Se è un medio moltiplica gli estremi e dividi per il medio noto: 12 : x = 36 : 21

x=

12 ⋅ 21 =7 36

Se è un estremo moltiplica i medi e dividi per l’estremo noto: 7 : 42 = 5 : x

52

x=

42 ⋅ 5 = 30 7

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Se la proporzione è continua il termine incognito è la radice quadrata del prodotto dei termini noti.

A la somma di due rapporti

12 : x = x : 75

B il prodotto di due rapporti

x2 = 12 ⋅ 75 = 900 x = 900 = 30

1

Una proporzione è:

C l’uguaglianza di due rapporti D la differenza di due rapporti

2 Quale tra le seguenti uguaglianze non è una proporzione?

A 50 : 20 = 15 : 6 B 30 : 10 = 40 : 20 C 18 : 36 = 16 : 32 D 24 : 56 = 27 : 63

• Proprietà dell’invertire: se si scambia ogni antecedente con il suo conseguente si ottiene ancora una proporzione.

B 15 : 8 = 45 : 24 ➝ 24 : 8 = 45 : 15

12 : 9 = 24 : 18 ➝ 9 : 12 = 18 : 24

C 12 : 15 = 24 : 30 ➝ 27 : 12 = 54 : 24

• Proprietà del permutare: scambiando tra loro i medi o gli estremi si ottiene ancora una proporzione.

12 : 9 = 24 : 18 ➝ 12 : 24 = 9 : 18 • Proprietà del comporre: se si sostituisce ogni antecedente con la somma di antecedente e conseguente si ottiene ancora una proporzione.

12 : 9 = 24 : 18 ➝ 21 : 9 = 42 : 18 • Proprietà dello scomporre: se si sostituisce ogni antecedente con la differenza tra antecedente e conseguente si ottiene ancora una proporzione.

12 : 9 = 24 : 18 ➝ 3 : 9 = 6 : 18

3 Riconosci le proprietà applicate.

A 18 : 6 = 12 : 4 ➝ 6 : 18 = 4 : 12

D 75 : 30 = 15 : 6 ➝ 45 : 75 = 9 : 15

4 Quali sono i medi della proporzione 12 : 14 = 6 : 7?

A 12 e 6

C 12 e 7

B 14 e 7

D 14 e 6

5 Qual è il valore del termine incognito della proporzione 12 : 4 = x : 5?

A

5 3

B 240

C

48 5

D 15

6 Quale delle seguenti proporzioni ha soluzione 9?

4

A 12 : x = 3 : 4 B 7 : 3 = 21 : x C x:9=2:3 D 10 : x = 12 : 18

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53

SETTIMANA

• Teorema fondamentale: in una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

SETTIMANA 4

1 ✱ ✱ ✱ Verifica se l’antecedente o il conseguente dei seguenti rapporti è stato calcolato in modo corretto.

a.

a = 4 8

b.

a = 32

6 =2 b

c.

b =2

24 = 12 b

b =3

2 ✱ ✱ ✱ Calcola il rapporto tra le seguenti grandezze omogenee. a. 12 cm e 18 cm

d. 36 hg e 81 hg

g. 14 hl e 28 hl

b. 8 m e 4 m

e. 25 g e 35 g

h. 33 l e 44 l

c. 20 km e 15 km

f. 18 dag e 24 dag

i. 35 dl e 42 dl

3 ✱ ✱ ✱ In una scala 1 : 200 000 la distanza tra due località è 5 cm.

[10 km]

Qual è la loro distanza reale?

4 ✱ ✱ ✱ Verifica con la proprietà fondamentale se le seguenti proporzioni

sono corrette; in caso contrario correggi uno dei termini in modo da ottenere una proporzione.

a. 3 : 5 = 9 : 15

................................................................................................

b. 5 : 15 = 10 : 24

......................................................................................

c. 8 : 14 = 12 : 21

......................................................................................

d. 9 : 12 = 18 : 22

......................................................................................

5 ✱ ✱ ✱ Completa lo svolgimento delle proporzioni assegnate. a. x : 6 = 30 : 12

x =

6⋅

..............

12

=

..............

b.

2 8 8 :x = : 5 5 3

x =

2 8 5 ⋅ ⋅ = 5 3 ..............

6 ✱ ✱ ✱ Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni. a. 3 : 5 = 12 : x b. x :

7 3 7 = : 8 2 4

c. x : 4 = 21 : 7

[20] 3 4

d.

9 5 5 : = :x 3 9 10

[12] 3 10

7 ✱ ✱ ✱ Completa lo svolgimento delle proporzioni assegnate. a. 24 : x = x : 54

x 2 = 24 ⋅ ..............

x =

..............

= 36

b. x : 20 = 45 : x

x2 =

x =

900 =

..............

..............

8 ✱ ✱ ✱ Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni continue. a. 32 : x = x : 18 b.

54

2 8 :x = x: 3 27

[24] 4 9

c. x : 3 = 75 : x d.

17 17 :x = x: 45 5

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[15] 17 15

..............

Risolvi le proporzioni applicando le proprietà.

(

)

(

)

9 ✱ ✱ ✱ 5 + x : x = 14 : 4

[2]

11 ✱ ✱ ✱ 30 − x : x = 15 : 3

⎞ ⎛1 9 4 10 ✱ ✱ ✱ ⎜ + x ⎟ : x = : ⎠ ⎝4 8 5

8 13

⎞ ⎛4 5 3 12 ✱ ✱ ✱ ⎜ − x ⎟ : x = : ⎠ ⎝3 8 8

[5] 1 2

13 ✱ ✱ ✱ Calcola i rapporti tra i numeri dati. a. 60 e 36

b. 0,5 e 0,2

c. 0,15 e 0,24

d.

3 7 e 4 8

e.

5 25 e 6 48

14 ✱ ✱ ✱ Calcola il termine mancante dei seguenti rapporti. a.

b =3 4

b=

..................................

c.

35 =5 b

b=

..................................

b.

9 =2 b

b=

..................................

d.

15 5 = b 3

b=

..................................

15 ✱ ✱ ✱ Calcola la scala di una carta, sapendo che la distanza tra due città nella realtà è 56 km e sulla scala è 8 cm.

[1:700 000]

16 ✱ ✱ ✱ Verifica se i seguenti numeri nell’ordine dato formano una proporzione e in caso affermativo scrivila.

a. 3, 5, 9, 15

............................................................................................

c. 6, 7, 18, 28

..................................................................................................

b. 4, 13, 9, 2

............................................................................................

d. 8, 9, 32, 36

..................................................................................................

Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni. ⎞ ⎛ ⎛ 5 1 1⎞ ⎛3 7⎞ 17 ✱ ✱ ✱ ⎜ + − ⎟ : x = ⎜ + 1⎟ : ⎜1 + ⎠ ⎝ ⎝ 9 4 2⎠ ⎝4 11 ⎟⎠

2 7

⎛ 2 3 2 ⎞ ⎛ 3 1⎞ 8 = : + 18 ✱ ✱ ✱ x : ⎜1 + + + ⎝ 3 5 15 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 2 ⎟⎠ 3

9 8

⎛ ⎛ 2⎞ 1 4 21 ⎞ ⎛ 3 1 1⎞ :⎜ − − ⎟ = x : ⎜2 − ⎟ 19 ✱ ✱ ✱ ⎜1 − − ⋅ ⎟ ⎝ ⎝ 3⎠ 8 7 64 ⎠ ⎝ 2 4 3⎠

[1]

Risolvi le proporzioni continue.

