Matematica per la scuola primaria

Elena Costa - Lilli Doniselli - Alba Taino

Matematica er la p

Scuola Primaria con DVD-Rom

Testi: Elena Costa, Lilli Doniselli, Alba Taino Responsabile editoriale: Mafalda Brancaccio Revisione didattica: Mario Gatti Redazione: Valentina Dell’Aprovitola Responsabile di produzione: Francesco Capitano Progetto grafico: ABC Zone, Alberto Sangiorgi Impaginazione: Alberto Sangiorgi Copertina: Carmen Fragnelli Illustrazioni: Angela Sbandelli Stampa: Grafiche Flaminia – Trevi (PG) 14.83.091.0 Tutti i diritti riservati © 2014 ELI • La Spiga Edizioni via Soperga, 2 – Milano Tel. 02 2157240 info@laspigaedizioni.it www.elilaspigaedizioni.it È assolutamente vietata la riproduzione totale o parziale di questa pubblicazione, così come la trasmissione sotto qualsiasi forma o con qualunque mezzo, senza l’autorizzazione della casa editrice ELI.

INDICE 4

Introduzione

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 23 24 26 27 28 29 30 31 32 33 35 37 39 40 44 45 47 49 50 51 52 53 54 55 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

Le cifre e i numeri La decina Il centinaio Il migliaio Il valore posizionale delle cifre Tabella dei numeri naturali Come si leggono i numeri Numeri a confronto Il paio e la coppia Il doppio e la metà Le operazioni L’addizione La tabella dell’addizione L’addizione in colonna Le proprietà dell’addizione La sottrazione La tabella della sottrazione La sottrazione in colonna La sottrazione con più cambi La proprietà della sottrazione Addizione e sottrazione: operazioni inverse La prova di addizione e sottrazione La moltiplicazione Le tabelline La tavola pitagorica La moltiplicazione in colonna Le proprietà della moltiplicazione Altri modi di fare le moltiplicazioni La divisione La divisione in colonna Le divisioni più complesse Le proprietà della divisione Altri modi di fare le divisioni Moltiplicazione e divisione: operazioni inverse La prova di divisione e moltiplicazione Le moltiplicazioni per 10, 100, 1000 con i numeri interi Le divisioni per 10, 100, 1000 con i numeri interi Il ruolo dello zero e dell’1 nelle quattro operazioni Tabella riassuntiva delle proprietà delle operazioni Multipli e divisori Relazione tra multipli e divisori Numeri primi e numeri composti Il crivello di Eratostene Criteri di divisibilità Scomporre un numero in fattori primi Le potenze Le potenze: casi particolari Le potenze di 10 Le espressioni aritmetiche I numeri positivi e i numeri negativi I numeri relativi Confronto tra numeri relativi

NUMERI

69 70 71 72 73 74 75 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105

Le frazioni Frazioni proprie, improprie, apparenti La frazione complementare Frazioni: casi particolari Trasformare le frazioni apparenti e improprie Le frazioni equivalenti Confronto tra frazioni Operazioni tra frazioni La frazione di un numero Le frazioni decimali Frazioni e numeri decimali I numeri decimali Trasformare frazioni decimali in numeri decimali Trasformare numeri decimali in frazioni decimali Trasformare frazioni non decimali in numeri decimali I numeri decimali sulla linea dei numeri Confronto tra numeri decimali Caratteristiche dei numeri decimali Addizioni e sottrazioni con i numeri decimali Le moltiplicazioni per 10, 100, 1000 con i numeri decimali Le divisioni per 10, 100, 1 000 con i numeri decimali Moltiplicazioni con i numeri decimali Divisioni con i numeri decimali Numeri decimali illimitati periodici Casi particolari di moltiplicazioni e divisioni La percentuale Calcolare il valore percentuale di un numero Trasformare una frazione in una percentuale Rappresentare le percentuali Lo sconto e l’aumento L’arrotondamento di un numero I numeri romani Mappa riassuntiva

107 108 109 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128

Linee • Figure piane • Solidi Le linee Retta • Semiretta • Segmento La posizione reciproca delle rette Il piano cartesiano Le isometrie La simmetria La rotazione La traslazione Le similitudini La scala Gli angoli Tipi di angolo Misurare l’ampiezza degli angoli I poligoni Le caratteristiche dei poligoni La classificazione dei poligoni Il perimetro L’area I triangoli

SPAZIO E FIGURE

129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166

La classificazione dei triangoli Perimetro e area dei triangoli I quadrilateri Il quadrato Il rettangolo Il rombo Il parallelogramma Il trapezio Perimetro e area del trapezio I poligoni regolari L’apotema Perimetro e area dei poligoni regolari I poligoni irregolari La circonferenza e il cerchio Gli elementi della circonferenza Gli elementi del cerchio Misurare la circonferenza L’area del cerchio Calcolare il perimetro delle figure piane Calcolare l’area delle figure piane I solidi Gli elementi dei solidi Lo sviluppo e l’area dei solidi Il volume dei solidi I poliedri I prismi Il parallelepipedo Il cubo Il prisma a base…

Le piramidi Area e volume della piramide I poliedri regolari I solidi di rotazione Il cilindro Il cono Area e volume dei solidi Il peso specifico Mappa riassuntiva

167 168 169 170 171 172 173 175 176 177 178 179 180 181 182 184

Le misure di lunghezza Le misure di massa Peso lordo, peso netto, tara Le misure di capacità Le equivalenze Eseguire le equivalenze Le misure di superficie Il volume Le misure di tempo Le operazioni con le misure di tempo Il tempo, la velocità, lo spazio L’orologio Leggere l’orologio analogico Le misure di valore Le valute estere

MISURE

185 186 187 188

Costo unitario e costo totale La compravendita Tabella riassuntiva delle unità di misura Mappa riassuntiva

189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204

RELAZIONI, DATI E PREVISIONI

Classificare Classificazioni: il diagramma di Venn Classificazioni: il diagramma di Carrol Classificazioni: il diagramma ad albero Le relazioni Le relazioni d’equivalenza La probabilità Il calcolo delle probabilità Le indagini statistiche Gli indici statistici: la frequenza e la moda Gli indici statistici: la media e la mediana Gli indici statistici: l’intervallo di variazione I grafici: gli istogrammi I grafici: gli areogrammi I grafici: l’ideogramma, il diagramma cartesiano, il cartogramma 206 Mappa riassuntiva 207 208 209 210 211 212

PROBLEMI Gli elementi del problema: il testo e la domanda Gli elementi del problema: i dati Parole per individuare le operazioni Il procedimento risolutivo Le tappe per risolvere il problema

213 STRUMENTI COMPENSATIVI 213 Valore posizionale delle cifre: unità semplici e migliaia 214 Valore posizionale delle cifre: unità semplici, migliaia, milioni, miliardi 215 Griglie per inserire i numeri interi 216 Addizioni con due addendi • Numeri interi 219 Addizioni con tre addendi • Numeri interi 221 Sottrazioni con i numeri interi 224 Moltiplicazioni con il moltiplicatore a una cifra • Numeri interi 225 Moltiplicazioni con il moltiplicatore a due cifre • Numeri interi 226 Divisioni con il divisore a una cifra • Numeri interi 228 Divisioni con il divisore a due cifre • Numeri interi 230 Griglia per inserire i numeri decimali 231 Addizioni con due addendi • Numeri decimali 232 Addizioni con tre addendi • Numeridecimali 233 Sottrazioni con i numeri decimali 234 Scomposizione ed equivalenze: misure di lunghezza 235 Scomposizione ed equivalenze: misure di massa 236 Scomposizione ed equivalenze: misure di capacità 237 Scomposizione ed equivalenze: misure di superficie 238 Scomposizione ed equivalenze: misure di volume 239 Perimetro e area

INTRODUZIONE Il presente Manuale espone in modo semplice, ma puntuale, le principali regole della matematica. Il linguaggio usato è adatto ad alunni della Scuola Primaria e tutte le regole sono corredate di esempi che permettono di capirne in modo immediato la corretta applicazione.

Anche l'impostazione grafica aiuta gli alunni a individuare immediatamente le sezioni e, all'interno di esse, i vari argomenti.

Il testo è articolato in sei sezioni: Numeri 1.

Spazio e figure 2.

Misure 3.

4. Relazioni, dati e previsioni Problemi 5.

6. Strumenti compensativi

Nell'ultima sezione degli strumenti compensativi vengono forniti schemi e tabelle strutturati in modo da facilitare le esercitazioni anche per quei bambini che presentano difficoltà di orientamento e di apprendimento.

Le rubriche segnalate dal logo attirano l’attenzione dell’alunno per mettere in evidenza particolari difficoltà, suggerimenti per facilitare l’esecuzione di alcuni tipi di esercizi, curiosità, approfondimenti.

Al termine di ogni sezione si trova una mappa riassuntiva che consente di visualizzare in modo rapido e sistematico i contenuti dell’argomento trattato.

La rigorosità e la semplicità con cui è stato stilato questo Manuale consentono di poterlo utilizzare in tutte le situazioni a prescindere dalla metodologia usata dall’insegnante. Esso serve per sintetizzare, ricordare, studiare. È, quindi, un ottimo strumento anche per i genitori che vogliono seguire i figli nello studio.

La statistica esplora le relazioni tra fatti, raccoglie, confronta ed elabora i dati per le indagini.

L’aritmetica studia i numeri.

MATEMATICA La geometria studia le figure sul piano e nello spazio.

La misura confronta le grandezze.

4

L’aritmetica è il ramo della matematica che studia i numeri, le loro proprietà, le loro relazioni, le operazioni possibili con essi. interi razionali interi naturali

I numeri naturali sono quelli usati per contare: 0, 1, 2, 3, 4…

Si definiscono così perché si imparano fin da piccoli, con un apprendimento “naturale”.

Sono i numeri interi e positivi.

I numeri interi (o numeri interi relativi) sono i numeri interi sia negativi sia positivi. | ESEMPIO … – 1 – 2 0 + 1 (1) + 2 (2)…

I numeri razionali sono numeri che si possono esprimere con una frazione. Appartengono a questo gruppo: • i numeri naturali | ESEMPIO (0 1 2…)

• i numeri relativi; | ESEMPIO (–1 0 +1…)

• i numeri decimali finiti o periodici; – | ESEMPIO (1,23 3,45…)

• le frazioni. 3 | ESEMPIO –– 4

12 ––– …

100

5

Numeri Numeri

NUMERI

NUMERI

Numeri

LE CIFRE E I NUMERI Le cifre sono simboli usati per rappresentare i numeri.

Le cifre sono: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Con queste cifre si possono formare infiniti numeri.

I numeri si scrivono utilizzando una o più cifre. | ESEMPIO 3 23 334

1 290

23 567 …

Il nostro sistema di numerazione è in base 10, perché le quantità si raggruppano sempre per 10.

Il valore di ogni cifra dipende dalla posizione che ha all’interno del numero. | ESEMPIO 111

100

10

1

6

NUMERI

Numeri

LA DECINA La decina (da) è un gruppo formato da 10 unità.

10 unità

=

1 decina

Il materiale multibase

1 unità c 1 u

1 decina c 1 da

I simboli 10 u = 1 da 1 da = 10 u

L’abaco

k

h da u 1 unità = 1

k

h da u 9 unità = 9 7

k

h da u

1 decina = 10

NUMERI

Numeri

IL CENTINAIO Il centinaio (h) è un gruppo formato da 10 decine oppure da 100 unità.

Il materiale multibase

100 unità

=

10 decine

I simboli 100 u = 10 da = 1 h 1 h = 10 da 1 h = 100 u L’abaco

k

h da u

1 centinaio = 100

8

=

1 centinaio

NUMERI

Il migliaio (k) è un gruppo formato da 10 centinaia oppure da 100 decine oppure da 1 000 unità.

Il materiale multibase

10 centinaia = 1 migliaio

L’abaco

k

I simboli 1 000 u = 100 da = 10 h = 1 k 1 k = 10 h 1 k = 100 da 1 k = 1 000 u

h da u

1 migliaio = 1 000 9

Numeri

IL MIGLIAIO

Numeri

NUMERI

IL VALORE POSIZIONALE DELLE CIFRE Il nostro sistema di numerazione è: decimale, poiché le quantità vengono raggruppate per gruppi da 10.

• 10 unità formano 1 decina • 10 decine formano 1 centinaio • 10 centinaia formano 1 migliaio • 10 unità di migliaia formano 1 decina di migliaia •… posizionale, poiché le cifre hanno un valore differente in base al posto che occupano all’interno del numero.

2 c la cifra 2 vale 2 unità 20 c la cifra 2 vale 2 decine, cioè 20 unità 200 c la cifra 2 vale 2 centinaia, cioè 200 unità u da

10 u = 1 da

10 da = 1 h

In un numero la cifra zero ha la funzione di segnaposto.

Indica la mancanza di quantità in una posizione (unità, decine, centinaia…). | ESEMPIO

h

10 h = 1 k k

h da u 302

Lo 0 indica che non ci sono decine.

k 10

NUMERI

Numeri

TABELLA DEI NUMERI NATURALI I numeri naturali sono tutti i numeri interi che si possono ottenere partendo da 0 e aggiungendo 1 (0, 1, 2, … 11, … 1 567…).

Sono infiniti, perché è sempre possibile aggiungere 1 al numero pensato.

Sono raggruppati in classi (delle unità semplici, delle migliaia, dei milioni…), ognuna delle quali è divisa in tre ordini (centinaia, decine, unità).

classe dei miliardi (G) hG

daG

uG

classe dei milioni (M) hM

daM

classe delle migliaia (k)

uM

11

hk

dak

uk

classe delle unità semplici h

da

u

Numeri

NUMERI

COME SI LEGGONO I NUMERI Per leggere un numero naturale occorre: 1) visualizzare i periodi che lo compongono.

Ogni periodo è formato da un gruppo di tre cifre.

I periodi devono essere divisi da un piccolo spazio. | ESEMPIO 18901462794 c 18 901 462 794

2) Leggere i gruppi. | ESEMPIO

18|901 462 794

i

miliardi 18|901|462 794

i

milioni 18|901|462|794

i

mila 18|901|462|794|

i

unità semplici 3) Infine leggere il numero.

18 901 462 794 c 18 miliardi 901 milioni 462 mila 794 (nella lettura del numero, “unità semplici” non si legge).

12

NUMERI

Due quantità messe a confronto possono essere: • uguali; • diverse; • una maggiore dell’altra; • una minore dell’altra.

Parola

Simbolo

Esempio

uguale

=

1 h = 10 da

1 centinaio è uguale a 10 decine

diverso

≠

15 ≠ 16

15 è diverso da 16

maggiore

>

8>3

8 è maggiore di 3

minore

<

3<8

3 è minore di 8

I simboli > (maggiore) e < (minore) hanno sempre la punta rivolta verso il numero minore.

Ordine crescente e decrescente L’ordine crescente indica i numeri ordinati dal minore al maggiore. | ESEMPIO 1 • 5 • 10 • 12

L’ordine decrescente indica i numeri ordinati dal maggiore al minore. | ESEMPIO 50 • 34 • 16 • 8

13

Numeri

NUMERI A CONFRONTO

NUMERI

Numeri

IL PAIO E LA COPPIA Due elementi uguali o molto simili che si considerano insieme formano un paio. | ESEMPIO

Un paio di guanti

un paio di scarpe

| ESEMPIO La polizia ha arrestato un paio di ladri.

Nel recinto câ&#x20AC;&#x2122;erano un paio di bellissimi cavalli.

Due elementi diversi tra loro, ma uniti per un particolare motivo e per questo considerati insieme formano una coppia. | ESEMPIO

una coppia di sposi

una coppia di uccellini

una coppia di tazzine

Per contare gli elementi che formano coppie o paia si numera per 2.

1 coppia di uccellini c 2 coppie di uccellini c 3 coppie di uccellini c 1 paio di guanti c 2 guanti 2 paia di guanti c 4 guanti 3 paia di guanti c 6 guanti 14

NUMERI

Fare il doppio significa prendere due volte la stessa quantità.

Quantità

Doppio

Il doppio di 4 è 8.

Fare la metà significa dividere una quantità in due parti uguali.

Quantità

Metà

La metà di 4 è 2.

15

Numeri

IL DOPPIO E LA METÀ

NUMERI

Numeri

LE OPERAZIONI Le operazioni sono delle procedure che partono da due o più numeri e ne ottengono un altro.

Le operazioni aritmetiche sono 4.

Operazione

ADDIZIONE

Segno

Significato

L’addizione è + l’operazione che (si legge aggiunge, mette “più”) insieme, unisce, aumenta.

–

SOTTRAZIONE

La sottrazione è (si legge l’operazione che “meno”) toglie o calcola una differenza.

La moltiplicazione è l’operazione che ripete la stessa x quantità più MOLTIPLICAZIONE (si legge “per”) volte o calcola le combinazioni possibili tra due gruppi di elementi.

DIVISIONE

La divisione è l’operazione che distribuisce una : quantità in parti (si legge uguali o calcola “diviso”) quante volte una quantità è contenuta in un’altra.

16

Che cosa si ottiene Nelle addizioni con i numeri naturali si ottiene un risultato uguale o maggiore a ogni addendo.

Nelle sottrazioni con i numeri naturali si ottiene un risultato uguale o minore al minuendo.

Nelle moltiplicazioni con i numeri naturali si ottiene un risultato uguale o maggiore a ogni fattore.

Solo la moltiplicazione per 0 fa eccezione: il risultato è uguale a 0.

Nelle divisioni con i numeri naturali si ottiene un risultato uguale o minore al dividendo.

Fanno eccezione le divisioni in cui: • il dividendo è zero (il risultato è 0); • il divisore è zero (l’operazione è impossibile).

NUMERI

L’addizione è l’operazione che si fa quando: • si aggiunge una quantità a un’altra quantità; • si uniscono o si mettono insieme più gruppi di elementi.

I termini dell’addizione 24 + 15 + 10 = 49 24 + 15 + 10 =

addendi

49

somma

L’addizione è un’operazione sempre possibile.

Lo 0 è l’elemento neutro dell’addizione, perché non modifica la somma, cioè non cambia il risultato dell’operazione. | ESEMPIO 5+2=7

5+2+0=7

L’ L’addizione si può eseguire solo tra elementi dello stesso tipo.

3 mele + 4 mele = 7 mele L’addizione si può fare.

3 mele + 4 tavoli = 7 (che cosa?)

Non sono né 7 mele né 7 tavoli.

L’addizione NON si può fare!

17

Numeri

L’ADDIZIONE

NUMERI

Numeri

LA TABELLA DELLâ&#x20AC;&#x2122;ADDIZIONE PER ESEGUIRE VELOCEMENTE I CALCOLI +

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

3

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

4

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

5

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

6

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

7

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

8

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

9

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

10

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

18

NUMERI

ADDIZIONE SENZA CAMBIO 1) Si incolonnano le cifre degli addendi rispettando il valore posizionale.

2) Si sommano prima le unità e si registra il risultato in fondo alla colonna delle unità.

3) Si sommano le decine, si registra il risultato in fondo alla colonna delle decine e così via.

1 381 + 2 405 = k

h

da

u

1

3

8

1

+

2

4

0

5

=

3

7

8

6

=

+ k

h da u

k

h da u

19

k

h da u

Numeri

L’ADDIZIONE IN COLONNA

NUMERI

Numeri

L’ADDIZIONE IN COLONNA ADDIZIONE CON IL CAMBIO Quando, in un’addizione, il risultato della somma di unità o decine o centinaia è maggiore di 9, occorre operare un cambio all’ordine successivo.

1) Si incolonnano le cifre degli addendi rispettando il valore posizionale.

2) Si sommano prima le unità e si registra il risultato in fondo alla colonna delle unità.

3) Se il risultato è maggiore di 10 si scompone in unità e decine e si trasporta la/e decina/e nella colonna delle decine.

4) Si continuano a sommare le cifre delle altre colonne, tenendo conto degli altri eventuali cambi.

Nella stessa addizione possono anche esserci più cambi. k 3

h 1

5

da

u

2

6

+

9

8

=

1

2 3

8

1

2

1

4

20

h

da

u

1

1

5

7

+

3

2

5

=

4

8

1

2

12 è maggiore di 9: la decina (1) va nella colonna dell’ordine delle decine mentre le unità (2) rimangono nella colonna delle unità.

NUMERI

Proprietà commutativa Cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia. | ESEMPIO

2 + 18 = 20 18 + 2 = 20

Proprietà associativa Sostituendo a due o più addendi la loro somma, il risultato non cambia. | ESEMPIO

99 + 1 + 16 = 116 100 + 16 = 116

Proprietà dissociativa Sostituendo a un addendo due o più addendi la cui somma sia il numero sostituito, il risultato non cambia. | ESEMPIO

1 004 + 16 = 1 020 1 000 + 4 + 16 = 1 020

Le proprietà delle diverse operazioni si utilizzano per eseguire più velocemente e facilmente i calcoli.

21

Numeri

LE PROPRIETÀ DELL’ADDIZIONE

NUMERI

Numeri

LA SOTTRAZIONE La sottrazione è l’operazione che si fa quando: • si toglie una quantità da un’altra quantità; • si confrontano due gruppi di elementi e si trova la differenza.

I termini della sottrazione 29 – 13 = 16 29 – 13 =

minuendo sottraendo

16

resto o differenza

La sottrazione tra numeri naturali si può eseguire solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. | ESEMPIO 14 – 6 = 8

14 – 14 = 0

il risultato della sottrazione 14 – 16 non è un numero naturale.

Lo 0 è l’elemento neutro della sottrazione, perché sottraendo 0 a un qualsiasi numero si ottiene sempre il numero dato. | ESEMPIO 18 – 0 = 18

La sottrazione si può eseguire solo tra elementi dello stesso tipo.

10 caramelle – 6 caramelle = 4 caramelle La sottrazione si può fare.

10 caramelle – 6 cioccolatini = 4 (che cosa?)

Non sono né 4 caramelle né 4 cioccolatini.

La sottrazione NON si può fare.

22

NUMERI

PER ESEGUIRE VELOCEMENTE I CALCOLI â&#x20AC;&#x201C;

0

1

2

3

4

0

0

1

1

0

2

2

1

0

3

3

2

1

0

4

4

3

2

1

0

5

5

4

3

2

1

0

6

6

5

4

3

2

1

0

7

7

6

5

4

3

2

1

0

8

8

7

6

5

4

3

2

1

0

9

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

10

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

23

5

6

7

8

9

10

0

Numeri

LA TABELLA DELLA SOTTRAZIONE

NUMERI

Numeri

LA SOTTRAZIONE IN COLONNA SOTTRAZIONE SENZA CAMBIO 1) Si incolonnano le cifre del minuendo e del sottraendo rispettando il valore posizionale.

