M.Cerini - R. Fiamenghi - D. Giallongo - C. Sgandurra
MATEMATICA
Esercizi guidati per la preparazione al 1° anno
della Scuola Secondaria di 2° Grado
Trevisini Editore
INDICE
Unità 1
Ripasso di aritmetica 5
Divisori, multipli, scomposizione e divisibilità dei numeri naturali 5
Operazioni in Qa 7
Frazioni e numeri decimali 12
Rapporti e proporzioni 14 La percentuale 16 RIEPILOGO 17
Unità 2
Ripasso di geometria 20
Generalità sui poligoni 20
Criteri di congruenza dei triangoli 22
Teorema di Pitagora e sue applicazioni 25
Similitudine - Criteri di similitudine dei triangoli 29
Teoremi di Euclide 33
Circonferenza e cerchio 37
RIEPILOGO 40
Unità 3
Insiemistica e logica 45
Insiemi. Caratteristiche e loro rappresentazione 45
Operazioni tra insiemi e connettivi logici.
Intersezione e connettivo “e” 48
Unione e connettivo “o” 51
Differenza di insiemi e negazione “non” 54
RIEPILOGO 58
Unità 4
Numeri relativi 61
Caratteristiche dei numeri relativi 61
Insieme dei numeri relativi e loro simboli 63
Addizione e sottrazione di numeri relativi 64
Moltiplicazione di numeri relativi 67
Divisione di numeri relativi 69
Elevamento a potenza di numeri relativi 71
Potenza con esponente negativo
Notazione scientifica di un numero
Unità 5
dei monomi
algebrica di monomi
di monomi
di monomi 88
Potenza di monomi 90
RIEPILOGO 92
Unità 6
Caratteristiche dei polinomi 95
Addizione algebrica di polinomi 97
Moltiplicazione di polinomi 99
Divisione di un polinomio per un monomio 102
Prodotti notevoli 104 RIEPILOGO 107
Unità 7
Equazioni di 1° grado a un’incognita 110
Equazioni 110
Principi di equivalenza e regole conseguenti 113
Risoluzione di equazioni di 1° grado numeriche intere a una incognita 116
Problemi di 1° grado a una incognita 120
RIEPILOGO 125
Unità 8
Piano cartesiano e funzioni 130
Punti e segmenti nel piano cartesiano
Funzioni nel piano cartesiano
unità
NUMERI RELATIVI
Caratteristiche dei numeri relativi
I numeri positivi sono collocati sulla retta orientata a destra dello zero, quelli negativi a sinistra. I numeri relativi “crescono” procedendo da sinistra a destra
I numeri positivi sono collocati sulla retta orientata a destra dello zero, quelli negativi a sinistra. I numeri relativi “crescono” procedendo da sinistra a destra
Ne deriva che:
Ne deriva che:
• ogni numero positivo è maggiore di zero e ogni numero negativo è minore di zero;
• ogni numero positivo è maggiore di zero e ogni numero negativo è minore di zero;
• ogni numero positivo è maggiore di ogni numero negativo;
• ogni numero positivo è maggiore di ogni numero negativo;
• tra due numeri positivi è maggiore quello che ha il valore assoluto maggiore;
• tra due numeri positivi è maggiore quello che ha il valore assoluto maggiore;
• tra due numeri negativi è maggiore quello che ha il valore assoluto minore.
Si rappresentano sulla retta orientata
I numeri relativi
Sono numeri preceduti da un segno + o –
Nei numeri relativi si distinguono due parti: il segno (+ o –) e la parte numerica che si dice valore assoluto o modulo
Concordi, se hanno lo stesso segno.
>> Esempio –5 6 e –1 2 u
• tra due numeri negativi è maggiore quello che ha il valore assoluto minore.
>> Esempio –3 4 , segno – valore assoluto 3 4 Si scrive
–3 4
Due numeri relativi possono essere
Opposti, se hanno segno diverso, ma stesso valore assoluto.
>> Esempio + 5 3 e –5 3
Discordi, se hanno segno diverso.
>> Esempio + 3 2 e –4 3
Uguali, se hanno stesso segno e stesso valore assoluto.