1 6

⎛ 1 1 33 ⎞ ⎛7 5 7 16 ⎞ :x = x:⎜ + ⋅ − 21 ✱ ✱ ✱ ⎜ + ⋅ ⎟ ⎝ 2 6 19 ⎠ ⎝ 2 28 3 15 ⎟⎠

3 2

⎡⎛ 1 ⎞ 9 ⎤ ⎡⎛ 1 ⎞ 14 ⎤ 22 ✱ ✱ ✱ x : ⎢⎜ 5 − ⎟ : ⎥ = ⎢⎜ 2 + ⎟ : ⎥:x 2 ⎠ 4 ⎦ ⎣⎝ 3⎠ 3 ⎦ ⎣⎝

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[1]

55

4 SETTIMANA

⎛ 4 5⎞ ⎛ 5 3⎞ 20 ✱ ✱ ✱ ⎜ − ⎟ : x = x : ⎜ − ⎟ ⎝ 7 9⎠ ⎝ 2 4⎠

SETTIMANA 4

Risolvi applicando le proprietà delle proporzioni.

23 ✱ ✱ ✱ 24 ✱ ✱ ✱

(3 + x ) : 65 = x : 50 3 : x = 15 : (12 − x )

[10] [2]

⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 17 1⎞ 1⎞ − x ⎟ : ⎜1 − ⎟ = x : ⎜1 − ⎟ 25 ✱ ✱ ✱ ⎜ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 4 4⎠ 3⎠

9 4

26 ✱ ✱ ✱ Determina due numeri tali che: a. la loro somma sia 255 e il loro rapporto

2 .

3

b. la loro differenza sia 125 e il loro rapporto

[102, 153] 2 .

7

[175, 50]

Calcola il termine mancante dei seguenti rapporti.

27 ✱ ✱ ✱

a.

45 a = 60 24

a=

..................................

c.

40 8 = 48 b

b=

..................................

b.

30 45 = 24 b

b=

..................................

d.

36 a = 90 40

a=

..................................

28 ✱ ✱ ✱

a.

a 48 = 40 18

a=

..................................

c.

42 36 = 63 b

b=

..................................

b.

25 a = 30 42

a=

..................................

d.

a 13 = 26 24

a=

..................................

Calcola il valore dei seguenti rapporti, i cui termini sono espressioni frazionarie.

29 ✱ ✱ ✱

1 1⎞ 21 1 ⎞ 7 ⎛ 5 ⎛ − ⎜1 + − ⎟ e − ⎜6 − + ⎟ 2 4⎠ 4 6⎠ 3 ⎝ 3 ⎝

2 ⎡ ⎡ 1 ⎛ 1⎞2 ⎛ 1⎞2 ⎤ 8 1 ⎛ 5⎞ ⎤ 7 − ⎢1 − − ⎜ ⎟ ⎥ e ⎢ : +⎜ ⎟ ⎥⋅ ⎝ 2⎠ ⎥ 9 6 ⎝ 6⎠ ⎥ 12 ⎢ 54 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

30 ✱ ✱ ✱

16 9 12 5

Calcola il termine incognito. ⎡⎛ 3 1 ⎞ ⎤ ⎡⎛ 1 1 ⎞ 6 ⎤ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ :x 31 ✱ ✱ ✱ ⎢⎜ 5 − ⎟ : ⎜ 2 ⋅ − ⎟ ⎥ : ⎢⎜ + ⎟ ⋅ ⎥ = ⎜1 − 4 2 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 2 3 ⎠ 5 ⎦ ⎝ 4⎠ ⎝ 20 ⎟⎠ ⎣⎝ ⎡⎛ ⎡⎛ 1⎞ ⎤ 1 ⎞ ⎛ 5 25 1 ⎞ ⎤ ⎡⎛ 1 1 ⎞ 11 ⎤ 1⎞ ⎛ − 32 ✱ ✱ ✱ ⎢⎜ 2 − ⎟ : ⎜ : ⎥ : ⎢⎜ + ⎟ ⋅ ⎥ = x : ⎢⎜1 + ⎟ ⋅ ⎜ 2 − ⎟ ⎥ ⎟ 4⎠ ⎦ 6⎠ ⎝ 2 4 10 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 2 3 ⎠ 5 ⎦ 2⎠ ⎝ ⎣⎝ ⎣⎝

56

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1 5 35 4

2 ⎡ 1 2 21 ⎞ 1 ⎛ 1⎞ ⎤ ⎛ 1⎞ ⎛ 33 ✱ ✱ ✱ x : ⎢2 + − ⎜1 − ⎟ ⎥ = ⎜1 − ⎟ : ⎜1 + − ⋅ 2 7 16 ⎟⎠ 2 ⎝ 2⎠ ⎥ ⎝ 8⎠ ⎝ ⎢⎣ ⎦

7 4

Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni continue. ⎡⎛ ⎡⎛ 2⎞ ⎤ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎤ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ : ⎜ 6 + ⎟ ⎥ : x = x : ⎢⎜1 + ⎟ : ⎜1 − ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎥ 34 ✱ ✱ ✱ ⎢⎜ 2 + ⎟ 5⎠ ⎦ 8⎠ ⎝ 8⎠ ⎦ 10 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎣⎝ ⎣⎝

3 4

⎧⎪ 3 ⎡ 5 ⎛ 5 ⎞ 2 ⎤ 9 ⎫⎪ ⎡9 ⎢ ⎥ ⎢ : x = x : − + ⋅ ⎬ 35 ✱ ✱ ✱ ⎨ ⎜ ⎟ ⎢⎣ 4 ⎪⎩ 4 ⎢⎣ 6 ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ 65 ⎪⎭

1 4

⎧⎪ ⎡⎛ 3

⎞

2

1⎤ ⎛

1 ⎞ ⎫⎪

⎡⎛

2 ⎛7 5 1⎞ ⎤ ⎥ ⋅⎜ − − ⎝ 8 12 8 ⎟⎠ ⎥ ⎦

2⎞

⎛

1⎞ ⎤

[10]

36 ✱ ✱ ✱ x : ⎨ ⎢⎜ − 1⎟ ⋅ 4 + ⎥ : ⎜1 + ⎟ ⎬ = ⎢⎜ 2 + ⎟ ⋅ 20 : ⎜1 − ⎟ ⎥ : x ⎠ ⎝ ⎝2 2⎠ ⎦ 3⎠ 4⎥ ⎝ 3 ⎠ ⎪ ⎣⎝ ⎦ ⎩⎪ ⎢⎣ ⎭

Calcola il termine incognito applicando opportunamente le proprietà.

