Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

KELAS X

BAHAN BACAAN Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

DISUSUN OLEH: Eka Aprilia, S.Pd.

DINAS PENDIDIKAN PROVINSI BANTEN SMA NEGERI 2 TANGERANG TAHUN 2021-2022

A. Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) PLDV mempunyai bentuk umum : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 dengan 𝑎, 𝑏, dan ∈ ℝ Untuk 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 bilangan bulat. PLDV dikenal sebagai persamaan Diophantine. Penyelesaian/ solusi diperoleh dengan cara aljabar tingkat tinggi. Materi ini sering diujikan dalam setiap ajang kompetisi matematika baik regional maupun internasional. Solusi/penyelesaian PLDV berbentuk (𝑥, 𝑦). 1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) SPLDV mempunyai bentuk umum sebagai berikut : {

𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2

dengan 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑐1 , dan 𝑐2 bilangan real Penemuan solusi/penyelesaian SPLDV dapat dilakukan secara eliminasi-substitusi. Pembatasan SPLDV sudah dibahas pada tingkat SMP/MTs dan di buku ini sebagai bahan pengulangan dan penguatan karakter siswa. Pendoman penemuan solusi/penyelesaian SPLDV dapat ditinjau tiga hal berikut : •

Sistem persamaan linear memiliki satu solusi. Graiknya berupa dua garis yang berpotongan. Solusinya adalah titik potong kedua garis.

•

Sistem persamaan linear tidak memiliki solusi. Graiknya berupa dua garis yang sejajar.

•

Sistem persamaan linear memiliki banyak solusi. Graiknya berupa dua garis yang berimpit. Semua titik pada garis ini merupakan solusi.

Tabel 1 menunjukkan contoh sistem persamaan linear untuk setiap jenis solusi/penyelesaian dengan grafik masing-masing. Tabel 1 Contoh Sistem Persamaan Linear dengan Banyak Solusi yang Berbeda-beda Sumber : Buku Matematika SMA/SMK Sekolah Penggerak Kelas 10

2. Solusi/Penyelesaian Masalah Kontekstual dari SPLDV Proses penemuan solusi/penyelesaian dari permasalahan kontekstual, kita harus mimisahkan hal yang ditanya dengan variabel tertentu agar diperoleh model matematika berbentuk SPLDV, lalu menyelesaikannya dengan cara eliminasi-substitusi.

B. Persamaan Linear Tiga Variabel (PLTV) PLTV mempunyai bentuk umum : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑, dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑 ∈ ℝ Solusi/penyelesaian PLTV berbentuk (𝑥, 𝑦, 𝑧). Khusus 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑 bilangan bulat, PLTV dikenal sebagai diophantine. 1. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) SPLTV mempunyai bentuk umum : 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1 {𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑥 = 𝑑3 Dengan 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 , dan 𝑑𝑖 merupakan bilangan real untuk 𝑖 = 1,2, dan 3 Proses pencarian solusi/penyelesaian (𝑥, 𝑦, 𝑧) menggunakan cara eliminasi-substitusi. 2. Solusi/Penyelesaian Permasalahan Kontekstual Berbentuk SPLTV Proses penemuan solusi/penyelesaian pemasalahan kontekstual berbentuk SPLTV sebagai berikut : •

Tetapkan hal yang ditanya dengan variabel 𝑥, 𝑦, dan 𝑧.

•

Ubah permasalahan kontekstual ke model matematis berbentuk SPLTV.

•

Menentukan nilai 𝑥, 𝑦, dan 𝑧, gunakan cara eliminasi-subtitusi.

•

Tulis solusi/penyelesaian : (𝑥, 𝑦, 𝑧) dan Hp = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)}.

C. Contoh Soal Sistem Persamaan Linear 1. Tentukan solusi/penyelesaian 2𝑥 + 𝑦 = 7 Pembahasan : 2𝑥 + 𝑦 = 7 •

Solusi khusus : 7

(0,7) dan (2 , 0) •

Solusi umum : (𝑥, 7 − 2𝑥), untuk 𝑥 ∈ ℝ

•

Untuk 𝑥 dan 𝑦 bilangan bulat positif, diperoleh : Solusi umum = (𝑥, 7 − 2𝑥), 𝑥 bilangan bulat positif, yaitu (1,5), (2,3), dan (3,1). Gambar solusi/penyelesaian 2𝑥 + 𝑦 = 7 merupakan titik-titik pada garis lurus 2𝑥 + 𝑦 = 7, seperti terlihat pada gambar grafik berikut.