Caratteristiche dei numeri relativi
• Esercizi
1. Scrivi il valore assoluto dei seguenti numeri relativi.
+ 8 → ) + 8 ) = 8 – 3 → ) ) = + 2 3 → –3 7 → – 0,2 → + 3,5 → – 1,3 → + 1 2 → – 7,2 →
2. Per ogni coppia scrivi se è formata da numeri concordi, discordi o opposti.
+ 3; – 11,5 + 2 5 ; –2 5 opposti –3 8 ; –1 4 + 6 7 ; + 3 2 + 4 3 ; –7 5 – 2,7; + 2,7 + 2 5 ; –7 3 – 0,3; – 4 9 – 0,3; + 0,3
3. Rappresenta sulla sottostante retta orientata i numeri relativi indicati. – 3; + 1 2 ; + 4; –7 2 ; + 9 2 ;
5 2 ; – 1; – 8; + 3 2 ; + 10
u 0
4. Scrivi i seguenti gruppi di numeri in ordine crescente. a) + 6; + 3 5 ; –1 5 ; – 2; + 3,6; + 7 2 ; – 2,2 b) –3 4 ; + 2 3 ; 0; – 0,5; + 0,25; –5 3 ; + 7 2
5. Scrivi i seguenti numeri in ordine decrescente. + 1 5 ; + 0,15; –4 5 ; – 0,75; + 5 4 ; + 1,3; –1 3
unità
Insieme dei numeri relativi e loro simboli
• L’insieme dei numeri interi relativi (Z) è costituito dagli interi positivi (Z+), dagli interi negativi (Z–) e da 0 (zero): Z+ ∪ Z– ∪ 0 = Z
• L’insieme dei numeri razionali relativi (Q) è costituito dai razionali positivi (Q+), dai razionali negativi (Q–) e da 0 (zero): Q+ ∪ Q– ∪ 0 = Q
• L’insieme dei numeri irrazionali relativi (I) è costituito dagli irrazionali positivi (I+) e dagli irrazionali negativi (I–): I+ ∪ I–= I
• L’insieme dei numeri reali relativi (R) è costituito dai razionali relativi (Q) e dagli irrazionali relativi (I): Q ∪ I = R
>> Esempio
• Esercizi
6. Colloca i seguenti numeri relativi negli insiemi di appartenenza.
7. Indica se le seguenti affermazioni sono vere oppure false.
Addizione e sottrazione di numeri relativi
La somma di due numeri relativi concordi è concorde ad essi e ha per valore assoluto la somma dei valori assoluti degli addendi.
>> Esempio (– 3) + (– 5) = – 8 (+ 7) + (+ 2) = + 9
La somma di due numeri relativi discordi ha il segno dell’addendo con valore assoluto maggiore e per modulo la differenza tra i moduli.
>> Esempio (– 11) + (+ 9) = –2
Addizione
Per effettuare i calcoli più rapidamente si usa la scrittura semplificata: si omettono i segni + che indicano le addizioni e si scrivono gli addendi uno dopo l’altro preceduti dal loro segno.
>> Esempio (– 3) + (+ 5) + (+ 7) + (– 13) = –3 + 5 + 7 –13 = – 16 + 12 = – 4
Se una parentesi è preceduta dal segno + si possono eliminare le parentesi e il segno +, scrivendo gli addendi uno dopo l’altro, ciascuno con il proprio segno.
>> Esempio –10 + (– 3 + 8) + (+ 9 – 2) = – 10 – 3 + 8 + 9 – 2 = – 15 + 17 = + 2
Sottrazione
La differenza tra due numeri relativi, dati in un certo ordine, si ottiene addizionando al primo l’opposto del secondo. >> Esempio 1–3 4 2 – 1+ 7 2 2 = 1–3 4 2 + 1–7 2 2 = –
Se una parentesi è preceduta dal segno – si possono eliminare le parentesi e il segno –, scrivendo gli addendi uno dopo l’altro, ciascuno cambiato di segno.
>> Esempio + 11 – (– 2 + 9) – (+ 8 – 3) = + 11 + 2 – 9 – 8 + 3 = + 16 – 17 = – 1
Le due operazioni, addizione e sottrazione, si possono considerare come un’unica operazione, detta addizione algebrica, il cui risultato è la somma algebrica.
• Esercizi
8. Risolvi le seguenti addizioni utilizzando la scrittura semplificata.
a) 1–3 16 2 + 1+ 5 4 2 = –3 16 + 5 4 = – 3 + 20 16 =
b) 1–5 6 2 + 1–3 4 2 =
c) 1+ 5 3 2 + (– 1) =
9. Risolvi le seguenti addizioni.
a) (+ 8) + (– 4) + (– 11) + (+ 3) + ( – 1) = +
(– 5) + (– 7) + (+ 9) + (+ 3) + (+ 4) =
1–
10. Completa e risolvi le seguenti espressioni. a) + 3 + (– 2 + 5) + (– 10 – 4) + (+ 7 + 6) = + 3 + 3 – 14 + 13 = b) – 4 + (– 3 + 5) + (+ 2 + 6 – 8) + (– 10 + 7) =