25 12

⎞ ⎛ 7 9 1⎞ ⎛ 1 14 7 ⎞ ⎛ 5 + ⎟ : ⎜ + x⎟ 37 ✱ ✱ ✱ ⎜ + − ⎟ : x = ⎜ + ⎠ ⎝ 4 4 4⎠ ⎝6 3 6⎠ ⎝ 4 ⎞ ⎛4 ⎡⎛ 1 2 ⎞ 22 1 ⎤ ⎡⎛ 2 5 1 ⎞ 51 ⎤ + ⎥ : ⎢⎜ + + ⎟ : 38 ✱ ✱ ✱ x : ⎜ + x ⎟ = ⎢⎜ + ⎟ : ⎥ ⎠ ⎝3 2 ⎦ ⎣⎝ 3 6 5 ⎠ 60 ⎦ ⎣⎝ 3 5 ⎠ 5

4 3

⎞ ⎡ ⎛ 2 1 ⎞ 11 ⎤ ⎛1 ⎡5 ⎛ 21 1 ⎞ ⎤ + ⎟⎥ 39 ✱ ✱ ✱ ⎜ − x ⎟ : ⎢1 + ⎜ + ⎟ : ⎥ = x : ⎢ − ⎜6 − ⎠ ⎣ ⎝ 3 4⎠ 6 ⎦ ⎝2 4 6⎠ ⎦ ⎣3 ⎝

1 6

Risolvi i problemi. n pontile è a filo d’acqua durante l’alta marea, mentre durante la bassa 40 ✱ ✱ ✱ U 1 marea emerge per . Sapendo che la differenza di livello tra le due fasi di 4 marea è di 1,5 m, calcola l’altezza complessiva del pontile.

[2 m]

9 a differenza tra le dimensioni di un rettangolo è 40 cm e la base è 41 ✱ ✱ ✱ L 4 dell’altezza. Calcola il perimetro e l’area del rettangolo.

[208 cm, 2304 cm2]

etermina due numeri sapendo che la differenza dei quadrati è 175 e il 44 ✱ ✱ ✱ D 4 rapporto è .

[20, 15] 3

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57

4 SETTIMANA

42 ✱ ✱ ✱ La somma della base e dell’altezza di un triangolo isoscele misura 66 cm e 6 l’altezza è della base. Calcola l’area del triangolo.

[1815 cm2] 5 2 etermina due numeri sapendo che il loro rapporto è e la somma dei loro 43 ✱ ✱ ✱ D 3 quadrati è 52.

[4, 6]

SETTIMANA 4

IL TEOREMA DI PITAGORA Per calcolare l’ipotenusa c:

È un importantissimo teorema che si applica ai triangoli rettangoli.

c=

a2 + b2

Se a = 12 cm e b = 9 cm:

Che cos’e?

c = 122 + 92 = 144 + 81 = 225 = 1 c = 122 + 92 = 144 + 81 = 225 = 15 cm

IL TEOREMA DI PITAGORA

Come si applica?

Qual è la sua formulazione?

Per calcolare il cateto a: a=

c 2 − b2

Se c = 17 cm e b = 8 cm:

a = 172 − 82 = 289 − 64 = 225 = In un triangolo rettangolo a = 172 − 82 = 289 − 64 = 225 = 15 cm il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati Per calcolare costruiti sui cateti. il cateto b: Se c è la misura dell’ipotenusa e a e b sono le misure dei cateti: c 2 = a2 + b2

b=

c2 − a2

Se c = 17 cm e a = 15 cm:

b = 172 − 152 = 289 − 225 = 64 = 8 b = 172 − 152 = 289 − 225 = 64 = 8 cm ipotenusa c cateto a

Tre numeri che soddisfano la relazione c2 = a2 + b2 individuano una terna pitagorica.

cateto b

58

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1 Indica con una crocetta la risposta corretta.

Il teorema di Pitagora esprime: I cateti di un triangolo rettangolo misurano 21 cm e 28 cm.

L’ipotenusa misura: A 49 cm

C 7 cm

B 35 cm

D 18,5 cm

A una relazione di equivalenza B una congruenza C una relazione di isoperimetria D una proporzione

2 Indica con una crocetta la risposta corretta.

Il teorema di Pitagora afferma che:

A 169 cm

C 117 cm

B 81 cm

D 132,5 cm

L’ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 34 cm e 16 cm.

L’area del triangolo è: A 272 cm2 B 510 cm

2

C 240 cm2 D Non si può calcolare

Due numeri di una terna pitagorica sono 24 e 70, il terzo numero è: A 94

A In un triangolo il quadrato costruito

su un lato è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due.

B In un triangolo rettangolo il quadrato

costruito sull’ipotenusa è equivalente ai quadrati costruiti sui cateti.

C In un triangolo rettangolo la somma

dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa.

D Il perimetro del quadrato che ha per

lato l’ipotenusa è uguale alla somma dei perimetri dei quadrati che hanno per lati i cateti.

3 In ogni gruppo di terne di numeri

assegnate indica con una crocetta la terna pitagorica.

a. A 5, 12, 14

c. A 13, 84, 91

B 5, 12, 16

B 13, 84, 85

C 5, 12, 13

C 13, 85, 87

b. A 9, 15, 17

d. A 40, 42, 48

B 7, 15, 17

B 50, 52, 68

C 8, 15, 17

C 40, 42, 58

B 74 C 46 D Non esiste © Casa Editrice G. Principato

59

4 SETTIMANA

L’ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 125 cm e 44 cm.

L’altro cateto misura:

SETTIMANA 4

IL TEOREMA DI PITAGORA applicato ai triangoli

ℓ⎞2 ℓ2 ⎛ 2 h= ℓ − = ℓ − = ⎝ 2⎠ 4 2

3 2 1 ℓ = ℓ 4 2

3=

lato ℓ

altezza h

Il triangolo equilatero si può vedere come un particolare triangolo isoscele, dove la base è congruente al lato.

1 ℓ ⋅ 1,73 2

metà lato ℓ/2

Se ℓ = 24 cm, h = 12 3 = 20,76 cm.

triangolo equilatero IL TEOREMA DI PITAGORA applicato al

triangolo isoscele

triangolo ottusangolo L’altezza relativa a uno dei lati che delimitano l’angolo ottuso (preso come base) individua due triangoli rettangoli.

C

altezza D

A

Si formano i due triangoli rettangoli DAC e DBC, a cui si può applicare il teorema di Pitagora.

Se AB = 11 cm, CD = 12 cm e AD = 5 cm: AC = 122 + 52 = 114 + 25 = 169 = 13 cm CB = 162 + 122 = 256 + 144 = 60

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400 = 20 cm

base

B

Se devi calcolare il lato di un triangolo equilatero: ℓ=

1 In un triangolo isoscele l’altezza misura 30 cm e l’area 480 cm2.

Il lato misura:

h ⋅2 3

A 34 cm

B 32 cm

C 8 cm

D 16 cm

2 L’area di un triangolo isoscele

è 2688 cm2 e la base misura 56 cm.

Il perimetro è:

L’altezza relativa alla base divide la figura in due triangoli rettangoli.