Untuk 𝑥 dan 𝑦 bilangan real positif, dari gambar terlihat solusi/penyelesaiannya 1

3

5

7

berbentuk: (0,7), (2 , 6) , (1,5), (2 , 4) , (2,3), (2 , 2) , (3,1), dan (2 , 0). 2. Lukislah SPLDV pada suatu koordinat 2𝑥 − 𝑦 = 5 dan 𝑥 + 2𝑦 = 5 Pembahasan :

Jadi, solusi/penyelesaian titik potong kedua garis (3,1) dan Hp = {(3,1)}

3. Selesaikan SPLDV berikut secara aljabar. {

𝑥+𝑦 =7 3𝑥 − 2𝑦 = 6

Pembahasan :

Subtitusikan 𝑥 = 4 ke persamaan 𝑥 + 𝑦 = 7, diperoleh 4 + 𝑦 = 7 ⇔ 𝑦 = 7 − 4 = 3 Jadi, solusi/penyelesaiannya adalah (𝑥, 𝑦) = (4,3) dan Hp = {(4,3)}.

4. Harga tiket masuk ke ruangan pameran untuk anak-anak Rp. 20.000,00 dan untuk dewasa Rp. 30.000,00. Pada hari sabtu terjual 540 tiket dengan hasil penjualan Rp. 12.600.000,00. Berapa banyak masing-masing tiket masuk anak-anak dan dewasa terjual pada hari sabtu? Pembahasan : Misalkan tiket untuk anak-anak = 𝐵 dan tiket untuk dewasa = 𝐷.

Substitusikan 𝐷 = 180 ke persamaan (1), diperoleh : 𝐵 + 180 = 540 ⇔ 𝐵 = 540 − 180 = 360 Jadi, pada hari sabtu terjual 360 tiket anak-anak dan 180 tiket dewasa.

5. Selesaikan masing-masing SPTLTV berikut dan tuliskan Hp-nya. 𝑥+𝑦 =1 {𝑦 − 2𝑧 = −3 2𝑥 + 𝑧 = 5 Pembahasan :

Eliminasi 𝑧 dari persamaan (2) dan (3)

Eliminasi 𝑧 dari persamaan (1) dan (4)

Substitusikan 𝑥 = 2 ke persamaan (3) dan (4), diperoleh :

Jadi, solusi/penyelesaiannya adalah (2, −1,1) dan Hp = {(2, −1,1)}. 1

6. Harga 2 kg jeruk, 1 2 kg lengkeng, dan 1 kg jamby adalah Rp. 72.000,00. Harga 3 Kg jeruk, 1 2

1

kg lengkeng, dan 2 kg jambu adalah Rp. 61.000,00. Sedangkan 1 kg jeruk, 2 kg lengkeng,

dan 2 kg jambu adalah Rp. 79.000,00, maka harga jambu adalah … Pembahasan : Misal, harga 1 kg jeruk = 𝑥 rupiah harga 1 kg lengkeng = 𝑦 rupiah harga 1 kg jambu = 𝑧 rupiah

1 2

kg jeruk,

1 2

kg lengkeng, dan 1 kg

Model matematika yang terbentuk :

Kurangkan persamaan (1) dengan (3), sehingga diperoleh :

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh :

Kurangkan persamaan (4) dengan (5), sehingga diperoleh :

Subtitusikan 𝑥 = 15.000 ke persamaan (5), sehingga diperoleh :

Substitusikan 𝑥 = 15.000 dan 𝑦 = 20.000 ke persamaan (2), sehingga diperoleh :

Dengan demikian,

1

1

Jadi, harga 2 kg jeruk, 1 2 kg lengkeng, dan 1 kg jambu adalah Rp. 49.500.000,00.