2) Si sottraggono le unità del sottraendo da quelle del minuendo e si registra il risultato in fondo alla colonna delle unità.

k

h

da

u

3

7

6

2

–

1

2

4

1

=

2

5

2

1

k

h da u

3) Si sottraggono le decine, poi le centinaia e così via.

– = k

h da u

24

NUMERI

Numeri

LA SOTTRAZIONE IN COLONNA SOTTRAZIONE CON IL CAMBIO Quando, in una sottrazione, la cifra del sottraendo è maggiore della rispettiva cifra del minuendo, occorre operare un cambio dall’ordine precedente.

1) Si incolonnano le cifre rispettando il valore posizionale.

2) Si esegue la sottrazione partendo dalle unità.

3) Se il sottraendo è maggiore del minuendo si “trasporta” un gruppo dell’ordine precedente e lo si trasforma. Si esegue la nuova sottrazione parziale e si registra il risultato in fondo alla colonna corrispondente.

4) Si continuano a sottrarre le cifre delle altre colonne, operando altri eventuali cambi.

25

h

da

5

4

5

u 1

3

– =

1

2

8

4

2

5

3 – 8 NON si può fare: occorrerà prendere una decina e trasformarla in unità da aggiungere a quelle che già ci sono.

Diventa 13 – 8 = 5

Numeri

NUMERI

LA SOTTRAZIONE CON PIÙ CAMBI | ESEMPIO • 7 – 8 NON si può fare.

Si prende una decina da 1 (colonne delle decine).

• Le decine rimaste sono 0.

• Si sottraggono le centinaia.

3 – 6 NON si può fare.

Si prende un migliaio da 4 (colonne delle migliaia).

• Le migliaia rimaste sono 3. | ESEMPIO • 1 – 4 NON si può fare.

Si prende una decina da 5 (colonne delle decine).

• Le decine sono rimaste 4.

4 – 9 NON si può fare.

Si prende un centinaio da 9 (colonne delle centinaia).

• Le centinaia rimaste sono 8.

• Le migliaia sono 4.

17 – 8 = 9 0–0=0 13 – 6 = 7

k

h

da

u

3

1

1

6 3

43

7

–

0

8

=

7

0

9

k

h

da

u

4

8

9

1 4

5

1

1

–

6

9

4

=

2

5

7

h

da

u

6

09

2

3

2

2

1

0

3–0=3

11 – 4 = 7

14 – 9 = 5 4 8–6=2 4–0=4

LA CIFRA DELL’ORDINE PRECEDENTE È ZERO | ESEMPIO • 2 – 3 NON si può fare.

Non si può prendere una decina perché non ce ne sono. Allora un centinaio viene trasformato in 10 12 – 3 = 9 decine. 9 decine rimangono nella colonna delle decine e una va nella colonna delle unità che diventano 12.

• Poi si prosegue la sottrazione “normalmente”.

• Le decine adesso sono 9.

9–5=4 • Le centinaia adesso sono 5.

5–3=2 • Le migliaia sono 4.

4–2=2 26

k 4

5

2

–

5

3

=

4

9

1

NUMERI

Proprietà invariantiva Sommando o sottraendo lo stesso numero sia dal minuendo sia dal sottraendo, il risultato della sottrazione non cambia. | ESEMPIO 4 678 − 999 = 3 679

+1

+1

4 679 − 1 000 = 3 679 | ESEMPIO 5 885 − 103 = 5 782

−3

−3

5 882 − 100 = 5 782

La proprietà invariantiva permette di trasformare il sottraendo in un numero più facile da sottrarre.

27

Numeri

LA PROPRIETÀ DELLA SOTTRAZIONE

Numeri

NUMERI

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE: OPERAZIONI INVERSE L’addizione è l’operazione inversa alla sottrazione.

La sottrazione è l’operazione inversa all’addizione.

| ESEMPIO –3 17 +3

14

17 – 3 = 14 14 + 3 = 17 Se a 17 si toglie 3 si ottiene 14.

Se a 14 si aggiunge la quantità tolta prima (3) si ritorna ad avere il numero di partenza (17). | ESEMPIO +5 15 –5

20

15 + 5 = 20 20 – 5 = 15 Se a 15 si aggiunge 5 si ottiene 20.

Se a 20 si toglie la quantità aggiunta prima (5) si ritorna ad avere il numero di partenza (15).

28

NUMERI

Per fare la prova della sottrazione si esegue la sua operazione inversa: l’addizione.

Sottrazione 38 – sottraendo 17 = minuendo

Prova 21 + 17 = 38

21

Nella prova, al risultato della sottrazione si aggiunge il minuendo.

Se il risultato dell’addizione della prova è uguale al sottraendo, la sottrazione è giusta.

Per fare la prova dell’addizione si usa la proprietà commutativa.

Addizione 25 + 46 + 5=

Prova 46 + 5+ 25 =

76

76

Nella prova si cambia l’ordine degli addendi. Se il risultato della prova è uguale a quello dell’addizione, l’addizione è giusta.

29

Numeri

LA PROVA DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

NUMERI

Numeri

LA MOLTIPLICAZIONE La moltiplicazione è l’operazione che si fa quando: • si ripete la stessa quantità più volte; • si calcolano le combinazioni possibili tra due gruppi di elementi.

I termini della moltiplicazione 13 × 12 = 156

prodotti parziali prodotto finale

moltiplicando (1° fattore) moltiplicatore (2° fattore)

13 × 12 = 26 130

zero segnaposto

156

La moltiplicazione è una forma abbreviata di una addizione con tutti gli addendi uguali.

La moltiplicazione è un’operazione sempre possibile.

Nella moltiplicazione lo 0 è l’elemento assorbente; infatti, moltiplicando qualsiasi numero per 0 si ottiene come prodotto 0. | ESEMPIO 15 × 0 = 0

Nella moltiplicazione l’ 1 è l’elemento neutro.

Moltiplicando qualsiasi numero per 1 si ottiene come prodotto il numero stesso. | ESEMPIO 15 × 1 = 15 30

NUMERI

Numeri

LE TABELLINE 0

×

0

=

0

1

×

0

=

0

2

×

0

=

0

3

×

0

=

0

0

×

1

=

0

1

×

1

=

1

2

×

1

=

2

3

×

1

=

3

0

×

2

=

0

1

×

2

=

2

2

×

2

=

4

3

×

2

=

6

0

×

3

=

0

1

×

3

=

3

2

×

3

=

6

3

×

3

=

9

0

×

4

=

0

1

×

4

=

4

2

×

4

=

8

3

×

4

=

12

0

×

5

=

0

1

×

5

=

5

2

×

5

=

10

3

×

5

=

15

0

×

6

=

0

1

×

6

=

6

2

×

6

=

12

3

×

6

=

18

0

×

7

=

0

1

×

7

=

7

2

×

7

=

14

3

×

7

=

21

0

×

8

=

0

1

×

8

=

8

2

×

8

=

16

3

×

8

0

×

9

=

0

1

×

9

=

9

2

×

9

=

18

3

×

9

= 24 = 27

0

× 10 =

0

1

× 10 =

10

2

× 10 = 20

4

×

0

=

0

5

×

0

=

0

4

×

1

=

4

5

×

1

=

5

4

×

2

=

8

5

×

2

=

10

4

×

3

=

12

5

×

3

=

15

4

×

4

×

4

4

5

5

×

5

= 20 = 25

4

×

6

= 16 = 20 = 24

5

×

5

×

6

4

×

7

5

×

7

4

×

8

5

4 4

= 36 × 10 = 40

5

= 40 = 9 45 × 10 = 50

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

× 0 × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

= = = = = = = = = = =

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

× 0 × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

× 0 × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

× 0 × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

= = = = = = = = = = =

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

×

= 28 = 32

9

= = = = = = = = = = =

0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

5

×

= 30 = 35

8

×

= = = = = = = = = = =

0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

31

× 10 = 30 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

× 0 × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

= = = = = = = = = = =

0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

NUMERI

Numeri

LA TAVOLA PITAGORICA La tavola pitagorica è una tabella in cui sono raccolti i risultati delle tabelline dall’1 al 10.

×

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

4

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

6

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

7

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

8

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

9

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

32

NUMERI

MOLTIPLICATORE A UNA CIFRA, SENZA CAMBIO 23 × 3 = 1) Si incolonnano le cifre del moltiplicando e del moltiplicatore.

h

2) Si moltiplica il moltiplicando per le unità del moltiplicatore e si registra il risultato in fondo alla colonna delle unità .

da

u

2

3

×

3

=

6

3) Si procede nello stesso modo per le decine, centinaia e così via.

9

MOLTIPLICATORE A UNA CIFRA, CON IL CAMBIO Quando, in una moltiplicazione, il risultato di un ordine (unità, decine, centinaia…) è maggiore di 9, occorre operare un cambio all’ordine successivo.

In una moltiplicazione ci possono essere più cambi.

Attenzione! La decina riportata andrà solo sommata e non moltiplicata.

33

125 × 3 = h

da

u

1

2+1

5

×

3

=

3

7

5

Numeri

LA MOLTIPLICAZIONE IN COLONNA

Numeri

NUMERI

LA MOLTIPLICAZIONE IN COLONNA 34 × 25 =

MOLTIPLICATORE A PIÙ CIFRE 1) Si incolonnano le cifre del moltiplicando e del moltiplicatore.

h

da

u

3

4

×

2

5

=

2) Si moltiplicano le unità del moltiplicando per il moltiplicatore e si scrive il primo prodotto parziale.

1° prodotto parziale

1

7

0

3) Nella colonna delle unità si scrive lo zero segnaposto.

2° prodotto parziale

6

8

0

prodotto

8

5

0

4) Si moltiplicano le decine del moltiplicando per il moltiplicatore e si scrive il secondo prodotto parziale.

zero segnaposto 26 × 245 =

Se il secondo fattore è di 3, 4 o più cifre, si mettono più zeri segnaposto prima di eseguire le moltiplicazioni successive.

k

da

u

2

6

×

2

4

5

=

1

3

0

1

0

4

0

5

2

0

0

6

3

7

0

5) Si sommano i prodotti parziali e si scrive il prodotto.

k

h

prodotti parziali

da

u

8

4

×

6

3

=

2

5

2

5

0

4

–

5

2

9

2

prodotto

h

zeri segnaposto

Ogni zero segnaposto può essere sostituito da un trattino.

34

NUMERI

Proprietà commutativa Cambiando l’ordine dei fattori il risultato non cambia. | ESEMPIO 8 × 9 = 72

9 × 8 = 72

Proprietà associativa Sostituendo a due o più fattori il loro prodotto, il risultato non cambia. | ESEMPIO 2 × 4 × 8 = 64

8 × 8 = 64

Proprietà dissociativa Sostituendo a un fattore due o più fattori il cui prodotto sia il numero sostituito, il risultato non cambia. | ESEMPIO 5 × 14 = 70

5 × 7 × 2 = 70

35

Numeri

LE PROPRIETÀ DELLA MOLTIPLICAZIONE

Numeri

NUMERI

Proprietà distributiva Per moltiplicare un’addizione (o una sottrazione) per un numero: 1) si moltiplica per quel numero ogni termine dell’addizione (o della sottrazione); 2) poi si sommano (o si sottraggono) i risultati parziali. | ESEMPIO

(8 + 7) × 9 (8 × 9) + (7 × 9) = 72 + 63 = 135 | ESEMPIO

(70 – 4) × 5 (70 × 5) – (4 × 5)= 350 – 20 = 330

La proprietà distributiva può essere applicata anche scomponendo un fattore in una addizione o una sottrazione. | ESEMPIO 25 × 13

25 × (10 + 3) (25 × 10) + (25 × 3) = 250 + 75 = 325 | ESEMPIO 16 × 99

16 × (100 – 1) (16 × 100) – (16 × 1) = 1600 – 16 = 1 584

36

NUMERI

Numeri

ALTRI MODI DI FARE LE MOLTIPLICAZIONI MOLTIPLICAZIONE ARABA

(chiamata anche “A GELOSIA” o “A CASELLE”) Per eseguire una moltiplicazione araba occorre prima: • preparare una tabella che abbia tante colonne quante sono le cifre del moltiplicando e tante righe quante sono le cifre del moltiplicatore; • scrivere ogni cifra del moltiplicando su una casella in orizzontale sopra lo schema e ogni cifra del moltiplicatore in verticale, a destra della tabella; • dividere con una diagonale tutte le caselle; Una volta preparata la tabella per risolvere la moltiplicazione:

| ESEMPIO 125 × 37

1

2

5 3 7

1

2

• si moltiplicano le cifre tra di loro scrivendo i risultati nella casella corrispondente all’incrocio tra le due cifre; • in ogni casella, divisa in due parti, a sinistra si scrivono le decine, a destra le unità;

5 1

5

1 3

2

3

7

1

4

1

6

5 1

6 1

7 2

3

4

5

3

5

7

5

• si sommano i risultati che si trovano in ogni striscia in diagonale, partendo da quella in basso a destra; • se la cifra che si ottiene supera il 9, ci si comporta come con una moltiplicazione con il cambio.

125 × 37 = 4 625 37

Numeri

NUMERI

ALTRI MODI DI FARE LE MOLTIPLICAZIONI MOLTIPLICAZIONE CINESE | ESEMPIO Per eseguire 12 × 31 con una moltiplicazione cinese: • si considera che il moltiplicando 12 è formato dalla cifra 1 e dalla cifra 2; • si traccia una linea (che rappresenta la cifra 1) e, poco distante, due altre linee (che rappresentano la cifra 2);

• si considera che il moltiplicatore 31 è formato dalla cifra 3 e dalla cifra 1; • partendo da sinistra, perpendicolarmente alle linee già tracciate, si tracciano tre linee che rappresentano la cifra 3 e, poco distante, una linea che rappresenta la cifra 1;

• si contano gli incroci, nel 3 seguente modo, per ottenere il risultato:

2

7 12 × 31 = 372

38

NUMERI

Numeri

LA DIVISIONE La divisione è l’operazione che si fa quando: • si distribuisce una quantità in parti uguali; • si raggruppa la quantità in parti ugualmente numerose.

I termini della divisione 73 : 9 = 8 resto 1 divisore dividendo

73 : 9 = 8 1

quoziente

resto

Nella divisione il numero 1 è l’elemento neutro; infatti, dividendo qualsiasi numero per 1 si ottiene come quoziente il numero stesso.

15 : 1 = 15 È impossibile dividere un numero per 0.

Se il dividendo è 0 il quoziente sarà sempre 0.

15 : 0 = impossibile 0:8=0

La divisione può essere scritta in modi differenti: 43: 5 = 8 resto 3 43 3

5 8

43 : 5 = 8 3

39

NUMERI

Numeri

LA DIVISIONE IN COLONNA DIVISORE A UNA CIFRA, SENZA RESTO 96

3

0 6 32 0

• Si prende in considerazione la prima cifra del dividendo e si divide per il divisore.

Si mette un “cappellino” sulla cifra considerata per visualizzarla meglio.

9 :3=3

Si scrive la cifra 3 al quoziente.

• Si trova il primo resto parziale.

3 × 3 = 9 Non c’è resto e scrivo 0 sotto il 9.

• Si prende in considerazione la cifra successiva (il 6) e si “abbassa” vicino al resto precedente.

Si esegue la divisione 6 : 3 = 2.

• Si trova il resto. 3 × 2 = 6. Non c’è resto e scrivo 0 sotto il 6.

DIVISORE A UNA CIFRA, CON IL RESTO ALLE UNITÀ 89

4

0 9 22 1

PRENDENDO IN CONSIDERAZIONE LE PRIME DUE CIFRE DEL DIVIDENDO 10 5

5

0 5 21 0 • Si prendono in considerazione due cifre, perché la prima cifra (1) è inferiore a quella del divisore (5).

40

NUMERI

84

6

2 4 14 0 • Il 6 non è contenuto un numero esatto di volte nell’8. 8 : 6 = 1 resto 2.

• Il resto (2) va segnato in colonna sotto la cifra 8.

• Si abbassa la cifra delle unità (4) e si ottiene 24, che sarà il successivo numero da dividere.

Queste regole devono essere applicate anche nelle divisioni con il dividendo di 3, 4, 5… cifre.

15 4 8 14

7 221

08 1 • Si mette il “cappellino” su 15 perché 1 è minore di 7.

• 15 : 7 = 2 resto di 1.

• La cifra 1 va scritta sotto il 5. Si abbassa la cifra 4.

• Si ottiene il numero 14. 14 : 7 = 2 • Si abbassa la cifra 8. 8 : 7 = 1 resto di 1.

• Il quoziente è 221, resto 1.

41

Numeri

DIVISORE A UNA CIFRA, CON IL RESTO ALLE DECINE

NUMERI

Numeri

LA DIVISIONE IN COLONNA DIVISORE A 2 O PIÙ CIFRE 1° caso: prendere in considerazione 2 cifre 88

43

86

2

2

• Si prendono in considerazione due cifre del dividendo e si mette il “cappellino” su 88 (numero maggiore di 43).

• Si dividono le decine del dividendo per quelle del divisore. 8 : 4 = 2 • Successivamente si dividono le unità del dividendo per quelle del divisore, domandandosi: il 3 nell’8 ci sta almeno 2 volte? La risposta è sì e quindi si può scrivere il risultato (2) al quoziente.

• Per trovare il resto si moltiplica il numero scritto al quoziente per il divisore (2 × 43 = 86), si scrive il risultato sotto il numero preso in considerazione e si esegue la sottrazione (88 – 86 = 2). (È possibile non scrivere il risultato della moltiplicazione ed eseguire in colonna la sottrazione. Le due operazioni possono essere eseguite a mente e si dovrà scrivere solo la differenza) • Il risultato della divisione è 2 con il resto di 2.

2° caso: prendere in considerazione 3 cifre 187

62

186

3

1

• Si prendono in considerazione tre cifre del dividendo perché le prime due (18) formano un numero inferiore al divisore (63).

• Si procede allo stesso modo del primo caso eseguendo la divisione 18 : 6 = 3.

• Ci si domanda: il 2 è contenuto almeno 3 volte nel 9?

La risposta è sì e quindi si può scrivere il risultato (3) al quoziente.

• Per trovare il resto si procede come nel caso precedente.

• Il risultato della divisione è 3 resto 1.

42

NUMERI

568 63 567

9

1

• Si prendono in considerazione tre cifre del dividendo perché le prime due (56) formano un numero inferiore al divisore (63).

• Si procede allo stesso modo dei primi due casi, eseguendo la divisione. 56 : 6 = 9, resto 2.

• Il resto delle decine (2) va aggiunto alle unità (8), formando il numero 28.

• Ci si domanda: il 3 è contenuto nel 28 almeno 3 volte? La risposta è sì e quindi si può scrivere il risultato (9) al quoziente.

• Per trovare il resto si procede come nei casi precedenti.

• Il risultato della divisione è 9, resto 1.

4° caso: occorre provare una volta di meno 214 56 168 46

3

• Si procede allo stesso modo dei casi precedenti, eseguendo la divisione 21 : 5 = 4 resto 1.

• Il resto delle decine (1) va aggiunto alle unità (4), formando il numero 14.

• Poi ci si domanda: il 6 è contenuto nel 14 almeno quattro volte?

La risposta è no e quindi si NON può scrivere il risultato al quoziente.

• Occorrerà di nuovo effettuare la divisione 21 : 5, provando come quoziente non il 4, ma il numero che lo precede, il 3.

Perciò 21 : 5 = 3 resto 6.

• Il resto delle decine (6) va aggiunto alle unità (4), formando il numero 64.

• Ci si domanda: il 6 è contenuto nel 64 almeno tre volte? La risposta è sì e quindi si può procedere come nei casi precedenti.

• Il risultato della divisione è 3, resto 46.

Ci sono alcuni casi in cui non basta provare una volta di meno, ma occorre provare 2, 3… volte in meno.

43

Numeri

3° caso: all’interno della divisione c’è un resto alle decine

NUMERI

Numeri

LE DIVISIONI PIÙ COMPLESSE Se, mettendo il “cappellino”, non vengono prese in considerazione tutte le cifre del dividendo, la divisione andrà scomposta in varie parti. | ESEMPIO 1456 : 43 =

145 43 129 3 16

1456 43 129 166

33

• All’inizio si devono prendere in considerazione tre cifre del dividendo perché le prime due (14) formano un numero inferiore al divisore (43). Si deve eseguire la divisione 145 : 43, seguendo tutte le regole esposte nei casi precedenti.

• La divisione non è terminata: si “abbassa” il 6 e si ottiene la nuova divisione 166 : 43 che andrà anch’essa eseguita tenendo conto delle regole imparate finora.

129 35 • La divisione è terminata. Il risultato è 33 resto 35.

Quando il divisore ha più di 2 cifre si utilizzano gli stessi procedimenti della divisione con il divisore a 2 cifre.

44

NUMERI

Proprietà invariantiva Moltiplicando o dividendo per lo stesso numero sia il dividendo sia il divisore, il risultato non cambia. | ESEMPI 60 :

15 =

25

(60 : 5) : (15 : 5) 12

:

:

5=

(25 × 2) : (5 × 2)

3=4

50

:

10 = 5

• La proprietà invariantiva è necessaria quando nella divisione il divisore è un numero decimale.

In questo caso si deve moltiplicare dividendo e divisore per 10, 100… per rendere il divisore un numero intero. | ESEMPIO 36 : 1,2

(36 × 10) : (1,2 × 10)

360 : 12 = 30

• La proprietà invariantiva è utile quando, applicandola, si riesce a semplificare la divisione. | ESEMPIO 210 : 14

(210 : 7) : (14 : 7)

45

30 : 2 = 15

Numeri

LE PROPRIETÀ DELLA DIVISIONE

Numeri

NUMERI

LE PROPRIETÀ DELLA DIVISIONE Proprietà distributiva Per dividere un’addizione (o una sottrazione) per un numero: 1) si divide per quel numero ogni termine dell’addizione (o della sottrazione); 2) poi si sommano (o si sottraggono) i risultati parziali.

| ESEMPI (64 +

16) : 8

(64 : 8) + (16 : 8) = 8 + 2 = 10 (72

–

27) : 9

(72 : 9) – (27 : 9) = 8 – 3 = 5

La proprietà distributiva può essere applicata anche scomponendo il dividendo in un’addizione o una sottrazione. | ESEMPIO 115 : 5

(100 + 15) : 5 (100 : 5) + (15 : 5) = 20 + 3 = 23 | ESEMPIO 990 : 5

(1 000 – 10) : 5 (1 000 : 5) – (10 : 5) = 200 – 2 = 198

46

NUMERI

DIVISIONE CANADESE La divisione canadese si basa sull’idea che la divisione equivale a una serie di sottrazioni successive in cui il sottraendo è sempre uguale.

