Statistika Eka Aprilia, S.Pd.
Cara Menyajikan Data Dalam Tabel Distribusi Frekuensi Perhatikan nilai akhir semester matematika dari 80 orang siswa berikut :
Tabel Distribusi Frekuensi
Data Mentahan Eka Aprilia, S.Pd.
โข Bagian-bagian pada Tabel Distribusi Frekunsi โข Kelas Interval Kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
โข Batas Kelas Batas bawah ๐ต๐ = batas ujung bawah pada suatu kelas
Tabel Distribusi Frekuensi
Batas atas ๐ต๐ = batas ujung atas pada suatu kelas
โข Tepi Kelas Tepi bawah ๐๐ = batas bawah โ ketelitian data Tepi atas ๐๐ = batas atas + ketelitian data Keterangan : โข
Jika data bilangan bulat, maka ketelitian data adalah 0,5
โข
Jika data memuat satu tempat desimal, maka ketelitian data adalah 0,05
โข Panjang Kelas (๐) ๐ = ๐๐ โ ๐๐
โข Titik Tengah Kelas Kelas (๐๐ ) 1 ๐ฅ๐ = ๐ต๐ + ๐ต๐ 2 Eka Aprilia, S.Pd.
โข
Cara Mengelompokkan Data dalam Kelas-Kelas Interval โข Tentukan jangkauan (๐ฑ) ๐ฝ = data terbesar โ data terkecil
โข Tentukan banyak kelas interval (๐ฒ) ๐พ = 1 + 3,3 log ๐
โข Tentukan panjang kelas ๐ฝ ๐= ๐พ
โข
Latihan Sajikan data berikut dalam tabel distribusi frekuensi
โข
๐ฝ = 95 โ 42 = 53
โข
๐พ = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 3,3(1,6)
โข ๐=
53 6
= 8,83 โ 9
= 1 + 5,28 = 6,28 โ 6
42 โ 50
6
51 โ 59
12
60 โ 68
6
69 โ 77
8
78 โ 86
5
87 โ 95
3
Eka Aprilia, S.Pd.
Rataan Hitung (Mean) โข Rataan Hitung Data Tunggal โข
โข
Bentuk 2
Bentuk 1
Jika diketahui data : ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , ๐ฅ3 , โฆ , ๐ฅ๐ mempunyai frekuensi ๐1 , ๐2 , ๐3 , โฆ , ๐๐
Jika diketahui data : ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , ๐ฅ3 , โฆ , ๐ฅ๐
dengan ฯ ๐ = ๐. Maka rataan hitung data tersebut adalah :
Maka rataan hitung data tersebut adalah : ๐ฅาง =
๐ฅ1 + ๐ฅ2 + ๐ฅ3 + โฆ + ๐ฅ๐ ฯ ๐ฅ = ๐ ๐
Contoh :
๐ฅาง =
๐1 ๐ฅ1 + ๐2 ๐ฅ2 + ๐3 ๐ฅ3 + โฆ + ๐๐ ๐ฅ๐ ฯ ๐๐ฅ = ฯ๐ ๐1 + ๐2 + ๐3 + โฆ + ๐๐
Contoh : Perhatikan data pada tabel berikut :
Diketahui data sebagai berikut : 8,8,8,7,7,9,10,11 Nilai rata-rata dari data tersebut adalah โฆ. 8 + 8 + 8 + 7 + 7 + 9 + 10 + 11 ๐ฅาง = 8 =
68 = 8,5 8
Nilai rataan pada tabel tersebut adalah โฆ Jawab : 4.3 + 5.7 + 6.12 + 7.11 + 8.7 252 ๐ฅาง = = 6,3 = 3 + 7 + 12 + 11 + 7 40
Eka Aprilia, S.Pd.