D. Pertidaksamaan Linear dengan Dua Variabel Pertidaksamaan linear adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan dan mengandung variabel berpangkat satu. Bentuk umum pertidaksamaan linear adalah : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 (ℛ)𝑐 Keterangan : 𝑥 dan 𝑦 sebagai variabel 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 konstanta (ℛ) = salah satu tanda relasi ketidaksamaan (>, <, ≤, atau ≥) Langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear : 1. Nyatakan pertidaksamaan linear sebagai persamaan linear dalam bentuk 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 (garis pembatas). 2. Tentukan titik potong garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 dengan sumbu 𝑋 dan sumbu 𝑌. 3. Tarik garis lurus yang menghubungkan kedua titik potong tersebut. Jika pertidaksamaan dihubungkan dengan tanda ≥ atau ≤, garis dilukis tidak putus-putus, sedangkan jika pertidaksamaan dihubungkan dengan tanda > atau <, garis dilukiskan tidak putus-putus. 4. Tentukan sembarang titik (𝑥1 , 𝑦1 ), masukkan ke pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan bernilai benar, maka daerah tersebut merupakan daerah penyelesaiannya, sebaliknya jika pertidaksamaan bernilai salah, maka daerah tersebut bukan merupakan daerah penyelesaian. 5. Arsirlah daerah yang memenuhi, sehingga daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir, sehingga daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear : 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 12 ! Jawab : Langkah (1)

: Tentukan garis pembatas, yaitu : 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 12.

Langkah (2)

: Tentukan titik potong terhadap sumbu 𝑋 dan sumbu 𝑌. Titik potong sumbu 𝑋 adalah jika 𝑦 = 0. Sehingga diperoleh : 3𝑥 + 2(0) = 12

⟺ 3𝑥 + 0 = 12 ⟺

3𝑥 = 12

⟺

𝑥= 4

Jadi, titik potong terhadap sumbu 𝑋 adalah (4,0). Titik potong sumbu 𝑌 adalah jika 𝑥 = 0. Sehingga diperoleh : 3(0) + 2𝑦 = 12 ⟺ 0 + 2𝑦 = 12 ⟺

2𝑦 = 12

⟺

𝑦= 6

Jadi, titik potong terhadap 𝑌 adalah (0,6). Langkah (3)

: Hubungan kedua titik potong tersebut dengan garis lurus.

Langkah (4)

: Ambil sembarang titik, misalnya (0,0), masukkan ke pertidaksamaan : 3(0) + 2(0) ≤ 12 (tidak memenuhi), berarti daerah tempat titik (0,0) terletak bukan merupakan daerah penyelesaian.

Langkah (5)

: Arsirlah daerah yang memenuhi.

Catatan : •

Tanda pertidaksamaan ≥ mengisyaratkan daerah penyelesaian berada di sebelah kanan atas garis

•

Tanda pertidaksamaan ≤ mengisyaratkan daerah penyelesaian berada di sebelah kiri bawah garis

E. Sistem Pertidaksamaan Linear dengan Dua Variabel Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dengan dua variabel.

F. Contoh Soal Sistem Pertidaksamaan Linear 1. Tentukan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut. 2𝑥 + 𝑦 ≤ 4; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ! Jawab : •

Titik potong dengan sumbu X→𝑦=0 2𝑥 + 𝑦 = 4 2𝑥 = 4 𝑥=2 Jadi titik potong dengan sumbu X ∶ (2,0)

•

Titik potong dengan sumbu Y → 𝑥 = 0 2𝑥 + 𝑦 = 4 𝑦=4 Jadi titik potong dengan sumbu Y ∶ (0,4)

Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian dari 2𝑥 + 𝑦 ≤ 4, ambil suatu titik, misalnya titik (1,1), karena titik tersebut memenuhi pertidaksamaan yaitu 2.1 + 1 ≤ 4 maka daerah itu merupakan daerah penyelesaian (arsiran). 2. Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut. 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 6; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ! Jawab : 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 6

- Titik potong dengan sumbu X → 𝑦 = 0 adalah (3,0) - Titik potong dengan sumbu Y → 𝑥 = 0 adalah (0,2) 3. Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut : 2𝑥 + 𝑦 ≤ 4; 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 6; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Jawab : 2𝑥 + 𝑦 = 4

