Statistika

Statistika Eka Aprilia, S.Pd.

Cara Menyajikan Data Dalam Tabel Distribusi Frekuensi Perhatikan nilai akhir semester matematika dari 80 orang siswa berikut :

Tabel Distribusi Frekuensi

Data Mentahan Eka Aprilia, S.Pd.

• Bagian-bagian pada Tabel Distribusi Frekunsi ➢ Kelas Interval Kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

➢ Batas Kelas Batas bawah 𝐵𝑏 = batas ujung bawah pada suatu kelas

Tabel Distribusi Frekuensi

Batas atas 𝐵𝑎 = batas ujung atas pada suatu kelas

➢ Tepi Kelas Tepi bawah 𝑇𝑏 = batas bawah – ketelitian data Tepi atas 𝑇𝑎 = batas atas + ketelitian data Keterangan : •

Jika data bilangan bulat, maka ketelitian data adalah 0,5

•

Jika data memuat satu tempat desimal, maka ketelitian data adalah 0,05

➢ Panjang Kelas (𝒑) 𝑝 = 𝑇𝑎 − 𝑇𝑏

➢ Titik Tengah Kelas Kelas (𝒙𝒊 ) 1 𝑥𝑖 = 𝐵𝑎 + 𝐵𝑏 2 Eka Aprilia, S.Pd.

•

Cara Mengelompokkan Data dalam Kelas-Kelas Interval ➢ Tentukan jangkauan (𝑱) 𝐽 = data terbesar – data terkecil

➢ Tentukan banyak kelas interval (𝑲) 𝐾 = 1 + 3,3 log 𝑛

➢ Tentukan panjang kelas 𝐽 𝑃= 𝐾

•

Latihan Sajikan data berikut dalam tabel distribusi frekuensi

•

𝐽 = 95 − 42 = 53

•

𝐾 = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 3,3(1,6)

• 𝑝=

53 6

= 8,83 ≈ 9

= 1 + 5,28 = 6,28 ≈ 6

42 − 50

6

51 − 59

12

60 − 68

6

69 − 77

8

78 − 86

5

87 − 95

3

Eka Aprilia, S.Pd.

Rataan Hitung (Mean) ➢ Rataan Hitung Data Tunggal •

•

Bentuk 2

Bentuk 1

Jika diketahui data : 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 mempunyai frekuensi 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , … , 𝑓𝑛

Jika diketahui data : 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛

dengan σ 𝑓 = 𝑛. Maka rataan hitung data tersebut adalah :

Maka rataan hitung data tersebut adalah : 𝑥ҧ =

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + … + 𝑥𝑛 σ 𝑥 = 𝑛 𝑛

Contoh :

𝑥ҧ =

𝑓1 𝑥1 + 𝑓2 𝑥2 + 𝑓3 𝑥3 + … + 𝑓𝑛 𝑥𝑛 σ 𝑓𝑥 = σ𝑓 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 + … + 𝑓𝑛

Contoh : Perhatikan data pada tabel berikut :

Diketahui data sebagai berikut : 8,8,8,7,7,9,10,11 Nilai rata-rata dari data tersebut adalah ….

8 + 8 + 8 + 7 + 7 + 9 + 10 + 11 𝑥ҧ = 8 =

68 = 8,5 8

Nilai rataan pada tabel tersebut adalah …

Jawab : 4.3 + 5.7 + 6.12 + 7.11 + 8.7 252 𝑥ҧ = = 6,3 = 3 + 7 + 12 + 11 + 7 40

Eka Aprilia, S.Pd.