โข
Bentuk 3 Jika ๐1 bilangan membunyai rataan ๐1 , ๐2 bilangan yang mempunyai rataan ๐2 , โฆ, dan ๐๐ bilangan mempunyai rataan ๐๐ . Maka rataan dari keseluruhan bilangan adalah : ๐1 ๐1 + ๐2 ๐2 + ๐3 ๐3 + โฆ + ๐๐ ๐๐ ฯ ๐๐ ๐ฅาง = = ฯ๐ ๐1 + ๐2 + ๐3 + โฆ + ๐๐
Contoh : Tiga kelas A, B, dan C berturut-turut terdiri atas 10 siswa, 20 siswa, dan 15 siswa. Jika rata-rata kelas A adalah 56 rata-rata
kelas B adalah 47 dan rata-rata kelas C adalah 65. Maka ratarata nilai gabungan ketiga kelas tersebut adalah โฆ 10.56 + 20.47 + 15.65 ๐ฅาง = 10 + 20 + 15 =
2475 = 55 45
Eka Aprilia, S.Pd.
โข Rataan Hitung Data Kelompok โข
Metode Biasa
Jawab :
ฯ ๐๐ ๐ฅ๐ ๐ฅาง = ฯ ๐๐
12
48
Keterangan :
17
136
๐๐ = frekuensi kelas ke- ๐
22
110
๐ฅ๐ = nilai tengah kelas ke- ๐
27
162
Contoh :
32
128
37
111
Hitunglah rata-rata data pada tabel di bawah เท = 30
ini
เท = 695
ฯ ๐๐ ๐ฅ๐ ๐ฅาง = ฯ ๐๐ 695 = 23,16 = 30
Eka Aprilia, S.Pd.
โข Rataan Hitung Data Kelompok โข
Metode Simpangan Rata-Rata
ฯ ๐๐ ๐๐ ๐ฅาง = ๐ฅาง๐ + ฯ ๐๐
Jawab :
Keterangan :
12
โ10
โ40
๐ฅาง๐ = rataan sementara
17
โ5
โ40
๐๐ = frekuensi kelas ke- ๐
22
0
0
๐ฅ๐ = nilai tengah kelas ke- ๐
27
5
32
10
30 40
37
15
45
Contoh : Hitunglah rata-rata data pada tabel di bawah เท ๐๐ = 30
ini
เท ๐๐ ๐๐ = 35
ฯ ๐๐ ๐๐ ๐ฅาง = ๐ฅาง๐ + ฯ ๐๐ 35 = 22 + 30 = 22 + 1,16 = 23,16
Eka Aprilia, S.Pd.
โข Rataan Hitung Data Kelompok โข
Metode Simpangan Rata-Rata
Nilai
Frekuensi
๐๐
๐ ๐
๐๐
๐๐ ๐๐
10-14
4
12
โ10
โ2
โ8
15-19
8
17
โ5
โ1
โ8
๐๐ = frekuensi kelas ke- ๐
20-24
5
22
0
0
0
๐ฅ๐ = nilai tengah kelas ke- ๐
25-29
6
27
5
1
6
๐ = panjang kelas
30-34
4
32
10
2
8
35-39
3
37
15
3
9
Keterangan : ฯ ๐๐ ๐ข๐ ๐ฅาง = ๐ฅาง๐ + .๐ ฯ ๐๐
Jawab :
๐ฅาง๐ = rataan sementara
Contoh : Hitunglah rata-rata data pada tabel di bawah ini
เท ๐๐ = 30
เท ๐๐ ๐ข๐ = 7
ฯ ๐๐ ๐ข๐ ๐ฅาง = ๐ฅาง๐ + .๐ ฯ ๐๐ 7 = 22 + . 5 30 7 = 22 + 6 = 22 + 1,16 = 23,16 Eka Aprilia, S.Pd.
Modus Nilai datum yang sering muncul
โข Data Tunggal Modus dari data tunggal adalah nilai datum yang sering
Contoh 2 : Tentukan modus dari data berikut :
muncul atau datum dengan frekuensi terbesar.