2𝑥 + 3𝑦 = 6

Garis 2𝑥 + 𝑦 = 4 mempunyai : •

Titik potong dengan sumbu Y di (0,4)

•

Titik potong dengan sumbu X di (2,0)

Garis 2𝑥 + 3𝑦 = 6 mempunyai : •

Titik potong dengan sumbu Y di (0,2)

•

Titik potong dengan sumbu X di (3,0)

Gambar grafiknya :

G. Latihan Soal 1. Jika (𝑝2 − 1)𝑥 + 𝑦 = 0 dan −2𝑥 + (𝑝2 − 4) + 𝑦 = 0 dengan 𝑥 ≠ 0 dan 𝑦 ≠ 0, nilai 𝑝2 terkecil yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut adalah … A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 2. Agar sistem persamaan linear 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 3𝑧 = −3 −2𝑥 − 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = −1 { 𝑎𝑥 + 3𝑦 − 𝑐𝑧 = −3 Mempunyai penyelesaian, 𝑥 = 1, 𝑦 = −1, dan 𝑧 = 2, maka nilai 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 adalah … A. −1 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 3. Di toko buku “Gudang Buku”, Andi membeli 4 buku, 2 pulpen, dan 3 pensil dengan harga 𝑅𝑝. 26.000,00. Budi membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga 𝑅𝑝. 21.500,00. Mirna membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga 𝑅𝑝. 12.500,00. Jika Nina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, makai a harus membayar … A. 𝑅𝑝. 5.000,00 B. 𝑅𝑝. 6.500,00 C. 𝑅𝑝. 10.000,00 D. 𝑅𝑝. 11.000,00 E. 𝑅𝑝. 13.000,00

4. Rita, Nita, dan Mira pergi bersama-sama ke toko buah. Rita membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp. 67.000,00. Nita membeli 3 kg apel, 1 kg anggur dan 1 kg jeruk dengan harga Rp. 61.000,00. Mira membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk seluruhnya adalah …. A. 𝑅𝑝. 37.000,00 B. 𝑅𝑝. 44.000,00 C. 𝑅𝑝. 51.000,00 D. 𝑅𝑝. 55.000,00 E. 𝑅𝑝. 58.000,00 5. Jumlah tiga buah bilangan asli adalah 11, bilangan ketiga sama dengan dua kali bilangan pertama ditambah bilangan kedua dikurangi tiga. Bilangan kedua ditambah dua sama dengan jumlah bilangan pertama dan ketiga dikurangi satu. Jika bilangan tersebut adalah 𝑎, 𝑏, dan 𝑐, maka nilai 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 adalah … A. −1 B. 1 C. 7 D. 11 E. 17 6. Daerah yang diarsir pada diagram adalah daerah himpunan penyelesaian dari suatu masalah program linear

Model matematika yang sesuai dengan masalah tersebut adalah … A. 𝑥 + 2𝑦 ≥ 8; 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 12; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 B. 𝑥 + 2𝑦 ≤ 8; 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0

C. 𝑥 + 2𝑦 ≤ 8; 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 12; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 D. 2𝑥 + 𝑦 ≥ 8; 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 E. 2𝑥 + 𝑦 ≥ 8; 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 12; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 7. Perhatikan grafik berikut ini!

Daerah yang diarsir merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan … A. 3𝑦 + 𝑥 ≥ −3 B. 3𝑦 + 𝑥 ≤ −3 C. 3𝑦 + 𝑥 ≤ 3 D. 3𝑥 + 𝑦 ≥ −3 E. 3𝑦 − 𝑥 ≤ 3 8. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear 2𝑥 + 𝑦 ≤ 6 𝑥 + 3𝑦 ≥ 6 𝑥≥0 𝑦≥0 Untuk 𝑥, 𝑦 anggota bilangan real adalah … A. I B. II C. III D. IV E. V

9. Daerah penyelesaian dari 𝑥 + 2𝑦 ≥ 2 {−3𝑥 + 𝑦 ≤ −3 𝑦≤4 Ditunjukkan oleh grafik …

A.

B.

C.

D.

E. 10. Perhatikan gambar berikut ini.

Nilai maksimum untuk fungsi objektif 𝑃 = 3𝑥 + 5𝑦 adalah … A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 E. 19