A 208 cm

B 256 cm

C 252 cm

D Non si può calcolare

3 Quale tra le seguenti coppie di misure rappresenta il perimetro e l’area del triangolo in figura?

C

altezza h

lato ℓ 10 cm D 6 cm A

b/2

ℓ=

2

⎛ b ⎞ + h2 ⎝ 2⎠

Se b = 48 cm e h = 32 cm:

A 2p = 28 cm

A = 60 cm2

B 2p = 37,6 cm

A non calcolabile

C 2p non calcolabile

A = 72 cm2

D 2p = 41,7 cm

A = 48 cm2

4 Il lato di un triangolo equilatero

ℓ = 242 + 322 = 576 + 1024 = 1600 = 40 cm = 576 + 1024 = 1600 = 40 cm

Se devi calcolare l’altezza di un triangolo isoscele: h=

b ℓ2 − ⎛ ⎞ ⎝ 2⎠

2

Se devi calcolare la base di un triangolo isoscele: b=

ℓ 2 − h2 ⋅ 2

B

misura 20 cm. L’altezza del triangolo misura:

A 20 3 cm

C 10 3 cm

B 11,56 cm

D 20 cm

5 L’altezza di un triangolo equilatero è 12 3 cm. Il perimetro misura: A 36 3 cm

C 72 3 cm

B 72 cm

D 18 cm

6 In un triangolo isoscele la base

è 14 cm e l’altezza a essa relativa la supera di 10 cm. Il lato misura:

A 24 cm

C 38 cm

B 25 cm

D 31 cm

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61

4 SETTIMANA

base b

12 cm

SETTIMANA 4

1 ✱ ✱ ✱ I cateti di un triangolo rettangolo misurano 12 cm e 16 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

[48 cm, 96 cm2] 2 ✱ ✱ ✱ I n un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 85 cm e un cateto è lungo 40 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

[200 cm, 1500 cm2] a base e l’altezza di un triangolo isoscele misurano rispettivamente 32 cm 3 ✱✱✱ L e 12 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

[72 cm, 192 cm2]

4 ✱ ✱ ✱ I n un sistema di riferimento cartesiano ortogonale un triangolo ha per vertici i punti A(1, 1), B(7, 1), C(4, 5). Verifica che il triangolo è isoscele e calcola perimetro e area. ompleta le tabelle relative a trian5 ✱✱✱ C golo rettangoli: a e b rappresentano i cateti, c l’ipotenusa. L’unità di misura considerata è il centimetro.

a

b

c

14

a

50 36

39

20

52

b

c

15

17 74

70 60

78

12 ’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 39 cm e un cateto è di essa.

6 ✱✱✱ L 13 Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

[90 cm, 270 cm2] ’area di un triangolo rettangolo è 3360 cm2 e un cateto è 48 cm. Calcola il 7 ✱✱✱ L perimetro.

[336 cm]

8 ✱ ✱ ✱ I n un triangolo rettangolo la somma dei cateti è 140 cm e la loro differenza è 20 cm. Calcola perimetro e area del triangolo.

[240 cm, 2400 cm2] ompleta la tabella relativa a triangoli isosceli. Le misure sono da conside9 ✱✱✱ C rarsi in centimetri. b

40

h

21

ℓ

66

40

45 53

63 65

73

2p A

48

128 600

242 1008

7 a base di un triangolo isoscele misura 96 cm e l’altezza è di essa.

10 ✱ ✱ ✱ L 48 Calcola perimetro e area del triangolo.

[196 cm, 672 cm2]

62

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alcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che la som11 ✱ ✱ ✱ C ma dell’ipotenusa e di un cateto è 98 cm e la loro differenza è 50 cm.

[168 cm, 840 cm2]

12 ✱ ✱ ✱ I n un triangolo rettangolo di area 2400 cm2, l’altezza relativa all’ipotenusa 3 dell’ipotenusa, calcola il pemisura 48 cm. Sapendo che uno dei cateti è 5 rimetro e la misura delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

[200 cm, 64 cm, 36 cm] 3 n triangolo rettangolo ha l’area di 486 cm2 e un cateto è dell’altro. Cal13 ✱ ✱ ✱ U 4 cola il perimetro del triangolo.

[108 cm] 4 del peri14 ✱ ✱ ✱ I l perimetro di un triangolo isoscele misura 216 cm e la base è 9 metro. Calcola l’area e la misura dell’altezza relativa al lato.

[1728 cm2, 57,6 cm] a somma delle lunghezze del lato e dell’altezza relativa alla base di un trian15 ✱ ✱ ✱ L 17 dell’altezza. Calcola il perimetro e golo isoscele misura 64 cm e il lato è 15 l’area del triangolo.

[100 cm, 480 cm2] apendo che l’unità di misura considerata per disegnare i grafici seguenti è 16 ✱ ✱ ✱ S il centimetro, calcola il perimetro e l’area dei triangoli. y

y

+9

+9

+8

+8

+7

+7

+6

+6

+5

+5

+4

+4

+3

+3

+2

+2

+1 0

+1 0

–1 –1

0 +1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

+8

x

–1 –1

0 +1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

+8

+9

+10 +11

x

6 25 del quadrato e ha un cateto di 56 cm. Calcola il perimetro del triangolo.

[168 cm]

n quadrato ha il lato di 70 cm. Un triangolo rettangolo è equivalente a 17 ✱ ✱ ✱ U

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63

SETTIMANA

n triangolo rettangolo è equivalente a un rettangolo che ha la base e l’altezza 18 ✱ ✱ ✱ U che misurano rispettivamente 24 cm e 14 cm. Sapendo che uno dei cateti è doppio della base del rettangolo, calcola il perimetro del triangolo. [112 cm]

4

SETTIMANA 4

IL TEOREMA DI PITAGORA applicato ai quadrilateri altezza h

Tracciando una diagonale, il rettangolo si divide in due triangoli rettangoli congruenti.

diagonale d

d = b2 + h2

base b

Se b = 24 cm e h = 18 cm: d = 242 + 182 = 576 + 324 = 900 = 30 cm

rettangolo IL TEOREMA DI PITAGORA applicato al

rombo

quadrato Tracciando una diagonale, il quadrato si divide in due triangoli rettangoli isosceli congruenti. d=

lato ℓ

ℓ + ℓ = 2ℓ = ℓ 2 = ℓ ⋅ 1,41 2

2

2

Se ℓ = 18 cm, d = 18 2 cm = 25,38 cm.

Il lato del quadrato è ℓ =

64

diagonale d

d 2

= d : 1,41

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lato ℓ

Per calcolare una delle dimensioni del rettangolo devi utilizzare una delle seguenti formule inverse. b=

d −h

h=

d2 − b2

2

2

1 Traccia la diagonale di un rettangolo e osserva la figura che ottieni. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?

A La diagonale divide la figura in due

triangoli rettangoli congruenti.

B L’ipotenusa di uno dei triangoli

è la base del rettangolo.

C La base e l’altezza del rettangolo

sono sempre i cateti.

D La diagonale è sempre l’ipotenusa

del triangolo rettangolo.

Tracciando le diagonali del rombo, la figura si divide in quattro triangoli rettangoli congruenti, che hanno come cateti la metà di ciascuna diagonale. ⎛ D ⎞ + ⎛ d⎞ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

2

diagonale minore d

D/2 diagonale maggiore D

Le diagonali del rombo si ricavano dalle formule: 2 ⎡ d⎞ ⎤ ⎛ 2 D=⎢ ℓ − ⎥ ⋅2 ⎝ 2⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎦

⎡ D⎞2 ⎤ ⎛ 2 d=⎢ ℓ − ⎥ ⋅2 ⎝ 2⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎦

a.

Qual è il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato? ........................................................... b.

Come vengono definite due grandezze che hanno per rapporto un numero irrazionale? .............................................................................................................

3 Applicando il teorema di Pitagora

a un rombo le cui diagonali misurano 24 cm e 18 cm, si è ottenuta la lunghezza del lato di 30 cm.

lato ℓ

d/2

rispondi alle domande.