•

Bentuk 3 Jika 𝑓1 bilangan membunyai rataan 𝑚1 , 𝑓2 bilangan yang mempunyai rataan 𝑚2 , …, dan 𝑓𝑛 bilangan mempunyai rataan 𝑚𝑛 . Maka rataan dari keseluruhan bilangan adalah : 𝑓1 𝑚1 + 𝑓2 𝑚2 + 𝑓3 𝑚3 + … + 𝑓𝑛 𝑚𝑛 σ 𝑓𝑚 𝑥ҧ = = σ𝑓 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 + … + 𝑓𝑛

Contoh : Tiga kelas A, B, dan C berturut-turut terdiri atas 10 siswa, 20 siswa, dan 15 siswa. Jika rata-rata kelas A adalah 56 rata-rata

kelas B adalah 47 dan rata-rata kelas C adalah 65. Maka ratarata nilai gabungan ketiga kelas tersebut adalah …

10.56 + 20.47 + 15.65 𝑥ҧ = 10 + 20 + 15 =

2475 = 55 45

Eka Aprilia, S.Pd.

➢ Rataan Hitung Data Kelompok •

Metode Biasa

Jawab :

σ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑥ҧ = σ 𝑓𝑖

12

48

Keterangan :

17

136

𝑓𝑖 = frekuensi kelas ke- 𝑖

22

110

𝑥𝑖 = nilai tengah kelas ke- 𝑖

27

162

Contoh :

32

128

37

111

Hitunglah rata-rata data pada tabel di bawah ෍ = 30

ini

෍ = 695

σ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑥ҧ = σ 𝑓𝑖 695 = 23,16 = 30

Eka Aprilia, S.Pd.

➢ Rataan Hitung Data Kelompok •

Metode Simpangan Rata-Rata

σ 𝑓𝑖 𝑑𝑖 𝑥ҧ = 𝑥ҧ𝑠 + σ 𝑓𝑖

Jawab :

Keterangan :

12

−10

−40

𝑥ҧ𝑠 = rataan sementara

17

−5

−40

𝑓𝑖 = frekuensi kelas ke- 𝑖

22

0

0

𝑥𝑖 = nilai tengah kelas ke- 𝑖

27

5

32

10

30 40

37

15

45

Contoh : Hitunglah rata-rata data pada tabel di bawah ෍ 𝑓𝑖 = 30

ini

෍ 𝑓𝑖 𝑑𝑖 = 35

σ 𝑓𝑖 𝑑𝑖 𝑥ҧ = 𝑥ҧ𝑠 + σ 𝑓𝑖 35 = 22 + 30 = 22 + 1,16 = 23,16

Eka Aprilia, S.Pd.

➢ Rataan Hitung Data Kelompok •

Metode Simpangan Rata-Rata

Nilai

Frekuensi

𝒙𝒊

𝒅𝒊

𝒖𝒊

𝒇𝒊 𝒖𝒊

10-14

4

12

−10

−2

−8

15-19

8

17

−5

−1

−8

𝑓𝑖 = frekuensi kelas ke- 𝑖

20-24

5

22

0

0

0

𝑥𝑖 = nilai tengah kelas ke- 𝑖

25-29

6

27

5

1

6

𝑝 = panjang kelas

30-34

4

32

10

2

8

35-39

3

37

15

3

9

Keterangan : σ 𝑓𝑖 𝑢𝑖 𝑥ҧ = 𝑥ҧ𝑠 + .𝑝 σ 𝑓𝑖

Jawab :

𝑥ҧ𝑠 = rataan sementara

Contoh : Hitunglah rata-rata data pada tabel di bawah ini

෍ 𝑓𝑖 = 30

෍ 𝑓𝑖 𝑢𝑖 = 7

σ 𝑓𝑖 𝑢𝑖 𝑥ҧ = 𝑥ҧ𝑠 + .𝑝 σ 𝑓𝑖 7 = 22 + . 5 30 7 = 22 + 6 = 22 + 1,16 = 23,16 Eka Aprilia, S.Pd.

Modus Nilai datum yang sering muncul

➢ Data Tunggal Modus dari data tunggal adalah nilai datum yang sering

Contoh 2 : Tentukan modus dari data berikut :

muncul atau datum dengan frekuensi terbesar.

Berat (Kg)

40

43

46

49

52

55

Nilai modus mungkin tidak ada, satu buah, atau lebih dari satu.