• Si sottrae dal dividendo il divisore tante volte fino a quando non rimane un numero inferiore al divisore (o non rimane più nulla): quel numero rappresenta il resto.

• Il numero di volte in cui si è eseguita la sottrazione rappresenta il quoziente. | ESEMPIO

18 : 7 = 2 (resto 4)

29 : 6 = 4 (resto 5) 29 –

18 – 7 =

1

11 + 11 – 7 =

1

4

2

resto

quoziente

47

6 =

1

23 –

+

6 =

1

17 –

+

6 =

1

11 –

+

6 =

1

5

4

resto quoziente

Numeri

ALTRI MODI DI FARE LE DIVISIONI

Numeri

NUMERI

ALTRI MODI DI FARE LE DIVISIONI DIVISIONE A RIPIEGO Nella divisione a ripiego: • il divisore viene scomposto in fattori; • si eseguono le varie divisioni. | ESEMPIO

225 : 15 = Il numero 15 (il divisore) può essere scomposto in 5 × 3, dunque la divisione può essere scritta in questo modo: (225 : 5) : 3 = 225 : 5 = 45 45 : 3 = 15 Il risultato della divisione è 15.

Se ci sono resti si procede così: 371 : 12

12 = 4 × 3

• 371 : 4 = 92 resto 3 • 92 : 3 = 30 resto 2 Il quoziente è 30.

Il resto si calcola così: primo resto 3 + (secondo resto 2 × 1° fattore 4 ); cioè: 3 + (2 × 4) = 3 + 8 = 11 Il risultato della divisione è 30 resto 11.

48

NUMERI

La moltiplicazione è l’operazione inversa alla divisione.

La divisione è l’operazione inversa alla moltiplicazione. | ESEMPIO :6 18 ×6

3

18 : 6 = 3 3 × 6 = 18 Se si divide 18 per 6 si ottiene 3.

Se si moltiplica 3 per 6 si ritorna ad avere il numero di partenza. | ESEMPIO ×4 5 :4

20

5 × 4 = 20 20 : 4 = 5 Se si moltiplica 5 per 4 si ottiene 20.

Se si divide 20 per 4 si ritorna ad avere il numero di partenza.

49

Numeri

MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE: OPERAZIONI INVERSE

NUMERI

Numeri

LA PROVA DI DIVISIONE E MOLTIPLICAZIONE Per fare la prova della divisone si esegue la sua operazione inversa: la moltiplicazione.

Divisione

Prova

31 : 5 = 6 resto 1

6 × 5 = 30

30 + 1 = 31

Nella prova, si moltiplica il quoziente per il dividendo. Poi si aggiunge l’eventuale resto della divisione. Se il risultato della prova è uguale al divisore, la divisione è giusta.

Per fare la prova della moltiplicazione si applica la proprietà commutativa.

Moltiplicazione

Prova

12 × 26 = 312

26 × 12 = 312

12 × 26 =

26 × 12 =

72 240

52 260

312

312

Si esegue una seconda moltiplicazione in cui l’ordine dei fattori viene cambiato. Se il risultato della prova è uguale a quello della moltiplicazione, la moltiplicazione è giusta.

Nella prova della moltiplicazione il risultato finale deve essere uguale, ma i risultati parziali sono quasi sempre diversi.

50

NUMERI

Moltiplicare un numero intero per 10, 100, 1 000… vuol dire aumentare il suo valore di 10, 100, 1 000… volte.

137 × 10 = k

1

h

da

u

1

3

7

3

7

0

×

10

Per moltiplicare per 10 un numero intero, ogni cifra si sposta di un posto verso sinistra e si aggiunge uno zero (unità).

137 × 10 = 1 370

28 × 100 = k

2

h

8

da

u

2

8

0

0

da

u

×

100

Per moltiplicare per 100 un numero intero, ogni cifra si sposta di due posti verso sinistra e si aggiungono due zeri (decine, unità).

28 × 100 = 2 800

5 × 1 000 = k

h

5 5

0

0

×

1 000

0

Per moltiplicare per 1 000 un numero intero, ogni cifra si sposta di tre posti verso sinistra e si aggiungono tre zeri (centinaia, decine, unità).

5 × 1 000 = 5 000

Per moltiplicare velocemente un numero intero per 10, 100, 1 000… si aggiungono 1, 2, 3… zeri al moltiplicando, tanti quanti sono gli zeri del moltiplicatore.

51

Numeri

LE MOLTIPLICAZIONI PER 10, 100, 1000 CON I NUMERI INTERI

NUMERI

Numeri

LE DIVISIONI PER 10, 100, 1000 CON I NUMERI INTERI Dividere un numero intero per 10, 100, 1 000… vuol dire diminuire il suo valore di 10, 100, 1 000… volte.

6 450 : 10 = k

h

da

u

6

4

5

0

6

4

5

:

Per dividere per 10 un numero intero, ogni cifra si sposta di un posto verso destra e si toglie lo zero delle unità.

10

6 450 : 10 = 645

3 800 : 100 = k

h

da

u

3

8

0

0

3

8

:

Per dividere per 100 un numero intero, ogni cifra si sposta di due posti verso destra e si tolgono due zeri: quello delle decine e quello delle unità.

100

3 800 : 100 = 38

7 000 : 1 000 = k

h

da

u

7

0

0

0

:

Per dividere per 1000 un numero intero, ogni cifra si sposta di tre posti verso destra e si tolgono tre zeri: quello delle centinaia, quello delle decine e quello delle unità.

1000

7

7 000 : 1 000 = 7 Per dividere velocemente un numero intero per 10, 100, 1 000… si tolgono 1, 2, 3… zeri dal dividendo, partendo dallo zero delle unità, quanti sono gli zeri del divisore.

52

ne La spiegazio ni per delle divisio 0 dei 10, 100, 1 00 NON numeri che on uno terminano c trova a o più zeri, si pagina 90.

NUMERI

Operazione

0

1

Lo 0 è l’elemento neutro.

La somma non si modifica.

ADDIZIONE

9+0=9 0+6=6 9 + 4 = 13 9 + 4 + 0 = 13 Lo 0 (al sottraendo) è l’elemento neutro.

Il minuendo non cambia.

SOTTRAZIONE

1 469 – 0 = 1 469 0 – 1 469 è impossibile (nell’insieme dei numeri naturali) Lo 0 è l’elemento assorbente. Il risultato è sempre uguale a 0.

L’1 è l’elemento neutro.

Il risultato è uguale al fattore diverso da 1.

704 × 0 = 0 0 × 576 = 0

325 × 1 = 325 1 × 78 = 78

È impossibile dividere un numero per 0.

L’1 (al divisore) è l’elemento neutro. Il quoziente è uguale al dividendo.

MOLTIPLICAZIONE

DIVISIONE

Se il dividendo è 0 il quoziente sarà sempre 0. 9 043 : 1 = 9 043 0 : 653 = 0

53

Numeri

IL RUOLO DELLO ZERO E DELL’1 NELLE QUATTRO OPERAZIONI

NUMERI

Numeri

TABELLA RIASSUNTIVA DELLE PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI MOLTIPLICAZIONE

Cambiando l’ordine degli addendi, il risultato non cambia.

Cambiando l’ordine dei fattori, il risultato non cambia.

Sostituendo a due o più addendi la loro somma, il risultato non cambia.

Sostituendo a due o più fattori il loro prodotto, il risultato non cambia.

Sostituendo a un addendo due o più addendi la cui somma sia il numero sostituito, il risultato non cambia.

Sostituendo a un fattore due o più fattori il cui prodotto sia il numero sostituito, il risultato non cambia.

Per moltiplicare un’addizione (o una sottrazione) per un numero, si moltiplicano entrambi i numeri dell’addizione (o della sottrazione) e poi si sommano (o si sottraggono) i risultati parziali.

Invariantiva

Distributiva

Dissociativa

Commutativa

SOTTRAZIONE

Associativa

ADDIZIONE

DIVISIONE

Per dividere una somma (o una differenza) per un numero, si dividono entrambi i numeri della somma (o della differenza) e poi si aggiungono (o si sottraggono) i risultati parziali.

Moltiplicando o dividendo per lo stesso numero sia il dividendo sia il divisore, il risultato non cambia.

Sommando o sottraendo lo stesso numero sia dal minuendo sia dal sottraendo, il risultato non cambia.

54

NUMERI

Numeri

PARI E DISPARI I numeri interi si suddividono in pari e dispari.

Sono pari i numeri che possono essere divisi esattamente per 2. | ESEMPIO

16 : 2 = 8 Sono dispari i numeri che non possono essere divisi esattamente per 2.

Quando si divide per 2 un numero dispari, il resto è sempre 1. | ESEMPIO

17: 2 = 8 resto 1 Il numero 0 non è né pari né dispari.

I numeri pari terminano con le cifre 0 2 4 6 8.

I numeri dispari terminano con le cifre 1 3 5 7 9.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 55

Numeri pari Numeri dispari

Numeri

NUMERI

MULTIPLI E DIVISORI I multipli di un numero sono tutti i numeri interi che lo contengono in modo esatto una o più volte.

Si ottengono moltiplicando quel numero per un qualsiasi altro numero intero.

I multipli di un numero sono infiniti. | ESEMPIO I multipli di 2 sono 2, 4, 6, 8, 10, … 1 000, 1002, … 12568…

I divisori di un numero sono tutti i numeri interi che lo dividono in modo esatto.

I divisori non sono infiniti.

Ogni numero ha almeno 2 divisori: sé stesso e il numero 1. | ESEMPIO I divisori di 15 sono 15, 5, 3, 1.

Un numero può essere multiplo di più numeri. | ESEMPIO 4, 8, 12, 16… sono multipli comuni sia del numero 1 sia del numero 2 sia del numero 4.

Un numero può essere divisore di più numeri. | ESEMPIO 5 è divisore comune di 5, 10, 15, 20…

56

NUMERI

Le espressioni “essere multiplo di… “ e “essere divisore di…” indicano condizioni tra loro contrarie. | ESEMPIO

è multiplo di…

24

6

è divisore di…

24 è multiplo di 6.

6 è divisore di 24.

Le espressioni “essere multiplo di…“ e “essere divisibile per…“ possono essere intese come sinonimi, perché esprimono un significato analogo. | ESEMPIO 24 è multiplo di 6.

24 è divisibile per 6.

è multiplo di 6.

24 è divisibile per 6.

57

Numeri

RELAZIONE TRA MULTIPLI E DIVISORI

Numeri

NUMERI

NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTI I numeri primi sono quei numeri che hanno solo due divisori: il numero 1 e sé stessi.

| ESEMPIO 13 è un numero primo perché è divisibile solo per 1 e per 13.

I numeri composti sono quelli che hanno più di due divisori.

| ESEMPIO 25 è un numero composto perché è divisibile per 1, 5 e 25.

I numeri primi sono tutti numeri dispari, tranne il numero 2.

Il numero 1 non è né un numero primo né un numero composto, perché ha un solo divisore: sé stesso.

Il numero 0 non è né un numero primo né un numero composto, perché non può essere diviso per sé stesso.

58

NUMERI

Eratostene era un matematico vissuto più di 2000 anni fa.

Inventò un metodo per distinguere i numeri primi da quelli composti.

Per trovare i numeri primi entro 100, si procede così: • si scrivono tutti i numeri in ordine fino al 100; •

si cancellano lo 0 e l’1.

Poi si cancellano, tra quelli che man mano rimangono: •

tutti i multipli di 2, eccetto il 2;

•

tutti i multipli di 3, eccetto il 3;

•

tutti i multipli di 5, eccetto il 5;

•

tutti i multipli di 7, eccetto il 7.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

59

Il crivello di Eratostene può essere utilizzato anche per trovare i numeri primi oltre il cento.

Si procede come spiegato, e poi si continua così: • si prende in considerazione il primo numero non cancellato e si cancellano tutti i suoi multipli, ma non il numero stesso; • si procede in questo modo fino al numero prescelto come meta.

Numeri

IL CRIVELLO DI ERATOSTENE

Numeri

NUMERI

CRITERI DI DIVISIBILITÀ I criteri di divisibilità sono regole che permettono di visualizzare immediatamente se un numero è divisibile per alcuni particolari numeri.

Un numero è divisibile per…

Quando…

Esempi

2

è un numero pari

2, 4, 6… sono divisibili per 2

3

la somma delle cifre che lo compongono è multiplo di 3

3 567 3 + 5 + 6 + 7 = 21 21 è multiplo di 3, perciò il numero è divisibile per 3

4

le ultime due cifre sono un numero multiplo di 4, o sono 00

34 684 84 è divisibile per 4, perciò il numero è divisibile per 4

5

il numero termina con 0 o con 5

605, 370, 45 sono divisibili per 5, perché terminano con 0 o con 5

7

sommando la cifra delle unità, moltiplicata per 5, al numero ottenuto togliendo le unità, si ottiene 0 o un numero multiplo di 7

147 14 + (7 × 5) = 14 + 35 = 49 49 è multiplo di 7, perciò il numero è divisibile per 7

9

la somma delle cifre che lo compongono è multiplo di 9

1 467 1 + 4 + 6 + 7 = 18 18 è multiplo di 9, perciò il numero è divisibile per 9

10

il numero termina con 0

90, 1 050, 78 620 sono divisibili per 10 perché terminano con 0

25

il numero termina con 00, 25, 50, 75

100, 125, 450, 975 sono divisibili per 25 perché terminano con 00, 25, 50, 75

100

il numero termina con 00

100, 300, 9 700, 10 400 sono divisibili per 100 perché terminano con 00 60

NUMERI

Numeri

SCOMPORRE UN NUMERO IN FATTORI PRIMI Scomporre un numero composto in fattori primi vuole dire trovare tutti i numeri primi che lo dividono.

Per scomporre un numero in fattori primi: • si scrive il numero da scomporre a sinistra di una linea verticale e a destra il suo più piccolo numero primo divisore; • sotto il numero a sinistra si scrive il quoziente ottenuto dalla divisione; • si procede dividendo i quozienti ottenuti per tutti i numeri primi divisori del numero; • si termina la scomposizione quando si ottiene come quoziente 1; • i fattori primi della scomposizione sono i numeri incolonnati alla destra della linea verticale.

Numero primo | ESEMPIO Numero Quoziente divisore 60 30 15 5 1

2 2 3 5

60

2

30

30

2

15

15

3

5

5

5

1

Scomposizione in fattori primi di 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

• La scomposizione è giusta se moltiplicando tra loro i fattori primi, si ottiene il numero dato.

La scomposizione può essere espressa anche utilizzando le potenze. | ESEMPIO 60 = 2 × 2 × 3 × 5 60 = 22 × 3 × 5 61

NUMERI

Numeri

LE POTENZE La potenza di un numero è il prodotto del numero moltiplicato per sé stesso tante volte quante ne indica l’esponente.

Una potenza è il modo più breve per scrivere una moltiplicazione con fattori tutti uguali.

24

2×2×2×2

I termini della potenza esponente: indica il numero di volte per cui la base deve essere moltiplicata per sé stessa

23 base: indica il numero che deve essere moltiplicato

Per calcolare la potenza di un numero si deve moltiplicare il numero (base) per sé stesso tante volte quante sono quelle indicate dall’esponente.

34 si legge 3 alla quarta, oppure 3 elevato alla quarta.

34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

62

NUMERI

Il valore della potenza è sempre uguale alla base qualunque sia la base.

Esponente 1

| ESEMPIO 431 = 43

Il valore della potenza è sempre uguale a 1 qualunque sia la base purché diversa da 0.

Esponente 0

| ESEMPIO 320 = 1 00 = non ha significato

Il valore della potenza è sempre uguale a 1, qualunque sia l’esponente.

Base 1

| ESEMPIO 14 = 1 × 1 × 1 × 1 = 1

Il valore della potenza è sempre uguale a 0, qualunque sia l’esponente.

Base 0 | ESEMPIO 02 = 0 × 0 = 0

Quando l’esponente di una potenza è il numero 2 o il numero 3, ci sono più modi per leggere la potenza.

• 32 si legge: tre alla seconda, tre elevato alla seconda, tre al quadrato, tre elevato al quadrato.

• 53 si legge: cinque alla terza, cinque elevato alla terza, cinque al cubo, cinque elevato al cubo.

63

Numeri

LE POTENZE: CASI PARTICOLARI

NUMERI

Numeri

LE POTENZE DI 10 Le potenze del numero 10 si ottengono aggiungendo alla cifra 1, tanti zeri quanti ne indica l’esponente.

100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1 000 104 = 10 000 105 = 100 000

Un numero può essere scomposto in potenze di 10. | ESEMPIO 7 456 =

(7 × 1 000) + (4 × 100) + (5 × 10) + (6 × 1) = (7 × 103) + (4 × 102) + (5 × 101) + (6 × 100)

Con le potenze del 10 si possono scomporre facilmente numeri anche molto grandi. | ESEMPIO 512 768 934 =

(5 × 108) + (1 × 107) + (2 × 106) + (7 × 105) + (6 × 104) + (8 × 103) + + (9 × 102) + (3 × 101) + (4 × 100) 64

NUMERI

Le espressioni aritmetiche sono una serie di operazioni da svolgere in successione seguendo un preciso ordine.

ESPRESSIONI SENZA LE PARENTESI Se in un’espressione non ci sono parentesi si eseguono:

| ESEMPIO

5 + 3 × 4 – 20 : 4 + 6 =

• prima moltiplicazioni e divisioni; • poi addizioni e sottrazioni, nell’ordine in cui si incontrano.

5 + 12 – 5 + 6 = 17 – 5 + 6 = 12 + 6 = 18

ESPRESSIONI CON LE PARENTESI Le parentesi che si possono incontrare in un’espressione sono: ( ) tonda [ ] quadra { } graffa Se in un’espressione ci sono parentesi si eseguono • prima le operazioni nelle parentesi tonde; • poi quelle nelle parentesi quadre; • infine quelle nelle parentesi graffe.

Nell’eseguire le operazioni nelle parentesi occorre rispettare le stesse regole delle espressioni senza parentesi.

| ESEMPIO

{

} 8 + {12 × 3 – [10 : 5]} = 8 + {36 – 2} =

8 + 12 × (7 – 4) – [10 : (4 + 1)] =

8 + 34 = 42 65

Numeri

LE ESPRESSIONI ARITMETICHE

NUMERI

Numeri

I NUMERI POSITIVI E I NUMERI NEGATIVI I numeri 1… 24… 500… 7 691… “normalmente” si scrivono senza essere preceduti da alcun segno e indicano una quantità. | ESEMPIO

3 caramelle

I numeri positivi sono i numeri preceduti dal segno +.

Sulla linea dei numeri, sono rappresentati a destra dello zero.

0

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13 +14 +15 +16

I numeri negativi sono i numeri preceduti dal segno –.

Sulla linea dei numeri, sono rappresentati a sinistra dello zero.

–16 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2

66

–1

0

NUMERI

I numeri relativi sono tutti i numeri positivi e negativi, più lo zero.

I numeri relativi sono: • positivi, se preceduti dal segno + • negativi, se preceduti dal segno – Lo zero non è né negativo né positivo e separa i numeri negativi da quelli positivi.

I numeri relativi servono, ad esempio, per misurare: • la temperatura

• la profondità dei mari o l’altezza sul livello del mare

• i piani di un palazzo Il valore assoluto di un numero è il numero stesso senza alcun segno.

Il valore assoluto di + 7 è 7.

Il valore assoluto di – 7 è 7.

67

Numeri

I NUMERI RELATIVI

Numeri

NUMERI

CONFRONTO TRA NUMERI RELATIVI I numeri relativi si definiscono: • concordi, se hanno lo stesso segno

• discordi, se hanno segno diverso

| ESEMPIO

| ESEMPIO

+ 3 e + 9 sono concordi.

– 5 e – 7 sono concordi.

– 8 e + 6 sono discordi.

• uguali, se sono formati dallo stesso numero e hanno lo stesso segno

• opposti, se sono formati dallo stesso numero, ma hanno segno diverso

| ESEMPIO

| ESEMPIO

+ 9 e + 9 sono uguali.

– 11 e – 11 sono uguali.

– 7 e + 7 sono opposti.

Per visualizzare il confronto tra numeri relativi è molto utile guardare la loro posizione sulla linea dei numeri.

–7 –6 –5 –4 –3 –2

–1

0

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

• Tra due numeri discordi il maggiore è quello con segno positivo. +3>–8 • Tra due numeri positivi è maggiore quello con valore assoluto maggiore. + 10 > + 6 • Tra due numeri negativi è maggiore quello con valore assoluto minore.

– 6 > – 10

Con i numeri relativi si possono fare anche alcune operazioni che sono impossibili con i numeri naturali.

Ad esempio è possibile fare una sottrazione in cui il minuendo è minore del sottraendo. | ESEMPIO 3–8=–5

Le addizioni e le sottrazioni con i numeri relativi possono essere eseguite facilmente muovendosi sulla linea dei numeri: verso destra per fare un’addizione, verso sinistra per fare una sottrazione.

68

NUMERI

Frazionare significa dividere un intero in parti uguali.

La frazione è un numero: indica una quantità ottenuta dividendo un intero in un certo numero di parti uguali tra loro.

L’unità frazionaria è ciascuna delle parti in cui è stato diviso l’intero.

1 unità frazionaria 3 Se l’intero NON è diviso in parti uguali, ciascuna parte NON è un’unità frazionaria. unità frazionaria

L’intero è frazionato in parti uguali.

L’intero non è frazionato. in parti uguali.

Numeratore indica il numero delle parti che sono considerate.

5 7

Linea di frazione rappresenta la divisione.

Denominatore indica il numero delle parti in cui è stato diviso l’intero.

69

Numeri

LE FRAZIONI

NUMERI

Numeri

FRAZIONI PROPRIE, IMPROPRIE, APPARENTI La frazione propria rappresenta una parte minore dell’intero.

Il numeratore è minore del denominatore. | ESEMPIO

2 è una frazione propria.

7 2 <1 7 La frazione impropria rappresenta una parte maggiore dell’intero.

Il numeratore è maggiore, ma NON multiplo del denominatore. | ESEMPIO

5 è una frazione impropria.

4 5 >1 4 La frazione apparente rappresenta uno o più interi.

Il numeratore è uguale o multiplo del denominatore. | ESEMPIO

4 è una frazione apparente 4 che corrisponde a 1 intero.

8 è una frazione apparente 4 che corrisponde a 2 interi.

70

NUMERI

Due frazioni sono complementari quando, insieme, formano l’intero.