Berat (Kg)
40
43
46
49
52
55
Nilai modus mungkin tidak ada, satu buah, atau lebih dari satu.
Banyak Siswa
6
8
17
8
6
3
Contoh 1 : Tentukan modus dari data berikut : a. 3,4,5,6,6,6,7,7
Jawab : ๐๐ = 46
b. 3,4,5,5,6,6,7,7,8 c. 3,3,4,4,5,5,6,6
Jawab : a. ๐๐ = 6 b. ๐๐ = 5,6,7 c. ๐๐ = tidak ada
Eka Aprilia, S.Pd.
โข Data Berkelompok Contoh 1 : ๐1 ๐๐ = T๐๐๐ + ๐ ๐1 + ๐2
Tentukan modus dari data berikut :
Keterangan : T๐๐๐ = Tepi bawah kelas modus ๐1
= Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sebelumnya. ๐1
= Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sesudahnya. ๐
= Panjang kelas
๐= 6
Nilai
Frekuensi
31-36
6
37-42
4
43-48
9
๐๐ = T๐๐๐ +
๐1 ๐ ๐1 + ๐2
= 48,5 +
5 6 5+4
= 48,5 +
5 6 9
๐1 = 14 โ 9 = 5
49-54
14
55-60
10
61-66
2
= 48,5 + 3,33
67-72
5
= 51,83
๐2 = 14 โ 10 = 4
= 48,5 +
30 9
Kelas Modus T๐๐๐ = 49 โ 0,5 = 48,5
Eka Aprilia, S.Pd.
Contoh 2 : Tentukan modus dari data berikut : Nilai
Frekuensi
50-59
3
T๐๐๐ = ๐1 =
60-64
9
๐2 =
65-69
14
๐=
70-74
37
75-79
25
80-84
8
85-89
4
๐๐ = T๐๐๐ +
๐1 ๐ ๐1 + ๐2
= 69,5 +
23 5 23 + 12
= 69,5 +
23 5 35
23 7 = 69,5 + 3,29 = 69,5 +
= 72,79
Jadi modus data tersebut adalah 72,79
Eka Aprilia, S.Pd.
Contoh 3 : Perhatikan histogram berikut, tentukan nilai modus data tersebut :
๐๐ = T๐๐๐ +
๐2 = 15 โ 12 = 3
๐1 ๐ ๐1 + ๐2
7 = 45,5 + 5 7+3
๐1 = 15 โ 8 = 7
7 = 45,5 + 5 10 7 = 45,5 + 2 = 45,5 + 3,5 = 49 ๐๐
Jadi modus data tersebut adalah 49
๐๐๐๐ = 45,5
Eka Aprilia, S.Pd.
Median dan Kuartil โข Median membagi sebaran data menjadi 2 bagian yang sama โข Kuartil membagi sebaran data menjadi 4 bagian yang sama ๐ฅ1
๐ฅ๐
๐ฅ๐
๐1
๐๐ = ๐2
๐3
Keterangan : ๐1 = Kuartil bawah ๐2 = Kuartil tengah ๐3 = Kuartil atas
Eka Aprilia, S.Pd.
โข Menentukan median dan kuartil data tunggal โข
Contoh Tentukan median, kuartil bawah, kuartil tengah dan kuartil atas data berikut 10, 15, 15, 20, 50, 45, 55, 60, 57, 80, 15, 25, 30
Penyelesaian : Data terurut 10, 15, 15, 15, 20, 25, 30, 45, 50, 55, 57, 60, 80 ๐๐ = 30 ๐1 15 + 15 = 15 2
๐๐ = ๐2
๐3 55 + 57 = 56 2
๐1 = 15 ๐2 = 30 ๐3 = 56
Eka Aprilia, S.Pd.
