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CERINI • GIALLONGO • SGANDURRA

A R U A P della

matematica? algebra

SUCCEDE

CHE...

Dal problema reale alla soluzione Educazione civica, Stem, Informatica

VELIA immagina genera ispira

Storia della matematica a cura del Prof. Odifreddi

Impara dall’errore Oltre 15000 esercizi

Gruppo Editoriale ELi

Il piacere di apprendere

Costruire il futuro insieme

Il Gruppo Editoriale ELi offre proposte editoriali che coprono tutti i gradi e i rami scolastici, all’insegna della qualità, del rigore e dell’innovazione.

INTELLIGENZA ARTIFICIALE

EDUCAZIONE CIVICA secondo le NUOVE Linee guida

Percorsi didattici con attività pratiche che mirano ad approfondire i principali strumenti di IA generativa per favorirne un utilizzo critico e il tool VELIA a disposizione dei docenti per personalizzare l’attività didattica.

EQUILIBRI

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Aggiornamento e ampliamento dei nuclei tematici attorno ai quali si articolano le competenze e gli obiettivi di apprendimento: Costituzione, Sviluppo economico e sostenibilità, Cittadinanza digitale.

STEM/STEAM, CLIL

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Progetto di ricerca costante che mira a eliminare gli stereotipi di genere nei testi scolastici ponendo particolare attenzione alla scelta dei contenuti, a una valutazione iconografica ragionata e all’utilizzo di un linguaggio testuale inclusivo.

Attivazione del pensiero scientifico e computazionale, approccio interdisciplinare e laboratoriale, sviluppo della competenza multilinguistica, attraverso attività STEM, STEAM e CLIL.

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Sviluppo di una cultura dell’inclusione attraverso contenuti accessibili e adeguati ai diversi stili di apprendimento.

Acquisizione delle competenze digitali e dell’alfabetizzazione informatica come aiuto all’inclusione sociale e alla cittadinanza attiva.

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Approccio educativo e formativo volto a favorire la conoscenza di sé, delle proprie attitudini e delle proprie capacità, oltre a sviluppare le competenze non cognitive e trasversali necessarie per le scelte del futuro.

Gruppo Editoriale ELi

Percorsi incentrati sullo sviluppo di competenze relazionali che arricchiscono la consapevolezza del vissuto personale in relazione con la realtà circostante.

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CHI HA PAURA DELLA MATEMATICA? Un corso pensato per accompagnare gli studenti delle scuole medie alla scoperta Aritmetica, del lato affascinante della matematica. Attraverso 6 volumi dedicati ad Aritmetica Geometria e Algebra Algebra, ogni argomento viene affrontato in modo chiaro, pratico e coinvolgente. L’obiettivo è semplice: trasformare la paura in curiosità e mostrare che le materie STEM possono essere comprese, amate e vissute con entusiasmo. La rubrica Chi ha paura della matematica? anticipa quali sono le sensazioni che comunemente provano studenti e studentesse quando affrontano gli argomenti di aritmetica, algebra e geometria, e propone come guardare la realtà con occhi diversi.

La nostra ROAD MAP per sapere in ogni momento in quale tappa del percorso didattico ti trovi insieme alla tua classe.

SUCCEDE CHE... e

Primi

ESERCIZI

PRESENTAZIONE

Ogni lezione è introdotta da un problema reale che imparerai a risolvere autonomamente dopo aver seguito passo passo la spiegazione teorica dell’argomento. A seguire una batteria di Primi esercizi per metterti subito alla prova, senza paura!

DIMENSIONE STORICA Una doppia pagina che affronta la dimensione storica della matematica e tante curiosità grazie alle spiegazioni del Professor Piergiorgio Odifreddi.

MAPPA CON ORGANIZZATORI GRAFICI Non solo una semplice mappa riassuntiva dell’unità ma una mappa strutturata con organizzatori grafici, forme grafiche che ancora prima del contenuto testuale, attivano un particolare processo cognitivo di apprendimento per visualizzare la struttura logica del contenuto.

ESERCIZI E PROBLEMI e IMPARA dall’ errore La sezione è arricchita da esercizi di EDUCAZIONE CIVICA ed EDUCAZIONE FINANZIARIA, esercizi STEM e da esercizi riferiti a situazioni reali (MATEMATICA IN AZIONE). Ogni esercizio è contrassegnato da un livello di difficoltà e, laddove necessario, è presente un esempio con la risoluzione del problema.

ROAD MAP PER TUTTI Una rubrica pensata per ripassare tutte le tappe dell’unità attraverso diagrammi di flusso ed esercizi di prima difficoltà. Un doppio percorso di apprendimento in cui le forme schematica e visiva si affiancano a quella testuale.

SIMULAZIONE DI VERIFICA Esercizi su tutti gli argomenti appresi nell’unità e finalizzati all’Esame di Stato.

PRESENTAZIONE

COMPETENZE e SFIDA MATEMATICA In questa sezione troverai degli esercizi per allenarti nel problem solving e nell’analisi e interpretazione dei dati, e una SFIDA MATEMATICA tratta dalle gare organizzate dal Centro PRISTEM dell’Università Bocconi di Milano.

INDICE UNITÀ

I NUMERI RELATIVI �� 2 Teoria

Esercizi

1 Insiemi dei numeri relativi: Z, Q, I, R .................................. 4 �� 27 2 Generalità sui numeri relativi ..................................................... 6 �� 32 3 Addizione .............................................................................................................. 8 �� 35 4 Sottrazione .................................................................................................... 10 �� 38 5 Addizione algebrica ................................................................................. 12 �� 42 6 Moltiplicazione .............................................................................................. 14 �� 50 7 Divisione ................................................................................................................ 16 �� 56 8 Potenze ................................................................................................................... 18 �� 64 9 Notazione scientifica .............................................................................. 20 �� 77 10 Estrazione di radice quadrata e cubica .......................... 22 �� 80 CURIOSITÀ STORICHE

Lo zero �� 24

MAPPA �� 26

Competenze �� 82

Road map per tutti �� 84 Simulazione di verifica �� 94 MATERIALE INTEGRATIVO MULTIMEDIALE Focus

UNITÀ

Verifica interattiva

Videolezione

Ripasso

IL CALCOLO LETTERALE �� 96 Teoria

Esercizi

1 Espressioni letterali e loro valore numerico ............ 98 �� 118 2 I monomi ............................................................................................................ 100 �� 122 3 Addizione algebrica di monomi ............................................. 102 �� 125 4 I polinomi .......................................................................................................... 104 �� 128 5 Addizione algebrica di polinomi .......................................... 106 �� 131 6 Moltiplicazione di monomi e polinomi ......................... 108 �� 135

INDICE

7 Potenze di monomi ................................................................................ 110 �� 145 8 Divisione di monomi e di un polinomio per un monomio ............................................................................................................ 112 �� 150 9 I prodotti notevoli .................................................................................. 114 �� 157 MAPPA �� 116