Banyak Siswa

6

8

17

8

6

3

Contoh 1 : Tentukan modus dari data berikut : a. 3,4,5,6,6,6,7,7

Jawab : 𝑀𝑜 = 46

b. 3,4,5,5,6,6,7,7,8 c. 3,3,4,4,5,5,6,6

Jawab : a. 𝑀𝑜 = 6 b. 𝑀𝑜 = 5,6,7 c. 𝑀𝑜 = tidak ada

Eka Aprilia, S.Pd.

➢ Data Berkelompok Contoh 1 : 𝑑1 𝑀𝑜 = T𝑏𝑚𝑜 + 𝑝 𝑑1 + 𝑑2

Tentukan modus dari data berikut :

Keterangan : T𝑏𝑚𝑜 = Tepi bawah kelas modus 𝑑1

= Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas

sebelumnya. 𝑑1

= Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas

sesudahnya. 𝑝

= Panjang kelas

𝑝= 6

Nilai

Frekuensi

31-36

6

37-42

4

43-48

9

𝑀𝑜 = T𝑏𝑚𝑜 +

𝑑1 𝑝 𝑑1 + 𝑑2

= 48,5 +

5 6 5+4

= 48,5 +

5 6 9

𝑑1 = 14 − 9 = 5

49-54

14

55-60

10

61-66

2

= 48,5 + 3,33

67-72

5

= 51,83

𝑑2 = 14 − 10 = 4

= 48,5 +

30 9

Kelas Modus T𝑏𝑚𝑜 = 49 − 0,5 = 48,5

Eka Aprilia, S.Pd.

Contoh 2 : Tentukan modus dari data berikut : Nilai

Frekuensi

50-59

3

T𝑏𝑚𝑜 = 𝑑1 =

60-64

9

𝑑2 =

65-69

14

𝑝=

70-74

37

75-79

25

80-84

8

85-89

4

𝑀𝑜 = T𝑏𝑚𝑜 +

𝑑1 𝑝 𝑑1 + 𝑑2

= 69,5 +

23 5 23 + 12

= 69,5 +

23 5 35

23 7 = 69,5 + 3,29 = 69,5 +

= 72,79

Jadi modus data tersebut adalah 72,79

Eka Aprilia, S.Pd.

Contoh 3 : Perhatikan histogram berikut, tentukan nilai modus data tersebut :

𝑀𝑜 = T𝑏𝑚𝑜 +

𝑑2 = 15 − 12 = 3

𝑑1 𝑝 𝑑1 + 𝑑2

7 = 45,5 + 5 7+3

𝑑1 = 15 − 8 = 7

7 = 45,5 + 5 10 7 = 45,5 + 2 = 45,5 + 3,5 = 49 𝑀𝑜

Jadi modus data tersebut adalah 49

𝑇𝑏𝑚𝑜 = 45,5

Eka Aprilia, S.Pd.

Median dan Kuartil • Median membagi sebaran data menjadi 2 bagian yang sama • Kuartil membagi sebaran data menjadi 4 bagian yang sama 𝑥1

𝑥𝑛

𝑥𝑖

𝑄1

𝑀𝑒 = 𝑄2

𝑄3

Keterangan : 𝑄1 = Kuartil bawah 𝑄2 = Kuartil tengah 𝑄3 = Kuartil atas

Eka Aprilia, S.Pd.

➢ Menentukan median dan kuartil data tunggal •

Contoh Tentukan median, kuartil bawah, kuartil tengah dan kuartil atas data berikut 10, 15, 15, 20, 50, 45, 55, 60, 57, 80, 15, 25, 30

Penyelesaian : Data terurut 10, 15, 15, 15, 20, 25, 30, 45, 50, 55, 57, 60, 80 𝑀𝑒 = 30 𝑄1 15 + 15 = 15 2

𝑀𝑒 = 𝑄2

𝑄3 55 + 57 = 56 2

𝑄1 = 15 𝑄2 = 30 𝑄3 = 56

Eka Aprilia, S.Pd.