La frazione complementare di un’altra frazione indica la parte che manca per raggiungere l’intero. | ESEMPIO

3 + 2 = 5 =1 5 5 5 3 e 2 sono frazioni tra loro complementari.

5 5 3 è complementare di 2 5 5 2 è complementare di 3 5 5

Le frazioni complementari sono sempre frazioni proprie.

71

Numeri

LA FRAZIONE COMPLEMENTARE

Numeri

NUMERI

FRAZIONI: CASI PARTICOLARI Una frazione non può avere denominatore 0.

Il denominatore indica in quante parti si deve dividere l’intero, e un intero non si può dividere in zero parti. | ESEMPIO 4 NO!!

0

Una frazione può avere numeratore 0.

In questo caso la frazione è uguale a 0 perché nessuna parte è stata considerata. | ESEMPIO 0 =0 4

Una frazione può avere denominatore 1, ma, generalmente, non si scrive. | ESEMPIO 4 =4 1

La frazione si legge quattro primi e corrisponde a 4 interi.

72

NUMERI

La frazione apparente può essere trasformata in un numero intero dividendo il numeratore per il denominatore. | ESEMPIO 5 =5:5=1 5 | ESEMPIO 9 =9:3=3 3

+

+

Un numero misto è un numero formato da un intero e da una frazione propria. | ESEMPIO 1 + 1 è un numero misto.

4

+

La frazione impropria può essere trasformata in un numero misto.

• Si divide il numeratore per il denominatore e si trova la parte intera del numero misto; 10: 4 = 2 (parte intera del numero) • Per trovare la parte frazionaria si scrive al numeratore il resto della divisione eseguita precedentemente; 10 : 4 = 2 resto 2 (parte frazionaria) • Il denominatore è lo stesso della frazione impropria. In questo caso 4.

10 = 2 + 2 4 4 | ESEMPIO 10 4 73

Numeri

TRASFORMARE LE FRAZIONI APPARENTI E IMPROPRIE

NUMERI

Numeri

LE FRAZIONI EQUIVALENTI Due frazioni sono equivalenti quando, pur essendo scritte in modo diverso, indicano la stessa quantità. | ESEMPIO

2 4

4 8

Per trasformare una frazione in un’altra ad essa equivalente si applica la proprietà invariantiva, cioè si moltiplica o si divide sia il numeratore sia il denominatore per uno stesso numero, diverso da 0. | ESEMPIO

:3 3 6

×2 1 2

2 3

:3

4 6 ×2

3 e 1 sono frazioni equivalenti 6 2

2 e 4 sono frazioni equivalenti 3 6

SEMPLIFICARE LE FRAZIONI Per semplificare una frazione si dividono denominatore e numeratore per un divisore comune, ottenendo così una frazione equivalente.

Questa operazione può essere ripetuta più volte.

Quando non ci sono più divisori comuni, si dice che la frazione è stata ridotta ai minimi termini. | ESEMPIO

:5 15 60

:3 1 4

3 12 :5

:3 74

NUMERI

Se si confronta una frazione propria con una frazione impropria è sempre maggiore quella impropria.

Infatti una frazione propria rappresenta sempre una parte minore dell’intero, mentre quella impropria rappresenta sempre una parte maggiore dell’intero. | ESEMPIO 5 > 2 4 3

> 5 4

2 3

Se si confronta una frazione propria con una frazione apparente è sempre maggiore quella apparente.

Infatti una frazione propria rappresenta sempre una parte minore dell’intero, mentre quella apparente rappresenta sempre uno o più interi. | ESEMPIO 5 > 4 5 7

> 5 5

75

4 7

Numeri

CONFRONTO TRA FRAZIONI

Numeri

NUMERI

CONFRONTO TRA FRAZIONI Se si confrontano due frazioni con uguale denominatore è sempre maggiore quella con il numeratore maggiore. | ESEMPIO 5 > 2 6 6

> 5 6

2 6

Se si confrontano due frazioni con uguale numeratore è sempre maggiore quella con il denominatore minore. | ESEMPIO 3 > 3 5 8

> 3 5

3 8

Se due frazioni sono riferite allo stesso intero, il denominatore minore indica che l’intero è stato diviso in un minor numero di parti e, di conseguenza, ogni parte è più grande.

Per confrontare due frazioni con diverso denominatore e diverso numeratore occorre trasformarle in frazioni equivalenti con lo stesso denominatore: • si moltiplicano tra loro i denominatori; • si trasformano entrambe le frazioni in frazioni equivalenti con quel denominatore. | ESEMPIO

3 e 2 5 7

5 × 7 = 35 ×7 3 5

×5 21 35

×7

2 7

10 35 ×5 76

21 > 10 35 35

NUMERI

Le addizioni e le sottrazioni si eseguono solo tra frazioni con denominatore uguale.

Se hanno diverso denominatore prima di eseguire l’operazione vanno trasformate in frazioni con uguale denominatore (vedi anche pagina 75).

ADDIZIONE Il denominatore non cambia e il numeratore è la somma dei numeratori.

3 + 6 = 9 4 4 4

SOTTRAZIONE Il denominatore non cambia e il numeratore è la differenza tra i numeratori.

8 – 3 = 5 9 9 9

Le moltiplicazioni e le divisioni si eseguono anche tra frazioni con denominatore diverso.

MOLTIPLICAZIONE Il numeratore è il prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori.

2 × 1 = 2 3 5 15

DIVISIONE 3 : 2 = 3 × 5 = 15 8 5 8 2 16

Si moltiplica la prima frazione per l’inverso della seconda.

77

Numeri

OPERAZIONI TRA FRAZIONI

Numeri

NUMERI

LA FRAZIONE DI UN NUMERO Per calcolare la frazione di un numero: • si divide il numero per il denominatore per ottenere il valore dell’unità frazionaria; • si moltiplica il valore dell’unità frazionaria per il numeratore. | ESEMPIO 2 di 12 3

• 12 : 3 = 4

• 4×2=8 2 di 12 = 8 3

DALLA FRAZIONE ALL’INTERO Per calcolare il valore dell’intero conoscendo la frazione e il numero della frazione: • si divide il numero per il numeratore per trovare il valore dell’unità frazionaria; • si moltiplica il valore dell’unità frazionaria per il denominatore. | ESEMPIO 6 corrisponde a 2 dell’intero.

5

• 6:2=3

• 3 × 5 = 15 6 = 2 di 15 5 78

NUMERI

Le frazioni decimali sono frazioni che hanno come denominatore una potenza di 10.

1 10 L’intero è diviso in 10 parti uguali.

La parte colorata corrisponde a 1 (un decimo).

10 1 100

L’intero è diviso in 100 parti uguali.

La parte colorata corrisponde a 1 (un centesimo).

100

1 1000 L’intero è diviso in 1 000 parti uguali. La parte colorata 1 corrisponde a (un millesimo).

1000 79

Numeri

LE FRAZIONI DECIMALI

NUMERI

Numeri

FRAZIONI E NUMERI DECIMALI Ogni frazione decimale può essere scritta anche sotto forma di numero decimale.

frazione decimale 1 (un decimo) 10 numero decimale u 0

d ,

c

m

1

frazione decimale 1 (un centesimo) 100 numero decimale u 0

frazione decimale 1 (un millesimo) 1000 numero decimale u 0

,

d

c

m

0

0

1 80

,

d

c

0

1

m

NUMERI

Numeri

I NUMERI DECIMALI I numeri decimali sono numeri formati da una parte intera e una parte decimale.

La parte decimale è più piccola dell’unità.

La virgola divide la parte intera da quella decimale.

parte intera

parte decimale

234,561 virgola

L’ordine dei decimali, partendo da dopo la virgola è: decimi, centesimi, millesimi.

Anche nei numeri decimali le cifre rispettano il valore posizionale e ogni cifra assume un valore diverso a seconda del posto che occupa.

Periodo delle unità semplici h

da

u

2

3

4

Periodo dei decimali

,

81

d

c

m

5

6

1

Numeri

NUMERI

TRASFORMARE FRAZIONI DECIMALI IN NUMERI DECIMALI Per trasformare una frazione decimale in un numero decimale: • si scrive il numeratore; • si mette la virgola in modo che alla sua destra ci siano tante cifre quanti sono gli zeri del denominatore; • se necessario, si aggiungono degli zeri prima del numero. | ESEMPIO

65 = 6,5 10

| ESEMPIO

13 = 0,13 100

Nei numeri decimali la cifra delle unità deve sempre comparire.

Se il numero è minore di 1, la cifra delle unità sarà 0.

| ESEMPIO

18 = 0,018 1000

82

NUMERI

Per trasformare un numero decimale in una frazione decimale: • si scrive al numeratore il numero senza virgola; • si scrive al denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre della parte decimale. | ESEMPIO

25,3 Numero senza virgola Cifra 1 seguita da uno zero, perché nel numero decimale c’è una sola cifra dopo la virgola

253 10

| ESEMPIO

0,19 Numero senza virgola (non si scrive lo zero iniziale perché è inutile) Cifra 1 seguita da due zeri, perché nel numero decimale ci sono due cifre dopo la virgola

| ESEMPIO

0,007 Numero senza virgola (non si scrivono gli zeri iniziali perché sono inutili) Cifra 1 seguita da tre zeri, perché nel numero decimale ci sono tre cifre dopo la virgola 83

7 1 000

19 100

Numeri

TRASFORMARE NUMERI DECIMALI IN FRAZIONI DECIMALI

NUMERI

Numeri

TRASFORMARE FRAZIONI NON DECIMALI IN NUMERI DECIMALI Ogni frazione può essere trasformata in numero, dividendo il numeratore per il denominatore.

FRAZIONI APPARENTI Nella trasformazione di una frazione apparente in numero si ottiene un numero intero. | ESEMPIO 12 = 12 : 3 = 4 3

ALTRI TIPI DI FRAZIONE Nella trasformazione di tutti gli altri tipi di frazione in numero si ottiene un numero decimale. | ESEMPIO 2 5

2 : 5 = 0,4

7 2

7 : 2 = 3,5

11 4

11 : 4 = 2,75

Quando si trasforma una frazione in numero decimale è meglio continuare la divisione fino a quando non si ottiene il resto 0, altrimenti fino ai millesimi.

84

ne La spiegazio ni io delle divis ome che hanno c n quoziente u ale im c e numero d a in g a si trova a p 92.

NUMERI

I numeri decimali possono essere rappresentati sulla linea dei numeri.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Una unità è divisa in 10 decimi.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Un decimo è diviso in 10 centesimi.

0

0,01

0,02 0,03 0,04 0,05

0,06

0,07 0,08 0,09

0,1

Un centesimo è diviso in 10 millesimi.

0

0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

85

Numeri

I NUMERI DECIMALI SULLA LINEA DEI NUMERI

Numeri

NUMERI

CONFRONTO TRA NUMERI DECIMALI Il confronto tra due numeri decimali serve per stabilire qual è maggiore e qual è minore.

Per confrontare due numeri decimali: • prima si confronta la parte intera. È maggiore il numero che ha la parte intera maggiore. | ESEMPIO

Confrontare 122,4 e 121,998 122 > 121 122,4 > 121,998 • Se la parte intera è uguale si confronta la parte decimale. Si confrontano i decimi: è maggiore il numero che ha la cifra dei decimi maggiore. | ESEMPIO

11,76 e 11,821

7<8

11,76 < 11,821 • Se anche i decimi sono uguali si confrontano i centesimi. | ESEMPIO

0,325 e 0,318

2>1

0,325 > 0,318 • Se anche i centesimi sono uguali si confrontano i millesimi. | ESEMPIO

34,035 e 34,036

5<6

34,035 < 34,036

86

NUMERI

I numeri decimali possono essere ordinati in ordine crescente o decrescente.

La parte decimale di un numero è sempre inferiore a una unità, ma è maggiore di zero.

La grandezza di un numero decimale è determinata dal valore delle cifre, non dalla quantità delle cifre. | ESEMPIO 0,135 < 0,2

Tra un numero decimale e un altro vi sono infiniti numeri. | ESEMPIO

0,6 non è il successivo di 0,5 perché tra di essi vi sono infiniti numeri: 0,51/0,511/0,52…

87

Numeri

CARATTERISTICHE DEI NUMERI DECIMALI

NUMERI

Numeri

ADDIZIONI E SOTTRAZIONI CON I NUMERI DECIMALI Per eseguire addizioni e sottrazioni con i numeri decimali: • si incolonnano i numeri, rispettando la posizione di ogni cifra; • la virgola deve sempre essere incolonnata; • si aggiungono eventuali zeri nella parte decimale per fare in modo che tutti i termini dell’operazione abbiano lo stesso numero di cifre decimali; • si esegue l’operazione partendo dalla cifra più a destra della parte decimale, rispettando le regole delle addizioni e delle sottrazioni. | ESEMPIO

| ESEMPIO

13,786 + 4,309 = 18,095

182,3 + 85,903 = 268,203

h

da

u

1

3

1

d

c

m

,

7

8

6

+

4

,

3

0

9

=

8

,

0

9

5

h

da

u

1

8

2

8 6

2

d

c

m

,

3

0

0

+

5

,

9

0

3

=

8

,

2

0

3

d

c

m

| ESEMPIO

| ESEMPIO

78,21 – 14,5 = 63,71

904 – 72,87 = 831,13

h

da

u

d

c

7

8

1 6

m

,

2

1

–

4

,

5

0

=

3

,

7

1

h

da

u

9

0

4

,

0

0

–

7

2

,

8

7

=

3

1

,

1

3

8

Gli zeri segnaposto sono necessari quando la parte decimale del minuendo ha meno cifre del sottraendo (ad esempio 3,4 – 2,73).

88

NUMERI

Numeri

LE MOLTIPLICAZIONI PER 10, 100, 1000 CON I NUMERI DECIMALI Moltiplicare un numero decimale per 10, 100, 1 000 vuol dire aumentare di 10, 100, 1 000… volte il suo valore.

Per moltiplicare per 10, 100, 1 000… un numero decimale, ogni cifra si sposta di 1, 2, 3… posti verso sinistra.

Se necessario, si aggiungono gli zeri perché la cifra delle unità deve sempre essere scritta. | ESEMPIO

1,25 × 10 = h da u

d

c

1

, 2

5

1

m ×

10 | ESEMPIO

2 , 5

1,25 × 100 =

1,25 × 10 = 12,5

| ESEMPIO

1

h da u

d

c

1

, 2

5

2

5

d

c

1

, 2

5

1

1,25 × 1 000 = k

h da u

2

m ×

100

5

1,25 × 1100 = 125

m ×

1 000

0

1,25 × 1 000 = 1 250 Per moltiplicare velocemente un numero decimale per 10, 100, 1 000… si sposta verso destra la virgola del moltiplicando di 1, 2, 3… posti.

89

Numeri

NUMERI

LE DIVISIONI PER 10, 100, 1000 CON I NUMERI DECIMALI Dividere un numero decimale per 10, 100, 1 000 vuol dire diminuire di 10, 100, 1 000… volte il suo valore. | ESEMPIO

Per dividere per 10, 100, 1 000… un numero decimale, ogni cifra si sposta di 1, 2, 3… posti verso destra.

Se necessario, si aggiungono gli zeri perché la cifra delle unità deve sempre essere scritta.

| ESEMPIO

4

h da u 3

d

c m

8 , 2 3 , 8

:

10

2

38,2 : 10 = 3,82 | ESEMPIO

47,1 : 100 = h da u

38,2 : 10 =

15 : 1 000 = d

c m

7 , 1 0 , 4

h da u : 100

7

47,1 : 100 = 0,471

1

1

d

c m

5 , 0 , 0

: 1 000 1

5

15 : 1 000 = 0,015

Per dividere velocemente un numero decimale per 10, 100, 1 000… si sposta verso sinistra la virgola del dividendo di 1, 2, 3… posti.

Per dividere per 10, 100, 1 000… un numero intero si utilizza la stessa regola dei numeri decimali. Occorre ricordarsi che la virgola nel numero intero non è espressa, ma dividendo il numero si deve inserire la virgola partendo dalle unità.

376: 100 = 3,76 90

NUMERI

Per eseguire moltiplicazioni con i numeri decimali: • • • •

si scrivono i numeri in colonna come se la virgola non ci fosse; si esegue l’operazione rispettando le regole della moltiplicazione; si contano le cifre decimali complessive dei due fattori; partendo dall’ultima cifra a destra del prodotto finale, si colloca la virgola facendo in modo che esso abbia tante cifre decimali quante sono quelle complessive dei due fattori. | ESEMPIO

| ESEMPIO

87 × 3,2 = 278,4

1,53 × 5,6 = 8,568

8

7

×

3 , 2

=

1

7

4

2

6

1

-

2

7

8 , 4

1 , 5

3

×

5 , 6

=

9

1

8

6

5

-

8 , 5

6

8

7

Quando si esegue una moltiplicazione con i numeri decimali, i fattori si considerano come numeri interi: si opera, dunque, una moltiplicazione per 10, 100, 1 000… × 100

4,3 × 2,1 = 4 , 3

× 10

4

3

×

2 , 1

× 10

2

1

=

4

3

4

3

6

-

9 , 0

3

8

: 100

8

6

9

0

3

91

Il risultato della moltiplicazione con i numeri interi è (in questo caso) 100 volte superiore (10 x 10 = 100).

Di conseguenza, per ottenere il giusto risultato occorre dividere il prodotto per 100.

Numeri

MOLTIPLICAZIONI CON I NUMERI DECIMALI

Numeri

NUMERI

DIVISIONI CON I NUMERI DECIMALI Nelle divisioni con i numeri decimali occorre fare attenzione a dove si colloca la virgola nel quoziente.

NUMERO DECIMALE COME QUOZIENTE Trasformando il resto in un numero decimale, il quoziente sarà un numero decimale. | ESEMPIO 46 : 4 = 11,5 resto 0

parte intera parte decimale da u 4

d da u

6

Le 2 unità di resto sono trasformate in 20 decimi aggiungendo uno zero nella colonna dei decimi.

4

6 2

d

1

1 ,5

Poi si divide 20 decimi per il divisore (4), e si colloca il risultato (5) al quoziente, dopo avere messo la virgola.

0 0

Le divisioni possono essere continuate trasformando il resto in centesimi, millesimi… aggiungendo di volta in volta al resto uno zero.

da u 9

1

3

1 1

d

In questo caso occorre ricordare che il resto è 4 centesimi, cioè 0,04.

1 0 0 4

92

da u

d

c

5 , 1

6

6

4

91 : 6 = 15,16 resto 4 centesimi (0,04)

c

NUMERI

DIVIDENDO MINORE DEL DIVISORE Se il dividendo è minore del divisore, il quoziente sarà un numero compreso tra 0 e 1. Per ottenere un risultato più preciso si continua la divisione fino ai decimi o ai centesimi. u

d

c

m

5 5

u

d

c m

6

2

5 : 6 = 0,833 resto 2 millesimi (0,002)

0 ,8

0

| ESEMPIO

3

3

0 2

0 2

Prima di dividere la parte decimale si deve scrivere la virgola al quoziente.

NUMERO DECIMALE COME DIVIDENDO Se il dividendo è un numero decimale, prima di abbassare la cifra dei decimi, si scrive la virgola al quoziente. u

d

c

u

7 , 3

7

5

2

1 ,4

3 3

d

c

| ESEMPIO

7,37 : 5 = 1,47 resto 2 centesimi (0,02)

7

7 2 93

Numeri

DIVISIONI CON I NUMERI DECIMALI

Numeri

NUMERI

DIVISIONI CON I NUMERI DECIMALI NUMERO DECIMALE COME DIVISORE Se il divisore è un numero decimale si applica la proprietà invariantiva moltiplicando dividendo e divisore per 10, 100, 1 000… per trasformare il divisore in un numero intero.

Si moltiplicherà: • per 10, se il divisore ha solo una cifra decimale; • per 100, se il divisore ha due cifre decimali; • per 1 000, se il divisore ha tre cifre decimali.

| ESEMPIO

204 : 3,4 = × 10 × 10

2 040 34 00 60 0

2 040 : 34 = 60

NUMERI DECIMALI SIA COME DIVIDENDO SIA COME DIVISORE | ESEMPIO

1,875 : 0,25 = × 100 × 100

187,5 25 125 7,5 0

187,5 : 25 = 7,5

Il dividendo può essere un numero decimale, ma il divisore NO e deve sempre essere trasformato in numero intero.

94

NUMERI

QUOZIENTE APPROSSIMATO Nelle divisioni si può continuare a dividere il resto fino a giungere ad avere resto zero.

| ESEMPIO

25 : 16 = 1,56 resto 4 centesimi (0,04)

| ESEMPIO

25 : 16 = 1,5 resto 10 decimi (1) da u 2

d da u

5

1

9

0

1

0

da u d

2

d

c

da u

5

1

6

9

0

1 ,5

1

0

d

c

1 ,5

6

6

0 4

Quoziente approssimato ai decimi.

Quoziente approssimato ai centesimi.

| ESEMPIO

| ESEMPIO

25 : 16 = 1,562 resto 8 millesimi (0,08)

25 : 16 = 1,5625 resto 0

da u d c m da u d c m

da u d c m

da u d c m

2 5

2 5

1

1

9 0

6 1 ,5 6 2

1 ,5 6 2 5

9 0

1 0 0

6

1 0 0

4 0

4 0

8 Quoziente approssimato ai millesimi.

8 0 0 Se, continuando a dividere il resto, si giunge a ottenere resto 0, la divisione si considera terminata e non approssimata.

95

Numeri

DIVISIONI CON I NUMERI DECIMALI

NUMERI

Numeri

NUMERI DECIMALI ILLIMITATI PERIODICI Se, continuando a dividere il resto, le cifre del resto stesso si ripetono sempre uguali, il numero decimale che si ottiene al quoziente avrà alcune cifre nella parte decimale che si ripetono all’infinito.

I numeri decimali in cui una o più cifre della parte decimale si ripetono all’infinito si chiamano decimali illimitati periodici.

Le cifre (o la cifra) che si ripetono si chiamano periodo. Si scrive una sola volta e su di esso si traccia una piccola linea orizzontale. | ESEMPIO

– 16 : 3 = 5,3 (si legge cinque virgola tre periodico) 16

3

10

5,33…

10 1…

| ESEMPIO

— 137: 33 = 4,15 (si legge quattro virgola quindici periodico) 137 50

33

170

4,1515…

50 170 50…

Prova a eseguire con la calcolatrice le divisioni scritte in questa pagina.

Vedrai come le cifre del periodo si ripetono!

96

NUMERI

LA MOLTIPLICAZIONE Moltiplicare un numero per 0,1 equivale a dividerlo per 10.