11. Esegui le seguenti sottrazioni.
a) (– 27) – (– 14) = – 27 + 14 =
b) (– 10 ) – (– 7) = –10 + 7 =
c) (+ 16) – (+ 9) = + 16 – 9 = d) 1
(– 0,3) –
i) (+ 0,5) – 1+ 9 2 2 = [– 4]
12. Risolvi le seguenti addizioni algebriche applicando opportunamente le regole per togliere le parentesi.
b) – 15 – (+12 – 5 + 6 – 10) + (–3
unità
Moltiplicazione di numeri relativi
ha come valore assoluto
Prodotto di due fattori
ha il segno
ha come valore assoluto
Prodotto di più fattori
ha il segno
il prodotto dei valori assoluti. il prodotto dei valori assoluti.
positivo se i fattori sono concordi: negativo se i fattori sono discordi:
regola dei segni
positivo se i fattori negativi sono presenti in numero pari
negativo se i fattori negativi sono presenti in numero dispari
• Esercizi
13. Esegui le seguenti moltiplicazioni.
a) (– 2) ∙ (+ 5) = – (+ 4) ∙ (+ 10) = + b) (+ 6) ∙ (– 4) = – (– 11) ∙ (– 5) = +
14. Applicando le regole, determina il prodotto delle seguenti moltiplicazioni.
a) (– 2) ∙ (+ 5) ∙ (– 3) ∙ (– 1) = –
b) (+ 4) ∙ (– 1) ∙ (+ 3)
(– 5) = +
15. Risolvi le seguenti espressioni. a)
esegui le somme nelle parentesi tonde:
moltiplica i due risultati ottenuti:
esegui le moltiplicazioni nelle parentesi quadre: determina il m.c.d. ed esegui la somma:
esegui la moltiplicazione:
Divisione di numeri relativi
Il quoziente di due numeri relativi, di cui il secondo diverso da zero, si ottiene moltiplicando il primo per il reciproco del secondo
Si ricorda che due numeri si dicono inversi o reciproci quando il loro prodotto è + 1
Per il segno del quoziente di due numeri relativi vale la stessa regola dei segni vista per la moltiplicazione:
• Esercizi
16. Completa la seguente tabella.
17. Risolvi le seguenti divisioni.
e) (– 25) : 1–15 4 2 =
f) 1+ 35 6 2 : 1+ 7 36 2 =
g) 1+ 12 7 2 : (+ 16) : 1–
h) 1–1 9 2 :
18. Risolvi le seguenti espressioni.
a) 1–1 3 + 5 6 –
esegui le operazioni nelle parentesi tonde:
trasforma la divisione in moltiplicazione ed esegui le moltiplicazioni: 3+ 1 2 4
b) 31– 1 – 1 3 +
esegui le somme nelle parentesi tonde:
trasforma le divisioni nelle parentesi quadre ed esegui le moltiplicazioni:
unità
Elevamento a potenza di numeri relativi
La potenza di un numero relativo
ha come valore assoluto
la potenza del valore assoluto del numero dato.
ha il segno
+ se la base è positiva
>> Esempio
+ se la base è negativa e l’esponente è pari.
>> Esempio
– se la base è negativa e l’esponente è dispari
>> Esempio
Si ricorda che le proprietà delle potenze valgono anche per i numeri relativi.
>> Esempio
potenze aventi la stessa base:
aventi lo stesso esponente:
Inoltre, qualsiasi numero elevato a zero è uguale a + 1.
>> Esempio 1–
• Esercizi
19. Completa e risolvi le seguenti potenze.
a) (– 3)3 = (– 3) ∙ (– 3) ∙ (– 3) = (+ 4)2 = (+ 4) ∙ (+ 4) =
= e) (– 10)2 = (+ 10)3 = (– 10)3 =
20. Applica le proprietà delle potenze. a)
q) {[(– 5)2]2}3 = (– 5)2
21. Risolvi le seguenti espressioni.
a) (4 – 5)3 – [(– 6)2 : 18]4 : (4 – 2)3
risolvi le operazioni nelle parentesi tonde e la potenza: ( )3 – [ : 18]4 : ( ..)3
risolvi le potenze e la divisione:
risolvi le parentesi quadre e determina il risultato:
risolvi le operazioni nelle parentesi tonde:
applica la proprietà delle potenze:
Elevamento a potenza di numeri relativi
22. Risolvi le seguenti espressioni applicando opportunamente le proprietà delle potenze.
unità
Potenza con esponente negativo
Una potenza con esponente negativo
è uguale a una potenza che ha:
l’inverso della base e l’opposto dell’esponente.