Competenze �� 162 Road map per tutti �� 164 Simulazione di verifica �� 172 MATERIALE INTEGRATIVO MULTIMEDIALE Focus

UNITÀ

Verifica interattiva

Videolezione

Ripasso

LE EQUAZIONI �� 174 Teoria

Esercizi

1 Identità ed equazioni .......................................................................... 176 �� 196 2 Equazioni ............................................................................................................ 178 �� 198 3 Equazioni equivalenti ........................................................................ 180 �� 200 4 Primo principio di equivalenza ............................................... 182 �� 201 5 Secondo principio di equivalenza ...................................... 184 �� 204 6 Risoluzione e verifica di un’equazione intera di 1o grado a una incognita ......................................................... 186 �� 206 7 Discussione di un’equazione di 1o grado .................... 188 �� 215

VII

8 Dal problema all’equazione ....................................................... 190 �� 218 CURIOSITÀ STORICHE

quazioni di primo E e secondo grado �� 192

MAPPA �� 194

Competenze �� 230 Road map per tutti �� 232 Simulazione di verifica �� 242 MATERIALE INTEGRATIVO MULTIMEDIALE Focus

Videolezione

Ripasso

INSIEMI E RELAZIONI �� 244 Teoria

Esercizi

1 Gli insiemi: primi elementi .......................................................... 246 �� 263 2 Insieme differenza. Insieme complementare ....... 248 �� 267 3 Partizione di un insieme. Insieme delle parti ...... 250 �� 270 4 Prodotto cartesiano ............................................................................ 252 �� 274 5 Le relazioni in un insieme e tra due insiemi ........... 254 �� 277

INDICE

UNITÀ

Verifica interattiva

6 Corrispondenza univoca e biunivoca ............................. 256 �� 280 7 Concetto di funzione. Funzioni tra grandezze ...... 258 �� 284 8 Funzioni empiriche e funzioni matematiche ......... 260 �� 286 MAPPA �� 262

Competenze �� 289 Road map per tutti �� 292 Simulazione di verifica �� 302 MATERIALE INTEGRATIVO MULTIMEDIALE Focus

UNITÀ

Verifica interattiva

Videolezione

Ripasso

POLIGONI E PIANO CARTESIANO �� 304 Teoria

Esercizi

1 Il piano cartesiano ortogonale ............................................. 306 �� 319 2 Punti simmetrici ....................................................................................... 308 �� 323 3 Distanza tra due punti: segmento parallelo a un asse ............................................................................................................. 310 �� 325

VIII

4 Distanza tra due punti: segmento non parallelo agli assi ................................................................................................................ 312 �� 327 5 Coordinate cartesiane del punto medio di un segmento ........................................................................................................... 314 �� 330 6 Studio di poligoni nel piano cartesiano ...................... 316 �� 333 MAPPA �� 318

Competenze �� 341 Road map per tutti �� 343 Simulazione di verifica �� 350 MATERIALE INTEGRATIVO MULTIMEDIALE Focus

UNITÀ

INDICE

Verifica interattiva

Videolezione

Ripasso

FUNZIONI E PIANO CARTESIANO �� 352 Teoria

Esercizi

1 Equazione della retta passante per l’origine: y = mx ................................................................................................................... 354 �� 375 2 Coefficiente angolare ........................................................................ 356 �� 381 3 Equazione generica di una retta: y = mx + q ........ 358 �� 385

4 Equazioni di rette parallele ....................................................... 360 �� 389 5 Equazioni di rette parallele agli assi cartesiani ......................................................................................................... 362 �� 390 6 Equazioni di rette perpendicolari ...................................... 364 �� 392 7 Intersezione tra due rette ........................................................... 366 �� 396 h ............................................ 368 �� 400 8 Equazione dell’iperbole: y = x 9 Equazione della parabola: y = kx 2 ...................................... 370 �� 405 CURIOSITÀ STORICHE

Il significato dell’algebra �� 372

MAPPA �� 374

Competenze �� 408 Road map per tutti �� 411 Simulazione di verifica �� 422 MATERIALE INTEGRATIVO MULTIMEDIALE Focus

Videolezione

Ripasso

IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ �� 424 Teoria

Esercizi

1 Probabilità matematica di un evento ............................ 426 �� 442 2 Probabilità frequentista. Legge empirica del caso ............................................................................................................... 428 �� 450 3 Eventi incompatibili e probabilità totale .................. 430 �� 453 4 Eventi compatibili e probabilità totale ....................... 432 �� 457 5 Eventi complementari ...................................................................... 434 �� 460 6 Eventi indipendenti e probabilità composta ........ 436 �� 462 7 Eventi dipendenti e probabilità composta ............. 438 �� 467 MAPPA �� 440

Competenze �� 469 Road map per tutti �� 472 Simulazione di verifica �� 480 MATERIALE INTEGRATIVO MULTIMEDIALE Focus

Verifica interattiva

Videolezione

Ripasso

Tavole numeriche �� 482

INDICE

UNITÀ

Verifica interattiva

UNITÀ

I NUMERI RELATIVI

C hi ha

della paura matematica? A partire da questa unità la tua idea di “numero” subirà un cambiamento importante: passerai dal mondo numerico di superficie, popolato da elementi positivi, cioè preceduti dal segno +, al mondo sommerso dei numeri negativi, cioè preceduti dal segno −, indispensabili, per esempio, per indicare a quale profondità riesci a immergerti al di sotto del livello del mare, o per registrare le temperature di un inverno particolarmente rigido. Di cosa potresti aver paura? All’inizio l’idea di un numero negativo ti potrà sembrare astratta e illogica e potresti confondere il segno − davanti a un numero, con il segno di sottrazione. È il momento per un consiglio: usa le parentesi per separare il segno dell’operazione da quello del numero! Le parentesi non sono inutili segni che devi portarti come dei pesi quando fai i calcoli, ma piuttosto “contenitori” che servono a proteggere il numero con il suo segno, evitando che due segni consecutivi si scontrino. Talvolta le regole per le operazioni con numeri negativi ti potranno sembrare complicate e contraddittorie, ma usando delle tecniche di memorizzazione saprai come comportarti quando i segni sono concordi o discordi. Per l’immersione nel mondo “sotto zero” è tutto pronto: inizia!

ra t s o n a l

ROAD MAP

CONOSCIAMO L’INSIEME DEI NUMERI RELATIVI

IMPARIAMO A FARE LE OPERAZIONI NELL’INSIEME DEI NUMERI RELATIVI

ELEVIAMO A POTENZA I NUMERI RELATIVI

SCOPRIAMO COS’È LA NOTAZIONE SCIENTIFICA

ESTRAIAMO LA RADICE QUADRATA E CUBICA

GUARDA

MATERIALE INTEGRATIVO MULTIMEDIALE Focus Verifica interattiva Videolezione Ripasso

INSIEMI DEI NUMERI LEZIONE 1 RELATIVI: , Q, I, R

SUCCE.D.E. CHE

Il fratellino di Pietro gli chiede di aiutarlo a cercare le date delle guerre puniche avvenute nel III e II secolo avanti Cristo (a.C.). Pietro cerca in rete e trova: I guerra punica dal −264 al −241, II dal −219 al −201, III dal −149 al −146. Il fratellino chiede a Pietro: che cosa significano i segni meno prima dei numeri?