450 × 0,1 = 45

450 : 10 = 45

Moltiplicare un numero per 0,01 equivale a dividerlo per 100.

450 × 0,01 = 4,5

450 : 100 = 4,5

Moltiplicare un numero per 0,001 equivale a dividerlo per 1 000.

450 × 0,001 = 0,45

450 : 1 000 = 0,45

Moltiplicare un numero per 0,5 equivale a dividerlo per 2.

450 × 0,5 = 225

450 : 2 = 225

LA DIVISIONE Dividere un numero per 0,1 equivale a moltiplicarlo per 10.

1,2 : 0,1 = 12

1,2 × 10 = 12

Dividere un numero per 0,01 equivale a moltiplicarlo per 100.

1,2 : 0,01 = 120

1,2 × 100 = 120

Dividere un numero per 0,001 equivale a moltiplicarlo per 1 000.

1,2 : 0,001 = 1200

1,2 × 1 000 = 1200

Dividere un numero per 0,5 equivale a moltiplicarlo per 2.

1,2 : 0,5 = 2,4

1,2 × 2 = 2,4 97

Numeri

CASI PARTICOLARI DI MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI

NUMERI

Numeri

LA PERCENTUALE La percentuale equivale a una frazione decimale con denominatore 100.

La percentuale si indica con numero accompagnato dal segno % che si legge “per cento” 15% (quindici per cento) = 15 100 | ESEMPIO

“Il 25% dei bambini di Milano sono allievi della 25 Scuola Primaria”, significa che a Milano i di 100 tutti i bambini frequentano la Scuola Primaria.

La percentuale si usa soprattutto nelle indagini statistiche, nei campi della ricerca, nella compravendita.

Per fare un confronto tra percentuali occorre specificare a quale grandezza esse fanno riferimento. | ESEMPIO

“Il 10% dei maschi di quinta praticano il nuoto; il 20% delle bambine di quinta pratica la pallavolo”.

Questa frase non indica che le bambine che praticano la pallavolo sono il doppio dei maschi, perché non viene indicato quanti sono i maschi e quante le femmine.

Ad esempio, se le bambine sono 30, e i maschi sono 50, praticano il nuoto 5 maschi e la pallavolo 6 femmine.

98

NUMERI

Per calcolare il valore percentuale di un numero dato: • si trasforma la percentuale in una frazione decimale con denominatore 100; • si calcola la frazione decimale del numero dato. | ESEMPIO

3% di 250

• 3% = 3 100 • 3 di 250 = (250 : 100) × 3 = 2,5 × 3 = 7,5 100

3% di 250 = 7,5 | ESEMPIO

Al torneo di scacchi partecipa il 20% dei bambini della scuola.

I bambini della scuola sono 150.

Quanti bambini partecipano?

20% di 150

• 20% = 20 100 20 di 150 = (150 : 100) × 20 = 1,5 × 20 = 30 • 100

Perciò: 20% di 150 = 30 I bambini che partecipano al torneo di scacchi sono 30.

Poiché una percentuale corrisponde sempre a una frazione con denominatore cento, per calcolare in modo più semplice il valore percentuale di un numero: • si divide il numero dato per 100; • si moltiplica il risultato per la percentuale.

14% di 800

(800 : 100) × 14 = 8 × 14 = 112

99

Numeri

CALCOLARE IL VALORE PERCENTUALE DI UN NUMERO

Numeri

NUMERI

TRASFORMARE UNA FRAZIONE IN UNA PERCENTUALE Le frazioni che hanno numeratore 100 si possono scrivere sotto forma di percentuale.

34 = 34% 100

Qualsiasi frazione può essere trasformata in percentuale: • si trasforma la frazione in un numero decimale, dividendo il numeratore per il denominatore, approssimando il quoziente ai centesimi; • se il numero ottenuto è un numero intero, o decimale con solo la cifra dei decimi, si aggiungono gli zeri necessari fino ai centesimi; • si trasforma il numero decimale in frazione decimale con denominatore 100; • si trasforma la frazione con denominatore 100 in percentuale. | ESEMPIO

• 2 2 : 5 = 0,4 5 • 0,4 = 0,40 • 0,40 = 40 100 40 = 40% • 100 2/5 = 40%

| ESEMPIO

I bambini delle classi quinte iscritti alle gare di atletica sono 40.

8 vincono una medaglia. A quale percentuale corrispondono i bambini che hanno vinto una medaglia?

I bambini che vincono una medaglia sono 8 su 40, cioè 8 dei bambini che 40 partecipano alle gare.

8 8 : 40 = 0,2 0,2 = 0,20 40 20 = 20% 0,20 = 20 100 100 I bambini che vincono una medaglia corrispondono al 20% del totale dei bambini partecipanti.

100

NUMERI

La percentuale può essere rappresentata attraverso diagrammi. | ESEMPIO

Ripartizione del territorio della regione Marche: collina: 74% montagna: 22% pianura: 4%

AREOGRAMMA QUADRATO La percentuale è rappresentata su un quadrato suddiviso in 100 quadratini, ognuno dei quali corrisponde all’1%.

AREOGRAMMA CIRCOLARE La percentuale è rappresentata su un cerchio suddiviso in settori circolari. Ogni settore rappresenta una percentuale.

COSTRUIRE UN AREOGRAMMA Per rappresentare le percentuali su un areogramma quadrato si colorano tanti quadratini quanti ne indica la percentuale stessa.

| ESEMPIO

30%

Per rappresentare la percentuale del 30% su un areogramma circolare: • si disegna un cerchio che rappresenta il 100%; • poiché l’angolo giro misura 360° (e un cerchio è un angolo giro), l’1% corrisponde a un centesimo dell’angolo giro, cioè a un settore di 3,6°; • si moltiplica il valore percentuale (30) × 3,6 | ESEMPIO e si ottiene l’ampiezza del settore circolare: 30% 30 × 3,6° = 108°; • si fa coincidere il centro del goniometro con il centro del cerchio e si traccia un settore circolare dell’ampiezza trovata (108°).

101

Numeri

RAPPRESENTARE LE PERCENTUALI

NUMERI

Numeri

LO SCONTO E L’AUMENTO La percentuale è anche utilizzata per indicare: • lo sconto di un prezzo; • l’aumento di un prezzo.

Per calcolare il prezzo scontato, conoscendo la percentuale di sconto: • si calcola il valore della percentuale; • successivamente si sottrae lo sconto al valore intero per ottenere il prezzo scontato. | ESEMPIO

25% di sconto sul prezzo di € 120,00.

• 25% di 120,00 = (120,00 : 100) × 25 = 1,2 × 25 = 30 Lo sconto è di € 30,00.

• 120,00 – 30,00 = 90,00 Il prezzo scontato è di € 90,00.

Per calcolare il prezzo aumentato, conoscendo la percentuale di aumento: • si calcola il valore della percentuale; • al prezzo iniziale, si somma il valore della percentuale, ottenendo il prezzo aumentato. | ESEMPIO

8% di aumento sul prezzo di € 200,00.

• 8% di 200,00 = (200,00 : 100) × 8 = 2 × 8 = 16 L’aumento è di € 16,00.

• 200,00 + 16,00 = 216,00 Il prezzo aumentato è di € 216,00.

102

NUMERI

Quando un numero è composto da molte cifre è possibile arrotondarlo, cioè sostituire le ultime cifre con degli zeri.

Il numero arrotondato non è preciso, ma è più facile da comprendere. | ESEMPIO

La distanza media tra il Sole e la Terra è di 149 597 870,700 km.

Il numero può essere arrotondato a 150 000 000 km.

Si può arrotondare per eccesso o per difetto.

Per arrotondare un numero: • si decide la cifra di riferimento cui arrotondare il numero (ad esempio hk, dak, uk… u, d…);

CASO 1

CASO 2

• se la cifra a destra di quella presa come riferimento è minore di 5, il numero si arrotonda per difetto; • si trasformano in zeri tutte le cifre a destra di quella presa come riferimento.

• Se la cifra a destra di quella presa come riferimento è uguale o maggiore di 5, il numero si arrotonda per eccesso; • si aumenta di 1 la cifra presa come riferimento e si trasformano in zeri tutte quelle alla sua destra.

| ESEMPIO

| ESEMPIO

Arrotondare 765 297 alle unità di migliaia.

765 000 è il numero arrotondato alle unità di migliaia per difetto.

Arrotondare 914 956 alle unità di migliaia 915 000 è il numero arrotondato alle unità di migliaia per eccesso.

Arrotondare 4,287 ai decimi 4,300 è il numero arrotondato ai decimi.

Può essere espresso, in modo ancora più semplice, con il numero 4,3.

Arrotondare 1,436 ai decimi.

1,400 è il numero arrotondato ai decimi per difetto.

Può essere espresso, in modo ancora più semplice, con il numero 1,4.

103

Numeri

L’ARROTONDAMENTO DI UN NUMERO

Numeri

NUMERI

I NUMERI ROMANI Gli antichi Romani utilizzavano 7 lettere dell’alfabeto per scrivere i numeri, cioè utilizzavano lettere al posto delle cifre.

Numero romano

Valore

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1 000

Il sistema di numerazione utilizzato dai Romani era additivo: • la lettera-cifra aveva sempre lo stesso valore; • il valore del numero si otteneva addizionando o sottraendo il valore delle lettere che lo componevano.

REGOLE DELLA SCRITTURA DEI NUMERI ROMANI • Le lettere I, X, C, M potevano essere scritte fino a tre volte.

MM = 2 000 III = 3 • Le lettere V, L, D, potevano essere scritte solo una volta.

• La lettera scritta alla sinistra di una di maggiore valore indicava una sottrazione.

XC = 90 (100 – 10) • La lettera scritta alla destra di una di valore maggiore indicava un'addizione.

CX = 110 (100 + 10) • La lettera I poteva essere sottratta solo da V o da X. IV = 4 IX = 9 • La lettera X poteva essere sottratta solo da L o da C. XL = 40 XC = 90 • La lettera C poteva essere sottratta solo da D o da M. CD = 400 CM = 900 • Un trattino sulla lettera moltiplicava il suo valore per 1 000.

– X = 10 000

104

Numeri

MAPPA RIASSUNTIVA NUMERI INTERI primi possono essere

relativi

possono essere

naturali vengono usati nelle

composti

operazioni

divisori tra loro

multipli che sono

addizioni

sottrazioni

divisioni

esprimono

che hanno

proprietĂ

significati differenti

possono essere raggruppate in

espressioni 105

moltiplicazioni

alcune possono essere rappresentate anche come

potenze

Numeri

MAPPA RIASSUNTIVA NUMERI RAZIONALI finiti

comprendono

numeri interi

illimitati

frazioni che possono essere

vedi mappa nella pagina a fianco

che si trasformano in

che possono indicare una

che godono della proprietĂ

numeri decimali

con cui si possono eseguire le

operazioni percentuale

invariantiva

complementari che possono essere

proprie

improprie

apparenti

decimali

generano numeri

equivalenti <1

>1

interi 106

decimali

SPAZIO E FIGURE La geometria è la parte della matematica che studia le proprietà delle figure sul piano e nello spazio.

Spazio e figure

FIGURE SUL PIANO

FIGURE NELLO SPAZIO

I TERMINI DELLA GEOMETRIA l lato P perimetro h altezza A area b base (o base minore) B base maggiore D diagonale maggiore d diagonale minore a apotema V volume 107

SPAZIO E FIGURE

LINEE â&#x20AC;˘ FIGURE PIANE â&#x20AC;˘ SOLIDI

Spazio e figure

Le linee hanno una sola dimensione: la lunghezza. lunghezza

Le linee chiuse delimitano le figure piane.

Le figure piane hanno due dimensioni: la lunghezza e la larghezza.

larghezza

lunghezza

Le figure piane sono le facce dei solidi.

Le figure solide hanno tre dimensioni: la lunghezza, la larghezza, lâ&#x20AC;&#x2122;altezza.

altezza

larghezza lunghezza

108

SPAZIO E FIGURE

LE LINEE Una linea è:

• aperta, quando non delimita uno spazio.

• semplice, quando non si sovrappone in alcun punto;

• intrecciata, quando si sovrappone in uno o più punti.

109

Spazio e figure

• chiusa, quando delimita uno spazio;

SPAZIO E FIGURE

LE LINEE

Spazio e figure

Una linea è:

• retta, quando mantiene sempre la stessa direzione.

• curva, quando cambia direzione senza formare angoli.

• spezzata, quando cambia direzione formando angoli; La linea spezzata è formata da tratti di linea retta.

Per definire una linea occorre conoscere se è: • aperta o chiusa; • semplice o intrecciata; • retta, curva, spezzata o mista. | ESEMPIO

Questa linea è aperta, spezzata, intrecciata.

110

• mista, quando è formata da tratti di linea retta e tratti di linea curva.

SPAZIO E FIGURE

RETTA • SEMIRETTA • SEGMENTO a

A •

A •

B •

Semiretta

Segmento

La retta non ha né un inizio né una fine. È infinita e viene, generalmente, indicata con dei puntini alle estremità.

La semiretta ha un inizio, chiamato punto di origine, ma non ha una fine.

Viene indicata con dei puntini ad una sola estremità.

Il segmento è una parte di retta o di semiretta: ha un inizio e una fine.

La retta viene indicata con una lettera minuscola.

Il punto di origine viene indicato con una lettera maiuscola.

I punti iniziale e finale del segmento vengono indicati con lettere maiuscole.

LA POSIZIONE Rette, semirette e segmenti mantengono sempre la stessa direzione.

Possono essere in posizione:

verticale

orizzontale 111

obliqua

Spazio e figure

Retta

SPAZIO E FIGURE

Spazio e figure

LA POSIZIONE RECIPROCA DELLE RETTE Due o più rette, rispetto alla loro posizione reciproca, possono essere: a Quando, anche se prolungate all’infinito, non si incontrano mai e mantengono sempre la stessa distanza.

b

Parallele a

A •

Quando si incontrano in un punto; incontrandosi formano 4 angoli.

b

Incidenti

a

A • b

Quando, incontrandosi, formano 4 angoli retti. Sono particolari tipi di rette incidenti.

Perpendicolari

112

SPAZIO E FIGURE

IL PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è un piano su cui sono state tracciate due rette perpendicolari.

• l’origine: il punto in cui si incontrano le due rette perpendicolari; • l’asse delle ascisse (asse delle x): è la retta orizzontale; • l’asse delle ordinate (asse delle y): è la retta verticale; • le coordinate: sono due numeri o lettere, il primo preso sull’asse delle ascisse e il secondo sull’asse delle ordinate, che identificano e distinguono i punti del piano. y 10

B (7, 9)

9 8 7 6 5 4 3

C (2, 5) A (4, 3)

2 1

O

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

113

x

Spazio e figure

Gli elementi del piano cartesiano sono:

SPAZIO E FIGURE

LE ISOMETRIE

Spazio e figure

Le isometrie sono spostamenti di figure sul piano che non modificano la forma e la grandezza delle figure spostate.

Sono trasformazioni isometriche: la simmetria, la rotazione, la traslazione.

SIMMETRIA

ROTAZIONE

TRASLAZIONE

La parola isometria deriva dal greco ísos (uguale) e métron (misura).

Perciò isometria significa “che mantiene la stessa misura”.

114

SPAZIO E FIGURE

LA SIMMETRIA La simmetria è una isometria che “ribalta” una figura rispetto a una retta, chiamata asse di simmetria.

A1

A

figura

figura simmetrica

I punti A e A1 hanno la stessa distanza dall’asse di simmetria.

L’asse di simmetria può essere:

• interno, se attraversa la figura e la divide in due parti simmetriche;

• esterno se si trova fuori dalla figura.

L’asse di simmetria (esterno o interno) può essere:

orizzontale

verticale 115

obliquo

Spazio e figure

asse di simmetria

SPAZIO E FIGURE

LA ROTAZIONE

Spazio e figure

La rotazione è una isometria che ruota una figura attorno a un punto.

In ogni rotazione sono presenti: • il centro di rotazione, cioè il punto attorno a cui avviene la rotazione; • il verso della rotazione: – orario, se avviene nello stesso verso in cui si spostano le lancette dell’orologio; – antiorario se si muove nel verso contrario; • l’ampiezza della rotazione, cioè la misura dell’angolo (angolo di rotazione) formato dalla rotazione della figura.

La rotazione è indicata da una freccia curva.

La punta indica il verso della rotazione.

verso della rotazione

figura

figura ruotata

ampiezza della rotazione centro di rotazione

| ESEMPIO La figura ha ruotato di 90 gradi con verso orario.

La figura ha ruotato di 90 gradi con verso antiorario.

116

SPAZIO E FIGURE

LA TRASLAZIONE La traslazione è una isometria che sposta una figura in linea retta per una certa distanza.

vettore di traslazione

figura traslata

figura Il vettore di traslazione indica lo spostamento della figura perciò unisce i due punti corrispondenti delle figure.

NON è il vettore di traslazione

È il vettore di traslazione

Tutte le linee che congiungono due punti corrispondenti della figura originaria e di quella traslata sono tra loro parallele.

117

Spazio e figure

La linea che identifica la traslazione è chiamata vettore di traslazione e indica: • la misura dello spostamento (la lunghezza del vettore); • la direzione dello spostamento (orizzontale, verticale, obliqua); • il verso dello spostamento (destra, sinistra; alto, basso).

SPAZIO E FIGURE

Spazio e figure

LE SIMILITUDINI Le similitudini sono trasformazioni non isometriche, in cui le figure sono ingrandite o ridotte, mantenendo sempre la stessa forma ma variando la grandezza.

Nelle similitudini, tutte le parti che compongono le figure sono ridotte o ingrandite per lo stesso numero di volte.

B

ingrandimento

A

figura originale

C

riduzione

Le tre figure sono simili perché hanno la stessa forma: • la figura B è ingrandita rispetto ad A; • la figura C è ridotta rispetto ad A. Il rapporto di similitudine indica quante volte una figura è stata ridotta o ingrandita.

Se il primo numero è maggiore del secondo la figura è stata ingrandita, se è minore è stata rimpicciolita.

Il rapporto di similitudine è 2 : 1 (si legge “due a uno”). Ogni misura della prima figura è stata ingrandita due volte.

Il rapporto di similitudine è 1 : 2 (si legge “uno a due”). Ogni misura della prima figura è stata ridotta alla metà.

118

SPAZIO E FIGURE

LA SCALA La scala è un rapporto di similitudine, cioè l’operazione che indica quante volte la figura è stata ridotta o ingrandita.

La riduzione in scala è molto usata per la realizzazione delle carte geografiche in cui il territorio deve essere rappresentato rimpicciolendolo molte volte.

scala 1 : 8000 Per calcolare la distanza reale tra Piazza degli Antinori e Piazza del Duomo si procede così: • si misura con il righello la distanza sulla carta: è di 5 cm; • si moltiplica la misura ottenuta per 8000 perché ogni centimetro sulla carta corrisponde a 8000 cm nella realtà.

5 × 8000 = 40 000 cm, cioè 4 km La distanza reale tra Piazza degli Antinori e Piazza del Duomo è di 4 km.

119

Spazio e figure

Quando una figura viene ingrandita o ridotta “in scala” si ottiene sempre una figura simile.

SPAZIO E FIGURE

GLI ANGOLI

Spazio e figure

L’angolo è la parte di piano compresa tra due semirette che hanno la stessa origine.

Gli elementi dell’angolo Le semirette sono i lati dell’angolo; il punto di origine si chiama vertice.

Di ogni angolo si può misurare l’ampiezza.

L’unità di misura dell’ampiezza è il grado, il cui simbolo è °. lato ampiezza vertice lato

COME SI INDICA UN ANGOLO B

O

C

^).

• Si scrive la lettera che indica il vertice con sopra un simbolo speciale ^ (O Oppure: • si scrive la lettera che indica il vertice con sopra il segno di angolo; questa lettera sta in mezzo ad altre due lettere che indicano due punti sulle semirette: ^C. BO 120

SPAZIO E FIGURE

TIPI DI ANGOLO Gli angoli si classificano in base alla loro ampiezza.

• Angolo acuto

O

• Angolo ottuso

O

O misura meno di 90°.

misura 90°.

• Angolo piatto

misura più di 90°.

• Angolo giro O

O misura 180°.

Un angolo può essere: • concavo:

misura 360°.

• convesso:

O O contiene il prolungamento dei propri lati; misura più di 180°;

NON contiene il prolungamento dei propri lati; misura meno di 180°.

Due angoli possono essere, fra loro: • complementari, se insieme formano un angolo retto;

• supplementari, se insieme formano un angolo piatto;

• esplementari, se insieme formano un angolo giro.

O

O

O

121

Spazio e figure

• Angolo retto

SPAZIO E FIGURE

MISURARE L’AMPIEZZA DEGLI ANGOLI

10 0 110 80 70

12 0

60 13

0 50

40

14

0 10 0 350 34 0 1 9 0 1 8 0 1 7 0 20 3 16 0 0 33 0 0 21 0 2 15 0 4 0 1 0 32 0 40 22

90 90

0

40

0

80 10 0

0

13

7 0

6 0 110 12 0

0 1 80 17 16 0 10 0 20

0 10 20 18 0 1 70 3 16 0 1 0 50

15 0 30

180°

10 0 1 1 8 0 7 0 12 0 0 6 0 13 50 0

170 1 80 190 2 00 6 0 10 0 3 50 3 40 210 1 3 15 0 2 0 30 22

30 32 0 14 0 0 0 4

50

80 90 7 0 10 0 9 0 6 0 1 1 0 0

5 0 12 1 30

14

360°

26 0 2 7 0 2 8 0 29 0 50 2 2 8 0 2 7 0 2 6 0 2 5 0 30 0 24 24 0 2 9 0 0 310 0 3 0 0 23 23 10 0 3

Per misurare un angolo si procede in questo modo:

10 0 110 80 70

12 0

60 13

0 50

14

0

40

90 90

0

80 10 0

14

50 0 13

7 0

6 0 110 12 0

40

• si fa coincidere il vertice dell’angolo con il centro del goniometro; • si fa coincidere uno dei lati con la linea che passa per zero; • si legge sul goniometro il numero di gradi indicato dall’altro lato.

0 1 80 17 16 0 10 0 20

0 10 20 18 0 1 70 3 16 0 1 0 50

15 0 30

I goniometri, generalmente, riportano i gradi in due versi (da 0° a 180° e da 180° a 0°).

Ciò permette di misurare angoli orientati in modo differente.