In simboli a–n = 1 1 a 2n
Si ricorda che le proprietà delle potenze valgono anche per le potenze con esponente negativo.
• Esercizi
23. Risolvi le seguenti potenze con esponente negativo. a)
24. Risolvi le seguenti espressioni con esponenti negativi. a)
risolvi le operazioni nelle parentesi tonde:
trasforma e calcola le potenze con esponente negativo, poi esegui la divisione:
trasforma le potenze con esponente negativo ed esegui le operazioni nelle parentesi tonde:
25. Applica le proprietà delle potenze (lascia il risultato sotto forma di potenza).
26. Risolvi la seguente espressione con esponenti negativi.
Notazione scientifica di un numero
La notazione scientifica o esponenziale di un numero è il prodotto di un numero maggiore di 1 e minore di 10 per una potenza di 10 >> Esempio
• Esercizi
Si ricordano le potenze di 10 con esponente positivo o negativo
101 = 10 102 = 100 103= 1000 104 = 10 000 105 = 100 000
10–1 = 0,1 10 –2 = 0,01 10–3 = 0,001 10–4 = 0,0001 10–5 = 0,00001 …
21 000 000 = 2,1 ∙ 107 0,00004 = 4 ∙ 10–5
27. Esprimi i seguenti numeri con la notazione scientifica.
25 000 000 000 = 2,5 ∙ 10 000 000 000 = 2,5 ∙ 10
80 000 = 8 ∙ =
36 000 000 = 590 000 000 = 145 000 000 =
0,000003 = 3 ∙ 0,000001 = 3 ∙ 10
0,000043 = 4,3 ∙ =
0,000000007 = 0,00000015 = 0,000175 = 1,75 ∙ =
28. Esprimi i seguenti numeri in forma normale.
2,4 ∙ 107 = 2,4 ∙ 10 000 000 =
7,5 ∙ 105 =
9 ∙ 109 = 1,25 ∙ 106 =
4 ∙ 10–4 = 4 ∙ 0,0001 =
3,8 ∙ 10–6 =
2 ∙ 10–7 =
4,75 ∙ 10–8 =
• Riepilogo
1. Rispondi mettendo una crocetta su Vero o Falso.
a) La somma di due numeri relativi opposti è 1 V F
b) Il valore assoluto di un numero relativo è il numero senza il segno V F
c) Due numeri relativi sono uguali se sono concordi e hanno lo stesso valore assoluto V F
d) 1–3 4 20 = 1 V F
e) La potenza di un numero negativo con esponente negativo può essere un numero positivo o negativo V F
2. Completa le seguenti affermazioni.
a) Ogni numero relativo positivo è di 0.
b) Ogni numero relativo è minore di 0.
c) Ogni numero relativo positivo è di ogni numero negativo.
d) Ogni numero relativo negativo è di ogni numero positivo.
e) Tra due numeri positivi è maggiore quello che ha il valore assoluto
f) Tra due numeri negativi è maggiore quello che ha il valore assoluto
3. Collega con una freccia ogni simbolo con il corrispondente significato.
a) Z 1) insieme dei numeri reali relativi
b) Q+ 2) insieme dei numeri interi relativi
c) Z– 3) insieme dei numeri irrazionali positivi
d) R 4) insieme dei numeri razionali positivi
e) I+ 5) insieme dei numeri interi negativi
f) Q– 6) insieme dei numeri reali positivi
g) R+ 7) insieme dei numeri razionali negativi
4. Metti il segno adeguato (<, >) tra i numeri relativi delle seguenti coppie.
a) 2 8 0 – 3 – 5 – 7 – 8 + 2
b) + 1 3 0 –3 7 + 1 2 – 0,7 – 0,1 + 0,02 + 0,2
5. Disponi in ordine crescente i seguenti numeri relativi. – 2 + 4 – 0,5 + 1,2 + 3 –7 2 + 5 +
6. Scrivi i numeri relativi che esprimono le seguenti condizioni.
a) Ho un debito di € 25.
b) In banca ho un credito di € 720.
c) Il luogo dove abito si trova a 354 m sopra il livello del mare.
d) Oggi la temperatura esterna è di 2 gradi sottozero.
e) Un abisso marino è profondo 3500 m.
f) Lo zolfo fonde a 115° C sopra lo zero.
g) Carlo Magno venne proclamato imperatore nell’anno 800 d.C.
h) Un’azienda metallurgica lo scorso anno ha avuto un deficit di 32 000 €.