Per rispondere si devono conoscere i numeri relativi. La sottrazione non è sempre possibile nell’insieme N dei numeri naturali e nell’insieme Qa dei numeri razionali assoluti. Quindi gli insiemi numerici già conosciuti vengono ampliati con altri numeri, i numeri relativi: positivi se preceduti dal segno +, negativi se preceduti dal segno −. I numeri relativi si utilizzano per indicare la temperatura ambientale (+8 °C e −5 °C), le date storiche (46 d.C. → +46 e 264 a.C. → −264), l’altezza dei monti e la profondità degli abissi, i crediti, i debiti ecc. R Gli insiemi numerici dei numeri interi relativi sono:

• Z = Z+ ∪ Z− → l’insieme Z dei numeri interi relativi che è l’unione dell’insieme dei numeri interi positivi, Z+, e di quello dei numeri interi negativi, Z−. L’insieme Z+ coincide con l’insieme N.

• Q = Q+ ∪ Q− → l’insieme dei numeri razionali relativi. • I = I+ ∪ I− → l’insieme dei numeri irrazionali relativi. • R = R+ ∪ R− → l’insieme dei numeri reali relativi, che è l’unione dei numeri razionali relativi e di quelli irrazionali relativi, cioè R = Q ∪ I. I numeri relativi si rappresentano sulla retta orientata fissando l’unità di misura e un punto O, che divide la retta in due semirette opposte e che corrisponde al numero 0. I numeri negativi sono sulla semiretta di sinistra e quelli positivi sulla semiretta di destra.

UNITÀ

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

La retta orientata indica che i numeri relativi “crescono” da sinistra verso destra. L SO U

ON ZI

I numeri relativi

Le date delle guerre puniche sono numeri relativi negativi e indicano il periodo storico prima della nascita di Cristo, cioè avanti Cristo (a.C.). a.C. – 264

– 146

d.C. 0

+ 2025

Primi

ESERCIZI

1 Inserisci ciascun numero relativo nell’insieme cui appartiene. 9  + −7,36 −13 15   18 2 − − +2,4 3 5 4 5

+1,2

− 15

+ 7

+10

−



9 7

2 Osserva la seguente retta dei numeri e correggi gli errori.

0 –11

–3

–1

–2

+10

3 Scrivi i numeri irrazionali relativi al posto dei puntini rossi. ESEMPIO

+ 5 : si costruisce un triangolo rettangolo con i cateti lunghi rispettivamente 1u e 2u; quindi i = 12 + 22 = 5 , che si posiziona a destra perché è un numero relativo positivo. 1

5 –3

–2

–1

B +2 + 5

........

MATEMATICA IN AZIONE Esprimi con numeri relativi le seguenti altitudini.

(L’altitudine è la distanza verticale di un oggetto rispetto a un livello zero che è quello del mare.) a) Il Mar Morto è 427 m sotto il livello del mare → −427. b) L’altitudine della città di Roma è 20 metri sopra il livello del mare c) La profondità massima della “fossa delle Marianne” è di 10 902 m d) La Death Valley, parco nazionale degli Stati Uniti, è una depressione nella quale il punto più basso si trova a 86 m sotto il livello del mare mentre il più alto è a 3 300 m sopra il livello del mare , ALTRI ESERCIZI

PAG. 27

1 LEZIONE

GENERALITÀ LEZIONE 2 SUI NUMERI RELATIVI Emma si è recata dall’oculista per controllare la sua miopia perché non riesce a mettere bene a fuoco gli oggetti lontani. Scopre che deve fare nuove lenti con queste indicazioni: occhio sinistro −3,50; occhio destro −4,25. Da quale dei due occhi vede meno?

SUCCE.D.E. CHE

Per saperlo dobbiamo conoscere alcune caratteristiche dei numeri relativi. In ogni numero relativo possiamo evidenziare due parti: il segno (+ o −) e la parte numerica, che si definisce valore assoluto o modulo. Per indicare il valore assoluto di un numero relativo lo si scrive tra due barrette verticali | |.

Il valore assoluto di un numero relativo è il numero stesso privato del segno che lo precede. ESEMPIO

| −9 | = 9

si legge: “il valore assoluto di −9 è 9”

Due numeri relativi con lo stesso segno sono concordi. Due numeri relativi con segno diverso sono discordi. Due numeri relativi discordi aventi lo stesso valore assoluto sono opposti o simmetrici. Al numero zero si può attribuire indifferentemente il segno + o −, quindi 0 viene considerato opposto di se stesso. discordi –4

–3

–2

–1

0 opposti

concordi

I numeri relativi

Utilizzando la retta orientata possiamo confrontare i numeri relativi: − fra due numeri relativi discordi (−3 e +2) è maggiore quello positivo (+2), 3 − fra due numeri concordi positivi (+3 e + ) è maggiore quello con valore assoluto 2 maggiore (+3), − fra due numeri concordi negativi (−1 e −3) è maggiore quello con valore assoluto minore (−1), − due numeri opposti (−1) e (+1) sono simmetrici rispetto allo 0. L SO U

ON ZI

UNITÀ

+1 + 3 +2 2

Emma vede meno bene, cioè è più miope, dall’occhio destro, perché −4,25 è minore di −3,50.

Primi

ESERCIZI

1 Rispondi con Vero o Falso. a) Tra due numeri negativi è minore quello con il valore assoluto maggiore.

b) I numeri relativi concordi sono sempre positivi.

c) Tra due numeri positivi è minore quello con valore assoluto minore.

2 Completa la seguente tabella. Numero relativo

Segno

−

Valore assoluto

3 4

2 3

2,3

7,2

9 49

3 4

− 3,6

− 11

−

+ 3

6 7

−

− 5,13

3 20

3 Completa le seguenti uguaglianze.

4 = | + 7 | = | − 3 | = | + 7 | = − 5 =

4 Dopo aver rappresentato sulla retta orientata i seguenti numeri relativi, completa le relazioni e metti al posto dei puntini il simbolo adeguato (> o <). +7 −8 −1 +3 −5 +9 −7 0

+ 7 − 7

− 8 + 9

− 1 − 5

− 7 + 3

5 Completa, inserendo al posto dei puntini il simbolo adeguato (>, <, =). (Se incontri difficoltà, fai riferimento a una retta orientata.) 4 3 2 − 3 .......... + + 1,4 + 1,4 + .......... − − 8 − 2 5 5 3 6

MATEMATICA IN AZIONE Alcuni amici di Emma (ricorda:

occhio sinistro –3,50; occhio destro –4,25) portano gli occhiali e hanno queste prescrizioni per le lenti:

menta con L’ipermetropia aunu mero l’aumentare del prime. positivo ch e la es

• Matteo, che è ipermetrope, cioè fatica a mettere a fuoco gli oggetti vicini: + 2,50; • Federica, pure ipermetrope: + 1,75; • Massimiliano, che è miope: − 4,50. Stabilisci, utilizzando la retta orientata, chi fra i 4 amici è più ipermetrope e chi più miope. u

ALTRI ESERCIZI

PAG. 32

LEZIONE

3 ADDIZIONE

LEZIONE

Uno zio di Pietro aveva sul conto corrente 1 800 € e ne ha spesi 1 680. Può regalare a Pietro uno smartphone da 190 € senza andare “in rosso” (cioè “sotto” la somma disponibile)?