➢ Menentukan median dan kuartil data kelompok 1 𝑛 − σ 𝑓−𝑖 4 𝑄𝑖 = 𝑇𝑏𝑖 + 𝑝 𝑓𝑖

Contoh 1

▪

Tentukan 𝑄1 , 𝑄2 , 𝑄3 dan median dari data berikut :

Keterangan : 𝑄𝑖

•

= Kuartil 𝑘𝑒 − 𝑖 (𝑖 = 1,2,3)

𝑇𝑏𝑖 = Tepi bawah kelas kuartil 𝑘𝑒 − 𝑖 𝑛

12,5 − 10 𝑄1 = 42,5 + 6 9

= Jumlah semua frekuensi

σ 𝑓−𝑖 = Jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil 𝑘𝑒 − 𝑖 𝑓𝑖

= Frekuensi kelas kuartil 𝑘𝑒 − 𝑖

𝑝

= Panjang Kelas

Kuartil Bawah 𝑸𝟏 1 𝑛 − σ 𝑓−1 4 𝑄1 = 𝑇𝑏1 + 𝑝 𝑓1

2,5 𝑄1 = 42,5 + 6 9 𝑛 = 50

•

1 𝑛 4

=

1 4

50 = 12,5

Kelas 𝑄1 𝑇𝑏1

5 𝑄1 = 42,5 + 3 𝑄1 = 42,5 + 1,67

= 43 − 0,5 = 42,5

𝑄1 = 44,17

෍ 𝑓−1 = 10

𝑓1 = 9

𝑝=6 Eka Aprilia, S.Pd.

•

•

2 𝑛 4

=

2 4

𝑇𝑏2

= 49 − 0,5 = 48,5

50 = 25

෍ 𝑓−2 = 19

𝑓2 = 14 •

3 4

𝑝=6

3 𝑛 4

=

𝑇𝑏3

= 55 − 0,5 = 4,55

Kuartil Bawah 𝑸𝟐

•

Kuartil Bawah 𝑸𝟑

2 𝑛 − σ 𝑓−2 4 𝑄2 = 𝑇𝑏2 + 𝑝 𝑓2

3 𝑛 − σ 𝑓−3 4 𝑄3 = 𝑇𝑏3 + 𝑝 𝑓3

25 − 19 𝑄2 = 48,5 + 6 14

37,5 − 33 𝑄3 = 54,5 + 6 10

6 𝑄2 = 48,5 + 6 14

𝑄3 = 54,5 +

36 𝑄2 = 48,5 + 14

27 𝑄3 = 54,5 + 10

𝑄2 = 48,5 + 2,57

𝑄3 = 54,5 + 2,7

𝑄2 = 51,07

𝑄3 = 57,2

4,5 6 10

50 = 37,5

෍ 𝑓−3 = 33

𝑓3 = 10

𝑝=6

Eka Aprilia, S.Pd.

▪ Contoh 2 : Perhatikan histogram berikut, tentukan median data tersebut :

𝑀𝑒 = 𝑄2 2 𝑛 − σ 𝑓−2 4 𝑀𝑒 = 𝑇𝑏2 + 𝑝 𝑓2 𝑀𝑒 = 45,5 +

25 − 14 5 15

11 𝑀𝑒 = 45,5 + 5 15 n= 6 + 8 + 15 + 12 + 9 = 50 •

2 𝑛 4

=

2 4

𝑇𝑏2

= 45,5

50 = 25

𝑀𝑒 = 45,5 + 3,6 𝑀𝑒 = 49,1

෍ 𝑓−2 = 14

𝑓2 = 15

11 𝑀𝑒 = 45,5 + 3

𝑝=5 Eka Aprilia, S.Pd.

Persentil Persentil adalah nilai yang membagi data yang sudah diurutkan

dari yang terkecil ke yang terbesar menjadi 100 bagian yang sama.

•

Menentukan Persentil Data Tunggal 𝑖(𝑛 + 1) Letak Persentil Ke- 𝑖 = 100 ➢

𝑃15 = 𝑥2 + 0,25 𝑥3 − 𝑥2 = 35 + 0,25 40 − 35 = 35 + 0,25 5 = 35 + 1,25 = 36,25

Contoh Diberikan data sebagai berikut :

50, 60, 70, 40, 30, 88, 80, 45, 35, 55, 65,75,85, 85 Tentukan Nilai persentil ke-15 Penyelesaian : Urutkan data terlebih dahulu 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 85, 88 Nilai Persentil ke-15 15(14 + 1) 15(15) 225 = = = 2,25 100 100 100

Eka Aprilia, S.Pd.