7. Scrivi il reciproco e l’opposto di ognuno dei seguenti numeri relativi.
8. Esegui le seguenti operazioni tra numeri relativi.
a) – 3 + (– 5 + 7) =
b) 4 – (– 2 + 5 – 3) =
c) 2 3 + 1 4 – 2 = d) –3 5 + 2 3 –7 15 + 1 = e) 12
9. Se al cubo di (1 – 3 + 7 3 ) sommi il quadrato di (1 – 1 3 ) e moltiplichi poi il risultato per ( 4 3 ) elevato a – 2, che numero ottieni?
10. Applica le proprietà delle potenze e indica il risultato sotto forma di potenza.
[(– 3)2]3 =
11. Risolvi le seguenti espressioni.
Il risultato è:
12. Risolvi le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.
13. Una provetta per criogenia che contiene materiale biologico a 2° C sotto zero, viene ulteriormente raffreddata e la sua temperatura diminuisce di 5° C; in seguito, dopo un aumento di 3° C, viene sottoposta a un nuovo raffreddamento di 14° C. A quale temperatura si trova ora il materiale contenuto nella provetta?
14. Osserva le temperature registrate in Italia in un giorno di gennaio 2025. Roma Milano Bolzano Matera Pescara
temperatura max +9° C+7° C+7° C+12° C+13° C
temperatura min 0° C–3° C–6° C–1° C–3° C
temperatura media
escursione termica
15. Per ogni città calcola:
a) la temperatura media; b) l’escursione termica.
16. L’ascensore di una grotta si muove con una velocità di 4,5 metri al secondo.
a) Andrea, partendo dal piano 0, dopo un minuto si trova alla sala del lago sotterraneo; a quale profondità è arrivato?
b) Alcuni visitatori prendono l’ascensore da un ingresso che si trova 10 metri sopra l’ingresso della grotta; dopo 30 secondi a quale profondità saranno?
17. Il test d’ingresso di matematica per la prima superiore, composto da 10 esercizi, viene valutato in questo modo: si assegnano 5 punti per ogni risposta corretta, si tolgono 2 punti per ogni risposta errata e si assegnano 0 punti per le risposte non fornite.
Dopo aver stabilito il punteggio massimo calcola quello ottenuto da Marika e i suoi amici.
a) Punteggio massimo
b) Marika: sei risposte esatte e quattro errate
c) Mirko: cinque esatte e cinque errate
d) Helena: sei esatte, due errate e due senza risposta
unità
PIANO CARTESIANO E FUNZIONI
Punti e segmenti nel piano cartesiano
Ogni punto corrisponde a una coppia di coordinate cartesiane:
A (2; 3,5)
B (– 3; 3)
C (– 4; – 1,5)
D (2; – 2)
Individuazione di un punto
Sistema di riferimento cartesiano
È individuato da due rette perpendicolari orientate. Le due rette:
• dividono il piano in quattro quadranti;
• sono gli assi cartesiani: asse delle x o delle ascisse; asse delle y o delle ordinate;
• si intersecano nel punto O (0; 0) che è l’origine degli assi cartesiani.
L’ascissa e l’ordinata del punto medio di un segmento corrispondono rispettivamente alla semisomma delle ascisse e alla semisomma delle ordinate degli estremi del segmento: xM = xA + xB 2 ; yM = yA + yB 2 ; y B A M (2; –1) u x
Distanza tra due punti
1° caso: segmento parallelo all’asse y
La distanza tra A e B è il valore assoluto della differenza tra le ordinate dei punti: AB = |yA – yB| y x u B A O
2° caso: segmento parallelo all’asse x
La distanza tra A e B è il valore assoluto della differenza tra le ascisse dei punti: AB = |xA – xB| y u B A x O
3° caso: segmento non parallelo agli assi
La distanza tra A e B si considera come ipotenusa di un triangolo rettangolo e si calcola con il teorema di Pitagora:
AB = (x A – xB)2 + ( yA – yB)2 y B A u x O
• Esercizi
1. Individua nel piano cartesiano i punti di cui sono date le coordinate e rispondi alle domande.
A (2; 5) B (– 3; 0) C (4; – 3)
D (3,5; – 2,5) E (– 5,5; 4,5) F (0; 5)
G (0; 1,5) H (– 3,5; – 2) I (– 2; 1)
L (1,5; 0) M (4; 2) N (2,5; – 3)
P (– 3,5; – 4) Q (– 3; 1,5) R (– 1; – 2,5)
a) Quali punti sono nel I quadrante? Essi hanno ascissa e entrambe positive.