SUCCE.D.E. CHE

Per rispondere dobbiamo eseguire delle addizioni con i numeri relativi. Possiamo utilizzare la retta orientata e, dopo aver individuato il 1° addendo, consideriamo il segno del 2°: se è positivo la successione dei numeri della retta orientata va “percorsa” verso destra, se è negativo verso sinistra. • Addendi concordi (+2) + (+5) = +7

+5 –6

–5

–4

–3

–2

–1

+6 +7 somma

–2

–1

–3

(−1) + (−3) = −4

–6

–5

–4 –3 somma

• Addendi discordi

(+5) + (−6) = −1

(−5) + (+8) = +3

–6 –6

–6

–5

–4

–3

–2

–1 0 somma +8

–1

u +2 +3 +4 somma

Il “segno” che determina gli spostamenti sulla retta, e quindi il risultato, è quello del secondo addendo.

La somma di due numeri relativi concordi è concorde agli addendi e ha come valore assoluto la loro somma. La somma di due numeri relativi discordi ha il segno dell’addendo con valore assoluto maggiore e come valore assoluto la differenza dei valori assoluti.

I numeri relativi

È possibile scrivere un’addizione tra numeri relativi con la scrittura semplificata, cioè omettendo il segno + che indica l’operazione e le parentesi che racchiudono i numeri.

ON ZI

L SO U

UNITÀ

(− 52 ) + (+ 32 ) = − 52 + 32 = − 410+ 15 = + 1011 E

ESEMPIO

Facciamo i conti per lo zio di Pietro: 1 800 € − 1 680 € = 120 € → 120 € − 190 € = −70 €. Se lo zio acquista lo smartphone, va in “rosso”, cioè in debito di 70 €.

Primi

ESERCIZI

1 Completa. a) La somma di (+7) e (+15) ha segno e come (7 + 15) b) La somma di (−2) e (−10) ha segno e come (2 + 10) c) La somma di due numeri relativi opposti è d) La somma di (−8) e (+5) ha segno e come (8 − 5) 2 Scrivi le addizioni indicate dagli spostamenti effettuati sulle rette orientate sottostanti. u

–6

–5

–4

–3

–2

–1

+2 +3 somma

(−4) + (

)+(

–8

–7 –6 somma

–5

–4

–3

–2

–1

(

3 Utilizzando la scrittura semplificata, risolvi le seguenti addizioni di numeri interi relativi. a) (+3) + (+15) = +3 +15 =

(−6) + (−14) =

b) (+18) + (−18) = +18 −18 =

(−10) + (−17) =

c) (−18) + (−18) =

(−39) + (+12) =

4 Utilizzando la scrittura semplificata, risolvi le seguenti addizioni di numeri razionali relativi.

(− 21 ) + (+ 43 ) = – 21 + 43 = 5 3 b) (− ) + (− ) = 3 2 7 7 c) (+ ) + (− ) = 3 3 4 1 d) (− ) + (+ ) = 5 2 a)

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5

MATEMATICA IN AZIONE Paolo

e Margherita sono in vacanza a Madrid in un hotel di 15 piani. Posteggiano l’auto nel garage situato al piano –3 e salgono di 12 piani per arrivare alla loro stanza.

A che piano è situata la loro camera?

ALTRI ESERCIZI

PAG. 35

LEZIONE

Piani dell’hotel

4 SOTTRAZIONE

LEZIONE

Emma sta svolgendo una ricerca sulla vita di Archimede e Pitagora e trova le date di nascita e di morte dei due matematici: Archimede → nato nel 287 a.C. (−287 data non certa), morto nel 212 a.C. (−212); Pitagora → nato nel 575 a.C. (−575), morto nel 495 a.C. (−495). Chi è vissuto più a lungo?

SUCCE.D.E. CHE

Per rispondere deve effettuare delle sottrazioni con numeri relativi. Per eseguire la sottrazione (− 3) − (+ 2) dobbiamo trovare quel numero che addizionato al sottraendo (+ 2) dà come risultato il minuendo (− 3) → (+ 2) + ? = (− 3) Se utilizziamo la retta dei numeri scopriamo che il numero cercato è − 5. u –6

–5

–4

–3

–2

–1

–5

La differenza tra due numeri relativi si calcola con la seguente regola.

La differenza di due numeri relativi, dati in un certo ordine, si ottiene addizionando al primo l’opposto del secondo. ESEMPIO

(− 3) − (+ 2) = (− 3) + (− 2) = − 3 − 2 = − 5

La regola vale anche se da un numero relativo si sottrae una somma indicata.

UNITÀ

Scriviamo l’addizione di numeri opposti −15 − (+5 + 12 − 8 − 3) + 7 = −15 + (−5 − 12 + 8 + 3) + 7 Da cui: −15 − 5 − 12 + 8 + 3 + 7 = −14 ON ZI

L SO U

ESEMPIO

I numeri relativi

Quando una parentesi tonda è preceduta da un segno – e contiene l’addizione di più numeri relativi, si possono sopprimere le parentesi e il segno –, scrivendo gli addendi contenuti nelle parentesi uno dopo l’altro con il segno opposto.

Calcoliamo le età di Archimede e Pitagora: Archimede → −212 − (−287) = −212 + 287 = 75 anni; Pitagora → −495 − (−575) = −495 + 575 = 80 anni. È vissuto più a lungo Pitagora.