โข Menentukan median dan kuartil data kelompok 1 ๐ โ ฯ ๐โ๐ 4 ๐๐ = ๐๐๐ + ๐ ๐๐
Contoh 1
โช
Tentukan ๐1 , ๐2 , ๐3 dan median dari data berikut :
Keterangan : ๐๐
โข
= Kuartil ๐๐ โ ๐ (๐ = 1,2,3)
๐๐๐ = Tepi bawah kelas kuartil ๐๐ โ ๐ ๐
12,5 โ 10 ๐1 = 42,5 + 6 9
= Jumlah semua frekuensi
ฯ ๐โ๐ = Jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ๐๐ โ ๐ ๐๐
= Frekuensi kelas kuartil ๐๐ โ ๐
๐
= Panjang Kelas
Kuartil Bawah ๐ธ๐ 1 ๐ โ ฯ ๐โ1 4 ๐1 = ๐๐1 + ๐ ๐1
2,5 ๐1 = 42,5 + 6 9 ๐ = 50
โข
1 ๐ 4
=
1 4
50 = 12,5
Kelas ๐1 ๐๐1
5 ๐1 = 42,5 + 3 ๐1 = 42,5 + 1,67
= 43 โ 0,5 = 42,5
๐1 = 44,17
เท ๐โ1 = 10
๐1 = 9
๐=6 Eka Aprilia, S.Pd.
โข
โข
2 ๐ 4
=
2 4
๐๐2
= 49 โ 0,5 = 48,5
50 = 25
เท ๐โ2 = 19
๐2 = 14 โข
3 4
๐=6
3 ๐ 4
=
๐๐3
= 55 โ 0,5 = 4,55
Kuartil Bawah ๐ธ๐
โข
Kuartil Bawah ๐ธ๐
2 ๐ โ ฯ ๐โ2 4 ๐2 = ๐๐2 + ๐ ๐2
3 ๐ โ ฯ ๐โ3 4 ๐3 = ๐๐3 + ๐ ๐3
25 โ 19 ๐2 = 48,5 + 6 14
37,5 โ 33 ๐3 = 54,5 + 6 10
6 ๐2 = 48,5 + 6 14
๐3 = 54,5 +
36 ๐2 = 48,5 + 14
27 ๐3 = 54,5 + 10
๐2 = 48,5 + 2,57
๐3 = 54,5 + 2,7
๐2 = 51,07
๐3 = 57,2
4,5 6 10
50 = 37,5
เท ๐โ3 = 33
๐3 = 10
๐=6
Eka Aprilia, S.Pd.
โช Contoh 2 : Perhatikan histogram berikut, tentukan median data tersebut :
๐๐ = ๐2 2 ๐ โ ฯ ๐โ2 4 ๐๐ = ๐๐2 + ๐ ๐2 ๐๐ = 45,5 +
25 โ 14 5 15
11 ๐๐ = 45,5 + 5 15 n= 6 + 8 + 15 + 12 + 9 = 50 โข
2 ๐ 4
=
2 4
๐๐2
= 45,5
50 = 25
๐๐ = 45,5 + 3,6 ๐๐ = 49,1
เท ๐โ2 = 14
๐2 = 15
11 ๐๐ = 45,5 + 3
๐=5 Eka Aprilia, S.Pd.
Persentil Persentil adalah nilai yang membagi data yang sudah diurutkan
dari yang terkecil ke yang terbesar menjadi 100 bagian yang sama.
โข
Menentukan Persentil Data Tunggal ๐(๐ + 1) Letak Persentil Ke- ๐ = 100 โข
๐15 = ๐ฅ2 + 0,25 ๐ฅ3 โ ๐ฅ2 = 35 + 0,25 40 โ 35 = 35 + 0,25 5 = 35 + 1,25 = 36,25
Contoh Diberikan data sebagai berikut :
50, 60, 70, 40, 30, 88, 80, 45, 35, 55, 65,75,85, 85 Tentukan Nilai persentil ke-15 Penyelesaian : Urutkan data terlebih dahulu 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 85, 88 Nilai Persentil ke-15 15(14 + 1) 15(15) 225 = = = 2,25 100 100 100
Eka Aprilia, S.Pd.