b) I punti , che stanno nel II quadrante, hanno ascissa e ordinata
c) I punti sono posti nel III quadrante perché hanno
d) Sono nel IV quadrante i punti perché
e) I punti F e G sono posti sull’asse delle y; la loro ascissa è
f) I punti B e L sono posti ; la loro ordinata è
2. Calcola le distanze tra i punti delle seguenti coppie e disegnale nel piano cartesiano.
a) A (– 2; + 2,5) B (+ 4; + 2,5)
C (– 4; + 1) D (– 4; + 6)
F (– 1; + 6) G (+ 3; + 3)
AB = |xA – xB | =
CD = |yC – yD | =
FG = (xF – xG)2 + ( yF – yG)2 =
y
b) L (3; 1) M (3; – 6)
P (– 2; – 2) Q (6; – 2)
R (–2; 1) S (2; – 2) u x y O
3. Rappresenta nel piano cartesiano i punti A (3; – 2); B (3; 4); C (– 5; 4) e D (– 5; – 2). Che figura ottieni congiungendoli nell’ordine dato?
Determina le misure delle dimensioni, del perimetro e della diagonale del poligono ABCD.
Le misure delle dimensioni si determinano calcolando le distanze tra A e B e tra A e D:
AB = | yA – yB | = | | =
AD = | | = | | =
2p =
La misura della diagonale AC si determina calcolando la distanza tra A e C:
AC = = (x A – xC)2 + ( yA – yC)2 =
4. Rappresenta nel piano cartesiano il triangolo ABC di vertici A (–8; 2); B (4; 2); C (4; 7). Verifica che è rettangolo scaleno, calcola la misura del perimetro e l’area del triangolo.
Determina le misure dei 3 lati:
AB = |.................. | = .....................................
CB = ...............................................................
AC = .........................................................................
I tre lati hanno lunghezze diverse e formano una terna pitagorica; quindi il triangolo è
Il perimetro è dato dalla somma delle misure dei tre lati:
2p = AB + BC + CA =
Per calcolare l’area si applica la formula relativa:
A = AB · BC 2
Punti e segmenti nel piano cartesiano
5. Disegna in un piano cartesiano il triangolo di vertici
L (– 7; – 2); M (5; – 2) e N (– 1; 6).
Verifica che è isoscele confrontando le lunghezze dei lati e determina poi:
a) la lunghezza dell’altezza (ricorda che il piede dell’altezza cade nel punto medio della base, quindi ); b) l’area.
6. Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti coppie di punti e determina le coordinate dei punti medi dei segmenti individuati.
a) A (2; 0) e B (4; 1)
xM = xA + xB 2 = yM = yA + yB 2 = 0 + 1 2 = 1 2 M ( ) x y u O
b) R (2; 4) e S (– 2; – 0)
xM = yM = M ( )
c) P (– 2; – 1) e Q (6; – 3)
xM = yM = M ( )
d) C (– 3; 0) e D (5; – 2)
xM = yM = M ( )
Funzioni nel piano cartesiano
Funzione di proporzionalità diretta
Se raddoppia o triplica ecc. il valore di x, raddoppia o triplica ecc. anche il corrispondente valore di y
La legge è y = kx oppure y x = k
dove k è la costante di proporzionalità. Il grafico è una retta passante per l’origine degli assi
Rappresentazione di una funzione
Per rappresentare in un piano cartesiano una funzione:
• si attribuiscono alla x valori scelti a piacere,
• si calcolano i corrispondenti valori di y,
• ogni coppia di valori x e y indica un punto del grafico.
>> Esempio rappresentare la funzione y = 2x – 3
xy = 2x – 3
– 22 · (– 2) – 3 = – 7
– 12 · (– 1) – 3 = – 5
02 · 0 – 3 = – 3
+ 12 · (+ 1) – 3 = – 1
+ 22 · (+ 2) – 3 = + 1
y x u
(segue)
se k è positiva → retta I e III quadrante se k è negativa → retta II e IV quadrante
Funzione di proporzionalità inversa
Se raddoppia o triplica ecc. il valore di x, il corrispondente valore di y si dimezza, diventa un terzo ecc.
La legge è y = h x oppure x · y = h
dove h è la costante di proporzionalità. Il grafico è una curva: iperbole equilatera
se h è positiva → iperbole I e III quadrante se h è negativa → iperbole II e IV quadrante
Funzione di dipendenza quadratica
Al variare del valore di x, il corrispondente valore di y diventa il quadrato.