50

40

0

14

0

80 10 0

90 90

10 0 110 80 70

12 0

60 13

0 50

15 0 30

15 0 30

0 1 80 17 16 0 10 0 20

0 1 80 17 16 0 10 0 20

122

13

7 0

6 0 110 12 0

40

0 10 20 18 0 1 70 3 16 0 1 0 50

12 0

60 13

0 50

0

40

10 0 110 80 70

40

0

90 90

0

14

0

80 10 0

14

13

7 0

6 0 110 12 0

14

50

0 10 20 18 0 1 70 3 16 0 1 0 50

Spazio e figure

Per misurare l’ampiezza di un angolo si utilizza il goniometro.

SPAZIO E FIGURE

I POLIGONI I poligoni sono figure piane delimitate da una linea chiusa spezzata semplice.

poligono non poligono

GLI ELEMENTI DEL POLIGONO • Il contorno è la linea spezzata che chiude il poligono.

• Il lato è ogni segmento che forma la linea del contorno.

• La superficie è la parte di piano chiusa dal contorno.

• Il vertice è il punto in cui due lati si incontrano.

• L’angolo è lo spazio compreso tra due lati consecutivi.

• La diagonale è il segmento che unisce due vertici non consecutivi.

• L’altezza è il segmento che parte da un vertice e cade perpendicolarmente sul lato opposto al vertice.

• L’asse di simmetria è la retta che divide in due parti simmetriche il poligono.

Nei poligoni le altezze sono tante quanti sono i vertici (nel triangolo sono 3, nel quadrato sono 4…).

L’unico poligono che non ha diagonali è il triangolo.

123

Spazio e figure

Le figure piane che sono delimitate da linee curve o miste non sono poligoni.

SPAZIO E FIGURE

LE CARATTERISTICHE DEI POLIGONI

Spazio e figure

Un poligono può essere: • convesso, quando i prolungamenti dei suoi lati non lo attraversano;

• concavo, quando lo attraversano i prolungamenti di due o più lati.

Gli angoli dei poligoni convessi sono tutti minori di 180°.

Nei poligoni concavi almeno un angolo è maggiore di 180°.

Un poligono non può avere meno di 3 lati.

triangolo

Ogni poligono ha lo stesso numero di lati, angoli, vertici.

3 lati e 3 angoli

quadrilatero 4 lati e 4 angoli

I poligoni prendono il nome dal numero dei lati e degli angoli.

Molti nomi dei poligoni derivano dal greco. | ESEMPIO Pentagono penta (cinque) e gono (angolo) Esagono esa (sei) e gono (angolo) Ettagono epta (sette) e gono (angolo)

124

pentagono

5 lati e 5 angoli

esagono

6 lati e 6 angoli

ettagono

7 lati e 7 angoli

ottagono

8 lati e 8 angoli

SPAZIO E FIGURE

LA CLASSIFICAZIONE DEI POLIGONI Nome

Caratteristiche

Tutti i lati sono uguali.

Equiangolo

Tutti gli angoli sono uguali.

Regolare

Tutti i lati sono uguali, tutti gli angoli sono uguali. Ă&#x2C6; equiangolo e equilatero.

Irregolare

Gli angoli e i lati non sono tutti uguali.

125

Spazio e figure

Equilatero

Esempio

SPAZIO E FIGURE

IL PERIMETRO

Spazio e figure

Il perimetro è la misura del contorno di una figura piana.

Il perimetro di una figura piana si calcola sommando le lunghezze dei lati.

3 cm

Il perimetro si calcola utilizzando le misure di lunghezza.

7 cm

6 cm

Perimetro = l + l + l + l 10 cm

Perimetro = 3 + 6 + 10 + 7 = 26 cm

Se il poligono ha tutti i lati uguali (equilatero) si moltiplica la misura di un lato per il numero dei lati. | ESEMPIO

Perimetro = l × 5 Perimetro = 2 × 5 = 10 cm

2 cm

Due o più figure sono isoperimetriche se hanno lo stesso perimetro.

2 cm

3 cm 4 cm Perimetro = 3 × 4 = 12 cm

Perimetro = 4 + 2 + 4 + 2 = 12 cm

Due figure uguali sono sempre isoperimetriche, ma due figure isoperimetriche NON sono necessariamente uguali!

126

SPAZIO E FIGURE

L’AREA L’area è la misura della superficie di una figura piana.

Due figure sono equiestese quando hanno la stessa area. = 1 cm2

Area = 5 cm2

Area = 5 cm2

Due o più figure sono congruenti se hanno la stessa area, lo stesso perimetro, la stessa forma.

Se una figura viene scomposta in varie parti e queste sono utilizzate per comporre un’altra figura, quest’ultima sarà equiestesa alla prima.

127

Spazio e figure

L’area si calcola utilizzando le misure di superficie (km2, m2, dm2…).

SPAZIO E FIGURE

I TRIANGOLI

Spazio e figure

Il triangolo è un poligono con tre lati, tre angoli e tre vertici.

Gli elementi del triangolo vertice

lato

altezza base

La base è il lato su cui si appoggia il triangolo.

Il triangolo non ha diagonali. angolo

Il triangolo isoscele ha 1 solo asse di simmetria.

Il triangolo equilatero ha 3 assi di simmetria.

Il triangolo ha 3 altezze, tante quante sono i vertici.

• L’altezza può cadere all’esterno del triangolo, sul prolungamento della base.

• L’altezza può coincidere con uno dei lati.

GLI ANGOLI INTERNI DEL TRIANGOLO

La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.

128

SPAZIO E FIGURE

LA CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI In base ai lati: Nome

Lati

Triangolo

Tutti disuguali.

Isoscele

Due uguali e uno no.

Equilatero

Spazio e figure

Scaleno

Tutti uguali.

In base agli angoli: Nome

Angoli

Triangolo

Acutangolo

Tutti acuti.

Ottusangolo

Uno ottuso e gli altri due acuti.

Rettangolo

Uno retto, gli altri acuti.

Il triangolo equilatero può essere solo acutangolo. | ESEMPIO

triangolo acutangolo scaleno 129

triangolo rettangolo isoscele

SPAZIO E FIGURE

PERIMETRO E AREA DEI TRIANGOLI PERIMETRO Spazio e figure

Nome

Perimetro

Scaleno

Triangolo a

P=a+b+c

c b

Isoscele

l

l

P=l×2+b

b Equilatero

l

P=l×3

l l

AREA La superficie di un triangolo è uguale alla metà della superficie di un parallelogramma che ha la stessa base e la stessa altezza.

h

h b Area A = (b × h) : 2

Formule inverse b = (A × 2) : h h = (A × 2) : b 130

SPAZIO E FIGURE

I QUADRILATERI I quadrilateri sono poligoni con 4 lati, 4 angoli, 4 vertici e 2 diagonali.

QUADRILATERI trapezi parallelogrammi rettangoli

quadrati

rombi

I quadrilateri sono poligoni con 4 lati: • i trapezi hanno almeno una coppia di lati paralleli; • i parallelogrammi hanno due coppie di lati paralleli; • i rettangoli hanno due coppie di lati paralleli e tutti gli angoli retti; • i rombi hanno due coppie di lati paralleli e tutti i lati uguali; • i quadrati hanno due coppie di lati paralleli, tutti gli angoli retti e tutti i lati uguali.

131

Spazio e figure

I quadrilateri sono classificati in base alle caratteristiche dei lati e degli angoli.

SPAZIO E FIGURE

IL QUADRATO

Spazio e figure

Il quadrato è un poligono con 4 lati uguali e 4 angoli uguali e retti.

Gli elementi del quadrato Il quadrato è l’unico quadrilatero regolare. lati: 4 uguali e paralleli a due a due. angoli: 4 retti. diagonali: 2 uguali e perpendicolari tra loro; si tagliano a metà nel punto di incrocio.

assi di simmetria: 4.

Poiché nel quadrato tutti i lati sono uguali non si parla di base ed altezza, ma solo di lati.

AREA

PERIMETRO

Perimetro

Formula inversa

Area

P=l×4

l=P:4

A=l×l 132

SPAZIO E FIGURE

IL RETTANGOLO Il rettangolo è un poligono con 4 lati uguali a due a due e 4 angoli uguali e retti.

lati: 4 uguali e paralleli a due a due. angoli: 4 retti. diagonali: 2 uguali e NON perpendicolari tra loro; si tagliano a metà nel punto di incrocio.

assi di simmetria: 2.

AREA

PERIMETRO

Perimetro P=l+l+l+l P = (b + h) × 2 P = (b × 2) + (h × 2)

Formule inverse b = (P : 2) – h h = (P : 2) – b

133

Area

A=b×h

Formule inverse b=A:h h=A:b

Spazio e figure

Gli elementi del rettangolo

SPAZIO E FIGURE

IL ROMBO

Spazio e figure

Il rombo è un poligono con 4 lati uguali e 4 angoli uguali a due a due.

Gli elementi del rombo lati: 4 uguali e paralleli a due a due.

D d

angoli: 4; gli angoli opposti sono uguali a due a due (2 angoli ottusi e 2 angoli acuti). diagonali: 2 perpendicolari tra di loro, una

maggiore (D) e una minore (d); si tagliano a metà nel punto di incrocio.

assi di simmetria: 2, che coincidono con le due diagonali.

PERIMETRO

Perimetro

Formula inversa

P=l×4

l=P:4

AREA La superficie del rombo è uguale alla metà della superficie di un rettangolo che ha come base una diagonale del rombo e come altezza l’altra diagonale.

Area

D d

h

b

Formule inverse D = (A × 2) : d

A = (D × d) : 2

d = (A × 2) : D 134

SPAZIO E FIGURE

IL PARALLELOGRAMMA Il parallelogramma è un poligono con 4 lati uguali a due a due e 4 angoli uguali a due a due.

angoli: 4: gli angoli opposti sono uguali a due a due (2 angoli ottusi e 2 angoli acuti). diagonali: 2 diagonali diverse NON perpendicolari tra loro; si tagliano a metà nel punto di incrocio..

PERIMETRO

assi di simmetria: NON ha assi di simmetria.

Perimetro P=l+l+l+l P = (l di base + lato obliquo) × 2 P = (l di base × 2) + (lato obliquo × 2) Formule inverse Lato di base = (P : 2) – lato obliquo Lato obliquo = (P : 2) – lato di base

AREA

La superficie del parallelogramma è uguale alla superficie di un rettangolo che ha la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma.

Area

Formule inverse

A=b×h

b=A:h h=A:b

Il parallelogramma è chiamato anche romboide.

Nel parallelogramma l’altezza non coincide con il lato obliquo.

135

Spazio e figure

Gli elementi del parallelogramma lati: 4 uguali e paralleli a due a due.

SPAZIO E FIGURE

IL TRAPEZIO

Spazio e figure

Il trapezio è un poligono con 4 lati, di cui una coppia paralleli.

Gli elementi del trapezio

base minore

lato obliquo

lato obliquo altezza base maggiore

Trapezio

Nome

diagonali Caratteristiche

Scaleno

I lati e gli angoli sono disuguali.

2 diagonali, diverse fra loro.

Nessun asse di simmetria.

Isoscele

2 lati obliqui uguali.

Gli angoli uguali a due a due: 2 sono ottusi e 2 sono acuti.

Ha un asse di simmetria.

2 diagonali uguali.

Rettangolo

136

2 angoli retti.

2 diagonali, diverse fra loro.

Nessun asse di simmetria.

SPAZIO E FIGURE

PERIMETRO E AREA DEL TRAPEZIO PERIMETRO base minore

Spazio e figure

lato obliquo

lato obliquo

base maggiore

Formule inverse (valide solo per il trapezio isoscele)

Perimetro

P=l+l+l+l B = P – (lato obliquo × 2 + b) Il trapezio isoscele ha due lati uguali, b = P – (lato obliquo × 2 + B) perciò per calcolare il perimetro si può anche usare la formula: lato obliquo = [P – (b + B)] : 2 P = B + b + (lato obliquo × 2)

AREA La superficie del trapezio è uguale alla superficie di metà di un parallelogramma che ha come base la somma delle basi del trapezio e la stessa altezza del trapezio.

h

h B

b

Area

Formule inverse

A = (B + b) × h : 2

(B + b) = A × 2 : h h = A × 2 : (B + b)

137

SPAZIO E FIGURE

I POLIGONI REGOLARI

Spazio e figure

I poligoni regolari sono poligoni che hanno tutti i lati e tutti gli angoli uguali.

Gli elementi dei poligoni regolari lati: tutti uguali. angoli: tutti uguali.

diagonali: tutte uguali.

assi di simmetria: tanti quanti sono i lati. centro altezze: tante quanti sono i vertici.

I poligoni prendono il nome dal numero di lati (vedi pagina 124).

Il centro del poligono si trova nel punto di incontro degli assi di simmetria.

138

SPAZIO E FIGURE

L’APOTEMA L’apotema (a) di un poligono regolare è l’altezza di ciascuno dei triangoli uguali in cui è scomposto il poligono.

Spazio e figure

apotema (a)

La misura dell’apotema dipende da quella del lato.

Per calcolare la misura dell’apotema si moltiplica la misura del lato del poligono per un numero fisso.

Apotema

Formule inverse

a = l × numero fisso

l = a : numero fisso numero fisso = a : lato

Apotema

Numero fisso

Triangolo equilatero

0,288

Quadrato

0,5

Pentagono

0,688

Esagono

0,866

Ettagono

1,038

Ottagono

1,207

Ennagono

1,374

Decagono

1,538

139

SPAZIO E FIGURE

PERIMETRO E AREA DEI POLIGONI REGOLARI Spazio e figure

PERIMETRO

Perimetro

Formula inversa

P = l × numero dei lati

l = P : numero dei lati

AREA Se si raddoppiano i triangoli in cui è scomposto il poligono regolare si ottiene un parallelogramma che ha area doppia rispetto a quella del poligono. La base del parallelogramma è lunga quanto il perimetro del poligono e l’altezza è uguale all’apotema del poligono.

Area del poligono regolare

Formule inverse

A = (P × a) : 2

a = (A × 2) : P P = (A × 2) : a

a

h

140

SPAZIO E FIGURE

I POLIGONI IRREGOLARI I poligoni irregolari sono poligoni che non hanno tutti i lati e gli angoli uguali.

quadrilatero

pentagono

esagono

PERIMETRO Perimetro

Formula inversa

P = somma dei lati

l = P – somma degli altri lati

AREA Per calcolare l’area di un poligono irregolare si deve: • scomporre il poligono in poligoni di cui è possibile calcolare l’area (triangoli, rettangoli, quadrati, trapezi, parallelogrammi, poligoni regolari…); • calcolare l’area di ogni poligono ottenuto nella scomposizione; • sommare le aree. | ESEMPIO

In questo caso l’area del poligono corrisponde a: area del quadrato + area del parallelogramma + area del triangolo.

141

Spazio e figure

I poligoni irregolari prendono il nome dal numero di lati.

SPAZIO E FIGURE

LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO

Spazio e figure

La circonferenza (C) è una linea curva chiusa i cui punti hanno tutti la stessa distanza da un punto detto centro.

centro circonferenza

La circonferenza ha una sola dimensione: la lunghezza.

Il cerchio è la parte di piano delimitata da una circonferenza.

È una figura piana, ma non è un poligono. cerchio

Per tracciare le circonferenze si usa il compasso.

La punta metallica del compasso segna il centro, l’apertura del compasso corrisponde al raggio.

142

SPAZIO E FIGURE

GLI ELEMENTI DELLA CIRCONFERENZA corda

arco

diametro semicirconferenza

Elemento

Definizione

Raggio

Segmento che unisce un qualsiasi punto della circonferenza con il centro.

Diametro

Segmento che unisce due punti della circonferenza, passando per il centro; il diametro è lungo il doppio del raggio.

Corda Arco Semicirconferenza

Segmento che unisce due punti sulla circonferenza.

Parte di circonferenza.

Arco compreso tra gli estremi di un diametro.

Il diametro è la corda più lunga possibile in una circonferenza.

143

Spazio e figure

raggio

SPAZIO E FIGURE

GLI ELEMENTI DEL CERCHIO settore circolare

semicerchio

corona circolare

Spazio e figure

segmento circolare

Elemento

Definizione

Segmento circolare

Parte di cerchio racchiusa tra una corda e un arco.

Settore circolare

Parte di cerchio compresa tra due raggi e un arco.

Semicerchio

Corona circolare

Parte di cerchio delimitata da un diametro e da una semicirconferenza.

Parte di cerchio delimitata da due circonferenze che hanno lo stesso centro (concentriche).

144

SPAZIO E FIGURE

MISURARE LA CIRCONFERENZA La circonferenza si misura utilizzando le misure di lunghezza.

Spazio e figure

Poiché è una linea curva non può essere misurata direttamente utilizzando un righello o una squadra; deve essere prima “rettificata”, cioè si deve immaginare di tagliarla in un punto e allungarla in modo da formare un segmento.

DIAMETRO E CIRCONFERENZA Se si confrontano due o più circonferenze si nota che la più lunga è quella con il diametro maggiore.

La circonferenza aumenta man mano che aumenta il diametro.

La proporzione tra la lunghezza di un diametro e della sua circonferenza è sempre costante: ogni circonferenza è lunga un po’ più di 3 volte il suo diametro.

IL PI GRECO Il Pi greco è il rapporto tra la misura della circonferenza e il diametro. Esso è composto da un numero infinito di cifre (Circonferenza : diametro = 3,14…).

Il suo simbolo è π; il suo valore è approssimato, per difetto, a 3,14.

Elemento

Il raggio è la metà del diametro.

Formula

Circonferenza diametro × π (3,14) diametro

C : π (3,14)

Elemento Circonferenza diametro

145

Formula raggio × 2 × π (3,14) raggio × 6,28 C : 6,28

SPAZIO E FIGURE

Spazio e figure

L’AREA DEL CERCHIO

esagono 6 lati

decagono 10 lati

icosagono 20 lati

Si può immaginare il cerchio come un poligono con un numero infinito di lati.

La circonferenza coincide con il perimetro del poligono.

Il raggio del cerchio coincide con l’apotema del poligono.

Area di un poligono regolare

Area del cerchio

A=P×a:2

A=C×r:2

Formule inverse r = (A × 2): C C = (A × 2) : r

La formula per trovare l’area del cerchio può essere semplificata: A cerchio = C × r : 2 A cerchio = (r × 2 × 3,14 ) × r : 2 A cerchio = r × 2 × 3,14 × r : 2 Le operazioni × 2 e : 2 sono opposte, quindi si eliminano.

Formula semplificata: A cerchio = r × r × 3,14 oppure A cerchio = r2 × 3,14

146

SPAZIO E FIGURE

CALCOLARE IL PERIMETRO DELLE FIGURE PIANE Poligono

Perimetro

Formule inverse

l = P – somma degli altri lati

P=l+l+l

l = P – (somma degli altri due lati)

P=l×3

l=P:3

P = b + (lato obliquo × 2)

l obliquo = (P – b) : 2 b = P – (l obliquo × 2)

P=l×4

l=P:4

P = (b × 2) + (h × 2) oppure P = (b + h) × 2

b = (P : 2) – h h = (P : 2) – b

P = B + b + (lato obliquo x 2)

B = P – (l obliquo x 2 + b) b = P – (l obliquo x 2 + B) l obliquo = [P – (b + B)] : 2

P=l×4

l=P:4

P = (l di base + l obliquo) × 2 P = (l di base × 2) + (l obliquo × 2)

l di base = (P : 2) – l obliquo l obliquo = (P : 2) – l di base

P = l × numero dei lati

l = P : numero dei lati

Poligono irregolare

Triangolo scaleno

Triangolo equilatero

Triangolo isoscele

Quadrato

Rettangolo

Trapezio isoscele

Rombo

Parallelogramma

Poligono regolare

147

Spazio e figure

P=l+l+l+…

SPAZIO E FIGURE

CALCOLARE L’AREA DELLE FIGURE PIANE Spazio e figure

Figura piana

Area

Formule inverse b = (A × 2 ) : h h = (A × 2 ) : b

A = (b × h) : 2 Triangolo A=l×l Quadrato A=b×h

b=A:h h=A:b

A = (D × d) : 2

D = (A × 2) : d d = (A × 2) : D

A = (B + b) × h : 2

(B + b) = A × 2 : h h = A × 2 : (B + b)

A=b×h

b=A:h h=A:b

A = (P × a) : 2

a = (A × 2) : P P = (A × 2) : a

Rettangolo

Rombo

Trapezio

Parallelogramma

Poligono regolare

Cerchio

A=C×r:2 Formula semplificata A = r × r × 3,14

r = (A × 2) : C C = (A × 2) : r

148

SPAZIO E FIGURE

I SOLIDI I solidi sono figure geometriche che hanno tre dimensioni: lunghezza, larghezza, altezza.

larghezza lunghezza

I solidi geometrici si dividono in: • solidi di rotazione, cioè solidi che si ottengono con la rotazione di una figura piana.

• poliedri, cioè solidi chiusi da poligoni.

149

Spazio e figure

altezza

SPAZIO E FIGURE

GLI ELEMENTI DEI SOLIDI POLIEDRI Elemento

Spazio e figure

vertice spigolo

Faccia

altezza

faccia

Definizione Ciascuno dei poligoni che chiude il poliedro.

Base

Faccia su cui poggia il poliedro.

Spigolo

Lato comune a due facce.

Vertice

Punto in cui incontrano gli spigoli.

Altezza

Segmento che dalla faccia superiore cade perpendicolarmente alla base.

base

SOLIDI DI ROTAZIONE

Elemento altezza

Base

Altezza

Definizione Figura piana su cui poggia il solido.

Segmento che dalla faccia superiore cade perpendicolarmente alla base.

base

La superficie laterale è curva.

I solidi di rotazione NON hanno spigoli.

150

SPAZIO E FIGURE

LO SVILUPPO E L’AREA DEI SOLIDI Lo sviluppo di un solido è la figura piana formata da tutte le facce del solido.

Spazio e figure

L’area di un solido è la misura della superficie del suo sviluppo, cioè la misura della superficie delle sue facce.

L’area laterale è la misura della superficie di tutte le facce laterali.

L’area di base è la misura della superficie della faccia di base.

L’area totale è la misura della superficie di tutte le facce del solido: quelle laterali e quelle di base.

Area totale = area laterale + area delle basi 151

SPAZIO E FIGURE

IL VOLUME DEI SOLIDI

Spazio e figure

Il volume di un solido è la misura dello spazio che racchiude.

volume = 5 cubetti

volume = 8 cubetti

volume = 4 cubetti

Per misurare il volume si usano le misure cubiche:

1 cm3

• cm3 (centimetri cubi); • dm3 (decimetri cubi); • m3 (metri cubi)…

Per calcolare il volume di un solido si deve calcolare quanti cm3, dm3, m3… sono contenuti in esso.

Le misure cubiche sono scritte con l’esponente 3 perché indicano che le unità di misura di volume hanno tre dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza.