Il procedimento è corretto? ...........................................................

In caso contrario, quale errore è stato commesso? .........................................................................................................................

4 L a base e l’altezza di un rettangolo

misurano rispettivamente 24 cm e 18 cm.

La diagonale è:

A 42 cm

C 6 cm

B 30 cm

D 15,8 cm

5 L a diagonale di un quadrato è 7 cm.

Il lato misura:

A 7 cm

C 14 cm

B 9,87 cm

D 4,964 cm

6 Le diagonali di un rombo misurano 30 cm e 16 cm. Il lato misura:

A 46 cm

C 23 cm

B 17 cm

D 34 cm

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65

4 SETTIMANA

ℓ=

2

2

SETTIMANA 4

IL TEOREMA DI PITAGORA applicato ai TRAPEZI D

C

K

H

Si considerano le figure che compongono il trapezio.

A

B

trapezio IL TEOREMA DI PITAGORA applicato al

trapezio rettangolo

trapezio isoscele ℓ=

1. Le basi di un trapezio isoscele misurano 28 cm e 12 cm e l’altezza 15 cm.

Il perimetro misura:

2

⎛ B − b ⎞ + h2 ⎝ 2 ⎠

D=

h2 + BH2

D

C diagonale D

altezza h

H

B

semidifferenza basi = (B − b) : 2

66

C 72 cm

B 70 cm

D 74 cm

2. Le basi e il perimetro di un trapezio isoscele misurano rispettivamente 18 cm, 32 cm e 100 cm. L’area è:

lato obliquo ℓ

A

A 300 cm

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A 1188 cm2

C 625 cm2

B 1888 cm2

D 600 cm2

• Si considera il triangolo

formato da altezza, lato obliquo e differenza delle basi.

1 In un trapezio rettangolo il lato obliquo è 45 cm, l’altezza 27 cm e la base minore 22 cm.

Il perimetro misura:

lato obliquo ℓ

A 130 cm

altezza h

B 108 cm C 152 cm

differenza basi = B – b

ℓ=

h2 + ( B − b )

h=

ℓ − ( B − b)

D 179 cm

2

B−b =

2 In un trapezio rettangolo

2

2

con le basi di 77 cm e 54 cm, l’area è 2358 cm2. La diagonale maggiore misura:

ℓ 2 − h2

A 36 cm B 85 cm

• Si considera il triangolo che ha

per cateti altezza e base maggiore.

C 131 cm D 113 cm

diagonale maggiore D base maggiore B

D=

3 Un trapezio isoscele è diviso dalle

altezze relative alla base maggiore in un quadrato e due triangoli rettangoli isosceli.

B2 + h2

B=

D2 − h2

h=

D2 − B2

• Si considera il triangolo che ha

per cateti altezza e base minore. base minore b

10 cm

altezza h

Quale coppia di valori rappresenta in modo corretto perimetro e area del trapezio se l’altezza misura 10 cm?

A 68,2 cm e 200 cm2 B 60 cm e 300 cm2

diagonale minore d

C 57,3 cm e 400 cm2

4

D 60 2 cm e 200 cm2

d = b2 + h2 b=

d2 − h2

h=

d2 − b2

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67

SETTIMANA

altezza h

SETTIMANA 4

n rettangolo ha l’area di 1452 cm2 e la base misura 33 cm. Calcola il 1 ✱✱✱ U perimetro e la misura della diagonale del rettangolo.

[154 cm, 55 cm] erifica che il quadrilatero di vertici A(−3, −2), B(4, −2), C(4, 3), D(−3, 3) è 2 ✱✱✱ V un rettangolo e calcola il perimetro, l’area e la lunghezza della diagonale. ’area di un rettangolo è 1680 cm2 e una dimensione misura 70 cm. Calcola 3 ✱✱✱ L il perimetro e la diagonale del rettangolo.

[188 cm, 74 cm]

4 ✱ ✱ ✱ I l perimetro di un rettangolo è di 46 cm e una dimensione misura 15 cm.

Determina la lunghezza della diagonale e l’area del rettangolo.

[17 cm, 120 cm2] ’altezza di un rettangolo misura 12 cm e la base la supera di 6 cm. Calcola 5 ✱✱✱ L il perimetro, l’area e la lunghezza della diagonale.

[60 cm, ..., 21,6 cm] n quadrato ha il lato di 15 cm. Calcola perimetro, area e diagonale del qua6 ✱✱✱ U drato.

[60 cm, 225 cm2, 15√2 cm]

7 ✱ ✱ ✱ I l perimetro di un quadrato misura 36 cm. Calcolane l’area e la diagonale.

[81 cm2, 9√2 cm] ’area di un quadrato misura 676 cm2. Calcola il perimetro e la diagonale.

8 ✱✱✱ L

[104 cm, 26√2 cm] e diagonali di un rombo misurano 24 cm e 70 cm. Calcola perimetro e area 9 ✱✱✱ L del rombo.

[148 cm, 840 cm2]

10 ✱ ✱ ✱ I l lato di un rombo misura 97 cm e la diagonale maggiore è lunga 144 cm.

Calcola il perimetro e l’area del rombo.

[388 cm, 9360 cm2] 11 ✱ ✱ ✱ I l perimetro di un rombo misura 452 cm e la diagonale minore è lunga 30 cm.

Calcola l’area del rombo.

[3360 cm2] ’area di un rombo è 2520 cm2 e la diagonale maggiore misura 90 cm.

12 ✱ ✱ ✱ L Calcola il perimetro del rombo.

[212 cm]

13 ✱ ✱ ✱ I n un piano cartesiano ortogonale con unità di misura il centimetro, verifica che il quadrilatero di vertici A(4, 1), B(6, 4), C(4, 7), D(2, 4) è un rombo.

Calcola l’area dopo aver ricavato dal grafico la lunghezza delle diagonali. a base maggiore, la base minore e l’altezza di un trapezio rettangolo misu14 ✱ ✱ ✱ L rano rispettivamente 51 cm, 30 cm e 20 cm. Calcola il perimetro e l’area del trapezio.

[130 cm, 810 cm2]

68

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alcola il perimetro e l’area di un trapezio isoscele, sapendo che la base 15 ✱ ✱ ✱ C maggiore è lunga 37 cm, la base minore 27 cm e l’altezza 12 cm.

[90 cm, 384 cm2]

16 ✱ ✱ ✱ I n un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con unità di misura il centimetro, rappresenta i punti A(0, 1), B(13, 1), C(10, 5), D(0, 5). Calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ottenuto.

17 ✱ ✱ ✱ I n un piano cartesiano con unità di misura il centimetro, disegna il trapezio di vertici A(1, 1), B(10, 1), C(8, 4), D(3, 4). Verifica che è isoscele e calcolane il perimetro e l’area.

12 a base di un rettangolo misura 36 cm ed è congruente ai della diagona18 ✱ ✱ ✱ L 13 le. Calcola il perimetro e l’area del rettangolo.

[102 cm, 540 cm2] 5 a base di un rettangolo misura 72 cm e l’altezza è di essa. Calcola il 19 ✱ ✱ ✱ L 12 perimetro, l’area e la diagonale.