โข
Menentukan Persentil Data Berkelompok (Distribusi Frekuensi) โข
Contoh 1
๐ ๐ โ ฯ ๐โ๐ 100 ๐๐ = ๐๐๐ + ๐ ๐๐
โช Persentil ke-30 (๐ท๐๐ ) 30 ๐ โ ฯ ๐โ30 100 ๐30 = ๐๐30 + ๐ ๐30 15 โ 10 ๐30 = 42,5 + 6 9
Keterangan : ๐๐๐
= Persentil ke- ๐(๐ = 1, 2, 3, โฆ , 99) = Tepi bawah kelas persentil ke- ๐
๐
= Jumlah semua frekuensi
๐๐
เท ๐โ๐ = Jumlah semua frekuensi sebelum kelas persentil ke- ๐ ๐๐ ๐
= Frekuensi kelas persentil ke- ๐ = Panjang kelas
30 30 ๐= 50 = 15 100 100 Kelas ๐ท๐๐
๐30
5 = 42,5 + 6 9
๐30
30 = 42,5 + 6
๐30 = 42,5 + 3,3 ๐30 = 45,8
๐๐30 = 43 โ 0,5 = 42,5 เท ๐โ30 = 10 ๐30 = 9
๐=6
Eka Aprilia, S.Pd.
โข
Contoh 2 โช Persentil ke-52 (๐ท๐๐ ) ๐52
52 ๐ โ ฯ ๐โ52 100 = ๐๐52 + ๐ ๐52
๐52 = 48,5 +
52 52 ๐= 50 = 26 100 100 Kelas ๐ท๐๐ ๐๐52 = 49 โ 0,5 = 48,5
26 โ 19 6 14
๐52
7 = 48,5 + 6 14
๐52
1 = 48,5 + 6 2
๐52 = 48,5 + 3 ๐52 = 51,5
เท ๐โ52 = 19 ๐52 = 14
๐=6
Eka Aprilia, S.Pd.
โข
Menentukan Persentil Data Berkelompok (Histogram) Perhatikan histogram berikut, tentukan ๐37 data tersebut :
๐37
37 ๐ โ ฯ ๐โ37 100 = ๐๐37 + ๐ ๐37
๐37
18,5 โ 14 = 45,5 + 5 15
๐37
4,5 = 45,5 + 5 15
๐37 = 45,5 + 1,5 n= 6 + 8 + 15 + 12 + 9 = 50 โข
37 ๐ 100
๐๐37
=
37 100
๐37 = 47
50 = 18,5
=45,5
เท ๐โ37 = 14
๐37 = 15
๐=5 Eka Aprilia, S.Pd.
Jangkauan Inter Kuartil Selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah.
โข
๐๐ = ๐3 โ ๐1
โข
Menentukan Jangkauan Inter Kuartil dari Data
Menentukan Jangkauan Inter Kuartil dari Data
Kelompok
Tunggal
โข
โข
Rumus letak 1 4
Contoh
Letak ๐1 = ๐
Diberikan data sebagai berikut :
Letak ๐2 = ๐
10, 15, 15, 15, 20, 25, 30, 45, 50, 55, 57, 60, 80 Tentukan jangkauan inter kuartil dari data tersebut โฆ
Letak ๐3 = ๐
Penyelesaian :
3 4
โข
Urutkan data terlebih dahulu 10, 15, 15, 15, 20, 25, 30, 45, 50, 55, 57, 60, 80 15 + 15 = 15 2
2 4
Rumus Quartil 1 ๐ โ ฯ ๐โ๐ 4 ๐๐ = ๐๐๐ + ๐ ๐๐
55 + 57 = 56 2
๐๐ = ๐3 โ ๐1 = 56 โ 15 = 41 Eka Aprilia, S.Pd.