Primi

ESERCIZI

1 Rispondi con Vero o Falso. a) (−3) − (−5) = (−3) + (+5)

( 43 ) − (− 32 ) = + 43 − 32

b) +

2 Trasforma le seguenti sottrazioni in addizioni e risolvile. a) (−5) − (+3) = –5 + (–3) = –5 – 3 = b) (−7) − (−3) = –7 + (+3) = –7 + 3 = c) +15 − (+10) = 3 Esegui le seguenti sottrazioni nel modo più veloce, scrivendo subito dopo il minuendo l’opposto del sottraendo. a) (−8) − (−3) = –8 + 3 = b) −3 − (−4) − (+5) = c) −

( ) ( )

3 5 1 3 5 1 − + − − = – – + = 4 3 2 4 3 2

4 Risolvi le seguenti sottrazioni, eliminando prima le parentesi tonde.

a) −7 − (+4 − 5) = –7 – 4 + 5 =

( ) ( ) (

5 3 1 5 3 1 − + − = – + = 4 2 8 4 2 8 2 1 3 7 − + − − = c) − 5 2 4 10 b)

MATEMATICA IN AZIONE Le grotte di sale di

Wieliczka, vicino a Cracovia in Polonia, hanno una profondità massima di 327 m. In queste grotte si trovano cose molto interessanti: tra l’altro alla profondità di 135 m c’è una stazione termale, dove si pratica la “subterraneoterapia” per la cura delle malattie polmonari, e a 104 m sottoterra c’è un lago profondo ben 9 m. a) Esprimi le tre profondità con numeri relativi (essendo profondità, vanno espresse con un numero negativo): profondità 327 m → b) Calcola il dislivello tra la profondità massima e: 1) il centro termale

2) la superficie del lago ALTRI ESERCIZI

PAG. 38

LEZIONE

)

5 ADDIZIONE ALGEBRICA

LEZIONE

Emma e Pietro, che hanno studiato l’addizione e la sottrazione con i numeri relativi, stanno svolgendo i compiti e si chiedono: c’è differenza tra queste due operazioni?

SUCCE.D.E. CHE

La risposta è nelle righe che seguono. La sottrazione fra numeri relativi diventa un’addizione; in algebra, quindi, le due operazioni sono un’unica operazione, l’addizione algebrica, che ha come risultato la somma algebrica. ESEMPIO

15 + (−3) − (+20) − (−7) = 15 + (−3) + (−20) + (+7) in forma semplificata 15 − 3 − 20 + 7 = −1 (somma algebrica)

L’addizione algebrica gode delle stesse proprietà studiate per l’addizione nell’insieme N: commutativa e associativa. Queste proprietà sono utili per svolgere più velocemente le somme algebriche.

Se un’addizione algebrica presenta due addendi opposti, questi si possono sopprimere perché la loro somma è zero. In simboli: + a − a = 0 La somma di più numeri relativi si può ottenere calcolando la somma di tutti gli addendi positivi e quella di tutti gli addendi negativi ed eseguendo poi la somma algebrica dei due numeri discordi così ottenuti.

ESEMPIO

− 25 − 3 + 12 − 5 + 8 + 1 con la proprietà commutativa → − 25 − 3 − 5 + 12 + 8 + 1 con la proprietà associativa → − 33 + 21 = − 12

oppure oppure

+ 12 + 8 + 1 − 25 − 3 − 5 + 21 − 33 = − 12

Se in un’addizione algebrica compare una parentesi tonda preceduta dal segno + e contenente l’addizione di più termini, si possono sopprimere la parentesi e il segno + che la precede e scrivere gli addendi in essa contenuti, ciascuno con il proprio segno. I numeri relativi

ESEMPIO

L SO U

ON ZI

UNITÀ

− 19 + (−11 + 7) + (− 5 + 3) sopprimendo le parentesi → − 19 − 11 + 7 − 5 + 3 con la proprietà commutativa → − 19 − 11 − 5 + 7 + 3 con la proprietà associativa → − 35 + 10 = − 25

In algebra l’addizione e la sottrazione diventano un’unica operazione: l’addizione algebrica.

Primi

ESERCIZI

1 Risolvi applicando le proprietà commutativa e associativa. a) −15 + 12 − 28 + 5 − 4 − 35 = –15 – 28 – 4 – 35 + 12 + 5 = b) +9 − 8 − 10 + 7 + 3 = c) − 5 + 4 + 5 − 1 = 9 3 6 2 2 Risolvi le seguenti addizioni algebriche applicando adeguatamente le proprietà. a) +5 + (−6 + 9) − (−3 + 12) = +5 – 6 + 9 + 3 – 12 = +5 + 9 + 3 – 6 – 12 = b) −

( ) (

)

1 1 7 + − − 2− = 4 9 12

ESEMPIO

Il segno – prima della parentesi fa cambiare tutti i segni degli addendi contenuti al suo interno.

c) −[(+12 − 5 + 7) − (−3 − 9 + 18)] + (−2 + 15) = –[+12 – 5 + 7 + 3 + 9 – 18] – MATEMATICA IN AZIONE Nella tabella

sono riportati i movimenti di denaro effettuati da Alessia sul suo conto corrente in alcuni giorni del mese di ottobre.

a) Completala, calcolando di volta in volta il nuovo saldo e sapendo che il capitale di Alessia al 5 ottobre era di 150 €.

Movimenti 5 ottobre

+ 30,00

7 ottobre

− 12,90

8 ottobre

− 183,50

11 ottobre

+ 67,75

Calcoli

Saldo +150,00

150,00 + 30,00 =

b) Scrivi ora l’espressione che ti permette di calcolare il saldo finale, tenendo conto di tutti i movimenti di denaro effettuati da Alessia: ALTRI ESERCIZI

PAG. 42

5 LEZIONE

6 MOLTIPLICAZIONE

LEZIONE

Pietro ha iniziato da poco un corso di immersioni subacquee e ha saputo che l’estate scorsa il suo istruttore Max ha compiuto un’immersione nell’oceano Atlantico scendendo in profondità di 15 m ogni minuto (15 m/min). Di quanti metri sarà sceso dopo 3 minuti? E di quanti dopo 5 minuti?

SUCCE.D.E. CHE

Per rispondere dobbiamo risolvere delle moltiplicazioni con numeri relativi. Per moltiplicare due numeri relativi si possono addizionare tanti addendi uguali al primo numero quanti ne indica il secondo. 5 · 2 = 5 + 5 = 10

− 7 · 3 = (− 7) + (− 7) + (− 7) = − 21

Il prodotto di due numeri relativi concordi è sempre un numero positivo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti. Il prodotto di due numeri relativi discordi è sempre un numero negativo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti.

14 • Fattori concordi positivi (+) · (+) (+ 8) · (+ 3) = (+ 8) + (+ 8) + (+ 8) = + 8 + 8 + 8 = + 24 • Fattori discordi (–) · (+) oppure (+) · (–) (− 4) · (+ 2) = (− 4) + (− 4) = − 4 − 4 = − 8 ma anche: (+ 2) · (−4) = − 8

a · (+ 1) = + 1 · a = a → +1 è elemento neutro per il prodotto a·0=0·a=0 → 0 annulla il prodotto

• Fattori concordi negativi (–) · (–) (− 2) · (− 7) = − (+ 2) · (− 7) = − (−7) · (+ 2) = − (− 7 − 7) = − (− 14) = + 14 Il segno del prodotto di due numeri relativi è dato dalla regola dei segni. (+) · (+) = (+) (+) · (−) = (−) (−) · (+) = (−) (−) · (−) = (+) I numeri relativi

ESEMPIO

b) +7 · (−2) = −14

c) −

( )

1 63 3 ⋅ + =− 42 5 10

Nell’insieme dei numeri relativi la moltiplicazione gode delle seguenti proprietà: commutativa, associativa, distributiva rispetto all’addizione algebrica. L SO U

ON ZI

UNITÀ

a) (+8) · (+3) = +24

Le discese di Max sono: dopo 3 minuti → (−15 m/min) · 3 min = −45 m; dopo 5 minuti → (−15 m/min) · 5 min = −75 m.