[204 cm, 2160 cm2, 78 cm] a somma della base e dell’altezza di un rettangolo misura 56 cm e la base è 20 ✱ ✱ ✱ L 4 dell’altezza. Calcola l’area del rettangolo e la lunghezza della diagonale.

3

[768 cm2, 40 cm]

15 dell’altezza e la loro differenza è 14 cm. Calcola: 8 a. la misura della diagonale; [34 cm]

a base di un rettangolo è 21 ✱ ✱ ✱ L

b. l a misura del lato e della diagonale di un quadrato isoperimetrico al rettangolo.

[23 cm] 24 di esso. Calcola il 22 ✱ ✱ ✱ I l lato di un rombo misura 52 cm e una diagonale è 13 perimetro e l’area del rombo.

[208 cm, 1920 cm2] a somma delle diagonali di un rombo è 186 cm e la loro differenza è 102 cm.

23 ✱ ✱ ✱ L Calcola il perimetro e l’area del rombo.

[300 cm, 3024 cm2]

7 della maggiore e differisce da essa di 24 68 cm. Calcola il perimetro, l’area e l’altezza del rombo.

[200 cm, 1344 cm2, 26,88 cm]

a diagonale minore di un rombo è 24 ✱ ✱ ✱ L

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69

4 SETTIMANA

a base maggiore di un trapezio rettangolo misura 49 cm e la base minore è 25 ✱ ✱ ✱ L 4 di essa. Sapendo che l’altezza misura 20 cm, calcola il perimetro e l’area 7 del trapezio.

[126 cm, 770 cm2]

SETTIMANA 4

icava dal grafico i dati necessari e calcola perimetro e area dei seguenti tra26 ✱ ✱ ✱ R pezi, rappresentati in un piano cartesiano con unità di misura il centimetro.

C

y

1 cm

1 cm

y

B

S

1 cm y G

R

x

F x

x

D D P

a.

A

E

Q

b.

c.

27 ✱ ✱ ✱ I n un trapezio isoscele l’altezza misura 16 cm, la base minore 51 cm e la base maggiore 75 cm. Calcola perimetro, area e diagonale del trapezio.

[166 cm, 1008 cm2, 65 cm] e basi di un trapezio rettangolo misurano 35 cm e 30 cm. Sapendo che la 28 ✱ ✱ ✱ L diagonale maggiore è lunga 37 cm, calcola la misura del perimetro e l’area del trapezio.

[90 cm, 390 cm2] e diagonali di un trapezio rettangolo misurano 80 cm e 136 cm e l’altezza è 29 ✱ ✱ ✱ L 15 della diagonale maggiore. Calcola perimetro e area del trapezio.

17

[328,3 cm, 5376 cm2] alcola l’area di un trapezio isoscele, sapendo che il perimetro è 144 cm, la 30 ✱ ✱ ✱ C 2 base minore è della maggiore e la loro somma misura 84 cm. [1008 cm2] 5 3 della differenza delle basi e la base 31 ✱ ✱ ✱ I n un trapezio rettangolo l’altezza è 4 minore è metà della base maggiore. Sapendo che l’altezza misura 24 cm, calcola perimetro e area del trapezio.

[160 cm, 1152 cm2] a somma delle basi di un trapezio isoscele è 184 cm e la loro differenza è 32 ✱ ✱ ✱ L 1 96 cm. Sapendo che l’altezza è della base maggiore, calcola il perimetro 7 e l’area del trapezio.

[288 cm, 1840 cm2]

60 dell’altezza e l’area misura 11 5940 cm2, calcola il perimetro e la lunghezza della diagonale del rettangolo.

[426 cm, 183 cm]

apendo che la base di un rettangolo è 33 ✱ ✱ ✱ S

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34 ✱ ✱ ✱ I n un parallelogramma il lato misura 35 cm, l’altezza relativa alla base è di 21 cm e divide la base stessa in due parti, una tripla dell’altra. Determina il perimetro e l’area del parallelogramma.

[294 cm, 2352 cm2] 8 ’area di un rombo è 540 cm2 e la diagonale maggiore è della minore.

35 ✱ ✱ ✱ L 15 Calcola la misura del perimetro.

[102 cm] ui lati di un rombo con le diagonali di 42 cm e 56 cm, esternamente a esso, 36 ✱ ✱ ✱ S si costruiscono quattro quadrati. Calcola il perimetro e l’area della figura ottenuta.

[420 cm, 6076 cm2] a somma e la differenza delle basi di un trapezio rettangolo misurano ri37 ✱ ✱ ✱ L spettivamente 90 cm e 12 cm, e l’area del trapezio è 2340 cm2. Calcola il perimetro e la diagonale minore del trapezio.

[195,4 cm, 65 cm] ’area di un trapezio isoscele è 1920 cm2 e la diagonale lo divide in due 38 ✱ ✱ ✱ L 29 triangoli tali che il primo è equivalente a dell’altro. Sapendo che l’altezza 99 misura 60 cm, calcola la misura del perimetro e la lunghezza della diagonale.

[189 cm, 68 cm] ulla base delle ipotesi indicate, calcola perimetro e area dei seguenti poligoni.

39 ✱ ✱ ✱ S

a. AE = CD = CB = 13 cm AC = 84 cm

D

E

C

A

H

DH = 5 cm [184 cm, 906 cm2]

B

E

b. AB = 97 cm BH = 65 cm

A

D

H

K

C

DE = 78 cm DK = 44 cm [382 cm, 9564 cm2]

B

n trapezio rettangolo ha l’angolo acuto di 45°. Sapendo che le basi misurano 41 ✱ ✱ ✱ U 23 cm e 15 cm, calcola perimetro e area del trapezio.

[57,3 cm, 152 cm2]

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4 SETTIMANA

n trapezio rettangolo ha l’altezza di 18 cm e l’angolo ottuso di 120°. Sa40 ✱ ✱ ✱ U pendo che la diagonale maggiore è perpendicolare al lato obliquo, calcola il perimetro e l’area del trapezio.

[111,54 cm, 654,66 cm2]

In GIOCO con...

l’invalsi Pitagora con forbici e cartoncino 1 Esistono moltissime dimostrazioni del teorema di Pitagora, alcune si prestano a un gioco di ritaglio.

• Disegna un triangolo rettangolo e con il cartoncino costruisci i tre quadrati che hanno per lato rispettivamente i cateti e l’ipotenusa. quadrato • Posizionali accanto al triangolo che cateto hai disegnato e considera quello minore che ha per lato il cateto maggiore: dal suo centro disegna la parallela e la perpendicolare all’ipotenusa 3 del triangolo rettangolo.

• Ritaglia i quattro pezzi e posizionali sul quadrato che ha per lato 1 l’ipotenusa, come indicato dal disegno; al centro, come puoi verificare facilmente, si posiziona in modo perfetto il quadrato costruito sul cateto minore.

1

2

3

4

quadrato cateto maggiore

4 quadrato ipotenusa 2

2 Disegna un triangolo rettangolo e con la carta lucida costruisci i due quadrati che hanno per lati i cateti e quello che ha per lato l’ipotenusa.

Disponi i due quadrati più piccoli uno di fianco all’altro e quello più grande in modo che due vertici opposti coincidano con quelli dei due quadrati, come mostrato nella figura.