•

Menentukan Persentil Data Berkelompok (Distribusi Frekuensi) ➢

Contoh 1

𝑖 𝑛 − σ 𝑓−𝑖 100 𝑃𝑖 = 𝑇𝑏𝑖 + 𝑝 𝑓𝑖

▪ Persentil ke-30 (𝑷𝟑𝟎 ) 30 𝑛 − σ 𝑓−30 100 𝑃30 = 𝑇𝑏30 + 𝑝 𝑓30 15 − 10 𝑃30 = 42,5 + 6 9

Keterangan : 𝑇𝑏𝑖

= Persentil ke- 𝑖(𝑖 = 1, 2, 3, … , 99) = Tepi bawah kelas persentil ke- 𝑖

𝑛

= Jumlah semua frekuensi

𝑃𝑖

෍ 𝑓−𝑖 = Jumlah semua frekuensi sebelum kelas persentil ke- 𝑖 𝑓𝑖 𝑝

= Frekuensi kelas persentil ke- 𝑖 = Panjang kelas

30 30 𝑛= 50 = 15 100 100 Kelas 𝑷𝟑𝟎

𝑃30

5 = 42,5 + 6 9

𝑃30

30 = 42,5 + 6

𝑃30 = 42,5 + 3,3 𝑃30 = 45,8

𝑇𝑏30 = 43 − 0,5 = 42,5 ෍ 𝑓−30 = 10 𝑓30 = 9

𝑝=6

Eka Aprilia, S.Pd.

➢

Contoh 2 ▪ Persentil ke-52 (𝑷𝟓𝟐 ) 𝑃52

52 𝑛 − σ 𝑓−52 100 = 𝑇𝑏52 + 𝑝 𝑓52

𝑃52 = 48,5 +

52 52 𝑛= 50 = 26 100 100 Kelas 𝑷𝟓𝟐 𝑇𝑏52 = 49 − 0,5 = 48,5

26 − 19 6 14

𝑃52

7 = 48,5 + 6 14

𝑃52

1 = 48,5 + 6 2

𝑃52 = 48,5 + 3 𝑃52 = 51,5

෍ 𝑓−52 = 19 𝑓52 = 14

𝑝=6

Eka Aprilia, S.Pd.

•

Menentukan Persentil Data Berkelompok (Histogram) Perhatikan histogram berikut, tentukan 𝑃37 data tersebut :

𝑃37

37 𝑛 − σ 𝑓−37 100 = 𝑇𝑏37 + 𝑝 𝑓37

𝑃37

18,5 − 14 = 45,5 + 5 15

𝑃37

4,5 = 45,5 + 5 15

𝑃37 = 45,5 + 1,5 n= 6 + 8 + 15 + 12 + 9 = 50 •

37 𝑛 100

𝑇𝑏37

=

37 100

𝑃37 = 47

50 = 18,5

=45,5

෍ 𝑓−37 = 14

𝑓37 = 15

𝑝=5 Eka Aprilia, S.Pd.

Jangkauan Inter Kuartil Selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah.

•

𝑄𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1

•

Menentukan Jangkauan Inter Kuartil dari Data

Menentukan Jangkauan Inter Kuartil dari Data

Kelompok

Tunggal

➢

➢

Rumus letak 1 4

Contoh

Letak 𝑄1 = 𝑛

Diberikan data sebagai berikut :

Letak 𝑄2 = 𝑛

10, 15, 15, 15, 20, 25, 30, 45, 50, 55, 57, 60, 80 Tentukan jangkauan inter kuartil dari data tersebut …

Letak 𝑄3 = 𝑛

Penyelesaian :

3 4

➢

Urutkan data terlebih dahulu 10, 15, 15, 15, 20, 25, 30, 45, 50, 55, 57, 60, 80 15 + 15 = 15 2

2 4

Rumus Quartil 1 𝑛 − σ 𝑓−𝑖 4 𝑄𝑖 = 𝑇𝑏𝑖 + 𝑝 𝑓𝑖

55 + 57 = 56 2

𝑄𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1 = 56 − 15 = 41 Eka Aprilia, S.Pd.