Primi

ESERCIZI

1 Rispondi con Vero o Falso. a) Il prodotto di due numeri relativi concordi è sempre un numero positivo.

b) Il prodotto di due numeri relativi discordi può essere un numero positivo o negativo.

c) Il prodotto di due numeri negativi è sempre negativo.

d) Il valore assoluto del prodotto si ottiene moltiplicando i valori assoluti dei fattori della moltiplicazione.

2 Completa le seguenti uguglianze riguardanti la regola dei segni per il prodotto. a) (+) · (+) =

(+) · (−) =

(+) · ( ) = +

(+) · ( ) = −

b) (−) · (+) =

(−) · (−) =

( ) · (+) = −

( ) · ( ) = +

3 Applicando le regole, risolvi le seguenti moltiplicazioni. a) (+8) · (+5) =

(−7) · (+6) =

(+3) · (−9) =

b) (−11) · (−3) =

(−5) · (−9) =

(−7) · (−10) =

( )( )

(− 43 ) ⋅ (− 169 ) = 7 e) (−2) ⋅ (+ ) = 18 4 35 f) + ⋅ (− ) = 5 28

( )( ) (− 1522 ) ⋅ (+ 115) = (− 157 ) ⋅ (+ 143 ) = 17 32 − ⋅ − = 24 ( 51 )

MATEMATICA IN AZIONE Nella prova scritta di un test

di ammissione all’Università ogni risposta errata viene conteggiata – 3 punti. Simone in quella prova, su 100 risposte, ne ha sbagliate 4; invece Carla ne ha sbagliate 6. Quanti punti ha perso Simone e quanti Carla?

Simone Carla ALTRI ESERCIZI

PAG. 50

LEZIONE

2 15 21 27 9 9 − ⋅ + = + ⋅ − = – 5 8 31 14 7 7

7 DIVISIONE

LEZIONE

SUCCE.D.E. CHE

La mamma di Emma nella scorsa settimana ha effettuato i seguenti movimenti sul conto corrente: lunedì +235 €; martedì −40 €; mercoledì −35 €; giovedì −145 €; venerdì +38 €; sabato −60 €; domenica −56 €. La media dei movimenti settimanali è positiva o negativa?

Per trovare la media, la mamma deve risolvere una divisione con numeri relativi. Il quoziente fra due numeri è quel numero che, moltiplicato per il divisore, dà come risultato il dividendo. Questa definizione vale anche nell’insieme R.

Il quoziente di due numeri relativi, di cui il secondo diverso da zero, è quel numero relativo che ha per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti e per segno: il segno + se i due numeri sono concordi, il segno – se i due numeri sono discordi.

• Dividendo e divisore concordi positivi (+) : (+) o negativi (–) : (–) +10 : (+2) = +5

perché

+5 · (+2) = +10

−33 : (−11) = +3

perché +3 · (−11) = −33

UNITÀ

perché

−6 · (+4) = −24

+45 : (−5) = −9

perché

−9 · (−5) = +45

Anche per il quoziente di due numeri relativi si usa la regola dei segni: (+) : (+) = (+) (−) : (−) = (+) (−) : (+) = (−) (+) : (−) = (−)

e Lo 0 nella division 0 : (+5) = 0 iente impossibile —8 : 0 → quoz nte 0 : 0 → quozie rminato te de in

La divisione nell’insieme dei numeri relativi gode delle proprietà invariantiva e distributiva rispetto all’addizione algebrica. ON ZI

L SO U

−24 : (+4) = −6

I numeri relativi

• Dividendo e divisore discordi (–) : (+) oppure (+) : (–)

Calcoliamo la media dei movimenti della mamma di Emma: (+ 235 − 40 − 35 − 145 + 38 − 60 − 56) € (+ 273 − 336) € 63 = = − € = −9 € 7 7 7 La media è quindi negativa.

Primi

ESERCIZI

1 Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false. a) La divisione è impossibile se il dividendo è 0.

b) Il quoziente è indeterminato se dividendo e divisore sono uguali a zero.

c) Il quoziente è uguale a 0 se solo il dividendo è uguale a 0.

2 Completa le seguenti uguaglianze, inserendo i termini mancanti. a) (−21) : ( ) = −7

c) (−48) : ( ) = +6

b) ( ) : (+2) = −19

d) (−121) : (−11) = ESEMPIO

Risolvi le seguenti divisioni fra numeri relativi.

(− 43 ) : (+ 98 ) = (− 34 ) ⋅ (+ 89 ) = − 23

3 a) (+150) : (−5) = b) (−63) · (−7) =

78 65 = b) (− ) : (− (− 23 ) : (+ 158 ) = 51 34 ) c) (− 9 ) : (+ 3 ) : (+ 1 ) = (− 9 ) ⋅ (+ 2 ) ⋅ ( + )= 8 2 2 8 3

4 a)

..........

5 Completa la seguente tabella. a

+0,3

12 + 7 3 − 14

a:b b:a

MATEMATICA IN AZIONE Ubaldo ha trovato questa tabella con le temperature

minime di alcuni giorni del marzo 2 019 a Mosca. Date marzo

Temperatura minima °C

−1

−2

−1

−2

−3

−1

a) Quale dei due calcoli deve utilizzare Ubaldo per trovare la media delle temperature? −1 − 1 + 0 − 2 − 2 − 1 − 2 − 3 + 0 − 1 + 3 + 4 12

−1 − 1 + 0 − 2 − 2 − 1 − 2 − 3 + 0 − 1 + 3 + 4 31

b) Calcola la media delle temperature. ALTRI ESERCIZI

PAG. 56

7 LEZIONE

8 POTENZE

LEZIONE

Pietro deve calcolare queste potenze: (−7)2 e (−7)3. Le risolve in questo modo: (−7)2 = −49 e (−7)3 = −343, ma sua sorella gli dice che il risultato della prima non è −49 ma +49. Chi ha ragione?

SUCCE.D.E. CHE

Per rispondere osserva gli esempi e le regole. (+3)2 = +3 · (+3) = +9

(–5)2 = −5 · (−5) = +25

(+2)3 = +2 · (+2) · (+2) = +8

(–5)3 = −5 · (−5) · (−5) = –125

Dagli esempi puoi osservare che il risultato di una potenza di numeri relativi è negativo solo quando la base è negativa e l’esponente è dispari.