La legge è y = k x2 con k ≠ 0 Il grafico è una curva composta da due rami simmetrici rispetto all’asse delle y: parabola
>> Esempio y = 1 2 x2 x y = 1 2 x2 – 2 y = 1 2 · (– 2)2 = 2 – 1 y = 1 2 · (– 1)2 = 1 2
0 y = 1 2 · (0)2 = 0 + 1 y = 1 2 · (+ 1)2 = 1 2 + 2 y = 1 2 · (+ 2)2 = 2
se k è positiva → parabola I e II quadrante O x y 1 2 y = x2 u con concavità verso l’alto se k è negativa → parabola III e IV quadrante con concavità verso il basso
• Esercizi
7. Completa la tabella relativa alla funzione y = 1 2 x + 1 e rappresentala nel piano cartesiano.
y = 1 2 x + 1
8. Rappresenta in un piano cartesiano le seguenti funzioni dopo aver compilato le tabelle relative.
a) y = – x + 1 b) y = 1 3 x – 1
xy = – x + 1
– 2– (– 2) + 1 = – 1– (– 1) + 1 = 0 + 1 + 2 x y = 1 3 x – 1 – 3 0 + 3 + 6
9. Rappresenta il grafico della funzione y = 3 4 x – 1 (assegna a x valori multipli di 4).
10. Completa la seguente tabella relativa a una funzione di proporzionalità diretta. x – 8– 4– 2+ 2+ 4+ 8 y + 1 2
Dato che la funzione è di proporzionalità diretta vale: y = kx e y x = k
Dalla coppia di valori – 2 e + 1 2 si ricava: y x = + 1 2 – 2
nel piano cartesiano
Trovato il valore di k si può completare la tabella:
se x = – 8 → y = kx = –1 41 · (– 82) = + 2
se x = – 4 →
se x = + 2 →
se x = + 4 →
se x = + 8 →
11. Scopri le leggi e completa le seguenti tabelle relative a funzioni di proporzionalità diretta.
12. Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti funzioni di proporzionalità diretta.
a) y = – 2x
Completa la tabella da cui otterrai i valori per il grafico:
La retta attraversa il II e il IV quadrante perché
La retta attraversa perché
13. Completa la seguente tabella relativa a una funzione di proporzionalità inversa.
Essendo la funzione di proporzionalità inversa, sarà y = h x e y · x = h
Dalla coppia di valori –1 16 e 4 si ricava:
Trovato il valore di h si può completare la tabella:
14. Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti funzioni di proporzionalità inversa.
a) y = –12 x Completa la tabella e il grafico.
L’iperbole si sviluppa nei quadranti perché la costante Funzioni nel piano cartesiano
Funzioni nel piano cartesiano
b) y · x = 4 da cui y = 4 x
x – 4– 2– 1+ 1+ 2+ 4 y = 4 x
L’iperbole si sviluppa nei quadranti perché y x u
15. Scopri la legge e completa la seguente tabella relativa a una funzione di proporzionalità inversa.
y 1 2
y =
16. Completa le seguenti tabelle e le affermazioni successive relative a funzioni di dipendenza quadratica. a) x y = 2 x2 – 3 y = 2 · (–3)2 = 2 · 9 = 18 – 2 – 1 0 1 2 3
La parabola della tabella a) si sviluppa nei quadranti con la rivolta verso ; infatti la costante è positiva.
La parabola della tabella b) si sviluppa
17. Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti funzioni di dipendenza quadratica.
a) y = – 2x2
Completa la tabella e il grafico
La parabola si sviluppa nei quadranti con la concavità ; infatti la è negativa.
b) y = –1 4 x2
c) y = 1 3 x2
d) y = 3x2
18. Dopo aver scoperto la legge completa la seguente tabella relativa a una funzione di dipendenza quadratica.
• Riepilogo
1. Collega ciascuna formula con l’elemento corrispondente.
a) AB = | xA – xB|
b) yM = yA + yB 2
c) xM = xA + xB 2
d) AB = (xA – xB) 2 + (yA – yB)2
1) lunghezza di un segmento non parallelo agli assi cartesiani
2) ascissa del punto medio M di un segmento
3) lunghezza di un segmento parallelo all’asse delle ascisse
4) ordinata del punto medio M di un segmento
2. Completa la tabella inserendo le funzioni nelle caselle appropriate.
funzione generica proporzionalità diretta proporzionalità inversa dipendenza quadratica
3. Considera il piano cartesiano dell’illustrazione e stabilisci le coordinate dei punti rappresentati.
A (1,5; ) B ( ; 6,5)
C (; ) D (; )
E (; ) F (; )
3 –
Rappresenta su un piano cartesiano i punti di ciascuna coppia e individua il segmento che indica la loro distanza.