152

SPAZIO E FIGURE

I POLIEDRI I poliedri si suddividono in:

prisma a base pentagonale

parallelepipedo cubo • Piramidi: poliedri delimitati da un poligono e da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono. piramide a base quadrata

• Poliedri regolari: poliedri che hanno tutte le facce uguali.

dodecaedro

cubo

icosaedro 153

Spazio e figure

• Prismi: poliedri che hanno almeno due facce uguali e parallele.

SPAZIO E FIGURE

I PRISMI

Spazio e figure

I prismi sono poliedri che hanno almeno due facce uguali e parallele.

prisma a base triangolare

parallelepipedo prisma a base pentagonale

cubo

GLI ELEMENTI DEL PRISMA vertice spigolo

faccia laterale

altezza del prisma

faccia di base

Parallelepipedo e cubo sono prismi particolari.

154

SPAZIO E FIGURE

IL PARALLELEPIPEDO Il parallelepipedo è un prisma che ha come basi 2 rettangoli o 2 quadrati e come facce laterali 4 rettangoli.

Spazio e figure

parallelepipedo

sviluppo del parallelepipedo

L’AREA DEL PARALLELEPIPEDO Area

Formule inverse

Area laterale perimetro di base × altezza

Perimetro di base area laterale : altezza

Area totale area laterale + area delle due basi

Altezza area laterale : perimetro di base

IL VOLUME DEL PARALLELEPIPEDO Volume V = area di base × altezza Formule inverse Area di base = volume : altezza Altezza = volume : area di base 155

SPAZIO E FIGURE

IL CUBO

Spazio e figure

Il cubo è un prisma che ha come basi e facce laterali 6 quadrati uguali tra loro.

cubo sviluppo del cubo

L’AREA DEL CUBO Area Area laterale = l × l × 4 = (l2 × 4) Area totale = l × l × 6 = (l2 × 6)

IL VOLUME DEL CUBO Volume V = l × l × l = (l3)

156

SPAZIO E FIGURE

IL PRISMA A BASE… Il poligono di base identifica i diversi tipi di prisma.

prisma a base pentagonale

prisma a base esagonale

prisma a base ottagonale

Il prisma ha come basi 2 poligoni uguali e come facce laterali tanti rettangoli quanti sono i lati del poligono di base.

prisma a base pentagonale

sviluppo del prisma a base pentagonale

L’AREA DEL PRISMA prisma a base Area pentagonale Area laterale = perimetro di base × altezza

sviluppo del prisma Formule inverse a base pentagonale Perimetro di base = area laterale : altezza

Area totale = area laterale + area delle due basi

h = area laterale : perimetro di base

IL VOLUME DEL PRISMA Volume

Formule inverse

V = area di base × altezza

Area di base = volume : altezza h = volume : area di base 157

Spazio e figure

prisma a base triangolare

SPAZIO E FIGURE

LE PIRAMIDI

Spazio e figure

Le piramidi sono poliedri delimitati da un poligono di base e tanti triangoli quanti sono i lati del poligono.

Gli elementi della piramide

altezza della faccia

altezza della piramide

Elemento

Definizione Faccia su cui appoggia la

Faccia di base piramide.

Faccia laterale Ciascuno dei triangoli laterali.

Altezza della piramide

Segmento che dal vertice cade perpendicolarmente sulla base.

Altezza della faccia

Segmento che dal vertice cade perpendicolarmente sullo spigolo di base.

faccia laterale

faccia di base

I triangoli hanno un vertice comune, quello della piramide.

Il poligono di base identifica i diversi tipi di piramide.

piramide a base triangolare

piramide a base quadrata

piramide a base pentagonale

La piramide che ha come base un triangolo equilatero ha tutte le facce uguali. Questa piramide è un poliedro regolare e prende il nome di tetraedro.

158

SPAZIO E FIGURE

AREA E VOLUME DELLA PIRAMIDE Lo sviluppo della piramide varia in base al tipo di piramide.

Varia sia il poligono di base sia il numero dei triangoli che formano le facce laterali.

Spazio e figure

piramide a base quadrata sviluppo della piramide a base quadrata

L’AREA DELLA PIRAMIDE Area

Area laterale = (Perimetro di base × altezza della faccia) : 2 oppure area di una faccia × numero delle facce Area totale = area laterale + area della base

Formule Perimetro di base = (area laterale × 2 ) : altezza della faccia inverse Altezza della faccia = (area laterale × 2) : perimetro di base

IL VOLUME DELLA PIRAMIDE Il volume della piramide è uguale a 1 di un prisma 3 con base e altezza uguali a quelli della piramide.

Volume V = (area di base × altezza della piramide) : 3 Formule inverse area di base = (volume × 3) : altezza della piramide Altezza della piramide = (volume × 3) : area di base 159

SPAZIO E FIGURE

I POLIEDRI REGOLARI

Spazio e figure

I poliedri regolari sono poliedri delimitati da poligoni regolari tutti uguali tra loro.

Prendono il nome dal numero delle facce che li racchiudono.

Nome del poliedro

Figura

Sviluppo

Facce

Tetraedro

4 triangoli equilateri

Esaedro o cubo

6 quadrati

Ottaedro

8 triangoli equilateri

Dodecaedro

12 pentagoni regolari

Icosaedro

20 triangoli equilateri

Area Area totale = area di una faccia Ă&#x2014; numero delle facce 160

SPAZIO E FIGURE

I SOLIDI DI ROTAZIONE I solidi di rotazione sono solidi che si ottengono facendo ruotare una figura piana intorno ad un asse.

faccia di base

asse di rotazione

Nome del solido

Figura

Nome della figura piana

Cono

Triangolo rettangolo

Cilindro

Rettangolo

Sfera

Semicerchio

Tronco di cono

Trapezio

161

Figura che ruota

Spazio e figure

faccia laterale

altezza

SPAZIO E FIGURE

IL CILINDRO

Spazio e figure

Il cilindro è un solido di rotazione che ha come basi due cerchi e come faccia laterale un rettangolo “arrotolato”. È ottenuto dalla rotazione di un rettangolo.

Il cilindro ha la stessa altezza del rettangolo e il raggio del cerchio di base è uguale alla base del rettangolo che ruota.

cilindro

sviluppo del cilindro

L’AREA DEL CILINDRO Area

Formule inverse

Area laterale = circonferenza di base × altezza

Circonferenza di base = area laterale : altezza

Area totale = area laterale + area delle due basi

Altezza = area laterale : circonferenza di base

La base del rettangolo che forma la faccia laterale del cilindro è lunga quanto la circonferenza del cerchio.

IL VOLUME DEL CILINDRO Volume

Formule inverse

V = area di base × altezza

Area di base = volume : altezza Altezza = volume : area di base 162

SPAZIO E FIGURE

IL CONO Il cono è un solido di rotazione che ha come base un cerchio e come faccia laterale un settore circolare “arrotolato”.

Il cono ha come altezza un lato del triangolo, il raggio del cerchio di base è uguale a un altro lato del triangolo. cono sviluppo del cono

L’AREA DEL CONO Area

Formule inverse

Area laterale (circonferenza di base x raggio del settore circolare) : 2 Area totale = area laterale + area della base Circonferenza di base (area laterale × 2) : raggio del settore circolare Raggio del settore circolare (area laterale × 2) : circonferenza di base

L’arco del settore circolare che forma la faccia laterale del cono è lungo quanto la circonferenza del cerchio.

IL VOLUME DEL CONO Volume V = (Area di base × altezza del cono) : 3

Formule inverse Area di base = (volume × 3) : altezza del cono Altezza del cono = (volume × 3) : area di base 163

Spazio e figure

È ottenuto dalla rotazione di un triangolo rettangolo.

SPAZIO E FIGURE

AREA E VOLUME DEI SOLIDI

Spazio e figure

Solido

Area di una base Area laterale

Area totale

Volume

b × h del rettangolo di base

perimetro di base × h del rettangolo

area laterale + area delle due basi

area di base × h del parallelepipedo

l×l

l×l×4

l×l×6

l×l×l

area del poligono di base

perimetro di base × h del rettangolo

area laterale + area delle due basi

area di base × h del prisma

area del poligono di base

(perimetro di base × h del triangolo) : 2

area laterale + area di base × h area della base della piramide : 3

Parallelepipedo

Cubo

Prisma

Piramide area di una faccia × numero delle facce Poliedri regolari

Cilindro

Cono

area del circonferenza di area laterale + cerchio di base (r × 6,28) × area delle due base = r × r h del rettangolo basi × 3,14 area del cerchio di base = r × r × 3,14

area di base × h del cilindro

circonferenza di area laterale + (area di base × h base (r × 6,28) area della base del cono) : 3 × raggio del settore circolare

164

SPAZIO E FIGURE

IL PESO SPECIFICO Il peso specifico di un materiale è il peso, espresso in chilogrammi, di un decimetro cubo del materiale stesso.

1 dm3 di acqua 1 kg

1 dm3 di sabbia 1,9 kg

Peso specifico

Volume

Peso

peso : volume

peso : peso specifico

volume × peso specifico

Tabella dei pesi specifici di alcune sostanze.

Sostanza

Peso specifico

Acqua distillata

1

Sughero

0,24

Oro

19,3

Piombo

11,35

Olio

0,9

Benzina

0,75

165

Se il peso è espresso in:

il volume è espresso in:

g

cm3

kg

dm3

Mg

m3

Spazio e figure

1 dm3 di olio 0,9 kg

MAPPA RIASSUNTIVA

MAPPA RIASSUNTIVA

Spazio e figure

LA GEOMETRIA STUDIA:

le linee

le figure piane

i solidi

hanno una sola dimensione: la lunghezza

hanno due dimensioni: lunghezza e larghezza

hanno tre dimensioni: lunghezza, larghezza, altezza

si dividono in

poligoni

non poligoni

si dividono in

solidi di rotazione

poliedri

sono classificati in base a

lati

angoli

di essi si può calcolare

perimetro

di essi si può calcolare

area area

166

volume

MISURE La misura è la parte della matematica che confronta le grandezze utilizzando unità di misura convenzionali.

S i misurano grandezze come, per esempio, la lunghezza, la massa, la capacità, il tempo…

Per la misura di ogni grandezza occorre utilizzare un’adeguata unità di misura.

I simboli del S.I.: • devono essere scritti con l’iniziale minuscola; • non sono seguiti dal punto.

167

Misure

In quasi tutti i Paesi del mondo si utilizzano le unità di misura del Sistema Internazionale di unità di misura (abbreviato con S.I.).

In Italia si adotta il S.I. dal 1982.

MISURE

LE MISURE DI LUNGHEZZA Le misure di lunghezza permettono di conoscere l’altezza, la lunghezza, la larghezza, lo spessore di un elemento, la distanza tra due punti.

L’unità di misura di lunghezza è il metro (m). unità di misura

Misure

multipli

sottomultipli

chilometro

ettometro

decametro

metro

decimetro

centimetro

millimetro

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

1000 m

100 m

10 m

1m

0,1 m

0,01 m

0,001 m

STRUMENTI PER MISURARE LA LUNGHEZZA

righello metro avvolgibile

metro da falegname

contachilometri 168

MISURE

LE MISURE DI MASSA Le misure di massa permettono di conoscere quanto pesa un oggetto o un corpo.

L’unità di misura di massa è il chilogrammo (kg). unità di misura

multipli Megagrammo

Mg 1000 kg

h di kg

da di kg

sottomultipli

chilogrammo ettogrammo decagrammo grammo

h di kg da di kg

kg

hg

dag

g

100 kg

1 kg

0,1 kg

0,01 kg

0,001 kg

Misure

I sottomultipli del grammo sono usati per misurare piccole masse, come le pillole medicinali o minuscoli oggetti di oreficeria.

10 kg

sottomultipli del grammo grammo

decigrammo

centigrammo

milligrammo

g

dg

cg

mg

1g

0,1 g

0,01 g

0,001 g

STRUMENTI PER MISURARE LA MASSA

bilancia digitale

bilancia a dinamometro

bilancia a due piatti

iriagrammo, quintale e tonnellata corrispondono M rispettivamente a 10, 100, 1000 chilogrammi.

Non sono più usate nel Sistema Internazionale di unità di misura, però talvolta si incontrano nel linguaggio comune.

169

MISURE

Misure

PESO LORDO, PESO NETTO, TARA Peso lordo

Peso netto

Tara

Il peso lordo è la somma del peso del contenuto e di quello del contenitore.

Il peso netto è il peso del contenuto.

La tara è il peso del contenitore vuoto.

Peso lordo

=

Peso netto

+

Tara

Peso netto

=

Peso lordo

–

Tara

Tara

=

Peso lordo

–

Peso netto

170

MISURE

LE MISURE DI CAPACITÀ Le misure di capacità si usano per misurare la quantità di liquido contenuta in un recipiente.

L’unità di misura di capacità è il litro (l ). unità di misura

multipli

sottomultipli

decalitro

litro

decilitro

centilitro

millilitro

hl

dal

l

dl

cl

ml

100 l

10 l

1l

0,1 l

0,01 l

0,001 l

STRUMENTI PER MISURARE LA CAPACITÀ

171

Misure

ettolitro

MISURE

LE EQUIVALENZE Un’equivalenza è la trasformazione di una misura in un’altra misura che abbia identico valore, ma sia espressa con una unità di misura diversa. er fare un’equivalenza occorre capire il valore di ogni cifra, P partendo da quella indicata dalla marca.

COME TROVARE IL VALORE DI OGNI CIFRA 1. Individuare l’unità di misura indicata dalla marca.

Misure

La marca corrisponde sempre alla cifra delle unità.

• Nei numeri interi è la prima cifra a destra. | ESEMPIO 75 dm la cifra 5 indica i dm 46 876 m la cifra 6 indica i m

• Nei numeri decimali è la cifra che precede la virgola. | ESEMPIO 13,46 dal la cifra 3 indica i dal 0,476 l la cifra 0 indica i l

2. Trovare il valore delle altre cifre. | ESEMPIO 13,46 dal

la cifra 3 indica i dal

hl

dal

l

dl

1

3

4

6

cl

ml

In tutte le misure la marca segue il numero, tranne nelle misure di valore. | ESEMPIO

3,2 m

m 3,2

e 5,25

5,25 e 172

MISURE

ESEGUIRE LE EQUIVALENZE Per eseguire le equivalenze si possono utilizzare più sistemi.

1. Individuare il valore delle cifre.

• Si individua il valore di ogni cifra.

• Si mette la virgola immediatamente dopo la cifra che rappresenta la nuova marca. Se dopo tale cifra non ce ne sono altre, la virgola si omette. | ESEMPIO 1 4673 m = ......................... dam

hm

dam

m

4

6

7

3

dm

cm

mm

cm

mm

Misure

km

4673 m = 467,3 dam | ESEMPIO 2 3,467 hm = ......................... dm

km

hm

dam

m

dm

3

4

6

7

3,467 hm = 3467 dm • Se necessario, si aggiungono gli zeri segnaposto per arrivare a esprimere la cifra delle unità. | ESEMPIO 3 3,2 km = ......................... m

km

hm

dam

m

3

2

0

0

dm

3,2 km = 3200 m 173

cm

mm

MISURE

ESEGUIRE LE EQUIVALENZE 2. Moltiplicare o dividere.

Si osservano le due marche: 3 dm = 300 mm

300 mm = 3 dm

Misure

se la prima è maggiore, il numero andrà moltiplicato per 10, 100, 1000…

se la prima è minore, il numero andrà diviso per 10, 100, 1000…

er stabilire per quanto si deve moltiplicare o dividere, occorre P stabilire di quanti posti ci si deve spostare sulla tabella delle misure. si moltiplica km

hm

dam

m

dm

cm

mm

si divide • Se il posto è uno solo (es. m – dam), si divide o moltiplica × 10; • se i posti sono due (es. m – hm), si divide o moltiplica × 100; • se i posti sono tre (es. m – km), si divide o moltiplica × 1000 e così via… | ESEMPIO 14,27 m = ................. cm da metri a centimetri occorre spostare la virgola di due posti verso destra 14,27 × 100 = 1427 14,27 m = 1427 cm

174

MISURE

LE MISURE DI SUPERFICIE Le misure di superficie si usano per misurare l’area delle figure piane.

L ’unità di misura della superficie è il metro quadrato (m2), cioè un quadrato con il lato di un metro.

Ogni marca si riferisce alla cifra delle unità e a quella delle decine. unità di misura

multipli

sottomultipli

ettometro quadrato

decametro quadrato

metro quadrato

decimetro quadrato

centimetro quadrato

millimetro quadrato

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

da

u

da

1 000000 m2

u

da

10 000 m2

u

da

100 m2

u

da

1 m2

u

da

0,01 m2

u

da

0,0001 m2

u

0,000001 m2

gni multiplo o sottomultiplo del metro quadrato è 100 volte più piccolo O di quello che lo precede e 100 volte più grande di quello che lo segue.

Per eseguire le equivalenze tra misure quadrate si seguono le regole delle pagine 173 e 174, ma occorre tenere presente che, passando da un’unità di misura all’altra, occorre moltiplicare o dividere per 100, anziché per 10.

LE MISURE AGRARIE Le misure agrarie si usano per misurare le superfici dei terreni agricoli. ettaro

ara

centiara

(corrisponde all’ettometro quadrato)

(corrisponde al decametro quadrato)

(corrisponde al metro quadrato)

ha

a

ca

da

u 100 a

da

u 1a 175

da

u 0,01 a

Misure

Chilometro quadrato

MISURE

IL VOLUME Le misure di volume si usano per misurare lo spazio occupato dai solidi.

L’unità di misura di volume è il metro cubo (m3), cioè un cubo con il lato di un metro.

Ogni marca si riferisce alla cifra delle unità, a quella delle decine e a quella delle centinaia. unità di misura

Misure

multipli

sottomultipli

chilometro cubo

ettometro cubo

decametro cubo

metro cubo

decimetro cubo

centimetro cubo

millimetro cubo

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

h

da

u

h

da

u

h

da

u

h

da

u

h

da

u

h

da

u

h

da

u

Ogni multiplo o sottomultiplo del metro cubo è 1 000 volte più piccolo di quello che lo precede e 1 000 volte più grande di quello che lo segue.

Per eseguire le equivalenze tra misure di volume si seguono le regole delle pagine 173 e 174, ma occorre tenere presente che, passando da un'unità di misura all'altra, occorre moltiplicare o dividere per 1 000, anziché per 10.

L’unità di misura del volume ha esponente 3 perché il volume comprende 3 dimensioni.

176

MISURE

LE MISURE DI TEMPO Le misure di tempo permettono di conoscere la durata degli eventi.

L’unità di misura del tempo è il secondo (s). unità di misura

multipli giorno

ora

minuto

secondo

d

h

min

s

24 h

60 min

60 s

1s

sottomultipli decimo di secondo

centesimo di secondo

millesimo di secondo

0,1 s

0,01 s

0,001 s

Misure

I MULTIPLI DEL GIORNO E DELL’ANNO giorno ×7

×5

lustro

settimana

× 10

decennio

× 100

secolo

× 1000

millennio

30 mese × 12

anno

×4

quadrimestre

×3

trimestre

177

MISURE

LE OPERAZIONI CON LE MISURE DI TEMPO Per operare con le misure di tempo si usa: • la base 10 per i sottomultipli del secondo (decimi, centesimi e millesimi di secondo); • la base 60 per le ore, i minuti e i secondi: il cambio non avverrà a 10, ma a 60.

ADDIZIONE 7 h 45 min + 1 h 35 m = 9 h 20 min

Misure

h min

h min

7 45 +

7 45 +

1

1 35 =

1 35 =

8 80

9 20

1 h e 20 min

SOTTRAZIONE 4 h 10 min – 1 h 20 min = 2 h 50 min h min

10 – 20 non si può fare: perciò è necessario 3 60 4 10 – trasformare 1 h in 60 min da aggiungere ai 10 già 1 20 =

presenti.

h min

2 50

3 70 – 1 20 =

Le misure di tempo non seguono il sistema decimale, dunque per scriverle non si usa la virgola, ma una delle seguenti possibilità: 1 h 30 m • si scrivono le marche • si lascia uno spazio tra le ore e minuti 1 30 • si mette un punto o due punti tra le ore e i minuti 1.30 oppure 1:30 • si indicano i minuti con un trattino come esponente e i secondi con due trattini come esponente: 5 minuti 12 secondi 5' 12".

178

MISURE

IL TEMPO, LA VELOCITÀ, LO SPAZIO La velocità è una grandezza che indica quanto si è rapidi a percorrere una distanza. Velocità, spazio percorso e tempo impiegato sono collegati tra loro.

Si calcolano in questo modo: Velocità

=

Spazio

:

Tempo

Spazio

=

Velocità

×

Misure

| ESEMPIO Se un ciclista percorre 45 km in 3 ore, la velocità è di 15 km all’ora.

(45 : 3 = 15)

Tempo

| ESEMPIO Un’automobile che viaggia a 100 km all’ora per 2 ore percorre 200 km.

(100 × 2 = 200)

Tempo

=

Spazio

:

Velocità

| ESEMPIO Un treno che percorre 450 km alla velocità di 150 km orari impiega 3 ore.

(450 : 150 = 3)

179

MISURE

L’OROLOGIO L’orologio è lo strumento per misurare il tempo.

Nell’orologio digitale le ore e i minuti sono indicati dei numeri sul display.

Questo orologio segna le 8 e 10.

Misure

08:10 Nell’orologio analogico l’orario è indicato dalla posizione delle lancette.

Lancetta corta indica le ore

Lancetta lunga indica i minuti

10

11 12 1 2

9 8

3 4 7

6

5 Lancetta sottile indica i secondi

180

MISURE

LEGGERE L’OROLOGIO ANALOGICO La lancetta corta dell’orologio indica le ore.

11 12 24 1 13

102223

In un giorno la lancetta corta compie 2 giri completi.

3

15 17

16

4

5

Misure

9 21 20 8 19 18 7 6

Le ore sono indicate dalle tacche lunghe sul quadrante.

2

14

La lancetta lunga dell’orologio indica i minuti.

8 59 0 1 2 3 57 5 4 5 56 6 55 4 7 3 5

5

44 45 46 47 48 42 43 49 5 0 5 1 5 2

9

24

1

13

14

21

1 0 4 9 4 3 8 3

8

2

3

15

20

16 19

7

18

6

17

5

4

6 5 2 4 2 2 23

29 30 31 32 33 27 28 3 4

35 36 37

Talvolta le tacche corte non sono segnate sul quadrante. Tra una tacca lunga e l’altra ci sono 5 minuti.