➢

Contoh

• •

Kuartil Bawah 𝑸𝟏 1 𝑛 − σ 𝑓−1 4 𝑄1 = 𝑇𝑏1 + 𝑝 𝑓1 𝑄1 = 42,5 +

12,5 − 10 6 9

2,5 𝑄1 = 42,5 + 6 9 5 𝑄1 = 42,5 + 3

𝑛 = 50

•

1 4

Letak 𝑄1 = 𝑛 =

1 4

50 = 12,5

Kelas 𝑄1 𝑇𝑏1

𝑄1 = 44,17

= 43 − 0,5 = 42,5

෍ 𝑓−1 = 10

𝑓1 = 9

𝑄1 = 42,5 + 1,67

𝑝=6

Letak 𝑄3 = 𝑇𝑏3

3 𝑛 4

=

3 4

50 = 37,5

= 55 − 0,5 = 4,55

𝑄𝑅 = 57,2 − 44,17 𝑄𝑅 = 57,2 − 44,17

෍ 𝑓−3 = 33

𝑝=6

𝑓3 = 10 •

𝑄𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1

𝑄𝑅 = 13,03

Kuartil Bawah 𝑸𝟑 3 𝑛 − σ 𝑓−3 4 𝑄3 = 𝑇𝑏3 + 𝑝 𝑓3 𝑄3 = 54,5 +

37,5 − 33 6 10

4,5 𝑄3 = 54,5 + 6 10

27 𝑄3 = 54,5 + 10 𝑄3 = 54,5 + 2,7 𝑄3 = 57,2 Eka Aprilia, S.Pd.

Varian dan Simpangan Baku Data Tunggal •

Simpangan Baku 𝑠=

σ 𝑥𝑖 − 𝑥ҧ 𝑛

➢

Jawab : σ 𝑥 15 + 17 + 24 + 26 + 29 + 35 + 40 + 41 254 𝑥ҧ = = = = 28,22 𝑛 9 9

2

▪

Atau 𝑠=

•

σ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥ҧ σ𝑓

2

Varian Kuadrat dari simpangan baku

▪ ➢

Contoh

Tentukan simpangan baku dan varian dari data :

673,5556

Simpangan Baku 2

𝑠=

σ 𝑥𝑖 − 𝑥ҧ 𝑛

𝑠=

673,5556 = 9

74,84 = 8,65

Varian 𝑆2

=

74,84

2

𝑆 2 = 74,84

15, 17, 24, 26, 27, 29, 35, 40, 41

Eka Aprilia, S.Pd.

Varian dan Simpangan Baku Data Berkelompok •

Simpangan Baku

𝟐

𝟐

Nilai

𝒇

𝒙𝒊

𝒇𝒊 𝒙𝒊

ഥ 𝒙𝒊 − 𝒙

51-60

9

55,5

499,5

333,0625

2997,5625

61-70

8

65,5

524

68,0625

544,5000

Varian

71-80

10

75,5

755

3,0625

30,6250

81-90

7

85,5

598,5

138,0625

966,4375

Kuadrat dari simpangan baku

91-100

6

95,5

573

473,0625

2838,3750

𝑠=

•

Menentukan rataan hitung

σ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥ҧ σ𝑓

2

40

➢

Contoh Perhatikan data pada tabel berikut!

7377,5

σ 𝑥 2950 𝑥ҧ = = = 73,75 𝑛 40

▪

Simpangan Baku 𝑠=

▪

σ 𝑥𝑖 − 𝑥ҧ 𝑛

2

=

7377,5 = 40

184,4375 ≈ 13,58

Varian 2

Tentukan simpangan baku dan varian data tersebut!

2950

ഥ 𝒇𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙

𝑆 =

184,4375

2

= 184,4375

Eka Aprilia, S.Pd.

Thank You! Any Questions?

Eka Aprilia, S.Pd.