Q1 b

c

T2

Q3

F2 T3

a Q2

T1 F1 T4

Perché si può affermare che è valido il teorema di Pitagora?

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Fai una sosta... nelle SCIENZE

Attenzione zanzare!

OBIETTIVO 3 Porre fine alle epidemie di malaria e malattie tropicali trascurate.

Nel basso corso del fiume e in prossimità della foce, quando ormai la velocità della corrente è molto ridotta, è frequente che si formino paludi, dove l’acqua stagnante diventa l’ambiente perfetto per la riproduzione di moltissimi insetti, tra cui le zanzare.

Le circa 2500 specie che si conoscono depongono tutte le uova nell’acqua ferma, qui le larve si nutrono e crescono fino a diventare pupe e poi insetti alati. Alcuni generi di zanzara compiono l’intero ciclo vitale in una settimana, come per esempio la Anopheles.

Ancora molto diffusa in Italia fino agli anni Sessanta del secolo scorso, ma ancora diffusissima soprattutto nell’Africa equatoriale, questa specie è il vettore attraverso il quale il plasmodio della malaria viene a contatto con l’organismo umano. Le femmine, infatti, hanno bisogno delle proteine del sangue per la maturazione delle uova.

La malaria può essere mortale e si manifesta con episodi febbrili, associati a crisi di freddo, abbondante sudorazione e sete intensa, dolori muscolari, mal di testa e ingrossamento di alcuni organi come il fegato, dove prolifera il plasmodio prima di invadere l’organismo.

L’uso di grandi quantità di insetticidi non è riuscito a debellare le zanzare, anzi ha favorito lo sviluppo di specie resistenti a questi prodotti. non solo malaria!

ATTIVITà • Informati sui comportamenti da mettere in atto per evitare le punture di zanzara, alcune buone pratiche possono aiutare tantissimo.

• Ricerca se esistono vaccini contro questo tipo di malattie e quali sono le precauzioni da prendere se ti rechi in un paese a rischio.

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73

4 SETTIMANA

La facilità delle comunicazioni internazionali e i grandi flussi migratori stanno nuovamente riportando la Anopheles in zone da cui era scomparsa, insieme a un’altra specie, la zanzara tigre, vettore di un virus prima sconosciuto in Italia, il West Nile.

L’infezione provocata da questo virus presenta sintomi simili a quelli della malaria ed entrambe si curano con mix di farmaci, ma possono essere scambiate per una normale influenza e avere conseguenze più serie. È consigliabile quindi non sottovalutare l’insorgenza della febbre, di ritorno da viaggi in zone infestate da questo tipo di zanzare, ma anche se si viene punti dalle tigre.

RITA POLETTI

MEMO

2 A

INCLU VA SI

DATTIC DI

Manuale per il ripasso

MATE sfera MATEMATICA e SCIENZE per le VACANZE

2

Il piacere di apprendere

Gruppo Editoriale ELi

RITA POLETTI

MEMO

2

Manuale per il ripasso

indice 1 Uso delle tavole numeriche

.............................................

2

......................................................

5

........................................................

6

......................................................

11

..............................................................................................

12

Competenze in campo

2 Triangoli e quadrilateri Competenze in campo

3 Proporzioni

4 La proporzionalità

.........................................................................

Competenze in campo

5 La statistica

17

......................................................

20

...........................................................................................

21

Competenze in campo

......................................................

Per documentare le tue competenze

Il piacere di apprendere © Casa Editrice G. Principato

...........

23 24

Gruppo Editoriale ELi

ripasso

3

Proporzioni

Le proporzioni vengono utilizzate in moltissimi ambiti della vita quotidiana, dalle carte geografiche o stradali, alle ricette di cucina, dalle fotografie ai microscopi.

Una proporzione è l’uguaglianza di due rapporti, nei quali il primo numero prende il nome di antecedente e il secondo quello di conseguente.

All’interno di una proporzione si distinguono anche i medi, termini centrali, e gli estremi, termini esterni.

Se gli estremi o i medi di una proporzione sono uguali tra loro la proporzione è continua.

Per le proporzioni vale il seguente teorema fondamentale: in una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. fissa l’idea...

L’uguaglianza 12 : 24 = 15 : 30 è una proporzione perchè: 12 15 1 = = 24 30 2 12 24 12 24

e e e e

15 sono gli antecedenti 30 sono i conseguenti 30 sono gli estremi 15 sono i medi

Applicando il teorema fondamentale otteniamo: 12 • 30 = 24 • 15 = 360

CALCOLO DEL TERMINE INCOGNITO DI UNA PROPORZIONE Quando devi calcolare il termine incognito di una proporzione devi osservare la sua posizione: - se è un medio, moltiplica tra loro gli estremi e dividi per il medio noto; - se è un estremo, moltiplica tra loro i medi e dividi per l’estremo noto; - se la proporzione è continua calcola la radice quadrata del prodotto dei termini noti.

12

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fissa l’idea... �

17 : x = 21 : 15

x è un medio:

x = 7 • 15 = 5 21

�

1:2 7 :x = 6 7 15

x è un estremo:

x=2• 7 •6=4 7 15 1 5

�

x : 20 = 45 : x Proporzione continua con x estremi: x = 20 • 45 = 900 = 30

�

2:x=x: 8 3 27 Proporzione continua con x medi: x =

2 8 • = 3 27

16 4 = 81 9

PROPRIETà DELLE PROPORZIONI Le proporzioni godono delle seguenti proprietà: - dell’invertire: in una proporzione è possibile scambiare ogni antecedente con il suo conseguente ottenendo ancora una proporzione; - del permutare: in una proporzione è possibile scambiare tra loro i medi o gli estremi ottenendo ancora una proporzione; - del comporre: in una proporzione si può sostituire ogni antecedente con la somma di antecedente e conseguente, ottenendo ancora una proporzione; - dello scomporre: in una proporzione si può sostituire ogni antecedente con la differenza di antecedente e conseguente, ottenendo ancora una proporzione. fissa l’idea...

Data la proporzione 12 : 7 = 36 : 21 applichiamo le proprietà: dell’invertire

7 : 12 = 21 : 36

�

del permutare i medi

12 : 36 = 7 : 21

�

del permutare gli estremi 21 : 7 = 36 : 12

�

del comporre oppure

19 : 12 = 57 : 36 19 : 7 = 57 : 21

�

dello scomporre oppure

5 : 12 = 15 : 36 5 : 7 = 15 : 21

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3

13

ripasso

�

La proprietà del comporre si applica per risolvere una proporzione in cui un termine è la differenza tra un numero e il valore incognito x, oppure per risolvere un problema in cui sono noti la somma di due grandezze e il loro rapporto. Problemi di questo tipo si possono risolvere con il calcolo frazionario, ma, ricordando che un rapporto si può esprimere anche come frazione, nel procedimento risolutivo si possono applicare le proporzioni. Le grandezze considerate possono essere aritmetiche o geometriche. fissa l’idea...

Applica la proprietà del comporre alla proporzione:

f

38 x : x = 7 : 5 – 3 2 4

j

f

38 x x x = 7 5 5 – + + : : 3 2 4 4

Ricorda che la proprietà va applicata a entrambi i rapporti e occorre considerare x come conseguente.

j

f

j

Risolvendo i calcoli si ha 38 : x = 19 : 5 3 4 4

x = 38 • 5 • 4 = 10 3 4 19 3

La somma di due numeri è 72 e il loro rapporto è 3 .