(+5)0 = +1 (—5)0 = +1

La potenza di un numero relativo positivo è sempre positiva indipendentemente dall’esponente. La potenza di un numero relativo negativo è: • positiva se l’esponente è pari, • negativa se l’esponente è dispari.

(+6)1 = +6 (—6)1 = —6

Potenze con esponente negativo Una potenza con esponente negativo è il reciproco con esponente positivo. a −n b n 1 = con a e b ≠ 0 In simboli: a−n = n con a ≠ 0 b a a

() ()

ESEMPIO

a) (2)−3 =

( 23 ) = ( 32 ) = 94 −2

I numeri relativi

Le proprietà delle potenze valgono anche per i numeri relativi e per le potenze con esponente negativo. ESEMPIO

( )

3 2  −3 3 2⋅(−3) 3 −6 = + = + a) (+5)–3 · (+5)–2 = (+5)−3+(−2) = (+5)–5 c)  +  5  5 5 –5 –3 −5−(−3) −5+3 –2 b) (−8) : (−8) = (−8) = (−8) = (−8)

1 L SO U

ON ZI

UNITÀ

1 1 = b) 23 8

Ha ragione la sorella di Pietro; infatti, (−7) 7)2 ha come risultato +49 e non −49.

Primi

ESERCIZI

1 Stabilisci, utilizzando la regola, se le seguenti potenze hanno un risultato positivo (+) o negativo (–). 2 5 2 3 a) (−10) 4 c) (−7) 2 e) + g)  − 4  5  3 

( ) 1 f) (− ) 2 2

d) −7 2

b) (−3) 3

( )

(− 21 ) 4

2 Risolvi le seguenti potenze.

(− 32 ) =

(−3) 4 =

(− 71) =

(− 45 ) =

b) (+5) 3 =

(+12) 2 =

(−4) 5 =

(−7) 0 =

3 Risolvi i seguenti esercizi applicando le proprietà delle potenze. a) (−5) 2 · (−5) 4 : (−5) 3 = b)

c) [(−2) 2 ] 3 =

(− 37 ) : (+ 213) = 3

(+ 89 ) : (− 43 ) = 2

4 Risolvi le seguenti potenze con esponente negativo.

( ) ( ) ( ) 2 1 b) (− 3 ) = (+ ) = (− 1 ) = (− ) = 5 2 4 4 c) (−2) = (−5) = (+ 45 ) = (− 87 ) = a) (−3) −2 =

1 −2 = 5

2 −2 = 7

−1

−5

−3

−

3 −3 = 2

−2

−4

−3

−2

MATEMATICA IN AZIONE Le Sim card sono dei microchip, cioè dei microcomputer,

installati nei cellulari. Le loro misure sono via via diminuite e si è passati dalla SIM card alla Micro SIM alla Nano SIM. a) Completa la tabella trasformando le potenze con esponente negativo: SIM

Lunghezza

Larghezza

Micro SIM 150 · 10−1

mm 120 · 10−1

Nano SIM 123 · 10−1

88 · 10−1

150 ⋅ 10−1 = 150 ⋅

1 = 10

b) Calcola la differenza tra le dimensioni della Micro SIM e quelle della Nano SIM: Lunghezza → Larghezza →

ALTRI ESERCIZI

PAG. 64

LEZIONE

−

NOTAZIONE LEZIONE 9 SCIENTIFICA Emma, cercando informazioni sull’uranio, trova che il raggio di un atomo di uranio misura 156 pm. Non conosce il simbolo pm e trova in rete che pm è il simbolo del picometro, una misura che vale 10−12 m. A quanti metri corrisponde un picometro?

SUCCE.D.E. CHE

Per rispondere bisogna conoscere la corrispondenza tra numeri decimali e potenze di dieci con esponente negativo.

10−1 =

1 = 0,1 10

1 cifra decimale

10−2 =

1 1 = 0,01 2 = 10 100

2 cifre decimali

10−3 =

1 1 = 0,001 3 = 10 1000

3 cifre decimali

10−4 =

1 1 = 0,0001 4 = 10 10000

4 cifre decimali

Si nota che il numero delle cifre decimali è uguale alle unità dell’esponente. Quindi per scrivere numeri molto piccoli si ricorre alla notazione scientifica con potenze di dieci con esponente negativo. La notazione scientifica è anche detta notazione esponenziale o forma standard di un numero. ESEMPIO

a) La dimensione dei protoni si misura con il femtometro (fm) che corrisponde a 10−15 m. b) Le dimensioni dei virus vanno da 20 a 50 nanometri (nm); un nanometro corrisponde a 10−9 m.

I numeri relativi

Per scrivere un numero decimale in notazione scientifica o esponenziale o forma standard si trasforma il numero dato in prodotto di un numero, compreso tra 1 e 10, per una potenza di dieci con esponente negativo.

a) 0,000 000 25 = 2,5 · 0,000000 1 = 2,5 · 10 –7 b) Lo spessore del filo di una ragnatela è di 0,000 007 m; in notazione scientifica diventa 7 · 10−6 m. c) Il virus dell’AIDS misura 0,000 000 9 m; in notazione scientifica diventa 9 · 10−7 m. L SO U

ON ZI

UNITÀ

ESEMPIO

10−12 m = 0,000000000001 m è una misura molto piccola che si utilizza per misurare le dimensioni degli atomi.

Primi

ESERCIZI

1 Indica se le affermazioni sono vere o false. a) 8,4 · 10− 4 è la notazione scientifica del numero 0,000 84.

b) 0,000 000 1 corrisponde a 10−7.

c) 7 · 10−3 = 7 · 0,001 = 0,007.

d) 1,5 · 10−5 = 0,000 15.

e) 12 · 10−5 è la notazione scientifica del numero 0,000 12.

2 Quali numeri non sono scritti correttamente in notazione scientifica? Spiega perché. 58 · 10− 6 4 · 10−11 0,9 · 10−9 8 · 1,0−13 3 Trasforma le seguenti scritture dalla notazione scientifica ai corrispondenti numeri decimali. a) 2 · 10−9 =

d) 8 · 10−7 =

b) 3,4 · 10−5 =

e) 1,5 · 10− 8 =

c) 1,4 · 10−10 =

f) 2,25 · 10−11 =

4 Scrivi i seguenti numeri decimali, utilizzando la forma standard o notazione scientifica. a) 0,000 000 000 03 =

d) 0,000 000 000 073 5 =

b) 0,000 000 000 000 57 =

e) 0,000 000 000 000 009 1 =

c) 0,000 000 000 000 2 =

f) 0,000 000 000 000 000 752 =

MATEMATICA IN AZIONE Considera le seguenti misure scritte in forma

standard e trasformale nei decimali corrispondenti. a) Diametro di un globulo rosso = 8 · 10− 6 b) Diametro di una galassia = 9,5 · 10 20 c) Raggio di un atomo di idrogeno (H) = 2,5 · 10−10 d) Raggio della Terra = 6,4 · 10 6 e) Diametro dell’elica del DNA = 2 · 10−9 f) Altezza del grattacielo Burj Khalifa a Dubai = 8,29 · 10 2 Ordinale in senso crescente:

ALTRI ESERCIZI

PAG. 77

LEZIONE

ESTRAZIONE DI RADICE LEZIONE 10 QUADRATA E CUBICA

SUCCE.D.E. CHE

Il papà di Pietro vuole acquistare delle scatole portaoggetti per riordinare gli scaffali della libreria. Trova dei contenitori cubici che potrebbero andare bene; il loro volume è di 27 dm3. Quanti ne può mettere su ogni mensola lunga 1 m?