4. A (3; 4) e B (10; 4) C (3; –3) e D (11; –3)
a) AB = 7u b) CD = 14u c) AB = 13u d) CD = 8u
5. A (–2; –10) e B (–2; –1) C (0; 6) e D (–8; 6) a) AB = 9u b) CD = 8u
6. A (0; 0) e B (6; 8) C
; 9 4
a) AB = 6u b) CD = 5 4 u c) AB = 10u d) CD = 5 6 u
Individua le coordinate del punto medio dei segmenti di cui ti sono dati gli estremi.
A (4; – 6) e B (– 4; – 2)
a) (– 4; 0) b)
d) (0; – 4)
7. In un piano cartesiano riporta i seguenti punti
A (6; 7) B (6; 16)
C (11; 12)
Determina poi le coordinate di un punto D tale che il quadrilatero ottenuto congiungendo i quattro vertici sia:
a) un trapezio rettangolo
c) un trapezio scaleno
b) un trapezio isoscele
d) un parallelogramma
8. Rappresenta il rombo ABCD avente per vertici i punti
A (9; – 1) B (3; 3)
C (– 3; – 1) D (3; – 5)
Traccia poi le diagonali e individua l’area del rombo.
a) A = 48u2 b) A = 96u2 c) A = 24u2 d) A = 32u2
9. Rappresenta in un piano cartesiano il triangolo ABC di vertici:
A (– 2; – 2) B (4; – 2)
C (4; 6)
Verifica, con il teorema di Pitagora, che è rettangolo e individuane perimetro e area.
a) 2p = 12u b) 2p = 24u c) A = 12u2 d) A = 24u2
10. Considera la seguente tabella e rispondi alle domande successive.
x – 3– 10+ 2+ 4 y – 18– 20– 8– 32
a) Individua quale funzione esprime.
a) y = – x2 b) y = + 2x2 c) y =
b) La parabola di tale funzione si sviluppa nei quadranti: a) III e IV b) I e II c) II e IV d) I e IV
11. Rappresenta graficamente le funzioni date ed effettua le considerazioni relative a ciascuna di esse.
a) y = – 3x – 1 b) y = 4x c) y = –1 2 x d) y = –8 x e) y = 1 2x f) y = 5x2
12. La bandiera raffigurata si usa alla partenza nelle gare automobilistiche. y u x
a) Indica i vertici della bandiera con le lettere A, B, C e D e scrivi le loro coordinate:
Assegna all’unità u il valore di 4 cm e calcola:
b) Il perimetro e l’area di un quadratino nero:
2p = A =
c) Il perimetro e l’area della bandiera:
2p = A =
13. Una mongolfiera sale in un certo intervallo di tempo di 12 metri ogni 4 secondi.
a) Scrivi la funzione che esprime la relazione tra distanza percorsa (y) e tempo impiegato (x), supponendo che la velocità della mongolfiera si mantenga costante. Rappresenta graficamente la funzione.
b) In un minuto di quanti metri sale la mongolfiera?
c) Quanto tempo impiega a salire di 630 metri?
14. La nave A proviene da Nord-Est lungo la rotta y = 2x + 2 e la nave B proveniente da Sud-Est deve incontrare la nave A nel porto che si trova nel punto (0;2).
a) Nel grafico segna il porto con la lettera P.
b) Scrivi la funzione che esprime la rotta della nave B in modo che sia perpendicolare a quella della nave A.
c) Dopo aver lasciato il porto, la nave B, proseguendo lungo la stessa rotta, passerà per i punti (–2;3) e (– 6;5)? Nord Sud
15. Francesco ha costruito un semplice circuito con una pila da 4,5 V, un filo conduttore e un portalampadine. Utilizza 4 lampadine diverse che hanno resistenza di 4,5Ω, 6Ω, 9Ω, 18Ω e vuole calcolare l’intensità di corrente al variare della resistenza delle lampadine.
Ricorda: la legge di Ohm si esprime con la relazione I = V R , dove I è l’intensità espressa in ampere (A), V è la tensione espressa in volt(V) e R è la resistenza espressa in ohm (Ω).
a) Indica con y l’intensità di corrente e con x la resistenza e scrivi la funzione che le lega. Tale funzione è di proporzionalità diretta o inversa?
b) Costruisci una tabella dei valori e rappresenta tale funzione sul tuo quaderno.
Resistenza
Intensità V = 4,5 V
pila