5 Il problema si traduce nelle relazioni seguenti.

x : y = 3 : 5 e x + y = 72 Applicando la proprietà del comporre risulta: (x + y) : x = (3 + 5) : 3 Quindi 72 : x = 8 : 3 e x = 72 • 3 : 8 = 27 Per differenza y = 72 – 27 = 45.

Il perimetro di un rettangolo misura 160 cm e la base è 11 dell’altezza. Calcola l’area del rettangolo.

5 80 cm, metà del perimetro, rappresenta la somma delle dimensioni, indicate con x e y. Quindi:

x : y = 11 : 5 e x + y = 80 cm Applicando la proprietà del comporre si ottiene: 80 : x = 16 : 11 Risolvendo i calcoli si ha: base = 55 cm altezza = 25 cm Area = 55 • 25 = 1375 cm2

14

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La proprietà dello scomporre si utilizza per risolvere esercizi che richiedono il calcolo del termine incognito di una proporzione in cui uno dei termini è la somma di x con un numero, oppure per risolvere problemi in cui sono noti la differenza di due grandezze e il loro rapporto. Ricorda che se l’antecedente è minore del conseguente è necessario prima applicare la proprietà dell’invertire. fissa l’idea...

f

j

f

j f

3 + x : x = 1 – 9 : 1 – 17 16 14 21 da cui

f

j

3 5 4 +x :x= : 16 14 21

j

Applica la proprietà dello scomporre:

f

j

f

j

3 5 4 4 +x–x :x= – : 16 14 21 21

Quindi:

x=

3 • 4 • 42 3 = 16 21 7 14

La differenza di due numeri è 16 e il loro rapporto è 19 . Calcola i due numeri.

15

x – y = 16

x : y = 19 : 15

Applica la proprietà dello scomporre: (x – y) : x = (19 – 15) : 19 da cui 16 : x = 4 : 19

x = 76

y = 76 – 16 = 60

La diagonale maggiore di un rombo è 15 della minore e differisce da essa di 28 cm.

Calcola l’area del rombo.

8

Indicando con x e y le diagonali:

x : y = 15 : 8 e x – y = 28 cm Risolvendo si ottiene:

Area = 60 • 32 = 960 cm2 2

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15

ripasso

3

x = 60 cm e y = 32 cm

PERCENTUALE Il calcolo di una percentuale consiste nel trasformare un rapporto tra due grandezze nel rapporto, di ugual valore, tra un numero e 100.

Se n è il numero di cui bisogna calcolare la percentuale P corrispondente a una determinata ragione o tasso r (numero seguito dal simbolo %), occorre scrivere la proporzione:

n : 100 = P : r = da cui:

P= n•r 100 fissa l’idea...

A quanto corrisponde il 55% di 2500 kg?

P = 2500 • 55 = 1375 kg 100

Da un contenitore della capacità di 1250 ℓ sono stati tolti 300 ℓ.

A quale percentuale corrispondono?

r = 300 • 100 = 24% 1250

Il 12% di una somma corrisponde a 600 €.

Qual è la somma?

n = 600 • 100 = 5000 € 12

La ragione di una percentuale si può presentare anche nella forma ‰. In questo caso è riferita a 1000 e non a 100, ma il tipo di calcolo rimane invariato.

16

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ripasso

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La proporzionalità

proporzionalità diretta Due insiemi A e B di numeri o grandezze sono legati da una relazione di proporzionalità diretta quando rimane costante il rapporto tra un generico elemento di B e il corrispondente elemento di A. Tale rapporto prende il nome di costante di proporzionalità diretta e si indica solitamente con k.

Una generica relazione di proporzionalità diretta si esprime come: y = kx fissa l’idea...

Se le coppie di elementi corrispondenti si considerano come ordinata (b) e ascissa (a) di punti rappresentati in un piano cartesiano ortogonale con unità di misura il centimetro, la relazione di proporzionalità diretta è rappresentata dalla retta che congiunge i punti.

Ad esempio, dati gli insiemi di punti: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

la relazione di proporzionalità tra i due insiemi è B 3 3 = , quindi k = .

A 2 2

y = 3 x = 3x 2 2 y 22 20

y =

18

3x 2

16 14 12 10 8 6 4 2 2

4

6

4

8 10 12 x

-4

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ripasso

0 -6 -4 -2 -2

Viceversa, una qualunque retta disegnata

nel piano cartesiano rappresenta una relazione di proporzionalità diretta tra l’insieme delle ordinate e quello delle ascisse dei suoi punti. Ricavando dal grafico i dati necessari si possono esplicitare i due insiemi numerici, la costante di proporzionalità e la relazione.

Ad esempio, dal grafico si ricava: A = {1, 2, 3, 4, 5}

k=2

B = {2, 4, 6, 8, 10}

y = 2x

y 11

y = 2x

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

proporzionalità inversa Due insiemi di numeri o grandezze sono legati da una relazione di proporzionalità inversa quando rimane costante il prodotto tra un qualunque elemento di B e il corrispondente elemento di A. Tale costante h prende il nome di costante di proporzionalità inversa.

La generica relazione di proporzionalità inversa si esprime come: oppure y•x = h y=h x fissa l’idea...

Se le coppie di elementi corrispondenti si considerano come ordinata e ascissa di punti rappresentati in un piano cartesiano con unità di misura il centimetro, la relazione di proporzionalità inversa è rappresentata da un ramo di iperbole equilatera.

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Ad esempio, dati gli insiemi: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

B = {24, 12, 8, 6, 4, 2}

B • A = 24 y = 24 x

h = 24 y • x = 24

oppure

y 18

y =

16

24

x

14 12 10 8 6 4 2 -6 -4 -2 0 -2 -4

2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

x

Viceversa, un ramo di iperbole equilatera rappresenta

una relazione di proporzionalità inversa tra ascisse e ordinate dei punti della curva. Dal grafico si possono ricavare i due insiemi, la costante di proporzionalità inversa e la relazione.

Ad esempio: A = {1, 2, 4, 8}

B = {8, 4, 2, 1}

h=8

y=8 x y 8

y =

7

8 x

6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 x

4

Numerosi esempi di relazioni di proporzionalità diretta e inversa si trovano nelle scienze. © Casa Editrice G. Principato

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ripasso

-3 -2 -1

competenze in campo 1 Osserva la figura e completa le frasi.

a. La percentuale delle frecce verso l’alto è b. La percentuale delle frecce oblique è

........................

........................

c. La percentuale delle frecce verso il basso è d. La percentuale di frecce verso destra è

........................

........................

a proporzione che permette di calcolare la 2 L percentuale è: n : 100 = P : r essendo n il numero totale, P la percentuale, r la ragione o tasso %.

Se devi calcolare il 34% di 680 kg, quale operazione esegui?

A Divido 680 kg per 34.

B Divido 680 kg per 0,34.

C Moltiplico 680 kg per 34.

D Moltiplico 680 kg per 0,34.

opo aver esaminato il grafico, rispondi 3 D alle domande. y 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14

x

a. Quale tipo di proporzionalità esprime il grafico? b. Qual è la funzione rappresentata? c. Qual è il coefficiente di proporzionalità? d. Se x = 1, y =

20

........................

.

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