Per saperlo il papà di Pietro deve calcolare la misura dello spigolo della scatola estraendo la radice cubica del volume.

Estrazione di radice quadrata Sappiamo che la radice quadrata di un radicando è quel numero che elevato alla seconda dà il radicando. Con i numeri relativi si possono verificare due casi. a) Il radicando è un numero positivo

La radice quadrata di un numero relativo positivo ha due possibili risultati, uno positivo e uno negativo. Infatti, qualsiasi numero relativo, positivo o negativo, elevato alla seconda dà sempre un numero positivo.

ESEMPIO

+81 = ±9 infatti → + 9 · (+9) = +81, ma anche −9 · (−9) = +81

mero ± sign ifica ch e il nusitivo pu ò essere sia po sia negativo.

b) Il radicando è un numero negativo

La radice quadrata di un numero negativo non ha soluzione nell’insieme dei numeri relativi. Infatti, nessun numero relativo moltiplicato per se stesso dà un risultato negativo. ESEMPIO

I numeri relativi

−121 non ha soluzione in R perché non esiste un numero relativo che elevato alla seconda dia come risultato −121.

UNITÀ

L’estrazione di radice quadrata di un numero negativo si risolve con i numeri immaginari, oggetto di studio della scuola secondaria di 2° grado.

Estrazione di radice cubica La radice cubica di un radicando è quel numero che, elevato alla terza, dà il radicando. La radice cubica di un numero negativo o positivo esiste e ha un unico risultato.

La radice cubica di un numero relativo positivo è un numero positivo. La radice cubica di un numero relativo negativo è un numero negativo.

ESEMPIO 3 3

Lo spigolo delle scatole è 3 27 dm3 = 3 dm, cioè 30 cm; quindi il papà di Pietro ne potrà mettere al massimo 3 per ogni mensola. Infatti, 3 · 30 cm = 90 cm.

Primi

ESERCIZI

1 Indica quali radici quadrate non hanno soluzione in R. a)

−900

−289

1089

2 Risolvi le seguenti radici quadrate in R. a)

64 = ±

144 =

625 =

576 =

16 = 81

196 = 225

121 = 400

100 = 169

3 Risolvi le seguenti radici cubiche in R.

125 =

−

8 = 27

−216 =

343 =

125 = 8

−

1 = 512

−729 =

−

343 = 1000

MATEMATICA IN AZIONE ll Wind Chill Index (WCI), o indice di freddo, permette di calcolare la temperatura che si percepisce quando soffia il vento. Per esempio, se la temperatura esterna è di −5 °C e il vento soffia a 10 km/h, la temperatura percepita è di −9 °C. I meteorologi hanno trovato la seguente formula che consente di calcolare la temperatura percepita quando il vento soffia tra 1,8 m/s e 25 m/s: WCI = 33 – (33 – Ta) · (0,474 266 + 0,453 843 · V – 0,045 384 3 · V ) dove Ta = temperatura dell’aria (°C) e V = velocità del vento (m/s).

a) Calcola il WCI se il vento soffia a 4 m/s e la temperatura esterna è di −5 °C.

b) Calcola il WCI se il vento soffia a 9 m/s e la temperatura esterna è di 0 °C. (Utilizza la calcolatrice per eseguire i calcoli .)

ALTRI ESERCIZI

PAG. 80

LEZIONE

L SO U

ON ZI

−125 = −5 infatti → −5 · (−5) · (−5) = −125 +729 = +9 infatti → + 9 · (+ 9) · (+ 9) = +729

CURIOSITÀ STORICHE a cura del professor ODIFREDDI

Lo zero

Benché lo zero sia il primo numero intero, paradossalmente è stato l’ultimo a entrare in scena. Infatti, non lo conoscevano né i Greci, né i Romani. Fu introdotto verso il 500 d.C. da due civiltà che noi conosciamo poco, che purtroppo molto spesso sono trascurate anche nella didattica storiografica: i Gupta dell’India e i Maya del Centro America. Civiltà che non si conoscevano neppure fra loro, ovviamente, perché l’America non era ancora stata “scoperta”. Senza lo zero non si poteva introdurre il sistema decimale. Non bastava infatti avere le cifre da 1 a 9, che indicassero, a seconda della loro posizione, quante sono le unità, le decine, le centinaia, eccetera. Bisognava avere anche una cifra che indicasse la loro mancanza, e a questo serve appunto lo 0.

Il sistema di numerazione dei Maya, in cui lo zero veniva rappresentato come una conchiglia vuota.

Per indicare un ordine numerico vuoto i Maya inventarono lo zero.

Per esempio, quando scriviamo 302, indichiamo un numero composto da 3 centinaia e 2 unità (chiamato “trecento e due”, appunto), senza nessuna decina. Senza lo 0, però, non si potrebbe indicare la differenza tra 32, 302, 320, 3200, 3020 e 3002, e si sarebbe creata una gran confusione.

302

320...

Per evitarla, i Romani erano costretti a usare simboli diversi per quantità diverse: per esempio, I per le unità, X per le decine, C per le centinaia e M per le migliaia. E le ripetevano tante volte quante servivano: i numeri precedenti, dunque, si scrivevano XXXII, CCCII, CCCXX, MMMCC, MMMXX e MMMII. In origine gli Indiani indicavano lo zero con un pallino nero, che simboleggiava un buco, o l’impronta vuota di una pietra. E lo chiamavano sunya, che vuol dire “nulla”, o “vuoto”, nella loro lingua, il sanscrito. Gli Arabi tradussero questo concetto con la parola sifr, da cui deriva l’italiano “cifra”. In latino la parola araba fu adattata in zephirum, da cui deriva l’italiano “zero”. Ma questo avvenne molto tardi, e per veder utilizzata questa parola bisogna aspettare il 1491, quando lo zero aveva ormai circa mille anni. In matematica ci sono altri concetti simili allo zero: per esempio, il punto in geometria, e l’insieme vuoto nell’insiemistica. In fisica, l’analogo dello zero è il vuoto. In filosofia, il nulla e il non essere. In letteratura e in musica, il silenzio. Nell’arte, il buio e il nero, che sono l’assenza della luce e di tutti i colori (per inciso, il bianco è invece la somma di tutti i colori).

Caravaggio e lo “zero” nell’arte. La vocazione di San Matteo, particolare.