10 22

23

12

13 14 15 16 17 18 19

2 0 2 1 2 2

Le tacche corte sul quadrante indicano i minuti.

11

2 11 1 10 9 8

In un giorno la lancetta lunga compie 24 giri completi.

La lancetta sottile dei secondi compie un giro completo del quadrante in un minuto. Viene utilizzata per misurare tempi molto brevi, ad esempio nelle gare di velocità.

181

MISURE

LE MISURE DI VALORE L’euro è l’unità di misura del sistema monetario in uso in molti Stati europei e in Italia dal 1° gennaio 2002.

Il suo simbolo è € (glifo) e va scritto davanti al numero.

Un euro è diviso in 100 centesimi.

Misure

BANCONOTE

€ 5

€ 10

€ 20

€ 50

€ 100

€ 200

€ 500

182

MISURE

ok!

Quando i prezzi sono espressi sotto forma di numeri decimali, deve essere indicata sia la cifra dei decimi sia quella dei centesimi.

0

€ 4,5

no!

€ 4,5 MONETE

2 centesimi (€ 0,02)

5 centesimi (€ 0,05)

10 centesimi (€ 0,10)

20 centesimi (€ 0,20)

50 centesimi (€ 0,50)

1 euro (€ 1,00)

2 euro (€ 2,00)

183

Misure

1 centesimo (€ 0,01)

MISURE

LE VALUTE ESTERE

Misure

In molti Paesi europei è in uso l’euro; ma altri stati utilizzano differenti valute.

Stato

Valuta utilizzata

Tasso di cambio al 07.03.2014

U.S.A

Dollaro statunitense

1,39

Cina

Renminbi (Yaun)

8,49

Giappone

Yen

143,46

India

Rupia

84,7

Gran Bretagna

Sterlina inglese

0,82

Russia

Rublo

50,46

Svizzera

Franco svizzero

1,22

Egitto

Lira egiziana

9,66

Il tasso di cambio indica a quanto corrisponde un euro nella moneta o valuta estera.

Il tasso di cambio viene stabilito giornalmente dalle banche. | ESEMPIO 1 euro = 1,31 dollari statunitensi 1 euro = 78,11 rupie

Per cambiare gli euro nelle valute estere si moltiplica il numero degli euro per il tasso di cambio.

Per cambiare la valuta estera in euro bisogna dividere la valuta estera per il tasso di cambio.

× tasso di cambio euro

valuta estera : tasso di cambio

184

MISURE

COSTO UNITARIO E COSTO TOTALE Il costo unitario è il prezzo di un solo elemento acquistato.

Il costo totale (o complessivo) è il prezzo di tutti gli elementi acquistati.

Costo totale

=

Costo unitario

×

Numero oggetti

:

Numero oggetti

| ESEMPIO costo unitario € 0,80 numero oggetti 5 costo totale = € 0,80 × 5 = € 4,00

Misure

Costo unitario

=

Costo totale

| ESEMPIO costo totale € 45,00 numero oggetti 3 costo unitario = € 45,00 : 3 = € 15,00

Numero oggetti

=

Costo totale

| ESEMPIO costo totale € 18,00 costo unitario € 3,00 numero oggetti = € 18,00 : € 3,00 = 6

185

:

Costo unitario

MISURE

LA COMPRAVENDITA Per capire il meccanismo della compravendita bisogna immaginare di essere un negoziante.

Il ricavo è il denaro che il negoziante incassa dalla vendita dei prodotti.

Misure

La spesa indica quanto il negoziante ha pagato per acquistare le merci dal grossista.

Se il negoziante ha venduto la merce a un prezzo superiore alla spesa, ha ottenuto un guadagno.

Se il negoziante ha venduto la merce a un prezzo inferiore alla spesa, ha subito una perdita.

Ricavo

=

Spesa

+

Guadagno

Spesa

=

Ricavo

–

Guadagno

Guadagno

=

Ricavo

–

Spesa

Perdita

=

Spesa

–

Ricavo

Nella compravendita vi sono sempre una spesa e un ricavo. Non possono, invece, esserci contemporaneamente perdita e guadagno.

186

MISURE

TABELLA RIASSUNTIVA DELLE UNITÀ DI MISURA Unità di misura

Marca

lunghezza

metro

m

capacità

litro

l

massa

chilogrammo

kg

superficie

metro quadrato

m2

volume

metro cubo

m3

valore

euro

€

tempo

secondo

s

Misure

Grandezza da misurare

Prefisso

Abbreviazione

Valore

Valore in cifre

giga

G

miliardo

1 000 000 000

mega

M

milione

1 000 000

kilo

k

mille

1 000

etto

h

cento

100

deca

da

dieci

10

u

uno

1

deci

d

decimo

0,1

centi

c

centesimo

0,01

milli

m

millesimo

0,001

micro

m

milionesimo

0,000001

nano

n

miliardesimo

0,000000001

187

MAPPA RIASSUNTIVA

MAPPA RIASSUNTIVA MISURARE significa

trovare quante volte un’unità campione è contenuta nella grandezza da misurare

si esprime con

un numero accompagnato da un’unità di misura

necessita di

Misure

unità di misura

che sono di

che dipendono

dalla grandezza da misurare

che può essere trasformato in un altro numero accompagnato da un’altra marca attraverso una

equivalenza

lunghezza superficie volume massa capacità tempo valore 188

PROBLEMI “Risolvere problemi significa trovare una strada per uscire da una difficoltà, una strada per aggirare un ostacolo, per raggiungere uno scopo che non sia immediatamente raggiungibile”.

George Polya

Il problema matematico è un testo che illustra una situazione che deve essere risolta.

Nel testo di un problema si trovano: • i dati; • la domanda (o le domande).

Per risolvere il problema occorre utilizzare: • le informazioni del testo che generalmente sono espresse attraverso dei numeri; • eseguire le operazioni necessarie per rispondere alla/e domanda/e.

• comprendere la situazione; • rappresentarla mentalmente; • pianificare la successione delle operazioni necessarie per giungere alla soluzione; • valutare se il risultato raggiunto è coerente con i dati del problema.

207

Problemi

Per risolvere il problema è necessario:

PROBLEMI

GLI ELEMENTI DEL PROBLEMA: IL TESTO E LA DOMANDA TESTO Il testo: • dà le informazioni (dati); • pone la domanda (o le domande).

LA DOMANDA La domanda può essere formulata: • con una frase che termina con un punto interrogativo; • con una indicazione (Trova… Si vuole sapere…).

La domanda può essere:

Problemi

• esplicita; • nascosta.

La domanda nascosta non è chiaramente espressa o scritta nel testo, ma deve essere intuita per poter giungere alla soluzione del problema. | ESEMPIO Francesca al tiro al bersaglio colpisce 5 barattoli rossi e 4 barattoli blu.

I barattoli erano 12.

Quanti barattoli sono rimasti in piedi?

Domanda esplicita: Quanti barattoli sono rimasti in piedi?

Domanda nascosta: Quanti barattoli sono stati colpiti da Francesca?

208

PROBLEMI

GLI ELEMENTI DEL PROBLEMA: I DATI I dati sono le informazioni numeriche fornite dal testo del problema.

Dati utili

Sono i dati necessari per risolvere il problema.

Dati inutili

Sono dati forniti dal testo del problema, ma che non sono necessari per la risoluzione del problema.

Dati espliciti

Sono i dati numerici indicati chiaramente nel testo.

Dati impliciti

Sono i dati non espressi in maniera chiara, ma “nascosti” in parole significative. Ad esempio: una settimana, un paio, una dozzina, la metà…

Talvolta si può trovare un problema con dati mancanti, cioè non forniti e non ricavabili dal testo.

In tal caso il problema NON può essere risolto.

| ESEMPIO • Dati utili e dati inutili Ieri 4 pirati hanno caricato sulla nave 2 scrigni con le monete e 3 scrigni con pietre preziose.

Quanti scrigni hanno caricato i pirati?

• Dati mancanti Il capitano ha distribuito 5 monete a ciascun pirata.

Quanti dobloni ha distribuito in tutto?

Dato mancante: il numero dei pirati.

209

Problemi

• Dati espliciti e dati impliciti Ieri sera il cuoco ha cucinato un paio di uova per ognuno dei 15 componenti dell’equipaggio.

Quante uova ha cucinato in tutto?

PROBLEMI

PAROLE PER INDIVIDUARE LE OPERAZIONI Il modo in cui sono poste le domande aiuta a individuare l’operazione da eseguire.

Problemi

Domande

Operazione

Quanto in tutto?

Quanto complessivamente?

Qual è la spesa (guadagno, ricavo…) totale?

Qual è la lunghezza (peso, capacità…) totale?

Addizione

Quanto rimane?

Quanto manca?

Quanto in meno?

Quanto in più?

Qual è la differenza?

Qual è il resto?

Sottrazione

Quanto in tutto?

Quanto complessivamente?

Qual è la spesa (guadagno, ricavo…) totale?

Qual è la lunghezza (peso, capacità…) totale?

Moltiplicazione

Quanto ciascuno?

Quanti in ogni gruppo?

Quanti gruppi si possono fare?

Qual è la spesa (guadagno, ricavo…) unitaria?

Divisione

210

PROBLEMI

IL PROCEDIMENTO RISOLUTIVO La soluzione del problema viene raggiunta attraverso una serie di operazioni aritmetiche.

Le operazioni possono essere indicate: • in successione; • in un diagramma; • con un’espressione aritmetica. | ESEMPIO Un ristoratore ha comperato 8 scatole di bicchieri da vino, ognuna delle quali ne contiene 12, e 7 scatole di bicchieri da acqua, ciascuna delle quali ne contiene 6.

Quanti bicchieri ha comperato in tutto?

Successione di operazioni 12 × 8 = 96 6 × 7 = 42 96 + 42 = 138 Diagramma 12

8

6

96

×

+ 138

Espressione (12 × 8) + (6 × 7) = 138 211

42

Problemi

×

7

PROBLEMI

LE TAPPE PER RISOLVERE IL PROBLEMA Per risolvere un problema si deve:

Leggere attentamente il testo

Rappresentare mentalmente la situazione

riflettere sulla/e domanda/e e comprendere che cosa viene richiesto

individuare i dati utili (impliciti ed espliciti)

Problemi

individuare il percorso per risolvere il problema

eseguire le operazioni

scrivere la/le risposta/e

212

VALORE POSIZIONALE DELLE CIFRE: UNITÀ SEMPLICI E MIGLIAIA Numero: 340 296 migliaia (k)

unità semplici

hk

dak

uk

h

da

u

3

4

0

2

9

6

GRIGLIE PER INSERIRE I NUMERI Numero ................................ hk

dak

uk

h

da

u

uk

h

da

u

uk

h

da

u

uk

h

da

u

Numero ................................ hk

dak

Numero ................................ hk

dak

hk

dak

213

Strumenti compensativi

Numero ................................

STRUMENTI COMPENSATIVI

VALORE POSIZIONALE DELLE CIFRE: UNITÀ SEMPLICI, MIGLIAIA, MILIONI, MILIARDI unità semplici h

da

u

100

10

1

migliaia (k) hk

dak

uk

100 000

10 000

1 000

milioni (M) hM

daM

uM

100 000 000

10 000 000

1 000 000

miliardi (G) daG

uG

100 000 000 000

10 000 000 000

1 000 000 000

Strumenti compensativi

hG

214

STRUMENTI COMPENSATIVI

GRIGLIE PER INSERIRE I NUMERI INTERI Numero ................................ hG

daG

uG

hM daM uM

hk

dak

uk

h

da

u

hk

dak

uk

h

da

u

hk

dak

uk

h

da

u

hk

dak

uk

h

da

u

hk

dak

uk

h

da

u

Numero ................................ hG

daG

uG

hM daM uM

Numero ................................ hG

daG

uG

hM daM uM

Numero ................................ hG

daG

uG

hM daM uM

hG

daG

uG

hM daM uM

215

Strumenti compensativi

Numero ................................

STRUMENTI COMPENSATIVI

ADDIZIONI CON DUE ADDENDI NUMERI INTERI h

h

Strumenti compensativi

h

h

da

da

da

da

u

h

da

u

h

da

u

+

+

+

=

=

=

u

h

da

u

h

da

u

+

+

+

=

=

=

u

h

da

u

h

da

u

+

+

+

=

=

=

u

h

da

u

h

da

u

+

+

+

=

=

=

216

STRUMENTI COMPENSATIVI

ADDIZIONI CON DUE ADDENDI NUMERI INTERI k

k

k

h

h

h

da

da

da

da

u

k

h

da

u

k

h

da

u

+

+

+

=

=

=

u

k

h

da

u

k

h

da

u

+

+

+

=

=

=

u

k

h

da

u

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h

da

u

+

+

+

=

=

=

u

k

h

da

u

k

h

da

u

+

+

+

=

=

=

217

Strumenti compensativi

k

h

STRUMENTI COMPENSATIVI

ADDIZIONI CON DUE ADDENDI NUMERI INTERI hk dak

hk dak

Strumenti compensativi

hk dak

hk dak

k

k

k

k

h

h

h

h

da

da

da

da

u

hk dak

k

h

da

u

+

+

=

=

u

hk dak

k

h

da

u

+

+

=

=

u

hk dak

k

h

da

u

+

+

=

=

u

hk dak

k

h

da

u

+

+

=

=

218

STRUMENTI COMPENSATIVI

ADDIZIONI CON TRE ADDENDI NUMERI INTERI h

h

h

da

da

da

u

h

da

u

h

da

u

+

+

+

+

+

+

=

=

=

u

h

da

u

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da

u

+

+

+

+

+

+

=

=

=

u

h

da

u

h

da

u

+

+

+

+

+

=

=

=

219

Strumenti compensativi

+

STRUMENTI COMPENSATIVI

ADDIZIONI CON TRE ADDENDI NUMERI INTERI hk dak

hk dak

Strumenti compensativi

hk dak

k

k

k

h

h

h

da

da

da

u

hk dak

k

h

da

u

+

+

+

+

=

=

u

hk dak

k

h

da

u

+

+

+

+

=

=

u

hk dak

k

h

da

u

+

+

+

+

=

=

220

STRUMENTI COMPENSATIVI

SOTTRAZIONI CON I NUMERI INTERI h

h

h

da

da

da

u

h

da

u

h

da

u

–

–

–

=

=

=

u

h

da

u

h

da

u

–

–

–

=

=

=

u

h

da

u

h

da

u

–

–

–

=

=

=

u

h

da

u

h

da

u

–

–

–

=

=

=

221

Strumenti compensativi

h

da

STRUMENTI COMPENSATIVI

SOTTRAZIONI CON I NUMERI INTERI k

k

Strumenti compensativi

k

k

h

h

h

h

da

da

da

da

u

k

h

da

u

k

h

da

u

–

–

–

=

=

=

u

k

h

da

u

k

h

da

u

–

–

–

=

=

=

u

k

h

da

u

k

h

da

u

–

–

–

=

=

=

u

k

h

da

u

k

h

da

u

–

–

–

=

=

=

222

STRUMENTI COMPENSATIVI

SOTTRAZIONI CON I NUMERI INTERI hk dak

hk dak

hk dak

k

k

k

h

h

h

h

da

da

da

da

u

hk dak

k

h

da

u

–

–

=

=

u

hk dak

k

h

da

u

–

–

=

=

u

hk dak

k

h

da

u

–

–

=

=

u

hk dak

k

h

da

u

–

–

=

=

223

Strumenti compensativi

hk dak

k

STRUMENTI COMPENSATIVI

MOLTIPLICAZIONI CON IL MOLTIPLICATORE A UNA CIFRA NUMERI INTERI h

h

Strumenti compensativi

h

h

da

da

da

da

u

h

da

u

h

da

u

×

×

×

=

=

=

u

h

da

u

h

da

u

×

×

×

=

=

=

u

h

da

u

h

da

u

×

×

×

=

=

=

u

h

da

u

h

da

u

×

×

×

=

=

=

224

STRUMENTI COMPENSATIVI

MOLTIPLICAZIONI CON IL MOLTIPLICATORE A DUE CIFRE NUMERI INTERI h

h

h

da

da

da

u

h

da

u

h

da

u

×

×

×

=

=

=

u

h

da

u

h

da

u

×

×

×

=

=

=

u

h

da

u

h

da

u

×

×

=

=

=

225

Strumenti compensativi

×

STRUMENTI COMPENSATIVI

DIVISIONI CON IL DIVISORE A UNA CIFRA NUMERI INTERI h da u

h da u

h da u

h da u

h da u

h da u

h da u

h da u

Strumenti compensativi

h da u

226

STRUMENTI COMPENSATIVI

DIVISIONI CON IL DIVISORE A UNA CIFRA NUMERI INTERI k

h da u

k

h da u

k

h da u

k

h da u

k

h da u

k

h da u

Strumenti compensativi

227

STRUMENTI COMPENSATIVI

DIVISIONI CON IL DIVISORE A DUE CIFRE NUMERI INTERI h da u

h da u

h da u

h da u

h da u

h da u

h da u

h da u

Strumenti compensativi

h da u

228

STRUMENTI COMPENSATIVI

DIVISIONI CON IL DIVISORE A DUE CIFRE NUMERI INTERI k

h da u

k

h da u

k

h da u

k

h da u

k

h da u

k

h da u

Strumenti compensativi

229

STRUMENTI COMPENSATIVI

GRIGLIA PER INSERIRE I NUMERI DECIMALI Numero ................................ k

h

da

u

Numero ................................ d

c

m

k

h

da

u

,

h

da

u

d

c

m

k

h

da

u

da

u

d

c

m

da

u

k

h

da

u

d

c

m

Strumenti compensativi

da

u

c

m

k

h

da

u

d

c

m

d

c

m

,

Numero ................................ h

d

Numero ................................

,

k

m

,

Numero ................................ h

c

Numero ................................

,

k

d

,

Numero ................................ h

m

Numero ................................

,

k

c

,

Numero ................................ k

d

Numero ................................ d

c

m

k

,

h

da

u

,

230

STRUMENTI COMPENSATIVI

ADDIZIONI CON DUE ADDENDI NUMERI DECIMALI k

h da u

d

c

m

k

h da u

,

+

,

=

,

=

h da u

,

d

c

m

k

h da u

d

c

m

,

+

,

+

,

=

,

=

h da u

,

d

c

m

k

h da u

d

c

m

,

+

,

+

,

=

,

=

,

h da u

,

d

c

m

k

h da u

d

c

m

,

+

,

+

,

=

,

=

,

, 231

Strumenti compensativi

k

m

+

,

k

c

, ,

k

d

STRUMENTI COMPENSATIVI

ADDIZIONI CON TRE ADDENDI NUMERI DECIMALI k

h da u

d

c

m

k

h da u

,

+

,

+

,

+

,

=

,

=

h da u

, d

c

k

m

h da u

Strumenti compensativi

d

c

m

,

+

,

+

,

+

,

+

,

=

,

=

h da u

, d

c

k

m

h da u

d

c

m

,

+

,

+

,

+

,

+

,

=

,

=

, k

m

+

, k

c

,

, k

d

h da u

, d

c

m

k

h da u

d

c

m

,

+

,

+

,

+

,

+

,

=

,

=

,

, 232

STRUMENTI COMPENSATIVI

SOTTRAZIONI CON I NUMERI DECIMALI k

h da u

d

c

m

k

h da u

,

–

,

=

,

=

h da u

,

d

c

m

k

h da u

d

c

m

,

–

,

–

,

=

,

=

h da u

,

d

c

m

k

h da u

d

c

m

,

–

,

–

,

=

,

=

,

h da u

,

d

c

m

k

h da u

d

c

m

,

–

,

–

,

=

,

=

,

, 233

Strumenti compensativi

k

m

–

,

k

c

, ,

k

d

194,7 dm

Misura

Strumenti compensativi

km

hm 1

dam 9

m 4

dm 7

cm

mm 1,947 dam

Equivalenza

STRUMENTI COMPENSATIVI

SCOMPOSIZIONE ED EQUIVALENZE: MISURE DI LUNGHEZZA

234

STRUMENTI COMPENSATIVI

25 000 g 0 0 0 5 2 25 kg

Misura

Strumenti compensativi

Mg h di kg da di kg

kg

hg

dag

g

dg

cg

mg

Equivalenza

SCOMPOSIZIONE ED EQUIVALENZE: MISURE DI MASSA

235

STRUMENTI COMPENSATIVI

0,325 hl 5 2 0 32,5 l

3

hl Misura

Strumenti compensativi

dal

l

dl

cl

ml

Equivalenza

SCOMPOSIZIONE ED EQUIVALENZE: MISURE DI CAPACITÃ&#x20AC;

236

Strumenti compensativi

137,53 dam2

Misura

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

1

3

7

5

3

da u da u da u da u da u da u da u

km2

13 753 m2

Equivalenza

STRUMENTI COMPENSATIVI

SCOMPOSIZIONE ED EQUIVALENZE: MISURE DI SUPERFICIE

237

281 465 dm3

Misura

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

2 8 1 4 6 5

h da u h da u h da u h da u h da u h da u h da u

Strumenti compensativi

281,465 m3

Equivalenza

STRUMENTI COMPENSATIVI

SCOMPOSIZIONE ED EQUIVALENZE: MISURE DI VOLUME

238

b

h

Figura

l

h

Strumenti compensativi

239

TRIANGOLO

b

Figura

RETTANGOLO

Figura

QUADRATO

Area

A=b×h:2

l = P − (somma degli altri due lati)

P=l+l+l

A=b×h

Area

Formula inversa

h = (P : 2) − b

b = (P : 2) − h

Formula inversa

l=P:4

Formula inversa

Perimetro

P = (b + h) × 2

Perimetro

P=l×4

Perimetro

h = (A × 2) : b

b = (A × 2) : h

Formula inversa

h=A:b

b=A:h

Formula inversa

A=l×l

Area

STRUMENTI COMPENSATIVI

PERIMETRO E AREA

B

P=l+l+l+l

Perimetro

240

l di base

d

D

Figura

ROMBO

h

l obliquo

Figura

l

P=l×4

Perimetro

P = (l di base + l obliquo) × 2

Perimetro

PARALLELOGRAMMA

h

b

Figura

TRAPEZIO

Strumenti compensativi

l=P:4

Formula inversa

A = (D × d) : 2

Area

l obliquo = (P : 2) – l di base

Formula inversa

d = (A × 2) : D

D = (A × 2) : d

Formula inversa

h=A:b

b=A:h

Formula inversa

h = A × 2 : (B + b)

(B + b) = A × 2 : h

A=b×h

Area

A = (b + B) × h : 2

Area

l di base = (P : 2) – l obliquo

Formula inversa

l = P − (somma degli altri tre lati)

Formula inversa

PERIMETRO E AREA