โข
Contoh
โข โข
Kuartil Bawah ๐ธ๐ 1 ๐ โ ฯ ๐โ1 4 ๐1 = ๐๐1 + ๐ ๐1 ๐1 = 42,5 +
12,5 โ 10 6 9
2,5 ๐1 = 42,5 + 6 9 5 ๐1 = 42,5 + 3
๐ = 50
โข
1 4
Letak ๐1 = ๐ =
1 4
50 = 12,5
Kelas ๐1 ๐๐1
๐1 = 44,17
= 43 โ 0,5 = 42,5
เท ๐โ1 = 10
๐1 = 9
๐1 = 42,5 + 1,67
๐=6
Letak ๐3 = ๐๐3
3 ๐ 4
=
3 4
50 = 37,5
= 55 โ 0,5 = 4,55
๐๐ = 57,2 โ 44,17 ๐๐ = 57,2 โ 44,17
เท ๐โ3 = 33
๐=6
๐3 = 10 โข
๐๐ = ๐3 โ ๐1
๐๐ = 13,03
Kuartil Bawah ๐ธ๐ 3 ๐ โ ฯ ๐โ3 4 ๐3 = ๐๐3 + ๐ ๐3 ๐3 = 54,5 +
37,5 โ 33 6 10
4,5 ๐3 = 54,5 + 6 10
27 ๐3 = 54,5 + 10 ๐3 = 54,5 + 2,7 ๐3 = 57,2 Eka Aprilia, S.Pd.
Varian dan Simpangan Baku Data Tunggal โข
Simpangan Baku ๐ =
ฯ ๐ฅ๐ โ ๐ฅาง ๐
โข
Jawab : ฯ ๐ฅ 15 + 17 + 24 + 26 + 29 + 35 + 40 + 41 254 ๐ฅาง = = = = 28,22 ๐ 9 9
2
โช
Atau ๐ =
โข
ฯ ๐๐ ๐ฅ๐ โ ๐ฅาง ฯ๐
2
Varian Kuadrat dari simpangan baku
โช โข
Contoh
Tentukan simpangan baku dan varian dari data :
673,5556
Simpangan Baku 2
๐ =
ฯ ๐ฅ๐ โ ๐ฅาง ๐
๐ =
673,5556 = 9
74,84 = 8,65
Varian ๐2
=
74,84
2
๐ 2 = 74,84
15, 17, 24, 26, 27, 29, 35, 40, 41
Eka Aprilia, S.Pd.
Varian dan Simpangan Baku Data Berkelompok โข
Simpangan Baku
๐
๐
Nilai
๐
๐๐
๐๐ ๐๐
เดฅ ๐๐ โ ๐
51-60
9
55,5
499,5
333,0625
2997,5625
61-70
8
65,5
524
68,0625
544,5000
Varian
71-80
10
75,5
755
3,0625
30,6250
81-90
7
85,5
598,5
138,0625
966,4375
Kuadrat dari simpangan baku
91-100
6
95,5
573
473,0625
2838,3750
๐ =
โข
Menentukan rataan hitung
ฯ ๐๐ ๐ฅ๐ โ ๐ฅาง ฯ๐
2
40
โข
Contoh Perhatikan data pada tabel berikut!
7377,5
ฯ ๐ฅ 2950 ๐ฅาง = = = 73,75 ๐ 40
โช
Simpangan Baku ๐ =
โช
ฯ ๐ฅ๐ โ ๐ฅาง ๐
2
=
7377,5 = 40
184,4375 โ 13,58
Varian 2
Tentukan simpangan baku dan varian data tersebut!
2950
เดฅ ๐๐ ๐๐ โ ๐
๐ =
184,4375
2
= 184,4375
Eka Aprilia, S.Pd.
Thank You! Any Questions?
Eka Aprilia, S.Pd.